taller 2 métodos numéricos
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Universidad Nacional de ColombiaMétodos numéricos – Ing. Félix CortesTrabajo N° 2Katherín Carranza (274454), Camila Gómez (245104)Miércoles, 12 de Marzo 2014
1) Hallar la serie de Taylor correspondiente a la función f(x)=∫0
π4sin ( x )x
a) Se procede a hallar la serie de Taylor para la función f(x)=sin (x):
sin ( x )=¿ x− x3
3 !+ x
5
5 !− x
7
7 !+ x
9
9 !…¿
b) Por lo tanto, para sin ( x )x
quedaría la siguiente forma:
sin ( x )x
=1− x3
3 ! x+ x5
5 ! x− x7
7 ! x+ x8
9 ! x…
c) Por consiguiente la sumatoria quedaría de la forma:
∫0
π4sin ( x )x
=∫0
π4
∑n=0
∞
(−1)n x2n
(1+2n ) !d) A continuación se desarrolla la integral:
∫0
π4
∑n=0
∞
(−1)n x2n
(1+2n ) !=x− x3
(3 )3!+ x5
(5 )5!− x7
(7 )7 !+ x8
(9 )9 !…
e) De esta forma se observa que la sumatoria para la función f(x)=∫0
π4sin ( x )x
es:
∑n=0
∞
(−1)n x1+2n
(1+2n ) (1+2n )!
2) Para resolver la serie por medio del método de tabulación es necesario saber el valor de la integral teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo:
∫0
π4
∑n=0
∞
(−1 )n x2n
(1+2n )!=x− x3
(3 )3 !+ x5
(5 )5!− x7
(7 )7 !+ x8
(9 )9 !|π40¿−0,0264
Además, es necesario saber el valor real de la función f(x)=∫0
π4sin ( x )x
.este cálculo se realizó por
medio del programa Derive 5.0:
f ( x )=∫0
π4sin ( x )x
xⅆ ≈0,75898
Gráfica 1. Área bajo de la curva de la integral ∫0
π4sin ( x )x
xⅆ