Universidad Nacional de ColombiaMétodos numéricos – Ing. Félix CortesTrabajo N° 2Katherín Carranza (274454), Camila Gómez (245104)Miércoles, 12 de Marzo 2014

1) Hallar la serie de Taylor correspondiente a la función f(x)=∫0

π4sin ( x )x

a) Se procede a hallar la serie de Taylor para la función f(x)=sin (x):

sin ( x )=¿ x− x3

3 !+ x

5

5 !− x

7

7 !+ x

9

9 !…¿

b) Por lo tanto, para sin ( x )x

quedaría la siguiente forma:

sin ( x )x

=1− x3

3 ! x+ x5

5 ! x− x7

7 ! x+ x8

9 ! x…

c) Por consiguiente la sumatoria quedaría de la forma:

∫0

π4sin ( x )x

=∫0

π4

∑n=0

∞

(−1)n x2n

(1+2n ) !d) A continuación se desarrolla la integral:

∫0

π4

∑n=0

∞

(−1)n x2n

(1+2n ) !=x− x3

(3 )3!+ x5

(5 )5!− x7

(7 )7 !+ x8

(9 )9 !…

e) De esta forma se observa que la sumatoria para la función f(x)=∫0

π4sin ( x )x

es:

∑n=0

∞

(−1)n x1+2n

(1+2n ) (1+2n )!

2) Para resolver la serie por medio del método de tabulación es necesario saber el valor de la integral teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo:

∫0

π4

∑n=0

∞

(−1 )n x2n

(1+2n )!=x− x3

(3 )3 !+ x5

(5 )5!− x7

(7 )7 !+ x8

(9 )9 !|π40¿−0,0264

Además, es necesario saber el valor real de la función f(x)=∫0

π4sin ( x )x

.este cálculo se realizó por

medio del programa Derive 5.0:

f ( x )=∫0

π4sin ( x )x

xⅆ ≈0,75898

Gráfica 1. Área bajo de la curva de la integral ∫0

π4sin ( x )x

xⅆ