La integral definida.

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente

en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es

una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de

las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la

ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas

y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac

Newton,Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de

Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la

derivación y la integración son procesos inversos.

Ver Más: http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n

Definición:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a,

x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.

La integral definida. Propiedades:

Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a ,b]. Entonces se tiene:

i.

 

ii. Si f(x) es integrable en el intervalo [a,b] y c [a,b] entonces

 

iii. Si f y g  son dos funciones integrables en [a,b] entonces

Métodos de Integración Aproximada

Método del trapecio

Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud deseada. En este apartado vamos a estudiar el método de integración numérica: la Regla del Trapecio.

Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrar la fórmula de interpolación lineal.

 

Ef(b)f(a)2

abf(x)dxI

b

a

Respuesta, (error). 

 

Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios.

Regla del trapecio

 El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a partir de la siguiente figura.

Eligiendo un espaciado

se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados

tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son

En cada intervalo (xi, xi+1) se sustituye la función f(x) por la recta que une los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1) tal como se aprecia en la figura.

La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valor se puede calcular fácilmente

El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios de anchura h

o bien, agrupando términos

Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el ordenador maneja números de precisión limitada.

Tomando el siguiente calcularemos el área y luego utilizaremos el Método del Trapecio.

*Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas de x= 2 y x = 8

Despejamos la función: entonces nos vas a quedar y= 10-x.

Luego graficamos

Una vez realizado el mismo integramos para los extremos 2 y 8

Luego aplicamos el método del trapecio:

n=5

3/5 (10-2)+2(10-3.2)+2(10-4.4)+2(10-5.6)+2(10-6.8)+(10-8) =

8+ 13.6+11.2+8.8+6.4+2 3/5= 30

Sólidos de Revolución

 Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido de revolución”.  La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede ubicar en esa posición.

Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):

El volumen de un sólido generado alrededor del eje x  la región bajo la curva de f(x) en el intervalo [a,b] en que f(x) es continua es:

 

 

 El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí

empleando el área del círculo se obtiene la expresión previa.

Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza

el método de los discos y se le denomina método de las arandelas ,

en este caso si f(x)≥g(x) en [a,b] limitan la superficie, se tiene:

 

Volumen de un sólido de revolución (método de lo tubos o

casquillos cilíndricos):

 

El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira

alrededor del eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la

gráfica de f(x), tiene un volumen:

 

 

En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx

y altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de

superficie 2πxf(x) y espesor dx.

Ejemplo: Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región

limitada por

Al hacer girar la figura sobre el eje Y, podemos "cortar" discos de

altura y el radio sería , entonces: Al tener esto podemos ver que para encontrar el volumen del disco es lo mismo que obtener el volumen a un cilindro.Entonces:

Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen total para n-discos:

Para optimizar hacemos que sea más grande, haciéndola tender al infinito:

Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8.

Resolviendo nos queda

Mediante el método de los cascarones cilíndricos:

Bibliografía: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/

integral_definida_ejff/primera.htm James Stewart CÁLCULO Transcentes Tempranas