tablas radiacion v20140128

7272019 Tablas Radiacion v20140128

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Tablas resumen de transferencia de calor por radiacion28 de enero de 2014

Indice

1 Magnitudes en radiacion termica 1

2 El espectro electromagnetico 2

3 Radiacion de cuerpo negro 231 Emision espectral de cuerpo negro Distribucion de Planck y ley de desplazamiento de Wien 232 Emision total de cuerpo negro Ley de Stefan-Boltzmann 333 Emision por bandas de cuerpo negro 3

4 Factores de forma 441 Definicion 442 Reglas del algebra de factores de forma 4

421 Regla de reciprocidad 4422 Regla de adicion 4423 Regla de superposicion 4424 Regla de simetrıa 4

43 Metodo de Hottel o de los hilos para determinar factores de forma entre superficies 2D 5

5 Intercambio de radiacion entre superficies analogıa electrica 751 Superficies negras 752 Recinto de dos superficies grises 7

521 Caso especial una superficie mucho mayor que la otra A2 A1 753 Caso especial pantallas de radiacion 854 Recinto de dos superficies grises casos comunes 855 Recinto de tres superficies grises caso general 956 Recinto de tres superficies grises con una rerradiante 957 Recinto de N superficies una de ellas mucho menor que las demas 1058 Tratamiento simplificado por bandas corta (solar) y larga (infrarroja) 1059 Presencia de una fuente puntual de radiacion en un recinto 11510 Planteamiento matricial 12

6 Conversion Estrella Triangulo 12

7 Referencias 13

8 Historial de cambios 13

Apendice Catalogo de Factores de Forma 15Seleccion de factores de forma de ItoTSE y Cengel 15Seleccion de factores de forma de Siegel 21Factores de forma de fuentes esfericas puntuales 33

Apendice Tablas de propiedades radiantes(Cengel) 35

1 Magnitudes en radiacion termica

Table 181 Glossary of Thermal Radiation Quantities

Quantities Definition

Emissive power Rate of radiant energy emitted by a surface in all directions per unit area of the surface E (Wm2 m)

or E (Wm2) Eq 181 Modifiers spectral or total

Irradiation Rate at which radiation is incident on a surface from all directions per unit area of the surface

G ( ) or G (Wm2) Eq 182 Modifiers spectral or total

Radiosity Rate at which radiation leaves a surface due to emission and reflection (reflected irradiation) in all direc-

tions per unit area of the surface J (Wm2 m) or J (Wm2) Eqs 183 and 184 Modifiers spectral

or total

Modifiers Def inition

Diff use Refers to directional uniformity of radiation field associated with emission irradiation and reflection

Spectral Refers to a single-wavelength (monochromatic) or narrow spectral band denoted by the subscript

Total Refers to all wavelengths integrated over all wavelengths (0 )

Wm2 m

1



2 El espectro electromagnetico

Gamma rays

X Rays

Thermal radiation

Infrared

Microwave

Visible

V i o l e t

B l u e

G r e e n

Y e l l o w

R e d

04 07

10ndash5 10ndash4 10ndash3 10ndash2 10ndash1 1 10 102 103 104

( m)λ micro

Ultraviolet

Figura 182 ItoTSE Espectro de radiacion electromagnetica identificando la region de radiacion termica

3 Radiacion de cuerpo negro

31 Emision espectral de cuerpo negro Distribucion de Planck y ley de despla-zamiento de Wien

109

S p e c t r a l e m i s s i v e p o w e r E

λ b

( W m 2

bull

m )

108

107

106

105

104

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

10-4

01 02 04 06 1 2 4 6 10 20 40 60 100

Wavelength ( m)

Visible spectral region

λ max T = 2898 mbullK

Solar radiation

5800 K

2000 K

1000 K

800 K

300 K

100 K

50 K

micro

micro λ

micro

Figura 183 ItoTSE Distribucion espectral de Planck Emitancia espectral de cuerpo negro E bλ en funcion de lalongitud de onda λ Ley de desplazamiento de Wien Longitud de onda a la que la distribucion de Planck tiene sumaximo para una temperatura dada λmaxT = 2898microm middot K

2



32 Emision total de cuerpo negro Ley de Stefan-Boltzmann

Emitancia total de un cuerpo negro Wm2

E b = σT 4

donde la constante de Stefan-Boltzmann σ toma el valor de

σ = 5670times 10minus8Wm2 middotK 4

33 Emision por bandas de cuerpo negroLa fraccion de la emision total de cuerpo negro que esta en el intervalo de longitudes de onda (o banda)

desde 0 a λ es una funcion del producto λT

F (0rarrλ) =

λ0 E λbdλ

σT 4 = f (λT )

Dicha fraccion esta tabulada en la tabla ItoTSE 182 a continuacion

Table 182 Blackbody Radiation Band Emission Fractions

T T T

(m K) F (0S) (m K) F (0S) (m K) F (0S)

200 0000000 4000 0480877 8000 0856288

400 0000000 4200 0516014 8500 0874608

600 0000000 4400 0548796 9000 0890029

800 0000016 4600 0579280 9500 0903085

1000 0000321 4800 0607559 10000 0914199

1200 0002134 5000 0633747 10500 0923710

1400 0007790 5200 0658970 11000 0931890

1600 0019718 5400 0680360 11500 0939959

1800 0039341 5600 0701046 12000 0945098

2000 0066728 5800 0720158 13000 0955139

2200 0100888 6000 0737818 14000 0962898

2400 0140256 6200 0754140 15000 0969981

2600 0183120 6400 0769234 18000 0980860

2800 0227897 6600 0783199 20000 0985602

2898 0250108 6800 0796129 25000 0992215

3000 0273232 7000 0808109 30000 0995340

3200 0318102 7200 0819217 40000 0997967

3400 0361735 7400 0829527 50000 0998953

3600 0403607 7600 0839102 75000 0999713

3800 0443382 7800 0848005 100000 0999905

Note the shaded entry corresponds to the blackbody maximum maxT 2898 m K shown in Fig 1813

Para calcular la fraccion de emision total en un intervalo desde λ1 a λ2 se puede utilizar

F (λ1rarrλ2) =

λ20 E λbdλminus

λ10 E λbdλ

σT 4 = F (0rarrλ2) minus F (0rarrλ1)

3



4 Factores de forma

41 Definicion

Fraccion de la radiacion que abandona la superficie i que es interceptada por la superficie j Para dossuperficies orientadas arbitrariamente Ai y Aj el factor de forma es F ij =

qirarrj

AiJ idonde se asume que las superficies

son isotermas difusas y con radiosidad uniforme

ni

n j

qi j

Ai T i

A j T j

42 Reglas del algebra de factores de forma

421 Regla de reciprocidad

Si se conocen las areas de dos superficies Ai y Aj y el factor de forma desde una hacia la otra F irarrj estaregla permite calcular su recıproco F jrarri

AiF irarrj = AjF jrarri

422 Regla de adicion

En un recinto la radiacion que abandona cualquier superficie i debe ser interceptada completamente por elresto de superficies (y por sı misma en caso de ser una superficie concava) Por tanto la suma de los factoresde forma desde una superficie i hacia todas las superficies del recinto incluyendose a sı misma es igual a 1

N

j=1

F irarrj = 1

423 Regla de superposicion

F 1rarr(23) = F 1rarr2 + F 1rarr3

El factor de forma desde una superficie 1 hacia una superficiecompuesta (23) F 1rarr(23) es igual a la suma de los factores deforma F 1rarr2 y F 1rarr3 Atencion lo recıproco no es cierto esdecir F 2rarr1 + F 3rarr1 = F (23)rarr1 pero aplicando reciprocidades p osible demostrar que lo siguiente sı es cierto

A2F 2rarr1 + A3F 3rarr1 = A(23)F (23)rarr1

983090

983091

983089

424 Regla de simetrıa

Si las superficies 2 y 3 son simetricas respecto a una superficie 1 entonces F 1rarr2 = F 1rarr3 y usando reciprocidadtambien se cumple que F 2rarr1 = F 3rarr1

1

2

3

F 1rarr 2 =F 1rarr 3

F 2rarr 1 =F 3rarr 1)(Also

4



43 Metodo de Hottel o de los hilos para determinar factores de forma entresuperficies 2D

Si las superficies tienen una dimension W (en direccion perpendicular al plano de la figura) mucho mayorque las otras dos se puede utilizar el metodo de Hottel que se basa en enhebrar y tensar hilos desde los puntosextremos de ambas superficies La combinacion de dos extremos y dos superficies da lugar a poder situar cuatrohilos de los cuales dos de ellos se cruzan entre sı en el espacio de vision (en la figura siguiente hilos cruzadosrepresentados en color rojo) mientras que los otros dos no lo hacen (hilos no cruzados representados en colorazul)

A1F 1rarr2 = A2F 2rarr1 = W times (Longitud de hilos cruzados) minus (Longitud de hilos sin cruzar)2

NotaLos hilos no pueden cortar ninguna superficie pero pueden discurrir tangenciales (pegados) a unasuperficie como sucede en el primer caso de la figura

Caso de superficies cerradas sobre sı mismas Por ejemplo el caso de dos discos El punto extremo seelige arbitrariamente y se trazan hilos que cruzan o no el espacio de vision

Caso de superficies con esquina comun (pe triangulo) La esquina comun se tratarıa como un hiloimaginario de longitud nula Los hilos cruzados transcurren tangencialmente a superficies

Caso de espacio de vision parcialmente bloqueado Cuando el espacio de vision entre dos superficiesesta parcialmente bloqueado y dividido por algun obstaculo el factor de forma entre ellas es la suma de tantosfactores de forma como espacios de vision distintos se pudiera considerar entre las dos superficies A la hora deplantear el metodo de Hottel para cada uno de esos factores de forma parciales es preciso que los hilos que se

tracen afecten solo a un unico espacio de vision Una forma de visualizarlo es la siguiente se trazan los hiloscomo si no hubiese obstaculos y luego para cada espacio de vision se introducen los obstaculos ldquoempujandordquoy deformando los hilos

1 espacio de vision izquierdo (A) se introducen los obstaculos de derecha a izquierda

2 espacio de vision central (B) se introducen el obstaculo izquierdo desde la izquierda y el derecho desde laderecha

3 espacio de vision derecho (C) se introducen los obstaculos de izquierda a derecha

5



Ejemplo Hottel 1

F ABrarrCD = (L5 + L6) minus (L3 + L4)

2 timesAB

F ABrarrCD = (radic

52 + 62 +

122 + 62) minus (6 +radic

72 + 62)

2times 12

F ABrarrCD = 025

C D

b = L2 = 5 cm

c = 6 cm

a = L1 = 12 cm

A B

L3

L5 L6

L4

1

2

Ejemplo Hottel 2 y aplicacion de reglas

Notacion AB y CD son curvas L1 y L2 son rectas


2 times AB(siguiendo la curva)

Nota 1 hay que tener en cuenta que toda la radiacionque llega a la superficie curva CD debe pasar antes porla recta L2 ası que se tiene la siguiente relacion

F ABrarrCD = F ABrarrL2

sin embargo como la superficie AB se ve a s ı misma

F ABrarrCD = F L1rarrCD

L2

L1

L5

L3

A

B

D

C

L4

L6

Nota 2El factor de forma de AB con sı misma se puede calcular ya que

F L1rarrAB = 1

por reciprocidad

F ABrarrL1 =

L1

ABF L1rarrAB =

L1

AB

y por adicionF ABrarrAB = 1 minus F ABrarrL1

6



5 Intercambio de radiacion entre superficies analogıa electrica

51 Superficies negras

ni

n j

J i = E bi

J j = E bj

qij

Ai T i

A j T j

(a) (b) (c)

E bj

E bi

qij

( AiF ij)ndash1

E b3

E b1

E b2

q1

q13q12

( A1F 13)ndash1( A1F 12)

ndash1

Figura ItoTSE 1823 Intercambio de radiacion entre superficies negras (a) Intercambio neto de calor entre dos superficiesq ij (b) Intercambio neto entre dos superficies q ij = σ

T 41 minus T 42

times

AiF minus1ij

en terminos de la resistencia espacial o

geometrica R12 = 1

AiF ijy la emitancia de cuerpo negro Eb = σ T 4 (c) Intercambio entre tres superficies flujo neto

saliente q 1 = q 12 + q 13 de la superficie A1 debido al intercambio con las superficies restantes A2 y A3

52 Recinto de dos superficies grises

El intercambio neto radiante desde la superficie 1 hacia 2 es

q 12 = σ

T 41 minus T 42

1minusε1A1ε1

+ 1A1F 12

+ 1minusε2A2ε2

donde R1 = 1minusε1A1ε1

y R2 = 1minusε2A2ε2

son las resistencias de superficie

Q12ε

1

A1

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12

R12 =mdashmdashndash

1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

J 1

J 2

T 1

ε2

A2

T 2

Q

1

Q

12

Q

2 E b1

E b2

21

Figura Cengel 12-24 Intercambio de radiacion en recinto de dos superficies grises

521 Caso especial una superficie mucho mayor que la otra A2 A1

Si una superficie de area finita A1 intercambia radiacion con una superficie mucho mayor que ella A2 A1

el comportamiento de esta ultima es simular al de una superficie negra Teniendo en cuenta que F 12 = 1 laecuacion del flujo de calor neto entre dos superficies grises se simplifica y queda

q 12 = A1 middot ε1 middot σT 41 minus T 42

7



53 Caso especial pantallas de radiacion

En este caso teniendo en cuenta que F 13 = F 32 = 1 el intercambio neto radiante desde la superficie 1 hacia2 queda

q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2

donde la emisividad de una cara de la pantalla puede ser diferente a la de la otra cara En realidad se trata dedos recintos de dos superficies cada uno

q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2

1ndashε2_____ε2 A2

1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)

Figura ItoTSE 18-27 Intercambio de radiacion entre planos paralelos con una pantalla de radiacion interpuesta

54 Recinto de dos superficies grises casos comunes

Table ItoTSE 18-4 Intercambio neto radiante para recintos de dos superficies grises casos comunes

Large (Infinite) Parallel Planes

Long (Infinite) Concentric Cylinders

Concentric Spheres

Small Convex Object in Large Surroundings

F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8



55 Recinto de tres superficies grises caso general

1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3

Figura Cengel 12-26 Intercambio de radiacion en recinto de tres superficies grises

Flujo de calor radiante que cede la superficie 1 se tienen dos ecuaciones la primera planteada a traves de la resistencia

de superficie

q 1 = σT 41 minus J 1

1minusε1A1ε1

y la segunda planteada a traves de las resistencias espaciales con el resto de superficies del recinto

q 1 = J 1 minus J 2

(A1 middot F 12)minus1 +

J 1 minus J 3

(A1 middot F 13)minus1

lo mismo se puede plantear para las otras superficies

56 Recinto de tres superficies grises con una rerradiante

Un superficie rerradiante esta perfectamente aislada por detras y se supone que no cede calor por conveccion pordelante ası que el flujo radiante neto debe ser nulo

q R = σT 4R minus J R

1minusεRA1εR

= 0

Solo cabe la posibilidad de que J R = σT 4R es decir su radiosidad debe ser igual a la emitancia de cuerpo negro E bR(aunque la superficie rerradiante no tiene porque ser negra) Este resultado es independiente de la emisividad de lasuperficie rerradiante εR La temperatura que alcanza la superficie rerradiante es tal que re-emite todo la la energıaradiante que haya podido absorber y viene determinada por la radiacion procedente de las otras superficies del recintoPara las superficies rerradiantes siempre se cumple que su radiosidad es igual a la irradiacion que incide sobre ella

J R = GR =N j=1

F RjJ j La emisividad de la superficie rerradiante no afecta al valor global de su radiosidad pero

determina que parte de la radiosidad es emision y que parte es reflejo de la radiacion incidente

A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2

1ndashε2______ε2 A2


1ndashε R______ε R A R

1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)

Figura ItoTSE18-28 Intercambio de radiacion en recinto de tres superficies grises donde una es rerradiante

9



57 Recinto de N superficies una de ellas mucho menor que las demas

El resultado obtenido en recintos de dos superficies con una de ellas de mucho mayor area que la otra seccion 521se puede generalizar de manera aproximada a un recinto de N superficies en el que una superficie de area finita A1

intercambia radiacion con otras superficies A2 A3 A4AN todas ellas de mucha mayor area que A1 En este casointervienen los factores de forma entre la superficie pequena y las grandes El flujo de calor radiante neto cedido por lasuperficie A1 queda

q 1 = A1 middotF 12 middot ε1 middotσ

T 41 minus T 42

+ A1 middotF 13 middot ε1 middotσ

T 41 minus T 43

+ + A1 middotF 1N middot ε1 middotσ

T 41 minus T 4N

=N j=2

A1 middotF 1j middot ε1 middotσ

T 41 minus T 4N

58 Tratamiento simplificado por bandas corta (solar) y larga (infrarroja)

No siempre es posible formular los intercambios radiantes considerando que las superficies son grises (es decir quesus propiedades radiantes no dependen de la longitud de onda) Esa imposibilidad es especialmente frecuente cuando elintercambio radiante considerado involucra radiaciones emitidas p or cuerpos a muy diferente temperatura Ejemplos deestas situaciones son la transferencia de calor radiante en edificios y en sistemas de captacion solar En ambos aparecenradiaciones solares que proceden de una fuente (Sol) a aproximadamente 5800K (radiaciones denominadas de cortalongitud de onda) y radiaciones infrarrojas que son emitidas por superficies a temperaturas del orden de la temperaturaambiental (radiaciones denominadas de larga longitud de onda) Dado que los cuerpos involucrados en estos intercambiossuelen tener propiedades radiantes muy diferentes para ambos tipos de radiacion es imprescindible realizar un balanceradiante desglosando en ambas bandas del espectro

La simplificacion que supone considerar estas bandas deriva del hecho del bajo solapamiento existente entre dichasbandas para cuerpos de temperatura muy dispar y por tanto se supone que cada superficie solo emite en una de las dosbandas (aquella en la cual se ubica la mayor parte de su emision radiante)

Generalmente la analogıa electrica se plantea para los intercambios en onda larga unicamente La radiacion solar noaparece en el circuito equivalente sino que se tratarıa como un flujo impuesto sobre la superficie Por ejemplo en el casode una superficie horizontal a temperatura T sup expuesta a la boveda celeste caracterizada como una superficie negra aT cielo y a una irradiacion solar Gsolar(Wm2) se tendrıa un flujo radiante neto saliente de la superficie de

q radsup = As

εsuplarga middot σ

T 4sup minus T 4cielo

minus αsupcorta middot Gsolar

La banda de larga se trata como un recinto de dos superficies con una de mucho mayor area que la otra En la banda decorta se desprecia la emision de la superficie y unicamente hay absorcion porque a temperatura ambiente no se emitepracticamente nada en corta La emisividad de la superficie (igual a la absortividad si la superficie es gris) pueden serdiferentes en cada una de las bandas

983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154

Figura Ejemplo de recinto de dos superficies con flujo solar impuesto

10



59 Presencia de una fuente puntual de radiacion en un recinto

A veces la radiacion es generada por fuentes de radiacion que debido a su alta temperatura y a su pequeno tamanomanifiestan su efecto radiante mediante potencias termicas constantes e independientes del estado termico de las super-ficies del recinto a las que afecta Para caracterizar estas fuentes puntuales se necesitan dos datosa) la potencia radiante P en unidades de W Por ejemplo se tendrıa una fuente puntual de 1000 W o una fuentepuntual de 500 W Nota que no se conoce ni su tama no ni su temperaturab) el factor de forma desde la fuente puntual hacia las superficies del recinto Las fuentes puntuales se con-sideran elementos esfericos infinitamente pequenos para el calculo del factor de forma desde estas fuentes a elementosplanos o esfericos de tamano finito se incluyen dos tablas especiales al final de este documento

1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p

PmiddotFp1 PmiddotFp2

middot p

Figura Ejemplo de recinto de tres superficies grises con fuente puntual p

La inclusion de las fuentes en la analogıa electrica se realizarıa introduciendo en los nodos de radiosidades de cadasuperficie unas intensidades impuestas entrantes equivalentes a las radiaciones incidentes procedentes de cada fuentepuntual Por ejemplo para un recinto de 3 superficies grises donde hay una fuente puntual de potencia P (W) el flujoneto radiante que cede la superficie 1 se obtiene de un balance de energıa en el nodo J 1

q 1 = q 12 + q 13 minus F p1 middot P

desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3

(A1 middot F 13)minus1 minus F p1 middot P

y analogamente se podrıa escribir para las superficies 2 y 3 en caso necesario

Caso de que la fuente puntual emita radiaci on en una banda diferente a las superficies del recinto Lodescrito anteriorment es valido si la energıa emitida por la fuente puntual esta dentro de la misma banda de longitudesde onda en la que se produce la emision del resto de superficies del recinto (la banda en la que se asume como valida lahipotesis de superficies grises α = ε) Sin embargo en algunos casos la fuente puntual emite su radiacion en una bandamuy diferente a la del resto de superficies En estos casos hay que tratar por separado las dos bandas Si llamamos bandaA a aquella en la que se produce la emisi on de las superficies del recinto y banda B a aquella en la que se produce la

emision de la fuente puntual la potencia total radiante que abandona la superficie 1 serıa q 1 = q 1A + q 1B La banda Ase resuelve con las ecuaciones convencionales del circuito equivalente teniendo en cuenta las fracciones de emision

q 1λA = J 1λA minus J 2λA


J 1λA minus J 3λA

(A1 middot F 13)minus1 =

σT 41 middot F λA minus J 1λA1minusε1λA

A1ε1λA

mientras que en la banda B interviene la fuente puntual

q 1λB = J 1λB minus J 2λB


J 1λB minus J 3λB

(A1 middot F 13)minus1 minus F p1 middot P =

σT 41 middot F λB minus J 1λB1minusε1λB

A1ε1λB

si las superficies estan a una temperatura tal que no emiten casi nada en la banda B entonces las bandas no se solapany F λA = 1 F λB = 0 y las ecuaciones se simplifican

11



510 Planteamiento matricial

En un recinto de N superficies opacas la radiosidad de una superficie i se puede escribir como

J i = εi middot E bi + (1 minus εi)N j=1

F ijF j

si las temperaturas de las superficies son cono cidas tambien se cono ce la emision de cuerpo negro E bi y se puede plantearun sistema lineal de N ecuaciones para resolver las radiosidades Por ejemplo en un recinto de 3 superficies quedarıa

1 minus (1 minus ε1)F 11 minus(1 minus ε1)F 12 minus(1 minus ε1)F 13minus(1 minus ε2)F 21 1 minus (1 minus ε2)F 22 minus(1 minus ε2)F 23minus(1 minus ε3)F 31 minus(1 minus ε3)F 32 1 minus (1 minus ε3)F 33

J 1J 2J 3

=

ε1E b1ε2E b2ε3E b3

una vez resuelto el sistema y conocidas las radiosidades los flujos de calor (W) que abandonan cada superficie i seobtendrıan de un balance de energıa sobre la superficie

q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j

o alternativamente tambien se puede usar la analogıa electrica

q i = E bi minus J i

1minusεiAiεi

Nota 1 En el caso de tener superficies rerradiantes de temperatura desconocida hay que sustituir la ecuacion corres-

pondiente por el balance radiante exterior J i minusN

j=1

F ijJ j = 0 Por ejemplo si la superficie rerradiante fuese la 1 la

primera lınea de la matriz quedarıa (1 minus F 11) minusF 12 minusF 13

J 1

=

0

En general si se desconoce la temperatura de alguna de las superficies su ecuacion debe ser sustituida por alguna otrarelacion que se conozca como un flujo de calor impuesto o un balance de energıa

Nota 2 Aunque la ecuacion para el calculo de q i que procede de la analogıa electrica es mucho mas simple que laecuacion que pro cede de un balance de energıa directo esta ultima puede ser muy practica en casos en los que tengamosun recinto con una superficie gris i que no se ve a sı misma F ii = 0 mientras que el resto de superficies son negras y portanto J = σ T 4 Si todas las temperaturas son conocidas no necesitamos resolver el recinto y calcular la radiosidad J ide la superficie gris para calcular el flujo de calor que la abandona sino que el calculo serıa directo

6 Conversion Estrella Triangulo

En la teorıa de circuitos electricos se hace uso de esta conversion con el proposito de poder simplificar el analisis deun circuito sin que el funcionamiento general de este cambie En la analogıa electrica del intercambio de radiacion sepuede aplicar si se desea

Para pasar de la configuracion triangulo (o delta) a estrella

R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc

Para pasar de la configuracion estrella a triangulo

Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias

[Cengel] YA CENGEL Heat Transfer A practical Approach2ed McGraw Hill 2002

[ItoTSE] MJ MORAN HN SHAPIRO BR MUNSON DP DEWITT Introduction to Thermal System EngineeringJohn Wiley and Sons 2003

[Siegel] R SIEGEL JR HOWELL Thermal Radiation Heat Transfer3ed Taylor amp Francis 1992

8 Historial de cambios

17-ene-2013 primera version20-ene-2013 correcciones y mejoras importantes en la seccion de fuentes puntuales de radiacionanadidas las tablas de factores de forma de fuentes puntuales esfericasanadida la seccion de planteamiento matricial

12-ene-2014 pequena ampliacion de la regla de superposicion28-ene-2014 retoque en la regla de superposicion

ampliacion en el metodo matricial para incluir superficies rerradiantesampliacion en las explicaciones de superficies rerradiantes

13



14



Tabla Cengel 121 Factores de forma para geometrıas 3D

TABLE 12ndash1

View factor expressions for some common geometries of finite size (3D)

L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY

(1 + X 2)(1 + Y 2)mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L

Aligned parallel rectangles

Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )

lnndashndashndashndash ndashndash

ndashndash ndashndash

ndashndash

ndashndash

X mdashmdashmdashndashmdash

(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash

Y mdashmdashmdashndashmdash

(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndash X tanndash1 X ndash Y tanndash1 Y ndashndash ndashndash ndashndashndashndash

ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H

H = Z X and W = Y X Perpendicular rectangleswith a common edge

F irarr j

= W tanndash1 + H tanndash1

1mdashmdashmdashndashmdashmdash

( H 2 + W 2)12ndash ( H 2 + W 2)12 tanndash1

(1 + W 2)(1 + H 2)mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L

Coaxial parallel disks

S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12

W 2W 2(1 + W 2 + H 2)mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

(1 + W 2)(W 2 + H 2)times

H 2 H 2(1 + H 2 + W 2)mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D

Figura Cengel 125 Factor de forma para dos rectangulos paralelos alineados

16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)

Figura ItoTSE 1822a Factor de forma para una pequena superficie coaxial y paralela a un disco

j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j

Figura ItoTSE 1822c Factor de forma para dos rectangulos perpendiculares con borde comun

17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L

Figura Cengel 127 Factor de forma para dos discos coaxiales paralelos

r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2

Figura Cengel 128 Factor de forma para dos cilindros coaxiales

18




TABLE 12ndash2

View factor expressions for some infinitely long (2D) geometries

Parallel plates with midlines

connected by perpendicular line

Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α

Perpendicular plates with a common edge

Three-sided enclosure

Infinite plane and row of cylinders

Inclined plates of equal width

and with a common edge

1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L

[(W i + W j)2 + 4]12 ndash (W j ndash W i)

2 + 4]12

mdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash

2W i

F irarr j

=wi + w j ndash wk mdashmdashmdashmdashmdash

2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j

= 1 ndash 1 ndash ( )

( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19

Solar radiative properties of materials

Solar Emissivity e Ratio Solar

Descriptioncomposition Absorptivity as

at 300 K as e Transmissivity t

s

Aluminum

Polished 009 003 30

Anodized 014 084 017

Quartz-overcoated 011 037 030

Foil 015 005 30

Brick red (Purdue) 063 093 068

Concrete 060 088 068

Galvanized sheet metalClean new 065 013 50

Oxidized weathered 080 028 29

Glass 32-mm thickness

Float or tempered 079

Low iron oxide type 088

Marble slightly off-white (nonreflective) 040 088 045

Metal plated

Black sulfide 092 010 92

Black cobalt oxide 093 030 31

Black nickel oxide 092 008 11

Black chrome 087 009 97

Mylar 013-mm thickness 087

Paints

Black (Parsons) 098 098 10White acrylic 026 090 029

White zinc oxide 016 093 017

Paper white 027 083 032

Plexiglas 32-mm thickness 090

Porcelain tiles white (reflective glazed surface) 026 085 030

Roofing tiles bright red

Dry surface 065 085 076

Wet surface 088 091 096

Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow

Fine particles fresh 013 082 016

Ice granules 033 089 037

Steel

Mirror-finish 041 005 82

Heavily rusted 089 092 096

Stone (light pink) 065 087 074

Tedlar 010-mm thickness 092

Teflon 013-mm thickness 092

Wood 059 090 066

Source V C Sharma and A Sharma ldquoSolar Properties of Some Building Elementsrdquo Energy 14 (1989) pp 805ndash810 and other sources



2 El espectro electromagnetico

Gamma rays

X Rays

Thermal radiation

Infrared

Microwave

Visible

V i o l e t

B l u e

G r e e n

Y e l l o w

R e d

04 07

10ndash5 10ndash4 10ndash3 10ndash2 10ndash1 1 10 102 103 104

( m)λ micro

Ultraviolet

Figura 182 ItoTSE Espectro de radiacion electromagnetica identificando la region de radiacion termica

3 Radiacion de cuerpo negro

31 Emision espectral de cuerpo negro Distribucion de Planck y ley de despla-zamiento de Wien

109

S p e c t r a l e m i s s i v e p o w e r E

λ b

( W m 2

bull

m )

108

107

106

105

104

103

102

101

100

10-1

10-2

10-3

10-4

01 02 04 06 1 2 4 6 10 20 40 60 100

Wavelength ( m)

Visible spectral region

λ max T = 2898 mbullK

Solar radiation

5800 K

2000 K

1000 K

800 K

300 K

100 K

50 K

micro

micro λ

micro

Figura 183 ItoTSE Distribucion espectral de Planck Emitancia espectral de cuerpo negro E bλ en funcion de lalongitud de onda λ Ley de desplazamiento de Wien Longitud de onda a la que la distribucion de Planck tiene sumaximo para una temperatura dada λmaxT = 2898microm middot K

2





E b = σT 4





F (0rarrλ) =

λ0 E λbdλ

σT 4 = f (λT )



T T T

(m K) F (0S) (m K) F (0S) (m K) F (0S)

200 0000000 4000 0480877 8000 0856288

400 0000000 4200 0516014 8500 0874608

600 0000000 4400 0548796 9000 0890029

800 0000016 4600 0579280 9500 0903085

1000 0000321 4800 0607559 10000 0914199

1200 0002134 5000 0633747 10500 0923710

1400 0007790 5200 0658970 11000 0931890

1600 0019718 5400 0680360 11500 0939959

1800 0039341 5600 0701046 12000 0945098

2000 0066728 5800 0720158 13000 0955139

2200 0100888 6000 0737818 14000 0962898

2400 0140256 6200 0754140 15000 0969981

2600 0183120 6400 0769234 18000 0980860

2800 0227897 6600 0783199 20000 0985602

2898 0250108 6800 0796129 25000 0992215

3000 0273232 7000 0808109 30000 0995340

3200 0318102 7200 0819217 40000 0997967

3400 0361735 7400 0829527 50000 0998953

3600 0403607 7600 0839102 75000 0999713

3800 0443382 7800 0848005 100000 0999905



F (λ1rarrλ2) =

λ20 E λbdλminus

λ10 E λbdλ


3



4 Factores de forma

41 Definicion


qirarrj



ni

n j

qi j

Ai T i

A j T j







N

j=1

F irarrj = 1





983090

983091

983089



1

2

3



4














5



Ejemplo Hottel 1


2 timesAB

F ABrarrCD = (radic

52 + 62 +


72 + 62)

2times 12

F ABrarrCD = 025

C D

b = L2 = 5 cm

c = 6 cm

a = L1 = 12 cm

A B

L3

L5 L6

L4

1

2









L2

L1

L5

L3

A

B

D

C

L4

L6


F L1rarrAB = 1

por reciprocidad

F ABrarrL1 =

L1

ABF L1rarrAB =

L1

AB


6





ni

n j

J i = E bi

J j = E bj

qij

Ai T i

A j T j

(a) (b) (c)

E bj

E bi

qij

( AiF ij)ndash1

E b3

E b1

E b2

q1

q13q12

( A1F 13)ndash1( A1F 12)

ndash1


T 41 minus T 42

times

AiF minus1ij


geometrica R12 = 1





q 12 = σ

T 41 minus T 42

1minusε1A1ε1

+ 1A1F 12

+ 1minusε2A2ε2




Q12ε

1

A1

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

J 1

J 2

T 1

ε2

A2

T 2

Q

1

Q

12

Q

2 E b1

E b2

21






7





q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2


q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2


1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)






Concentric Spheres


F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8




1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066






E b = σT 4





F (0rarrλ) =

λ0 E λbdλ

σT 4 = f (λT )



T T T

(m K) F (0S) (m K) F (0S) (m K) F (0S)

200 0000000 4000 0480877 8000 0856288

400 0000000 4200 0516014 8500 0874608

600 0000000 4400 0548796 9000 0890029

800 0000016 4600 0579280 9500 0903085

1000 0000321 4800 0607559 10000 0914199

1200 0002134 5000 0633747 10500 0923710

1400 0007790 5200 0658970 11000 0931890

1600 0019718 5400 0680360 11500 0939959

1800 0039341 5600 0701046 12000 0945098

2000 0066728 5800 0720158 13000 0955139

2200 0100888 6000 0737818 14000 0962898

2400 0140256 6200 0754140 15000 0969981

2600 0183120 6400 0769234 18000 0980860

2800 0227897 6600 0783199 20000 0985602

2898 0250108 6800 0796129 25000 0992215

3000 0273232 7000 0808109 30000 0995340

3200 0318102 7200 0819217 40000 0997967

3400 0361735 7400 0829527 50000 0998953

3600 0403607 7600 0839102 75000 0999713

3800 0443382 7800 0848005 100000 0999905



F (λ1rarrλ2) =

λ20 E λbdλminus

λ10 E λbdλ


3



4 Factores de forma

41 Definicion


qirarrj



ni

n j

qi j

Ai T i

A j T j







N

j=1

F irarrj = 1





983090

983091

983089



1

2

3



4














5



Ejemplo Hottel 1


2 timesAB

F ABrarrCD = (radic

52 + 62 +


72 + 62)

2times 12

F ABrarrCD = 025

C D

b = L2 = 5 cm

c = 6 cm

a = L1 = 12 cm

A B

L3

L5 L6

L4

1

2









L2

L1

L5

L3

A

B

D

C

L4

L6


F L1rarrAB = 1

por reciprocidad

F ABrarrL1 =

L1

ABF L1rarrAB =

L1

AB


6





ni

n j

J i = E bi

J j = E bj

qij

Ai T i

A j T j

(a) (b) (c)

E bj

E bi

qij

( AiF ij)ndash1

E b3

E b1

E b2

q1

q13q12

( A1F 13)ndash1( A1F 12)

ndash1


T 41 minus T 42

times

AiF minus1ij


geometrica R12 = 1





q 12 = σ

T 41 minus T 42

1minusε1A1ε1

+ 1A1F 12

+ 1minusε2A2ε2




Q12ε

1

A1

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

J 1

J 2

T 1

ε2

A2

T 2

Q

1

Q

12

Q

2 E b1

E b2

21






7





q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2


q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2


1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)






Concentric Spheres


F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8




1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




4 Factores de forma

41 Definicion


qirarrj



ni

n j

qi j

Ai T i

A j T j







N

j=1

F irarrj = 1





983090

983091

983089



1

2

3



4














5



Ejemplo Hottel 1


2 timesAB

F ABrarrCD = (radic

52 + 62 +


72 + 62)

2times 12

F ABrarrCD = 025

C D

b = L2 = 5 cm

c = 6 cm

a = L1 = 12 cm

A B

L3

L5 L6

L4

1

2









L2

L1

L5

L3

A

B

D

C

L4

L6


F L1rarrAB = 1

por reciprocidad

F ABrarrL1 =

L1

ABF L1rarrAB =

L1

AB


6





ni

n j

J i = E bi

J j = E bj

qij

Ai T i

A j T j

(a) (b) (c)

E bj

E bi

qij

( AiF ij)ndash1

E b3

E b1

E b2

q1

q13q12

( A1F 13)ndash1( A1F 12)

ndash1


T 41 minus T 42

times

AiF minus1ij


geometrica R12 = 1





q 12 = σ

T 41 minus T 42

1minusε1A1ε1

+ 1A1F 12

+ 1minusε2A2ε2




Q12ε

1

A1

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

J 1

J 2

T 1

ε2

A2

T 2

Q

1

Q

12

Q

2 E b1

E b2

21






7





q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2


q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2


1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)






Concentric Spheres


F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8




1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066















5



Ejemplo Hottel 1


2 timesAB

F ABrarrCD = (radic

52 + 62 +


72 + 62)

2times 12

F ABrarrCD = 025

C D

b = L2 = 5 cm

c = 6 cm

a = L1 = 12 cm

A B

L3

L5 L6

L4

1

2









L2

L1

L5

L3

A

B

D

C

L4

L6


F L1rarrAB = 1

por reciprocidad

F ABrarrL1 =

L1

ABF L1rarrAB =

L1

AB


6





ni

n j

J i = E bi

J j = E bj

qij

Ai T i

A j T j

(a) (b) (c)

E bj

E bi

qij

( AiF ij)ndash1

E b3

E b1

E b2

q1

q13q12

( A1F 13)ndash1( A1F 12)

ndash1


T 41 minus T 42

times

AiF minus1ij


geometrica R12 = 1





q 12 = σ

T 41 minus T 42

1minusε1A1ε1

+ 1A1F 12

+ 1minusε2A2ε2




Q12ε

1

A1

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

J 1

J 2

T 1

ε2

A2

T 2

Q

1

Q

12

Q

2 E b1

E b2

21






7





q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2


q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2


1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)






Concentric Spheres


F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8




1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




Ejemplo Hottel 1


2 timesAB

F ABrarrCD = (radic

52 + 62 +


72 + 62)

2times 12

F ABrarrCD = 025

C D

b = L2 = 5 cm

c = 6 cm

a = L1 = 12 cm

A B

L3

L5 L6

L4

1

2









L2

L1

L5

L3

A

B

D

C

L4

L6


F L1rarrAB = 1

por reciprocidad

F ABrarrL1 =

L1

ABF L1rarrAB =

L1

AB


6





ni

n j

J i = E bi

J j = E bj

qij

Ai T i

A j T j

(a) (b) (c)

E bj

E bi

qij

( AiF ij)ndash1

E b3

E b1

E b2

q1

q13q12

( A1F 13)ndash1( A1F 12)

ndash1


T 41 minus T 42

times

AiF minus1ij


geometrica R12 = 1





q 12 = σ

T 41 minus T 42

1minusε1A1ε1

+ 1A1F 12

+ 1minusε2A2ε2




Q12ε

1

A1

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

J 1

J 2

T 1

ε2

A2

T 2

Q

1

Q

12

Q

2 E b1

E b2

21






7





q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2


q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2


1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)






Concentric Spheres


F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8




1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066






ni

n j

J i = E bi

J j = E bj

qij

Ai T i

A j T j

(a) (b) (c)

E bj

E bi

qij

( AiF ij)ndash1

E b3

E b1

E b2

q1

q13q12

( A1F 13)ndash1( A1F 12)

ndash1


T 41 minus T 42

times

AiF minus1ij


geometrica R12 = 1





q 12 = σ

T 41 minus T 42

1minusε1A1ε1

+ 1A1F 12

+ 1minusε2A2ε2




Q12ε

1

A1

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

J 1

J 2

T 1

ε2

A2

T 2

Q

1

Q

12

Q

2 E b1

E b2

21






7





q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2


q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2


1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)






Concentric Spheres


F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8




1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066






q 12 = A1σ

T 41 minus T 42

1ε1

+ 1minusε31ε31

+ 1minusε32ε32

+ 1ε2


q1 q13 q32 ndashq2

(a)

Radiation

shield

ε31

ε32

A1 T 1 ε1 A2 T 2 ε2 A3 T 3

q1

E b1 J 1 J 31 E b3 J 32 J 2 E b2


1ndashε32______ε32 A3

1ndashε31______ε31 A3


1_____ A1F 13

1_____ A3F 32

(b)






Concentric Spheres


F 12 1

A1

A2

0

F 12 1

A1

A2

r 21

r 22

F 12 1

A1

A2

r 1

r 2

F 12 1

A1 A2 A

q12 A1ε11T 1

4 T 42 2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b2

q12

A11T 1 4 T 2 42

1

ε1

1 ε2

ε2

ar 1r 2

b

q12 A1T 1

4 T 2 42 1

ε1

1

ε2

1(1858)

(1859)

(1860)

(1861)

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

r 1

r 2

r 1

r 2

A1 T 1 ε1

A2 T 2 ε2

8




1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066





1

2

3

ε1 A

1T

1

ε2 A2T 2

ε3 A3T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A

2

F

23


1

A1F 13


1 ndash ε2

A2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2Q

1 Q

12Q

23Q

13

Q

2

Q

3

E b1

E b2

E b3



de superficie


1minusε1A1ε1


q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3






1minusεRA1εR

= 0


J R = GR =N j=1



A R T R ε R

A2 T 2 ε2 A1 T 1 ε1

(a)

Reradiating surface

q1

q1 q2

q R

q2 E b2 E b1 J 1 J 2

E bR

J R = E bR

q1 R q R2




1____ A1F 1 R

1____ A2F 2 R

1____ A1F 12

q R = 0

(b)


9







T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066








T 41 minus T 42


T 41 minus T 43


T 41 minus T 4N

=N j=2


T 41 minus T 4N





q radsup = As





983124983155983157983152

983124983139983145983141983148983151

983111983155983151983148983137983154


10





1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066






1

2

3

ε1 A1

T 1

ε2 A2

T 2

ε3 A3

T 3

1 ndash ε1

A1ε1

R1 =mdashmdashndash

1

A1F 12


1

A2F 23


1

A1F 13


1 ndash ε2 A

2ε2

R2 =mdashmdashndash

1 ndash ε3

A3ε3

R3 =mdashmdashndash

J 1

J 3

J 2

Q1

Q12

Q23

Q13

Q2

Q3

E b1

E b2

E b3

p


middot p




desarrollando

q 1 = J 1 minus J 2


J 1 minus J 3







J 1λA minus J 3λA



A1ε1λA




J 1λB minus J 3λB



A1ε1λB


11






F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066







F ijF j



J 1J 2J 3

=



q i = Ai

εiE bi minus εi

N j=1

F ijJ j



1minusεiAiεi



j=1



J 1

=

0






R1 = RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 = RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 = RaRb

Ra + Rb + Rc


Ra = R1R2 + R2R3 + R3R1

R1

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R2

Rb = R1R2 + R2R3 + R3R1

R3

12



7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




7 Referencias








13



14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




14




TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066





TABLE 12ndash1


L

Y

X

i

j

j

i

r j

r i L

Z

Y X

i

j

2mdashmdash

π XY


1 + X 2 + Y 2

X = X

L

andY

=Y L


Geometry Relation

ndashndash

F irarr j

=

F irarr j

= S ndash ( )



ndashndash

ndashndash


(1 + Y 2)12+ X (1 + Y 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash

ndashndash

ndashndash


(1 + X 2)12+ Y (1 + X 2)12 tanndash1

ndashndash

ndashndash


ndashndash

ndashndash

1mdashndash

πW

1mdash

W

1mdash

H


F irarr j





1 + W 2 + H 21ndash

4+ ln

1 + R j2

mdashmdashndash

Ri2

r jmdash

r i

Ri = r

i L and R

j = r

j L


S = 1 +

S 2 ndash 4

(

)

2 12


(1 + W 2)(W 2 + H 2)times


(1 + H 2)( H 2 + W 2)times

1ndash

2

12

15



10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




10

09

15

0807

06

05

04

03

025

02

01

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

1 0

014016

012

53

1

A2

A1

L2

L1

R a t i o

L 1 D

Ratio L2 D

01 02 03 04 05 06 08 1 2 3 4 5 6 8 10 20

1009080706

05

04

03

02

01

001

002

003

004

005

006007008

009

4

2

018

F 1rarr 2

D


16



L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




L

D

Ai

j

(a)

F ij = D2

D2 + 4 L2( A

i ltlt A

j) (1835)


j

i

X Y

Z Y X =002

005

01

02

04

06

10

15

20 410

20

05

04

03

02

01

001 02 04 06 08 1

(c)

2 4 6 8 10

Z X

F i j


17



5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




5

4

3

2 15

125

10

08

06

05

04r 2 L = 03

r 2 L = 8

6

r 2

r 1

L r 1

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

001 02 03 04 06 10 2 3 4 5 6 8 10

F 1rarr 2

L


r 1 r

2

L r

2 =

L r 2

=

4

2

1

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01

0

0 5

0 25

0 2 5

0 02 04 06 08 1001 03 05 07 09

r 1 r

2

0 02 04 06 08 10

0 5

0 1

1

2

10

08

06

04

02

A1

L

r 1

r 2

A2

F 2rarr 1

F 2rarr 2


18




TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066





TABLE 12ndash2




Geometry Relation

F irarr j

= 1 ndash sin α






1ndash

2

F irarr j

=

W i = w

i L and W

j = w

j L


2 + 4]12


2W i

F irarr j


2wi

j

iwi

w j

L

i

j

wi

j

i

α

w

w

k j

i

i

j

D

w j

w j

wi

wk

s

F irarr j

= ( )w jmdash

wi

1 +w jmdash

wi

1 + ndash

2 121ndash

2

F irarr j


( )

Dmdash

s

Dmdash

s+ tanndash1

2 12

12s2 ndash D2

mdashmdashmdash

D

2

19



20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066




20

























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066


























32









TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066










TABLE Andash19





s

Aluminum

Polished 009 003 30



Foil 015 005 30









Metal plated






Paints









Sand dry

Off-white 052 082 063

Dull red 073 086 082

Snow



Steel






Wood 059 090 066


tablas radiacion v20140128

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