tabla de contenido de anexos - francisco josé de caldas...

Tabla de contenido de anexos

ANEXOS ................................................................................................................. 2

A. EPISODIOS COMPLEMENTARIOS ................................................................... 2

A.1 Matrices Documentales ....................................................................................................................................................... 2

[Ep. 1] Episodio 1. Discurso De La Profesora Sobre La Materia Y Algo Acerca De Funciones ............... 2

[Ep. 2] Episodio 2. Sucesiones y Límites De Sucesiones: Vecindad y uso de épsilon Ԑ y delta δ .......... 5

[Ep. 3] Episodio 3. Corrección de una evaluación sobre sucesiones y límites ........................................... 14

[Ep. 5] Episodio 5. Límites laterales: valores absolutos y funciones segmentadas, y límites al infinito

....................................................................................................................................................................................................... 26

[Ep. 6] Episodio 6. Límite Trigonométrico Y Continuidad De Una Función ................................................ 39

[Ep. 7] Episodio 7. Criterio de continuidad y clases de discontinuidades ................................................... 43

[Ep. 8] Episodio 8. Relación entre continuidad y derivadas mediante la definición y usando

propiedades ............................................................................................................................................................................. 50

[Ep. 9] Episodio 9. Derivación implícita, ecuaciones de recta tangente y recta normal, y derivada de

orden superior........................................................................................................................................................................ 61

[Ep. 10] Episodio 10: Derivada de Orden Superior ................................................................................................ 71

[Ep. 11] Episodio 11: Derivada Y Recta Tangente .................................................................................................. 76

[Ep. 13] Episodio 13: Derivada de Funciones Trascendentes Y Logaritmos .............................................. 83

[Ep. 14] Episodio 14: Funciones Hiperbólicas, Serpiente de Newton ........................................................... 97

[Ep. 15] Episodio 15: Máximos y Mínimos.............................................................................................................. 104

[Ep. 16] Episodio 16: Aplicaciones – Tasa de Cambio ....................................................................................... 113

A.2 Matrices Categoriales..................................................................................................................................................... 123

A.3 ANÁLISIS DE LOS EPISODIOS COMPLEMENTARIOS ....................................................................................... 168

A.3.1 Matrices de Facetas .............................................................................................................................................. 168

B. Intervenciones de Carlos Eduardo Vasco en el Segundo Congreso CIVEOS en diálogo con Juan Díaz Godino ............................................................................ 501

C. PARCIALES - TALLERES .............................................................................. 504

D. ENTREVISTAS ............................................................................................... 518

E. REFERENCIAS SUGERIDAS ........................................................................ 525

ANEXOS

A. EPISODIOS COMPLEMENTARIOS

A.1 Matrices Documentales

[Ep. 1] Episodio 1. Discurso De La Profesora Sobre La Materia Y Algo Acerca De

Funciones

Sg Observaciones Transcripción Actividad Practicas

No verbales: Orales y

Escrito

1 Nota: Observo que hay

18 estudiantes en clase,

al final pregunto

cuántos están inscritos:

46.

Les recomienda el libro

“Las 5 ecuaciones que

cambiaron el mundo”

de Michael Guillen.

Les pregunta cuántos lo

han leído, les advierte

que en el parcial va a

salir una pregunta del

libro, que no leen, los

hace quedar mal pues

dice que nunca hacen

una tarea y les habla del

“dolor” un punto que

sale en el parcial

advirtiéndole varias

veces que va a salir:

punto fijo.

P: [En consideración a mi presencia hace un recuento

de lo que han visto en clase: cita los siguientes temas]:

casos de factorización “porque no nos los aprendimos,

no los manejamos”, propiedades de potenciación,

límites trigonométricos, han trabajado bastante las

funciones trascendentes, las racionales.

P: [Hace énfasis en que hay que entender el concepto

de límite, las funciones y el estudio de gráficas,

sucesiones y funciones Derivadas, aproximación a la

recta tangente]

Proceso de estudio

condicionado a unos

aprendizajes previos

2 P: ustedes confunden radicación con racionalización.

[Escribe la siguientes expresiones en el tablero]

;

P: Les aclara que alguna es ecuación, otras

polinomios, una función, otra igualdad y la última

sencillamente una identidad [Se ve que se esfuerza en

ser clara por mí]. Y todas ellas ¿cómo se llaman?: [Los

Distinción entre

expresiones acudiendo

a definición de objetos

matemáticos.

estudiantes No saben porque no manejan el lenguaje de

la disciplina] Son expresiones.

3 La docente hace

referencia a la

Ingeniería de diferentes

universidades. Habla de

la utilidad y pertinencia

del curso.

[Para aprender además

de derivadas a leer, a

hablar en público]. Dice

que en el curso de

Integral los alumnos

todos asisten y

participan, muy distinto

a este curso tan atípico,

y que allá están

apeñuscados.

P: [Les escribe la función: y pregunta] ¿Qué

pueden decir de esa función? En cuanto a asíntotas

verticales, horizontales, oblicuas (les habla de

Geogebra),

P: Se sale del tema con un comentario: ¿cómo se mide

el estado cultural de un pueblo? (No leen ese libro que

les ha recomendado desde el comienzo del semestre)

P: [Pasa a otro ejemplo: 𝑦 = 𝑥4 + 6𝑥 − 7]

Tiene 3 concavidades, no sabemos cuántos puntos de

corte pero conocemos el Teorema Fundamental del

Algebra.

Si m=0 entonces paralela al eje 𝑋

Si m>0 entonces la línea recta es creciente.

E2: ¿Es oblicua?

P: si 𝑚 < 0 entonces la recta es decreciente y cuando

es paralela al eje “y” entonces la “m” no existe.

P: La pendiente No existe en los indeterminados:

[Confunden “no existe” con los indeterminados: por

ejemplo asumen que 6

0=

0

6

P: Estos son los ángulos de referencia: co-terminales

de cuadrante: 0, 180, 360, 270, para no usar

calculadora porque el último día no se permite

calculadora, pues tienen propiedades similares.

Distinción de

propiedades y

características de las

funciones.

4 Ocupa gran parte de la

clase en un llamado de

atención.

P: Las mayores dificultades las tienen en: Fracciones,

potenciación, radicación, no leer en lenguaje

matemático, no tienen definiciones, por ejemplo para

resolver una cúbica, para factorizar y 2 o 3

sustituciones.

P: En consecuencia, tomamos malas decisiones (no

estudiar) la toma de decisiones es con sus actitudes y

van a repetir o a “terceriar”. La teoría es prioritaria. Si

no tengo la teoría, no hacemos ejercicios, nada tiene

sentido. No van a atención a estudiantes: en todo el

Reflexión en cuanto al

contrato didáctico,

normas socio-

matemáticas y normas

sociales, para justificar

los malos resultados de

las prácticas.

Se busca dar sentido a

los procedimientos

semestre han ido 2 0 3 una sola vez: jamás volvieron

(se queja ante mi presencia, es irónica).

Plantea la tarea, un ejercicio en el tablero:

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

5𝑥2 + 4𝑥

P: ¿Qué tipo de función es?, ¿Tiene factores comunes?,

ni par, ni impar, hagamos el análisis de simetría:

𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)

P: [Pasó al tablero E3 (Gabriel) y trabajó muy bien, ella

le iba corrigiendo pequeñas cosas de escritura: halló

cortes con los ejes, primera derivada,…]

E2: yo hice el parcial, [salió a resolverlo y lo hizo

bien].

P: Usted puede hacer muchas cosas, pero ¿Sirven para

algo?

abordados en el

proceso de estudio

como situaciones

problema de incidencia

en lo cotidiano.

ANÁLISIS DE LAS MATEMÁTICAS IMPLICADAS EN EL EPISODIO

Prácticas matemáticas

La práctica de este episodio básicamente consiste en mostrar la forma en que se va a trabajar la

materia.

Configuración de objetos:

Problemas

P1: 𝑦 = 𝑥4 + 6𝑥 − 7

P2:

P3: 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

5𝑥2+4𝑥

Lenguaje

Verbal

Factorización , funciones, funciones derivadas, racionalización, radicación, paridad, asíntotas

Simbólico

;

Conceptos

Teorema fundamental del algebra

Proposiciones

Previas: algebra fundamental, factorización , racionalización, simplificación de términos,

definición de función

Emergentes: 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

5𝑥2+4𝑥=

1

5+

4𝑥−5

5(5𝑥2+4𝑥)

Procedimientos:

1) paridad: se analiza la función : 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis

𝑦 = 𝑥4 + 6𝑥 − 7 Tiene 3 concavidades.

Razón

Si m=0 entonces paralela al eje 𝑋.


Si 𝑚 < 0 entonces la recta es decreciente y cuando es paralela al eje “y” entonces la “m” no

existe.

La pendiente No existe en los indeterminados. Estos son los ángulos de referencia: co-terminales

de cuadrante: 0,180,360,270, para no usar calculadora porque el último día no se permite

calculadora, pues tienen propiedades similares.

[Ep. 2] Episodio 2. Sucesiones y Límites De Sucesiones: Vecindad y uso de épsilon Ԑ y

delta δ

Sg. Observaciones Transcripción Actividades prácticas

no verbales: Orales y

escritas

1. Esta clase es la

introducción y desarrollo

de límites de sucesiones y

donde se trabaja el

concepto de vecindad

centrada en épsilon.

(Hay en este momento

6:10 de la mañana 16

estudiantes).

P: Recordemos qué es una sucesión.

Ustedes vieron eso en grado once y

además la tarea era leer sobre el tema.

E1: Es una función con dominio en los

números naturales.

P: Muy bien, se nota que has leído. ¿De

dónde estás leyendo?

Contextualización sobre

los contenidos a evaluar

No espera la respuesta

Nos da una lista ordenada

de términos que tienen un

orden pre establecido

como secuencias.

P: 𝐴𝑛 =𝑆𝑒𝑛𝑛𝜋

6 hallar 6 términos

E1: 30, 60

P: ¿qué?

E1: grados

P: ah bueno, grados: 30, 60, 90, 120…

Bueno y si el rango son los Reales pues

pásenlo a Reales.

Ejercicio 1:

𝐴𝑛 =

1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −1,0, −

1

2, −

√3

2, −1, 0

P: Pero no es posible esto si ya hemos

aprendido a calcular 90 ángulos sin

calculadora... hemos perdido el tiempo.

Se demoraron bastante

haciendo la lista y la

rectificaron varias veces

pues había bastantes

errores

2. Escribe en el tablero

CLASIFICACION DE

LA SUCESION

P: Bueno la sucesión ¿es creciente? ¿Es

decreciente? ¿Es alternante?

E1. Es convergente

P: No, por ahora no.

P: Creciente. Julián (Alejo) regálame la

definición

“𝐴𝑛 es una sucesión monótona

creciente si cada término de la sucesión

es ≥ al término anterior. En lenguaje

matemático: 𝐴𝑛 es monótona creciente

si An≤An+1 para todo n Natural

𝐴𝑛 es una sucesión creciente si 𝐴𝑛 < 𝐴𝑛 + 1 para todo n que pertenezca a

los naturales”

P: Alex deme una definición bonita

Silencio

Ella misma escribe la

definición de sucesión

creciente

Silencio

Va a empezar a hablar y

le dice no así no.

empiece: bonita:

E: 𝐴𝑛 es una sucesión monótona

decreciente si cada término de la

sucesión es ≤ al término anterior.

En lenguaje matemático 𝐴𝑛 es

monótona decreciente si 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛 +1 para todo n natural y 𝐴𝑛 es

decreciente si 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛 + 1 para todo

n natural.

3. Manuel: El quinto término de la

sucesión está mal: es positivo

P: Pues revísenlos todos en la

calculadora

P: ¿Eso qué es?

E: Mi celular

P: Eso da vergüenza, eso sirve para

llamar, eso no es una calculadora,

¡saquen una calculadora!

P: Corrijan. Aquí hay un error Manuel.

Escribe en el tablero:

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −

1

2, −

√3

2, −1, −

√3

2, −

1

2, 0

P: ¿Es creciente? ¡No! Porque se coger

cualquier término y debe ser mayor que

el anterior.

¡no!

Entonces no es decreciente.

E1: es alternante

P: Lea la definición de alternante…ella

misma responde “un signo y luego

otro” ¿entonces? ¡No!

Un estudiante saca el

celular y empieza a

hacer las cuentas de los

ángulos: la profesora

enfurece

Se crea un silencio total

Señala 0 es mayor que el

anterior (−1

2 )

4. P: Escribe en el tablero: Oscilante y

trata de distinguir entre oscilante y

alternante. En la oscilante se alternan

las cantidades, es decir van de mayor a

menor y en las alternantes se alternan

los signos. Entonces esta del ejemplo

no es creciente, no es decreciente, es

oscilante.

Punto para el parcial de sucesiones y de

cuáles pues trigonométricas para que

toque pensar: ¡bonito!

Revisión y resumen del

ejercicio.

Punto fijo para el parcial

advierte la profesora:

5. Puso a los estudiantes a

buscar la definición del

límite de una sucesión y

un estudiante la leyó

P: Pero la definición formal no la

conclusión:

“El 𝑙𝑖𝑚 de una sucesión A: es el

numero real L, si dada una vecindad

abierta en L, sólo un número finito de

términos de An queda fuera de ella”.

Bueno, ¿hasta dónde entienden esta

definición?

P: Tenemos problemas con los

cuantificadores, con los porque,

E: No entiendo lo de vecindad hasta la

,

P: Así se estudian las matemáticas: lee,

no entiende, va y busca que es una

vecindad: ¡no es la vecindad del chavo!

P: Escribe en el tablero Definición de

cercanía

Copia en el tablero lo

que le dicta el

estudiante.

Introduce el tema de

límites de sucesiones

Nadie responde

6. Define cercanía entre dos

puntos con el fin de

explicar el concepto de

vecindad para entender la

definición dada de límite

de una sucesión

Dos puntos arbitrarios X e Y sobre la

recta real están cerca si para una

medida épsilon Ԑ (Ex) la distancia entre

ellos es menor que Ԑ, es decir,

escríbanlo matemáticamente…

|𝑥 − 𝑦| < Ԑ

Representación,

solución y búsqueda de

los valores que

satisfacen el problema.

No espera y escribe de

una vez: |𝑥 − 𝑦| < Ԑ

P: para eso vemos desigualdades y

¿cómo se resuelven?

P: Definición de vecindad abierta: Si 𝑎

pertenece a R y Ԑ es una medida (Ԑ >0)

una vecindad abierta con centro en a y

radio Ԑ está formada por todos los

valores x cuya distancia al punto a es

menor que Ԑ. Es decir, me ayudas

Alejo.

Ella misma dice:

Se denota 𝑉Ԑ (𝑎)

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

Luego recordando 𝑉Ԑ (𝑎) se define

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ

𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ

Por eso en las pruebas

PISA y todas esas nos va

mal: no sabemos leer

matemáticas ni sabemos

analizar matemáticas

7. La docente hace la

aclaración: “Los

problemas que ustedes

tienen es suma de

fraccionarios desde los

números hasta las

expresiones y

factorización y eso no son

problemas del cálculo

sino del bachillerato”.

Plante un ejemplo

P:

Ej.: Si a= 21; Ԑ =0,2 defina 𝑉Ԑ (𝑎):

|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

−0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21

20.8 < Ԑ < 21.02

P: ¿Esto qué es? y señala a la

expresión…

¡Un intervalo! Luego una vecindad

abierta es un intervalo abierto. Luego

son todos los x que pertenecen a (20.8,

21.02) abierto.


solución en el tablero

No espera la respuesta,

ella dice:

Señalando los

paréntesis

P: Termínalo Alejo. ¿Era difícil la

tarea? ¡Noo!

P: Volvemos a la definición de límite

de una sucesión a ver qué podemos

entender

8. La docente propone un

ejercicio en el que se

aplique lo que acaba de

explicar

P: Ejercicio: Dada la sucesión

𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛

Hallar 𝑉Ԑ (𝑎) que contenga todos los

términos de la sucesión

9. La docente resuelve el

ejercicio en el tablero.

Clarificación de

propiedades

P:

𝐴𝑛 =𝑛−1

2𝑛 =

0

2,

1

4,

2

6,

3

8,

4

10,

5

12,

6

14,

7

16,

8

18,

9

20,

10

22, …

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 50 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠49

100

= 0.49

P: ¿A qué tienden? ¿A qué se acercan?

Tienes que buscar al a y el Ԑ (épsilon)

P: Como todos los términos de la

sucesión se acercan al valor 0,5 se

toma este como centro de la vecindad.

Me falta buscar el Ԑ (épsilon)

P: Se ubican los términos de la

sucesión en una recta real, ¿cuál es Ԑ

épsilon?

Luego Ԑ mayor que 0.5, tomando Ԑ

=0.6

Dibuja la recta en el

tablero y ubica sobre

ella a -1, -0.5, 0, 0.5, 1 y

negrea el pedacito antes

de 0.5

10. Explicación de la

descomposición de

expresiones en factores

primos y asíntotas

verticales/horizontales

.

Luego 𝑉Ԑ (𝑎) es

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6

−0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

Borró y escribió

entonces Ԑ > 0

La docente realiza

gráficas de las funciones

Resolución de

inquietudes, clarificación

de propiedades y

definiciones.

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

en el tablero para

explicar las asíntotas.

11. Corroboración de una

propiedad mediante la

ejecución del

procedimiento

(Validación)

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51

0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Tarea:

Si 𝐴𝑛 =𝑛−1

2𝑛 con a =

1

2

Se elige un Ԑ=1

8 desde que termino de

|𝑥 −1

2| <

1

8

−1

8< 𝑥 −

1

2<

1

8

−1

8+

1

2< 𝑥 <

1

8+

1

2

3

8< 𝑥 <

5

8



La práctica de este episodio básicamente consiste en demostrar y calcular límites de

sucesiones y de funciones


Problemas

P1:

Si a= 21; Ԑ =0,2 defina 𝑉Ԑ (𝑎)

P2:

𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛

Hallar 𝑉Ԑ (𝑎) que contenga todos los términos de la sucesión

Lenguaje

Verbal: límite, épsilon, sucesión, enteros, Vecindades

Simbólico: 𝑉Ԑ (𝑎); |𝑥 − 𝑎| < Ԑ; An

Conceptos: Vecindades, Sucesiones

Proposiciones

Previas:

Se denota 𝑉Ԑ (𝑎) : |𝑥 − 𝑎| < Ԑ |𝑥 − 𝑎| < Ԑ

−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ

𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ

Emergentes:

1)

|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

−0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21

20.8 < Ԑ < 21.02

2)

Ԑ tiende a 0.5

↓


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6

−0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51

0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Procedimientos: Función creciente, función decreciente, función convergente, función

divergente, valor absoluto, operaciones con fracciones.

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis: Si a= 21; Ԑ =0,2 defina 𝑉Ԑ (𝑎)

Razón:

|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

−0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21

20.8 < Ԑ < 21.02

Argumento 2:

Tesis:

𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛


Razón:

Ԑ tiende a 0.5

↓


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6

−0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51

0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

[Ep. 3] Episodio 3. Corrección de una evaluación sobre sucesiones y límites

Sg. Observaciones Transcripción Actividad Practicas


Escrito

1 El lunes anterior hizo parcial

y va a resolverlo, para lo

cual pregunta sobre la

1-P: ¿Quien trajo la fotocopia del parcial?

fotocopia del parcial pero

ningún estudiante la tiene, ni

le responden.

(Hay en este momento 6:10

de la mañana 8 estudiantes).

Ahora indaga por los temas

vistos y que irán al examen

final

¿Hasta lo que hemos visto qué creen que va

para el examen final?

2-E1: Graficación, continuidad, límites,…

3-E2: Por ejemplo una función racional que

sea discontinua y analizar la

discontinuidad.

4-P: no, no no, eso no son temas gruesos.

5-P: Queda un mes de clase y ni siquiera

tienen los objetivos claros del curso mucho

menos dar 10 puntos para el examen.

Contextualización

sobre los contenidos a

evaluar

A la maestra no le

gusta lo que responden

porque no son temas

gruesos

2 Se retroalimenta la solución

del parcial punto por punto

P: Bueno ¿Cómo les fue en el parcial?, ¿Qué

decía el primer punto la función sinusoidal?

[Y fue avisado], el segundo punto fue de

sucesiones: hallar una vecindad abierta que

contuviera todos los términos de una

sucesión y clasificarla. Tercer punto: dada

una función con el valor del límite y tenía

que demostrar: ninguna era cierto pero tenía

que demostrar con épsilon y delta.

Reconstrucción del

parcial como objetivo

de enseñanza y

refuerzo

3 Ella va por la lista, se demora

tres minutos y se pone

resolverlo en el tablero. [se

impacienta mucho porque no

arrancan (los estudiantes) a

trabajar, entonces ella

termina haciendo todo en el

tablero]

Un estudiante lo hace en la

hoja y ella dice bien, eso era

todo el primer punto y lo

importante era que en la

gráfica se viera el desfase.

P: dada la función 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 −

𝑓𝑖) para x entre –𝜋

2 y 2𝜋

Amplitud: -4; Periodo 𝑇 =𝜋

3

Desplazamiento de fase 𝜋

3 a la derecha,

determinar la representación simbólica de la

función senosoidal.

“Desfase”: 𝑤𝑥 − 𝑓𝑖 = 0 (Así escribió en el

tablero a cambio de desfase)

𝑋 = 𝜋 /𝑤; 𝜋

3 =

𝜑

6; 𝜑 = 2 𝜋

𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋)

Periodo inicial: 6𝑥 − 2 𝜋 = 0

Primer ejercicio

𝑋 = 𝜋

3= 60 grados, entonces va a terminar

en 2 𝜋

3, porque periodo final 6𝑥 − 2 𝜋 =

2 𝜋

𝑋 = 2𝜋

3

4 La docente repite la

dinámica del primer punto y

lo resuelve sin intervención

directa de los estudiantes

P: Listo segundo punto: una sucesión 𝐴𝑛 =1−2𝑛

5𝑛= −

1

5, −

3

10, −

5

15, −

7

20, −

9

25… . 𝑛 =

20 −39

100

Como todos los términos tienden a −0.4

entonces 𝑎 = −0,4

- Luego: 휀 > 0,2 y ahí se acabo el

ejercicio porque usted toma el épsilon

que quiera, por ejemplo yo tomé 휀 > 0,3

se tiene que épsilon (a) definida

como |𝑥 − 𝑎| < 휀, tal que:

- |𝑥 − (−0,4)| < 0,3, entonces |𝑥 +

0,4| < 0,3

−0,3 < |𝑥 + 0,4| < 0,3

…. Por lo tanto x pertenece a (-0.7, -0.1)

Revisión segundo

punto

5 La docente orienta el

devenir de la clase,

indicando la solución al

siguiente punto.

Un alumno pregunta si podía

hacer otro proceso [no

registrado], Ella responde si

pero se demora y son 5

puntos tiene que asegurarse

la pasada del parcial no se

casen con ningún punto.

P: El siguiente punto: 𝐴𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) +

𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋

2) desarrolla algunos términos de la

sucesión ,los reemplaza y le da:

𝐴𝑛 = 1 + 0, 0 − 1, −1 + 0, 0 + 1, 1 +

0, 0 − 1, … Que eso es otra vuelta y esos son

los primeros seis términos que te

preguntaban.

P: Ahora preguntaba también el límite:

lim𝑛→∞

𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄

Porque ¿cuál es el límite de una sucesión?;

es el valor al cual se acercan sus términos,

¿a qué se acercan esos términos?… ¿a nada?

Revisión tercer punto

Ahora si clasifica la sucesión. Clasifique la

sucesión: es oscilante, acotada

superiormente por el valor 1 y acotada

inferiormente por -1.

6 Siguiente punto un alumno

dice la demostración y ella

dice “la demostración

“bonita””.

La docente afirma que “El

tercer punto era su dolor de

cabeza pues no sabemos

factorizar”

P: Demostrar que

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35

∀휀 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0

tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀, siempre que 0 <

|𝑥 − 𝑎| < 𝛿

Para todo 휀 > 0,

∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4− 35|< 휀, siempre

que 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿

Factoriza el 5 factor común, 5(𝑥2 − 8𝑥 +

16), luego la cuadrática…..5x-20< 휀.

Así que 5(𝑥 − 4) < 휀, por lo tanto (𝑥 −

4) <𝜀

5

Por lo tanto termina escribiendo

formalmente la definición con 휀 y

𝛿 encontrados.

Representación,


los valores que


7 La docente hace la

aclaración: “Los problemas

que ustedes tienen es suma

de fraccionarios desde los

números hasta las

expresiones y factorización y

eso no son problemas del

cálculo sino del

bachillerato”.

La docente interviene para

señalar a sus estudiantes:

“pero a ver no pongan cara

de inteligente y esperan a que

yo lo haga”.

P: El último punto proponía calcular los

siguientes límites:

lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1

¿Qué es lo primero que tengo que hacer?

E1: evaluar el límite,

P: te da 0/0 y eso no da cero, eso es un

indeterminado.

E1: ¿Qué es un indeterminado? Es

cuando…

Finalización de la

revisión del parcial.

Retroalimentación

sobre los límites,

indeterminaciones y

procesos para eliminar

la indeterminación.

P: No, no diga así es cuando no. Dé una

definición.

E2: No es tal cosa, no eso tampoco. Es una

expresión matemática que no representa un

único número real 0/0, infinito/infinito.

P: ¿Cuál es el resultado de un límite?: Un

número real, y si no existe que te da un

indeterminado, eso es un problemita, ¿Qué

tiene que hacer? No, no factorizar, buscar la

forma de quitar el indeterminado.

Cuando se da cuenta que quito el

indeterminado, cuando reemplaza arriba y

abajo y ya le da un número. Cuando

simplifique evalúelo y de pronto ya no está

indeterminado y sigue.

8 La docente señala la

similitud entre el ejercicio

de clase y el del parcial.

Salida y reingreso de un

estudiante del baño

P: Tengo que quitarme de encima ese

indeterminado, no es racionalizando porque

no hay una raíz, se tiene que factorizar.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1

𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1

P: Lo vamos a hacer por división sintética:

las posibles raíces son: ±1 y ±3 otra vez con

nuestro amigo Rufini prueba con 1 y

funciona entonces -1 es raíz y arma el factor

y en el nuevo polinomio intenta con 1 y

funciona entonces vuelve a escribir los

factores (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

Ahora el denominador posibles raíces ±1

Intenta con 1 y funciona, llegando a

(𝑥 − 1)3 (𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)

Explicitación del

procedimiento para

salir de la

indeterminación.

lim𝑥→1

(𝑥 + 3)

(𝑥 + 1)=

4

2= 2

Proceso realizado por un estudiante

Aplicando división sintética

Lo que obtuvo

Proceso que realizo un estudiante por aparte

Corrección en el tablero

9 La profesora da respuesta a

las dudas de sus estudiantes

sobre casos específicos o

condiciones especiales de

las expresiones.

E1: Profe si bastaba con factorizar una parte

de la expresión?

P: puede no quitarse la indeterminación por

eso hay que factorizar hasta su forma más

mínima.

Clarificación de

propiedades

10 La profesora realiza gráficas

de las funciones en el

tablero para explicar las

asíntotas.

P: Vamos al último punto: trazar la gráfica

de la función. Les pregunta algunas cosas

para identificar antes de empezar: ¿tiene

factores comunes? Entonces la factoriza,

simplifica (x-3) y le queda

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1), 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

Explicación de la

descomposición de

expresiones en

factores primos y

asíntotas

verticales/horizontales.

Resolución de

inquietudes,

clarificación de

propiedades y

definiciones.

P: Hablemos de los cortes con los ejes, corta

al eje x cuando se hace la función igual a

cero siempre y cuando no tenga factores

comunes, algunos dicen no tiene, miren

bien, la asíntota horizontal la saca

relacionando los grados de los polinomios

entonces como son del mismo grado tiene

asíntota horizontal y tiene asíntota vertical.

P: [Realiza una serie de aclaraciones] una

asíntota en la recta no tiene sentido, [los

regaña] tiene que ser de la forma x=-1. Traza

la gráfica como le quedo la gráfica.

E1: ¿x=3 es también asíntota?

P: No porque como ese valor no lo puede

tomar. Pues sí pero revisa la teoría, las

Divagan, dice que hay un

vacío.

La profesora sigue

dibujando la gráfica.

asíntotas se miran donde la función esté

simplificada. Entonces tracen la gráfica

P: [Dibuja en el tablero las dos asíntotas y

pregunta] ¿van punteadas o no? ¿Punteadas

porque¨?

E1: Porque no hace parte de la grafica

P: ¿Qué es una asíntota?,

P: Sigue dibujando la gráfica. Listo ya tracé

la gráfica que decía el ejercicio. Calcular el

límite al infinito de f(x); en los límites al

infinito se definen asíntotas y los límites

infinitos definen asíntotas verticales.

P: Para resolver ese indeterminado tiene que

dividir entre la mayor potencia mayor de x,

bueno divide entre 𝑥2 y simplifica dando 1.

11

E2: ¿Qué sucede cuando en el límite x

tiende a -1?

P: Evalúa el límite te tiene que dar que no

existe porque ahí hay una asíntota, pero

verifiquemos eso: lo hace por reemplazo

directo y le da sobre cero entonces no

existe.

lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→−1

𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

lim𝑥→−1

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1)= lim

𝑥→−1

𝑥+2

𝑥+1=

1

0= 𝑁. 𝐸

Corroboración de una

propiedad mediante la

ejecución del

procedimiento

(Validación)





Configuración de objetos :

Problemas

P1:

Determine la representacion simbolica de la funcion senosoidal de la forma

𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) para x entre –𝜋

2 y 2𝜋

,

𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = −4,

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑇 =𝜋

3, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒

𝜋

3 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

P2:

𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑 𝑉𝜀(𝑎)𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛

𝐴𝑛 =1−2𝑛

5𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 휀

P3: 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛:

𝐴𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝑛,

P4: Calcule: lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)

P5: Clasifique la sucesión: 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)

P6: Si lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35 utilizando la definición formal de límite de una función, es

cierto afirmar que para un 휀 > 0 el valor de 𝛿 es:

P7: Calcular el siguiente límite:

lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1

P8: Trazar la gráfica de la función: 𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3 y determinar lim

𝑥→∞𝑓(𝑥)



𝑥→−1𝑓(𝑥)

Lenguaje

Verbal:

Función sinusoidal, Limite, , indeterminación, factorización, sucesiones, vecindad

abierta, épsilon, delta, demostración, Numero Real, racionalización, asíntota, gráfica

Amplitud, periodo, desfase, Regla de Rufini, sucesión oscilante, sucesión acotada

superiormente, sucesión acotada inferiormente.

Términos de una sucesión, clasificación de sucesiones, desplazamiento de fase,

representación simbólica, indeterminado, división sintética, función, cortes con los ejes,

división entre mayor potencia.

Simbólico

lim𝑛→∞

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ; 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) ; 𝑉𝜀(𝑎); 휀 > 0; 𝐴𝑛 =

1−2𝑛

5𝑛; 𝛿 𝐴𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 (

𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) ; ; 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑇 =

𝜋

3 ; lim

𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1 ;

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3

Conceptos

Vecindad, función trigonométrica, límite de sucesiones, límite de funciones, concepto de

límite con 휀, 𝛿, Gráficas de funciones racionales, límite indeterminado de tipo 0/0

Proposiciones

Previas

Para las funciones continuas lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) (implícita)

Términos de una sucesión, periodo, fase, sucesión oscilante, sucesión acotada

superiormente, sucesión acotada inferiormente, evaluación de senos y cosenos de

ángulos especiales, algún significado de 휀 𝑦 𝛿, cálculo de límites por factorización.

Emergentes:

La representación simbólica de la función 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) es

𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋) Periodo inicial: 6𝑥 − 2 𝜋 = 0 ; 𝑋 = 𝜋

3= 60

grados, termina en 2 𝜋

3, porque periodo final 6𝑥 − 2 𝜋 = 2 𝜋 ; 𝑋 = 2

𝜋

3

𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑 𝑉𝜀(𝑎)𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛

𝐴𝑛 =1 − 2𝑛

5𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 휀 𝑒𝑠:

휀 > 0,3: |𝑥 − 𝑎| < 휀, tal que |𝑥 − (−0,4)| < 0,3, entonces |𝑥 + 0,4| <

0,3 −0,3 < |𝑥 + 0,4| < 0,3 …

lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄

la sucesión: 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) es oscilante, acotada superiormente por el

valor 1 y acotada inferiormente por -1

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35 , ∀휀 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑 > 0, 𝑑 <

𝜀

5

lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1= 2

lim𝑥→−4

1

√13+𝑥−

1

3

𝑥+4 = -

1

18

Procedimientos:

Cálculo de límites por evaluación

Racionalización

Cálculo de límites indeterminados del tipo 0/0

1) Evaluar la función en x=a

2) En caso de tener una indeterminación hay que expresar la función de una forma

diferente (hay que hacer un tratamiento usando propiedades)

3) Volver a evaluar para ver si desparece la indeterminación

4) En caso contrario hay que volver a hacer un tratamiento usando propiedades

5) Reemplazo de términos.

6) Despeje de ecuaciones,

7) Encajar y comparar épsilon,

8) Planteamiento y despeje de inecuaciones con valor absoluto,

9) Factorización,

10) División sintética,

11) Trazar asíntotas y graficar.

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis:

lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄

Razones: Porque ¿cuál es el límite de una sucesión?; es el valor al cual se acercan sus

términos, ¿a qué se acercan esos términos?… ¿a nada?

Argumento 2:

Tesis: ∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4− 35|< 휀, siempre que 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿

Razones: Factoriza el 5 factor común, 5(𝑥2 − 𝑥 − 20), luego la cuadrática…..5x-20 < 휀.

Así que 5(𝑥 − 4) < 휀, por lo tanto (𝑥 − 4) <𝜀

5

Por lo tanto termina escribiendo formalmente la definición con 휀 y 𝛿 encontrados.

Argumento 3:

Tesis:

lim𝑥→1


𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1 = lim

𝑥→1

(𝑥−1)3(𝑥+3)

(𝑥−1)3(𝑥+1) = lim

𝑥→1

(𝑥+3)

(𝑥+1)=

4

2= 2

Razón: División sintética: las posibles raíces son: ±1 y ±3. (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 −

3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

Argumento 4:

Tesis: 𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1), 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑓(𝑥) =

𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

Razón: Por factorización de cada trinomio que compone el numerador y el denominador,

y luego por la simplificación del factor común. Capitulo V. Episodio 1. Segmento 10.

Línea 3-4-5 “¿tiene factores comunes? Entonces la factoriza, simplifica (x-3) y le queda.”

[Ep. 5] Episodio 5. Límites laterales: valores absolutos y funciones segmentadas, y

límites al infinito



Escrito

1 Esta clase es la

presentación de

algunos límites

especiales.



estudiante).

P: En el parcial te voy a poner límites de

funciones racionales que por ejemplo el

numerador sea de grado 4 y el denominador de

grado 5 y que estén obligados a usar a nuestro

amigo Ruffini

Contextualización

sobre los contenidos a

evaluar

No espera la respuesta

Se demoraron bastante

haciendo la lista y la

rectificaron varias

veces pues había

bastantes errores.

2 En esta clase vamos a

trabajar límites

especiales y limites

unilaterales.

P: Cuando es nuestro segundo parcial?

E1. En la semana 10

P: jajaja y cuando es la semana 10 porque qué tal

que sea la semana entrante y ustedes ni

idea…bueno están avisados

P: Límites laterales. Qué sabe de limites laterales?

Porque ustedes todos son repitentes o sea colegas

de nosotros, así que niña no leyó, a ver Alejo léeme

la definición.

P: En el tablero:

LIMITES LATERALES

Una condición necesaria y suficiente para que

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) exista es que:

i) lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 y

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎

ii) lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)

Ejercicio:

Silencio


definición de sucesión

creciente

Silencio

Va a empezar a hablar y

le dice no así no

empiece: la definición

bonita:

Dibuja la gráfica en el

tablero y va diciendo

que como esto va para

el parcial no quiere

rectas de palitos sino

rectas reales con

valores y todo.

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }

P: Qué pasa cuando x toma valores cercanos a 0

por la izquierda a qué se acerca… a -2

P: Qué pasa cuando 𝑥 toma valores cercanos a 0

por la derecha a qué se acerca… a qué se acerca

…Alejo a 0

Ella misma responde...

le gana a Alejo

Inmediatamente

empieza a escribir:

-8

-6

-4

-2

0

-6 -4 -2 0

Y = X-2

0

10

20

30

0 2 4 6

Y = X2

P: Bueno eso lo miraron gráficamente pero no

todos se pueden graficar entonces háganlo

analíticamente

P: Como la función es segmentada se analizan los

limites laterales.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}

Analizar lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

Dibuja la gráfica en el tablero

3 Plantea otro ejercicio

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2| Se crea un silencio

total Como no saben

cómo escribir la

función por trozos les

dice que no saben

hacer la plana de valor

absoluto toca pensar y

no repetir como….

Foto

P: qué toca hacer cuando hay valor absoluto

Alguien dice por ahí: redefinirla

P: eso redefinirla porque es una función

segmentada. Es que empiezan a factorizar y hacer

cosas a la loca sin pensar y por esos repiten y

repiten la materia y se vuelven a encontrar con

nosotras

P: Como es una función segmentada se analizan

limites laterales

Por favor simplificar

no es tachar ojo no

tachen!!!!

Tienen que concluir

algo por favor

Como los limites laterales son diferentes entonces

el limite no existe

4 Límites al infinito P: ! Ahora qué otro limites existen… Límites al

infinito.

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

P: Siempre lo primero que tiene que hacer es

evaluarlo. Nadie responde

Escribe = ∞ − ∞

P: Qué se hace?

P: Hacer la resta

P: Ella misma dice cuál es el común

denominador?

Solución:

lim𝑥→1

(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)

lim𝑥→1

(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = lim

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2

FOTO

Habla de un taller ya

no de sucesiones sino

de funciones.

Esos son los problemas

que ustedes tienen y no

los han superado por

pereza porque no han

querido

Ojo con los paréntesis

porque ahí es que

ustedes la embarran

5

Es una lástima que

ahora no se vean

límites de funciones

hiperbólicas porque

uno se levanta por la

mañana y qué ve un

cable pues eso es una

función hiperbólica ,

los puentes de San

Francisco también

puso a los estudiantes a

buscar la definición del

límite de una sucesión

y un estudiante la leyó

Ahora Limites al

Infinito

P: Escribe en el tablero Objetivo: Se analiza el

comportamiento de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando

𝑥 toma valores arbitrariamente grandes (o

pequeños) es decir cuando x tiende a ∞ (ó x

tiende a −∞)

P:

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2

Qué es lo primero que uno tiene que hacer cuando

va a graficar?

Hablemos de las asíntotas no tiene oblicuas, tiene

horizontal cual es, tiende asíntotas verticales que

hay hacer el denominador cero, no tiene solución

en los reales, así que no tiene asíntotas verticales,

entonces halle la horizontal. Y los puntos de corte

con los ejes? Para sacar el punto de corte en el eje

x que hace?

Pues igualar la función a 0, el numerador a 0,

entonces (0,0) es punto de corte porque evalúa la

función en 0 y le da 0, Si o no?

Cuantas neuronas perdimos?

Grafica

Que no les vaya a pasar

como los que hicieron

el puente que hace

poquito se cayó sin

estrenarlo es que tenía

la calculadora en

radianes y no en

grados. Oiga

Silencio

Silencio

Que puedes hablar de esa grafica… que tiene una

asíntota horizontal en y= 3

Recordando….

Esos límites como se

resuelven Alejo?

Dividiendo entre la

mayor potencia muy

bien

6 Límites Infinitos

P: Límites Infinitos

lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3

evalúalo Alejo

=2(−3)

−3 + 3= −

6

0 𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

P: Objetivo: Se analizará el comportamiento de la

función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a -3 ( se

aproxima)

Representación,


los valores que


Vuelve al ejercicio

A un valor determinado y los valores de 𝑓 se

hacen arbitrariamente muy grande o muy

pequeños.

P: Grafica a mano alzada habladita primero, tiene

asíntotas, puntos de corte (0,0) Asíntota

horizontal en 𝑦 = 2 vertical en 𝑥 = −3…

Entonces quedan unas regiones donde va a haber

gráfica y va reduciendo las regiones donde va la

grafica

Por eso en las pruebas

PISA y todas esas nos

va mal: no sabemos

leer matemáticas ni

sabemos analizar

matemáticas


aclaración: “Los


tienen es suma de


números hasta las

expresiones y

factorización y eso no

son problemas del

cálculo sino del

bachillerato”.

Plante un ejemplo






Problemas

Graficar la siguiente funcion a trozos

𝐏𝟏

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }

P2: 𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑐𝑒

lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

P3: 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑥𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|

P4: 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

P5: 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2

P6: 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3

Lenguaje

Verbal:

Límites de funciones racionales, Regla de Ruffini, Limites laterales , Limites al

infinito, indeterminación, factorización, Función segmentada, Función a trozos, Valor

Absoluto, demostración, Numero Real, racionalización, asíntota, asíntota horizontal y

vertical gráfica

Simbólico

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }; lim

𝑥→2|

𝑥2−4

𝑥−2|; lim

𝑛→∞𝑓(𝑥) ; lim

𝑥→1(

2𝑥

𝑥2−1−

1

𝑥−1); lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→0

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2+2; lim

𝑥→−3

2𝑥

𝑥+3

Conceptos

Función trigonométrica, Regla de Ruffini, límite de funciones, limites laterales ,

Gráficas de funciones racionales, valor absoluto, límite indeterminado de tipo 0/0 y de

tipo a/0

Proposiciones

Previas

Limites laterales

Una condición necesaria y suficiente para que

lim𝑥→𝑎


i) lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑥𝑠𝑡𝑎 y lim𝑥→𝑎−


ii) lim𝑥→𝑎+


𝑓(𝑥)

Los límites al infinito se resuelven dividiendo por la mayor potencia de x.

Emergentes:

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = −2 ; lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = 0

𝑐𝑜𝑚𝑜 lim𝑥→0−

≠ lim𝑥→0+

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim𝑥→0

𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 (No explicito)

lim𝑥→2

|𝑥2−4

𝑥−2| 𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2−1−

1

𝑥−1) =

1

2

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2+2= 3

lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥+3 = No Existe

Procedimientos:

1) Cálculo de límites por evaluación

2) Calculo de limites por análisis de limites laterales

3) Racionalización

4) Cálculo de límites indeterminados del tipo 0/0 o a/0

5) Factorización

6) Racionalización

7) Regla de Ruffini

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis:

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1) =

1

2

Razón:

lim𝑥→1

(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)

lim𝑥→1

(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = lim

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2

Argumento 2:

Tesis

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2| = 𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Razón

lim𝑥→2+

(𝑥2 − 4

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2+(

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2+(𝑥 + 2) = 2 + 2 = 4

lim𝑥→2−

− (𝑥2 − 4

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2−− (

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2−−(𝑥 + 2) = −(2 + 2) = −4

Como los limites laterales son diferentes, lim𝑥→2

|𝑥2−4

𝑥−2| = 𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Argumento 3:

Tesis

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2= 3

Razón

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2(÷ 𝑥2) = lim

𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2

𝑥2

𝑥2 +2

𝑥2

= lim𝑥→∞

3

1 +2

𝑥2

= 3

Argumento 4:

Tesis

lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3= No Existe

Razón

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑥𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = −3: 2(−3)

−3 + 3= −

6

0

[Ep. 6] Episodio 6. Límite Trigonométrico Y Continuidad De Una Función


No verbales:

Orales y Escrito

1 Fui a sacarle fotocopia a los

parciales ya corregidos por

ella pues los iba a entregar. Se

demoró demasiado el señor de

la fotocopiadora entonces ella

empezó sin mí.

Entré a las 6:35 a.m. hay 14

estudiantes. Tomo la foto de lo

que hay en el tablero, y ella

amablemente me

contextualiza: está

desarrollando un taller que

anexaré a este protocolo y me

muestra un taller que ella

aplica en la Universidad

Tadeo para realizarlo en

Geogebra: también lo anexaré

uno sin resolver

Alzaron la mano dos

estudiantes

En el tablero:

lim𝑥→

𝜋3

𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋3)

1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅

(𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎)

lim𝑥→

𝜋

3

𝑠𝑒𝑛 (𝑥−𝜋

3)

1−2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋3

12 sen 𝑥 −

√32 cos 𝑥

1 − 2 cos 𝑥=

1

2

sen 𝑥 − √3 cos 𝑥

1 − 2 cos 𝑥

1

2

(sen 𝑥 − √3 cos 𝑥) (sen 𝑥 + √3 cos 𝑥)

(1 − 2 cos 𝑥) (sen 𝑥 + √3 cos 𝑥)

1

2

(sen2 𝑥 − 3 cos2 𝑥)(1 + 2 cos 𝑥)

(1 − 2 cos 𝑥)(1 − 2 cos 𝑥) (sen 𝑥 + √3 cos 𝑥)

1

2

(sen2 𝑥 − 3 cos2 𝑥)(1 + 2 cos 𝑥)

(1 − 4 cos2 𝑥) (sen 𝑥 + √3 cos 𝑥)

(1 − 2 cos 𝑥) (12 +cos 𝑥) (1 + 2 cos 𝑥)

(1 − 2 cos2 𝑥) (1 + 2 cos 𝑥) (sen 𝑥 + √3 cos 𝑥)

(1 + 2 cos 𝑥)

sen 𝑥 + √3 cos 𝑥)

Representación

simbólica de los

ejercicios mediante

un registro en el

tablero

Me dice que está

preparando el

terreno para empezar

continuidad y que va

a hacer clase los

sábados porque

siente que va

atrasada pues queda

1 mes de clases.

Los estudiantes

revisaron el parcial y

nadie hizo un

reclamo, nadie

preguntó cuánto

valía cada punto,

nadie nada.

P: Hay dos exposiciones pendientes, ¿Quién

las quiere?

P: En la próxima clase tienen los temas y pasan

al tablero en el momento que quieran.

2 La docente aclara como

objetivo de las clases

siguientes el estudio de la

continuidad.

Pinta una gráfica polinómica

en el tablero que corta al eje x

en los puntos a y b

P: Intuitivamente ¿Qué es algo continuo para

ti?, [Hace alusión al parcial y pide que le dicten

(le regalen) la función del parcial]: Se la dictan

y ella dice: pues bien aquí tenemos la gráfica

de la función y ser continua significa que cada

punto de la gráfica tiene su imagen, existen

todos los valores reales de los puntos del

dominio.

P: Analice si la función tal, es continua, sin

acudir a la gráfica, entonces observen el

denominador: ¿Qué me pueden decir de esta

función? [Procede a la descomposición de la

expresión en factores primos]

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝐹(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

P: ¿Entonces intuitivamente puedo decir que

esa función de la que se hizo la gráfica, no es

necesariamente la misma de la fórmula?,

Presenta tres cortes con el eje x, (le pone

coordenadas a los puntos “a” de corte: -1, 2 y

4) y entonces los hace decir a que es igual 𝑓(𝑥)

en factores:

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4).

Inicio del proceso de

estudio sobre la

continuidad

Asociación entre las

propiedades

expresadas

simbólicamente y la

representación

gráfica de funciones

3 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)

P: Por ser de grado tres tiene dos

concavidades. [condiciona las afirmaciones de

los estudiantes],

Dominio: todos los reales en la gráfica,

pregunta si es igual en la formula.

Estudio a

profundidad de las

propiedades de una

función

P: [Indaga cuáles son los cortes con los ejes X

y Y], [Indaga sobre las asíntotas de 𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1]

P: ¿cuál va a ser la asíntota horizontal x o y?

Para señalar las asíntotas deben explicitar no

solo el número 1, sino y=1.

P: Tiene asíntota horizontal, pregunto ¿tiene

asíntota vertical? Tienen que mirar en la

función sin factores comunes por eso solo

tiene una que es x=-1 [las va pintando en el

tablero].






Problemas

P1:

𝑙𝑖𝑚𝑥→

𝜋3


1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥

P2:

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3

P3: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)

Lenguaje

Verbal

Limites, continuidad, análisis de funciones, puntos de corte, concavidad, dominio,

asíntota horizontal, asíntota vertical, descomposición en factores primos.

Simbólico

𝑙𝑖𝑚𝑥→

𝜋

3

𝑠𝑒𝑛(𝑥−𝜋

3)

1−2𝑐𝑜𝑠𝑥;

0

0; 𝑓(𝑥) =

𝑥2−𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1); 𝑓(𝑥) =

𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

Conceptos

Limites, continuidad.

Proposiciones

Previas:

Definición de limite

Formas indeterminadas de limite

Dominio

Concavidad

Emergentes:

𝑙𝑖𝑚𝑥→

𝜋3


1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥=

0

0= ∅

(𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎)

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

𝑥 + 2

𝑥 + 1

Procedimientos:



3) Racionalización


5) Factorización

6) Racionalización

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis

lim𝑥→

𝜋3

𝑠𝑥𝑛 (𝑥 −𝜋3)

1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅

Razón

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋3

12sen x −

√32Cosx

(sen x − √3 ∗ cos x)/ (sen x + √3cos x) .

sen x + √3cos x

sen x + √3cos x

Argumento 2:

Tesis

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

𝑥 + 2

𝑥 + 1

Razón

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)=

𝑥 + 2

𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 3

[Ep. 7] Episodio 7. Criterio de continuidad y clases de discontinuidades

Observaciones Transcripción Actividad Practicas

No verbales: Orales

y Escrito

1 Hay 12 estudiantes. La docente

pregunta en dos ocasiones si

resuelven el taller, a lo que

responden que no.

**Muestra el taller y dice que es

una falta de respeto no trabajar,

“es absurdo venir a socializar y

no a trabajar”: Hola no roben a

la sociedad, a la familia, ¿qué

hacemos?

P: Escriban la siguiente función definida en

dos “pedazos”

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P:**

P: Determine para qué valor de “a” la

función 𝑔(𝑥) es continua en 𝑥 = 1:

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P: (Cuando uno piensa puede hacer el

ejercicio golpéele y el sale)

Formulación de la

situación problema

que sustituye la

resolución de la

primera guía

didáctica

2 *** (¡El problema es de actitud!

Haciendo alusión a los bajos

resultados de las pruebas PISA

de nuestro país, de la poca

exigencia en el bachillerato.

Culpa de la ex - ministra Cecilia

M. Vélez quien instauró los

logros, y dictó una charla en la

Tadeo dando unos tips de cómo

está la educación superior, si

ella fue responsable en gran

medida de la crisis actual de

nuestra educación superior. Y si

esa actitud es aquí se imaginan

en las Universidades privadas

(Católica, Salle, Tadeo,

Central)

- !!!Si ustedes vuelan con

respecto a esas

Universidades!!!

P: Solo tenemos tres propiedades, entonces

empecemos con esas:

1. ¿f(a) existe?

P: ***

P: veamos lo que pasa en 𝑥 = 1, siendo el

punto donde se redefine la función.

E1 (Felipe): analicemos 𝑔(1) con la

segunda parte [g(x): cuando 𝑥 ≥ 1]

E1: 𝑔(1) = 𝑎 + 2

P: ¿Entonces la función existe en 1?

E: Si

P: Otra cosa es que no sepamos el valor de

𝑎, pero existe, entonces se cumple la

primera propiedad.

Estudio de la

situación problema

desde la revisión de

propiedades del

objeto matemático

3 **** Va a recuperar clase de

los dos lunes festivos desde

mañana sábado de 11 am a 1

pm y el otro sábado también.

“El que no quiera venir no

venga, pero voy a hacer clase,

no asesoramiento ni ejercicios

sino clase”

P: Catalina, ¿Qué dice la segunda

propiedad? E2 (Catalina): Que el límite

existe.

P: [escribe en el tablero]

lim𝑥→1

𝑔(𝑥)

P: Como 𝑔(𝑥) es una función a “pedazos”,

toca tomar los limites por la derecha y por la

izquierda:

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5

E3 (Andrea): Si el límite existe, los límites

por ambos lados deben dar igual.

P: [Escribe en el tablero] “Para que el limite

exista, los limites laterales deben ser iguales.

Igualando se obtiene:

Verificación de una

propiedad del objeto

matemático,

acudiendo al

cumplimiento de

condiciones de dicha

propiedad como

argumento.

𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 =

−3

[Reemplazando 𝑎 = −3 en 𝑔(𝑥)]:

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1

P: Nuevamente aplicamos los tres puntos:

1. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1

2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

−3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)

P: ¡Por lo tanto el valor de 𝑎 = −3 para que

𝑔(𝑥) sea continua!

P: ****

4 CLASES DE DISCONTINUIDAD:

P: UNAS REMOVIBLES Y OTRAS NO

REMOVIBLES o esenciales.

P: [Pintó dos gráficas, en la primera una

parábola con un “huequito” en uno de sus

extremos y ahí salta a una recta para un valor

que se encuentra más arriba (en el eje de las

ordenadas) y otra grafica de una función

polinómica con un “huequito” en el interior

del dominio para decir que esa es removible]

P: [Escribe en el tablero] Definición: Sea f

una función discontinua en 𝑥 = 𝑎, se dice

que f posee una discontinuidad esencial (no

removible) en 𝑥 = 𝑎 si el límite de la

función no existe:

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ∞

Definición: Sea f una función discontinua en

𝑥 = 𝑎, se dice que 𝑓(𝑥) posee una

Abordaje de una

segunda propiedad

del objeto

matemático

Proceso de estudio

del objeto

matemático a partir

de la asignación de

definiciones y

propiedades.

discontinuidad evitable (removible) en 𝑥 =

𝑎 si el límite de la función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿

5 La docente propone la

participación de los estudiantes

en la solución de la situación

problema, sin embargo es ella

quien termina resolviendo y

aplicando los procedimientos.

P: [escribe en el tablero]:

EJERCICIO: Para la función definida en

tres segmentos (segmentada):

Sea 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Determinar si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 3. Si

no lo es, analizar la discontinuidad en dicho

valor.

P: Solución: Me ayudas (le dice a E1)

E1: [él empieza a dictarle, mientras ella

anota en el tablero]

1. 𝑓(3) = 8

2. 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑓(𝑥) =? 𝑁𝑜 ℎ𝑢𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎, pero

deben considerar los límites laterales.

P: Saben que me hubiera gustado graficar la

función, deberíamos hacer primero la

gráfica así que háganlo pero no se estresen.

[Y sigue]:


7 − 𝑥2 = −2,


4 − 2𝑥 = −2

𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑓(𝑥) = −2

3. 𝑓(3) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑓(𝑥), pues −2 ≠ 8

P: Por tanto la función es discontinua, con

discontinuidad removible

Redefiniendo la función se tiene:

Resolución de la

situación problema

desde la interacción

estudiantes-docentes.

Prevalecen los

significados de la

docente.

Conclusión del

proceso de estudio

del objeto

matemático desde la

asignación de tareas.

***** Asigna dos exposiciones

para el concepto de derivada

uno a partir del cálculo de la

pendiente a una curva y otro

desde la física calculando la

velocidad, ¿cuál quieren

primero las damas?,

E1 escoge la idea de la

pendiente entonces al chico le

toco el de la física, para el

miércoles.

Al día siguiente ella va a

terminar continuidad con los

asistentes.

𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Es continua en x=3.

P: *****

P: Ejercicio para ustedes [dirigiéndose a los

estudiantes]:

Dada la función definida en tres segmentos:

𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − ax, 𝑠𝑖 𝑥 = 33x + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

};

𝐏: [Señala los compromisos y tareas]

Propiedades de las funciones continuas para

mañana, Continuidad en un intervalo y

entrega de los dos talleres.



La práctica de este episodio básicamente consiste en mostrar los criterios de continuidad y

clases de discontinuidad.


Problemas

P1: Determine para qué valor de “a” la función 𝑔(𝑥) es continua en 𝑥 = 1:

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P1.1: Calcular los limites laterales


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5

P2: Determinar si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 3:

𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3}

P3: Determinar si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 3

𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − ax, 𝑠𝑖 𝑥 = 33x + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

}

Lenguaje

Verbal:

Continuidad, Limite, Limites Laterales, Discontinuidad, Indeterminación, Función,

Función a trozos, Discontinuidad removible y no removible.

Simbólico:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ∞; 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿; 𝑔(𝑥) =

{𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1 ; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2 ; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1−𝑎𝑥2 + (ax + 1)x +

4 = 2a + 5 ; 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3}

Conceptos

Límites, Limites laterales, Continuidad, Discontinuidad, Discontinuidades removibles

y no removibles

Proposiciones

Previas

𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: (implícita)

1. 𝑓(𝑎) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒.

2. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

3. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Para que el límite exista, los límites laterales deben ser iguales.

Definición: Sea f una función discontinua en 𝑥 = 𝑎, se dice que f posee una

discontinuidad esencial (no removible) en 𝑥 = 𝑎 si el límite de la función no existe:


𝑓(𝑥) = ∞

Definición: Sea f una función discontinua en 𝑥 = 𝑎, se dice que 𝑓(𝑥) posee una

discontinuidad evitable (removible) en 𝑥 = 𝑎 si el límite de la función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿

Funciones segmentadas

Emergentes:

𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑎 𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑎

= −3

𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3} 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 =

3, 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑓(𝑥) =

{4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

−2, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3} (La escribieron igual que antes, no arreglaron el error en el segundo

segmento).

Procedimientos:



3) Factorización

4) Cálculo de límites indeterminados del tipo 0/0

5) Calculo de limites por análisis de discontinuidades removibles y no removibles

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis



= −3

Razón

Analicemos 𝑔(1) con la segunda parte [g(x): cuando 𝑥 ≥ 1]

𝑔(1) = 𝑎 + 2

lim𝑥→1

𝑔(𝑥)

Como 𝑔(𝑥) es una función a “pedazos”, toca tomar los limites por la derecha y por la

izquierda:


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5

Para que el límite exista, los límites laterales deben ser iguales. Igualando se obtiene:

𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1

Nuevamente aplicamos los tres puntos:

1. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1; 𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)

Por lo tanto el valor de 𝑎 = −3 para que 𝑔(𝑥) sea continua

[Ep. 8] Episodio 8. Relación entre continuidad y derivadas mediante la definición y

usando propiedades


No verbales: Orales

y Escrito

1 Hay 8 estudiantes 6:10 am

La profesora les recuerda

el criterio de continuidad

removible y esencial y se

pega de la removible para

enunciar el teorema

No explica la diferencia

entre derivable y

diferenciable

P: Recuerda la definición de la derivada

P: Ecuación recta tangente y normal

P: Alejo si viene y trae el computador yo voy y

traigo los cables para seguir visualizando

P: Derivabilidad implica continuidad

Teorema

P: “Si una función es derivable o diferenciable en

𝑥 = 𝑎 entonces la función es continua en 𝑥 = 𝑎”

DEM//:

P: no se asusten con la palabra demostración

Axioma -> verdad universal cierta

Teoría -> enunciado que debe ser demostrado

Ella misma responde:

Hacia las 6:25 llegan 10

estudiantes (algo en el

Transmilenio)

Corolario -> enunciado tan evidente que no

necesita ser demostrado

P: cuales son las partes de una demostración?

P: me hablan por favor

P: toda demostración parte de algo: supongamos,

dados, sea, después hay un proceso algorítmico,

analítico. Una demostración no es un ejercicio

algorítmico

Ej.:

√9 + 25 = √9 + √25

√34 = 3 + 5

√34 ≠ 8

Verificación, pues entonces la proposición no es

verdadera para todos los reales.

2

Les hace ver las partes de

la demostración que no es

una plana

P: Si 𝑓(𝑥) es una función continua en 𝑥 = 𝑎

entonces

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

= 𝑓(𝑎) 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑

O que

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0

Luego

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎

lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎. lim

𝑥→𝑎𝑥 − 𝑎

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 𝑓′(𝑥) ∗ 0

Luego si una función si una función es derivable

en 𝑥 = 𝑎 entonces es continua en 𝑥 = 𝑎

Multiplica por 1

expresable como

𝑥−𝑎

𝑥−𝑎, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 𝑎

3 Llego Alejo y dice: “hola

profe”. Llega en moto por

los accesorios que le veo

en la mano y la profesora

se va a traer los cables

Ejercicio 1: Probar que la función es continua en

el punto dado aplicando la definición de derivada

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1

2, −8)

Solución

Ella misma responde

Alejo está instalando los

cables

No la evalúa en ese punto?

ME PERDI

No se pudo conseguir

señal al conectar el

computador al televisor

P: Es continua o no?

P: Si porque es una línea recta, bien!

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛


2(𝑥 + ℎ) − 9 − (2𝑥 − 9)

ℎ


2𝑥 + 2ℎ − 9 − 2𝑥 + 9

ℎ


2ℎ

ℎ= lim

ℎ→02 = 2

P: Luego f es continua en P(1/8, -8)

Como es derivable en ese punto es continua ahí

P: bueno pero ese proceso es muy engorroso,

imagínense una hiperbólica, por eso vamos a ver

las propiedades. Ahora si un ejemplo para ustedes.

4 Ella espero 4 min

háganlo…. No lo voy a

hacer. Al minuto empieza

a escribir

Ejercicio 2:

𝑓(𝑥) = 3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 2 − (3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

ℎ

P: hagamos uno más difícil como para el parcial,

que tengamos que pensar

La forma más fácil

es reemplazar x=1

f(x)=0

5

Ejercicio 3:

𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


√2(𝑥 + ℎ) − 1 − √2𝑥 − 1

ℎ

Sustituyendo x=1


√2(1 + ℎ) − 1 − √2 − 1

ℎ


(√2ℎ + 1 − 1)(√2ℎ + 1 + 1)

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

limℎ→0

√2 + 2ℎ − 1 − 1

ℎ= lim

ℎ→0

√2ℎ + 1 − 1

ℎ

Alejo dicto algunos pasos,

los demás sabrían de

dónde?

Inmediatamente empezó

otro tema

limℎ→0

1 + 2ℎ − 1

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)= lim

ℎ→0

2ℎ

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

2

2= 1

00

…

….

6

Alejo dice que ya las

demostró.

Siempre la quieren hacer

por la regla del producto.

Se las hace repetir no

usando f y g sino la

primera y la segunda

TEOREMA SOBRE DERIVADAS DE

FUNCIONES

1) Si

𝑓(𝑥) = 𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥)

= 0

2) DERIVADA DE UNA POTENCIA, sea

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

3) DERIVADA DE UNA CONSTANTE

POR LA FUNCION, sea

𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥)

4) Sean f y g funciones reales talque f’(x) y

g’(x) existe

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥 [𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2𝑠𝑖 𝑔(𝑥)

≠ 0

5) REGLA DE LA RECIPROCA: si g es

diferenciable en x y g(x)≠0 entonces

𝑓(𝑥) =1

𝑔(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = −

𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

DEM:

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ

Reemplazando h=(x+h)-x


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥

La expresión h -> 0 y (x+h) -> x son

equivalente

f(x)=f’(x)

y=y’

𝑑

𝑑𝑥= 𝐷𝑥

En un ejemplo utiliza

una sola

representación como

en un ensayo

No es trampa

utilizarlo para

Pasa Alejo al tablero a

hacer la del producto y

ella le dice que primero

haga la de la suma.

Ella le dicta y finalmente

ella misma escribe: le

quito el marcador

Lo deja ahí

𝑓′(𝑥) = lim(𝑥+ℎ)→𝑥

(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥

Aplicando el limite especial

lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑎)𝑛

𝑥 − 𝑎= 𝑛𝑎𝑛−1

𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

P: Y 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥𝑛

DEM:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

+ limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜

lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4

P: este no se hace por binomio de newton, toca

racionalizarlo

Ejemplo

lim𝑥→2

𝑥5 − 32

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

𝑥5 − 25

𝑥 − 2

P: pero este es un límite especial. Utiliza el límite

especial o factoriza.

demostrar la

derivada?

Porque no lo

racionaliza, que

dificultades o

ganancias se

presentarían.

Otra vez lo hace

usando el “limite

especial”

7

El estudiantes paso al

tablero y lo soluciona

El cuarto ejercicio lo hace

la profesora es en el

tablero

EJERCICIOS:

Hallar la derivada de las siguientes funciones

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

2. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

3. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

4. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8

Solución

Paso a un estudiante a desarrollar en el primero:

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

2. 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)1

2

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

3. 𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6 + 5𝑥)−2 ∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

4. 𝑓′(𝑥) =(4𝑥−1)(𝑥3+8)−(3𝑥2)(2𝑥2−𝑥+1)

(𝑥3+8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

Es curioso que le

haya hecho aplicar la

regla del producto,

pues era más fácil

hacer la

multiplicación antes

de derivar

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

P: Ahora hallemos la derivada de la función

𝑓(𝑥) =2𝑥−3

3𝑥+4 en el punto de abscisa x=-1

Solución

𝑓′(𝑥) =2(3𝑥 + 4) − 3(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)2

Puede resolver o de una vez reemplazar ahí!!

𝑓′(𝑥) =6𝑥 + 8 − 6𝑥 + 9

(3𝑥 + 4)2

OJO ¡!

17

(3𝑥 + 4)2 𝑒𝑛 𝑥 = −1 =

17

1= 17

TAREA

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥2 + 2)

𝑓(𝑥) = √5𝑥

𝑓(𝑥) =1

𝑥4 + 𝑥2 + 1

𝑓(𝑥) =3𝑡 − 7

𝑡2 + 5𝑡 − 4

𝑓(𝑥) = 𝑥√2

𝑓(𝑥) =𝑥5

𝑥3 − 5

P: mañana composición de funciones



La práctica de este episodio básicamente consiste en mostrar las propiedades de la

derivada.


Problemas

P1: Probar la continuidad de la función


2, −8)

P2: Analizar la continuidad de la función

𝑓(𝑥) = 3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)



P4: Calcular

lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4

P5: Hallar la derivada de las siguientes funciones

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

2. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

3. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

4. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8

P6: Hallar la derivada de la función

𝑓(𝑥) =2𝑥 − 3

3𝑥 + 4 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑥 = −1


1. 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥2 + 2)

2. 𝑓(𝑥) = √5𝑥

3. 𝑓(𝑥) =1

𝑥4+𝑥2+1

4. 𝑓(𝑥) =3𝑡−7

𝑡2+5𝑡−4

5. 𝑓(𝑥) = 𝑥√2

6. 𝑓(𝑥) =𝑥5

𝑥3−5

Lenguaje

Verbal:

Derivada, Ecuación recta tangente y normal, Derivabilidad, Continuidad, Limite, límite

especial, indeterminación, función real, factorización, binomio de newton,

racionalización, continuidad, abscisa, regla de la recíproca, derivadas de una potencia,

derivadas de un producto, derivada de un cociente, derivada de una constante.

Simbólico:


2, −8); 𝑓(𝑥) = 3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0);

𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1;lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ; 𝐿𝑖𝑚 ; lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ; 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ;lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥−4; lim

𝑥→2

𝑥5−32

𝑥−2; 𝑓(𝑥) =

𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑥 𝑓′(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) =

𝑛𝑥𝑛−1; 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)] =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2𝑠𝑖 𝑔(𝑥) ≠ 0

𝑓(𝑥) =1


𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

Conceptos

Derivabilidad , Continuidad, Binomio de newton, Racionalización, Abscisa, Regla de

la recíproca

Proposiciones

Previas

Definición de la derivada

Ecuación recta tangente y normal

Derivabilidad implica continuidad

“Si una función es derivable o diferenciable en 𝑥 = 𝑎 entonces la función es continua en

𝑥 = 𝑎”

√𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏

Si 𝑓(𝑥) es una función continua en 𝑥 = 𝑎 entonces lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛−(𝑎)𝑛

𝑥−𝑎= 𝑛𝑎𝑛−1

Emergentes:

Si una función si una función es derivable en 𝑥 = 𝑎 entonces es continua en 𝑥 = 𝑎

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1

2, −8)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0

Derivada de una potencia, sea 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Derivada de una constante por la función, sea

𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑥𝑠 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥)

Sean f y g funciones reales talque f’(x) y g’(x) existe

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)] =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2𝑠𝑖 𝑥(𝑥) ≠ 0

REGLA DE LA RECIPROCA: si g es diferenciable en x y g(x)≠0 entonces

𝑓(𝑥) =1


𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

Procedimientos:


2) Factorización


4) Racionalización

5) Regla de la recíproca

6) Derivación (constante, cociente, producto y potencia)

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis:


Razón:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥

La expresión h -> 0 y (x+h) -> x son equivalente


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥


lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑎)𝑛


𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Argumento 2:

Tesis:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

Razón:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ+ lim

ℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Argumento 3:

Tesis:

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

Razón:

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

Argumento 4:

Tesis:

𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)12

Razón:

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

Argumento 5:

Tesis:

𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

Razón:

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6 + 5𝑥)−2 ∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

Argumento 6:

Tesis:

𝑓′(𝑥) =(4𝑥 − 1)(𝑥3 + 8) − (3𝑥2)(2𝑥2 − 𝑥 + 1)

(𝑥3 + 8)2

Razón:

𝑓′(𝑥) =4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

[Ep. 9] Episodio 9. Derivación implícita, ecuaciones de recta tangente y recta normal,

y derivada de orden superior

Sg. Observaciones Transcripción Actividad

Practicas No

verbales: Orales y

Escrito

1

Hay 10 estudiantes.

Hace un resumen de la

clase pasada en donde se

trabajó la regla de la

cadena como la manera

de derivar una función

que se llama función

compuesta.

y empieza a

preguntarles: cuál es el

dominio, respuestas

como:

Es importante tener en

cuenta que Y es

implícitamente función

de X

Ciertamente debe ser Y’

y no solo Y

Y les plantea el siguiente ejercicio:

P: ¿En qué puntos la tangente a la gráfica

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −1

2𝑥2 − 2𝑥 Es paralela al eje X?

Pregunta que habría que hacer y muy

pilosamente Camilo responde.

1. Sea 𝑦 =3(𝑥2+1)

2(2𝑥−3) hallar ERT, ERN en P

(0,1

4)

Bien hasta ahí el resumen de lo que hicieron el

sábado.

2. Hallar la derivada de la función

𝑓(𝑥) =2𝑥−3

3𝑥+4 En el punto de abscisa

𝑥 = −1

E: Igualando el denominador a 0

P: No me digas cómo dime cuál es el dominio?

E: Camilo dice todos los distintos a −4

3. Cortes con

los ejes: (3

2,0); (0,

−4

3)Tiene asíntota horizontal:

𝑦 =2

3 Asíntota vertical…

P: Bueno entonces grafican y ubican la abscisa que

les dan y miran qué es lo que le están haciendo a la

función y a la derivada en ese punto.

(Ecuación de la

recta tangente y de

la recta normal)

2

Ella misma se responde

la pregunta

Camilo responde muy

bien:

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

P: Qué leímos acerca de derivadas de orden

superior?

E: Tenemos una función y si ella es diferenciable

entonces se dice que 𝑓’(𝑥) es la primera derivada de

𝑓(𝑥), y esta a su vez puede ser una función

nuevamente derivable y obtenemos 𝑓’’(𝑥) y así

sucesivamente.

“Si f es una función diferenciable, entonces se dice

que 𝑓’(𝑥) es la primera derivada de 𝑓(𝑥). Si 𝑓’(𝑥) es

derivable entonces 𝑓’’(𝑥) es la segunda derivada de

𝑓(𝑥). En general si se obtiene una función derivable

entonces la n-ésima derivada de 𝑓(𝑥) denotada por

𝑓𝑛(𝑥).

3

Les pinto una

¿circunferencia, una

elipse, una cicloide,

Asteroide?

Ejercicio: ¿Para qué valores de n la derivada de

𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓′′(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´′(𝑥) = 18

P: Para n mayor que 3 𝑓’(𝑥) = 0 y eso es todo pero

van a tener unas aplicaciones muy bonitas que

vamos a ver más adelante.

P: ¿A qué harán referencia las palabras implícita o

explícita?

E: Alejo responde: ¿a la forma como se presenta la

función?

P: Exactamente. Por ejemplo ¿cuál es el área de la

circunferencia? ….nada entonces más fácil ¿cuál

es el perímetro de la circunferencia?

Escribe 𝐴 = 𝜋𝑟2 y 𝑃 = 2𝜋𝑟 para preguntarles cual

magnitud depende de cuál, y no responden, por

ejemplo a mayor área mayor longitud, y entre mayor

o menor sea la medida del radio mayor o menor va a

ser el perímetro. Entonces hasta ahora hemos

derivado explícitamente cuando usted ve que hay

una variable libre y una dependiente.

P: Para algo les va a servir a ustedes porque a

Ptolomeo le sirvió, pues a ustedes les debe servir en

la vida para algo. Por ejemplo en este momento no

sabemos derivar 2𝑥𝑦2 + 5𝑥 = 8

4

Derivada Implícita:

P: Hasta esta parte del curso se han derivado

funciones que se pueden expresar explícitamente

(una variable en términos de la otra) es decir

funciones definidas 𝑌 = 𝑓(𝑋), sin embargo existen

Al derivar el segundo

término 2xy dice:

Me llama la atención que

no se derive como

producto sino como:

derivada con respecto a

X y derivada con

respecto a Y ¡!!

expresiones que las variables x e y mediante

ecuaciones de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.

Método de derivada implícita 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos lados de la expresión con

respecto a X

Transponemos términos con el objeto de

tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑜 𝑦′ a un lado de la expresión

Se factoriza 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑜 𝑦′

Se despeja 𝑑𝑦


Ejemplo:

𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

P: Derivada respecto a x: 2y

P: Derivada respecto a y: 2xy’

3𝑥2 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = 0

2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = −3𝑥2 − 2𝑦

𝑦′ =−3𝑥2 − 2𝑦

2𝑥 + 3𝑦2

P: ¿Se puede volver a derivar? ¿Si tiene esa

respuesta le puede sacar la pendiente?

¡Si!. Necesita un punto y no solamente la abscisa

No explicita que se

deriva como

producto

5

Nuevamente al derivar

el segundo término 5xy

dice:

Ejercicio 1: derivar las siguientes funciones

P: Derivada respecto a x: 5y

P: Derivada respecto a y: 5xy’

𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0

2𝑥 + 5𝑦 + 5𝑥𝑦′ + 6𝑦′ = 0

𝑦′(5𝑥 + 6) = −2𝑥 − 5𝑦

𝑦′ =−2𝑥 − 5𝑦

5𝑥 − 6

P: Los invito a mirarlo en Geogebra

Nuevamente no

advierte que se

deriva como

producto.

6

Habla de pendiente (+) y

de pendiente (-), recta

creciente y recta

decreciente.

Y cuando no existe

entonces cómo es?

Ejercicio 2: Hallar la ecuación de las rectas tangente

y normal a la curva de ecuación

3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 = 0 𝑒𝑛 𝑃(0,2)

Solución

6𝑥 − 2𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦2𝑦′ + 4𝑦′ = 0

4𝑦′ − 3𝑥2𝑦2𝑦′ = 2𝑥𝑦3 − 6𝑥

𝑦′ =2𝑥𝑦3 − 6𝑥

4 − 3𝑥2𝑦2

𝑦′(0,2) =2(0)(8) − 6(0)

4 − 3(0)(4)

𝑦′(0,2) =0

4= 0

𝑚𝑇 = 0 𝑃(0,2) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 = 0(𝑥 − 0)

𝑦 = 2

𝑚𝑁 = 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎1

0

𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌

No uso paréntesis

ni advirtió que se

deriva como

producto.

7

Reemplazamos y’

porque la función y la

derivada están en

términos de X e Y

Ejercicio

2) Hallar y’ e y’’ en la ecuación

𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3

2𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0 → 𝑦′ =−2𝑥 + 𝑦

−𝑥 + 2𝑦

𝑦′ =2𝑥 − 𝑦

𝑥 − 2𝑦

𝑦′′ =(2 − 𝑦′)(𝑥 − 2𝑦) − (2𝑥 − 𝑦)(1 − 2𝑦′)

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′

=2𝑥 − 4𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + 4𝑥𝑦′ + 𝑦 − 2𝑦𝑦′

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥𝑦′ − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥 (

2𝑥 − 𝑦𝑥 − 2𝑦) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

La profesora pregunta si

hay factores comunes,

ella responde no,

entonces resolvemos

𝑦′′ =(

6𝑥2 − 3𝑥𝑦𝑥 − 2𝑦 ) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =

6𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 6𝑦2

𝑥 − 2𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =6𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 6𝑦2

(𝑥 − 2𝑦)3

𝑦′′ =18

(𝑥 − 2𝑦)3

8

A LAS 7:00 SE ME

APAGO EL

COMPUTADOR, OJO!

TAREA

1. Halle la derivada de:

a) 3𝑥4𝑦 − 2𝑥3𝑦 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

b) 4

5𝑥2 −

6

7𝑥𝑦 + 3𝑥2𝑦 − 4 = 0

2. E.R.T E.R.N a:

a) 𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦 = 12𝑦 𝑒𝑛 𝑃(2,1)

b) 𝑥2 − 4𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 3 = 0 𝑒𝑛 𝑃(1,2) 3. Hallar y’ e y’’ en la ecuación

𝑥2 + 3𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2 + 2𝑦3 = 0 𝑒𝑛 𝑃(1,1)

P: Próxima clase funciones trascendentes.






Problemas

P1:

¿Para qué valores de n la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

P2:

Derivar 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

P3:

Derivar 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0

P4:

3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 = 0 𝑒𝑛 𝑃(0,2)

P5:

Hallar y’ e y’’ en la ecuación 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3

Lenguaje

Verbal:

Derivada de una función, Recta tangente, La normal, derivada implícita.

Simbólico:

𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥; 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5; 𝑦′ =−3𝑥2−2𝑦

2𝑥+3𝑦2 ; 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0;𝑦′ =

−2𝑥−5𝑦

5𝑥−6; 3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 = 0 ; 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3; 𝑦′ =

2𝑥−𝑦

𝑥−2𝑦 ; 𝑦′′ =

18

(𝑥−2𝑦)3

Conceptos:

Derivada de una función, Recta tangente, La normal, derivada implícita.

Proposiciones

Previas:


Ecuación de la recta tangente y normal


Emergentes:

1) la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0 para n>3

2) Si 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5 entonces 𝑦′ =−3𝑥2−2𝑦

2𝑥+3𝑦2

3) Si 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0 entonces𝑦′ =−2𝑥−5𝑦

5𝑥−6

4) la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 −

8 = 0 𝑒𝑛 𝑃(0,2) son 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 = 2 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌

5) y’ e y’’ en la ecuación 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 son 𝑦′ =2𝑥−𝑦

𝑥−2𝑦 𝑦′′ =

18

(𝑥−2𝑦)3

Procedimientos

P1:

1) Hallar la primera derivada

2) Hallar la segunda derivada

3) Hallar la tercera derivada.

P2:

1) Derivar a ambos lados de la expresión con respecto a X

2) Transponemos términos con el objeto de tener las 𝑦′ a un lado de la expresión

3) Se factoriza 𝑦′

4) Se despeja 𝑦′

P3:




4) Se despeja 𝑦′

P4:




4) Se despeja 𝑦′ 5) Se reemplaza x, y

6) Se halla la ecuación recta tangente usando pendiente-punto.

7) Se halla la recta de la normal.

P5:




4) Se despeja 𝑦′ 5) Se vuelve a derivar a ambos lados.

6) Se operan términos semejantes.

Argumentos

Argumento 1:

Tesis:

la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0 para n>3

Razón:

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓′′(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´′(𝑥) = 18

Argumento 2:

Tesis:

Si 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5 entonces 𝑦′ =−3𝑥2−2𝑦

2𝑥+3𝑦2

Razón:

𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

3𝑥2 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = 0

2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = −3𝑥2 − 2𝑦

𝑦′ =−3𝑥2 − 2𝑦

2𝑥 + 3𝑦2

Argumento 3:

Tesis:

Si 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0 entonces𝑦′ =−2𝑥−5𝑦

5𝑥−6

Razón:

𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0

2𝑥 + 5𝑦 + 5𝑥𝑦′ + 6𝑦′ = 0

𝑦′(5𝑥 + 6) = −2𝑥 − 5𝑦

𝑦′ =−2𝑥 − 5𝑦

5𝑥 − 6

Argumento 4:

Tesis:

la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 =0 𝑒𝑛 𝑃(0,2) son 𝑦 = 2 , 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑥𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌

Razón:

6𝑥 − 2𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦2𝑦′ + 4𝑦′ = 0

4𝑦′ − 3𝑥2𝑦2𝑦′ = 2𝑥𝑦3 − 6𝑥

𝑦′ =2𝑥𝑦3 − 6𝑥

4 − 3𝑥2𝑦2

𝑦′(0,2) =2(0)(8) − 6(0)

4 − 3(0)(4)

𝑦′(0,2) =0

4= 0

𝑚𝑇 = 0 𝑃(0,2) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑥𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 = 0(𝑥 − 0)

𝑦 = 2


0


Argumento 5:

Tesis:

y’ e y’’ en la ecuación 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 son 𝑦′ =2𝑥−𝑦

𝑥−2𝑦 𝑦′′ =

18

(𝑥−2𝑦)3

Razón:

𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3

2𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0 → 𝑦′ =−2𝑥 + 𝑦

−𝑥 + 2𝑦

𝑦′ =2𝑥 − 𝑦

𝑥 − 2𝑦

𝑦′′ =(2 − 𝑦′)(𝑥 − 2𝑦) − (2𝑥 − 𝑦)(1 − 2𝑦′)

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =2𝑥 − 4𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + 4𝑥𝑦′ + 𝑦 − 2𝑦𝑦′

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥𝑦′ − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥 (

2𝑥 − 𝑦𝑥 − 2𝑦) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =(

6𝑥2 − 3𝑥𝑦𝑥 − 2𝑦 ) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =

6𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 6𝑦2

𝑥 − 2𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =6𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 6𝑦2

(𝑥 − 2𝑦)3

𝑦′′ =18

(𝑥 − 2𝑦)3

[Ep. 10] Episodio 10: Derivada de Orden Superior

Sg. Observaciones Transcripción Actividad Practicas No

verbales: Orales y

Escrito

1 Hace un resumen de la

clase pasada en donde se

trabajó la regla de la




compuesta.

Muy pilosamente Camilo

responde.

Plantea el siguiente ejercicio:

P: ¿En qué puntos la tangente a la gráfica 𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥 es paralela al eje X?

P: Sea

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

Hallar ERT, ERN en P (0,1/4) (Ecuación de la

recta tangente y de la recta normal).

P: Bien hasta ahí el resumen de lo que hicieron el

sábado.

2

Y empieza a preguntarles:

3. Hallar la derivada de la función

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)

En el punto de abscisa

𝑥 = −1

P: ¿Cuál es el dominio?

Algunos responden

Camilo dice

E: Igualando el denominador a 0

P: No me digas cómo dime cuál es el dominio?

E: Todos los distintos a -4/3.

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)

Cortes con los ejes: (3/2,0); (0,-4/3) Tiene

asíntota horizontal:

𝑦 =2

3

Asíntota vertical…

P: Bueno entonces grafican y ubican la abscisa

que les dan y miran qué es lo que le están

haciendo a la función y a la derivada en ese

punto.

3

Camilo responde muy

bien:

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

P: ¿Qué leímos acerca de derivadas de orden

superior?

E: Tenemos una función y si ella es diferenciable

entonces se dice que𝑓´(𝑥)

Es la primera derivada de 𝑓(𝑥), y esta a su vez

puede ser una función nuevamente derivable y

obtenemos 𝑓´´(𝑥) y así sucesivamente.

P: “Si f es una función diferenciable, entonces se

dice que 𝑓´(𝑥) es la primera derivada de𝑓(𝑥).

Si𝑓´(𝑥) es derivable entonces 𝑓´´(𝑥) es la

segunda derivada de 𝑓(𝑥). En general si se

obtiene una función derivable entonces la n-

ésima derivada de 𝑓(𝑥) denotada por 𝑓𝑛(𝑥).”

Ejercicio:

¿Para qué valores de n la derivada de 𝑓(𝑥) =

3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0

Y eso es todo pero van a tener unas aplicaciones

muy bonitas que vamos a ver más adelante.

4

Alejandro responde

Escribe, para preguntarles

cual magnitud depende de

cuál, y no responden.

(Todo esto lo va diciendo

y lo va escribiendo tal

cual en el tablero).

Entonces pasemos a DERIVACIÓN

IMPLICITA

P: ¿A qué harán referencia las palabras implícita

o explícita?

E: ¿a la forma como se presenta la función?

P: Exactamente. Por ejemplo ¿cuál es el área de

la circunferencia?

P: ….nada entonces más fácil ¿cuál es el

perímetro de la circunferencia?

P: Por ejemplo a mayor área mayor longitud, y

entre mayor o menor sea la medida del radio

mayor o menos va a ser el perímetro. Entonces

hasta ahora hemos derivado explícitamente

cuando usted ve que hay una variable libre y una

dependiente.

P: ¿Les pinto una circunferencia, una elipse, una

cicloide?, ¿Asteroide? Para algo les va a servir a

ustedes porque a Ptolomeo le sirvió, pues a

ustedes les debe servir en la vida para algo. Por

ejemplo en este momento no sabemos derivar

2𝑥𝑦2 + 5𝑥 = 8

P: Derivación implícita: Hasta esta parte del

curso se han derivado funciones que se pueden

expresar explícitamente (una variable en

términos de la otra), es decir función definida

𝑦 = 𝑓(𝑥). Sin embargo existen expresiones que

relacionan las variables x, y mediante enunciados

de la forma (𝑥, 𝑦) = 0. Es importante tener en

cuenta que y es implícitamente una función de x

Método de derivación implícita recuerden que

𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos lados de la expresión

con respecto a x

Escribe 𝐴 = 𝜋𝑟2 y

𝑃 = 2𝜋𝑟

Trasponer términos con el objeto de tener

las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´ a un lado de la expresión


𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´

Ejercicio: 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5



La práctica de este episodio básicamente consiste en derivadas de orden superior


Problemas

P1: ¿En qué puntos la tangente a la gráfica

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥

Es paralela al eje X?

P2: Sea

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

Hallar ERT, ERN en P (0,1/4)


𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)

En el punto de abscisa 𝑥 = −1

P4: Para qué valores de n la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

P5: : 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

Lenguaje

Verbal: Derivada, ecuación de la recta tangente, tangente a la gráfica en un punto,

ecuación de la normal, abscisa, dominio, puntos de corte con los ejes, asíntota

horizontal, asíntota vertical, derivadas de orden superior, derivación implícita.

Simbólico:𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑦´; 𝑓´(𝑥); 𝑓´´(𝑥); 𝑓´´´(𝑥); 𝑓𝑛(𝑥)

Conceptos

Derivación, derivadas de orden superior, derivación implícita, puntos de corte, abscisa,

dominio.

Proposiciones

Previas:




Emergentes:

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)


𝑥 = −1

¿Cuál es el dominio?

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)

Cortes con los ejes: (3/2,0); (0,-4/3) Tiene asíntota horizontal:

𝑦 =2

3


∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0

Procedimientos:

1) Derivación (de tipos: constante, cociente, producto y potencia)

2) Derivación implícita:

Derivar a ambos lados de la expresión con respecto a x

Trasponer términos con el objeto de tener las 𝑑𝑦



𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis:

Para qué valores de n la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0

Razón:

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

[Ep. 11] Episodio 11: Derivada Y Recta Tangente


verbales: Orales y

Escrito

1 Hizo Clase el sábado 10 de

noviembre asistieron 11

estudiantes, entregaron los

talleres y le propusieron

hacer clase el próximo

sábado. Estoy ojeando los

talleres entregados.

Hoy Andrea expone la

derivada de una función, le

he sacado 4 fotos al tablero.

La profesora a cada

momento interviene,

corrige, complementa (Es

tan difícil quedarse

calladito). Bueno tengo la

percepción de que a los

muchachos les parece

chévere que yo esté yendo

al curso, son formales,

educados, están más

interesados, la profesora

está un poco más contenta.

Bueno volvamos a la

exposición. Esperanza cada

10 segundos habla para

aclarar la exposición

aunque la niña está

diciendo bien, por ejemplo,

habla de la formula,

Esperanza corrige que la

formula no es lo más

importante. Está

construyendo la definición

a partir del problema de

calcular la tangente a una

curva dada, a través de

plantear la pendiente de la

secante (Esperanza vuelve

a escribir sobre la cartelera,

escribe en el tablero, le

pone la m de pendiente, le

pone el igual (qué cosa tan

difícil mirar, dejar…).

FOTOS PENDIENTES

Le hace escribir en el

tablero lo siguiente:

Entonces la profe le dice

¿Podemos hacer un

ejercicio ahí? Si te lo

dicto.

P:“La sucesión de las rectas secantes (Sn) se

acerca a la recta tangente T, esto ocurre

cuando, qué Felipe, pero habla no solo escribe

le dice a la niña, esto ocurre cuando los puntos

(𝑎 + ℎ 𝑛) se acercan al punto 𝑎, es decir

cuando ℎ𝑎 → 0:

Ej:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la

curva definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el

punto P(1,3) Para la solución , (escribe le

manda la profe) es necesario hallar la

pendiente:

𝑚 = tan 𝛼

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 ∗ 2(x + h) − (𝑥2 ∗ 2x)

ℎ

= limℎ→0

𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + 2ℎ − 𝑥2 − 2𝑥

ℎ

= limℎ→0

ℎ2 + 2𝑥ℎ + 2ℎ

ℎ

= limℎ→0

ℎ(ℎ + 2𝑥 + 2)

ℎ

= limℎ→0

(ℎ + 2𝑥 + 2) = 2𝑥 + 2

P: ¿Qué hallaste ahí? La pendiente. ¡No! La

pendiente es un número. Evalúala, ¿En dónde

la tienes que evaluar? Dime ¿Qué es la

pendiente? Dicen que inclinación, ángulo, el

incremento de 𝑦 sobre el incremento de 𝑥,

entonces evalúalo. Escribe 𝑚 evaluado en,

𝑚(𝑥) = 2(1) + 2

𝑚 = 4

la niña no escribe bien,

entonces la profe pasa y

dice borre eso y escribe

(Comentario mío: Pero

bueno esto es un poco

injusto porque ese fue un

ejercicio que la profe dictó

y la niña no ha hecho en sí

su exposición…bueno lo

que acabo de decir también

es debatible.) Ahora le

pide hallar la ecuación de la

recta tangente:

Ecuación de la recta

tangente, la niña encierra el

resultado en un cuadrito.

P: Sí es que la idea es hacer una exposición y

entenderla no venir aquí a hacer planas.

hallar la ecuación de la recta tangente:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = 4(𝑥 − 1)

𝑦 − 3 = 4𝑥 − 4

𝑦 = 4𝑥 − 4 + 3

𝑦 = 4𝑥 − 1

2 La niña pinta un plano

cartesiano le pone el

nombre a los ejes, las

unidades pero no puede

hacer la gráfica, borra dos

veces , un chico le dice

como es pero le dice mal

entonces la profe llega con

unos cables para mostrar

con Geogebra o Derive y

dice

Un estudiante conecta los

cables al portátil abre

Geogebra, y al televisor

(hay TV en todas las aulas)

y pinta esa parábola genial,

sobre ella le pinta la

tangente, se proyecta en el

TV. Grafica en Geogebra.

Y bueno muy visual, los

muchachos observan, la

niña se sienta. (Tomé

fotos).

FOTOS PENDIENTES

P:bien ahora quiero que dibujen la situación

P: qué es eso tan feo. Ahí te puedes demorar

todo el parcial. Tienes que sacar los cortes con

los ejes y el vértice. Corte con eje 𝑦 𝑝(0,0)

corte con 𝑒𝑗𝑒 𝑋 𝑥 = 0 𝑥 = −2

3 Bueno ahora pasa otro

estudiante a exponer el otro

problema:

El muchacho está pegando

la cartelera y ya ella le está

modificando pues le dice

que escriba eso que ella

acaba de decir, y bueno

Esperanza misma lo

escribe mientras él pega las

carteleras. Claro este

muchacho habla duro, está

más posicionado en su

exposición, por tanto no lo

interrumpe tanto. (La niña

hablaba pasito,

tímidamente, con pena).

Esperanza está feliz, me

mira se ríe contenta de oír

hablar a (Nombre del

estudiante que está

exponiendo) con

propiedad.

Lo hace escribir:

Y el muchacho se adelanta

a escribirlo en símbolos

así:

Y escribe en el tablero:

E: encontrar la velocidad instantánea de una

partícula en un movimiento no uniforme

𝑉𝑚 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑉𝑚 =𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1)

𝑡1 + ℎ − 𝑡1

𝑉𝑚 =𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1)

ℎ

P:Si el valor de ℎ se reduce cada vez más, la

diferencia del tiempo 𝑡1 y 𝑡1 + ℎ se hace cada

vez más pequeña (le dicta esto) de tal forma

que se puede definir la velocidad instantánea

en el tiempo 𝑡1 como el límite de la velocidad

media cuando ℎ se aproxima a 0:

𝑉𝑖 = limℎ→0

𝑉𝑚


𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1)

ℎ

P: ¿Tienes un ejercicio?

E: Si claro.

4

EJERCICIO: Una partícula se mueve en una

trayectoria dada por la ecuación del

movimiento:

𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡 + 1

a) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la

partícula en el tiempo t1?

Quiere que lo hagan y

empieza a dictarle al

muchacho, van

construyendo a partir de la

definición que acaban de

deducir.

Ella le va dictando, le pide

a Michael que dicte qué

sigue, él dice, pero ella lo

dicta. El muchacho de la

exposición bastante seguro.

La próxima clase será él.

b) ¿Cuál es la velocidad instantánea al cabo de

1 segundo?

P: Bueno lean el problema

a)


𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1)

ℎ

𝑉𝑖

= limℎ→0

(𝑡 + ℎ)3 + 3(𝑡 + ℎ) + 1 − 𝑡3 − 3𝑡 − 1

ℎ



La práctica de este episodio básicamente consiste en exponer el concepto de derivada como

tangente a una curva y como velocidad.


Problemas

P1:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el

punto P(1,3)

P2:

Una partícula se mueve en una trayectoria dada por la ecuación del movimiento:

𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡 + 1

a) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo 𝑡1?

b) ¿Cuál es la velocidad instantánea al cabo de 1 segundo?

Lenguaje

Verbal:

Derivada de una función, Límite, Recta tangente, Sucesión de rectas secantes,

velocidad instantánea de una partícula en un movimiento no uniforme.

Simbólico:

𝑚 = tan 𝛼, limℎ→0


ℎ, lim

ℎ→0

(𝑥+ℎ)2∗2(x+h)−(𝑥2∗2x)

ℎ,limℎ→0

𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2+2𝑥+2ℎ−𝑥2− 2𝑥

ℎ

limℎ→0

ℎ2+2𝑥ℎ+2ℎ

ℎ,limℎ→0

ℎ(ℎ+2𝑥+2)

ℎ,limℎ→0

(ℎ + 2𝑥 + 2) = 2𝑥 + 2, 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1),

𝑦 − 3 = 4(𝑥 − 1),𝑦 − 3 = 4𝑥 − 4,𝑦 = 4𝑥 − 4 + 3,𝑦 = 4𝑥 − 1 ,

𝑉𝑚 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙,𝑉𝑚 =

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

𝑡1+ℎ−𝑡1,𝑉𝑚 =

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ,𝑉𝑖 = lim

ℎ→0𝑉𝑚


𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ,𝑉𝑖 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ,𝑉𝑖 = lim

ℎ→0

(𝑡+ℎ)3+3(𝑡+ℎ)+1−𝑡3−3𝑡−1

ℎ

Conceptos

Derivada de una función, Límite, Recta tangente, Sucesión de rectas secantes,

velocidad instantánea de una partícula en un movimiento no uniforme.

Proposiciones

Previas:




Emergentes:

1) la recta tangente a la curva definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el punto P(1,3) es

𝑦 = 4𝑥 − 1

2) 𝑉𝑖 = limℎ→0

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ

3) Si una partícula se mueve en una trayectoria dada por la ecuación del movimiento:

𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡 + 1

la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo 𝑡1 es

limℎ→0

(𝑡 + ℎ)3 + 3(𝑡 + ℎ) + 1 − 𝑡3 − 3𝑡 − 1

ℎ

Procedimientos

P1:

1) Aplicar la ecuación para hallar la pendiente de la recta tangente en un punto.

2) Operar términos semejantes.

3) Factorizar.

4) Calcular el límite

5) Reemplazar x

6) Hallar la ecuación de la recta de forma punto-pendiente.


8) Despejar y.

P2:

1) Aplicar la ecuación para hallar la velocidad instantánea en un tiempo 𝑡1

Argumentos

Argumento 1:

Tesis:

la recta tangente a la curva definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el punto P(1,3) es 𝑦 =

4𝑥 − 1

Razón:

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 ∗ 2(x + h) − (𝑥2 ∗ 2x)

ℎ

= limℎ→0

𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + 2ℎ − 𝑥2 − 2𝑥

ℎ

= limℎ→0

ℎ2 + 2𝑥ℎ + 2ℎ

ℎ

= limℎ→0

ℎ(ℎ + 2𝑥 + 2)

ℎ

= limℎ→0

(ℎ + 2𝑥 + 2) = 2𝑥 + 2

𝑚(𝑥) = 2(1) + 2

𝑚 = 4

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = 4(𝑥 − 1)

𝑦 − 3 = 4𝑥 − 4

𝑦 = 4𝑥 − 4 + 3

𝑦 = 4𝑥 − 1

Argumento 2:

Tesis:

Si una partícula se mueve en una trayectoria dada por la ecuación del movimiento:

𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡 + 1


limℎ→0

(𝑡 + ℎ)3 + 3(𝑡 + ℎ) + 1 − 𝑡3 − 3𝑡 − 1

ℎ

Razón:

limℎ→0

(𝑡 + ℎ)3 + 3(𝑡 + ℎ) + 1 − 𝑡3 − 3𝑡 − 1

ℎ

[Ep. 13] Episodio 13: Derivada de Funciones Trascendentes Y Logaritmos

Sg. Observaciones Transcripción Actividad

Practicas No

verbales: Orales

y Escrito

1 12 Estudiantes 6:10

a.m.

Plantea el ejercicio:

escribe otro:

ANALISIS

P: Calcular 𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 =

0

P:Hallar 𝑦′′ en la ecuación: 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

SOLUCIÓN

𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

𝑦 + 𝑥𝑦′ + 1 − 2𝑦′ = 0

𝑦′(𝑥 − 2) = −𝑦 − 1

𝑦′ =(𝑦 + 1)

2 − 𝑥

𝑦′′ =𝑦′(2 − 𝑥) − (𝑦 + 1)(−1)

(2 − 𝑥)2

Entonces les da un rato

para que ellos trabajen el

primero que escribió en

el tablero, y bueno dice

que va a mostrar otra

forma de realizarlo: La

ventaja es que como hay

un punto pues plantea

las derivadas sin

despejar 𝑦’ ni

reemplazarla en 𝑦’’, sino

sustituye por los valores

numéricos, así:

𝑦′′ = ((𝑦 + 1)

(2 − 𝑥)) (

(2 − 𝑥) + 𝑦 + 1

(2 − 𝑥)2)

P: Calcular 𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 =

0

Sustituyendo 𝑥 = −1, 𝑦 = 1

2(−1)(1) + (−1)2𝑦’ + 3𝑦’ = 0

−2 + 𝑦’ + 3𝑦’ = 0 4𝑦’ = 2

𝑦’ =1

2

Luego

2𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦’ + 3𝑦’ = 0 2𝑦 + 2𝑥𝑦’ + 2𝑥𝑦’ + 𝑥2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

Sustituyendo

𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑦’ = 1/2

2(1) + 2(−1)(1/2) + 2(−1)(1/2) + (−1)2𝑦’’ + 3𝑦’’

= 0 2 − 1 − 1 + 𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

4𝑦’’ = 0 𝑦’’ = 0

2

Función exponencial

Andrea dicta:

P: Bueno ahora sí pueden hacer todos los ejercicios

propuestos y los hacen por la forma que más les parezca

fácil.

Derivadas de Funciones Trascendentes

P: Andrea, ¿Cuáles son las funciones trascendentes?, yo

les pedí que trajeran la ayuda didáctica de todas las

propiedades de las funciones trascendentes:

exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y todas sus

inversas. Si no hiciste tu resumen o no repasaste vas a

tener problemas. ¿Cómo son las funciones

exponenciales? Nadie, listo yo escribo.

Les pinta las gráficas en

bosquejo.

E: Función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 donde

𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1

E: Función Logarítmica: 𝑦 = log𝑏 𝑥 si y solo si 𝑥 = 𝑎𝑦

E: 𝑦 es el exponente al que se eleva la base 𝑎 para obtener

𝑥.

𝑦 = log𝑏 𝑥

Por eso la definición de función logarítmica es completa

con el bicondicional y todo.

P: ¿Cuáles son las 4 propiedades de los logaritmos?

LEYES

log𝑏 𝑏𝑥 = 𝑥

log𝑏 𝑏 = 1

log𝑏 1 = 0 (log 1 = 0)

𝑏log𝑏 𝑥 = 𝑥

log10 𝑥 = log 𝑥

log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 logaritmos naturales

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Si 𝑚, 𝑛 € 𝑅+entonces:

log𝑏(𝑚𝑛) = log𝑏 𝑚 + log𝑏 𝑛

log𝑏 (𝑚

𝑛) = log𝑏 𝑚 − log𝑏 𝑛

(log𝑏 𝑚)𝑐 = 𝑐 log𝑏 𝑚

P: La función exponencial y la logarítmica son

inyectivas por lo tanto son invertibles.

P: Propiedades de funciones inyectivas:

𝑏𝑥1 = 𝑏𝑥2

entonces

log𝑏 𝑥1 = log𝑏 𝑥2

entonces

𝑥1 = 𝑥2

P: Características de la función logarítmica, pues van a

ser contrarias a las exponenciales. El dominio de las

exponenciales son todos los reales, mientras que el

dominio de los logaritmos es: bueno repasen eso.

P: Quien es Euler? Un número mayor que cero,

decimal infinito no periódico, o sea un número

irracional.

3

Hace toda una reflexión

sobre que las

calculadoras no traen

sino dos teclas la de ln 𝑥

y log 𝑥 esa propiedad es

fundamental para hacer

la conversión porque si

no así le dejen sacar

calculadora en el

examen, pues la

calculadora no trae la

tecla de log en cualquier

base de cualquier

número. Pide varias

calculadoras y confirma

que no tienen sino dos

teclas, aun una

programable, pero la de

Alejo sí tiene una tecla

nueva: log cuadrito de

cuadrito.

log2 4

= log2 22

= 2 log2 2

= 2 ∗ 1

= 2

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES

LOGARITMICAS

P: Me faltó una propiedad:

log𝑏 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑏

P:Hay dos casos

1) Si 𝑦 = ln 𝑥 entonces 𝑦’ =1

𝑥 𝑑𝑥 y dice que esa

última parte 𝑑𝑥 es fundamental y no decir:

“derivada de ln 𝑥 =1

𝑥 ” ¡No! Falta la derivada de

la función, y propone el ejercicio:

𝑦 = ln(2𝑥2 − 3𝑥 + 8)

(5𝑥3)

𝑦′ =

(1

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥−3)−15𝑥2(2𝑥2−3𝑥+8))

(5𝑥3)2 )

Entonces 𝑦´ = _____

Reemplazó 𝑦′

porque tiene que

quedar en

términos de 𝑥, 𝑦.

𝑦′′ =2𝑦 + 2

2(2 − 𝑥)

4

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES

TRASCENDENTES:

P: 𝑦 = ln 𝑥 entonces 𝑦’ =1

𝑥𝑑𝑥 ustedes la van

completando a medida que avancemos)

Se va, continua el

resumen con el

resultado que acaba de

obtener y comenta: “una

demostración bonita,

pienso que a los

ingenieros toca hacerles

demostraciones a veces

para afianzar un

concepto.”

1) Calcular la derivada de cualquier función

logarítmica cuya base sea un número real mayor

que cero y diferente de 1.

Demostración:

𝑥 = 𝑏𝑦 ssi 𝑦 = log𝑏 𝑥 Tomando 𝑙𝑛 a ambos lados

ln 𝑥 = ln 𝑏𝑦

ln 𝑥 = 𝑦 ln 𝑏

𝑦 =ln 𝑥

ln 𝑏

log𝑏 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑏

P:Ahora se determina la derivada aplicando la regla del

cociente:

Como 𝑦 = log𝑏 𝑥 es equivalente 𝑦 =ln 𝑥

ln 𝑏

Derivando:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

(1𝑥) ln 𝑏 − ln 𝑥 ∗ 0

(ln 𝑏)2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

ln 𝑏

𝑥(ln 𝑏)2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥(ln 𝑏)

𝑑𝑦 =𝑑𝑥

𝑥(ln 𝑏)

5 Pone un ejemplo.

P: Ejemplo:

𝑦 = log3 𝑥2

P: Es equivalente

𝑦 =ln 𝑥2

ln 3

𝑦′ =2𝑥

𝑥2 ln 3

Ahora pone un

ejercicio.

𝑦′ =2𝑥

𝑥2(1,098)

𝑦′ =1,8214

𝑥

P:Ahora regálame otro:

P: Ejercicio :

P:Hallar la derivada de 𝑦 = log5𝑥3

𝑥2+1

P:Utilicen propiedades antes de derivar

𝑦 = log5 𝑥3 − log5(𝑥2 + 1)

𝑦 =3 ln 𝑥

ln 5−

ln(𝑥2 + 1)

ln 5

𝑦′ =3

xln 5−

2𝑥

(𝑥2 + 1) ln 5

P:Otro ejercicio:

𝑦 = ln (3𝑥

𝑥2 + 4)

P: Eso sería la derivada de 𝑙𝑛 por la derivada de la

función que es un cociente. Pero llevémosla a sumas y

restas por propiedades de logaritmos:

𝑦 = ln 3𝑥 − ln(𝑥2 + 4)

𝑦′ =1

3𝑥∗ 3 −

1

𝑥2 + 4∗ 2𝑥

6

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

P: Van a haber dos casos: uno cuando la base es 𝑒 y otra

cuando la base es 𝑛 ≠ 1 y 𝑛 > 0.

1) Base Euler:

Si 𝑦 = 𝑒𝑥 entonces 𝑦’ = 𝑒𝑥 ∗ 𝑑𝑥.

Les contó un chiste.

Nota: en el paso en que

deriva a ambos lados,

Aleja dijo que era la

derivada de un producto

y ella dijo que no, que se

notaba que no habían

estudiado y el parcial ya

es en 8 días porque ln 𝑎

una constante entonces

es la derivada de una

constante por una

función entonces queda

ln 𝑎).

Les planteó el ejercicio:

P: Estaban todas las funciones reunidas en una fiesta: la

cúbica con sus curvas bonitas, las irracionales luciendo

sus asíntotas, todas y por allá arrumada estaba Euler, las

demás le dijeron: “oiga Euler intégrese”, y ella respondió:

“me da lo mismo!!!” Ja jajá.

P: Entonces por eso es tan importante que la derivada de

Euler es Euler por la derivada de la función: 𝑑𝑥 es

importantísimo.

P: Si 𝑦 = 𝑒(5𝑥2+3)12

P: Entonces

𝑦′ = 𝑒(5𝑥2+3)1/2∗

1

2(5𝑥2 + 3)−

12 ∗ 10𝑥

𝑦′ = 𝑒√5𝑥2+3 ∗1

2√(5𝑥2 + 3)∗ 10𝑥

P: Pasemos ahora a la más interesante.

P: Si 𝑦 = 𝑎𝑥entonces 𝑦′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎 𝑑𝑥

Demostración:

Si 𝑦 = 𝑎𝑥 aplicando ln a ambos lados.

ln 𝑦 = ln 𝑎𝑥 propiedades de logaritmos

ln 𝑦 = 𝑥 ln 𝑎 derivando a ambos lados 1

𝑦𝑦′ = ln 𝑎 despejando y’

𝑦′ = 𝑦 ln 𝑎 reemplazando y

𝑦′ = 𝑎𝑥𝑦 ln 𝑎 𝑑𝑥

P: Ejercicio: 𝑦 = 10𝑥2

𝑦’ = 10𝑥2∗ 𝑙𝑛 10 (2𝑥)

𝑙𝑛10(2𝑥)

P: El tema de la próxima clase es trigonométricas si

hoy alcanzo después de la 1 les dejo un taller.



La práctica de este episodio básicamente consiste en derivar funciones logarítmicas.


Problemas

P1:

Calcular 𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0

P2:

Hallar 𝑦′′ en la ecuación: 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

P3:

Resolver log2 4

P4:

Hallar la derivada de 𝑦 = ln(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

P5:

Hallar la derivada de 𝑦 = log3 𝑥2

P6:

Hallar la derivada de 𝑥 = log5𝑥3

𝑥2+1

P7:

Hallar la derivada de 𝑦 = ln (3𝑥

𝑥2+4)

P8:

Hallar la derivada de 𝑦 = 𝑒(5𝑥2+3)1/2

P9:

Hallar la derivada de 𝑦 = 10𝑥2

Lenguaje

VERBAL:

Derivada de una curva en un punto, funciones logarítmicas, propiedades de los

logaritmos, leyes de los logaritmos, funciones exponenciales, derivada de funciones

logarítmicas, derivada de funciones exponenciales, Euler.

SIMBÓLICO:

𝑦′, 𝑦′′, 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0, 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0,𝑦 + 𝑥𝑦′ + 1 − 2𝑦′ = 0,𝑦′ =(𝑦+1)

2−𝑥

𝑦′(𝑥 − 2) = −𝑦 − 1,𝑦′′ =𝑦′(2−𝑥)−(𝑦+1)(−1)

(2−𝑥)2 ,𝑦′′ = ((𝑦+1)

(2−𝑥)) (

(2−𝑥)+𝑦+1

(2−𝑥)2 ),𝑦′′ =2𝑦+2

2(2−𝑥)

2(−1)(1) + (−1)2𝑦’ + 3𝑦’ = 0, −2 + 𝑦’ + 3𝑦’ = 0, 4𝑦’ = 2,𝑦’ =1

2, 2𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦’ +

3𝑦’ = 0

2𝑦 + 2𝑥𝑦’ + 2𝑥𝑦’ + 𝑥2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, ,2 − 1 − 1 + 𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0 , 4𝑦’’ =0,

𝑦’’ = 0, 𝑦’ = 1/2 ,2(1) + 2(−1)(1/2) + 2(−1)(1/2) + (−1)2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1, 𝑦 = log𝑏 𝑥 ssi 𝑥 = 𝑏𝑦 y=𝑎𝑥 𝑥 = 𝑎𝑦, 𝑦 = log𝑏 𝑥, log𝑏 𝑏𝑥 =

𝑥 log𝑏 𝑏 = 1, log𝑏 1 = 0 (log 1 = 0), 𝑏log𝑏 𝑥 = 𝑥, log10 𝑥 = log 𝑥, log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 ,

log𝑏(𝑚𝑛) = log𝑏 𝑚 + log𝑏 𝑛, log𝑏 (𝑚

𝑛) = log𝑏 𝑚 − log𝑏 𝑛, (log𝑏 𝑚)𝑐 = 𝑐 log𝑏 𝑚,

𝑏𝑥1 = 𝑥𝑥2 ,log𝑏 𝑥1 = log𝑏 𝑥2 , 𝑥1 = 𝑥2 , log𝑏 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑏, 𝑦’ =

1

𝑥 𝑑𝑥, ln 𝑥 = ln 𝑏𝑦,ln 𝑥 =

𝑦 ln 𝑏

𝑦 =ln 𝑥

ln 𝑏, log𝑏 𝑥 =

ln 𝑥

ln 𝑏, 𝑦 = ln

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)𝑦′ = (

1

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥−3)−15𝑥2(2𝑥2−3𝑥+8))

(5𝑥3)2 )

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

(1

𝑥) ln 𝑏−ln 𝑥∗0

(ln 𝑏)2 , 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

ln 𝑏

𝑥(ln 𝑏)2,𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥(ln 𝑏),𝑑𝑦 =

𝑑𝑥

𝑥(ln 𝑏), Si 𝑦 = 𝑎𝑥 ,ln 𝑥 = ln 𝑎𝑥,ln 𝑦 =

𝑥 ln 𝑎, 1

𝑦𝑦′ = ln 𝑎,𝑦′ = 𝑦 ln 𝑎, 𝑦′ = 𝑎𝑥𝑦 ln 𝑎 𝑑𝑥, 𝑦’ = 𝑒𝑥 ∗ 𝑑𝑥

Conceptos

Derivada de una curva en un punto, funciones logarítmicas, propiedades de los

logaritmos, leyes de los logaritmos, funciones exponenciales, derivada de funciones

logarítmicas, derivada de funciones exponenciales, Euler.

Proposiciones

Previas:



Propiedades de los logaritmos

Emergentes:

1) Si : 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 entonces 𝑦′′ =2𝑦+2

2(2−𝑥)

2) 𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0 es 0

3) log𝑏 𝑏𝑥 = 𝑥

4) log𝑏 𝑏 = 1

5) log𝑏 1 = 0 (log 1 = 0)

6) 𝑏log𝑏 𝑥 = 𝑥

7) log10 𝑥 = log 𝑥

8) log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 9) log𝑏(𝑚𝑛) = log𝑏 𝑚 + log𝑏 𝑛

10) log𝑏 (𝑚


11) (log𝑏 𝑚)𝑐 = 𝑐 log𝑏 𝑚

12) log𝑏 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑏

13) log2 4 = 2

14) 𝑆𝑖 𝑦 = ln 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦’ =1

𝑥 𝑑𝑥

15) Si 𝑦 = ln(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3) entonces 𝑦′ = (

1

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥−3)−15𝑥2(2𝑥2−3𝑥+8))

(5𝑥3)2 )

16) Si 𝑦 = log𝑏 𝑥 entonces 𝑑𝑦 =𝑑𝑥

𝑥(ln 𝑏)

17) Si 𝑦 = log3 𝑥2 entonces 𝑦′ =1,8214

𝑥

18) Si 𝑦 = log5𝑥3

𝑥2+1 entonces 𝑦′ =

3

xln 5−

2𝑥

(𝑥2+1) ln 5

19) Si 𝑦 = ln (3𝑥

𝑥2+4) entonces 𝑦′ =

1

3𝑥∗ 3 −

1

𝑥2+4∗ 2𝑥

20) Si 𝑦 = 𝑒(5𝑥2+3)1/2entonces 𝑦′ = 𝑒√5𝑥2+3 ∗

1

2√(5𝑥2+3)∗ 10𝑥

21) Si 𝑦 = 𝑎𝑥 entonces 𝑦′ = 𝑎𝑥𝑦 ln 𝑎 𝑑𝑥

22) Si 𝑦 = 10𝑥2 entonces y’ =10𝑥2

∗ ln 10 (2𝑥)

Procedimientos:

P1:

1) Reemplaza 𝑥, 𝑦 2) Opera términos semejantes

3) Despeja 𝑦′

4) Halla la segunda derivada de la ecuación inicial realizando derivada de un

producto

5) Reemplaza x, y, 𝑦′′ 6) Opera términos semejantes

7) Despeja 𝑦′′

P2:

1) Hallar primera derivada de la ecuación aplicando derivada del producto y

derivada de la suma.


3) Despejar 𝑦′

4) Hallar segunda derivada de la ecuación aplicando derivada del producto y

derivada de la suma.

5) Reemplazar 𝑦′

6) Despejar 𝑦′′

P3:

1) Escribir 4 en forma de potencia de 2

2) Aplicar propiedades de logaritmos

3) Operar términos semejantes

P4:

1) Aplicar derivada de una función logarítmica

P5:


2) Aplicar derivada de función logarítmica

3) Calcular valor del logaritmo


P6:

1) Aplicar propiedades de los logaritmos

2) Aplicar derivada de una suma


P7:




P8:

1) Aplicar derivada de una función exponencial en base Euler

P9:

1) Aplicar derivada de una función exponencial en base n.

Argumentos

Argumento 1:

Tesis:

𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0 es 0

Razón:


2(−1)(1) + (−1)2𝑦’ + 3𝑦’ = 0

−2 + 𝑦’ + 3𝑦’ = 0

4𝑦’ = 2

𝑦’ =1

2

Luego

2𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦’ + 3𝑦’ = 0

2𝑦 + 2𝑥𝑦’ + 2𝑥𝑦’ + 𝑥2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

Sustituyendo

𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑦’ = 1/2

2(1) + 2(−1)(1/2) + 2(−1)(1/2) + (−1)2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

2 − 1 − 1 + 𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

4𝑦’’ = 0

𝑦’’ = 0

Argumento 2:

Tesis:

Si : 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 entonces 𝑦′′ =2𝑦+2

2(2−𝑥)

Razón:

𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

𝑦 + 𝑥𝑦′ + 1 − 2𝑦′ = 0

𝑦′(𝑥 − 2) = −𝑦 − 1

𝑦′ =(𝑦 + 1)

2 − 𝑥

𝑦′′ =𝑦′(2 − 𝑥) − (𝑦 + 1)(−1)

(2 − 𝑥)2

𝑦′′ = ((𝑦 + 1)

(2 − 𝑥)) (

(2 − 𝑥) + 𝑦 + 1

(2 − 𝑥)2)

Reemplazó 𝑦′ porque tiene que quedar en términos de 𝑥, 𝑦.

𝑦′′ =2𝑦 + 2

2(2 − 𝑥)

Argumento 3:

Tesis:

log2 4 = 2

Razón:

log2 4

= log2 22

= 2 log2 2

= 2 ∗ 1

= 2

Argumento 4:

Tesis:

Si 𝑦 = ln(2𝑥2−3𝑥+8)


1

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥−3)−15𝑥2(2𝑥2−3𝑥+8))

(5𝑥3)2 )

Razón:

𝑦′ = (1

(2𝑥2 − 3𝑥 + 8)(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥 − 3) − 15𝑥2(2𝑥2 − 3𝑥 + 8))

(5𝑥3)2)

Argumento 5:

Tesis:

Si 𝑦 = log3 𝑥2 entonces 𝑦′ =1,8214

𝑥

Razón:

𝑦 =ln 𝑥2

ln 3

𝑦′ =2𝑥

𝑥2 ln 3

𝑦′ =2𝑥

𝑥2(1,098)

𝑦′ =1,8214

𝑥

Argumento 6:

Tesis:

Si 𝑦 = log5𝑥3


3

xln 5−

2𝑥

(𝑥2+1) ln 5

Razón:

𝑦 = log5 𝑥3 − log5(𝑥2 + 1)

𝑦 =3 ln 𝑥

ln 5−

ln(𝑥2 + 1)

ln 5

𝑦′ =3

xln 5−

2𝑥

(𝑥2 + 1) ln 5

Argumento 7:

Tesis:

Si 𝑦 = ln (3𝑥


1

3𝑥∗ 3 −

1

𝑥2+4∗ 2𝑥

Razón:

𝑦 = ln 3𝑥 − ln(𝑥2 + 4)

𝑦′ =1

3𝑥∗ 3 −

1

𝑥2 + 4∗ 2𝑥

Argumento 8:

Tesis:

Si 𝑦 = 𝑒(5𝑥2+3)1/2entonces 𝑦′ = 𝑒√5𝑥2+3 ∗

1

2√(5𝑥2+3)∗ 10𝑥

Razón:

𝑦′ = 𝑒(5𝑥2+3)1/2∗

1

2(5𝑥2 + 3)−

12 ∗ 10𝑥

𝑦′ = 𝑒√5𝑥2+3 ∗1

2√(5𝑥2 + 3)∗ 10𝑥

Argumento 9:

Tesis

Si 𝑦 = 10𝑥2 entonces y’ =10𝑥2

∗ ln 10 (2𝑥)

Razón:

y’ =10𝑥2∗ ln 10 (2𝑥)

[Ep. 14] Episodio 14: Funciones Hiperbólicas, Serpiente de Newton


verbales: Orales y

Escrito

1 Empezamos conectando

el computador de Alejo al

TV del salón abrimos

Geogebra para visualizar

la gráfica de la “serpiente

de Newton”, mientras en

el tablero aparece el

enunciado:

Apagamos para que ellos

hagan a mano la gráfica

antes de verla

representada en el TV

fotografió una gráfica que

hace a mano Santiago y

muy bien hecha según la

profesora. Ahora sí Alejo

proyecta la gráfica en el

tablero (tomé foto del

computador de Alejo y

del TV.

Ahora la profesora

escribe:

Encuentre los puntos en los que la recta tangente

a la curva: la serpiente de Newton es paralela al

eje X

𝑦 =4𝑥

𝑥2 + 1

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 0

0 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

2

Alejo hace visualizar esos

puntos en geogebra y se

proyecta el en TV para

que vean exactamente lo

que significa lo que

acabamos de hacer

Repasa asíntota vertical,

horizontal

P: Esto ya es la entrada para aplicaciones este es

un buen punto para examen no para parcial

porque pone en juego muchas cosas: los

profesores tenemos que buscar honestamente 10

puntos que ustedes puedan hacer sin calculadora

y fácilmente si tienen claro los conceptos.

P: Hagamos ahora el de la bruja de Agnesi:

𝑦 =8

(𝑥2+4)

P: Corte con el eje X: nunca porque 8 nunca es

cero, y ahora corte con el eje Y,

E: 2

P: No! 2 no es nada (0,2)

P: Bueno, ya la tenemos graficada mentalmente,

ahora si veamola en el TV.

P: Descarguen derive que es una herramienta

buena para tener en casa e ir revisando si lo que

vamos haciendo a mano está bien o no.

P: Bueno hagamos alguna otra del taller

3

Camilo le dicta:

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a la curva:

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ )

Y Alejo la está

representando en el

computador yo le tomo

foto al TV y a su

computador.

P: ya habíamos hecho en clase la primera

derivada y si usted revisa su cuadernito nos había

dado:

𝑓´(𝑥) =2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3

P: ¿Si es al cubo o a la cuarta?

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9

P: Les pido que revisen esos talleres, los hagan

porque de ahí se puede sacar un parcial.

4

Mientras Alejo ya tiene

representada en el TV

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛, porqué sale solo

ese pedacito.

Ella misma dice.

Al fin Andrea dicta:

P: Hagamos algo de funciones inversas,

recuerdan que la clase pasada trabajamos las

derivadas de las trigonométricas inversas la tarea

era revisar las funciones hiperbólicas.

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛−1(𝑥)

Sea u una función derivable en x

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑖𝑛−1𝑢 =

𝑢´

√1 − 𝑢2

P: Entonces alguien que me recuerde que es una

función hiperbólica

P: Bueno las funciones hiperbólicas resultan de

una propiedad muy importante que tienen las

funciones centradas en el origen.

E: Toda función f definida en un intervalo

centrado en el origen puede escribirse como la

suma de una función par y una función impar es

decir:

𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2+

𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2

Alejo visualiza seno

hiperbólico en el tablero

(foto)

𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)

2 Función PAR

𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)

2 Función IMPAR

P: Si En particular se representa de esta forma la

función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

𝐸𝑥 =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2+

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2

P: Y al primer pedacito se le llamo 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 y al

segundo pedacito se le llamó 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥

𝑥 =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2𝑐𝑜𝑠ℎ

𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2

P: Las derivadas de las funciones hiperbólicas te

dan en formas de funciones hiperbólicas mientras

que las de las derivadas inversas te van a dar en

formulas. Entonces mientras voy por la lista

quiero en el tablero las derivadas de las funciones

hiperbólicas y las de sus inversas.



La práctica de este episodio básicamente consiste en funciones hiperbólicas y derivar.


Problemas

P1: Encuentre los puntos en los que la recta tangente a la curva: la serpiente de Newton es

paralela al eje X

𝑦 =4𝑥

𝑥2+1

P2: Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ )

Lenguaje

Verbal: Derivada de una función, ecuación de la recta tangente, ecuación de la

recta normal, asíntota horizontal, asíntota vertical, la serpiente de newton, bruja de

agnesi, funciones hiperbólicas, derivadas de las funciones trigonométricas inversas,

derivadas de funciones hiperbólicas.

Simbólico:

𝑓´(𝑥)


𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2+

𝑓(𝑥) − 𝑥(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR


2+


2


2𝑐𝑜𝑠ℎ

𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2

Conceptos

Funciones, derivación, funciones inversas, funciones hiperbólicas, puntos de corte,

abscisas.

Proposiciones

Previas:



Funciones hiperbólicas resultan de una propiedad muy importante que tienen las funciones

centradas en el origen.

Emergentes:


𝑑


𝑢´

√1 − 𝑢2

Toda función f definida en un intervalo centrado en el origen puede escribirse como la

suma de una función par y una función impar es decir:

𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2+

𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR

Si En particular se representa de esta forma la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥


2+


2

Y al primer pedacito se le llamo 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 y al segundo pedacito se le llamó 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥

𝑥 =𝑥𝑥 + 𝑒−𝑥

2𝑐𝑜𝑠ℎ


2

Procedimientos:

1) Derivación (de tipos: constante, cociente, producto y potencia)

Argumentos:

Argumento 1:

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ ) ya habíamos hecho en clase la primera derivada y si usted revisa su

cuadernito nos había dado:

𝑓´(𝑥) =2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3

¿Si es al cubo o a la cuarta?

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9

Argumento 2:

Ahora la profesora escribe:

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 00 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

[Ep. 15] Episodio 15: Máximos y Mínimos



Escrito

1

Me advierte que va a correr

pues la próxima clase es el

tercer parcial y entonces

solo le quedan tres clases

más para todo lo que falta:

Gráficas, Máximos y

Mínimos, Problemas,

L’Hoppital….

Hace un dibujo de una

curva en el plano cartesiano

con ejes y pinta una

pendiente positiva en un

pedacito y en otro una

pendiente negativa para

ilustrarlo.

P: DEFINICION

P: La función f se dice que tiene un máximo relativo

en 𝑥 = 𝑐 si existe un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que

contenga a c tal que 𝑓 (𝑐) mayor o igual que 𝑓(𝑥)

para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏)

P: La función f se dice que tiene un mínimo relativo

en 𝑥 = 𝑐 si existe un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que

contenga a 𝑐 tal que 𝑓 (𝑐) menor o igual que 𝑓(𝑥)

para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏)

P: TEOREMA

P: Si 𝑓(𝑥) está definida para todos los valores de 𝑥 en

un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y tiene un extremo relativo

máximo o mínimo en 𝑥 = 𝑐, donde 𝑐 está en (𝑎, 𝑏) y

además 𝑓’(𝑐) existe entonces 𝑓’(𝑐) = 0.

Hace un dibujo de una curva le traza la tangente en un

máximo y en un mínimo y hace ver que ahí la

pendiente de la tangente es 0.

P: TEOREMA

Si 𝑓’(𝑥) mayor que 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏) entonces

𝑓(𝑥) es creciente en dicho intervalo

Si 𝑓’(𝑥) menor que 0 para todo 𝑥 en (𝑎, 𝑏) entonces

𝑓(𝑥) es decreciente en dicho intervalo

Da las definiciones y

teoremas de los

máximos y mínimos

CRITERIO DE LA

PRIMERA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y

MINIMOS

P: Sea 𝑓 una función continua en un intervalo abierto

(𝑎, 𝑏) donde 𝑐 pertenece a (𝑎, 𝑏) y cuya derivada

exista en (𝑎, 𝑏), excepto posiblemente en 𝑥 = 𝑐

Se dice que 𝑓 tiene un MÁXIMO RELATIVO

en 𝑥 = 𝑐 si antes de c la función es creciente y

después de c la función es decreciente.

Se dice que 𝑓 tiene un MINIMO RELATIVO

en 𝑥 = 𝑐 si antes de c la función es decreciente

y después de c la función es creciente.

MÉTODO

Se halla la primera derivada de la función

Se iguala 𝑓’(𝑥) = 0

Se determinan los valores críticos de la función

haciendo 𝑓’(𝑥) = 0 resuelva

Con los valores críticos se forman intervalos

para analizar donde 𝑓 es creciente y donde es

decreciente

De acuerdo al análisis de la variación de signos

se determinan máximos y/o mínimos de 𝑓.

3 Propone un ejercicio

Un estudiante llamado

Felipe responde a las

siguientes preguntas.

Análisis de simetría:

Ahora otra estudiante

llamada Andrea responde.

P: EJERCICIO

Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 hallar 𝐷𝑓

P: listo ¿Cuál es el dominio?

E: Los reales.

P: Listo cuantas concavidades tiene?

E: Dos.

P: Cuantos cortes con el eje X

E: No sé, pero…

P.- Cuantas raíces:

E: Tres

P: ¿Cuáles tres?

E: Reales o 1 real y 2 imaginarias.

P.- No puede haber 2 reales y una imaginaria…?

E: No!

…Porque si hay imaginarias vienen en parejas.

P: ¿Es simétrica?

E: Hay que evaluar la función en –x,

P: Entonces díctame te escucho:

Se analiza el dominio,

las concavidades, los

cortes con el eje x, las

raíces, la simetría, la

paridad y la derivada de

f(x) = x3 +3x2

Otra estudiante llamada

Catalina responde.

Varios muchachos van

dictando para reemplazar

los puntos.

Ella hace énfasis en que se

reemplaza es en la primera

derivada, y dibujan la

𝐹(−𝑥) = (−𝑥)3 + 3(−𝑥)2

𝐹(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2

P: ¿Te dio lo mismo?

E: No!

P: 𝐹(−𝑥) no es = 𝑓(𝑥) Entonces no es función par

P: 𝐹(−𝑥) no es = -𝑓(𝑥) Entonces no es función impar

Ahora para el corte con los ejes

E: Hay que hacer la función igual a 0

P: Cata díctame

P: Con Y: 𝑓(0) = 0 luego 𝑃(0,0)

E: Con X: 𝑓(𝑥) = 0 𝑥3 + 3𝑥2 = 0 factoriza y llega a

𝑥 = 0 con 𝑘 = 2; 𝑥 = 3 con 𝑘 = 1𝑃(0,0)𝑃(−3,0)

P: Ahora puntos críticos a ver… ¿Cómo es tu

nombre?

E: Catalina.

P: A ver Cata díctame… pero a ver…

E: Pues la derivada igual a 0.

𝐹’(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥

P: Y la igualamos a 0 de ahí despeja.

3𝑥2 + 6𝑥 = 0

3x(x + 2) = 0

𝑥 = 0 ; 𝑥 = −2

P: Cuando en el parcial me preguntan “¿Y dónde

reemplazo?” pues ahí me doy cuenta que no han

entendido nada,.. Nada de lo que estamos haciendo.

P: Bueno díctame Santiago? Santiago eres…

E: Camilo

Teoría y definiciones

para el análisis de la

segunda derivada

gráfica muy sencilla dice

ella y le pide a Alejo que

siempre lleva el computador

y lo conecta al TV que

proyecte la gráfica, la

comparan.

P.- ah perdón.

P: Uy tan bonito.

4 Y hace un dibujo de una

parábola le traza la tangente

en tres lugares distintos.

Luego dibuja al lado en otro

diagrama una parábola

hacia abajo, le dibuja la

tangente en tres lugares

distintos.

Y luego un tercer dibujo de

una curva donde la tangente

ni está por arriba ni está por

debajo sino un momento

hacia abajo y luego cambia

hacia arriba.

Y copia en el tablero:

P: Ahora vamos para el criterio de la segunda

derivada. Hagámonos esta pregunta:

P: ¿Qué posiciones adopta la curva respecto a su

tangente en las proximidades de tangencia?

P: Eso es cóncava hacia arriba.

P: Eso es cóncava hacia abajo.

P: Eso es lo que se llama un punto de inflexión,

estamos de acuerdo?

Si 𝑓’’(𝑥) mayor que 0 para todo x en (a,b) entonces

f(x) cóncava hacia arriba en (a,b)

Si 𝑓’’(𝑥) menor que 0 para todo x en (a,b) entonces

𝑓(𝑥) cóncava hacia abajo en (a,b)

P: El punto donde la tangente intersecta la curva, se

llama punto de inflexión. Son aquellos puntos donde

la curva cambia de concavidad, la segunda derivada

cambia de signo. Como la función es continua no

puede cambiar de +𝑎 − o de – 𝑎 + sin volverse cero,

por lo tanto si (𝑐

𝑐, 𝑓) ) es un punto de inflexión de f

entonces 𝑐

𝑓’’) existe y cumple que 𝑓’’(𝑐) = 0

P: Entonces ahora si enunciemos el Criterio de la 2ª.

Derivada, alguien lo leyó que me diga, nadie dice

nada, bueno obviamente no lo leyeron dice, entonces

escribe:

Análisis y solución del

ejercicio propuesto para

el análisis de la segunda

derivada

5

Alguien dice algo y ella

mirando al tablero todavía

dice:

Ahora habla Alejo y dice

más duro:

Entonces ahora sí arranca

Alejo dominio de la función

y cada uno va dictando cada

uno de los siguientes

aspectos:

Análisis de simetría dicta

John porque él quiere:

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y MINIMOS

Sea c un valor crítico de la función f

Si 𝑓’’(𝑐) menor que 0 entonces la gráfica de f

presenta un máximo relativo en 𝑥 = 𝑐

Si 𝑓’’(𝑐)mayor que 0 entonces la gráfica de f

presenta un mínimo relativo en x=c

Si el criterio no decide cómo se escribe no

decide? UN LAPSUS CALA, lo borra y lo

vuelve a escribir le parece extraño. Les hace

ver que los criterios son para máximos y

mínimos, no para otra cosa, entonces si no

puede por el de la segunda derivada pues los

halla por el de la primera derivada.

P: Un ejercicio completico con todo a ver:

𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4

P: Qué clase de función es?

P: No te oigo.

E: Racional

P: Si racional.

P: Tiene factores comunes?

E: No, no tiene.

E.- Df = Reales (−2,2)

𝐹(−𝑥) 𝑓(𝑥) función par simétrica respecto eje Y

P.- Corte con los ejes

Análisis de asíntotas

(Todos están hablando,

todos dictan alguno de los

aspectos, es el día que más

intervención he visto)

Felipe dicta la primera

derivada, dicta la

simplificación y llega a:

Y determinan los signos en

cada intervalo:

ella dice: f es creciente en

Catalina dice máximo! Y la

profe escribe y corrige:

Con Y, 𝑓(0) =−1

4 luego 𝑃 (0, −

1

4)

Con X, f(x) = 0 No corta al eje X porque 𝑥2 + 1 = 0

𝑥2 = −1 no es real

Vertical: se hace 𝑥2– 4 = 0 luego 𝑥 = −2, 𝑥 = 2

Horizontal: Como 𝑚 = 𝑛 entonces 𝑦 = 1

Oblicua: Como m distinto de n+1 no presenta

P.- Puntos Críticos

E.- −10𝑥 = 0𝑥 = 0

P.- entonces qué intervalos armamos:

E.- (−∞, 0) (0, ∞)

P.- Quien sigue? Tu nena, ahora qué vamos a

hacer??

E.- Darle valores

(−∞, 0) (0, ∞)

+ -

P.- Entonces nena como es el crecimiento

(−∞, 0) y decreciente en (0, ∞) )

P.- Catalina entonces qué hay máximo o mínimo en

𝑥 = 0

P.- En x=0 hay un máximo relativo en 0, −

1

4

𝑃)

Ahora qué? Andrea? Eh… qué? Concavidad?

E.- Si señora Concavidad

Una niña le dicta la segunda

derivada, pero rápidamente

el tono de voz de Esperanza

es el que va armando la

segunda derivada, ella

misma sigue simplificando

aunque se oye

permanentemente pasito la

voz de Catalina, cuando

termina y va a igualar a 0 le

dice gracias Catalina.

Nadie habla, mira a un

estudiante…

el no habla y ella dice

él lo lee

y escribe en el tablero:

𝐹’(𝑥) =−10𝑥

(𝑥2– 4)2

P.- Y ahora hacer lo mismo que hicimos con la

primera derivada f’’(𝑥) = 0regálame el numerador 0

P.- regálame el numerador 0,

P.- léeme el numerador,

E.- pues bueno igualado a 0 y llega a 𝑥2 =−4

3

P.- No pertenece a R entonces qué pasa ahí? Esto es

lo que nunca le explican a uno, es que no es cóncava

hacia nada? No!

P.- Es que como la función no es continua, se analiza

la concavidad en sus intervalos de continuidad,

No hay valores donde f’’ = 0

Como la función es discontinua en 𝑥 = ±2 se forman

los intervalos con estos valores:

(−∞, −2) (−2,2)(2, ∞)

F’’ + − +

Luego y Alejo dice eh… no

te pierdas qué estás

hallando ah si concavidad y

entonces Alejo dicta lo

siguiente que ella escribe en

el tablero:

Mientras cada uno está

graficando Alejo pasa al

computador para pintarla en

GEOgebra y proyectarla en

el TV, ahí esperamos un

rato, y mientras tanto ella

habla desde dónde es el

parcial.

Ellos dicen sí. Ella viene

hacia mí y me dice

Yo le digo si excelente,

genial, qué participativos,

merecen pasar todos.

Bueno ella coge el bolso y

les muestra la gráfica que

ella tiene en su cuaderno de

preparaciones de clase,

Alejo la muestra en el TV

siempre es deslumbrante

E.- F es cóncava hacia arriba (−∞, 2) , (2, ∞)

F es cóncava hacia abajo (−2,2)

P.- grafiquen: no puede estar bien la gráfica y no

todo el proceso ni lo contrario.

P.- Tengo un taller con todas las aplicaciones se los

dejó así?

P.- “si viste que hoy todos hablaron, varias veces,

todos participaron?



La práctica de este episodio básicamente consiste en máximos y mínimos.


Problemas

P1: Dada la función f(x) = x3 +3x2 hallar dominio, concavidades, cortes con el eje x, raíces,

simetría, paridad y la derivada.

P2: Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2–4 decir si

Es racional, Tiene factores comunes, Df, simétrica, Corte con los ejes, Puntos Críticos, intervalos,

graficar.

Lenguaje

Verbal: Simetría, derivada, puntos de corte, oblicuidad, factor, dominio, intervalos,

máximo, mínimo.

Simbólico:

𝑓’(𝑥) = 0, 𝑥 = 𝑐, 𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2–4, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2

Conceptos: Criterio De La Primera Derivada Para Máximos Y Mínimos, Criterio De La Segunda

Derivada Para Máximos Y Mínimos

Proposiciones

Previas: limites laterales, concepto de la derivada, reglas de derivación, regla de la cadena

Emergentes: N/A

Procedimientos:

1)simetría: 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 + 3(−𝑥)2 = 𝑓(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2

Corte con los ejes 𝑌: 𝑓(0) = 0𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜𝑃(0,0)

Con X: 𝑓(𝑥) = 0𝑥3 + 3𝑥2 = 0𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑦𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑎𝑥 = 0𝑐𝑜𝑛𝑘 = 2; 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑛𝑘 =

1𝑃(0,0)𝑃(−3,0)

2) Corte con los ejes :Con 𝑌, 𝑓(0) =−1

4𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜𝑃 (0, −

1

4) 𝐶𝑜𝑛𝑋, 𝑓(𝑥) = 0 No corta al eje X porque

𝑥2 + 1 = 0 𝑥2 = −1 no es real

Análisis de asíntotas Vertical: se hace 𝑥2– 4 = 0𝑙𝑥𝑒𝑔𝑜𝑥 = −2, 𝑥 = 2

Horizontal: Como m = n entonces y=1


Argumentos:

Argumento 1: N/A

[Ep. 16] Episodio 16: Aplicaciones – Tasa de Cambio

Sg. Observaciones Transcripción Actividades prácticas

no verbales: Orales y

escritas

1. Entro a las 6:15 a.m. 12

estudiantes, no hay título

en el tablero, veo un

enunciado

Hay el respectivo dibujo.

Función a maximizar

La profesora indica que la

derivada debe dar igual a

cero, que algo debió

quedar mal y que los

estudiantes deben

terminarlo.

Hallar el área máxima de un cuadrilátero inscrito

en una semicircunferencia de radio 6 cm.

Ejercicio 1:

𝐴(𝑥) = 2𝑥ℎ

𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2 + 2𝑥1

√𝑟2−𝑥2(−2𝑥)

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0

2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

La profesora toma el

Teorema de Pitágoras

para la resolución del

problema.

Reemplaza a h en la

función a maximizar

Deriva Área con

respecto a x:

2.

Le cuesta trabajo plantear

la siguiente proporción.

Los regañó y dijo que se

notaba que no habían

estudiado (¿de qué me

perdí? Pues la clase

Ejercicio 2:

P: Dado un triángulo escaleno de base 12 cm y

altura 6 cm. Hallar el área del mayor rectángulo

inscrito cuya base coincide con la base del

triangulo

Por triángulos semejantes:

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

Hace la respectiva

figura y con rojo resalta

el triángulo inscrito; le

pone las medidas

siguientes: al triangulo

grande de base 12 y la

base del pequeño X, y

llama Y a la altura que

queda entre los dos

triángulos.

anterior fue parcial y hoy

habla como si ya hubiera

hecho cosas de problemas

de máximos y mínimos)

Bueno, borró el tablero y

no alcancé a copiar el

resto.

Mientras borra va

comentando: “bueno,

veamos algunos de los de

la tarea… este me gusta,

está bueno como para un

parcial, no sé ustedes qué

opinan. Diego,

díctamelo”

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦

𝐴 = 12𝑦 − 2𝑦2

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦

12 − 4𝑦 = 0 12 = 4𝑦

3 = 𝑦

Para llegar aquí dio

algunos ejemplos de

proporcionalidad

3.

Diego le dicta el siguiente

ejercicio.

Ella les pregunta: “¿qué

es una catenaria? No,

pero ni siquiera buscaron

en el diccionario, así no se

puede porque si un

ejercicio habla de un

triángulo escaleno, pues

no voy a poder hacer el

ejercicio. El otro día en

National Geographyc o

Discovery Chanel, uno de

esos, mostraron como

calcularon la altura de la

ola para hacer el salto de

surf perfecto usando una

catenaria, y, ¿ustedes

creen que lo hizo un

publicista? ¡No! ¿Un

arquitecto? ¡no! Ellos no

son capaces de hacer eso,

eso lo hizo un ingeniero, o

Ejercicio 3

La Tensión mecánica en un cable suspendido en

forma de catenaria viene dada por

𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la densidad del cable es

w = 10 kg/m y la distancia a = 50 m. Calcular en

qué punto del cable la tensión es mínima.

𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ),

donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )

Derivando con respecto a x:

𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

La profesora escribe en

el tablero el ejercicio

que Diego le dicta.

Escribe ex como la suma

de una función par y una

impar, y hace también

un pequeño dibujo en el

tablero.

Empieza a escribir y a

desarrollar el problema

en el tablero.

alguien que sepa

matemáticas y le pagaron

toda la plata del mundo,

así que ingenieros…”

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0

Reemplazando T = 250(ex/50 + e-x/50)

T = 250 ( 1 + 1)

T = 500

4. Otro ejercicio, este me

gusta.

Esperanza dice: “Imagino

que ustedes no han salido

a echar cometa pero

imagínenselo, hagan un

dibujo y saquen los datos”

Con la calculadora,

rápidamente le dictaron

la ecuación h2 = x2 + y2,

dice que esa ecuación se

llama estática en algunos

libros de ingeniería muy

bonitos, pero que cuando

se introduce el tiempo ya

se llama la ecuación

dinámica.

Tercera aplicación de las derivadas

Ejercicio 4:

En un instante los catetos de un triángulo

rectángulo miden 8 cm y 6 cm respectivamente.

El primer cateto decrece a razón de 1𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔 y el

segundo crece a razón de 2𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué

rapidez está creciendo el área?

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando

Esperanza hace un

dibujo: un triángulo

rectángulo ubicado en la

posición estándar y pide

que le pongan nombres

a los catetos, entonces le

pone a los catetos 8 cm

y 6 cm.

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔) + 8 (

2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

5.

Después dice:

“Reemplazan y listo, ahí

les dejé unos ejercicios

en el tablero, me

cuentan”

Sale del salón. La

próxima es la última

clase: Regla de L’Hopital

Ejercicio 5:

Una cometa se eleva, cuando se encuentra a 16

metros de altura un viento horizontal sopla a

razón de 12𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué velocidad se está

soltando la cuerda de la cometa cuando se ha

utilizado 25 m?

𝑌 = 16 𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 h2 = x2 + y2

X = 19,2 m

derivando con respecto al tiempo

2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

Ahora retoma el

problema de la cometa y

hace un dibujito de un

triángulo rectángulo

otra vez, llama a la base

x al otro cateto 4 y a la

hipotenusa 25 dibuja la

cometa allá arriba en el

vértice del cateto y la

hipotenusa

𝑑ℎ

𝑑𝑡=

2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑡

+ 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑡

2ℎ

Ella escribe:

1. La arista de un cubo crece a razón de

4𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔 ¿Con qué rapidez está

creciendo el volumen cuando la arista es

de 10 cm?

2. La hipotenusa de un triángulo recto mide

60 cm. Un cateto aumenta a razón de

2𝑐𝑚/𝑠𝑒𝑔. ¿A qué velocidad cambia el

otro cuando la longitud del primero es de

36 cm?

3. Dos trenes parten simultáneamente de

una estación; el uno hacia el sur a 50 km/h

el otro hacia el Este a 70 km/h ¿Con qué

rapidez se separan?



La práctica de este episodio básicamente consiste en aplicaciones de la derivada.


Problemas

P1: Hallar el área máxima de un cuadrilátero inscrito en una semicircunferencia de radio

6 cm


P2: Dado un triángulo escaleno de base 12 cm y altura 6 cm. Hallar el área del mayor

rectángulo inscrito cuya base coincide con la base del triangulo

𝐴 = 𝑥𝑦

P3: La Tensión mecánica en un cable suspendido en forma de catenaria viene dada por

𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la densidad del cable es w = 10 kg/m y la distancia a = 50 m.

Calcular en qué punto del cable la tensión es mínima. (Hallar T)

P4: En un instante los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm

respectivamente. El primer cateto decrece a razón de 1𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔 y el segundo crece a razón de

2𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué rapidez está creciendo el área?

P5: Una cometa se eleva, cuando se encuentra a 16 metros de altura un viento horizontal

sopla a razón de 12𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué velocidad se está soltando la cuerda de la cometa cuando

se ha utilizado 25 m?

𝑌 = 16 𝑐𝑚; 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ? 𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿ 𝐻 = 25 𝑐𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?

Lenguaje

Verbal: Razón de cambio, derivada, velocidad, tensión, teorema de Pitágoras.

Simbólico: El área de un triángulo es igual 𝐴 =𝑥.𝑦

2 ,

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 ℎ2 = 𝑥2 + 𝑦2

Conceptos

Razón de cambio, Velocidad.

Proposiciones

Previas:

Teorema de Pitágoras 𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

La Tensión mecánica en un cable suspendido en forma de catenaria viene dada por 𝑇 =

(𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 .)

Emergentes:

1) 𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

↓

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

2) 𝑥

12=

6 − 𝑦

6

↓

𝑦 = 3

3) 𝑇 = (𝑤𝑎

2) (𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 . ) 𝑐𝑜𝑛 𝑤 = 10 𝑦 𝑎 = 50

↓

T=500

4) 𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

↓

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

5) 𝑌 = 16 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑐𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?

↓

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

Procedimientos:

1) Lectura y análisis del problema

2) Uso de fórmulas para despeje

3) Aplicación de derivadas

Argumentos:

Argumento 1:

Tesis: HALLAR EL ÁREA MÁXIMA DE UN CUADRILÁTERO INSCRITO

EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA DE RADIO 6 CM

Razón: Por el Teorema de Pitágoras 𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

↓

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2- 2x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0

2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

Argumento 2:

Tesis: Dado un triángulo escaleno de base 12 cm y altura 6 cm. Hallar el área del

mayor rectángulo inscrito cuya base coincide con la base del triangulo

Razón: 𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦

𝐴 = 12𝑦 − 2𝑦2

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦

12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

Argumento 3:

Tesis: La Tensión mecánica en un cable suspendido en forma de catenaria viene

dada por 𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la densidad del cable es w = 10 kg/m y la

distancia a = 50 m. Calcular en qué punto del cable la tensión es mínima.

Razón: 𝑇 = (𝑥𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ), donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )

Derivando con respecto a x: 𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0


T = 250 ( 1 + 1)

Argumento 4:

Tesis: En un instante los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm


𝑠𝑒𝑔 y el segundo crece a

razón de 2𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué rapidez está creciendo el área?

Razón:

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔) + 8 (

2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

Argumento 5:

Tesis: Una cometa se eleva, cuando se encuentra a 16 metros de altura un viento

horizontal sopla a razón de 12𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué velocidad se está soltando la cuerda

de la cometa cuando se ha utilizado 25 m?

Razón:

𝑌 = 16 𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m


2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

A.2 Matrices Categoriales

Ep. PROBLEMAS

1 P1: 𝑦 = 𝑥4 + 6𝑥 − 7

P2:

P3: 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

5𝑥2+4𝑥

2 P1:

Si a= 21; Ԑ =0,2 defina 𝑉Ԑ (𝑎)

P2:

𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛


3

1:

Determine la representacion simbolica de la funcion senosoidal de la forma

𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) para x entre –𝜋

2 y 2𝜋

,

𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = −4,


3, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒

𝜋

3 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎

P2: 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑 𝑉𝜀(𝑎)𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛

𝐴𝑛 =1−2𝑛


P3: 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛:

𝐴𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝑛,

P4: Calcule: lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)

P5: Clasifique la sucesión: 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)

P6: Si lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35 utilizando la definición formal de límite de una función, es cierto

afirmar que para un 휀 > 0 el valor de 𝛿 es:

P7: Calcular el siguiente límite:

lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1



𝑥→∞𝑓(𝑥)



𝑥→−1𝑓(𝑥)

5 Graficar la siguiente funcion a trozos

𝐏𝟏

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }

P2: 𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}

𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑐𝑒

lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

P3: 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|

P4: 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

P5: 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2

P6: 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3

6 P1:

𝑙𝑖𝑚𝑥→

𝜋3


1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥

P2:

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3

P3:

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)

7 P1: Determine para qué valor de “a” la función 𝑔(𝑥) es continua en 𝑥 = 1:

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P1.1: Calcular los limites laterales


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5

P2: Determinar si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 3:

𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3}

P3: Determinar si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 3

𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − ax, 𝑠𝑖 𝑥 = 33x + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

}

8 P1: Probar la continuidad de la función


2, −8)


𝑓(𝑥) = 3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)



P4: Calcular

lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4


1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

2. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

3. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

4. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8


𝑓(𝑥) =2𝑥 − 3

3𝑥 + 4 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑥𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑥 = −1


1. 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥2 + 2)

2. 𝑓(𝑥) = √5𝑥

3. 𝑓(𝑥) =1

𝑥4+𝑥2+1

4. 𝑓(𝑥) =3𝑡−7

𝑡2+5𝑡−4

5. 𝑓(𝑥) = 𝑥√2

6. 𝑓(𝑥) =𝑥5

𝑥3−5

9 P1:


P2:

Derivar 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

P3:

Derivar 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0

P4:

3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 = 0 𝑒𝑛 𝑃(0,2)

P5:

Hallar y’ e y’’ en la ecuación 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3

10 P1: ¿En qué puntos la tangente a la gráfica

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥

Es paralela al eje X?

P2: Sea

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

Hallar ERT, ERN en P (0,1/4)


𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)

En el punto de abscisa 𝑥 = −1

P4: Para qué valores de n la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

P5: : 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

11 P1:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el punto

P(1,3)

P2:

Una partícula se mueve en una trayectoria dada por la ecuación del movimiento:

𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡 + 1

a) ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo 𝑡1?

b) ¿Cuál es la velocidad instantánea al cabo de 1 segundo?

13 P1:

Calcular 𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0

P2:

Hallar 𝑦′′ en la ecuación: 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

P3:

Resolver log2 4

P4:

Hallar la derivada de 𝑦 = ln(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

P5:

Hallar la derivada de 𝑦 = log3 𝑥2

P6:

Hallar la derivada de 𝑥 = log5𝑥3

𝑥2+1

P7:

Hallar la derivada de 𝑦 = ln (3𝑥

𝑥2+4)

P8:

Hallar la derivada de 𝑦 = 𝑒(5𝑥2+3)1/2

P9:

Hallar la derivada de 𝑦 = 10𝑥2

14 P1: Encuentre los puntos en los que la recta tangente a la curva: la serpiente de Newton es

paralela al eje X

𝑦 =4𝑥

𝑥2 + 1

P2: Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva:

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ )

15 P1: Dada la función f(x) = x3 +3x2 hallar dominio, concavidades, cortes con el eje x,

raíces, simetría, paridad y la derivada.

P2: Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2–4 decir si

Es racional, Tiene factores comunes, Df, simétrica, Corte con los ejes, Puntos Críticos,

intervalos, graficar.

16 P1: Hallar el área máxima de un cuadrilátero inscrito en una semicircunferencia de radio 6 cm


P2: Dado un triángulo escaleno de base 12 cm y altura 6 cm. Hallar el área del mayor

rectángulo inscrito cuya base coincide con la base del triangulo

𝐴 = 𝑥𝑦

P3: La Tensión mecánica en un cable suspendido en forma de catenaria viene dada por

𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la densidad del cable es w = 10 kg/m y la distancia a = 50 m. Calcular

en qué punto del cable la tensión es mínima. (Hallar T)

P4: En un instante los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm respectivamente.

El primer cateto decrece a razón de 1𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔 y el segundo crece a razón de 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué rapidez

está creciendo el área?

P5: Una cometa se eleva, cuando se encuentra a 16 metros de altura un viento horizontal sopla

a razón de 12𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué velocidad se está soltando la cuerda de la cometa cuando se ha

utilizado 25 m?

𝑌 = 16 𝑐𝑚; 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ? 𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿ 𝐻 = 25 𝑐𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?

LENGUAJES

Ep. Verbal Simbólico

1 Factorización , funciones, funciones

derivadas, racionalización, radicación,

paridad, asíntotas

;

2 límite, épsilon, sucesión, enteros,

Vecindades

𝑉Ԑ (𝑎); |𝑥 − 𝑎| < Ԑ; An

3 Función sinusoidal, Limite, ,

indeterminación, factorización,

sucesiones, vecindad abierta, épsilon,

delta, demostración, Numero Real,

racionalización, asíntota, gráfica

Amplitud, periodo, desfase, Regla de

Rufini, sucesión oscilante, sucesión

acotada superiormente, sucesión acotada

inferiormente.

Términos de una sucesión, clasificación

de sucesiones, desplazamiento de fase,

representación simbólica,

indeterminado, división sintética,

función, cortes con los ejes, división

entre mayor potencia.

lim𝑛→∞

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ; 𝑦 =

𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) ; 𝑉𝜀(𝑎); 휀 > 0; 𝐴𝑛 =1−2𝑛

5𝑛; 𝛿 𝐴𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 (

𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) ; ;


3 ; lim

𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1 ;

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3

5 Límites de funciones racionales, Regla

de Ruffini, Limites laterales, Limites al

infinito, indeterminación, factorización,

Función segmentada, Función a trozos,

Valor Absoluto, demostración, Numero

Real, racionalización, asíntota, asíntota

horizontal y vertical gráfica.

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 };

lim𝑥→2

|𝑥2−4

𝑥−2|; lim

𝑛→∞𝑓(𝑥) ; lim

𝑥→1(

2𝑥

𝑥2−1−

1

𝑥−1); lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

; lim𝑥→0

𝑥(𝑥) ; lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2+2; lim

𝑥→−3

2𝑥

𝑥+3

6 Limites, continuidad, análisis de

funciones, puntos de corte, concavidad,

dominio, asíntota horizontal, asíntota

vertical, descomposición en factores

primos.

𝑙𝑖𝑚𝑥→

𝜋

3

𝑠𝑒𝑛(𝑥−𝜋

3)

1−2𝑐𝑜𝑠𝑥;

0

0; 𝑓(𝑥) =

𝑥2−𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1); 𝑓(𝑥) =

𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

7 Continuidad, Limite, Limites Laterales,

Discontinuidad, Indeterminación,

Función, Función a trozos,

Discontinuidad removible y no

removible.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) ; lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) =

∞; 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿; 𝑔(𝑥) =

{𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1 ; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1+𝑎𝑥2 + 2 =

𝑎 + 2 ; 𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a +

5 ; 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3}

8 Derivada, Ecuación recta tangente y

normal, Derivabilidad, Continuidad,

Limite, límite especial, indeterminación,


2, −8); 𝑓(𝑥) =

3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0);

𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 =

función real, factorización, binomio de

newton, racionalización, continuidad,

abscisa, regla de la recíproca, derivadas

de una potencia, derivadas de un

producto, derivada de un cociente,

derivada de una constante.

1;lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ; 𝐿𝑖𝑚 ; lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ; 𝑓′(𝑥) =

limℎ→0


ℎ;lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥−4; lim

𝑥→2

𝑥5−32

𝑥−2; 𝑓(𝑥) =

𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) =

𝑥𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1; 𝑔(𝑥) =

𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)] =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


≠ 0

𝑓(𝑥) =1


𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

9 Derivada de una función, Recta tangente,

La normal, derivada implícita.

𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥; 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5; 𝑦′ =−3𝑥2−2𝑦

2𝑥+3𝑦2 ; 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0;𝑦′ =−2𝑥−5𝑦

5𝑥−6; 3𝑥2 −

𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 = 0 ; 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3; 𝑦′ =2𝑥−𝑦

𝑥−2𝑦

; 𝑦′′ =18

(𝑥−2𝑦)3

10 Derivada, ecuación de la recta tangente,

tangente a la gráfica en un punto,

ecuación de la normal, abscisa, dominio,

puntos de corte con los ejes, asíntota

horizontal, asíntota vertical, derivadas

de orden superior, derivación implícita.

𝑑𝑦

𝑑𝑥 ; 𝑦´; 𝑓´(𝑥); 𝑓´´(𝑥); 𝑓´´´(𝑥); 𝑓𝑛(𝑥)

11 Derivada de una función, Límite, Recta

tangente, Sucesión de rectas secantes,

velocidad instantánea de una partícula en

un movimiento no uniforme.

𝑚 = tan 𝛼, limℎ→0


ℎ,

limℎ→0

(𝑥+ℎ)2∗2(x+h)−(𝑥2∗2x)

ℎ,limℎ→0

𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2+2𝑥+2ℎ−𝑥2− 2𝑥

ℎ

limℎ→0

ℎ2+2𝑥ℎ+2ℎ

ℎ,limℎ→0

ℎ(ℎ+2𝑥+2)

ℎ,limℎ→0

(ℎ + 2𝑥 + 2) =

2𝑥 + 2, 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1),

𝑦 − 3 = 4(𝑥 − 1),𝑦 − 3 = 4𝑥 − 4,𝑦 = 4𝑥 − 4 +3,𝑦 = 4𝑥 − 1 ,

𝑉𝑚 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙,𝑉𝑚 =

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

𝑡1+ℎ−𝑡1,𝑉𝑚 =

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ,𝑉𝑖 = lim

ℎ→0𝑉𝑚


𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ,𝑉𝑖 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ,𝑉𝑖 =

limℎ→0

(𝑡+ℎ)3+3(𝑡+ℎ)+1−𝑡3−3𝑡−1

ℎ

13 Derivada de una curva en un punto,

funciones logarítmicas, propiedades de

los logaritmos, leyes de los logaritmos,

funciones exponenciales, derivada de

funciones logarítmicas, derivada de

funciones exponenciales, Euler.

𝑦′, 𝑦′′, 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0, 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 =

0,𝑦 + 𝑥𝑦′ + 1 − 2𝑦′ = 0,𝑦′ =(𝑦+1)

2−𝑥

𝑦′(𝑥 − 2) = −𝑦 − 1,𝑦′′ =𝑦′(2−𝑥)−(𝑦+1)(−1)

(2−𝑥)2 ,𝑦′′ =

((𝑦+1)

(2−𝑥)) (

(2−𝑥)+𝑦+1

(2−𝑥)2 ),𝑦′′ =2𝑦+2

2(2−𝑥)

2(−1)(1) + (−1)2𝑦’ + 3𝑦’ = 0, −2 + 𝑦’ + 3𝑦’ =

0, 4𝑦’ = 2,𝑦’ =1

2, 2𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦’ + 3𝑦’ = 0

2𝑦 + 2𝑥𝑦’ + 2𝑥𝑦’ + 𝑥2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 =1, ,2 − 1 − 1 + 𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0 , 4𝑦’’ = 0,

𝑦’’ = 0, 𝑦’ = 1/2 ,2(1) + 2(−1)(1/2) + 2(−1)(1/2) + (−1)2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1, 𝑦 = log𝑏 𝑥 ssi 𝑥 = 𝑏𝑦

y=𝑎𝑥 𝑥 = 𝑎𝑦, 𝑦 = log𝑏 𝑥, log𝑏 𝑏𝑥 = 𝑥 log𝑏 𝑏 = 1,

log𝑏 1 = 0 (log 1 = 0), 𝑏log𝑏 𝑥 = 𝑥, log10 𝑥 =

log 𝑥, log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 , log𝑏(𝑚𝑛) = log𝑏 𝑚 + log𝑏 𝑛,

log𝑏 (𝑚

𝑛) = log𝑏 𝑚 − log𝑏 𝑛, (log𝑏 𝑚)𝑐 = 𝑐 log𝑏 𝑚,

𝑏𝑥1 = 𝑏𝑥2 ,log𝑏 𝑥1 = log𝑏 𝑥2 , 𝑥1 = 𝑥2 , log𝑏 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑏, 𝑦’ =

1

𝑥 𝑑𝑥, ln 𝑥 = ln 𝑏𝑦,ln 𝑥 = 𝑦 ln 𝑏

𝑦 =ln 𝑥

ln 𝑏, log𝑏 𝑥 =

ln 𝑥

ln 𝑏, 𝑦 = ln

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)𝑦′ =

(1

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥−3)−15𝑥2(2𝑥2−3𝑥+8))

(5𝑥3)2 )

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

(1

𝑥) ln 𝑏−ln 𝑥∗0

(ln 𝑏)2,

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

ln 𝑏

𝑥(ln 𝑏)2,𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥(ln 𝑏),𝑑𝑦 =

𝑑𝑥

𝑥(ln 𝑏), Si 𝑦 = 𝑎𝑥 ,ln 𝑦 = ln 𝑎𝑥,ln 𝑦 = 𝑥 ln 𝑎,

1

𝑦𝑦′ =

ln 𝑎,𝑦′ = 𝑦 ln 𝑎, 𝑦′ = 𝑎𝑥𝑦 ln 𝑎 𝑑𝑥, 𝑦’ = 𝑒𝑥 ∗ 𝑑𝑥

14 Derivada de una función, ecuación de la

recta tangente, ecuación de la recta

normal, asíntota horizontal, asíntota

vertical, la serpiente de newton, bruja de

agnesi, funciones hiperbólicas,

derivadas de las funciones

trigonométricas inversas, derivadas de

funciones hiperbólicas.

𝑓´(𝑥)


𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2+

𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR


2+


2


2𝑐𝑜𝑠ℎ


2

15 Simetría, derivada, puntos de corte,

oblicuidad, factor, dominio, intervalos,

máximo, mínimo.

𝑓’(𝑥) = 0, 𝑥 = 𝑐, 𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2

16 Razón de cambio, derivada, velocidad,

tensión, teorema de Pitágoras. El área de un triángulo es igual 𝐴 =

𝑥.𝑦

2 ,

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠 ℎ2 = 𝑥2 + 𝑦2

Ep. CONCEPTOS

1 Teorema fundamental del algebra

2 Vecindades, Sucesiones

3 Vecindad, función trigonométrica, límite de sucesiones, límite de funciones, concepto de

límite con 휀, 𝛿, Gráficas de funciones racionales, límite indeterminado de tipo 0/0

5 Función trigonométrica, Regla de Ruffini, límite de funciones, limites laterales , Gráficas de

funciones racionales, valor absoluto, límite indeterminado de tipo 0/0 y de tipo a/0

6 Limites, continuidad.

7 Límites, Limites laterales, Continuidad, Discontinuidad, Discontinuidades removibles y no

removibles

8 Derivabilidad , Continuidad, Binomio de newton, Racionalización, Abscisa, Regla de la

recíproca

9 Derivada de una función, Recta tangente, La normal, derivada implícita.

10 Derivación, derivadas de orden superior, derivación implícita, puntos de corte, abscisa,

dominio.

11 Derivada de una función, Límite, Recta tangente, Sucesión de rectas secantes, velocidad

instantánea de una partícula en un movimiento no uniforme.

13 Derivada de una curva en un punto, funciones logarítmicas, propiedades de los logaritmos,

leyes de los logaritmos, funciones exponenciales, derivada de funciones logarítmicas, derivada

de funciones exponenciales, Euler.

14 Funciones, derivación, funciones inversas, funciones hiperbólicas, puntos de corte, abscisas.

15 Criterio De La Primera Derivada Para Máximos Y Mínimos, Criterio De La Segunda

Derivada Para Máximos Y Mínimos

16 Razón de cambio, Velocidad.

PREPOSICIONES

Ep. Previas Emergentes

1 Algebra fundamental, factorización ,

racionalización, simplificación de términos,

definición de función

𝑓(𝑥) =𝑥2−1

5𝑥2+4𝑥=

1

5+

4𝑥−5

5(5𝑥2+4𝑥)

2 Se denota 𝑉Ԑ (𝑎) : |𝑥 − 𝑎| < Ԑ |𝑥 − 𝑎| < Ԑ

−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ

𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ

1)

|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

−0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21

20.8 < Ԑ < 21.02

2)

Ԑ tiende a 0.5

↓


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6

−0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51

0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

3 Para las funciones continuas lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

(implícita)

Términos de una sucesión, periodo, fase,

sucesión oscilante, sucesión acotada

superiormente, sucesión acotada inferiormente,

evaluación de senos y cosenos de ángulos

especiales, algún significado de 휀 𝑦 𝛿, cálculo

de límites por factorización.

La representación simbólica de la función 𝑦 =

𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) es

𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋) Periodo

inicial: 6𝑥 − 2 𝜋 = 0 ; 𝑋 = 𝜋

3=

60 grados, termina en 2 𝜋

3, porque

periodo final 6𝑥 − 2 𝜋 = 2 𝜋 ;

𝑋 = 2𝜋

3

𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑖𝑛𝑑𝑎𝑑 𝑉𝜀(𝑎)𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠

𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛

𝐴𝑛

=1 − 2𝑛


𝑒𝑠:

휀 > 0,3: |𝑥 − 𝑎| < 휀, tal que

|𝑥 − (−0,4)| < 0,3, entonces

|𝑥 + 0,4| < 0,3 −0,3 < |𝑥 +

0,4| < 0,3 …

lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄

La sucesión: 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) es oscilante,

acotada superiormente por el valor 1 y acotada

inferiormente por -1

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35 , ∀휀 > 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑑 > 0,

𝑑 <𝜀

5

lim𝑥→1

𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1= 2

lim𝑥→−4

1

√13+𝑥−

1

3

𝑥+4 = -

1

18

5 Limites laterales

Una condición necesaria y suficiente

para que

lim𝑥→𝑎


i) lim𝑥→𝑎+


lim𝑥→𝑎−


ii) lim𝑥→𝑎+


𝑓(𝑥)

Los límites al infinito se resuelven

dividiendo por la mayor potencia de x.

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = −2 ; lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = 0

𝑐𝑜𝑚𝑜 lim𝑥→0−

≠ lim𝑥→0+

𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 lim𝑥→0

𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

(No explicito)

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2+2= 3

lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥+3 = No Existe

6 Definición de limite

Formas indeterminadas de limite 𝑙𝑖𝑚𝑥→

𝜋3


1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥=

0

0= ∅

Dominio

Concavidad

(𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎)

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

𝑥 + 2

𝑥 + 1

7 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 =

𝑎 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: (implícita)

1. 𝑓(𝑎) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒.

2. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

3. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Para que el límite exista, los límites laterales

deben ser iguales.


𝑥 = 𝑎, se dice que f posee una discontinuidad

esencial (no removible) en 𝑥 = 𝑎 si el límite de

la función no existe:


𝑓(𝑥) = ∞


𝑥 = 𝑎, se dice que 𝑓(𝑥) posee una

discontinuidad evitable (removible) en 𝑥 = 𝑎 si

el límite de la función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿

Funciones segmentadas

𝐸𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑎 𝑔(𝑥)

= {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1


= −3

𝑓(𝑥) =

{4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3} 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 =

3, 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑦 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑓(𝑥) =

{4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

−2, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3} (La escribieron igual que

antes, no arreglaron el error en el segundo

segmento).

8 Definición de la derivada

Ecuación recta tangente y normal


“Si una función es derivable o diferenciable en


√𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏

Si una función si una función es derivable en

𝑥 = 𝑎 entonces es continua en 𝑥 = 𝑎

𝑓(𝑥) = 2𝑥 −

9 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1

2, −8)

Si 𝑓(𝑥) =

𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0

Si 𝑓(𝑥) es una función continua en 𝑥 = 𝑎

entonces lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛−(𝑎)𝑛

𝑥−𝑎= 𝑛𝑎𝑛−1

Derivada de una potencia, sea 𝑓(𝑥) =

𝑥𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Derivada de una constante por la función, sea


Sean f y g funciones reales talque f’(x) y g’(x)

existe

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)]

=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2𝑠𝑖 𝑔(𝑥) ≠ 0

REGLA DE LA RECIPROCA: si g es


𝑓(𝑥) =1


𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2




1) la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥

se hace 0 para n>3

2) Si 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5 entonces 𝑦′ =−3𝑥2−2𝑦

2𝑥+3𝑦2

3) Si 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0 entonces𝑦′ =−2𝑥−5𝑦

5𝑥−6

4) la ecuación de las rectas tangente y

normal a la curva de ecuación3𝑥2 −

𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 = 0 𝑒𝑛 𝑃(0,2) son

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 = 2 𝑥 =0 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌

y’ e y’’ en la ecuación 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 son

𝑦′ =2𝑥−𝑦

𝑥−2𝑦 𝑦′′ =

18

(𝑥−2𝑦)3



𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)



𝑥 = −1

¿Cuál es el dominio?

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)

Cortes con los ejes: (3/2,0); (0,-4/3) Tiene


𝑦 =2

3

¿Para qué valores de n la derivada de 𝑓(𝑥) =3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0




1) La recta tangente a la curva definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el punto P(1,3) es

𝑦 = 4𝑥 − 1

2) 𝑉𝑖 = limℎ→0

𝑓(𝑡1+ℎ)−𝑓(𝑡1)

ℎ

3) Si una partícula se mueve en una

trayectoria dada por la ecuación del

movimiento:

𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡 + 1

la velocidad instantánea de la partícula en el

tiempo 𝑡1 es

limℎ→0

(𝑡 + ℎ)3 + 3(𝑡 + ℎ) + 1 − 𝑡3 − 3𝑡 − 1

ℎ



Propiedades de los logaritmos

1) Si : 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 entonces

𝑦′′ =2𝑦+2

2(2−𝑥)

2) 𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 −4 = 0 es 0

3) log𝑏 𝑏𝑥 = 𝑥

4) log𝑏 𝑏 = 1

5) log𝑏 1 = 0 (log 1 = 0)

6) 𝑏log𝑏 𝑥 = 𝑥

7) log10 𝑥 = log 𝑥

8) log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 9) log𝑏(𝑚𝑛) = log𝑏 𝑚 + log𝑏 𝑛

10) log𝑏 (𝑚


11) (log𝑏 𝑚)𝑐 = 𝑐 log𝑏 𝑚

12) log𝑏 𝑥 =ln 𝑥

ln 𝑏

13) log2 4 = 2

14) 𝑆𝑖 𝑦 = ln 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦’ =1

𝑥 𝑑𝑥

15) Si 𝑦 = ln(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3) entonces 𝑦′ =

(1

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥−3)−15𝑥2(2𝑥2−3𝑥+8))

(5𝑥3)2 )

16) Si 𝑦 = log𝑏 𝑥 entonces 𝑑𝑦 =𝑑𝑥

𝑥(ln 𝑏)

17) Si 𝑦 = log3 𝑥2 entonces 𝑦′ =1,8214

𝑥

18) Si 𝑦 = log5𝑥3


3

xln 5−

2𝑥

(𝑥2+1) ln 5

19) Si 𝑦 = ln (3𝑥


1

3𝑥∗ 3 −

1

𝑥2+4∗ 2𝑥

20) Si 𝑦 = 𝑒(5𝑥2+3)1/2entonces 𝑦′ =

𝑒√5𝑥2+3 ∗1

2√(5𝑥2+3)∗ 10𝑥

21) Si 𝑦 = 𝑎𝑥 entonces 𝑦′ = 𝑎𝑥𝑦 ln 𝑎 𝑑𝑥


∗ ln 10 (2𝑥)



Funciones hiperbólicas resultan de una

propiedad muy importante que tienen las

funciones centradas en el origen.


𝑑


𝑢´

√1 − 𝑢2

Toda función f definida en un intervalo

centrado en el origen puede escribirse como la

suma de una función par y una función impar es

decir:

𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2+

𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR

Si En particular se representa de esta forma la



2+


2

Y al primer pedacito se le llamo 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 y al

segundo pedacito se le llamó 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥


2𝑐𝑜𝑠ℎ


2

15 limites laterales, concepto de la derivada, reglas

de derivación, regla de la cadena

N/A

16 Teorema de Pitágoras 𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

La Tensión mecánica en un cable suspendido

en forma de catenaria viene dada por 𝑇 =

(𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 .)

1) 𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

↓

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

2) 𝑥

12=

6 − 𝑦

6

↓

𝑦 = 3

3) 𝑇 = (𝑤𝑎

2) (𝑒

𝑥

𝑎 +

𝑒−𝑥

𝑎 . ) 𝑐𝑜𝑛 𝑤 = 10 𝑦 𝑎 = 50

↓

T=500

4) 𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

↓

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

5) 𝑌 = 16 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑐𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?

↓

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

Ep. PROCEDIMIENTOS

1 1) Paridad: se analiza la función : 𝑓(𝑥) ≠ 𝑥(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)

2 Función creciente, función decreciente, función convergente, función divergente, valor

absoluto, operaciones con fracciones.

3 Cálculo de límites por evaluación

Racionalización

Cálculo de límites indeterminados del tipo 0/0

1) Evaluar la función en x=a

2) En caso de tener una indeterminación hay que expresar la función de una forma diferente

(hay que hacer un tratamiento usando propiedades)

3) Volver a evaluar para ver si desparece la indeterminación

4) En caso contrario hay que volver a hacer un tratamiento usando propiedades

5) Reemplazo de términos.

6) Despeje de ecuaciones,

7) Encajar y comparar épsilon,

8) Planteamiento y despeje de inecuaciones con valor absoluto,

9) Factorización,

10) División sintética,

11) Trazar asíntotas y graficar.

5 1) Cálculo de límites por evaluación


3) Racionalización


5) Factorización

6) Racionalización

2) 7) Regla de Ruffini



3) Racionalización


5) Factorización

3) 6) Racionalización



3) Factorización


4) 5) Calculo de limites por análisis de discontinuidades removibles y no removibles


2) Factorización


4) Racionalización

5) Regla de la recíproca

5) 6) Derivación (constante, cociente, producto y potencia)

9 P1:

1) Hallar la primera derivada

2) Hallar la segunda derivada

3) Hallar la tercera derivada.

P2:



3) Se factoriza 𝑦′ 4) Se despeja 𝑦′

P3:



3) Se factoriza 𝑦′ 4) Se despeja 𝑦′

P4:



3) Se factoriza 𝑦′ 4) Se despeja 𝑦′ 5) Se reemplaza x, y

6) Se halla la ecuación recta tangente usando pendiente-punto.

7) Se halla la recta de la normal.

P5:



3) Se factoriza 𝑦′ 4) Se despeja 𝑦′ 5) Se vuelve a derivar a ambos lados.

6) Se operan términos semejantes.

10 1) Derivación (de tipos: constante, cociente, producto y potencia)

2) Derivación implícita:

Derivar a ambos lados de la expresión con respecto a x

Trasponer términos con el objeto de tener las 𝑑𝑦



𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´

7)

11 P1:

1) Aplicar la ecuación para hallar la pendiente de la recta tangente en un punto.


3) Factorizar.

4) Calcular el límite

5) Reemplazar x

6) Hallar la ecuación de la recta de forma punto-pendiente.


8) Despejar y.

P2:

1)Aplicar la ecuación para hallar la velocidad instantánea en un tiempo 𝑡1

13 P1:

1) Reemplaza 𝑥, 𝑦 2) Opera términos semejantes

3) Despeja 𝑦′

4) Halla la segunda derivada de la ecuación inicial realizando derivada de un producto

5) Reemplaza x, y, 𝑦′′ 6) Opera términos semejantes

7) Despeja 𝑦′′

P2:

1) Hallar primera derivada de la ecuación aplicando derivada del producto y derivada de

la suma.


3) Despejar 𝑦′

4) Hallar segunda derivada de la ecuación aplicando derivada del producto y derivada de

la suma.

5) Reemplazar 𝑦′

6) Despejar 𝑦′′

P3:

1) Escribir 4 en forma de potencia de 2



P4:

1) Aplicar derivada de una función logarítmica

P5:



3) Calcular valor del logaritmo


P6:




P7:




P8:

1) Aplicar derivada de una función exponencial en base Euler

P9:

Aplicar derivada de una función exponencial en base n.

14 1) Derivación (de tipos: constante, cociente, producto y potencia)

15 1)Simetría: 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 + 3(−𝑥)2 = 𝑓(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2

Corte con los ejes 𝑌: 𝑓(0) = 0𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜𝑃(0,0)

Con X: 𝑓(𝑥) = 0𝑥3 + 3𝑥2 = 0𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑦𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑎𝑥 = 0𝑐𝑜𝑛𝑘 = 2; 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑛𝑘 =

1𝑃(0,0)𝑃(−3,0)

2) Corte con los ejes :Con 𝑌, 𝑓(0) =−1

4𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜𝑃 (0, −

1

4) 𝐶𝑜𝑛𝑋, 𝑓(𝑥) = 0 No corta al eje X

porque 𝑥2 + 1 = 0 𝑥2 = −1 no es real

Análisis de asíntotas Vertical: se hace 𝑥2– 4 = 0𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜𝑥 = −2, 𝑥 = 2

Horizontal: Como m = n entonces y=1


16 1) Lectura y análisis del problema

2) Uso de fórmulas para despeje

3) Aplicación de derivadas

Ep. ARGUMENTOS

1 Argumento 1:

Tesis

𝑦 = 𝑥4 + 6𝑥 − 7 Tiene 3 concavidades.

Razón

Si m=0 entonces paralela al eje 𝑋.


Si 𝑚 < 0 entonces la recta es decreciente y cuando es paralela al eje “y” entonces la “m” no

existe.

La pendiente No existe en los indeterminados. Estos son los ángulos de referencia: co-

terminales de cuadrante: 0,180,360,270, para no usar calculadora porque el último día

no se permite calculadora, pues tienen propiedades similares.

2 Argumento 1:

Tesis: Si a= 21; Ԑ =0,2 defina 𝑉Ԑ (𝑎)

Razón:

|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

−0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21

20.8 < Ԑ < 21.02

Argumento 2:

Tesis:

𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛


Razón:

Ԑ tiende a 0.5

↓


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6

−0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51

0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

3 Argumentos:

Argumento 1:

Tesis:

lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄

Razones: Porque ¿cuál es el límite de una sucesión?; es el valor al cual se acercan sus

términos, ¿a qué se acercan esos términos?… ¿a nada?

Argumento 2:

Tesis: ∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4− 35|< 휀, siempre que 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿

Razones: Factoriza el 5 factor común, 5(𝑥2 − 𝑥 − 20), luego la cuadrática…..5x-20 < 휀.

Así que 5(𝑥 − 4) < 휀, por lo tanto (𝑥 − 4) <𝜀

5

Por lo tanto termina escribiendo formalmente la definición con 𝑥 y 𝛿 encontrados.

Argumento 3:

Tesis:

lim𝑥→1


𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1 = lim

𝑥→1

(𝑥−1)3(𝑥+3)

(𝑥−1)3(𝑥+1) = lim

𝑥→1

(𝑥+3)

(𝑥+1)=

4

2= 2

Razón: División sintética: las posibles raíces son: ±1 y ±3. (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

Argumento 4:

Tesis: 𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1), 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑓(𝑥) =

𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

Razón: Por factorización de cada trinomio que compone el numerador y el denominador, y

luego por la simplificación del factor común. Capitulo V. Episodio 1. Segmento 10. Línea 3-

4-5 “¿tiene factores comunes? Entonces la factoriza, simplifica (x-3) y le queda.”

5 Argumento 1:

Tesis:

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1) =

1

2

Razón:

lim𝑥→1

(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)

lim𝑥→1

(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = lim

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2

Argumento 2:

Tesis

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2| = 𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Razón

lim𝑥→2+

(𝑥2 − 4

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2+(

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2+(𝑥 + 2) = 2 + 2 = 4

lim𝑥→2−

− (𝑥2 − 4

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2−− (

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑥 − 2) = lim

𝑥→2−−(𝑥 + 2) = −(2 + 2) = −4

Como los limites laterales son diferentes, lim𝑥→2

|𝑥2−4

𝑥−2| = 𝑁𝑜 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Argumento 3:

Tesis

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2= 3

Razón

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2(÷ 𝑥2) = lim

𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2

𝑥2

𝑥2 +2

𝑥2

= lim𝑥→∞

3

1 +2

𝑥2

= 3

Argumento 4:

Tesis

lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3= No Existe

Razón

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = −3: 2(−3)

−3 + 3= −

6

0

6 Argumento 1:

Tesis

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅

Razón

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋3

12sen x −

√32Cosx


sen x + √3cos x

sen x + √3cos x

Argumento 2:

Tesis

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

𝑥 + 2

𝑥 + 1

Razón

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)=

𝑥 + 2

𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 3

7 Argumento 1:

Tesis


𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑎 = −3

Razón

Analicemos 𝑔(1) con la segunda parte [g(x): cuando 𝑥 ≥ 1]

𝑔(1) = 𝑎 + 2

lim𝑥→1

𝑔(𝑥)

Como 𝑔(𝑥) es una función a “pedazos”, toca tomar los limites por la derecha y por la izquierda:


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5

Para que el límite exista, los límites laterales deben ser iguales. Igualando se obtiene:

𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1

Nuevamente aplicamos los tres puntos:

1. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1; 𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)

Por lo tanto el valor de 𝑎 = −3 para que 𝑔(𝑥) sea continua

8 Argumento 1:

Tesis:


Razón:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥


lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑎)𝑛


𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Argumento 2:

Tesis:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

Razón:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ+ lim

ℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Argumento 3:

Tesis:

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

Razón:

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

Argumento 4:

Tesis:

𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)12

Razón:

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

Argumento 5:

Tesis:

𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

Razón:

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6 + 5𝑥)−2 ∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

Argumento 6:

Tesis:

𝑓′(𝑥) =(4𝑥 − 1)(𝑥3 + 8) − (3𝑥2)(2𝑥2 − 𝑥 + 1)

(𝑥3 + 8)2

Razón:

𝑓′(𝑥) =4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

9 Argumento 1:

Tesis:

la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0 para n>3

Razón:

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓′′(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´′(𝑥) = 18

Argumento 2:

Tesis:

Si 𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5 entonces 𝑦′ =−3𝑥2−2𝑦

2𝑥+3𝑦2

Razón:

𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

3𝑥2 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = 0

2𝑥𝑦′ + 3𝑥2𝑦′ = −3𝑥2 − 2𝑦

𝑦′ =−3𝑥2 − 2𝑦

2𝑥 + 3𝑦2

Argumento 3:

Tesis:

Si 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0 entonces𝑦′ =−2𝑥−5𝑦

5𝑥−6

Razón:

𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0

2𝑥 + 5𝑦 + 5𝑥𝑦′ + 6𝑦′ = 0

𝑦′(5𝑥 + 6) = −2𝑥 − 5𝑦

𝑦′ =−2𝑥 − 5𝑦

5𝑥 − 6

Argumento 4:

Tesis:

la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8 =0 𝑒𝑛 𝑃(0,2) son 𝑦 = 2 , 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌

Razón:

6𝑥 − 2𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦2𝑦′ + 4𝑦′ = 0

4𝑦′ − 3𝑥2𝑦2𝑦′ = 2𝑥𝑦3 − 6𝑥

𝑦′ =2𝑥𝑦3 − 6𝑥

4 − 3𝑥2𝑦2

𝑦′(0,2) =2(0)(8) − 6(0)

4 − 3(0)(4)

𝑦′(0,2) =0

4= 0

𝑚𝑇 = 0 𝑃(0,2) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 = 0(𝑥 − 0)

𝑦 = 2


0


Argumento 5:

Tesis:

y’ e y’’ en la ecuación 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 son 𝑦′ =2𝑥−𝑦

𝑥−2𝑦 𝑦′′ =

18

(𝑥−2𝑦)3

Razón:

𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3

2𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0 → 𝑦′ =−2𝑥 + 𝑦

−𝑥 + 2𝑦

𝑦′ =2𝑥 − 𝑦

𝑥 − 2𝑦

𝑦′′ =(2 − 𝑦′)(𝑥 − 2𝑦) − (2𝑥 − 𝑦)(1 − 2𝑦′)

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =2𝑥 − 4𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + 4𝑥𝑦′ + 𝑦 − 2𝑦𝑦′

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥𝑦′ − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥 (

2𝑥 − 𝑦𝑥 − 2𝑦) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =(

6𝑥2 − 3𝑥𝑦𝑥 − 2𝑦 ) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =

6𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 6𝑦2

𝑥 − 2𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =6𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 6𝑦2

(𝑥 − 2𝑦)3

𝑦′′ =18

(𝑥 − 2𝑦)3

10 Argumento 1:

Tesis:

Para qué valores de n la derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0

Razón:

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

11 Argumento 1:

Tesis:

la recta tangente a la curva definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 en el punto P(1,3) es 𝑦 = 4𝑥 −

1

Razón:

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)2 ∗ 2(x + h) − (𝑥2 ∗ 2x)

ℎ

= limℎ→0

𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 2𝑥 + 2ℎ − 𝑥2 − 2𝑥

ℎ

= limℎ→0

ℎ2 + 2𝑥ℎ + 2ℎ

ℎ

= limℎ→0

ℎ(ℎ + 2𝑥 + 2)

ℎ

= limℎ→0

(ℎ + 2𝑥 + 2) = 2𝑥 + 2

𝑚(𝑥) = 2(1) + 2

𝑚 = 4

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 3 = 4(𝑥 − 1)

𝑦 − 3 = 4𝑥 − 4

𝑦 = 4𝑥 − 4 + 3

𝑦 = 4𝑥 − 1

Argumento 2:

Tesis:

Si una partícula se mueve en una trayectoria dada por la ecuación del movimiento:

𝑓(𝑡) = 𝑡3 + 3𝑡 + 1


limℎ→0

(𝑡 + ℎ)3 + 3(𝑡 + ℎ) + 1 − 𝑡3 − 3𝑡 − 1

ℎ

Razón:

limℎ→0

(𝑡 + ℎ)3 + 3(𝑡 + ℎ) + 1 − 𝑡3 − 3𝑡 − 1

ℎ

13 Argumento 1:

Tesis:

𝑦′′ en el P (-1,1) a la curva 𝑥2𝑦 + 3𝑦 − 4 = 0 es 0

Razón:


2(−1)(1) + (−1)2𝑦’ + 3𝑦’ = 0

−2 + 𝑦’ + 3𝑦’ = 0

4𝑦’ = 2

𝑦’ =1

2

Luego

2𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦’ + 3𝑦’ = 0

2𝑦 + 2𝑥𝑦’ + 2𝑥𝑦’ + 𝑥2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

Sustituyendo

𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑦’ = 1/2

2(1) + 2(−1)(1/2) + 2(−1)(1/2) + (−1)2𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

2 − 1 − 1 + 𝑦’’ + 3𝑦’’ = 0

4𝑦’’ = 0

𝑦’’ = 0

Argumento 2:

Tesis:

Si : 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 entonces 𝑦′′ =2𝑦+2

2(2−𝑥)

Razón:

𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

𝑦 + 𝑥𝑦′ + 1 − 2𝑦′ = 0

𝑦′(𝑥 − 2) = −𝑦 − 1

𝑦′ =(𝑦 + 1)

2 − 𝑥

𝑦′′ =𝑦′(2 − 𝑥) − (𝑦 + 1)(−1)

(2 − 𝑥)2

𝑦′′ = ((𝑦 + 1)

(2 − 𝑥)) (

(2 − 𝑥) + 𝑦 + 1

(2 − 𝑥)2)

Reemplazó 𝑦′ porque tiene que quedar en términos de 𝑥, 𝑦.

𝑦′′ =2𝑦 + 2

2(2 − 𝑥)

Argumento 3:

Tesis:

log2 4 = 2

Razón:

log2 4

= log2 22

= 2 log2 2

= 2 ∗ 1

= 2

Argumento 4:

Tesis:

Si 𝑦 = ln(2𝑥2−3𝑥+8)


1

(2𝑥2−3𝑥+8)

(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥−3)−15𝑥2(2𝑥2−3𝑥+8))

(5𝑥3)2 )

Razón:

𝑦′ = (1

(2𝑥2 − 3𝑥 + 8)(5𝑥3)

) ((5𝑥3(4𝑥 − 3) − 15𝑥2(2𝑥2 − 3𝑥 + 8))

(5𝑥3)2)

Argumento 5:

Tesis:

Si 𝑦 = log3 𝑥2 entonces 𝑦′ =1,8214

𝑥

Razón:

𝑦 =ln 𝑥2

ln 3

𝑦′ =2𝑥

𝑥2 ln 3

𝑦′ =2𝑥

𝑥2(1,098)

𝑦′ =1,8214

𝑥

Argumento 6:

Tesis:

Si 𝑦 = log5𝑥3


3

xln 5−

2𝑥

(𝑥2+1) ln 5

Razón:

𝑦 = log5 𝑥3 − log5(𝑥2 + 1)

𝑦 =3 ln 𝑥

ln 5−

ln(𝑥2 + 1)

ln 5

𝑦′ =3

xln 5−

2𝑥

(𝑥2 + 1) ln 5

Argumento 7:

Tesis:

Si 𝑦 = ln (3𝑥


1

3𝑥∗ 3 −

1

𝑥2+4∗ 2𝑥

Razón:

𝑦 = ln 3𝑥 − ln(𝑥2 + 4)

𝑦′ =1

3𝑥∗ 3 −

1

𝑥2 + 4∗ 2𝑥

Argumento 8:

Tesis:

Si 𝑦 = 𝑒(5𝑥2+3)1/2entonces 𝑦′ = 𝑒√5𝑥2+3 ∗

1

2√(5𝑥2+3)∗ 10𝑥

Razón:

𝑥′ = 𝑒(5𝑥2+3)1/2∗

1

2(5𝑥2 + 3)−

12 ∗ 10𝑥

𝑦′ = 𝑒√5𝑥2+3 ∗1

2√(5𝑥2 + 3)∗ 10𝑥

Argumento 9:

Tesis


∗ ln 10 (2𝑥)

Razón:

y’ =10𝑥2∗ ln 10 (2𝑥)

14 Argumento 1:

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ ) ya habíamos hecho en clase la primera derivada y si usted revisa su cuadernito

nos había dado:

𝑓´(𝑥) =2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3

¿Si es al cubo o a la cuarta?

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9

Argumento 2:

Ahora la profesora escribe:

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 00 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

15 N/A

16 Argumento 1:

Tesis: HALLAR EL ÁREA MÁXIMA DE UN CUADRILÁTERO INSCRITO EN

UNA SEMICIRCUNFERENCIA DE RADIO 6 CM

Razón: Por el Teorema de Pitágoras 𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

↓

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2- 2x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0

2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

Argumento 2:

Tesis: Dado un triángulo escaleno de base 12 cm y altura 6 cm. Hallar el área del

mayor rectángulo inscrito cuya base coincide con la base del triangulo

Razón: 𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦

𝐴 = 12𝑦 − 2𝑦2

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦

12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

Argumento 3:

Tesis: La Tensión mecánica en un cable suspendido en forma de catenaria viene dada

por 𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑥 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la densidad del cable es w = 10 kg/m y la distancia a = 50

m. Calcular en qué punto del cable la tensión es mínima.

Razón: 𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ), donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )

Derivando con respecto a x: 𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0


T = 250 ( 1 + 1)

Argumento 4:

Tesis: En un instante los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm


𝑠𝑒𝑔 y el segundo crece a razón

de 2𝑐𝑚

𝑥𝑒𝑔. ¿Con qué rapidez está creciendo el área?

Razón:

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔) + 8 (

2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

Argumento 5:

Tesis: Una cometa se eleva, cuando se encuentra a 16 metros de altura un viento

horizontal sopla a razón de 12𝑚

𝑠𝑒𝑔. ¿Con qué velocidad se está soltando la cuerda de la

cometa cuando se ha utilizado 25 m?

Razón:

𝑌 = 16 𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m

Derivando con respecto al tiempo

2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

A.3 ANÁLISIS DE LOS EPISODIOS COMPLEMENTARIOS

A.3.1 Matrices de Facetas

*// Se utiliza para aclarar el carácter de idoneidad del segmento

[Ep. 1] Episodio 1. Discurso De La Profesora Sobre La Materia Y Algo Acerca De Funciones

Sg. Observación de la

Practica de clase EPISTÉMICO COGNITIVA Análisis

1 Nota: Observo que

hay 18 estudiantes

en clase, al final

pregunto cuántos

están inscritos: 46.

Les recomienda el

libro “Las 5

ecuaciones que

cambiaron el

mundo” de Michael

Guillen.

Les pregunta

cuántos lo han

leído, les advierte

que en el parcial va

a salir una pregunta

del libro,

P: [En consideración a mi

presencia hace un recuento de lo

que han visto en clase: cita los

siguientes temas]: casos de

factorización “porque no nos los

aprendimos, no los manejamos”,

propiedades de potenciación,

límites trigonométricos, han

trabajado bastante las funciones

trascendentes, las racionales.

P: [Hace énfasis en que hay que

entender el concepto de límite,

las funciones y el estudio de

gráficas, sucesiones y funciones

Derivadas, aproximación a la

recta tangente]

P: [En consideración a mi presencia

hace un recuento de lo que han visto

en clase: cita los siguientes temas]:

casos de factorización “porque no

nos los aprendimos, no los

manejamos”, propiedades de

potenciación, límites

trigonométricos, han trabajado

bastante las funciones



entender el concepto de límite, las

funciones y el estudio de gráficas,

sucesiones y funciones Derivadas,

aproximación a la recta tangente]

que no leen, los

hace quedar mal

pues dice que

nunca hacen una

tarea y les habla del

“dolor” un punto

que sale en el

parcial


veces que va a

salir: punto fijo.

2 P: ustedes confunden radicación

con racionalización. [Escribe la

siguientes expresiones en el

tablero]

;

P: Les aclara que

alguna es ecuación, otras

polinomios, una función, otra

igualdad y la última

sencillamente una identidad [Se

ve que se esfuerza en ser clara

por mí]. Y todas ellas ¿cómo se

llaman?: [Los estudiantes No

saben porque no manejan el

lenguaje de la disciplina] Son

expresiones.

P: ustedes confunden radicación con

racionalización. [Escribe la

siguientes expresiones en el tablero]

;

P: Les aclara que alguna

es ecuación, otras polinomios, una

función, otra igualdad y la última

sencillamente una identidad [Se ve

que se esfuerza en ser clara por mí].

Y todas ellas ¿cómo se llaman?:

[Los estudiantes No saben porque

no manejan el lenguaje de la

disciplina] Son expresiones.

*// Contiene carácter epistémico pues

propone varios ejemplos de notaciones

matemáticas en los que ella considera

deben aprender a diferenciar, de este

modo les aclara a que corresponde cada

expresión.

El segmento empieza con un

comentario acerca de la confusión de

los estudiantes en cuanto a ciertas

expresiones, propone algunas de ellas y

les aclara a que corresponde cada una,

finalmente un comentario de reproche.

El desarrollo de esta parte se ve muy

enfocado hacia la crítica y el reproche a

modo de llamado de atención o regaño

para algunos, pues le hace énfasis en

que no conocen el lenguaje de la

disciplina.

3 La docente hace

referencia a la

Ingeniería de

diferentes

universidades.

Habla de la utilidad

y pertinencia del

curso.

[Para aprender

además de

derivadas a leer, a

hablar en público].

Dice que en el curso

de Integral los

alumnos todos

asisten y participan,

muy distinto a este

curso tan atípico, y

que allá están

apeñuscados.

P: [Les escribe la función:

y pregunta] ¿Qué

pueden decir de esa función? En

cuanto a asíntotas verticales,

horizontales, oblicuas (les habla

de Geogebra),

P: Se sale del tema con un

comentario: ¿cómo se mide el

estado cultural de un pueblo?

(No leen ese libro que les ha

recomendado desde el comienzo

del semestre)

P: [Pasa a otro ejemplo: 𝑦 =𝑥4 + 6𝑥 − 7]

Tiene 3 concavidades, no

sabemos cuántos puntos de corte

pero conocemos el Teorema

Fundamental del Algebra.


Si m>0 entonces la línea recta es

creciente.

E2: ¿Es oblicua?

P: si 𝑚 < 0 entonces la recta es

decreciente y cuando es paralela

al eje “y” entonces la “m” no

existe.


y pregunta] ¿Qué pueden decir de

esa función? En cuanto a asíntotas

verticales, horizontales, oblicuas

(les habla de Geogebra),



estado cultural de un pueblo? (No

leen ese libro que les ha

recomendado desde el comienzo del

semestre)

P: [Pasa a otro ejemplo: 𝑦 = 𝑥4 +6𝑥 − 7]

Tiene 3 concavidades, no sabemos

cuántos puntos de corte pero

conocemos el Teorema




creciente.

E2: ¿Es oblicua?


decreciente y cuando es paralela al

eje “y” entonces la “m” no existe.

P: La pendiente No existe en los

indeterminados: [Confunden “no

*// Epistémico, les habla del teorema

fundamental del algebra y sus

postulado, les propone un par de

ejercicios que son base.

La docente empieza el segmento con un

ejercicio y unas preguntas pertinentes a

este, se desvía del tema hacia

comentarios e indirectas, retoma con

otro ejercicio sin resolver el anterior, les

habla sobre el teorema fundamental del

algebra, vuelve a mencionar

comentarios incomodos acerca de que

no saben diferenciar un “no existe con

un indeterminado”, hace énfasis en que

no se podrá utilizar la calculadora en el

último día.

Se ve que en este segmento de clase se

tornó un poco tenso el ambiente, debido

a que se estuvo caminando entre el tema

de la clase y algunas inconformidades



existe” con los indeterminados:

por ejemplo asumen que 6

0 =

0

6

P: Estos son los ángulos de

referencia: co-terminales de

cuadrante: 0, 180, 360, 270,

para no usar calculadora porque

el último día no se permite

calculadora, pues tienen

propiedades similares.

existe” con los indeterminados: por


0 =

0

6



cuadrante: 0, 180, 360, 270, para

no usar calculadora porque el

último día no se permite



de la docente respecto a los niveles que

ella esperaría de sus alumnos, en

conclusión no se avanzó en el tema y el

entorno pudo no haber ayudado a los

estudiantes a entender lo que se

pretendía.

4 Ocupa gran parte

de la clase en un

llamado de

atención.

P: Las mayores dificultades las

tienen en: Fracciones,

potenciación, radicación, no leer

en lenguaje matemático, no

tienen definiciones, por ejemplo

para resolver una cúbica, para

factorizar y 2 o 3 sustituciones.

P: En consecuencia, tomamos

malas decisiones (no estudiar) la

toma de decisiones es con sus

actitudes y van a repetir o a

“terceriar”. La teoría es

prioritaria. Si no tengo la teoría,

no hacemos ejercicios, nada tiene

sentido. No van a atención a

estudiantes: en todo el semestre

han ido 2 0 3 una sola vez: jamás

volvieron (se queja ante mi

presencia, es irónica).


tienen en: Fracciones, potenciación,

radicación, no leer en lenguaje

matemático, no tienen definiciones,

por ejemplo para resolver una

cúbica, para factorizar y 2 o 3

sustituciones.

P: En consecuencia, tomamos malas

decisiones (no estudiar) la toma de

decisiones es con sus actitudes y van

a repetir o a “tercerear”. La teoría es

prioritaria. Si no tengo la teoría, no

hacemos ejercicios, nada tiene


estudiantes: en todo el semestre han

ido 2 0 3 una sola vez: jamás



*// Presenta las dos idoneidades en la

epistémica es muy poco lo que hace

pues solo plantea un ejercicio que

debería poderse resolver ya con los

conocimientos previos. En la parte

cognitiva se ve el esfuerzo del

estudiante por resolver el problema

haciendo un uso mucho mayor y con

más abstracción de los conocimientos

bases aun cuando se le corrigen cosas,

este uso cognitivo hace que el

estudiante participe de forma activa y

segura.

La docente empieza con un llamado de

atención en el cual ocupa gran tiempo,

pasa a un par de ejercicios y continua

Plantea la tarea, un ejercicio en el

tablero:

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

5𝑥2 + 4𝑥

P: ¿Qué tipo de función es?,

¿Tiene factores comunes?, ni par,

ni impar, hagamos el análisis de

simetría: 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ≠−𝑓(𝑥)

P: [Pasó al tablero E3 (Gabriel) y

trabajó muy bien, ella le iba

corrigiendo pequeñas cosas de

escritura: halló cortes con los

ejes, primera derivada,…]

E2: yo hice el parcial, [salió a

resolverlo y lo hizo bien].

P: Usted puede hacer muchas

cosas, pero ¿Sirven para algo?


tablero:

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

5𝑥2 + 4𝑥

P: ¿Qué tipo de función es?, ¿Tiene

factores comunes?, ni par, ni impar,

hagamos el análisis de simetría:

𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)




escritura: halló cortes con los ejes,

primera derivada,…]



P: Usted puede hacer muchas cosas,

pero ¿Sirven para algo?

con su discurso y llamados de atención

con lo cual cierra.

La clase tiende a tornarse por momentos

como una catedra moralista en la que se

critica, aconseja y persuade las

actuaciones y consecuencias de sus

decisiones hace especial énfasis en que

se debe leer y estudiar por cuenta

propia. Quizás deje algo para

reflexionar en la cabeza de los alumnos

o quizás haya impulsado a que más

alumnos abandonaran el curso, su

discurso es un arma de doble filo en el

cual cada uno decide porque lado quiere

irse.


Practica de clase INTERACIONAL MEDIACIONAL Análisis

1 Nota: Observo que

hay 18 estudiantes

en clase, al final









*// Hay una interacción de manera más

directa por parte de la docente puesto

que los alumnos solo escuchan su

catedrático discurso. En la parte

pregunto cuántos













recta tangente]

Les pregunta cuántos lo han

leído, les advierte que en el

parcial va a salir una pregunta del

libro, que no leen, los hace

quedar mal pues dice que nunca

hacen una tarea y les habla del

“dolor” un punto que sale en el

parcial advirtiéndole varias veces

que va a salir: punto fijo.












Les recomienda el libro “Las 5

ecuaciones que cambiaron el

mundo” de Michael Guillen.

mediacional hace uso de un libro para

poder desarrollar el próximo parcial.

Se comienza la clase hace un recuento

de los temas que se han visto y la

importancia de que los tengan claros, se

sale del tema y se pasa a la parte de

discurso y llamado de atención, termina

haciendo énfasis en la importancia de

leer el libro pues de allí saldrá una

pregunta del parcial.

Al igual que todos los segmentos de

este episodio la clase transcurrió entre

los académico y los llamados de

atención, quizás esto sirva a los

estudiantes para tomar conciencia y

ponerse un poco más las pilas con el

curso.




tablero]

;

P: Les aclara que




;



*// Aquí hay una pequeña interacción de

la docente con los estudiantes, haciendo

énfasis en la falta de disciplina personal

de cada uno.

El segmento empieza con un

comentario acerca de la confusión de

los estudiantes en cuanto a ciertas










expresiones.








expresiones, propone algunas de ellas y

les aclara a que corresponde cada una,

finalmente un comentario de reproche.

El desarrollo de esta parte se ve muy

enfocado hacia la crítica y el reproche a

modo de llamado de atención o regaño

para algunos, pues le hace énfasis en

que no conocen el lenguaje de la

disciplina.

3 La docente hace

referencia a la

Ingeniería de

diferentes

universidades.


y pertinencia del

curso.

[Para aprender

además de

derivadas a leer, a


Dice que en el curso

de Integral los

alumnos todos

asisten y participan,


y pregunta] ¿Qué




de Geogebra),






del semestre)












semestre)


*// Presenta un pequeño pero notable

carácter interaccional debido a la

pregunta que les plantea.

La docente propone un ejercicio en

base a ello hilo de la clase y termina con

parte del teorema fundamental del

algebra.

El desarrollo de la clase se da de manera

muy normal en lo pertinente al tema a

desarrollar, con pequeñas

intervenciones de carácter personal ,

reflexivo y persuasivo cosa muy común

muy distinto a este

curso tan atípico, y

que allá están

apeñuscados.







creciente.

E2: ¿Es oblicua?




existe.





0 =

0

6



cuadrante: 0, 180, 360, 270,











creciente.

E2: ¿Es oblicua?








0 =

0

6



cuadrante: 0, 180, 360, 270, para





en ella, sin embargo les deja a sus

estudiantes algo a cerca de la

importancia que tiene el leer.

4 Ocupa gran parte

de la clase en un

llamado de

atención.











*// Hay un carácter mediacional, se hace

uso del tablero como elemento para

poner en práctica las habilidades de y

saberes del estudiante.
















tablero:

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

5𝑥2 + 4𝑥









sustituciones.




a repetir o a “terceriar”. La teoría es









tablero:

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

5𝑥2 + 4𝑥




𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)






La docente de toma la mayor parte de

este segmento para hacer un fuerte

llamado de atención a sus estudiantes

por su falta de conocimiento a estas

alturas del curso, por las malas

decisiones que toman y por la falta de

interés propio para estudiar por sus

cuenta, finalmente propone un ejercicio

que es desarrollado por un alumno en el

tablero.

Aunque sus discursos son repetitivos

esta vez se nota un grado de pertenencia

y preocupación por el estado de sus

estudiantes, y es por esto que su

llamado de atención se centra sobre la

base del saber tomar decisiones en la

vida, para que estas más tarde no tengan

que tener repercusiones negativas,

enfatiza en que el continuar así solo los

llevara a terciariar.












Practica de clase EMOCIONAL ECOLOGICA Análisis

1 Nota: Observo que

hay 18 estudiantes

en clase, al final

pregunto cuántos


Les recomienda el

libro “Las 5

ecuaciones que

cambiaron el

mundo” de Michael

Guillen.

Les pregunta

cuántos lo han

leído, les advierte

que en el parcial va

a salir una pregunta

del libro, que no

leen, los hace

quedar mal pues
















recta tangente]
















dice que nunca

hacen una tarea y

les habla del

“dolor” un punto

que sale en el

parcial


veces que va a

salir: punto fijo.




tablero]

;

P: Les aclara que










expresiones.




;










3 La docente hace

referencia a la

Ingeniería de

diferentes


y pregunta] ¿Qué






*// Este episodio tiene una carga

emocional al hacer una comparación

entre los cursos.

universidades.


y pertinencia del

curso.

[Para aprender

además de

derivadas a leer, a



de Geogebra),






del semestre)

Dice que en el curso de Integral

los alumnos todos asisten y

participan, muy distinto a este

curso tan atípico, y que allá están

apeñuscados.








creciente.

E2: ¿Es oblicua?










semestre)








creciente.

E2: ¿Es oblicua?








0 =

0

6



La docente propone un ejercicio en

base a ello hilo de la clase y termina con

parte del teorema fundamental del

algebra.

El desarrollo de la clase se da de manera

muy normal en lo pertinente al tema a

desarrollar, con pequeñas

intervenciones de carácter personal ,

reflexivo y persuasivo cosa muy común

en ella, sin embargo les deja a sus

estudiantes algo a cerca de la

importancia que tiene el leer.


existe.





0 =

0

6



cuadrante: 0, 180, 360, 270,





cuadrante: 0, 180, 360, 270, para





4 Ocupa gran parte

de la clase en un

llamado de

atención.
























sustituciones.




a repetir o a “terceriar”. La teoría es






*// Este segmento es sin duda el que

tiene más carga emocional por lo

profundo de su mensaje

La docente de toma la mayor parte de

este segmento para hacer un fuerte

llamado de atención a sus estudiantes

por su falta de conocimiento a estas

alturas del curso, por las malas

decisiones que toman y por la falta de

interés propio para estudiar por sus

cuenta, finalmente propone un ejercicio

que es desarrollado por un alumno en el

tablero.




tablero:

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

5𝑥2 + 4𝑥

















tablero:

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

5𝑥2 + 4𝑥




𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)










aunque sus discursos son repetitivos

esta vez se nota un grado de pertenencia

y preocupación por el estado de sus

estudiantes, y es por esto que su

llamado de atención se centra sobre la

base del saber tomar decisiones en la

vida, para que estas más tarde no tengan

que tener repercusiones negativas,

enfatiza en que el continuar así solo los

llevara a terciariar.

[Ep. 2] Episodio 2. Sucesiones y Límites De Sucesiones: Vecindad y uso de épsilon Ԑ y delta δ


práctica de clase

EPISTÉMICO COGNITIVA ANÁLISIS

1. Esta clase es la

introducción y

desarrollo de

límites de

sucesiones y donde

se trabaja el

concepto de

vecindad centrada

en épsilon.

(Hay en este

momento 6:10 de la

mañana 16

estudiantes).

P: Recordemos qué es una

sucesión. Ustedes vieron eso en

grado once y además la tarea

era leer sobre el tema.

E1: Es una función con dominio

en los números naturales.

P: Muy bien, se nota que has

leído. ¿De dónde estás leyendo?


6 hallar 6

términos

E1: 30, 60

P: ¿qué?

E1: grados

P: ah bueno, grados: 30, 60, 90,

120…

Nos da una lista ordenada de

términos que tienen un orden

pre establecido como

secuencias. Bueno y si el rango



además la tarea era leer sobre el

tema.

E1: Es una función con dominio en

los números naturales.

P: Muy bien, se nota que has leído.

¿De dónde estás leyendo?



E1: 30, 60

P: ¿qué?

E1: grados


120…


términos que tienen un orden pre

establecido como secuencias. Bueno

y si el rango son los Reales pues

pásenlo a Reales.

son los Reales pues pásenlo a

Reales.

E1:

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −1,0, −

1

2, −

√3

2, −1, 0

P: Pero no es posible esto si ya

hemos aprendido a calcular 90

ángulos sin calculadora...

hemos perdido el tiempo.

E1:

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −1,0, −

1

2, −

√3

2, −1, 0



ángulos sin calculadora... hemos

perdido el tiempo.

2. Escribe en el

tablero

CLASIFICACION

DE LA SUCESION

P: Bueno la sucesión ¿es

creciente? ¿Es decreciente? ¿Es

alternante?

E1. Es convergente

P: No por ahora no.

P: Creciente. Julián (Alejo)

regálame la definición


creciente si cada término de la

sucesión es ≥ al término

anterior. En lenguaje

matemático: 𝐴𝑛 es monótona

creciente si An≤An+1 para

todo n Natural

P: Bueno la sucesión ¿es creciente?

¿Es decreciente? ¿Es alternante?

E1. Es convergente

P: No por ahora no.

P: Creciente. Julián (Alejo) regálame

la definición



sucesión es ≥ al término anterior. En

lenguaje matemático: 𝐴𝑛 es

monótona creciente si An≤An+1 para

todo n Natural


los naturales

Nivel 1: Este segmento se

relaciona en la columna

epistémica porque hace

referencia a un concepto que

está consignado en el

programa del curso.

Nivel 2: El segmento está

basado en una definición dada

por un estudiante a petición de

la profesora, acerca de cuándo

una sucesión es decreciente.

𝐴𝑛 es una sucesión creciente si

𝐴𝑛 < 𝐴𝑛 + 1 para todo n que

pertenezca a los naturales

P: Alex deme una definición

bonita

𝐴𝑛 Es una sucesión monótona


sucesión es ≤ al término

anterior.


monótona decreciente si 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛 + 1 para todo n natural y

𝐴𝑛 es decreciente si 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛 + 1 para todo n natura


𝐴𝑛 es una sucesión monótona




monótona decreciente si 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛 + 1 para todo n natural y 𝐴𝑛 es

decreciente si 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛 + 1 para

todo n natural.

Nivel 3: La profesora le pide a

los estudiantes que definan An

como sucesión monótona

decreciente. Con esto, al

evidenciarse que los

estudiantes responder de

manera adecuada y segura, se

analiza que llevan consigo

buenas bases en dicho tema




calculadora

P: ¿Eso qué es?

E: Mi celular

P: Eso da vergüenza, eso sirve

para llamar, eso no es una

calculadora, ¡saquen una

calculadora!

P: Corrijan. Aquí hay un error

Manuel. Escribe en el tablero:

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −

1

2, −

√3

2, −1, −

√3

2, −

1

2, 0

Manuel: El quinto término de la



calculadora

P: ¿Eso qué es?

E: Mi celular






𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −

1

2, −

√3

2, −1, −

√3

2, −

1

2, 0

P: ¿Es creciente? ¡No! Porque se

coger cualquier término y debe ser

mayor que el anterior.


ubica en la columna Cognitiva

porque se está demostrando

una sucesión, un tema que ya

debió aprenderse con

anterioridad en un curso de

cálculo diferencial de

bachillerato.

Nivel 2: La sucesión que había

escrito el estudiante estaba

mal, entonces la profesora lo

corrige y le explica su error,

mientras que lo escribe en el

tablero.


coger cualquier término y debe

ser mayor que el anterior.


anterior (−1

2 ) ¡no! Entonces no

es decreciente.

E1: es alternante

P: Lea la definición de

alternante…ella misma

responde “un signo y luego

otro” ¿entonces? ¡No

Señala 0 es mayor que el anterior (−1

2

) ¡no! Entonces no es decreciente.

E1: es alternante


alternante…ella misma responde “un

signo y luego otro” ¿entonces? ¡No

Nivel 3: La profesora corrige

de manera adecuada al

estudiante, haciendo lo que un

buen profesor debe hacer, que

es hacerle caer en cuenta a los

estudiantes de los errores

comunes que pueden cometer

al desarrollar un ejercicio.

4. P: Escribe en el tablero:

Oscilante y trata de distinguir

entre oscilante y alternante. En

la oscilante se alternan las

cantidades, es decir van de

mayor a menor y en las

alternantes se alternan los

signos. Entonces esta del

ejemplo no es creciente, no es

decreciente, es oscilante.

Punto para el parcial de

sucesiones y de cuáles pues

trigonométricas para que toque

pensar: ¡bonito!

P: Escribe en el tablero: Oscilante y



las cantidades, es decir van de mayor

a menor y en las alternantes se

alternan los signos. Entonces esta del



Punto para el parcial de sucesiones y

de cuáles pues trigonométricas para

que toque pensar: ¡bonito!

5. Puso a los

estudiantes a

buscar la definición

del límite de una

sucesión y un

estudiante la leyó

. Copia en el tablero lo que le

dicta el estudiante:

P: Pero la definición formal no

la conclusión:


numero real L, si dada una

. Copia en el tablero lo que le dicta el

estudiante:


conclusión:



vecindad abierta en L, sólo un

número finito de términos de An

queda fuera de ella”.

Bueno, ¿hasta dónde entienden

esta definición?



E: No entiendo lo de vecindad

hasta la ,

P: Así se estudian las

matemáticas: lee, no entiende,

va y busca que es una vecindad:

¡no es la vecindad del chavo!

P: Escribe en el tablero

Definición de cercanía:




definición?



E: No entiendo lo de vecindad hasta

la ,

P: Así se estudian las matemáticas:

lee, no entiende, va y busca que es una

vecindad: ¡no es la vecindad del

chavo!


cercanía:

6 Define cercanía

entre dos puntos

con el fin de

explicar el concepto

de vecindad para

entender la

definición dada de

límite de una

sucesión

Dos puntos arbitrarios X e Y

sobre la recta real están cerca si

para una medida épsilon Ԑ (Ex)

la distancia entre ellos es menor

que Ԑ, es decir, escríbanlo

matemáticamente… no espera y

escribe de una vez:

|𝑥 − 𝑦| < Ԑ P: para eso vemos desigualdades

y ¿cómo se resuelven?

P: Definición de vecindad

abierta: Si 𝑎 pertenece a R y Ԑ es

una medida (Ԑ >0) una vecindad



medida épsilon Ԑ (Ex) la distancia

entre ellos es menor que Ԑ, es decir,

escríbanlo matemáticamente… no

espera y escribe de una vez:

|𝑥 − 𝑦| < Ԑ P: para eso vemos desigualdades y


P: Definición de vecindad abierta: Si

𝑎 pertenece a R y Ԑ es una medida (Ԑ

>0) una vecindad abierta con centro

en a y radio Ԑ está formada por todos

Nivel 1: Este fragmento se

relaciona a la columna

epistémica porque hace

referencia a la explicación de

un concepto consignado dentro

del programa del curso, por

parte tanto de un estudiante

como de la profesora.

Nivel 2: La profesora explica

por medio de la definición

conceptual y formal el tema de

vecindad abierta. No se

abierta con centro en a y radio Ԑ

está formada por todos los

valores x cuya distancia al punto

a es menor que Ԑ. Es decir, me

ayudas Alejo. Ella misma dice:

Se denota 𝑉Ԑ (𝑎) |𝑥 − 𝑎| < Ԑ

Luego recordando 𝑉Ԑ (𝑎) se

define |𝑥 − 𝑎| < Ԑ

−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ 𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ

los valores x cuya distancia al punto

a es menor que Ԑ. Es decir, me ayudas

Alejo. Ella misma dice:


Luego recordando 𝑉Ԑ (𝑎) se define |𝑥 − 𝑎| < Ԑ

−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ 𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ

percata sobre si los estudiantes

están entendiendo, únicamente

observa que copien lo que ella

habla en el cuaderno.

Nivel 3: Una estudiante le

pregunta cómo se resuelven las

desigualdades, a lo que la

profesora la ignora

completamente. Esta actitud

desmotiva a los estudiantes

dentro de un aula de clase,

pues, si piensa que sus dudas

no son importantes, pese a que

sea sobre un tema que ya debe

ser entendido, desanima

completamente afectando el

correcto aprendizaje.


aclaración: “Los

problemas que

ustedes tienen es

suma de

fraccionarios desde

los números hasta

las expresiones y

factorización y eso

no son problemas

del cálculo sino del

bachillerato”.

Plante un ejemplo

P:

Ej.: Si a= 21; Ԑ =0,2 defina

𝑉Ԑ (𝑎):

|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21 20.8 < Ԑ < 21.02 ¿Esto

qué es? y señala a la expresión…

¡¡¡Un intervalo!!! Luego una

vecindad abierta es un intervalo

abierto. Luego son todos los x

P:


|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21 20.8 < Ԑ < 21.02 ¿Esto qué es?

y señala a la expresión…



abierto. Luego son todos los x que

pertenecen a (20.8, 21.02) abierto.

Nivel 1: Debido a que este

segmento se trata de un

ejemplo, sobre vecindades, se

relaciona a la columna

epistémica.

Nivel 2: La profesora brinda

dos datos y una incógnita en el

ejemplo, y desarrolla este

problema, con ayuda de los

estudiantes.

que pertenecen a (20.8, 21.02)

abierto.

Termínalo Alejo. ¿Era difícil la

tarea? ¡Noo!

Volvemos a la definición de

límite de una sucesión a ver qué

podemos entender

Termínalo Alejo. ¿Era difícil la tarea?

¡Noo!

Volvemos a la definición de límite de

una sucesión a ver qué podemos

entender

Nivel 3: La profesora brinda la

información adecuada para

poder solucionar de manera

eficiente el ejercicio, y plantea

todas las variables allí

encontradas para su correcto

desarrollo.

8. La docente propone

un ejercicio en el

que se aplique lo

que acaba de

explicar

LA DOCENTE

RESUELVE EL

EJERCICIO EN EL

TABLERO.

Borro y escribió

entonces Ԑ > 0

La docente realiza

gráficas de las

funciones en el

tablero para

explicar las

asíntotas. Luego

𝑉Ԑ (𝑎) es

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ


𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛

Hallar 𝑉Ԑ (𝑎) que contenga

todos los términos de la sucesión

P:

𝐴𝑛 =𝑛−1

2𝑛 =

0

2,

1

4,

2

6,

3

8,

4

10,

5

12,

6

14,

7

16,

8

18,

9

20,

10

22, …

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛

= 50 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠49

100 = 0.49

¿A qué tienden? ¿A qué se

acercan?

Tienes que buscar al a y el Ԑ

(épsilon)


sucesión se acercan al valor 0,5

se toma este como centro de la

vecindad. Me falta buscar el Ԑ

(épsilon)


𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛




|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51 0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Tarea:


2𝑛 con a =

1

2

Se elige un Ԑ=1


|𝑥 −1

2| <

1

8

Nivel 1: Debido a que se trata

a un ejercicio de un tema que

está dentro del programa del

curso, este segmento se ubica

dentro de la columna

epistémica, mientras que,

dentro del desarrollo del

problema existen

procedimientos con

planteamientos que ya se han

trabajado se ubica también en

la columna cognitiva.

Nivel 2: La profesoras plantea

un ejercicio de sucesión,

donde dada una An, se quiere

saber una Ve que contenta

todos los términos de la

sucesión principal. Lo

desarrolla de manera adecuada

y paso por paso.

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 −0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

Se ubican los términos de la

sucesión en una recta real, ¿cuál

es Ԑ épsilon?

Dibuja la recta en el tablero y

ubica sobre ella a -1, -0.5, 0, 0.5,

1 y negrea el pedacito antes de

0.5

Luego Ԑ mayor que 0.5,

tomando Ԑ =0.6


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51 0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 +0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Tarea:


2𝑛 con a =

1

2

Se elige un Ԑ=1

8 desde que

término de

|𝑥 −1

2| <

1

8

−1

8< 𝑥 −

1

2<

1

8

−1

8+

1

2< 𝑥 <

1

8+

1

2

3

8< 𝑥 <

5

8

Nivel 3: L a profesora

desarrolla paso por paso la

sucesión y explica de manera

clara el ejercicio, y de manera

muy pasiva, evento que no se

presenta en todos los casos del

episodio.

−1

8< 𝑥 −

1

2<

1

8

−1

8+

1

2< 𝑥 <

1

8+

1

2

3

8< 𝑥 <

5

8


práctica de clase

INTERACCIONAL MEDIACIONAL ANÁLISIS

1. Esta clase es la

introducción y

desarrollo de

límites de

sucesiones y donde

se trabaja el

concepto de

vecindad centrada

en épsilon.

(Hay en este

momento 6:10 de la

mañana 16

estudiantes).

P: Recordemos qué es una

sucesión. Ustedes vieron eso en

grado once y además la tarea era

leer sobre el tema.

E1: Es una función con dominio

en los números naturales.

P: Muy bien, se nota que has

leído. ¿De dónde estás leyendo?


6 hallar 6

términos

E1: 30, 60

P: ¿qué?

E1: grados


120…



además la tarea era leer sobre el

tema.

E1: Es una función con dominio en

los números naturales.

P: Muy bien, se nota que has leído.

¿De dónde estás leyendo?



E1: 30, 60

P: ¿qué?

E1: grados


120…


términos que tienen un orden pre


relaciona en la columna

interaccional, ya que existe

una conversación entre el

estudiante y la profesora.

Nivel 2: La profesora le pide a

los alumnos una definición de

sucesión, a lo que un

estudiante le responde de

forma adecuada.

Nivel 3: La profesora responde

de manera correcta y

respetuosa a la intervención

del estudiante, y le aclara los

términos que debe usar para la

correcta comprensión del

ejercicio, al mismo tiempo que

les exige de manera indirecta

que deben saber cosas vistas

con anterioridad como los

ángulos radianes.


términos que tienen un orden

pre establecido como

secuencias. Bueno y si el rango

son los Reales pues pásenlo a

Reales.

E1:

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −1,0, −

1

2, −

√3

2, −1, 0



ángulos sin calculadora...

hemos perdido el tiempo.

establecido como secuencias. Bueno

y si el rango son los Reales pues

pásenlo a Reales.

E1:

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −1,0, −

1

2, −

√3

2, −1, 0



ángulos sin calculadora... hemos

perdido el tiempo.

2. Escribe en el

tablero

CLASIFICACION

DE LA SUCESION

P: Bueno la sucesión ¿es

creciente? ¿Es decreciente? ¿Es

alternante?

E1. Es convergente

P: No, por ahora no.

P: Creciente. Julián (Alejo)

regálame la definición

E: “𝐴𝑛 es una sucesión

monótona creciente si cada

término de la sucesión es ≥ al

término anterior. En lenguaje

P: Bueno la sucesión ¿es creciente?

¿Es decreciente? ¿Es alternante?

E1. Es convergente

P: No por ahora no.

P: Creciente. Julián (Alejo) regálame

la definición



sucesión es ≥ al término anterior. En

lenguaje matemático: 𝐴𝑛 es

Nivel 1: Se muestra

claramente una conversación

entre los estudiantes y la

profesora, acerca del tema

visto en clase.

Nivel 2: La profesora les

pregunta sobre la sucesión.

Analizan si es creciente o

decreciente, a lo que

matemático: 𝐴𝑛 es monótona

creciente si An≤An+1 para todo

n Natural

𝐴𝑛 es una sucesión creciente si

𝐴𝑛 < 𝐴𝑛 + 1 para todo n que

pertenezca a los naturales

P: Alex deme una definición

bonita

𝐸: 𝐴𝑛 es una sucesión

monótona decreciente si cada

término de la sucesión es ≤ al

término anterior.


monótona decreciente si 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛 + 1 para todo n natural y

𝐴𝑛 es decreciente si 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛 + 1 para todo n natural.

monótona creciente si An≤An+1 para

todo n Natural


los naturales


𝐴𝑛 es una sucesión monótona




monótona decreciente si 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛 + 1 para todo n natural y 𝐴𝑛 es

decreciente si 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛 + 1 para

todo n natural.

responden y , seguido a esto, la

profesora pide una definición.

Nivel 3: La profesora responde

todas las preguntas de manera

respetuosa, se evidencia, en

este segmento, una agradable

interacción, donde todos se

encuentran en comodidad para

responder, sin miedo a que la

profesora los regañe.




calculadora

P: ¿Eso qué es?

E: Mi celular

P: Eso da vergüenza, eso sirve

para llamar, eso no es una

calculadora, ¡saquen una

calculadora!



Manuel: El quinto término de la



calculadora

P: ¿Eso qué es?

E: Mi celular






Nivel 1: En este segmento se

evidencian dos cosas: una

conversación entre “Manuel” y

la profesora con todos los

estudiantes, acerca de la clase

y de su desarrollo. También se

analiza el uso de la calculadora

como instrumento para el

aprendizaje adecuado del

temario.

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −

1

2, −

√3

2, −1, −

√3

2, −

1

2, 0


coger cualquier término y debe

ser mayor que el anterior.


anterior (−1

2 ) ¡no! Entonces no

es decreciente.

E1: es alternante


alternante…ella misma

responde “un signo y luego

otro” ¿entonces? ¡No

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −

1

2, −

√3

2, −1, −

√3

2, −

1

2, 0


coger cualquier término y debe ser

mayor que el anterior.


2

) ¡no! Entonces no es decreciente.

E1: es alternante


alternante…ella misma responde “un

signo y luego otro” ¿entonces? ¡No

Nivel 2: La profesora pide una

revisión del ejercicio con la

calculadora, entonces un

alumno saca su celular y la

profesora le responde que esa

no es una herramienta

confiable para la clase.

Nivel 3: La profesora, al ver

que un estudiante saca su

celular a cambio de la

calculadora científica que

todos usan, se comporta de

manera un poco grosera,

diciendo que esa clase de

cosas son una “vergüenza”

para los ingenieros.

4. P: Escribe en el tablero:

Oscilante y trata de distinguir

entre oscilante y alternante. En

la oscilante se alternan las

cantidades, es decir van de

mayor a menor y en las

alternantes se alternan los

signos. Entonces esta del



Punto para el parcial de

sucesiones y de cuáles pues

trigonométricas para que toque

pensar: ¡bonito!

P: Escribe en el tablero: Oscilante y



las cantidades, es decir van de mayor

a menor y en las alternantes se




Punto para el parcial de sucesiones y

de cuáles pues trigonométricas para

que toque pensar: ¡bonito!

Nivel 1: La profesora le

explica a los estudiantes el

tema de Oscilante, lo que

evidencia una interacción en el

aula de clase.

Nivel 2: La profesora aclara

que este tema saldrá en el

próximo parcial, en tono de

amenaza, para poner a sus

estudiantes a “pensar”.

Nivel 3: La profesora en este

segmento se muestra de

manera neutra y pasiva, ya que

es únicamente la explicación

de una definición.

5. Puso a los

estudiantes a

buscar la definición

del límite de una

sucesión y un

estudiante la leyó

. Copia en el tablero lo que le

dicta el estudiante:

P: Pero la definición formal no

la conclusión:


numero real L, si dada una

vecindad abierta en L, sólo un

número finito de términos de An

queda fuera de ella”.

Bueno, ¿hasta dónde entienden

esta definición?



E: No entiendo lo de vecindad

hasta la…

P: Así se estudian las

matemáticas: lee, no entiende,

va y busca que es una vecindad:

¡no es la vecindad del chavo!


estudiante:


conclusión:






definición?



E: No entiendo lo de vecindad hasta

la ,

P: Así se estudian las matemáticas:

lee, no entiende, va y busca que es una

vecindad: ¡no es la vecindad del

chavo!

Nivel 1: La profesora le pide

a sus estudiantes una

definición formal del tema

respectivo, lo cual evidencia

una clara interacción.

Nivel 2: La profesora escribe

en el tablero la definición

dictada por un estudiante,

aclarando de manera

impaciente que ella no pidió

una conclusión sino la

definición formal.

Nivel 3: Pese a que un

estudiante le intenta preguntar

sobre el tema, la profesora lo

ignora completamente y sigue

con su explicación, siendo esta

P: Escribe en el tablero

Definición de cercanía:


cercanía:

una actitud descortés y

grosera, lo cual hace que se

pierda el interés en su clase

por parte de los estudiantes.

6 Define cercanía

entre dos puntos

con el fin de

explicar el concepto

de vecindad para

entender la

definición dada de

límite de una

sucesión

Dos puntos arbitrarios X e Y

sobre la recta real están cerca si

para una medida épsilon Ԑ (Ex)

la distancia entre ellos es menor

que Ԑ, es decir, escríbanlo

matemáticamente… no espera y

escribe de una vez:

|𝑥 − 𝑦| < Ԑ P: para eso vemos desigualdades

y ¿cómo se resuelven?

P: Definición de vecindad

abierta: Si 𝑎 pertenece a R y Ԑ es

una medida (Ԑ >0) una vecindad

abierta con centro en a y radio Ԑ

está formada por todos los

valores x cuya distancia al punto

a es menor que Ԑ. Es decir, me

ayudas Alejo. Ella misma dice:


Luego recordando 𝑉Ԑ (𝑎) se

define |𝑥 − 𝑎| < Ԑ

−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ 𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ



medida épsilon Ԑ (Ex) la distancia

entre ellos es menor que Ԑ, es decir,

escríbanlo matemáticamente… no


|𝑥 − 𝑦| < Ԑ P: para eso vemos desigualdades y


P: Definición de vecindad abierta: Si

𝑎 pertenece a R y Ԑ es una medida (Ԑ

>0) una vecindad abierta con centro

en a y radio Ԑ está formada por todos

los valores x cuya distancia al punto

a es menor que Ԑ. Es decir, me ayudas

Alejo. Ella misma dice:



−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ 𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ

Nivel 1: La profesora

pregunta a los estudiantes

sobre un ejercicio de

desigualdades que surge luego

del desarrollo de un problema

del tema visto en este episodio,

lo cual evidencia una clara

interacción.

Nivel 2: La profesora, luego

de la pregunta sobre las

desigualdades vuelve a brindar

otra definición del temario de

la materia.

Nivel 3: La profesora

nuevamente se muestra neutral

y pasiva en este segmento.


aclaración: “Los

problemas que

ustedes tienen es

suma de

fraccionarios desde

los números hasta

las expresiones y


no son problemas

del cálculo sino del

bachillerato”.

Plante un ejemplo

P:

Ej.: Si a= 21; Ԑ =0,2 defina

𝑉Ԑ (𝑎):

|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21 20.8 < Ԑ < 21.02 ¿Esto

qué es? y señala a la expresión…



abierto. Luego son todos los x

que pertenecen a (20.8, 21.02)

abierto.

Termínalo Alejo. ¿Era difícil la

tarea? ¡Noo!

Volvemos a la definición de

límite de una sucesión a ver qué

podemos entender

P:


|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21 20.8 < Ԑ < 21.02 ¿Esto qué es?

y señala a la expresión…



abierto. Luego son todos los x que

pertenecen a (20.8, 21.02) abierto.

Termínalo Alejo. ¿Era difícil la tarea?

¡Noo!

Volvemos a la definición de límite de

una sucesión a ver qué podemos

entender

Nivel 1: La profesora se dirige

a los estudiantes para la

explicación de vecindad, y

aclara que se hace por medio

de intervalos, por esto se

relaciona con la columna

interaccionalidad.

Nivel 2: Le pide a Alejandro

que termine el ejercicio, de

manera imparcial.

Nivel 3: Se muestra un poco

exaltada al pedirle a Alejandro

que termine el ejercicio, y al

decirle a los otros estudiantes

que el ejercicio no era difícil.

8. La docente propone

un ejercicio en el

que se aplique lo

que acaba de

explicar


𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛

Hallar 𝑉Ԑ (𝑎) que contenga

todos los términos de la sucesión


𝑥𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛



9. LA DOCENTE

RESUELVE EL

EJERCICIO EN EL

TABLERO.

P:

𝐴𝑛 =𝑛−1

2𝑛 =

0

2,

1

4,

2

6,

3

8,

4

10,

5

12,

6

14,

7

16,

8

18,

9

20,

10

22, …

P:

𝐴𝑛 =𝑛−1

2𝑛 =

0

2,

1

4,

2

6,

3

8,

4

10,

5

12,

6

14,

7

16,

8

18,

9

20,

10

22, …

Nivel 1:

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛

= 50 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠49

100 = 0.49

¿A qué tienden? ¿A qué se

acercan?

Tienes que buscar al a y el Ԑ

(épsilon)


sucesión se acercan al valor 0,5

se toma este como centro de la

vecindad. Me falta buscar el Ԑ

(épsilon)

Se ubican los términos de la

sucesión en una recta real, ¿cuál

es Ԑ épsilon?

Dibuja la recta en el tablero y

ubica sobre ella a -1, -0.5, 0, 0.5,

1 y negrea el pedacito antes de

0.5

Luego Ԑ mayor que 0.5,

tomando Ԑ =0.6


100

= 0.49 ¿A qué tienden? ¿A qué se acercan?



sucesión se acercan al valor 0,5 se

toma este como centro de la vecindad.

Me falta buscar el Ԑ (épsilon)

Se ubican los términos de la sucesión

en una recta real, ¿cuál es Ԑ épsilon?

Dibuja la recta en el tablero y ubica

sobre ella a -1, -0.5, 0, 0.5, 1 y negrea

el pedacito antes de 0.5

Luego Ԑ mayor que 0.5, tomando Ԑ

=0.6

10. Borro y escribió

entonces Ԑ > 0

La docente realiza

gráficas de las

funciones en el

tablero para

explicar las


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

asíntotas. Luego

𝑉Ԑ (𝑎) es

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 −0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

11. Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51 0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 +0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Tarea:


2𝑛 con a =

1

2

Se elige un Ԑ=1

8 desde que

termino de

|𝑥 −1

2| <

1

8

−1

8< 𝑥 −

1

2<

1

8

−1

8+

1

2< 𝑥 <

1

8+

1

2

3

8< 𝑥 <

5

8

Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51 0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Tarea:


2𝑛 con a =

1

2

Se elige un Ԑ=1


|𝑥 −1

2| <

1

8

−1

8< 𝑥 −

1

2<

1

8

−1

8+

1

2< 𝑥 <

1

8+

1

2

3

8< 𝑥 <

5

8

Sg. Observación de

la práctica de

clase

EMOCIONAL ECOLÓGICA ANÁLISIS

1. Esta clase es la

introducción y

desarrollo de

límites de

sucesiones y

donde se trabaja el

concepto de

vecindad centrada

en épsilon.

(Hay en este

momento 6:10 de

la mañana 16

estudiantes).

P: Recordemos qué es una sucesión. Ustedes

vieron eso en grado once y además la tarea

era leer sobre el tema.


números naturales.





E1: 30, 60

P: ¿qué?

E1: grados

P: ah bueno, grados: 30, 60, 90, 120…

Nos da una lista ordenada de términos que

tienen un orden pre establecido como

secuencias. Bueno y si el rango son los

Reales pues pásenlo a Reales.

E1:


Ustedes vieron eso en grado once y además

la tarea era leer sobre el tema.


números naturales.





E1: 30, 60

P: ¿qué?

E1: grados

P: ah bueno, grados: 30, 60, 90, 120…

Nos da una lista ordenada de términos que

tienen un orden pre establecido como

secuencias. Bueno y si el rango son los

Reales pues pásenlo a Reales.

E1:

𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −1,0, −

1

2, −

√3

2, −1, 0




𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −1,0, −

1

2, −

√3

2, −1, 0




2. Escribe en el

tablero

CLASIFICACIO

N DE LA

SUCESION



E1. Es convergente

P: No por ahora no.


definición

“𝐴𝑛 es una sucesión monótona creciente si

cada término de la sucesión es ≥ al término

anterior. En lenguaje matemático: 𝐴𝑛 es

monótona creciente si An≤An+1 para todo n

Natural

𝐴𝑛 es una sucesión creciente si 𝐴𝑛 < 𝐴𝑛 +1 para todo n que pertenezca a los naturales


𝐴𝑛 es una sucesión monótona decreciente si

cada término de la sucesión es ≤ al término

anterior.

En lenguaje matemático 𝐴𝑛 es monótona

decreciente si 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛 + 1 para todo n

natural y 𝐴𝑛 es decreciente si 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛 + 1

para todo n natural.



E1. Es convergente

P: No por ahora no.


definición

“𝐴𝑛 es una sucesión monótona creciente si

cada término de la sucesión es ≥ al término

anterior. En lenguaje matemático: 𝐴𝑛 es

monótona creciente si An≤An+1 para todo n

Natural

𝐴𝑛 es una sucesión creciente si 𝐴𝑛 < 𝐴𝑛 +1 para todo n que pertenezca a los naturales


𝐴𝑛 es una sucesión monótona decreciente si

cada término de la sucesión es ≤ al término

anterior.

En lenguaje matemático 𝐴𝑛 es monótona

decreciente si 𝐴𝑛 ≥ 𝐴𝑛 + 1 para todo n

natural y 𝐴𝑛 es decreciente si 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛 +1 para todo n natural.

3. Manuel: El quinto término de la sucesión está

mal: es positivo

P: Pues revísenlos todos en la calculadora

P: ¿Eso qué es?

E: Mi celular

P: Eso da vergüenza, eso sirve para llamar,

eso no es una calculadora, ¡saquen una

calculadora!



𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −

1

2, −

√3

2, −1, −

√3

2, −

1

2, 0


cualquier término y debe ser mayor que el

anterior.


2 ) ¡no!


E1: es alternante


misma responde “un signo y luego otro”

¿entonces? ¡No

Manuel: El quinto término de la sucesión

está mal: es positivo

P: Pues revísenlos todos en la calculadora

P: ¿Eso qué es?

E: Mi celular

P: Eso da vergüenza, eso sirve para llamar,

eso no es una calculadora, ¡saquen una

calculadora!



𝐴𝑛

= 1

2 ,

√3

2 , 1,

√3

2, −

1

2, 0, −

1

2, −

√3

2, −1, −

√3

2, −

1

2, 0


cualquier término y debe ser mayor que el

anterior.


2 ) ¡no!


E1: es alternante


misma responde “un signo y luego otro”

¿entonces? ¡No

4. P: Escribe en el tablero: Oscilante y trata de

distinguir entre oscilante y alternante. En la

oscilante se alternan las cantidades, es decir

van de mayor a menor y en las alternantes se

alternan los signos. Entonces esta del ejemplo

no es creciente, no es decreciente, es

oscilante.


cuáles pues trigonométricas para que toque

pensar: ¡bonito!

P: Escribe en el tablero: Oscilante y trata de

distinguir entre oscilante y alternante. En la

oscilante se alternan las cantidades, es decir

van de mayor a menor y en las alternantes se


ejemplo no es creciente, no es decreciente, es

oscilante.


cuáles pues trigonométricas para que toque

pensar: ¡bonito!

5. Puso a los

estudiantes a

buscar la

definición del

límite de una

sucesión y un

estudiante la leyó


estudiante:

P: Pero la definición formal no la conclusión:

“El 𝑙𝑖𝑚 de una sucesión A: es el numero real

L, si dada una vecindad abierta en L, sólo un

número finito de términos de An queda fuera

de ella”.


definición?



E: No entiendo lo de vecindad hasta la ,

P: Así se estudian las matemáticas: lee, no

entiende, va y busca que es una vecindad: ¡no

es la vecindad del chavo!


cercanía:


estudiante:

P: Pero la definición formal no la conclusión:

“El 𝑙𝑖𝑚 de una sucesión A: es el numero real

L, si dada una vecindad abierta en L, sólo un

número finito de términos de An queda fuera

de ella”.


definición?



E: No entiendo lo de vecindad hasta la ,

P: Así se estudian las matemáticas: lee, no

entiende, va y busca que es una vecindad: ¡no

es la vecindad del chavo!


cercanía:

6 Define cercanía

entre dos puntos

con el fin de

explicar el

concepto de

vecindad para

entender la

definición dada de

límite de una

sucesión

Dos puntos arbitrarios X e Y sobre la recta

real están cerca si para una medida épsilon Ԑ

(Ex) la distancia entre ellos es menor que Ԑ,

es decir, escríbanlo matemáticamente… no


|𝑥 − 𝑦| < Ԑ P: para eso vemos desigualdades y ¿cómo se

resuelven?


pertenece a R y Ԑ es una medida (Ԑ >0) una

vecindad abierta con centro en a y radio Ԑ está

formada por todos los valores x cuya

distancia al punto a es menor que Ԑ. Es decir,

me ayudas Alejo. Ella misma dice:



−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ 𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ

Dos puntos arbitrarios X e Y sobre la recta

real están cerca si para una medida épsilon Ԑ

(Ex) la distancia entre ellos es menor que Ԑ,

es decir, escríbanlo matemáticamente… no


|𝑥 − 𝑦| < Ԑ P: para eso vemos desigualdades y ¿cómo se

resuelven?


pertenece a R y Ԑ es una medida (Ԑ >0) una

vecindad abierta con centro en a y radio Ԑ

está formada por todos los valores x cuya

distancia al punto a es menor que Ԑ. Es decir,

me ayudas Alejo. Ella misma dice:



−Ԑ < 𝑥 − 𝑎 < Ԑ 𝑎 − Ԑ < 𝑥 < 𝑎 + Ԑ


aclaración: “Los

problemas que

ustedes tienen es

suma de

fraccionarios

desde los números

hasta las

expresiones y

factorización y

P:


|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21 20.8 < Ԑ < 21.02 ¿Esto qué es? y señala

a la expresión…

¡¡¡Un intervalo!!! Luego una vecindad abierta

es un intervalo abierto. Luego son todos los

x que pertenecen a (20.8, 21.02) abierto.

P:


|𝑥 − 21| < 0.2

−0.2 < 𝑥 − 21 < 0.2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 −0.2 + 21 < 𝑥 < 0.2 + 21 20.8 < Ԑ < 21.02 ¿Esto qué es? y

señala a la expresión…

¡¡¡Un intervalo!!! Luego una vecindad

abierta es un intervalo abierto. Luego son

eso no son

problemas del

cálculo sino del

bachillerato”.

Plante un ejemplo

Termínalo Alejo. ¿Era difícil la tarea? ¡Noo!

Volvemos a la definición de límite de una

sucesión a ver qué podemos entender

todos los x que pertenecen a (20.8, 21.02)

abierto.

Termínalo Alejo. ¿Era difícil la tarea? ¡Noo!

Volvemos a la definición de límite de una

sucesión a ver qué podemos entender

8. La docente

propone un

ejercicio en el que

se aplique lo que

acaba de explicar


𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛

Hallar 𝑉Ԑ (𝑎) que contenga todos los términos

de la sucesión


𝐴𝑛 =𝑛 − 1

2𝑛



9. LA DOCENTE

RESUELVE EL

EJERCICIO EN EL

TABLERO.

P:

𝐴𝑛 =𝑛−1

2𝑛 =

0

2,

1

4,

2

6,

3

8,

4

10,

5

12,

6

14,

7

16,

8

18,

9

20,

10

22, …


100 = 0.49

¿A qué tienden? ¿A qué se acercan?


P: Como todos los términos de la sucesión se

acercan al valor 0,5 se toma este como centro

de la vecindad. Me falta buscar el Ԑ (épsilon)

Se ubican los términos de la sucesión en una

recta real, ¿cuál es Ԑ épsilon?

Dibuja la recta en el tablero y ubica sobre ella

a -1, -0.5, 0, 0.5, 1 y negrea el pedacito antes

de 0.5

Luego Ԑ mayor que 0.5, tomando Ԑ =0.6

P:

𝐴𝑛 =𝑛−1

2𝑛 =

0

2,

1

4,

2

6,

3

8,

4

10,

5

12,

6

14,

7

16,

8

18,

9

20,

10

22, …


100 = 0.49

¿A qué tienden? ¿A qué se acercan?


P: Como todos los términos de la sucesión se

acercan al valor 0,5 se toma este como

centro de la vecindad. Me falta buscar el Ԑ

(épsilon)

Se ubican los términos de la sucesión en una

recta real, ¿cuál es Ԑ épsilon?

Dibuja la recta en el tablero y ubica sobre ella

a -1, -0.5, 0, 0.5, 1 y negrea el pedacito antes

de 0.5

Luego Ԑ mayor que 0.5, tomando Ԑ =0.6

10. Borro y escribió

entonces Ԑ > 0

La docente realiza

gráficas de las

funciones en el

tablero para

explicar las

asíntotas. Luego

𝑉Ԑ (𝑎) es

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 −0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1


|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.6 −0.6 < 𝑥 − 0.5 < 0.6

0.5−0.6 < 𝑥 < 0.5 + 0.6

−0.1 < 𝑥 < 1.1

11. Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51 0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Tarea:


2𝑛 con a =

1

2

Se elige un Ԑ=1


Con un Ԑ diferente

|𝑥 − 𝑎| < Ԑ

(𝑥 − 0.5) < 0.51 0.5−0.51 < 𝑥 < 0.51 + 0.5

−0.01 < 𝑥 < 1.01

𝑥 ∈ (−0.01 , 1.01)

Tarea:


2𝑛 con a =

1

2

Se elige un Ԑ=1


|𝑥 −1

2| <

1

8

−1

8< 𝑥 −

1

2<

1

8

−1

8+

1

2< 𝑥 <

1

8+

1

2

3

8< 𝑥 <

5

8

|𝑥 −1

2| <

1

8

−1

8< 𝑥 −

1

2<

1

8

−1

8+

1

2< 𝑥 <

1

8+

1

2

3

8< 𝑥 <

5

8

[Ep. 3] Episodio 3. Corrección de una evaluación sobre sucesiones y límites

Sg

.

Observación de la

Practica de clase EPISTÉMICO COGNITIVA

Análisis:

1 El lunes anterior hizo parcial y

va a resolverlo, para lo cual

pregunta sobre la fotocopia del

parcial pero ningún estudiante

la tiene, ni le responden.

(Hay en este momento 6:10 de

la mañana 8 estudiantes).



final

P: ¿Quien trajo la fotocopia

del parcial?

¿Hasta lo que hemos visto qué

creen que va para el examen

final?

E1: Graficación, continuidad,

límites,…

E2: por ejemplo una función

racional que sea discontinua y

analizar la discontinuidad.

P: no, no, no, eso no son temas

gruesos.

P: Queda un mes de clase y ni

siquiera tienen los objetivos

claros del curso mucho menos

dar 10 puntos para el examen.


del parcial?



final?


límites,…





gruesos.





En el primer momento de la clase se realiza

una breve contextualización y se dialoga

sobre lo que puede llegar a proponerse

como parcial, algunos estudiantes evocan

conceptos de clases anteriores y los exponen

como posibles puntos.

La profesora en respuesta a las

proposiciones, aclara que esos son temas

que representan un grado de dificultad.

Presenta carácter epistémico al realizar

repasos de conceptos trabajados

anteriormente



P: Bueno ¿Cómo les fue en el

parcial?, ¿Qué decía el primer



punto la función sinusoidal?

[Y fue avisado], el segundo

punto fue de sucesiones: hallar

una vecindad abierta que

contuviera todos los términos

de una sucesión y clasificarla.

Tercer punto: dada una función

con el valor del límite y tenía

que demostrar: ninguna era

cierto pero tenía que demostrar

con épsilon y delta.







Tercer punto: dada una función

con el valor del límite y tenía

que demostrar: ninguna era

cierto pero tenía que demostrar







trabajar, entonces ella termina

haciendo todo en el tablero]






P: dada la función 𝑦 =𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) para x entre

–𝜋

2 y 2𝜋


3


3 a la

derecha, determinar la

representación simbólica de la

función sinusoidal.

“Desfase”: 𝑤𝑥 − 𝑓𝑖 = 0 (Así

escribió en el tablero a cambio

de desfase)

𝑋 = 𝜋 /𝑤; 𝜋

3 =

𝜑

6;

𝜑 = 2 𝜋 𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋)


𝑋 = 𝜋

3= 60 grados, entonces

va a terminar en 2 𝜋

3, porque

periodo final 6𝑥 − 2 𝜋 = 2 𝜋


–𝜋

2 y 2𝜋


3


3 a la



función sinusoidal.



de desfase)

𝑋 = 𝜋 /𝑤; 𝜋

3 =

𝜑

6;

𝜑 = 2 𝜋 𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋)


𝑋 = 𝜋



3, porque


El desarrollo del ejercicio se realiza por pate

de la profesora debido a un factor no muy

evidente (el cual puede estar enmarcado

dentro de las siguientes posibilidades:

desinterés, timidez, “pánico escénico”,

temor a los juicios de la profesora, etc.,) que

genera una indisposición de los estudiantes

a asumir un papel activo frente a la solución

del ejercicio.

Sin embargo un estudiante que si presenta

interés evidente en el ejercicio, lo resuelve;

la profesora corresponde a esta disposición

del estudiante comentando que el ejercicio

está bien y anexando cual era la

importancia del punto a resolver.

Presenta carácter cognitivo al efectuarse

procesos de comprensión y generación de

𝑋 = 2𝜋

3 𝑋 = 2

𝜋

3

soluciones y no remembranzas de

conceptos bases (“estáticos”)

4 La docente repite la dinámica

del primer punto y lo resuelve

sin intervención directa de los

estudiantes

P: Listo segundo punto: una

sucesión 𝐴𝑛 =1−2𝑛

5𝑛=

−1

5, −

3

10, −

5

15, −

7

20, −

9

25… . 𝑛 =

20 −39

100

Como todos los términos

tienden a −0.4 entonces 𝑎 =−0,4

- Luego: 휀 > 0,2 y ahí se

acabo el ejercicio porque

usted toma el épsilon que

quiera, por ejemplo yo tomé

휀 > 0,3 se tiene que épsilon

(a) definida como |𝑥 −𝑎| < 휀, tal que:

- |𝑥 − (−0,4)| < 0,3,

entonces |𝑥 + 0,4| < 0,3

−0,3 < |𝑥 + 0,4| < 0,3 …. Por lo tanto x pertenece a (-

0.7, -0.1)



5𝑛=

−1

5, −

3

10, −

5

15, −

7

20, −

9

25… . 𝑛 =

20 −39

100






quiera, por ejemplo yo tomé

휀 > 0,3 se tiene que épsilon

(a) definida como |𝑥 −𝑎| < 휀, tal que:

- |𝑥 − (−0,4)| < 0,3,

entonces |𝑥 + 0,4| < 0,3


0.7, -0.1)

5 La docente orienta el devenir

de la clase, indicando la

solución al siguiente punto.




P: El siguiente punto: 𝐴𝑛 =


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)

desarrolla algunos términos de

la sucesión ,los reemplaza y le

da:

𝐴𝑛 = 1 + 0, 0 − 1, −1 + 0,0 + 1, 1 + 0, 0 − 1, … Que eso



2) + 𝑐𝑥𝑠 (

𝑛𝜋

2)



da:

𝐴𝑛 = 1 + 0, 0 − 1, −1 + 0,0 + 1, 1 + 0, 0 − 1, … Que eso

Se realiza desarrollo del problema

(ejercicio) con bases en conceptos

trabajados y adquiridos en momentos

anteriores(posibles episodios); sin embargo

este desarrollo es proporcionado por la

profesora, lo cual genera la interpretación

de la profesora como el eje central de este

pero se demora y son 5 puntos

tiene que asegurarse la pasada

del parcial no se casen con

ningún punto.

es otra vuelta y esos son los

primeros seis términos que te

preguntaban.

P: Ahora preguntaba también

el límite:

lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)

= ∄ Porque ¿cuál es el límite de

una sucesión?; es el valor al

cual se acercan sus términos,

¿a qué se acercan esos

términos?… ¿a nada?

Ahora si clasifica la sucesión.

Clasifique la sucesión: es

oscilante, acotada

superiormente por el valor 1 y

acotada inferiormente por -1.



preguntaban.


el límite:

lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)








oscilante, acotada



segmento pues si se mira a la profesora

como el ente solucionador del ejercicio el

segmento toma carácter cognitivo pero si se

mira a la profesora como ente

proporcionador de las bases necesarias para

solución del ejercicio, el segmento se torna

epistémico.

Aun así en este segmento el estudiante no es

muy visible como actor activo y

fundamental para el desarrollo del

segmento; el papel del estudiante podría ser

tomado apenas como el receptor de lo que la

profesora intenta comunicar

Presenta carácter epistémico y cognitivo.

Aunque la apreciación explicita del primero

solo la podemos evidenciar en la respuesta

que da la profesora a la pregunta ¿cuál es el

límite de una sucesión?

El segundo carácter si es ampliamente

apreciado en el desarrollo que la profesora

realiza del punto (ejercicio).




“bonita””.



P: Demostrar que

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35


tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀,

siempre que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿

P: Demostrar que

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35




Los ejercicios de demostración en general

exigen al sujeto solucionador el uso de

conceptos anteriormente adquiridos1

(carácter epistémico) como herramientas

para la construcción de un procedimiento

lógico para la solución del problema2


factorizar”

Para todo 휀 > 0,

∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4−

35|< 휀, siempre que 0 < |𝑥 −

4| < 𝛿 Factoriza el 5 factor común,

5(𝑥2 − 8𝑥 + 16), luego la

cuadrática…..5x-20< 휀.

Así que 5(𝑥 − 4) < 휀, por lo

tanto (𝑥 − 4) <𝜀

5

Por lo tanto termina

escribiendo formalmente la

definición con 휀 y

𝛿 encontrados.

Para todo 휀 > 0,

∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4−



5(𝑥2 − 8𝑥 + 16), luego la




5




𝛿 encontrados.

(carácter cognitivo); y la ratificación o

descalificación de una proposición

planteada.

1.(Carácter epistémico)

2. (Carácter cognitivo)

7 La docente hace la aclaración:

“Los problemas que ustedes

tienen es suma de fraccionarios

desde los números hasta las

expresiones y factorización y

eso no son problemas del

cálculo sino del bachillerato”.


señalar a sus estudiantes: “pero

a ver no pongan cara de

inteligente y esperan a que yo

lo haga”.

P: El último punto proponía

calcular los siguientes límites:

lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1

¿Qué es lo primero que tengo

que hacer?


P: te da 0/0 y eso no da cero,

eso es un indeterminado.

E1: ¿Qué es un indeterminado?

Es cuando…

P: No, no diga así es cuando

no. Dé una definición.

E2: No es tal cosa, no eso

tampoco. Es una expresión

matemática que no representa



lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1


que hacer?





Es cuando…






Las diferentes interacciones de los sujetos

(profesora, estudiantes) permite mediante el

dialogo el surgimiento de preguntas sobre el

segmento, así como la construcción de una

respuesta a dicha pregunta en la que

participan tanto la profesora como algunos

estudiantes, dicha interacción con lleva

también a la proposición de una nueva

pregunta por parte de la profesora la cual

responderá con una conceptualización

fundamental para comprensión de los

problemas de esa índole.

Presenta carácter epistémico y cognitivo al

exponer conceptos que se convertirán en

un único número real 0/0,

infinito/infinito.

P: ¿Cuál es el resultado de un

límite?: Un número real, y si

no existe que te da un

indeterminado, eso es un

problemita, ¿Qué tiene que

hacer? No, no factorizar,

buscar la forma de quitar el

indeterminado.

Cuando se da cuenta que quito

el indeterminado, cuando

reemplaza arriba y abajo y ya

le da un número. Cuando

simplifique evalúelo y de

pronto ya no está



infinito/infinito.








indeterminado.






pronto ya no está


bases para la compresión problemica de un

ejerció, al tiempo que se realizan procesos

de construcción y verificación de

definiciones y procedimientos.

8 La docente señala la similitud

entre el ejercicio de clase y el

del parcial.



P: Tengo que quitarme de

encima ese indeterminado, no

es racionalizando porque no

hay una raíz, se tiene que

factorizar.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

= lim𝑥→1

𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1

P: Lo vamos a hacer por

división sintética: las posibles

raíces son: ±1 y ±3 otra vez

con nuestro amigo Ruffini

prueba con 1 y funciona

entonces -1 es raíz y arma el





factorizar.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

= lim𝑥→1

𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1







Los estudiantes toman una posición activa

en el desarrollo del ejercicio aquí son los

estudiantes el centro del segmento son los

personajes que permiten que se evidencien

los resultados de episodios anteriores (clases

anteriores); se realizan procesos cognitivos

y estructurales (creación de marcos de

referencia para posibles soluciones del

ejercicio) que permiten un momento mucho

más dinámico de la clase.

La profesora también juega un papel muy

importante para el desarrollo de este

segmento, pero aquí ya no es el centro sino

más bien una guía que permite a sus

factor y en el nuevo polinomio

intenta con 1 y funciona

entonces vuelve a escribir los

factores (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 +2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

Ahora el denominador posibles

raíces ±1 Intenta con 1 y

funciona, llegando a (𝑥 −1)3 (𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 + 3)

(𝑥 + 1)=

4

2= 2

Proceso realizado por un

estudiante




factores (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 +2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)




lim𝑥→1

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 + 3)

(𝑥 + 1)=

4

2= 2


estudiante

estudiantes el tránsito orientado en medio de

las múltiples opciones de solución del

ejercicio (s).

Presenta carácter cognitivo al ser evidente

la construcción de soluciones, métodos y/o

procedimientos por parte de los estudiantes

para el desarrollo de los problemas


Lo que obtuvo

Proceso que realizo un

estudiante por aparte


Lo que obtuvo





9 La docente da respuesta a las

dudas de sus estudiantes sobre

casos específicos o

condiciones especiales de las

expresiones.

E1: Profe si bastaba con

factorizar una parte de la

expresión?

P: puede no quitarse la

indeterminación por eso hay

que factorizar hasta su forma

más mínima.



expresión?




más mínima.

Se evidencia el interés de los estudiantes por

casos particulares (si es fundamental la

utilización de factorización como única

herramienta de solución) posiblemente no

trabajados de manera explícita, la

interacción verbal parece seguir siendo la

herramienta principal para la comunicación

de las inquietudes.

Presenta carácter epistémico al hacerse

implícita la referencia a conceptos “básicos

” necesarios como pre-requisitos

10 La docente realiza gráficas de

las funciones en el tablero para


P: Vamos al último punto:

trazar la gráfica de la función.

Les pregunta algunas cosas

para identificar antes de

empezar: ¿tiene factores

comunes? Entonces la

factoriza, simplifica (x-3) y le

queda

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)


𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.








queda

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)


𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

En este segmento nueva mente la profesora

proporciona una base sobre la cual realizar

análisis hay interacción profesor estudiante

mediante preguntan pero se evidencia un

marcado domino de la profesora en la

conversación, los diálogos más extensos

están a cargo de ella, estos corresponden a

aclaraciones y explicaciones tanto

procedimentales como conceptuales. Aun

así los momentos de desarrollo practico son

ejecutados por los estudiantes quien realizan

cálculos e interpretaciones en el tablero y

los que están sentados.

Presenta carácter epistémico y cognitivo al

encontrarse interacción de los estudiantes

tanto con conceptos proporcionados por la

profesora como con conceptos trabajados,

asimilados y desarrollados por ellos mismos

(los estudiantes )

P: Hablemos de los cortes con

los ejes, corta al eje x cuando

se hace la función igual a cero

siempre y cuando no tenga

factores comunes, algunos

dicen no tiene, miren bien, la

asíntota horizontal la saca

relacionando los grados de los

polinomios entonces como son

del mismo grado tiene asíntota

horizontal y tiene asíntota

vertical.












vertical.


vacío.

La profesora sigue dibujando

la gráfica.

P: [Realiza una serie de

aclaraciones] una asíntota en la

recta no tiene sentido, [los

regaña] tiene que ser de la

forma x=-1. Traza la gráfica

como le quedo la gráfica.


P: No porque como ese valor

no lo puede tomar. Pues sí

pero revisa la teoría, las

asíntotas se miran donde la

función esté simplificada.

Entonces tracen la gráfica

P: [Dibuja en el tablero las dos

asíntotas y pregunta] ¿van

punteadas o no? ¿Punteadas

porque¨?

E1: Porque no hace parte de la

grafica


P: Sigue dibujando la gráfica.

Listo ya tracé la gráfica que

decía el ejercicio. Calcular el

límite al infinito de f(x); en los

límites al infinito se definen

asíntotas y los límites infinitos

definen asíntotas verticales.

P: Para resolver ese

indeterminado tiene que

dividir entre la mayor potencia

















porque¨?


grafica












mayor de x, bueno divide entre

𝑥2 y simplifica dando 1.



11 E2: ¿Qué sucede cuando en el

límite x tiende a -1?

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1)=

𝑥+2

𝑥+1=

1

0= 𝑁. 𝐸

P: Evalúa el límite te tiene que

dar que no existe porque ahí

hay una asíntota, pero

verifiquemos eso: lo hace por

reemplazo directo y le da sobre

cero entonces no existe.

E2: ¿Qué sucede cuando en el


𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1)=

𝑥+2

𝑥+1=

1

0= 𝑁. 𝐸





reemplazo directo y le da sobre

cero entonces no existe.

El estudiante expresa inquietud (de lo que se

puede deducir un interés) en una variante

del ejercicio, posiblemente al percatarse de

una inconsistencia del ejercicio en un valor

especifico

Presenta carácter cognitivo al ser un

segmento en el que se evidencian

construcciones y desarrollos conceptuales

que parten de un análisis de un ejercicio

referencial los serán expresados mediante

pregunta


Practica de clase INTERACCIONAL MEDIACIONAL

Análisis:

1 El lunes anterior hizo

parcial y va a

resolverlo, para lo cual

pregunta sobre la

fotocopia del parcial

pero ningún estudiante

la tiene, ni le

responden.



estudiantes).

P: ¿Quien trajo la fotocopia del parcial?



E1: Graficación, continuidad, límites,…

E2: por ejemplo una función racional que


discontinuidad.

P: no, no, no, eso no son temas gruesos.

P: Queda un mes de clase y ni siquiera



P: ¿Quien trajo la fotocopia del parcial?



E1: Graficación, continuidad, límites,…

E2: por ejemplo una función racional que


discontinuidad.

P: no, no, no, eso no son temas gruesos.

P: Queda un mes de clase y ni siquiera



En este primer momento el

carácter interaccional se

desprende de un interés

tanto para la profesora

como de los estudiantes (el

parcial parece ser uno de

los grandes focos atención).

La utilización de la

fotocopia como recurso

tangible determina de

alguna manera el grado de

Ahora indaga por los

temas vistos y que irán

al examen final

interés o importancia que

un estudiante tiene sobre un

tema, ya que el poseerlas o

no, estable la velocidad de

una clase (si no están )

puede ser un retrasó para

toda la clase

Presenta carácter

interaccional y mediacional

se genera interacción en

torno a un tema puntual

(parcial) junto al material

utilizado para un desarrollo

del tema

2 Se retroalimenta la

solución del parcial

punto por punto

P: Bueno ¿Cómo les fue en el parcial?,

¿Qué decía el primer punto la función

sinusoidal? [Y fue avisado], el segundo

punto fue de sucesiones: hallar una

vecindad abierta que contuviera todos los

términos de una sucesión y clasificarla.

Tercer punto: dada una función con el

valor del límite y tenía que demostrar:

ninguna era cierto pero tenía que demostrar


P: Bueno ¿Cómo les fue en el parcial?,

¿Qué decía el primer punto la función

sinusoidal? [Y fue avisado], el segundo

punto fue de sucesiones: hallar una

vecindad abierta que contuviera todos los

términos de una sucesión y clasificarla.

Tercer punto: dada una función con el

valor del límite y tenía que demostrar:

ninguna era cierto pero tenía que demostrar


La interacción parece no

concretarse, pues si bien

hay un interés inicial por

parte de la profesora, la

conexión con el

estudiante(respuesta a la

pregunta) no se logra en

este segmento

Presenta carácter

interaccional al intentarse

establecer comunicación

bidireccional de la

profesora con los

estudiantes

3 Ella va por la lista, se

demora tres minutos y

se pone resolverlo en el

tablero. [se impacienta

mucho porque no

arrancan (los

estudiantes) a trabajar,

entonces ella termina

haciendo todo en el

tablero]

Un estudiante lo hace

en la hoja y ella dice

bien, eso era todo el

primer punto y lo

importante era que en

la gráfica se viera el

desfase.



2 y 2𝜋


3


3 a la derecha,

determinar la representación simbólica de

la función sinusoidal.

“Desfase”: 𝑤𝑥 − 𝑓𝑖 = 0 (Así escribió en el


𝑋 = 𝜋 /𝑤; 𝜋

3 =

𝜑

6; 𝜑 = 2 𝜋

𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋) Periodo inicial: 6𝑥 − 2 𝜋 = 0

𝑋 = 𝜋

3= 60 grados, entonces va a

terminar en 2 𝜋

3, porque periodo final 6𝑥 −

2 𝜋 = 2 𝜋

𝑋 = 2𝜋

3



2 y 2𝜋


3


3 a la derecha,

determinar la representación simbólica de

la función senosoidal.

“Desfase”: 𝑥𝑥 − 𝑓𝑖 = 0 (Así escribió en el


𝑋 = 𝜋 /𝑤; 𝜋

3 =

𝜑

6; 𝜑 = 2 𝜋

𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋) Periodo inicial: 6𝑥 − 2 𝜋 = 0

𝑋 = 𝜋

3= 60 grados, entonces va a

terminar en 2 𝜋

3, porque periodo final 6𝑥 −

2 𝜋 = 2 𝜋

𝑋 = 2𝜋

3

4 La docente repite la

dinámica del primer

punto y lo resuelve sin

intervención directa de

los estudiantes


5𝑛= −

1

5, −

3

10, −

5

15, −

7

20, −

9

25… . 𝑛 =

20 −39

100









5𝑛= −

1

5, −

3

10, −

5

15, −

7

20, −

9

25… . 𝑛 =

20 −39

100








- |𝑥 − (−0,4)| < 0,3, entonces |𝑥 +0,4| < 0,3

−0,3 < |𝑥 + 0,4| < 0,3 …. Por lo tanto x pertenece a (-0.7, -0.1)

- |𝑥 − (−0,4)| < 0,3, entonces |𝑥 +0,4| < 0,3

−0,3 < |𝑥 + 0,4| < 0,3 …. Por lo tanto x pertenece a (-0.7, -0.1)

5 La docente orienta el

devenir de la clase,

indicando la solución

al siguiente punto.

Un alumno pregunta si

podía hacer otro

proceso [no

registrado], Ella

responde si pero se

demora y son 5 puntos

tiene que asegurarse la

pasada del parcial no

se casen con ningún

punto.


2) +




𝐴𝑛 = 1 + 0, 0 − 1, −1 + 0, 0 + 1, 1 +0, 0 − 1, … Que eso es otra vuelta y esos

son los primeros seis términos que te

preguntaban.


lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄



¿a qué se acercan esos términos?… ¿a

nada?






2) +




𝐴𝑛 = 1 + 0, 0 − 1, −1 + 0, 0 + 1, 1 +0, 0 − 1, … Que eso es otra vuelta y esos

son los primeros seis términos que te

preguntaban.


lim𝑛→∞


2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄



¿a qué se acercan esos términos?… ¿a

nada?





6 Siguiente punto un

alumno dice la

demostración y ella


“bonita””.

La docente afirma que

“El tercer punto era su

P: Demostrar que

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35


tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀, siempre que 0 <|𝑥 − 𝑎| < 𝛿

Para todo 휀 > 0,

P: Demostrar que

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35


tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀, siempre que 0 <|𝑥 − 𝑎| < 𝛿

Para todo 휀 > 0,

dolor de cabeza pues

no sabemos factorizar”

∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)


que 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿

Factoriza el 5 factor común, 5(𝑥2 − 8𝑥 +16), luego la cuadrática…..5x-20< 휀.


4) <𝜀

5



𝛿 encontrados.

∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)


que 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿

Factoriza el 5 factor común, 5(𝑥2 − 8𝑥 +16), luego la cuadrática…..5x-20< 휀.


4) <𝜀

5



𝛿 encontrados.


aclaración: “Los


tienen es suma de


números hasta las

expresiones y

factorización y eso no

son problemas del

cálculo sino del

bachillerato”.

La docente interviene

para señalar a sus

estudiantes: “pero a

ver no pongan cara de

inteligente y esperan a

que yo lo haga”.



lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1




indeterminado.


cuando…


definición.







tiene que hacer? No, no factorizar, buscar

la forma de quitar el indeterminado.



lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1




indeterminado.


cuando…


definición.







tiene que hacer? No, no factorizar, buscar

la forma de quitar el indeterminado.

La pregunta como recurso

generador de interacción e

indicador de interés permite

la creación de un momento

de dinamismo interaccional

que se traducirá en el

ejercicio pregunta respuesta

que ayuda a la aclaración,

construcción y desarrollo de

conceptos en el estudiante

Presenta carácter

interaccional al permitirse

la aparición de preguntas y

respuestas entre las distintas

partes (profesor estudiantes)

de uno de los momentos

dinámicos de la clase.











8 La docente señala la

similitud entre el

ejercicio de clase y el

del parcial.

Salida y reingreso de

un estudiante del baño


indeterminado, no es racionalizando

porque no hay una raíz, se tiene que

factorizar.

lim𝑥→1


𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1


las posibles raíces son: ±1 y ±3 otra vez

con nuestro amigo Ruffini prueba con 1 y

funciona entonces -1 es raíz y arma el

factor y en el nuevo polinomio intenta con

1 y funciona entonces vuelve a escribir los

factores (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)



(𝑥 − 1)3 (𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 + 3)

(𝑥 + 1)=

4

2= 2



indeterminado, no es racionalizando

porque no hay una raíz, se tiene que

factorizar.

lim𝑥→1


𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1


las posibles raíces son: ±1 y ±3 otra vez

con nuestro amigo Ruffini prueba con 1 y

funciona entonces -1 es raíz y arma el

factor y en el nuevo polinomio intenta con

1 y funciona entonces vuelve a escribir los

factores (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)



(𝑥 − 1)3 (𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 + 3)

(𝑥 + 1)=

4

2= 2


la profesora guía el

desarrollo práctico y activo

del ejercicio que los

estudiantes realizan en el

tablero, sin embargo la

interacción parece estar más

marcada en la dirección

profesora-estudiante que en

la estudiante-profesor; si

bien el estudiante tiene una

participación activa en el

desarrollo del ejercicio su

participación comunicativa

pareciera estar enmarcada

en la de receptor de las

proposiciones aportadas por

la profesora; aun así no hay

que desconocer el ejercicio

cognitivo que realiza el

estudiante el cual es

comunicado por el

estudiante de manera no

verbal al solucionar

mediante procedimientos el

ejercicio propuesto.


Lo que obtuvo


Lo que obtuvo

Presenta carácter


la interacción verbal

profesora-estudiante genera

una respuesta no verbal

estudiante-profesora la cual

esta evidenciada en la

capacidad del estudiante de

resolver el ejercicio.

Por otra parte es visible

como recursos para el

desarrollo de la clase la

comunicación verbal, la

utilización del tablero por

parte de unos estudiantes y

la solución del problema en

hojas por parte de otro

estudiante.

Proceso que realizo un estudiante por

aparte


Proceso que realizo un estudiante por

aparte


9 La docente da

respuesta a las dudas

de sus estudiantes

sobre casos

específicos o

condiciones especiales

de las expresiones.

E1: Profe si bastaba con factorizar una

parte de la expresión?



mínima.

E1: Profe si bastaba con factorizar una

parte de la expresión?



mínima.

Después del desarrollo del

ejercicio en el tablero

continua la interacción

entre los actores de este

momento dinámico pero

esta vez la participación de

los actores (estudiante,

profesora) parece ser más

equilibrada

Aun así puede que para el

estudiante no quede

solucionada la inquietud

puesto que no se logra

identificar que es lo que el

estudiante puede llegar a

identificar como “Su forma

más mínima”

Presenta carácter

interaccional

10 La docente realiza

gráficas de las

funciones en el tablero

para explicar las

asíntotas.






𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)


𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.






𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)


𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

Nuevamente el análisis de

este segmento coincide con

los argumentos del

segmento 8

Presenta carácter


P: Hablemos de los cortes con los ejes,

corta al eje x cuando se hace la función

igual a cero siempre y cuando no tenga

factores comunes, algunos dicen no tiene,

miren bien, la asíntota horizontal la saca






regaña] tiene que ser de la forma x=-1.

Traza la gráfica como le quedo la gráfica.








porque¨?



P: Sigue dibujando la gráfica. Listo ya

tracé la gráfica que decía el ejercicio.

Calcular el límite al infinito de f(x); en los

límites al infinito se definen asíntotas y los

límites infinitos definen asíntotas

verticales.

P: Para resolver ese indeterminado tiene

que dividir entre la mayor potencia mayor

P: Hablemos de los cortes con los ejes,

corta al eje x cuando se hace la función

igual a cero siempre y cuando no tenga

factores comunes, algunos dicen no tiene,

miren bien, la asíntota horizontal la saca






regaña] tiene que ser de la forma x=-1.

Traza la gráfica como le quedo la gráfica.








porque¨?



P: Sigue dibujando la gráfica. Listo ya

tracé la gráfica que decía el ejercicio.

Calcular el límite al infinito de f(x); en los

límites al infinito se definen asíntotas y los

límites infinitos definen asíntotas

verticales.

P: Para resolver ese indeterminado tiene

que dividir entre la mayor potencia mayor

Divagan, dice que hay

un vacío.

La profesora sigue

dibujando la gráfica.

de x, bueno divide entre 𝑥2 y simplifica

dando 1.

de x, bueno divide entre 𝑥2 y simplifica

dando 1.

11 E2: ¿Qué sucede cuando en el límite x

tiende a -1?

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1)=

𝑥+2

𝑥+1=

1

0=

𝑁. 𝐸 P: Evalúa el límite te tiene que dar que no




existe.

E2: ¿Qué sucede cuando en el límite x

tiende a -1?

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1)=

𝑥+2

𝑥+1=

1

0=

𝑁. 𝐸 P: Evalúa el límite te tiene que dar que no




existe.

Se realiza una breve

interacción estudiante-

profesora que permite

exponer una inquietud al

estudiante y la cual resuelve

la profesora con diligencia;

sin embrago no es evidente

la razón por la cual la

profesora supone que el

estuante comprende la

existencia de una asíntota,

ni la razón por la cual de

ahí se desprenda la no

existencia del límite.

Por otro lado aunque no sea

tan clara respuesta los

estudiantes no exigen

profundidad en el tema

aunque las inquietudes

persistan (lo cual pueden

deberse a la existencia de

algunos imaginarios en el

estudiante).

Presenta carácter

interaccional


Practica de clase EMOCIONAL ECOLÓGICA

Análisis:

1 El lunes anterior hizo parcial y

va a resolverlo, para lo cual

pregunta sobre la fotocopia del

parcial pero ningún estudiante

la tiene, ni le responden.

(Hay en este momento 6:10 de

la mañana 8 estudiantes).



final


del parcial?



final?


límites,…





gruesos.





P: ¿Quien trajo la fotocopia del

parcial?



final?


límites,…





gruesos.





Es notoria la posición un tanto negativa de

la profesora frente a lo que podría

desarrollarse como tema final (que pude

generar una indisposición del estudiante

frente a la clase).

Presenta carácter emocional al verse

implicada la posición subjetiva de la

profesora (opinión frente al progreso del

curso)











Tercer punto: dada una

función con el valor del límite

y tenía que demostrar: ninguna

era cierto pero tenía que

demostrar con épsilon y delta.



punto la función sinusoidal? [Y

fue avisado], el segundo punto

fue de sucesiones: hallar una

vecindad abierta que contuviera

todos los términos de una

sucesión y clasificarla. Tercer

punto: dada una función con el

valor del límite y tenía que

demostrar: ninguna era cierto

pero tenía que demostrar con

épsilon y delta.

Se puede identificar un notorio interés de

la profesora frente al proceso de los

estudiantes el cual pareciera desvanecerse

debido a la exposición de los sub-temas

que contenía el tema principal (parcial).

Presenta carácter emocional debido al

interés que demuestra la profesora frente a

las complicaciones que pudieron haber

tenido en el desarrollo del ejercicio

evaluativo, sus estudiantes.






trabajar, entonces ella termina

haciendo todo en el tablero]







–𝜋

2 y 2𝜋


3


3 a la






de desfase)

𝑋 = 𝜋 /𝑤; 𝜋

3 =

𝜑

6;

𝜑 = 2 𝜋 𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋)


P: dada la función 𝑦 =

𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥 − 𝑓𝑖) para x entre –𝜋

2

y 2𝜋


3


3 a la






de desfase)

𝑋 = 𝜋 /𝑤; 𝜋

3 =

𝜑

6;

𝜑 = 2 𝜋 𝑌 = −4𝑠𝑒𝑛(6𝑥 − 2 𝜋)


Presenta carácter emocional

La impaciencia de la profesora debido al

tiempo, nos propone este último como

recurso determínate de algunas de las

implicaciones emocionales que se pueden

evidenciar en desarrollo una clase.

𝑋 = 𝜋



3, porque


𝑋 = 2𝜋

3

𝑋 = 𝜋

3= 60 grados, entonces va

a terminar en 2 𝜋

3, porque


𝑋 = 2𝜋

3

4 La docente repite la dinámica

del primer punto y lo resuelve

sin intervención directa de los

estudiantes



5𝑛=

−1

5, −

3

10, −

5

15, −

7

20, −

9

25… . 𝑛 =

20 −39

100






quiera, por ejemplo yo

tomé 휀 > 0,3 se tiene que

épsilon (a) definida


- |𝑥 − (−0,4)| < 0,3,

entonces |𝑥 + 0,4| < 0,3


0.7, -0.1)



5𝑛=

−1

5, −

3

10, −

5

15, −

7

20, −

9

25… . 𝑛 =

20 −39

100

Como todos los términos tienden

a −0.4 entonces 𝑎 = −0,4

- Luego: 휀 > 0,2 y ahí se acabo

el ejercicio porque usted

toma el épsilon que quiera,

por ejemplo yo tomé 휀 > 0,3

se tiene que épsilon (a)

definida como |𝑥 − 𝑎| < 휀,

tal que:

- |𝑥 − (−0,4)| < 0,3,

entonces |𝑥 + 0,4| < 0,3


0.7, -0.1)

5 La docente orienta el devenir

de la clase, indicando la

solución al siguiente punto.



2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)




2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) desarrolla

algunos términos de la sucesión

,los reemplaza y le da:




pero se demora y son 5 puntos

tiene que asegurarse la pasada

del parcial no se casen con

ningún punto.


da:

𝐴𝑛 = 1 + 0, 0 − 1, −1 + 0,0 + 1, 1 + 0, 0 − 1, … Que eso



preguntaban.


el límite:

lim𝑛→∞

𝑠𝑒 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2)








oscilante, acotada



𝐴𝑛 = 1 + 0, 0 − 1, −1 + 0,0 + 1, 1 + 0, 0 − 1, … Que eso



preguntaban.

P: Ahora preguntaba también el

límite:

lim𝑛→∞

𝑠𝑒 (𝑛𝜋

2) + 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋

2) = ∄

Porque ¿cuál es el límite de una

sucesión?; es el valor al cual se

acercan sus términos, ¿a qué se

acercan esos términos?… ¿a

nada?



oscilante, acotada superiormente

por el valor 1 y acotada





“bonita””.




factorizar”

P: Demostrar que

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35




Para todo 휀 > 0,

P: Demostrar que

lim𝑥→4

(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4= 35


tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀, siempre

que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿

Para todo 휀 > 0,

∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4− 35|< 휀,

siempre que 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿


Llama la atención de la utilización de la

palabra “bonita” como calificativo de la

demostración, podría inferirse lo de

“bonita” debido a la utilización de 휀 y 𝛿 o

la formalidad de la demostración; por otro

∃𝛿 > 0\ |(5𝑥2−5𝑥−60)

𝑥−4−



5(𝑥2 − 8𝑥 + 16), luego la




5




𝛿 encontrados.

Factoriza el 5 factor común,

5(𝑥2 − 8𝑥 + 16), luego la




5


formalmente la definición con 휀

y 𝛿 encontrados.

lado puede estar subyacente un cierto

sentido de ironía y sarcasmo porque se

identifica un alto grado de dificultad para

comprender demostraciones de este tipo

por parte de los estudiantes.

La exposición por parte de la profesora de

lo que ella identifica como la debilidad

más común de los estudiantes; parece ser

un factor que logra generar un grado

conflicto en la profesora (quizás debido a

una sensación de impotencia de la

profesora frente a una falencia del

estudiante).

7 La docente hace la aclaración:

“Los problemas que ustedes

tienen es suma de


números hasta las expresiones

y factorización y eso no son

problemas del cálculo sino del

bachillerato”.


señalar a sus estudiantes:

“pero a ver no pongan cara de

inteligente y esperan a que yo

lo haga”.



lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1


que hacer?




E1: ¿Qué es un

indeterminado? Es cuando…








lim𝑥→1

𝑥4−6𝑥2+8𝑥−3

𝑥4−2𝑥3+2𝑥−1


que hacer?


P: te da 0/0 y eso no da cero, eso

es un indeterminado.


Es cuando…

P: No, no diga así es cuando no.

Dé una definición.



matemática que no representa un


La utilización de recursos lingüísticos

(“pero a ver no pongan cara de inteligente

y esperan a que yo lo haga”, que podría ser

entendido como un estímulo negativo y

ofensivo) diferentes a los enmarcados en el

desarrollo de los temas, permite la

identificación de una postura

extracurricular de la profesara desde la

cual intenta motivar a los estudiantes a

tomar una participación activa en el

desarrollo de los ejercicios.


infinito/infinito.








indeterminado.

Cuando se da cuenta que

quito el indeterminado, cuando




pronto ya no está


único número real 0/0,

infinito/infinito.


límite?: Un número real, y si no

existe que te da un



hacer? No, no factorizar, buscar

la forma de quitar el

indeterminado.



reemplaza arriba y abajo y ya le

da un número. Cuando

simplifique evalúelo y de pronto

ya no está indeterminado y

sigue.

También en cuanto a la parte en que se

refiere a que esperan a que ella lo haga

puede deberse a que ha sido una práctica

generalizada en el curso la resolución de

los problemas por la profesora quien

tampoco ha esperado que ellos hagan el

trabajo.

8 La docente señala la similitud

entre el ejercicio de clase y el

del parcial.







factorizar.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥) lim𝑥→1

𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1








encima ese indeterminado, no es

racionalizando porque no hay

una raíz, se tiene que factorizar.

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

= lim𝑥→1

𝑥4 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 3

𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1

P: Lo vamos a hacer por división

sintética: las posibles raíces son:

±1 y ±3 otra vez con nuestro

amigo Ruffini prueba con 1 y

funciona entonces -1 es raíz y

arma el factor y en el nuevo

Esa similitud que señala puede pretender

un carácter de imparcialidad en la elección

de los ejercicios propuestos a la hora de

evaluar, al tiempo que se puede inferir una

preocupación de la profesora en la

dificultad del estudiante al resolver lo

ejercicios.

Presenta carácter ecológico debido a la

posibilidad del estudiante de atender sus

necesidades particulares, las cuales podrían

llegar hacer un gran distractor de no ser

resueltas.




factores (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 +2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥− 1)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3) Ahora el denominador

posibles raíces ±1 Intenta con

1 y funciona, llegando a (𝑥 −1)3 (𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 + 3)

(𝑥 + 1)=

4

2= 2


estudiante

polinomio intenta con 1 y

funciona entonces vuelve a

escribir los factores (𝑥 − 1)(𝑥 −1)(𝑥 2 + 2𝑥 − 3) =

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)




lim𝑥→1

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)

(𝑥 − 1)3(𝑥 + 1)

lim𝑥→1

(𝑥 + 3)

(𝑥 + 1)=

4

2= 2


estudiante



Lo que obtuvo



Lo que obtuvo





9 La docente da respuesta a las

dudas de sus estudiantes sobre

casos específicos o

condiciones especiales de las

expresiones.



expresión?




más mínima.



expresión?


indeterminación por eso hay que

factorizar hasta su forma más

mínima.

10 La docente realiza gráficas de

las funciones en el tablero para






P: Vamos al último punto: trazar

la gráfica de la función. Les

pregunta algunas cosas para

identificar antes de empezar:

La exaltación la profesora frente a un mal

desarrollo y una concepción equivocada

del problema por parte de los estudiantes

evidencia un compromiso de la parte




queda

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)


𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

¿tiene factores comunes?

Entonces la factoriza, simplifica

(x-3) y le queda

𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)


𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

emocional de la profesora frente a dicho

suceso.

Presenta carácter emocional ya que es

evidente la exaltación de la profesora al

llamar la atención a sus estudiantes.












vertical.


aclaraciones] una asíntota en

la recta no tiene sentido, [los









los ejes, corta al eje x cuando se

hace la función igual a cero


factores comunes, algunos dicen

no tiene, miren bien, la asíntota

horizontal la saca relacionando

los grados de los polinomios

entonces como son del mismo

grado tiene asíntota horizontal y

tiene asíntota vertical.




regaña] tiene que ser de la forma

x=-1. Traza la gráfica como le

quedo la gráfica.


P: No porque como ese valor no

lo puede tomar. Pues sí pero

revisa la teoría, las asíntotas se

miran donde la función esté


vacío.

La profesora sigue dibujando

la gráfica.







porque¨?


grafica














simplificada. Entonces tracen la

gráfica




porque¨?


grafica










indeterminado tiene que dividir

entre la mayor potencia mayor

de x, bueno divide entre 𝑥2 y

simplifica dando 1.

11 E2: ¿Qué sucede cuando en el


𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1)=

𝑥+2

𝑥+1=

1

0= 𝑁. 𝐸





E2: ¿Qué sucede cuando en el


𝑓(𝑥) =𝑥2 −𝑥−6

𝑥2−2𝑥−3=

(𝑥−3)(𝑥+2)

(𝑥−3)(𝑥+1)=

𝑥+2

𝑥+1=

1

0= 𝑁. 𝐸


dar que no existe porque ahí hay

una asíntota, pero verifiquemos

eso: lo hace por reemplazo

reemplazo directo y le da

sobre cero entonces no existe.

directo y le da sobre cero

entonces no existe.

[Ep. 5] Episodio 5. Límites laterales: valores absolutos y funciones segmentadas, y límites al infinito

Sg. Observación de

la

Practica de clase

EPISTÉMICO COGNITIVO

Análisis:

1 Esta clase es la

presentación de

algunos límites

especiales.

(Hay en este

momento 6:10 de

la mañana 16

estudiante).

P: En el parcial te voy a poner límites de funciones

racionales que por ejemplo el numerador sea de

grado 4 y el denominador de grado 5 y que estén

obligados a usar a nuestro amigo Ruffini.





Hay un proceso de

contextualización

que abarca un

contenido de

referencia y a su

vez relaciona los

objetos

matemáticos entre

sí (funciones

racionales/Ruffini).

Dejando de lado

una proximidad

hacia la adaptación,

el componente del

lenguaje está

desligado de los

argumentos lo que

conlleva una

ruptura situacional.

2 En esta clase

vamos a trabajar

límites especiales

P: ¿Cuándo es nuestro segundo parcial?

E1. En la semana 10


E1. En la semana 10

Pertenece a la

idoneidad

epistémica en la

y limites

unilaterales.

P: jajaja y ¿cuándo es la semana 10? porque qué

tal que sea la semana entrante y ustedes ni


P: Límites laterales. ¿Qué saben de límites

laterales? Porque ustedes todos son repitentes o

sea colegas de nosotros, así que niña no leyó, a ver

Alejo léeme la definición.

P: En el tablero:

LIMITES LATERALES

Una condición necesaria y suficiente para que lim𝑥→𝑎


iii) lim𝑥→𝑎+


lim𝑥→𝑎−


iv) lim𝑥→𝑎+


𝑓(𝑥)

Ejercicio:

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }






sea colegas de nosotros, así que niña no leyó, a

ver Alejo léeme la definición.

P: En el tablero:

LIMITES LATERALES

Una condición necesaria y suficiente para que 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎


𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 y 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎−


𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)

Ejercicio:

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }

medida que el

conocimiento se

entrega mediante

definiciones que

son referencias, y

se genera u

posición en la que

los estudiantes

deben argumentar y

analizar los

procedimientos

llevados a cabo.

No obstante, se

torna cognitivo al

marcar la relación

que tienen los

estudiantes (o la

mayoría de ellos)

con el

conocimiento

propuesto porque

ya han trabajado

dichos temas

anteriormente

(repitentes).

-8

-6

-4

-2

0

-6 -4 -2 0

Y = X-2

-8

-6

-4

-2

0

-6 -4 -2 0

Y = X-2

P: ¿Qué pasa cuando x toma valores cercanos a 0

por la izquierda? ¿a qué se acerca?… a -2

¿Qué pasa cuando 𝑥 toma valores cercanos a 0 por

la derecha? ¿A qué se acerca?… ¿a qué se acerca?

…Alejo: a 0

Bueno eso lo miraron gráficamente pero no todos

se pueden graficar entonces háganlo

analíticamente



¿Qué pasa cuando 𝑥 toma valores cercanos a 0

por la derecha? ¿A qué se acerca?… ¿a qué se

acerca? …Alejo: a 0



analíticamente

0

10

20

30

0 2 4 6

Y = X2

0

10

20

30

0 2 4 6

Y = X2


limites laterales.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}


𝑓(𝑥)



limites laterales.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}

Analizar 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑓(𝑥)


3 Plantea otro

ejercicio


|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|

La pregunta

relaciona el

contenido

pretendido con los

conocimientos

previos que el

estudiante ha de

tener, logrando

conceptualizar los

contenidos

pretendidos. Se

P: ¿qué toca hacer cuando hay valor absoluto?


P: ¡eso! redefinirla porque es una función


cosas a la loca sin pensar y por eso repiten y


nosotras


limites laterales







nosotras


limites laterales

demuestra una

apropiación de los

saberes

competentes para

este caso por parte

de los estudiantes

(redefinición).


el limite no existe


el limite no existe

4 Límites al infinito P: ¡Ahora ¿qué otros limites existen?!… Límites

al infinito.

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

Solución:

lim𝑥→1

(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)

lim𝑥→1

(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = lim

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2

Escribe = (∞, −∞)

¿Qué se hace? …hacer la resta

P: ¡Ahora ¿qué otros limites existen?!… Límites

al infinito.


(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

Solución:


(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)


(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))


(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))


((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2



Se establece la

relación entre otros

objetos

matemáticos

mediante la

proposición del

problema y su

inmediata

demostración

mediante

procedimientos

claros y correctos,

adecuados para el

(supuesto) nivel de

conocimiento de

los estudiantes.

¡Ella misma dice cuál es el común denominador!

FOTO


FOTO

5 Es una lástima que

ahora no se vean

límites de

funciones

hiperbólicas

porque uno se

levanta por la

mañana y qué ve

un cable pues eso

es una función

hiperbólica , los

puentes de San

Francisco también

Puso a los

estudiantes a

buscar la


comportamiento de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando 𝑥

toma valores arbitrariamente grandes (o pequeños)

es decir cuando x tiende a ∞ (ó x tiende a −∞)

P:

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2

¿Qué es lo primero que uno tiene que hacer cuando

va a graficar?

Hablemos de las asíntotas. No tiene oblicuas, tiene

horizontales. ¿Cuáles tienen a asíntotas verticales?

Las que hay hacer el denominador cero. No tiene

solución en los reales, así que no tiene asíntotas

verticales, entonces halle la horizontal. Y ¿los



toma valores arbitrariamente grandes (o

pequeños) es decir cuando x tiende a ∞ (ó x tiende

a −∞)

P:

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2

¿Qué es lo primero que uno tiene que hacer

cuando va a graficar?

Hablemos de las asíntotas. No tiene oblicuas,

tiene horizontales. ¿Cuáles tienen a asíntotas

verticales? Las que hay hacer el denominador

cero. No tiene solución en los reales, así que no

tiene asíntotas verticales, entonces halle la

Es presentada una

situación de

contextualización

para entregar,

posteriormente,

unas reglas para

trabajar

determinado tipo de

problemas.

A lo largo del

desarrollo de la

definición y sus

características, se

busca que el

estudiante

argumente

definición del

límite de una

sucesión y un

estudiante la leyó.

Ahora Limites al

Infinito

puntos de corte con los ejes? Para sacar el punto

de corte en el eje x ¿qué hace?



función en 0 y le da 0, ¿Sí o no?

¿Cuantas neuronas perdimos?

Grafica



Recordando….

horizontal. Y ¿los puntos de corte con los ejes?

Para sacar el punto de corte en el eje x ¿qué hace?





Grafica



Recordando….

(mentalmente) o

conciba dichos

procesos

proposicionales.


La docente hace la

aclaración: “Los

problemas que

ustedes tienen es

suma de

fraccionarios

desde los números

hasta las

expresiones y


no son problemas

del cálculo sino

del bachillerato”.

Plante un ejemplo


lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3

evalúalo Alejo

=2(−3)

−3 + 3= −

6




aproxima)



pequeños.






grafica


𝑙𝑖𝑚𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3

evalúalo Alejo

=2(−3)

−3 + 3= −

6




aproxima)



pequeños.

P: Grafica a mano alzada habladita primero,

tiene asíntotas, puntos de corte (0,0) Asíntota




grafica

La pertenencia a la

idoneidad

epistémica se basa

en la proyección de

un nuevo

conocimiento que

implica para el

estudiante realizar

un proceso de

análisis sobre la

problemática dada,

sin embargo, dicho

análisis se basa en

definiciones previas

concebidas como el

conocimiento

adquirido en otro

momento de la

clase, en otras

palabras, se torna

cognitivo.

Sg. Observación de

la

Practica de clase

INTERACCIONAL MEDIACIONAL

Análisis:

1 Esta clase es la

presentación de

algunos límites

especiales.

(Hay en este

momento 6:10 de

la mañana 16

estudiante).









Interacción

unidireccional.

La profesora habla

y pretende

fomentar cierto

interés hacia un

tema específico de

los objetos de

estudio

referenciales en los

estudiantes, que

adoptan o tienen

una actitud pasiva.

Conflicto

semiótico potencial

(obligar).

Es mediacional en

el sentido que

2 En esta clase

vamos a trabajar

límites especiales

y limites

unilaterales.


E1. En la semana 10

P: jajaja y ¿cuándo es la semana 10? porque qué tal

que sea la semana entrante y ustedes ni



laterales? Porque ustedes todos son repitentes o sea

colegas de nosotros, así que niña no leyó, a ver


P: En el tablero:

LIMITES LATERALES



v) lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 y lim𝑥→𝑎−


vi) lim𝑥→𝑎+


𝑓(𝑥)

Ejercicio:

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }


E1. En la semana 10








P: En el tablero:

LIMITES LATERALES



vii) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+


𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎−


viii) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥)

Ejercicio:

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }

Interacción

bidireccional.

Se establece una

comunicación con

retroalimentación

entre las dos

partes, sin

embargo, se torna

unidireccional

nuevamente, y la

profesora

comienza a hablar

sobre las

definiciones

matemáticas de un

tema específico.

Conflicto

semiótico potencial

(repitentes).

Se hace alusión al

tiempo faltante

para la

presentación del

parcial, lo que

genera un carácter

mediacional, así

como el uso del

tablero para

explicar las

definiciones.

-8

-6

-4

-2

0

-6 -4 -2 0

Y = X-2

0

10

20

30

0 2 4 6

Y = X2

-8

-6

-4

-2

0

-6 -4 -2 0

Y = X-2

0

10

20

30

0 2 4 6

Y = X2





…Alejo: a 0

Bueno eso lo miraron gráficamente pero no todos se

pueden graficar entonces háganlo analíticamente


limites laterales.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}


𝑓(𝑥)









analíticamente


limites laterales.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}


𝑓(𝑥)


3 Plantea otro

ejercicio

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|





cosas a la loca sin pensar y por eso repiten y repiten

la materia y se vuelven a encontrar con nosotras


limites laterales


|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|







nosotras


limites laterales

Vuelve la

interacción

bidireccional corta.

La trayectoria

postulada presenta

a los estudiantes

con una actitud

acrítica.

El uso del tablero

como medio

principal para la

explicación del

proceso de

enseñanza le da un

carácter

mediacional.

Como los limites laterales son diferentes entonces el

limite no existe


el limite no existe

4 Límites al infinito P: ¡Ahora ¿qué otros limites existen?!… Límites al

infinito.

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

Solución:

lim𝑥→1

(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)

lim𝑥→1

(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = lim

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2




al infinito.


(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

Solución:


(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)


(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))


(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))


((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2



“No se permite” o

no hay un factor

que genere a los

estudiantes cierto

nivel de

preocupación por

participar de las

ideas dadas por la

profesora.

El hecho que ella

misma haga los

procedimientos

aleja aún más al

estudiante de

adoptar una

posición

retroalimentaría.


FOTO


FOTO

5 Es una lástima

que ahora no se

vean límites de

funciones

hiperbólicas

porque uno se

levanta por la

mañana y qué ve

un cable pues eso

es una función

hiperbólica , los

puentes de San

Francisco

también Puso a

los estudiantes a

buscar la





P:

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2


va a graficar?










a −∞)

P:


(3𝑥)2

𝑥2 + 2








La interacción de

la profesora

únicamente dando

información y

entregando

definiciones, de

cierto modo,

impide concebir

una mayor

participación por

parte de los

estudiantes.

Se pudo haber

generado un

conflicto no

semiótico (perdida

definición del

límite de una

sucesión y un

estudiante la

leyó.

Ahora Limites al

Infinito

puntos de corte con los ejes? Para sacar el punto de

corte en el eje x ¿qué hace?





Grafica



Recordando….







Grafica



Recordando….

de neurona). El

factor de dialogo

determina el

avance que se

pretende concebir.


La docente hace

la aclaración:

“Los problemas

que ustedes

tienen es suma de

fraccionarios

desde los

números hasta las

expresiones y

factorización y

eso no son

problemas del

cálculo sino del

bachillerato”.

Plante un ejemplo


lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3

evalúalo Alejo

=2(−3)

−3 + 3= −

6




aproxima)

A un valor determinado y los valores de 𝑓 se hacen

arbitrariamente muy grande o muy pequeños.


asíntotas, puntos de corte (0,0) Asíntota horizontal

en 𝑦 = 2 vertical en 𝑥 = −3… Entonces quedan

unas regiones donde va a haber gráfica y va

reduciendo las regiones donde va la grafica



2𝑥

𝑥 + 3

evalúalo Alejo

=2(−3)

−3 + 3= −

6




aproxima)



pequeños.






grafica

Idoneidad

interaccional. Hay

una comunicación

bidireccional

cerrada, pues la

profesora

solamente

interactúa con un

estudiante, dejando

un poco de lado lo

que los otros

puedan pensar

sobre los procesos

realizados.

Carácter

mediacional

determinado por el

uso del tablero

como herramienta

única para realizar

las explicaciones

de definiciones y

propiedades.

Sg. Observación de

la

Practica de clase

EMOCIONAL ECOLÓGICA

Análisis:

1 Esta clase es la

presentación de

algunos límites

especiales.

(Hay en este

momento 6:10 de

la mañana 16

estudiante).









Se pretende generar

una motivación

hacia los

estudiantes por el

tema de la

apropiación o uso

correcto del método

de Ruffini, no

obstante, la manera

en que es realizada

dicha interacción

limita a los

estudiantes, y los

pone en una

posición de

incertidumbre.

2 En esta clase

vamos a trabajar

límites especiales

y limites

unilaterales.


E1. En la semana 10








P: En el tablero:

LIMITES LATERALES



ix) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+


𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎−


x) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥−

𝑓(𝑥)

Ejercicio:

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }


E1. En la semana 10






sea colegas de nosotros, así que niña no leyó, a ver


P: En el tablero:

LIMITES LATERALES



xi) lim𝑥→𝑎+


lim𝑥→𝑎−


xii) lim𝑥→𝑎+


𝑓(𝑥)

Ejercicio:

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0 }

Dentro del carácter

ecológico resalta el

tema del tiempo

relacionado con la

presentación del

segundo parcial, se

busca adecuar los

tiempos de

enseñanza con los

tiempos de

funcionamiento

externos a la

materia.

El carácter

emocional resalta

con el tono satírico

en que la profesora

se dirige a los

estudiantes,

también cuando

enfatiza en que son

repitentes y ya

deberían saber

sobre determinados

temas.

-8

-6

-4

-2

0

-6 -4 -2 0

Y = X-2

0

10

20

30

0 2 4 6

Y = X2

-8

-6

-4

-2

0

-6 -4 -2 0

Y = X-2

0

10

20

30

0 2 4 6

Y = X2








analíticamente


limites laterales.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}

Analizar 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑓(𝑥)






…Alejo: a 0



analíticamente


limites laterales.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 0𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

}


𝑓(𝑥)


3 Plantea otro

ejercicio

Idoneidad

emocional.

lim𝑥→2

|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|



P: ¡eso! Redefinirla porque es una función




nosotras


limites laterales


|𝑥2 − 4

𝑥 − 2|



P: ¡eso! Redefinirla porque es una función




nosotras


limites laterales

Se genera una

actitud de alegría y

aceptación en la

profesora cuando

los estudiantes

participan y dejan

a un lado la actitud

pasiva, lo que

conlleva un proceso

de

retroalimentación

en el que la

comunicación se

torna bidireccional.


el limite no existe


el limite no existe

4 Límites al infinito P: ¡Ahora ¿qué otros limites existen?!… Límites

al infinito.

lim𝑥→1

(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

Solución:

lim𝑥→1

(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)

lim𝑥→1

(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))

lim𝑥→1

((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = lim

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2




al infinito.


(2𝑥

𝑥2 − 1−

1

𝑥 − 1)

Solución:


(2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)−

1

𝑥 − 1)


(2𝑥 − (𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))


(2𝑥 − 𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1))


((𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

1

(𝑥 + 1)=

1

2



El carácter

emocional está

soportado en la

forma de continuar

con los procesos

matemáticos; no

hay participación

de los estudiantes,

entonces la

profesora realiza

todo el trabajo y la

explicación,

volviendo a una

comunicación que

va en un solo

sentido, de manera

pasiva.


FOTO


FOTO

5 Es una lástima que

ahora no se vean

límites de

funciones

hiperbólicas

porque uno se

levanta por la

mañana y qué ve

un cable pues eso

es una función

hiperbólica , los

puentes de San

Francisco también

Puso a los

estudiantes a

buscar la


comportamiento de la función y = f(x) cuando x



P:

lim𝑥→∞

(3𝑥)2

𝑥2 + 2


va a graficar?






puntos de corte con los ejes? Para sacar el punto

de corte en el eje x ¿qué hace?





a −∞)

P:


(3𝑥)2

𝑥2 + 2








Idoneidad

emocional

soportada en los

comentarios

realizados por la

profesora tras

finalizar alguna

explicación;

“neuronas

perdidas”, haciendo

alusión a la

cantidad de

esfuerzo colocada

en el proceso de

comprensión

relacionado con los

definición del

límite de una

sucesión y un

estudiante la leyó.

Ahora Limites al

Infinito





Grafica



Recordando….







Grafica



Recordando….

objetivos

matemáticos

propuestos en la

clase.


La docente hace la

aclaración: “Los

problemas que

ustedes tienen es

suma de

fraccionarios

desde los números

hasta las

expresiones y


no son problemas

del cálculo sino

del bachillerato”.

Plante un ejemplo


lim𝑥→−3

2𝑥

𝑥 + 3

evalúalo Alejo

=2(−3)

−3 + 3= −

6




aproxima)



pequeños.






grafica



2𝑥

𝑥 + 3

evalúalo Alejo

=2(−3)

−3 + 3= −

6




aproxima)



pequeños.






grafica

El carácter

emocional se

determina también

por la participación

que tiene el grupo

frente a las

propuestas

problemáticas de la

profesora. En los

casos particulares,

la relación se da

entre la docente y

un solo estudiante,

lo que puede

generar otro

conflicto de

rechazo por parte

de los otros

estudiantes que

tienen una actitud

pasiva.

[Ep. 6] Episodio 6. Límite Trigonométrico Y Continuidad De Una Función

Sg Observación de

la práctica de

clase


1 Fui a sacarle

fotocopia a los

parciales ya

corregidos por

ella pues los iba

a entregar. Se

demoró

demasiado el

señor de la

En el tablero:

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅

En el tablero:

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅

La profesora inicia

desarrollando un

taller, que debe a su

vez facilitar el tema

de continuidad.

Se desarrolla un

ejercicio en el

fotocopiadora

entonces ella

empezó sin mí.

Entré a las 6:35

a.m. hay 14

estudiantes.

Tomo la foto de

lo que hay en el

tablero, y ella

amablemente

me

contextualiza:

está

desarrollando un

taller que

anexaré a este

protocolo y me

muestra un taller

que ella aplica

en la

Universidad

Tadeo para

realizarlo en

Geogebra:

también lo

anexaré uno sin

resolver. Me

dice que está

preparando el

(𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑥)

lim𝑥→

𝜋

3


3)

1−2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋3

12sen x −

√32Cosx


sen x + √3cos x

sen x + √3cos x

P: Hay dos exposiciones pendientes, ¿Quién las

quiere?




lim𝑥→

𝜋

3


3)

1−2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋3

12sen x −

√32Cosx


sen x + √3cos x

sen x + √3cos x

P: Hay dos exposiciones pendientes, ¿Quién las

quiere?



tablero, donde se

deben tener

conocimientos

previos de límites

trigonométricos, y

se pone en juego las

capacidades

cognitivas para su

solución.

terreno para

empezar

continuidad y

que va a hacer

clase los sábados

porque siente

que va atrasada

pues queda 1

mes de clases.

Los estudiantes

revisaron el

parcial y nadie

hizo un reclamo,

nadie preguntó

cuánto valía

cada punto,

nadie nada.

Alzaron la mano

dos estudiantes

2 La docente

aclara como

objetivo de las

clases siguientes

el estudio de la

continuidad.

[Hace alusión al

parcial y pide


ti?

P: Pues bien aquí tenemos la gráfica de la

función y ser continua significa que cada punto

de la gráfica tiene su imagen, existen todos los

valores reales de los puntos del dominio.


ti?


función y ser continua significa que cada punto

de la gráfica tiene su imagen, existen todos los

valores reales de los puntos del dominio.

La docente pide el

concepto intuitivo

de continuidad. Se

apoya en una gráfica

para su dominio, y

posteriormente se

apoya en una

que le dicten (le

regalen) la

función del

parcial]: Se la

dictan y ella dice

Pinta una

gráfica

polinómica en el

tablero que corta

al eje x en los

puntos a y b

[Procede a la

descomposición

de la expresión

en factores

primos]




función?

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝐹(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.




Presenta tres cortes con el eje x, ¿A que es igual

𝑓(𝑥) en factores?

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)


concavidades.

P: Dominio: todos los reales en la gráfica, ¿Es

igual en la formula?

P: ¿Cuáles son los cortes con los ejes X y Y?

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1




función?

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝐹(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.




Presenta tres cortes con el eje x, ¿A que es igual

𝑓(𝑥) en factores?

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)


concavidades.

P: Dominio: todos los reales en la gráfica, ¿Es

igual en la formula?

P: ¿Cuáles son los cortes con los ejes X y Y?

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1

función para que se

determine su

dominio, puntos de

corte y asíntotas.

Cognitivamente, a

través de ejemplos y

conocimientos

previos se explica el

tema de

continuidad.

Epistemicamente, se

deben tener claros

los conceptos de

funciones, límites,

dominio, gráficas,

puntos de corte y

asíntotas; lo que le

permite a los

estudiantes entender

el tema.

(le pone

coordenadas a

los puntos “a” de

corte: -1, 2 y 4)

[condiciona las

afirmaciones de

los estudiantes]

[Las va

pintando en el

tablero].







tiene una que es x=-1







tiene una que es x=-1

Sg Observación de

la práctica de

clase


1 Fui a sacarle

fotocopia a los

parciales ya

corregidos por

ella pues los iba a

entregar. Se

demoró

demasiado el

señor de la

fotocopiadora

entonces ella

empezó sin mí.

Entré a las 6:35

a.m. hay 14

estudiantes.

Tomo la foto de

lo que hay en el

tablero, y ella

amablemente me

contextualiza:

está

desarrollando un

taller que anexaré

a este protocolo y

me muestra un

taller que ella

aplica en la

Universidad

Tadeo para

En el tablero:

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅


lim𝑥→

𝜋

3


3)

1−2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋

3

1

2sen x−

√3

2Cosx

(sen x−√3∗cos x)/(sen x+√3cos x)

sen x+√3cos x

sen x+√3cos x

P: Hay dos exposiciones pendientes,

¿Quién las quiere?

P: En la próxima clase tienen los temas y

pasan al tablero en el momento que

quieran.

En el tablero:

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅


lim𝑥→

𝜋

3


3)

1−2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋

3

1

2sen x−

√3

2Cosx


sen x+√3cos x

sen x+√3cos x





quieran.

Mediacionalmente, se realiza

un ejercicio en el tablero.

Adicional a esto se entregan

los parciales corregidos. Se

realiza un taller para dar paso

al siguiente tema, continuidad.

Y se asignan las exposiciones.

Interaccionalmente, se deben

realizar dos exposiciones de

forma voluntaria en la próxima

clase.

realizarlo en

Geogebra:

también lo

anexaré uno sin

resolver. Me dice

que está

preparando el

terreno para

empezar

continuidad y

que va a hacer

clase los sábados

porque siente que

va atrasada pues

queda 1 mes de

clases.

Los estudiantes

revisaron el

parcial y nadie

hizo un reclamo,

nadie preguntó

cuánto valía cada

punto, nadie

nada.

Alzaron la mano

dos estudiantes

2 La docente

aclara como

objetivo de las

clases siguientes

el estudio de la

continuidad.

[Hace alusión al

parcial y pide que

le dicten (le

regalen) la

función del

parcial]: Se la

dictan y ella dice

Pinta una gráfica

polinómica en el

tablero que corta

al eje x en los

puntos a y b

[Procede a la

descomposición

de la expresión

P: Intuitivamente ¿Qué es algo continuo

para ti?


función y ser continua significa que cada

punto de la gráfica tiene su imagen,

existen todos los valores reales de los

puntos del dominio.

P: Analice si la función tal, es continua,

sin acudir a la gráfica, entonces observen

el denominador: ¿Qué me pueden decir

de esta función?

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝐹(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.

P: ¿Entonces intuitivamente puedo decir

que esa función de la que se hizo la

gráfica, no es necesariamente la misma

de la fórmula?, Presenta tres cortes con el

eje x, ¿A que es igual 𝑓(𝑥) en factores?

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)


concavidades.


para ti?





dominio.



denominador: ¿Qué me pueden decir de

esta función?

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝐹(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.


que esa función de la que se hizo la gráfica,

no es necesariamente la misma de la

fórmula?, Presenta tres cortes con el eje x,

¿A que es igual 𝑓(𝑥) en factores?

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)


concavidades.

A pesar de que se desea

interactuar más con los

estudiantes, la docente es la

que responde lo que pregunta.

Mediacionalmente, se utilizan

dos ejemplos en el tablero,

analizando específicamente el

parcial.

en factores

primos]

(le pone

coordenadas a los

puntos “a” de

corte: -1, 2 y 4)

[condiciona las

afirmaciones de

los estudiantes]

[las va pintando

en el tablero]

P: Dominio: todos los reales en la

gráfica, ¿Es igual en la formula?

P: ¿Cuáles son los cortes con los ejes X

y Y?

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1

P: ¿cuál va a ser la asíntota horizontal x

o y? Para señalar las asíntotas deben

explicitar no solo el número 1, sino y=1.

P: Tiene asíntota horizontal, pregunto

¿tiene asíntota vertical? Tienen que

mirar en la función sin factores comunes

por eso solo tiene una que es x=-1

P: Dominio: todos los reales en la gráfica,

¿Es igual en la formula?

P: ¿Cuáles son los cortes con los ejes X y

Y?

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1

P: ¿cuál va a ser la asíntota horizontal x o

y? Para señalar las asíntotas deben



¿tiene asíntota vertical? Tienen que mirar

en la función sin factores comunes por eso

solo tiene una que es x=-1

Sg Observación de la

práctica de clase

EMOCIONAL ECOLÓGICO ANÁLISIS

1 Fui a sacarle

fotocopia a los

parciales ya

corregidos por ella

pues los iba a

entregar. Se

demoró demasiado

En el tablero:

En el tablero:

Se realiza un ejercicio

en el tablero, y se

aplica un taller.

Emocionalmente, se

le ofrece la

el señor de la

fotocopiadora

entonces ella

empezó sin mí.

Entré a las 6:35

a.m. hay 14

estudiantes. Tomo

la foto de lo que hay

en el tablero, y ella

amablemente me

contextualiza: está

desarrollando un

taller que anexaré a

este protocolo y me

muestra un taller

que ella aplica en la

Universidad Tadeo

para realizarlo en

Geogebra: también

lo anexaré uno sin

resolver. Me dice

que está preparando

el terreno para

empezar

continuidad y que

va a hacer clase los

sábados porque

siente que va

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅


lim𝑥→

𝜋

3


3)

1−2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋

3

1

2sen x−

√3

2Cosx


sen x+√3cos x

sen x+√3cos x





quieran.

lim𝑥→

𝜋3


1 − 2 cos 𝑥=

0

0= ∅


lim𝑥→

𝜋

3

𝑠𝑒𝑛 (𝑥−𝑥

3)

1−2 cos 𝑥=

lim𝑥→

𝜋

3

1

2sen x−

√3

2Cosx


sen x+√3cos x

sen x+√3cos x





quieran.

oportunidad a dos

estudiantes de realizar

exposiciones, lo cual

puede facilitar el

entendimiento de los

demás estudiantes.

atrasada pues queda

1 mes de clases.

Los estudiantes

revisaron el parcial

y nadie hizo un

reclamo, nadie

preguntó cuánto

valía cada punto,

nadie nada.

Alzaron la mano

dos estudiantes

2 La docente aclara

como objetivo de

las clases

siguientes el

estudio de la

continuidad.

[Hace alusión al

parcial y pide que le

dicten (le regalen)

la función del

parcial]: Se la

dictan y ella dice


para ti?





dominio.




esta función?


para ti?





dominio.




esta función?

Al explicar

continuidad la docente

desea conocer los

conceptos previos de

los estudiantes, pero

finalmente se auto

responde.

Emocionalmente, al

realizar la pregunta

los estudiantes

debieron tener una

idea de lo que se

estaba planteando y

Pinta una gráfica

polinómica en el

tablero que corta al

eje x en los puntos

a y b

[Procede a la

descomposición de

la expresión en

factores primos]

(le pone

coordenadas a los

puntos “a” de corte:

-1, 2 y 4)

𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝐹(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.






𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)


concavidades.




Y?

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1








𝐹(𝑥) =𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 2𝑥 − 3=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝐹(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1, 𝑥 ≠ 3.






𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)


concavidades.




Y?

𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1








de que tan correcta

estaba.

[condiciona las

afirmaciones de los

estudiantes]

[Las va pintando

en el tablero].

[Ep. 7] Episodio 7. Criterio de continuidad y clases de discontinuidades

Sg. Observación de

la

Practica de clase

EPISTÉMICO COGNITIVO

Análisis:

1 Hay 12

estudiantes. La

docente pregunta

en dos ocasiones si

resuelven el taller,

a lo que responden

que no.

**Muestra el taller

y dice que es una

falta de respeto no

trabajar, “es

absurdo venir a

P: Escriban la siguiente función definida en dos

“pedazos”

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P:**

P: Determine para qué valor de “a” la función

𝑔(𝑥) es continua en 𝑥 = 1:

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P: (Cuando uno piensa puede hacer el ejercicio

golpéele y el sale)


“pedazos”

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P:**

P: Determine para qué valor de “a” la función 𝑔(𝑥)

es continua en 𝑥 = 1:

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1



El proceso de

aprendizaje se da

mediante el trabajo

concebido por

conocimientos

previos

relacionados con el

tema, es un

ejercicio propuesto

mediante una

dificultad al

alcance de los

estudiantes, no

socializar y no a

trabajar”: Hola no

roben a la

sociedad, a la

familia, ¿qué

hacemos?

requiere de una

ardua

conceptualización.

2 *** (¡El problema

es de actitud!

Haciendo alusión a

los bajos

resultados de las

pruebas PISA de

nuestro país, de la

poca exigencia en

el bachillerato.

Culpa de la ex -

ministra Cecilia

M. Vélez quien

instauró los logros,

y dictó una charla

en la Tadeo dando

unos ‘tips’ de

cómo está la

educación

superior, si ella fue

responsable en

gran medida de la

crisis actual de

nuestra educación

superior. Y si esa

actitud es aquí ¿se


empecemos con esas:

1. ¿f(a) existe?

P: ***

P: veamos lo que pasa en 𝑥 = 1, siendo el punto

donde se redefine la función.

E1 (Felipe): analicemos 𝑔(1) con la segunda

parte [g(x): cuando 𝑥 ≥ 1]

E1: 𝑔(1) = 𝑎 + 2


E: Si

P: Otra cosa es que no sepamos el valor de 𝑎, pero

existe, entonces se cumple la primera propiedad.


empecemos con esas:

1. ¿f(a) existe?

P: ***



E1 (Felipe): analicemos 𝑔(1) con la segunda parte

[g(x): cuando 𝑥 ≥ 1]

E1: 𝑔(1) = 𝑥 + 2


E: Si



Se pretende trabajar

el problema

propuesto mediante

métodos conocidos,

esperando trabajar

con mayor

comodidad los

temas derivados.

Los estudiantes

demuestran

apropiación del

conocimiento dado

mediante la

participación y la

interacción activa

con la profesora.

imaginan en las

Universidades

privadas?

(Católica, Salle,

Tadeo, Central)

- ¡Sí, ustedes vuelan

con respecto a esas

Universidades!

3 **** Va a

recuperar clase de

los dos lunes

festivos desde

mañana sábado de

11 am a 1 pm y el

otro sábado

también. “El que

no quiera venir no

venga, pero voy a

hacer clase, no

asesoramiento ni

ejercicios sino

clase”

P: Catalina, ¿Qué dice la segunda propiedad? E2

(Catalina): Que el límite existe.



𝑔(𝑥)

P: Como 𝑔(𝑥) es una función a “pedazos”, toca

tomar los limites por la derecha y por la

izquierda:


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 = 2𝑎 + 5

E3 (Andrea): Si el límite existe, los límites por

ambos lados deben dar igual.




𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1


2. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1




lim𝑥→1

𝑔(𝑥)


tomar los limites por la derecha y por la izquierda:


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5



P: [Escribe en el tablero] “Para que el limite exista,

los limites laterales deben ser iguales. Igualando

se obtiene:

𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1


3. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

El carácter

cognitivo se da por

los resultados

demostrados por

los estudiantes en

relación con lo que

espera la profesora

de ellos. Se

demuestra una

apropiación

conceptual sumada

a un trabajo

proposicional que

funciona de una

manera adecuada a

nivel del avance de

los estudiantes en

la materia.


−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)



P: ****

4. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)

5. P: ¡Por lo tanto el valor de 𝑎 = −3 para

que 𝑔(𝑥) sea continua!

P: ****




P: [Pintó dos gráficas, en la primera una parábola

con un “huequito” en uno de sus extremos y ahí

salta a una recta para un valor que se encuentra

más arriba (en el eje de las ordenadas) y otra

grafica de una función polinómica con un

“huequito” en el interior del dominio para decir

que esa es removible]

P: [Escribe en el tablero] Definición: Sea f una

función discontinua en 𝑥 = 𝑎, se dice que f posee

una discontinuidad esencial (no removible) en 𝑥 =𝑎 si el límite de la función no existe:


𝑓(𝑥) = ∞

Definición: Sea f una función discontinua en 𝑥 =𝑎, se dice que 𝑓(𝑥) posee una discontinuidad

evitable (removible) en 𝑥 = 𝑎 si el límite de la

función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿

CLASES DE DISCONTINUIDAD:





extremos y ahí salta a una recta para un valor que

se encuentra más arriba (en el eje de las


polinómica con un “huequito” en el interior del

dominio para decir que esa es removible]



una discontinuidad esencial (no removible) en

𝑥 = 𝑎 si el límite de la función no existe:


𝑓(𝑥) = ∞



función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿

Pertenece a la

idoneidad

epistémica porque

se está proponiendo

una situación

problema a través

de un significado

de referencia con el

programa

curricular.

Se pretende que el

estudiante

argumente y tome

una posición crítica

frente al nuevo

conocimiento.

5 La docente

propone la

participación de

P: [escribe en el tablero]: P: [escribe en el tablero]:

EJERCICIO: Para la función definida en tres

segmentos (segmentada):

El carácter

epistémico se

determina en esta

los estudiantes en

la solución de la

situación

problema, sin

embargo es ella

quien termina

resolviendo y

aplicando los

procedimientos.

***** Asigna dos

exposiciones para

el concepto de

derivada uno a

partir del cálculo

de la pendiente a

una curva y otro

desde la física

calculando la

velocidad, ¿cuál

quieren primero

las damas?,

E1 escoge la idea

de la pendiente

entonces al chico

le toco el de la

física, para el

miércoles.



Sea 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Determinar si 𝑓(𝑥) es continua en 𝑥 = 3. Si no lo

es, analizar la discontinuidad en dicho valor.


E1: [él empieza a dictarle, mientras ella anota en

el tablero]

𝑓(3) = 8


𝑓(𝑥) =? 𝑁𝑜 ℎ𝑢𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑥𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎, pero deben

considerar los límites laterales.


función, deberíamos hacer primero la gráfica así

que háganlo pero no se estresen. [Y sigue]:


7 − 𝑥2 = −2,


4 − 2𝑥 = −2


𝑓(𝑥) = −2

Sea 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};





el tablero]

4. 𝑓(3) = 8


𝑓(𝑥) =? 𝑁𝑜 ℎ𝑢𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎, pero deben






7 − 𝑥2 = −2,


4 − 2𝑥 = −2


𝑓(𝑥) = −2

6. 𝑙𝑥𝑚𝑥→3

𝑓(𝑥), pues −2 ≠ 8




situación por la

generación de una

situación problema

relacionada con un

objeto del

conocimiento

matemático. Las

explicaciones y los

procesos

determinados son

trabajados a un

nivel al alcance de

los estudiantes, que

también utilizan los

conocimientos de

anteriores

segmentos para

resolver

correctamente los

problemas, lo que

también produce un

carácter cognitivo.

Al día siguiente

ella va a terminar

continuidad con

los asistentes.

𝑓(3) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑓(𝑥), pues −2 ≠ 8




𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Es continua en x=3.

P: *****


estudiantes]:


𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − ax, 𝑠𝑖 𝑥 = 33x + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

};

𝐏: [Señala los compromisos y tareas] Propiedades

de las funciones continuas para mañana,

Continuidad en un intervalo y entrega de los dos

talleres.

𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Es continua en x=3.

P: *****


estudiantes]:


𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − ax, 𝑠𝑖 𝑥 = 33x + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

};




talleres.

Sg. Observación de

la

Practica de clase


Análisis:

1 Hay 12

estudiantes. La

docente pregunta

en dos ocasiones si


a lo que responden

que no.

**Muestra el taller

y dice que es una

falta de respeto no

trabajar, “es

absurdo venir a

socializar y no a


roben a la

sociedad, a la

familia, ¿qué

hacemos?


“pedazos”

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P:**



𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1




“pedazos”

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P:**



𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1



La interacción

desarrollada es

unidireccional. La

profesora se

encarga de entregar

conceptos y

definiciones y

propone trabajar

sobre un objeto de

conocimiento, sin

embargo, puede

haber un conflicto

de comprensión,

pues exigir que se

piense sólo porque

sí no motiva a los

estudiantes.


es de actitud!

Haciendo alusión a

los bajos

resultados de las

pruebas PISA de


poca exigencia en

el bachillerato.


empecemos con esas:

1. ¿f(a) existe?

P: ***





E1: 𝑔(1) = 𝑎 + 2


empecemos con esas:

1. ¿f(a) existe?

P: ***





E1: 𝑔(1) = 𝑎 + 2

El carácter

interaccional

presenta una

comunicación

bidireccional, en la

que varios

estudiantes

participan de la

solución de los

Culpa de la ex -

ministra Cecilia

M. Vélez quien


y dictó una charla

en la Tadeo dando

unos ‘tips’ de

cómo está la

educación


responsable en

gran medida de la

crisis actual de

nuestra educación

superior. Y si esa


imaginan en las

Universidades

privadas?

(Católica, Salle,

Tadeo, Central)


con respecto a esas

Universidades!


E: Si




E: Si



problemas y así

construyen un

movimiento de

retroalimentación.

Lo que motiva a la

profesora a seguir

explicando las

problemáticas

buscando más

participación.

3 **** Va a

recuperar clase de

los dos lunes

festivos desde

mañana sábado de

11 am a 1 pm y el

otro sábado




lim𝑥→1

𝑔(𝑥)




𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2





𝑔(𝑥)



izquierda:

Hay un proceso

comunicacional con

retroalimentación,

los estudiantes

interactúan con la

profesora una y otra

vez construyendo

también. “El que

no quiera venir no

venga, pero voy a

hacer clase, no

asesoramiento ni

ejercicios sino

clase”


𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5





se obtiene:

𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1


6. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)



P: ****


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 = 2𝑎 + 5






𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1


7. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)



P: ****

unas bases de

trabajo claras, lo

que permite

concebir una mejor

relación entre las

partes, en otras

palabras, dejan de

presentarse

conflictos

semióticos.

















El proceso

comunicacional

vuelve una

interacción

unidireccional.

La profesora

comienza a

entregar

información pero







𝑓(𝑥) = ∞



función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿








𝑓(𝑥) = ∞



función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿

no está dando

espacios a los

estudiantes para

construir un

proceso con

retroalimentación,

generando más

conflictos

semióticos.

5 La docente

propone la

participación de

los estudiantes en

la solución de la

situación

problema, sin

embargo es ella

quien termina

resolviendo y

aplicando los

procedimientos.

***** Asigna dos

exposiciones para

el concepto de

derivada uno a

partir del cálculo




Sea 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};





el tablero]

7. 𝑓(3) = 8


𝑓(𝑥) =? 𝑁𝑜 ℎ𝑢𝑏𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑥𝑎, pero

deben considerar los límites laterales.




Sea 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};





el tablero]

10. 𝑓(3) = 8




Hay un carácter

mediacional

determinado por el

uso del tablero

como la

herramienta

principal para

plasmar las ideas

del conocimiento y

de cierto modo,

conceptualizarlas

más fácilmente en

las enseñanzas.

La idoneidad

interaccional se

marca por la

comunicación

bidireccional entre

de la pendiente a

una curva y otro

desde la física

calculando la

velocidad, ¿cuál

quieren primero

las damas?,

E1 escoge la idea

de la pendiente

entonces al chico

le toco el de la

física, para el

miércoles.

Al día siguiente

ella va a terminar

continuidad con

los asistentes.





7 − 𝑥2 = −2,


4 − 2𝑥 = −2


𝑓(𝑥) = −2


𝑓(𝑥), pues −2 ≠ 8




𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Es continua en x=3.

P: *****


estudiantes]:






7 − 𝑥2 = −2,


4 − 2𝑥 = −2


𝑓(𝑥) = −2


𝑓(𝑥), pues −2 ≠ 8




𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Es continua en x=3.

P: *****


estudiantes]:


la profesora y un

solo estudiante, sin

embargo, se torna

unidireccional de

nuevo cuando la

profesora sigue

explicando temas

del conocimiento

pero sin dejar un

espacio para la

participación de los

estudiantes.

𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − ax, 𝑠𝑖 𝑥 = 33x + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

};




talleres.

𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − 𝑎𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 = 33𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

};

𝑷: [Señala los compromisos y tareas]


mañana, Continuidad en un intervalo y entrega de

los dos talleres.

Sg. Observación de

la

Practica de clase


Análisis:

1 Hay 12

estudiantes. La

docente pregunta

en dos ocasiones si


a lo que responden

que no.

**Muestra el taller

y dice que es una

falta de respeto no

trabajar, “es

absurdo venir a

socializar y no a


roben a la

sociedad, a la


“pedazos”

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P:**



𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1




“pedazos”

𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1

P:**



𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 ∶ 𝑥 < 1

𝑎𝑥2 + 2 ∶ 𝑥 ≥ 1



Breve carácter

emocional, se está

motivando a los

estudiantes a pesar

en que cuando se

atribuye

concentración a los

problemas, las

soluciones aparecen

rápidamente.

familia, ¿qué

hacemos?


es de actitud!

Haciendo alusión a

los bajos

resultados de las

pruebas PISA de


poca exigencia en

el bachillerato.

Culpa de la ex -

ministra Cecilia

M. Vélez quien


y dictó una charla

en la Tadeo dando

unos ‘tips’ de

cómo está la

educación


responsable en

gran medida de la

crisis actual de

nuestra educación

superior. Y si esa


imaginan en las

Universidades

privadas?


empecemos con esas:

1. ¿f(a) existe?

P: ***





E1: 𝑔(1) = 𝑎 + 2


E: Si




empecemos con esas:

1. ¿f(a) existe?

P: ***





E1: 𝑔(1) = 𝑎 + 2


E: Si



La idoneidad

emocional se ve

marcada por las

ideas de

movimiento hacia

el conocimiento

planteadas por la

profesora, es decir,

se pretende que el

estudiante logre

concebir el

significado de un

objeto matemático

mediante ciertas

características.

(Católica, Salle,

Tadeo, Central)


con respecto a esas

Universidades!

3 **** Va a

recuperar clase de

los dos lunes

festivos desde

mañana sábado de

11 am a 1 pm y el

otro sábado

también. “El que

no quiera venir no

venga, pero voy a

hacer clase, no

asesoramiento ni

ejercicios sino

clase”




lim𝑥→1

𝑔(𝑥)




𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (ax + 1)x + 4 = 2a + 5





se obtiene:

𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1


8. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)





𝑔(𝑥)



izquierda:


𝑎𝑥2 + 2 = 𝑎 + 2


𝑎𝑥2 + (𝑎𝑥 + 1)𝑥 + 4 = 2𝑎 + 5






𝑎 + 2 = 2𝑎 + 5, 2 − 5 = 2𝑎 − 𝑎, 𝑎 = −3


𝑔(𝑥) = −3𝑥2 − 2𝑥 + 4, si 𝑥 < 1 , &,

𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 2 si 𝑥 ≥ 1


9. 𝑔(1) = −3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 + 2 = −1


−3𝑥2 − 2𝑥 + 4 = −1

La actitud de los

estudiantes es

positiva, buscan la

participación en la

resolución de

problemas. Las

estrategias de

explicación de la

profesora se tornan

adecuadas en este

punto, pues la

comunicación

constante entre las

dos partes permite

un crecimiento a

nivel de concepción

del conocimiento

propuesto.



P: ****

3. 𝑔(1) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1

=1g(x)



P: ****















𝑓(𝑥) = ∞



función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿
















𝑓(𝑥) = ∞



función existe:


𝑓(𝑥) = 𝐿

El carácter

emocional se

determina en este

caso por la

estrategia de

enseñanza de la

profesora, que

resulta poco

adecuada en el

momento porque

pese a que está

entregando

definiciones no hay

participación por

parte de los

estudiantes.

5 La docente

propone la

participación de

los estudiantes en

la solución de la







La idoneidad

ecológica se

relaciona con los

compromisos y las

tereas que deja para

situación

problema, sin

embargo es ella

quien termina

resolviendo y

aplicando los

procedimientos.

***** Asigna dos

exposiciones para

el concepto de

derivada uno a

partir del cálculo

de la pendiente a

una curva y otro

desde la física

calculando la

velocidad, ¿cuál

quieren primero

las damas?,

E1 escoge la idea

de la pendiente

entonces al chico

le toco el de la

física, para el

miércoles.

Al día siguiente

ella va a terminar

Sea 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};





el tablero]

13. 𝑓(3) = 8








7 − 𝑥2 = −2,


4 − 2𝑥 = −2


𝑓(𝑥) = −2

15. 𝑥𝑖𝑚𝑥→3

𝑓(𝑥), pues −2 ≠ 8




Sea 𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};





el tablero]

16. 𝑓(3) = 8








7 − 𝑥2 = −2,


4 − 2𝑥 = −2


𝑓(𝑥) = −2


𝑓(𝑥), pues −2 ≠ 8




la siguiente clase.

La condición

externa al aula

influye en la

manera en la que

cada estudiante

llevará a cabo los

deberes dados por

la profesora, que

pretenden adaptar

el conocimiento de

los estudiantes.

continuidad con

los asistentes.

𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Es continua en x=3.

P: *****


estudiantes]:


𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − 𝑎𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 = 33𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

};

𝑷: [Señala los compromisos y tareas]


mañana, Continuidad en un intervalo y entrega de

los dos talleres.

𝑓(𝑥) = {4 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 3

8, 𝑠𝑖 𝑥 = 3

7 − 𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3};

Es continua en x=3.

P: *****


estudiantes]:


𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥2 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 3

5 − ax, 𝑠𝑖 𝑥 = 33x + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

};




talleres.

[Ep. 8] Episodio 8. Relación entre continuidad y derivadas mediante la definición y usando propiedades

Sg

.

Observación de la

Practica de clase EPISTÉMICO COGNITIVA

Análisis:

1 Hay 8 estudiantes 6:10 am

La profesora les recuerda el

criterio de continuidad

removible y esencial y se pega

de la removible para enunciar el

teorema

P: Recuerda la definición de la

derivada

P: Ecuación recta tangente y

normal

P: Alejo si viene y trae el

computador yo voy y traigo los

cables para seguir visualizando

P: Recuerda la definición de la

derivada

P: Ecuación recta tangente y

normal


computador yo voy y traigo los

cables para seguir visualizando

La profesora hace uso de conceptos

trabajados anteriormente, explica y

demuestra conceptos, conceptos que podrán

ser conceptualizados como base para el

desarrollo de posteriores ejercicios.

No explica la diferencia entre

derivable y diferenciable




trasnmilenio)

P: Derivabilidad implica

continuidad

Teorema

P: “Si una función es derivable

o diferenciable en 𝑥 = 𝑎

entonces la función es continua

en 𝑥 = 𝑎”

DEM//:

P: no se asusten con la palabra

demostración

Axioma -> verdad universal

cierta

Teoría -> enunciado que debe

ser demostrado

Corolario -> enunciado tan

evidente que no necesita ser

demostrado

P: cuales son las partes de una

demostración?


P: toda demostración parte de

algo: supongamos, dados, sea,

después hay un proceso

algorítmico, analítico. Una

demostración no es un ejercicio

algorítmico

Ej.:

√9 + 25 = √9 + √25

√34 = 3 + 5

√34 ≠ 8


continuidad

Teorema

P: “Si una función es derivable

o diferenciable en 𝑥 = 𝑎

entonces la función es continua

en 𝑥 = 𝑎”

DEM//:

P: no se asusten con la palabra

demostración

Axioma -> verdad universal

cierta

Teoría -> enunciado que debe

ser demostrado

Corolario -> enunciado tan

evidente que no necesita ser

demostrado

P: cuales son las partes de una

demostración?


P: toda demostración parte de

algo: supongamos, dados, sea,


algorítmico, analítico. Una

demostración no es un ejercicio

algorítmico

Ej.:

√9 + 25 = √9 + √25

√34 = 3 + 5

√34 ≠ 8

Aun así utiliza los conceptos de derivable y

diferenciable como elementos indistintos.

Presenta carácter epistémico debido a la

proposición, exposición y desarrollo de

conceptos base (pilares de soporte

conceptual) para el desarrollo posterior de

actividades temáticas.

Verificación, pues entonces la

proposición no es verdadera

para todos los reales.

Verificación, pues entonces la

proposición no es verdadera

para todos los reales.

2

Les hace ver las partes de la

demostración que no es una

plana

P: Si 𝑓(𝑥) es una función

continua en 𝑥 = 𝑎 entonces

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

= 𝑓(𝑎) 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 O que

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0

Luego

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)]

= lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)]

= lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎. lim


lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 𝑓′(𝑥) ∗ 0

Luego si una función si una

función es derivable en 𝑥 = 𝑎

entonces es continua en 𝑥 = 𝑎

P: Si 𝑓(𝑥) es una función

continua en 𝑥 = 𝑥 entonces

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

= 𝑓(𝑎) 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 O que

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0

Luego

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)]

= lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)]

= lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎. lim


lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 𝑓′(𝑥) ∗ 0

Luego si una función si una

función es derivable en 𝑥 = 𝑎

entonces es continua en 𝑥 = 𝑎

Presenta carácter epistémico y cognitivo ya

que se exponen conceptos no trabajados

ampliamente hasta ese momento pero que se

ayudad de definiciones conceptuales pre-

establecidas para poder ser desarrollados;

tanto la parte epistémica como la parte

cognitiva son aportadas desde la profesora.


profe”. Llega en moto por los

accesorios que le veo en la

mano y la profesora se va a

traer los cables

Ella misma responde

Alejo está instalando los cables

Ejercicio 1: Probar que la

función es continua en el punto

dado aplicando la definición de

derivada

𝑓(𝑥)= 2𝑥

− 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1

2, −8)

Ejercicio 1: Probar que la

función es continua en el punto

dado aplicando la definición de

derivada

𝑓(𝑥)= 2𝑥

− 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1

2, −8)

Se realiza un desarrollo procedimental que

hace uso de elementos lingüísticos y

simbólicos con la finalidad de exponer la

solución al problema.

Presenta carácter cognitivo al verse

reflejada una solución como parte de un

No la evalúa en ese punto?

ME PERDI

No se pudo conseguir señal al

conectar el computador al

televisor

Solución

P: ES continua o no?

P: Si porque es una línea recta,

bien!

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑥(𝑥)


𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

2(𝑥 + ℎ) − 9 − (2𝑥 − 9)

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

2𝑥 + 2ℎ − 9 − 2𝑥 + 9

ℎ


2ℎ

ℎ= lim

ℎ→02 = 2

P: Luego f es continua en P(1/8,

-8)

Como es derivable en ese punto

es continua ahí

P: bueno pero ese proceso es

muy engorroso, imagínense

una hiperbólica, por eso vamos

a ver las propiedades. Ahora si

un ejemplo para ustedes.

Solución


P: Si porque es una línea recta,

bien!

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)


𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

2(𝑥 + ℎ) − 9 − (2𝑥 − 9)

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

2𝑥 + 2ℎ − 9 − 2𝑥 + 9

ℎ


2ℎ

ℎ= lim

ℎ→02 = 2

P: Luego f es continua en P(1/8,

-8)

Como es derivable en ese punto

es continua ahí

P: bueno pero ese proceso es

muy engorroso, imagínense

una hiperbólica, por eso vamos

a ver las propiedades. Ahora si

un ejemplo para ustedes.

proceso de construcción conceptual

nuevamente esta perspectiva es abordada a

partir de la profesora.

4 Ella espero 4 min háganlo….

No lo voy a hacer. Al minuto

empieza a escribir

Ejercicio 2:

𝑓(𝑥)= 3𝑥𝟐 − 5𝑥+ 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)

Ejercicio 2:

𝑓(𝑥)= 3𝑥𝟐 − 5𝑥+ 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)

Se presenta un ejercicio y se invita a la

participación de los estudiantes la solución

del ejercicio requiere de ejercicios mentales

por parte del estudiante que incluyan la

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 2 − (3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

ℎ

P: hagamos uno más difícil

como para el parcial, que

tengamos que pensar

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 2 − (3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

ℎ

P: hagamos uno más difícil

como para el parcial, que

tengamos que pensar

evocación de conceptos aprendidos

anteriormente

Presenta carácter epistémico y cognitivo la

proposición del ejercicio es por definición

un componente epistémico y los desarrollos

procedimentales que de este se desprendan

son del componente cognitivo.

5

Alejo dicto algunos pasos, los

demás sabrían de dónde?

Inmediatamente empezó otro

tema

Ejercicio 3:

𝑓(𝑥)

= √2𝑥 − 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

√2(𝑥 + ℎ) − 1 − √2𝑥 − 1

ℎ

Sustituyendo x=1

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

√2(1 + ℎ) − 1 − √2 − 1

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

(√2ℎ + 1 − 1)(√2ℎ + 1 + 1)

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

limℎ→0

√2 + 2ℎ − 1 − 1

ℎ

= limℎ→0

√2ℎ + 1 − 1

ℎ

Ejercicio 3:

𝑓(𝑥)

= √2𝑥 − 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

√2(𝑥 + ℎ) − 1 − √2𝑥 − 1

ℎ

Sustituyendo x=1

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

√2(1 + ℎ) − 1 − √2 − 1

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

(√2ℎ + 1 − 1)(√2ℎ + 1 + 1)

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

limℎ→0

√2 + 2ℎ − 1 − 1

ℎ

= limℎ→0

√2ℎ + 1 − 1

ℎ

Alejo (estudiante) proporciona a los otros

estudiantes una serie de pasos para la

solución del ejercicio sin embrago estos

carecen de explicación, solo propuestos para

su implementación y no para su

cuestionamiento.

Presenta carácter cognitivo la posibilidad

desarrollo del problema con las

herramientas conceptuales adquiridas por

los estudiantes permiten la solución del

problema.

limℎ→0

1 + 2ℎ − 1

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

= limℎ→0

2ℎ

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

2

2= 1

limℎ→0

1 + 2ℎ − 1

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

= limℎ→0

2ℎ

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

2

2= 1

6

Alejo dice que ya las demostró.

Siempre la quieren hacer por la

regla del producto.

Se las hace repetir no usando f

y g sino la primera y la segunda

TEOREMA SOBRE

DERIVADAS DE

FUNCIONES

1) Si

𝑓(𝑥)= 𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥)= 0

2) DERIVADA DE UNA

POTENCIA, sea

𝑓(𝑥)= 𝑥𝑛 , 𝑛 𝜖 𝑧+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥)= 𝑛𝑥𝑛−1

3) DERIVADA DE UNA

CONSTANTE POR

LA FUNCION, sea

𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥)= 𝑐𝑓′(𝑥)

4) Sean f y g funciones

reales talque f’(x) y

g’(x) existe

TEOREMA SOBRE

DERIVADAS DE

FUNCIONES

6) Si

𝑓(𝑥)= 𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥)= 0

7) DERIVADA DE UNA

POTENCIA, sea

𝑓(𝑥)= 𝑥𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥)= 𝑛𝑥𝑛−1

8) DERIVADA DE UNA

CONSTANTE POR

LA FUNCION, sea

𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥)= 𝑐𝑓′(𝑥)

9) Sean f y g funciones

reales talque f’(x) y

g’(x) existe

Este es uno de los momentos gruesos de la

clase, es decir que es en este punto donde se

concentran gran cantidad de conceptos que

se transformaran en bases para la

compresión de posteriores temáticas, es uno

de los momentos fundamentales del

episodio.

Presenta carácter epistémico

El segmento es característicamente

epistémico ya que es aquí donde gran parte

de los conceptos bases para el desarrollo de

posteriores ejercicios y temáticas es

expuesto por parte de la profesora, para este

efecto la profesora hace uso de recursos

conceptuales y procesos de demostración de

las proposiciones.

Pasa alejo al tablero a hacer la

del producto y ella le dice que

primero haga la de la suma.

Ella le dicta y finalmente ella

misma escribe: le quito el

marcador

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]= 𝑓′(𝑥)± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)]= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)]

=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


≠ 0 5) REGLA DE LA

RECIPROCA: si g es

diferenciable en x y

g(x)≠0 entonces

𝑓(𝑥)

=1

𝑔(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥)

= −𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

DEM:

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥)= 𝑛𝑥𝑛−1


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ


𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]= 𝑓′(𝑥)± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)]= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)]

=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


≠ 0 10) REGLA DE LA

RECIPROCA: si g es

diferenciable en x y

g(x)≠0 entonces

𝑓(𝑥)

=1

𝑔(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥)

= −𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

DEM:

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥)= 𝑛𝑥𝑛−1


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ


Lo deja ahí

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥

La expresión h -> 0 y (x+h)

-> x son equivalente

𝑓′(𝑥)

= lim(𝑥+ℎ)→𝑥

(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥


lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑎)𝑛


𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 P: Y

𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥𝑛

DEM:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]= 𝑓′(𝑥)+ 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

+ limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥

La expresión h -> 0 y (x+h)

-> x son equivalente

𝑓′(𝑥)

= lim(𝑥+ℎ)→𝑥

(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥


lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑎)𝑛


𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 P: Y

𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥𝑛

DEM:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]= 𝑓′(𝑥)+ 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

+ limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4

P: este no se hace por

binomio de newton, toca

racionalizarlo

Ejemplo

lim𝑥→2

𝑥5 − 32

𝑥 − 2

= lim𝑥→2

𝑥5 − 25

𝑥 − 2

P: pero este es un límite

especial. Utiliza el límite


lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4

P: este no se hace por

binomio de newton, toca

racionalizarlo

Ejemplo

lim𝑥→2

𝑥5 − 32

𝑥 − 2

= lim𝑥→2

𝑥5 − 25

𝑥 − 2

P: pero este es un límite

especial. Utiliza el límite


7

El estudiantes paso al tablero y

lo soluciona

EJERCICIOS:

Hallar la derivada de las

siguientes funciones

5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

6. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

7. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

8. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8

Solución

Paso a un estudiante a

desarrollar en el primero:

5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

EJERCICIOS:

Hallar la derivada de las

siguientes funciones

9. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

10. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

11. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

12. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8

Solución

Paso a un estudiante a

desarrollar en el primero:

9. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

Nuevamente el ejercicio se utiliza como

recurso desarrollador de los procesos

cognitivos (es decir se utiliza el ejercicio

como elementos de práctica y potenciador

de la capacidad de asimilación y compresión

del estudiante frente a un tema).

Presenta carácter cognitivo por que se

evidencia el desarrollo cognitivo del

estudiante al poseer la capacidad de

resolución del ejercicio.

FOTOS PENDIENTES

El cuarto ejercicio lo hace la

profesora es en el tablero

6. 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)1

2

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

7. 𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6

+ 5𝑥)−2

∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

8. 𝑓′(𝑥) =(4𝑥−1)(𝑥3+8)−(3𝑥2)(2𝑥2−𝑥+1)

(𝑥3+8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

10. 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)1

2

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

11. 𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6

+ 5𝑥)−2

∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

12. 𝑓′(𝑥) =(4𝑥−1)(𝑥3+8)−(3𝑥2)(2𝑥2−𝑥+1)

(𝑥3+8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

Sg. Observación

de la

Practica de

clase


Análisis:

1 Hay 8

estudiantes 6:10

am

La profesora les

recuerda el

criterio de

continuidad

removible y

esencial y se

pega de la

removible para

enunciar el

teorema

No explica la

diferencia entre

derivable y

diferenciable

Ella misma

responde:

Hacia las 6:25

llegan 10

estudiantes



P: Alejo si viene y trae el computador yo voy y traigo

los cables para seguir visualizando


Teorema



DEM//:




Corolario -> enunciado tan evidente que no necesita

ser demostrado






algorítmico

Ej.:

√9 + 25 = √9 + √25

√34 = 3 + 5

√34 ≠ 8 Verificación, pues entonces la proposición no es







Teorema



DEM//:





ser demostrado






algorítmico

Ej.:

√9 + 25 = √9 + √25

√34 = 3 + 5



(algo en el

trasnmilenio)

2

Les hace ver las

partes de la

demostración

que no es una

plana


entonces

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑

O que

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0

Luego

lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎

lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎. lim


lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 𝑓′(𝑥) ∗ 0

Luego si una función si una función es derivable en



entonces

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑

O que

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0

Luego

lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎

lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎. lim


lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 𝑓′(𝑥) ∗ 0



3 Llego Alejo y

dice: “hola

profe”. Llega en

moto por los

accesorios que

le veo en la

Ejercicio 1: Probar que la función es continua en el

punto dado aplicando la definición de derivada


2, −8)

Solución





2, −8)

Solución


En cuanto al

carácter

mediacional de la

clase Alejo

(estudiante)

aparece como

mano y la

profesora se va

a traer los

cables

Ella misma

responde

Alejo está

instalando los

cables

No la evalúa en

ese punto?

ME PERDI

No se pudo

conseguir señal

al conectar el

computador al

televisor


𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)



2(𝑥 + ℎ) − 9 − (2𝑥 − 9)

ℎ


2𝑥 + 2ℎ − 9 − 2𝑥 + 9

ℎ


2ℎ

ℎ= lim

ℎ→02 = 2




imagínense una hiperbólica, por eso vamos a ver las

propiedades. Ahora si un ejemplo para ustedes.


𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑥𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛


2(𝑥 + ℎ) − 9 − (2𝑥 − 9)

ℎ


2𝑥 + 2ℎ − 9 − 2𝑥 + 9

ℎ


2ℎ

ℎ= lim

ℎ→02 = 2






facilitador de

herramientas, es

te estudiante enes

un elemento

fundamental a la

hora de utilizar

recursos no

curriculares

(tablero,

marcador, papel)

de alguna manera

la herramientas

tecnológicas

(computador,

televisor)

parecieran

dependientes de

él.

Un punto

interesante de

análisis es la

utilización de la

imaginación de

los estudiantes

solicitada desde

la profesora para

representa un

concepto

complejo(quizás

pueda obedecerá

a la falta de

recursos tangibles

que permitan

evidenciar la

problemática)

Presenta carácter

mediacional se

hace evidente la

imaginación

como

herramienta de

conceptualización

y la dependencia

de los medios

tangibles del

estudiante

(Alejo).

4 Ella espero 4

min háganlo….

No lo voy a

hacer. Al

minuto empieza

a escribir

Ejercicio 2:

𝑓(𝑥) = 3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 2 − (3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

ℎ

P: hagamos uno más difícil como para el parcial, que

tengamos que pensar

Ejercicio 2:

𝑓(𝑥) = 3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 2 − (3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

ℎ


tengamos que pensar

La profesora

intenta incluir a

los estudiantes de

maneara activa en

la solución del

problema, sin

embargo se

impacienta

debido al tiempo

y corta la

posibilidad de

participación de

los estudiantes (la

razón puede ser

que los

estudiantes no

estén muy

interesado en una

participación

activa en la

construcción y

desarrollo de los

conceptos)

Presenta carácter

interaccional al

intentarse

entablar una

participación

activa de los

estudiantes.

5

Ejercicio 3:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


√2(𝑥 + ℎ) − 1 − √2𝑥 − 1

ℎ

Sustituyendo x=1


√2(1 + ℎ) − 1 − √2 − 1

ℎ

Ejercicio 3:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


√2(𝑥 + ℎ) − 1 − √2𝑥 − 1

ℎ

Sustituyendo x=1


√2(1 + ℎ) − 1 − √2 − 1

ℎ

//---_---//

Presenta carácter

mediacional si se

toma en cuenta

los pasos

aportados por

Alejo como

posibles

herramientas de

solución para

Alejo dicto

algunos pasos,

los demás

sabrían de

dónde?

Inmediatamente

empezó otro

tema


(√2ℎ + 1 − 1)(√2ℎ + 1 + 1)

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

limℎ→0

√2 + 2ℎ − 1 − 1

ℎ= lim

ℎ→0

√2ℎ + 1 − 1

ℎ

limℎ→0

1 + 2ℎ − 1

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)= lim

ℎ→0

2ℎ

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

2

2= 1


(√2ℎ + 1 − 1)(√2ℎ + 1 + 1)

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

limℎ→0

√2 + 2ℎ − 1 − 1

ℎ= lim

ℎ→0

√2ℎ + 1 − 1

ℎ

limℎ→0

1 + 2ℎ − 1

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)= lim

ℎ→0

2ℎ

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

2

2= 1

abordar el

problema

6

Alejo dice que

ya las demostró.

Siempre la

quieren hacer

por la regla del

producto.

Se las hace

repetir no

usando f y g


FUNCIONES

11) Si

𝑓(𝑥) = 𝑐, 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′(𝑥) = 0 12) DERIVADA DE UNA POTENCIA, sea


13) DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR

LA FUNCION, sea

𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥) 14) Sean f y g funciones reales talque f’(x) y g’(x)

existe

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)] =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


≠ 0


FUNCIONES

16) Si




LA FUNCION, sea

𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥) 19) Sean f y g funciones reales talque f’(x) y g’(x)

existe

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)] =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


≠ 0

sino la primera

y la segunda

Pasa alejo al

tablero a hacer

la del producto

y ella le dice

que primero

haga la de la

suma.



𝑓(𝑥) =1


𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

DEM:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥


lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑥)𝑛


𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1


DEM:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ



𝑓(𝑥) =1


𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

DEM:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥


lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑎)𝑛


𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1


DEM:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ

Ella le dicta y

finalmente ella

misma escribe:

le quito el

marcador

Lo deja ahí

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

+ limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4


racionalizarlo

Ejemplo

lim𝑥→2

𝑥5 − 32

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

𝑥5 − 25

𝑥 − 2



= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

+ limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4


racionalizarlo

Ejemplo

lim𝑥→2

𝑥5 − 32

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

𝑥5 − 25

𝑥 − 2



7

EJERCICIOS:


13. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

14. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

15. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

16. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8

Solución


13. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

EJERCICIOS:


17. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

18. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

19. 𝑥(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

20. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8

Solución


17. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

La interacción es

evidente cuando

el estudiante es

impulsado a salir

al tablero para

solucionar el

primer problema;,

allí la profesora

intenta

proporcionar

El estudiantes

paso al tablero

y lo soluciona

FOTOS

PENDIENTES

El cuarto

ejercicio lo

hace la

profesora es en

el tablero

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

14. 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)1

2

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

15. 𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6 + 5𝑥)−2 ∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

16. 𝑓′(𝑥) =(4𝑥−1)(𝑥3+8)−(3𝑥2)(2𝑥2−𝑥+1)

(𝑥3+8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

18. 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)1

2

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

19. 𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6 + 5𝑥)−2 ∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

20. 𝑓′(𝑥) =(4𝑥−1)(𝑥3+8)−(3𝑥2)(2𝑥2−𝑥+1)

(𝑥3+8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

iniciativa al

estudiante a lo

cual el estudiante

responde

mediante el acto

de solución del

ejercicio.

Presenta carácter

interaccional y

mediacional en

un primer

momento cuando

la profesora pasa

al estudiante a

solucionar el

ejercicio y es

segundo lugar por

hacer uso del

tablero como

recurso tangible

para la solución

del problema.


Practica de clase EMOCIONAL ECOLÓGICA

Análisis:

1 Hay 8 estudiantes 6:10

am

La profesora les

recuerda el criterio de





P: Recuerda la definición

de la derivada

P: Ecuación recta

tangente y normal

Presenta carácter emocional y

ecológico.

continuidad removible y

esencial y se pega de la

removible para enunciar

el teorema

No explica la diferencia

entre derivable y

diferenciable




trasnmilenio)


Teorema



DEM//:





ser demostrado






algorítmico

Ej.:

√9 + 25 = √9 + √25

√34 = 3 + 5




computador yo voy y

traigo los cables para

seguir visualizando


continuidad

Teorema

P: “Si una función es

derivable o diferenciable

en 𝑥 = 𝑎 entonces la

función es continua en

𝑥 = 𝑎”

DEM//:

P: no se asusten con la

palabra demostración

Axioma -> verdad

universal cierta

Teoría -> enunciado que

debe ser demostrado

Corolario -> enunciado

tan evidente que no

necesita ser demostrado

P: cuales son las partes de

una demostración?


P: toda demostración

parte de algo:

supongamos, dados, sea,


algorítmico, analítico.

Emocional al presentar la

demostración como un factor que

puede incidir en la dimensión

emocional del estudiante y

ecológico ya que la franja de

clase(horario de clase) pare se r un

factor que determina la cantidad de

audiencia(estudiantes que acceden

a las diferentes temáticas del curso)

Una demostración no es

un ejercicio algorítmico

Ej.:

√9 + 25 = √9 + √25

√34 = 3 + 5

√34 ≠ 8 Verificación, pues

entonces la proposición

no es verdadera para

todos los reales.

2

Les hace ver las partes

de la demostración que

no es una plana


entonces

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑥𝑑

O que

lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 0

Luego

lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎

lim𝑥→𝑎


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎. lim


lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = 𝑓′(𝑥) ∗ 0




profe”. Llega en moto

por los accesorios que le

veo en la mano y la

profesora se va a traer

los cables

Ella misma responde

Alejo está instalando los

cables

No la evalúa en ese

punto?

ME PERDI

No se pudo conseguir

señal al conectar el

computador al televisor



𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑥 (1

2, −8)

Solución



𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9


𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)



2(𝑥 + ℎ) − 9 − (2𝑥 − 9)

ℎ


2𝑥 + 2ℎ − 9 − 2𝑥 + 9

ℎ


2ℎ

ℎ= lim

ℎ→02 = 2






4 Ella espero 4 min

háganlo…. No lo voy a

hacer. Al minuto

empieza a escribir

Ejercicio 2:

𝑓(𝑥) = 3𝑥𝟐 − 5𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1,0)

𝑓′(𝑥)

= limℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 − 5(𝑥 + ℎ) + 2 − (3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

ℎ


tengamos que pensar

Al presentar la dificultad como reto

a superar para adquirir habilidad se

pretende incentivar al estudiante en

su dimensión emocional para que

este logre un desarrollo cognitivo.

Presenta carácter emocional y

ecológico dentro de las

características ecológicas

nuevamente aparece el tiempo

como factor determínate de la

participación de los estudiantes en

el desarrollo de la clase.

5

Alejo dicto algunos

pasos, los demás sabrían

de dónde?

Inmediatamente empezó

otro tema

Ejercicio 3:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


√2(𝑥 + ℎ) − 1 − √2𝑥 − 1

ℎ

Sustituyendo x=1


√2(1 + ℎ) − 1 − √2 − 1

ℎ


(√2ℎ + 1 − 1)(√2ℎ + 1 + 1)

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

limℎ→0

√2 + 2ℎ − 1 − 1

ℎ= lim

ℎ→0

√2ℎ + 1 − 1

ℎ

limℎ→0

1 + 2ℎ − 1

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)= lim

ℎ→0

2ℎ

ℎ(√2ℎ + 1 + 1)

2

2= 1

6


FUNCIONES

21) Si

Alejo dice que ya las

demostró.

Siempre la quieren hacer

por la regla del producto.

Se las hace repetir no

usando f y g sino la

primera y la segunda




LA FUNCION, sea


24) Sean f y g funciones reales talque f’(x) y g’(x)

existe

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝐷𝑥[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


𝑔(𝑥)] =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)


≠ 0 25) REGLA DE LA RECIPROCA: si g es


𝑓(𝑥) =1


𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

DEM:



𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

ℎ



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥



(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛

(𝑥 + ℎ) − 𝑥

Pasa alejo al tablero a

hacer la del producto y

ella le dice que primero

haga la de la suma.

Ella le dicta y finalmente

ella misma escribe: le

quito el marcador

Lo deja ahí


lim𝑥→𝑎

(𝑥)𝑛 − (𝑎)𝑛


𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1


DEM:

𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥))

ℎ

= limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

+ limℎ→0

𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)

ℎ

= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)


lim𝑥→4

√𝑥3

− √43

𝑥 − 4


racionalizarlo

Ejemplo

lim𝑥→2

𝑥5 − 32

𝑥 − 2= lim

𝑥→2

𝑥5 − 25

𝑥 − 2



7

EJERCICIOS:


El estudiantes paso al

tablero y lo soluciona

FOTOS

PENDIENTES

El cuarto ejercicio lo

hace la profesora es en

el tablero

21. 𝑓(𝑥) = 2𝑥(𝑥2 + 1)

22. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 + 3

23. 𝑓(𝑥) =1

2𝑥6+5𝑥

24. 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥+1

𝑥3+8

Solución


21. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 + 1) + 2𝑥 ∗ 2𝑥

𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 2 + 4𝑥2

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2

22. 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 3)1

2

𝑓′(𝑥) =1

2(5𝑥 + 3)−

12 ∗ 5

𝑓′(𝑥) =5

2√5𝑥 + 3

23. 𝑓(𝑥) = (2𝑥6 + 5𝑥)− 1

𝑓′(𝑥) = −1 ∗ (2𝑥6 + 5𝑥)−2 ∗ 12𝑥5 + 5

𝑓′(𝑥) = −12𝑥5 + 5

(2𝑥6 + 5𝑥)2

24. 𝑓′(𝑥) =(4𝑥−1)(𝑥3+8)−(3𝑥2)(2𝑥2−𝑥+1)

(𝑥3+8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − (6𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2)

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥)

=4𝑥4 + 32𝑥 − 𝑥3 − 8 − 6𝑥4 + 3𝑥3 − 3𝑥2

(𝑥3 + 8)2

𝑓′(𝑥) =−2𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 32𝑥 − 8

(𝑥3 + 8)2

[Ep. 9] Episodio 9. Derivación implícita, ecuaciones de recta tangente y recta normal, y derivada de orden superior

Sg.

Observación

de la Practica

de clase EPISTÉMICO COGNITIVA ANALISIS

1

Hay 10

estudiantes.

Hace un

resumen de la

clase pasada

en donde se

trabajó la regla

de la cadena

como la

manera de

derivar una

función que se

llama función

compuesta.

y empieza a

preguntarles:

cuál es el

dominio,

respuestas

como:


¿En qué puntos la tangente a

la gráfica

Es

paralela al eje X? Pregunta

que habría que hacer y muy

pilosamente Camilo

responde.

Sea hallar ERT,

ERN en P (0, )

Bien hasta ahí el resumen de lo que

hicieron el sábado.

Hallar la derivada de la

función

En el punto de

abscisa


1. ¿En qué puntos la tangente

a la gráfica

Es



pilosamente Camilo

responde.

2. Sea hallar

ERT, ERN en P (0, )



3. Hallar la derivada de la

función

En el punto de

abscisa

Se evidencia la

idoneidad

cognitiva debido

a que la profesora

pide información

que se había visto

anteriormente o

se dejó como

tarea y la

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

desarrollar

ejercicios.

Se plantean

ejercicios para

recordar lo que

se realizó la

clase anterior,

Es importante

tener en cuenta

que Y es

implícitamente

función de X

Ciertamente

debe ser Y’ y

no solo Y

E:igualando el denominador a 0

P: no me digas cómo dime cuál es el

dominio?

E: Camilo dice todos los distintos a -

. Cortes con los ejes: ( ,0); (0,

)Tiene asíntota horizontal:


P: bueno entonces grafican y ubican

la abscisa que les dan y miran qué es

lo que le están haciendo a la función

y a la derivada en ese punto.


P: no me digas cómo dime cuál es

el dominio?

E: Camilo dice todos los distintos

a - . Cortes con los ejes: ( ,0); (0,



P: bueno entonces grafican y

ubican la abscisa que les dan y

miran qué es lo que le están

haciendo a la función y a la

derivada en ese punto.

estos ejercicios

son de regla de

la cadena para

funciones

compuestas.

Se puede

observar un

desarrollo

sencillo y

objetivo acerca

de puntos

tangentes tema

que se vio en la

clase anterior

denotando un

interés por el

aprendizaje de

sus estudiantes.

2

DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR

P: Qué leímos acerca de derivadas de

orden superior?

DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR

P: Qué leímos acerca de derivadas

de orden superior?

Se evidencia la

idoneidad

cognitiva debido

a que la

profesora pide

información que

se había visto

Ella misma se

responde la

pregunta

Camilo

responde muy

bien:

E: Tenemos una función y si ella es

diferenciable entonces se dice que

es la primera derivada de

y esta a su vez puede ser una función

nuevamente derivable y obtenemos

y así sucesivamente.

“Si f es una función diferenciable,

entonces se dice que es la

primera derivada de Si es

derivable entonces es la

segunda derivada de En general

si se obtiene una función derivable

entonces la n-ésima derivada de

denotada por

E: Tenemos una función y si ella

es diferenciable entonces se dice

que es la primera derivada de

y esta a su vez puede ser una

función nuevamente derivable y

obtenemos y así

sucesivamente.



primera derivada de Si

es derivable entonces es la

segunda derivada de En

general si se obtiene una función

derivable entonces la n-ésima

derivada de denotada por

anteriormente o

se dejó como

tarea y la

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

desarrollar un

tema.

Se habla acerca

de las funciones

de orden superior

y su derivada.

Un estudiante

participa de

manera acertada

destacando una

buena labor de

estudio.

3 Me llama la

atención que

no se derive

como

producto sino

como:

derivada con

respecto a X y

derivada con

Ejercicio: ¿Para qué valores de n la

derivada de se

hace 0?

P: Para n mayor que y eso

es todo pero van a tener unas


derivada de

se hace 0?

P: Para n mayor que y

eso es todo pero van a tener unas

Se evidencia la

idoneidad

cognitiva debido

a que la profesora

pide información

que se había visto

respecto a Y

¡!!

Pensar sobre

eso y decirle?

Habla de

pendiente (+)

y de pendiente

(-), recta

creciente y

recta

decreciente

Y cuando no

existe

entonces cómo

es?

Les pinto una

¿circunferenci

a, una elipse,

una cicloide,

Asteroide?

aplicaciones muy bonitas que vamos

a ver más adelante.

P: ¿A qué harán referencia las

palabras implícita o explícita?

E: Alejo responde: ¿a la forma como

se presenta la función?

P: Exactamente. Por ejemplo ¿cuál es

el área de la circunferencia? ….nada

entonces más fácil ¿cuál es el


Escribe y para

preguntarles cual magnitud depende

de cuál, y no responden, por ejemplo

a mayor área mayor longitud, y entre

mayor o menor sea la medida del

radio mayor o menor va a ser el

perímetro. Entonces hasta ahora

hemos derivado explícitamente

cuando usted ve que hay una variable

libre y una dependiente.

P: Para algo les va a servir a ustedes

porque a Ptolomeo le sirvió, pues a

ustedes les debe servir en la vida para

algo. Por ejemplo en este momento

no sabemos derivar

aplicaciones muy bonitas que




E: Alejo responde: ¿a la forma

como se presenta la función?

P: Exactamente. Por ejemplo ¿cuál

es el área de la circunferencia?

….nada entonces más fácil ¿cuál

es el perímetro de la

circunferencia?

Escribe y para

preguntarles cual magnitud

depende de cuál, y no responden,

por ejemplo a mayor área mayor

longitud, y entre mayor o menor

sea la medida del radio mayor o

menor va a ser el perímetro.

Entonces hasta ahora hemos

derivado explícitamente cuando

usted ve que hay una variable libre

y una dependiente.

P: Para algo les va a servir a

ustedes porque a Ptolomeo le

sirvió, pues a ustedes les debe

servir en la vida para algo. Por

ejemplo en este momento no

sabemos derivar

anteriormente o

se dejó como

tarea y la

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

desarrollar

ejercicios.

Se realiza un

ejercicio para dar

fin a él tema

dándoles como

aviso que luego

van a ver otras

aplicaciones con

más complejidad.

Se interactúa con

la clase haciendo

preguntas a las

que solo una

perdona responde

acertadamente o

en algunos casos

nadie responde

4 Derivada Implícita:

P: Hasta esta parte del curso se han

derivado funciones que se pueden




.

expresar explícitamente (una variable

en términos de la otra) es decir

funciones definidas , sin

embargo existen expresiones que las

variables x e y mediante ecuaciones

de la forma .

Método de derivada implícita

Derivar a ambos lados de la

expresión con respecto a X

Transponemos términos con

el objeto de tener las a

un lado de la expresión

Se factoriza

Se despeja

Ejemplo:

P: ¿Se puede volver a

derivar? ¿Si tiene esa

respuesta le puede sacar la

pendiente?¡Si!. Necesita un

punto y no solamente la

abscisa

expresar explícitamente (una

variable en términos de la otra) es

decir funciones definidas

, sin embargo existen expresiones

que las variables x e y mediante

ecuaciones de la forma

.




Transponemos términos

con el objeto de tener las

a un lado de la

expresión

Se factoriza

Se despeja

Ejemplo:




pendiente?¡Si!. Necesita

Se evidencia la

idoneidad

epistémica y la

cognitiva al

desarrollar

ejercicios con su

respectivo

procedimiento.

Se procede a

explicar la

derivación

implícita dando

su significado, su

procedimiento y

se da un ejemplo

claro y sencillo

de esta misma.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

un punto y no solamente la

abscisa

5 EJERCICIO 1: DERIVAR LAS

SIGUIENTES FUNCIONES


EJERCICIO 1: DERIVAR LAS


P: Los invito a mirarlo en

Geogebra

Se evidencia la

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

desarrollar

ejercicios.

Se realiza un

ejercicio de

derivada paso a

paso.

6 Ejercicio 2:

Hallar la ecuación de las rectas

tangente y normal a la curva de

ecuación

Solución

Ejercicio 2:



ecuación

Solución

Se evidencia la

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

desarrollar

ejercicios para los

que se necesita

un conocimiento

previo.

Se hace un

ejercicio acerca

de la ecuación de

la recta tangente

explicando los

pasos a seguir.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

al desarrollarlo

paso a paso

explicando cada

uno de estos.

7 Reemplazamo

s y’ porque la

función y la

derivada están

en términos de

X e Y

Ejercicio


Ejercicio

1. Hallar y’ e y’’ en la

ecuación

Se evidencia la

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

desarrollar

ejercicios los

cuales necesitan

conocimiento

La profesora

pregunta si

hay factores

comunes, ella

responde no,

entonces

resolvemos

previo para su

desarrollo.

Se explica un

ejercicio paso a

paso donde se

emplea la

derivada y la

segunda derivada.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

al desarrollarlo

paso a paso

explicando cada

uno de estos.

8

A LAS 7:00

SE ME

APAGO EL

COMPUTAD

OR, OJO!

TAREA


2. E.R.T E.R.N a:

TAREA


5. E.R.T E.R.N a:

Se evidencia la

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

desarrollar

ejercicios los

cuales necesitan

conocimiento

3. Hallar y’ e y’’ en la ecuación

P: Próxima clase funciones

trascendentes


ecuación


trascendentes

previo para su

desarrollo.

Se explica un

ejercicio paso a

paso donde se

emplea la

derivada y la

segunda derivada.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

al desarrollarlo

paso a paso

explicando cada

uno de estos.

Sg.

Observación

de la Practica

de clase INTERACCIONAL AFECTIVA ANALISIS

1

Hay 10

estudiantes.

Hace un

resumen de la


1. ¿En qué puntos la tangente

a la gráfica


1. ¿En qué puntos la tangente a

la gráfica

FASE 1 ANALSIS.

Se presentan las

idoneidades

interaccional y afectiva

clase pasada en

donde se

trabajó la regla

de la cadena

como la manera

de derivar una

función que se

llama función

compuesta.

y empieza a

preguntarles:

cuál es el

dominio,

respuestas

como:

Es importante

tener en cuenta

que Y es

implícitamente

función de X

Ciertamente

debe ser Y’ y no

solo Y

Es


que habría que hacer y

muy pilosamente Camilo

responde.

2. Sea hallar

ERT, ERN en P (0, )

Bien hasta ahí el resumen de lo

que hicieron el sábado.


función

En el punto de

abscisa


P: no me digas cómo dime cuál es

el dominio?

E:Camilo dice todos los

distintos a - . Cortes con

los ejes: ( ,0); (0,


Es



pilosamente Camilo

responde.

2. Sea hallar ERT,

ERN en P (0, )




función

En el punto de

abscisa



dominio?

E:Camilo dice todos los

distintos a - . Cortes con los

ejes: ( ,0); (0, )Tiene


Al generarse un dialogo

acerca de un tema con

sus estudiantes

incitándolos a participar

FASE 2 ANALISIS

Se plantean ejercicios

para recordar lo que se

realizó la clase anterior

, estos ejercicios son

de regla de la cadena

para funciones

compuestas.

FASE 3 ANALISIS.

Se puede observar un

desarrollo sencillo y

objetivo acerca de

puntos tangentes tema

que se vio en la clase

anterior denotando un

interés por el

aprendizaje de sus

estudiantes


P:bueno entonces grafican y

ubican la abscisa que les dan y

miran qué es lo que le están




P:bueno entonces grafican y ubican



y a la derivada en ese punto

2

Ella misma se

responde la

pregunta

Camilo

responde muy

bien:

DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR

P:Qué leímos acerca de derivadas

de orden superior?

E:Tenemos una función y si ella

es diferenciable entonces se dice

que es la primera derivada de

y esta a su vez puede ser una


obtenemos y así

sucesivamente.



primera derivada de Si

DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR

P:Qué leímos acerca de derivadas de

orden superior?

E:Tenemos una función y si ella es


es la primera derivada de

y esta a su vez puede ser una función


y así sucesivamente.



primera derivada de Si es

derivable entonces es la

FASE 1 ANALSIS.

Se presentan las

idoneidades

interaccional Al

generarse un dialogo


sus estudiantes


FACE 2 ANALISIS.

Se habla acerca de las

funciones de orden

superior y su derivada.

FASE 3 ANALISIS

es derivable entonces es la

segunda derivada de En



derivada de denotada por

segunda derivada de En general

si se obtiene una función derivable

entonces la n-ésima derivada de

denotada por

un estudiante participa

de manera acertada

destacando una buena

labor de estudio

3

Me llama la

atención que no

se derive como

producto sino

como: derivada

con respecto a

X y derivada

con respecto a

Y ¡!!

Pensar sobre

eso y decirle?

Habla de

pendiente (+) y

de pendiente (-

), recta

creciente y

recta

decreciente

Y cuando no

existe entonces

cómo es?

Les pinto una

¿circunferencia

, una elipse, una

cicloide,

Asteroide?

Ejercicio: ¿Para qué valores de n

la derivada de

se hace 0?

P:Para n mayor que y


aplicaciones muy bonitas que


P:¿A qué harán referencia las


E:Alejo responde: ¿a la forma

como se presenta la función?

P:Exactamente. Por ejemplo ¿cuál


….nada entonces más fácil ¿cuál

es el perímetro de la

circunferencia?

Escribe y para

preguntarles cual magnitud

depende de cuál, y no responden,

por ejemplo a mayor área mayor

longitud, y entre mayor o menor

sea la medida del radio mayor o

menor va a ser el perímetro.

Entonces hasta ahora hemos

derivado explícitamente cuando

usted ve que hay una variable libre

y una dependiente.


derivada de se

hace 0?

P:Para n mayor que y eso

es todo pero van a tener unas



P:¿A qué harán referencia las


E:Alejo responde: ¿a la forma como


P:Exactamente. Por ejemplo ¿cuál es




Escribe y para










P:Para algo les va a servir a ustedes


ustedes les debe servir en la vida

FASE 1 ANALSIS.

Se presentan las

idoneidades

interaccional Al

generarse un dialogo


sus estudiantes


FASE 2 ANALISIS


para dar fin a él tema

dándoles como aviso

que luego van a ver

otras aplicaciones con

más complejidad .

FASE 3 ANALSIS.

Se interactúa con la

clase haciendo

preguntas a las que solo

una perdona responde

acertadamente o en

algunos casos nadie

responde

P:Para algo les va a servir a

ustedes porque a Ptolomeo le

sirvió, pues a ustedes les debe

servir en la vida para algo. Por

ejemplo en este momento no

sabemos derivar

para algo. Por ejemplo en este

momento no sabemos derivar

4


P: Hasta esta parte del curso se

han derivado funciones que se

pueden expresar explícitamente

(una variable en términos de la

otra) es decir funciones definidas

, sin embargo existen






funciones definidas , sin


FASE 1 ANALSIS.

Se presentan las

idoneidades

interaccional y afectiva

Al generarse un dialogo


expresiones que las variables x e y

mediante ecuaciones de la forma

.


Derivar a ambos lados de

la expresión con respecto a

X

Transponemos términos

con el objeto de tener las

a un lado de la

expresión

Se factoriza

Se despeja

Ejemplo:




pendiente?¡Si!. Necesita

un punto y no solamente la

abscisa


de la forma .





el objeto de tener las a


Se factoriza

Se despeja

Ejemplo:

P: ¿Se puede volver a derivar?

¿Si tiene esa respuesta le

puede sacar la pendiente?¡Si!.

Necesita un punto y no

solamente la abscisa

sus estudiantes


FASE 2 ANALISIS

Se procede a explicar la

derivación implícita

dando su significado, su

procedimiento y se da

un ejemplo claro y

sencillo de esta misma.

FASE 3 ANALISIS.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente de

forma clara y objetiva

de manera que se

genera un desarrollo

eficaz

5 EJERCICIO 1: DERIVAR LAS



Geogebra

EJERCICIO 1: DERIVAR LAS



FASE 2 ANALSIS.


de derivada paso a

paso.

FASE 3 ANALISIS.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente de


de manera que se


eficaz .

6

Ejercicio 2:



ecuación

Solución

Ejercicio 2:



ecuación

Solución

FASE 2 ANALISIS.

Se hace un ejercicio

acerca de la ecuación de

la recta tangente

explicando los pasos a

seguir.

FASE 3 ANALSIS.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente de


de manera que se


eficaz al desarrollarlo

paso a paso explicando

cada uno de estos.

7 Ejercicio

1) Hallar y’ e y’’ en la

ecuación

Ejercicio


FASE 2 ANALISIS.

Se explica un ejercicio

paso a paso donde se

emplea la derivada y la

segunda derivada .

FASE 3 ANALSIS.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente de


de manera que se




cada uno de estos.

8

A LAS 7:00 SE

ME APAGO

EL

COMPUTADO

R, OJO!

TAREA


a)

b)

2. E.R.T E.R.N a:

a)

b)


ecuación


trascendentes

TAREA


c)

d)

5. E.R.T E.R.N a:

c)

d)



trascendentes

FASE 2 ANALISIS.

Se explica un ejercicio

paso a paso donde se

emplea la derivada y la

segunda derivada .

FASE 3 ANALSIS.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente de


de manera que se




cada uno de estos.

Sg. Observación

de la Practica

de clase

MEDIACIONAL

ECOLOGICA

ANALISIS

1

Hay 10

estudiantes.

Hace un

resumen de la

clase pasada

en donde se

trabajó la regla

de la cadena



la gráfica

f(x) =1

3x3 -1

2x2 -2x Es





la gráfica

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −1

2𝑥2 − 2𝑥 Es



Se emplean

ejercicios

obtenidos de

fuentes alternas

evidenciándose

la idoneidad

mediacional.

como la

manera de

derivar una

función que se

llama función

compuesta.

y empieza a

preguntarles:

cuál es el

dominio,

respuestas

como:

Es importante

tener en cuenta

que Y es

implícitamente

función de X

Ciertamente

debe ser Y’ y

no solo Y

pilosamente Camilo

responde.

Sea y =3(x2+1)

2(2x-3) hallar

ERT, ERN en P (0,1

4)



Hallar la derivada de la

función

𝑓(𝑥) =2𝑥−3

3𝑥+4 En el punto de

abscisa

x = -1



dominio?


3. Cortes con los ejes: (

3

2,0);

(0, −4


𝑦 =2




pilosamente Camilo

responde.

Sea y =3(x2+1)

2(2x-3) hallar

ERT, ERN en P (0,1

4)




función

f(x) =2x-3

3x+4 En el punto de

abscisa

x = -1



dominio?


3. Cortes con los ejes: (

3

2,0);

(0, −4


𝑦 =2




Se plantean

ejercicios para

recordar lo que

se realizó la

clase anterior,

estos ejercicios

son de regla de

la cadena para

funciones

compuestas.

Se puede

observar un

desarrollo

sencillo y

objetivo acerca

de puntos

tangentes tema

que se vio en la

clase anterior

denotando un

interés por el

aprendizaje de

sus estudiantes





2

Ella misma se

responde la

pregunta

Camilo

responde muy

bien:

DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR

P: Qué leímos acerca de derivadas de

orden superior?



𝑓’(𝑥) es la primera derivada de 𝑓(𝑥), y esta a su vez puede ser una función


𝑓’’(𝑥) y así sucesivamente.


entonces se dice que 𝑓’(𝑥) es la

primera derivada de 𝑓(𝑥). Si 𝑓’(𝑥) es

derivable entonces 𝑓’’(𝑥) es la

segunda derivada de 𝑓(𝑥). En



derivada de 𝑓(𝑥) denotada por

𝑓𝑛(𝑥).

DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR

P: Qué leímos acerca de derivadas

de orden superior?



𝑓’(𝑥) es la primera derivada de

𝑓(𝑥), y esta a su vez puede ser una


obtenemos 𝑓’’(𝑥) y así

sucesivamente.


entonces se dice que 𝑓’(𝑥) es la

primera derivada de 𝑓(𝑥). Si 𝑓’(𝑥)

es derivable entonces 𝑓’’(𝑥) es la

segunda derivada de 𝑓(𝑥). En



derivada de 𝑓(𝑥) denotada por

𝑓𝑛(𝑥).

Se emplea un

texto obtenidos

de fuentes

alternas

evidenciándose

la idoneidad

mediacional.

Se habla acerca

de las funciones

de orden

superior y su

un estudiante

participa de

manera acertada

destacando una

buena labor de

estudio

3 Me llama la

atención que

no se derive

como

producto sino

como:

derivada con

respecto a X y

derivada con

respecto a Y

¡!!

Pensar sobre

eso y decirle?

Habla de

pendiente (+)

y de pendiente

(-), recta

creciente y

recta

decreciente

Y cuando no

existe

entonces cómo

es?

Les pinto una

¿circunferenci

a, una elipse,

una cicloide,

Asteroide?


derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥

se hace 0?

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓′′(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´′(𝑥) = 18

P: Para n mayor que 3 𝑓’(𝑥) = 0 y








P: Exactamente. Por ejemplo ¿cuál es




Escribe 𝐴 = 𝜋𝑟2 y 𝑃 = 2𝜋𝑟 para











derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 +6𝑥 se hace 0?

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓′′(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´′(𝑥) = 18

P: Para n mayor que 3 𝑓’(𝑥) = 0 y








P: Exactamente. Por ejemplo ¿cuál


….nada entonces más fácil ¿cuál es

el perímetro de la circunferencia?

Escribe 𝐴 = 𝜋𝑟2 y 𝑃 = 2𝜋𝑟 para








cuando usted ve que hay una

variable libre y una dependiente.

Se realiza un

ejercicio para

dar fin a él tema

dándoles como

aviso que luego

van a ver otras

aplicaciones con

más

complejidad.

Se interactúa

con la clase

haciendo

preguntas a las

que solo una

perdona

responde

acertadamente o

en algunos

casos nadie

responde



ustedes les debe servir en la vida para

algo. Por ejemplo en este momento

no sabemos derivar 2𝑥𝑦2 + 5𝑥 = 8



ustedes les debe servir en la vida

para algo. Por ejemplo en este

momento no sabemos derivar

2𝑥𝑦2 + 5𝑥 = 8

4 Derivada Implícita:





funciones definidas 𝑌 = 𝑓(𝑋), sin



de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.


𝑑𝑥




el objeto de tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑜 𝑦′ a




Se despeja 𝑑𝑦


Ejemplo:




expresar explícitamente (una

variable en términos de la otra) es

decir funciones definidas 𝑌 = 𝑓(𝑋),

sin embargo existen expresiones que

las variables x e y mediante

ecuaciones de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.


𝑑𝑥




el objeto de tener las 𝑑𝑦


a un lado de la expresión



Se despeja 𝑑𝑦


Se procede a

explicar la

derivación

implícita dando

su significado,

su

procedimiento y

se da un

ejemplo claro y

sencillo de esta

misma.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

3𝑥2 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = 0

2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = −3𝑥2 − 2𝑦

𝑦′ =−3𝑥

2 − 2𝑦

2𝑥 + 3𝑦2

P: ¿Se puede volver a derivar? ¿Si

tiene esa respuesta le puede sacar la

pendiente?

¡Si!. Necesita un punto y no


Ejemplo:

𝑥3 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5

3𝑥2 + 2𝑦 + 2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = 0

2𝑥𝑦′ + 3𝑦2𝑦′ = −3𝑥2 − 2𝑦

𝑦′ =−3𝑥2 − 2𝑦

2𝑥 + 3𝑦2

P: ¿Se puede volver a derivar? ¿Si

tiene esa respuesta le puede sacar la

pendiente?

¡Si!. Necesita un punto y no


5 Ejercicio 1: derivar las siguientes

funciones

𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0

2𝑥 + 5𝑦 + 5𝑥𝑦′ + 6𝑦′ = 0

𝑦′(5𝑥 + 6) = −2𝑥 − 5𝑦

𝑦′ =−2𝑥 − 5𝑦

5𝑥 − 6


Ejercicio 1: derivar las siguientes

funciones

𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 6𝑦 = 0

2𝑥 + 5𝑦 + 5𝑥𝑦′ + 6𝑦′ = 0

𝑦′(5𝑥 + 6) = −2𝑥 − 5𝑦

𝑥′ =−2𝑥 − 5𝑦

5𝑥 − 6


Geogebra

Se emplean

ejercicios

obtenidos de

fuentes alternas

evidenciándose

la idoneidad

mediacional.

Se realiza un

ejercicio de

derivada paso a

paso.

6 Ejercicio 2: Hallar la ecuación de las

rectas tangente y normal a la curva de

ecuación

3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8= 0 𝑒𝑛 𝑃(0,2)

Solución

6𝑥 − 2𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦2𝑦′ + 4𝑦′ = 0 4𝑦′ − 3𝑥2𝑦2𝑦′ = 2𝑥𝑦3 − 6𝑥

𝑦′ =2𝑥𝑦3 − 6𝑥

4 − 3𝑥2𝑦2

𝑦′(0,2) =2(0)(8) − 6(0)

4 − 3(0)(4)

𝑥′(0,2) =0

4= 0

𝑚𝑇

= 0 𝑃(0,2) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 = 0(𝑥 − 0)

𝑦 = 2


0


Ejercicio 2: Hallar la ecuación de las

rectas tangente y normal a la curva

de ecuación

3𝑥2 − 𝑥2𝑦3 + 4𝑦 − 8= 0 𝑒𝑛 𝑃(0,2)

Solución

6𝑥 − 2𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦2𝑦′ + 4𝑦′ = 0 4𝑦′ − 3𝑥2𝑦2𝑦′ = 2𝑥𝑦3 − 6𝑥

𝑦′ =2𝑥𝑦3 − 6𝑥

4 − 3𝑥2𝑦2

𝑦′(0,2) =2(0)(8) − 6(0)

4 − 3(0)(4)

𝑦′(0,2) =0

4= 0

𝑚𝑇

= 0 𝑃(0,2) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 2 = 0(𝑥 − 0)

𝑦 = 2


0


Se emplean

ejercicios

obtenidos de

fuentes alternas

evidenciándose

la idoneidad

mediacional.

Se hace un

ejercicio acerca

de la ecuación

de la recta

tangente

explicando los

pasos a seguir.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

al desarrollarlo

paso a paso

explicando cada

uno de estos.

7 Reemplazamo

s y’ porque la

función y la

derivada están

en términos de

X e Y

La profesora

pregunta si

hay factores

comunes, ella

responde no,

entonces

resolvemos

Ejercicio


𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3

2𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0 → 𝑦′

=−2𝑥 + 𝑦

−𝑥 + 2𝑦

𝑦′ =2𝑥 − 𝑦

𝑥 − 2𝑦

𝑦′′

=(2 − 𝑦′)(𝑥 − 2𝑦) − (2𝑥 − 𝑦)(1 − 2𝑦′)

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′

=2𝑥 − 4𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + 4𝑥𝑦′ + 𝑦 − 2𝑦𝑦′

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥𝑦′ − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥 (

2𝑥 − 𝑦𝑥 − 2𝑦) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =(

6𝑥2 − 3𝑥𝑦𝑥 − 2𝑦 ) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =

6𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 6𝑦2

𝑥 − 2𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

Ejercicio


𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3

2𝑥 − 𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0 → 𝑦′

=−2𝑥 + 𝑦

−𝑥 + 2𝑦

𝑦′ =2𝑥 − 𝑦

𝑥 − 2𝑦

𝑦′′

=(2 − 𝑦′)(𝑥 − 2𝑦) − (2𝑥 − 𝑦)(1 − 2𝑦′)

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′

=2𝑥 − 4𝑦 − 𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + 4𝑥𝑦′ + 𝑦 − 2𝑦𝑦′

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥𝑦′ − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =3𝑥 (

2𝑥 − 𝑦𝑥 − 2𝑦) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =(

6𝑥2 − 3𝑥𝑦𝑥 − 2𝑦 ) − 3𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

𝑦′′ =

6𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 6𝑦2

𝑥 − 2𝑦

(𝑥 − 2𝑦)2

Se emplean

ejercicios

obtenidos de

fuentes alternas

evidenciándose

la idoneidad

mediacional.

FASE 2

ANALISIS.

Se explica un

ejercicio paso a

paso donde se

emplea la

derivada y la

segunda

derivada.

FASE 3

ANALSIS.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

𝑦′′ =6𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 6𝑦2

(𝑥 − 2𝑦)3

𝑦′′ =18

(𝑥 − 2𝑦)3

2)

𝑦′′ =6𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 6𝑦2

(𝑥 − 2𝑦)3

𝑦′′ =18

(𝑥 − 2𝑦)3

al desarrollarlo

paso a paso

explicando cada

uno de estos.

8

A LAS 7:00

SE ME

APAGO EL

COMPUTAD

OR, OJO!

TAREA


a) 3𝑥4𝑦 − 2𝑥3𝑦 − 6𝑥 +8𝑦 = 0

b) 4

5𝑥2 −

6

7𝑥𝑦 + 3𝑥2𝑦 −

4 = 0 2. E.R.T E.R.N a:

a) 𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦 =12𝑦 𝑒𝑛 𝑃(2,1)

b) 𝑥2 − 4𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 +3 = 0 𝑒𝑛 𝑃(1,2)


𝑥2 + 3𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2 + 2𝑦3

= 0 𝑒𝑥 𝑃(1,1)


trascendentes.

TAREA


c) 3𝑥4𝑦 − 2𝑥3𝑦 − 6𝑥 +8𝑦 = 0

d) 4

5𝑥2 −

6

7𝑥𝑦 + 3𝑥2𝑦 −

4 = 0 5. E.R.T E.R.N a:

c) 𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦 =12𝑦 𝑒𝑛 𝑃(2,1)

d) 𝑥2 − 4𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 +3 = 0 𝑒𝑛 𝑃(1,2)


𝑥2 + 3𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2 + 2𝑦3

= 0 𝑒𝑛 𝑃(1,1)


trascendentes.

Se explica un

ejercicio paso a

paso donde se

emplea la

derivada y la

segunda

derivada.

Se desarrolla la

temática

adecuadamente

de forma clara y

objetiva de

manera que se

genera un

desarrollo eficaz

al desarrollarlo

paso a paso

explicando cada

uno de estos.

[Ep. 10] Episodio 10: Derivada de Orden Superior


práctica de clase



clase pasada en donde

se trabajó la regla de la




compuesta.

Muy pilosamente

Camilo responde.

Plantea el siguiente

ejercicio:

1. ¿En qué puntos la

tangente a la gráfica

𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥

P: ¿Es paralela al eje X?


responde.

2. Sea


ejercicio:



𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥



responde.

2. Sea

Inicialmente la profesora

recuerda lo realizado la

última clase.

Posteriormente planea

dos ejercicios de rectas.

El carácter epistemico

corresponde a los

conocimientos previos de

rectas paralelas,

tangentes y normal.

El carácter cognitivo

corresponde a los

ejercicios que se debían

realizar.

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

Hallar ERT, ERN en P

(0,1/4) (Ecuación de la

recta tangente y de la recta

normal).

P: Bien hasta ahí el

resumen de lo que hicieron

el sábado.

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2




normal).



el sábado.

2


función

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)


𝑥 = −1


función

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)


𝑥 = −1

Se plantea un ejercicio

de derivada, hallando el

dominio de la función,

puntos de corte,

asíntotas: vertical y

horizontal.

Los conocimientos

previos se ven

complementados con la

forma en que se realizan

los ejercicios, por esto

hace parte de los dos.

Y empieza a

preguntarles:

Algunos responden

Camilo dice


E: Igualando el

denominador a 0

P: No me digas cómo

dime cuál es el dominio?

E: Todos los distintos a -

4/3.

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)

Cortes con los ejes:

(3/2,0); (0,-4/3) Tiene


𝑦 =2

3


P: Bueno entonces

grafican y ubican la

abscisa que les dan y

miran qué es lo que le

están haciendo a la función


E: Igualando el

denominador a 0

P: No me digas cómo dime

cuál es el dominio?


4/3.

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)

Cortes con los ejes: (3/2,0);

(0,-4/3) Tiene asíntota

horizontal:

𝑦 =2

3


P: Bueno entonces grafican

y ubican la abscisa que les

dan y miran qué es lo que

le están haciendo a la

y a la derivada en ese

punto.

función y a la derivada en

ese punto.

3

Camilo responde muy

bien:

DERIVADAS DE

ORDEN SUPERIOR

P: ¿Qué leímos acerca de

derivadas de orden

superior?

E: Tenemos una función y

si ella es diferenciable


Es la primera derivada de

𝑓(𝑥), y esta a su vez

puede ser una función

nuevamente derivable y

obtenemos 𝑓´´(𝑥) y así

sucesivamente.

P: “Si f es una función

diferenciable, entonces se

dice que 𝑓´(𝑥) es la

primera derivada de𝑓(𝑥).

Si𝑓´(𝑥) es derivable

DERIVADAS DE

ORDEN SUPERIOR


derivadas de orden

superior?





𝑓(𝑥), y esta a su vez puede

ser una función



sucesivamente.






La profesora explica de

forma conceptual las

derivadas de orden

superior, posteriormente

se apoya en un ejemplo.

Es importante que se

tengan conocimientos

previos de derivadas, de

primer y segundo orden.

entonces 𝑓´´(𝑥) es la

segunda derivada de 𝑓(𝑥).

En general si se obtiene

una función derivable

entonces la n-ésima

derivada de 𝑓(𝑥) denotada

por 𝑓𝑛(𝑥).”

Ejercicio:

Para qué valores de n la

derivada de 𝑓(𝑥) =

3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace

0?

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0

Y eso es todo pero van a

tener unas aplicaciones



En general si se obtiene una

función derivable entonces

la n-ésima derivada de

𝑓(𝑥) denotada por 𝑓𝑛(𝑥).”

Ejercicio:


derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 −5𝑥2 + 6𝑥 se hace 0?

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0



muy bonitas que vamos a

ver más adelante.


ver más adelante.

4

Alejandro responde

Escribe, para

preguntarles cual

magnitud depende de


Entonces pasemos a

DERIVACIÓN

IMPLICITA

P: ¿A qué harán referencia

las palabras implícita o

explícita?

E: ¿a la forma como se

presenta la función?

P: Exactamente. Por

ejemplo ¿cuál es el área de

la circunferencia?

P: ….nada entonces más

fácil ¿cuál es el perímetro

de la circunferencia?

P: Por ejemplo a mayor

área mayor longitud, y

entre mayor o menor sea la

medida del radio mayor o

menos va a ser el

Entonces pasemos a

DERIVACIÓN

IMPLICITA



explícita?



P: Exactamente. Por


la circunferencia?








menos va a ser el

La profesora explica

derivación implicita.

Inicia haciendo

referencia a las palabras

implicitas y explicitas,

posteriormente se apoya

en ejemplos como: área y

perímetro de

circunferencias.

Finalmente, define

derivación implícita y

explica el método para

resolverlo.

Para el correcto

desarrollo del tema,

nuevamente se debe

tener claro el concepto

de derivadas, además de

este, áreas y perímetros.

Cognitivamente se

aplican diferentes

(Todo esto lo va

diciendo y lo va

escribiendo tal cual en

el tablero).

perímetro. Entonces hasta

ahora hemos derivado

explícitamente cuando

usted ve que hay una

variable libre y una

dependiente.

P: ¿Les pinto una

circunferencia, una elipse,

una cicloide?, ¿Asteroide?

Para algo les va a servir a

ustedes porque a Ptolomeo

le sirvió, pues a ustedes les

debe servir en la vida para

algo. Por ejemplo en este

momento no sabemos

derivar 2𝑥𝑦2 + 5𝑥 = 8

P: Derivación implícita:

Hasta esta parte del curso

se han derivado funciones

que se pueden expresar

explícitamente (una

variable en términos de la

otra), es decir función

definida 𝑦 = 𝑓(𝑥). Sin

embargo existen






dependiente.

P: ¿Les pinto una








momento no sabemos










embargo existen

conceptos previos para

entender el tema de

derivación implícita, el

método y su correcto

desarrollo.

expresiones que relacionan

las variables x, y mediante

enunciados de la forma

(𝑥, 𝑦) = 0. Es importante

tener en cuenta que y es

implícitamente una

función de x

Método de derivación

implícita recuerden que

𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos

lados de la

expresión con

respecto a x

Trasponer términos

con el objeto de

tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´ a

un lado de la

expresión


𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´

Ejercicio: 𝑥3 +2𝑥𝑦 + 𝑦3 = 5






implícitamente una función

de x



𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos

lados de la

expresión con

respecto a x

Trasponer términos

con el objeto de

tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´ a

un lado de la

expresión


𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´



práctica de clase








compuesta.

Muy pilosamente

Camilo responde.


ejercicio:



𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥



responde.

2. Sea

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2


ejercicio:



𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥



responde.

2. Sea

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

Se utilizan los ejercicios

como métodos para

aplicar el concepto de

derivada.

Se realiza una pequeña

interacción: docente-

estudiante, para

responder una pregunta

acerca del ejercicio.




normal).



el sábado.




normal).



el sábado.

2

Y empieza a

preguntarles:

Algunos responden


función

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)


𝑥 = −1



función

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)


𝑥 = −1


A través del ejercicio se

desarrolla el tema de

derivadas, determinando

diferentes conclusiones

del mismo.

A su vez se realizan

interacciones entre la

docente y los

estudiantes, para

responder

adecuadamente las

preguntas planteadas,

además de esto los

estudiantes deben

realizar la gráfica y

comprobar el ejercicio.

Camilo dice

E: Igualando el

denominador a 0

P: No me digas cómo

dime cuál es el dominio?


4/3.

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)


(3/2,0); (0,-4/3) Tiene


𝑦 =2

3


P: Bueno entonces


abscisa que les dan y

miran qué es lo que le

están haciendo a la función

E: Igualando el

denominador a 0




4/3.

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)



horizontal:

𝑦 =2

3







ese punto.

y a la derivada en ese

punto.

3

Camilo responde muy

bien:

DERIVADAS DE

ORDEN SUPERIOR


derivadas de orden

superior?









sucesivamente.






DERIVADAS DE

ORDEN SUPERIOR


derivadas de orden

superior?






ser una función



sucesivamente.






Interaccionalmente se

recuerda una lectura

pasada, y se determina

que tan claro quedo el

tema de la lectura y

desde luego como se

complementa en la clase.

Posteriormente se utiliza

un ejercicio

(mediacional) para

finalizar la explicación

del tema.

Finalmente, la docente

hace un comentario de la

aplicación de las

derivadas de orden

superior más adelante.








Ejercicio:


derivada de 𝑓(𝑥) =

3𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 se hace

0?

𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0





En general si se obtiene una

función derivable entonces

la n-ésima derivada de

𝑓(𝑥) denotada por 𝑓𝑛(𝑥).”

Ejercicio:



𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0

P:Y eso es todo pero van a



ver más adelante.


ver más adelante.

4

Alejandro responde

Escribe, para

preguntarles cual

magnitud depende de


Entonces pasemos a

DERIVACIÓN

IMPLICITA



explícita?



P: Exactamente. Por


la circunferencia?








menos va a ser el

Entonces pasemos a

DERIVACIÓN

IMPLICITA



explícita?



P: Exactamente. Por


la circunferencia?








menos va a ser el

Inicialmente se presenta

una interacción

diagnostica estudiante-

docente; donde se

apoyan en conocimientos

previos para inducir el

nuevo tema.

Mediacionalmente se

apoya en los conceptos

previos, el concepto de

derivación implícita y el

método para su correcto

desarrollo.

(Todo esto lo va

diciendo y lo va


el tablero).






dependiente.

P: ¿Les pinto una








momento no sabemos










embargo existen






dependiente.

P: ¿Les pinto una








momento no sabemos










embargo existen






implícitamente una

función de x



𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos

lados de la

expresión con

respecto a x

Trasponer términos

con el objeto de

tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´ a

un lado de la

expresión


𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´








de x



𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos

lados de la

expresión con

respecto a x

Trasponer términos

con el objeto de

tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´ a

un lado de la

expresión


𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´



práctica de clase





cadena como la

manera de derivar una

función que se llama

función compuesta.

Muy pilosamente

Camilo responde.


ejercicio:



𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥



responde.

2. Sea

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2


ejercicio:



𝑓(𝑥) =1

3𝑥3 −

1

2𝑥2 − 2𝑥



responde.

2. Sea

𝑦 =(𝑥2 + 1)3

(2𝑥 − 3)2

En este segmento no se

presenta ninguna

situación ecológica,

tampoco se presentan

situaciones emocionales,

al limitarse a resolver el

ejercicio.




normal).



el sábado.




normal).



el sábado.

2

Y empieza a

preguntarles:

Algunos responden


función

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)


𝑥 = −1



función

𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 3)

(3𝑥 + 4)


𝑥 = −1


Este episodio presenta

carácter emocional al

corregir al estudiante, de

acuerdo a como está

respondiendo.

El carácter ecológico no

se ve referenciado.

Camilo dice

E: Igualando el

denominador a 0




4/3.

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)


(3/2,0); (0,-4/3) Tiene


𝑦 =2

3


P: Bueno entonces


abscisa que les dan y miran

qué es lo que le están



E: Igualando el

denominador a 0




4/3.

𝐷: (−∞,−4

3) ∪ (

−4

3, ∞)



horizontal:

𝑦 =2

3







ese punto.

3

Camilo responde muy

bien:

DERIVADAS DE

ORDEN SUPERIOR


derivadas de orden

superior?









sucesivamente.









DERIVADAS DE

ORDEN SUPERIOR


derivadas de orden

superior?






ser una función



sucesivamente.









La profesora se encarga

de realizar la explicación

respectiva acerca de las

derivadas de orden

superior, con un ejemplo

al final.

El factor emocional que

podemos identificar es la

predisposición que se

puede generar al tocar el

tema de aplicación de

derivada, donde se

utilizara lo aprendido.





Ejercicio:



𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0




ver más adelante.





Ejercicio:



𝑓´(𝑥) = 9𝑥2 − 10𝑥 + 6

𝑓´´(𝑥) = 18𝑥 − 10

𝑓´´´(𝑥) = 18

∀𝑛 > 3𝑓´(𝑥) = 0




ver más adelante.

4

Alejandro responde

Escribe, para

preguntarles cual

magnitud depende de


Entonces pasemos a

DERIVACIÓN

IMPLICITA



explícita?



P: Exactamente. Por


la circunferencia?








menos va a ser el





Entonces pasemos a

DERIVACIÓN

IMPLICITA



explícita?



P: Exactamente. Por


la circunferencia?








menos va a ser el






derivación implícita,

inicia realizándoles

preguntas a los

estudiantes; al notar que

no responden, hace

comentarios para denotar

que son conceptos

básicos y fáciles que

deberían saber.

Los comentarios de la

profesora afectan

directamente la categoría

emocional. No se

presentan hechos en la

categoría ecológica.

(Todo esto lo va

diciendo y lo va


el tablero).


dependiente.

P: ¿Les pinto una








momento no sabemos










embargo existen






dependiente.

P: ¿Les pinto una








momento no sabemos










embargo existen







de x



𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos

lados de la

expresión con

respecto a x

Trasponer términos

con el objeto de

tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´ a

un lado de la

expresión


𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´




de x



𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥

Derivar a ambos

lados de la

expresión con

respecto a x

Trasponer términos

con el objeto de

tener las 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´ a

un lado de la

expresión


𝑑𝑥 o 𝑦´

Se despeja 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝑦´


[Ep. 11] Episodio 11: Derivada Y Recta Tangente

Sg. Observación de

la Practica de

clase

EPISTÉMICO

COGNITIVA

ANALISIS

1

Hizo Clase el

sábado 10 de

noviembre

asistieron 11

estudiantes,

entregaron los

talleres y le

propusieron hacer

clase el próximo

sábado. Estoy

ojeando los

talleres

entregados.

Hoy Andrea

expone la

derivada de una

función, le he

sacado 4 fotos al

tablero. La

profesora a cada

momento

interviene,

corrige,

complementa (Es

tan difícil

quedarse

calladito). Bueno

P:“La sucesión de las rectas

secantes (Sn) se acerca a la recta

tangente T, esto ocurre cuando,

qué Felipe, pero habla no solo

escribe le dice a la niña, esto ocurre

cuando los puntos ( ) se

acercan al punto , es decir cuándo

:

Ej:

Hallar la ecuación de la recta

tangente a la curva definida por:

en el punto P(1,3)

Para la solución , (escribe le manda

la profe) es necesario hallar la

pendiente:







acercan al punto , es decir cuándo

:

Ej:



en el punto P(1,3)



pendiente:

Se evidencia la idoneidad

cognitiva debido a que la

profesora pide información que

se había visto anteriormente o se

dejó como tarea y la idoneidad

epistémica y cognitiva al

desarrollar ejercicios.

Se realizan ejercicios

correspondientes a la recta

tangente usando límite.

Se puede observar un desarrollo

sencillo y objetivo acerca de la

ecuación de la recta agente

indispensable.

tengo la

percepción de que

a los muchachos

les parece chévere

que yo esté yendo

al curso, son

formales,

educados, están

más interesados,

la profesora está

un poco más

contenta. Bueno

volvamos a la

exposición.

Esperanza cada

10 segundos

habla para aclarar

la exposición

aunque la niña

está diciendo

bien, por ejemplo,

habla de la

formula,

Esperanza corrige

que la formula no

es lo más

importante. Está

construyendo la

definición a partir

del problema de

calcular la

P:¿Qué hallaste ahí? La pendiente.

¡No! La pendiente es un número.

Evalúala, ¿En dónde la tienes que

evaluar? Dime ¿Qué es la

pendiente? Dicen que inclinación,

ángulo, el incremento de sobre el

incremento de , entonces

evalúalo. Escribe evaluado en,

P: Sí es que la idea es hacer una

exposición y entenderla no venir

aquí a hacer planas.

hallar la ecuación de la recta

tangente:









P: Sí es que la idea es hacer una




tangente:

tangente a una

curva dada, a

través de plantear

la pendiente de la

secante

(Esperanza vuelve

a escribir sobre la

cartelera, escribe

en el tablero, le

pone la m de

pendiente, le pone

el igual (qué cosa

tan difícil mirar,

dejar…).

construyendo la

definición a partir

del problema de

calcular la

tangente a una

curva dada, a

través de plantear

la pendiente de la

secante

(Esperanza vuelve

a escribir sobre la

cartelera, escribe

en el tablero, le

pone la m de

pendiente, le pone

el igual (qué cosa

tan difícil mirar,

dejar…).

Le hace escribir

en el tablero lo

siguiente:

Entonces la profe

le dice

¿Podemos hacer

un ejercicio ahí?

Si te lo dicto.

la niña no escribe

bien, entonces la

profe pasa y dice

borre eso y escribe

(Comentario mío:

Pero bueno esto

es un poco injusto

porque ese fue un

ejercicio que la

profe dictó y la

niña no ha hecho

en sí su

exposición…buen

o lo que acabo de

decir también es

debatible.) Ahora

le pide hallar la

ecuación de la

recta tangente

2 La niña pinta un

plano cartesiano

le pone el nombre

a los ejes, las

unidades pero no

puede hacer la

gráfica, borra dos

veces , un chico le

dice como es pero

le dice mal

entonces la profe

llega con unos

cables para

mostrar con

Geogebra o

Derive y dice

un estudiante

conecta los cables

al portátil abre

Geogebra, y al

televisor (hay TV

en todas las aulas)

y pinta esa

parábola genial,

sobre ella le pinta

la tangente, se

proyecta en el TV.

Grafica en

Geogebra. Y

bueno muy visual,

los muchachos

observan, la niña

P:bien ahora quiero que dibujen la

situación

P: qué es eso tan feo. Ahí te puedes

demorar todo el parcial. Tienes que

sacar los cortes con los ejes y el

vértice. Corte con eje

corte con


situación





corte con

Se desarrollan tanto la idoneidad

cognitiva debido a que se

desarrollan ejercicios , aunque se

desarrolla mas la cognitiva

debido a que en este caso se

deben tener conceptos básicos los

cuales son pedidos por la

profesora

el episodio se centra en el análisis

de la ecuación de la recta

tangente con todos sus

componentes.

En este caso se presenta una clara

y detallada observación acerca de

la recta tangente y la pendiente

donde incluso se muestra un

ejercicio realizado por un

estudiante en el cual intercede la

profesora haciendo un

seguimiento optimo a su

aprendizaje.

se sienta. (Tomé

fotos).

3 Bueno ahora pasa

otro estudiante a

exponer el otro

problema:

El muchacho está

pegando la

cartelera y ya ella

le está

modificando pues

le dice que escriba

eso que ella acaba

de decir, y bueno

Esperanza misma

lo escribe

mientras él pega

las carteleras.

Claro este

muchacho habla

duro, está más

posicionado en su

exposición, por

tanto no lo

interrumpe tanto.

(La niña hablaba

pasito,

E:encontrar la velocidad

instantánea de una partícula en un

movimiento no uniforme

P:Si el valor de se reduce cada

vez más, la diferencia del tiempo

y se hace cada vez más

pequeña (le dicta esto) de tal

forma que se puede definir la

velocidad instantánea en el tiempo

como el límite de la velocidad

media cuando se aproxima a 0:












Se muestra tanto la idoneidad

cognitiva y epistémica al

desarrollarse ejercicios que

necesitaban un conocimiento

previo.

Se desarrolla el análisis de

ejercicios acerca de velocidad

instantánea.

Se desarrolla la temática

adecuadamente de forma clara y

objetiva de manera que se genera

un desarrollo eficaz

tímidamente, con

pena).

Esperanza está

feliz, me mira se

ríe contenta de oír

hablar a (Nombre

del estudiante que

está exponiendo)

con propiedad.

Lo hace escribir:

Y el muchacho se

adelanta a

escribirlo en

símbolos así:

Y escribe en el

tablero:

4

Quiere que lo

hagan y empieza

a dictarle al

muchacho, van

construyendo a

partir de la

definición que

acaban de

deducir.

Ella le va

dictando, le pide a


E: Si claro.

EJERCICIO: Una partícula se

mueve en una trayectoria dada por

la ecuación del movimiento:

a) ¿Cuál es la velocidad

instantánea de la partícula en el

tiempo t1?

b) ¿Cuál es la velocidad

instantánea al cabo de 1 segundo?


P:¿Tienes un ejercicio?

E:Si claro.






tiempo t1?




Se presenta la idoneidad

cognitiva y epistémica al

desarrollarse ejercicios los cuales

necesitan conocimientos previos

acerca de límites.

Se desarrolla un ejercicio de

velocidad instantánea para lo cual

se emplean los limites



Michael que dicte

qué sigue, él dice,

pero ella lo dicta.

El muchacho de la

exposición

bastante seguro.

La próxima clase

será él.




Practica de clase

INTERACCIONAL

AFECTIVA

ANALISIS

1 Hizo Clase el sábado

10 de noviembre

asistieron 11

estudiantes,

entregaron los

talleres y le

propusieron hacer

clase el próximo

sábado. Estoy

ojeando los talleres

entregados.

Hoy Andrea expone

la derivada de una

función, le he

sacado 4 fotos al

tablero. La

profesora a cada

momento interviene,







acercan al punto , es decir cuando

:

Ej:



en el punto P(1,3)



pendiente:








:

Ej:



en el punto P(1,3)



pendiente:

Se recurre a la idoneidad

interactiva al interactuar con un

estudiante haciéndole una

pregunta de la cual debía tener

conocimiento y la afectiva al

corregir de manera un poco

fuerte a un estudiante lo cual

puede generar un desinterés por

la materia.



tangente usando limite.

corrige,

complementa (Es

tan difícil quedarse

calladito). Bueno

tengo la percepción

de que a los

muchachos les

parece chévere que

yo esté yendo al

curso, son formales,

educados, están más

interesados, la

profesora está un

poco más contenta.

Bueno volvamos a

la exposición.

Esperanza cada 10

segundos habla para

aclarar la exposición

aunque la niña está

diciendo bien, por

ejemplo, habla de la

formula, Esperanza

corrige que la

formula no es lo

más importante. Es

construyendo la

definición partir del

problema de

calcular la tangente

a una curva dada, a









P:Sí es que la idea es hacer una




tangente:













tangente:




indispensable.

través de plantear la

pendiente de la

secante (Esperanza

vuelve a escribir

sobre la cartelera,

escribe en el tablero,

le pone la m de

pendiente, le pone el

igual (qué cosa tan

difícil mirar,

dejar…).

FOTOS

PENDIENTES

Le hace escribir en el

tablero lo siguiente:

Entonces la profe le

dice ¿podemos hacer

un ejercicio ahí? Si

te lo dicto.

la niña no escribe

bien, entonces la

profe pasa y dice

borre eso y escribe

(Comentario mío:

Pero bueno esto es

un poco injusto

porque ese fue un

ejercicio que la profe

dictó y la niña no ha

hecho en sí su

exposición…bueno

lo que acabo de decir

también es

debatible.) Ahora le

pide hallar la

ecuación de la recta

tangente:

2

La niña pinta un

plano cartesiano le

pone el nombre a los

ejes, las unidades

pero no puede hacer

la gráfica, borra dos

veces , un chico le

dice como es pero le

dice mal entonces la

profe llega con unos

cables para mostrar

con Geogebra o

Derive y dice

un estudiante

conecta los cables al

portátil abre

Geogebra, y al

televisor (hay TV en

todas las aulas) y

pinta esa parábola

genial, sobre ella le

pinta la tangente, se

proyecta en el TV.

Grafica en


situación





corte con


situación





corte con



estudiante haciéndole una

pregunta de la cual debía tener

conocimiento y la afectiva al

corregir de manera un poco

fuerte a un estudiante lo cual

puede generar un desinterés por

la materia.

El episodio se centra en el

análisis de la ecuación de la recta


componentes.

En este caso se presenta una

clara y detallada observación

acerca de la recta tangente y la

pendiente donde incluso se

muestra un ejercicio realizado

por un estudiante en el cual

intercede la profesora haciendo

un seguimiento optimo a su

Geogebra. Y bueno

muy visual, los

muchachos

observan, la niña se

sienta.

aprendizaje.

3

Bueno ahora pasa

otro estudiante a

exponer el otro

problema:

El muchacho está

pegando la cartelera

y ya ella le está

modificando pues le

dice que escriba eso

que ella acaba de

decir, y bueno

Esperanza misma lo

escribe mientras él

pega las carteleras.

Claro este muchacho

habla duro, está más

posicionado en su

exposición, por tanto

no lo interrumpe

tanto. (La niña

hablaba pasito,

tímidamente, con

pena).

























estudiante.



instantánea.





Esperanza está feliz,

me mira se ríe

contenta de oír

hablar a (Nombre

del estudiante que

está exponiendo)

con propiedad.

Lo hace escribir:

Y el muchacho se

adelanta a escribirlo

en símbolos así:

Y escribe en el

tablero:

Lo hace escribir:

Y el muchacho se

adelanta a escribirlo

en símbolos así:

Y escribe en el

tablero

4 Quiere que lo hagan

y empieza a dictarle

al muchacho, van

construyendo a

partir de la

definición que

acaban de deducir.

Ella le va dictando,

le pide a Michael


E:Si claro.






tiempo t1?


E:Si claro.






tiempo t1?


interactiva al proponer ejercicios

a los estudiantes a lo que

responden asertivamente.

que dicte qué sigue,

él dice, pero ella lo

dicta. El muchacho

de la exposición

bastante seguro. La

próxima clase será

él.








velocidad instantánea para lo

cual se emplean los limites





Sg. Observación de

la Practica de

clase

MEDIACIONAL

ECOLOGICA

ANALISIS

1 Hizo Clase el

sábado 10 de

noviembre

asistieron 11

estudiantes,

entregaron los

talleres y le

propusieron hacer

clase el próximo

sábado. Estoy

ojeando los

talleres

entregados.








:

Ej:



en el punto

P(1,3) Para la solución , (escribe








:

Ej:



en el punto P(1,3)



interactiva al realizar

exposiciones de temas en

específico y a la ecología al

interrumpir la clase para hacer

una corrección al estudiante que

nada tiene que ver con el tema



tangente usando límite.

Hoy Andrea

expone la

derivada de una

función, le he

sacado 4 fotos al

tablero. La

profesora a cada

momento

interviene,

corrige,

complementa (Es

tan difícil

quedarse

calladito). Bueno

tengo la

percepción de que

a los muchachos

les parece chévere

que yo esté yendo

al curso, son

formales,

educados, están

más interesados,

la profesora está

un poco más

contenta. Bueno

volvamos a la

exposición.

Esperanza cada

10 segundos

habla para aclarar

le manda la profe) es necesario

hallar la pendiente:













tangente:


pendiente:













tangente:




indispensable.

la exposición

aunque la niña

está diciendo

bien, por ejemplo,

habla de la

formula,

Esperanza corrige

que la formula no

es lo más

importante. Es

construyendo la

definición partir

del problema de

calcular la

tangente a una

curva dada, a

través de plantear

la pendiente de la

secante

(Esperanza vuelve

a escribir sobre la

cartelera, escribe

en el tablero, le

pone la m de

pendiente, le pone

el igual (qué cosa

tan difícil mirar,

dejar…).

Le hace escribir

en el tablero lo

siguiente:

Entonces la profe

le dice ¿podemos

hacer un ejercicio

ahí? Si te lo dicto.

la niña no escribe

bien, entonces la

profe pasa y dice

borre eso y escribe

(Comentario mío:

Pero bueno esto es

un poco injusto

porque ese fue un

ejercicio que la

profe dictó y la

niña no ha hecho

en sí su

exposición…buen

o lo que acabo de

decir también es

debatible.) Ahora

le pide hallar la

ecuación de la

recta tangente:

2 La niña pinta un

plano cartesiano

le pone el nombre

a los ejes, las

unidades pero no

puede hacer la

gráfica, borra dos

veces , un chico le


situación





corte con


situación





corte con

el episodio se centra en el análisis

de la ecuación de la recta


componentes.

En este caso se presenta una clara

dice como es pero

le dice mal

entonces la profe

llega con unos

cables para

mostrar con

Geogebra o

Derive y dice

un estudiante

conecta los cables

al portátil abre

Geogebra, y al

televisor (hay TV

en todas las aulas)

y pinta esa

parábola genial,

sobre ella le pinta

la tangente, se

proyecta en el TV.

Grafica en

Geogebra. Y

bueno muy visual,

los muchachos

observan, la niña

se sienta.

y detallada observación acerca de

la recta tangente y la pendiente

donde incluso se muestra un

ejercicio realizado por un

estudiante en el cual intercede la

profesora haciendo un

seguimiento optimo a su

aprendizaje.

3

Bueno ahora pasa

otro estudiante a

exponer el otro

problema:

El muchacho está

pegando la









instantánea.


cartelera y ya ella

le está

modificando pues

le dice que escriba

eso que ella acaba

de decir, y bueno

Esperanza misma

lo escribe

mientras él pega

las carteleras.

Claro este

muchacho habla

duro, está más

posicionado en su

exposición, por

tanto no lo

interrumpe tanto.

(La niña hablaba

pasito,

tímidamente, con

pena).

Esperanza está

feliz, me mira se

ríe contenta de oír

hablar a (Nombre

del estudiante que

está exponiendo)

con propiedad.

Lo hace escribir:


















objetiva de manera que se

genera un desarrollo eficaz

Y el muchacho se

adelanta a

escribirlo en

símbolos así:

Y escribe en el

tablero:

Lo hace escribir:

Y el muchacho se

adelanta a

escribirlo en

símbolos así:

Y escribe en el

tablero

4

Quiere que lo

hagan y empieza

a dictarle al

muchacho, van

construyendo a

partir de la

definición que

acaban de

deducir.

Ella le va

dictando, le pide a

Michael que dicte

qué sigue, él dice,

pero ella lo dicta.

El muchacho de la

exposición


E: Si claro.






tiempo t1?





E: Si claro.






tiempo t1?





interactiva al realizar un ejercicio

el cual obtuvo de otro medio

probablemente de un libro.


velocidad instantánea para lo cual

se emplean los limites





bastante seguro.

La próxima clase

será él.

[Ep. 13] Episodio 13: Derivada de Funciones Trascendentes Y Logaritmos

Sg. Observación de

la Practica de

clase

EPISTÉMICO

COGNITIVA

ANALISIS

1

12 Estudiantes

6:10 a.m.

PLANTEA EL

EJERCICIO:ESC

RIBE OTRO

Entonces les da

un rato para que

ellos trabajen el

primero que

escribió en el

tablero, y bueno

dice que va a

mostrar otra

forma de

realizarlo:

La ventaja es que

como hay un

punto pues

plantea las

P: Calcular en el P (-1,1)

a la curva

P:Hallar en la ecuación:

SOLUCIÓN

P:Calcular en el P (-1,1) a

la curva

Sustituyendo

P: Calcular en el P (-1,1)

a la curva


SOLUCIÓN

P:Calcular en el P (-1,1) a

la curva

Sustituyendo

Se presentan las

idoneidades epistémica

y la cognitiva debido a

que se desarrollan

ejercicios acerca de la

segunda derivada

desarrollando conceptos

básicos nuevos y los ya

desarrollados.

Se observan varios

ejercicios planteados

por la profesora junto a

su respectiva solución

acerca de derivadas,

tema que

probablemente se había

trabajado con

anterioridad y del cual

se debía tener un

derivadas sin

despejar ni

reemplazarla en

, sino sustituye

por los valores

numéricos, así:

Luego

Sustituyendo

Luego

Sustituyendo

conocimiento básico.

La profesora presenta

un ejercicio el cual

presenta objetiva y

claramente para un

aprendizaje optimo

2

Función

exponencial

Andrea dicta:

Les pinta las

gráficas en

bosquejo.

P: Bueno ahora sí pueden

hacer todos los ejercicios

propuestos y los hacen por la

forma que más les parezca

fácil.

Derivadas de Funciones

Trascendentes

P: Andrea, ¿Cuáles son las

funciones trascendentes?, yo

les pedí que trajeran la ayuda

didáctica de todas las

propiedades de las funciones

P: Bueno ahora sí pueden

hacer todos los ejercicios

propuestos y los hacen por la

forma que más les parezca

fácil.


Trascendentes


funciones trascendentes?, yo

les pedí que trajeran la ayuda



Se observa que ay

idoneidad

epistémica y

cognitiva al

explicarse función

exponencial y

logarítmica para las

cuales se

necesitaban

conocimientos

previos

Al darles las bases

necesarias para la

trascendentes: exponenciales,

logarítmicas, trigonométricas

y todas sus inversas. Si no

hiciste tu resumen o no

repasaste vas a tener

problemas. ¿Cómo son las

funciones exponenciales?

Nadie, listo yo escribo.

E: Función de la forma

donde

E: Función Logarítmica:

ssi y=

E: es el exponente al que se

eleva la base para obtener

.

Por eso la definición de

función logarítmica es

completa con el bicondicional

y todo.

P: ¿Cuáles son las 4

propiedades de los

logaritmos?

LEYES


logarítmicas, trigonométricas

y todas sus inversas. Si no

hiciste tu resumen o no

repasaste vas a tener

problemas. ¿Cómo son las

funciones exponenciales?

Nadie, listo yo escribo.


donde


ssi y=


eleva la base para obtener

.

Por eso la definición de

función logarítmica es

completa con el bicondicional

y todo.

P: ¿Cuáles son las 4

propiedades de los

logaritmos?

solución de

problemas procede

a decirles que ya

pueden solucionar

los ejercicios

propuestos.


las funciones

exponenciales,

logarítmicas y otras

más.

La profesora pide

información a una

estudiante acerca de

una tarea que les

había puesto

anteriormente, al

parecer nadie la

realizó por lo que al

parecer se torna

disgustada.

3

Hace toda una

reflexión sobre

que las

calculadoras no

traen sino dos

teclas la de y

esa

propiedad es

fundamental para

hacer la

conversión porque

si no así le dejen

sacar calculadora

en el examen,

pues la

calculadora no

trae la tecla de log

en cualquier base

de cualquier

número. Pide

varias

calculadoras y

confirma que no

tienen sino dos

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES

LOGARITMICAS P: Me faltó una propiedad:

P:Hay dos casos

1) Si entonces

y dice que

esa última parte es

fundamental y no

decir: “derivada de

” ¡No! Falta la

derivada de la función,

y propone el ejercicio:

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES


P:Hay dos casos

1) Si entonces

y dice que

esa última parte es

fundamental y no

decir: “derivada de

” ¡No! Falta la

derivada de la función,

y propone el ejercicio:

Se observan la

idoneidad epistémica

al explicar un tema

claramente y la

idoneidad cognitiva

debido a que se

necesitan bases que

fueron vistas con

anterioridad como los

logaritmos y sus

características.

En este capítulo se

explican la derivada de

funciones logarítmicas,

con su respectivo

procedimiento

matemático y dando

ejemplos claros de su

procedimiento.

Se reflexiona mucho

acerca de la

importancia de los

logaritmos dando un

análisis profundo y

teclas, aun una

programable, pero

la de Alejo sí tiene

una tecla nueva:

log cuadrito de

cuadrito.

(Empieza a

hacer un

resumen al

lado derecho

del tablero

Entonces

Entonces

entendible algo

indispensable para el

aprendizaje de los

estudiantes.

4

Se va, continua el

resumen con el

resultado que

acaba de obtener y

comenta: “una

demostración

bonita, pienso que

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES

TRASCENDENTES:

P: entonces

ustedes la van completando a

medida que avancemos)

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES

TRASCENDENTES:

P: entonces



Se refiere a las

idoneidades epistémica

y cognitiva debido a

que se explica

detalladamente un tema

para el que se deben

tener conocimientos

previos de funciones

trascendentes.

a los ingenieros

toca hacerles

demostraciones a

veces para

afianzar un

concepto.”

1) Calcular la derivada

de cualquier función

logarítmica cuya base

sea un número real

mayor que cero y

diferente de 1.

Demostración:

ssi

Tomando a ambos lados

P:Ahora se determina la

derivada aplicando la regla

del cociente:

Como es

equivalente

Derivando:

1) Calcular la derivada

de cualquier función

logarítmica cuya base

sea un número real

mayor que cero y

diferente de 1.

Demostración:

ssi



derivada aplicando la regla

del cociente:

Como es

equivalente

Derivando:

En este episodio se

refiere a la derivada de

las funciones

trascendentes con su

respectiva demostración

y explicación.

Se demuestra

adecuadamente las

funciones trascendentes

y su derivada , dando

ejemplos claros y

sencillos

5

Pone un

ejemplo:

ejemplo:

P: es equivalente

ejemplo:

P: es equivalente

Se refiere a las

idoneidades

epistémica y cognitiva

debido a que se

explica detalladamente

un tema para el que se

deben tener

conocimientos previos


acerca de logaritmos

Se explica claramente y

paso a paso un ejercicio

derivada logarítmica

6


EJERCICIO :

P:Hallar la derivada de


EJERCICIO :


Se desarrolla un

ejercicio para el cual se

necesita conocimiento

previo de las

propiedades de los

P:Utilicen propiedades antes

de derivar

P:Utilicen propiedades antes

de derivar

logaritmos denotando la

idoneidad cognitiva.

Se propone un ejercicio

en el cual se emplean

las propiedades de los

logaritmos para luego

derivar.

Se observa que se

instruye

apropiadamente su

desarrollo al instruirlos

en usar las propiedades

de las derivadas.

7

P:Otro ejercicio:

P:Eso sería la derivada de

por la derivada de la función

que es un cociente. Pero

llevémosla a sumas y restas

por propiedades de

logaritmos:

P:Otro ejercicio:

P: Eso sería la derivada de

por la derivada de la función

que es un cociente. Pero

llevémosla a sumas y restas

por propiedades de

logaritmos:

Se realiza otro ejercicio

de derivada de

logaritmos para el cual

se necesitan

conocimiento de sus

propiedades

evidenciando la

idoneidad cognitiva y

epistémica.

Se propone un ejercicio

en el cual se emplean

las propiedades de los

logaritmos para luego

derivar.

8 DERIVADAS DE

FUNCIONES

EXPONENCIALES

P: Van a haber dos casos: uno

cuando la base es y otra

cuando la base es y

.

♦ Base Euler:

Entonces

. Y les contó el

chiste de que estaban todas las

funciones reunidas en una

fiesta: la cúbica con sus curvas

bonitas, las irracionales

luciendo sus asíntotas, todas y

por allá arrumada estaba

Euler, las demás le dijeron

oiga Euler intégrese, y ella

respondió me da lo mismo!!!!

jijiji entonces por eso es tan

importante que la derivada de

Euler es Euler por la derivada

DERIVADAS DE

FUNCIONES

EXPONENCIALES

P: Van a haber dos casos: uno

cuando la base es y otra

cuando la base es y

.

♦ Base Euler:

Entonces

. Y les contó el

chiste de que estaban todas las

funciones reunidas en una


bonitas, las irracionales

luciendo sus asíntotas, todas y

por allá arrumada estaba

Euler, las demás le dijeron


respondió me da lo mismo!!!!

jijiji entonces por eso es tan

importante que la derivada de

Euler es Euler por la derivada

Se relaciona con lo

epistémico y lo

cognitivo debido a que

como se mencionó se

deben tener ciertos

conocimientos

El episodio habla

acerca de las funciones

exponenciales en el

cual se tiene que tener

en cuenta la base Euler,

demostrada por medio

de un chiste.

Previos.

Se detalla a la

importancia de la

de la función: es

importantísimo.

Si

Entonces

de la función: es

importantísimo.

Si

Entonces

función Euler y su

derivada para poder

obtener un resultado

óptimo.

9

Nota: en el paso

en que deriva a

ambos lados,

Alejo dijo que era

la derivada de un

producto y ella

dijo que no, que se

notaba que no

habían estudiado

y el parcial ya es

en 8 días porque

una constante

entonces es la

derivada de una

constante por una

función entonces

queda ).

Les planteó el

ejercicio:

P: Pasemos ahora a la más

interesante.

entonces

Demostración:

Si aplicando ln a

ambos lados.

propiedades de

logaritmos

derivando a

ambos lados

despejando y’

reemplazando

y

Ejercicio:

y’ =

ln10(2x)

P: Pasemos ahora a la más

interesante.

entonces

Demostración:

Si aplicando ln a

ambos lados.

propiedades de

logaritmos

derivando a

ambos lados

despejando y’

reemplazando

y

Ejercicio:

y’ =

ln10(2x)

Al demostrar y

desarrollar dicha

función se desarrolla lo

epistémico y al

necesitar conocimientos

previos a lo epistémico.

Se realiza la

demostración de la

función y=a× por medio

de logaritmos y sus

propiedades.

Se hace un ejercicio de

forma clara paso por

paso

P: El tema de la próxima

clase es trigonométricas si

hoy alcanzo después de la 1

les dejo un taller.

P: El tema de la próxima

clase es trigonométricas si

hoy alcanzo después de la 1

les dejo un taller.

SG

.

Observación de

la Practica de

clase

INTERACCIONAL

AFECTIVA

ANALISIS

1

12 Estudiantes

6:10 a.m.

PLANTEA EL

EJERCICIO:ES

CRIBE OTRO

Entonces les da

un rato para que

ellos trabajen el

primero que

escribió en el

tablero, y bueno

dice que va a

mostrar otra

forma de

realizarlo:

La ventaja es

que como hay un

P: Calcular en el P (-1,1) a la

curva


SOLUCIÓN

P:Calcular en el P (-1,1) a la

curva

Sustituyendo


curva


SOLUCIÓN


curva

Sustituyendo

.

Se presenta la

idoneidad

interaccionar al

resolver ejercicios

junto a los

estudiantes

Se observan varios

ejercicios

planteados por la

profesora junto a su

respectiva solución

acerca de derivadas,

tema que

probablemente se

había trabajado con

anterioridad.

punto pues

plantea las

derivadas sin

despejar ni

reemplazarla en

, sino

sustituye por los

valores

numéricos, así:

Luego

Sustituyendo

Luego

Sustituyendo

2

Función

exponencial

Andrea dicta:

Les pinta las

gráficas en

bosquejo.

P: Bueno ahora sí pueden hacer

todos los ejercicios propuestos y

los hacen por la forma que más

les parezca fácil.


Trascendentes


funciones trascendentes?, yo les

pedí que trajeran la ayuda




les parezca fácil.


Trascendentes




La profesora pide

información a

una estudiante

acerca de una

tarea que les

había puesto

anteriormente, al

parecer nadie la

realizó por lo que

al parecer se

torna disgustada.




logarítmicas, trigonométricas y

todas sus inversas. Si no hiciste tu

resumen o no repasaste vas a

tener problemas. ¿Cómo son las

funciones exponenciales? Nadie,

listo yo escribo.


donde


ssi y=


eleva la base para obtener .

Por eso la definición de función

logarítmica es completa con el

bicondicional y todo.

P:¿Cuáles son las 4 propiedades

de los logaritmos?

LEYES









listo yo escribo.


donde


ssi y=







de los logaritmos?

La profesora

explica las

funciones

exponenciales,

logarítmicas y

otras más.

Se observa la

idoneidad

interaccionar al

realizar ejercicios

junto a los

estudiantes y

afectiva al tornarse

enojada con ellos.

3

Hace toda una

reflexión sobre

que las

calculadoras no

traen sino dos

teclas la de y

esa

propiedad es

fundamental

para hacer la

conversión

porque si no así

le dejen sacar

calculadora en el

examen, pues la

calculadora no

trae la tecla de

log en cualquier

base de

cualquier

número. Pide

varias

calculadoras y

confirma que no

tienen sino dos

teclas, aun una

programable,

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES


P:Hay dos casos

2) Si entonces

y dice que esa

última parte es

fundamental y no decir:

“derivada de ”

¡No! Falta la derivada de

la función, y propone el

ejercicio:

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES


P:Hay dos casos

3) Si entonces

y dice que esa

última parte es


“derivada de ”



ejercicio:

En este capítulo se

explican la

derivada de

funciones

logarítmicas, con

su respectivo

procedimiento

matemático y

dando ejemplos

claros de su

procedimiento.


y demostraciones

necesarias para el

desarrollo del tema.

pero la de Alejo

sí tiene una tecla

nueva: log

cuadrito de

cuadrito.

(Empieza a

hacer un

resumen al

lado derecho

del tablero

Entonces

Entonces

4

Se va, continua

el resumen con

el resultado que

acaba de obtener

y comenta: “una

demostración

bonita, pienso

que a los

ingenieros toca

hacerles

demostraciones

a veces para

afianzar un

concepto.”

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES

TRASCENDENTES:

P: entonces



1) Calcular la derivada de

cualquier función

logarítmica cuya base sea

un número real mayor


Demostración:

ssi


DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES

TRASCENDENTES:

P: entonces




cualquier función




Demostración:

ssi


Se observa las

idoneidades

interaccionar y

afectiva al

proponerles

completar una

demostración

En este episodio se

refiere a la derivada

de las funciones


derivada aplicando la regla del

cociente:

Como es

equivalente

Derivando:



cociente:

Como es

equivalente

Derivando:

trascendentes con su

respectiva

demostración y

explicación.

Se demuestra

adecuadamente las

funciones

trascendentes y su

derivada , dando

ejemplos claros y

sencillos

5

Pone un

ejemplo:

ejemplo:

P: es equivalente

ejemplo:

P: es equivalente

Se realiza un

ejercicio acerca de

logaritmos

Ejercicio

fundamental para la

ampliación del

conocimiento al

poner en uso las

propiedades y el

adecuado desarrollo

de las derivadas.

6


EJERCICIO :

E:Hallar la derivada de

P:Utilicen propiedades antes de

derivar


EJERCICIO :

E:Hallar la derivada de


derivar

FASE 1

Se interactúa con los

estudiantes al

hacerles caer en

cuenta del uso de las

propiedades de los

logaritmos antes de

derivar.

Se propone un

ejercicio en el cual

se emplean las

propiedades de los

logaritmos para

luego derivar.

Se observa que se

instruye

apropiadamente su

desarrollo al

instruirlos en usar las

propiedades de las

derivadas.

7

P:Otro ejercicio:

P: Eso sería la derivada de por

la derivada de la función que es

un cociente. Pero llevémosla a

sumas y restas por propiedades

de logaritmos:

P:Otro ejercicio:

P: Eso sería la derivada de por




de logaritmos:

Se observa las dos

idoneidades al

interactuar con los

estudiantes y

proponerles otro

método de solución.

Se propone un

ejercicio en el cual

se emplean las

propiedades de los

logaritmos para

luego derivar

8 DERIVADAS DE

FUNCIONES

EXPONENCIALES

P:Van a haber dos casos: uno

cuando la base es y otra cuando

la base es y .

♦ Base Euler:

DERIVADAS DE

FUNCIONES

EXPONENCIALES



la base es y .

Base Euler:

Se observan las dos

idoneidades al

interactuar y contarle

un chiste a los

estudiantes lo que

Entonces .

Y les contó el chiste de que

estaban todas las funciones

reunidas en una fiesta: la cúbica

con sus curvas bonitas, las

irracionales luciendo sus

asíntotas, todas y por allá

arrumada estaba Euler, las demás

le dijeron oiga Euler intégrese, y

ella respondió me da lo

mismo!!!! jijiji entonces por eso

es tan importante que la derivada

de Euler es Euler por la derivada

de la función: es

importantísimo.

Si

Entonces

Entonces .













de la función: es

importantísimo.

Si

Entonces

los puede motivar a

seguir constantes en

el tema

El episodio habla

acerca de las

funciones

exponenciales en el

cual se tiene que

tener en cuenta la

base Euler,

demostrada por

medio de un chiste.

previos.

Se detalla a la

importancia de la

función Euler y su

derivada para poder

obtener un resultado

óptimo.

9

P:Pasemos ahora a la más

interesante.


interesante.

Nota: en el paso

en que deriva a

ambos lados,

Aleja dijo que

era la derivada

de un producto y

ella dijo que no,

que se notaba

que no habían

estudiado y el

parcial ya es en 8

días porque

una constante

entonces es la

derivada de una

constante por

una función

entonces queda

).

Les planteó el

ejercicio:

entonces

Demostración:

Si aplicando ln a

ambos lados.

propiedades de

logaritmos

derivando a

ambos lados

despejando y’

reemplazando y

Ejercicio:

y’ =

ln10(2x)

P:El tema de la próxima clase es

trigonométricas si hoy alcanzo

después de la 1 les dejo un taller.

entonces

Demostración:

Si aplicando ln a

ambos lados.

propiedades de

logaritmos

derivando a

ambos lados

despejando y’

reemplazando y

Ejercicio:

y’ =

ln10(2x)




Se observa que se

interactúa con los

estudiantes

denotando la

idoneidad

interaccional y al

comunicarles les

podría dejar un taller

la siguiente clase se

introduce en la

idoneidad afectiva

Se realiza la

demostración de la

función y=a× por

medio de logaritmos

y sus propiedades.

Se hace un ejercicio

de forma clara paso

por paso

SG

.

Observación de

la Practica de

clase

MEDIACIONAL

ECOLOGICA

ANALISIS

1 12 Estudiantes

6:10 a.m.

PLANTEA EL

EJERCICIO:ES

CRIBE OTRO

Entonces les da

un rato para que

ellos trabajen el

primero que

escribió en el

tablero, y bueno

dice que va a

mostrar otra

forma de

realizarlo:

La ventaja es

que como hay un

punto pues

plantea las

derivadas sin

despejar ni

reemplazarla en

, sino

sustituye por los

valores

numéricos, así:


curva


SOLUCIÓN


curva

Sustituyendo

Luego

Sustituyendo


curva


SOLUCIÓN


curva

Sustituyendo

Luego

Sustituyendo

Se observan

varios ejercicios

planteados por la

profesora junto a

su respectiva

solución acerca

de derivadas,

tema que

probablemente se

había trabajado

con anterioridad y

del cual se debía

tener un

conocimiento

básico.

La profesora

presenta un

ejercicio el cual

presenta objetiva

y claramente para

un aprendizaje

optimo

2

Función

exponencial

Andrea dicta:

Les pinta las

gráficas en

bosquejo.




les parezca fácil.


Trascendentes












listo yo escribo.


donde


ssi y=


todos los ejercicios propuestos y los

hacen por la forma que más les

parezca fácil.


Trascendentes



pedí que trajeran la ayuda didáctica

de todas las propiedades de las

funciones trascendentes:

exponenciales, logarítmicas,

trigonométricas y todas sus inversas.

Si no hiciste tu resumen o no

repasaste vas a tener problemas.

¿Cómo son las funciones

exponenciales? Nadie, listo yo

escribo.


donde


ssi y=

E: es el exponente al que se eleva

la base para obtener .

Se evidencia la

idoneidad

mediacional al

pedirles una

ayuda externa a lo

que se hiso en

clase acerca de

algunos temas .

La profesora

pide

información a

una estudiante

acerca de una

tarea que les

había puesto

anteriormente,

al parecer

nadie la

realizó por lo

que al parecer

se torna

disgustada.

La profesora

explica las







de los logaritmos?

LEYES




P:¿Cuáles son las 4 propiedades de

los logaritmos?

funciones

exponenciales

,logarítmicas

y otras mas .

3

Hace toda una

reflexión sobre

que las

calculadoras no

traen sino dos

teclas la de y

esa

propiedad es

fundamental

para hacer la

conversión

porque si no así

le dejen sacar

calculadora en el

examen, pues la

calculadora no

trae la tecla de

log en cualquier

base de

cualquier

número. Pide

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES


P:Hay dos casos

2) Si entonces

y dice que esa

última parte es


“derivada de ”



ejercicio:

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES LOGARITMICAS P: Me faltó una propiedad:

P:Hay dos casos

3) Si entonces

y dice que esa

última parte es


“derivada de ” ¡No!

Falta la derivada de la

función, y propone el

ejercicio:

En este episodio

se refiere a la

derivada de las

funciones

trascendentes

con su respectiva

demostración y

explicación.

Se demuestra

adecuadamente

las funciones

trascendentes y su

derivada , dando

ejemplos claros y

sencillos

varias

calculadoras y

confirma que no

tienen sino dos

teclas, aun una

programable,

pero la de Alejo

sí tiene una tecla

nueva: log

cuadrito de

cuadrito.

(Empieza a

hacer un

resumen al

lado derecho

del tablero

Entonces

Entonces

4

Se va, continua

el resumen con

el resultado que

acaba de obtener

y comenta: “una

demostración

bonita, pienso

que a los

DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES

TRASCENDENTES:

P: entonces



DERIVADAS DE LAS

FUNCIONES

TRASCENDENTES:

P: entonces



Se evidencia la

idoneidad

mediacioal por

que les pide que

completen una

demostración por

cuenta propia.

ingenieros toca

hacerles

demostraciones

a veces para

afianzar un

concepto.”


cualquier función




Demostración:

ssi




cociente:

Como es

equivalente

Derivando:

3)Calcular la derivada de

cualquier función logarítmica

cuya base sea un número real

mayor que cero y diferente de

1.

Demostración:

ssi Tomando

a ambos lados

P:Ahora se determina la derivada

aplicando la regla del cociente:

Como es equivalente

Derivando:

En este episodio

se refiere a la

derivada de las

funciones

trascendentes con

su respectiva

demostración y

explicación.

Se demuestra

adecuadamente

las funciones

trascendentes y su

derivada , dando

ejemplos claros y

sencillos

5

Pone un

ejemplo:

ejemplo:

ejemplo:

P: es equivalente

P: es equivalente

Se realiza un

ejercicio acerca

de logaritmos

Ejercicio

fundamental

para la

ampliación del

conocimiento al

poner en uso las

propiedades y el

adecuado

desarrollo de las

derivadas.

6 P:Ahora regálame otro:

EJERCICIO :



derivar


EJERCICIO :



derivar

Se propone un

ejercicio en el

cual se emplean

las propiedades

de los logaritmos

para luego

derivar.

Se observa que

se instruye

apropiadamente

su desarrollo al

instruirlos en

usar las

propiedades de

las derivadas .

7

P:Otro ejercicio:

P:Eso seria la derivada de por




de logaritmos:

P:Otro ejercicio:

P:Eso seria la derivada de por la

derivada de la función que es un

cociente. Pero llevémosla a sumas y

restas por propiedades de

logaritmos:

Se propone un

ejercicio en el

cual se emplean

las propiedades

de los logaritmos

para luego

derivar.

Se realiza un

ejercicio propicio

para el desarrollo

del tema

8 DERIVADAS DE

FUNCIONES

EXPONENCIALES



la base es y .

♦ Base Euler:

Entonces .













de la función: es

importantísimo.

Si

Entonces

DERIVADAS DE FUNCIONES

EXPONENCIALES


cuando la base es y otra cuando la

base es y .

Base Euler:

Entonces . Y

les contó el chiste de que estaban

todas las funciones reunidas en una


bonitas, las irracionales luciendo sus

asíntotas, todas y por allá arrumada

estaba Euler, las demás le dijeron


respondió me da lo mismo!!!! jijiji

entonces por eso es tan importante

que la derivada de Euler es Euler por

la derivada de la función: es

importantísimo.

Si

Entonces

El episodio habla

acerca de las

funciones

exponenciales en

el cual se tiene

que tener en

cuenta la base

Euler, demostrada

por medio de un

chiste.

Previos.

Se detalla a la

importancia de la

función Euler y su

derivada para

poder obtener un

resultado óptimo.

9

Nota: en el paso

en que deriva a

ambos lados,

Aleja dijo que


interesante.

entonces

Demostración:


interesante.

entonces

Demostración:

Se realiza la

demostración de

era la derivada

de un producto y

ella dijo que no,

que se notaba

que no habían

estudiado y el

parcial ya es en 8

días porque

una constante

entonces es la

derivada de una

constante por

una función

entonces queda

).

Les planteó el

ejercicio:

Si aplicando ln a

ambos lados.

propiedades de

logaritmos

derivando a

ambos lados

despejando y’

reemplazando y

Ejercicio:

y’ =

ln10(2x)




Si aplicando ln a

ambos lados.

propiedades de

logaritmos

derivando a ambos

lados

despejando y’

reemplazando y

Ejercicio:

y’ =

ln10(2x)




la función y=a×

por medio de

logaritmos y sus

propiedades.

Se hace un

ejercicio de forma

clara paso por

paso

[Ep. 14] Episodio 14: Funciones Hiperbólicas, Serpiente de Newton


práctica de clase


1 Empezamos

conectando el

computador de

Alejo al TV del

salón abrimos

Geogebra para

visualizar la

gráfica de la

“serpiente de

Newton”, mientras

en el tablero

aparece el

enunciado:

Apagamos para

que ellos hagan a

mano la gráfica

antes de verla

representada en el

TV fotografió una

gráfica que hace a

mano Santiago y

muy bien hecha

según la profesora.

Encuentre los puntos en los

que la recta tangente a la

curva: la serpiente de Newton

es paralela al eje X

𝑦 =4𝑥

𝑥2+1





𝑦 =4𝑥

𝑥2+1

A través de un apoyo

visual en el televisor, se

observa el ejercicio. Se

realiza una breve

explicación, los

estudiantes realizan la

gráfica y

posteriormente la

evaluan según el

gráfico en el televisor.

Esto les permite de

forma autónoma

determinar el

conocimiento del tema

y la asertividad al

realizar el ejercicio.

Ahora sí Alejo

proyecta la gracia

en el tablero (tomé

foto del

computador de

Alejo y del TV.

Ahora la profesora

escribe:

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 0

0 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 0

0 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

Luego se realiza la

derivada de la función

graficada,

determinando puntos

(x,y)

Se necesitan

conocimientos

(epistemico) para

realizar el ejercicio

planteado, además de

esto se ponen en juego

diferentes competencias

cognitivas.

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

2

P: Esto ya es la entrada para

aplicaciones este es un buen

punto para examen no para

parcial porque pone en juego

muchas cosas: los profesores

tenemos que buscar

honestamente 10 puntos que






tenemos que buscar


Se realiza otro

ejercicio, los

estudiantes realizan las

gráficas y

posteriormente es

mostrada en el televisor

para verificar de forma

autónoma si es correcta

o no.

Alejo hace

visualizar esos

puntos en geogebra

y se proyecta el en

TV para que vean

exactamente lo que

significa lo que

acabamos de hacer

Repasa asíntota

vertical, horizontal

ustedes puedan hacer sin

calculadora y fácilmente si

tienen claro los conceptos.

P: Hagamos ahora el de la

bruja de Agnesi:

𝑦 =8

(𝑥2+4)

P: Corte con el eje X: nunca

porque 8 nunca es cero, y

ahora corte con el eje Y,

E: 2


P: Bueno, ya la tenemos

graficada mentalmente, ahora

si veamola en el TV.

P: Descarguen derive que es

una herramienta buena para

tener en casa e ir revisando si

lo que vamos haciendo a

mano está bien o no.





bruja de Agnesi:

𝑦 =8

(𝑥2+4)




E: 2










Según los


se determina el punto

de corte del eje x, y se

corrigen con el apoyo

de la profesora.

P: Bueno hagamos alguna

otra del taller


otra del taller

3 Camilo le dicta:

Hallar las ecuaciones de las

rectas tangente y normal a la

curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ )

P: ya habíamos hecho en

clase la primera derivada y si

usted revisa su cuadernito nos

había dado:

𝑓´(𝑥)

=2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3

P: ¿Si es al cubo o a la

cuarta?



curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ )




había dado:

𝑓´(𝑥)

=2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3


cuarta?

Un estudiante dicta un

ejercicio de recta

tangente y normal.

A pesar de que para el

ejercicio se deben tener

conocimientos previos,

ya habia sido resuelto.

Se analiza de forma

epistemica y se

resuelve rápidamente

de forma cognitiva.

Y Alejo la está

representando en el

computador yo le

tomo foto al TV y

a su computador.

𝑥´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9

P:Les pido que revisen esos

talleres, los hagan porque de

ahí se puede sacar un parcial.

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9




4 Mientras Alejo ya

tiene representada

en el TV 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛,

porqué sale solo

ese pedacito.

P: Hagamos algo de

funciones inversas, recuerdan

que la clase pasada

trabajamos las derivadas de

las trigonométricas inversas

la tarea era revisar las


P: Hagamos algo de


que la clase pasada





La profesora apoyada

con la imagen

representada en el

televisor, explica las

derivadas de las

funciones hiperbólicas,

se apoya en las

funciones inversas y las

derivadas

trigonométricas de las

Ella misma dice.

Al fin Andrea

dicta:


Sea u una función derivable

en x

𝑑


𝑢´

√1 − 𝑢2

P: Entonces alguien que me

recuerde que es una función

hiperbólica

P: Bueno las funciones

hiperbólicas resultan de una

propiedad muy importante

que tienen las funciones


E: Toda función f definida en

un intervalo centrado en el

origen puede escribirse como

la suma de una función par y

una función impar es decir:



en x

𝑑


𝑢´

√1 − 𝑢2



hiperbólica











mismas, que permiten

entender el concepto.

Epistemologicamente

los estudiantes deben

contar con ciertos

conocimientos que les

permitan entender

rápidamente el tema.

Cognitivamente se está

aprendiendo un nuevo

concepto según lo que

ya debían tener claro y

que desde luego les iba

a facilitar el tema.

𝐹(𝑥)

=𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2

+𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR

P: Si En particular se

representa de esta forma la



2+


2

P: Y al primer pedacito se le

llamo 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 y al segundo

pedacito se le llamó 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑥

𝐹(𝑥)

=𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2

+𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR





2+


2




Alejo visualiza

seno hiperbólico en

el tablero (foto)


2𝑐𝑜𝑠ℎ


2

P: Las derivadas de las

funciones hiperbólicas te dan

en formas de funciones

hiperbólicas mientras que las

de las derivadas inversas te

van a dar en formulas.

Entonces mientras voy por la

lista quiero en el tablero las


hiperbólicas y las de sus

inversas


2𝑐𝑜𝑠ℎ


2











inversas.


práctica de clase


1 Empezamos

conectando el

computador de

Alejo al TV del

salón abrimos

Geogebra para

visualizar la gráfica

de la “serpiente de

Newton”, mientras

en el tablero

aparece el

enunciado:

Apagamos para que

ellos hagan a mano

la gráfica antes de

verla representada

en el TV fotografió

una gráfica que

hace a mano

Santiago y muy

bien hecha según la

profesora. Ahora sí

Alejo proyecta la

gracia en el tablero

(tomé foto del





𝑦 =4𝑥

𝑥2+1

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2





𝑦 =4𝑥

𝑥2+1

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Se utiliza el televisor

para facilitar la clase,

al visualizar gráficas,

además de esto cada

estudiante realiza la

gráfica antes de verla,

lo que les permite

verificar si les quedo

bien o no.

Mediacionalmente se

realizan dos ejercicios

apoyados con las

imágenes presentadas

en el televisor.

Interaccionalmente se

plantea el ejercicio, es

resuelto y cada

estudiante puede

comparar de acuerdo al

televisor.

computador de

Alejo y del TV.

Ahora la profesora

escribe:

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 0

0 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 0

0 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

2

Alejo hace

visualizar esos

puntos en geogebra

y se proyecta el en

TV para que vean

exactamente lo que

significa lo que

acabamos de hacer

Repasa asíntota







tenemos que buscar






bruja de Agnesi:

𝑦 =8

(𝑥2+4)




E: 2







tenemos que buscar






bruja de Agnesi:

𝑦 =8

(𝑥2+4)




E: 2


La docente analiza la

dificultad del punto

anterior, añadiendo que

no lo utilizaría para un

parcial.

Luego de esto, se

plantea otro ejercicio,

se les pregunta a los

estudiantes los puntos

de corte en (x,y); se

observa como debía ser

la gráfica en el

televisor. (mediacional)

Finalmente, la

profesora aconseja usar

una aplicación para

revisar los ejercicios a

medida que se hacen en

casa.










otra del taller










otra del taller

3 Camilo le dicta:



curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ )




había dado:



curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

en 𝑃(0, 1 9⁄ )




había dado:

Mediacionalmente, se

realiza un ejercicio

planteado por un

estudiante.

Posteriormente se

observa en el televisor

la gráfica.

Interaccionalmente, la

docente recuerda que

ya se había realizado

parte del ejercicio, y

les solicita revisar los

talleres.

Y Alejo la está

representando en el

computador yo le

tomo foto al TV y a

su computador.

𝑓´(𝑥)

=2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3


cuarta?

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9




𝑓´(𝑥)

=2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3


cuarta?

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9




4

Mientras Alejo ya

tiene representada


porqué sale solo

ese pedacito.

Ella misma dice.

P: Hagamos algo de


que la clase pasada







en x

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑖𝑥−1𝑢 =

𝑢´

√1 − 𝑢2



hiperbólica






P: Hagamos algo de


que la clase pasada


las trigonométricas inversas la

tarea era revisar las funciones

hiperbólicas.



en x

𝑑


𝑢´

√1 − 𝑢2



hiperbólica






La docente explica

funciones inversas, a

través de los conceptos

que ya tenían claros los

estudiantes y la

participación de los

mismos, a su vez se

apoya en la imagen

mostrada en el

televisor.

Después de la

explicación la

profesora se debe

retirar un momento y

solicita que al volver el

tablero deben estar las

funciones y derivadas

hiperbólicas.

Interaccionalmente, los

estudiantes participan,

dando los conceptos de

funciones hiperbólicas

para el correcto

desarrollo de la clase.

Adicional a esto, al

realizar las funciones y

derivadas hiperbólicas

Al fin Andrea

dicta:






𝐹(𝑥)

=𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2

+𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR









𝐹(𝑥)

=𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2

+𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR


2 Función IMPAR




en el tablero,

interaccionan de forma

directa con la clase.

Mediacionalmente, se

utiliza el televisor para

proyectar imágenes y

conocimientos previos.

El tablero al final debe

ser usado por los

estudiantes para

complementar el tema.

Alejo visualiza


el tablero (foto)


2+


2





2𝑐𝑜𝑠ℎ


2











2+


2





2𝑐𝑜𝑠ℎ


2











inversas.


inversas.


práctica de clase


1 Empezamos

conectando el

computador de

Alejo al TV del

salón abrimos

Geogebra para

visualizar la gráfica

de la “serpiente de

Newton”, mientras

en el tablero

aparece el

enunciado:

Apagamos para que

ellos hagan a mano

la gráfica antes de

verla representada

en el TV fotografió

una gráfica que

hace a mano





𝑦 =4𝑥

𝑥2+1





𝑦 =4𝑥

𝑥2+1

En este segmento se

realiza un ejercicio, y

se corrige.

No afecta de forma

directa la categoría

emocional, ni la

categoría ecológica.

Santiago y muy

bien hecha según la

profesora. Ahora sí

Alejo proyecta la

gracia en el tablero

(tomé foto del

computador de

Alejo y del TV.

Ahora la profesora

escribe:

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 0

0 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦´ =(4(𝑥2 + 1) − 4𝑥(2𝑥))

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4𝑥2 + 4 − 8𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

𝑦´ =(4 − 4𝑥2)

(𝑥2 + 1)2

Haciendo 𝑦´ = 0

4 − 4𝑥2 = 0

0 = 4𝑥2 − 4

4(𝑥2 − 1) = 0

𝑥2 − 1 = 0

𝑥2 = 1

𝑥 = ±1

𝑦(1) = 2

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

𝑦(−1) = −2

Rta: 𝑃(1,2) y 𝑃(−1, −2)

2 Alejo hace

visualizar esos

puntos en geogebra

y se proyecta el en

TV para que vean

exactamente lo que

significa lo que

acabamos de hacer

Repasa asíntota







tenemos que buscar






bruja de Agnesi:

𝑦 =8

(𝑥2+4)






tenemos que buscar






bruja de Agnesi:

𝑦 =8

(𝑥2+4)

La profesora habla

sobre los ejercicios que

están realizando,

denotando que es un

buen ejercicio para

parcial, dando una idea

de ¿Cómo y cuáles

podrían ser los

ejercicios del parcial?

Lo anterior, prepara a

los estudiantes

emocionalmente para

la clase de ejercicios

que verán en el parcial.




E: 2











otra del taller




E: 2











otra del taller

3 Camilo le dicta:



curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2



curva:

𝑦 =(𝑥2+1)

3

(2𝑥−3)2

Se realiza un ejercicio,

que anteriormente

también se había

realizado. La profesora

nota que los

estudiantes no están

haciendo muchos de

los ejercicios.

Y Alejo la está

representando en el

computador yo le

en 𝑃(0, 1 9⁄ )




había dado:

𝑓´(𝑥)

=2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3


cuarta?

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9




en 𝑃(0, 1 9⁄ )




había dado:

𝑓´(𝑥)

=2(𝑥2 + 1)2(4𝑥2 − 9𝑥 − 2)

(2𝑥 − 3)3


cuarta?

𝑓´(0) =4

27

ERT 𝑦 =4

27𝑥 +

1

9

ERN 𝑦 =−27

4𝑥 +

1

9




Emocionalmente, les

da una idea de ¿Cómo

podría ser el parcial? Y

les recuerda la

importancia de realizar

los talleres.

tomo foto al TV y a

su computador.

4

Mientras Alejo ya

tiene representada


porqué sale solo ese

pedacito.

Ella misma dice.

P: Hagamos algo de


que la clase pasada







en x

𝑑


𝑢´

√1 − 𝑢2

P: Hagamos algo de


que la clase pasada







en x

𝑑


𝑢´

√1 − 𝑢2

Emocionalmente no se

presenta ninguna

situación durante el

segmento.

Ecológicamente, la

profesora debe salir un

momento del salón,

dejando una actividad

en el tablero a sus

estudiantes mientras

vuelve.

Al fin Andrea dicta:



hiperbólica











𝐹(𝑥)

=𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2

+𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR



hiperbólica











𝐹(𝑥)

=𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥)

2

+𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)

2


2 Función PAR

Alejo visualiza


el tablero (foto)


2 Función IMPAR





2+


2





2𝑐𝑜𝑠ℎ


2


2 Función IMPAR





2+


2





2𝑐𝑜𝑠ℎ


2











inversas.











inversas

[Ep. 15] Episodio 15: Máximos y Mínimos

Sg.

Observación de la

Practica de clase

EPISTÉMICO

COGNITIVA

Análisis

1 Me advierte que va

a correr pues la

próxima clase es el

tercer parcial y

entonces solo le

quedan tres clases

más para todo lo

que falta: Gráficas,

Máximos y

P.-DEFINICION

La función f se dice que tiene un

máximo relativo en x=c si existe

un intervalo abierto (a,b) que

contenga a c tal que f (c) mayor

o igual que f(x) para todo x en

(a,b)

P.-DEFINICION






(a,b)

contiene carácter epistémico dado que se el

segmento se centra en toda la teoría y saber

base para lo que se va a desarrollar más

adelante

En esta primera parte de la clase la

profesora se centra en dar los conceptos

Mínimos,

Problemas,

L’Hoppital….

Hace un dibujo de

una curva en el

plano cartesiano


pendiente positiva

en un pedacito y en

otro una pendiente

negativa para

ilustrarlo.


mínimo relativo en x=c si existe


contenga a c tal que f (c) menor


(a,b)

P.-TEOREMA

Si f(x) está definida para todos

los valores de x en un intervalo

abierto (a,b) y tiene un extremo

relativo máximo o mínimo en

x=c, donde c está en (a,b) y

además f’(c) existe entonces

f’(c) =0.

Hace un dibujo de una curva le

traza la tangente en un máximo y

en un mínimo y hace ver que ahí

la pendiente de la tangente es 0.

P.-TEOREMA

Si f’(x) mayor que 0 para todo x

en (a,b) entonces f(x) es

creciente en dicho intervalo






(a,b)

P.-TEOREMA







f’(c) =0.





P.-TEOREMA




propios del tema acompañados del teorema

y las saberes bases

El desarrollo de este episodio es propio de

toda clase en la que el profesor a través de

su saber toma la batuta y sienta las bases

del conocimiento.

Si f’(x) menor que 0 para todo x


decreciente en dicho intervalo




2 CRITERIO DE LA

PRIMERA

DERIVADA

PARA MAXIMOS

Y MINIMOS

P.-Sea f una función continua en

un intervalo abierto (a,b) donde

c pertenece a (a,b) y cuya

derivada exista en (a,b), excepto

posiblemente en x=c

Se dice que f tiene un

MÁXIMO RELATIVO

en x=c si antes de c la

función es creciente y

después de c la función

es decreciente.


MINIMO RELATIVO

en x=c si si antes de c la

función es decreciente y


es creciente.

MÉTODO

Se halla la primera


Se iguala f’(x)=0

Se determinan los

valores críticos de la

función haciendo f’(x)=0

resuelva





posiblemente en x=c


MÁXIMO RELATIVO




es decreciente.


MINIMO RELATIVO




es creciente.

MÉTODO

Se halla la primera


Se iguala f’(x)=0

Se determinan los



resuelva

se continúa con los demás aspectos

fundamentales para el adecuado desarrollo

de los ejercicios del tema

Aquí la profesora continua con todos los

parámetros y fundamentos propios del

tema a desarrollar en el siguiente

segmento.

El desarrollo del episodio es muy técnico y

mecánico, propio de una clase catedrática

en la que se dan los conceptos.

Con los valores críticos

se forman intervalos para

analizar donde f es

creciente y donde es

decreciente

De acuerdo al análisis de la

variación de signos se

determinan máximos y/o

mínimos de f.



analizar donde f es


decreciente




mínimos de f.

3 Propone un

ejercicio

Felipe -no sé

pero…

Felipe- reales o 1

real y 2

imaginarias,

Felipe- no!

Análisis de

simetría:

Andrea dice hay

que evaluar la

función en –x,

Andrea dice:

Corte con los ejes

y Cata dice hay que

hacer la función

igual a 0

P.-EJERCICIO

Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 +3𝑥2 hallar Df

P.- listo ¿Cuál es el dominio?

Felipe dice los Reales

P.- listo Cuantas concavidades

tiene: Felipe dice 2

P.- Cuantos cortes con el eje X

P.- cuantas raíces: Felipe -tres

P.- ¿cuáles tres?

P.- no puede haber 2 reales y una

imaginaria…

P.- entonces díctame te escucho:

P.- ¿te dio lo mismo?

P.- 𝐹(−𝑥) no es = 𝑓(𝑥)

Entonces no es función par

P.- 𝐹(−𝑥) no es = -𝑓(𝑥)

Entonces no es función impar

P.-Cata díctame

P.-EJERCICIO




tiene:


P.- cuantas raíces:

P.- ¿cuáles tres?


imaginaria…

…Porque si hay imaginarias

vienen en parejas.

P.- ¿Es simétrica?


Andrea- 𝐹(−𝑥) = (−𝑥)3 + 3(−𝑥)2

𝐹(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2

Andrea - No!

Este segmento contiene carácter

epistémico como cognitivo, en la primera

parte se ve la participación de uno de los

alumnos que hace uso de los saberes bases

para responder al problema. En cuanto lo

cognitivo hay una choca que hace una

abstracción más profunda del problema,

planteando tanto la teoría como la solución

En el segmento se plantea un problema por

parte de la profesora, seguido a ello

empieza hacer las preguntas pertinentes y

secuenciales del mismo, a lo que los

alumnos responden en algunos casos

afirmativa y contundentemente y unas

veces con duda; en vista a esta duda la

profesora decide aclarar los conceptos

Esperanza escribe:

La chica responde :

Catalina

La profes escribe:

Y la igualamos a 0

de ahí despeja y

varios muchachos

van dictando para

reemplazar los

puntos.

Ella hace énfasis en

que se reemplaza

es en la primera

derivada,

Camilo y dibujan la

gráfica muy

sencilla dice ella y

le pide a Alejo que

siempre lleva el

computador y lo

conecta al TV que

proyecte la gráfica,

la comparan uy tan

bonito dice la profe

P.-Con Y: 𝑓(0) = 0 luego

𝑃(0,0)

Con X: 𝑓(𝑥) = 0 𝑥3 + 3𝑥2 = 0 factoriza y llega a 𝑥 = 0 con

𝑘 = 2; 𝑥 = 3 con 𝑘 =1 𝑃(0,0) 𝑃(−3,0) P.-Ahora Puntos críticos a ver…

¿cómo es tu nombre?

P.-a ver Cata díctame pero a ver,

E.- pues la derivada igual a 0,

𝐹’(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥

P.-cuando en el parcial me

preguntan “¿y donde

reemplazo?” pues ahí me doy

cuenta que no han entendido

nada,.. Nada de lo que estamos

haciendo.





P.- 𝐹(−𝑥) no es = -𝑓(𝑥)


P.-Cata díctame


𝑃(0,0)






𝐹’(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 P.-cuando en el parcial me

preguntan “ ¿y donde




haciendo.

P.-Bueno díctame Santiago?

Santiago eres…

E.- camilo

P.-ah perdón.

Se evidencia en el episodio un desarrollo

acelerado y tenso debido al tono de voz de

la profesora y la intimidación que ello

refleja en los estudiantes


Santiago eres…

E.- camilo

P.-ah perdón.

4 Y hace un dibujo

de una parábola le

traza la tangente en

tres lugares

distintos,

luego dibuja al lado

en otro diagrama

una parábola hacia

abajo, le dibuja la

tangente en tres

lugares distintos,

y luego un tercer

dibujo de una curva

donde la tangente

ni está por arriba ni

está por debajo

sino un momento

hacia abajo y luego

cambia hacia

arriba,

Y copia en el

tablero:

P.- Eso es lo que se llama un

punto de inflexión, estamos de

acuerdo?

Si 𝑓’’(𝑥) mayor que 0 para todo

x en (a,b) entonces f(x) cóncava

hacia arriba en (a,b)

Si 𝑓’’(𝑥) menor que 0 para todo

x en (a,b) entonces 𝑓(𝑥)

cóncava hacia abajo en (a,b)

P.- El punto donde la tangente

intersecta la curva, se llama

punto de inflexión. Son aquellos

puntos donde la curva cambia de

concavidad, la segunda derivada

cambia de signo. Como la

función es continua no puede

cambiar de + 𝑎 − o de – 𝑎 +

sin volverse cero, por lo tanto si

(𝑐, 𝑓(𝑐) ) es un punto de

inflexión de f entonces 𝑓’’(𝑐)

existe y cumple que 𝑓’’(𝑐) = 0

P.- Entonces ahora si

enunciemos el Criterio de la 2ª.



acuerdo?





















carácter epistémico debido al saber propio

de la profesora, el cual utiliza para sentar

las bases del tema

La profesora toma el control del episodio

para trasmitir por medio de su

conocimiento y ayuda de los teoremas, los

conceptos y herramientas necesarias para

el desarrollo de lo que seguirá en el curso

de la clase.

El clima de la clase es muy normal y de

especial atención de los estudiantes, debido

a los conceptos que se están formulando

Derivada, alguien lo leyó que me

diga, nadie dice nada, bueno

obviamente no lo leyeron dice,

entonces escribe:

CRITERIO DE LA

SEGUNDA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y

MINIMOS

Sea c un valor crítico de la

función f

Si 𝑓’’ (𝑐) menor que 0

entonces la gráfica de f

presenta un máximo

relativo en 𝑥 = 𝑐

Si 𝑓’’(𝑐) mayor que 0


presenta un mínimo

relativo en x=c

Si el criterio no decide

cómo se escribe no

decide? UN LAPSUS

CALA, lo borra y lo

vuelve a escribir le

parece extraño. Les hace

ver que los criterios son

para máximos y

mínimos, no para otra

cosa, entonces si no

puede por el de la




entonces escribe:

CRITERIO DE LA

SEGUNDA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y

MINIMOS


función f



presenta un máximo




presenta un mínimo

relativo en x=c


cómo se escribe no

decide? UN LAPSUS

CALA, lo borra y lo

vuelve a escribir le



para máximos y

mínimos, no para otra


puede por el de la

segunda derivada pues

los halla por el de la

primera derivada.



primera derivada.

5

Alguien dice algo y

ella mirando al

tablero todavía dice

no te oigo,

.

Entonces ahora sí

arranca Alejo

dominio de la

función y cada uno

va dictando cada

uno de los

siguientes aspectos:

Análisis de simetría

dicta John porque

él quiere:

Análisis de

asíntotas (Todos

están hablando,

todos dictan alguno

de los aspectos, es

el día que más

P.- Un ejercicio completico con

todo a ver:

𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4

Pregunta qué clase de función

es?

P.- si racional.

E- Alejo dice más duro:

“racional”

P.- Tiene factores comunes?

E- Alejo- No, no tiene


𝐹(−𝑥) = 𝑓(𝑥) función par

simétrica respecto eje Y


Con Y, 𝑓(0) = −1

4 luego

𝑃(0, −1

4)


todo a ver:

𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4

P.- si racional.






Con Y, 𝑓(0) = −1

4 luego

𝑃(0, −1

4)

Con X, f(x) = 0 No corta al eje

X porque 𝑥2 + 1 = 0 𝑥2 = −1 no es real

el segmento es de carácter epistémico, pues

los estudiantes hacen una amplia

utilización de todos los conceptos antes

enunciados, para de esta manera dar

solución a los problemas

La profesora decide poner a prueba a sus

estudiantes con un problema que contiene

todos los aspectos antes explicados, la

clase se torna dinámica debido a la amplia

participación de gran mayoría de los

estudiantes y el entusiasmo de la profesora

por ver avances y al final notar que se

logró solucionar.

La clase toma un color más cálido y se ve

una dinámica interesante que resulta en la

activa participación, es sin duda la

intervención y el entusiasmo del primer

estudiante que le da ese tinte, sin embargo

aquí cabe rescatar que hay un papel

fundamental de la profesora la cambiar su

habitual tono de voz y de esta manera

lograr relacionarse de manera efectiva con

el estudiantado brindando confianza y un

intervención he

visto)

Felipe dicta la

primera derivada,

dicta la

simplificación y

llega a:

Y determinan los

signos en cada

intervalo:

ella dice: f es

creciente en

Catalina dice

máximo! Y la profe

escribe y corrige:

Una niña le dicta la

segunda derivada,

pero rápidamente el

tono de voz de

Esperanza es el que

va armando la

segunda derivada,

ella misma sigue

simplificando

aunque se oye

permanentemente



Vertical: se hace 𝑥2 – 4 = 0

luego 𝑥 = −2, 𝑥 = 2

Horizontal: Como 𝑚 = 𝑛

entonces 𝑦 = 1

Oblicua: Como m distinto de

n+1 no presenta


E.- −10𝑥 = 0 𝑥 = 0 P.- entonces qué intervalos

armamos:

E.- (−∞, 0) (0, ∞) P.- quien sigue? Tu nena,

ahora qué vamos a hacer??

E.- Darle valores

(−∞, 0) (0, ∞) + -

P.- Entonces nena como es el

crecimiento


luego 𝑥 = −2, 𝑥 = 2


entonces 𝑦 = 1


n+1 no presenta



armamos:



E.- Darle valores

(−∞, 0) (0, ∞) + -


crecimiento

(−∞, 0) y decreciente en

(0, ∞) )

ambiente amigable para la participación ,

es sin duda estos pequeños cambios de

actitud los que brindan un cambio de 180

grados

pasito la voz de

Catalina, cuando

termina y va a

igualar a 0 le dice

gracias Catalina.

Nadie habla, mira a

un estudiante…

el no habla y ella

dice

él lo lee

y escribe en el

tablero:

Luego y Alejo dice

eh… no te pierdas

qué estás hallando

ah si concavidad y

entonces Alejo

dicta lo siguiente

que ella escribe en

el tablero:

Mientras cada uno

está graficando

Alejo pasa al

computador para


(0, ∞) )

P.- Catalina entonces qué hay

máximo o mínimo en 𝑥 = 0

P.- En x=0 hay un máximo

relativo en 𝑃(0, −1

4)

Ahora qué? Andrea? Eh… qué?

Concavidad?


𝐹’(𝑥) = −10𝑥

(𝑥2 – 4)2

P.- Y ahora hacer lo mismo que

hicimos con la primera derivada

f’’(𝑥) = 0 regálame el

numerador = 0

P.- regálame el numerador = 0,


E.- pues bueno igualado a 0 y

llega a 𝑥2 = −4

3





4)


Concavidad?


𝐹’(𝑥) = −10𝑥

(𝑥2 – 4)2




numerador = 0





3

P.- No pertenece a R entonces

qué pasa ahí? Esto es lo que

nunca le explican a uno, es que

no es cóncava hacia nada? No!

pintarla en

GEOgebra y

proyectarla en el

TV, ahí esperamos

un rato, y mientras

tanto ella habla

desde dónde es el

parcial.

Ellos dicen sí. Ella

viene hacia mí y

me dice

Yo le digo si

excelente, genial,

qué participativos,

merecen pasar

todos.

Bueno ella coge el

bolso y les muestra

la gráfica que ella

tiene en su

cuaderno de

preparaciones de

clase, Alejo la

muestra en el TV

siempre es

deslumbrante





P.- Es que como la función no

es continua, se analiza la

concavidad en sus intervalos de

continuidad,


Como la función es discontinua

en 𝑥 = + − 2 se forman los

intervalos con estos valores:

(−∞, −2) (−2,2) (2, ∞)

F’’ + − +

E.- F es cóncava hacia arriba

(−∞, 2) , (2, ∞)


P.- grafiquen: no puede estar

bien la gráfica y no todo el

proceso ni lo contrario.

P.- Tengo un taller con todas las

aplicaciones se los dejó así?




continuidad,





(−∞, −2) (−2,2) (2, ∞)

F’’ + − +


(−∞, 2) , (2, ∞)







P.- “si viste que hoy todos

hablaron, varias veces, todos

participaron?



participaron?

Sg.

Observación de la

Practica de clase


Análisis


a correr pues la


tercer parcial y

entonces solo le

quedan tres clases

más para todo lo


Máximos y

Mínimos,

Problemas,

L’Hoppital….

P.-DEFINICION






(a,b)






(a,b)

P.-TEOREMA

P.-DEFINICION






(a,b)






(a,b)

P.-TEOREMA

Hace un dibujo de

una curva en el

plano cartesiano


pendiente positiva

en un pedacito y en

otro una pendiente

negativa para

ilustrarlo.







f’(c) =0.





P.-TEOREMA













f’(c) =0.





P.-TEOREMA







2 CRITERIO DE LA

PRIMERA

DERIVADA

PARA MAXIMOS

Y MINIMOS





posiblemente en x=c





posiblemente en x=c


MÁXIMO RELATIVO




es decreciente.


MINIMO RELATIVO




es creciente.

MÉTODO

Se halla la primera


Se iguala f’(x)=0

Se determinan los



resuelva



analizar donde f es


decreciente




mínimos de f.


MÁXIMO RELATIVO




es decreciente.


MINIMO RELATIVO




es creciente.

MÉTODO

Se halla la primera


Se iguala f’(x)=0

Se determinan los



resuelva



analizar donde f es


decreciente




mínimos de f.

3 Propone un

ejercicio

P.-EJERCICIO

P.-EJERCICIO

Felipe dice los

Reales

Felipe dice 2

Felipe -no sé

pero…

Felipe -tres

Felipe- reales o 1

real y 2

imaginarias,

Felipe- no!

Análisis de

simetría:

Andrea dice hay

que evaluar la

función en –x,

Andrea dice:

𝐹(−𝑥) = (−𝑥)3 + 3(−𝑥)2

𝐹(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2

Andrea - No!

Corte con los ejes

y Cata dice hay que

hacer la función

igual a 0




tiene:



P.- ¿cuáles tres?


imaginaria…


vienen en parejas.






P.- 𝐹(−𝑥) no es = -𝑓(𝑥)


P.-Cata díctame


𝑃(0,0)






𝐹’(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥




tiene:



P.- ¿cuáles tres?


imaginaria…


vienen en parejas.






P.- 𝐹(−𝑥) no es = -𝑓(𝑥)


P.-Cata díctame


𝑃(0,0)






𝐹’(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥

Este segmento contiene un tinte muy

emocional , ya en caracteres anteriores se

venia analizando la forma de expresarse de

la profesora la cual muestra su disgusto y

adopta una posición muy autoritaria e

intimidante .

El segmento empieza con un ejercicio

propuesto de manera muy normal, en la

que los alumnos responden aunque no muy

activamente y de manera errada, lo cual

hace enojar a la profesora que termina con

una llamado de atención.

Este episodio en particular se desarrolla de

manera tensa dado el tono de voz de la

profesora la poca participación de los

estudiantes y sus erróneas respuestas, todo

esto se fusiona y hace que la profeso se

empiece a disgustarse lo que por ende

Esperanza escribe:

La chica responde :

Catalina

La profes escribe:

Y la igualamos a 0

de ahí despeja y

varios muchachos

van dictando para

reemplazar los

puntos.


que se reemplaza

es en la primera

derivada,

Camilo y dibujan la

gráfica muy

sencilla dice ella y

le pide a Alejo que

siempre lleva el

computador y lo

conecta al TV que

proyecte la gráfica,

la comparan uy tan

bonito dice la profe






haciendo.


Santiago eres…

E.- camilo

P.-ah perdón.






haciendo.


Santiago eres…

E.- camilo

P.-ah perdón.

cambia el clima de la clase y el humor de

sus alumnos y con un breve reproche final

se logra una relación emocional en la que

los alumnos pueden salir de cierta manera

un poco tensos y afectados por la manera

en la que se desarrollaron las dinámicas

relacionales.

4 Y hace un dibujo

de una parábola le


tres lugares

distintos,


en otro diagrama

una parábola hacia

abajo, le dibuja la

tangente en tres

lugares distintos,

y luego un tercer

dibujo de una curva

donde la tangente


está por debajo

sino un momento

hacia abajo y luego

cambia hacia

arriba,

Y copia en el

tablero:



acuerdo?
























entonces escribe:



acuerdo?
























entonces escribe:

CRITERIO DE LA

SEGUNDA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y

MINIMOS


función f



presenta un máximo




presenta un mínimo

relativo en x=c


cómo se escribe no

decide? UN LAPSUS

CALA, lo borra y lo

vueleve a escribir le



para máximos y

minimos, no para otra


puede por el de la



primera derivada.

CRITERIO DE LA

SEGUNDA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y

MINIMOS


función f



presenta un máximo




presenta un mínimo

relativo en x=c


cómo se escribe no

decide? UN LAPSUS

CALA, lo borra y lo




para máximos y



puede por el de la



primera derivada.

5 Alguien dice algo y

ella mirando al

tablero todavía dice

no te oigo, Alejo

dice mas duro:

“racional”

Alejo- No, no

tiene.

Entonces ahora sí

arranca Alejo

dominio de la

función y cada uno

va dictando cada

uno de los



dicta John porque

él quiere:

Análisis de

asíntotas (Todos

están hablando,

todos dictan alguno

de los aspectos, es

el día que más

intervención he

visto)


todo a ver:

Pregunta qué clase de función

es?

𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4

P.- si racional.






Con Y, 𝑓(0) = −1

4 luego

𝑃(0, −1

4)




luego 𝑥 = −2, 𝑥 = 2


todo a ver:

𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4

P.- si racional.






Con Y, 𝑓(0) = −1

4 luego

𝑃(0, −1

4)




luego 𝑥 = −2, 𝑥 = 2


entonces 𝑦 = 1

Tiene carácter emocional pues el tono de

voz intuye participación y confianza a los

estudiantes.














grados

Así como hay tonos de voz y actitudes que

pueden hacer que una clase se torne tensa e

indisponga a tanto como a los estudiantes

como al docente, también está la

contraparte en la que una grata actitud y un

entusiasta tono de voz de la profesora

trasmita a sus estudiantes un aire de

seguridad y confianza, estos factores llevan

Felipe dicta la

primera derivada,

dicta la

simplificación y

llega a:

Y determinan los

signos en cada

intervalo:

ella dice: f es

creciente en

Catalina dice

máximo! Y la profe

escribe y corrige:


segunda derivada,


tono de voz de

Esperanza es el que

va armando la

segunda derivada,

ella misma sigue

simplificando

aunque se oye

permanentemente

pasito la voz de

Catalina, cuando

termina y va a


entonces 𝑦 = 1


n+1 no presenta



armamos:



E.- Darle valores

(−∞, 0) (0, ∞) + -


crecimiento


(0, ∞) )





4)


n+1 no presenta



armamos:



E.- Darle valores

(−∞, 0) (0, ∞) + -


crecimiento


(0, ∞) )





4)


Concavidad?

a la automotivación por el curso y la

participación activa.

igualar a 0 le dice

gracias Catalina.

Nadie habla, mira a

un estudiante…

el no habla y ella

dice

él lo lee

y escribe en el

tablero:

Luego y Alejo dice

eh… no te pierdas


ah si concavidad y

entonces Alejo

dicta lo siguiente

que ella escribe en

el tablero:

Mientras cada uno

está graficando

Alejo pasa al

computador para

pintarla en

GEOgebra y

proyectarla en el


Concavidad?


𝐹’(𝑥) = −10𝑥

(𝑥2 – 4)2




numerador = 0





3








continuidad,



𝐹’(𝑥) = −10𝑥

(𝑥2 – 4)2




numerador = 0





3








continuidad,


TV, ahí esperamos

un rato, y mientras

tanto ella habla

desde dónde es el

parcial.


viene hacia mí y

me dice

Yo le digo si

excelente, genial,


merecen pasar

todos.

Bueno ella coge el

bolso y les muestra


tiene en su

cuaderno de

preparaciones de

clase, Alejo la

muestra en el TV

siempre es

deslumbrante




(−∞, −2) (−2,2) (2, ∞)

F’’ + − +


(−∞, 2) , (2, ∞)









participaron?




(−∞, −2) (−2,2) (2, ∞)

F’’ + − +


(−∞, 2) , (2, ∞)









participaron?

Sg.

Observación de la

Practica de clase


Análisis


a correr pues la


tercer parcial y

entonces solo le

quedan tres clases

más para todo lo


Máximos y

Mínimos,

Problemas,

L’Hoppital….

Hace un dibujo de

una curva en el

plano cartesiano


pendiente positiva

en un pedacito y en

otro una pendiente

negativa para

ilustrarlo.

P.-DEFINICION






(a,b)






(a,b)

P.-TEOREMA







f’(c) =0.





P.-DEFINICION






(a,b)






(a,b)

P.-TEOREMA







f’(c) =0.





no presenta carácter interaccional ni

mediacional puesto que es un momento en

el que la profesora toma el control del

episodio para dar conceptos

P.-TEOREMA







P.-TEOREMA







2 CRITERIO DE LA

PRIMERA

DERIVADA

PARA MAXIMOS

Y MINIMOS





posiblemente en x=c


MÁXIMO RELATIVO




es decreciente.


MINIMO RELATIVO




es creciente.

MÉTODO





posiblemente en x=c


MÁXIMO RELATIVO




es decreciente.


MINIMO RELATIVO




es creciente.

MÉTODO

es la continuación del segmento uno por lo

cual no hay interacción ni mediación

Se halla la primera


Se iguala f’(x)=0

Se determinan los



resuelva



analizar donde f es


decreciente




mínimos de f.

Se halla la primera


Se iguala f’(x)=0

Se determinan los



resuelva



analizar donde f es


decreciente




mínimos de f.

3 Propone un

ejercicio

Felipe dice los

Reales

Felipe dice 2

Felipe -no sé

pero…

Felipe -tres

Felipe- reales o 1

real y 2

imaginarias,

Felipe- no!

P.-EJERCICIO




tiene:



P.- ¿cuáles tres?


imaginaria…


vienen en parejas.


P.-EJERCICIO




tiene:



P.- ¿cuáles tres?


imaginaria…


vienen en parejas.


*// la mayor parte del episodio representa

el carácter interaccional , pues se entra en

una dinámica de pregunta respuestas, y al

final un poco de sátira por parte de la

profesora, por el lado mediacional la

profesora hace uso de un saber que si bien

no es base fundamental servirá de ayuda en

los posteriores procesos además se ayudan

para esta parte de elementos electrónicos

como el computador y el televisor, esto

aporta un punto extra al ratificar todo lo

calculado con la grafica

Análisis de

simetría:

Andrea dice hay

que evaluar la

función en –x,

Andrea dice:

𝐹(−𝑥) = (−𝑥)3 + 3(−𝑥)2

𝐹(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2

Andrea - No!

Corte con los ejes

y Cata dice hay que

hacer la función

igual a 0

Esperanza escribe:

La chica responde :

Catalina

La profes escribe:

Y la igualamos a 0

de ahí despeja y

varios muchachos

van dictando para





P.- 𝐹(−𝑥) no es = -𝑓(𝑥)


P.-Cata díctame


𝑃(0,0)











haciendo.


Santiago eres…

E.- camilo

P.-ah perdón.

uy tan bonito dice la profe





P.- 𝐹(−𝑥) no es = -𝑓(𝑥)


P.-Cata díctame


𝑃(0,0)











haciendo.


Santiago eres…

E.- camilo

P.-ah perdón.

Alejo que siempre lleva el

computador y lo conecta al TV

La profesora propone un ejercicio y va

formulando toda una serie de preguntas

propias del desarrollo y la formulación del

mismo, los estudiantes participan y al final

un comentario crítico. Se llega a la

aclaración dudas de los estudiantes.

Se evidencia en el episodio un desarrollo

acelerado y tenso debido al tono de voz de

la profesora y la intimidación que ello

refleja en los estudiantes

reemplazar los

puntos.


que se reemplaza

es en la primera

derivada,

Camilo y dibujan la

gráfica muy

sencilla dice ella

que proyecte la gráfica, la

comparan

4 Y hace un dibujo

de una parábola le


tres lugares

distintos,


en otro diagrama

una parábola hacia

abajo, le dibuja la

tangente en tres

lugares distintos,

y luego un tercer

dibujo de una curva

donde la tangente


está por debajo

sino un momento

hacia abajo y luego



acuerdo?















Y hace un dibujo de una

parábola le traza la tangente en

tres lugares distintos,

luego dibuja al lado en otro

diagrama una parábola hacia

abajo, le dibuja la tangente en

tres lugares distintos,

y luego un tercer dibujo de una

curva donde la tangente ni está

por arriba ni está por debajo sino

un momento hacia abajo y luego

cambia hacia arriba,

Y copia en el tablero:



acuerdo?

aquí hay un claro carácter mediacional

pues la profesora hace uso del tablero

como elemento de trabajo para poder

visibilizar ante sus estudiantes la

descripción grafica de lo que van a

realizar

La profesora es la protagonista de este

episodio pues se apodera del tablero para

dar explicaciones muy precisas haciendo

uso del medio gráfico. Luego termina

enunciando los teoremas.

La acción de expresar ideas de forma

gráfica hace mucho más rápido el proceso

de abstracción por parte del estudiante, por

lo que esta herramienta es un punto muy

cambia hacia

arriba,

Y copia en el

tablero:










entonces escribe:

CRITERIO DE LA

SEGUNDA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y

MINIMOS


función f



presenta un máximo




presenta un mínimo

relativo en x=c


cómo se escribe no

decide? UN LAPSUS

CALA, lo borra y lo
























entonces escribe:

CRITERIO DE LA

SEGUNDA DERIVADA

PARA MAXIMOS Y

MINIMOS

útil y muy bien utilizado por parte de la

profesora.




para máximos y



puede por el de la



primera derivada.


función f



presenta un máximo




presenta un mínimo

relativo en x=c


cómo se escribe no

decide? UN LAPSUS

CALA, lo borra y lo




para máximos y



puede por el de la



primera derivada.

5 “racional”

Alejo- No, no

tiene.

¿Pregunta qué clase de función

es? Alguien dice algo y ella

mirando al tablero todavía dice

no te oigo, Alejo dice más duro:


todo a ver:

Tiene carácter interaccional y aunque la

relación es de tipo académica, se resaltan

aspectos de motivación en la dialéctica de

la profesora.

Entonces ahora sí

arranca Alejo

dominio de la

función y cada uno

va dictando cada

uno de los



dicta John porque

él quiere:

Análisis de

asíntotas (Todos

están hablando,

todos dictan alguno

de los aspectos, es

el día que más

intervención he

visto)

Felipe dicta la

primera derivada,

dicta la

simplificación y

llega a:

Y determinan los

signos en cada

intervalo:


todo a ver:

𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4

P.- si racional.






Con Y, 𝑓(0) = −1

4 luego

𝑃(0, −1

4)




luego 𝑥 = −2, 𝑥 = 2


entonces 𝑦 = 1

𝐹(𝑥) = 𝑥2 +1

𝑥2– 4

P.- si racional.






Con Y, 𝑓(0) = −1

4 luego

𝑃(0, −1

4)




luego 𝑥 = −2, 𝑥 = 2


entonces 𝑦 = 1


n+1 no presenta

En el aspecto mediacional nuevamente se

hace ayuda del pc y el televisor para

visualizar la gráfica del ejercicio que ya

juntos resolvieron














grados

ella dice: f es

creciente en

Catalina dice

máximo! Y la profe

escribe y corrige:


segunda derivada,


tono de voz de

Esperanza es el que

va armando la

segunda derivada,

ella misma sigue

simplificando

aunque se oye

permanentemente

pasito la voz de

Catalina, cuando

termina y va a

igualar a 0 le dice

gracias Catalina.

Nadie habla, mira a

un estudiante…

el no habla y ella

dice


n+1 no presenta



armamos:



E.- Darle valores

(−∞, 0) (0, ∞) + -


crecimiento


(0, ∞) )





4)


Concavidad?



armamos:



E.- Darle valores

(−∞, 0) (0, ∞)

+ -


crecimiento


(0, ∞) )





4)


Concavidad?


él lo lee

y escribe en el

tablero:

Luego y Alejo dice

eh… no te pierdas


ah si concavidad y

entonces Alejo

dicta lo siguiente

que ella escribe en

el tablero:

ahí esperamos un

rato, y mientras

tanto ella habla

desde dónde es el

parcial.


viene hacia mí y

me dice

Yo le digo si

excelente, genial,


merecen pasar

todos.


𝐹’(𝑥) = −10𝑥

(𝑥2 – 4)2




numerador = 0





3








continuidad,


𝐹’(𝑥) = −10𝑥

(𝑥2 – 4)2




numerador = 0





3








continuidad,





(−∞, −2) (−2,2) (2, ∞)

Bueno ella coge el

bolso y les muestra


tiene en su

cuaderno de

preparaciones de

clase, Alejo la

muestra en el TV

siempre es

deslumbrante




(−∞, −2) (−2,2) (2, ∞)

F’’ + − +


(−∞, 2) , (2, ∞)









participaron?

F’’ + − +


(−∞, 2) , (2, ∞)


Mientras cada uno está

graficando Alejo pasa al

computador para pintarla en

geogebra y proyectarla en el TV








participaron?

[Ep. 16] Episodio 16: Aplicaciones – Tasa de Cambio

Sg. Observación de la práctica de

clase


1. Entro a las 6:15 a.m. 12

estudiantes, no hay título en el

tablero, veo un enunciado

Hay el respectivo dibujo. Función

a maximizar

La profesora indica que la

derivada debe dar igual a cero, que

algo debió quedar mal y que los

estudiantes deben terminarlo.

HALLAR EL ÁREA

MÁXIMA DE UN

CUADRILÁTERO

INSCRITO EN UNA

SEMICIRCUNFERENCIA

DE RADIO 6 CM

Ejercicio 1:


𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2 −

x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0 2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

HALLAR EL ÁREA

MÁXIMA DE UN

CUADRILÁTERO

INSCRITO EN UNA

SEMICIRCUNFERENCIA

DE RADIO 6 CM

Ejercicio 1:


𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2 −

x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0 2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

Este segmento se

encuentra en la casilla

epistémica debido a

que representa un

ejercicio visto en clase

y explicado por la

profesora, como base

del temario del

Syllabus de la materia;

de igual forma, los

conocimientos ya

adquiridos con

anterioridad están

situados en la casilla

Cognitiva.

En este segmento, la

profesora explica un

ejercicio de máximos

y mínimos (Aplicación

de derivada), pidiendo

hallar el área máxima

de un cuadrilátero en

una circunferencia.


de manera adecuada

paso por paso para

llegar a la correcta

respuesta.

2. Tiene mucho trabajo para plantear

la siguiente proporción.

Los regañó y dijo que se notaba

que no habían estudiado (¿de qué

me perdí? Pues la clase anterior

fue parcial y hoy habla como si ya

hubiera hecho cosas de problemas

de máximos y mínimos)

Ejercicio 2:

P: Dado un triángulo

escaleno de base 12 cm y

altura 6 cm. Hallar el área del

mayor rectángulo inscrito

cuya base coincide con la

base del triangulo


𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

Ejercicio 2:






base del triangulo


𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

Este segmento está

relacionado a la

columna epistémica

porque es un ejercicio

netamente conceptual,

y que va en completa

relación con el

programa del curso.

De igual manera,

algunos fragmentos

están consolidados en

la columna Cognitiva

porque son pasos de

un ejercicio donde se

requieren los previos

conocimientos.

Este ejercicio también

es de máximos, en

donde piden hallar el

área mayor de un

rectángulo dentro de

otra área específica.

De igual forma, es un

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦 𝐴 = 12𝑦 − 2𝑦2

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦 12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦 𝐴 = 12𝑦 − 2𝑦2

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦 12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

buen ejercicio para

analizar en clase.


de manera concisa y

rápida el ejercicio,

mostrando así las

buenas bases con las

cuales vienen los

alumnos de las clases

anteriores con respecto

a los temas previos.

3. Diego le dicta el siguiente

ejercicio.

Ella les pregunta: “¿qué es una

catenaria? No, pero ni siquiera

buscaron en el diccionario, así no

se puede porque si un ejercicio

habla de un triángulo escaleno,

pues no voy a poder hacer el

ejercicio. El otro día en National

Geographyc o Discovery Chanel,

uno de esos, mostraron como

calcularon la altura de la ola para

hacer el salto de surf perfecto

usando una catenaria, y, ¿ustedes

creen que lo hizo un publicista?

¡No! ¿Un arquitecto? ¡no! Ellos no

son capaces de hacer eso, eso lo

hizo un ingeniero, o alguien que

Ejercicio 3

La Tensión mecánica en un

cable suspendido en forma de

catenaria viene dada por

𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑥 ) Si la

densidad del cable es w = 10

kg/m y la distancia a = 50 m.

Calcular en qué punto del

cable la tensión es mínima.

𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ),

donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )


Ejercicio 3




𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la





𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ),

donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )


La primera parte del

segmento se relaciona

en la columna

epistémica porque se

trata de un ejercicio

relacionado

directamente con el

temario del curso; al

mismo tiempo, que la

segunda parte del

segmento está

relacionada con la

columna cognitiva, ya

que se requieren de

varios conocimientos

previos para llegar a su

correcta solución.

sepa matemáticas y le pagaron

toda la plata del mundo, así que

ingenieros…”

Le tomé foto al tablero por el

despeje que hizo de exponencial al

aplicar logaritmo

FOOTO

𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0

Reemplazando T = 250(ex/50

+ e-x/50)

T = 250 ( 1 + 1)

T = 500

𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0


+ e-x/50)

T = 250 ( 1 +1)

T = 500

La profesora plantea

un tercer ejercicio de

tasas de cambio, donde

se pide que calcular en

qué parte de un cable

la tensión es mínima.

Para solucionar este

problema, es necesario

conocer previamente

las propiedades de la

derivación logarítmica,

puesto que de forma

contraria, no sería

posible la adecuada

resolución del mismo.

La profesora logra su

objetivo con este

ejercicio: demostrar

que sus estudiantes

obtuvieron

exitosamente los


brindados en las

anteriores clases.

4. Al cabo de dos minutos,

Alejandro hace una pregunta que

no le responde la profe: “¿Si uno

calcula la rapidez con que crece o

decrece en varios instantes de

tiempo distintos, esas rapideces

van a ser proporcionales?”

Después de un instante,

Esperanza responde: “pero eso no

es lo que te está preguntando el

ejercicio”

La profesora pregunta: “¿A qué

es igual el área de un triángulo?”

Mucho lío para armar esa

derivada, ella la borró la volvió a

explicar, pero notó que no habían

entendido, puso a Alexandra a

dictarle: explicó que el ½ era la

constante, entonces quedaba y eso

por la derivada de la función que

es un producto, pero ese 𝑑𝑥

𝑑𝑡 y ese

𝑑𝑦

𝑑𝑡 quedaron muy “oscuros” aún,

continúa.

Borró el tablero, pero alcance a

tomar la foto de todo el ejercicio.

Tercera aplicación de las

derivadas

Ejercicio 4:

En un instante los catetos de

un triángulo rectángulo

miden 8 cm y 6 cm

respectivamente. El primer

cateto decrece a razón de

1𝑐𝑚

𝑠𝑥𝑔 y el segundo crece a

razón de 2𝑐𝑚


rapidez está creciendo el

área?

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2


derivadas

Ejercicio 4:



miden 8 cm y 6 cm



1𝑐𝑚


razón de 2𝑐𝑚



área?

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

La primera parte del

segmento, está

relacionada a la

columna epistémica,

porque trata de temas

que se encuentran en

el programa de la

materia, mientras que

la resolución final del

ejercicio está

relacionada a la

columna cognitiva al

poderse realizar con

conocimientos ya

adquiridos.

El ejercicio es sobre

un triángulo

rectángulo, cuyos

catetos crecen y

decrecen a cierta razón

de cambio con

respecto al tiempo, y

la pregunta a

desarrollar es con qué

rapidez crece su área.

FOTO

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

+ 8 (2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

+ 8 (2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

La resolución de este

problema, así como los

anteriores, se hace por

medio de las

propiedades de

derivadas, ya que estas

reflejan distintas

razones de cambio.

La profesora plantea

de manera correcta los

procedimientos

permitiendo así a los

estudiantes un correcto

aprendizaje.

5. Ejercicio 5:

Una cometa se eleva, cuando

se encuentra a 16 metros de

altura un viento horizontal


𝑠𝑒𝑔. ¿Con

qué velocidad se está

soltando la cuerda de la

Ejercicio 5:





𝑠𝑒𝑔. ¿Con



Este segmento se

relaciona en la

columna Epistémica,

debido a que, para la

resolución del

problema planteado, se

utilizan únicamente

métodos y temas

vistos y expuestos

cometa cuando se ha

utilizado 25 m?

𝑌 = 16 𝑚 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m

derivando con respecto al

tiempo

2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

cometa cuando se ha

utilizado 25 m?

𝑌 = 16 𝑚 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m


tiempo

2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

según el programa de

la actual materia.

Este ejercicio es sobre

la tercera aplicación de

derivadas (Razones de

cambio), el cual

escogió la profesora

para explicar de una

manera más clara y

concisa dicho tema.

La resolución del

problema es de manera

correcta; la profesora

lo explica de manera

eficaz y de manera

fácil escribiendo todos

los datos y las

incógnitas para un

mayor análisis del

problema principal y

de la pregunta del

ejercicio, par, de esa

forma, resolver de

manera eficaz el

planteamiento.


práctica de clase


1. Entro a las 6:15 a.m.

12 estudiantes, no hay

título en el tablero, veo

un enunciado

Hay el respectivo

dibujo. Función a

maximizar

La profesora indica

que la derivada debe

dar igual a cero, que

algo debió quedar mal

y que los estudiantes

deben terminarlo.

HALLAR EL ÁREA MÁXIMA

DE UN CUADRILÁTERO

INSCRITO EN UNA

SEMICIRCUNFERENCIA DE

RADIO 6 CM

Ejercicio 1:


𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2 −

x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0 2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

HALLAR EL ÁREA

MÁXIMA DE UN

CUADRILÁTERO

INSCRITO EN UNA

SEMICIRCUNFERENCIA

DE RADIO 6 CM

Ejercicio 1:


𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2 −

x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0 2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

2. Tiene mucho trabajo

para plantear la

siguiente proporción.

Los regañó y dijo que

se notaba que no

habían estudiado (¿de

qué me perdí? Pues la

clase anterior fue

parcial y hoy habla

como si ya hubiera

hecho cosas de

problemas de máximos

y mínimos)

Ejercicio 2:

P: Dado un triángulo escaleno de

base 12 cm y altura 6 cm. Hallar el

área del mayor rectángulo inscrito

cuya base coincide con la base del

triangulo


𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦 𝐴 = 12𝑦 −2𝑦2

Ejercicio 2:






base del triangulo


𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦 12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

𝐴 = 12𝑦 − 2𝑦2

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦 12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

3. Diego le dicta el

siguiente ejercicio.

Ella les pregunta:

“¿qué es una

catenaria? No, pero ni

siquiera buscaron en el

diccionario, así no se

puede porque si un


triángulo escaleno,

pues no voy a poder

hacer el ejercicio. El

otro día en National

Geographyc o

Discovery Chanel, uno

de esos, mostraron

como calcularon la

altura de la ola para

hacer el salto de surf

perfecto usando una

catenaria, y, ¿ustedes

Ejercicio 3

La Tensión mecánica en un cable

suspendido en forma de catenaria

viene dada por

𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la

densidad del cable es w = 10 kg/m

y la distancia a = 50 m. Calcular en

qué punto del cable la tensión es

mínima.

𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ),

donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )


Ejercicio 3




𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la





𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ),

donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑥𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )


creen que lo hizo un

publicista? ¡No! ¿Un

arquitecto? ¡no! Ellos

no son capaces de

hacer eso, eso lo hizo

un ingeniero, o alguien

que sepa matemáticas

y le pagaron toda la

plata del mundo, así

que ingenieros…”

Le tomé foto al tablero

por el despeje que hizo

de exponencial al

aplicar logaritmo

𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0

Reemplazando T = 250(ex/50 + e-

x/50)

T = 250 ( 1 + 1)

T = 500

𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0


+ e-x/50)

T = 250 ( 1 +

1)

T = 500

4. Al cabo de dos

minutos, Alejandro

hace una pregunta que

no le responde la

profe: “¿Si uno calcula

la rapidez con que

crece o decrece en

varios instantes de

tiempo distintos, esas

rapideces van a ser

proporcionales?”

Después de un

instante, Esperanza

responde: “pero eso no

es lo que te está

preguntando el

ejercicio”

La profesora pregunta:

“¿A qué es igual el

área de un triángulo?”

Mucho lío para armar

esa derivada, ella la

borró la volvió a

explicar, pero notó que

no habían entendido,

puso a Alexandra a


derivadas

Ejercicio 4:

En un instante los catetos de un

triángulo rectángulo miden 8 cm y

6 cm respectivamente. El primer

cateto decrece a razón de 1𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔 y el


𝑠𝑒𝑔.

¿Con qué rapidez está creciendo el

área?

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)


derivadas

Ejercicio 4:



miden 8 cm y 6 cm



1𝑐𝑚


razón de 2𝑐𝑚



área?

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

dictarle: explicó que el

½ era la constante,

entonces quedaba y

eso por la derivada de

la función que es un

producto, pero ese 𝑑𝑥

𝑑𝑡 y

ese 𝑑𝑦

𝑑𝑡 quedaron muy

“oscuros” aún,

continúa.

Borró el tablero, peo

alcance a tomar la foto

de todo el ejercicio.

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔) + 8 (

2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

+ 8 (2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

5. Ejercicio 5:

Una cometa se eleva, cuando se

encuentra a 16 metros de altura un

viento horizontal sopla a razón de

12𝑚


soltando la cuerda de la cometa

cuando se ha utilizado 25 m?

Ejercicio 5:





𝑠𝑒𝑔. ¿Con



𝑌 = 16 𝑚 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m


2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

cometa cuando se ha

utilizado 25 m?

𝑌 = 16 𝑚 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m


tiempo

2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ


práctica de clase


1. Entro a las 6:15 a.m.

12 estudiantes, no hay

título en el tablero, veo

un enunciado

Hay el respectivo

dibujo. Función a

maximizar

La profesora indica

que la derivada debe

dar igual a cero, que

algo debió quedar mal

y que los estudiantes

deben terminarlo.

HALLAR EL ÁREA MÁXIMA

DE UN CUADRILÁTERO

INSCRITO EN UNA

SEMICIRCUNFERENCIA DE

RADIO 6 CM

Ejercicio 1:


𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2 −

x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0 2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

HALLAR EL ÁREA

MÁXIMA DE UN

CUADRILÁTERO

INSCRITO EN UNA

SEMICIRCUNFERENCIA

DE RADIO 6 CM

Ejercicio 1:


𝑟2 = 𝑥2 + ℎ2

ℎ2 = 𝑟2 − 𝑥2

ℎ = √𝑟2 − 𝑥2

𝐴(𝑥) = (2𝑥)√𝑟2 − 𝑥2

𝐴′(𝑥) = 2√𝑟2 − 𝑥2 −

x√𝑟2 − 𝑥2

2𝑟2 – 4𝑥2 = 0 2𝑟2 = 4𝑥2

𝑥2 = 1

2(𝑟2)

2. Tiene mucho trabajo

para plantear la

siguiente proporción.

Los regañó y dijo que

se notaba que no

habían estudiado (¿de

qué me perdí? Pues la

clase anterior fue

parcial y hoy habla

como si ya hubiera

hecho cosas de

problemas de

máximos y mínimos)

Ejercicio 2:

P: Dado un triángulo escaleno de

base 12 cm y altura 6 cm. Hallar el

área del mayor rectángulo inscrito

cuya base coincide con la base del

triangulo


𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦 𝐴 = 12𝑦 −2𝑦2

Ejercicio 2:






base del triangulo


𝑥

12=

6 − 𝑦

6

𝑥

12=

6 − 𝑦

6

6𝑥 = 12(6 − 𝑦)

𝑋 = 12(6 − 𝑦)

6

𝑋 = 12 − 2𝑦


𝐴 = 𝑥𝑦

𝐴 = (12 − 2𝑦)𝑦

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦 12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

𝐴 = 12𝑦 − 2𝑦2

𝐴’(𝑥) = 12 − 4𝑦 12 − 4𝑦 = 0

12 = 4𝑦

3 = 𝑦

3. Diego le dicta el

siguiente ejercicio.

Ella les pregunta:

“¿qué es una

catenaria? No, pero ni

siquiera buscaron en el

diccionario, así no se

puede porque si un


triángulo escaleno,

pues no voy a poder

hacer el ejercicio. El

otro día en National

Geographyc o

Discovery Chanel,

uno de esos,

mostraron como

calcularon la altura de

la ola para hacer el

salto de surf perfecto

usando una catenaria,

Ejercicio 3

La Tensión mecánica en un cable

suspendido en forma de catenaria

viene dada por

𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la

densidad del cable es w = 10 kg/m y

la distancia a = 50 m. Calcular en

qué punto del cable la tensión es

mínima.

𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ),

donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )


Ejercicio 3


cable suspendido en forma

de catenaria viene dada por

𝑇 = (𝑤𝑎

2)(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ) Si la





𝑇 = (𝑤𝑎

2(𝑒

𝑥

𝑎 + 𝑒−𝑥

𝑎 ),

donde w = 10; a = 50

𝑇 = 250 (𝑒𝑥

50 + 𝑒−𝑥50 )


y, ¿ustedes creen que

lo hizo un publicista?

¡No! ¿Un arquitecto?

¡no! Ellos no son

capaces de hacer eso,

eso lo hizo un

ingeniero, o alguien

que sepa matemáticas

y le pagaron toda la

plata del mundo, así

que ingenieros…”

Le tomé foto al tablero

por el despeje que hizo

de exponencial al

aplicar logaritmo

𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0


T = 250 ( 1 + 1)

T = 500

𝑇′(𝑥) = 250 (𝑒

𝑥50

50−

𝑒−𝑥50

50)

𝑒𝑥

50 = 𝑒−𝑥50

ln 𝑒𝑥

50 = ln 𝑒−𝑥50

𝑥

50ln 𝑒 =

−𝑥

50ln 𝑒

𝑥

50=

−𝑥

50

50𝑥 = −50𝑥

50𝑥 + 50𝑥 = 0

100𝑥 = 0

𝑥 = 0


+ e-x/50)

T = 250 ( 1 +

1)

T = 500

4. Al cabo de dos

minutos, Alejandro

hace una pregunta que

no le responde la

profe: “¿Si uno

calcula la rapidez con

que crece o decrece

en varios instantes de

tiempo distintos, esas

rapideces van a ser

proporcionales?”

Después de un

instante, Esperanza

responde: “pero eso

no es lo que te está

preguntando el

ejercicio”

La profesora

pregunta: “¿A qué es

igual el área de un

triángulo?”

Mucho lío para armar

esa derivada, ella la

borró la volvió a

explicar, pero notó

que no habían


derivadas

Ejercicio 4:

En un instante los catetos de un

triángulo rectángulo miden 8 cm y 6

cm respectivamente. El primer

cateto decrece a razón de 1𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔 y el


𝑠𝑒𝑔.

¿Con qué rapidez está creciendo el

área?

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)


derivadas

Ejercicio 4:



miden 8 cm y 6 cm



1𝑐𝑚


razón de 2𝑐𝑚



área?

𝑋 = 8 𝑐𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡= (−1)

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑌 = 6 𝑐𝑚

𝑑𝑦

𝑥𝑡 = 2

𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡=? ¿

𝐴 =𝑥. 𝑦

2

entendido, puso a

Alexandra a dictarle:

explicó que el ½ era la

constante, entonces

quedaba y eso por la


que es un producto,

pero ese 𝑑𝑥

𝑑𝑡 y ese

𝑑𝑦

𝑑𝑡

quedaron muy

“oscuros” aún,

continúa.

Borró el tablero, peo

alcance a tomar la foto

de todo el ejercicio.

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔) + 8 (

2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 (𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

Reemplazando

𝑑𝐴

𝑑𝑡 =

1

2 [6 (

1 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

+ 8 (2 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)]

𝑑𝑎

𝑑𝑡=

1

2[6𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔+

16 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔]

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

1

2(

22 𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔)

𝑑𝐴

𝑑𝑡=

11𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔

5. Ejercicio 5:

Una cometa se eleva, cuando se

encuentra a 16 metros de altura un

viento horizontal sopla a razón de

12𝑚


soltando la cuerda de la cometa

cuando se ha utilizado 25 m?

Ejercicio 5:





𝑠𝑒𝑔. ¿Con



𝑌 = 16 𝑚 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m


2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

cometa cuando se ha

utilizado 25 m?

𝑌 = 16 𝑚 𝑑𝑦

𝑑𝑡=¿ ?

𝑋 = ¿ ?

𝑑𝑥

𝑑𝑡=? ¿

𝐻 = 25 𝑚

𝑑ℎ

𝑑𝑡= ¿ ?


X = 19,2 m


tiempo

2ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 2𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=



2ℎ

B. Intervenciones de Carlos Eduardo Vasco en el Segundo Congreso

CIVEOS en diálogo con Juan Díaz Godino

“Aquí volvería a cuestionar la división entre estos seis tipos de objetos primarios: lenguajes,

problemas, conceptos/definición, proposiciones y argumentos, procedimientos. No hay

manera de estipular restricciones puramente verbales para lograr un sublenguaje técnico

que pueda contradecir las inclusiones categoriales indicadas por los términos (que faltan,

no identificables con los conceptos), los predicados (que faltan), los operadores lógicos (que

faltan), las proposiciones (como fórmulas bien formadas como sucesiones simbólicas a

partir de términos, predicados y operadores lógicos), las definiciones (como un tipo de

proposiciones bimembres, tampoco identificables con los conceptos) y los argumentos (como

sucesiones de proposiciones) dentro de la categoría de lenguaje o lenguajes, a menos que se

entienda “lenguajes” como “lenguas” en el sentido de sistemas lingüísticos saussureanos.

Pero en este caso, también en todas esas categorías el investigador se encontraría con

lenguajes.”

“En cualquier sistema teórico que pretenda agregar restricciones lingüísticas a las

categorías primarias se pretende operacionalizarlas de manera que otro investigadores

puedan clasificar exitosa y válidamente (en forma triangulable por otros expertos en los

procedimientos investigativos del paradigma) los fenómenos observados en esas categorías,

que deberían pretender ser disyuntas, exhaustivas y no vacías. Aquí no veo posible cumplir

con la disyunción, y sin los términos y los operadores ni siquiera se puede pretender la

exhaustividad de las subcategorías de la de lenguaje(s).”

En los juegos de lenguaje de los investigadores no se puede pretender tener una

categoría Lenguajes que sea útil para los análisis sin subdividirla en forma operacional,

pública y contrastable a través de los análisis que hagan otros investigadores, de tal manera

que se distingan los lenguajes análogos, gestuales, tonales, icónicos e indexicales de los

lenguajes articulados que requieran una interpretación de segundo orden en modelos

mentales privados solo accesibles a la experiencia personal del sujeto individual que, como

diría Leibnitz en la Monadología, vive encerrado en su cárcel craneana, apenas con unas

estrechas ventanitas hacia el pasado.

“En cuanto a aceptar la división inicial de los fenómenos fundamentales observables en una

investigación en prácticas, procesos, objetos y conceptos, para mí “procesos” es la

categoría más general de las tres: a ciertos procesos observables y replicables los

llamamos prácticas, que incluirían los discursos y actos de habla que los acompañan,

motivan o explican (que son las praxeo-logías de Chevallard, que también son procesos); a

otros procesos técnicos los llamamos procedimientos (las técnicas que Chevallard

acompañaría con las tecno-logías), y a ciertos procesos mentales los

llamaríamos conceptos en el sentido de procesos de conceptualización y razonamiento sobre

esas conceptualizaciones, que ciertamente son procesos mentales, que aunque no sean

directamente observables, sí se pueden inferir a través del examen de los productos, que

serían objetos”.

“Los conceptos serían solo un tipo de los distintos objetos mentales con los que trabaja el

pensamiento, el intelecto o la razón, pues en filosofía se distinguen al menos tres: los

conceptos, los juicios y los razonamientos. Los tres son tipos privados o mentales no

ostensibles que corresponden a tres tipos públicos y ostensibles de la categoría Lenguajes:

los predicados, las proposiciones y los argumentos”. …Si se separan como tipo del EOS

los objetos que emergen de las prácticas, habría que agregar la categoría de los sujetos de

las prácticas, y habría que considerar los procesos de objetivación y los procesos de

subjetivación, como los distingue Luis Radford. Quedarían pues como las cuatro grandes

categorías fundamentales procesos (ostensibles o públicos y no ostensibles, privados o

mentales), prácticas (discursivas y no discursivas, que también pueden ser ostensibles o

públicas, como las prácticas de enseñanza, pero también podrían ser no ostensibles,

privadas o mentales, como las prácticas de pensamiento, reflexión, meditación u otras),

sujetos y objetos (ostensibles o públicos y no ostensibles, privados o mentales)”.

“Las definiciones verbales o “de diccionario” (“léxicas”) serían un subtipo de las

proposiciones, y los argumentos serían sistemas de proposiciones; pero faltarían otros

sistemas de proposiciones que no son argumentos pero sí son expansiones discursivas, como

las narraciones, las explicaciones o las teorías formales axiomatizadas, en donde figuren

solo las definiciones, los axiomas y los teoremas pero no las demostraciones.

Además, con la lingüística de Chomsky, la Teoría General de Procesos y Sistemas y la Teoría

de Modelos en Lógica, no basta con señalar dentro de la categoría Lenguaje las

proposiciones y las expansiones discursivas como los argumentos u otras, pues habría que

distinguir en cada proposición sus componentes, no solo los predicados o sintagmas verbales

o sintagmas predicales, sino también los sintagmas nominales y los sintagmas

operacionales.

En la Teoría General de Procesos y Sistemas los sintagmas nominales corresponden a los

elementos o componentes del sustrato de un sistema; los sintagmas predicales corresponden

a las relaciones de la estructura del mismo sistema, y los sintagmas operacionales

corresponden a las acciones, transformaciones u operaciones de la dinámica del mismo

sistema. No pueden omitirse ninguno de los tres”.

Y claro que ese refinamiento se hizo necesario cuando, por ejemplo, quisimos analizar lo

que dice la profesora cuando escribe un límite como “lim [x --> 0] (1/x)”, y vimos que no

aportó mucho escribir en la matriz categorial que eso es lenguaje, pues no pudimos

clasificar ese sistema de semiótico en un subtipo de lenguaje, como proposición, pues no lo

es, ni siquiera es una fórmula bien formada. Tampoco es un argumento, ni un predicado ni

una propiedad. Parece que en algunas exposiciones del EOS se propuso que las propiedades

son ciertos tipos de proposiciones, pero una cosa es la propiedad conmutativa de la

multiplicación y otra cosa es una proposición que la enuncie, como “xy = yx”. Al respecto,

Vasco propone:

“En el EOS, este sistema semiótico ya producido o representación semiótica “lim [x --> 0]

(1/x)” no se puede catalogar en un subtipo de Lenguajes que tenga poder analítico y permita

analizar la práctica de enseñar la unidad de límites al comienzo del Cálculo I. Parece

necesaria la categoría de término, con la definición recursiva usual; pero no esta sería

suficiente sin la categoría operador, para reconocer el papel que juega aquí el símbolo ‘lim’

para representar el operador lineal sobre un espacio funcional, cuyos invariantes son las

funciones continuas.

Si la profesora quiere continuar la escritura en el tablero, tiene que usar un relator binario

o predicado diádico simbolizado por ‘=’. Pero apenas escriba el relator binario ‘=’, le va a

quedar difícil seguir, porque según lo dice ella misma en discursos previos, ‘oo’ (el ocho

dormido) no es un objeto matemático, y sin embargo, sí escribe un sistema semiótico “con

sentido completo” o “proposición” en la que aparece este término ‘oo’:

“lim [x -->0] (1/x) = oo”.

No nos ganamos nada con clasificar esta representación semiótica como Lenguaje o

como Proposición, pues todo el análisis de esta proposición para su descripción categorial

y para su idoneidad didáctica depende de que se especifiquen los usos y significados de los

términos básicos ‘x’, ‘0’, ‘1’, ‘oo’; de que se aclare el uso y el significado de la flecha ‘-->’;

del operador de inversión ‘1/(_)’ y de su valor en los casos del 0 y del oo; de las convenciones

epistémicas respecto a la lectura del segmento ‘x-->0’, como “equis tiende a cero” o “equis

se acerca a cero”, que son conversiones de un registro semiótico a otro. Aún con esas

herramientas analíticas, todavía no hemos dicho gran cosa si no analizamos por qué y

cuándo y en qué sentido se liga el término de la izquierda ‘lim [x -->0] (1/x)’ con el de la

derecha ‘oo’ por medio del relator binario ‘=’.”, Por todo lo anterior al intentar avanzar

en el análisis, no tenemos más remedio que experimentar la necesidad de refinar las

categorías del EOS, en particular, la categoría Lenguajes.

C. PARCIALES - TALLERES

Notas Obtenidas – Parcial sobre Limites

0.0

0.2

0.8

1.2

0.2

0.0

1.0

0.0

1.8

0.2

0.6

0.7

0.0

3.1

2.0

1.5

2.5

2.0

0.0

0.5

3.8

0.3

Notas Obtenidas – Parcial sobre Derivadas

2.0

2.0

1.0

1.0

3.2

1.2

1.0

3.0

1.0

4.0

1.7

1.2

3.4

3.0

D. ENTREVISTAS

ENTREVISTA A ESTUDIANTES PARA IDENTIFICAR Y DESCRIBIR LAS PEUC

Para documentar cómo es la práctica.

1. Estudia en grupo, individualmente, en la universidad, en la casa, en la biblioteca, en

la cafetería, en salones, en dónde?

2. Horario de estudio y contexto o ambiente.

3. Acerca de las tareas y ejercicios para resolverlos: busca en internet, se los pregunta

a alguien? Trata de hacerlos y entrega lo que puede, pregunta a otros profesores,

pregunta a su profesor, los copia? Qué hace?

4. Trabaja? En qué horario?

5. Dónde y con quién vive?

6. Tiene novio (a) hijos?

7. Colegio de donde salió y qué ha hecho desde que salió del colegio?

8. Qué se le dificulta en general del cálculo

9. Cuántas veces ha visto cálculo I?

10. Qué se le dificulta en particular del cálculo

11. Acerca del rigor en matemáticas, las notaciones, los simbolismos

12. Entiende las expresiones: Dados…. Sea,… Para todo, existe,…

13. Cuando dice que un profesor es bueno qué significa?

14. Cuando dice que un profesor es malo, qué significa?

15. Cree que la función recíproca y=1/x es continua o discontinua?

16. Qué sabe usted y que cree que respondan los estudiantes

17. La sucesión de Zenón tiende a 0?

18. La serie de Zenón tiende a 1?

19. Formas de hacer tareas

20. Formas de discutir con otros

21. Formas de estudiar individualmente

22. Formas de estudiar en grupo

23. Formas de participar

24. ¿Qué libros de cálculo tiene o usa?

25. Hace los ejercicios de los libros o de guías dejadas por el profesor?

26. Qué piensa de las evaluaciones (conjuntas o no) de matemáticas?

27. Cómo le va en la evaluaciones de matemáticas?

28. Cómo le gustaría que le explicaran en cálculo?

29. Cómo cree que se le facilitaría entender mejor aquellos temas que se le dificultan?

30. Como entiende x al cuadrado º x al cubo? Da x a la 5 o x a la 6

31. La función compuesta es un tema completamente nuevo en el cálculo o se ve el

álgebra?

ENTREVISTA A PROFESORES PARA IDENTIFICAR Y DESCRIBIR LAS PEUC

Estimado profesor (a): A continuación encontrará algunas preguntas que pretenden indagar

acerca de las prácticas universitarias relacionadas con la iniciación del cálculo. Por favor

sea muy generoso (a) al responderlas. Sus respuestas son fundamentales pues constituyen la

visión de los expertos que tienen a su cargo esta práctica escolar.

1. ¿Cuál es su formación académica? (pregrado, especializaciones, maestrías, otros)

2. Durante esa formación o después de ella, ¿ha tomado algunos cursos, cursillos,

talleres sobre pedagogía universitaria, o sobre didáctica en general, o sobre didáctica

de las matemáticas?

3. ¿Qué cursos está dirigiendo en la actualidad; en qué facultad o facultades; en qué

universidad o universidades?

4. ¿Cuántos años lleva en la docencia universitaria?

5. ¿Cuál es su dedicación a la Universidad Distrital?

6. ¿Cuántas veces aproximadamente ha dirigido el curso de cálculo diferencial y en

cuántas universidades?

7. En cuanto a los cursos de cálculo diferencial e integral, ¿cuáles son los textos guía y

de consulta que utiliza?

8. ¿En general, observa usted que los estudiantes “consiguen” los textos recomendados

por usted: ya sea comprados, fotocopiados, bajados por internet, o prestados? ¿O no

usan libro?

9. ¿Cuál es la mayor dificultad que usted experimenta en la enseñanza del cálculo

diferencial con los “primíparos”? ¿Cuáles temas le parecen más difíciles de entender

para ellos?

10. ¿Cuáles son las dificultades mayores que usted percibe en los estudiantes

“primíparos” desde el punto de vista de los hábitos de estudio, el aprendizaje, la

dedicación?

11. ¿Cómo caracterizaría usted el lenguaje que utiliza usted en sus clases (como un

lenguaje riguroso, formal, informal, cotidiano, ligero u otro descriptor)? ¿Cómo

describiría su propio estilo, o tono, o modo verbal?

12. ¿Podría compartirnos fotocopias o fragmentos de algunos de sus talleres, propuestas

de evaluaciones y pruebas conjuntas?

13. ¿Cómo describiría la metodología general que usted sigue para los cursos de

matemáticas, y la metodología específica que prefiere al desarrollar los cursos de

cálculo en la U.D.?

14. En cuanto al tratamiento de algunos temas y conceptos del cálculo, ¿cuáles prefiere,

por qué y qué diferencias percibe entre las siguientes notaciones, expresiones o

simbologías: Lim x→xo; Lim h→0; Lim ∆x →0? ¿Cuál cree que prefieren los

estudiantes y cómo la interpretan?

15. Si xЄR, ¿qué significado o sentido le daría usted a la expresión x’? ¿Qué podría

significar en ese caso dx, dx/dt, dx/dx, dx/dy, dy/dx, ¨x? ¿Qué cree que entenderían

los estudiantes en cada caso?

16. ¿Cómo traducen o convierten los estudiantes esta frase [se le muestra una tarjeta con

la frase en castellano, sin símbolos] del registro verbal usual al registro simbólico del

cálculo? ¿Pueden leer en voz alta en el registro verbal usual esta expresión [se le

muestra una tarjeta con la expresión en símbolos] escrita en el registro algebraico-

simbólico del cálculo? ¿Cómo cree usted que la leerían?

17. ¿Qué entiende un estudiante al llegar a Cálculo I por Іx-xoІ; por Іx-xoІ≥0; por Іx-

xoІ>0; por Іx-xoІ<δ; por Іx-xoІ<Є? ¿Le parece incorrecta la última expresión?

18. ¿Cuál es el predicado en la expresión: 0<Іx-xoІ<δ? ¿Estaría mal escribir más bien

“0≤Іx-xoІ≤δ”?

19. ¿Qué le respondería usted a un estudiante que pregunte si en 0<Іx-xoІ<δ la relación

“<” es asociativa?

20. ¿Cómo es su manejo de Є; δ; ∆x; ∆x→0; h; h→0; x-xo; Іx-xoІ; Іx-xoІ→0? ¿Estaría

mal si un estudiante escribe “x-xo→0”? ¿Є→0? ¿δ →0?

21. ¿Cree usted que algunas de esas escrituras le pueden poner un obstáculo a los

estudiantes, o una trampa o zancadilla para que no entiendan bien o para que se

equivoquen?

22. ¿Cómo resuelve el problema o cómo trata la situación cuando la función no está

definida o no existe en xo (Lim x→xo)?

23. ¿Qué puede decir acerca de la facilidad o dificultad en la comprensión o el manejo

por parte de los estudiantes de entidades como función, infinito, límite, continuidad,

función compuesta, función continua, derivada, regla de la cadena, diferencial, razón,

razón de cambio, tasa, tasa instantánea, Є, δ, valor absoluto (І І), límite por la

izquierda, por la derecha?

24. ¿Cómo percibe las formas de hacer tareas, de estudiar individualmente, de estudiar

en grupo, de discutir con otros fuera de clase, de discutir en clase o de otras formas

de participar en clase que tienen los estudiantes?

25. ¿Qué es lo que usted pretende que el estudiante haga consistentemente (bien) al

finalizar el curso?

26. ¿Cómo describiría su esquema prototipo de clase?

27. ¿Qué hace usted con las tareas y ejercicios que propone a los estudiantes?

28. ¿Cómo considera o pondera las evaluaciones que realiza?

29. ¿La función compuesta es un tema completamente nuevo en el cálculo o se ve

también en álgebra?

30. Esa bolita (º) que representa la función compuesta, ¿qué tipo de operador sería? ¿Qué

cree usted que contestarían los estudiantes de primer semestre?

31. ¿Cómo entenderían sus estudiantes la expresión usual de la composición de

funciones: “ x al cuadrado compuesta con x al cubo”? Da x a la 5 o x a la 6?

32. La enunciación de la Regla de la cadena “df/dx .dx/dt” ¿qué relación tiene con la

notación fog y gof?

33. ¿Cómo define, explica, representa, interpreta la derivada de una función en palabras?

¿Qué papel juega la palabra “tangente” en esas explicaciones?

PRUEBA EXPLORATORIA

El siguiente cuestionario constituye una prueba exploratoria, con la cual se pretende

establecer asuntos conceptuales que servirán de insumo para el diseño de una propuesta de

enseñanza, en el marco del desarrollo del curso de Línea de Aplicación III. La información

que se obtenga solo se usará para tal fin y será de conocimiento por parte de algunos

estudiantes de dicho curso y del profesor de Cálculo Diferencial, si él lo requiere. Es

importante que responda atentamente cada uno de los problemas y ejercicios, esto permitirá

mejorar la eficiencia de futuras asesorías que usted requiera.

1. Un carrito de juguete es colocado a andar en una pista recta a una cierta distancia del

inicio y marcha siempre a la misma velocidad. La pista tiene 4 metros de largo. La

siguiente tabla indica la distancia (en cm) a la que se encuentra del inicio de la pista,

en distintos momentos luego de “lanzado”:

TIEMPO DE

MARCHA

(EN SEGUNDOS)

DISTANCIA AL

INICIO

DE LA PISTA (cm)

10 65

15 90

25 140

1.1 ¿A qué distancia del inicio de la pista se encontraba el carrito de juguete a los

20 segundos de haber sido puesto a andar? ¿Y a los 50 segundos? Explique

detalladamente el procedimiento o razonamiento empleado.

1.2 ¿En cuánto tiempo recorrió 60 cm? ¿Y 80 cm? Explique detalladamente el

procedimiento o razonamiento empleado.

1.3 ¿A qué distancia del punto de salida llegó luego de marchar 34 segundos?

Explique detalladamente el procedimiento o razonamiento empleado.

2. Sea una función representada por . Analice, resuelva y argumente los

siguientes puntos. (por favor no omita ningún argumento o razonamiento)

2.1 Determine si la función tiene función inversa.

2.2 En caso en que la función no tenga inversa ¿existe alguna manera de que la

función representada por tenga inversa?, y en caso en que la función si

tenga inversa, grafique la inversa.

3. Dado el triángulo ABC, cuyos catetos AB y AC miden ambos 11 cm, marcamos un punto

P cualquiera sobre la hipotenusa y obtenemos el rectángulo PDAE. Queremos estudiar

cómo varia el área del rectángulo cuando variamos la posición del punto P.

Halle la relación que existe entre la posición del punto P y el área del rectángulo construido

PDAE. (Tenga en cuenta que el punto P está situado sobre la hipotenusa y no sobre los

catetos), y determine cuál es la posición del punto P para que el rectángulo alcance su área

máxima.

4. Se presenta a continuación varias expresiones algebraicas. Decir para cada una de ellas,

si se trata o no, de una función y grafíquela. Explicar detalladamente su respuesta.

4.1

4.2

4.3

4.4

LIMITES

Situación 1. (Euler)Dadas las funciones representadas por:

f ( x )=x

2+ x− 6

x− 2 Y g ( x )=

x2+ 5x+ 6

x+ 2 ,

Responder las siguientes preguntas:

Calcular el límite Limx→2

f ( x ) . Muestre el proceso utilizado para el cálculo del

límite.

¿Existe f (2 ) ?

¿Qué relación tiene el valor del límite de f en x=2 con f (2)?

Calcular el límite Limx→2

g ( x ). Muestre el proceso utilizado para el cálculo del

límite.

¿Qué relación tiene el valor del límite de g en x=2 con g (2)?

¿Qué conclusión general se puede establecer a partir de las respuestas de los

literales c. y e?

Situación 2(Geométrico):

Dada la función representada por:

2 0,

22

23x2

=x

x,x

+x=f(x)

Responda:

♦ ¿A qué valor o valores se aproxima f, cuando x tiende a dos?, ¿qué concepto

matemático se relaciona con la anterior pregunta?, escriba la situación con

simbología matemática.

♦ ¿Existe f (2 ) ?

♦ ¿Si existe f (2), qué relación existe entre este valor y el valor al cual se aproxima f

cuando x tiende a 2?

Situación 3 (Cinemática de Newton). Dada la función representada por

f ( x )=x

2− 3x+ 2

x− 1, listar valores de x bien cercanos al número real uno, evaluar f en estos

valores y responder las siguientes preguntas:

¿Cuáles valores de x escogió?

¿Existe f (1)?

¿Se obtiene un valor real?

¿A qué valor o valores se aproxima la función f cuando x tiende a 1?

¿Se puede concluir que la existencia o no de f en x=1 se relaciona con la existencia

y valor al cual se aproxima f cuando x tiende a 1?

Situación 4: (geométrico) A continuación se muestra la gráfica de una función f. Usar esta

gráfica de f para responder:

¿Cuál es el valor de f (1)?

¿A qué valor se acerca f cuando x tiende a uno?

¿Qué relación hay entre f (1) y el valor al cual se acerca f?

Situación 5 (Cinemática de Newton): Dada la función representada por x

x=f(x) , listar

valores de x bien cercanos al número real cero, evaluar f en estos valores y responder las

siguientes preguntas:

¿Cuáles valores de x escogió?

¿Existe f (0)?

¿Se obtiene un valor real?

¿A qué valores o valor se aproxima la función f cuando x se acerca a cero?

¿Qué se puede concluir a partir de la respuesta en el literal d?

¿Qué se puede concluir a partir de las respuestas al literal b. y e?

Situación 6. (Geométrico) observe la gráfica de f (x) y calcule el límite

Situación 7. (Aritmético, algebraico) Calcule el límite:

En los puntos y

E. REFERENCIAS SUGERIDAS

Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. China Lectures.

Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Gravemeijer, K. P. E. (1994). Developing realistic mathematics education. CD-Beta

Press, Utrecht.

Lange, J. de (1995). Assessment: No Change without Problems. In: Lange, J. de

(1996), Using and Applying Mathematics in Education.

Streefland, L. (1991). Fractions in Realistic Mathematics Education. A Paradigm of

Developmental Research. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Streefland (ed.) (1991). Realistic Mathematics Education in Primary School. Utrecht:

CD-b Press / Freudenthal Institute, Utrecht University.

Treffers, A. (1975). De Kiekkas van Wiskobas. Beschouwingen over Uitgangspunten

en Doelstellingen van het Aanvangs- en Vervolgonderwijs in de Wiskunde. Leerplan

publicatie nummer 1. Utrecht, the Netherlands: IOWO.

Treffers, A. (1987). Three dimensions: a model of goal and theory description in

mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers.

Treffers, A. (1991). Realistic mathematics education in The Netherlands 1980-1990.

In L. Streefland (ed.), Realistic Mathematics Education in Primary School. Utrecht:

CD-b Press / Freudenthal Institute, Utrecht University.

Van den Heuvel-Panhuizen, M. (1996). Assessment and realistic mathematics

education. Utrecht: CD-b Press / Freudenthal Institute, Utrecht University. New

Theory: Realistic Mathematics Education.

tabla de contenido de anexos - francisco josé de caldas...

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