tabajo de matematicas[2]

8/14/2019 tabajo de matematicas[2]

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ECUEACIONES DIFERENCIALES

Un problema de valor inicial para una ecuacin diferencial lineal de orden n es

:

Sujeta a:

Donde son constantes arbitrarias

Buscamos una solucin en el intervalo I que contiene el punto (x) En el caso deuna ecuacin lineal de segundo orden una solucin de:

la solucin seria

Es una funcin de finida en I cuyo grafico es pasar por ( y tal que la

pendiente de la curva en el punto es un numero

DEPENDENCIA LIENEAL E INDEPENDENCIA LINEAL

Se dice que un conjunto de funciones es linealmente

dependiente en un intervalo I si existen constantes no todas

nulas tales que se cumple


2/37

Para toda equis en el intervalo

Un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si lasconstantes para las cuales son

Para toda (x) en el intervalo son

TEOREMA

Supongamos

Tienes al menos n-1 derivadas

0

Si se cumple lo anterior entonces las funciones son linealmente independientes enel intervalo


3/37

El determinante que aparece en este se designa

Y recibe el nombre de wrosnskiano de las funciones

Si tienen por lo menos n-1 derivadas son linealmente

dependientes en el intervalo I entonces el wronskiano de las funciones es ceropara toda x en el intervalo ejemplo:

Determina si las funciones son lineales independientes :

, .

=

0 en las funciones lineales

Determina si las funciones

solucin:


4/37

0

Son

Verifica si son LI o ID


5/37

1.-

0

Resolver

son

linealmente independientes

Una ecuacin diferencial lineal de la forma


6/37

Recibe el nombre de ecuacin diferencial homognea

TeoremaSean soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea de

orden n en un intervalo I entonces el conjunto de soluciones es linealmente

independiente si solo si para toda x en el intervalo

Se llama conjunto fundamental de soluciones en I a cualquier conjunto

de n soluciones linealmente independientes de la ecuacin diferencial linealhomognea de orden n en I

Sean un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin lineal

homognea, entonces se define como solucin general a la siguiente ecuacin

La ecuacin diferencial de segundo orden tiene dos soluciones

verifica que tipo de solucin tiene y forma su solucin general

Solucin general


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Actividad:

Con la informacin que se te dio del tema realizar una metodologa y realizar un

ejerciciol.


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Ecuaciones Lineales Homogneas con coeficientes constantes

Si consideramos el caso especial de una ecuacin lineal homognea de segundoorden.

a +b +cy=o

Donde a, b y c son coeficientes.

Podemos ensayar la solucin y= , su primera y segunda sern:

=

=

Quedando la ecuacin diferencial

a +b +c = 0

Como no es cero para ningn valor de x en el intervalo - entonces

se selecciona un valor de m que satisfaga a la ecuacin a la ecuacin.

a +b +c 0

Que recibe el nombre de ecuacin auxiliar de la ecuacin diferencial y queproviene de la expresin

a +b +c = 0

(a +b +c)=0

CASO 1

Cuando las races son reales y diferenciales


9/37

a +b +c 0

Las soluciones son:

= =

Satisfacen la ecuacin diferencial y por el principio de superposicin tenemos que

y= +

CASO 2

Cuando las races son reales e iguales = en este caso la solucin general

es:

y= +

Donde =

CASO 3

Si las races son complejas conjugadas.

Con complejas conjugadas

= =

Donde son iguales

Como formalmente no hay diferencia con el caso 1entonces tenemos.

y= + .

Para no trabajar con cantidades imaginarias en el exponente nos auxiliamos con laformula de Euler para llegar a la formula general de este caso.

y=

Ejemplo

=0


10/37

=0

=0

=0 =0

=-2 =-1

Caso 1

y= +

y= +

=0

=0

=0

=0

=0 =0

= =1

Caso 1

y= +

y= +

=0

=0

=0


11/37

Actividad:

Resolver los siguientes ejercicios


12/37

Ecuaciones lineales no Homogneas

Una ecuacin (lineal) diferencial de la forma *+An-1 + A1 D-1 A*y =g(x)

donde A sonconstantes Y=Yc +Yp donde Yc se denomina funcincomplementaria y se puede hallar la ecuacin diferencial asociada mediante ella

La ecuacin diferencial particular (Yp) se puede obtener siguiendo diversosmtodos uno de los cuales es de coeficientes indeterminados

Segundo miembro Yp

20 A

Polinomio de 3er orden

Ejemplo


13/37

(m+2) (m+1)

m=-2 m=-1

caso I

Yc=

Yp= Ax + B Yp= A Yp =0

0+3A+2(Ax+B)=8x +4

3A+2Ax+2B=8x+4 2Ax=8x

A=4

3A+2B=4 3(4)+2B=4 2B= 4 -12 B=-8/2B=4

Yp=Ax+B

Yp=4x-4

Y=

(m+2) (m+1) m=-2 m=-1

Caso I


14/37

Yp=

Yp=

Yp=

Yp=

Termino cuadrado Termino lineal

Termino lineal

2(2)+3(-6)+2 =0

Yp=

YP=

Y=


15/37

( =12

Caso I

Yc=

Yp=A Yp=0 Yp=0

0-4A=12

A=3

Y=

( ) (

Caso I

Yc=

Yp= Yp= Yp=


16/37

A=2

Sustituimos en Yp

Yp=2

Y=

(

( 0

m=0

Del caso I

Yc=

Yc=

Yp=


17/37

Caso I

-9

Sustituir en Yp


18/37

Actividad:

Escribir como tu realizaras el procedimiento y da un ejemplo.

Si consideramos el caso especial de una ecuacin lineal homognea de segundoorden.

a +b +cy=o

Donde a, b y c son coeficientes.

Podemos ensayar la solucin y= , su primera y segunda sern:

=

=


19/37

Quedando la ecuacin diferencial

a +b +c = 0

Como no es cero para ningn valor de x en el intervalo - entonces

se selecciona un valor de m que satisfaga a la ecuacin a la ecuacin.

a +b +c 0

Que recibe el nombre de ecuacin auxiliar de la ecuacin diferencial y queproviene de la expresin

a +b +c = 0

(a +b +c)=0

CASO 1

Cuando las races son reales y diferenciales

a +b +c 0

Las soluciones son:

= =

Satisfacen la ecuacin diferencial y por el principio de superposicin tenemos que

y= +

CASO 2

Cuando las races son reales e iguales = en este caso la solucin general

es:

y= +

Donde =

CASO 3

Si las races son complejas conjugadas.

Con complejas conjugadas


20/37

= =

Donde son iguales

Como formalmente no hay diferencia con el caso 1entonces tenemos.

y= + .

Para no trabajar con cantidades imaginarias en el exponente nos auxiliamos con laformula de Euler para llegar a la formula general de este caso.

y=

Resolver

=0

=0

=0

=0 =0

=-2 =-1

Caso 1

y= +

y= +

=0

=0

=0

=0

=0 =0

= =1


21/37

Caso 1

y= +

y= +

=0

=0

=0


22/37

Caso 2


23/37

Caso 3

Caso 1


24/37

Actividad:

Sacar tu propia secuela y tu metodologa con un ejemplo.


25/37

TABLA DE ANULADORES CONSTANTES

Xn Dn+1

ex D-a

Xn enx (D-a)n+1

senbxn,cosbx D2+b2

Xn senbx,c Xn osbx (D2+b2)n+1

ex senbx,excosbx (D-a)2 + b2

Xn

ex

senbxXn ex cosbx

[(D-a)2

+ b2

]n+1

EJEMPLO

YII + 3YI + 2Y=4X2

D2+3D +2)Y=0

Se pasa a anular y luego se lleva ala forma homogenea

(m2+3m+2)y=0

(m+2)(m+1)=0

m+2=0 m+1=0

m1=-2 m2=-1

m1 = m2

caso 1


26/37

Yc=C1em1x+C2 em2x

Yc=C1e-2x+C2 e-x

Se pone la ec. Homogenea con D3

D3

m3=0

m4=0

m5=0

m3= m4= m5

caso II

Yp=C3em3x+C4 eXm4x + C5eXm5x

Yp= C3e0 +C4XeO +C5X2e0

Yp= C3 + C4X + C5X2

Yp= C5X2+ C4X + C3

Se deriva yp

YIp=2 C5X + C4

YIIp=2 C5

sustituir en la ec . original

2 C5+3(2 C5X + C4)+2(C5X2+ C4X + C3)=4X2

2 C5+6 C5X +3 C4+2C5X2+ 2C4X + 2C3=4X2


27/37

2C5X2 =4X2 6 C5X +2C4X=0 2 C5+3 C4+2C3=0

C5=4X2 6(2)X+2C4X=0 2(2)+3(-6) + 2C3 =0

2X2 12X+2C4X=0 4-18+ 2C3=0

2C4X=-12X -14+2C3=0

C5=2 C4=-12X 2C3=14

2X C3=14

C4=-6 2

C3=7

Yp= 2X2-6X +7

Yc= C1e-2x+C2 e-x+2X2-6X +7

xeyyy

322'3" =+

D-a a=3

D-3

xeyDDD 32 2)23(3 =+

0232 =+ mm

(m-1) (m-2)=0

m-1=0 m-2=0

11 =m 22 =m

Caso 1 21mm

xmxm

c eCeCy21

21 +=

xx

c eCeCy2

21 +=


28/37

D-3

m-3=0

33 =m

Caso 1

x

p eCy3

1=

x

p eCy3

13' =

x

p eCy3

19'' =

Sustituir en la ecuacin original

xxxx

eeCeCeC

33

1

3

1

3

1 2)(2)3(39 =+xxxx

eeCeCeC33

1

3

1

3

1 2299 =+

xx eeC 331 22 =

x

x

e

eC

3

3

12

2=

11 =C

xp ey 31=

pc yyy +=

xxx eeCeCy 3221 1++=

28'''' xyy =+

1+nD n=2

3D

2233 8)( xyDDD =+

223 8)1( xyDDD =+

0)1(5 =+mm


29/37

05 =m

0)1( =+m

02 =m 11 =m

03 =m

04 =m

05 =m

06 =m

11 =m Caso 1

xm

c eCy1

1=

xc eCy = 1

65432 mmmmm ====

Caso 2

xmxmxmxmxm

p exCexCexCxeCeCy65432 4

6

3

5

2

432 ++++=

xxxxx

peXCeXCeXCXeCeCy 046

03

5

02

4

0

3

0

2 ++++=

4

6

3

5

2

432

XCXCXCXCCyp

++++=

3

6

2

543 432' XCXCXCCy p +++=

2

654 1262'' XCXCCy p ++=

XCCy p 65 246''' +=

Sustituir en la ecuacin original

22

65465 81262246 xXCXCCXCC =++++

22

6 812 xxC =

2

2

612

8

x

xC =

3

26 =C


30/37

0624 56 =+ xCxC

06)3

2(24 5 =+ xCx

06)3

48( 5 =+ xCx

xxC 166 5 =

x

xC

6

165

=

3

85

=C

026 45 =+ CC

023

484 =+

C

2

164 =C

84 =C

432

323

2

3

88 XXXXCCyp +++=

432

3213

2

3

88 XXXXCCeCy x ++++=

EJERCICIO

CASO ESPECIAL

YII-3Y+2Y=2ex

(D-1)(D2-3D+2)=0

(m-1)( m2-3m+2)=0


31/37

(m-1)(m+1)(m-2)=0

m-1=0 m-1=0 m-2=0

m1=1 m-1=1 m2=2

CASO II caso I

Yp=C1ex+C2 eXx + C3eX2x

YIp= C1ex+C2(XeXex )+2 C3eX2x

YIp= C1ex+ C2XeX+c2ex +2 C3e2x

YIIp= C1ex+ C2(XeX+ex)+ c2ex+4C3e2x

YIIp= C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x

C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x-3 (C1ex+ C2XeX+c2ex +2 C3e2x)+2(C1ex+C2 eXx +C3eX2x)=2ex

C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x-3C1ex+3 C2XeX + 3c2ex +6 C3e2x+2C1ex+2C2eXx + 2C3eX2x=2ex

C1ex+ C2eX+ C2ex-3C1ex+3 C2eX + 3c2ex-2C2 ex=2ex

C2ex=2ex

C2=2ex =-2

ex

C2XeX-3C2XeX+2C2 eXx =0

3C2XeX-3C2XeX=0

Y= C1ex-2C2 Xex + C3eX2x

VARIACION DEL PARAMETRO


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)()( xfyxpdx

dy=+ donde:

+=

dxxppdxdxxp

eCxfeey

)(

1

)(

)(

Lo anterior tiene la forma pc yyy += donde

=dxxp

c eCy)(

1es una solucin de 0)( =+ yxp

dx

dy

dxxfeeydxxpdxxp

p )()()(

=

Veremos que para cada ecuacin de segundo orden el mtodo de variacin depara metros tiene la ventaja de que siempre conducir a la obtencin de una

solucin particular py , suponiendo que la ecuacin homognea asociada puede

resolverse. Asi tenemos que:

w

xfy

yy

yy

yxf

y

U)(

''

')(

0

' 2

21

21

2

2

1

==

w

xfy

yy

yy

xfy

y

U)(

''

)('

0

' 1

21

21

1

1

2 ==

SECUELA DE CLCULO

2211)1 yCyCYC +=

=

21

21

'')2

yy

yyw


33/37

3) llevar la ecuacin a la forma: )(''' xfQyPyy =++

4) determinar f(x)

5) encontrar 1'U y 2'U

2211)6 yUyUYp +=

YpYcY +=)7

EJEMPLO

xexyyy

2)1(4'4'' +=+

0)44(2 =+ mm

02 =m 02 =m

21 =m 22 =m

Caso 2 21 mm =

xmxm

c xeCeCy21

21 +=

xx

c xeCeCy2

2

2

1 +=

xey 22 =

=

21

21

'' yy

yyw

+=

xxx

xx

exee

xeew

222

22

22

xxxxx xeeexeew 22222 2)2( +=

xxx xeexew 444 22 +=

x

ew4

=

Ubicamos f(x)

xexxf 2)1()( +=

xx exexf 22)( +=

xey 21 =


34/37

w

xfyU

)(' 21

=

x

xxx

e

exexeU

4

222

1

)('

+=

x

xx

e

xeexU

4

442

1'

=

x

x

e

xxeU

4

24

1

)('

=

xxU = 21'

w

xfyU

)(' 12 =

x

xxx

e

exeeU

4

222

2

)('

+=

x

xx

e

exeU

4

44

2

)'

+=

x

x

e

xeU

4

4

2

)1('

+=

1'2 += xU

Integrando

=+= xdxdxxdxxU2

1 )1('

23

23

1

xxU =

+=+= dxxdxdxxU )1('2

21'' yUU


35/37

xx

U +=2

2

2

2211 yUyUy p +=

xxp xexxexxy

2

2

2

23

223

++

=

pc yyy +=

xxxx xexx

exx

xeCeCy 22

223

2

2

2

1223

++

++=

EJERCICIO

4YII+36Y=CSC3X

Se divide entre 4

4YII+36Y=1 (x3X)

4 4 4 4

YII+36Y=1 (x3X)

4

m2+4=0

m2=-4

m= -4

m= -4 -1

m= 9i

m1

=3ixim +=

1

xim +=2

Caso II

0= 3=


36/37

SOLUCION

3=

)2(cos,(1 xsenixceycm

+=

)32(5cos,(0 xsenixceyc x ++=

)3(3cos, xsenixcyc +=

xy 3cos1 = xseny 32 =

21

21

xx

yyw = = xxsen

xsenx

3cos333

33cos

W =cos 3x(3cos3x)-(-3cos3x)(sen3x)

W=3cos23x+3sen

2

W=3

Ubicamos f(x)

F(x)=csc3x

w

xfyU

)(21' =

3

3csc31' xxsenU

=

xxsenU 3csc3

3

11' =

)(12'

xfyU = 33cos3cos

2' xx

U = xxU 3csc3cos3

12' =

U

xdxxsenduU 3csc33

11

'

= = dxxsenxsen 3

13

3

1= x3

1

xdxxduU 3csc3cos3

12'

=

=dx

xsenx

31

3cos3

1

dx

xsen

x

33cos

3

1

cotcos

=sen =

xdx3cot3

1

dxdv

xv

3

3

=

=


37/37

xdx3cot3)31(

3

1= xnsen 39

1

xnsenU 39

12'

=

2211 yuyuyp +=

nsenxxnyp 9

13cos

3

1 +=

xnsenxxxyp 3)3(cos9

13cos

3

1+

=

ypycyp +=

Actividad:

Realizar metodologa

tabajo de matematicas[2]

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