Tesis

Interferometrıa de Desplazamiento de FaseGeneralizado: propuesta de algoritmo y

tecnicas simples para la recuperacion de fases

Para obtener el grado de:Doctor en Ciencias, Optica.

M.C. Alejandro Tellez Quinones

Asesor:Dr. Daniel Malacara Doblado

Leon Guanajuato, Mayo de 2012

A mi esposa Roxana, a mi familia y amigos . . .

El hecho de que un problema tenga n-soluciones no desacredita los meritos de una(n+ 1)-esima solucion.

El AUTOR.

Agradecimientos

Agradezco a mi madre, Ana del Rosario Quinones Ortegon, quien me enseno a ser pacientey a perseverar en el cumplimiento de mis metas. A mi familia, por brindarme los valores quecaracterizan a la persona honesta que busca hacer lo correcto. A mi esposa, Roxana GongoraHernandez, quien me motiva a dar grandes pasos en la vida.

Agradezco a mi asesor de tesis, Dr. Daniel Malacara Doblado, por el apoyo y la disposicionincondicional que permitio el cumplimiento satisfactorio de esta tesis, ası como tambien alDr. Jorge Garcıa Marquez, por el interes y el consejo invaluable que proporciono incontadasveces en el desarrollo de este trabajo.

Agradezco a mis companeros de generacion, por haberme ayudado en la comprension dediversos topicos no solo de Optica, sino de la vida misma, desde otros puntos de vista masalla de los propios. A la cominidad del Centro de Investigaciones en Optica, por habermedado la oportunidad y el placer de estudiar un poco del maravilloso mucho que comprendeel mundo de la Optica y finalmente, agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıapor la beca que me fue otorgada para la realizacion de mis estudios de doctorado.

3

Indice general

Resumen 7

Introduccion 8

1. Un poco sobre interferometrıa y herramientas de optimizacion 10

1.1. Conceptos basicos de la luz: una perturbacion electromagnetica . . . . . . . 10

1.2. Definicion de Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. El problema de mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Algunos metodos iterativos de optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Algoritmos de desplazamiento de fase con pasos constantes 19

2.1. Algoritmos con pasos equiespaciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. El analisis de amplitudes y fases para insensibilidad a desintonıa . . . . . . . 21

2.3. Errores de fase en funcion de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. El analisis de algoritmos insensibles a desintonıa desde el punto de vista dife-rencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5. El analisis del polinomio caracterıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Algoritmos de desplazamiento de fase generalizados 34

3.1. Algoritmo clasico de mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Descripcion teorica del algoritmo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Simulacion de recuperacion de fase mediante el algoritmo propuesto . . . . . 37

3.4. Interpretacion Riemann-Stieltjes del algoritmo propuesto . . . . . . . . . . . 42

3.5. Analisis diferencial del algoritmo generalizado propuesto . . . . . . . . . . . 44

3.5.1. Condicion parcial de insensibilidad al error de desplazamiento de pri-mer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4

3.5.2. Condicion parcial de insensibilidad al error de desplazamiento de se-gundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.3. Errores de fase para un algoritmo generalizado con insensibilidad con-junta a los errores de desplazamiento de primer orden . . . . . . . . . 48

3.6. Analisis de Fourier del algoritmo generalizado propuesto . . . . . . . . . . . 50

3.6.1. Las funciones de frecuencia de muestreo: propiedades basicas de Fourier 50

3.6.2. ADFs generalizados con variacion mınima en sus factores de peso . . 51

3.6.3. La condicion de ortogonalidad: un caso particular . . . . . . . . . . . 55

3.6.4. ADFs insensibles a desintonıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Analisis armonico 60

4.1. Motivacion del analisis armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2. No linealidades del detector de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3. GPSAs para patrones de intensidad con un numero finito de armonicos . . . 64

4.4. Ortogonalidad en todas las frecuencias con pendiente cero . . . . . . . . . . 66

4.5. Insensibilidad a desintonıa e insensibilidad a armonicos en presencia de desin-tonıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6. PSAs insensibles a desintonıa: insensibilidad a desintonıa para armonicos con-secutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Sobremuestreo y ajuste polinomial para reconstruccion de fase sin desen-volvimiento 82

5.1. Incremento de resolucion de las imagenes moduladas . . . . . . . . . . . . . 83

5.2. Estimacion del gradiente de la fase mediante patrones de intensidad con pasosarbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3. Calculo de la fase mediante integracion: dos posibles estimaciones . . . . . . 85

5.4. Seno y coseno de la fase modulados en amplitud con alta resolucion . . . . . 86

5.5. Interpolacion cubica y promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6. Simulaciones de la interpolacion propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7. Sensibilidad al ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.8. Ajuste de modelo polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.9. El modelo polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.10. Simulaciones del ajuste polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5

6. Aplicacion de algunas de las tecnicas propuestas a datos reales. 113

6.1. Estimacion de desplazamientos de fase arbitrarios a partir de los interferogramas113

6.2. Descripcion de la aplicacion a datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7. Conclusiones finales y trabajos a futuro 126

Apendice 131

Publicaciones realizadas 135

Bibliografıa 172

6

Resumen.

Diversos estudios teoricos y experimentales han sido realizados en el campo de lo que seconoce como interferometrıa por desplazamiento de fase. Tıpicamente en este campo se hanestudiado en gran medida a los algoritmos con pasos equiespaciados, es decir aquellos condesplazamientos de fase constantes. El objetivo principal de este estudio corresponde a lageneracion de algoritmos insensibles a diversas fuentes de error, por ejemplo la desintonıa, lapresencia de armonicos, errores de alto orden, etc. Aunque los algoritmos con pasos equies-paciados son los que se suelen usar con regularidad en diversas aplicaciones experimentales,tambien han manifestado mucha importancia practica los algoritmos no equiespaciados ogeneralizados, es decir algoritmos con desplazamientos de fase no constantes. Estos algorit-mos toman lugar debido a la existencia misma de los errores en los desplazamientos. Eneste sentido, si se pueden estimar los desplazamientos de fase no constantes, al momento derealizar una captura de interferogramas que teoricamente debieran ser equiespaciados, ten-dremos una formula para recuperar a la fase considerando estas fuentes de error. Entonces, silogramos introducir la teorıa para analizar algoritmos generalizados tratando de identificarciertas relaciones con los algoritmos equiespaciados, podremos dar pauta al estudio principalde este trabajo.

Nuestro objetivo central fue la contribucion con las tecnicas de generacion de algoritmosde desplazamiento de fase con propiedades de insensibilidad, proponiendo una formula flexi-ble que pueda representar tanto algoritmos equiespaciados como no equiespaciados. En estetrabajo, se desarrollan algunos conceptos teoricos sobre el analisis de algoritmos equiespa-ciados y se introduce una posible alternativa para el analisis de los algoritmos generalizadosbasada en el estudio de amplitudes y fases de sus funciones de frecuencia de muestreo.

En el desarrollo de este trabajo, se obtuvo tambien una posible alternativa para la ge-neracion de algoritmos equiespaciados con propiedades de insensibilidad a desintonıa y unnumero finito de armonicos en presencia de desintonıa mediante un sistema matricial de ecua-ciones lineales. Esto resulto como consecuencia de generalizar un poco mas la ecuacion parael patron de intensidad, asumiendo armonicos dependientes de la posicion pixelar. Ası mis-mo, en esta tesis se estudian algunas tecnicas simples para la recuperacion de fases medianteinterferometrıa por desplazamiento de fase. Estas tecnicas estan basadas en el sobremuestreode las imagenes moduladas en amplitud que representan a l seno y al coseno de la fase deinteres, y tambien el ajuste polinomial de la fase misma utilizando la informacion de estasimagenes moduladas. En estos casos, la minimizacion de funcionales de costo asociados querepresenten propiedades de insensibilidad o el ajuste de un conjunto de datos a un modelomatematico, mediante tecnicas de optimizacion, es una de las herramientas clasicas que seretoma en este trabajo.

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Introduccion.

La interferometrıa de desplazamiento de fase es un metodo optico para obtener la fase en-vuelta de una senal o de las deformaciones de un frente de onda en una prueba optica.Los patrones de intensidad resultantes de la interferencia de dos haces son capturados poruna CCD (charge-coupled device) y una vez procesados, son empleados en una formula(algoritmo) para obtener la fase. Estos patrones son generados por diversos arreglos interfe-rometricos, como el clasico Twyman-Green, en el cual uno de los espejos movibles controladopor un piezo electrico produce desplazamientos de fase a diversas distancias, comunmentede π/2.

Una vez que se dispone del arreglo interferometrico, el piezo electrico es controlado me-diante la computadora para que reciba un determinado voltage y con este se genere undesplazamiento de fase en radianes. Esto se realiza de manera secuencial, de modo que seobtengan al menos tres desplazamientos. En cada paso se toma una fotrografıa de los co-rrespondientes patrones de intensidad observados y una vez capturada esta informacion, seesta en la disposicion de recuperar la fase mediante un algoritmo que permite el calculo de latangente de la fase de interes. El algoritmo esta definido en funcion de los desplazamientosde fase en radianes, que comunmente resultan ser un serie de pasos equiespaciados. Sin em-bargo, en el momento de realizar la captura de los patrones de intensidad, distintas fuentesde error pueden manifestarse debido a vibraciones en el entorno, variaciones de temperatura,el ruido debido al mismo sensor CCD y por supuesto, la desintonıa en los desplazamientosdebido a la mecanica del dispositivo piezo electrico, dada por una posible mala calibracion.En general las tecnicas de desplazamiento de fase son bastante precisas, sin embargo estasfuentes de error pueden producir variaciones en la medicion, especialmente cuando la fase amedir corresponde a un frente de onda asferico fuerte.

Independientemente del ruido que estuviese presente en los interferogramas capturados,uno de los principales inconvenientes al momento de la recuperacion de la fase, es la desin-tonıa, ya que esta impide que se establezca una formula apropiada para el calculo de latangente de la fase, debido a que los desplazamientos de fase constantes realizados dejan deser equiespaciados. Ante este inconveniente hay dos formas de minimizar la fuente de errordebida a desintonıa; una es mediante el establecimiento de combinaciones lineales apropia-das de los patrones de intensidad que describen al seno y al coseno de la fase, de modo queinduzcan un algoritmo insensible a desintonıa; y la otra es mediante un calculo apropiadode los desplazamientos de fase no equiespaciados o no constantes a partir de los patrones deinterferencia mismos.

En el caso de la generacion de algoritmos insensibles a desintonıa, diversas tecnicas teori-

8

cas y graficas para compensar los errores en el calculo de la fase han sido desarrolladas.Del mismo modo, hay muchas tecnicas propuestas en la literatura con el fin de recuperar lomejor posible, los desplazamientos errados por desintonıa con la finalidad de recurrir a unalgoritmo de desplazamiento de fase generalizado, es decir un algoritmo que considere des-plazamientos no equiespaciados. El estudio de estos algoritmos generalizados es de particularinteres en esta tesis, tanto desde el punto de vista teorico de sus propiedades respecto a in-sensibilidad como desde un punto de vista practico respecto a su implementacion directa, alasumir conocidos los deplazamientos de fase no constantes mediante estimaciones inducidasdirectamente de los interferogramas.

En el desarrollo de esta tesis, primeramente hablaremos un poco de la ecuacion de interesestudiada en interferometrıa de desplazamiento de fase, posteriormete hablaremos de algunosalgoritmos equiespaciados y el analisis realizado a estos respecto a desintonıa. Describiremosdespues los algoritmos generalizados o no equiespaciados, proponiendo para estos una formulaparticular que nos permite expresar cualquier algoritmo de una manera compacta, analizandodesde la misma perspectiva teorica, sus propiedades en el espacio frecuencial mediante latransformada de Fourier.

9

Capıtulo 1

Un poco sobre interferometrıa yherramientas de optimizacion

1.1. Conceptos basicos de la luz: una perturbacion elec-

tromagnetica

La luz es una forma de radiacion electromagnetica, esta es caracterizada por su amplitud,longitud de onda (o frecuencia), fase, polarizacion, velocidad de propagacion y direccion depropagacion. Cuando la luz es esparcida o reflejada por la superficie de un cuerpo opaco,o cuando esta es transmitida a traves de un medio transparente, algunas o todas sus ca-racterısticas pueden ser alteradas. Midiendo los cambios de estas caracterısticas se puedeobtener informacion respecto al estado del objeto, como su tamano, forma, temperatura,velocidad, densidad, o estado de esfuerzo. La interferometrıa holografica por ejemplo, es unmetodo importante para estos propositos [1]. Los conceptos basicos de luz, interferencia ycoherencia son requeridos para el desarrollo de la teorıa y la practica de la interferometrıaen general.

Una onda electromagnetica como la luz puede ser descrita especificando su dependenciatemporal y espacial de su vector de intensidad E. Una descripcion mas completa requiere dela especificacion de la intensidad magnetica H, el desplazamiento electrico D y la induccionmagnetica B, las cuales estan relacionadas por las ecuaciones de Maxwell. Restringiremosnuestra atencion al campo E debido a que estamos interesados en la forma de la onda envez de su fısica basica y debido a que para fines practicos, como es el caso en interferometrıaholografica, el estudio es orientado principalmente al campo electrico E. La onda electro-magnetica mas simple es la onda plana linealmente polarizada. Si tal onda esta polarizadaen la direccion y y se propaga en la direccion z, las tres componentes del campo E son

Ex = 0,Ey = A cos (ωt− kz),Ez = 0.

(1.1)

Aquı A es la amplitud de la onda y su frecuencia circular ω y numero de onda k estan dados

10

porω = 2πν (1.2)

y

k =2π

λ, (1.3)

donde ν es la frecuencia temporal y λ la longitud de onda. La frecuencia de la luz esta enel orden de 1015Hz y la luz visible en el rango de 0.38µm < λ < 0.76µm (micras 10−6m).La luz viaja con velocidad de fase v = ω/k, esta velocidad depende del medio en el cual sepropaga y su valor maximo se alcanza en el vacio a 38m/s, la cual es denotada por c.

La onda descrita por la ecuacion (1.1) se considero plana, debido a que en cualquierinstante de tiempo, E tiene el mismo valor en todos los puntos que viven en el mismo planoz = const, un plano normal a la direccion de propagacion. Tambien se considero linealmentepolarizada debido a que E en cualquier punto, esta siempre dirigida a lo largo de la mismalınea paralela al eje y. Mas generalmente, se describe la direccion en la cual viaja la onda porsu vector de propagacion k, el cual tiene magnitud k. Una onda plana es aquella cuya faseen cualquier instante de tiempo es constante en todos los puntos de cualquier plano normala k. Si r = ix+ jy+ kz es el vector de posicion de cualquier punto en el espacio, la ecuacionpara una onda plana polarizada linealmente es

Ex′ = 0,Ey′ = A cos (ωt− k · r),Ez′ = 0.

(1.4)

Una superficie sobre la cual la fase es constante, en este caso los planos k · r = const, esllamada frente de onda. Otra onda cuya forma simple es importante en optica, es la ondaesferica, la cual surge de una fuente puntual de luz. En este caso los frentes de onda sonesferas concentricas respecto a la fuente puntual. La amplitud de E decrementa en proporcioninversa a la distancia respecto a la fuente.

Al discutir el concepto de polarizacion, se considera la dependencia del tiempo de E encada punto del espacio. Si x′ y y′ son ejes mutuamente ortogonales que viven en el planotangente al frente de onda en r, entonces

Ex′ = Ax′ cos (ωt− k · r),Ey′ = Ay′ cos (ωt− k · r + φ),Ez′ = 0,

(1.5)

donde φ denota la diferencia de fase entre las componentes x′ y y′ de E. Desde que Ex′y Ey′ varıan armonicamente con el tiempo, la punta del vector E de la cual resultan es-tas componentes, traza una curva cerrada en el plano x′y′. Las ecuaciones (1.5) son unarepresentacion parametrica de esta curva. Con un poco de algebra, encontramos que estasecuaciones describen una elipse. Tal tipo de luz se dice que es elıpticamente polarizada. Doscasos de importancia practica surgen cuando la fase relativa φ y las amplitudes Ax′ y Ay′ tie-nen valores especiales. El primero es la luz circularmente polarizada, para la cual Ax′ = Ay′y φ = ±(2N + 1)π/2, donde N es cualquier entero positivo o cero. El segundo es la luzlinealmente polarizada, para la cual φ = ±Nπ. El termino polarizacion plana es sinonimo depolarizacion lineal.

11

La gran mayorıa de las aplicaciones en interferometrıa emplea un laser como fuente deluz. Los laseres emiten ondas de una forma extraordinariamente simple, teniendo parame-tros casi constantes en el tiempo y que pueden ser medidos con alta precision. Los laseresemiten haces estrechos cercanos a la luz monocromatica con casi perfectos frentes de ondaplanos y la mayorıa de ellos emiten luz polarizada linealmente. La luz tıpica de un He-Nede onda continua (cw) usado para interferometrıa holografica tiene una longitud de onda deλ = 632.8nm, con un diametro de aproximadamente 2mm, angulo de divergencia inferiora los 0.7mrad (miliradianes) y polarizacion lineal. La caracterıstica mas importante paraaplicaciones de interferometrıa holografica es su alta coherencia.

Ondas esfericas y planas pueden ser producidas a partir de haces estrechos de luz laser.El haz pasa a traves de una lente positiva tal como un objetivo de microscopio de longitudfocal corta f1. Despues de pasar a traves del punto focal, los rayos divergen y forman unaonda esferica. Si se desea, esta onda puede ser colimada con el uso de una segunda lente demayor longitud focal f2. Si esta lente se coloca a distancia f2 del origen de la onda esferica,una onda plana es formada. Tıpicamente la luz laser esta linealmente polarizada en direccionvertical. Si se desea, es posible convertirla a circularmente polarizada, haciendola pasar atraves de una placa de cuarto de onda.

1.2. Definicion de Interferencia

El fenomeno de interferencia es un topico central que esta relacionado con propiedades de laluz referidas a la coherencia. La coherencia fue referida respecto a la frecuencia aproximadade la luz de 1015Hz. Detectores practicos como el film fotografico, fotodiodos o la retinadel ojo no son capaces de responder a tan extremas variaciones rapidas. Sin embargo, estosresponden a la irradiancia, la cual es el tiempo promedio de flujo de energıa de la onda deluz. Denotamos a la irradiancia como I. Usando teorıa electromagnetica, se puede demostrarque

I = εv⟨E2⟩, (1.6)

donde ε es la permitividad electrica del medio en el cual la luz viaja y v es la velocidadde propagacion. El punto clave es que la I es proporcional al tiempo promedio de E2, demodo que la constante de proporcionalidad εv en la ecuacion (1.6) puede ser despreciada ennuestra discusion. Al iniciar en consideraciones de interferencia, suponemos dos ondas de luzE1 y E2 de la misma frecuencia que son superpuestas. Desde que E = E1 +E2, la irradianciasera

I =⟨E2

1

⟩+⟨E2

2

⟩+ 2 〈E1 · E2〉 . (1.7)

Por simplicidad asumimos que ambas ondas estan linealmente polarizadas en la misma di-reccion, ası, tenemos un calculo escalar simple involucrando

E1 = A1 cos (k1 · r− ωt) (1.8)

yE2 = A2 cos (k2 · r− ωt+ φ), (1.9)

12

donde φ es una fase relativa constante entre las dos ondas. Combinando ecuaciones (1.7)-(1.9)encontramos que

I = I1 + I2 + 2√I1I2 cos δ, (1.10)

donde I1 = A21/2, I2 = A2

2/2 yδ = (k1 − k2) · r− φ (1.11)

es la diferencia de fase entre las dos ondas en cualquier localidad. La irradiancia varıa entreun mınimo Imin = I1 + I2 − 2(I1I2)1/2 en puntos donde δ = (2N + 1)π y un maximo deImax = I1 + I2 + 2(I1I2)1/2 en puntos donde δ = 2Nπ, siendo N un entero. El patron deirradiancia puede ser grabado en una hoja de film fotografico de luz. Tambien puede servisto sobre una pantalla de difusion como una placa de campo de vidrio. En cualquier caso,el patron consiste en luz alternada y franjas obscuras. Este patron de franjas permite laposibilidad de medir la distribucion espacial de la diferencia de fase entre las dos ondas.

Analicemos la formula (1.10) en el contexto de [2]. Cabe aclarar que en un contexto masgeneral, I1 = 〈E2

1〉, I2 = 〈E22〉 y el termino de interferencia I12 = 2 〈E1 · E2〉 de la ecuacion

(1.7) se puede interpretar con ondas de la forma

E1(r, t) = E01 cos (k1 · r − ωt+ ε1)

yE2(r, t) = E02 cos (k2 · r − ωt+ ε2),

donde las εi son terminos de fase constante de las ondas. Es claro que

E1 · E2 = [E01 · E02][cos (k1 · r − ωt+ ε1) cos (k2 · r − ωt+ ε2)]

y es lo mismo que

E1 · E2 = [E01 · E02][cos (k1 · r + ε1) cosωt+sin (k1 · r + ε1) sinωt][cos (k2 · r + ε2) cosωt+ sin (k2 · r + ε2) sinωt].

El termino anterior que multiplica a [E01 · E02], es de la forma

a cos2 ωt+ b sinωt cosωt+ c sin2 ωt,

dondea = cos (k1 · r + ε1) cos (k2 · r + ε2),

b = cos (k1 · r + ε1) sin (k2 · r + ε2) + sin (k1 · r + ε1) cos (k2 · r + ε2)

yc = sin (k1 · r + ε1) sin (k2 · r + ε2).

El valor promedio de una funcion f , se define como

< f(t) >=1

T

∫ t+T

t

f(t′)dt′,

entonces, asumiendo T >> τ = 2π/ω, tenemos que

< cos2 (ωt− α) >=< cos2 (α− ωt) >=1

2,

13

< sin2 (ωt− α) >=< sin2 (α− ωt) >=1

2y

< sin (ωt− α) cos (ωt− α) >= − < sin (α− ωt) cos (α− ωt) >= 0

para cualquier escalar α. Las igualdades entre los promedios anteriores son triviales y lasrestantes igualdades se siguen de los siguientes argumentos:

1

T

∫ t+T

t

cos2 (α− ωt′)dt′ = −1

Tω

[u

2+

sin 2u

4

]α−ω(t+T )

α−ωt=−1

Tω

[−ωT

2+

val14

],

donde u = α − ωt′ y val1 es un valor tal que |val1| < 2 < 2π << ωT , de lo cual se concluyeque el valor promedio de dicho coseno cuadrado es 1/2. Tambien es claro que

1

T

∫ t+T

t

sin2 (α− ωt′)dt′ = 1

T

∫ t+T

t

(1−cos2 (α− ωt′))dt′ = 1

T

[T −

∫ t+T

t

cos2 (α− ωt′)dt′],

resultando 1/2 al igual que el caso anterior. Finalmente, es facil notar que

1

T

∫ t+T

t

sin (α− ωt′) cos (α− ωt′)dt′ = − 1

Tω

[sin2 (α− ωt)

2

]t+Tt

= −val2Tω

,

donde |val2| es mucho menor que Tω y por lo tanto, la integral es cero. Empleando α = 0 ylos resultados del analisis anterior, tenemos que

〈E1 · E2〉 = [E01 · E02] < a cos2 ωt+ b sinωt cosωt+ c sin2 ωt >=1

2E01 · E02(a+ c),

pero, empleando la identidad trigonometrica de cos (x− y), se obtiene

a+ c = cos (k1 · r + ε1 − k2 · r− ε2)

y por lo tanto

〈E1 · E2〉 =E01 · E02

2cos (k1 · r + ε1 − k2 · r− ε2).

Del mismo modo

I1 =⟨E2

1

⟩=E2

01

2, I2 =

⟨E2

2

⟩=E2

02

2, ⇒ I12 = 2

√I1I2 cos δ,

asumiendo desde luego que E01 y E01 son paralelos y donde δ = (k1 · r + ε1 − k2 · r − ε2).Resulta claro de todo esto, que

I = I1 + I2 + 2√I1I2 cos δ.

Cambiaremos ahora el significado de algunas variables ya empleadas en la descripcion previa,por lo tanto en adelante, salvo que se especifique, nuestras variables por definir no cambiaransu significado. Denotaremos a la posicion r simplemente como una posicion en un plano(x, y), mientras que nuestra diferencia de fase relativa sera φ = ε1 − ε2. En un contexto deprocesamiento de imagenes, es comun tratar a la irradiacia I como una imagen o patron deintensidad s, el cual es un multiplo escalar de esta irradiancia. Entonces, la ecuacion anterior,

14

vista como una imagen s = s(x, y), donde (x, y) representa una posicion espacial o pixelar,puede escribirse como

s(x, y) = s1(x, y) + s2(x, y) + 2√s1(x, y)s2(x, y) cos (φ(x, y)),

con φ como diferencia de fase en vez de δ al tomar k1 = k2, es decir, misma direccion depropagacion para las ondas sobrepuestas, y sj en vez de Ij (j = 1, 2). Esta ultima ecuacionpuede escribirse tambien en dos forma utiles, la primera es

s(x, y) = a(x, y) + b(x, y) cos (φ(x, y)), (1.12)

dondea(x, y) = s1(x, y) + s2(x, y)

puede considerarse como una distribucion de traslacion u offset al suponer que s es unafuncion que puede depender de cualquier otra variable que no sea la posicion, como el tiempopor ejemplo, y

b(x, y) = 2√s1(x, y)s2(x, y)

es una distribucion de amplitud. Sin embargo otra expresion util para (1.12) es

s(x, y) = s0(x, y)[1 + γ(x, y) cos (φ(x, y))], (1.13)

donde s0 = a es un multiplo de la intensidad promedio local y γ = b/a es la visibilidad ocontraste del patron de franjas inducido por s.

1.3. El problema de mınimos cuadrados

En una gran mayoria de problemas en fısica, diversas soluciones se encuentran en terminosde resolver un problema de mınimos cuadrados. Algunas soluciones propuestas en esta tesis,como veremos posteriormente, estan en terminos de dicho planteamiento, ası que conside-ramos relevante una breve revision del problema de mınimos cudrados como herramientaanalıtica de mucha importancia practica.

Consideremos x para representar cualquier vector x ∈ Rn en una forma simple. En unproblema de optimizacion, la funcion objetivo F : Rn → R que tratamos de minimizar esdescrita por el modelo

L(h) = F (x) + hT c+1

2hTBh, (1.14)

donde c y B son aproximaciones de g(x) = F ′(x) y H(x) = F ′′(x), el gradiente y el Hessianorespectivamente [3]. Esta aproximacion esta basada en una expansion de Taylor [4–6]. Enun problema de cuadrados mınimos se trata de encontrar un mınimo local x∗ para

F (x) =1

2

m∑i=1

(fi(x))2,

donde fi : Rn → R, i = 1, . . . ,m, son funciones dadas con m ≥ n. Todos los metodos deoptimizacion no lineal son iterativos, cada metodo empieza con un punto inicial x0 y produce

15

una serie de vectores x1, x2, . . . que converge o se espera que converja a x∗.

Estos metodos trabajan con iteraciones de la forma

xi+1 = xi + αh,

donde por cada iteracion hay dos aspectos principales; la seleccion de la direccion de paso hy la longitud de paso α que debe producir un buen descenso en los valores de F ( es decirF (xi+1) < F (xi)). Una tıpica direccion es la direccion de descenso, la cual es h = hd quesatisface

hTF ′(x) < 0,

la condicion de descenso. Cuando se tiene la direccion optima h se requiere calcular

αespecial = argminα>0F (x+ αh),

un proceso llamado busqueda de lınea o busqueda lineal.

1.4. Algunos metodos iterativos de optimizacion

Hay una gran cantidad de metodos para resolver problemas de optimizacion pero aquı des-cribiremos solo dos de ellos. Cuando la region de direcciones deseables es conocida, una bolade radio ∆, entonces tenemos metodos de region de confianza, donde la direccion de pasoesta dada por

h = htr = argmin||h||≤∆L(h),siendo L(h) el modelo (1.14).

Otros metodos son los metodos amortiguados, donde las direcciones de paso son de laforma

h = hdm = argminhL(h) +µ

2||h||2.

Aquı, el parametro de amortiguacion µ ≥ 0 penaliza pasos grandes.

Para el problema de cuadrados mınimos no lineal, se requiere encontrar un mınimo localx∗ para

F (x) =1

2||f(x)||2, (1.15)

donde f : Rn → Rm con m ≥ n, la expansion de Taylor para f es

f(x+ h) = f(x) + J(x)h+O(||h||2),

y donde J es la matriz Jacobiana de f [3]. Tenemos relaciones entre F y f ,

F ′(x) = J(x)Tf(x) = g(x), F ′′(x) = J(x)TJ(x) +m∑i=1

fi(x)f ′′i (x) = H(x),

16

donde f ′′i es el Hessiano de la funcion componente fi : Rn → R de la f . Para este problematenemos metodos como el metodo de Gauss-Newton que esta basado en un modelo linealpara f , es decir

f(x+ h) ' l(h) ≡ f(x) + J(x)h

para valores pequenos de ||h|| y entonces

F (x+ h) ' L(h) ≡ (1/2)l(h)T l(h)= F (x) + hTJTf + (1/2)hTJTJh.

(1.16)

Este metodo encuentra hgn = argminhL(h) para el modelo L en (1.16) donde tenemos

L′(h) = JTf + JTJh, L′′(h) = JTJ.

Mediante la expansionL′(0 + h) ' L′(0) + L′′(0)h

y el hecho de que estamos tratando de encontrar una h tal que L′(h) = 0 para minimizar L,tenemos

L′′(0)hgn = −L′(0),

lo cual es(JTJ)hgn = −JTf.

Algunos procedimientos basados en la region de confianza y los metodos amortiguados sonel Dog Leg (pata de perro) y el metodo de Levenberg-Marquardt respectivamente [5, 6].

Si se conocen los valores ∆ de pasos deseables h tales que ||h|| ≤ ∆, en el metodo DogLeg se tiene el paso de Gauss-Newton que satisface

(J(x)TJ(x))hgn = −J(x)Tf(x)

y la direccion de descenso esta dada por

hsd = −g = −J(x)Tf(x).

Por lo tanto, si observamos el modelo lineal

f(x+ αhsd) ' f(x) + αJ(x)hsd,

entonces

F (x+ αhsd) '1

2||f(x) + αJ(x)hsd||2

= F (x) + αhTsdJ(x)Tf(x) +1

2α2||J(x)hsd||2.

Esta funcion de α es mınima en

α =||g||2

||Jg||2,

17

entonces, el paso Dog Leg hdl se escoge segun el siguiente criterio:

if ||hgn|| ≤ ∆hdl := hgn;

elseif ||αhsd|| ≥ ∆hdl := (∆/||hsd||)hsd;

elsehdl := αhsd + β(hgn − αhsd);

donde β es tal que ||hdl|| = ∆.

El metodo de Levenberg Marquardt esta basado en el metodo amortiguado de Gauss-Newton con paso hlm que satisface

(JTJ + µI)hlm = −g con g = JTf.

El parametro de amortiguacion µ tiene varios efectos:

1. Para todo µ > 0 la matriz de coeficientes (JTJ + µI) es positiva definida, lo quegarantiza que hlm es direccion de descenso.

2. Para valores grandes de µ se tiene

hlm ' −1

µg,

por lo tanto, se tiene una direccion de descenso de paso muy corta. Esto es buenocuando la iteracion actual o en curso esta lejos de la solucion.

3. Si µ es muy pequena, entonces hlm ' hgn, lo cual es un buen paso en las ultimas etapasde la iteracion, cuando x esta cerca de x∗.

Hay diversas tecnicas para elegir ∆ o µ en cada paso de la iteracion, algunas de estas semuestran en las notas de curso de Madsen, Nielsen y Tingleff [6].

Los criterios de paro para los algoritmos del metodo de Levenberg-Marquardt o el DogLeg, deben reflejar que en un mınimo tenemos F ′(x∗) = g(x∗) = 0, por lo tanto se puedeusar

||g||∞ ≤ ε1, (1.17)

donde ε1 es un numero positivo pequeno escogido por el usuario. Otro criterio relevante esel paro si el cambio en x es pequeno

||dx|| = ||xnew − x|| ≤ ε2(||x||+ ε2). (1.18)

Y desde luego, en todo proceso iterativo se necesita un maximo numero de iteraciones

k ≥ kmax. (1.19)

Finalmente, tenemos el criterio de paro que refleja f(x?) = 0 o F (x∗) = 0, que puede ser

||f(x)||∞ ≤ ε3. (1.20)

Ası mismo, ε2, ε3 y kmax son escogidos por el usuario. Una mejor aclaracion de los hechos enesta seccion puede revisarse en la bibliografıa mencionada.

18

Capıtulo 2

Algoritmos de desplazamiento de fasecon pasos constantes

2.1. Algoritmos con pasos equiespaciados

A partir de la ecuacion (1.12) podemos establecer una similar que considere desplazamientosde fase α discretos, por ejemplo

sk = a+ b cos (φ− αk), k = 1, 2, . . . , n, (2.1)

donde n es el numero de patrones de intensidad capturados. Como podemos observar en(2.1) hay tres incognitas por recuperar; a, b y φ. Entonces, resulta evidente que se requieran ≥ 3 para que podamos encontrar los valores de dichas incognitas. Nuestro particularinteres esta en el valor de φ, lo cual puede calcularse mediante su tangente. Veamos unejemplo, consideremos n = 3 y αk = (k − 1)(π/2) con k = 1, 2, 3. Ası, resulta claro que−s1 + 2s2 − s3 = 2b sinφ y s1 − s3 = 2b cosφ, por lo tanto

tanφ =−s1 + 2s2 − s3

s1 − s3

. (2.2)

La ecuacion (2.2) es conocida como algoritmo de tres pasos en T invertida [7]. En esteejemplo, tenemos combinaciones lineales de los patrones de intensidad para definir al seno yal coseno de la fase modulados en amplitud por la funcion 2b, dichas combinaciones linealesson unicas debido a que el sistema lineal establecido es de tres ecuaciones y tres incognitasexactamente. Sin embargo, cuando n > 3, las posibilidades para definir estas combinacioneslineales se vuelven muy grandes, debido a que el sistema queda sobredeterminado al haberun mayor numero de ecuaciones que incognitas. Consideremos el ejemplo con n = 4 y lasmismas αk pero con k = 1, 2, 3, 4. Entonces, unas posibles combinaciones lineales triviales,basadas en el ejemplo anterior darıan como resultado

tanφ =−s1 + 2s2 − s3 + 0 · s4

s1 + 0 · s2 − s3 + 0 · s4

, (2.3)

tanφ =−s1 + 2s2 − s3 + 0 · s4

0 · s1 + s2 − 2s3 + s4

, (2.4)

19

tanφ =0 · s1 + s2 + 0 · s3 − s4

s1 + 0 · s2 − s3 + 0 · s4

, (2.5)

tanφ =0 · s1 + s2 + 0 · s3 − s4

0 · s1 + s2 − 2s3 + s4

, (2.6)

etc. Lo anterior nos dice claramente que cuando n > 3 hay muchos algoritmos posibles aescoger y la pregunata crucial es: ¿Cual es el mejor en presencia de posibles errores muypequenos en los desplazamientos αk? Respecto a esta cuestion, la respuesta la daremos masadelante, por ahora nos concentraremos en el aspecto de definir algun algoritmo de losposibles que puedan haber cuando consideremos n > 3. La eleccion del algoritmo tambiendepende del paso considerado, es decir de un valor δ fijo que define a los valores αk = (k−1)δ.En los casos anteriores tuvimos un paso fijo con valor δ = π/2, sin embargo la longitud de estepaso puede ser arbitraria, de modo que el par de combinaciones lineales que definan al senoy al coseno modulados en amplitud por algun multiplo escalar de la funcion b, esta definidotambien de manera unica para n = 3 y de un gran numero de posibilidades para n > 3.Veamos un ejemplo con n = 3 y 0 < δ ≤ (π/2), el algoritmo es

tanφ =

[(s2 − s1)/(cos δ − cos 0)]− [(s3 − s2)/(cos 2δ − cos δ)]

[(sin δ − sin 0)/(cos δ − cos 0)]− [(sin 2δ − sin δ)/(cos 2δ − cos δ)]

[(s2 − s1)/(sin δ − sin 0)]− [(s3 − s2)/(sin 2δ − sin δ)]

[(cos δ − cos 0)/(sin δ − sin 0)]− [(cos 2δ − cos δ)/(sin 2δ − sin δ)]

. (2.7)

La ecuacion (2.7) parece un poco complicada, pero puede demostrarse mediante la susti-tucion de los valores de sk correspondientes empleando identidades trigonometricas para ladiferencia de angulos en seno y coseno respectıvamente. La ecuacion (2.7) puede expresarseen una forma aun mas sencilla mediante

tanφ =

(cos δ − cos 2δ)s1 + (cos 2δ − cos 0)s2 + (cos 0− cos δ)s3

(sin δ − sin 0)(cos 2δ − cos δ)− (sin 2δ − sin δ)(cos δ − cos 0)

(sin δ − sin 2δ)s1 + (sin 2δ − sin 0)s2 + (sin 0− sin δ)s3

(cos δ − cos 0)(sin 2δ − sin δ)− (cos 2δ − cos δ)(sin δ − sin 0)

. (2.8)

Entonces, un ejemplo simple con δ = π/4 se obtiene directamente de (2.8), resultando

tanφ =s1 −

√2s2 + (

√2− 1)s3

(√

2− 1)s1 −√

2s2 + s3

. (2.9)

Otro aspecto interesante que caracteriza al par de combinaciones lineales que definen alalgoritmo, aun cuando el paso fijo sea el mismo, ocurre al darse una traslacion de los des-plazamientos αk. Considere por ejemplo αk = (k − 1)δ − δ = (k − 2)δ, con δ = π/4. En estecaso, de (2.8), sustituyendo 0 por −π/4, δ por 0 y 2δ por π/4, obtendrıamos

tanφ =(1−

√2)s1 + 0 · s2 + (

√2− 1)s3

−s1 + 2s2 − s3

, (2.10)

el cual es un algoritmo algebraicamente distinto al de la ecuacion (2.9).

20

2.2. El analisis de amplitudes y fases para insensibili-

dad a desintonıa

Con respecto a este analisis, una descripcion en extenso es dada en [7,8], sin embargo daremosuna breve interpretacion de esta teorıa, sustentando las propiedades basicas que un algoritmode desplazamiento de fase con pasos equiespaciados debe cumplir en terminos frecuenciales,o en el espacio de Fourier [9, 10]. Ası mismo, describiremos las propiedades que en terminosde Fourier deben cumplirse para lograr la insensibilidad a desintonıa al asumir una senalperfectamente cosenoidal. La fase de la senal que tratamos de obtener esta inmersa en lainformacion de la ecuacion

s(t) = a+ b cos (φ− ωt), (2.11)

donde a y b son funciones escalares que dependen de la posicion, φ es la fase a recuperarmediante un algoritmo que estime el valor de su tangente, t es el tiempo y ω = 2πf∗ esla frecuencia angular de la senal. Las muestras de esta senal son dadas para una ciertadistribucion de tiempos equiespaciados tk que inducen pasos de la forma αk = αtk, dondeα = 2πfr, es decir, el paso es un multiplo de una frecuencia de referencia fr que pretendeestimar a la frecuencia de la senal f∗. Entonces se tienen muestras

sk = s(tk) = a+ b cos (φ− αk) = a+ b cos (φ− 2πfrtk), k = 1, 2, . . . , n (2.12)

con tk = (k − 1), de modo que los tiempos esten normalizados. Ya hemos visto con anterio-ridad que la tangente de la fase puede representarse mediante la formula

tanφ =

n∑k=1

bksk

n∑k=1

aksk

, (2.13)

donde los escalares bk y ak definen las combinaciones lineales para estimar al seno y al cosenode la fase φ modulada en amplitud. Sin embargo, el analisis de esta formula puede darse enterminos de fr mediante la identidad de Parseval [9]∫ ∞

−∞s(t)g(t)dt =

∫ ∞−∞

S(f)G(f)df, (2.14)

donde las letras mayusculas S y G denotan a la transformada de Fourier dada por

G(f) =

∫ ∞−∞

g(t)e−i2πtfdt, (2.15)

mientras que el sımbolo · denota complejo conjugado. La formula (2.13) puede reescribirsecomo

tanφ =

∫ ∞−∞

s(t)gN(t)dt∫ ∞−∞

s(t)gD(t)dt

, (2.16)

21

donde gN(t) =∑n

k=1 bkδ(t− tk) y gD(t) =∑n

k=1 akδ(t− tk), siendo las expresiones δ, deltasde Dirac [9,10]. La misma formula (2.16) se reescribe mediante la identidad de Parseval como

tanφ =

∫ ∞−∞

S(f)GN(f)df∫ ∞−∞

S(f)GD(f)df

. (2.17)

Las funciones GN(f) y GD(f), se conocen como funciones de frecuencia de muestreo, [7].Las funciones de frecuencia de muestreo, dadas por transformadas de Fourier [10] de lasfunciones gN y gD, estan dadas por

GN(f) =n∑k=1

bke−i2πtkf =n∑k=1

bkei2πtkf = AmN(f)eiγN (f),

GD(f) =n∑k=1

ake−i2πtkf =n∑k=1

akei2πtkf = AmD(f)eiγD(f),

(2.18)

donde las funciones correspondientes a amplitudes, AmN(f), AmD(f) y fases γN(f), γD(f),para el numerador y el denominador respectivamente, son indispensables para el analisis delalgoritmo en cuanto a propiedades basicas de validez, y en cuanto a desintonıa. Veamos laspropiedades basicas. Si la senal se asume de la forma (2.12), empleando la frecuencia dereferencia fr, en representacion exponencial compleja tenemos

s(t) = a+b

2[ei(φ−2πfrt) + e−i(φ−2πfrt)],

entonces su transformada en (2.17) es de la forma

S(f) = aδ(f) +b

2eiφδ(f + fr) +

b

2e−iφδ(f − fr), (2.19)

de lo cual (2.17) se reduce a

tanφ =GN(0) + (b/2)eiφGN(−fr) + (b/2)e−iφGN(fr)

GD(0) + (b/2)eiφGD(−fr) + (b/2)e−iφGD(fr). (2.20)

De esta ultima ecuacion, se desprenden tres propiedades basicas que todo algoritmo debecumplir, considerando la notacion impuesta en (2.18), es requerido:

1. Valor constante o termino de DC igual a cero en f = 0

GN(0) = GD(0) = 0, (2.21)

propiedad conocida como cero bias.

2. OrtogonalidadGN(±fr) = ±i, GD(±fr) = 1. (2.22)

22

3. Amplitudes iguales en ±fr,

AmN(±fr) = AmD(±fr) = κ(fr). (2.23)

Si se cumplen las tres propiedades anteriores, es claro que el numerador y el denominador en(2.20), se reduciran respectivamente a seno y coseno de la fase multiplicados por una funcionκ(fr), que perfectamente definiran a la tangente de φ. Sin embargo, la ecuacion (2.19) esparticularmente valida para la frecuencia de la senal f∗, de modo que

S(f∗) =b

2eiφδ(f∗ + fr) +

b

2e−iφδ(f∗ − fr), (2.24)

al asumir una f∗ 6= 0 y emplear las propiedades de la delta de Dirac (Ver Teorema 1 delApendice). Ahora bien, ¿que se entiende por desintonıa? Como establecimos, para definir elpaso α = 2πfr empleamos una frecuencia de referencia fr, que no necesariamente correspondea la verdadera frecuencia de la senal f∗. Esto nos dice que la formula para el calculo de latangente de la fase en (2.20) es una funcion de fr que estima muy bien φ cuando fr = f∗,de lo contrario dicha formula corresponde a otra fase con un error anadido en funcion deesta frecuencia. Al asumir que fr es cercana a f∗, es decir fr = f∗ −∆fr, se tiene un errorpequeno en la fase, de modo que φ en (2.20) se sustituye por φ−∆φ(fr). La desintonıa puedeentenderse como el error lineal anadido en el paso α, que idealmente es α∗ = 2πf∗, pero quedebido a este error resulta ser de la forma

α = α∗ −∆α = 2π(f∗ −∆fr) = 2πfr. (2.25)

Entonces, al considerar fr cerca de f∗ la ecuacion (2.24) puede reducirse aun mas, obteniendo

S(f∗) =b

2eiφδ(2f∗ −∆fr) +

b

2e−iφδ(∆fr) ≈

b

2e−iφδ(f∗ − fr). (2.26)

Puesto que f es variable de integracion en (2.17), puede ser reemplazada por la misma f∗,de lo cual se infiere una formula alternativa para la tangente de φ, es decir

tanφ =

∫ ∞−∞

S(f∗)GN(f∗)df∗∫ ∞−∞

S(f∗)GD(f∗)df∗

=(b/2)e−iφGN(fr)

(b/2)e−iφGD(fr)=GN(fr)

GD(fr), (2.27)

empleando (2.26). Describamos entonces, las propiedades que un algoritmo debe cumplir,para que, en presencia del error de desintonıa, la formula (2.27) resulte insensible a dichoerror y por consiguiente ∆φ(fr) sea mınimo. La expresion (2.27) corresponde a

tan (φ−∆φ(fr)) =tan (φ)− tan [∆φ(fr)]

1 + tan (φ) tan [∆φ(fr)]=Num(fr)

Den(fr), (2.28)

donde Num(fr) = AmN(fr)eiγN (fr) y Den(fr) = AmD(fr)e

iγD(fr), debido a (2.27) y (2.18).Al despejar de (2.28) la tangente del error ∆φ(fr), se obtiene

tan [∆φ(fr)] =

[eiγD(fr) sinφ− ρ(fr)e

iγN (fr) cosφ

ρ(fr)eiγN (fr) sinφ+ eiγD(fr) cosφ

], (2.29)

23

donde la funcion ρ(fr) = AmN(fr)/AmD(fr) es conocida como razon, [7]. Antes de describirlas propiedades para la insensibilidad a desintonıa, requerimos en primera instancia las pro-piedades basicas para la fr escogida. Ahora, estas propiedades se dan claramente para f∗ yen cuanto a la primera, la propiedad de cero bias, se cumple directamente debido a que notoma lugar en (2.27) con la aproximacion de S cerca de f∗ dada por (2.26).

Lo siguiente que se requiere controlar en (2.27) es la condicion de ortogonalidad para GN

y GD en una vecindad de fr. La propiedad de ortogonalidad fue definida puntualmente enf = fr, pero en un contexto local, se traduce en que (2.27) sea real en una vecindad de fr oequivalentemente, en una condicion de paralelismo local en las graficas de las fases γN y γDdado en una vecindad de fr.

Con respecto a la tercera propiedad, de amplitudes iguales, sera suficiente tener unacondicion de tangencia para las amplitudes AmN(f) y AmD(f) en fr, lo que equivale a queen una vecindad de fr, las graficas de AmN y AmD coincidan.

Si asumimos la condicion de tangencia para amplitudes en fr, resulta claro que ρ(f) = 1para f cerca de fr, en consecuencia (2.29) para dicha f se reduce a

tan [∆φ(f)] =eiγD(f) sinφ− eiγN (f) cosφ

eiγN (f) sinφ+ eiγD(f) cosφ. (2.30)

Por lo tanto, si queremos que ∆φ(fr) sea pequeno, bastara con que tan [∆φ(fr)] sea pequeno,para lo cual se requiere (2.30) cercano a cero en valores f cerca de fr. Dicha condicion secumple cuando

eiγD(f) sinφ− eiγN (f) cosφ = 0,

es decir, cuando

tanφ =eiγN

eiγD= cos γN cos γD + sin2 γD + i[sin γN cos γD − cos γN sin γD]. (2.31)

Dado que tanφ debe ser real, de la expresion anterior se requiere entonces que

sin γN cos γD − cos γN sin γD = 0, (2.32)

lo cual se traduce en una condicion de paralelismo en la fases, es decir

tan γN(f) = tan γD(f),

de lo cualγN(f) = arctan[tan γD(f)],

y por regla de la cadena [3], se tiene

dγN(f)

df=

1

1 + tan2 γD(f)sec2 γD(f)

dγD(f)

df=dγD(f)

df. (2.33)

Siendo lo anterior valido, unicamente en ciertos rangos de valores tan γD(f) donde la funcionarctan es invertible, por ejemplo, el intervalo abierto (−π/2, π/2). Dicha hipotesis puede asu-mirse sin perdida de generalidad en nuestro analisis. No hay que perder de vista que estamos

24

considerando valores de f cercanos a fr. En consecuencia, la insensibilidad a desintonıa se dacon una condicion de tangencia en las amplitudes de las funciones de frecuencia de muestreo,y una condicion de paralelismo local en las correspondientes fases en una vecindad de fr.

Cabe recalcar que en esta descripcion se asume una senal s perfectamente cosenoidal,sin embargo dicha senal puede contener armonicos. Con respecto a este concepto, daremosuna breve descripcion posteriormente en el analisis del polinomio caracteristico y el capıtulo4, mientras tanto, entenderemos por armonico a cualquier multiplo entero distinto de unoy cero de la frecuencia de referencia fr. Respecto a la presencia de armonicos en la senal s,otras propiedades de los algoritmos respecto a insensibilidad pueden ser orientadas de manerasimilar a como lo hemos hecho para la frecuencia de referencia fr. Dichas propiedades noseran analizadas en la presente seccion, sin embargo las describiremos de manera generalcomo:

1. Insensibilida a desintonıa. El comportamiento tangencial en amplitudes y la condicionde paralelismo de fases en una vecindad de fr para las funciones de frecuencia demuestreo, como ya hemos descrito.

2. Insensibilidad a armonicos. Dada una frecuencia f 6= 0 que sea multiplo entero mdistinto de uno para fr, las amplitudes para las funciones de frecuencia de muestreo delnumerador y el denominador respectıvamente son iguales, cortando al eje de frecuenciasen cero, es decir AmN(mfr) = AmD(mfr) = 0. El comportamiento tangencial en mfrpara las amplitudes no es necesario, ası como tambien la condicion de paralelismo en lasfases. Si estas dos ultimas condiciones se dieran, anadiendo AmN(mfr) = AmD(mfr) 6=0, se dirıa que el algoritmo es insensible a desintonıa en el armonico m para dicha fr,tal y como se describe en la propiedad 1 para m = 1. Desde luego, este ultimo tipo deinsensibilidad no es lo mismo que la insensibilidad al armonico m ≥ 2.

3. Insensibilidad a armonicos en presencia de desintonıa. En este caso, se debe cumplirque AmN(mfr) = AmD(mfr) = 0 y ademas (dAmN/df)|mfr = (dAmD/df)|mfr = 0para m ≥ 2. Esto significa que el algoritmo es insensible a la presencia del armonicom, incluso cuando hay un corrimiento o desviacion ligera en la frecuencia de referenciafr (la desintonıa).

4. Deteccion de armonicos. Una forma de notar la presencia de un armonico m 6= 0, 1 enla senal, se da cuando |AmN(mfr)| = |AmD(mfr)| > 0, sin requerir comportamientotangencial y condicion de paralelismo en amplitudes y fases respectivamente. Estaultima propiedad puede entenderse como el hecho de que el algoritmo podrıa calculara la tangente de mφ con m ≥ 2 y no φ, tal y como veremos mas adelante en el capıtulo4.

Si en alguna de las propiedades de insensibilidad descritas, no se cumpliese alguna de lascondiciones que la describen, se dice que el algoritmo es sensible a desintonıa o al armonicocorrespondiente, segun sea el caso.

25

2.3. Errores de fase en funcion de la frecuencia

Consideremos ahora la ecuacion (2.29). En la seccion anterior comentamos que la condicionde ortogonalidad se traduce en una condicion de paralelismo local entre las fases en unavecindad de fr y que para obtener dicha condicion, se requiere que la expresion (2.31)sea real. Esta suposicion tambien tiene sentido en la ecuacion (2.29), de donde se puedeconsiderar

tan ∆φ =cos γD sinφ− ρ cos γN cosφ

ρ cos γN sinφ+ cos γD cosφ, (2.34)

como expresion de error cerca de fr. Ahora, la condicon de que(2.31) sea real, es equivalentea suponer

tanφ =cos γNcos γD

,

de lo cual se deduce que cos γN ≈ sinφ y cos γD ≈ cosφ, entonces, sustituyendo estasaproximaciones en (2.34) tenemos

tan ∆φ =cosφ sinφ− ρ sinφ cosφ

ρ sin2 φ+ cos2 φ. (2.35)

La expresion anterior es valida cuando asumimos un algoritmo que satisface las tres condi-ciones basicas de validez y la condicion de ortogonalidad local cerca de fr. Entonces, a partirde (2.35) tenemos que

sin ∆φ = cosφ sinφ− ρ sinφ cosφ, (2.36)

y para errores pequenos de fase, resulta claro que sin ∆φ ≈ ∆φ, de lo cual, junto con (2.36)se deduce

∆φ(f) =1

2(1− ρ(f)) sin (2φ), (2.37)

una expresion para el error en funcion de la frecuencia, cuyo analisis detallado se encuentraen [7].

2.4. El analisis de algoritmos insensibles a desintonıa

desde el punto de vista diferencial

Mediante un enfoque mas algebraico [11], los algoritmos de desplazamiento de fase (ADF)pueden analizarse respecto a insensibilidad a desintonıa empleando diferenciales. Ya hemosestablecido con anterioridad que en los ADF, la senal que contiene informacion de la fase sepuede escribir como

sk = a+ b cos (φ(r) + τk) (2.38)

donde r denota posicion espacial, sk = s(tk, r), es decir, es un valor de intensidad para ciertopunto tk (variable asociada al desplazamiento) de una coleccion de n muestras k = 1, . . . , n,correspondientes a desplazamientos de fase

τk = (2k − n− 1)(β/2) = ωrtk, (2.39)

26

siendo β un incremento relativo del desplazamiento de fase, el cual se puede asociar a uncorrimiento frecuencial angular ωr. La t puede considerarse como un parametro temporal,sobre todo hablando de senales. Para este caso, se supuso que los n puntos de desplazamientosmuestra estan igualmente espaciados y que representan puntos simetricos, de lo cual es facilver que

τk = −τn−k+1, (2.40)

e implica que para n impar siempre hay una τ que es cero y los demas valores de τ tienen unsimetrico, mientras que para n par, todos los valores de τ tienen un simetrico y son distintosde cero. Tambien es facil notar que

sk − sn−k+1 = −2b sinφ sin τk,sk + sn−k+1 = 2a+ 2b cosφ cos τk.

(2.41)

La variacion de los ındices k para las dos ultimas relaciones se da para k = 1, . . . , K, dondeK = n/2 si n es par o bien K = (n + 1)/2 si n es impar, pues las diferencias y sumas quenos interesan son los casos de valores de τ simetricos y si consideramos todas las k, veremospares de ındices k, n − k + 1 repetidos. Ahora, consideremos un conjunto de escalares Bk

arbitrarios y otro conjunto de escalares Ak arbitrarios distintos pero con la condicion de que

K∑k=1

Ak =K∑k=1

Bk = 0, (2.42)

entonces, si definimos

N(β) =K∑k=1

Bk(sk − sn−k+1) = −2b sinφK∑k=1

Bk sin τk (2.43)

y

D(β) =K∑k=1

Ak(sk + sn−k+1) = 2b cosφK∑k=1

Ak cos τk, (2.44)

notaremos que

φ = arctan

[C(β)

N(β)

D(β)

], (2.45)

donde

C(β) = −

K∑k=1

Ak cos τk

K∑k=1

Bk sin τk

, (2.46)

con lo cual se puede calcular la fase envuelta1 φ. En el contexto frecuencial, asumiendo que dealgun modo, conocemos la distribucion de valores de intensidad asociada a los corrimientos

1Se dice envuelta, por que los valores de φ estan en el rango de la funcion arctan.

27

de fase, es decir, conocemos s(t) para todos los valores t (la r en este caso no es de interes ypor lo tanto sk = s(tk)), mediante las propiedades de la delta de Dirac [9, 10], tenemos que

φ = arctan

∫ ∞−∞

s(t)gN(t)dt∫ ∞−∞

s(t)gD(t)dt

, (2.47)

donde

gN(t) = C(β)K∑k=1

Bk[δ(t− tk)− δ(t− tn−k+1)],

gD(t) =K∑k=1

Ak[δ(t− tk) + δ(t− tn−k+1)],

(2.48)

entonces, las transformadas de Fourier de estas funciones son

GN(f) = C(β)K∑k=1

Bk[e−i2πftk − e−i2πftn−k+1 ],

GD(f) =K∑k=1

Ak[e−i2πftk + e−i2πftn−k+1 ].

(2.49)

Como comentamos al principio, el corrimiento τk se relaciona con esta frecuencia f , mediante

τk = ωrtk = 2πfrtk, ⇒ 2πftk = τk(f/fr),

donde fr es una frecuencia de referencia fija. Con esto, las transformadas anteriores se reducena

GN(f) = −2iC(β)K∑k=1

Bk sin [τk(f/fr)],

GD(f) = 2K∑k=1

Ak cos [τk(f/fr)].

(2.50)

Hay ciertas propiedades que estas funciones GN y GD deben satisfacer para una correctaaplicacion de la teorıa de Fourier del ADF, estas propiedades se describieron en la seccionpasada en terminos de las funciones de frecuencia de muestreo correspondientesGN yGD. Delmismo modo, como mostraremos mas adelante, la eleccion de pasos simetricos, nos permitela venjata de preservar la condicion de ortogonalidad en todo el rango de frecuencias posiblesf . La condicion de amplitudes iguales en la frecuencia de referencia fr se da directamente alevaluar las funciones de frecuencia de muestreo en dicha frecuencia. Ahora bien, la condicionde tangencia para las amplitudes en fr, en este contexto, esta asociada a la insensibilidad adesintonıa. Si un detono, o error de desintonıa ∆β ocurriera, entonces el incremento en faseesperado β0 serıa sustituido por

β = β0 + ∆β,

28

o alternativamente, en terminos de la frecuencia de referencia fr habrıa una diferencia enfrecuencia, por ejemplo ∆β = β0[(fr − f)/fr] y entonces

β = β0(f/fr).

Desde el punto de vista algebraico, el ADF presenta cierto grado de insensibilidad al detonodebido a la razon N/D. La formula (2.45) tiene contenido el error de desintonıa en losdesplazamientos τk en los valores de sk. El cociente N/D en principio es considerado librede errores, sin embargo la variacion de tanφ con respecto a β en (2.45) se refleja en lavariacion de N/D con respecto a β, al asumir φ independiente del error de desintonıa ∆β delos deslpazamientos, contenido en las sk. Si el cociente N/D es constante respecto a β paravariaciones pequenas en el intervalo β0 ±∆β, dicho argumento es equivalente a decir que laderivada del cociente respecto a β es cero en dicho intervalo. Ahora, es posible notar que

d(N/D)

dβ=d(tanφ/C)

dβ= − tanφ

dC/dβ

C2,

de modo que la condicion de insensibilidad a desintonıa es equivalente a decir que

dC

dβ

∣∣∣∣β=β0

= 0. (2.51)

Sin embargo, esta ultima ecuacion se reduce a

C(β)|β=β0 =

∑Akτk sin τk∑Bkτk cos τk

∣∣∣∣β=β0

. (2.52)

El grado de insensibilidad esta dado por la magnitud de la pendiente C ′(β0). Ahora, siC ′′(β0) = 0, entonces tenemos insensibilidad al detono de segundo orden, que desde el puntode vista geometrico, corresponde a que C(β) tenga curvatura cero en β0. En este caso, lacondicion C ′′(β0) = 0 se reduce a

C(β)|β=β0 = −∑Akτ

2k cos τk∑

Bkτ 2k sin τk

∣∣∣∣β=β0

. (2.53)

Hay formas de medir los errores en la fase ∆φ debidos al detono ∆β, viendo a φ como funcionde β. Por ejemplo, al asumir un algoritmo con paso teorico β0, insensible al detono de primerorden, la variacion de la fase respecto a β0 es cero, de modo que, empleando la expansion deTaylor y teniendo presente que φ′(β0) = 0, se tiene que

φ(β0 + ∆β) = φ(β0) +1

2φ′′(β0)(∆β)2, (2.54)

por lo tanto

∆φ = φ(β0 + ∆β)− φ(β0) =1

2φ′′(β0)(∆β)2. (2.55)

Como C ′(β0) = 0 y φ = arctan(C(N/D)), entonces en β0

φ′ =1

1 + [C(N/D)]2(N/D)(C ′) = σ(N/D)(C ′),

29

pues el cociente N/D se asume constante respecto a β en una vecindad de β0. Luego

φ′′ = (N/D) [C ′(d(σ)/β) + σC ′′] = (N/D)σC ′′,

lo que es igual a

φ′′ =N

D

[C ′′

1 + tan2 φ

]=C ′′ sin (2φ)

2C,

por lo tanto,

∆φ =C ′′(β0) sin (2φ)

4C(β0)(∆β)2, (2.56)

lo cual expresa a los errores de fase, en funcion del detono.

2.5. El analisis del polinomio caracterıstico

En las secciones anteriores hemos considerado unicamente errores de desintonıa, erroreslineales en los desplazamientos equiespaciados. Sin embargo, estos errores no tienen por queser necesariamente lineales y cuando esto ocurre, es necesario recurrir a un analisis masamplio. En el marco de trabajo de la interferometrıa de desplazamiento de fase, la teorıadel polinomio carcaterıstico propuesta por Surrel [12–14], permite examinar las propiedadesde los algoritmos en presencia de errores no lineales y nouniformes en los desplazamientosde fase, debidos a una mala calibracion del piezo electrico. Esta teorıa tambien permite eldiseno de algoritmos que sean insensibles a esos errores presentados, ya que la forma encomo se define dicho polinomio, mediante el analisis de sus raıces, permite la obtencion delos escalares apropiados para definir al par de combinaciones lineales de los patrones deintensidad que estiman al seno y al coseno de la fase, modulados en amplitud.

A continuacion, describiremos un poco de esta teorıa de un modo muy general, en talforma que nos permita tener una idea clara de su proposito principal, la eleccion apropiadade los escalares que definen al par de combinaciones lineales de interes en los algoritmos dedesplazamiento de fase con un numero de pasos mayor a tres. Hemos establecido que nuestraecuacion de estudio esta dada por

sk = s(φ+ δk) = s0(1 + γ cos (φ+ δk)), k = 1, . . . , n,

donde sk son los n patrones de intensidad capturados, y s0 es considerada multiplo de laintensidad promedio local. En el mismo sentido γ, es una funcion que define la visibilidad.Los desplazamientos δk, que definen a cada patron de intensidad sk, son equiespaciadosteoricamente por una separacion o paso δ. Sin embargo, en presencia de errores no lineales,la distribucion de los mismos puede suponerse de la forma

δk = kδ(1 + ε1 + kε2 + k2ε3 + . . .). (2.57)

Los valores εi, son terminos de error de calibracion lineal, ε1, cuadratico, ε2, cubico, ε3, etc.Entonces, para estudiar las propiedades de los algoritmos, se recurre a una funcion

F (φ) =n∑k=1

cks(φ+ δk), (2.58)

30

donde los escalares complejos ck = ak+ibk, determinan los coeficientes reales bk para construirla combinacion lineal que define al seno de la fase φ modulada en amplitud y los coeficientesreales ak para obtener al correspondiente coseno de la misma fase, es decir

tanφ =

n∑k=1

bksk

n∑k=1

aksk

. (2.59)

Ahora bien, en nuestra interpretacion hemos considerado hasta ahora una senal perfecta-mente cosenoidal de la forma

s(φ) = s0(1 + γ cosφ),

sin embargo, una suposicion mas general a tratar, toma lugar al considerar los armonicos

s(φ) =∞∑

m=−∞

σmexp(imφ). (2.60)

En otras palabras, hemos considerado con anterioridad, el caso particular en la ecuacion(2.60) de σ0 = s0, σ1 = σ−1 = (s0γ)/2 y σm = 0 para todos los demas valores enteros de m.Ası, mediante la ecuacion (2.58), la fase se determina mediante el argumento de F , es decir

φ = arg[F (φ)],

la cual desde luego es una estimacion, que se pretende sea lo mas exacta posible a la verdaderaφ. Esto ultimo ocurre cuando los desplazamientos de fase estan libres de error, es decir δk =kδ. Si la ecuacion (2.60) es considerada como modelo para nuestros patrones de intensidadmuestreados, entonces se tiene

s(φ+ δk) =∞∑

m=−∞

σm exp (imφ) exp (imδk), (2.61)

una expresion con la cual podemos aislar cada armonico m y estudiar la senal por separadomediante la funcion

Fm(φ) = σm exp (imφ)n∑k=1

ck exp (imδk), (2.62)

de modo que

F (φ) =∞∑

m=−∞

Fm(φ), (2.63)

de la ecuacion (2.58). De particular interes es la suma observada en (2.62), pues de ella seinduce una expresion en terminos del polinomio caracterıstico que definiremos mas adelante,entonces utilizando (2.57), tenemos

n∑k=1

ck exp (imδk) =n∑k=1

ck exp (imkδ) exp (imkδε1 + imk2δε2 + imk3δε3 + . . .),

31

de lo cual al emplear la expansion en serie ex =∑∞

j=0(xj/j!) se obtiene

n∑k=1

ck exp (imδk) =n∑k=1

ck[(exp (iδ))m]k[1 + imkδε1 + imk2δε2 + imk3δε3 + . . .

+(imkδε1)2

2!+

(imk2δε2)2

2!+

(imk3δε3)2

2!+ . . .

+2(imkδε1)(imk2δε2)

2!+

2(imkδε1)(imk3δε3)

2!

+2(imk2δε2)(imk3δε3)

2!+ . . .].

Al definir ξ = exp (iδ) y distribuir la suma anterior se obtiene

n∑k=1

ck exp (imδk) =n∑k=1

ck(ξm)k + imδε1

n∑k=1

ckk(ξm)k

+imδε2

n∑k=1

ckk2(ξm)k + imδε3

n∑k=1

ckk3(ξm)k

+ . . .+(imδε1)2

2!

n∑k=1

ckk2(ξm)k

+(imδε2)2

2!

n∑k=1

ckk4(ξm)k +

(imδε3)2

2!

n∑k=1

ckk6(ξm)k

+ . . .+2(imδε1)(imδε2)

2!

n∑k=1

ckk3(ξm)k

+2(imδε1)(imδε3)

2!

n∑k=1

ckk4(ξm)k +

2(imδε2)(imδε3)

2!

n∑k=1

ckk5(ξm)k

+ . . .(2.64)

Entonces, al pensar en ξm como una x, se define al polinomio caracterıstico del algoritmocomo

P (x) =n∑k=1

ckxk, (2.65)

de modo que en el primer termino a la derecha en (2.64) se puede ver como

P (x)|x=ξm =n∑k=1

ck(ξm)k.

32

Si se define al operador

D = x · ddx,

notaremos que el segundo termino a la derecha en (2.64) se puede expresar como

imδε1DP (x)|x=ξm = imδε1

n∑k=1

ckk(ξm)k.

Dado que

D2 =

(xd

dx

)·(xd

dx

),

tambien es evidente que el tercer termino a la derecha en (2.64) se exprese como

imδε2D2P (x)|x=ξm = imδε2

n∑k=1

ckk2(ξm)k.

La consecuencia general de esto es que

Fm(φ) = σm exp (imφ)[P (x) + imδε1DP (x)

+imδε2D2P (x) + imδε3D

3P (x)

+ . . .+(imδε1)2

2!D2P (x)

+(imδε2)2

2!D4P (x) +

(imδε3)2

2!D6P (x)

+ . . .+2(imδε1)(imδε2)

2!D3P (x)

+2(imδε1)(imδε3)

2!D4P (x) +

2(imδε2)(imδε3)

2!D5P (x)

+ . . .]|x=ξm .

(2.66)

De esto se concluye que la insensibilidad de un algoritmo respecto a un error de desplaza-miento no lineal de orden τ , con respecto al m-esimo armonico, se da cuando ξm es raız deorden τ + 1 del polinomio caracteristico P . Por ejemplo, la no linealidad cuadratica ε2 notoma lugar cuando D2P (ξm) = 0, para lo cual se requiere que ξm sea raız triple de P . En-tonces, si se desea que el algoritmo tenga esta ultima caracterıstica se requiere una eleccionde los coeficientes complejos ck que definen al algoritmo de modo que P tenga por raız triplea ξm = (exp imδ), siendo δ el correspondiente paso.

33

Capıtulo 3

Algoritmos de desplazamiento de fasegeneralizados

3.1. Algoritmo clasico de mınimos cuadrados

En el capıtulo anterior se describieron los algoritmos equiespaciados y se desarrollo un pocode la teorıa general para su analisis respecto a su insensibilidad a errores a desintonıa yotros errores un poco mas generales. Es claro que al momento de realizar la captura de losinterferogramas, los desplazamientos de fase realizados por la mecanica del piezo electricopueden tener estos errores y por consiguiente la tangente de la fase puede no ser muy precisa.El objeto de encontrar combinaciones lineales adecuadas para definir al seno y al coseno dela fase modulados en amplitud, para definir esta tangente, consiste en que aun en presenciade los errores en los desplazamientos en los interferogramas, la tagente de la fase se calculerelativamente bien, o lo suficientemente aproximada a la verdadera. Sin embargo, otra al-ternativa para un calculo preciso de esta tangente puede ser mediante un adecuado metodode estimacion de los desplazamientos errados a partir de la informacion de los interfero-gramas. Conociendo a tales desplazamientos, se puede emplear una formula para la mismatangente en terminos de desplazamientos no equiespacidos debido a los errores presentes.Esta perspectiva sugiere la idea de un ADF con pasos no equiespacidos y es por eso que enla presente seccion consideraremos el estudio de tales algoritmos, mismos en los cuales semotiva el interes principal de esta tesis.

Nuestra muy bien conocida ecuacion

sk = s0(1 + γ cos (φ+ τk)), k = 1, 2, . . . , n (3.1)

puede considerarse con desplazamientos τk no equiespaciados [15–19]. La ecuacion (3.1) puedeescribirse como

sk = a1 + a2 cos τk + a3 sin τk, (3.2)

donde a1 = s0, a2 = s0γ cosφ, a3 = −s0γ sinφ. Las incognitas a = [a1, a2, a3]> son resueltasmediante el sistema lineal impuesto por la ecuacion (3.1) con al menos tres ecuaciones, esdecir n ≥ 3. Entonces, si dichas incognitas son resueltas, la formula correspondiente para la

34

tangente de la fase resulta

tanφ = −a3

a2

, (3.3)

por lo tanto, el cociente de a3 y a2, valores que estan en terminos de los interferogramassk, definen al algoritmo. Para encontrar estos valores recurrimos a un contexto de mınimoscuadrados, es decir la minimizacion de una funcion de error dada por

ε =∑

(sk − sk)2, (3.4)

siendo sk los valores de los interferogramas y sk el modelo dado por (3.2). La suma en (3.4)toma los valores k = 1, 2, . . . , n. El funcional ε definido (3.4) tiene por variables, al vectorde incognitas a. Entonces, el mejor ajuste para minimizar (3.4) es aquel que cumple

∇ε = 0, (3.5)

siendo ∇ = (∂/∂a1, ∂/∂a2, ∂/∂a3) un operador diferencial que define al gradiente de ε [3,9].Mediante el calculo de las correspondientes derivadas parciales, la ecuacion (3.5) se puedeexpresar mediante un sistema lineal de tres ecuaciones y tres incognitas dado por

Ma = b, (3.6)

donde

M =

n

∑cos τk

∑sin τk∑

cos τk∑

cos2 τk∑

cos τk sin τk∑sin τk

∑cos τk sin τk

∑sin2 τk

, b =

∑sk∑sk cos τk∑sk sin τk

.Ası, cuando la matriz M no esta mal condicionada, es decir, el determinante de la matrizcumple det(M) 6= 0, se tiene que M posee inversa M−1. En consecuancia, el vector deincognitas queda determinado mediante

a = M−1b, (3.7)

y del mismo modo, la tangente de la fase en (3.3) describe al correspondiente algoritmo. Aeste tipo de algoritmo con pasos no equiespaciados, se le conoce como ADF generalizado [15]o con pasos no uniformes [13].

3.2. Descripcion teorica del algoritmo propuesto

En interferometrıa, la ecuacion basica que describe un patron de intensidad es

sk = a+ b cos (φ− αk), (3.8)

donde αk con k = 1, . . . , n son los desplazamientos de la fase a recuperar φ, b es la distribucionde amplitud, y a es una distribucion de traslacion u offset [7]. Las funciones φ, b, a dependen

35

de la posicion (x, y), tal y como hemos descrito con anterioridad. Entonces, sin perdida degeneralidad, se puede asumir que αk es un conjunto ordenado tal que α1 < α2 < . . . < αn.Otro supuesto necesario en este procedimiento es

∆ cosαk+1k = cosαk+1 − cosαk 6= 0,

∆ sinαk+1k = sinαk+1 − sinαk 6= 0,

(3.9)

para k = 1, . . . , n − 1 o al menos tener una mayorıa de estas cantidades diferentes de cero.En esta descripcion asumiremos la ecuacion (3.9) para k = 1, . . . , n − 1. Ahora, podemostomar dos conjuntos de escalares A′k y B′k con la propiedad

n−1∑k=1

A′k =n−1∑k=1

B′k = 0, (3.10)

entonces tenemosn−1∑k=1

Ak∆ sinαk+1k =

n−1∑k=1

Bk∆ cosαk+1k = 0, (3.11)

tomando Ak = A′k/∆ sinαk+1k y Bk = B′k/∆ cosαk+1

k . Ası mismo definiremos

∆sk+1k = sk+1 − sk =

b[∆ cosαk+1k cosφ+ ∆ sinαk+1

k sinφ],(3.12)

entonces, tenemos la formula para la fase

φ = arctan

[CN

D

], (3.13)

donde

N =n−1∑k=1

Bk∆sk+1k ,

D =n−1∑k=1

Ak∆sk+1k ,

C =

n−1∑k=1

Ak∆ cosαk+1k

n−1∑k=1

Bk∆ sinαk+1k

.

(3.14)

Las ecuaciones (3.13) y (3.14) representan el algoritmo para un desplazamiento de fase noconstante propuesto en [20] y estas se parecen mucho a las ecuaciones de Malacara-Dorrıovistas en [11], pero en las presentes hay tres diferencias; primero, no tenemos desplazamientossimetricos, segundo, no trabajamos con sumas de sk sino con diferencias, y finalmente, notenemos un desplazamiento de fase fijo.

36

3.3. Simulacion de recuperacion de fase mediante el

algoritmo propuesto

Aunque la tecnica de recuperacion de la fase a partir de la informacion dada por su tan-gente no sera abordada en esta tesis, recurriremos a un metodo alternativo de recuperacionmediante integracion lineal que describiremos mas adelante. Sin embargo, la obtencion dela fase a partir de su tangente, es un tema conocido como, desenvolvimiento de fase, mismoque es descrito en [7]. Otras desrcripciones respecto al desenvolvimiento de fases, desde unenfoque computacional, es descrito en [21,22]. Con la finalidad de mostrar la funcionalidad

Figura 3.1: Funciones correspondientes a las ecuaciones (3.15)-(3.17): (a) fase sintetica, (b)intensidad promedio y (c) amplitud.

del algoritmo propuesto en (3.13), consideremos un ejemplo de fase sintetica dada por

φ(x, y) = 2xy + 4[2(x2 + y2)− 1]+

2[3(x2 + y2)y − 2y],(3.15)

una intensidad promedio

a(x, y) = 0.0001 + 0.0001[sin (2πx/Lx)+

cos (πy/Ly)],(3.16)

y una distribucion de amplitud

b(x, y) = 0.0002 + 0.0001 exp [−0.001(x2 + y2)]. (3.17)

37

Figura 3.2: Patrones de intensidad sk para el algoritmo Schwider-Hariharan de cinco pasos.

Figura 3.3: Resultados para el algoritmo Schwider-Hariharan: (a) fase envuelta, (b) fasedesenvuelta, (c) fase sintetica y (d) errores absolutos.

38

Figura 3.4: Patrones de intensidad sk para el algoritmo generalizado de cuatro pasos.

Figura 3.5: Resultados para el algoritmo generalizado de cuatro pasos: (a) fase envuelta, (b)fase desenvuelta, (c) fase sintetica y (d) errores absolutos.

39

Figura 3.6: Patrones de intensidad sk para el algoritmo generalizado de cinco pasos.

Figura 3.7: Resultados para el algoritmo generalizado de cinco pasos: (a) fase envuelta, (b)fase desenvuelta, (c) fase sintetica y (d) errores absolutos.

40

Estas funciones estan definidas en un dominio rectangular [−Lx, Lx] × [−Ly, Ly] con Lx =Ly = 2 unidades arbitrarias, por ejemplo milımetros (tamano fısico de un sensor CCD).Para comparar la precision de los algortimos generalizados con pasos no equiespaciados,consideramos una comparacion con el bien conocido algoritmo equiespaciado e insensible adesintonıa, Schwider-Hariharan [7, 23], el cual tiene cinco pasos de π/2;

0, π/2, π, 3π/2, 2π.

Como ejemplos de algoritmos generalizados, consideramos uno de cuatro pasos

π/2, 3π/4, 7π/8, 15π/16,

tomando ecuaciones (3.13) y (3.14) con escalares A′1 = B′1 = −1, A′2 = B′2 = 2, A′3 = B′3 =−1. Adicionalmente implementamos otro algoritmo generalizado de cinco pasos (en radianes)dados por

−0.2212, 2.549, 3.9212, 5.3202, 8.0875,

y escalares A′1 = B′1 = 1, A′2 = B′2 = −1, A′3 = B′3 = 1, A′4 = B′4 = −1. La resolucion denuestros patrones de intensidad es de M ×N = 300× 300, entonces las normas de nuestrasparticiones para el dominio rectangular son ∆x = (2Lx)/(N − 1), ∆y = (2Ly)/(M − 1) alconsiderar como puntos muestra

x(j) = −Lx + (j − 1)∆x, j = 1, . . . , N,y(i) = −Ly + (i− 1)∆y, i = 1, . . . ,M.

(3.18)

Las graficas para la fase sintetica φ, la intensidad promedio a y la amplitud b se muestranen la Fig. 3.1.

Las figuras 3.2, 3.4 y 3.6, muestran los patrones de intensidad para los algoritmos deSchwider-Hariharan y los algoritmos generalizados de cuatro y cinco pasos respectivamente.

Las fase envuelta y la desenvuelta φ con sus correspondientes errores absolutos |φ − φ|para los tres algortimos descritos, se muestran en las Figs. 3.3, 3.5 y 3.7.

Las fases envueltas en todos estos ejemplos fueron desenvueltas mediante el algoritmo deConstantini [21,22] y todo el proceso de simulacion fue implementado utilizando el softwareMatlab [24,25].

Se puede observar en las Figs. 3.3, 3.5 y 3.7, que los errores absolutos estan similarmentedistribuidos variando en un orden de 10−13. Sin embargo, el error cuadratico medio (MSE)definido por

MSE =1

M ×N

M∑i=1

N∑j=1

|φ(x(j), y(i))− φ(x(j), y(i))|2, (3.19)

para el algoritmo Schwider-Hariharan es 3.0592 × 10−28, para el algoritmo generalizadode cuatro pasos es 9.0575 × 10−28, y para el algoritmo generalizado de cinco pasos es3.1217 × 10−28. Esto muestra que el error cuadratico medio con los algoritmos generali-zados en estos ejemplos no dista mucho del correspondiente error inducido por el algoritmoSchwider-Hariharan para la fase φ dada en (3.15).

41

3.4. Interpretacion Riemann-Stieltjes del algoritmo pro-

puesto

La interpretacion continua de la formula descrita en la seccion 3.2 para el algoritmo de des-plazamiento de fase generalizado tiene una explicacion matematica que puede orientarnos aun nuevo campo de estudio, la integral de Rieamann-Stieltjes [28]. Supongamos que conoce-mos la distribucion de valores s para cualquier valor de α real, entonces, la formula (3.13)puede escribirse en la forma

tanφ =Num

Den(3.20)

donde

Num =

∫B(α)ds(α)∫B(α)dsin(α)

, Den =

∫A(α)ds(α)∫A(α)dcos(α)

, (3.21)

siendo las integrales anteriores de la forma Riemann-Stieltjes de funciones especiales desco-nocidas A = A(α) y B = B(α) que representan factores de peso, respecto a las funcioness = s(α), sinα y cosα, con la integracion en todo el eje real. Dado que

s(α) = a+ b cos (φ− α),

tenemosds = b(sinφ cosα− cosφ sinα)dα

y como d sinα = cosαdα, tenemos que

Num =b sinφ

∫B(α) cosαdα− b cosφ

∫B(α) sinαdα∫

B(α) cosαdα, (3.22)

un cociente que para estar bien definido requiere satisfacer∫B(α) cosαdα 6= 0. (3.23)

Ahora, dado que en forma discreta tenemos en el algoritmo la condicion∑Bk∆ cosαk+1

k = 0,

esta se traduce en forma continua en∫B(α)dcos(α) = −

∫B(α) sinαdα = 0, (3.24)

de lo cual se concluye queNum = b sinφ. (3.25)

42

Ası, nuestra funcion especial B, aun desconocida, debe satisfacer las ecuaciones (3.23)-(3.24).Del mismo modo

Den =b sinφ

∫A(α) cosαdα− b cosφ

∫A(α) sinαdα

−∫A(α) sinαdα

, (3.26)

para lo cual ∫A(α) sinαdα 6= 0 (3.27)

y como ∑Ak∆ sinαk+1

k = 0,

se sigue que ∫A(α)dsin(α) =

∫A(α) cosαdα = 0, (3.28)

de lo cual se obtiene queDen = b cosφ. (3.29)

Las ecuaciones (3.25) y (3.29) nos muestran claramente que estamos calculando multiplosdel seno y del coseno de la fase φ, con el mismo factor de amplitud b, mientras que lasecuaciones (3.27)-(3.28) son propiedades que debe satisfacer nuestra funcion especial A equi-valentemente a las propiedades que debe satisfacer B. Las condiciones que deben satisfacerlas funciones A y B no son muy restrictivas, hay infinidad de funciones que pueden satisfacertales condiciones, una eleccion posible y de facil visualizacion pudiera ser

A(α) =

A0 sinα, −mπ ≤ α ≤ mπ0, otro caso

(3.30)

y

B(α) =

B0 cosα, −mπ ≤ α ≤ mπ0, otro caso

(3.31)

donde A0 y B0 son factores de amplitud arbitrarios y m es algun entero positivo. La formaen como se escogieron los factores de pesos Ak y Bk, aunque es algebraica, no resulta ajena aalguna posible distribucion matematica conocida. Teniendo en mente las dos ultimas eleccio-nes, se puede notar que mientras mas valores se tomen de αk, de modo que estos representenuna particion muy fina de algun intervalo de desplazmientos posibles, como [−mπ,mπ], ladistribucion de dichos pesos debe ser similar a tomar

Ak = A(α∗k), Bk = B(α∗k),

donde α∗k es algun valor en el intervalo [αk, αk+1]. Debido a lo anterior, se puede visualizarel algoritmo en terminos de sumas de Riemann-Stieltjes y justificar con esto una nuevaperspectiva para el analisis de los algoritmos de desplazamiento de fase desde el punto devista de esta integral, como herramienta adicional al clasico analisis de Fourier [7].

43

3.5. Analisis diferencial del algoritmo generalizado pro-

puesto

Hemos visto en la seccion 2.3 que el analisis de un algoritmo equiespaciado puede darse desdeun enfoque diferencial, y ası mismo desde el enfoque de Fourier, tal y como se decribio enla seccion 2.2. Si se generalizan estas ideas a los ADF no equiespaciados, se puede observarla analogıa entre estos dos enfoques, tal y como describiremos en la presente y la siguienteseccion.

3.5.1. Condicion parcial de insensibilidad al error de desplaza-miento de primer orden

Como sabemos, hay n desplazamientos diferentes αk, por lo tanto un error de desplazamientoparcial ocurre cuando un incremento de fase relativa ∆αk es anadido al desplazamientoesperado α0k de modo que se tiene

αk = α0k + ∆αk, (3.32)

en vez de α0k. La condicion parcial de insensibilidad al desplazamiento k-esimo toma lugaren el cociente N/D, tal y como se comento en el caso uno-dimensional en la seccion 2.3.Aunque la variacion real de la formula (3.13) con respecto a αk esta contenida en los factoresde peso Bp, Ap multiplicados por el numerador y el denominador del valor C respectivamente,simplificamos el analisis presente a la variacion del cociente N/D para hacer la analogıa conel analisis mostrado en la seccion 2.3. Un analisis un poco mas detallado se describira en laseccion 3.6.

Entonces, al enfocarnos en el cociente N/D, notamos que se requiere que la derivadaparcial de dicho cociente con respecto a αk sea cero. Esta propiedad ocurre si asumimos quela fase φ es constante (insensible) respecto a pequenos errores en el desplazamiento αk, deeste modo la derivada parcial de φ respecto a αk es cero y ası

∂(N/D)

∂αk=∂(tanφ/C)

∂αk= −tanφ

C2

∂C

∂αk= 0, (3.33)

evaluado en x0 = (α01, . . . , α0n). La conclusion de esto es que la condicion parcial de insen-sibilidad al error en el k-esimo desplazamiento es

∂C

∂αk

∣∣∣∣x0

= 0, (3.34)

pero mas explıcitamente, esta condicion se reduce a(∂Nk

∂αk− C∂Dk

∂αk

)∣∣∣∣x0

= 0, (3.35)

44

dondeNk = ε0

k−1Ak−1∆ cosαkk−1 + εnkAk∆ cosαk+1k ,

Dk = ε0k−1Bk−1∆ sinαkk−1 + εnkBk∆ sinαk+1

k ,

∂Nk

∂αk= −ε0

k−1Ak−1τ1 + εnkAkτ2,

∂Dk

∂αk= ε0

k−1Bk−1σ1 − εnkBkσ2,

(3.36)

las funciones τi y σi son

τ1 =cosαk∆ cosαkk−1

∆ sinαkk−1

+ sinαk,

τ2 =cosαk∆ cosαk+1

k

∆ sinαk+1k

+ sinαk,

σ1 =sinαk∆ sinαkk−1

∆ cosαkk−1

+ cosαk,

σ2 =sinαk∆ sinαk+1

k

∆ cosαk+1k

+ cosαk,

(3.37)

yεpq = 1− δpq, (3.38)

con δpq la delta Kronecker1. Sin embargo, la expresion (3.35) proporciona una formula para Cpara la insensibilidad parcial en αk, por lo tanto, si se requiere una condicion de insensibilidadconjunta que englobe a todos los desplazamientos, es necesario considerar un valor de C quesatisfaga (3.35) para todos los valore k = 1, . . . , n o bien

n∑k=1

(∂Nk

∂αk− C∂Dk

∂αk

)2∣∣∣∣∣x0

≈ 0. (3.39)

Un ejemplo de estimador de mınimos cuadrados de C, asumiendo que existe una relacionlineal entre ∂Nk/∂αk y ∂Dk/∂αk, serıa

C =

n∑k=1

(∂Nk/∂αk)(∂Dk/∂αk)

n∑k=1

(∂Dk/∂αk)2

, (3.40)

aunque, este estimado puede no ser valido si no existe dicha relacion de linealidad. En uncaso general, la minimizacion del funcional con variables independientes

(A′1, . . . , A′n−1, B

′1, . . . , B

′n−1),

1δpq = 1 si p = q y δpq = 0 si p 6= q.

45

en (3.39) condicionado a (3.10) es un problema que puede ser resuelto mediante algunastecnicas descritas en [4–6]. Sin embargo, este problema puede ser aun mas interesante sise piensa en el mismo funcional pero con otras variables independientes como los desplaza-mientos x = (α1, . . . , αn) con los escalares A′k, B′k fijos o como variables independientesadicionales. Una consecuencia de esto, es que el encontrar un conjunto de desplazamientos yvariables adicionales (si ese es el caso), tales que correspondan a una solucion del problemade minimizacion de (3.39), induce un minimizador que representa un algoritmo con insen-sibilidad conjunta a todos los errores en cada uno de los desplazamientos. Mas aun, estehecho implica un metodo para generar algoritmos con propiedades de insensibilidad, puestoque la condicion conjunta dada por este problema de minimizacion, corresponde a la condi-cion de insensibilidad al error de desintonıa de primer orden descrito en [11], considerandodesplazamientos constantes y un error lineal en los desplazamientos del algoritmo.

3.5.2. Condicion parcial de insensibilidad al error de desplaza-miento de segundo orden

De la ecuacion (3.14) podemos notar que

C =NC

DC

, (3.41)

donde

NC =n−1∑j=1

Aj∆ cosαj+1j ,

DC =n−1∑j=1

Bj∆ sinαj+1j

(3.42)

y en una forma similar∂C

∂αk=Nk

D, (3.43)

donde

Nk = DC∂Nk

∂αk−NC

∂Dk

∂αk,

D = D2C .

(3.44)

Con esto en mente, estamos en la disposicion de describir la condicion parcial de insensibili-dad al error de desplazamiento de segundo orden, puesto que esta se expresa como el hechode que las segundas derivadas parciales de C sean cero. Es facil notar que

∂2C

∂αp∂αk=D(∂Nk/∂αp)− Nk(∂D/∂αp)

D2, (3.45)

por lo tanto, la condicion parcial de segundo orden para la insensibilidad al error de despla-zamiento k-esimo es

D∂Nk

∂αp= Nk

∂D

∂αp(3.46)

46

evaluada en x0. La expresion (3.46) se reduce a

D2C

∂2Nk

∂αp∂αk−DC

∂Np

∂αp

∂Dk

∂αk−DCNC

∂2Dk

∂αp∂αk=

DC∂Dp

∂αp

∂Nk

∂αk− 2NC

∂Dp

∂αp

∂Dk

∂αk,

(3.47)

donde las segundas derivadas parciales de interes pueden ser obtenidas de manera similar alprocedimiento de primer orden. Para k = 2, . . . n, p = k− 1 las segundas derivadas parcialesson:

∂2Nk

∂αk−1∂αk= −Ak−1 cosαk−1

∆ sinαkk−1

τ1 − Ak−1η1,

∂2Dk

∂αk−1∂αk= −Bk−1 sinαk−1

∆ cosαkk−1

σ1 −Bk−1κ1,

η1 = cosαk∆ sinαkk−1 sinαk−1 + ∆ cosαkk−1 cosαk−1

(∆ sinαkk−1)2,

κ1 = sinαk∆ cosαkk−1 cosαk−1 + ∆ sinαkk−1 sinαk−1

(∆ cosαkk−1)2.

(3.48)

Para k = 1, . . . , n, p = k tenemos:

∂2Nk

∂α2k

= ε1kη2 + εnkη3,

∂2Dk

∂α2k

= ε1kκ2 + εnkκ3,

η2 =Ak−1 cosαk∆ sinαkk−1

τ1 − Ak−1(η21 + cosαk),

η3 =Ak cosαk

∆ sinαk+1k

τ2 + Ak(η31 + cosαk),

κ2 =Bk−1 sinαk∆ cosαkk−1

σ1 +Bk−1(κ21 − sinαk),

κ3 =Bk sinαk

∆ cosαk+1k

σ2 −Bk(κ31 − sinαk),

(3.49)

47

dondeη21 =

[− sinαk∆ sinαkk−1(cosαk + ∆ cosαkk−1)

− cos2 αk∆ cosαkk−1

]/(∆ sinαkk−1)2,

η31 =[sinαk∆ sinαk+1

k (cosαk −∆ cosαk+1k )

+ cos2 αk∆ cosαk+1k

]/(∆ sinαk+1

k )2,

κ21 =[∆ cosαkk−1 cosαk(∆ sinαkk−1 + sinαk)

+ sin2 αk∆ sinαkk−1

]/(∆ cosαkk−1)2,

κ31 =[∆ cosαk+1

k cosαk(∆ sinαk+1k − sinαk)

− sin2 αk∆ sinαk+1k

]/(∆ cosαk+1

k )2.

(3.50)

Para k = 1, . . . , n− 1, p = k + 1 tenemos:

∂2Nk

∂αk+1∂αk= −Ak cosαk+1

∆ sinαk+1k

τ2 − Akη4,

∂2Dk

∂αk+1∂αk=Bk sinαk+1

∆ cosαk+1k

σ2 −Bkκ4,

η4 = cosαk∆ sinαk+1

k sinαk+1 + ∆ cosαk+1k cosαk+1

(∆ sinαk+1k )2

,

κ4 = sinαk∆ cosαk+1

k cosαk+1 + ∆ sinαk+1k sinαk+1

(∆ cosαk+1k )2

.

(3.51)

Las otras derivadas parciales de segundo orden son cero, por lo tanto, para obtener unacondicion conjunta de insensibilidad a los errores de desplazamiento de segundo orden, queenglobe a todos los desplazamientos, se requiere que la ecuacion (3.47) se satisfaga parak, p = 1, . . . , n, tomando valores apropiados de NC , DC , y considerando ecuaciones (3.36)-(3.38) y (3.42)-(3.51) para calcular las derivadas de primer y segundo orden.

3.5.3. Errores de fase para un algoritmo generalizado con insensi-bilidad conjunta a los errores de desplazamiento de primerorden

En esta seccion asumiremos que C satisface la condicion conjunta de insensibilidad a loserrores de desplazamiento dada en (3.35) para k = 1, . . . , n. En este caso, todas las derivadasde primer orden de C (o de φ equivalentemente) son cero en los desplazamientos esperados

48

x0. De la ecuacion. (3.13) se sigue

∂φ

∂αk=

[1

1 + [C(N/D)]2

](N/D)

∂C

∂αk= ξ(N/D)

∂C

∂αk, (3.52)

debido a que N/D es constante respecto a pequenas variaciones en todos los desplazamientos

x = (α1, . . . , αn) = x0 +n∑k=1

ek∆αk = x0 + ∆x, (3.53)

donde los ek son los vectores canonicos en el espacio n-dimensional, y ∆αk son los erroresen cada desplazamiento k-esimo. Entonces

∂2φ

∂αp∂αk= (N/D)

[∂ξ

∂αp

∂C

∂αk+ ξ

∂2C

∂αp∂αk

], (3.54)

pero esta ultima expresion, evaluada en x0 se reduce a

∂2φ

∂αp∂αk

∣∣∣∣x0

= (N/D)ξ∂2C

∂αp∂αk

∣∣∣∣x0

=∂2C

∂αp∂αk

sin (2φ)

2C

∣∣∣∣x0

. (3.55)

Por otro lado, con la expansion de Taylor de segundo orden [3] tenemos

φ(x0 + ∆x) = φ(x0) +1

2

n∑p=1

n∑k=1

∂2φ

∂αp∂αk

∣∣∣∣x0

(∆αp)(∆αk), (3.56)

por lo tanto, los errores de fase ∆φ = φ(x0 + ∆x)− φ(x0) son

∆φ =n∑p=1

n∑k=1

∂2C

∂αp∂αk

sin (2φ)

4C

∣∣∣∣x0

(∆αp)(∆αk), (3.57)

otra expresion similar a los errores de fase mostrados en [11] pero con ciertas modificaciones.Las derivadas parciales de segundo orden de C estan en terminos de Nk, D y las derivadasparciales

∂Nk

∂αp=∂Dp

∂αp

∂Nk

∂αk+DC

∂2Nk

∂αp∂αk

−∂Np

∂αp

∂Dk

∂αk−NC

∂2Dk

∂αp∂αk,

(3.58)

y∂D

∂αp= 2Dc

∂Dp

∂αp, (3.59)

pero todas estas cantidades estan en terminos de seno y coseno de los desplazamientos.

49

3.6. Analisis de Fourier del algoritmo generalizado pro-

puesto

3.6.1. Las funciones de frecuencia de muestreo: propiedades basi-cas de Fourier

Como es descrito en [20], la tangente de la fase para un ADF generalizado es calculadamediante

tanφ =

∑Bk∆s

k+1k /

∑Bk∆ sin (α)k+1

k∑Ak∆s

k+1k /

∑Ak∆ cos (α)k+1

k

, (3.60)

donde las sumas tienen un ındice que toma los valores k = 1, . . . , n − 1, y n es el numerode muestras de los patrones de intensidad sk = s(αk) = a + b cos (φ− αk). Para cualquierfuncion h con variable independiente α empleamos la notacion abreviada ejemplificada por∆hk+1

k = ∆h(α)k+1k = h(αk+1) − h(αk). La funcion a representa a la intensidad promedio y

b es una funcion de amplitud. Cada αk representa un desplazamiento de fase en el dominioespacial o temporal, Bk = B′k/∆ cos (α)k+1

k , y Ak = A′k/∆ sin (α)k+1k . Nosotros referimos por

pesos constantes a los escalares B′k, A′k, tales que

∑B′k =

∑A′k = 0, y por pesos variables

a los valores Bk y Ak. En el mismo sentido, referimos por factores de peso a los coeficientes

Bk =Bk∑

Bj∆ sin (α)j+1j

=Bk

DC

, Ak =Ak∑

Aj∆ cos (α)j+1j

=AkNC

, (3.61)

un conjunto de variables dependientes de todos los desplazamientos αk (donde j = 1, . . . , n−1). De esto, la ecuacion (3.60) se reduce a

tanφ =

∑Bk∆s

k+1k∑

Ak∆sk+1k

. (3.62)

Por lo tanto, en el dominio temporal, si la funcion s es considerada para todo valor temporalreal t, esto es s = s(t) = a + b cos (φ− ωt), entonces tenemos las muestras de s con despla-zamientos de la forma αk = ωtk = (2πfr)tk, donde las tk son tiempos discretos y fr es unafrecuencia de referencia [7]. Entonces, la fase φ puede ser calculada por

tanφ =

∫ ∞−∞

s(t)gN(t)dt∫ ∞−∞

s(t)gD(t)dt

, (3.63)

donde gN(t) =∑Bk[δ(t−tk+1)−δ(t−tk)], y gD(t) =

∑Ak[δ(t−tk+1)−δ(t−tk)] son funciones

de muestreo para el numerador y el denominador respectivamente. Estas expresiones soncombinaciones lineales de deltas de Dirac δ trasladadas en el valor tk.

Empleando letras mayusculas para la transformada de Fourier, tenemos

GN(f) =∑

Bk[∆ cos (fα/fr)k+1k − i∆ sin (fα/fr)

k+1k ],

50

y

GD(f) =∑

Ak[∆ cos (fα/fr)k+1k − i∆ sin (fα/fr)

k+1k ].

Puesto que g(t) = g(t) para las funciones de muestreo temporales para el numerador y eldenominador, donde · denota complejo conjugado, se sigue que φ se calcula mediante

tanφ =

∫ ∞−∞

S(f)GN(f)df∫ ∞−∞

S(f)GD(f)df

(3.64)

de la identidad de Parseval [9]. Entonces, las funciones de frecuencia de muestreo son

GN(f) =∑Bk[∆ cos (fα/fr)

k+1k + i∆ sin (fα/fr)

k+1k ],

GD(f) =∑Ak[∆ cos (fα/fr)

k+1k + i∆ sin (fα/fr)

k+1k ].

(3.65)

Con estas funciones es posible examinar las propiedades basicas de Fourier estudiadas conanterioridad:

1. El cero bias,GN(0) = GD(0) = 0,

obtenido de (3.65).

2. La condicion de ortogonalidad en la frecuencia de referencia

GN(fr) = i, GD(fr) = 1,

directamente obtenida de las propiedades definidas para las sumas de A′k y B′k, puestoque estas implican

∑Bk∆ cos (α)k+1

k =∑Ak∆ sin (α)k+1

k = 0, y entonces GN(fr) =iGD(fr).

3. La propiedad de amplitudes iguales en la frecuencia de referencia

Am(GN(fr)) = Am(GD(fr)) = 1.

3.6.2. ADFs generalizados con variacion mınima en sus factoresde peso

Para generar un algoritmo con propiedades de insensibilidad a desintonıa de primer orden, enel dominio frecuencial, un comportamiento tangencial en las amplitudes de las funciones defrecuencia de muestreo es requerido. Siguiendo lo expuesto en [11], una ecuacion que describela tangente de la fase en terminos de una funcion C(β) con variable independiente β, undesplazamiento fijo, es empleada para generar algoritmos equiespaciados insensibles a desin-tonıa. Con esta funcion es posible observar el comportamiento de la grafica de C ′(β), derivadade C con respecto a β, contra β. Si C ′(β0) = 0, entonces se tiene un algoritmo insensible adesintonıa con desplazamiento fijo β0. En un manuscrito previo [20] se describio un procedi-miento parecido para obtener algoritmos con pasos desiguales y caracterısticas similares con

51

respecto a propiedades de insensibilidad parcial y conjunta a los errores de desplazamien-to. Esta descripcion se realizo en terminos de funcionales que reflejan las propiedades deinsensibilidad, sin embargo en dicho tratado [20], tambien se comenta que esos funcionalesfueron obtenidos bajo hipotesis particulares que simplifican los calculos matematicos en lasexpresiones. La variacion real de (3.62) con respecto a los desplazamientos αp esta contenidaen todos los coeficientes Ak y Bk, de modo que un funcional mas apropiado es

F (x) =n∑p=1

n−1∑k=1

(∂Bk

∂αp

)2

+

(∂Ak∂αp

)2 , (3.66)

donde x = [α1, α2, . . . , αn]>. Aquı, estamos asumiendo que los coeficientes A′k, B′k estan

fijos, y que ademas son identicos (A′k = B′k), por lo tanto, la variacion de la ecuacion para lafase envuelta en el espacio de los desplazamientos es analizada. La razon para considerar laminimizacion del funcional (3.66), surge del hecho de que en (3.62) las derivadas parcialescon respecto a cada desplazamiento αp sean cero. Al mismo tiempo, esto permite obtener unalgoritmo con funciones de frecuencia de muestreo con amplitudes iguales en el dominio deFourier. La razon de esto, se debe a que se minimiza

F (x) =n−1∑k=1

(Bk − Ak)2, (3.67)

lo que equivale a la minimizacion de F (x) =∑n−1

k=1(NC∆ sinαk+1k −DC∆ cosαk+1

k )2. La mini-mizacion anterior requiere ∂(NC∆ sinαk+1

k )/∂αp = ∂(DC∆ cosαk+1k )/∂αp para p = 1, . . . , n,

lo cual se obtiene como caso particular de la minimizacion de (3.66). Al minimizar la expre-sion (3.66) se sigue que ∂Ak/∂αp ≈ ∂Bk/∂αp ≈ 0 para todo p = 1, . . . , n y k = 1, . . . , n− 1,entonces ∂(NC∆ sinαk+1

k )/∂αp ≈ 0 ≈ ∂(DC∆ cosαk+1k )/∂αp.

Un minimizador de (3.66), x∗, puede ser obtenido mediante cualquier metodo iterativode minimizacion, por ejemplo; gradiente conjugado, Levenberg-Marquardt, Dogleg, etc. [4–6].El minimizador x∗ representa un algoritmo con amplitudes iguales en todas las frecuencias,sin embargo, algunas veces corresponde a un algoritmo extrano con pasos hacia atras (pasosnegativos) o con pasos repetidos (pasos con longitud cero). Esto se debe a que el funcio-nal (3.66) puede tener muchas posibles soluciones, y ademas, la dependencia respecto a laaproximacion inicial x0 y el criterio de paro escogidos, pueden afectar en la busqueda de talminimizador.

Los siguientes ejemplos muestran el comportamiento descrito. Para un algoritmo de cincopasos con escalares A′1 = B′1 = A′3 = B′3 = 1, A′2 = B′2 = A′4 = B′4 = −1, y valor inicialx0 = [0, 2, 4, 6, 8]> (pasos en radianes), la ecuacion (3.66) puede ser minimizada con el metodode Levenberg-Marquardt [6], obteniendo

x∗,5 = [−0.657, 1.524, 3.927, 6.329, 8.511]> . (3.68)

En este algoritmo, las graficas de las amplitudes y fases (en radianes) para las correspon-dientes funciones de frecuencia de muestreo dadas en (3.65), se muestran en la Fig. 3.8. Lascurvas continuas representan amplitudes y fases de las funciones de frecuencia de muestreoGN , respectivamente. Las curvas punteadas representan lo mismo pero para GD. Aunque la

52

Figura 3.8: Dependencia de las funciones de frecuencia de muestreo para un ADF no equies-paciado con cinco pasos (las curvas continuas y punteadas corresponden al numerador yal denominador de (3.65) respectivamente). (a) Amplitudes para frecuencias normalizadasmenores a 10 (el numerador y el denominador coinciden). (b) Fases para frecuencias norma-lizadas en una vecindad de la frecuencia de referencia uno (fr = 1).

Figura 3.9: Dependencia de las funciones de frecuencia de muestreo para un ADF no equies-paciado con seis pasos (las curvas continuas y punteadas corresponden al numerador y aldenominador de (3.65) respectivamente). (a) Amplitudes para frecuencias normalizadas me-nores a 10 (el numerador y el denominador coinciden). (b) Fases para frecuencias normali-zadas en una vecindad de la frecuencia de referencia uno (fr = 1).

53

ortogonalidad es importante en todas las frecuencias, estamos particularmente interesadosunicamente en las fases cerca de la frecuencia de referencia. Ası, para obtener un cierto gra-do de insensibilidad a desintonıa, solo requerimos que se tenga la misma pendiente en lasfases (condicion de paralelismo) y un comportamiento tangencial en las amplitudes en unavecindad de la frecuencia de referencia. Esta es la razon para considerar un dominio pequenoo vecindad en las graficas de las fases.

Como se puede apreciar en Fig. 3.8, el algoritmo es sensible a desintonıa debido a quela ortogonalidad no se cumple en la vecindad de fr = 1. El algoritmo tambien es sensible atodos los armonicos.

Otro ejemplo se muestra en la Fig. 3.9, un ADF no equiespaciado con seis pasos y losescalares A′1 = B′1 = A′4 = B′4 = 1, A′2 = B′2 = A′5 = B′5 = −1, A′3 = B′3 = 0, donde

x∗,6 = [−0.159, 0.785, 1.73, 2.982, 3.927, 4.871]> , (3.69)

fue obtenido con un valor inicial x0 = [0, 1, 2, 3, 4, 5]>. Este algoritmo es sensible a desintonıae insensible a los armonicos pares. Com se observa en Fig. 3.9 (b) el algoritmo tiene faseslineales cuyas pendientes difieren en magnitud por un factor de 1.18 radianes.

Algoritmos que cumplan la condicion de tagencia en las amplitudes y la condicion dependientes iguales en sus fases, en la frecuencia fr, requieren de un funcional como

F (x,y) =(∑

Ak∆(α sinα)k+1k +

∑Bk∆(α cosα)k+1

k

)2

+(∑Ak∆(α cosα)k+1

k −∑

Bk∆(α sinα)k+1k

)2

.(3.70)

Los desplazamientos x en este funcional estan fijos y los pesos constantes

y = [B′1, . . . , B′n−1, A

′1, . . . , A

′n−1]>,

son variables independientes. El primer termino en (3.70) refiere al comportamiento tangen-cial en amplitudes, mientras que el segundo termino refiere a la ortogonalidad en las fases.Como un ejemplo de minimizador de este funcional, tenemos x = (π/2)[0, 1, 2, 3]> y

y = [1,−2, 1, 1,−2, 1]> . (3.71)

Este ADF tiene las propiedades del algoritmo de Schwider descrito en [7]. Es insensible alcuarto y octavo armonicos, y tambien posee una ligera sensibilidad a la desintonıa. Estoes debido a que las pendientes son iguales en las fases para la frecuencia de referencia y elcomportamiento tangencial en las amplitudes tambien toma lugar. Este algoritmo tambienes un minimizador de (3.66), puesto que las amplitudes son iguales en todas las frecuencias.

En los primeros dos ejemplos la ortogonalidad no fue notoria, debido a que las condicionesimpuestas en el funcional (3.66) no fueron orientadas con este fin. En el tercer ejemplo, laortogonalidad toma lugar, debido a que para la referencia fr se obtiene la misma pendienteen las fases; una condicion impuesta en (3.70). En la siguiente seccion, describiremos estecomportamiento de ortogonalidad para todas las frecuencias en los ADF no equiespaciados,tal y como ocurre en los ADF equiespaciados.

54

3.6.3. La condicion de ortogonalidad: un caso particular

La ecuacion (3.62) es bastante flexible para representar ADFs particulares como el algoritmode Schwider-Hariharan descrito en [23,29]. La expresion de este algoritmo se obtiene mediantex = (π/2)[−2,−1, 0, 1, 2]> y escalares A′1 = A′3 = 0.5, A′2 = A′4 = −0.5, B′1 = B′4 = 0, B′2 = 1y B′3 = −1. Este algoritmo insensible a desintonıa es ortogonal en todas las frecuencias ytiene un numero impar de pasos, con un paso central en cero y 4 factores de peso y pasos,respectivamente simetricos. Al tener presente la forma de este ADF, se puede asumir unalgoritmo con un numero impar de pasos y la siguiente propiedad A′j = −A′n−j, B′j = −B′n−j,αj = −αn+1−j, para j = 1, . . . , τ , donde n = 2τ + 1, siendo τ un entero positivo. En estecontexto ατ+1 = 0 es considerado como paso central, ası, teniendo estas consideraciones, elalgoritmo se vuelve ortogonal en todas las frecuencias, puesto que las fases de (3.65) son

γN(f) = arctan

[∑Bk∆ sin (fα/fr)

k+1k∑

Bk∆ cos (fα/fr)k+1k

], γD(f) = arctan

[∑Ak∆ sin (fα/fr)

k+1k∑

Ak∆ cos (fα/fr)k+1k

],

(3.72)y es relativamente sencillo conlcuir

∑Bk∆ cos (fα/fr)

k+1k = 0,

∑Ak∆ sin (fα/fr)

k+1k = 0,

entonces γN(f) = (2σ1 + 1)(π/2), γD(f) = σ2π para toda f siendo σi enteros. Sin embargo,si tenemos un mumero par de pasos simetricos, no habra paso central, aunque la mismapropiedad de ortogonalidad se logra, asumiendo de nuevo pesos constantes simetricos paraj = 1, . . . , τ − 1, y A′τ = B′τ = 0 donde n = 2τ . Desde luego la formula (3.60) no quedabien definida para Bτ debido a la division entre cero de ∆ cosατ+1

τ = 0, sin embargo, estaambiguedad se puede evitar definiendo de entrada Bτ = 0. Naturalmente, esta propiedad deortogonalidad es un caso particular con pendientes de fases iguales a cero. Las fases linealespueden tener otras pendientes con un angulo de inclinacion distinto de cero y para esto,habrıa que estudiar las condiciones que inducen este comportamiento.

3.6.4. ADFs insensibles a desintonıa

Consideremos la condicion de ortogonalidad descrita en la seccion anterior, e implemente-mos el funcional (3.70) sin el correspondiente segundo termino de ortogonalidad. Se puederealizar un proceso de minimizacion teniendo a los pasos fijos y variando a los pesos es-calares como si fueran variables independientes. Esto es precısamente lo que ocurre en laminimizacion condicionada [4–6], donde la region de busqueda es un subespacio que describela condicion de ortogonalidad para todas las frecuencias. Verifiquemos un ejemplo de ADFequiespaciado, con cinco pasos x = (π/2)[−2,−1, 0, 1, 2]>. Comenzamos con un valor inicialy0 = [1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1]>, y el minimizador resultante es

y∗,5 = [0.4,−1.3, 1.3,−0.4, 0.4,−1.3, 1.3,−0.4]> (3.73)

Notamos que en Fig. 3.10 el algoritmo es insensible a desintonıa, todos las frecuen-cias impares pueden ser detectadas y es insensible al cuarto y octavo armonicos. Estasson las caracterısticas del algoritmo de cinco pasos clase B descrito por Schmit y Creathen [30]. Otro ejemplo de ADF equiespaciado, siguiendo este procedimiento, se obtiene conx = (π/2)[−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3]> y valor inicial y0 = [1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1]>,

55

Figura 3.10: Dependencia de las funciones de frecuencia de muestreo para un ADF equies-paciado con cinco pasos (las curvas continuas y punteadas corresponden al numerador yal denominador de (3.65) respectivamente). (a) Amplitudes para frecuencias normalizadasmenores a 10. (b) Fases para frecuencias normalizadas en una vecindad de la frecuencia dereferencia uno (fr = 1).

Figura 3.11: Dependencia de las funciones de frecuencia de muestreo para un ADF equies-paciado con siete pasos (las curvas continuas y punteadas corresponden al numerador y aldenominador de (3.65) respectivamente). (a) Amplitudes para frecuencias normalizadas me-nores a 10. (b) Fases para frecuencias normalizadas en una vecindad de la frecuencia dereferencia uno (fr = 1).

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Figura 3.12: Dependencia de las funciones de frecuencia de muestreo para un ADF no equies-paciado con cinco pasos (las curvas continuas y punteadas corresponden al numerador y aldenominador de (3.65) respectivamente). (a) Amplitudes para frecuencias normalizadas me-nores a 10. (b) Fases para frecuencias normalizadas en una vecindad de la frecuencia dereferencia uno (fr = 1).

Figura 3.13: Dependencia de las funciones de frecuencia de muestreo para un ADF no equies-paciado con cuatro pasos (las curvas continuas y punteadas corresponden al numerador yal denominador de (3.65) respectivamente). (a) Amplitudes para frecuencias normalizadasmenores a 10. (b) Fases para frecuencias normalizadas en una vecindad de la frecuencia dereferencia uno (fr = 1).

57

Figura 3.14: Dependencia de las funciones de frecuencia de muestreo para un ADF no equies-paciado con seis pasos (las curvas continuas y punteadas corresponden al numerador y aldenominador de (3.65) respectivamente). (a) Amplitudes para frecuencias normalizadas me-nores a 10. (b) Fases para frecuencias normalizadas en una vecindad de la frecuencia dereferencia uno (fr = 1).

resultando

y∗,7 = [0.6,−1.3, 0.9,−0.9, 1.3,−0.6, 0.4,−1.4, 1.9,−1.9, 1.4,−0.4]> . (3.74)

En la Fig. 3.11 se observa el comportamiento de las amplitudes de este algoritmo, el cualtiene caracterısticas similares al ADF de siete pasos propuesto por Servın y descrito en [31].

Ahora, verifiquemos resultados similares para un ADF no equiespaciado de cinco pasos

x = (π/4)[−3,−1, 0, 1, 3]>,

y un valor inicial y0 = [1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1]>, resultando

y∗,5 = [1,−1, 1,−1, 0,−1, 1, 0]> . (3.75)

De la Fig. 3.12, se observa que este algoritmo es insensible a desintonıa, todas las frecuenciasimpares pueden detectarse, y es insensible al cuarto y octavo armonicos. Con este ejemplo,tenemos un ADF no equiespaciado insensible a desintonıa, con propiedades de ortogonalidaden todas las frecuencias. Por otro lado, existen otros algoritmos no equiespaciados que soninsensibles a desintonıa y son ortogonales en todas las frecuencias, sin que la condicion depesos escalares simetricos tome lugar. Por ejemplo x = [−0.76, 1.48, 1.66, 3.9]>, con y =[1,−2, 1, 1, 0,−1]>, mostrado en Fig. 3.13, y x = (π/4)[1, 2, 3, 5, 6, 7]>, con

y = [0,9,−0,4,−1, 1,1,−0,6, 1, 0,−1, 1,−1]>,

58

visto en Fig. 3.14, respectivamente. Ambos algoritmos fueron obtenidos empleando procedi-mientos optimizados de minimizacion de funcionales similares a los vistos en (3.66) y (3.70).Todos los resultados descritos en la presente seccion 3.6 fueron reportados en la referen-cia [32].

59

Capıtulo 4

Analisis armonico

En este capıtulo veremos como es posible, a partir de las expresiones de un algoritmo defase generalizado, la obtencion de sistemas lineales de ecuaciones que nos permiten establecercondiciones deseadas en cuanto a compensacion de la desintonıa y la presencia de un numerofinito de armonicos en los patrones de intensidad. El analisis de insensibilidad a desintonıay armonicos sera de primer orden, a traves del estudio de las funciones de frecuencia demuestreo del algoritmo en el dominio frecuencial de Fourier.

4.1. Motivacion del analisis armonico

El topico de algoritmos de desplazamiento de fase generalizados (generalized phase shif-ting algorithms, GPSAs), es algo que ha sido analizado ampliamente en muchos artıcu-los [12–20, 26, 27, 32]. Del mismo modo, hemos descrito en un capıtulo anterior, que el en-foque de Freischlad y Koliopoulos [8] es un metodo practico para analizar los algoritmosde desplazamiento de fase (phase shifting algorithms, PSAs), cuando estos son consideradoscon desplazamientos de fase equiespaciados. El analisis de los PSAs mediante este enfoquese basa en el comportamiento grafico de las funciones de frecuencia de muestreo asociadas ala ecuacion que describe la tangente de la fase. Las propiedades graficas de estas funcionesdeterminan las caracterısticas de insensibilidad a errores de desplazamiento y armonicos paraun diseno eficiente de los algoritmos. En un trabajo reciente [32] exploramos la posibilidadde analizar los GPSAs mediante el enfoque de Freischlad y Koliopoulos, entonces un simpleprocedimiento de minimizacion para optimizar los algoritmos para interferometrıa de despla-zamiento de fase (phase shifting interferometry, PSI) fue propuesto. En el presente capıtulodescribiremos un analisis de primer order para los algoritmos equiespaciados y algunos noequiespaciados, empleando las expresiones matematicas definidas en [20,32].

Como observaremos en la siguiente seccion, la presencia de componentes armonicas enlos patrones de intensidad puede ser debida a las no linealidades del detector de luz. Estas nolinealidades se presentan cuando el arreglo pixelar de sensores en la CCD no esta bien alinea-do. Aunque este problema no es significativo para los nuevos dispositivos de alta resolucion,el mismo problema no deja de ser interesante desde el punto de vista teorico, especialmentecuando franjas de alta frecuencia se manifiestan en los patrones de intensidad. Estas franjas

60

de alta frecuencia pueden ser resueltas si la presencia de armonicos se toma en cuenta, yaque los armonicos pueden considerarse como funciones que dependen de la posicion pixelar.Otra fuente de error que tıpicamente se presenta en los arreglos de PSI es la mala calibraciondel transductor piezo-electrico que genera los desplazamientos de fase. Este error es en lamayorıa de los casos lineal y es conocido como detuning (desintonıa). Cuando el error dedesintonıa esta presente en los patrones de intensidad, este se interpreta como una ligeradesviacion de la frecuancia de referencia. La desintonıa y otros errores de alto orden hansido analizados en muchas referencias: [11–14, 29–33] por mencionar algunas. Hay muchasotras fuentes de error, por ejemplo el tiempo de captura, vibraciones, etc., pero nosotrosestamos particularmente interesados en las primeras dos fuentes mencionadas.

El enfoque de Freischlad y Koliopoulos [8], como ya hemos estudiado, considera que losvalores de las amplitudes de las funciones de frecuencia de muestreo (frequency samplingfunctions, FSFs) deben valer cero en ciertas frecuencias armonicas para tener algoritmosinsensibles a dichos armonicos. La insensibilidad a estos armonicos se alcanza cuando lacondicion de ortogonalidad para las fases de las FSFs se logra al menos en una vecindad dela frecuencia de referencia (ortogonalidad local). Esta condicion se traduce en un compor-tamiento de pendientes iguales en dichas fases en la frecuencia fundamental. Mas aun, si lacondicion de ortogonalidad local se satisface, la insensibilidad a armonicos en presencia dedesintonıa se logra mediante un comportamiento de amplitudes con pendiente cero en talesarmonicos. La insensibilidad a armonicos tambien ha sido estudiada en muchos artıculos, porejemplo [12–14, 33, 34]. En estas referencias, el analisis para los errores de fase considera alos patrones de intensidad mediante expasiones en serie en terminos de cosenos, cuyos argu-mentos tienen un numero infinito de componentes armonicas. Sin embargo, los algoritmos seobtienen al considerar unicamente el armonico fundamental, en otras palabras, considerandoun patron de intensidad perfectamente cosenoidal. Por otro lado, expresiones matematicasinteresantes que consideran la presencia de un numero finito de armonicos son presentadasen [19,35,36]. Nosotros estamos interesados en considerar un numero finito de armonicos enlos patrones de intensidad y con ello proponer las ecuaciones que permiten obtener la faseenvuelta a partir de una expresion mas general para dichos patrones.

4.2. No linealidades del detector de luz

Como se describe en [7], el detector de luz puede tener una salida electronica que impliqueestar relacionada en forma no lineal con la senal original de entrada, incluso en los casosen que los detectores son ajustados para trabajar en su region mas lineal. Considerando unarreglo de phase-shifting (desplazamiento de fase) como el Twyman-Green de la Fig. 4.1, sis es el patron de intensidad detectado por una camara CCD, y st es el verdadero patronproducido por el arreglo, se puede escribir

s = st + ε0 + ε1st + ε2s2t , (4.1)

donde st = a+ b cos (φ− α), a es una intensidad promedio, b es una funcion de amplitud, φes la diferencia de fase entre dos ondas de luz que interfieren y α es algun desplazamientoarbitrario de fase introducido por el PZT del arreglo de phase-shifting. Los valores ε0, ε1 yε2, son coeficientes de error anadidos a la verdadera intensidad st.

61

Figura 4.1: Configuracion basica de arreglo interferometrico Twyman-Green.

La ecuacion (4.1) es una forma idealizada del patron de intensidad medido s cuandoel erreglo de sensores en la CCD no esta alineado perfectamente. Un ejemplo hipoteticopuede verse en la Fig. 4.2. En esta figura tenemos dos pequenas regiones de dos arreglos desensores uno-dimensionales, uno de ellos bien alineado y el otro no. En el arreglo alineado, loscentros posicionales de los sensores han sido multiplicados por un factor de normalizacion.Estas posiciones son x = 0, 1, 2, 3. En el arreglo no alineado, estos centros pueden obtenersemediante el cambio de los valores x del arreglo alineado al aplicar sobre dichos valores latransformacion H(x) = −0.4 + (0.75)x + (0.15)x2. Podemos considerar como ejemplo depatron de intensidad uno-dimensional a la funcion st(x) = cos(x), este patron se obtienecuando a(x) = 0, b(x) = 1, φ(x) = x y α = 0. Entonces, la transformacion no lineal H(x)puede considerarse como la expansion de Taylor de otra funcion H(x), esto es

H(x) = H(x0) + H ′(x0)(x− x0) + (1/2)H ′′(x0)(x− x0)2. (4.2)

Esta funcion puede ser H(x) = arc cos[ε0 + (1 + ε1) cos (x) + ε2 cos2 (x)], considerando elpunto x0 = π/2 y los valores ε0 = 0.41022, ε1 = 0.11372 y ε2 = −0.44268. Puesto que eltermino de la derecha en (4.2) es la expansion de Taylor de segundo orden de la funcion H,esto implica que H(x) ≈ H(x). Sin embargo, la intensidad medida en principio deberıa sers(x) = st[H(x)] = cos[H(x)], de lo cual tenemos que

s(x) ≈ cos [H(x)] = cos (x) + ε0 + ε1 cos (x) + ε2 cos2 (x)= st(x) + ε0 + ε1st(x) + ε2s

2(x),(4.3)

siendo esto la expresion idealizada dada por (4.1). En un caso real y general, la aproximacionen (4.3) se considera como una igualdad ya que, trabajar con el modelo en (4.1) es mas

62

Figura 4.2: Arreglos de sensores uno-dimensionales. Las posiciones x del arreglo alineadoestan normalizadas y las posiciones del no alineado se obtienen mediante la transformacionH(x) = −0.4 + (0.75)x+ (0.15)x2.

63

conveniente que trabajar con la composicion s(x) = st[H(x)], la cual esta en terminos deuna funcion H teoricamente desconocida.

Por otro lado, es posible reescribir la ecuacion (4.1) como

s = a0 + a1 cos [φ− α] + a2 cos [2(φ− α)], (4.4)

donde a0 = a + ε0 + ε1a + ε2[a2 + (b2/2)], a1 = (b + ε1b + 2ε2ab), y a2 = (1/2)ε2b2. Del

mismo modo, se puede considerar una no linealidad de tercer orden, esto es

s = st + ε0 + ε1st + ε2s2t + ε3s

3t , (4.5)

donde a0 = a+ε0 +ε1a+ε2[a2 +(b2/2)]+ε3[a3 +(3ab2/2)], a1 = [b+ε1b+2ε2ab+ε3(3a2b+(3/4)b3)], a2 = (b2/2)[ε2 + 3ε3a], y a3 = (1/4)ε3b

3. Desde el punto de vista matematico, enlos dos casos anteriores, la presencia de no linealidades puede considerarse como la presenciade componentes armonicas en el patron s. Para un caso general, si los errores ε0, ε1 y las nolinealidades εm de orden m ≥ 2 se asumen independientes del desplazamiento α, se puedeobtener una ecuacion mas general de patron de intensidad, es decir

sk =M∑m=0

am cos [m(φ− αk)], k = 1, . . . , K (4.6)

donde sk es el k-esimo patron de intensidad obtenido en el k-esimo desplazamiento de fasearbitrario αk y K ≥ 2M + 1 es el mınimo numero requerido de patrones de intensidadcapturados, lo que veremos mas adelante. La ecuacion (4.6) se demuestra a partir de dospropiedades interesantes que se infieren de los polinomios de Chebyshev [25] (Ver teoremas 2 y3 del apendice). Puesto que el coeficiente de la potencia p del polinomio de Chebyshev Tp (congrado p) es distinto de cero, se puede demostrar que cualquier polinomio de grado p, evaluadoen cos x, puede reescribirse como combinacion lineal de los primeros p + 1 polinomios deChebyshev T0(x) = 1, T1(x) = x, T2(x) = 2x2−1, T3(x) = 4x3−3x, . . . , Tp(x) = 2xTp−1(x)−Tp−2(x), todos ellos evaluados en cos x. Dado que Tp(cosx) = cos (px), la ecuacion (4.6) se

obtiene al considerar st,k = a + b cos (φ− αk) y sk = st,k +∑M

m=0 εmsmt,k. Las funciones am

con m 6= 0 son funciones de amplitud para cada componente armonica m-esima y M es elnumero maximo de componente armonica definida para los patrones de intensidad sk. Lafuncion a0 se interpreta como un termino de bias (traslacion o constante) para sk. Todaslas funciones am se asumen dependientes de la posicion, tal como la fase φ a recuperar y losdesplazamientos αk no son necesariamente equiespaciados como en el caso de los arreglos engeneralized phase shifting interferometry (GPSI) (interferometrıa de desplazamiento de fasegeneralizada) [12–20,26,27,32].

4.3. GPSAs para patrones de intensidad con un nume-

ro finito de armonicos

Tomando la ecuacion (4.6) como modelo a considerar, la diferencia entre patrones de inten-sidad consecutivos es

∆sk+1k = sk+1 − sk =

M∑m=1

am[cos (mφ)∆ cos (mα)k+1k + sin (mφ)∆ sin (mα)k+1

k ], (4.7)

64

para k = 1, . . . , K−1. En la ecuacion (4.7) tenemos ∆ cos (mα)k+1k = cos (mαk+1)−cos (mαk)

y ∆ sin (mα)k+1k = sin (mαk+1) − sin (mαk). En lo sucesivo, emplearemos la notacion abre-

viada ∆hk+1k = ∆h(α)k+1

k = h(αk+1) − h(αk) = hk+1 − hk, para referir cualquier diferenciaconsecutiva, donde h represente cualquier funcion considerada como dependiente de α. Aho-ra, definamos 2M conjuntos de escalares λ1

k, λ2k, . . . , λMk y µ1

k, µ2k, . . . , µMk , cada

uno con K − 1 elementos. Estos conjuntos contienen numeros arbitrarios diferentes de zeroque seran llamados factores de sensibilidad. Entonces tenemos

λpk∆sk+1k =

M∑m=1

am[cos (mφ)(λpk∆ cos (mα)k+1k ) + sin (mφ)(λpk∆ sin (mα)k+1

k )],

µpk∆sk+1k =

M∑m=1

am[cos (mφ)(µpk∆ cos (mα)k+1k ) + sin (mφ)(µpk∆ sin (mα)k+1

k )],

(4.8)

para toda p = 1, 2, . . . ,M y k = 1, 2, . . . , K− 1. Otros 2M conjuntos de escalares desconoci-dos, cada uno con K−1 elementos, puede ser considerado. Estos son B1

k, B2k, . . . , BM

k ,A1

k, A2k, . . . , AMk , con las propiedades

K−1∑k=1

Bpkλ

pk∆ cos (mα)k+1

k = 0, ∀m = 1, 2, . . . ,M,

K−1∑k=1

Bpkλ

pk∆ sin (mα)k+1

k =

0 ∀m 6= p,1 m = p,

(4.9)

yK−1∑k=1

Apkµpk∆ sin (mα)k+1

k = 0, ∀m = 1, 2, . . . ,M,

K−1∑k=1

Apkµpk∆ cos (mα)k+1

k =

0 ∀m 6= p,1 m = p,

(4.10)

para toda p = 1, 2, . . . ,M . Para cada p, las ecuacione (4.9) y (4.10) determinan dos sistemaslineales con 2M ecuaciones y K − 1 incognitas, entonces se requiere tener al menos K =2M + 1 patrones de intensidad para resolver estos sistemas. Une vez que estos dos sistemasson resueltos para cada p, se obtienen soluciones escalares Bp

k y Apk, con las cualestenemos una ecuacion de fase envuelta dada por

tan (pφ) =

K−1∑k=1

Bpk∆s

k+1k

K−1∑k=1

Apk∆sk+1k

, (4.11)

donde Bpk = λpkB

pk y Apk = µpkA

pk. A la ecuacion anterior la hemos llamado, expresion Riemann-

Stieltjes del algoritmo de PSI, debido a que las sumas en el numerador y el denominador del

65

cociente son sumas de Riemann-Stieltjes [28]. Considerando a estas sumas, si tenemos al in-tervalo Ω y a la particion del mismo dada por α1 < α2 < . . . < αK , la cual no necesariamentees regular (equiespaciada) pero con ||∆α|| = max

1≤k≤K−1∆αk+1

k suficientemente pequena (K

suficientemente grande), entonces la ecuacion (4.11) se puede ver como

tan (pφ) =

∫Ω

Bpds∫Ω

Apds

=

∫Ω

Bp(α)(ds/dα)dα∫Ω

Ap(α)(ds/dα)dα. (4.12)

Las funciones en la ecuacion (4.12) Bp(α), Ap(α), y s(α) =∑M

m=0 am cos [m(φ− α)] sondependientes de α. Dos de estas funciones, Bp(α) y Ap(α), son llamadas funciones de factoresde peso y puesto que ds =

∑Mm=1 mam sin [m(φ− α)]dα, dichas funciones requieren satisfacer∫

Ω

Bp(α) sin (mα)dα = 0, ∀m = 1, . . . ,M

∫Ω

Bp(α) cos (mα)dα =

γ(p), m = p0, m 6= p

(4.13)

y ∫Ω

Ap(α) cos (mα)dα = 0, ∀m = 1, . . . ,M

∫Ω

Ap(α) sin (mα)dα =

−γ(p), m = p0, m 6= p

(4.14)

siendo γ(p) un valor distinto de cero que puede suponerse dependiente de p. Entonces, paraK suficientemente grande, la ecuacion (4.11) se aproxima a la ecuacion (4.12) al tomar Bp

k =Bp(α∗k) y Apk = Ap(α∗k), con α∗k dada por algun numero contenido en el intervalo [αk, αk+1]. Unejemplo de funciones que satisfacen las ecuaciones (4.13)y (4.14) se da cuando Ω = [−π, π],Bp(α) = γ(p) cos (pα)/

∫Ω

cos2 (pα)dα, y Ap(α) = −γ(p) sin (pα)/∫

Ωsin2 (pα)dα.

4.4. Ortogonalidad en todas las frecuencias con pen-

diente cero

Aunque la ecuacion (4.11) sirve para recuperar la fase φ multiplicada por su correspondientefactor armonico p, esto es pφ, nuestro interes principal esta en dicha formula cuando p = 1.Por lo tanto, vamos a analizar la ecuacion (4.11), refiriendo por Bk y Ak a los escalares Bp

k

y Apk con p = 1. Para este caso, la ecuacion (4.11) es

tanφ =

K−1∑k=1

Bk∆sk+1k

K−1∑k=1

Ak∆sk+1k

. (4.15)

66

De modo similar a la descripcion hecha en [32], se puede concluir facilmente que las funcio-nes de frecuencia de muestreo que representan al numerador y al denominador del algoritmodefinido por (4.15) son dos funciones dependientes de la frecuencia GN(f) y GD(f) respec-tivamente. Estas funciones satisfacen

tanφ =

∫ ∞−∞

S(f)GN(f)df∫ ∞−∞

S(f)GD(f)df

, (4.16)

donde S(f) es la transformada de Fourier [9, 10] de s(t) =∑M

m=0 am cos [m(φ− ωt)]. Lasfunciones GN(f) y GD(f) son complejo conjugadas de las transformadas de Fourier degN(t) =

∑K−1k=1 Bk[δ(t− tk+1)− δ(t− tk)] y gD(t) =

∑K−1k=1 Ak[δ(t− tk+1)− δ(t− tk)] respec-

tivamente, donde δ es la delta de Dirac. Aquı los desplazamientos de fase quedan definidospor αk = ωtk = (2πfr)tk, donde tk puede considerarse como tiempo discreto y fr es unafrecuencia de referencia. Las FSFs son

GN(f) =∑

Bk∆ cos (•α)k+1k + i

∑Bk∆ sin (•α)k+1

k ,

GD(f) =∑

Ak∆ cos (•α)k+1k + i

∑Ak∆ sin (•α)k+1

k ,

(4.17)

donde los ındices de las sumas varıan desde k = 1, . . . , K − 1, • = f/fr e i es la unidadimaginaria.

Un caso particular e interesante de ortogonalidad en todas las frecuencias para las FSFs seda cuando sus fases son lineales con pendiente cero en comun y separadas por una distanciaconstante igual a un multiplo impar de π/2. Esto sucede por ejemplo, cuando

GN(f) = i∑

Bk∆ sin (•α)k+1k = AmN(f) exp (iπ/2),

GD(f) =∑

Ak∆ cos (•α)k+1k = AmD(f) exp (i · 0),

(4.18)

donde AmN y AmD representan funciones de amplitud.

Verifiquemos las condiciones necesarias para obtener (4.18). En el caso de un algoritmocon un numero impar de pasos, esto es K = 2τ + 1, se requiere que∑

Bk∆ cos (•α)k+1k = 0,∑

Ak∆ sin (•α)k+1k = 0, ∀f.

(4.19)

Entonces, asumiendo

αj = −αK+1−j, j = 1, . . . , τ, ατ+1 = 0, (4.20)

se sigue que∆ cos (•α)j+1

j = −∆ cos (•α)2τ−j+22τ−j+1,

∆ sin (•α)j+1j = ∆ sin (•α)2τ−j+2

2τ−j+1, j = 1, . . . , τ.

(4.21)

67

A partir de (4.21) tenemos∑Bk∆ cos (•α)k+1

k =τ∑j=1

Bj∆ cos (•α)j+1j +

τ∑j=1

B2τ−j+1∆ cos (•α)2τ−j+22τ−j+1

=τ∑j=1

[Bj − B2τ−j+1]∆ cos (•α)j+1j ,

∑Ak∆ sin (•α)k+1

k = . . .

=τ∑j=1

[Aj + A2τ−j+1]∆ sin (•α)j+1j .

(4.22)

Por lo tanto, de la ecuacion (4.22), se satisface (4.19) si

Bj = B2τ−j+1 = BK−j,

Aj = −AK−j, j = 1, . . . , τ.(4.23)

A partir de las ecuaciones (4.20) y (4.23), las FSFs se reducen a

GN(f) = iτ∑j=1

2Bj∆ sin (fα/fr)j+1j ,

GD(f) =τ∑j=1

2Aj∆ cos (fα/fr)j+1j .

(4.24)

Resultados similares se obtienen para un algoritmo con un numero par de pasos, esto esK = 2τ . Cuando K es par, podemos asumir

αj = −α2τ+1−j = −αK+1−j, j = 1, . . . , τ, (4.25)

y para tener FSFs, perfectamente ortogonales en todas las frecuencias, se requiere que

Bj = B2τ−j = BK−j,

Aj = −AK−j, j = 1, . . . , τ − 1,

Bτ = 0,

Aτ = 0.

(4.26)

El valor de Bτ en (4.26) puede ser cualquiera, ya que ∆ cos (•α)τ+1τ = 0, sin embargo, sin

perdida de generalidad se puede suponer igual a cero.

4.5. Insensibilidad a desintonıa e insensibilidad a armoni-

cos en presencia de desintonıa

El algoritmo en (4.11), cuando p = 1, es insensible a los armonicos m = 2, . . . ,M , pero enmuchos casos no es insensible a dichos armonicos en presencia de desintonıa. Los factores

68

de sensibilidad λp=1k , µp=1

k , pueden variarse hasta lograr la insensibilidad a desintonıa en lafrecuencia fundamental (m = 1), pero la insensibilidad a los armonicos (m > 1) en presenciade desintonıa, no necesariamente se logra al mismo tiempo. Sin embargo, con base en losresultados previos, podemos considerar las ecuaciones para disenar un algoritmo insensible adesintonıa e insensible a armonicos en presencia de desintonıa. Pensemos en el casoK = 2τ+1junto con las ecuaciones (4.20) y (4.23). Con el proposito de trabajar con sistemas lineales,el grado de insensibilidad analizado sera de primer orden. De la ecuacion (4.24) tenemos

AmN(f) =τ∑j=1

2Bj∆ sin (fα/fr)j+1j ,

AmD(f) =τ∑j=1

2Aj∆ cos (fα/fr)j+1j ,

(4.27)

cuyas derivadas con respecto a f son

(dAmN/df) =τ∑j=1

2Bj(1/fr)∆α cos (fα/fr)j+1j ,

(dAmD/df) =τ∑j=1

2Aj(−1/fr)∆α sin (fα/fr)j+1j .

(4.28)

Una de las condiciones principales que todo PSA debe satisfacer, es la propiedad deamplitudes iguales en fr, lo cual es AmN(fr) = AmD(fr) = 1, y se reescribe como

τ∑j=1

Bj[2∆ sin (α)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[0] = 1,

τ∑j=1

Bj[0] +τ∑j=1

Aj[2∆ cos (α)j+1j ] = 1.

(4.29)

Para lograr insensibilidad a desintonıa, se requiere que las amplitudes tengan un comporta-miento tangencial en fr, lo cual es (dAmN(fr)/df) = (dAmD(fr)/df). Esto implica

τ∑j=1

Bj[(2/fr)∆α cos (α)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[(2/fr)∆α sin (α)j+1j ] = 0. (4.30)

La insensibilidad a armonicos sin considerar desintonıa, se obtiene cuando AmN(mfr) =

69

AmD(mfr) = 0, m = 2, . . . ,M . Por lo tanto, es suficiente con tener

τ∑j=1

Bj[2∆ sin (2α)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[0] = 0,

τ∑j=1

Bj[2∆ sin (3α)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[0] = 0,

...

τ∑j=1

Bj[2∆ sin (Mα)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[0] = 0,

τ∑j=1

Bj[0] +τ∑j=1

Aj[2∆ cos (2α)j+1j ] = 0,

...

τ∑j=1

Bj[0] +τ∑j=1

Aj[2∆ cos (Mα)j+1j ] = 0.

(4.31)

Finalmente, la insensibilidad a armonicos, en presencia de desintonıa, se logra cuando

(dAmN(mfr)/df) = (dAmD(mfr)/df) = 0, m = 2, . . . ,M.

70

Entonces, es requerido que

τ∑j=1

Bj[(2/fr)∆α cos (2α)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[0] = 0,

τ∑j=1

Bj[(2/fr)∆α cos (3α)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[0] = 0,

...

τ∑j=1

Bj[(2/fr)∆α cos (Mα)j+1j ] +

τ∑j=1

Aj[0] = 0,

τ∑j=1

Bj[0] +τ∑j=1

Aj[(−2/fr)∆α sin (2α)j+1j ] = 0,

...

τ∑j=1

Bj[0] +τ∑j=1

Aj[(−2/fr)∆α sin (Mα)j+1j ] = 0.

(4.32)

Las ecuaciones (4.29)-(4.32) generan un sistema lineal de 4M −1 ecuaciones con 2τ = K−1incognitas (Bj, Aj, j = 1, . . . , τ). Para resolver este sistema, es necesario tener al menosK−1 = 4M−1, lo cual implica K = 4M , y es imposible en este caso. Sin embargo, para tenerinsensibilidad en presencia de desintonıa, en la mayorıa de los armonicos m = 2, . . . ,M − 1,podemos no considerar la ultima igualdad en (4.32). Por lo tanto, con (4M−1)−1 = 4M−2ecuaciones, el sistema puede resolverse cuando K = 4M − 1 y la correspondiente matriz delsistema tiene inversa.

Las mismas 4M − 2 ecuaciones lineales puede ser obtenidas en el caso K = 2τ , donde lasincognitas serıan Bj, Aj, j = 1, . . . τ − 1, teniendo al menos K = 4M patrones de intensidadpara resolver el sistema.

Independientemente de los valores αk que fueran escogidos, y sin importar el hecho de queK sea impar o par, la existencia de la matriz inversa del sistema podrıa ser algo cuestionable.Sin embargo, los casos en que esta matriz es singular (no ivertible), ocurren raramente.

4.6. PSAs insensibles a desintonıa: insensibilidad a desin-

tonıa para armonicos consecutivos

Nuestro interes pricipal en esta seccion es el diseno de PSAs con pasos equiespaciados, ya queestos algoritmos son empleados en los arreglos experimentales clasicos. Sin embargo, resulta

71

interesante el uso de las ecuaciones (4.29)-(4.32) en los GPSAs para apreciar el alcance dedichas ecuaciones. Por lo tanto, antes de empezar con ejemplos de algoritmos equiespacia-dos, algunos GPSAs seran mostrados. Como se describio al respecto, las ecuaciones (4.20) o(4.25), deben asumirse para reducir las expresiones matematicas para las FSFs y entonces,nuestros ejemplos de GPSAs no resultaran demasiado generalizados. Para los PSAs igual-mente espaciados, esta limitacion no es un obstaculo para fines practicos, ya que la fase φsiempre se calcula con un termino de piston (traslacion constante). Entonces, el termino depiston se interpreta como un parametro de traslacion que se anade a los desplazamientos defase. Esto significa que un PSA con pasos α = [α1, α2, α3, α4] = [0, 1, 2, 3, 4] (en radianes),equivale a un segundo PSA con α = [−1.5,−0.5, 0.5, 1.5]. En vez de φ, la fase recuperada esφ− 1.5 con este segundo PSA.

Propongamos algunos ejemplos de GPSAs. Si se requiere tener un algoritmo insensi-ble al segundo armonico con un numero impar de pasos entonces K debe ser de la forma4M − 1 = 4(2) − 1 = 7. Puesto que K = 2τ + 1 = 7, entonces τ = 3, por lo tanto,podemos suponer por ejemplo, que los desplazamientos de fase estan dados por el vectorα = [−4.5,−3.5,−2, 0, 2, 3.5, 4.5]. A partir de este supuesto, se pueden obtener los factoresde peso

B = [B1, B2, B3] = [0.5429, 2.2799, 4.0835],

A = [A1, A2, A3] = [1.0589, 1.0589, 0.3040],(4.33)

al resolver el sistema de ecuaciones dado por (4.29)-(4.32) (sin considerar la ultima igual-dad en (4.32)). En este caso los vectores B y A de (4.33) tienen τ = 3 coeficientes quecorresponden a las 2τ = 6 incognitas del sistema. Ası, el algoritmo es

tanφ = [0.5429∆s2

1 + 2.2799∆s32 + 4.0835∆s4

3+4.0835∆s5

4 + 2.2799∆s65 + 0.5429∆s7

6]/[1.0589∆s2

1 + 1.0589∆s32 + 0.3040∆s4

3−0.3040∆s5

4 − 1.0589∆s65 − 1.0589∆s7

6],

(4.34)

a partir de (4.15), (4.23) y (4.33) para τ = 3. La Fig. 4.3 (a) muestra las amplitudes de lasFSFs de (4.34). Si los conceptos de insensibilidad a desintonıa y armonicos se interpretanpara los GPSAs, tal y como se hizo en [32], entonces este algoritmo es insensible a desintonıa yası mismo al segundo armonico. Ahora propongamos un segundo algoritmo que sea insensibleal segundo armonico con K = 2τ = 4M = 8 pasos. Si los desplazamientos de fase sonα = [−4.5,−3.7,−3.5,−3, 3, 3.5, 3.7, 4.5] entonces tenemos τ = 4 y

B = [−1.3023, 7.9869,−2.7384],

A = [−1.9358, 8.5394,−0.3891],(4.35)

una vez que se resuelve el sistema de ecuaciones (4.29)-(4.32) para K par. Los vectores en(4.35) tienen (τ − 1) = 3 coeficientes para definir el algoritmo. Los otros coeficientes secalculan mediante (4.26), ası, el algoritmo resultante es

tanφ = [−1.3023∆s2

1 + 7.9869∆s32 − 2.7384∆s4

3 + 0 ·∆s54

−2.7384∆s65 + 7.9869∆s7

6 − 1.3023∆s87]/[

−1.9358∆s21 + 8.5394∆s3

2 − 0.3891∆s43 + 0 ·∆s5

4

+0.3891∆s65 − 8.5394∆s7

6 + 1.9358∆s87].

(4.36)

72

0 2 4 6 8 10−10

−5

0

5

10(a)

Normalized frequency

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10−40

−20

0

20

40(b)

Normalized frequency

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10−10

−5

0

5

10(c)

Normalized frequency

Ampl

itude

Figura 4.3: Amplitudes de las FSFs para algunos GPSAs. (a) Algoritmo de ecuacion (4.34).(b) Algoritmo de ecuacion (4.36). (c) Algoritmo dado por (4.37).

73

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(a)

Normalized frequency

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(b)

Normalized frequency

Ampl

itude

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.20

0.05

0.1

Normalized frequency

P−V

phas

e er

ror [

rad]

(c)

case (a)case (b)

Figura 4.4: (a) Amplitudes para el algoritmo dado por (4.38). (b) Amplitudes para el algo-ritmo dado por (4.39). (c) Errores P-V para los algoritmos dados por (4.38)-(4.39).

74

Las amplitudes que representan a algoritmo en (4.36) se muestran en Fig. 4.3 (b). Otro ejem-plo con K = 2τ + 1 = 11 se da mediante α = [−10.5,−9.4,−8.4,−7.4,−3.5, 0, 3.5, . . . , 10.5].Un algoritmo con estos desplazamientos puede ser insensible a los armonicos m = 2, 3, de-bido a que K = 4M − 1 = 11 implica M = 3. Los primeros τ = 5 factores de peso de estealgoritmo son

B = [0.2697, 0.7963, 1.3278, 1.6425, 1.6792],

A = [0.8486, 2.9111, 2.7907, 2.4387, 0.1169],(4.37)

para el numerador y el denominador de (4.15) respectivamente. Las correspondientes ampli-tudes de este GPSA se muestran en Fig. 4.3 (c).

Ahora veamos algunos PSAs con pasos equiespaciados. Un algoritmo de siete pasos conα = (π/2)[−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3] puede considerarse. Entonces los primeros τ = 3 coeficientespara el numerador y el denominador del algoritmo son

B = [−0.1518,−0.2054, 0.1429],

A = [−0.0268, 0.2232, 0.2500].(4.38)

Este algoritmo es insensible a desintonıa e insensible al segundo armonico en presencia dedesintonıa. Sus amplitudes se muestran en Fig. 4.4 (a), donde puede apreciarse que es insen-cible al cuarto y octavo armonicos, e insensible en presencia de desintonıa al sexto y decimoarmonicos. Otro algoritmo de ocho pasos α = (2π/5)[−3.5,−2.5,−1.5,−0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5]puede obtenerse al resolver las ecuaciones (4.29)-(4.32). Los primeros (τ − 1) = 3 factores depeso son

B = [−0.2172,−0.3984,−0.2351],

A = [−0.1317, 0.0683, 0.3236].(4.39)

Este algoritmo es insensible a desintonıa, e insensible al segundo, tercero, quinto, septimo,octavo y decimo armonicos. Sus amplitudes estan en Fig. 4.4 (b). Nuestros algoritmos sonortogonales en todas las frecuencias, entonces el error pico valle (peak-to-valley, P-V) parala fase esta dado por

PV E(f) =1

2[1− (AmN(f)/AmD(f))] , (4.40)

para frecuencias cercanas a la referencia fr [7]. El error P-V para los algoritmos de (4.38) y(4.39) se muestra en Fig. 4.4 (c) para fr = 1. Aunque el sistema de ecuaciones (4.29)-(4.32)(sin la ultima igualdad de la ecuacion (4.32)) permite obtener algoritmos con insensibilidada los primeros (M − 1) armonicos en presencia de desintonıa, e insenibilidad al armonicoM -esimo, en algunos casos el sistema produce soluciones con propiedades adicionales de in-sensibilidad para algunos armonicos m > M . Este comportamiento se observa en los ultimosdos ejemplos que hemos visto en las ecuaciones (4.38)-(4.39). Estas propiedades adiciona-les dependen del tamano del paso escogido y las simetrıas que el sistema tiene, respecto alas funciones seno y coseno que definen sus coeficientes. Para lograr insensibilidad en losarmonicos m = 2, 3, algoritmos con K = 11 o K = 12 pasos son requeridos. Por ejemploα = (π/3)[−5,−4, . . . ,−1, 0, 1, . . . , 4, 5], cuyos factores de peso estan dados por

B = [−0.0573,−0.1812,−0.2180,−0.0532, 0.1781],

A = [−0.0437,−0.0041, 0.1625, 0.2896, 0.1667].(4.41)

Las amplitudes del algoritmo implicado por (4.41) se muestran en Fig. 4.5 (a). En esta figurase observa que el algoritmo es insensible a desintonıa, insensible en presencia de desintonıa

75

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(a)

Normalized frequency

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(b)

Normalized frequency

Ampl

itude

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.20

0.02

0.04

0.06

Normalized frequency

P−V

phas

e er

ror [

rad]

(c)

case (a)case (b)

Figura 4.5: (a) Amplitudes para el algoritmo dado por (4.41). (b) Amplitudes para el algo-ritmo dado por (4.42). (c) Errores P-V para los algoritmos dados por (4.41)-(4.42).

76

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(a)

Normalized frequency

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(b)

Normalized frequency

Ampl

itude

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.20

0.02

0.04

0.06

0.08

Normalized frequency

P−V

phas

e er

ror [

rad]

(c)

case (a)case (b)

Figura 4.6: (a) Amplitudes para el algoritmo dado por (4.43). (b) Amplitudes para el algo-ritmo dado por (4.44). (c) Errores P-V para los algoritmos dados por (4.43)-(4.44).

77

a los armonicos 2, 3, 4, 8, 9, 10, e insensible al armonico 6. Por otro lado, con un numero parde pasos, por ejemplo α = (5π/12)[−5.5,−4.5, . . . ,−0.5, 0.5, . . . , 4.5, 5.5], tenemos

B = [−0.0384,−0.1785,−0.3622,−0.3687,−0.1482],

A = [−0.0099, 0.0003, 0.1297, 0.3426, 0.3453].(4.42)

Este algoritmo es insensible a desintonıa e insensible en presencia de desintonıa a los armoni-cos 2 y 3, como puede verse en Fig. 4.5 (b). Los errores P-V de fase de los algoritmos en(4.41)-(4.42) se muestran en Fig. 4.5 (c) para la misma referencia fr = 1.

En el caso M = 4 podemos considerar 4M − 1 = 15 desplazamientos dados por α =(π/3)[−7,−6, . . . ,−1, 0, 1, . . . , 6, 7], y al resolver las ecuaciones (4.29)-(4.32) encontramosque

B = [0.0955, 0.1178,−0.0010,−0.1117,−0.1457,0.0323, 0.1066],

A = [0.0227,−0.0884,−0.1276,−0.1060, 0.0607,0.2058, 0.0556].

(4.43)

De la Fig. 4.6 (a), notamos que el algoritmo de (4.43) es insensible a desintonıa, insensibleen presencia de desintonıa a los armonicos 2, 3, 4, 8, 9, 10, e insensible al sexto armonico. Enel caso de un algoritmo con 4M = 16 desplazamientos y

α = (10π/31)[−7.5,−6.5, . . . ,−0.5, 0.5, . . . , 6.5, 7.5],

se obtieneB = [−0.0080,−0.0512,−0.1580,−0.3002,−0.3707,−0.2815,−0.0962],

A = [−0.0046,−0.0194,−0.0221, 0.0443, 0.1954,0.3215, 0.2598].

(4.44)

Las amplitudes de este algoritmo se muestran en Fig. 4.6 (b). El algoritmo resulta insensiblea desintonıa e insensible en presencia de desintonıa a los armonicos 2, 3, 4.

Para M = 5 podemos considerar K = 4M − 1 = 19 pasos dados por

α = (2π/9)[−9,−8, . . . ,−1, 0, 1, . . . , 8, 9],

lo cual implicaB = [0.0111, 0.0109,−0.0387,−0.1228,−0.1888,−0.1788,−0.0703, 0.0989, 0.2415],

A = [−0.0670,−0.1039,−0.1402,−0.1274,−0.0442,0.0814, 0.1798, 0.1774, 0.0441].

(4.45)

En este caso, con la ecuacion (4.45) tenemos las amplitudes que se observan en Fig. 4.7(a). Este algoritmo es insensible a desintonıa e insensible en presencia de desintonıa a losarmonicos 2, 3, 4, 5, 6, 7, con insensibilidad en el noveno armonico. Si el algoritmo tuvieraK = 4M = 20 desplazamientos dados por

α = (π/4)[−9.5,−8.5, . . . ,−0.5, 0.5, . . . , 8.5, 9.5],

78

entonces la solucion de las ecuaciones(4.29)-(4.32) serıa

B = [0.0713, 0.1727, 0.0952,−0.0056,−0.0869,−0.1540,−0.1254, 0.0243, 0.0832],

A = [0.0393,−0.0247,−0.1146,−0.1208,−0.1185,−0.0289, 0.1125, 0.2058, 0.0770].

(4.46)

Como todos los anteriores, este algoritmo es insensible a desintonıa, insensible en presenciade desintonıa a los armonicos 2, 3, 4, 5, 6, 10 e insensible al octavo armonico La Fig. 4.7 (b)muestra las amplitudes de este algoritmo y la Fig. 4.7 (c) muestra los correspondientes erroresP-V. Finalmente, en el caso de M = 6, un algoritmo con K = 4M −1 = 23 pasos dados por

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(a)

Normalized frequency

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(b)

Normalized frequency

Ampl

itude

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.20

0.05

0.1

Normalized frequency

P−V

phas

e er

ror [

rad]

(c)

case (a)case (b)

Figura 4.7: (a) Amplitudes para el algoritmo dado por (4.45). (b) Amplitudes para el algo-ritmo dado por (4.46). (c) Errores P-V para los algoritmos dados por (4.45)-(4.46).

α = (π/6)[−11,−10, . . . ,−1, 0, 1, . . . , 10, 11] puede ser considerado. La solucion a este casoes

B = [−0.0082,−0.0369,−0.0878,−0.1498,−0.2019,−0.2204,−0.1891,−0.1068, 0.0090, 0.1246, 0.1997],

A = [−0.0167,−0.0386,−0.0479,−0.0281, 0.0274,0.1107, 0.1996, 0.2632, 0.2724, 0.2110, 0.0833].

(4.47)

79

0 2 4 6 8 10−0.5

0

0.5

1

1.5(a)

Normalized frequency

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10−2

−1

0

1

2(b)

Normalized frequency

Ampl

itude

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.20

0.01

0.02

0.03

0.04

Normalized frequency

P−V

phas

e er

ror [

rad]

(c)

case (a)case (b)

Figura 4.8: (a) Amplitudes para el algoritmo dado por (4.47). (b) Amplitudes para losalgoritmos dados por (4.48). (c) Errores P-V para los algoritmos dados por (4.47)-(4.48).

80

Como el algoritmo anterior, este es insensible a desintonıa. Sin embargo, tambien es insensibleen presencia de desintonıa a los armonicos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, como puede notarse en laFig. 4.8 (a). Si K = 4M = 24, y los desplazamientos son

α = (π/4)[−11.5,−10.5, . . . ,−0.5, 0.5, . . . , 10.5, 11.5],

cuando el sistema propuesto se resuelve, resulta

B = [−0.0361,−0.0034, 0.0611, 0.1669, 0.0977,0.0081,−0.1131,−0.1597,−0.0746, 0.0024, 0.0794],

A = [0.0495, 0.0873, 0.0852, 0.0241,−0.0687,−0.1305,−0.1045, 0.0288, 0.0770, 0.1089, 0.0770].

(4.48)

Este algoritmo es insensible a desintonıa e insensible en presencia de desintonıa unicamentea los armonicos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10. La Fig. 4.8 (b) muestra las amplitudes de este algoritmo,y la Fig. 4.8 (c) muestra los errores P-V en comparacion con el algoritmo de la ecuacion(4.47). Los resultados en este capıtulo han sido expuestos en la referencia [37].

81

Capıtulo 5

Sobremuestreo y ajuste polinomialpara reconstruccion de fase sindesenvolvimiento

En este capıtulo describiremos una forma de realizar una estimacion para la fase medianteel empleo de iterpolaciones cubica y promedio. Estas interpolaciones seran utilizadas en elincremento de resolucion de las imagenes moduladas en amplitud que representan al seno yal coseno de la fase. Dichas imagenes son obtenidas a traves de tecnicas de desplazamientode fase. En el contexto de un desplazamiento de fase generalizado, sin recurrir a procesos dedesenvolvimiento, las imagenes moduladas son empleadas en la recuperacion de frentes deonda (fases) con franjas que pueden considerarse de alta densidad. El metodo de integracionlineal para reconstruccion de fase, sirve perfectamente para estos propositos sin recurrir aldesenvolvimiento, sin embargo, este metodo requiere una forma apropiada para el calculode derivadas parciales de las imagenes moduladas. Este problema resulta mas complicadocuando la fase a recuperar posee valores de coeficientes de aberracion relativamente altos.

Considerando el problema anterior, se puede suponer como solucion razonable, el incre-mento de resolucion de las imagenes moduladas, algo que puede realizarse mediante muchostipos de interpolacion. Sin embargo, un tipo particular de interpolacion sera abordada eneste capıtulo y aunque bastante simple, esta resulta del analisis de un caso particular, deun funcional de costo cuadratico asociado al problema de sobremuestreo (incremento deresolucion). Este funcional, utilizado en la reconstruccion de frentes de onda a partir detrazo de rayos, ha mostrado cierta mejorıa en comparacion con la tecnica convencional desobremuetreo; la interpolacion bi-cubica.

Posteriormente, describiremos una tecnica sencilla que consiste en un ajuste polinomialdirecto de la fase, con la informacion proporcionada por las imagenes moduladas. Medianteeste ajuste, notaremos que los errores de la estimacion pueden minimizarse aun mas que alrecurrir al sobremuestreo, pues este ultimo implica un costo computacional mas elevado encuanto a las operaciones requeridas para extraer la fase de las imagenes moduladas. Aunquedesde luego, dicho ajuste implica tambien el uso de optimizacion matematica; procedimientosde minimizacion iterativos aplicados a funcionales de costo.

82

5.1. Incremento de resolucion de las imagenes modu-

ladas

En las tecnicas de desplazamiento de fase, la fase envuelta es obtenida a partir del argumentode la funcion tangente. En muchos experimentos y simulaciones, los metodos de desenvol-vimiento pueden no funcionar bien. Esto especialmente ocurre cuando las variaciones de lafase producen patrones de intensidad con franjas de alta frecuencia. El problema de desen-volvimiento ha sido frecuentemente estudiado en la literatura [7,38]. Algunas tecnicas comola descrita en [39, 40] (el metodo de integracion lineal), son faciles de implementar y muyefectivas para la medicion de la fase con estas caracterısticas. Aunque en principio, la tecnicaestandar descrita en [39,40] trabaja bien, la exactitud en el calculo de las derivadas parcialeses mayor cuando la resolucion de las imagenes incrementa. Como resultado, la resolucion delos patrones de intensidad muestreados incrementa cuando se usan camaras con arreglos desensores con muchos pixeles o bien, cuando se recurre a tecnicas de sobremuestreo. Esta si-tuacion hipotetica toma lugar, cuando un desplazamiento de fase generalizado [20] es llevadoa cabo con una camara de baja resolucion y sin el uso de pupilas en los interferogramas.

El incremento en la resolucion de los interferogramas, como solucion posible a este pro-blema, resulta bastante logico. Aunque un gran costo computacional serıa requerido parael proceso de sobremuestreo cuando el numero de interferogramas es grande, este inconve-niente se reduce a solo dos imagenes: el seno y el coseno de la fase, modulados en amplitud.Siguiendo esta perspectiva, es posible describir una metodologıa simple para incrementar laresolucion mediante interpolacion bi-cubica [41] o mediante el uso de funcionales de costocuadraticos, en forma similar al procedimiento descrito en [42,43]. Si las dos imagenes modu-ladas son incrementadas en resolucion, los valores estimados de la fase se obtienen con masexactitud, debido a que las derivadas parciales de dichas imagenes, se calculan con pequenosincrementos diferenciales.

Primeramente, describiremos las ecuaciones para calcular el seno y el coseno de la fa-se modulados en amplitud a partir de los patrones de intensidad recuperados mediantedesplazamiento de fase generalizado [20]. Despues, describiremos la manera de calcular lasderivadas parciales de estas imagenes mediante el uso de polinomios de Lagrange con nue-ve puntos para llevar a cabo la interpolacion [24, 25]. Entonces, empleando una integraciontrapezoidal de estas derivadas, la fase puede ser recuperada mediante dos maneras: unamediante la consideracion de la derivada parcial de la fase en la direccion x como funcionprincipal, y otra mediante el uso de la derivada parcial de la fase en la direccion y. Estetratamiento sera aplicado a un ejemplo general, mostrando la exactitud obtenida en el casoparticular de la estimacion de una fase asferica, mediante el incremento de resolucion de lasdos imagenes moduladas. La interpolacion propuesta sera comparada con la interpolacionbi-cubica, debido a que esta es la tecnica comercial estandar para sobremuestreo [41]. Adi-cionalmente, la interpolacion propuesta sera comparada con el metodo descrito en [42, 43],empleando un funcional de costo cuadratico. La interpolacion propuesta esta basada en elanalisis de este funcional de costo, para el caso particular que considera factores de escalap = q = 2, lo cual significa incrementar el numero de pixeles de la imagen de m × n a(pm− 1)× (qn− 1) = (2m− 1)× (2n− 1).

83

5.2. Estimacion del gradiente de la fase mediante pa-

trones de intensidad con pasos arbitrarios

La ecuacion basica estudiada en interferometrıa de desplazamiento de fase es

sk(x, y) = a(x, y) + b(x, y) cos (φ(x, y)− αk), k = 1, . . . K ≥ 3, (5.1)

donde a es una intensidad promedio y b es la amplitud o intensidad modulada. La funcionobjetivo es la fase φ, y los desplazamientos αk generan los patrones de intensidad sk. Haymuchos algoritmos que pueden ser implementados para calcular tanφ a partir de los patronesde intensidad sk. Cuando tanφ es calculada, un proceso de desenvolvimiento es requeridopara la reconstruccion de la fase. Sin embargo, a partir de las ecuaciones principales en [20],el seno y el coseno de la fase pueden ser directamente calculados. Estas funciones estanmoduladas en amplitud por la funcion escalar b, dichas funciones son

Nu =K−1∑k=1

Bk∆sk+1k , De =

K−1∑k=1

Ak∆sk+1k , (5.2)

donde ∆sk+1k = sk+1 − sk, y mediante estas, tenemos las estimaciones

b sinφ =Nu

K−1∑k=1

Bk∆ sinαk+1k

, b cosφ =De

K−1∑k=1

Ak∆ cosαk+1k

, (5.3)

donde ∆ sinαk+1k = sinαk+1−sinαk y ∆ cosαk+1

k = cosαk+1−cosαk. Ha sido descrito en [20],que las ecuaciones (5.2-5.3) tienen por escalares Ak = A′k/∆ sinαk+1

k , Bk = B′k/∆ cosαk+1k ,

donde A′k y B′k para k = 1, . . . , K − 1, son numeros tales que

K−1∑k=1

A′k =K−1∑k=1

B′k = 0. (5.4)

Ahora, empleando el procedimiento descrito en [39, 40], el gradiente de la fase se calcula atraves de

∂Nu

∂x= τNu

[∂b

∂xsinφ+ b cosφ

∂φ

∂x

], (5.5)

∂De

∂x= τDe

[∂b

∂xcosφ− b sinφ

∂φ

∂x

], (5.6)

donde τNu =K−1∑k=1

Bk∆ sinαk+1k y τDe =

K−1∑k=1

Ak∆ cosαk+1k , entonces de (5.5) y (5.6) tenemos

∂φ

∂x=

(b cosφ

τNu

)(∂Nu

∂x

)−(b sinφ

τDe

)(∂De

∂x

)(b sinφ)2 + (b cosφ)2

, (5.7)

84

con los valores de b sinφ y b cosφ dados por (5.3). De manera similar, tenemos

∂φ

∂y=

(b cosφ

τNu

)(∂Nu

∂y

)−(b sinφ

τDe

)(∂De

∂y

)(b sinφ)2 + (b cosφ)2

, (5.8)

entonces, el gradiente de la fase ∇φ = [∂φ/∂x, ∂φ/∂y]> queda determinado. Todas las de-rivadas parciales pueden ser aproximadas mediante el uso de interpolaciones de Lagrangede nueve puntos en los pixeles internos de la imagen que estan rodeados por una banda decuatro pixeles de ancho. Esta aproximacion se calcula mediante

f ′0 =3f−4 − 32f−3 + 168f−2 − 672f−1 + 672f1 − 168f2 + 32f3 − 3f4

840∆, (5.9)

donde ∆ es la distancia entre dos puntos consecutivos de la malla donde la imagen esta de-finida.

La aproximacion de Lagrange de nueve puntos empleada para el calculo de las derivadasparciales con respecto a x y a y, no es muy exacta en el borde de la imagen. En este calculo,algo de la informacion de la imagen se pierde en los pixeles de este borde. Sin embargo,esta perdida no se compara con la ganancia de informacion al incrementar la resolucionde la imagen. Otras aproximaciones con menos de nueve puntos, trabajan bien, pero no losuficiente como para aproximar las derivadas parciales de funciones suaves que tienen valoresabsolutos altos o bien oscilaciones rapidas. Desde el punto de vista experimental, inferido atraves de diversas simulaciones que fueron llevadas a cabo en el desarrollo de esta tesis, lasaproximaciones con mas de nueve puntos no alcanzaron mas exactitud cuando calculamosdichas derivadas parciales. Aunque analıticamente esto podrıa ser incierto, la exactitud dela aproximacion de Lagrange de nueve puntos resulto mejor que otras con mas puntos enestas simulaciones. No obstante, la perdida de exactitud en las aproximaciones de Lagrangeque emplean muchos puntos, es algo discutido en la referencia [25].

5.3. Calculo de la fase mediante integracion: dos posi-

bles estimaciones

Siguiendo la metodologıa descrita en [40], donde las derivadas parciales de la fase son calcu-ladas, es posible el uso de uno de los dos pasos descritos a continuacion. Para este propositonecesitamos integrar las derivadas parciales

h(x, y) =

∫ x

x0

∂φ

∂xdx = φ(x, y)− φ(x0, y), (5.10)

g(x, y) =

∫ y

y0

∂φ

∂ydy = φ(x, y)− φ(x, y0), (5.11)

donde (x0, y0) es una posicion particular en el dominio continuo de integracion, la cual escierta posicion pixelar en la imagen misma. Definiendo σh(y) = g(x0, y) = φ(x0, y)−φ(x0, y0)

85

y σg(x) = h(x, y0) = φ(x, y0)−φ(x0, y0), dos estimaciones pueden obtenerse para la fase conun termino constante o de piston anadido φ(x0, y0). Estas estimaciones son

φ1(x, y) = h(x, y) + σh(y) = φ(x, y)− φ(x0, y0), (5.12)

yφ2(x, y) = g(x, y) + σg(x) = φ(x, y)− φ(x0, y0). (5.13)

La posicion inicial de integracion (x0, y0) debe ser tomada donde la frecuencia de las franjasen los interferogramas es relativamente baja, tal y como se describio en [40].

El metodo de integracion ha sido descrito y estudiado, hasta donde sabemos, empleandodos posibles direcciones de integracion; la direccion x y la direccion y. Sin embargo, el mismometodo podrıa ser llevado a cabo utilizando otra direccion de integracion. En tal caso, lasderivadas parciales a considerar, serıan derivadas direccionales. La eleccion de esta direccionpodrıa orientarnos en el camino de un nuevo estudio que resultarıa bastante interesante, yaque posiblemente la orientacion de las franjas de alta frecuencia podrıa sugerir la direccionde integracion optima para aplicar dicho metodo.

5.4. Seno y coseno de la fase modulados en amplitud

con alta resolucion

Bajo el supuesto de una superficie diferenciable como frente de onda inicial, podemos pensaren la parametrizacion de tal frente mediante sus coordenadas de posicion

R(x, y) = [x, y, f(x, y)]> . (5.14)

Los vectores normales a esta superficie diferenciable pueden considerarse como direccionesiniciales de propagacion de un haz de rayos, similarmente al proceso de trazo de rayos descritoen [44,45]. Los vectores normales en cada posicion se calculan mediante el producto cruz [3]

T (x, y) =∂R

∂x× ∂R

∂y=

[−∂f∂x,−∂f

∂y, 1

]>, (5.15)

86

donde ∂R/∂x = [1, 0, ∂f/∂x]>, ∂R/∂y = [0, 1, ∂f/∂y]>. Entonces, de modo similar al fun-cional dado en la ecuacion (7) de [43], tenemos

U(f) =∑

Sk,l|f(k, l)− f(k, l)|2

+∑

Sk,l

∣∣∣∣∣ f(k + 1, l)− f(k − 1, l)

2∆y− ∂f

∂y(k, l)

∣∣∣∣∣2

+∑

Sk,l

∣∣∣∣∣ f(k, l + 1)− f(k, l − 1)

2∆x− ∂f

∂x(k, l)

∣∣∣∣∣2

+ρ∑

(1− Sk,l)|f(k + 1, l)− 2f(k, l) + f(k − 1, l)|2

+ρ∑

(1− Sk,l)|f(k, l + 1)− 2f(k, l) + f(k, l − 1)|2,

(5.16)

donde los pixeles (k, l) de la imagen estimada de alta resolucion f(k, l) = f(x(l), y(k)), varıanen la region donde el funcional (5.16) esta definido. La funcion f y sus derivadas parcialescon baja resolucion corresponden al frente muestreado. La funcion escalar Sk,l es igual a unoen las posiciones originales de la imagen de baja resolucion. De otro modo, esta funcion esigual a cero en las posiciones donde el frente de alta resolucion debe ser interpolado. El valorρ se emplea como parametro de suavidad en f . Entonces, podemos considerar f = Nu juntocon sus derivadas parciales, y luego minimizar el funcional propuesto en (5.16) de modosimilar a lo expuesto en [43]. Esta interpolacion ha mostrado ser mejor en comparacion conla interpolacion bi-cubica [41], tal y como se reporta en [43], sin embargo dicha interpolacionrequiere un mayor costo computacional que la bi-cubica. Independientemente del metodo deinterpolacion, el mismo procedimiento puede aplicarse a f = De, y ası, imagenes de altaresolucion Nu y De son obtenidas. Con estas imagenes, es posible recuperar ∇φ, y luegoφ mediante el proceso de integracion descrito anteriormente. La metodologıa propuesta seilustra en la figura 5.1.

5.5. Interpolacion cubica y promedio

A partir del funcional (5.16), se puede concluir que los valores estimados de f , entre dospixeles consecutivos de la imagen original f , se calculan mediante la informacion de lasderivadas parciales con respecto a x e y, y los valores de f en esos pixeles consecutivos. Siconsideramos una imagen f con m × n pixeles, entonces la imagen estimada f con (M −1) × (N − 1) pixeles, tiene por factores de escala p y q, esto es M = pm, N = qn. En elcaso simple de p = q = 2, un mınimo local particular (o una aproximacion cercana a dichomınimo) de (5.16) se obtiene de la interpolacion cubica. Esta caracterıstica puede justificarsemediante el caso uno-dimensional, el cual considera xj = (j − 1)∆x y el modelo

f(x) = f0 + f1x+ f2x2 + f3x

3, (5.17)

87

Figura 5.1: Diagrama de flujo que describe los pasos principales para el proceso de recons-truccion de la fase mediante el incremento de resolucion de las imagenes moduladas De yNu dadas por(5.2).

88

donde las incognitas f0, f1, f2 y f3 son resueltas por un sistema lineal de cuatro ecuaciones conlos valores conocidos de f(xj−1), f(xj+1), f ′(xj−1) y f ′(xj+1). De esta suposicion, se requiere

que f(xj) = f(xj), f(xj−1) = f(xj−1), f(xj+1) = f(xj+1) con el objeto de minimizar lasprimeras tres sumas en (5.16). Ası, las expresiones

f(xj−1) = f(xj)+−f1∆x+[−2(j−1)+1]∆x2f2 +[−3(j−1)2 +3(j−1)−1]∆x3f3, (5.18)

f(xj+1) = f(xj) + f1∆x+ [2(j − 1) + 1]∆x2f2 + [3(j − 1)2 + 3(j − 1) + 1]∆x3f3, (5.19)

toman lugar, resultando una contribucion de error igual a

εj =

∣∣∣∣∣ f(xj+1)− f(xj−1)

2∆x− f ′(xj)

∣∣∣∣∣ = ∆x2|f3|, (5.20)

debido a que f ′(xj) = f1 + 2f2(j − 1)∆x + 3f3((j − 1)∆x)2 del modelo. Entonces, en elcaso dos-dimensional, una interpolacion cubica entre piexeles muestreados consecutivos, enlas direcciones x e y, es propuesta. Por otro lado, una interpolacion promedio en los pixelescentrales de la imagen puede emplearse, esto es

f(k, l) =f(k − 1, l) + f(k + 1, l) + f(k, l − 1) + f(k, l + 1)

4. (5.21)

Esta interpolacion promedio minimiza las ultimas dos sumas que se encuentran multiplicadaspor el parametro ρ en (5.16). La interpolacion general propuesta se describe en el siguienteloop.

for k = 1, . . .M, l = 1, . . . , N

f(k − 1, l − 1) = f(k − 1, l − 1), f(k − 1, l + 1) = f(k − 1, l + 1),

f(k + 1, l − 1) = f(k + 1, l − 1), f(k + 1, l + 1) = f(k + 1, l + 1),

f(k − 1, l) = interpolacion cubica[f(k − 1, l − 1), f(k − 1, l + 1), (∂f/∂x)(k − 1, l − 1), (∂f/∂x)(k − 1, l + 1)],

f(k + 1, l) = interpolacion cubica[f(k + 1, l − 1), f(k + 1, l + 1), (∂f/∂x)(k + 1, l − 1), (∂f/∂x)(k + 1, l + 1)],

f(k, l− 1) = interpolacion cubica[f(k − 1, l − 1), f(k + 1, l − 1), (∂f/∂y)(k − 1, l − 1), (∂f/∂y)(k + 1, l − 1)],

f(k, l + 1) = interpolacion cubica[f(k − 1, l + 1), f(k + 1, l + 1), (∂f/∂y)(k − 1, l + 1), (∂f/∂y)(k + 1, l + 1)],

f(k, l) = (1/4)[f(k − 1, l) + f(k + 1, l) + f(k, l− 1) + f(k, l + 1)],end

5.6. Simulaciones de la interpolacion propuesta

Considernado un desplazamiento de fase generalizado con los pasos α1 = 0, α2 = 1.36 yα3 = 2.28 (en radianes), los patrones de intensidad estan dados por (5.1) con intensidadmodulada

b(x, y) = 10 exp [−(x2 + y2)], (5.22)

y visibilidad

v(x, y) = exp [ln(0.63)(x2 + y2)], a(x, y) = b(x, y)/v(x, y). (5.23)

89

Un dominio cuadrado continuo [−Lx, Lx]× [−Ly, Ly] con Lx = Ly = 1 ha sido considerado,y tres fases sinteticas

φ(x, y) = κ2.6− 3.9x−(2.6)[1− 6y2 − 6x2 + 6y4 + 12x2y2 + 6x4]+(6.93)[5xy4 − 10x3y2 + x5]+(0.86)[3x− 12xy2 − 12x3 + 10xy4 + 20x3y2 + 10x5]+(5.2)[−4y3 + 12x2y + 5y5 − 10x2y3 − 15x4y],

(5.24)

trasladadas a (x, y) = (0.2, 0.2) para κ = 1, 2, 3, han sido recuperadas sin ningun procedi-miento de desenvolvimiento.

La fase sintetica para κ = 1 se muestra en la figura 5.2 (a), y el correspondiente interfe-rograma s1 de 158× 158 pixeles, generado por la ecuacion (5.1), se muestra en la figura 5.2(d).

Figura 5.2: Fases sinteticas y patrones de intensidad s1 para los casos: κ = 1, incisos (a) y(d); κ = 2, incisos (b) y (e); κ = 3, incisos (c) y (f).

En nuestras simulaciones la ecuacion (5.13) fue empleada para estimar la fase. Resul-tados similares pueden obtenerse con la ecuacion (5.12). Para cada estimacion de fase, la

90

Figura 5.3: Fases estimadas para el caso κ = 1: (a) sin interpolacion; (b) interpolacion bi-cubica; (c) interpolacion funcional de costo cuadratico; (d) interpolacion cubica y promedio.

91

interpolacion de Lagrange de nueve puntos y la aproximacion trapezoidal, fueron empleadaspara los procesos de derivacion e integracion respectivamente. Con respecto al proceso deintegracion, el pixel central de la imagen fue tomado como pixel inicial de integracion debidoa la baja densidad de franjas en esa posicion.

Para κ = 1, la estimacion de la fase sin interpolacion φ(i, j) = φ(x(j), y(i)) de un arreglomatricial de 150× 150 pixeles, tiene por raız de error cuadratico medio

RMSE = ((1/m)(1/n)m∑i=1

n∑j=1

|φ(i, j)− φ(i, j)|2)1/2 = 1.4862rad.

La fase estimada sin interpolacion φ = φwi se muestra en la figura 5.3 (a). Aplicando dosveces la interpolacion bi-cubica con factores de escala p = q = 2 a las imagenes moduladasNu y De, obtenemos una fase estimada φbc como la que se muestra en la figura 5.3 (b), la cualtiene 573× 573 pixeles y RMSE = 3.3198× 10−1rad. El funcional (5.16) fue implementadocon p = q = 2, ρ = 1, y al minimizar este funcional dos veces para las imagenes moduladas,obtenemos una fase estimada φqc con RMSE = 1.9032× 10−1rad tal y como se muestra enla figura 5.3 (c). Sin embargo, aplicando dos veces la interpolacion propuesta a las imagenesmoduladas, obtenemos una fase estimada φca que se puede observar en la figura 5.3 (d) conRMSE = 1.8699 × 10−1rad. Los errores absolutos en radianes para estas fases estimadas,generados por la diferencia con la fase sintetica φs en el caso κ = 1, se muestran en la figura5.4 (a)-(d).

En la figura 5.2, (b) y (e) corresponden a la fase sintetica y el interferograma s1 de458 × 458 pixeles para κ = 2 respectivamente. La fase estimada sin interpolacion tiene unRMSE = 1.0531rad. Aplicando la interpolacion bi-cubica dos veces, en el mismo modo que elcaso anterior, podemos obtener una fase con 1773×1773 pixeles y RMSE = 2.9652×10−1rad.Con la interpolacion funcional de costo cuadratico, el valor RMSE = 1.7423 × 10−1rad esobtenido. Por otro lado, empleando la interpolacion cubica y promedio, la raız del errorcuadratico medio se reduce a RMSE = 1.5580 × 10−1rad. Como en el caso previo, loserrores absolutos para estas cuatro aproximaciones son mostrados en la figura 5.5 (a)-(d).

En la figura 5.2, (c) y (f) corresponden a la fase sintetica y el interferograma s1 consti-tuido por una matriz de 758 × 758 pixeles y κ = 3 respectivamente. La fase estimada sininterpolacion tiene RMSE = 1.0814rad. Aplicando la interpolacion bi-cubica dos veces denuevo, obtenemos una fase estimada de 2973 × 2973 pixeles y RMSE = 2.8051 × 10−1rad.Con la interpolacion funcional de costo cuadratico el valor RMSE = 1.8983×10−1rad es ob-tenido. Sin embargo, la interpolacion propuesta reduce el error a RMSE = 1.5448×10−1rad.Los correspondientes errores absolutos para estas aproximaciones se muestran en la figura5.6 (a)-(d).

Los ultimos ejemplos consideraron diferente numero de pixeles en los tres valores de κ.Sin embargo, algunos resultados locales con resolucion fija de 308 × 308 pixeles, alrededorde una frecuencia relativa particular κ = 1.45, son considerados en el cuadro 5.1.

En todas estas simulaciones, los valores iniciales para la interpolacion funcional de costocuadratico se realizaron con valores promedios entre pixeles consecutivos de las filas (di-reccion x) y las columnas (direccion y) para las imagenes moduladas con baja resolucion.En estos valores iniciales, valores promedio para los pixeles centrales fueron considerados,

92

Figura 5.4: Errores absolutos de fase en radianes para el caso κ = 1: (a) sin interpolacion;(b) interpolacion bi-cubica; (c) interpolacion funcional de costo cuadratico; (d) interpolacioncubica y promedio.

κ Sin interpolacion Int. bi-cubica Int. de costo cuadratico Int. cubica y promedio

1.2 2.7928× 10−1 2.3613× 10−1 8.8699× 10−2 8.5887× 10−2

1.3 4.7600× 10−1 2.6068× 10−1 1.1622× 10−1 1.1174× 10−1

1.4 7.5924× 10−1 2.8551× 10−1 1.4704× 10−1 1.3820× 10−1

1.5 1.1440× 100 3.1195× 10−1 1.7662× 10−1 1.6783× 10−1

1.6 1.6414× 100 3.5196× 10−1 2.1420× 10−1 1.9902× 10−1

1.7 2.2578× 100 4.5284× 10−1 4.0783× 10−1 3.9099× 10−1

Cuadro 5.1: Raices de errores cuadraticos medios para las cuatro aproximaciones en seisfrecuencias relativas alrededor de κ = 1.45.

93

Figura 5.5: Errores absolutos de fase en radianes para el caso κ = 2: (a) sin interpolacion;(b) interpolacion bi-cubica; (c) interpolacion funcional de costo cuadratico; (d) interpolacioncubica y promedio.

94

Figura 5.6: Errores absolutos de fase en radianes para el caso κ = 3: (a) sin interpolacion;(b) interpolacion bi-cubica; (c) interpolacion funcional de costo cuadratico; (d) interpolacioncubica y promedio.

95

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.70.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

κ

RM

SE

[rad

]

Root Mean Square Errors

Bi−cubicQuadratic costCubic and average

Figura 5.7: Dependencia en frecuencia de las funciones RMSE para los tres principales meto-dos de interpolacion discutidos. Perspectiva local alrededor de la frecuencia relativa κ = 1.45.

96

tal y como se describe en (5.21). El funcional de costo cuadratico fue minimizado con dieziteraciones en todos los casos mediante el uso del metodo de Levenberg-Marquardt descritoen [4]. Del cuadro 5.1, puede observarse que la interpolacion cubica y promedio es ligera-mente mejor que la interpolacion funcional de costo cuadratico. El mismo comportamientoes observado en las tres primeras simulaciones con diferente resolucion. Sin embargo estono significa que la interpolacion propuesta sea mejor. Por ejemplo, si el funcional de costoempleado para κ = 1 y resolucion de 158×158 pixeles se minimiza con cincuenta iteraciones,el error resultante es RMSE = 1.8929 × 10−1rad. Entonces, la exactitud de los resultadosdepende del valor inicial considerado y el numero de iteraciones llevadas a cabo, ası como losvalores escogidos como criterio de paro en el proceso de minimizacion. En los tres metodosde interpolacion discutidos en este capıtulo, las graficas de RMSE contra κ del cuadro 5.1,se muestran en la figura 5.7.

5.7. Sensibilidad al ruido

Aunque nuestro procedimiento de sobremuestreo funciona bien, podemos encontrar algunaslimitaciones en los tres metodos de interpolacion discutidos. Estas limitaciones son con res-pecto a la presencia de ruido. El metodo de integracion lineal para la reconstruccion de faserequiere del uso de derivadas parciales, y no importa que tipo de interpolacion de Lagrangede n puntos sea considerada, es bien sabido que el calculo de derivadas parciales es bas-tante sensible al ruido. De modo similar, los tres procedimientos de sobremuestreo descritosaquı requieren de los datos obtenidos por el calculo de derivadas parciales de primer orden, yla interpolacion bi-cubica depende adicionalmente de valores obtenidos de una segunda deri-vada parcial ∂2f/∂y∂x. A pesar de la sensibilidad de nuestras interpolaciones, en la presenciade cierta cantidad de ruido en los interferogramas, hay algunos casos en donde la interpola-cion cubica y promedio puede dar una estimacion de fase ligeramente mejor en comparacioncon la estimada mediante interpolacion bi-cubica. Sin embargo, aunque este comportamientono es concluyente para todos los casos, podemos encontrar algunos ejemplos en donde estoes cierto.

Resultados similares pueden ocurrir si comparamos la interpolacion cubica y promediocon la interpolacion funcional de costo cuadratico. El parametro de suavidad del funcional enla ecuacion (5.16) es un valor de regularizacion, y aunque no existe un metodo preciso parala eleccion apropiada de estos valores [46], este parametro puede cambiarse a uno mas grandeque la unidad (ρ > 1). Entonces, con esta eleccion, el proceso de minimizacion tendra maspeso en reducir los valores promedios entre pixeles consecutivos en las direcciones x e y. Si elproceso de sobremuestreo se lleva a cabo con esta consideracion en la interpolacion funcionalde costo, dicha interpolacion sera similar a una interpolacion promedio en general, la cual enprincipio debe producir soluciones suaves de las imagenes moduladas sobremuestreadas (Nu,De). Pero de nuevo, encontramos otra limitacion en este punto; si las imagenes moduladassobremuestreadas son muy suaves, entonces no podemos esperar una buena estimacion de φ,debido a que un exceso de suavidad en Nu y De puede implicar la eliminacion de pequenasoscilaciones de alta frecuencia en dichas imagenes. Estas oscilaciones se requieren para elbuen calculo de las derivadas parciales.

97

Algunas reconstrucciones de fase pueden considerarse con la adicion de ruido multiplica-tivo y aditivo en los interferogramas. Bajo este supuesto, el ruido en los interferogramas esde la forma

snoisy = ε0 + ε1s,

ε0(x, y) = −(ξ/2) + ξrand(x, y),

ε1(x, y) = 1− (η/2) + ηrand(x, y),

(5.25)

donde rand(x, y) es un valor aleatorio entre 0 y 1, ξ = η∆, y ∆ = smax− smin es la variacionmaxima de los patrones de intensidad libres de error (sk, k = 1, 2, . . . , K) sobre el rectangulo[−Lx, Lx]× [−Ly, Ly]. Aquı, la magnitud 100× η representa el porcentaje de error anadido.

Mediante el uso de (5.25), las reconstrucciones de fase se han hecho con un 10 % (η = 0.1)de ruido aleatorio multiplicativo y aditivo en los patrones de intensidad. Estas reconstruc-ciones fueron hechas para κ = 1.1, 1.35, 1.6 en (5.24) y resolucion de 256 × 256 pixeles. Elruido en el interferograma s1 para el caso κ = 1.6 se muestra en la figura 5.8. La raız delerror cuadratico medio para estas estimaciones se observa en el cuadro 5.2, donde tambiense tomo en cuenta la interpolacion funcional de costo cuadratico con diferentes valores deρ = 1, 10, 100. A partir de este cuadro, se observa que la eleccion del parametro de suavidadproduce pequenas variaciones en la magnitud de los RMSEs, sin embargo estas variacionesno son significativas.

(a)

x

y

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b)

x

y

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 5.8: Patron de intensidad s1 para κ = 1.6 y 256× 256 pixeles. (a) Sin ruido. (b) Con10 % de ruido aleatorio multiplicativo y aditivo.

98

Metodo de interpolacion κ = 1.1 κ = 1.35 κ = 1.6Sin Int. 1.289× 100 2.0805× 100 3.5029× 100

Int. bi-cubica 6.7210× 10−1 9.6452× 10−1 1.7229× 100

Int. cubica y promedio 6.1049× 10−1 9.2422× 10−1 1.5434× 100

Int. func. de costo (ρ = 1) 6.9770× 10−1 9.3019× 10−1 1.6725× 100

Int. func. de costo (ρ = 10) 7.1397× 10−1 9.3978× 10−1 1.6974× 100

Int. func. de costo (ρ = 100) 6.8493× 10−1 1.0319× 100 1.6790× 100

Cuadro 5.2: Raices de errores cuadraticos medios para las cuatro aproximaciones en tresfrecuencias relativas considerando un 10 % de ruido aleatorio en los interferogramas. Dieziteraciones fueron usadas para el proceso de minimizacion en todos los casos de interpolacionfuncional de costo cuadratico.

Es claro que, cuando la presencia de ruido es observada en los interferogramas, los meto-dos de sobremuestreo descritos pueden dar resultados similares. Esto se puede notar a partirde la magnitud de los RMSEs del cuadro 5.2. Sin embargo, si comparamos los RMSEs cuandono se usa ningun tipo de interpolacion, con los RMSEs provenientes de alguna interpolacion,notamos mejorıas en los resultados dados por estos ultimos. A pesar de la limitacion en laexactitud en las derivadas parciales, cuando los interferogramas son muy ruidosos, podemospensar en un paso adicional al proceso descrito en la figura 5.1. Este paso adicional puedeser la aplicacion de un filtro de ruido en los interferogramas (o bien unicamemnte en lasimagenes moduladas), de tal manera que este filtro preserve cierto grado de suavidad sin quepenalice algunas altas frecuencias. La aplicacion de una secuencia adecuada de operadoresmorfologicos [41] a los patrones ruidosos podrıa tomarse en cuenta en el diseno de este filtro.Una vez que el ruido sea removido, podemos aplicar la tecnica de sobremuestreo propuesta.

5.8. Ajuste de modelo polinomial

En esta seccion proponemos un ajuste de modelo polinomial para estimar la fase φ a partirde la informacion dada por al menos tres patrones de intensidad sk = a + b cos (φ− αk),k = 1, 2, 3, obtenidos de un arreglo interferometrico que involucra desplazamientos de fase αk.La unica informacion a priori que hay que asumir es que la fase a reconstruir puede expresarsemediante polinomios. Nuevamente trabajaremos con las imagenes moduladas que representanal seno y al coseno de la fase, obtenidos de los interferogramas correspondientes con unarelativa alta densidad de franjas. Esto se realizara en el contexto de un phase-shifting quepuede ser generalizado. Ası mismo, recurriremos nuevamente al metodo de integracion linealpara el calculo del gradiente de la fase. Aunque este ajuste puede llevarse a cabo incluso si noes usado el metodo de integracion lineal, nosotros recurriremos a este metodo debido a unaparticularidad interesante de estudio que hemos observado al calcular las derivadas parcialesde las imagenes moduladas. Esta particularidad sera descrita en secciones subsecuentes.

En los artıculos [39, 40, 47, 48], se describe un metodo practico para recuperar la fasede interferogramas sin recurrir a procesos de desenvolvimiento. Este metodo integra lasderivadas parciales de la fase mediante las derivadas parciales del coseno y el seno de la

99

misma. Se menciona tambien en [40], que el coseno y el seno de la fase pueden obtenersea partir de tecnicas de phase-shifting con pasos equiespaciados como en las de [8, 12, 23],ası como con pasos no equiespaciados [15, 19, 20]. Al medir superficies asfericas, las tenicasde phase-shifting permiten medir fases asociadas mediante la funcion arctan. Sin embargo,cuando las no linealidades de estas asferas son fuertes (incluso las linealidades), es sabidoque dichas fases no son faciles de medir [38], sobre todo en regiones cercanas a la fronterade los interferogramas.

El metodo de integracion lineal descrito en [39, 40, 47, 48], ofrece una alternativa para lareconstruccion de la fase de frentes de onda con altos valores en sus coeficientes de aberracion.En [47] se describe un metodo iterativo para recuperar la fase con alta precision y la con-vergencia del metodo es demostrada. Este metodo iterativo se basa en aproximar los erroressucesivamente en cada estimacion de la fase y con estos errores se construye una superficiecorrectiva por iteracion. En cada iteracion se emplea el metodo de integracion lineal [39,40].Sin embargo es difıcil obtener una aproximacion lo suficientemente exacta para el gradientedel cual depende el metodo de integracion lineal, tal y como hemos descrito al hablar de lasensibilidad para el calculo de derivadas parciales en la seccion anterior. Mientars mas gran-des (en magnitud) son los valores de la superficie que representa a la fase, al aproximarnos ala frontera de dicha superficie, mas difıcil resulta calcular las derivadas parciales del cosenoy el seno de la misma fase (el par de imagenes moduladas De, Nu). Hemos visto que elgradiente de la fase se calcula mediante las derivadas parciales de las imagenes moduladasy por lo tanto, resulta evidente un metodo apropiado para el calculo de estas derivadas.Ya hemos explorado la posibilidad de incrementar la resolucion de las imagenes moduladascomo solucion a este problema, sin embargo al incrementar la resolucion de estas imagenesincrementa el costo computacional para el manejo o la aplicacion de futuras operaciones condichas imagenes.

Por otro lado, es bien sabido que las formas de los frentes de onda pueden ser expresadosmediante diversos modelos que representan superficies diferenciables [49–51]; combinacioneslineales de funciones de base radial como las Gaussianas [52], y especialmente cuando seobserva simetrıa rotacional, polinomios de Zernike [53–55], etc. En cuanto a metodos deajuste, estos se emplean en muchas aplicaciones, por ejemplo; reconstruccion de frentes deonda [55–57], recuperacion de ındices de refraccion [58, 59], etc. Entonces un modelo deajuste polinomial para la fase a recuperar, puede considerarse como informacion a priori sinperdida de generalidad.

5.9. El modelo polinomial

A partir de las imagenes moduladas De y Nu definidas en (5.2), podemos incluso obtenerestimaciones directas de coseno y seno de la fase respectivamente, ya que de (5.3) tenemosque

b cosφ =De∑

Ak∆ cosαk+1k

, b sinφ =Nu∑

Bk∆ sinαk+1k

, (5.26)

por lo tanto de (5.26), podemos calcular z = beiφ = b cosφ+ ib sinφ, y ası ln(z) = ln(b) + iφ.Con esta funcion compleja, el factor de amplitud b se puede obtener mediante la funcion

100

exponencial, al tomar la parte real del logaritmo natural de z, esto es b = exp(real(ln(z))).Conociendo la funcion b es posible calcular cosφ y sinφ de (5.26), para nuevamente obtenerel gradiente con las formulas

∂φ

∂x= cosφ

∂(sinφ)

∂x− sinφ

∂(cosφ)

∂x,

∂φ

∂y= cosφ

∂(sinφ)

∂y− sinφ

∂(cosφ)

∂y.

(5.27)

Una vez mas, mediante (5.27) se realiza una integracion para obtener las ecuaciones (5.10)-(5.11) y ası obtener dos estimaciones de la fase dadas por (5.12)-(5.13). Este proceder escon la finalidad de prescindir de las posibles divisiones entre cero al emplear las ecuaciones(5.7)-(5.8), sin embargo en estas mismas ecuaciones, en principio no hay division entre ceropuesto que el denominador para calcular las parciales de la fase representa el cuadrado de b.De esto se concluye que el procedimiento para calcular las parciales de la fase mediante (5.27)consiste en el uso de imagenes moduladas normalizadas, es decir, sin el factor de amplitudb.

Tomando entonces una de las dos posibles estimaciones en (5.12)-(5.13), podemos re-nombrar a dicha estimacion como φ0. Si la fase φ tiene valores altos en sus coeficientes deaberracion, entonces la aproximacion φ0 no estara bien definida en la region cercana a sufrontera. Esto se debe al hecho de que las derivadas parciales del coseno y el seno de lafase, cuyos terminos estan determinados por las ecuaciones en (5.27), no necesariamente secalculan bien cerca de dicha frontera.

Con esta consideracion respecto a la estimacion inicial φ0, podemos asumir que la faseque queremos aproximar mejor tiene la forma

φ(x, y) =P∑p=1

Q∑q=1

apqxq−1yp−1, (5.28)

entonces, es posible realizar un ajuste entre los valores de φ0 y el modelo dado en (5.28).Los coeficientes apq de este modelo pueden ser representados mediante un vector w =[a11, . . . , a1Q, a21, . . . , a2Q, . . . , aPQ]>, y ası, el modelo para la fase en (5.28) puede visuali-

zarse como dependiente de este nuevo parametro w, es decir φ(x, y, w). El primer ajustese da mediante los valores de φ0 y un vector inicial de coeficientes w0, utilizando P × Qpuntos (x, y) de una region donde la fase este relativamente bien calculada, una region quereferiremos por region de confianza. Con estos P ×Q puntos tenemos P ×Q ecuaciones de unsistema lineal inducido por (5.28), del cual el correspondiente vector w0 es en principio solu-cion unica. La region de confianza se determina al observar las superficies que representan alas derivadas parciales de la fase calculadas en (5.27). Dado que existe una region en dondeestas parciales tienen un comportamiento ascilatorio cerca de la frontera, el complementode esta region corresponde a la region de confianza. Por lo general esta region es una zonacentral en los interferogramas, la cual corresponde a una zona con franjas de baja frecuen-cia. Pensando en el caso de una fase uno-dimensional, la region de confianza toma lugar alsuponer el calculo de un frente de onda del cual se espera un comportamiento monotonocreciente o decreciente en la frontera, disparado a ±∞ segun sea el caso.

101

Por otro lado, para tener una mejor estimacion de la fase, se puede minimizar el funcional

F (w) =∑(x,y)

(cosφ(x, y)− cos φ(x, y, w))2 + (sinφ(x, y)− sin φ(x, y, w))2, (5.29)

donde los puntos (x, y) varıan sobre todo el dominio de la imagen de cada interferograma.En (5.29), cosφ y sinφ se obtienen mediante (5.26) al dividir entre b, mientras que cos φy sin φ se calculan de (5.28). La minimizacion de (5.29) puede llevarse a cabo utilizando laaproximacion inicial w0 mediante un algoritmo iterativo de optimizacion como el gradienteconjugado, el Levenberg-Marquardt, Dogleg, etc. [4–6]. El grado del polinomio en el modelo(5.28) debe tomarse tan grande como sea requerido, pero bajo la condicion P ×QM×N ,donde M ×N es el numero total de pixeles de la imagen correspondiente a la resolucion deφ0, ya que cierta informacion en la frontera, se pierde al calcular las derivadas parciales conel metodo de integracion que induce a este valor inicial para la fase. Esta consideracion esnecesaria para tener una solucion sobredeterminada para el problema de minimizacion.

5.10. Simulaciones del ajuste polinomial

Tres ejemplos generales de fase para generar interferogramas sinteticos con relativa altafrecuencia de franja seran considerados. Para todos estos ejemplos, las amplitudes y losvalores promedio de intensidad, las funciones b y a seran

b(x, y) = 50exp[−(x2 + y2)], a(x, y) = b(x, y)/v(x, y), (5.30)

donde la visibilidad v estara dada por v(x, y) = exp[−0.46204(x2 + y2)]. La resolucion de losinterferogramas sera de M × N = 1300 × 1300 pixeles. Nuestro dominio continuo para lassimulaciones es el cuadrado D = (x, y)|−1 ≤ x, y ≤ 1 y se manejaran tres desplazamientosde fase equiespaciados αk = (k− 1)(π/2), k = 1, 2, 3, para generar los interferogramas. Aun-que podemos recurrir a desplazamientos no equiespaciados para realizar estas simulaciones,en esta ocasion no estamos interesados en analizar las propiedades de los algoritmos pro-puestos en esta tesis, ya que nuestro proposito es observar las ventajas del ajuste polinomialcon patrones sinteticos libres de ruido y errores de desplazamiento.

La primera fase a recuperar es

φ(x, y) = 13.75[−1.5x+ 18(x2 + y2)− 12y4 − 36x2y2 − 18x4

+50xy4 − 60x3y2 + 8x5 − 12(xy2 + x3) + 10x5

−24y3 + 72x2y + 30y5 − 60x2y3 − 90x4y],(5.31)

trasladada a (x, y) = (0.2, 0.2). En la Fig. 5.9 se muestra el primer interferograma s1 quecorresponde al de la fase dada por (5.31). La Fig.5.10 muestra las derivadas parciales es-timadas y dadas por (5.27), las correspondientes derivadas parciales de la fase sintetica, ylos errores en valor absoluto entre las parciales estimadas y las parciales sinteticas respec-tivamente. Puede notarse en Fig. 5.10 el comportamiento oscilatorio descrito en la seccionanterior, respecto a las derivadas parciales estimadas. Se muestra en la Fig.5.11 la estima-cion inicila de la fase φ0 obtenida por el metodo de integracion lineal, la fase sintetica dadapor (5.31), y los correspondientes errores absolutos entre estas dos ultimas superficies. La

102

raız del error cuadratico medio RMSE = [(1/(M ×N))∑

(x,y)∈D |φ(x, y)− φ(x, y)|2]1/2 pa-

ra la estimacion inicial es RMSE0 = 2.1952 × 102. Como puede verse en la Fig.5.11, estaestimacion no es muy buena cerca de la frontera de la superficie. Empleando el metodo deLevenberg-Marquardt [4–6], el funcional dado en (5.29) con P = Q = 6 es minimizado enseis iteraciones, del cual se obtiene una nueva estimacion de la fase φ∗ que se visualiza en laFig.5.12 con un error RMSE∗ = 2.8722× 10−3.

s1

x

y

200 400 600 800 1000 1200

200

400

600

800

1000

1200

Figura 5.9: Interferograma dado por (5.31) correspondiente al desplazamiento α1 = 0.

El segundo ejemplo considera la fase

φ(x, y) = 25[30(x2 + y2 − x4 − y4)− 60x2y2 + 3x−12(xy2 + x3) + 10xy4 + 20x3y2 + 10x5],

(5.32)

trasladada a (x, y) = (−0.1,−0.05). La Fig.5.13 muestra el primer interferograma s1 em-pleando (5.32). La Fig.5.14 muestra la aproximacion inicial de esta fase, la fase sinteticay los correspondientes errores absolutos entre ellas. El error en este ejemplo es RMSE0 =1.2473× 102. Como en el primer caso, al minimizar (5.29), obtenemos una mejor estimacionφ∗ con error RMSE∗ = 9.7578× 10−2. La estimacion final de la fase en (5.32) se observa enla Fig.5.15.

En el tercer ejemplo tenemos

φ(x, y) = 45[2xy + 8(x2 + y2) + 6(x4 + y4)y − 4(y + 1)], (5.33)

trasladada a (x, y) = (−0.5, 0). En la Fig.5.16 se muestra el patron s1 para la fase en(5.33), y en las figuras 5.17-5.18 se observan las aproximaciones inicial y final para la fase

103

Figura 5.10: Derivadas parciales estimadas y sinteticas para la fase en (5.31): (a) Derivadaparcial respecto a x dada por (5.27). (b) Derivada parcial sintetica respecto a x. (c) Erro-res en valor absoluto entre las parciales estimada y sintetica respecto a x. Incisos (d)-(f)corresponden a las derivadas parciales respecto a y.

104

Figura 5.11: Resultados iniciales para (5.31):(a) Aproximacion inicial de la fase obtenidamediante el metodo de integracion lineal. (b) Fase sintetica dada por (5.31). (c) Errores envalor absoluto entre la aproximacion inicial y la fase sintetica.

105

Figura 5.12: Resultados finales para (5.31):(a) Aproximacion final de la fase obtenida me-diante el ajuste propuesto. (b) Fase sintetica dada por (5.31). (c) Errores en valor absolutoentre la aproximacion final y la fase sintetica.

106

s1

x

y

200 400 600 800 1000 1200

200

400

600

800

1000

1200

Figura 5.13: Interferograma dado por (5.32) correspondiente al desplazamiento α1 = 0.

en (5.33) con sus respectivos errores absolutos. El error para la aproximacion inicial esRMSE0 = 8.6351× 101 y para la aproximacion final es RMSE∗ = 9.2485× 10−2.

La resolucion que consideramos en estos ejemplos es bastante grande, y si tuvieramosque aplicar las tecnicas de sobremuestreo previamente expuestas, nos encontrarıamos con lasdificultades relativas al costo computacional que implica la manipulacion de imagenes conestas dimensiones. Sin embargo, el ajuste polinomial propuesto podrıa ser una alternativaante el inconveniente de trabajar con imagenes tan grandes como las ejemplificadas. Laeficacia de este ajuste, bajo las suposiciones descritas sobre la fase a estimar, se manifiestanclaramente en la reduccion de los errores observados en estos ejemplos.

Algunos de los resultados expuestos en este capıtulo fueron publicados en la referencia[60].

107

Figura 5.14: Resultados iniciales para (5.32):(a) Aproximacion inicial de la fase obtenidamediante el metodo de integracion lineal. (b) Fase sintetica dada por (5.32). (c) Errores envalor absoluto entre la aproximacion inicial y la fase sintetica.

108

Figura 5.15: Resultados finales para (5.32):(a) Aproximacion final de la fase obtenida me-diante el ajuste propuesto. (b) Fase sintetica dada por (5.32). (c) Errores en valor absolutoentre la aproximacion final y la fase sintetica.

109

s1

x

y

200 400 600 800 1000 1200

200

400

600

800

1000

1200

Figura 5.16: Interferograma dado por (5.33) correspondiente al desplazamiento α1 = 0.

110

Figura 5.17: Resultados iniciales para (5.33):(a) Aproximacion inicial de la fase obtenidamediante el metodo de integracion lineal (b) Fase sintetica dada por (5.33). (c) Errores envalor absoluto entre la aproximacion inicial y la fase sintetica.

111

Figura 5.18: Resultados finales para (5.33):(a) Aproximacion final de la fase obtenida me-diante el ajuste propuesto. (b) Fase sintetica dada por (5.33). (c) Errores en valor absolutoentre la aproximacion final y la fase sintetica.

112

Capıtulo 6

Aplicacion de algunas de las tecnicaspropuestas a datos reales.

En este capıtulo aplicaremos algunas de las tecnicas propuestas en esta tesis a datos expe-rimentales de laboratorio. Basicamente, verificaremos que nuestros algoritmos generalizadosfuncionan bien con datos reales proporcionados por un arreglo interferometrico en parti-cular. La validez experimental de las otras tecnicas, como la generacion de algoritmos coninsensibilidad a un numero finito de armonicos, el incremento de resolucion de las imagenesmoduladas y el ajuste polinomial directo de la fase, pueden sustentarse de una forma simi-lar con datos reales. Este sustento experimental, tendrıa que realizarse mediante datos dereferencia producidos por tecnicas alternativas robustas en diversos casos. Sin embargo, elsustento teorico descrito en este documento, ası como las simulaciones llevadas a cabo, sonen principio razones suficientes para dar evidencia de la validez de nuestros algoritmos.

Antes de trabajar con los datos experimentales reales obtenidos en laboratorio, es nece-sario considerar algunos aspectos referentes a la estimacion de los desplazamientos de fasea partir de los interferogramas. Nos enfocaremos principalmente en describir una tecnicaparticular para estimar los desplazamientos de fase y mencionaremos algunas otras alterna-tivas para este mismo proposito sin extendernos mucho en detalle ya que dichas estimacionesconducen a otro interesente problema de estudio.

6.1. Estimacion de desplazamientos de fase arbitrarios

a partir de los interferogramas

Suponga que contamos con tres patrones de intensidad dados por

s1 = a+ b cos (φ),s2 = a+ b cos (φ− β1),s3 = a+ b cos (φ− β2 − β2),

(6.1)

donde β1 y β2 son dos desplazamientos de fase desconocidos en radianes tales que 0 < βk < π,k = 1, 2 los cuales inducen tres pasos α1 = 0, α2 = β1 y α3 = β1 + β2 en el contexto de

113

la ecuacion sk = a + b cos (φ− αk), k = 1, 2, 3. Entonces, al considerar lo descrito en [62],podemos notar que

s2 − s1 = b cos (φ− β1)− b cos (φ)= b cos (φ) cos (β1) + b sin (φ) sin (β1)− b cos (φ)= b cos (φ)[1− 2 sin2 (β1/2)] + b sin (φ)2 sin (β1/2) cos (β1/2)− b cos (φ)= 2b[sin (φ) cos (β1/2)− cos (φ) sin (β1/2)] sin (β1/2)= 2b sin [φ− (β1/2)] sin (β1/2).

Definiendo < | · | > como el promedio de los valores absolutos de una imagen I de M × Npixeles (< |I| >= (1/M × N)

∑Mm=1

∑Nn=1 |I(m,n)|), y al calcular de manera analoga a la

diferencia anterior las imagenes s3 − s2 y s3 − s1 se puede definir y concluir que

p =< |s2 − s1| >=< |2b sin [φ− (β1/2)]| > sin (β1/2),q =< |s3 − s2| >=< |2b sin [φ− β1 − (β2/2)]| > sin (β2/2),r =< |s3 − s1| >=< |2b sin [φ− ((β1 + β2)/2)]| > sin ((β1 + β2)/2).

(6.2)

Ası, suponiendo que la amplitud b es independiente de φ y que φ es una distribucion aleatoriaespacial dada por difraccion de Fresnel [2,63,64], se puede esperar que los terminos en (6.2)dados por < | . . . | > sean aproximadamente iguales a un mismo valor digamos c, es decir

p = c sin (β1/2),q = c sin (β2/2),r = c sin ((β1 + β2)/2).

(6.3)

De las ecuaciones (6.3) podemos observar que

r = c[sin (β1/2) cos (β2/2) + cos (β1/2) sin (β2/2)]= p cos (β2/2) + q cos (β1/2),

lo cual implica

r2 = p2 cos2 (β2/2) + 2pq cos (β2/2) cos (β1/2) + q2 cos2 (β1/2)= p2[1− sin2 (β2/2)] + 2pq cos (β2/2) cos (β1/2) + q2[1− sin2 (β1/2)]= p2[1− (q2/c2)] + 2pq cos (β2/2) cos (β1/2) + q2[1− (p2/c2)]= p2 + q2 − (2p2q2/c2) + 2pq cos (β1/2) cos (β2/2),

de modo que

[r2 + (2p2q2/c2)− p2 − q2]2 = 4p2q2 cos2 (β1/2) cos2 (β2/2)= 4p2q2[1− (p2/c2)][1− (q2/c2)],

asır4 + (4p4q4/c4) + p4 + q4 + (4r2p2q2/c2)− 2r2p2 − 2r2q2 − (4p4q2/c2)−(4p2q4/c2) + 2p2q2 = 4p2q2[1− (q2/c2)− (p2/c2) + (p2q2/c4)],

y por lo tanto

r4 + p4 + q4 + (4r2p2q2/c2)− 2r2p2 − 2r2q2 + 2p2q2 = 4p2q2.

114

Esta ultima expresion nos permite visualizar que

c = 2pqr[2(p2q2 + p2r2 + q2r2)− (p4 + q4 + r4)]−1/2, (6.4)

de donde tenemosβ1 = 2 arcsin (p/c), β2 = 2 arcsin (q/c). (6.5)

En otras palabras, las ecuaciones (6.2),(6.4) y (6.5), nos permiten calcular los desplaza-mientos arbitrarios desconocidos β1 y β2, o bien, los pasos αk con k = 1, 2, 3. Un resultadointeresante para K = 2 pasos (un desplazamiento) es descrito en [27] mientras que la genera-lizacion de las mismas expresiones para K pasos con K > 3 se describe en [65], sin embargoen estos casos se requiere de optimizacion, es decir, la minimizacion de un funcional de costopara mejorar la precision de las estimaciones de los desplazamientos.

Figura 6.1: Interferometro ESPI fuera de plano.

6.2. Descripcion de la aplicacion a datos reales

En el laboratorio se armo un arreglo interferometrico tipo ESPI (Electronic Speckle PatternInterferometry) fuera de plano1 tal y como se observa en la figura 6.1. Con ayuda de unmicrometro se deformo un placa metalica (superficie objeto) ubicada en uno de los brazos

1Cuando la superposicion de los dos haces de luz que producen la interferencia se da en el mismo objeto,se dice que el arreglo esta en plano. Si la superposicion de los haces se da en otro lugar ajeno al objeto, sedice que el arreglo esta fuera de plano.

115

del arreglo experimental con la finalidad de medir esta deformacion mediante interferometrıa.Para llevar a cabo esta practica se empleo un laser de 532 nm, un filtro espacial, un par decubos divisores de haz, una placa metalica, una camara CCD, una lente para la camara,un espejo montado a un piezoelectrico, un dispositivo para el control de este piezoelectri-co, y monturas diversas. La practica experimental fue llevada a cabo por el estudiante demaestrıa Jose Alberto Aguilar Mora, al cual se le agradece por los datos experimentalesproporcionados.

(a)

x

y

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

(b)

xy

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

(c)

x

y

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

(d)

x

y

−2 −1 0 1 2

−1

0

1

Figura 6.2: Patrones de intensidad experimentales con speckle a desplazamientos teoricos deπ/2: (a) Patron s1 a 0 grados. (b) Patron s2 a 90 grados. (c) Patron s3 a 180 grados. (d)Patron s4 a 270 grados.

Con el arreglo armado se realizo la calibracion del piezoelectrico, de la cual se obtuvo queun deplazamiento de 2π se alcanza con un voltaje de 3V. Al obtenerse un buen contraste defranjas mediante el control de la intensidad de los haces de referencia y objeto, se procedio ala captura de los patrones de interferencia realizando desplazamientos de fase de π/2 entrecada captura. Se realizaron 8 capturas, de las cuales se muestran las primeras cuatro en lafigura 6.2. Los patrones de interferencia capturados fueron de 480× 640 pixeles.

Las imagenes de los patrones de intensidad observados corresponden a una region de laplaca metalica de aproximadamente 5 milımetros de ancho por 3 milımetros de alto, ası quesin perdida de generalidad podemos suponer un dominio continuo para estos patrones como elconjunto de puntos (x, y) en el rectangulo [−2.5, 2.5]× [−1.5, 1.5] con unidades en milımetrostal y como se ilustra en la figura 6.2. A pesar de que se realizaron 8 capturas, consideramos losprimeros cuatro interferogramas para recuperar la fase con el fin de ejemplificar la aplicaciondel algoritmo generalizado expuesto en [20]. Aunque parezca contradictorio el empleo de

116

(a)

x

y

−2 −1 0 1 2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(b)

x

y

−2 −1 0 1 2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 6.3: (a) Patron de intensidad experimental s1 con speckle. (b) Patron de intensidadfiltrado en frecuencia con una mascara circular (filtro pasa bajas).

117

un algoritmo generalizado debido a que los desplazamientos teoricos de los interferogramasson equiespaciados (con paso de π/2), al momento de aplicar las ecuaciones (6.2),(6.4) y(6.5) a los primeros tres patrones s1, s2, s3, obtenemos un vector de desplazamientos noequiespaciados dados por

α = [α1, α2, α3] = [0, 1.8013, 3.8711],

que difieren de los desplazamientos teoricos α = [0, π/2, π]. Esto sugiere la posibilidad deuna mala calibracion o bien una variacion en las mediciones de los desplazamientos debido aque el speckle puede afectar las estimaciones en (6.2),(6.4) y (6.5). Aunque las estimacionesdadas por (6.2),(6.4) y (6.5) pueden no ser muy precisas inclusive cuando no hay ningun tipode ruido, en general debemos tener presente la contribucion de todas las posibles fuentesde error; mala calibracion, error de aproximacion en estimaciones de los deplazamientos,error debido al speckle, tiempo de captura, etc. Por lo tanto resulta viable el uso de unalgoritmo generalizado considerando estos desplazamientos no equiespaciados si asumimosque estos inducen aproximaciones cercanas a los desplazamientos experimentales verdaderos.En todo caso el considerar α = [0, π/2, π] es asumir tambien que estos desplazamientos soncercanos a los verdaderos y que por lo tanto, las fases recuperadas con desplazamientos noequiespaciados y equiespaciados respectıvamente, son estimaciones de la fase experimentalverdadera.

Entonces la pregunta es ¿cual estimacion es la mas cercana a la verdadera? En generalno podrıamos responder con exactitud dicha cuestion, pues siempre queda en terminos decomparar la fase estimada con otra estimacion que provenga de una tecnica o algoritmomas apropiado, estudiado y sustentado teorica y experimentalmente. Sin embargo una for-ma logica de corroborar que una estimacion es aceptable, se basa en restringir el problemamediante hipotesis a priori. Esto significa por ejemplo que, en el contexto de esta experi-mentacion, el objeto en cuestion (la deformacion de la placa) se espera sea una superficiecon cierta diferenciabilidad (que no tenga discontinuidades o picos). Entonces, si al momentode obtener una estimacion la superficie resultante tiene discontinuidades o picos, podrıamosestablecer que dicha estimacion no es aceptable. Ası mismo, si lo que se pretende es validaruna formula para construir algorimos de phase-shifting generalizados, se puede recurrir a larepetitividad. Estos significa que si con un algoritmo con un cierto numero de pasos, se pro-duce una primera estimacion aceptable, entonces al considerar otro algoritmo distinto conotro cierto numero de pasos, se debe producir una segunda estimacion aceptable y cercanaa la primera.

Nosotros emplearemos este argumento para validar nuestra tecnica, es decir, si dos o masalgoritmos generalizados, dados por las ecuaciones en [20], producen dos o mas estimacionesde la fase objeto aceptables y cercanas entre sı, entonces habremos validado lo propuesto.Siguiendo este argumento, vamos a calcular dos estimaciones de fase aceptables de tal maneraque sean proximas entre si. Estas dos estimaciones seran obtenidas utilizando las ecuacionesen [20] con algoritmos generalizados de tres y cuatro pasos respectivamente. El cuarto pasoα4 se puede obtener con las ecuaciones (6.2),(6.4) y (6.5), al considerar los patrones s2, s3, s4

(asumiendo que s2 es el patron con desplazamiento cero). El cuarto paso resultante es α4 =5.5885 radianes. Entonces, el algoritmo con tres pasos

α = [0, 1.8013, 3.8711],

118

tiene por coeficientes para el numerador

B = [B1, B2] = [0.20532,−0.48785],

y para el denominadorA = [A1, A2] = [−0.65131,−0.38662],

utilizando los factores B′ = [B′1, B′2] = [1,−1] y A′ = [A′1, A

′2] = [1,−1] en el contexto de la

notacion descrita en [20,32]. En otras palabras el algoritmo de tres pasos noequiespaciado es

tan (φ) =0.20532(s2 − s1)− 0.48785(s3 − s2)

−0.65131(s2 − s1)− 0.38662(s3 − s2). (6.6)

Ahora, el algoritmo de cuatro pasos

α = [0, 1.8013, 3.8711, 5.5885],

considerando factores B′ = [1,−2, 1] y A′ = [1,−2, 1] es

tan (φ) =0.11434(s2 − s1)− 0.54335(s3 − s2)− 0.092791(s4 − s3)

0.018524(s2 − s1) + 0.021991(s3 − s2) + 0.68316(s4 − s3). (6.7)

Notemos que los interferogramas tienen una gran concentracion de speckle [38], algo quese considera hasta cierto punto como ruido, aunque es en principio un fenomeno debido ala interferencia de las multiples ondas esfericas originadas por la relflexion de la luz sobreel objeto rugoso, la placa en cuestion. Con estos interferogramas no podrıamos recuperarestimaciones de fase aceptables. Sin embargo el speckle puede eliminarse mediante el em-pleo de un filtro pasa bajas, el cual se puede construir utilizando transformadas de Fourierbidimensionales. Para comprender el contexto de este filtro, primero necesitamos describirun poco sobre la transformada de Fourier continua aplicada a funciones f(x, y) y su relacioncon la transformada de Fourier discreta aplicada a imagenes f(m,n).

Cuando necesitamos representar una funcion escalar f(x, y) definida sobre un espaciobidimensional xy en una forma discretizada, podemos asumir sin perdida de generalidad,que dicha funcion es de soporte compacto2 [9] y que por lo tanto, unicamente toma valoresdistintos de cero en un rectangulo [−Lx, Lx] × [−Ly, Ly], y que fuera de este rectangulodicha funcion vale cero. Nosotros podemos considerar un muestreo de esta funcion sobre elrectangulo mediante una malla de puntos dada por

∆x =2LxN − 1

, ∆y =2LyM − 1

, (6.8)

xn = −Lx + (n− 1)∆x, ym = −Ly + (m− 1)∆y (6.9)

donde n = 1, 2, . . . , N y m = 1, 2, . . . ,M . Por lo tanto, la funcion evaluada en los puntos deesta malla induce un arreglo matricial f(m,n) = f(xn, ym) de M × N entradas. Ahora, latransformada continua de Fourier bidimensional se define como

F [f(x, y)] = F (u, v) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x, y)e−i2π(ux+vy)dxdy. (6.10)

2El soporte de una funcion es el conjunto de valores para los cuales la funcion es distinta de cero. Porcompacto hacemos referencia en este contexto, a un conjunto cerrado y acotado.

119

Puesto que el espacio frecuencial uv es continuo, requerimos tambien un muestreo de estatransformada. Esto significa que, si consideramos el calculo de la transformada sobre unrectangulo de frecuencias [−Lu, Lu] × [−Lv, Lv], entonces requerimos una malla de puntos(u, v) dada por

∆u =2LuN − 1

, ∆v =2LvM − 1

, (6.11)

un = −Lu + (n− 1)∆u, vm = −Lv + (m− 1)∆v, (6.12)

donde n = 1, . . . , N y m = 1, . . . , M , siendo N y M no necesariamente los mismos valoresque N y M respectivamente. Con esta particion es posible encontrar la expresion discretizadade (6.10), la cual esta dada por

F (un, vm) =M∑m=1

N∑n=1

f(xn, ym)e−i2π(unxn+vmym)∆x∆y, (6.13)

tal y como se describe en su version unodimensional en [46].

La exactitud de esta aproximacion para la transformada continua de Fourier dependede la resolucion de la funcion original. Mientras N y M resulten ser valores mas y masgrandes, ∆x y ∆y seran cada vez mas y mas pequenos, por lo que la aproximacion de latransformada continua sera mejor. Desde luego, tambien tendremos una mejor visualizacionde esta transformada continua si tenemos una gran cantidad de puntos sobre la malla defrecuencias, es decir valores grandes para M y N . Por otro lado (6.13) se puede expresarcomo

F (m, n) =

M∑m=1

N∑n=1

e−i2πvmym∆yf(m,n)e−i2πunxn∆x =

M∑m=1

N∑n=1

B(m,m)f(m,n)A(n, n),

(6.14)

donde B(m,m) = e−i2πvmym∆y y A(n, n) = e−i2πunxn∆x, permiten el calculo directo de latransformada continua de Fourier como el producto matricial

[F ]M×N = [B]M×M [f ]M×N [A]N×N . (6.15)

Analogamente se puede describir la discretizacion de la transformada continua inversa deFourier dada por

F−1[F (u, v)] = f(x, y) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

F (u, v)ei2π(ux+vy)dudv, (6.16)

mediante un producto matricial al considerar F (u, v) de soporte compacto.

Entonces, si se conoce el espacio de frecuencias donde se desea trabajar, una manerasencilla de construir un filtro de frecuencias es mediante la operacion

f(x, y) = F−1[H(u, v)F (u, v)], (6.17)

120

donde F (u, v) = F [f(x, y)] y H(u, v) conocida como funcion mascara, es una funcion quepuede penalizar coordenadas de altas o bajas frecuencias en el espacio uv. Por penalizaruna coordenada (u0, v0), nos referimos a que H(u0, v0) = 0. La funcion resultante f es unaversion filtrada de la funcion f .

Ahora, existe una manera de relacionar la transformada de Fourier continua y la trans-formada de Fourier discreta que es aplicada a imagenes definidas sobre un espacio pixelarde frecuencias. En nuestro caso debemos tener esta consideracion ya que si se pretende fil-trar a los patrones de intensidad s(m,n) = s(xn, ym), requerimos definir el espacio continuofrecuencial asociado a s(x, y) con el espacio discreto frecuencial de dichas imagenes s(m,n).Esta relacion se describe con detalle en [46] para el caso unodimensional y puede generalizar-se al caso bidimensional. Si consideramos trabajar con la misma resolucion la transformadade Fourier, es decir M = M y N = N , entonces el espacio continuo en frecuencia debedefinirse considerando los valores

Lu =N − 1

4Lx, Lv =

M − 1

4Ly, (6.18)

relaciones que se obtienen a partir de ∆u∆x = 1/(N−1) y ∆v∆y = 1/(M−1). Lo anterior sedebe a que, si pensamos en una imagen unodimensional de N pixeles, se puede suponer queel valor de N − 1 es la longitud del intervalo discreto donde esta definida dicha imagen. Estoimplica que el diferencial de frecuencia a considerar debe ser el recıproco de esta longitud,es decir ∆u = 1/(N − 1). Este es el tipo de diferencial de frecuencia que se considera paraconstruir a la transformada discreta de una imagen unodimensional. Ahora, si pensamosen una funcion de una variable definida sobre un intervalo de longitud 2Lx, entonces eldiferencial de frecuencia a considerar tambien debe ser el recıproco de esta longitud, es decir

∆u =1

2Lx=

1

2Lx(N − 1)

N − 1

=1

∆x(N − 1).

En el contexto de nuestra aplicacion ya conocemos los valores que definen al rectangulo[−Lx, Lx]× [−Ly, Ly]. Estos valores son Lx = 2.5 y Ly = 1.5 medidos en milımetros. Ası mis-mo, la resolucion con la que estamos trabajando es de 480 × 640 pixeles, esto significa queM = 480 y N = 640, por lo tanto, siguiendo lo expuesto en (6.18) tenemos que

Lu =640− 1

4× 2.5= 63.9, Lv =

480− 1

4× 1.5=

479

6≈ 79.83

Entonces, empleando este espacio de frecuencias construimos un filtro pasa bajas dadopor

H(u, v) =

1, u2 + v2 < r2

0, otro caso(6.19)

donde r = (1/20)mın(Lu, Lv) = 3.195 ya que Lu = mın(Lu, Lv). La imagen asociada a estefiltro se aprecia en la figura 6.4 (a). El radio r se determino experimentalmente, es decir, seconsideraron distintos radios de modo que se lograran eliminar las altas frecuencias de lospatrones y se preservara la frecuencia aparente de las franjas hasta lograr una reconstruccionde fase aceptable. Este ancho de hecho esta relacionado con el tamano de la mota asociada

121

(a)

u

v

−50 0 50

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

(b)

u

v

−50 0 50

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Figura 6.4: (a) Mascara circular definida por la ecuacion (6.19). (b) Logaritmo natural delmodulo de la transformada de Fourier continua de s1.

al speckle, que al parecer corresponde a un radio aproximado de 16 pixeles, puesto que enuna distancia en frecuencia de 2Lu = 127.8 hay 640 pixeles. En la figura 6.4 (b) se aprecia ellogaritmo natural del modulo de la transformada continua de Fourier del patron de intensidads1 y en la figura 6.3 (b) se observa el patron de intensidad s1 que es resultado de filtrar s1

con la funcion H(u, v) al emplear la ecuacion (6.17). Los patrones restantes s2, s3, s4 fuerontambien filtrados con la misma mascara H y se procedio a recuperar la fase asociada con lospatrones filtrados sk, k = 1, 2, 3, 4.

Empleando el algoritmo de tres pasos definido en la ecuacion (6.6) y los tres primerospatrones de intensidad filtrados, recuperamos la fase sin emplear desenvolvimiento, ya queutilizamos el algoritmo de integracion descrito en [40] adaptado a lo expuesto en [60] sinrealizar sobremuestreos (incrementos de resolucion). Dado que la fase φ en radianes es unmultiplo del frente de onda w, es decir φ = (2π/λ)w, basta con multiplicar φ por

532× 10−3

2πµm

para obtener el frente de onda en micras debido a que λ = 532nm. El frente de onda resultantese observa en la figura 6.5.

Finalmente, al emplear el algoritmo de cuatro pasos descrito en (6.7) y los cuatro pa-trones filtrados, obtuvimos un frente de onda tal y como se observa en la figura 6.6 (b)utilizando nuevamente el algoritmo de integracion que no requiere desenvolvimiento. En lafigura 6.6 (c) se observa la diferencia en valor absoluto entre el frente estimado con (6.6) y el

122

Figura 6.5: Frente de onda asociado a la fase objeto empleando el algoritmo de tres pasos dela ecuacion (6.6). Deformacion de la placa metalica en micras.

123

Figura 6.6: (a) Frente de onda recuperado con algoritmo de tres pasos (6.6). (b) Frente deonda recuperado con algoritmo de cuatro pasos (6.7). (c) Diferencia en valor absoluto entreel frente de onda estimado con el algoritmo de tres pasos y el estimado con cuatro pasos.

124

correspondiente estimado con (6.7). La raız cuadrada del error cuadratico medio entre estasdos estimaciones de fase es

RMSE =

√√√√ 1

M ×N

M∑m=1

N∑n=1

|φ1(m,n)− φ2(m,n)|2 = 0.35804rad,

un error que corresponde a una variacion con orden de magnitud aproximado de λ/20 res-pecto al error en frente de onda. Esto nos dice que la fase estimada con el algoritmo de trespasos φ1 y la fase estimada con el de cuatro pasos φ2 practicamente no son diferentes entresi y por lo tanto, la repetitividad en este caso se cumple.

Ciertamente, si fuese requerido un mayor rigor para demostrar experimentalmente quenuestros algoritmos propuestos funcionan, tendrıamos que realizar este proceso con muchosotros algoritmos construidos con las formulas descritas en [20] y obtener nuevamente la mismafase recuperada en todos esos casos. Sin embargo, tal y como describimos anteriormente, elsustento teorico y las diversas simulaciones llevadas a cabo en esta tesis, son en principioevidencia suficiente de la validez de nuestras tecnicas.

125

Capıtulo 7

Conclusiones finales y trabajos afuturo

Aunque la implementacion de un algoritmo no equiespaciado tiene su origen en los algoritmosobtenidos mediante mınimos cuadrados (least-squares) [15,16], las ecuaciones normales desdeeste enfoque pueden ser ponderadas de modo semejante a las ecuaciones de los algoritmospropuestos en esta tesis. Sin embargo, las formulas propuestas aquı nos permiten un facilacceso al analisis de amplitudes y fases con el enfoque de Freischlad y Koliopoulos [8]. Porfacil acceso nos referimos a la posibilidad de encontrar los valores que representan a lascombinaciones lineales de patrones de intensidad para definir las imagenes moduladas, y porconsiguiente las funciones de frecuencia de muestreo, de una forma relativamente sencilla.

En [20] hemos desarrollado una expresion matematica que nos permite calcular la faseenvuelta, en el contexto de lo que se conoce como interferometrıa de desplazamiento de fasegeneralizado, es decir con pasos no equiespaciados. Con tantas tecnicas para interferometrıacon desplazamientos de fase equiespaciados, bastante precisas para la medicion de la fase,nos preguntamos cuales son las ventajas de considerar pasos no equiespaciados. La respuestaa esta pregunta es la existencia de errores en los desplazamientos de fase equiespaciados.Una aplicacion especıfica de nuestro algoritmo podrıa darse en interferometrıa de multi-ples imagenes, sistemas con luz polarizada donde interferometros como el Twyman-Green,generan patrones de franjas simultaneos con diferentes valores en sus desplazamientos defase constantes dados por los analizadores [38]. En estos arreglos los desplazamientos sonequiespaciados, pero en algunos casos el arreglo de polarizadores con diferentes orientacio-nes equiespaciadas podrıa tener ligeras variaciones debidas a errores de manufactura. Si sepudieran estimar estas variaciones mediante alguna tecnica, como por ejemplo la expuestaen [62], podrıamos implementar una algoritmo generalizado que compensara a los errores enlos desplazamientos de fase constantes, utilizando pasos no equiespaciados.

En investigaciones con arreglos experimentales en laboratorio, aunque hay muchos dispo-sitivos de medicion y herramientas que garantizan alta precision, no hay manera de controlartodas las diversas fuentes de error que pueden presentarse en los arreglos y por lo tanto, siem-pre habra una componente de error en los resultados de las mediciones o las estimacionesrealizadas. Si por cada componente, dispositivo o proceso empleado en una medicion expe-rimental existe una pequena contribucion de error, la suma de todas estas contribuciones

126

puede afectar en gran medida nuestros resultados. Esto enmarca la importancia de analizarla contribucion de cada error parcial debida a cada desplazamiento y la contribucion de errorconjunta debida a todos los desplazamientos, tal y como se describio en las secciones 3.5.1 y3.5.2.

Los algoritmos de mınimos cuadrados para desplazamiento de fase generalizado [15, 16]ofrecen en principio el mejor mapeo entre los patrones de intensidad con un modelo cuyasvariables independientes son la fase, la intensidad promedio y la visibilidad [7]. Algunos algo-ritmos con desplazamientos de fase equiespaciados pueden satisfacer propiedades similares alos que resultarıan de la construccion, con los mismos desplazamientos, por mınimos cuadra-dos. Estas propiedades son referidas a insensibilidad a desintonıa, armonicos, ortogonalidad,etc. y pueden visualizarse facilmente con el analisis de amplitudes y fases propuesto porFreischlad y Koliopoulos [8].

En el trabajo expuesto en [32] hemos realizado un analisis introductorio de amplitudes yfases, tratando de buscar si existe una relacion en cuanto a la interpretacion de estas propie-dades, cuando trabajamos con algoritmos generalizados en comparacion con los algoritmosequiespaciados. Ciertamente dicho analisis podrıa parecer absurdo, ya que la teorıa descri-ta en [8] es con respecto a una unica frecuencia de referencia, es decir aquella asociada aldesplazamiento de fase constante, y en los algoritmos generalizados no hay una frecuenciade referencia. Sin embargo, cuando asumimos que las propiedades descritas para los algo-ritmos equiespaciados son las mismas para los algoritmos generalizados, podemos construiralgoritmos no equiespaciados que cumplan hasta cierto punto, dichas propiedades mediantela minimizacion de funcionales de costo cuadratico, tal y como vimos en las secciones 3.6.2y 3.6.4. De este modo nuestro analisis deja de ser absurdo, si consideramos la posibilidad deextender la teorıa para la construccion de algoritmos generalizados insensibles a errores dedesplazamiento variables.

El problema de la construccion de un algoritmo generalizado e insensible a errores ensus desplazamientos sigue aun abierto y es la razon por la cual, quiza la interpretacion deRiemann-Stieltjes, expuesta en las secciones 3.4 y 4.3 podrıa ser auxiliar en la solucion dedicho problema. Es decir, si logramos interpretar cuales serıan las condiciones algebraicas quemanifiestan las propiedades de insensibilidad de los algoritmos cuando no hay una frecuenciade referencia en sus desplazamientos, entonces podemos construir funcionales de costo quereflejen dichas condiciones y convertir nuestro problema de construccion a un problema deoptimizacion.

Hemos notado las ventajas de considerar diferencias consecutivas entre los patrones deintensidad en la construccion de algoritmos generalizados. Esto se puede apreciar en el traba-jo publicado en [37]. Mediante un analisis detallado logramos obtener las ecuaciones que nospermiten imponer insensibilidad a desintonıa, insensibilidad a armonicos, e insensibilidada armonicos en presencia de desintonıa cuando generalizamos un poco mas la ecuacion delpatron de interferencia. Utilizando estas ecuaciones, convertimos tambien nuestro problemade construccion de algoritmos generalizados a un problema matricial. La generacion de al-goritmos mediante el analisis armonico expuesto en el capıtulo 4 es mucho mas sencilla deimplementar en comparacion a la minimizacion de funcionales de costo para obtener insen-sibilidad a desintonıa, tal y como se describio en el capıtulo 3. La formula propuesta paraarmonicos permite detectar la presencia de los mismos y por ende las posibles no linealidades

127

presentes en el detector. Esto puede emplearse en la calibracion de un sensor, mediante unarreglo de phase-shifting.

Cuando hablamos de algoritmos equiespaciados, en el capıtulo 4 proponemos la reso-lucion de un sistema de ecuaciones lineales para obtener propiedades de insensibilidad adesintonıa e insensibilidad a un numero finito de armonicos consecutivos. La insensibilidada los armonicos se alcanza incluso en presencia de desintonıa en la frecuencia fundamental.Dicho sistema de ecuaciones ofrece una manera facil de construir algoritmos equiespacia-dos que pueden compensar posibles errores lineales en los desplazamientos y la presencia deun cierto numero de armonicos en los patrones de intensidad cuando dichos armonicos seasumen dependientes de la posicion. El sistema de ecuaciones dado por (4.9)-(4.10) permitela construccion de un algoritmo insensible a la presencia de M armonicos y no solamentepermite calcular la tangente de la fase sino tambien la tangente de multiplos de la fase,es decir tan (mφ) si se asume la presencia de los armonicos m = 2, 3, . . . ,M . Esto permitela posibilidad de confirmar la presencia de armonicos en los patrones de intensidad. En eldesarrollo del mismo capıtulo no construimos ejemplos utilizando las ecuaciones (4.9)-(4.10),ya que estas solo producen insensibilidad a los armonicos sin presencia de desintonıa, locual significa amplitudes para las funciones de frecuencia de muestreo (FFM) con pendien-te cero en las correspondientes frecuencias armonicas. Para lograr pendiente cero en estasfrecuencias nosostros simplificamos las expresiones de las FFM tal y como se muestra en(4.24), trabajando con algoritmos ortogonales en todas las frecuencias. Cuando las FFM nose simplifican de ese modo, sus modulos complejos |GN | y |GD| pueden tener picos con valorcero en las frecuencias 1 < m ≤ M . Entonces se sigue que las correspondientes amplitudesdiferenciables AmN y AmD seran estrıctamente monotonas localmente en esas frecuenciasarmonicas. Por lo tanto estas amplitudes no podrıan tener pendiente cero en dichas frecuen-cias. Por otro lado, cuando se da la reduccion de la ecuacion (4.24), los modulos complejosde las FFM y consecuentemente sus amplitudes, pueden tener valor cero y pendiente ceroen esas frecuencias armonicas al considerar las ecuaciones (4.31)-(4.32).

De manera analoga, la insensibilidad a desintonıa no necesariamente se obtiene con el sis-tema dado por (4.9)-(4.10). Sin embargo si consideramos la ecuacion (4.30), la insensibilidada desintonıa es facilmente implementada. El segundo sistema conformado por las ecuaciones(4.29)-(4.32) permite compensar mejor la desintonıa y la presencia de armonicos. Con esteultimo sistema tenemos un grado de insensibilidad de primer orden. Sin embargo en algunassimulaciones de la seccion 4.6 puede notarse que el grado de insensibilidad al menos en lafrecuencia de referencia fr = 1 podrıa ser de orden dos o tres. En ese sentido dichos algo-ritmos podrıan ser insensibles a errores no lineales y presentes en los desplazamientos. Talsuposicion podrıa confirmarse si se calcularan la segunda o la segunda y la tercera derivadasde las amplitudes de las FFM. Si las segundas derivadas coinciden en fr el algoritmo serıainsensible a errores cuadraticos en los desplazamientos de fase, si la segunda y la tercera de-rivadas coinciden en fr, el algoritmo serıa insensible a errores cubicos en los desplazamientosde fase, etc.

Para algoritmos con un alto orden de insensibilidad las condiciones algebraicas deseadaspara las FFM son ecuaciones no lineales. En tal caso, para resolver el problema de unsistema de ecuaciones no lineales podrıamos implementar un proceso de optimizacion [4, 5],es decir construir un funcional de costo que refleje las condiciones deseables de insensibilidad y

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minimizar dicho funcional para obtener los factores de peso optimos que definen al algoritmo,tal y como lo hicimos en [32]. Sin embargo, el diseno de un algoritmo equiespaciado quecompense errores de alto orden en sus desplazamientos es algo que ha sido intensamenteestudiado por muchos autores [12–14,19,23,29–31,33]. Las aproximaciones en estos artıculospueden ser aplicadas en la simplificacion de muchas ecuaciones que podrıan presentarse enun extenso y detallado analisis de alto orden.

Ahora, una vez propuestas las ecuaciones para la generacion de algoritmos con ciertaspropiedades, estudiamos un poco el efecto de incrementar la resolucion a las imagenes mo-duladas en amplitud que representan al seno y al coseno de la fase. En [60] exploramosla posibilidad de incrementar la resolucion de estas imagenes moduladas y observamos quecuando utilizamos el metodo de integracion lineal propuesto en [40], que no depende de larealizacion de un desenvolvimiento, la exactitud en la estimacion de la fase puede mejorar.En el capıtulo 5 justificamos que el sobremuestreo (incremento de resolucion) que utilizamosmediante interpolacion cubica y promedio de los datos, se basa en lo expuesto en [43], unatecnica que es aplicada a la reconstruccion de frentes de onda obtenidos mediante trazo derayos [44]. Nosotros mostramos que dicha tecnica tambien es aplicada a imagenes en generalque representen superficies diferenciables. En [43] se observa la ganancia en la exactitud dela estimacion cuando se minimiza un funcional de costo destinado al sobremuestreo de losfrentes de onda. Esta ganancia refiere a que la estimacion obtenida mediante el funcionalde costo produce un error cuadratico medio ligeramente menor al de la estimacion obtenidamediante interpolacion bicubica. El mismo comportamiento se observo en nuestras simula-ciones por computadora, incluso en algunos ejemplos donde fue anadido un cierto porcentagede error aleatorio en los interferogramas. De lo expuesto en el capıtulo 5 y las simulacionesllevadas a cabo, podemos inferir que nuestra interpolacion cubica y promedio produce unaestimacion cercana a un mınimo local de la expresion (5.16) considerando factores de escalap = q = 2. Sin embargo nuestra interpolacion propuesta requiere menos costo computacionalque la minimizacion del funcional (5.16), ya que para lograr esta minimizacion re sequiere unproceso iterativo. Entonces, tal y como ocurre en varios metodos de ajuste de datos, comopor ejemplo la regularizacion de Tikhonov [4], nuestra interpolacion propuesta demuestrala importancia de analizar las soluciones de los funcionales de costo cuando es posible. Eneste sentido, un mınimo local, obtenido analıticamente de un funcional cuadratico es degran utilidad en la reduccion del costo computacional que se invierte en el proceso iterativodestinado a la minimizacion de dicho funcional.

En el mismo capıtulo 5 tambien exploramos las ventajas de realizar un ajuste de datosdirecto, al considerar un modelo polinomial para la fase. En las simulaciones correspondien-tes se noto una ganancia al reducir considerablemente el valor del error cuadratico medioen estimaciones de fases con valores relativamente altos en sus coeficientes de aberracion.Al considerar los algoritmos de desplazamiento de fase generalizados en [20,32] y la tecnicade integracion lineal en [40] adaptada a lo expuesto en [60], estudiamos que la exactitudde la estimacion de la fase depende de la exactitud con la que se calculen las derivadasparciales de las imagenes moduladas. Se observo que existe una region en la frontera delos interferogramas en donde al calcular estas derivadas se aprecian oscilaciones o rizos. Es-tos comportamientos oscilatorios no deberıan estar presentes pero se deben a la insuficienteresolucion (diferenciales relativamente grandes) para estimar correctamente las derivadasparciales de funciones senoidales y cosenoidales que tienen oscilaciones rapidas en el mo-

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mento en que la fase se dispara al infinito cerca de la frontera. Pese a que trabajamos conimagenes con resolucion alta, se requiere aun mucho mas resolucion para lograr estimar bienestas derivadas parciales y eso induce otro problema; el incremento en costo computacionalrequerido para cualquier otra operacion en las imagenes moduladas sobremuestreadas. Eneste caso, realizar sobremuestreos no es algo optimo para la recuperacion de la fase, y es poreso que el ajuste polinomial resulta mas viable.

Finalmente, cabe notar que el trabajo descrito en esta tesis puede complementarse aunmas, si consideramos el desarrollo de la teorıa para analizar algoritmos mediante integralesde Riemann-Stieltjes [28]. Dos problemas interaseantes quedan aun abiertos: 1) Saber cuales la condicion de ortogonalidad en todas la frecuencias con pendiente distinta de cero, y 2)saber cual es la condicion de insensibilidad a errores de alto orden en los desplazamientospara algoritmos generalizados. Bajo la misma perspectiva, tambien es necesario considerar elestudio de la teorıa de demodulacion de interferogramas [66], que basicamente es la recons-truccion de la fase mediante un solo patron de interferencia, empleando la minimizacion defuncionales de costo asociados. Ası mismo, otro estudio complementario de interes es la ge-nerailzacion de los algoritmos de dos etapas [34] a pasos no equiespaciados, es decir su disenoy el analisis matematico que nos conduzca a la obtencion de propiedades de insenisbilidad adiversas fuentes de error.

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Apendice

Teorema 1. Considere a la expresion matematica para la delta de Dirac1 δ trasladada a unvalor a respecto a su variable independiente x, la cual esta definida por

δ(x− a) = 0 para x 6= a∫ a+α

a−αδ(x− a)dx = 1 para todo α > 0.

Entonces, la delta de Dirac tiene dos propiedades interesantes. La primera consiste en que,para una funcion arbitraria f que es continua en x = a, se tiene que∫ a+α

a−αf(x)δ(x− a)dx = f(a).

La otra propiedad de la delta de Dirac es que δ(x− a) = δ(a− x).

Demostracion: Para demostrar este hecho, recurrimos al resultado dado en [61] que dice: Sif es integrable y acotada en I = [a, b] de modo que m ≤ f(x) ≤M para toda x en I y g esintegrable no negativa (o no positiva) en [a, b], entonces, existe µ tal m ≤ µ ≤M y∫ b

a

f(x)g(x)dx = µ

∫ b

a

g(x)dx (7.1)

Ahora, una definicion alternativa para la delta de Dirac es

δ(x− a) = lımτ→0

1

τ(2π)1/2exp

(−(x− a)2

2τ 2

)= lım

τ→0Gτ (x)

con valores τ positivos2. Estas Gaussianas Gτ satisfacen∫ ∞−∞

Gσ(x)dx = lımτ→0

∫ a+α

a−αGτ (x)dx = 1 (7.2)

para cualesquiera valores positivos σ y α. Con esta definicion para la delta de Dirac, notamosque ∫ a+α

a−αf(x)δ(x− a)dx = lım

τ→0

∫ a+α

a−αf(x)Gτ (x)dx (7.3)

1Esta expresion propiamente no es una funcion, sin embargo se trabaja con ella como si lo fuera. Sepuede definir como un lımite de funciones especiales y tiene importantes aplicaciones en la teorıa generalsobre distribuciones [9, 10].

2En esta seccion escribimos simplemente τ → 0 para expresar al lımite lateral τ → 0+

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Sin embargo, para τ suficientemente pequena, existe β1 = β1(τ) (tambien pequena) tal que∫ a+α

a−αf(x)Gτ (x)dx '

∫ a+β1

a−β1

f(x)Gτ (x)dx,

∫ a+α

a−αGτ (x)dx '

∫ a+β1

a−β1

Gτ (x)dx (7.4)

Para esa misma τ , existe β2 = β2(τ), tal que f(a)− τ ≤ f(x) ≤ f(a) + τ para a− β2 < x <a+β2 de la continuidad de f en a. Claramente (7.4) se da para β = mınβ1, β2, y al aplicar(7.1) obtenemos∫ a+α

a−αf(x)Gτ (x)dx '

∫ a+β

a−βf(x)Gτ (x)dx = µτ

∫ a+β

a−βGτ (x)dx ' µτ

∫ a+α

a−αGτ (x)dx (7.5)

con f(a)− τ ≤ µτ ≤ f(a) + τ . A partir de esta ultima equivalencia, de (7.2), (7.3) y el hechode que el lımite de µτ cuando τ → 0 existe y es f(a), se sigue que∫ a+α

a−αf(x)δ(x− a)dx =

(lımτ→0

µτ

)(lımτ→0

∫ a+α

a−αGτ (x)dx

)= f(a).

La segunda propiedad es evidente, ya que

δ(a− x) = δ((−x)− (−a)) = δ(y − b),

donde y = −x y b = −a. Si x 6= a, entonces y 6= b y de la definicion de lo que serıa δ(y − b),tenemos que δ(a− x) = δ(y − b) = 0 para x 6= a. Por otro lado para α > 0 tenemos que∫ a+α

a−αδ(a− x)dx = −

∫ b−α

b+α

δ(y − b)dy =

∫ b+α

b−αδ(y − b)dy = 1,

debido a la definicion misma de δ(y−b) y las propiedades de la integral definida al intercabiarlımites de integracion. Puesto que δ(a− x) = 0 para x 6= a y∫ a+α

a−αδ(a− x)dx = 1,

esto nos dice que δ(a− x) es exactamente lo mismo que δ(x− a).

Teorema 2. La funcion recursiva que satisface Tk(cosφ) = cos(kφ), esta dada por

T0(x) = 1,T1(x) = x,Tk(x) = 2xTk−1(x)− Tk−2(x),∀k = 2, 3, . . . ,

dichas expresiones son conocidas como polinomios de Chebyshev [25].

Demostracion: Puesto que

T0(cosφ) = cos (0 · φ) = 1, T1(cosφ) = cosφ,

resulta claro que T0(x) = 1 y T1(x) = x. Procedamos ahora por induccion. Supongamos quela funcion que satisface Tk(cosφ) = cos (kφ) esta dada por Tk(x) = 2xTk−1(x)−Tk−2(x) para

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valores k ≤ K y un cierto K fijo. Ahora verificaremos que esta funcion recursiva es validapara K + 1. Tenemos que

TK+1(cosφ) = cos [(K + 1)φ]= cos [φ+Kφ]= 2 cos (φ) cos (Kφ)− cos [(K − 1)φ]= 2 cos (φ)TK(cosφ)− TK−1(cosφ),

por lo tanto TK+1(x) = 2xTK(x)− TK−1(x) y el teorema queda demostrado.

Teorema 3. Todo polinomio de grado M evaluado en cosφ puede reescribirse como combi-nacion lineal de los M + 1 primeros polinomios de Chebyshev, T0, T1, . . ., TM , evaluados encosφ.

Demostracion. El teorema nos dice que si tenemos un polinomio P (x) =∑M

m=0 εmxm, en-

tonces P (cosφ) =∑M

m=0 amTm(cosφ). La propiedad que sugiere el teorema es valida paraM = 1 ya que

P (cosφ) = ε0 + ε1 cosφ = a0T0(cosφ) + a1T1(cosφ),

donde a0 = ε0 y a1 = ε1. Supongamos ahora que el teorema es valido para polinomios congrado menor o igual que un cierto M fijo. Ahora consideremos un polinomio de grado M + 1dado por

P∗(x) =M+1∑m=0

εmxm,

Dado que P (x) =∑M

m=0 εmxm es de grado a lo mas M , por hipotesis de induccion resulta

claro que

P∗(cosφ) =M∑m=0

amTm(cosφ) + εM+1(cosφ)M+1.

Por otra parteTM+1(cosφ) = 2 cosφTM(cosφ)− TM−1(cosφ),

entonces

TM+1(cosφ) = 2 cosφM∑m=0

σm(cosφ)m −M−1∑m=0

βm(cosφ)m =M+1∑m=0

κm(cosφ)m,

donde κ0 = −β0, κm = 2σm−1 − βm para m = 1, . . . ,M − 1, κM = 2σM−1 y κM+1 = 2σM .El valor κM+1 es distinto de cero ya que el coeficiente de la potencia p de todo polinomio deChebyshev Tp(x) es distinto de cero. De esto se sigue que

εM+1(cosφ)M+1 =εM+1

κM+1

[TM+1(cosφ)−

M∑m=0

κm(cosφ)m

].

Como el polinomio P·(x) =∑M

m=0 κmxm es de grado a lo masM , la representacion P·(cosφ) =∑M

m=0 amTm(cosφ) es valida y esto permite que el termino εM+1(cosφ)M+1 tenga representa-

cion en suma finita como εM+1(cosφ)M+1 =∑M+1

m=0 σmTm(cosφ) con σm = −(εM+1/κM+1)am

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para m = 0, 1, . . . ,M y σM+1 = (εM+1/κM+1). De este modo

P∗(cosφ) =M∑m=0

amTm(cosφ) +M+1∑m=0

σmTm(cosφ) =M+1∑m=0

βmTm(cosφ),

con βm = am + σm para m = 0, 1, . . . ,M y βM+1 = σM+1. Esto concluye la prueba.

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Publicaciones realizadas

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