t e s i s...luis alberto trujillo ortega director de tesis: dr. misael avendano~ camacho hermosillo,...

El saber de mis hijoshará mi grandeza”

UNIVERSIDAD DE SONORA

División de Ciencias Exactas y Naturales

Licenciatura en Matemáticas

Integrabilidad y simetŕıas de Sistemas Hamiltonianos

T E S I S

Que para obtener el grado de:

Licenciado enMatemáticas

Presenta:

Luis Alberto Trujillo Ortega

Director de Tesis: Dr. Misael Avendaño Camacho

Hermosillo, Sonora, México, 4 de noviembre de 2015

SINODALES

Dr. Yury VorobievUniversidad de Sonora

Dr. Rubén Flores EspinozaUniversidad de Sonora

Dr. Guillermo Dávila RascónUniversidad de Sonora

M.C. Eduardo Velasco BarrerasUniversidad de Sonora

Dr. Misael Avendaño CamachoUniversidad de Sonora

REVISORES

Dr. Yury VorobievUniversidad de Sonora

Dr. Rubén Flores EspinozaUniversidad de Sonora

Dr. Guillermo Dávila RascónUniversidad de Sonora

M.C. Eduardo Velasco BarrerasUniversidad de Sonora

Dr. Misael Avendaño CamachoUniversidad de Sonora

Agradecimientos

A mi familia.

v

Índice general

Introducción 1

1. Nociones Fundamentales de Geometŕıa Diferencial 31.1. Definición de variedades diferenciables y ejemplos. . . . . . . . . . . 31.2. Funciones diferenciables, inmersiones y submersiones. . . . . . . . . . 51.3. Subvariedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Formas diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Integración en variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Acciones de grupos de Lie en una variedad. . . . . . . . . . . . . . . 191.8. Acciones de grupos discretos en una variedad. . . . . . . . . . . . . . 21

2. Sistemas Hamiltonianos en R2n 272.1. El corchete de Poisson en R2n. Definición, propiedades y ejemplos. . 272.2. Campos Hamiltonianos, criterios de Hamiltonización y flujos Hamil-

tonianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Transformaciones canónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. El álgebra de integrales primeras de un sistema Hamiltoniano. . . . . 322.5. Sistemas Hamiltonianos lineales en el plano. . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Integrabilidad y superintegrabilidad 373.1. Sistemas Hamiltonianos completamente integrables y el Teorema de

Liuoville-Arnold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Ejemplos de sistemas completamente integrables. . . . . . . . . . . . 393.3. Sistemas Hamiltonianos superintegrables. . . . . . . . . . . . . . . . 423.4. Ejemplos de sistemas superintegrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Acciones lineales de grupos de Lie compactos en Rn y el Teoremade Schwarz 454.1. La topoloǵıa C∞ para el espacio de funciones suaves. . . . . . . . . . 454.2. Funciones G-invariantes y el operador de promedios . . . . . . . . . 474.3. El álgebra de polinomios G-invariantes y el teorema de las bases de

ideales de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4. Teorema de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. El álgebra de simetŕıas del oscilador armónico con dos grados delibertad 575.1. Coordenadas acción-ángulo para el oscilador armónico. . . . . . . . . 585.2. El álgebra de simetŕıas del oscilador armónico. . . . . . . . . . . . . 59

vii

viii ÍNDICE GENERAL

5.3. Generadores del álgebra de simetŕıas y sus relaciones de conmutación. 615.4. Resonancia 1 : 1 para el oscilador armónico 2-dimensional . . . . . . 645.5. Resonancia 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Introducción

En la Mecánica Clásica, uno de los sistemas más conocidos es el oscilador armóni-co unidimensional, el cual describe la dinámica de una masa puntual sujeta al finalde un resorte que oscila sin fricción. Este sistema modela la fuerza ejercida sobrela masa en términos de la posición. En este trabajo de tesis hacemos un énfasisparticular en el oscilador armónico con dos grados de libertad, el cual puede ser mo-delado en R4 debido a que la dinámica del sistema queda completamente definidaconociendo la posición y el momento.

En general, sabemos que cada sistema dinámico define un flujo, el cual describelas trayectorias del sistema. En ocasiones, al aplicar una transformación al espaciofase, el conjunto de trayectorias queda invariante. En tal caso, a esa transformaciónse le conoce como simetŕıa del sistema. Vemos también que hay una relación muyestrecha entre funciones invariantes a lo largo del flujo y las simetŕıas del sistema.Con el fin de estudiar las simetŕıas de un sistema dinámico, mostraremos expĺıci-tamente cómo una función invariante induce simetŕıas del sistema. Tal relación nospermite centrar nuestro enfoque únicamente en las funciones invariantes a lo largodel flujo, a las cuales las llamamos integrales primeras.

Un resultado conocido es que el álgebra de integrales primeras del osciladorarmónico con dos grados de libertad es finitamente generado. Sin embargo, no escomún encontrar este resultado en la literatura, por ello decidimos realizar estaaportación. En este trabajo se demuestra que el álgebra de integrales primeras deloscilador armónico con dos grados de libertad es finitamente generado y además seexhibe expĺıcitamente un conjunto de generadores.

En el primer caṕıtulo se revisa material preliminar básico para este trabajo, don-de se aclara el lenguaje a utilizar y aparecen algunas propiedades importantes conlas que se trabaja en caṕıtulos posteriores.

El segundo caṕıtulo trata de los sistemas Hamiltonianos en general, aśı como desus propiedades. También estudiamos el conjunto de integrales primeras, en dondese encuentra que posee estructura de álgebra y de álgebra de Lie, es decir, un álgebrade Poisson.

El tercer caṕıtulo trata sobre un teorema de gran importancia, el Teorema deLiouville-Arnold, el cual brinda una descripción de los sistemas Liouville integrables,es decir, aquellos que tienen un conjunto finito de integrales primeras que cumplecon ciertas propiedades. También obtenemos información de otro tipo de sistemas,

1

2 Introdcción

a saber, los superintegrables, donde las condiciones sobre el conjunto de integralesprimeras exigen menos.

El caṕıtulo cuarto contiene el material suficiente para abordar el Teorema deSchwarzt, el cual da condiciones para que un conjunto de funciones invariantes bajola acción de un grupo sea finitamente generado.

Para el quinto y último caṕıtulo, mostramos cómo se ajustan los resultadosprevios al oscilador armónico en dos grados de libertad para demostrar que su álgebrade integrales primeras es finitamente generado. Además, se hace el cálculo de unabase de integrales primeras generadoras.

Caṕıtulo 1

Nociones Fundamentales de Geometŕıa

Diferencial

El material que se presenta en este caṕıtulo es estándar y se puede consultar conmayor detalle en [3, 4, 19].

1.1. Definición de variedades diferenciables y ejemplos.

En este primer caṕıtulo se revisan conceptos básicos para el desarrollo del pre-sente trabajo y se exponen el espacio y las estructuras con las que se desarrolla esteestudio. Empecemos con nuestra primera definición:

Definición 1.1.1. Una variedad diferenciable n-dimensional M es un espaciotopológico Hausdorff con una base topológica numerable, que satisface:1)Existe una colección de parejas (Uα,Φα), con Uα abierto de M , ∪α∈IUα = M yΦ : Uα → Φα(Uα) ⊂ Rn homeomorfismo.2) Si Uα ∩ Uβ 6= ∅, entonces Φβ ◦ Φ−1α : Φα(Uα ∩ Uβ) → Φβ(Uα ∩ Uβ) es un difeo-morfismo de clase C∞entre abiertos de Rn.

A cada pareja (Uα,Φα) de la colección anterior lo llamamos carta local o sis-tema de coordenadas sobre M .

La noción de variedad es una generalización de espacio euclidiano, pues local-mente se comporta como uno, y al considerar variedades diferenciables pedimos queel cambio de una carta a otra sea suave. A una colección de cartas locales cuyos do-minios cubren M le llamamos un atlas A de dimensión n. Además, para las cartas(U,Φ) y (Ũ , Φ̃) el difeomorfismo

Φ̃ ◦ Φ−1 : Φ(U ∩ Ũ)→ Φ̃(U ∩ Ũ)

es llamado función de transición o cambio de coordenadas. Un atlas declase C∞ en M es llamado maximal cuando este contiene todas las cartas locales(Ũ , Φ̃) cuyo cambio de coordenadas con elementos (U,Φ) ∈ A, Φ̃ ◦ Φ−1, son difeo-morfismos de clase C∞. Además, en un atlas maximal, los dominios de las cartaslocales forman una base para la topoloǵıa de M . Por estructura diferenciable nosreferiremos a una variedad diferenciable junto con un atlas para esta variedad.

3

4 1. NOCIONES FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Observemos que Rn como espacio euclidiano es una variedad diferenciable donde(Rn, idRn) es una estructura diferenciable. Otra variedad que resulta de nuestrointerés en este trabajo es S1 = {(x, y)|x, y ∈ R, x2 + y2 = 1} ⊂ R2. Mostraremos queS1 es variedad diferenciable.Para comenzar, dotemos a S1 de la topoloǵıa relativa y con ello los conjuntos U1 =S1−{(1, 0)} y U2 = S1−{(−1, 0)} son abiertos en S1. Luego, definamos las funcionesΦ1 : U1 → (0, 2π) y Φ2 : U2 → (−π, π) de la siguiente manera:

Φ1(x, y) =

arctan

( yx

)0 < x < 1, 0 < y < 1

π2 x = 0, y = 1

arctan( yx

)+ π −1 < x < 0,−1 < y < 1

3π2 x = 0, y = −1

arctan( yx

)+ 2π 0 < x < 1,−1 < y < 0

Φ2(x, y) =

arctan

( yx

)− π −1 < x < 0,−1 < y < 0

−π2 x = 0, y = −1arctan

( yx

)0 < x < 1,−1 < y < 1

π2 x = 0, y = 1

arctan( yx

)+ π −1 < x < 0, 0 < y < 1

Estas funciones son homeomorfismos y pueden ser interpretados como las fun-ciones que asignan al vector (x, y) su ángulo con respecto al eje horizontal. Veremosque la colección {(U1,Φ1), (U2,Φ2)} es una estructura diferenciable para S1. Paraello, habrá que mostrar que Φ1 ◦ Φ−12 y Φ2 ◦ Φ

−11 son difeomorfismos.

Para Φ1 ◦Φ−12 : (−π, 0)∪ (0, π)→ (0, π)∪ (π, 2π) se tiene que Φ1 ◦Φ−12 (t) = t cuando

t ∈ (0, π) y Φ1 ◦Φ−12 (t) = t− 2π cuando t ∈ (π, 2π). Esto hace que Φ1 ◦Φ−12 sea un

difeomorfismo y, análogamente, Φ2 ◦ Φ−11 : (0, π) ∪ (π, 2π) → (−π, 0) ∪ (0, π) es undifeomorfismo.

Otros ejemplos de variedades diferenciables son S2 y el plano proyectivo P2(R),para mayor información sobre variedades diferenciables se puede consultar [19].

Proposición 1.1.2. Sean M,N variedades diferenciables. Entonces existe una es-tructura diferenciable en M ×N .

Demostración. Dotemos a M×N de la topoloǵıa producto. M×N con esta topoloǵıaes de Hausdorff y posee una base numerable, pues tales propiedades son heredadasde las variedades M y N . Sean A = {(Uα,Φα)}α∈Λ y B = {(Vβ,Ψβ)}β∈I los atlasen M y N , respectivamente. Definamos el conjunto

A = {(Uα × Vβ, Φ̃αβ)|(Uα,Φα) ∈ A, (Vβ,Ψβ) ∈ B}

donde Φ̃αβ : Uα × Vβ → Φ̃αβ(Uα × Vβ) con Φ̃αβ(x, y) := (Φα(x),Ψβ(y)) esun homeomorfismo de Uα × Vβ con su imagen. Luego, dadas las parejas (Uα1 ×Vβ1 , Φ̃α1β1), (Uα2 × Vβ2 , Φ̃α2β2) ∈ A tal que (Uα1 × Vβ1) ∩ (Uα2 × Vβ2) 6= ∅ se tieneque

1.2. FUNCIONES DIFERENCIABLES, INMERSIONES Y SUBMERSIONES. 5

Φ̃α2β2 ◦ Φ̃−1α1β1

: Φ̃α1β1 (Uα1 × Vβ1 ∩ Uα2 × Vβ2)→ Φ̃α2β2 (Uα1 × Vβ1 ∩ Uα2 × Vβ2)

con Φ̃α2β2◦Φ̃−1α1β1

(x, y) = (Φα2◦Φ−1α1 (x),Ψβ2◦Ψ−1β1

(y)) es un difeomorfismo debido

a que Φα2 ◦ Φ−1α1 y Ψβ2 ◦ Ψ−1β1

son difeomorfismos. Por lo tanto, A es un atlas paraM ×N .

Ejemplo 1.1.3. Debido a la proposición anterior y a que S1 es variedad diferencial,se tiene que para

Tk := S1 × ...× S1

con la estructura diferencial del producto cartesiano es una variedad diferencial. Estavariedad diferencial es conocida como el toro k-dimensional.

1.2. Funciones diferenciables, inmersiones y submersio-nes.

La noción de variedades diferenciables permite introducir la noción de diferen-ciabilidad para funciones entre variedades.

Sea F : N → M una función entre variedades diferenciables. Diremos que F essuave si para cada p ∈ N existen vecindades coordenadas (U,Φ) de p y (V,Ψ) deF (p), con F (U) ⊂ V , tales que F̂ = Ψ ◦ F ◦ Φ−1 : Φ(U) → Ψ(U) es diferenciableen Φ(p). Llamaremos a F̂ la representación local de F en las cartas (U,Φ) y (V,Ψ).

En otras palabras, F se dice suave si su representación local (o sea, traducciónal lenguaje euclidiano) es diferenciable.

Definición 1.2.1. Una función F : N → M suave es un difeomorfismo si F esun homeomorfismo y F−1 es diferenciable (suave). M y N se dicen ser variedadesdifeomorfas si existe un difeomorfismo F : M → N .

Ejemplo 1.2.2. Sea F : R → R dada por F (t) = t3. A continuación daremos dosestructuras diferenciables de R, tal que para solo una de ellas F−1 es diferenciable.

Dotemos a R de la estructura diferenciable inducida por A = {(R, idR)}. Consi-deremos también Ã = {(R,Ψ)} con Ψ : V → R,Ψ(t) := t3. Notemos que los atlasA y Ã no son compatibles pues idR ◦ Ψ−1 : R → R, idR ◦ Ψ−1(t) = t

13 no es un

difeomorfismo de clase C∞.

Ahora, sea F : R→ R dada por F (t) = t13 . Probaremos que F es un difeomorfis-

mo cuando R tiene la estructura diferencial inducida por el atlas (R,Ψ). F es suavedado que F̂ (t) = Ψ ◦ F ◦ id−1R (t) = Ψ ◦ F (t) = Ψ(t

13 ) = t es diferenciable en R, F es

homeomorfismo y F−1 = t3 es diferenciable, pues F̂−1(t) = t es diferenciable.


Sea F : N → M diferenciable. Se define el rango de F en p ∈ N por el rangode F̂ en Φ(p) y se denota por rankpF , esto es, el rango de la diferencial de F̂ .

A continuación damos la definición de algunos conceptos que nos servirán parala construcción de nuevas variedades diferenciables.

Definición 1.2.3. Sea F : N →M suave. F se dice ser una inmersión si rankF =dimN para toda p ∈ N .

Definición 1.2.4. Un encaje es una inmersión inyectiva F : N →M que ademáses un homeomorfismo de N en su imagen.

Teorema 1.2.5. Sea F : N →M una inmersión. Entonces para cada p ∈ N existeuna vecindad U tal que F |U es un encaje de U en M .

La prueba de este resultado se puede consultar en [4].

Definición 1.2.6. Sea F : N → M suave. F es una submersión si rankF =dimM .

1.3. Subvariedades.

Aśı como en los espacios euclideanos podemos encontrar subespacios euclideanos,en las variedades diferenciables podemos encontrar subvariedades diferenciables, ypara eso ya contamos con las herramientas necesarias para dar varios tipos de sub-variedades tales como los encajes y las subvariedades regulares.

Sea F una inmersión. Si F es inyectiva, entonces N se puede identificar con suimagen Ñ = F (N) y además se puede dotar a Ñ de una estructura diferenciable.Como N es una variedad diferenciable con atlas

A = {(Uα,Φα)},

donde Φα : Uα → Rn, a Ñ se le puede asociar el atlas

Ã = {(Vα,Ψα)},

donde Vα = F (Uα) y Ψα : Vα → Rn definida como Ψα := Φα ◦ F−1. Notemos que∪Vα = Ñ y para cualquier par de cartas coordenadas (Vα,Ψα) y (Vβ,Ψβ)

Ψα ◦Ψ−1β : Ψβ(Vβ ∩ Vα)→ Ψα(Vβ ∩ Vα)

resulta ser un difeomorfismo de clase C∞. Ñ es llamada subvariedad inmersa enM .

Ejemplo 1.3.1. Sea F : R→ R3, con F (t) = (cos 2πt, sin 2πt, t). Entonces,

DF =dF

dt= (−2π sin 2πt, 2π cos 2πt, 1)

Observemos que ranktF = dimR = 1 para todo t y F es inyectiva, por lo que Fes una inmersión y su imagen es una subvariedad inmersa en R3.

1.4. CAMPOS VECTORIALES. 7

Ejemplo 1.3.2. Sea F : R→ R2, con F (t) = (cos2πt, sen2πt).

DF =dF

dt= (−2πsen2πt, 2πcos2πt).

F no es inyectiva y, en este caso, el rango de F vuelve a ser 1, por lo que es unainmersión no inyectiva.

Consideremos un encaje F : N →M . Como F es un homeomorfismo de N sobresu imagen Ñ = F (N) con la topoloǵıa de Ñ inducida como subespacio de M, Ñ esuna subvariedad de N y es llamada un encaje.

Definición 1.3.3. Sea N ⊂M . N se dice tener la propiedad de n-subvariedad sipara cada p ∈ N existe una carta coordenada (U,Φ) en M , Φ : U → Rm, Φ(q) =(x1(q), ..., xm(q)) tal que:

• Φ(p) = (0, ..., 0)

• Φ(U) = Bm� (0) = {x ∈ Rm|‖x‖ < �}

• Φ(U ∩N) = {x ∈ Bm� (0)|xn+1 = xn+2 = ... = xm = 0}

Las cartas coordenadas de este tipo son llamadas coordenadas especiales (re-lativas a N .

Considerando que N con la topoloǵıa relativa es una variedad topológica, cadasistema de coordenadas especiales (U,Φ) de M define una carta coordenada en N ,(V, Φ̂), con V = U ∩N y Φ̂ = π◦Φ|V , donde π : Rm → Rn, π(y1, ..., ym) = (y1, ..., yn)es la proyección usual. Definamos también i : N → M , como i(x) = x la inclusión.Las cartas inducidas por las coordenadas especiales son compatibles y la estructuradiferenciable que se define en N hace que i sea un encaje. En este caso, N es llamadauna subvariedad regular.

El siguiente teorema es un criterio muy útil para garantizar que tenemos unasubvariedad regular.

Teorema 1.3.4. Sea F : N → M diferenciable, donde dimM ≤ dimN y rankF =dimM en todo A = F−1(a) para algún a ∈ M . Entonces A es una subvariedadregular de N de dimensión n−m.

La demostración de este teorema puede ser consultada en [4].

Ejemplo 1.3.5. Sea F : Rn → R definida como F (x) = ‖x‖. F tiene rango 1 enRn/{0}, por lo que F−1(1) = {x ∈ Rn|‖x‖ = 1} = Sn−1 es una variedad regular.

1.4. Campos vectoriales.

Antes de definir a los campos vectoriales, haremos énfasis en la noción de espaciotangente. Para esto, consideremos a Rn = {(x1, ..., xn)|xi ∈ R} y sea a ∈ Rn con


a = (a1, ..., an). Buscamos asociarle al punto a un espacio vectorial que denotaremosTaRn y lo llamaremos espacio tangente en a ∈ Rn. Dado que Rn tiene estructurade espacio vectorial (Rn,+, ·) sobre R, utilizaremos sus propiedades para definir lasoperaciones que harán a TaRn espacio vectorial.

Geometricamente, ~u = (u1, ..., un) ∈ Rn se interpreta como el segmento dirigidoque une el origen con (u1, ..., un). Utilizando esta noción, TaRn = { ~ax|x ∈ Rn},donde ~ax es el segmento dirigido que une a con x. Visto de este modo, podemosdefinir la biyección Φa : Rn → TaRn, donde Φa(x) = ~ax.

Para definir las operaciones en TaRn, sean Xa, Ya ∈ Ta(Rn), α ∈ R y definamos:

Xa + Ya := Φa(Φ−1a (Xa) + Φ

−1a (Ya)),

α ·Xa := Φa(α · Φ−1a (Xa)).

Es fácil comprobar que TaRn es espacio vectorial sobre R con estas operaciones.Además, si consideramos la base canónica en Rn, {Ei}ni=1 con Ei = (0, ..., 1, ..., 0) ydefinimos Eia := Φa(E

i), entonces {Eia}ni=1 es base de TaRn.

Existen distintas formas de definir el espacio tangente, es por ello que veremosuna segunda definición de TaRn.

Nuevamente sea a ∈ Rn y sean � > 0 y I� = (−�, �). Consideremos γ1, γ2 : I� →Rn curvas suaves (diferenciables) con γ1(0) = γ2(0) = a. Diremos que las curvas γ1y γ2 son equivalentes si sus derivadas en 0 coinciden, esto es,

γ1 ∼ γ2 ⇔dγ1dt

(0) =dγ2dt

(0).

Es inmediato comprobar que γ1 ∼ γ2 define una relación de equivalencia de curvasen a. Luego, a cada γ : I� → Rn con γ(0) = a lo podemos asociar con una elementode Rn, su derivada en 0.

Por lo anterior, podemos definir el espacio tangente como TaRn := {γ′(0)|γ :I� → Rn y γ(0) = a}. En esta definición sólo basta mostrar que existe una curvasuave γ con γ(0) = a tal que γ′(0) = x para cualquier x ∈ Rn, para esto, considera-mos γ(t) = tx+ a, la cual cumple con lo requerido.

Los elementos del espacio tangente tienen una estructura más rica en propie-dades. Por ello veremos un par de definiciones que nos permitirán aprovechar laestructura de TaRn.

Definición 1.4.1. Sea K un campo. Un álgebra sobre K (o K-álgebra) es un es-pacio vectorial A sobre K con una operación binaria · : A × A → A tal que para


todo u, v, w ∈ A y λ ∈ K:

(i) u · (v + w) = u · v + u · w,

(ii) (v + w) · u = v · u+ w · u,

(iii) λ(u · v) = (λu) · v = u · (λv).

La operación · es llamada una multiplicación en A.

Ejemplo 1.4.2. Sean K = R y A = C∞(R). A es una R-álgebra con la multiplica-ción usual.

Definición 1.4.3. Un álgebra de Lie es una pareja (V, [ , ]) donde V es un espaciovectorial sobre un campo F y [ , ] : V ×V → V es una operación binaria que satisfacelas siguientes propiedades para λ ∈ F y u, v, w ∈ V :

i) Bilinealidad:

[u, λv + w] = λ[u.v] + [u,w],

[λu+ v, w] = λ[u,w] + [v, w],

ii) Antisimetŕıa:

[u, v] = −[v, u],

iii) Identidad de Jacobi:

[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0.

Algunos ejemplos de álgebras de Lie son (R3,×), donde × es el producto cruzy (Mn×n, [ , ] ), con [ , ] el conmutador de matrices. A continuación tenemos unanoción elemental sobre el corchete de Lie:

Definición 1.4.4. Sean (V1, [ , ]1), (V2, [ , ]2) dos álgebras de Lie. Se dice que unatransformación lineal T : V1 → V2 es un morfismo de álgebras de Lie si:

[T (v), T (w)]1 = T ([v, w]2) para todo v, w ∈ V1

es decir, un morfismo de álgebras de Lie preserva el corchete de Lie.

Definición 1.4.5. Una derivación de la K-álgebra A es una transformación K-lineal D : A → A que satisface la regla de Leibniz, es decir, si f, g ∈ A:

D(f · g) = f ·D(g) +D(f) · g.


Ahora procederemos a darle una interpretación a los elementos de TaRn que nospermitirá operarlos con facilidad; para esto, llamemos C∞(a) a las funciones C∞quecontienen a a en su dominio. Sea Xa ∈ TaRn, y expresémoslo en términos de la base{Eia}ni=1 como Xa =

∑ni=1 αiE

ia. Luego, Xa induce una función

X∗a : C∞(a)→ R

tal que

X∗a(f) :=n∑i=1

αi∂f

∂xi(a).

De esta forma, podemos definir con mayor precisión a la función como X∗a :=∑ni=1 αi

∂∂xi|a. Además, si consideramos las funciones fi : Rn → R con fj(x) = xj ,

obtenemos que X∗a(fj) = αj , por lo que X∗a está completamente determinada por

los valores en cada fj .

Utilizando el hecho de que C∞(a) es un álgebra, X∗a es un operador lineal enC∞(a), puesto que para f, g ∈ C∞(a) y λ ∈ R se tiene:

X∗a(f+λg) =

n∑i=1

αi∂(f + λg)

∂xi(a) =

n∑i=1

αi∂f

∂xi(a)+λ

n∑i=1

αi∂g

∂xi(a) = X∗a(f)+λX

∗a(g).

Más aún, satisface la propiedad de Leibniz:

X∗a(f · g) =n∑i=1

αi∂(f · g)∂xi

(a) =

n∑i=1

αif∂g

∂xi(a) +

n∑i=1

αig∂f

∂xi(a) = fX∗a(g) + gX

∗a(f).

Esto nos permite definir un nuevo conjunto D(a) como el conjunto de operadoresde C∞(a) a R que satisfacen linealidad y la propiedad de Leibniz. D(a) es llamadoel conjunto de derivaciones de C∞(a) en R.

A D(a) podemos dotarle de una estructura de espacio vectorial de manera na-tural definiendo para D1, D2 ∈ D(a) la suma (D1 + D2)(f) := D1(f) + D2(f) y elproducto por un escalar α ∈ R como α ·D1(f) := α ·D1(f). Claramente, D1 + D2y α ·D1 heredan la R-linealidad y la propiedad de Leibiz de D1 y D2.

Hemos visto cómo a un elemento Xa se le puede asociar una derivación X∗a , y

extendiendo de la misma forma esa asociación podemos considerar la transformación∗ : Ta(Rn) → D(a). Veremos que esta transformación, además de ser lineal, es unisomorfismo de espacios vectoriales. Probemos primero la linealidad de ∗. Para esto,sean Xa, Ya ∈ TaRn, con Xa =

∑ni=1 αiE

ia y Ya =

∑ni=1 βiE

ia, λ ∈ R y f ∈ C∞(a).

Luego:

(λXa+Ya)∗(f) =

n∑i=1

(λαi+βi)∂f

∂xi(a) = λ

n∑i=1

αi∂f

∂xi(a)+

n∑i=1

βi∂f

∂xi(a) = λX∗a(f)+Y

∗a (f)


La transformación ∗ : Ta(Rn) → D(a) resulta ser inyectiva, pues para Xa =∑ni=1 αiE

ia, X

∗a = 0 ⇔ αi = 0 para toda i = 1, 2, ..., n. Además, podemos mostrar

que también es sobreyectiva. Sea D ∈ D(a) y sean αi = D(fi), con fi(x) = xi.Definamos Xa :=

∑ni=1 αiE

ia y consideremos los siguientes lemas:

Lema 1.4.6. Sea D ∈ D(a). Entonces D es cero en cualquier f ∈ C∞(a) que seaconstante en una vecindad de a.

Lema 1.4.7. Sea f(x1, x2, ..., xn) una función C∞ definida en un abierto U tal quea ∈ U . Entonces existe una vecindad abierta B de a, con B ⊂ U y funciones C∞g1, g2, ..., gn definidas en B tales que:

gi(a) = ( ∂f∂xi (a)),

f(x1, ..., xn) = f(a) +∑n

i=1(xi − ai)gi(x).

La demostración del Lema 1,4,6 es inmediata, y el Lema 1,4,7 es conocido comoLema de Hadamard.

Por el Lema 1,4,7, restingiéndonos a B tenemos que:

D(f) = D(f(a) +n∑i=1

(xi − ai)gi(a) = D(f(a)) +n∑i=1

D((xi − ai)gi(a))

Y utilizando el Lema 1,4,6, la R-linealidad y la propiedad de Leibiz de la deri-vación, se sigue que:

D(f) =n∑i=1

D(xi)gi(a) =

n∑i=1

αi∂f

∂xi(a) = X∗a(f)

Por lo tanto, D = X∗a y con esto concluimos que∗ es un isomorfismo entre los

espacios vectoriales TaRn y D(a). Otro punto importante a notar es que el conjunto{ ∂∂xj }

nj=1 es una base para el espacio de derivaciones D(a).

Por último, definimos como haz tangente en Rn a la unión disjunta de losespacios tangentes, el cual denotamos por TRn :=

⊔p∈Rn TpRn.

Definición 1.4.8. Un campo vectorial en un abierto U ⊂ Rn es una función Xque asigna a cada punto p ∈ U un vector Xp ∈ TpRn, esto es, X : U → TRn tal queX(p) ∈ TpRn ∀p ∈ U .

Sea U un abierto de Rn, denotemos por F(U) al conjunto de funciones realesdefinidas en U ,

F(U) := {f : U ⊂ Rn → R}.

Notemos que C∞(U) ⊂ F (U), más aún, tomando en cuenta que F (U) tiene estructu-ra de espacio vectorial con la suma usual de funciones y producto por escalar, C∞(U)


es un subespacio de F (U). Un campo vectorial X en U define una transformaciónlineal

X : C∞(U)→ F(U)C∞(U) 3 f → Xf,

donde Xf : U → R es la función definida por (Xf)(p) := Xp(f). Se dice que uncampo vectorial X es diferenciable si para toda f ∈ C∞ se tiene que Xf ∈ C∞.El conjunto de campos vectoriales diferenciables en U se denota por X(U). En esteconjunto se puede definir una estructura de espacio vectorial sobre R de maneranatural. Además, X(U) es un C∞(U)-módulo y, como tal, es finitamente generado.Se puede probar que si {x1, x2, ..., xn} ⊂ C∞(U) es un sistema de coordenadas en U

y

{∂

∂xi

}ni=1

⊂ X(U) tales que ∂∂xi (xj) = δji entonces para cada X ∈ X(U) existen

fi ∈ C∞(U) tales que X =n∑i=1

fi∂

∂xi. Para una lectura más profunda se puede con-

sultar [22, ?].

Existe una operación importante en X(U) llamada el corchete de campos,que le asocia a dos campos vectoriales X,Y y un tercer campo vectorial [X,Y ]. Esteúltimo campo vectorial se define como [X,Y ](f) := X ◦Y (f)−Y ◦X(f). El corchetede campos vectoriales es un operador bilineal, antisimétrico y satisface la identidadde Jacobi. Además, satisface la regla de Leibniz [X, fY ] = f [X,Y ] + X(f)Y. Laprueba de estos hechos es directamente de la definición del corchete de camposvectoriales.

Proposición 1.4.9. El espacio de campos vectoriales X(U) junto con su estructurade espacio vectorial R-lineal y el corchete de campos vectoriales es un álgebra de Lie.

Definición 1.4.10. Sea I ⊂ R un intervalo con 0 ∈ I y sea γ : I → Rn una curvasuave. Se dice que γ es una curva integral del campo vectorial X si:

dγ

dt(t) = X(γ(t))

Podemos interpretar a las curvas integrales como curvas tales que en cada puntosu dirección es la misma que la del campo vectorial X. Con esta idea en mente,podemos definir un concepto más general, el del flujo de un campo vectorial:

Definición 1.4.11. El flujo de un campo vectorial X ∈ X(U) es una funciónFl : R× Rn → Rn tal que para p ∈ Rn y Flt := Fl(t, p) se satisface:

• dFltdt (p) = X(Flt(p))

• Fl0(p) = p

1.5. FORMAS DIFERENCIALES. 13

En general, existen campos vectoriales cuyo flujo no es completo, es decir, suflujo no está definido para todo t ∈ R, pero para nuestros fines, solo consideraremoscampos completos.

Veremos a continuación un ejemplo clásico de campos vectoriales y su flujo,conocido como el oscilador armónico 1-dimensional.

Ejemplo 1.4.12. Consideremos en R2 el campo vectorial X = −x2 ∂∂x1 + x1∂∂x2

.Procederemos a encontrar el flujo del campo. Para ello, sea p = (p1, p2). Nuestroobjetivo es encontrar la solución al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

dx1dt

= −x2,

dx2dt

= x1.

Donde obtenemos que el flujo es Fl(t, p1, p2) = (p1cos(t) − p2sen(t), p1sen(t) +p2cos(t)).

Un caso particular de flujo de un campo vectorial es cuando el campo vectorialX tiene un punto fijo, es decir, existe x∗ ∈ Rn tal que X(x∗) = 0. En este caso, lacurva integral de X que pasa por x∗ es la trayectoria constante dada por la curvaγ : I� → Rn tal que γ(t) = x∗ para todo t ∈ I�.

1.5. Formas diferenciales.

En esta sección introducimos la noción de formas diferenciales siguiendo el en-foque y la notación de [19]. Para hablar de formas diferenciales, primero debe-mos hablar de la diferencial de una función, por ello consideremos el conjuntoOp = {f : U ⊂ Rn → R|p ∈ U y f es diferenciable en p}, el cual es un álgebray contiene a las funciones coordenadas. También, para un punto p ∈ Rn defini-mos el espacio cotangente en p como T ∗pRn := (TpRn)

∗ = {αp : TpRn → R|αp esR-lineal}

Definición 1.5.1. Sea f ∈ Op. La diferencial de f en p se define como la funcionallineal dpf : TpRn → R tal que dpf(Xp) := Xp(f)

Aqúı resulta necesario hacer una observación sobre la definición, pues al mo-mento de considerar Xp(f), estamos interpretando a los elementos de TpRn comoderivaciones y no como solo vectores.

Las diferenciales en p de las funciones coordenadas xi : Rn → R son una basede T ∗pRn, donde la diferencial dxi denota a la función dxi : Rn → T ∗(Rn) dadapor dxi(p) := dpxi. De hecho, esta base es la base dual asociada a { ∂∂xi |p} y quedenotaremos por {dpxi}. Además, dado α ∈ T ∗pRn, podemos representar a α entérminos de la base {dpxi} como α =

∑ni=1 α(

∂∂xi|p)dpxi.


Definición 1.5.2. Sean f1, f2, ..., fn ∈ Op. Se dice que el conjunto {f1, f2, ..., fn} esun sistema de coordenadas locales en p ∈ Rn si las diferenciales dpf1, dpf2, ..., dpfnforman una base de T ∗pRn.

En particular, las funciones coordenadas xi : Rn → R forman un sistema decoordenadas locales. Más aún, daremos un criterio para determinar cuando unconjunto de funciones es un sistema de coordenadas locales. En general, las fun-ciones f1, f2, ..., fn ∈ Op forman un sistema de coordenadas locales en p ∈ Rn sidet( ∂fi∂xj (p)) 6= 0.

Con esto en mente, continuamos con la definición de forma diferencial.

Definición 1.5.3. Un campo de formas lineales (formas exteriores de grado 1)en Rn es una función ω que asocia a cada p ∈ Rn un elemento ω(p) ∈ T ∗pRn, dondeω(p) = a1(p)dpx1 +a2(p)dpx2 + ...+an(p)dpxn con ai : Rn → R, donde dxi denota ala función dxi : Rn → T ∗Rn dada por dxi(p) := dpxi, por lo que ω se expresa comoω =

∑ni=1 aidpxi.

Si las funciones ai son diferenciables, entonces ω es una forma diferencial degrado 1 (1-forma diferencial). El conjunto de campos de formas lineales se denotapor Λ1(Rn∗) y el conjunto de formas diferenciales de grado 1 se denota por Ω1(Rn).

La generalización a n-formas diferenciales es natural. Sin embargo, es necesarioutilizar el producto exterior de formas, el cual para ω1, ω2 ∈ Λ1(Rn∗) se define elproducto exterior de ω1 con ω2 como ω1 ∧ ω2, donde

(ω1 ∧ ω2) (v1, v2) = det (ωi(vj)) .

Definición 1.5.4. Una k-forma exterior en un abierto U ∈ Rn es una función ωque a cada punto p ∈ U le asigna un elemento en Λk(Rn∗). ω se puede expresar dela siguiente forma:

ω(p) =∑

1≤i1≤i2≤...≤ik≤nai1,i2,...,in(p)(dx

i1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxik)p

Donde (dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxik)p = dpxi1 ∧ dpxi2 ∧ ... ∧ dpxik y ai1,i2,...,in sonfunciones de U en R. Mas aún, ω es una k-forma diferencial (forma diferencialde grado k) si ai1,i2,...,in ∈ C∞(U). El conjunto de campos de k-formas exteriores sedenota por Λk(Rn∗). El conjunto de k-formas diferenciales se denota por Ωk(Rn).

Ejemplo 1.5.5. Consideremos a todo R4, entonces los conjuntos de formas dife-renciales son los siguientes:

Ω0(R4) = {a : R4 → R| a diferenciable}

Ω1(R4) = {a1dx1 + a2dx2 + a3dx3 + a4dx4| ai : R4 → R diferenciables}

Ω2(R4) = {a12dx1∧dx2 +a13dx1∧dx3 +a14dx1∧dx4 +a23dx2∧dx3 +a24dx2∧dx4 + a34dx3 ∧ dx4| aij : R4 → R diferenciables}

1.5. FORMAS DIFERENCIALES. 15

Ω3(R4) = {a123dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a124dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + a134dx1 ∧ dx3 ∧ dx4 +a234dx2 ∧ dx3 ∧ dx4| aijk : R4 → R diferenciables}

Ω4(R4) = {a1234dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4| a1234 : R4 → R diferenciable}

Las formas diferenciales en Rn junto con el producto cuña cumplen con ciertaspropiedades que nos resultarán útiles al momento de hacer cálculos. Algunas de esaspropiedades son las siguientes:

Proposición 1.5.6. Sea ω una k-forma, φ una l-forma y θ una r-forma en Rn,entonces:

ω ∧ (φ ∧ θ) = (ω ∧ φ) ∧ θ (asociatividad),

ω ∧ φ = (−1)klφ ∧ ω (simetŕıa graduada),

ω ∧ (φ+ θ) = ω ∧ φ+ ω ∧ θ (distributividad).

Ejemplo 1.5.7. Sea ω = x1dx1 ∧ dx2 +x3dx3 ∧ dx4 una 2-forma en R4, calculemosω ∧ ω:

ω ∧ ω = (x1dx1 ∧ dx2 + x3dx3 ∧ dx4) ∧ (x1dx1 ∧ dx2 + x3dx3 ∧ dx4)= x1x3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + x1x3dx3 ∧ dx4 ∧ dx1 ∧ dx2= 2x1x3dx3 ∧ dx4 ∧ dx1 ∧ dx2

Para formas diferenciales podemos definir la diferencial exterior, que generalizael concepto de diferencial de una función en un punto.

Definición 1.5.8. Sea g : Rn → R diferenciable (0-forma en Rn). Definimos ladiferencial de g como

dg =n∑i=1

∂g

∂xidxi

dg es una 1-forma diferencial de Rn.

La diferencial, en este sentido, generaliza a la Definición 1.5.1 pues se tiene quedg(p) = dg. La idea para generalizar el concepto de diferencial de una función esbuscar la manera de asociarle a una k-forma en Rn una (k + 1)-forma en Rn y esose logra como sigue:

Definición 1.5.9. Sea ω =∑

α∈I aαdxα una k-forma diferencial en Rn. La dife-rencial exterior dω, de ω, se define por

dω =∑α∈I

daα ∧ dxα

Donde I es un conjunto de multi-́ındices de dimensión k y dxα = dxα1 ∧ dxα2 ∧... ∧ dxαk .


Algunas de las propiedades más importantes de la diferencial exterior son lassiguientes:

Proposición 1.5.10. Sean ω, ω1, ω2 ∈ Ωk(Rn) y φ ∈ Ωl(Rn), entonces:

d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2,

d(ω ∧ φ) = dω ∧ φ+ (−1)kω ∧ dφ,

d(dω) = d2ω = 0.

Definición 1.5.11. Una k-forma α se dice ser exacta si existe una (k − 1)-formaβ tal que α = dβ. α se dice ser cerrada si dα = 0.

Por la Proposición 1.5.10, toda k-forma exacta es cerrada.

Ejemplo 1.5.12. Sea α = dx1∧dx2 +dx3∧dx4. α es cerrada ya que sus coeficientesson constantes, y también es exacta puesto que α = d(x1dx2 + x3dx4).

1.6. Integración en variedades.

Para comenzar, estudiaremos integración en Rn, más precisamente la integral deRiemann, para luego extender la noción de integrabilidad al caso en el que nuestrodominio de integración es una variedad M .

Primero determinaremos las condiciones que requiere un subconjunto de Rn paraser dominio de integración. Para ello consideremos A ⊂ Rn y diremos que A tienecontenido de Jordan 0, c(A) = 0, si para cada � > 0 existe una colección finita

de cubos ci en Rn que cubren a A yr∑i=1

Vol(ci) < �, donde un cubo es el producto

cartesiano de n intervalos cerrados y Vol(ci) es el volumen del cubo ci. Los conjuntosfinitos son ejemplos de conjuntos con contenido de Jordan cero. También diremosque A es un conjunto de medida cero, m(A) = 0, si para cada � > 0 existe una

colección numerable de cubos que cubren a A y

∞∑i=1

Vol(ci) < �. Los conjuntos nu-

merables son ejemplos de conjuntos de medida cero.

Observemos que los conjuntos de contenido cero son conjuntos de medida cero,pero el rećıproco no siempre es cierto. En el caso en que A sea compacto tendremosque c(A) = 0⇔ m(A) = 0.

Definición 1.6.1. Un conjunto acotado D ⊂ Rn se dice ser un dominio de inte-gración si la frontera de D, ∂D, tiene contenido cero, es decir, c(∂D) = 0.

Algunos ejemplos de dominios de integración son los cubos y las bolas en Rn yregiones cuya frontera sean hipersuperficies.

1.6. INTEGRACIÓN EN VARIEDADES. 17

Para que una función sea integrable, en el sentido de Riemann, no es necesariopedirle continuidad en todo punto, pero si en casi todos los puntos. Por eso, diremosque una función f : Rn → R es casi continua si el conjunto de discontinuidadestiene contenido cero y veremos que éstas son las funciones que nos interesan.

Teorema 1.6.2. Sea D una región de integración en Rn y f : D → R una funciónacotada y casi continua en D. Entonces f es Riemann integrable en D, es decir,∫D fdv existe.

Sean f, g : Rn → R Riemann integrables y D,D1, D2 dominios de integración,entonces algunas de las propiedades de la integral de Riemann son las siguientes:

Si c(D) = 0 entonces∫D fdv = 0,∫

D1∪D2 fdv =∫D1fdv +

∫D2fdv −

∫D1∩D2 fdv,∫

D(af + bg)dv = a∫D fdv + b

∫D gdv para a, b ∈ R,

si f ≥ 0 y c(D) 6= 0 entonces∫D fdv ≥ 0,

si f tiene soporte compacto, es decir suppf = {x ∈ Rn|f(x) 6= 0} es compacto,entonces

∫Rn fdv =

∫suppf fdv.

Si D es un dominio de integración, definimos el volumen de D por VolD =∫D χDdv, donde

χD(x) =

{1 x ∈ D,0 x /∈ D.

Consideremos G : U → Ũ un difeomorfismo de U ⊂ Rn a Ũ ⊂ Rn abiertos.Denotaremos por DG a la matriz Jacobiana de G y |DG| a su determinante. Pro-cederemos a enunciar el Teorema de cambio de variable:

Teorema 1.6.3. Sea G : U → Ũ un difeomorfismo. Supongamos que D ⊂ Uy D̃ = G(D) ⊂ Ũ son dominios de integración y que f es integrable en D̃. Seag = f ◦G. Entonces g es integrable en D y∫

D̃fdṽ =

∫Df ◦G|DG|dv =

∫Dg|DG|dv

.

El material visto sobre integración en Rn es suficiente para abordar la integraciónen variedades. Para esto, consideraremos a M como una variedad diferenciable yadaptaremos algunas de las definiciones en el caso real a la variedad M .

Definición 1.6.4. Un conjunto A ⊂ M se dice tener contenido cero, c(A) = 0,si está contenido en la unión de un número finito de compactos Ai, A ⊂ ∪ri=1Ai conAi contenido en el dominio de una carta coordenada (Ψi, Ui) tal que c(Ψi(Ai)) = 0en Rn.


Aqúı hay algo que debemos observar con respecto a la imagen de un conjunto decontenido cero bajo una función suave. Para ello, sea A ⊂M un conjunto de conte-nido cero y sea F : M → N una función suave entre variedades. Si dimM ≤ dimNentonces F (A) tiene contenido cero.

La Definición 1.6.4 anterior y la observación son válidas también si consideramosmedida cero en lugar de contenido cero.

Ejemplo 1.6.5. Sea F : Rn → Rn−1 tal que F (x1, x2, ..., xn) = (x1, x2, ..., xn−1).Sea A = {x ∈ Rn| xn = 1, 0 ≤ xi ≤ 1 para i = 1, 2, ..., n− 1}. A es un conjunto decontenido (medida) cero en Rn pero F (A) no tiene contenido (medida) cero Rn−1,pues es un cubo de volumen 1.

Definición 1.6.6. Sea D ⊂ M un conjunto compacto en M . D es un dominio deintegración en M si la frontera de D tiene contenido cero.

Para poder definir la integración sobre na variedad M es necesario que esta seaorientable, es decir, que exista una n-forma Ω en M tal que Ω(x) 6= 0 para todax ∈M . A Ω la llamaremos forma de volumen (u orientación). Si consideramos aΩ̃ otra forma de volumen en M entonces existe f : M → R con f(x) 6= 0 para todax ∈M , tal que Ω̃ = fΩ.

Definición 1.6.7. Una función f : M → R se dice ser integrable si f es aco-tada, tiene soporte compacto y es casi continua. Una n-forma ω en M se dice serintegrable si ω = fΩ, con Ω una forma de volumen y f una función integrable.

Dada una n-forma ω, diremos cómo definir la asignación ω 7→∫M ω ∈ R. Lue-

go, para definir la integral de una función integrable en M , utilizaremos el he-cho de que ω = fΩ es una n-forma integrable, por lo que haremos la asignaciónf 7→

∫M fdv :=

∫M fΩ. Por lo tanto, nuestro interés está en el cálculo de la integral

de n-formas.

Diremos que un conjunto Q en M es un cubo si existe una carta coordenada(Φ, U) tal que Q ⊂ U y Φ(U) = C = {x ∈ Rn| 0 ≤ xi ≤ 1}.

Haremos algunas consideraciones previas a la definición de la integral en una va-riedad. Para esto, sea M una variedad diferenciable de dimensión n, con orientaciónΩ y sea ω una n-forma integrable. Supongamos que suppω ⊂ Q, con Q un cuboen M . Sea (Φ, U) la carta coordenada asociada a Q y supongamos que la n-formaω◦Φ−1 en Rn toma la forma ω◦Φ−1 = g(x)dx1∧dx2∧...∧dxn con g(x) ∈ C∞(Φ(U)).En este caso, definiremos la integral de ω en M como

∫Mω :=

∫Cgdv. Como obser-

vación, esta definición no depende de la carta asociada a Q.

Ahora, sea ω una n-forma integrable arbitraria y sea K = suppω. Dado que K escompacto, podemos cubrirlo con los interiores Q̊1, Q̊2, ..., Q̊r de cubos Q1, Q2, ..., Qr.Con esto, {M−K, Q̊1, Q̊2, ..., Q̊r} es una cubierta abierta finita de M y utilizaremoslos siguientes hechos:

1.7. ACCIONES DE GRUPOS DE LIE EN UNA VARIEDAD. 19

Definición 1.6.8. Una partición de la unidad en M es una colección de funcio-nes {fα} definidas en M tales que:

fα ≥ 0

{supp(fα)}α forman una cubierta localmente finita en M∑α fα(x) = 1 para todo x ∈M

Una partición de la unidad se dice ser subordinada a una cubierta abierta {Aγ}de M si para cada α existe un γ tal que supp(fα) ⊂ Aγ.

Un hecho importante es que toda cubierta abierta {Aγ} de M tiene una particiónde la unidad subordinada a ésta. Aśı, tomamos una partición de la unidad {fi}si=1subordinada a la cubierta {M−K, Q̊1, Q̊2, ..., Q̊r} y definimos la integral de ω como:∫

Mω =

∫Mf1ω +

∫Mf2ω + ...+

∫Mfsω

Como observación, esta definición no depende de la partición de la unidad.

1.7. Acciones de grupos de Lie en una variedad.

Una de las herramientas más importantes para este trabajo es la de acción degrupos, y nos interesa la acción de los grupos de Lie y los grupos discretos. Estudia-remos las acciones de estos grupos en el resto del capitulo.

Primero, introduzcamos la noción de grupo topológico. Un grupo topológicoes un grupo G que posee una estructura de espacio topológico tal que las funcionesµ : G × G → G, con µ(g, h) = g ∗ h, e i : G → G, con i(g) = g−1, son continuas.Ahora, definamos un grupo de Lie.

Definición 1.7.1. Un grupo de Lie es un grupo G que posee una estructura dife-renciable tal que las funciones µ : G×G→ G, con µ(g, h) = g ∗ h, e i : G→ G, coni(g) = g−1, son diferenciables.

Un grupo de Lie G en particular es un grupo topológico. Un ejemplo básico degrupo de Lie, el cual es importante para el desarollo es éste trabajo, es S1. Hemosmencionado ya que S1 tiene estructura de variedad diferencial. Para probar que ade-mas es un grupo de Lie, identifiquemos a S1 con el conjunto de numero complejosde norma 1. C/{0} es un grupo abeliano bajo el producto usual de complejos y S1 esun subgrupo de C/{0}. Como C/{0} es un espacio vectorial de dimensión 2, es po-sible definir en él una estructura de variedad diferencial 2-dimensional con respectoa la cual el producto de complejos y la inversión de complejos resultan ser funcionessuaves. Por tanto C/{0} es un grupo de Lie y, en consecuencia, S1 también lo es.Además, se puede probar que el producto cartesiano de grupos de Lie tambien poseeestructura de Grupo de Lie, por tanto el toro Tn = S1 × S1 × ... × S1 es un grupode Lie abeliano n-dimensional. Para un estudio más a detalle, se puede consultar [4].


Definición 1.7.2. Sean G un grupo un grupo de Lie y M una variedad diferencial.Una acción suave de G en M es una función suave Θ : G ×M → M tal que secumple:

(i) Θ(e, x) = x para toda x ∈M , donde e es el elemento neutro en G

(ii) Θ(g ∗ h, x) = Θ(g,Θ(h, x)) para toda g, h ∈ G, x ∈M .

Observemos que en una acción suave G ×M → M , al fijar un elemento g ∈ G,la acción determina un mapeo diferenciable Θg : M → M , con Θg(x) := Θ(g, x).Las propiedades de una acción nos permiten considerar Θg−1 y concluir que Θg yΘg−1 son funciones inversas, lo cual implica que Θg es un difeomorfismo. A rasgosmás generales, una acción suave en M de un grupo de Lie, nos permite asociar undifeomorfismo a cada elemento del grupo de Lie.

Para cada x ∈ M se define la órbita de G por x como el conjunto Orb(x) :={Θ(g, x)|g ∈ G}. Las órbitas de una acción definen una relación de equivalenciaen M : se dice que x y si existe g ∈ G tal que Θ(g, x) = y. El conjunto de cla-ses de equivalencia de la acción se denota por M/G. Si π : M → M/G denotala proyección natural y dotamos a M/G de la topoloǵıa cociente, entonces π escontinua. Con ésta misma topoloǵıa, M/G tiene una base numerable si para cadaA ⊂ M abierto

⋃g∈G Θg(A) es abierto. M/G es Hausdorff si y sólo si el conjunto

{(x, θ(g, x))|g ∈ G andx ∈ M} ⊂ M ×M es cerrado con respecto a la topoloǵıaproducto.

Para cada x ∈M , el grupo estabilizador de x es el subgrupo

Gx := {g ∈ G|Θ(g, x) = x}

.

Destacaremos algunos tipos de acciones de grupos. Diremos que una acción Θ eslibre si el estabilizador Gx es trivial para todo x ∈ S, es decir, Gx = {e}. La acciónserá fiel si el mapeo g → Θg es inyectivo, donde Θg : S → S es Θg(x) := Θ(g, x).La acción se dice transitiva si para cada x, y ∈ S existe g ∈ G tal que Θ(g, x) = y.

Consideremos M un espacio topológico. Diremos que una acción Θ : G×M →Mes propia si la función Θ̂ : G×M → G×M es propia. Es decir, para cada compactoK ⊂ G ×M Θ̂−1(K) es compacto en G ×M . Si G es una grupo de Lie compacto,la acción siempre es propia.

Como ejemplos de acciones de grupos de Lie tenemos la acción de S1 en C,S1 × C → C, definida como (θ, z) := θz, donde cada difeomorfismo asociado acada elemento de S1 representa una rotación de C. También, podemos considerarla acción de GL(n,R) en Rn definida como GL(n,R)×Rn → Rn donde (A, x) 7→ Ax.

1.8. ACCIONES DE GRUPOS DISCRETOS EN UNA VARIEDAD. 21

Si G es un grupo de Lie, G actúa sobre G por traslaciones a la izquierda. Latraslación por la izquierda es la función Θ : G×G→ G definida por

Θ(g, h) := gh.

La traslación por la izquierda es una acción de G en G libre, fiel y transitiva.

1.8. Acciones de grupos discretos en una variedad.

En ésta sección estaremos trabajando con acciones de grupos discretos sobreuna variedad diferencial M . Se dice que Γ es un grupo discreto si tiene una cantidadnumerable de elementos y dotado de la topoloǵıa discreta es un grupo topológico.Como ejemplos sencillos de grupos discretos podemos mencionar Zk con la sumausual de vectores; ó el grupo multiplicativo Z2.

Definición 1.8.1. Sea Γ un grupo discreto y M una variedad diferencial. Una acciónsuave de Γ en M es una función Θ : Γ×M →M tal que se cumple:

(i) Θ(e, x) = x para toda x ∈M , donde e es el elemento neutro en Γ,

(ii) Θ(gh, x) = Θ(g,Θ(h, x)) para toda g, h ∈ Γ, x ∈M ,

(iii) Θh(x) := Θ(h, x) es suave en M para todo h ∈ Γ.

Si Γ es un grupo discreto actuando en M y A ⊂ M , denotaremos por ΓA ={Γ(g, x)|g ∈ A, x ∈ S} a la órbita de Γ sobre A. En particular, la órbita de Γ porx se denota por Γx.

Para cada h ∈ Γ y V ⊂M , se define hV := {Θh(x)|x ∈ V }. En particular, si Ves abierto (ó cerrado) entonces hV es abierto (cerrado).

Definición 1.8.2. Un grupo discreto Γ actúa propiamente en una variedad dife-renciable M si la acción es suave y para cada x ∈M existe una vecindad U tal queel conjunto {h ∈ Γ| h · U ∩ U 6= ∅} es finito.

Proposición 1.8.3. Un conjunto discreto Γ actúa propiamente en M si y sólo si elgrupo de isotroṕıa Γx de cada x ∈ M es finito y cada x tiene una vecindad tal queh · U ∩ U = ∅ si h /∈ Γx y h · U = U si h ∈ Γx.

Para mayor información sobre estas propiedades se puede consultar [4].

Lema 1.8.4. Sean S un conjunto y Rn con su topoloǵıa usual. Consideremos unaacción transitiva de Rn en S y sea Γ el grupo estabilizador de un punto x0 ∈ S. SiΓ es un grupo discreto, entonces existen e1, e2, ..., ek ∈ Γ linealmente independientestales que Γ = {m1e1 +m2e2 + ...+mkek |mi ∈ Z}.

Demostración. Denotemos por Θ : Rn × S → S la acción de Rn en S. Notemosque Γ es un subgrupo de Rn que no depende de x0. Sea x ∈ S. Como la acción estransitiva, existe r ∈ Rn tal que Θ(r, x0) = x. Para t ∈ Γ se tiene


Θ(t, x) = Θ(t,Θ(r, x0)) = Θ(r,Θ(t, x0)) = Θ(r, x0) = x

Por lo tanto, Γ no depende del punto x0. Para mostrar que existen e1, e2, ..., ek ∈Γ linealmente independientes tales que Γ = {m1e1 +m2e2 + ...+mkek |mi ∈ Z},notemos que 0 ∈ Γ. Si Γ = {0}, no hay más que probar.

Si no es el caso, existe e0 ∈ Γ con e0 6= 0. Consideremos el subespacio 〈e0〉 ge-nerado por e0 y el disco centrado en el origen de radio |e0|. En el interior de dichodisco existe una cantidad finita de puntos de Γ debido a que el disco es compacto y Γes discreto. Sea e1 ∈ 〈e0〉. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que e1 es elelemento de 〈e0〉 más cercano al origen. Mostraremos que 〈e0〉 ∩ Γ = {me1|m ∈ Z}.Supongamos que existe e ∈ Γ tal que e = αe1 con m < α < m+ 1 para m ∈ Z fijo.Entonces e−me1 ∈ Γ y |e−me1| < |e1|, lo cual es una contradicción. Si no existenelementos de Γ fuera de 〈e0〉 entonces 〈e0〉 ∩ Γ = Γ = {me1|m ∈ Z} y no hay másque mostrar.

Supongamos que existe e2 ∈ Γ y e2 /∈ 〈e1〉 con distancia mı́nima a 〈e1〉. Seae ∈ 〈e1, e2〉 ∩ Γ, entonces e = λ1e1 + λ2e2 y supongamos que λ1 o λ2 no es entero.Luego, para m1 = [λ1] y m2 = [λ2] las partes enteras de λ1 y λ2, respectivamente,e−m1e1−m2e2 ∈ Γ∩ 〈e1, e2〉 es una contradicción, debido a que si λ2 no es entero,e−m1e1 −m2e2 tendrá menor distancia a 〈e1〉 que e2, y si λ2 es entero y λ1 no loes, entonces λ1e1 pertenecerá a 〈e1〉, lo cual es absurdo. Si no existen elementos deΓ fuera de 〈e1, e2〉 entonces 〈e1, e2〉 ∩ Γ = Γ = {m1e1 +m2e2|m1,m2 ∈ Z} y no haymás que mostrar.

De manera análoga repetimos el proceso hasta obtener que Γ = {m1e1 +m2e2 +...+mkek|mi ∈ Z} con e1, e2, ..., ek linealmente independientes, este proceso concluyepues a lo más tendremos n vectores linealmente independientes.

El Lema 1.8.4 nos será de gran utilidad para demostrar el Teorema de Liouville-Arnold.

Definición 1.8.5. Γ actúa discontinuamente en M si para x, y ∈M que no estánen la misma órbita existen abiertos Ux 3 x, Vy 3 y tal que Ux ∩ ΓVy = ∅.

Más adelante, dados una variedad M y la acción de un grupo discreto Γ en M ,nos interesará que el cociente M/Γ (espacio de órbitas) sea de Hausdorff. Por ello,uno de los resultados que nos dice cuando pasa esto, es el siguiente:

Proposición 1.8.6. Sea X un espacio topológico de Hausdorff y Γ un grupo discretoque actúa en X. Si la acción es discontinua, entonces X/Γ es de Hausdorff.

Demostración. Sean x, y ∈ X elementos con órbitas distintas, es decir, Γx 6= Γy.Como la acción es discontinua, existen abiertos Ux, Vy de X con x ∈ Ux y y ∈ Vytales que Ux ∩ ΓUy = ∅. Primero, notemos que ΓUx y ΓVy son vecindades abiertasde Γx y Γy, respectivamente. Supongamos que no son ajenas y sea w ∈ ΓUx ∩ ΓVy.Entonces w = g1u y w = g2v para ciertos g1, g2 ∈ Γ, u ∈ Ux, v ∈ Vy. Esto quiere decir


que w = g1u ∈ g2Vy, de donde se sigue que u ∈ g−11 g2Vy, lo cual es una contradicciónpues Ux ∩ ΓVy = ∅.

Además, relacionando los conceptos anteriores con las variedades diferencialestenemos el siguiente teorema:

Teorema 1.8.7. Sea Γ un grupo discreto que actúa libre, propia y discontinuamenteen una variedad diferencial M . Entonces existe una única estructura diferencial enM̃ = M/Γ con la topoloǵıa cociente tal que

la proyección natural P : M → M̃ es un difeomorfismo local;

para cada p ∈ M̃ existe una vecindad conexa Ũ con la propiedad de queP−1(Ũ) =

⋃Uα, donde Uα son abiertos conexos de M donde cada Uα es

un abierto conexo difeomorfo a Ũ .

Demostración. Probemos primero que M̃ es una variedad topológica. Como la acciónes libre y propia, para cada x ∈M existe un abierto U tal que h ·U ∩U = ∅ exceptocuando h = e. Esto implica que PU := P |U es inyectiva.

Por lo tanto, PU : U → Ũ , con Ũ = P (U), es un homeomorfismo, ya que P escontinua y abierta. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que U es el domi-nio de una carta (U,Φ) tal que U es conexo.

Sea (Ũ , Φ̃) la pareja donde Φ̃ : Ũ → Φ(U) con Φ̃ = Φ ◦P−1U , Φ̃ es un homeomor-fismo. Debido a que P es sobre, para cada p ∈ M̃ existe un x ∈M tal que P (x) = p.Esto implica que M̃ es localmente euclideano y por tanto una variedad topológica.

Ahora probemos que el conjunto de cartas (Ũ , Φ̃) que hemos definido son com-

patibles, por lo que definen una estructura diferencial en M̃ . Sean (Ũ , Φ̃) y (Ṽ , Ψ̃)

cartas en M̃ con Ũ ∩ Ṽ 6= ∅. Sabemos que Ũ = P (U) y Ṽ = P (V ), pero esto noimplica que U ∩ V 6= ∅. Sin embargo, śı podemos probar que existe h ∈ Γ tal queU ∩ h · V 6= ∅.

Notemos además que P = P ◦Γh. Por lo que es posible escribir Ψ−1 como Ψ−1 =P ◦Ψ−1 = P ◦Γh ◦Ψ−1. Por lo tanto Φ̃◦ Ψ̃−1 = Φ◦P−1U ◦P ◦Γh ◦Ψ

−1 = Φ◦Γh ◦Ψ−1es un difeomorfismo.

Luego, sea x ∈M y tomemos una carta (U,Φ) de x, (Ṽ , Ψ̃) de P (x), con P (U) ⊂Ṽ . Para la representación local de P se cumple que

P̃ = Φ ◦ P ◦ Ψ̃−1 = Φ ◦ P ◦ P−1V ◦Ψ−1 = Φ ◦Ψ−1,

por lo que P es diferenciable.

Proposición 1.8.8. Consideremos la acción de Z en R tal que Θ : Z × R → R sedefine por Θ(z, x) := z + x. Entonces R/Z es difeomorfo a S1.


Demostración. La acción es libre, pues el estabilizador Zx = {z ∈ Z|Θ(z, x) = z+x =x} = {0}. También, la acción es propia, puesto que para x ∈ R se tiene que paraU = (x− 12 , x+

12) el conjunto {k ∈ Z|Θk(U)∩U 6= ∅} es finito. Además, denotando

la órbita del elemento x como Ox, la acción es discontinua. Esto último se debe a quedados x ∈ R e y ∈ R con Ox 6= Oy, podemos considerar d = min{|x−(z+y)| |z ∈ Z},donde d mide la distancia de x a la órbita de y y d > 0. Luego, para los conjuntosU = (x− d2 , x+

d2) y V = (y−

d2 , y+

d2) se tiene que U ∩Θk(V ) = ∅ para todo k ∈ Z.

Por esto último la acción es discontinua.Dado que se tienen las condiciones necesarias del Teorema 1.8.7, podemos dotarde una estructura diferenciable a R/Z que cumple con las propiedades del Teorema1.8.7. Denotando como [x] ∈ R/Z a la clase de equivalencia de x ∈ R, podemos definirla biyección F : R/Z → S1 tal que [x] 7→ (cos(2πx), sen(2πx)), la cual está biendefinida, es decir, no depende del representante de la clase. Para mostrar que F esun difeomorfismo entre R/Z y S1, resta mostrar que F es un difeomorfismo local.Denotemos por Π la proyección natural de los elementos en R a su clase en R/Z. Parax ∈ (0, 1) podemos considerar el abierto Π ((0, 1)) cuya imágen bajo F es S1−{(1, 0)}.Luego, la representación local de F , F̃ : (0, 1) 7→ (0, 2π) es tal que F̃ (x) = 2πx, lacual es un difeomorfismo. Análogamente podemos considerar x = 0 y al tomarΠ((−12 ,

12))

vecindad abierta de [0], la representación local de F resulta nuevamenteun difeomorfismo. Por ello, F es un difeomorfismo local, y al ser biyectiva, es undifeomorfismo. En conclusión, R/Z es difeomordo a S1.

Este ultimo resultado, junto con la Proposición 1.1.2 implican que Rk/Zk es di-feomorfo a Tk = (S1)k, lo cual usaremos más adelante.

Como consecuencia del Teorema 1.8.7, se sigue el siguiente resultado que tendrá ma-yores implicaciones en la prueba del Teorema de Liouville-Arnold:

Proposición 1.8.9. Sean e1, e2, ..., ek vectores linealmente independientes en Rn,con 1 < k ≤ n. Consideremos la acción del grupo Γ = {r1e1 +r2e2 +...+rkek|ri ∈ Z}en Rn mediante traslaciones. Entonces Γ actúa libre, propia y discontinuamente enRn, y más aún, Rn/Γ es difeomorfo a Tk × Rn−k.

Demostración. Mostremos que la acción es libre, para ello sean x ∈ Rn y g ∈ Γ. Si gpertenece al estabilizador Γx de x, entonces g + x = x, pero esto implica que g = 0,por lo que el estabilizador es trivial para todo x ∈ Rn y por ello la acción es libre.Además, para cada compacto K ⊂ Rn, −g+K es compacto, por lo que la acción espropia.

Para mostrar que Γ actúa discontinuamente, consideremos x, y ∈ Rn tales queno estén en la misma órbita, esto es, x /∈ Γy. Además, sea g ∈ Γ tal que g + yestá a distancia mı́nima de x. Llamemos d = |x − (g + y)|. Luego, los conjuntosUx = {x0 ∈ Rn| |x − x0| < d2} y Vy = {y0 ∈ R

n| |(g + y) − y0| < d2} son abiertostales que Ux ∩ ΓVy = ∅. Por lo tanto, Γ actúa discontinuamente.

El Teorema 1.8.7 nos permite dotar a Rn/Γ de una estructura diferenciableparticular. Para describir eficientemente a Rn/Γ, dado que tenemos el conjunto


{e1, e2, ..., ek} de k vectores linealmente independientes, completemos ese conjuntoa una base {e1, e2, ..., en} de Rn. En términos de esta nueva base de Rn, la acciónde un elemento g = m1e1 +m2e2 + ...+mkek de Γ en un punto x = (x1, x2, ..., xn)resulta ser (g, x) 7→ g + x = (m1 + x1,m2 + x2, ...,mk + xk, xk+1, ..., xn) y, a par-tir de la Proposición 1.8.8, Rn/Γ ∼= (R/r1Z) × (R/r2Z) × ... × (R/rkZ) × Rn−k ∼=S1 × ...× S1 × Rn−k = Tk × Rn−k.

Definición 1.8.10. Sea G un grupo de Lie y Γ un subgrupo de Lie abstracto. Γ esllamado un subgrupo discreto de G si existe una vecindad U de elemento identidade de G tal que Γ ∩ U = {e}.

Es posible probar que todo subgrupo discreto Γ de un grupo de Lie G es unsubconjunto cerrado de G y un grupo discreto tal y como lo definimos al iniciode ésta sección. Si dotamos a Γ de la topoloǵıa relativa se tiene que ésta coincidecon la topoloǵıa discreta. Más aún, como Γ está en correspondencia biuńıvoca conla colección numerable de abiertos disjuntos {hU |h ∈ Γ} se sigue que Γ tiene unacantidad numerable de elementos. La coleción de abiertos descrita anteriormentees numerable ya que G es tiene una base numerable. Rećıprocamente si Γ es unsubgrupo abstracto de G y un grupo discreto con la topoloǵıa relativa, entonces Γes un subgrupo de Lie discreto de G.

La relevancia de los subgrupos de Lie discretos de G se debe a que cuando actúanen G por traslaciones a la izquierda la acción siempre resulta ser libre, propia ydiscontinua.

Proposición 1.8.11. Todo subgrupo discreto Γ de G actúa libre, propia y disconti-nuamente en G por traslaciones a la izquierda.

Demostración. Definamos Θ : Γ×G→ G por Θ(h, g) := hg. Notemos que el grupode isotroṕıa Γg = {e} para todo g. Por tanto, la acción es libre. Ahora, como Γes un subgrupo discreto de G, tomemos la vecindad U de e tal que U ∩ Γ = {e}.Sea V un entorno simétrico de e tal que V ⊂ U. Notemos que hV ∩ V 6= ∅ solo sih = e. Ahora, tomemos VR := Rg(V ), el cual es un entorno abierto que contiene ag. Notemos que hVg ∪ Vg = (h ∪ V )g. Por lo tanto,

{h ∈ Γ|hVg ∪ Vg 6= ∅} = {e},

lo que implica que la acción es propia.Sean g1 y g2 dos elementos de G que pertenecen a dos órbitas distintas. Como

{g2} es cerrado en G, entonces las órbita Γg2 también es cerrado. Por lo tanto, existeun vecindad abierta U de g1 tal que U ∩Γg2 = ∅. Sea V el entorno simétrico de e talque g1V

−1 ⊂ U. Si los conjuntos abiertos Γg1V y Γg2V tienen intersección distintadel vaćıo, entonces existen h1, h2 ∈ Γ y v1, v2 ∈ V tales que h1g1v1 = h2g2v2. Porlo tanto g1v1v

−12 = h

−11 h2g2 ∈ Γg2. Lo cual contradice el hecho que U ∩ Γg2 = ∅.

En consecuencia tenemos que Γg1V ∩ Γg2V 6= ∅, lo cual implica que la acción esdiscontinua.

Por el Teorema 1.8.7 y la Proposición 1.8.11, el espacio cociente G/Γ tiene es-tructura de Grupo de Lie.


Proposición 1.8.12. Sea G una grupo de Lie y M una variedad diferencial. Su-pongamos que ϕ : G→M es un difeomorfismo local sobreyectivo. Si Γ := ϕ−1(ϕ(e))es un subgrupo discreto de Lie, entonces G/Γ es isomorfo a M .

Demostración. Notemos que ϕ induce una aplicación biyectiva ϕ̂ : G/Γ→M la cualsatisface la relación ϕ = ϕ̂ ◦ π, donde π : G → G/Γ es la proyección natural sobreel espacio cociente. En consecuencia, es suficiente probar que ϕ̂ es un difeomorfismolocal.

Fijemos p ∈ G/Γ y sea x = ϕ̂(p). Por el Teorema 1.8.7, G/Γ tiene una estructurade variedad diferencial tal que π : G → G/Γ es un difeomorfismo local. Más aún,para cada p ∈ G/Γ existe un entorno abierto conexo Ũ de p tal que π−1(Ũ) =

⋃Uα

donde π : Uα → Ũ es un difeomorfismo sobre Ũ para cada α. Tomemos un g ∈ G talque π(g) = p. Entonces, existe una α tal que g ∈ Uα. Como ϕ es un difeomorfismolocal, existe un abierto U de g y un abierto V de x tal que ϕ : U → V es undifeomorfismo. De esta forma, π(Uα ∩U) es una vecindad abierta de p y ϕ(Uα ∩U)es un entorno abierto de x. Como ϕ = ϕ̂ ◦ π, entonces ϕ̂ : π(Uα ∩ U) → ϕ(Uα ∩ U)es un difeomorfismo. Ésto implica que ϕ̂ es un difeomorfismo local como queŕıamosprobar.

Caṕıtulo 2

Sistemas Hamiltonianos en R2n

Los sistemas Hailtonianos son fundamentales en la mecánica clásica, pues cual-quier sistema en donde se satisfagan las leyes de Newton es Hamiltoniano. En estecaṕıtulo se ven propiedades y ejemplos de sistemas Hamiltonianos, aśı como unaintroducción a las integrales primeras.

2.1. El corchete de Poisson en R2n. Definición, propie-dades y ejemplos.

Consideremos el espacio fase R2n = {x = (p, q)| p, q ∈ Rn}. Definiremos elsiguiente corchete de Poisson en R2n de dos funciones f, g ∈ C∞(R2n) como lafunción

{f, g} :=n∑i=1

∂f

∂pi

∂g

∂qi− ∂f∂qi

∂g

∂pi

Este corchete de Poisson es una operación binaria { , } : C∞(R2n) × C∞(R2n) →C∞(R2n) que satisface las siguientes propiedades para f, g, h ∈ C∞(R2n) y c ∈ R:

1) Antisimetŕıa:{f, g} = −{g, f}

2) R-bilinealidad:{f, cg + h} = c{f, g}+ {f, h}

3) Identidad de Jacobi:

{f, {g, h}}+ {g, {h, f}}+ {h, {f, g}} = 0

4) Regla de Leibniz:{f, gh} = g{f, h}+ {f, g}h

5) No degeneración:

si {f, g} = 0pata todo g ∈ C∞(R2n), entonces f es constante.

En general, los corchetes de Poisson no satisfacen la propiedad de no degene-ración, pero es una propiedad importante para el corchete de Poisson de nuestrointerés.

27

28 2. SISTEMAS HAMILTONIANOS EN R2N

Notemos que (C∞(R2n), { , } ), con { , } el corchete de Poisson es un álgebrade Lie, debido a que el corchete de Poisson satisface bilinealidad, antisimetŕıa y laidentidad de Jacobi.

Ejemplo 2.1.1. Sean pi, qi ∈ C∞(R2n) las funciones coordenadas. Entonces:

i) {pi, qj} = δji ,

ii) {pi, pj} = 0,

iii) {qi, qj} = 0.

Además de estas propiedades, con el corchete de Poisson podemos definir lafunción f 7→ Df : C∞(R2n) → C∞(R2n) donde Df (g) = {f, g}. Un par de hechosimportantes sobre Df son la R-linealidad y la regla de Leibniz, por lo que es unaderivación. Aśı, a cada función en C∞(R2n) le asociamos una derivación en R2n. Talasociación es casi inyectiva pues Df = Df+c con c constante, de donde podemosdecir que las pre-imágenes son únicas salvo adición de constantes.

Sin perder el énfasis en C∞(R2n) tenemos la siguiente propiedad que aporta a ladescripción su estructura de álgebra de Lie:

Proposición 2.1.2. Sea F : R → R una función diferenciable. Para cualquierf, g ∈ C∞(R2n) se tiene la siguiente identidad,

{F ◦ f, g} = F ′(f){f, g},

donde F ′ denota la derivada de F .

Demostración.

{F ◦ f, g} =n∑i=1

∂(F ◦ f)∂pi

∂g

∂qi− ∂(F ◦ f)

∂qi

∂g

∂pi

=n∑i=1

F ′(f)∂f

∂pi

∂g

∂qi− F ′(f) ∂f

∂qi

∂g

∂pi

= F ′(f)

n∑i=1

∂f

∂pi

∂g

∂qi− ∂f∂qi

∂g

∂pi

= F ′(f){f, g}.

Proposición 2.1.3. Sea {·, ·} un corchete de Poisson en Rm. La función f 7→ Xfes un homomorfismo del álgebra de Lie C∞(Rm) al álgebra de campos vectorialesX(Rm).

Como consecuencia a esta última proposición, podemos relacionar los corchetesde las álgebras de Lie (C∞(R2n), { , } ) y (X(R2n), [ , ]) como sigue:

X{f,g} = [Xf , Xg]

2.2. CAMPOS HAMILTONIANOS, CRITERIOS DE HAMILTONIZACIÓN Y FLUJOS HAMILTONIANOS.29

2.2. Campos Hamiltonianos, criterios de Hamiltoniza-ción y flujos Hamiltonianos.

Un sistema Hamiltoniano autónomo en n-grados de libertad es un sistema de2n ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

dpidt

= −∂H∂qi

(p, q),dqidt

=∂H

∂pi(p, q), i = 1, 2, ..., n

donde H : R2n → R es una función suave llamada la función Hamiltoniana delsistema. En términos del corchete de Poisson, el sistema Hamiltoniano toma la formaẋi = {H,xi}. También podemos expresar el sistema Hamiltoniano en forma vectorial,si consideramos x = (p, q), ∇H = ∂H∂x = (

∂H∂p1

, ..., ∂H∂pn ,∂H∂q1, ..., ∂H∂qn ) y la matriz J =(

0 −In×nIn×n 0

), entonces el sistema Hamiltoniano toma la forma

ẋ = J (∇H)T .

De esta forma, al sistema Hamiltoniano definido por H podemos asociarle un

campo vectorial VH = J (∇H)T =(−∂H∂q1

, ...,−∂H∂qn

,∂H

∂p1, ...,

∂H

∂pn

)T.

Una propiedad de los sistemas Hamiltonianos casi inmediata de su definición esque su campo vectorial asociado VH tiene divergencia cero, div(VH) = 0. Cuandobuscamos determinar si un sistema es Hamiltoniano o no, la siguiente proposiciónnos da un criterio para ello:

Proposición 2.2.1. El campo vectorial V = (v1, v2) en R2 es Hamiltoniano si ysolo si divV = 0

Demostración. Supongamos que divV = 0 y construyamos H(x1, x2) tal que V =(− ∂H∂x2 ,

∂H∂x1

). Para cada x = (x1, x2) definamos H(x1, x2) =

∫γv2(x)dx1 − v1(x)dx2,

donde γ es una curva suave que conecta al punto (0, 0) con (x1, x2). Para ver queesta función está bien definida, tomemos γ1, γ2 curvas suaves que conecten (0, 0) con(x1, x2) y utilizando el Teorema de Green se tiene que:∫

γ1

v2(x)dx1 − v1(x)dx2 −∫γ2

v2(x)dx1 − v1(x)dx2

=

∫γ1−γ2

v2(x)dx1 − v1(x)dx2 =∫

divVdx1dx2 = 0

Además se cumple que ∂H∂x2 = −v1 y∂H∂x1

= v2.

Ejemplo 2.2.2. Consideremos el siguiente sistema autónomo en R2:

ẋ1 = x1,

ẋ2 = x2.

Buscamos determinar si es Hamiltoniano. Para ello debe existir una función H(x1, x2)tal que ∂H∂x2 = −x1 y

∂H∂x1

= x2, pero no la hay, puesto que divVH = 2.


Este criterio únicamente nos es útil para sistemas en R2, sin embargo la idea dela demostración nos sirve para obtener un criterio más general. Solo enunciaremosel criterio para determinar si un sistema en R2n es Hamiltoniano:

Proposición 2.2.3. Un campo vectorial V(x) = (v1(x), v2(x), ..., v2n(x)) en R2n esHamiltoniano si y sólo si

J∂V∂x

+

(∂V∂x

)TJ = 0,

donde ∂V∂x =(∂Vi∂xj

(x))

.

Otros de los conceptos importantes que acompañan a los campos vectoriales engeneral, son las curvas integrales y el flujo del campo. Las curvas integrales soncurvas γ : I → Rn suaves tal que dγdt (t) = V(γ(t)), y el flujo del campo V, es lafunción Φ : R × Rm → Rm definida por Φ(t, x0) = x(t, x0) donde la función Φ leasigna a un tiempo t y un punto x0 la nueva posición del punto al tiempo t. En otrostérminos, la función Φ satisface que:

d

dt

(Φ(t, x0)

)= V

(Φ(t, x0)

)y Φ(0, x0) = x0

Por simplicidad, en ocasiones denotaremos el flujo del campo vectorial comoΦt(x) = Φ(t, x). El conjunto γx0 = {x ∈ Rm| x = Φt(x0), t ∈ R} es llamado laórbita del flujo Φt sobre x0. Cada órbita es una curva suave en Rm, pero en ge-neral no es una curva regular. También, dos órbitas del flujo coinciden o no tienenpuntos en común, por ello, las órbitas del flujo inducen una partición de Rm enórbitas disjuntas, que llamaremos el retrato fase del sistema y a las trayectoriasx(t, x0) = Φt(x0) las llamaremos soluciones del sistema.

Si Φt es invertible, entonces existe (Φt)−1 : Rm → Rm tal que Φt ◦ (Φt)−1 =(Φt)−1 ◦ Φt = id y lo denotamos por Φ−t = (Φt)−1. Si para cada x ∈ Rm la funciónΦx(t) := Φ(t, x) está definida para todo t ∈ R, diremos que el campo vectorial escompleto.

Recordando el corchete de Lie de campos vectoriales, consideremos los camposV(x) = (v1(x), v2(x), ..., vm(x)) y W(x) = (w1(x), w2(x), ..., wm(x)). El corchete[V,W] es un campo vectorial cuyas coordenadas son

[V,W]i =n∑j=1

vj(x)∂wi∂xj

(x)− wj(x)∂vi∂xj

(x) para todo i = 1, ..., n.

Si llamamos Φt y Ψτ a los flujos de V y W, respectivamente, entonces podemosexpresar [V,W] como

[V,W] (x) = ddt· ddτ

∣∣∣∣t=0,τ=0

Φ−t ◦Ψτ ◦ Φt(x),

de lo cual se sigue que [V,W] = 0⇔ Ψτ ◦ Φt = Φt ◦Ψτ .

2.3. TRANSFORMACIONES CANÓNICAS. 31

Proposición 2.2.4. Sea V un campo vectorial completo en Rm con flujo Φt. Su-pongamos que W es un campo completo con flujo Ψτ que conmuta con V. Si x(t, x0)es solución del sistema dxdt = V(x) entonces Ψ

τ (x(t, x0)) también es solución delsistema ∀τ ∈ R.

Demostración. Tomando en cuenta que x(t, x0) = Φt(x0) y que los campos conmu-tan, realizamos los cálculos:

d

dt

(Ψτ (x(t, x0))

)=

d

dt

(Ψτ (Φt(x0))

)=

d

dt

(Φt(Ψτ (x0))

)= V

(Φt(Ψτ (x0))

)= V

(Ψτ (Φt(x0))

)= V

(Ψτ (x(t, x0))

)∀τ ∈ R.

Por ello, Ψτ (x(t, x0)) también es solución del sistema.

Observemos que para τ ∈ R, Ψτ : Rm → Rm deja invariante al conjunto desoluciones del sistema dxdt = V(x). Por lo cual, el campo W se dice ser una simetŕıadel sistema.

Además, el flujo de un campo vectorial completo V(x) en Rm define un grupouni-paramétrico de difeomorfismos en Rm.

Definición 2.2.5. Una familia uni-paramétrica de difeomorfismos en Rm es unafunción suave Ψ : R× Rm → Rm tal que

i) Ψ(0, x) = x,

ii) Ψ(t,Ψ(τ, x)) = Ψ(t+ τ, x).

Rećıprocamente, cada grupo uni-paramétrico de difeomorfismos en Rm define uncampo vectorial completo, dado por

W(x) := ddt

∣∣∣∣t=0

Ψt(x),

el cual tiene a Ψ(t, x) := Ψt(x) por flujo.

2.3. Transformaciones canónicas.

Dado un sistema Hamiltoniano, nos puede interesar realizar un cambio de coor-denadas o simplemente transformar el sistema, pero al transformar el sistema, esposible que el nuevo sietema no resulte Hamiltoniano. Para ello veremos un tipo detransformaciones que mandan campos Hamiltonianos en campos Hamiltonianos.

Definición 2.3.1. Una transformación g : R2n → R2n se dice ser canónica (osimpléctica) si su matriz jacobiana ∂g∂x =

(∂gi∂xj

(x))

satisface

∂g

∂x(x) · J ·

(∂g

∂x(x)

)T= J, x ∈ R2n


Si g : R2n → R2n es un difeomorfismo canónico, entonces el cambio de variablex̃ = g(x) transforma el sistema Hamiltoniano

dx

dt= J (∇H(x))T en un nuevo siste-

ma Hamiltonianodx̃

dt= J

(∇H̃(x̃)

)T, donde H̃ = H ◦ g−1.

Para mostrar esta última afirmación, al realizar los cálculos se obtiene que:

dx̃

dt=∂g

∂x(x)

dx

dt=∂g

∂x(x)J (∇H)T = J

[(∂g

∂x(x)

)T]−1(∇H)T

= J

[(∂g

∂x(x)

)T]−1(∇H̃

(∂g

∂x(x)

))T= J

[(∂g

∂x(x)

)T]−1(∂g∂x

(x)

)T (∇H̃

)T= J

(∇H̃

),

de donde concluimos que g transforma un sistema Hamiltoniano en otro.

Supongamos ahora que Φt es una familia uni-paramétrica de transformacionessimplécticas, es decir, Φt : R2n → R2n es una familia de difeomorfismos que satisface:

i) Φ0 = id,

ii) Φs ◦ Φt = Φs+t,

iii) Para cada t ∈ R,(∂Φt

∂x(x)

)· J ·

(∂Φt

∂x(x)

)T= J , es decir, Φt es simpléctica,

iv)∂Φt

∂xes una familia de transformaciones lineales que dependen del parámetro

t de manera suave.

Proposición 2.3.2. Sea Φt : R2n → R2n un grupo uni-paramétrico de difeomorfis-mos canónicos. Entonces el campo vectorial generado por Φt,

V(x) = ddt

∣∣∣∣t=0

Φt(x),

es un campo Hamiltoniano completo en R2n, con función de Hamilton

H(x) =

〈Jx,

d

dt

∣∣∣∣t=0

∫ 10

Φt(τx)dτ

〉

2.4. El álgebra de integrales primeras de un sistema Ha-miltoniano.

En esta sección revisaremos las llamadas integrales primeras de un sistema Ha-miltoniano. Su estudio adquiere importancia debido a que cada integral primera

2.4. EL ÁLGEBRA DE INTEGRALES PRIMERAS DE UN SISTEMA HAMILTONIANO.33

induce una simetŕıa del sistema Hamiltoniano y, por ello, en vez de estudiar las si-metŕıas del sistema, estudiaremos las integrales primeras. Además, veremos algunosresultados importantes al respecto.

Definición 2.4.1. Sea X ∈ X(Rn). Para cada f ∈ C∞(Rn), se define la derivadade Lie de f a lo largo de X por:

LXf := df(X).

Como observación, si expresamos la derivada de Lie de f a lo largo de X encoordenadas, ésta se puede interpretar como una derivada direccional.

Definición 2.4.2. Una función f ∈ C∞(Rn) se dice ser integral primera delcampo vectorial X si

LXf = 0.

Podemos interpretar a la derivada de Lie de f como la evolución de f a lo largode las trayectorias del campo vectorial. Aśı, las funciones integrales primeras sonfunciones constantes a lo largo de las trayectorias del sistema.

Consideremos a α ∈ R, f, g ∈ C∞(Rn) y X,X1, X2 ∈ X(Rn). Entonces, la deri-vada de Lie tiene las siguientes propiedades:

i) LX(f + αg) = LXf + αLXg,

ii) LX1+αX2f = LX1f + αLX2 ,

iii) LfXg = f(LXg),

iv) LX(f · g) = (LXf) · g + f · (LXg).

De tales propiedades se tiene que la derivada de Lie a lo largo de X es una de-rivación de C∞(Rn).Ahora, si tenemos una función Hamiltoniana H y su campo vectorial asociado

VH =∑n

i=1

(−∂H∂qi

∂∂pi

+ ∂H∂pi∂∂qi

), entonces LVHf = {H, f}.

También, podemos ver que la evolución de una función f ∈ C∞(Rn) a lo largode las trayectorias de VH está dada por la ecuación dfdt = {H, f}. Con esto podemosconcluir que una función f ∈ C∞(R2n) es integral primera del campo HamiltonianoVH si y solo si {H, f} = 0. Una consecuencia inmediata de este hecho es que lafunción Hamiltoniana H es integral primera del campo Hamiltoniano VH .

Sean f1, f2 integrales primeras de VH y c ∈ R. Debido a las propiedades delcorchete de Poisson, se tiene que f1 + cf2, f1 · f2 y {f1, f2} son integrales primerasde VH puesto que

{H, f1 + cf2} = {H, f1}+ c{H, f2} = 0,


{H, f1 · f2} = f1 · {H, f2}+ f2 · {H, f1},

{H, {f1, f2}} = {{f2, H}, f1}+ {{H, f1}, f2} = 0.

Con esto, denotando por L = {f ∈ C∞(Rn)|{H, f} = 0} al conjunto de integralesprimeras, podemos decir que L es una R-subálgebra del álgebra de Poisson inducidapor {, }.

Ahora haremos un par de observaciones sobre algunas propiedades de los sistemasHamiltonianos. La primera observación es que los sistemas en donde se satisfacen lasLeyes de Newton, son sistemas Hamiltonianos. De acuerdo con la mecánica clásica,el estado de un sistema en el tiempo t está definido por su posición q y su momentop, donde p = mq̇ con m la masa. El espacio R2n es llamado el espacio fase y Rnq esllamado el espacio de configuración.

El movimiento de una part́ıcula de masa m en un campo potencial V (q) está des-crito por la Segunda Ley de Newton: F = ma, donde q = (q1, q2, q3), F (q) =−∇V (q), a = q̈, ∇V = ( ∂V∂q1 ,

∂V∂q2, ∂V∂q3 ) y q̈i =

1m∂V∂qi

.

Con esto, la 2da ley de Newton es equivalente al siguiente sistema en R6:

ṗi = −∂V

∂qi,

q̇i =1

mpi.

Tal sistema es Hamiltoniano, y tiene como función de Hamilton a H(p, q) =1

2m(p21 + p

22 + p

23) + V (q) =

12m‖p‖

2 + V (q), donde 12m‖p‖2 es la enerǵıa cinética

y V (q) es la enerǵıa potencial. Por lo tanto, H representa la enerǵıa mecánica delsistema.

Consideremos E ∈ R y al conjunto de nivel de H, SE = {x ∈ R2n|H(x) = E}. Si∇H(x) 6= 0 para x ∈ SE , entonces SE es una hipersuperficie de R2n de dimensión2n− 1, la cual es llamada una superficie de enerǵıa regular.Además, si x(t) es una solución del sistema Hamiltoniano tal que x(0) ∈ SE entoncesx(t) ∈ SE ∀t ∈ R. Por esto decimos que en los sistemas donde se cumplen las le-yes de Newton, y en particular en los sistemas Hamiltonianos, la enerǵıa se conserva.

Otra propiedad importante de los sistemas Hamiltonianos es la preservación devolumen, pero esta no la abordaremos con detalle.

2.5. SISTEMAS HAMILTONIANOS LINEALES EN EL PLANO. 35

2.5. Sistemas Hamiltonianos lineales en el plano.

En general, uno de los aspectos de interés sobre los sistemas de ecuaciones es laestabilidad que el sistema pueda presentar. Los sistemas Hamiltonianos no son laexcepción, por ello, consideremos el siguiente sistema

ṗ = −∂H∂q

(p, q),

q̇ =∂H

∂p(p, q),

donde (p, q) ∈ R2n. Uno de los resultados importantes de la teoŕıa de ecuacionesdiferenciales es el Teorema de Hartman-Grobman, que nos habla sobre cuando lalinealización de un sistema preserva su dinámica localmente. En esta sección, revi-saremos los sistemas Hamiltonianos lineales en R2 y determinaremos su estabilidad.Recordando uno de los criterios de Hamiltonización, un campo vectorial V en Rm esHamiltoniano si y solo si su matriz A = ∂V∂x cumple la igualdad:

JA+ATJ = 0

Este criterio en R2 es equivalente a que la divergencia del campo se anule, y alocurrir esto, podemos dar información más precisa sobre los sistemas Hamiltonianoslineales en el plano. Para empezar, estos toman la forma

ṗ = ap+ bq,

q̇ = cp− aq,

donde a, b, c ∈ R. Denotemos A =(a bc −a

). Dado que los sistemas lineales

están totalmente catalogados en términos de la traza y el determinante de su matrizasociada, el caso Hamiltoniano satisface que tr(A) = 0, por lo que el tipo de sistemaserá un centro si det(A) > 0 y será un tipo silla si det(A) < 0.

Ejemplo 2.5.1. Consideremos el siguiente sistema Hamiltoniano

ẋ1 = −ω2x2,

ẋ2 = x1.

Este sistema es conocido como el oscilador armónico unidimensional. Su matrizasociada es tal que det(A) > 0 por lo que es del tipo centro. Además, si consideramoslas condiciones iniciales x1(0) = x

0, x2(0) = 0 entonces la solución resulta ser

x1(t) = x0cos(ωt),

x2(t) =x0

ωsen(ωt).

En el caso en que det(A) > 0, basta suponer que el sistema es de la forma delEjemplo 2.5.1.

Caṕıtulo 3

Integrabilidad y superintegrabilidad

Como se puede observar en el caṕıtulo anterior, la dinámica en los sistemas Ha-miltonianos no es arbitraria, y en este caṕıtulo analizaremos dos tipos de sistemasHamiltonianos, los integrables y los superintegrables. También veremos la relaciónentre las integrales primeras y la dinámica del sistema, dependiendo de las carac-teŕısticas que posean dichas integrales primeras.

3.1. Sistemas Hamiltonianos completamente integrablesy el Teorema de Liuoville-Arnold.

Partiendo de que las integrales primeras de un sistema Hamiltoniano inducensimetŕıas en el sistema, y daremos la definición de sistema completamente integrablede manera análoga al concepto de integración. Para ello, definamos los siguientesconceptos:

Definición 3.1.1. Sea U ⊂ R2n abierto. Un conjunto de funciones F1, F2, ..., Fk ∈C∞(U) son funcionalmente independientes si dxF1, dxF2, ..., dxFk son lineal-mente independientes para toda x ∈ U .

Definición 3.1.2. Un conjunto de funciones F1, F2, ..., Fk ∈ C∞(R2n) se dicen estaren involución si {Fi, Fj} = 0 para i, j = 1, 2, ..., k.

Con respecto a las funciones en involución, podemos decir que el máximo númerode funciones que forman un conjunto funcionalmente independiente en R2n es n.

Definición 3.1.3. Sea XH un campo Hamiltoniano en R2n con función Hamilto-niana H. El sistema Hamiltoniano XH se dice ser Liouville integrable (o comple-tamente integrable) en un abierto denso U si existen funciones f1, f2, ..., fn ∈ C∞(U)tales que:

i) f1, f2, ..., fn son integrales primeras de XH ,

ii) f1, f2, ..., fn son funcionalmente independientes,

iii) las funciones están en involución,

iv) los campos Hamiltonianos Xfi son completos en U .

37

38 3. INTEGRABILIDAD Y SUPERINTEGRABILIDAD

A continuación enunciaremos uno de los teoremas centrales de este trabajo, quesi bien no damos la demostración completa en esta sección, la retomaremos másadelante:

Teorema 3.1.4. (de Liouville-Arnold) Sea XH un sistema Hamiltoniano com-pletamente integrable y sean f1, ..., fn unas funciones que satisfacen las condicionesde la Definición 3.1.3. Sea F := (f1, f2, ..., fn) y sea Mc = {x ∈ U | F (x) = c} parac ∈ Rn. Entonces:

i) El conjunto de nivel Mc es una subvariedad regular de R2n, la cual es invariantebajo el flujo del sistema Hamiltoniano,

ii) Si Mc es compacta y conexa, entonces es difeomorfa al toro n-dimensional Tn,

iii) Existe un entorno U de Mc tal que U es difeomorfo a Tn × Dn, con Dn unabierto de Rn,

iv) El flujo del sistema Hamiltoniano con función Hamiltoniana H es lineal en eltoro Tn, es decir, en coordenadas angulares el sistema Hamiltoniano tiene laforma dΦdt = ω, ω = ω(f1, f2, ..., fn).

Demostración. i) Como el conjunto de funciones {f1, f2, ..., fn} es funcionalmenteindependiente, el rango de F es constante e igual a n. Notemos además que Mc =F−1(c). Por el Teorema 1.3.4 se sigue que Mc es una subvariedad regular cerrada deR2n de dimensión n.Sabemos que para cada Y ∈ TxR2n, x ∈ Mc, se tiene que Y ∈ TxMc si y solo sidxfi(Y ) = 0 para todo i = 1, 2, ..., n. Debido a esto, los campos Hamiltonianos Xfjson tangentes a Mc, pues dxfi(Xfj ) = {fi, fj} = 0 para todo i = 1, 2, ..., n. Luego,para ver queMc es un invariante del campo Hamiltoniano, consideremos γ : I� → R2nuna curva integral de XH tal que γ(0) ∈Mc. Mostraremos que γ(t) ∈Mc para todot ∈ R. Para ello, calculemos la variación de cada fi a lo largo de la curva integral γ,esto es:

d

dt(fi(γ(t))) = dγ(t)fi

(dγ

dt(t)

)= dγ(t)fi (XH(γ(t)))

= {fi, H}(γ(t)) = 0.

Con esto concluimos que F (γ(t)) = F (γ(0)) = c, por lo que γ(t) ∈ Mc para todot ∈ R.

ii) Denotemos por Φti al flujo del campo Xfi . Dado que para cualesquiera ı́ndi-ces i, j se tiene que [Xfi , Xfj ] = 0, sus flujos correspondientes conmutan, es decir,

Φtii ◦Φtjj = Φ

tjj ◦Φ

tii . Esto nos permite definir una acción de Rn en Mc Θ : Rn×Mc →

Mc, Θ(t, x) := Φt11 ◦ Φ

t22 ◦ ... ◦ Φtnn (x) donde t = (t1, t2, ..., tn). Fijemos x0 ∈ Mc y

mostremos que Θx0 : Rn �

t e s i s...luis alberto trujillo ortega director de tesis: dr. misael avendano~ camacho hermosillo,...

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