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TEMA 5
TECNICAS DE PROTECCION FRENTE A ERRORES(CODIGOS CONVOLUCIONALES)
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 1 / 27
Codigos convolucionales
Introduccion de la redundancia mediante filtradoIntroduccion de memoria
Tasa R = k/n: Banco de filtros conk entradasn salidas
!B(0)[!]D ! D ! D
!"#$
!"#$
!C(0)[!]
!C(1)[!]
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Notacion:Entradas: B(i)[!], con i = 0, 1, · · · , k ! 1Salidas: C(j)[!], con j = 0, 1, · · · , n! 1
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 2 / 27
Representaciones
Esquematica
!B(0)[!]D ! D ! D
%%
!C(0)[!]
!C(1)[!]
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Relacion entrada salidas
C(0)[!] = B(0)[!] + B(0)[!! 1] + B(0)[!! 3]
C(1)[!] = B(0)[!] + B(0)[!! 1] + B(0)[!! 2] + B(0)[!! 3]
Notacion mediante polinomios en D
B(i)(D) =!
!
B(i)[!] · D!
PropiedadB(i)[!! d]" B(i)(D) · Dd
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 3 / 27
Representaciones (II)
Notacion mediante polinomios en D
C(0)(D) = B(0)(D)"
1 + D + D3#
C(1)(D) = B(0)(D)"
1 + D + D2 + D3#
Notacion matricial (polinomios):C(D)1!n = B(D)1!k · G(D)k!n
Matriz generadora de tamano k # nElemento fila i columna j: contribucion a la salida j-esima dela entrada i-esimaEjemplos
Ejemplo anterior (A): k = 1, n = 2
G(D) =$1 + D + D3, 1 + D + D2 + D3%
1!2
Otro ejemplo (B): k = 2,
G(D) =&
1 + D D DD 1 D
'
2!3
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 4 / 27
Paso a representacion esqumatica - Ejemplo B
G(D) =
&1 + D D D
D 1 D
'
2!3
Numero de entradas: k = 2Numero de salidas: n = 3
!B(0)[!]D
!B(1)[!]D
!"#$
!"#$
!"#$
!C(0)[!]
!C(1)[!]
!C(2)[!]
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MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 5 / 27
Parametros de interes
Memoria total del codigo: Mt
Numero total de unidades de retardo (memorias)
Mt =k"1!
i=0
M(i)
Memoria de la entrada i-esima: M(i) = maxj
grado(gi,j(D))
Longitud de restriccion: KMaxima longitud de la respuesta al impulso del codificador(maximo numero de instantes de tiempo en los que un bitafecta a la salida del codificador)
K = 1 + maxi,j
grado(gi,j(D))
En general las prestaciones aumentan con K
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 6 / 27
Codigos sistematicos
Matriz de generacion
G(D) = [Ik P(D)]
Las entradas se “copian” en algunas de las salidasEjemplo (C)
G(D) =$1, 1 + D + D2%
!B(0)[!]D ! D
!"#$
!C(0)[!]
!C(1)[!].
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MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 7 / 27
Diagrama de rejilla
Definicion del estadoContenido de las memorias del codificador
"[!] = [B(0)[!!1], · · · , B(0)[!!M(0)], · · · , B(k"1)[!!1], · · · , B(k"1)[l!M(k"1)]]
Etiquetado de la rejillaBits a la entrada del codificadorBits a la salida del codificador
B(0)[!], B(1)[!], · · · B(k"1)[!](((( C(0)[!], C(1)[!], · · · C(n"1)[!]
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 8 / 27
Ejemplo - Convolucional D
Estado: "[!] =$B(0)[!! 1], B(0)[!! 2]
%
Estados: "0 = [0, 0], "1 = [1, 0], "2 = [0, 1], "3 = [1, 1]
! D ! D
! &! &
"
"
!
#
!
B(0)[!]
C(0)[!]
C(1)[!]
''''
''''
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
"[n] "[n + 1]"0
"1
"2
"3
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 9 / 27
Ejemplo - Convolucional E
Estado: "[!] =$B(0)[!! 1], B(0)[!! 2]
%
Estados: "0 = [0, 0], "1 = [1, 0], "2 = [0, 1], "3 = [1, 1]
!B(0)[!] D ! D
! &"
!
!C(0)[!]
C(1)[!]
''''
''''
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0|00
1|010|10
1|110|01
1|000|11
1|10
"[n] "[n + 1]"0
"1
"2
"3
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 10 / 27
Secuencia de bits - Camino a traves de la rejilla
Secuencia de datos: B(0)[!] = [11010]
Estado inicial: "0 (Se fija con el envıo de una cabecera debits)
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
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1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
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1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
"[0] "[1] "[2] "[3] "[4] "[5]
"0
"1
"2
"3
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Secuencia codificada: C[k] = [11 10 10 00 01]
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 11 / 27
Decodificacion - Algoritmo de Viterbi
Recuperacion de la secuencia mas verosımilEstados inicial/final
Cabecera de referencia (habitualmente ceros “bit flushing”)Salida dura: observacion de bits decididos
Secuencia con el menor numero de bits codificados distintosa la observacionMetrica de rama: distancia de Hamming con la observacion
Salida dura: observacion de q[n]Secuencia cuyos sımbolos asociados estan a la menordistancia euclıdea de la observacionMetrica de rama: |q[n]! A[n]|2
Hay que tener en cuenta la constelacion que se utiliza parahacer la conversion de las etiquetas de la rejilla basica asımbolos de la constelacion (A[n])
Mejores prestaciones que con salida blanda
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 12 / 27
Metricas de rama - Salida dura
Secuencia recibida: R[k] = [11 10 10 00 01]
"[n] "[n + 1]
"0
"1
"2
"3
((((
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
"[0] "[1] "[2] "[3] "[4] "[5]
"0
"1
"2
"3
((((
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2
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10
21
1
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12
01
10
2
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01
10
2
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21
12
01
1
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1
10
21
12
0
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))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
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)))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 13 / 27
Metricas acumuladas en cada estado (Viterbi)
"[1] "[2] "[3] "[4] "[5]"3 – 0 2/3 3/4 3/2"2 – 2 0/5 3/4 0/0"1 0 3 3/4 0/5 4/3"0 2 3 3/4 2/3 4/3
Si no hay errores: camino con metrica acumulada nula
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 14 / 27
Metricas de rama - Salida blanda
Secuencia recibida: q[n] =)
1,10,9
* )1,1"0,8
* )0,75"0,6
* )"1,2"1,1
* )"0,71,2
*
"[n] "[n + 1]
"0
"1
"2
"3
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
(
(
(
(+1!1
+1
!1
00
01
10
11
"[0] "[1] "[2] "[3] "[4] "[5]
"0
"1
"2
"3
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8,02
0,024,42
3,620,02
8,023,62
4,42
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((((
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4,45
3,257,65
0,053,25
4,450,05
7,65
((((
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3,22
2,625,62
0,222,62
3,220,22
5,62
((((
((((
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0,05
9,254,45
4,859,25
0,054,85
4,45
((((
((((
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4,93
2,930,13
7,732,93
4,937,73
0,13
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 15 / 27
Metricas acumuladas en cada estado (Viterbi)
"[1] "[2] "[3] "[4] "[5]"3 – 0,07 5,69/11,49 10,14/15,74 10,27/8,07"2 – 7,67 0,29/16,89 10,54/15,34 17,87/0,47"1 0,02 11,27 10,89/15,09 0,34/19,54 15,47/12,47"0 8,02 12,47 10,29/15,69 9,54/10,34 13,47/14,47
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 16 / 27
Prestaciones
Salida dura
Pe $ c ·n·z!
i=t
+n · z
i
,· #i · (1! #)n·z"i
DHmin: mınima distancia de Hamming entre salidas para
secuencias distintasz: longitud del evento erroneo de distancia mınimat =
-DH
min"12
.(capacidad de correccion sobre n · z bits)
#: probabilidad de error de bit del sistema (BER)Salida blanda
Pe $ c · Q
/De
min
20
N0/2
1
Demin: mınima distancia euclıdea entre salidas para
secuencias distintasMMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 17 / 27
Calculo de DHmin
Comparacion con la secuencia de todo ceros
"[n] "[n + 1]
"0
"1
"2
"3
((((
((((
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...
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
"0
"1
"2
"3
''''
''''
.
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2
2
''''
.
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1
1
3
3
''''. ...............................................................................................................................
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..........
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...........
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1
1
0
2
4
4
3
5
DHmin = 5
z = 3
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 18 / 27
TEMA 5
TECNICAS DE PROTECCION FRENTE A ERRORES(CODIGOS DE REJILLA (TCM))
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 19 / 27
Codigos de rejilla
Conocidos tambien como codigos TCMTrellis Coded Modulation
Diseno conjunto de codigos convolucionales y delcodificador del transmisorUso eficiente del ancho de banda de un canal
La redundancia se introduce aumentando el orden de laconstelacion
Orden de la constelacion acorde al tamano de la salidacodificada
Posibilidad de tasas relativamente altas mediante las“transiciones paralelo”
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 20 / 27
Codigos de rejilla - Definiciones
Convolucionalknp, nnp
...knp ... nnp
...kp npConstelacionn = np + nnp
bits/sımbolo
k entradaskp transiciones “paralelo” (sin proteger)knp transiciones “no paralelo” (protegidas)
n salidasnp = kp transiciones “paralelo” (sin proteger)nnp transiciones “no paralelo” (protegidas)
Constelacion: 2n sımbolos (n = np + nnp bits/sımbolo)MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 21 / 27
Codigos de rejilla - Asignacion de bits
Reglas de diseno: reglas de UngerboeckAsignacion para minimizar la probabilidad de errorDivision de la constelacion + asignacion de bits
Division de la constelacion en subconstelacionesDivision sucesiva aumentando la distancia mınimaSımbolos por subconstelacion: 2np
Numero de subconstelaciones: 2nnp
Asignacion de bitsTransiciones paralelo: seleccion de un sımbolo dentro de lasubconstelacion
Proteccion “fısica” sobre la constelacion (Gray)Transiciones no paralelo: seleccion de una subconstelacion
Proteccion mediante codigo convolucionalMaxima distancia: ramas que salen de o llegan a un mismoestadoEquiprobabilidad en la asignacion de sımbolos
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 22 / 27
Ejemplo: kp = 1, knp = 1, nnp = 2, 8-PSK
Codigo de tasa 2/3Una transicion en paraleloConvolucional de tasa 1/2 (Convolucional Ejemplo D)
Convolucional1/2
Constelacion3 bits/sımbolo
"[n] "[n + 1]
"0
"1
"2
"3
((((
((((
. .........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
.
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............................................................
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........
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..................................
...
.
............................................................
............................................................
............................................................
........ ........................................................................................................................................................................
0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
Constelacion con 3 bits por sımbolo: 8 sımbolos8-PSK
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 23 / 27
Ejemplo: Division de la constelacion
( ( ((((( (
( * (*(*( *B0 * ( *(*(* (B1
( * **(** *C0 * * (***( *C1 * ( ***(* *C2 * * *(*** (C3
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 24 / 27
Ejemplo: Asignacion de las transiciones no paralelo
"[n] "[n + 1]
"0
"1
"2
"3
++++
++++
. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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.....
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C0
C1
C2
C3
C1
C0
C3
C2
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 25 / 27
Asignacion (convolucional D)
"[n] "[n + 1]
"0
"1
"2
"3
((((
((((
. .........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
.
............................................................................................................................................................................................
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...
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0|00
1|110|01
1|100|11
1|000|10
1|01
"[n] "[n + 1]
"0
"1
"2
"3
((((
((((
. .........................................................................................................................................................................
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.
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...
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C0
C1C2
C3C1
C0C3
C2
( ((
((((
( 0|001|01
0|10
0|11
1|10
0|11
1|000|01
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 26 / 27
Prestaciones
Distancia mınima del codigo - La mınima de:Distancia mınima paraleloEjemplo anterior (constelacion normalizada): dp = 2
Mınima distancia entre puntos de las subconstelacionesDistancia mınima no paralelo
Distancia del convolucional medida sobre lassubconstelacionesEjemplo anterior
dnp =2
d2(C0, C1) + d2(C0, C2) + d2(C0, C1) = 2,14
Ganancia de codificacionComparacion con la constelacion equivalente sin codificar(misma velocidad de transmision efectiva)Ejemplo anterior: 4-PSK
G =ESC
bETCM
b·3dTCM
min42
3dSC
min42 = 2 (3 dB)
MMC (UC3M) Comunicaciones Digitales Codificacion de Canal 27 / 27