SOLUCIONARIO MA133

1. Use el teorema de Green, para calcular el rea de una regin R acotada por las curvas regulares C1 y C2 definidas por las siguientes ecuaciones;

Solucin: Transformando las curvas C1 y C2 a polares sabemos que: Por el teorema de Green:

. Pasando a polares

2. Usando el teorema de Lagrange, calcule el rea lateral mnima de una pirmide cuadrangular regular circunscrita a una superficie esfrica cuyo radio mide R.Solucin:

Resolviendo

4.a) Use los ndices de Levi-Civitta, para demostrar la siguiente identidad de Green: b) Aplique la identidad (a) para evaluar , siendo S: Solucin:a)Sabemos que

b) =Pero sabemos que donde =0 =Entonces a S lo separamos en dos superficies S= De donde la superficie va a ser una esfera de radio =

5. Determine la ecuacin diferencial parcial dada , en trminos de z y ; siendo

Solucin:

6.- Determine el centroide del solido acotado por la superficie esfrica y . La densidad vara proporcionalmente a la distancia desde el punto al origen de las coordenadas.Solucin:

7. Calcule , siendo Solucin:

8. Calcule la ecuacin de la evoluta de una curva plana definida por Solucin:Sea la evoluta de una curva.

Dnde:

Como: entonces

En (1):

Derivando respecto a

Hasta el momento sabemos que de (2):

Operando:

Por lo tanto la ecuacin de la evoluta es:

9. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:I) La curva C, definida por la funcin vectorial tiene torsin cero.II) La curva C, definida por la funcin vectorial tiene una recta tangente en un punto de ella, cuyo vector direccin es Solucin:I) calculando la torsin con la siguiente formula:

Reemplazando solo en el numerador:

Como la matriz del numerador tiene dos columnas proporcionales entonces la determinante es Cero.

II) sea la curva:Sabemos que:

Entonces:

Comparando miembro con miembro:

Dividiendo :

10. Determine la ecuacin del cono de vrtice (0; 0; c) y la ecuacin de la directriz es:

Z = 0Solucin:

V = (0; 0; c)

11. Sea el campo vectorial. Calcule la integral de lnea , es la circunferencia cuyo radio sobre el plano i) Cuando su centro de est en el origen.ii) Cuando su centro de est en con .Solucin:i)Primero determino si es un campo conservativo:

Sea una regin contenida en que rodea al punto y

Donde es una circunferencia de radio y centrada en el centro de coordenadas, entonces se puede aplicar el Teorema de Green (Doblemente Conexos).

Entonces definimos a convenientemente por una circunferencia de radio y centrada en el origen; entonces reemplazamos:

ii) Como su centro est en y ; entonces se verifica que est definido en . Por lo tanto puedo aplicar el Teorema de Green directamente.

12. Para las coordenadas cilndricas elpticas (;; ) la transformacin entre las coordenadas (;; ) y (;;) est dada por ; ; a) Diga el nombre de las familias de superficies coordenadas.b) Halle los factores de escala.Solucin:a) Son Elipses Hiprbolas Homofocales.b) 9.-Use coordenadas Cilndricas, para calcular el volumen del solido acotado por un tronco de cono circular recto cuya altura mide y los radios de las bases miden y , respectivamente.Solucin:

Sabemos que: y tambin Definimos los lmites de integracin en coordenadas cilndricas:

Calculando el volumen: