CAPITULO "'I.

Su perposicion de velocidades:

movimiento de proyectiles ______________________________________________________ ~.aa._.

4.1 INTRODUCCI6N

Habiendo desarrollado una descripci6n del mOYlmlento rectilfneo, incluyendo un concepto de la aceleraci6n que trata el fen6meno natural de cafda libre de una rnanera simple y poderosa, nos enfrentamos automaticamente con el niyel siguiente en la investigaci6n: i.son los conceptos creados para la descripci6n del movimiento rectiHneo adaptables a la descripd6n del movimiento en un plano 0 en tres dimensiones? i.PO­demos extender las ideas que ya tenemos., 0 es necesario un nuevo pun to de partida? En tal investigaci6n debemos hacer nuevamente conjeturas razonables, escoger la exten­sion de nuestras definiciones y probar su aplicaci6n a los fen6menos observables. Dos casos bidimensionales particularmente simples y ampliamente comunes se presentan por sf mismos a nuestra consideraci6n al extender nuestra estructura conceptual: el movimiento circular tal como el de un punto sobre una rued a que esta girando 0 el de una pequeiia masa atada a una cuerda y el moyimiento de un proyectil tal como el de una peJota que es arrojada 0 el de un cohete 0 proyectil que se dispara. EI primero de ellos 10 investig\lremos a su debido tiempo, pero el ultimo, el que comprende los efectos de caida libre, se presta particularmente para lIamar nuestra atenci6n. Este es el problema que enfoca Galileo en Dos nuevas ciencias y que, final mente, considera en la ultima parte de los diaJogos, el "Cuarlo dia":

"En las paginas precedentes hem os discutido las propiedades del movimiento uniforme y del movimiento naturalmente acelerado.... Ahora me propongo establecer aquellas propiedades que pertenecen a un cuerpo cuyo !llovimiento esta compuesto de otros dos movimientos, a saber, uno uniforme y uno natural men­te acelerarlo . . .. Este es el tipo de moyimiento que puede observarse en un proyectil en movimiento; su origen 10 concibo como sigue: imaginemos cualquier particula proyectada a 10 largo de un plano horizontal sin fricci6n .... Esta par­ticula se mover a a 10 largo de este mismo plano con un movimiento que es uniforme y perpetuo, siempre y cuando el plano no tenga limites. Pero si el plano esta limitado y elevado, entonces la particula en movimiento, la que imaginamos que es pesada, adquirira, al pasar sobre el borde del plano, ademas de su moyi-

119

120 SUPERPOS1C16N DE VElOC1DA DES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cop. 4

.. . ,' " -' .. ' . . . . .

FIG. 4.2.1. Multiexposicion fotogr6fica a intervo los uniforrnes de de s esferos solfadas simult6nea· mente, uno proyectada con una velocidad horizontal inicial. N6tese que los esferos eston 01 mismo nivel en codo exposicion sucesivo. ((artesia de Educationa l Services, Jnc.)

miento uniforme y perpetuo previo, una tendencia hacia abajo debida a su propio peso; de manera que el movimiento resultante. . . . est a compuesto de uno que es uniforme y horizontal y de otro que es vertical y uniformemente acelerado."

4.2 SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS

Las frases c1aves en la cita prece,,~nte son "movimiento resultante" y "compues­to de". Con estos terminos engafiosamente simples, Galileo revela cuanto se ha alejado del punto de vista escolastico, en el cua! el movimiento era visto solamente como un todo y nunea era coneebido como compuesto. Estas frases tambien expresan su supo­sicion inductiva de que el movimiento horizontal y el vertical de una piedra 0 un proyectil no influyen uno al otro, que se comport an como si solamente eada uno estuviera presente y que el efecto neto es una simple eombinaci6n de los dos moyi-

4.2 SUPERPOSI CI6N DE MOVIMIENTOS I ~I

mientos independientes ca1culados separadamente. Esta es una hipotesis sobre la fisica y no una simple definicion; la verificacion es necesaria en la misma forma que ·se hizo con la hipotesis de que la caida libre es uniformemente acelerada.

Galileo solamente pudo verificar la idea en forma indirecta , deduciendo conse­cuencias respecto a los a1cances y las trayectorias de los proyectiles y comprobando . las consecuencias deducidas con las observaciones. Tal investigacion requiere cierto grado de confianza en sl mismo y de fuerta intelectual. No se tiene seguridad inicial­mente de tener la solucion apropiada y debe querer seguirse una secuencia de razona­mientos, a traves de muchos pasos, sin saber que resultados se obtendran 0 cual es la respuesta correcta. EI unico recurso es la comprobacion cllidadosa. de la consistencia interna y de resultados razonables en casos limite.

En nuestra era, gracias a la fotografia de alta velocidad y de lecnicas electronicas, es relativamente faci! presentar evidencia directa y . convincente de la independencia de los dos movimientos a angulos rectos, pero antes de hacerlo asi, seamos c1aros respecto a la naturaleza precisa del problema logico. Debemos conocer las respuestas ados preguntas separadas: 1) i,impartir una velocidad horizontal a una partlcula altera en alguna forma la aceleracion vertical y las velocidades que adquiere en caida libre a 10 largo de una recta? 2) Redprocamente, i,la presencia de una aceleracion y de una velocidad verticales altera la velocidad horizontal que una partieula pudiera tener in·icialmente? Estas son dos preguntas separadas y la respuesta a una no proporciona automaticamente la respuesta a la otra .

Estas preguntas son contestadas pOl' dos experimentos ilustrados en las figuras 4.2.1 y 4.2.2. En la Figura 4.2.1 , una pelota es proyectada horizontal mente mientras la otra se deja caer partiendo del reposo; como las pelotas ocupan niveles identicos en tiempos correspondientes, inferimos que la velocidad horizontal de la pelota proyec­tada no ha alterado el movimiento vertical que hubiera tenido en la allsencia de una velocidad horizontal. En la Figura 4.2.2, observamos el movlmiento de una pelota que se deja caeI' desde una base rigid a que se mueve con una velocidad horizontal uniforme. Como la pelota cae, pero tam bien permanece en linea con la varilla en cada instante sucesivo, inferimos que la velocidad horizontal inicial no es alterada p~r los efectos verticales de caida libre.

Nuestra conclusion de estos experimentos es que movimientos a angulos rectos entre sl son independientes, es decir, uno no influye 0 altera al otro. Debe, por tanto, ser posible usar por separado el conocimiento numerico de tales movimientos y "com­pener" 0 "superponer" los numeros en una descripcion del efecto bidimensional comb i­nado. Esto era precisamente 10 que Galileo se proponia comprobar.

Los experimentos citados y el exito de la teoria que desarrollaremos son tan convincentes que es una verdadera experiencia enfrentarse al hecho de que los movi­mientos que forman angulos rectos entre si son independientes solamente hasta un cierto grado .de precision y solamente sobre un rango limitado' de observacion. Esto no se comprendio 0 incluso se sono, sino hasta el principio de este siglo, con la lle­gada de la teoria de fa relatividad. Ahora se comprende que en experiment os del tipo ilustrado en la figura 4.2.1, por ejemplo, la velocidad horizontal real mente tiene una influencia sobre nuestras observaciones del movimiento de caida en el siguiente sentido: si la velocidad horizontal v. de la partlcula que cae se hace muy grande respecto a nosotros, la aceleracion au pareceria ser mas · pequena de 10 que seria desde un sistema de referencia en el cual la velocidad horizontal respecto a nosotros fuera muy peque-

122 SUPERPOSICION DE VElOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cop. 4

(a) (b)

(c) (d)

FIG. 4 .2. 2 . Exposiciones suces;vas a intervalos vniformes del patron est6ndar desde el eual 10 pelota es soltada electromagneticamente. (( artesia de Educat ional Services , Inc.)

iia 0 nula. La raz6n de los dos valores de 1a aceleracion es 1 - (v!/ c'), donde c es 1a velocidad de la luz (186000 millas/seg 0 3 X lOB m/seg). Esta fraccion no difiere de la unidad en ma.s de un centesimo del uno por ciento hasta que iI. es del orden de 2 000 millas/ seg. Como no encontramos situaciones en lar. cuales los objetos de tamalio ordinario se muevan a velocidades tan fantasticas, nuestro rango ordinario de expe­riencia flsica no nos prepara para este fenomeno; es incluso menos detectable que la no uniformidad de g 10 era para Galileo. Sin embargo, tales efectos se vuelven no solamente observables, sino bastante pronunciados, cuando en los grandes aceleradores se trata con particulas subatomicas que se mueven con velocidades proximas a las de Ja luz. En este nuevo rango de la experiencia ffsica, no existe dud a de que los movi­mientos a angulos rectos entre sf no son independientes. Nuestra conclusion respecto a su independencia, basad a en observaciones tales como las de las figuras 4.2.1 y 4.2.2 , refleja el hecho de que bajo circunstancias ordinarias la dependencia es inobservable­mente pequeiia. 'En el rango apropiado de la experiencia, la suposicion de su indepen­dencia es mlly precisa y extremadamente uti!.

4.2 SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS 123

(e) (f)

(g) (h)

La suposicion de Galileo quedo profundamente sumergida en la teoria cientffica; parecia tan razonable y demostro ser tan util en sus consecuencias que ninguna duda de su veracidad 0 su exactitud se hizo durante 250 aiios, hasta que problemas par­ticularmente de una nueva era, problemas concernientes a la electricidad, el magnetismo y la luz, condujeron a Einstein a reexaminar sistematicamente nuestras concepciones de espacio y tiempo y nuestros procedimientos para medir estas cantidades. En esta forma, el desaflo a la idea de la independencia de moyimientos no v,ino por la obser­vacion directa de una dependencia, sino de un alcance nuevo y diferente de la expe­riencia y la teoria.

Para futura referencia, sera util notar el papel que tUYO la luz en los experimentos de las figuras 4.2.1 y 4.2.2. Las observaciones utilizan la luz en una forma muy directa y las inferencias que sacamos de las fotograflas utilizan implicitamente la idea de que la luz se propaga tan rapidamente que, en las circunstancias fisicas dadas, ninguna expli­cacion necesita hacerse de los interval os involucrados en su propagacion. Lo mismo serra cierto para otras versiones de estos experimentos, inc1uso aqueUos que no utili-

124 SUPERPOSI CION DE VELOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cop. 4

zaron una tecnica fotografica. iSin embargo, si estuvieramos observando los movi­mientos de objetos muy lejanos 0 si los objetos se movie ran con velocidades compara­bles a las de la luz, ya no podriamos olvidar tan casualmente los intervalos asociados con la propagaci6n de la IlIz de un punto a otro en nuestro sistema!

4.3 MOVIMIENTO DE PROYECTILES: VELOCIDAD INICIAL HORIZONTAL

Limitandonos a un rango apropiado de velocidades, investiguemos las consecuen­cias aritmeticas de las proposiciones: J) que cada movimiento en el caso del proyectil (horizontal y vertical) se comporta como si sOlo el estuviera presente y 2) que el movimiento horizontal permanece uniforme y sin aceleraci6n. Consideremos la pro­yecci6n de una pelota con velocidad horizontal inicial como en la figura 4.2.1; refira­mos las posiciones de la pelota a un sistema de ejes coordenados x y y como en la figura 4.3.1, con la posici6n inicial en el origen de coordenadas. Usando g para de no­tar el valor absoluto de la aceleraci6n debida a la graved ad , v., para denotar Ia: ve­locidad horizontal uniforme y midiendo t desde el instante de proyecci6n, las ecua­ciones cinematicas (1.12.1) Y (1.12.2) dan:

Para el mov.imiento horizontal :

V..r · = V.o:r . constante,

Para el movimiento vertical :

Vu = -gl,

y = - -j-gt' .

(4.3.1)

(4.3.2)

(4.3.3 )

(4.3.4 )

FIG. 4.3.1. Ejes de posicion , positivos hade 10 derecha y hecia arriba . Parficula proyectodo horizontolmente desde 10, 0) ,

y

r H

+

• x • + •

•

•

~" I

Asi, en cualquier instante t, diriamos que conocemos los valores por separado de ambas coordenadas x y y, y podrfamos localizar la posici6n del proyectil en el plano. Esto es 10 que se quiere decir con una sLlperposicion simple de los dos movimientos; mientras la partfcula sufre un desplazamiento horizontal de 0 a x, simulUineamente sufre un desplazamiento vertical de 0 a y. EI <;tesplazamiento total 0 resultante es desde el punto (0, 0) en la figura 4.3.1 hasta el . (x, y). Como para cualquier valor de x hay un valor correspondiente de y , notamos que y puede considerarse como una funci6n de x y esta funci6n puede obtenerse eliminando t de las ecuaciones (4.3.2) y (4.3.4): de la ecuaci6n (4.3.2) . tenemos t = x / VOf '

Sustituyendo esta ecuaci6n para t en (4.3.4), obtenemos

(4.3.5)

4.3 MOVIMIENTO DE PROYECTlLES, VELOCIDAD INICIAL HORIZONTAL 125

Comparando este resultado con la discusion de la seccion 3.6 y el problema 3.4, reco­nocemos la ecuacion (4.3.51 como la de una panibola,

(4.3.6)

con p negativa; es decir, una panibola que pasa a traves del origen, que se abre hacia abajo y su eje coincide con el eje y. Como el fenomeno ffsico descrito por la ecua­cion (4.3.5) principia en el origen, la rama izquierda de la parabola en el tercer cuadrante no tiene significado y nuestro interc~s esta en la rama que se encuentra en el cuarto cuadrante. La ecuacion (4.3.5) representa el camino 0 trayectoria del pro­yectil en el espacio y predice que esta trayectoria es una ~emiparabola.

Galileo obtuvo este mismo resultado a traves del analisis geometrico mas ela­borado y problematico aludido en relacion con la figura 3.1.2 y sus escritos revel an algo de la excitacion y el triunfo que experimento al establecer esta relacion entre la trayeetoria de un objeto fisico y una abstraccion matematica, una parabola, cuyas propiedades y caracteristicas eran ya ampliamente conocidas y exploradas. Una teoria ffsica simple produce un resultado matematico que ilumina y ordena toda una clase de eventos: con una velocidad inicial Vo " mayor, p es mas grande y la parabola es mas ancha; una aceleracion vertical mas grande, si fuera aun uniforme, produciria simple­mente una parabola mas angosta; si el suelo esta a una distancia H por abajo del punto de proyeccion, el alcance horizontal del movimiento, R. e~ta dado por la amplitud de Ii parabola a una distancia H de su vertice:

R = vox'V2H/ g. (4.3.7)

(Vease la Figura 4.3.1 para la interpretacion geometrica de R y H.)

PROBLEMA 4.1. a) Encuentrese la ecuacion (4.3.7) por medio de (4.3.5). b) Si un objeto se hace rodar 0 deslizar por el horde de una mesa, es muy iacil deter­

minar su velocidad horizontal inicial a partir de .Jas medici ones de R y H. Uevese a cabo tal experimento y calculese la velocidad horizontal.

c) Suponga que esta parado sobre un acantilado, se dispone de piedras y de un crono­metro, pero el acantilado tiene una pendiente que imposibilita arrojar una piedra verticalmente hasta el pie del mismo. ~Es posible determinar la altura del acantilado? ~C6mo? ~Que con­diciones se deben satisfacer?

En cualquier otra circunstancia en la que una partlcula es proy'ectada a velocidad uniforme en una direccion y es acelerada uniformemente a angulos rectos, inmedia­tamente reconocemos que su trayectoria debe ser" una parabola. Encontraremos exacta­mente est a situacion con pequeiias particulas cargadas electricamente que se mlleven entre las placas cargadas de un condensador, bajo circunstancias en las que los efectos gravitacionales son enteramente despreciables, pero la descripcion matematica perma­neee sin alteracion. Este ordenamiento de amplias clases de eventos y de fenomenos enleramente diferentes bajo una representacion malematica es caracterlstico de la ciencia y veremos muchos ejemplos adicionales, mas amplios en SlI alcance que este.

126 SUPERPOSICI6N DE VElOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cap. 4

4.4 IDEALIZACIONES EN LA DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Galileo se daba perfectamente cuenta de las objeciones y eriticas que la cieneia escolastica harfa a sus idealizaciones:

Sagreda: uEI eje de la parabola a 10 largo del cual imaginamos el mOVlmlento natural de un cuerpo. que cae es perpendicular a una superficie horizontal y termina en el centro de la Tierra y como la parabola se desvia mas y mas de su eje, ningtin proyectil puede nunca alcanzar el centro de la Tierra 0, si 10 hace, como purece necesario, entonces la trayectoria del proyectil debe transformarse en alguna otra curva muy diferente a la parabola."

Simplicia: "A estas dificultades, yo puedo afiadir otras. Una de est as es que su­ponemos el plano horizontal, que no se inelina ni hacia arriba ni hacia abajo, representado por una recta ... con forme se parte de la mitad de la recta y se va hacia cualquier extremo, se aleja mas y mas del centro de la Tierra y esta, por tanto, yendo constantemente hacia arriba . Por consiguiente, se sigue que el movi­miento no puede permanecer uniforme para una distancia cualquiera, sino que debe disminuir continuamente. Ademas, no yeo como es posible evitar la resis­tencia del medio que debe destruir la uniformidad del movimiento horizontal y cambiar la ley de aceleraci6n. Estas diversas dificultades hacen que sea altamente improbable que un resultado obtenido de tal hipotesis tan poco confiable sea verdadero en la pnictica."

Y Galileo contest a de una forma muy moderna, tomando exactamente la posicion que hoy tomaria cualquier cientifico en su trabajo diario:

Salvial;: "Todas est as dificultades y objeciones que usted propone estan tan bien fundadas . .. que estoy presto a admitirlas, 10 cual real mente creo que nuestro autor tam bien haria. Concedo .. . que ni e!' movimiento horizontal es uniforme ni que la aceleracion natural esta en la razon supuesta, ni la trayectoria del pro­yecti! es una parabola . . . .

"En su M ecdnica, Arquimedes da por hecho que el brazo de una balanza es una recta, cada punto del cual es equidistante del centro (de la Tierra), y que las cuerdas de las cuales cuerpos pesados estan suspendidos son paralelas entre sl. Algunos consideran permisible esta suposici6n, porque en la pra.ctica, nuestros instrumentos y las distancias involucradas son tan pequefias en com­paraci6n con la enorme distancia al centro de la Tierra, que podemos considerar un minuto de areo de un cfrculo maximo como una recta y podemos considerar las perpendiculares bajadas de sus extremos como paralelas. Pues si en la prac­tica real uno tuviera que considerar tales cantidades pequefias, seria necesario antes de todo criticar a los arquitectos, quienes presumen que, por el uso de la plomada, levantan altas torres con lados paralelos . ...

"Cuando deseamos aplicar nuestras conclusiones probadas a distancias las cunles, aunque finitus, son muy grandes, es necesario pata nosotros inferir .:.

4.5 VECTORES Y PARES ORDENADOS DE NUMEROS 127

que correcci6n va a hacerse. . .. EI alcance de nuestros proyectiles .. . nunea excedeni cuatro de aquellas millas de las cllales muchos miles nOs separan del centro de la Tierra y como estas 'trayectorias terminan sobre la superficie de la Tierra, solamente cambios muy !igeros pueden tener lugar en su figura para­b6lica ....

"Por 10 que ·respecta a la perturbaci6n resultante de la resistencia del medio, esta es mas considerable y no se somete, debido a 'lIS muchas form as, a leyes fijas y a una descripci6n exacta. Asi, si consideramos solamente la resistencia que el aire ofrece a los movimientos estudiados por 110sotros, veremos que los perturba todos en una infinita variedad de maneras correspondiendo a la infinita varied ad en la forma, paso y velocidad de los proyectiles ....

"De estas propiedades ... infinitas en numero ... no es posibie dar una descripci6n exacta; por tanto, a fin de manejar este asunto de una maner" cien­tifica, es necesario apartarse de estas dificultades y, habiendo descubierto y de­mostrado los teoremas en el caso de no haber resist en cia, usarlos y aplicarlos con tales limitaciones como la experiencia enseiiara."

Es por la clara articulacion de estas actitudes y formas de trabajo, asi como por los resultados y conocimientos que public6, que Galileo es frecuentemente llamado el padre de la ciencia moderna.

EI cientifico moderno sigue este consejo por medio de entrenamiento y habito. AI primer resultado idealizado en una investigaci6n se Ie llama frecuentemente analisis o teoria de primer orden. Si se requiere una precisi6n mas alta, un calculo 0 teoria de segllndo orden proporciona pequeiias correcciones que son aplicadas a los resultados de primer orden. (Los term in os "primero y segundo orden" se refieren a magnitud relativa y al hecho de que los terminos de correcci6n son pequeiios.) Los terminos de correcci6n pueden no demandar alta exactitud en si mismos: isi la correcci6n puede ser estimada apraximadamente dentro de un 20% de su valor, y si la corrccci6n es alrededor del 10% del termino de primer orden. la incenid llmbre rined Cs ,,,lamenle un 2% !

En el caso del movimiento de proyectiles, se calculan tablas que ~orrigen la teoria de primer orden por efectos de variaci6n de la resistencia del aire, viento e incluso (para proyectiles de muy largo alcance) de la rotaci6n de la Tierra.

Nuestro amilisis a primer orden del movimiento de proyectiles nos deja ahora con el punto de vista de que la particula en movimiento posee simultaneamente dos velocidades instantaneas Vx Y Vy dadas por las ecuaciones (4.3.1) y (4.3.3), Es natural preguntar: i,podemos pensar que la particula tiene una: sola: velocidad instantanea resuItante, que varia en direcci6n asi como en magnitud, "comlluesta" por v. y V y? ~Que extensi6n 0 modificacion de nuestra concepcion de velocidad podrfa implicar esto? Estas preguntas y sus consecuencias se tratan en las siguientes secciones.

4.5 VECTORES Y PARES ORDENADOS DE NOMEROS

Al crear una cinematica del movimiento rectilineo tuvimos a nuestra disposicion todo el aparato de la aritmetica ordinaria, numeros positivos y negativos; axiomas -::e conmutaci6n y asociaci6n; reglas de adici6n, sustraccion y otras operaciones. Hicimos

128 SUPERPOS1C16N DE VElOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cap. 4

uso de este aparato relacionando posic iones en el movimiento rectilineo con puntos sobre la recta numerada. En el problema que abora confrontamos, el movimiento en un plano, ya hemos usado el esquema cartesiano de representar posiciones por un par ordenado de numeros (x, y), las "coordenadas" de un pun to. (Vease la secci6n 3.1.)

Como la aritmetica de pares ordenados no es tan familiar como la aritmetica ordi nari a, procederemos a establecer algunas de sus definiciones, axiomas y teoremas, usando nuestro problema ffsico como motivaci6n basica. No trataremos de Ilevar a cabo un tratado exhaustive de este tern a matematico. EI estudiante baria bien en sacar ventaja de la secuencia 16gica presentada para probar, paralelamente, su comprensi6n de la estructura basica de la aritmetica ordinaria. Debe recordarse que las motivaciones e interpretaciones ffsicas se estan usando solamente para ayudarle a comprender la nueva aritmetica mas rapida y facilmente, que no so n necesarias para el desarrollo abstracto.

Nuestro primer interes, como en el capitulo I , es el cambio de posici6n. Consi­deremos un desplazamiento de I a 2 como se muestra en la figura 4.5.1. EI despl a­zamiento esta compuesto de proyecciones horizon tales y verticales que ban side Ilamadas A. y A u. Denotamos la recta que un( los puntos 1 y 2 por el simbolo A," y colocamos una f1echa sobre la recta indicando la direcci6n del desplazamiento. EI simbolo A se ll ama vector de desplazamiento ·y est a definido por el par ordenado de numeros A,. y .4"

y 2

• I I :Ay

8 I ----'

A.r

- ----x

FIG. 4.5.1 . " Vector de cambio de posicion " A . A = (A z • A. I. La proyecci6n horizontal A~ y 10 proyecci6n vertical A,. se lIomon "componentes" . La direccion est6 definida por fan 8 == AliI A",.

que se Ilaman ··componentes" horizontal y vertical , respectivamente. Establecemos esta definici6n por medio de los siguientes simbolos:

A = [A , .. A ll]. (4.5.1 )

A . Y A /I pueden, naturalmente, ser positives 0 negativos y corresponder a los des­plazamientos rectilineeos con los que tratamos en el capitulo I y las distancias dirigidas a que se hizo referencia en el capitulo 3.

La direcci6n del vector est a definida por el angulo IJ (como en el caso de la inclinaci6n de una recla en In secci6n 3.2): y

ta n e ( 4.5.2)

:;: En escritura ma'.!.ual u tipognifica, es costumbre usaI' flechas sobre las ·letras, 0 una onda bajo eli as, como A 0 A , para indicar vectores, En material impreso, los vcctores son indicados comlmmenle con negritas, "0010 A.

4.6 AD/CION DE VECTORES 129

La magnitud total del desplazamiento, independientemente de la direccion, es cIaramente la longitud de A la cual esta relacionada con A. y A I/ por el teorema de Pitagoras, siempre y cuando el espado en el cual apliquemos estas ideas sea uno que obedezca la geometria eucIidiana. Por tanto, el valor absoluto de A, denotado por IAI, se toma como la longitud de A y esta definido por

(4.5.3 )

Se sigue entonces que el vector mismo puede siempre "descomponerse" en sus componentes:

IAI cos 0,

IAI senO.

(4.5.4 )

(4.5.5 )

Para resumir: las ecuaciones (4.5.1) hasta la (4.5.5) han side relacionadas con la definicion de un vector de desplazamiento. El vector no necesita ser interpretado como un desplazamiento, sin embargo, y las ecuaciones estarian relacionadas en cual­quier caso con el vector A definido por el par orden ado de numeros [A " A y] no in­terpretado.

4.6 ADlCI6N DE VECTORES

A continuacion, consideramos una suceSlOn de desplazamientos: 1 a 2 seguido por 2 a 3, como se ilustra en la figura 4.6.l. El resultado final es equivalente a un desplazamiento directo C desde 1 hasta 3 con componentes [(A . + E.), (Ay + By)]. El signo mas se refiere a la adicion aritmetica ordinaria de los val ores numericos de las respectivas componentes. En esta forma nos vemos motivados a definir un nuevo con­cepto: el de adici6" vectorial, diciendo que C es el resultado de A + B:

(4.6.1)

La notacion A + B es Hamada sUlna vectorial y significa algo diferente del signo mas de la aritmetica ordinaria, se refiere a la adicion de componentes y a un resultado neto como el que se ilustra en la figura 4.6.l. La longitud de C no es igual a la suma aritmetica de las longitudes de A y B por ejemplo. Sin embargo, el concepto esta clara­mente relacionado con la adicion ordinaria y en lugar de usar un slmbolo diferente, usamos la convencion del signa mas, entendiendo que el signo significa diferentes cosas en los des contextos.

Se sigue entonces de las ecuaciones (4.5.2) hasta la (4.5.5.) que:

Ie! IA + BI

Au + 8 " tana = ---~ . Ax + Bx

v'(A:;-+ B,F+ (A ;;-+ B,Y,

Ie! cos a ,

Ie! sen a .

( 4.6.2)

(4.6.3 )

(4.6.4)

(4.6.5)

130 SUPERPOS1C16N DE VElOC1DADES, MOV1M1ENTO DE PROYECTllES - Cop. 4

3 _-=~~~~:;~~I1r __ 1=:!1-

1 : 1 1 A+B~C 1 A y

y

I I I I " I 1 __ LJ... ___________ I _

1- A.--i B. I x

FIG. 4.6.1. Oesplazom·ientos 5ucesivos desde 1 a 2 a 3 son eqvivolentes a un solo desplozamiento directo de 1 a 3. las componentes del desplozamiento directo son IIA. + B.J. lA , + B,II, ton ex = lA, + B,I/IA. + B,I.

En esta forma, en general, la suma de dos vectores es un tercer vector con una magnitud y direccion diferentes a las de los dos primeros. La definicion (4.6.1) es una representacion aritmecica de 10 que queremos decir por adicion de vectores; la fi­gura 4.6.1 es una represenraci6n geometrica . El equivalente geometrico del calculo en la definicion (4.6.1) es I_ operacion grafica de coloear las f1echas que representan los dos vectores A y B, una detras de la otra y dibujar I_ tercera f1echa C uniendo el origen de I_ primera con el extremo de I_ segunda. EI proceso de adicion puede, natu­ralmente, aplicarse a 3, 4, 5, 0 cualquier numero de vectores y un ejercicio al respecto se sugiere en los problemas 4.3 y 4.4.

La suma de dos 0 mas vectores se llama un vector result ante 0 simplemente re­sultante. EI "vector cero" es, naturalmente, uno con componentes [0, 0] . Un grupo de vectores podr!a muy bien sumarse y dar. cero; esto se ilustrar!a geometricamente cuando el extremo de la ultima flecha coincidiera con el origen de la primera.

PROBLEMA 4.2 . En virtud de Ia definicion (4.6.1 ) de la adicion vectorial. se sigue que la adici6n vectorial es conmutativa:

A + B = B + A.

Esto es, el orden de adicion no altera el resultado final. Usando -los conocimientos de arit· motica ordinaria, demuestrese como esta _severaci6n se sigue de (4.6.1). Despues ilustre50 geometricamente Ia misma idea, sumando recta's apropiadas a la figura 4.6.1 : lIevando a cabo el otro orden posible de adicion de los vectores.

PROBLEMA 4.3. La ley asociativa de la adicion de vectores se expresa:

A + (B + C) =(A + B) + C.

Demuestrese que esta se debe segu ir de la propiedad asociativa semejante para los numeros en la aritmetica ordinaria.

PROBLEMA 4.4. Generalicese la definicion (4.6.1) estableciendo 10 que 50 querda dar a entender por A + B + C + D + . . . en la forma de (4.6.1). Despues ilustre50 geometrica· mente la misma idea, sumando los siguientes vectores (figura 4.6.2):

4.7 MUlTiPLICACI6N DE UN VECTOR POR UN ESCAlAR 131

FIGURA 4.6 .2

Habiendo definido el concepto de adicion vectorial, podemos ahora regresar al vector A y a la siguiente idea simple: podemos tratar las componentes mismas como casos especiales de vectores, paralelos a los ejes

A, = [A " 0], ( 4.6.6)

All = [0, A ,,], (4.6.7)

y entonces se sigue que

A = A,. + AlI , (4.6.8 )

que es simplemente otro aspecto de un vector y sus componentes; cualquier vector puede pensarse como la sllma vectorial de SlIS componentes.

PROBLEMA 4.5. Proporcionese la ilustracion geometrica de (4.6.8) con vectores apropiados.

4.7 MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Definicion de igualdad : se dice que dos vectores A y B (figura 4.7.1) son iguales si sus componentes respectivas son iguales. Es decir, A = B si A . = B. Y A u = By.

Si sumamos dos vectores iguales A + A (figllra 4.7.2), se sigue de Ia. definicion de adicion que

A + A = [2A ,., 2A yJ. (4.7.1)

Este es un vector que tiene Ia misma direccion que A (i.por que?) y el doble de lon­gitud. Asi, nos vemos obligados a decir que A + A = 2A ·= [2A ., 2A y], Y a genera­lizar esta idea definiendo Ia muitiplicacion de un vector por el escalar k:

kA = [kA " kA "J. (4.7.2)

Si k es lin numero p()sitivo, Ia direcct6n de kA es igllal a Ia de A ; si k es un numero negativo, Ia direccion de kA es directamente opuesta a Ia de A. EI simbolo k denota cualquier numero (no necesariamente lin entero) y no tiene propiedades de direccion. Es convencional distinguir k de lin vector por medio del lISO del termino escalar. La definicion (4.7) se denomina "regia de multiplicacion de lin vector por un escalar". Como k podrfa ser una fraccion, por ejemplo l / h. la definicion (4.7.2) tambien in­cIlIye Ia division de lin vector entre un escalar.

132 SUPERPOSI CI6N DE VElOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTllES - Cap. 4

y y

--------~--~~------ x ----+-----~~~---- x

FIGURA 4.7 .1 FIGURA 4.7.2

4.8 SUSTRACCION DE VECTORES

A fin de definir Ia "sustraccion" de vectores, debemos definir primero 10 que que­remos decir por el negativo de un vector, es decir, por el simbolo - A. En aritmetica definimos el negativo de un numero x como el numero que, cuando es sum ado a x, da cero; es decir, x ,+ (- x)= O. Se­guimos exactamente el mismo patron con los vectores, de­finiendo:

(4.8. J )

y es claro de la regIa de adicion (4.6. J) que:

A + ( - A) = O.

EI concepto se ilustra en la figura 4.8.1.

y

--~------------x

FIGURA 4.8 .1

PROBLEMA 4.6. a) Usando una copia de Ia figura 4.6.1 , hagase un esquema del vector -B. Usando Ia representacion grafica, encontrar A + (-B), eserito abreviadamente A - B, como en aritmetica.

b J Suponiendo en Ia figura 4.6.1 que C y B estan dados inicialmente, encuentrese (en un esquema ·gnifico) C - B.

cJ 'Generalicense las ideas desarrolladas ·anteriormente para dar la regia de la sus­traccion de vectores:

A - B = [CA . - B.), (A , - B, )]. (4.8 .2)

Notese que el significado del signo menos en el segundo miembro de (4.8.2) difiere del sig­nificado que tiene en el primer miembro .. en la misma forma que el signa mas, discutido previamente.

4.9 VECTORES DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION

Habiendo establecido est as operacion~ fundamentales necesarias, regresemos a la cuestion original de los desplazamientos y las velocidades en des dimensiones refi­riendonos al desplazamiento del puntd (x" y , ) a otro punto (x" y , ) a 10 largo de ta

4 .9 VECTORES DE DESPLAZAMIENTO. V ELOCIDAD Y ACELERACION 133

trayectoria mostrada en la figura 4.9.1. Los vectores s, y s, del origen a los puntos 1 y 2, respectivamente, se llaman vee tares de posicion, y localizan los puntos 1 y 2 con relacion al origen; puede suponerse que son como los desplazamientos equivalentes del origen a los puntos en cuestion. De nuestra definicion de sustraccion, tenemos

tis

[tlx, tly] = tlx + tly , (4.9.1)

y la direccion de t.s est a determinada por

tan 8 = t.y , Ax

(4.9.2)

FIG. 4 .9 .1. Vectores de posicion S, y 52 Y el vector desplazam iento .:ls = 52 - 5t entre dos puntos sabre una troyectorio; tan e = Iy~ - )'1) 1 lx, - x,l·

y

I I M Y=Y2 -Yl I

__ _ _ .J

uSx=X2 - X l

Af---------------x o

donde t.s se llama vector desplazamiento del punto 1 al punto 2.' (EI hecho de que la particula en cllestion se moviera a 10 largo de la cllrva y no a 10 largo de la flecha As no tiene importancia; recordemos nuevamente que el desplazamiento As en el movi­mien to rectilfneo no es necesariamente igual a la distancia recorrida por la part1cula, sino que es simplemente s, - S,.) Si hacemos a AX cada vez mas pequena, llevamos el pun to 2 mas cerca del punto 1 y la indinacion () de As continua variando. Si existe el lfmite apropiado, el lfmite de la inclinacion de As est a determinado por

lim tan 8 = lim Ay . Ax _O Ax-+O AX

(4.9.3)

Reconocemos en el s'egllndo miembro de (4.9.3) el numero que intuitivamente asocia­mos con la pendien·te de una tangente a la curva en nuestra discus ion del capitulo l. Aqui la pendiente tiene significado como una direccion real en el espacio, la "direccion instantanea" de movimiento en cualquier punto a 10 largo de una trayectoria es, por tanto, concebible como la direccion de la tangente a la trayectoria en ese pllnto.

AllOra podemos examinar nuestra medida de la variacion en el cambio de la posicion, principiando como 10 hicimos en el capitUlo 1 con la velocidad media. Re­firiendonos nllevamente a la figura 4.9.1 y a la ecuacion (4.9 .1) , escribimos

(4.9.4 )

Como el intervaJo AI es una can tid ad escalar, la ecuaClon (4.8.4) se sigue directa­mente de la regIa (4.7.2). Nuestros nuevos terminos tienen todas las propiedades vectoriales previa mente asociadas con el desplazamiento; recordemos que la division entre un escaJar da un nuevo vector, paralelo al primero.

Expresando la ecuacion (4.9.4) verbal mente, notamos que podemos definir una velocidad media entre las posiciones 1 y 2, la cual tiene la magnitlld IAs l/ At y la direc-

134 SUPERPOSICI6N DE VELOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cap. 4

cion de Ll.s. Las componentes de esta velocidad son Ll.x/ Ll.! y Ll.y/ Ll.t, las cuales reconoce­mos como V. y Vy en el sistema de simbolos usados en el capitUlo '1.

Ahora, siempre que existan los limites en el sentido discutido en la seccion 3.13.

I' Ll.s 1m -<1 <-0 Ll.t [(I ' Ll.x) (I' Ll.Y)] 1m -, 1m-

<1<_0 Ll./ <1<-0 Ll./

I' Ll.x I' Ll.y = 1m - + 1m -, <1 '_0 Ll.! <1 ,-0 Ll.!

la cual traduciriamos en la abreviacion de los simbolos de velocidad como

(4.9.5 )

Us amos simbolos vectoriales porque el par ordenado de numeros en (4.9.5) debe tener todas las propiedades vectoriales asociadas con desplazamientos, siendo derivados de estos ultimos por la mUltiplicacion escalar por 1/ Ll./.

Como v es simplemente una abreviacion de

I, Ll.s 1m -,

<1 <-0 Ll./

esperamos que la direccion de este vector sea la direccion limite de e.s dada por la ecuacion (4.9.3), es decir, esperamos que v sea tangente a la trayectoria en el punto J. (Aceptamos este resultado plausible sin tomar tiempo para una demostracion rigurosa.) Entonces tenemos tambien que Ivl = Vv.' + v', y el angulo de inclinacion8 del vector

,r, 11

velocidad Ivl esta determinado por tan e = v.y /v,,, Estos resultados contestan las preguntas hechas al final de la seccion 4.4. Con

cualquier punto a 10 largo de una trayectoria, podemos asociar un vector v para la velocidad instantanea que es tangente a la trayectoria en ese punto. Las componentes de este vector resultante son las velocidades instantaneas v. y vu' que ya usamos en nuestra discusion del movimiento de proyectiles, pero que no unimos en una velocidad resu1tante; ahora podemos justificar que se puede hacer as!. La figura 4.9.2 muestra el vector v y sus componentes en varios puntos sobre la trayectoria del movimiento del proyectil discutido en la sec cion 4.3.

En la seccion 1.8 hicimos notar que el concepto de velocidad estaria sujeto a evo­lucion y extension posteriores. Note como ahora esto se ha llevado a cabo.

Como la aceleracion se deriva de los cam bios de velocidad (esto es, Ll.v) por medio de otra operacion de multiplicacion por la cantidad escalar J / Ll.t, la aceleracion en dos dimensiones debe tener las mismas propiedades vectoriales que el desplazamiento y la velocidad: .

a "" lim~.': = [a" au) = a, + al/' A/_O I..l.t

(4.9.6 )

La direccion de aceleracion instantanea, sin embargo, no necesita ser tangente a la trayectoria; en el movimiento del proyectil en la figura 4.9.2 el vector aceleracion tiene magnitud constante y se dibujaria dirigido hacia abajo en cada posicion instan­tanea. En este caso a = [0, - g).

4 .10 MOV1M1ENTO DE PROYECTILES, VELOCI DAD INICIAL NO HORIZONTAL 135

y

FIG. 4 .9 , 2. Movimiento de un proyectil. Velocidod resultante v = VO.:e + V u Y Ivl = Vu~ + (/1, Or II

Conforme el movimiento prosigue a 10 largo de 10 trayectorio , UU,r. permanece con stante , pera VII 'se vuelve mas negative; por tonto v cambia en mognitud y en direccion. La oceleroci6n a tjene compo­nente horizontal 0 y componente vertical - gi a = [0, - g). aso 1\ 4 es el vector desplazomiento desde el arigen haste el punta 4, 10 direccion de 1Uu " 4 no es tangente a 10 troyectoria en el punta 4 ; pera 10 velocidad instontanea v~ es tangente a 10 troyectoria en ese punta.

PROBLEMA 4.7. Una par,ticula en cierto instant. tiene una componente horizontal de la velo­cidad de +3 m/ seg y una componente vertical de +4 m/ seg. a) i.Cual es 1a magnitud y direcci6n de la velocidad resultante? b) Contestese la misma pregunta para el caso v, = +42 pies/ 5Og; v , = -21 pies/ seg. [Respllesta: a) 5 m/seg; tan e = ¥.l-l

PROBLEMA 4.8. i.Cmlles son las componentes vertical y horizontal de una velocidad resul­tante de 25 m/5Og, a) dirigida. a 38 ' sobre la horizontal; b) dirigida a 20' por abajo de la horizontal? [Respliesta: b) +24 m/ seg; -8.6 m/ seg.)

Cualquier par ordenado de numeros que obedezca la aritmetica definida en las secciones precedentes se llama vector. Los vectores A y B pueden representar entes matematicos definidos por pares orden ados de numeros sin interpretaci6n ffsica alguna, o pueden interpretarse como representacion de desplazamientos, velocidades 0 acelera­ciones, dependiendo del contexto en el cual sean aplicados. Cualquier cantidad f1sica que, por definicion debe obedecer la aritmetica vectorial se llama cantidad vectorial.

4.10 MOVIMIENTO DE PROYECTILES: VELOCIDAD INICIAL NO DIRIGIDA HORIZONTALMENTE

En la secci6n 4.3 principiamos la investigaci6n del movimiento de proyectiles con un caso especial simple: el movimiento inicial del proyectil era horizontal. Esta inves­tigacion, sin embargo, nos ha conducido a perfeccionar y ampliar nuestras ideas y ahora el refinamiento es retroalimentado al punto de partida. El concepto recientemente desarrollado de obtener una velocidad resultante por la adici6n de componentes y el

136 SUPERPOSICl6N DE VELOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cap. 4

proceso inverso de descomponer una velocidad en sus componentes nos da un metoda para tratar con el caso general del movimiento de proyectiles, en el cua! se Ie da a la particula una velocidad inicial Vo formando cierto angulo a con la horizontal (figura 4.10.1). Esta es precisamente la secuencia · de razonamiento adopt ada por Galileo, en el Cuarto dla de las Dos nuevas ciencias, excepto que estamos usando vocabulario y slmbolos mas modemos.

FIG. 4.10.1, Vector velocidoQ inicial para el coso general del movimiento de un pro­yectil. EI 6ngulo a puede · estor por arriba o por abajo de 10 horizontal; en el ultimo coso puede ser considerodo negativo. Compo­nentes: Vo:!) == Do cos a, Voy = Vo sen a, donde v, == Iv.l.

Denotando la magnitud del vector velocidad por medio de la notacion simple Vo

(en lugar de la mas compJicada IVol), vemos que el nuevo movimiento debe consistir de la superposicion de una parte horizontal con componente de la velocidad uniforme vo.= Vo

cos a y una parte vertical con aceleracion uniforme y una velocidad inicial vertical Voy = Vo sen a. Si la componente vertical inicial esta dirigida hada arriba, el proyectil debe describir una trayectoria en la cual se levanta y despues cae, como en los casos tratados en los capltulos 1 y 2 sin movim,ento horizontal simultaneo.

A fin de hacer una investigacion sistematica de las predicciones que pueden sacarse de las relaciones cinematicas, escribamos las relaciones importantes en nuestro nuevo caso, tomando el origen del movimiento en el origen de las coordenadas (x, y):

MOVIMIENTO HORIZONTAL

Componente de Ia velocidad inicial: UO,f == V-o cos a.

Componente de Ia velocidad en el tiempo I: v,· = v" = v, cos a (constante).

Posici6n en el tiempo I: x = (vocos a)l.

Relaci6n velocidad-posici6n:

MOVIMIENTO VERTICAL

Componente de Ia velocidad inicial: UO!l == Uusefi ·a.

Componente de Ia veIocidad en eI tiempo I: v" = -gl + Vo sen a [de Ja ecuaci6n (1.12.1)].

Posici6nen el tiempo I: Relaci6n velocidad-posici6n:

y = -(t)gl' + (vosena)! [de Iaecuaci6n (1.12.2)].

v: - v;" = -2gy [de Ja ecuaci6n (1.12.3)].

MOVIMIENTOCOMBINADO

Ecuaci6n de Ia trayectoria: resoIviendo para I en (4.10.3) y sustituyendo en (4.10.6); viilida siempre y cuando cos a "'" 0;

Magnitud v de Ia veIocidad resultante v en cualquier instante:

Direcci6n 8 de v en cualquier instante:

y = - 2 g 2 x 2 + (tana)x. 2vo cos a

v = yv; + v~.

tan 8 v.

(4.10.1)

(4.10.2)

(4.10.3)

(4.10.4)

(4.10.5) (4.10.6 ) (4.10.7)

(4.10.R)

(4.10.9)

(4.10.10) .

4. 11 ANALISIS DE LAS ECUACIONES PARA EL PROYECTIL 137

4.11 ANALISIS DE LAS ECUACIONES PARA EL PROYECTIL

La ecuacion (4.1 0.8) es la ecuacion de la trayectoria, valida para cos a =1= 0, ob­tenida por eliminacion de t de (4.10.3) y (4.10.6); es decir, es la contraparte de la ecuacion (4.3.5). Debe contener la mayor parte de la his tori a del movimiento general del proyectil; sujetemosla a un anal isis completo ·y a lIna interpretacion de lIna manera ilustrativa como la utilizada por lin ffsico teorico:

I) lTiene sentido la eCllacion (4.10.8) respecto a los casos especiales de los cuales ya conocemos la respuesta'?

Supongamos que a [= 0, esto corresponde al caso especial tratado en la seccion 4.3. Como cos 0= I y tan 0 = 0, la ecuacion (4.10.8) se redllce entonces a

y =

que corresponde exactamente a la ecuaCJOn (4.3.5) y proporciona una comprobacion y un reforzamiento de nuestras ideas. Si esta reduccion al caso especial no hubiera fllncionado, buscarfamos un error algebraico en nuestro amiIisis.

Supongamos que ,,, '= + (1T/ 2) 0 90°; ya no nos podemos referir a la ecuacion (4.10.8), ya que cos (1T / 2) ,= 0 y (4.10.8) se obtuvo tomando r = xlvo cos (J( de (4.10.3). Sin embargo, 'podemos regresar a (4.10.3) y (4.10.6). Como cos (1T/ 2) = 0 y sen (1T / 2) ,= 1, obtenemos

x = 0; y = -tgt2 + Vol,

las ecuacion.es para el movimiento de un objeto disparado vertical mente en el aire. Esto nuevamente comprueba nuestro anruisis. [Supongamos que a se toma como (- 1TI2) , ~que significa esto? lSe reducen las ecuaciones a un resultado sensa to?)

2) lCmil es el canicter de la trayectoria general como es presentada en la ecua­cion (4.1O.8)? lEs esta aun una parabola? Puede demostrarse que y = ax' ,+ bx es la ecuacion de una parabola con Sll eje paralelo al eje y, pero con su vertice desplazado del origen. Como la eCllacion (4.10.8) es de esta forma, representa una parabola loea­lizada sobre los ejes (x, y) como se muestra en la figura (4.11.1) .

3) i,Donde esta el vert ice de la parabola localizada en las coordenadas (x, y) y cuando se logra est a posicion? Estamos pregllntando por los valores de t, x y y cuando v. '= O. Estos valores se obtendran de las ecuaciones (4.10.5), (4.\0.7) y (4.10.3) . Veriflquense las siguientes conclllsiones:

En el vertice: (.vcrtice Vo sena

= -"---

XYerlice =

g

v~sen2 a - - -- ,

2g

v~ sena cos a g

(4.11.1)

(4.11.2)

138 SUPERPOSICI6N DE VElOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTllES - Cap. 4

V6 sen 2a -2g'

(4.11.3 )

la ultima ecuacion resulta de usar la relacion trigonometrica sen 2a .= 2 sen a cos ",. La ecuaci6n (4.11.2) da la altura alcanzada por el proyectil sobre el nivel del disparo inicial. i,C6mo cambia est a altura si se aumenta la velocidad inicial? i,Si se disminuye el angulo ,o;?

y Vertice

FIG. 4.11.1 Gr6fica de 10 ecuoci6n de 10 troyec­toria (4 . 1 D.S): Parabola co'n eje porolelo 01 eje y y vertice des plaza do del odgen. La curvo pun­teado a 10 Izquierdo del or igen no fiene significado Fisico en este contexto. La curve puntea da a 10 derecha del' punto R t.endria significado como can ­tinuacion de 10 trayectoria si el punta 0 est6 arriba del nlvel de piso.

h

__ ~o~ ______ ~ ____ ~ ___ x / R\

I \ I \

I \

4.12 BLANCOS Y ALCANCES

EI experimento ilustrado en la figura 4.2.1 implica que una bala, apuntada a un objeto suspendido en el mismo nivel horizontal , golpeara al objeto si este ultimo se deja caer en el instante que la bala es disparada. i,Que predice nuestro analisis sobre el mismo experimento Hevado a cabo con el arma apuntada a un blanco que no est a en el mis­mo nivel horizontal? Supongamos que el blanco se deja caer desde la posici6n (L, h) en el instante que el arma es disparada, como se ilustra en la figura 4.12.1. Resolvamos para la posicion vertical YL de la bala y Y~ del blanco despues del tiempo t = L I u,,< cos a que Ie toma a la bala alcanzar la posici6n horizontal del blanco.

y Blanco

l)fr /1 ! I / I

1//: ! :lh=L (ana

/ I I L.. ..... - ___ I I I

I I I I

x I a

~------L ----~~

FIG. 4.12.1. EI canon en el origen est6 apuntando 01 blanco A. EI blanco cae ,en el in stante que el canon es disparcdo. EI proyectil Ie pega 01 blanco en B. EI movim iento del proyectil puede verse como una superposici6n de caida libre a partir de un movimienfo rectilineo uniforme a 10 largo de 10 recto ~A.

De la ecuaci6n (4.10.8) la bala est a en:

Y L = - 2v{ C~S2 a L 2 + L tan a.

o De la ecuacion cinematica de caida vertical s" = h, el blanco estara en el mismo

instante en

--g---- L2 + L tan a. 2v 2 cos2 a o

4.1 2 BLANCOS Y ALCANCES 139

En esta forma, YL = Y~; la bala y el blanco estan en el mismo I ugar en el mismo instante; i la bala dara en el blanco! Depp.ndiendo de la magnitud de la velocidad inicial vo, los dos objetos pueden encontrarse mientras la bala aun se esta elevando (vo grande) 0" con Vo pequeiia, los objetos podrlan encontrarse en algun punto tal como B en la figura 4.12.1. Si el pi so est a localizado en el nivel y '= 0, Vo tiene un valor cdtico por abajo del cual la bala y el blanco Jlegarian al piso sin encontrarse:

Vo . ccit = V gL/sen2a.

PROBLEMA 4.9. Verifiquense Jas aseveraciones precedentes pOl' medio de la interpretacion de las ecuaciones apropiadas.

Otra interpretacion de estos resultados es la siguiente: el movimiento a 10 largo de la trayectoria parabolica (figura 4.12.1) puede pensarse como la superposicion de un movimiento uniforme con velocidad Vo a 10 largo de la recta OA combinado con caida Jibre a 10 largo de varias distancias desde esta recta, como se muestra en los segmentos punteados en la figura.

Dos numeros particularmente interesantes que describen el vuelo de un proyectil son el tiempo de vuelo y su alcance horizontal. Consideremos el caso en el cual el proyectil es disparado sobre terre no horizontal de manera que parte del nivel y '= 0 y regresa al nivel y 1= O. EI tiempo de vuelo se obtiene entonces haciendo y = 0 en In ecuacion (4.10.6):

- igl' + (vo sena)t = O.

Esta ecuacion tiene dos soluciones: t = 0, que corresponde al principio del movimiento en (0, 0) y un segundo valor de I, denotado por Iii ' dado por

2vo sena I R = ,

g (4.12. I )

que es el tiempo de vuelo. EI alcance horizontal se obtiene haciendo y = 0 en la ecun­cion (4.10.8), dando

-g 2 + sena 0 "',--'<-;,-- x -- x = 2v2 COS2 a COS a .

La solucion x = 0 corresponde al punto de partida. La otra solucion, denotada por R, es

2v~ R = - - sena COS a g

v2

--'! sen 201. g

(Vease la figura 4.11.1 para una definicion gnifica de R.)

(4.12.2)

La ecuacion (4.12.2) nos informa como el alcance del proyectil sobre el terreno horizontal debe depepder de la magnitud y elevacion de su velocidad inicial. Examine­mos la dependencia. Si la velocidad inicial Vo (velocidad de salida) del proyectil es aumentada mientras se mantiene a constante, el a1cance aumenta; esto no es una sor­presa, pero no es tan obvio que el alcance deba depender del cuadrado de la velocidad inicial y jdeba aumentar por un factor de cuatro cuando la velocidad inicial se duplica!

140 SUPERPOSICIQN DE VElOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cop. 4

Si Vu se mantiene canst ante mientras '" se aumenta desde val ores pequeiios, R aumenta, como esperariamos. Pero cuando ", = "./ 4 0 45 °, 2", se vuelve 7r/ 2 y la fun­ci6n seno tiene su valor maximo, + 1. Can forme a aumenta mas alia de este punta, sen 2a disminuye. iEsto significa ql;e el aleance horizontal R debe tener un valor maxi­mo (para una velocidad inicial constante) para una elevacion de la velocidad inicial de 45°!

En las Dos nuevas Ciencias, Galneo estaba encantado obviamente par este resul-. tado, pues hace que Sagredo diga :

"La fuerza de las demostraciones rigurosas tales como las que ocurren en matematicas me lIena de admiracion y encanto. De los relatos dados par caiio­neros, ya sabia sabre el hecho de que en el uso de caiiones y morteros, e1 maximo a!cance ... se logra cuando la elevacion es de 45 ° ... ; pero entender por que .I'ucede esto sobrepasa la simple informacion obtenida por el testimonio de otros o inc/usa par la experimentacion repetida." (Las italicas son nuestras.)

Y Salviati se une:

"La que dice es verdad. EI co nacimiento de un solo hecho adquirido a traves del descubrimiento de sus causas prepara a la mente para entender y determinar otros hechos sin necesidad de recurrir al experimento, precisamente como en el caso presente, donde par argumentacion solamente el Autor prueba can certeza que el a!cance maximo ocurre cuando la elevacion es de 45 °. Entonces el de­muestra 10 que quiza nunca ha sido observado en la experiencia, a saber que de otros disparos, aquellos que exceden a son menores de 45° por cantidades iguales tienen alcances iguales . ... "

PROBLEMA 4.10. De la ecuaci6n (4.12.2) , demuestrese la ultima aseveraci6n. (Sugerencia: Mgase III = 45 ' + f3 e interpretense los resultados para casos donde f3 tenga valores positivos y negativos de igual magnitud.)

La actitud de Galileo, como se expreso en estas citas, revel a varias facetas de la empresa cientifica. Primero, hay un gran deleite en un elegante y simple resultado matematico; hay nuevamente el enfasis en la matematizacion que discutimos en el capi­tulo 2; despues, tam bien el comentario de que no se necesita seguir recurriendo al experimento por siempre, sino que, despues de tener una validez adecuada de la base de una teo ria, se buscan resultados y consecuencias can confianza. Finalmente esta el comentario de que ahora "comprendemos por que sucede esto." Esto a!canza la gran pregunta filosofica sobre Ia naturaleza de lit explicacion cientifica, una pregunta que reaparece repetidamente en cualquier estudio de la base y el significado del conoci­miento cientifico.

;,Hasta que punto la teoria nos ha "expJicado" a dado comprension al hecho pre­viamente observado de que el a!cance maximo se obtiene con un angulo de elevaci6n de 45°? Ciertamente este ya no es un hecho empirico aislado sobre el movimiento del proyectil, no es simplemente una coincidencia no relacionada a otros factores . Esta prediccion es una consecuencia necesaria de: 1) las definiciones de velocidad y acelera-

4.13 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 141

ci6n, 2) el hecho de que la caida libre es uniformemente acelerada, 3) el hecho de que los dos movimientos perpendiculares entre si son independientes. Es en terminos de estas ideas basicas, las cuales son usadas con exito para predecir much os otros detalles del movimiento, que nosotros "comprendemos" la razon de la propiedad especial de un angulo de elevaci6n de 45° y vemos todas las otras propiedades del movimiento, pre­dichas y unificadas por una teoria simple. Pero, por que la caida libre es uniforme­mente acelerada y por que las componentes' de la velocidad son independientes, son ideas que no tienen explicaci6n en el presente nivel de investigaci6n. Se han dado por supuestas, y, de hecho, ya hemos indicado que ni siquiera son absolutamente correctas. La comprension que tenemos en este punto parece que es una comprension relativa, mas profunda que cualquier observaci6n de los fenomenos como hechos empiricos, no relacionados, pero bastante lejos de una comprensi6n que tambien incluya una expli­cacion de la uniformidad de la aceleracion y la independencia de las componentes de I a velocidad.

EI siguiente nivel de la investigacion esta dirigido entonces hacia el origen de las ultimas restricciones, y, si tiene exito, la comprension se profundiza aun mas por la explicacion de estas restricciones en terminos de ideas mas fundamentales aun. Pero esta cadena de investigaci6n nunca termina. Detras de cada nivel alcanzado se encuen­tra un nivel mas profundo, respecto al cual preguntas posteriores son hechas por la mente investlgadora.

4 .13 PREGUNTAS Y PROBLEMAS

4.11. Un objeto es proyectado horizontal­mente y se ve que su trayectoria es una semiparabola. i,C6mo ve la misma trayectoria uri observador en un sistema de ejes (siste­ma de referencia.) que se mueven con la misma velocidad horizontal que el objeto? (Yease la figura 4.2.2.)

4.12. Una pelota es arrojada hacia arriba desde un punto sobre un carro de ferrocarril en movimiento. LD6nde cae, con relaci6n al punto de origen en el carro, si el carro se muev. can velocidad uniform.? i,Si la velo­cidad hacia adelante va aumentando? i,Si la velocidad hacia adelant. va disminuyendo? i,Si el carro est a pasando sobre una curva con velocidad uniforme?

4.13. Un experimento tal como el de la figura 4.2.1 se lleva a cabo en un eleva dar. l,C6mo verla la trayectoria un observndor Ctrl ­

tro del elevador si el elevador se esta m,)­viendo hacia abajo con velocidad uniforme ') /,Si el elevador esta cayendo libremente? I.Que otras preguntas se pueden formular sobre est a situacion fisica?

4.14. Interprete en sus propias palabras el papel que el lector vea que tienen las ma-

tematicas en la estructura del conocimiento flsico hasta este punto. Tomense en cuenta ideas tales como: definiciones de conceptos, represenlaciones gr:ificas y algebraicas, la idea­·lizaci6n, ·Ia admision de Galileo de que la trayectoria de un proyectil no es realmente una parabola, la aparici6n eventual de resul­tados que no tienen sign·ificado flsico en ,las soluciones matematicas form ales, la predic­ci6n de efectos y relacionesque no fueron anticipadas intuitivamente. Despues de la ex­periencia con las ideas desarrolladas en este capitulo, Lc6mo descr·ibiria el proceso de de­rivar una formula para un cierto problema? Describase la eSlrategia particular en la deri­vaci6n de las ecuaciones (4.10.8) y (4.12.2).

4.15. Un proyectil potenie p~dria tener un alcanee de mas de 5 000 millas y velocidades de muchos miles de millas por h~ra. De una Jista cuidadosamente, de todos los efectos que , ~ puedan imaginar que podrian causar una desviaci6n de la teoria del movimiento de proyectiles dada en este capitulo.

4. I 6. En un experimento de demostraci6r frecuentemente llevado a cabo, una bala e: disparada horizontalmente de una pistola d. resorte a otro objeto suspendido al mism(

142 SUPERPOSICION DE VElOCIDADES, MOVIMIENTO DE PROYECTILES - Cap. 4

nivel a derta distancia. EI blanco se deja caer por medio de un electroiman en el momento en que la bala ,sale del canon de la pistola.

a) Sugierase como se podda efectuar un experimento de esta clase. ~Se deja caer el blanco exactamente en el instante en que la bala sale del arm a? i.Que tan importante es que el blanco se sue lie simultaneamente (su­pongase que el objeto' que sirve de blanco es bastante grande)? i.Que condicion se impone en la simultaneidad de .Ja salida si tanto la bala como el blanco son objetos muy peque­nos? i.Es posible alcanzar una simultaneidad exacta en este contexto? i.Que significa el termino? i.Como trataria el lector de obtener esta meta si fuera necesario hacerlo asi?

b) Una pistola de resorte, que dispara ba­las . de madera, se coloea a 3 metros sobre el suelo. EI blanco esta inidahnente en el mismo nivel, alejado 10 metros. i.Que rango de ve­locidades de salida se requiere si la bala va a golpear el blanco ell algun Iugar sobre el sue-10, por 10 menos un metro por abajo del nive! inicial del cual cayeron los objetos? Ademas de resolver el problema numericamente, pro­porcionese una dara explicacion de las idea­lizaciones y suposidones que haya hecho. (Como comparacion, digase algo sobre cuan confiables sedan los calculos si el blanco fuera una hoja de papel, pegada al iman de suspen­sion por medio de un "clip".) Hagase un es­quema y eliquete las trayectorias importantes a su analisis numerico.

4.17. Ellcuentrese la resultante de tres des­plazamientos A, Bye, dado que A = [12, 6]. B = [-3, 3], C = [-9. -I]. Resuelvase este problema de dos modos: I) por medio de un diagrama a escala en el cual los vectores se dibujen uno deteas de otro y se mida la resul­tante; 2) por el metodo arHmetico de encon­trar las componentes del vector resultante y calculando su longitud. Comparense los resul­tados. Si se es lento y poco habil en estos dlculos, obtengase la priictica necesaria plan­teando problemas adicionales de este tipo y resolviendolos.

4.18. Descomponganse los vectores mostra­dos en Ia figura 4.13.1 en sus componentes a 10 largo de los ejes indicados, graiica y arit­meticamente.

4.19. Supongase que los vectores A y B en el problema 4.17 fueran velocidades en lugar de desplazamientos. Inventese una situa.cion fisiea en la eual dos de tales velocidades y

25,t'7 ~8.6

FIGURA 4.13.1

su suma A + B tengan significado y sean de interes.

4.20. Cuando definimos las componentes de un vector, se especifico que los ejes a los cuales se refieren .Jas componentes de bian ser perpendiculares entre si, pero nada se dijo sobre conio se debian eseoger estos ejes mu­tuamente perpendiculares. Considerense los dos sistemas de ejes x, y y x', y' mostrados en la figura 4.13.2. Encuentrese el vector A - B de dos maneras (usando eI · metodo de las componentes tomadas respecto acada par de ejes). i.Son equivalentes los resultados?

\ y' \

\ 20'

\ \ \ \

y

\ \ ____ ~-~~----L---------x

--- .... -- \ FIGURA 4.13.2

4.21. Haciendo uso de definiciones apro­piadas, proporci6nese una demostracion gni­fica y despues una prueba formal algebraica de que (A - B) + B = A, donde A y B son vee to res cualesquiera.

4.22. Supongase que un hombre puede arrojar una pelot a sistematicamente con una velocidad de aproximadamente 30 m/seg. EI esta parado sobre un carro plano que se mue­ve en linea recta a 20 ml seg y procede a arrojar pelotas en varias direcciones. l.Cmll sent la velocidad inicial, respecto a un sistema

lECTURA COMPlEMENTARIA Y bE ESTUDIO

de referencia que esta sabre el piso, de a) una pelota arrojada en una direcci6n perpendicu­lar a los rieles, b) una pelota arrojada direc­tamente hacia adelante y c) arrojada direeta­mente haeia atras? (Recuerdese que Ia velo­eidad debe ser especifieada por direeci6n aSI como por magnitud.) i,Que argumentos y evi­dencia presentados en este capltulose estan usando para justifiear los caleulos? De aeuer­do con las advertencias mencionadas en la secci6n 4.2, len que 5entido es el tratamiento aritmetieo simple incorrecto?

FIGURA 4.13.3

4.23. Suponga que una arma dispara un proyeeti! can una velocidad de salida de apro­ximadamente 1 000 piesl seg can un angulo de elevaci6n de 30·. Usando ideas desarro­Iladas en Ia secci6n 4.12, i,que preguntas de lipo numerico pueden hacerse sobre las carac­leristieas de Ia trayectoria y los intervalos in­voluerados? Formulense las preguntas y en­euentrense las respuestas. Incluyase el caleulo de una velocidad resultante en aigUn punta sabre el piso. i,Que alcanee maximo puede obtenerse sobre el nivel del piso con esta arma? <.Que suposiciones y restricciones estan implieitas en las solueiones? En cada una de las cantidades que se han calculado anterior­mente, i,e6mo se espera que difiera el valor real del de Ia prediecion idealizada, es decir,

143

el valor real sera mayor 0 menor que el pre­dicho? Indiquese el razonamiento algebraico claramente en eada caso.

Sy

Q

----~------+-------~._--SL P

FIGURA 4.13 .4

4.24. La figura 4.13.3 muestra Ia trayecto­ria de un movimiento (claramente no una caida libre) en un plano (x, y) y dos veloci­dades instantaneas v, y v, se han indieado. (Notese que los vectores se muestran tangen­tes a la trayectoria .)

Por medio de un diagrama vectorial, hagase un esquema del cambia vectorial en Ia velo­cidad Av == v:! - v,.

4.25. Considere el movimiento circular de una particula en direcci6n contraria al movj~ miento de las manecillas de un reloj. La tra­yectoria se muestra en Ia figura 4.13.4. La partieula se mueve a 10 largo del circulo desde P a Q con velocidad uniforme, es decir, Ia magnilud de su vector velocidad es constante.

a) Muestrese el vector de desplazamiento asociado con el desplazamiento de P a Q.

b) Dibujense vectores de velocidad en los puntas P y Q.

c) Par medio de un diagrama vectorial, ha­gase un eSquema del cambia vectorial !i.v en Ia velocidad. i.En que sentido es acelerado este movimiento? i,En cual 116 es acelerado?

LECTURA COMPLEMENTARIA Y DE ESTUDIO

Un tratado mas elemental del movimiento de proyectiles:

Physics, Physical Science Study Committee (PSSC). Boston: D. C . Heath, 1960, capi­tulo 21. (Version espanola: Fisica, Editorial Reverte, Barcelona.)

144 SUPERPOSICl6N DE VELOCIDADES: MOVIMIENTO DE PROYECTllES - Cap, 4

Otros puntos de vista, problemas adicionales:

Physics for the Inquiring Mind, E. M. Rogers. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1960, capitulo 2.

Physics for Stude/Its of Science and Engineering, R. Resnick y D. Halliday. Nueva York: John Wiley & Sons, 1960, capitulo 4. (Version espanola: Fisica para estudiantes de ciencias e ingenieria, Editorial CECSA, Mexico, D. F.)

Discusion de Galileo sobre el movimiento de proyectiles :

Dialogue Concerning two New Sciences, Cuarto dia, Galileo GaIileL Nueva York: Dover Publications, 1952.

Vectores y aritmetica vectorial:

Physics (PSSC), obra citada, capitulo 6. Resnick y Halliday, obra citada, capitulo 2. C(licu/us, Introduccion con vectores y geometria analitica, volumen I, T. M. Apostol.

Nueva York: Blaisdell Publishing Co." 1961 , capitulo 5.