TRABAJO PRÁCTICO Nº 10 – INTEGRALES de SUPERFICIE TEOREMA de GAUSS – TEOREMA de STOKES.

Sea S una superficie de ecuación yxfz , la cual se encuentra sobre una región D

del plano xy , además f y sus primeras derivadas sean continuas en D; en cada punto

de S existen dos vectores normales unitarios a S (el superior o saliente de componente k positiva y el inferior o entrante cuya componente k negativa), sea además un campo

vectorial kzyxRjzyxQizyxPzyxF ,,,,,,,,, la integral de superficie (o flujo)

del campo vectorial a través de S viene dado por:

S

dnF

donde nF es el producto interior o escalar de los vectores y es una medida del área de la superficie S.

Sí N

Nn1 y 12 nn y recordando dANdA1yxfyxfd

2y

2x ,,

Entonces

DS D

dANFdANN

NFdnF (1)

donde el signo más corresponde si 1nn y negativo en caso que 2nn

Si usamos una representación paramétrica explícita para S ( yxfz , ), una

representación vectorial de S será kzjyixr , entonces

kyxfjyixyxr ,,

kyxfjyr

kyxfixr

yx ,;,

kjfif

f10

f01

kji

yr

xr

N yx

y

x

Si expresamos a (1) por sus componentes

D D D

yxyx dydxRfQfPdydxkjfifkRjQiPdANF

1.- EJERCICIOS.

En los ejercicios que siguen calcular el flujo del campo vectorial ( ) a través de

las superficies que se dan, si no se indica lo contrario las superficies están orientadas

positivamente:

1.1.- ( ) y es la parte superior del cilindro

entre los planos e con .- **

1.2.- ( ) y es la parte del cilindro parabólico

acotado por los planos , y .- **

1.3.- ( ) donde es la parte de la superficie de la

esfera de radio dos intersecada por el cilindro con .- **

1.4.- ( ) ( ) donde es la superficie de la esfera

cortada por el cono en el primer octante.-

**

1.5.- ( ) y es la superficie del sólido formado por la

banda del paraboloide y los planos y evaluando las

tres integrales de superficie.- **

1.6.- ( ) ( ) y es la superficie del sólido formado

por la rama superior del cono y el plano .- **

1.7.- ( ) donde es la superficie del tetraedro formado

por los planos coordenados y el plano .- **

1.8.- ( ) donde es la parte de la superficie del cono

cortada por el cilindro con .- **

1.9.- ( ) donde está definido por la parte del

cilindro elíptico que se encuentra por encima del plano entre

los planos y .-

1.10.- k3jyixzyxF22 ,, y S es la porción del plano 12zyx acotado por el

cilindro 4yx22 .- **

1.11.- kzjyiyxzyxF2 ,, y S es la porción, en el primer octante, del cilindro

2x4z , interior al cilindro 2

x4y .- **

1.12.- kzjyixzyxF2,, donde S es la parte superior del cono 222

yxz

entre 0z y 4z .- **

1.13.- kzjyxiyxzyxF22 ,, donde S es la parte del paraboloide 22

yxz

exterior al cilindro 1yx22 e interior a 4yx

22 .- **

1.14.- kzjy2ixzyxF22 ,, y S es la porción del paraboloide hiperbólico

22yxz del primer octante limitado por los planos 2x ; ( 0y e xy ).-

**

1.15.- kzjyixzyxF ,, donde S es la esfera de radio 3.- *

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

Si V es un sólido en E3 limitado por una superficie S, si n es la normal unitaria exterior a S y F un campo vectorial definido en S, el teorema de la divergencia establece una relación entre la integral de superficie del campo vectorial F a través de S con una integral triple cuyo dominio es V:

V S

dSnFdVFdiv.

TEOREMA DE STOKES.

Es una extensión del teorema de Green, relaciona una integral de línea con una integral de superficie:

S C

dFdSnFrot .

donde S es una superficie paramétrica regular y C una curva cerrada simple frontera de S.

Si kzyxRjzyxQizyxPzyxF ,,,,,,,, , la ecuación que define el rotacional

puede recordarse fácilmente escribiéndola como el desarrollo de un determinante de tercer orden por los elementos de la primera fila:

kyP

x

Qj

xR

zP

iz

Q

yR

RQP

zyx

kji

Frot

.

donde debemos interpretar el “producto” y

por R como la derivada parcial y

R

,

podemos escribir entonces el rot. F como el producto vectorial FFrot . donde

se maneja como si fuera un vector kz

jy

ix

.

Si formamos el “producto escalar” zR

y

Q

xP

F

definimos un campo escalar

llamado divergencia del campo vectorial F (div.F). EJERCICIOS.

2- En los ejercicios que se dan a continuación se pide verificar el teorema de Gauss, es decir que se debe calcular ambos miembros por separado verificando que se cumpla la igualdad. (salvo que se especifique lo contrario la orientación de la superficie debe ser tal que el flujo del campo sea positivo):

2.1.- Calcular el flujo de ( ) a través del sólido V formado

por la unión de las superficies determinada por el cilindro , y

determinada por los planos e respectivamente.- **

2.2.- Determinar el flujo de ( ) ( ) ( ) ( ) a

través del tetraedro formado por el plano y el primer octante.- **

2.3.- Calcular el flujo de ( ) a través del sólido V

determinado por .- **

2.4.- Calcular el flujo de ( ) a través del sólido V

determinado por la intersección de las superficies ,

y .- **

2.5.- Verificar el resultado del ejercicio nº 1-5.- **

3- En los ejercicios que siguen se pide calcular la integral de línea empleando el teorema de Stokes:

3.1. Calcular ∫ ( ) ( ) ( )

donde es la

curva de intersección de las superficies y definidas por las expresiones

y respectivamente, que se recorre

positivamente.- **

3.2. Calcular la integral de línea del campo vectorial ( )

a lo largo de la frontera del triángulo cortado en el primer octante por el plano

.-

3.3. Calcular la integral de línea utilizando el teorema de Stokes donde

kxzjxyiyzyxF2 ,, y S es la parte superior de la esfera de radio 2.

**

En los ejercicios verificar el teorema de Stokes para los campos vec-toriales, las curvas

y las superficies que se dan. ( calcular

S

dSnFrot. y

C

dF ).

3.4. kxjziyzyxF ,, , S es la parte del paraboloide 22yx1z con 0z y

C es la traza del paraboloide en el plano xy que se recorre en sentido

antihorario.*

3.5. kxyzjxyixzyxF ,, , S son las tres caras del tetraedro formado por los

planos xz , yz y 4zyx .**

3.6. kyzjy2xixy2zyxF ,, donde S está formada por el cono 222zxy

y el plano 2y con 0z .**

3.7. kzjxyz2iyxzyxF ,, donde S es la parte de la superficie del sólido

formado por el cilindro 4zx22 y los planos 0y e 3y con 0z . **

4 En los ejercicios que siguen verificar el teorema de la divergencia para los campos vectoriales y las superficies de los sólidos que se dan:

4.1. kz4jyzixzzyxF ,, donde S es la superficie del sólido formado por la

intersección del paraboloide 22

yx8z y el plano 4z .**

4.2. kz3jyixzyxF ,, donde S es la superficie del sólido formado por la

intersección del paraboloide 22yxz y el plano 4z .**

4.3. kz5jy2ix2zyxF ,, donde S es la superficie del sólido formado por la

intersección del manto superior del cono 222yxz y el plano 3z .**