navier stokes ecuation
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7/24/2019 Navier Stokes ecuation
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Ecuaciones de continuidad y movimiento
(Enfoque diferencial)
Dr. Edgar Resendiz Transferencia de Momento o Cantidad de movimiento
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Analisis diferencial de ujo
Dr. Edgar Resendiz Transferencia de Momento o Cantidad de movimiento
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Analisis diferencial de ujo
Dr. Edgar Resendiz Transferencia de Momento o Cantidad de movimiento
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Analisis diferencial de ujo: Conservacion de Masa
Ecuaci on de continuidad (Usando volumen de control innitesimal)
rapidez de acumulaci onde masa =
rapidez deentrada de
masa rapidez de salida de
masa
Acumulaci on de masa: t x y z
Entrada de masa en x : vx (x ) y z ,
Salida de masa en x + x : vx (x + x ) y z ,
Entrada de masa en y: vy (y) x z ,
Salida de masa en y + y : vy (y + y) x z ,
Entrada de masa en z: vz (z ) x y ,
Salida de masa en z + z : vz (z + z ) x y ,
Dr. Edgar Resendiz Transferencia de Momento o Cantidad de movimiento
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Analisis diferencial de ujo: Conservacion de Masa
t = v x (x + x )
v x (x ) x
v y (y + y)
v y (y) y
v z (z + z ) v z (z )
z
entoncest
= (v x )x
+ (v y )y
+ (v z )z
o bient
+ (v ) = 0
Forma alternativa1
DDt + v = 0
(v ) = 0
compresible estacionario, ( x ) v = 0
incompresible, = c
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Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy
Deniciones basicas:
Esfuerzo cortante (momento viscoso):
yx dvdy
, yx = dvdy
Momento convectivo:
v2
A
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Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy
rapidez deacumulaci on de
cantidad demov.
=
rapidez deentrada decantidad de
mov.
rapidez desalida de
cantidad demov.
+ fuerzas sobreel elemento
Cantidad de movimiento debida a la velocidad (Mov.convectivo):
Entrada en x : (v x )vx (x ) y z
Salida en x + x : (v x )vx (x + x ) y z
Entrada en y: (v x )vy (y) x z
Salida en y + y : (v x )vy (y + y) x zEntrada en z: (v x )vz (z ) x y
Salida en z + z : (v x )vz (z + z ) x y
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Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy
rapidez deacumulaci on de
cantidad demov.
=
rapidez deentrada decantidad de
mov.
rapidez desalida de
cantidad demov.
+ fuerzas sobreel elemento
Cantidad de movimiento debida a la viscosidad (Mov.viscoso):
Entrada en x : xx (x ) y z
Salida en x + x : xx (x + x ) y z
Entrada en y: yx (y) x z
Salida en y + y : yx (y + y) x zEntrada en z: zx (z ) x y
Salida en z + z : zx (z + z ) x y
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Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy
rapidez deacumulaci on de
cantidad demov.
=
rapidez deentrada decantidad de
mov.
rapidez desalida de
cantidad demov.
+ fuerzas sobreel elemento
Fuerzas superciales:Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onx : ( p(x ) p(x + x )) y zFuerza supercial debida a la presi on en direcci ony : ( p(y) p(y + y)) x z
Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onz : ( p(z ) p(z + z )) x y
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Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy
rapidez deacumulaci on de
cantidad demov.
=
rapidez deentrada decantidad de
mov.
rapidez desalida de
cantidad demov.
+ fuerzas sobreel elemento
Fuerzas superciales:Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onx : ( p(x ) p(x + x )) y zFuerza supercial debida a la presi on en direcci ony : ( p(y) p(y + y)) x z
Fuerza supercial debida a la presi on en direcci onz : ( p(z ) p(z + z )) x y
Fuerzas de cuerpo:En direcci on x : F bx x y z
En direcci on y: F by x y z
En direcci on z : F bz x y z
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f
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Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy
Haciendo el balance para la componente x :
x y z (v x )
t= ( v x vx (x ) v x vx (x + x )) y z
+ ( v x vy (y) v x vy (y + y)) x z+ ( v x vz (z ) v x vz (z + z )) x y+ ( xx (x ) xx (x + x )) y z
+ ( yx (y) yx (y + y)) x z+ ( zx (z ) zx (z + z )) x y+ ( p(x ) p(x + x )) y z + F bx x y z
de donde se obtiene
(v x )t =
(v x vx )x +
(v x vy )y +
(v x vz )z
xxx +
yxy +
zxz
+ px
+ F bx
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A li i dif i l d j E i d C h
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Analisis diferencial de ujo: Ecuacion de Cauchy
En direccion y:
(v y )t
= (v y vx )x
+ (v y vy )y
+ (v y vz )z
xyx
+ yyy
+ zyz
+ py
+ F by
En direccion z:
(v z )t
= (v z vx )
x+
(v z vy )y
+ (v z vz )
z
xzx
+ yz
y+
zzz
+ pz
+ F bz
Finalmente en notaci on vectorial:
(v )t
= vv p + F b
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Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier-Stokes
Trabajando con la componente x del termino v v y suponiendo que v = 0
obtenemos:
(
v v
)x = vxv xx + vx
v xx + vx
v yy + vy
v xy + vx
v zz + vz
v xz
= vxv xx
+ vyv xy
+ vzv xz
+ vxv xx
+ vy
y+
vzz
= vxv xx
+ vyv xy
+ vzv xz
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Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier-Stokes
Utilizando la ley general de viscosidad de Newton:
Esfuerzos normales:
xx = 2v xx
+ 23
v
yy = 2v yy
+ 23
v
zz = 2v zz +
23 v
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Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier-Stokes
Utilizando la ley general de viscosidad de Newton:
Esfuerzos normales:
xx = 2v xx
+ 23
v
yy = 2v yy
+ 23
v
zz = 2v zz +
23 v
Esfuerzos cortantes: xy = yx =
v yx
+ vx
y
yz = zx = v zx
+ vx
z
yz = zy = v zy +
vyz
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Analisis diferencial de jo: Ec aciones de Na ier Stokes
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Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier-Stokes
Utilizando la ley general de viscosidad de Newton:
Esfuerzos normales:
xx = 2v xx
+ 23
v
yy = 2v yy
+ 23
v
zz = 2v zz +
23 v
Esfuerzos cortantes: xy = yx =
v yx
+ vx
y
yz = zx = v zx
+ vx
z
yz = zy = v zy +
vyz
La componente x de es, ( )x :
xxx
+ yx
y+
zxz
= x
2v xx
y
v yx
+ v xy
z
v zx
+ v xz
= 2 vxx 2
+ 2 vx
y 2 +
2 vxz 2
+ x
v xx
+ vy
y+
v zz
v =0
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Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier Stokes
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Analisis diferencial de ujo: Ecuaciones de Navier-Stokes
por lo tanto el balance para la componente x queda:
vx
t+ vx
v x
x+ vy
v x
y+ vz
v x
z =
2 vx
x 2 +
2 vx
y 2 +
2 vx
x 2
p
x+ F bx
o bien
Dv xDt
= 2 vxx 2
+ 2 vx
y 2 +
2 vxx 2
px
+ F bx
Para la componente y:
Dv yDt
= 2 vyx 2
+ 2 vy
y 2 +
2 vyx 2
py
+ F by
Para la componente z :
Dv zDt =
2 vzx 2 +
2 vzy 2 +
2 vzx 2
pz + F bz
D v
Dt
masa acel.= 2 v
Fuerzas viscosas p
Fuerzas de presi on+ F
Fuerzas de cuerpoDr. Edgar Resendiz Transferencia de Momento o Cantidad de movimiento
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