solvencia ii: capital económico en aseguradoras · jel: c15, c32, c63, g22, j11. 1 mi más sincero...
TRANSCRIPT
78
Solvencia II: Capital Económico en Aseguradoras
Emiliano PozuElo dE GrACIA1
Actuario y Doctor en Economía Financiera, Actuarial y MatemáticaDirector del Área Técnica de Seguros CajaSur
resumen: Este trabajo expone las implicaciones más importantes del proyecto Solvencia II para el Sector Seguros europeo en general y para el español en particular. A su vez la primera parte del artículo describe los elementos más exclusivos y específicos para la determinación del capital económico en la industria aseguradora según los principios incluidos en el actual proyecto de directiva sobre Solvencia II. También propone un modelo para la valoración de las opciones y garantías intrínsecas en una Póliza de Seguro, así como el capital económico derivado del riesgo de suscripción, que toma en consideración simultáneamente el riesgo de mortalidad sistemático y el riesgo de interés, y satisface dos importantes requerimientos para su aplicación práctica: trata-miento analítico y compatibilidad con los modelos de valoración de opciones financieras.
Palabras clave: Solvencia II, valoración consistente con el mercado, capital de solvencia requerido.
JEl: C15, C32, C63, G22, J11.
Abstract: This article exposes the most important implications of the Solvency II – Proyect for the European insurance industry in general and for the Spanish especially. According to this, the firs part of the article describes the most exclusive and specific elements for the determination of the economic capital of the insurance industry according to the principles included in the cu-rrent project of directive on Solvency II. Also proposes a model for the valuation of the options and embedded guarantees in an insurance policy, as well as the economic capital derived from the risk of subscription, which takes in consideration simultaneously the systematic risk of mortality and term structure risk of interest rates, and satisfies two important requirements for application in practice: analytical tractability and compatibility with financial option pricing models.
Title: Solvency II project: economic capital in insurance
Keywords: Solvency II, market consistent valuation, solvency capital requirement.
JEl: C15, C32, C63, G22, J11.
1 Mi más sincero agradecimiento al profesor Vicente Meneu, Catedrático de Economía Financiera de la Universitat de València y al profesor Francisco Muñoz, profesor de Economía Financiera de la Universitat de València, por sus correcciones y aportaciones de indudable valor científico. También he de agradecer sus contribuciones a los componentes del grupo de investigación Ciencia Actuarial de la Universidad Complutense de Madrid.
79
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
Colaboración
1.- INTroduCCIÓN
Actualmente la Unión Europea se encuentra en un proceso de renovación de los conceptos contables y de control de las entidades aseguradoras. La Comisión Europea decretó que desde el año 2005, las compañías de la Unión Europea cotizadas en bolsa deben reportar sus estados financieros consolidados según un único conjunto de normas, desarrolladas por la IASB2. Debido a la complejidad del negocio asegurador, resulta complicado establecer un marco especial para los aspectos contables específicos del seguro. De ahí que en mayo de 2002 el IASB decidió proceder en su Proyecto de Seguros en dos fases. La primera fase abarca la actual NIIF3 4, y en un sentido más amplio, la NIC4 32 y la NIC 39. En la segunda fase se están tratando los aspectos mas con-trovertidos, cómo la valoración de las provisiones técnicas.
Con respecto a los nuevos conceptos de control y supervisión de las entidades aseguradoras, en el proyecto Solvencia II materializado ya en un borrador de directiva, se ha seguido el método Lamfalussy5, con vistas a garantizar el oportuno grado de convergencia, la adecuación a la futura evolución tecnológica y del mercado, así como a la evolución de la reglamentación contable y de seguros y reaseguros a nivel internacional.
Según se establece en la exposición de motivos del mencionado borrador de directiva, un sistema basado en sólidos principios de valoración económica desvelará la verdadera situación económica de los aseguradores, redundando en una mayor transparencia y una mayor confianza en el conjunto del sector. El establecimiento de requisitos legales basados en el riesgo garantizará un equilibrio justo entre, de un lado, un importante nivel de protección del tomador y, de otro, costes razonables para los aseguradores.
Aunque con ciertos matices, en los últimos planteamientos para el próximo régimen de conta-bilidad y en la supervisión de entidades aseguradoras, se ha puesto de manifiesto la necesidad de obtener estimaciones consistentes con el mercado para el pasivo y el activo de las aseguradoras. Esto supone un enorme cambio en la cuantificación de una de sus partidas de pasivo más im-portantes: las provisiones técnicas de Seguros de Vida. Tradicionalmente la estimación de estos compromisos asumidos con los Tomadores, se ha llevado a cabo bajo el auspicio del principio de prudencia, incorporando ciertos márgenes técnicos y financieros, cuya finalidad no es otra que cubrir por un lado las posibles desviaciones adversas en la siniestralidad y por otro las opciona-lidades y garantías implícitas en la Póliza. El estrechamiento en los márgenes de intermediación experimentado en los últimos tiempos, ha puesto de manifiesto la necesidad de incorporar en la valoración, estas opcionalidades y garantías de forma explícita. Además de incorporar en la valoración estas opcionalidades y garantías, la cuantificación se ha de hacer bajo el prisma de la situación actualizada de los mercados financieros, así como de las hipótesis técnicas (mortalidad, morbilidad, longevidad, etc) previsibles a la fecha de valoración.
2 Internacional Accounting Standards Board.3 Norma Internacional de Información Financiera.4 Norma Internacional de Contabilidad.5 Consistente en establecer una serie de principios que, posteriormente, se adaptan mediante la adopción de disposiciones
de aplicación.
80
Por otra parte los últimos planteamientos contables y de control, requieren que cualquier mar-gen cuya finalidad sea cubrir desviaciones adversas técnicas o financieras figure en las partidas de recursos propios.
Solvencia II considera como capital disponible por la aseguradora, la diferencia entre el valor de mercado de los activos y el de los pasivos. En caso de que no exista éste, se considerará la valoración consistente con el mercado, lo cual suele ocurrir en el caso de las provisiones técnicas. Para las provisiones técnicas, como se expone más adelante, se obtendrá la mejor estimación del pasivo, al que se añadirá un margen de riesgo de mercado para los riesgos no replicables en el mercado.
Respecto a los recursos propios exigibles, Solvencia II establece dos niveles de mínimos. El primero conocido como Minimum Capital Requirement (MCR), consiste en la cantidad de recursos propios por debajo del cual no se puede operar. Su estimación debe ser fácil y objetiva. Por encima del MCR existe lo que se denomina Solvency Capital Requirement (SCR), que se puede interpretar como capital económico, estimado de modo que tenga en consideración el riesgo global asumido por la aseguradora. De su comparación con el capital disponible determinado en base al balance económico, se obtiene el exceso de capital disponible.
Cuadro 1. Balance económico y recursos propios exigibles
81
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
En la definición del borrador de directiva de Solvencia II ha jugado un papel fundamental el CEIOPS6, tanto por sus propuestas como por la realización de los estudios de impacto (QIS). El QIS 3, ha considerado para la determinación del SCR la desagregación de riesgos que se expone agrupada por grandes riesgos en el Diagrama 1.
diagrama 1. Riesgos considerados en el cálculo del SCR
En su medición cobra una gran importancia no solo la situación de los mercados sino también la experiencia propia de la aseguradora, lo que requiere mejorar los sistemas de información. Adi-cionalmente será necesario el manejo de técnicas de valoración que incluyan el uso combinado de metodología actuarial y cuantitativa como puede comprobarse al analizar la cuantificación de las provisiones técnicas en el próximo apartado.
2. VAlorACIÓN CoNSISTENTE CoN El MErCAdo dE lAS ProVISIoNES TÉCNICAS
La directiva considera como valoración consistente con el mercado la suma de dos partidas, lo que conocemos como el Best Estimate y el Margin Value Market. La primera supone la valoración consistente con el mercado de las provisiones técnicas en los términos mencionados en el apartado anterior. El Margin Value Market se puede considerar como un margen explícito cuyo objetivo es cubrir los riesgos que no se pueden replicar mediante instrumentos financieros cotizados en mercado, como el riesgo de mortalidad, morbilidad o longevidad.
Respecto a la cuantificación del Best Estimate, frente al actual sistema de cálculo de las pro-visiones técnicas, se ha de considerar como hipótesis financieras la situación actualizada de los mercados. A este respecto existen dos posturas enfrentadas, por un lado, la postura del CEIOPS, manifestada en el actual borrador de directiva, y por otro, la postura de la IASB exhibida en la fase 2 sobre la NIIF de seguros. El primero no considera en la determinación del Best Estimate el spread de crédito de la propia aseguradora, mientras que el segundo considera en su unidad de medida, conocida como Current Exit Value, este spread de crédito. Se puede argumentar a favor
6 Autoridades de supervisión en seguros y fondos de pensiones de la Unión Europea
82
de la primera postura que de considerar el spread de crédito de la aseguradora en la valoración de sus propios compromisos, en caso de empeorar su calidad crediticia se produciría un incremento en su resultado. En cambio se puede argumentar a favor de la segunda postura que este pasivo es el activo de “alguien”, y si la aseguradora cancelara su pasivo, el precio que debería de pagar debería ser el mismo que considera su poseedor. En el presente trabajo se considera la postura adoptada actualmente por la Unión Europea en su borrador de directiva sobre Solvencia II.
Con respecto a la Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI), esta no se obtiene de forma inmediata de los mercados de capitales. Para ello se ha de recurrir a los conocidos como modelos estáticos de la ETTI, como son los modelos de esplines cuadráticos, cúbicos o exponenciales, o las técnicas de bootstrapping.
En cuanto a las hipótesis no financieras, y más concretamente las probabilidades de super-vivencia y fallecimiento, las tablas de mortalidad consideradas por el sector seguros español actualmente, GRM/F-95, PERM/F – 2000 P/C y GKM/F – 95, están cuestionadas. El primer motivo es que consideran implícitamente un margen de seguridad7 para hacer frente a las posibles desviaciones adversas en la siniestralidad, y como se ha explicado en la introducción, el borrador de directiva persigue que este margen figure como recursos propios. El segundo motivo es que la esperanza de vida mejora con el tiempo cronológico y tanto las primeras como las últimas no tienen en cuenta esta mejora. Y por último ambas, GRM/F-95 y GKM/F – 95, se han determinado para la población suiza, pudiendo ser diferente la esperanza de vida de la cartera asegurada por la compañía aseguradora.
Este trabajo presenta el ajuste de la mortalidad a la población andaluza, Pozuelo (2007), mediante el modelo de Lee – Carter y de Heligman y Pollard, cuyos resultados se exponen en el Gráfico 1.
Gráfico 1Tablas de mortalidad ajustadas a la población andaluza, mujeres y hombres.
7 Las dos primeras destinadas a seguros que garantizan un cobro a la supervivencia, presuponen una probabilidad de supervivencia mayor que la esperanza matemática, y las últimas destinadas a seguros que garantizan un cobro al fallecimiento, consideran una probabilidad de fallecimiento mayor que la esperanza matemática
83
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
Con respecto a las opcionalidades y garantías mencionadas previamente, entre las más comunes en Pólizas de Seguros de Vida, existe el derecho de rescate anticipado, primas periódicas según una misma base técnica, derecho a dejar de pagar las primas periódicas comprometidas, participación en los beneficios que genere la inversión de las provisiones técnicas, capital pagadero a la supervivencia del asegurado convertible en renta vitalicia, etc. Estas opciones suelen estar fuera de dinero, por lo que para su valoración se ha de recurrir al cálculo estocástico.
En primer lugar se analiza la opción de participación en beneficios. Esta opción representa una asimetría en la medida en que el Tomador participará en el exceso sobre el tipo de interés mínimo garantizado de la rentabilidad de las inversiones afectas, en cambio no sufrirá un menoscabo en sus garantías, si la rentabilidad de las inversiones resultase inferior al tipo de interés mínimo. Para valorar esta opción lo correcto sería modelizar la rentabilidad futura de las inversiones afectas. No obstante, y dado que para la valoración de las provisiones técnicas se usa la rentabilidad del activo libre de riesgo, aplicaremos también esta rentabilidad para estimar los flujos de pago adicionales por este concepto.
Para modelizar la evolución futura de los tipos de interés hemos de calibrar además de la ETTI, cuales son las expectativas de los intervinientes en el mercado en cuanto a su evolución futura, es lo que conocemos como Estructura Temporal de Volatilidad (ETV). Para calibrar esta ETV hemos de recurrir a instrumentos financieros cotizados en mercado cuyo precio se halla referenciado a esta evolución. Podríamos calibrar por ejemplo a partir del mercado de Caps o de Swaptions. Al igual que sucede con la ETTI, la ETVs no se obtiene inmediatamente, sino que tendríamos que recurrir por ejemplo a técnicas de Stripping de Caplet a partir del mercado de Cap. Por otra parte para recoger en la valoración la futura evolución de los tipos de interés, podemos escoger de entre múltiples modelos: modelos afines (Hull-White, CIR, ...), Market Models (BGM, Jamshidiam, …), Markov Functional Model, …
Aquí se considera el modelo de Hull – White, debido a que presenta expresiones analíticas de las magnitudes usadas en la valoración y a que su estructura markoviana de baja dimensión permite su implementación en forma de árbol recombinante. Para ilustrar la aplicación de este modelo, si se supone unos parámetros de volatilidad, =a 0,0986 y
€
σ =0,01103, así como la curva cupón cero de la Tabla 1, se obtiene el árbol trinomial recombinante del Gráfico 2, en el que cada nivel de tipo de interés futuro tiene asociada una probabilidad de ocurrencia.
Tabla 1Curva cupón cero
t P(0, t) 1 0,977469 2 0,947188 3 0,912773 4 0,875619 5 0,837634
84
Gráfico 2Árbol trinomial recombinante de tipos de interés.
El factor de descuento actuarial8, que representamos por txE +1 , tendría un factor de riesgo que identificamos con el tipo de interés y se determinaría como sigue:
€
1Ex+ t = exp −R(t,t +1)( ) ⋅ px+ t
siendo )1,( +iiR el tipo de interés vigente en el intervalo (t, t+1) y txp + , la probabilidad de supervivencia del asegurado entre t y t+1. El precio de la opción de participación en beneficios se determinaría, iterativamente desde el vencimiento de la Póliza, descontando y agregando a partir del resultado para el Tomador de cada escenario considerado, multiplicado por su probabilidad de ocurrencia.
En lo referente a la opción de rescate, existen dos posturas para su valoración. La primera considera un flujo de caja más que matiza el resto, estimado según la experiencia propia. La se-gunda considera el valor de rescate como un suelo a las posibles valoraciones futuras. A favor de la primera postura podemos argumentar que el comportamiento de los Tomadores no es coherente con la lógica financiera. Existen modelos de comportamiento de la caída de cartera por rescates cuyas variables explicativas son diferentes a la evolución de los tipos de interés. A favor de la segunda podemos argumentar que, independientemente de que el Tomador no rescate cuando co-rrespondería hacerlo, la Aseguradora no podría contabilizar una cifra inferior al valor de rescate, aunque los tipos de interés así lo determinaran. En el primer caso la valoración se llevaría a cabo considerando el nuevo flujo de caja determinado en función de su probabilidad de ocurrencia. En el segundo caso trataríamos el rescate como una opción americana. El borrador de directiva sobre Solvencia II ha considerado finalmente la primera postura.
La última opción planteada es la de capital pagadero a la supervivencia del asegurado, convertible en renta vitalicia. La última reforma fiscal española ha incorporado la figura de los denominados Planes Individuales de Ahorro Sistemático (PIAS), cuyo cobro se hace efectivo a través de una renta vitalicia. La ley del IRPF exime de tributación por el rendimiento obtenido
8 Valor actual actuarial de un euro pagadero a la supervivencia del asegurado, al término del plazo considerado.
85
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
durante el plazo de constitución de la renta. En algunos casos el producto se configurará cómo un capital diferido convertible en renta vitalicia. Si la proporción en la conversión está garantizada, cobra gran importancia el riesgo inherente a la evolución futura de los tipos de interés, pero también a la evolución de la mortalidad futura.
Para incorporar en la valoración la evolución de la mortalidad futura, así como las expectativas de los intervinientes en el mercado, este trabajo propone un modelo estocástico de evolución para la medida de mortalidad, expuesto en el Anexo 1. Los resultados del ejemplo propuesto en el Anexo 1 se recogen en el Gráfico 3. Considerando independencia entre los tipos de interés y el tanto de mortalidad y combinando ambos árboles obtenemos la estructura del Gráfico 4.
Gráfico 3Árbol trinomial del tanto de mortalidad.
Gráfico 4Nodo de árbol trinomial recombinante del tipo de interés y tanto de mortalidad
86
Una vez construido el modelo anterior, el paso siguiente es la cuantificación del Best Estimate de las provisiones técnicas teniendo en cuenta todas las opcionalidades.
El Best Estimate de las provisiones técnicas de Seguros de Vida se determina como sigue
donde,
€
EQG
t[ ] es la esperanza matemática con la información hasta tiempo t, es decir, la espe-ranza matemática que sigue tras la filtración tG , bajo la probabilidad Q, riesgo neutro; ),( TtK es el proceso de las prestaciones y gastos; y
€
Π(t,T) , es el proceso de las primas.
El algoritmo de cálculo planteado por este modelo en tiempo discreto, será recurrente desde el vencimiento del contrato hasta la fecha de cálculo. De forma simplificada, el valor en un nodo concreto (i, j), será:
€
V (i, j,k) = exp −(Ri, j + µ1i,k ) ⋅ Δt( ) ⋅ Si+1 + pr,s ⋅V (i +1, jr,ks)s=1
3
∑r=1
3
∑
+Fi ⋅ 1− exp(−µ1i,k ⋅ Δt)( )
donde Si son prestaciones, gastos o primas (estas con signo negativo) que tienen lugar a la supervivencia del asegurado y Fi son prestaciones o gastos que tienen lugar al fallecimiento del asegurado. Las probabilidades, pr,s, determinan la probabilidad de transición hasta el nodo, (i+1, r, s). Este algoritmo permite la determinación de muchas de las asimetrías en la valoración derivadas de las opcionalidades y garantías implícitas en la póliza.
Los resultados del ejemplo incluido en Pozuelo (2007), para un Seguro de Vida – Ahorro a 5 años, que garantiza el cobro de un capital a la supervivencia, el cual se incrementa con la partici-pación en los beneficios que generen las inversiones afectas, se resumen en el Gráfico 5. El grosor del círculo concéntrico determina el Best Estimate sin considerar la opción de participación en beneficios y la distancia entre los círculos adyacentes el valor de la opción de participación en beneficios (considerando los incrementos en las prestaciones por participación en beneficios desde el nodo en cuestión hasta el vencimiento). En el nodo origen el valor de las provisiones técnicas es de 0,806539 (compuesto de 0,025165 por la opción de participación en beneficios y 0,781374 del resto de opciones y garantías).
87
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
Gráfico 5Valoración en el árbol del tanto de mortalidad y del tipo de inte-
rés a un año, del Best Estimate de las provisiones técnicas.
Una vez obtenido el Best Estimate de las provisiones, hemos de incorporar un margen de riesgo de mercado para los riesgos no replicables a mercado, es decir, sin cobertura. A este respecto se plantearon inicialmente dos alternativas, la primera conocida como método de los percentiles y la segunda como el método del coste del capital.
El método de los percentiles (método adoptado por el regulador australiano), consiste en consi-derar como margen de riesgo de mercado la diferencia entre la mejor estimación y un determinado percentil. Finalmente este enfoque ha sido desestimado como método de cálculo del margen de riesgo de mercado en el ámbito de Solvencia II, entre otras razones porque no hay motivos para pensar que un determinado intervalo de confianza es consistente con el mercado.
El método del coste del capital (CoC) será el que se aplicará finalmente, si bien en determinados Seguros No Vida de cola larga o cuando las circunstancias lo aconsejen se aplicaría el método de los percentiles. Este método es también el adoptado por el regulador Suizo y supone que la ase-guradora que se encuentre en dificultades financieras al final de su horizonte de capitalización (un año), necesita transferir su activo y pasivo a otra aseguradora. Para los riesgos que no encuentran cobertura a mercado, la nueva aseguradora deberá mantener un capital mínimo (SCR) para pro-tegerse frente a resultados adversos. Lógicamente esta aseguradora exigirá un rendimiento a este capital, el cual pasará a formar parte de la valoración del pasivo que se transfiere. El margen de riesgo de mercado calculado de esta forma será el valor descontado de estos costes futuros.
Dado que aún no se ha incorporado el cálculo de la aportación de cada riesgo a los requeri-mientos de recursos propios, obviaremos por el momento esta partida.
88
3. CuANTIFICACIÓN dEl SolVENCY CAPITAl rEQuIrEMENT
Lo podemos definir como la cantidad de fondos propios necesarios para anular prácticamente la probabilidad de ruina de la Aseguradora, en el plazo de un año. La medida del riesgo y el intervalo de confianza han dado que hablar y no está del todo cerrada.
Los planteamientos son el Expected Shortfall (o Tail VaR) al 99% o el VaR al 99,5% de los resultados proyectados dentro de un año, atendiendo a los riesgos a los que la aseguradora esté expuesta, y considerando los activos y pasivos a valor de mercado. En el Gráfico 6 se ilustran ambas medidas del riesgo.
Gráfico 6Medidas del riesgo para la determinación del SCR.
Aquí el VaR al 99,5% se puede definir como la diferencia entre el resultado adverso cuya pro-babilidad de ocurrencia es del 0,5% y el resultado esperado, mientras que el Tail VaR al 99% es la pérdida esperada si se supera el umbral de pérdida especificado (99%). La ventaja más importante del Tail VaR es que se trata de una medida del riesgo coherente y como tal tiene la propiedad de subdatividad, monotonía, … En cambio el Tail VaR exige conocer toda la distribución de la cola, con todas las complicaciones que ello acarrea (concentrarse en las consecuencia de un posible incumplimiento, conocer las correlaciones en todo el intervalo, ... ).
Para su determinación práctica se establecen dos alternativas, fórmula estándar y modelos internos.
La fórmula estándar aún no está cerrada, existiendo además varios planteamientos: fórmula basada en factores, simulación de escenarios, etc. Como ventajas más importantes de la fórmula estándar tenemos la sencillez de uso y la economía de medios.
Respecto a los modelos internos, previamente a su aplicación han de estar aprobados por el Supervisor. Entre las ventajas de un modelo interno podemos destacar que:
Mide los riesgos según la experiencia propia.•
89
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
Proporciona la base para una gestión efectiva de los riesgos.•
Posibilita evaluar la eficiencia de los mitigadores de riesgo.•
Exigen menos requisitos de capital.•
Si nos centramos en la aplicación de los modelos internos, podemos adoptar dos enfoques, “bottom up” y “top down”.
El enfoque “bottom up”, consiste en llevar a cabo stress test respecto a cada riesgo de forma individual, para posteriormente agregar la carga de capital individual con la finalidad de deter-minar el SCR.
El enfoque “top down”, consiste en construir un modelo de riesgo estocástico que combine los riesgos de forma simultánea, de manera que la obtención de la distribución del capital requerido es inmediata.
El Consultation Paper 20 (CP-20) del CEIOPS considera un Capital de Solvencia Básico Requerido (BSCR) obtenido a partir de los sub-riesgos de mercado, contrapartida y suscripción (Vida y No Vida), que se incrementaría con el sub-riesgo operativo y minoraría con los beneficios esperados en No Vida. El BSCR a su vez se corregiría con el efecto mitigador de la opción de participación en beneficios discrecional del ramo de Vida (repercute a los asegurados parte del resultado adverso cuando es posible).
4.- SuB-rIESGoS dE SuSCrIPCIÓN VIdA
Este artículo se centra en el sub-riesgo de suscripción Vida, por ser este específico del Sector Seguros. El sub-riesgo de Suscripción Vida a su vez se divide en:
Aumento de la mortalidad por un año.•
Aumento gradual de la mortalidad•
Incertidumbre de la mortalidad.•
Longevidad.•
Volatilidad.•
Caídas.•
Gastos•
90
El riesgo de aumento de la mortalidad por un año, no considera cambios en las expectativas de mortalidad de los años venideros. Podría estar causado por un brote de enfermedad infeccio-sa y letal. Ej. Epidemia de gripe española de 1918. Para medir este riesgo hay que analizar la probabilidad de ocurrencia de una pandemia, así cómo las consecuencias que esta tendría en la mortalidad. Algunas opiniones expertas hablan de un incremento aproximado en todas las edades de entre un 1 y el 2 por mil.
El riesgo de aumento gradual de la mortalidad, considera el incremento en las probabilidades de fallecimiento a largo plazo. Se podría deber por ejemplo a un cambio en las costumbres de la población, ej.: obesidad debida a la comida rápida, etc.
El riesgo de incertidumbre de la mortalidad es el riesgo de desconocimiento de la mortalidad futura debido a su ajuste a partir de fuentes poco fiables o abundantes.
El riesgo de longevidad es el riesgo de incremento en las probabilidades de supervivencia a largo plazo.
Estos cuatro sub-riesgos proporcionan a la aseguradora un riesgo técnico sistemático, o de desconocimiento de la prestación esperada. El aumento de la mortalidad ocasiona más prestacio-nes en Seguros de Vida – Riesgo y menos prestaciones en Seguros de Vida - Ahorro (capitales diferidos y rentas).
Este riesgo se puede diversificar con carteras compensadas de Vida – Riesgo y Vida – Ahorro. Para analizarlo, volvemos a nuestro ajuste de tablas de mortalidad para la población andaluza y más concretamente uno de los modelos aplicados para su ajuste, el modelo de Lee-Carter.
El modelo de Lee – Carter (1992), ajusta a la medida de mortalidad la función
€
ln(qxt ) = ax + bxkt + ε'xt
Los parámetros xa y xb son los parámetros que dependen de la edad, siendo xb el factor que captura la dinamicidad del proceso. Este modelo relaciona las tasas de mortalidad por edad con un único factor no observable kt que engloba las características generales de la mortalidad en el año t, conocido como “índice de mortalidad”. Para este término ha ajustado bien un modelo ARIMA(0,1,0), con constante negativa cuya expresión es
€
kt= c + k
t−1 + εt
donde c es la constante y
€
εt, es ruido blanco, es decir,
€
εt ~
€
N(0,σε ) .
A partir de la normal anterior y para una mujer andaluza de 70 años de edad en el futuro, ob-tenemos la distribución de probabilidad para la medida de mortalidad, recogida en el Gráfico 7, lo que permite simular la medida de fallecimiento futura.
91
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
Gráfico 7Distribución de la medida de mortalidad futura de una mujer andaluza de 70 años.
A partir de la simulación de escenarios se obtiene la distribución de probabilidad del Best Estimate para dentro de un año así cómo de las prestaciones abonadas.
Otro de los riesgos considerados es el de volatilidad el cual se concreta en el horizonte temporal de un año. Una vez conocida la mortalidad esperada, la mortalidad real fluctuará alrededor de la primera. Esto provoca a la aseguradora el riesgo técnico no sistemático, el cual es diversificable al incrementar el tamaño de la aseguradora.
Si bien podríamos considerar a partir de la mortalidad esperada una simulación por Monte-carlo, la International Actuarial Association propone la aproximación Normal Power, a partir de los tres primeros momentos de la distribución de Poisson Compuesta, con mucha menos carga computacional.
El riesgo de caída se refiere a la alteración de los compromisos de la aseguradora debido a otros derechos adquiridos por los Tomadores de las Pólizas. El Tomador puede rescatar, reducir, rehabilitar una Póliza reducida, solicitar anticipo, etc. Se podría estudiar el comportamiento del Tomador en base a información histórica, con la finalidad de establecer un modelo estadístico. El riesgo vendría determinado a partir de la volatilidad observada.
El riesgo de gastos es el riesgo de que los gastos previstos en la determinación del Best Esti-mate resulten insuficientes para los realmente incurridos. Para analizar el riesgo de inflación de gastos, algunos expertos proponen el Análisis de Componentes Principales. Esta técnica consiste en transformar un número de variables potencialmente correladas en un número menor de variables no correladas llamadas componentes principales. La curva de inflación vendría explicada en su mayor parte por los primeros componentes principales.
92
5.- AGrEGACIÓN dE SuB-rIESGoS
Otros sub-riesgos considerados por el CP-20 son el de mercado y contrapartida.
Dentro del subriesgo de mercado a su vez considera la siguiente desagregación:
Tipo de interés.•
Renta variable.•
Inmuebles.•
Divisas.•
Diferencial.•
Concentración.•
El riesgo de contrapartida hace referencia aquí al riesgo derivado del posible default de un tercero, con el que mantenemos un contrato destinado a la inmunización de algún riesgo técnico o financiero (reaseguradores o emisores de derivados financieros).
En cuanto a la agregación de riesgos un enfoque de arriba abajo no requeriría de una agrega-ción. No obstante su aplicación práctica cuenta con enormes complicaciones. Lo habitual es un enfoque de abajo arriba, con lo cual una vez determinada la carga de capital para cada sub-riesgo, es necesaria su agregación. Tendríamos, entre otras, dos posibilidades: matriz de correlaciones y aplicación de la teoría de cópulas.
La agregación de riesgos mediante una matriz de correlaciones,
€
ρi, j , se llevaría a cabo sim-plemente como sigue
€
BSCR = SR1,SR
2,...SR
n[ ] ×Mnxn×
SR1
SR2
...
SRn
donde SRi es el capital requerido para el sub-riesgo “i”, y Mnxn es la matriz de correlación entre los sub-riesgos.
En cuanto a la teoría de cópulas, tenemos que una n-dimensional cópula, C, es una n-dimensional función de distribución con distribución marginal uniforme. La estructura de dependencia entre los riesgos,
€
SR1,SR
2,...SR
n, se halla descrita por C, si la función de distribución F de estos
sub-riesgos viene dada por:
93
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
€
F SR1,SR
2,...SR
n( ) = C F1(SR
1),F
2(SR
2),...F
n(SR
n)( )
donde 1F denota la distribución marginal de
€
SRi.
La elección de la cópula, C, óptima se complica enormemente debido a la falta de experiencia en los extremos de las distribuciones. La carga computacional también es considerable. Por otra parte, las cópulas más idóneas para su aplicación en seguros son las arquimedianas (se incluye una ilustración de la Cópula de Frank y la Cópula de Gumbel para dos sub-riesgos en los Gráficos 8 y 9).
Si bien la aplicación de la teoría de cópulas se complica enormemente respecto al uso de la matriz de correlaciones, tenemos que: la última considera distribución normal de cada sub-riesgo. Sin embargo:
La distribución de pérdidas es usualmente asimétrica y de cola gruesa.•
La dependencia entre subriesgos incrementa normalmente en las colas.•
Gráfico 8Cópula de Frank para dos sub-riesgos
94
Gráfico 9Cópula de Gumbel para dos sub-riesgos
6.- CoNCluSIoNES
El nuevo panorama plantea todo un reto para las Aseguradoras y sus profesionales. La inversión en formación, minorará con toda probabilidad los requerimientos de capital en el futuro.
Los modelos internos requerirán además del dominio de técnicas cuantitativas y actuariales, un exhaustivo conocimiento del negocio propio. Para validar un modelo interno el supervisor comprobará no sólo su calidad estadística y adecuada calibración, sino también que la Aseguradora aplica los resultados del modelo interno en su gestión y administración.
Buena parte de las aseguradoras españolas ya usan técnicas cuantitativas para su gestión. En estos casos alinear sus modelos según los requerimientos que establezca Solvencia II, será siempre más sencillo. Las demás deberían llevar a cabo una reorganización interna para hacer realidad un sistema de control interno efectivo y una gestión de riesgos integral y real.
Como se expuso ampliamente en la jornada internacional sobre Solvencia II del 30 de noviembre 2006, UNESPA (2006), los que esperen al BOE no llegarán nunca.
95
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
7. ANEXo: ModElIzACIÓN ESToCÁSTICA dE lA ESTruCTurA TEMPorAl dEl TANTo dE MorTAlIdAd
7.1. resultados analíticos
Partiendo de la tabla de mortalidad dinámica, que establece para cada generación una cohorte de 10n individuos, cuyo descenso gradual hasta la edad máxima,
€
ω , determina la esperanza ma-temática de las probabilidades de supervivencia y fallecimiento, se define
€
T− t px+ t =lx+T
lx+ t
como la probabilidad de supervivencia en el intervalo [ ]Tt, , según la probabilidad real, P . El tanto instantáneo o fuerza de mortalidad, cómo
que sigue un proceso estocástico que se rige por la siguiente Ecuación Diferencial Estocástica
€
dµx(t) = (θ(t) − aµ
x(t))dt +σdW (t)
Se introduce la probabilidad de supervivencia del Asegurado en t ,
€
t px = exp − µx (s)ds0
t
∫
para considerar que existe una medida de probabilidad, Q , riesgo neutro, para la cual las pro-babilidades de supervivencia del Asegurado en [ ]Tt, , condicionadas a la supervivencia en t ,
€
t /τ px=t px⋅T− t px+ t ,
son martingala. Esto permite determinar la probabilidad de supervivencia en el intervalo
€
T − t[ ] ,
€
T− t px+ t , la cual se considera que tiene un solo factor de riesgo, identificado con el tanto instantáneo de mortalidad,
€
µx(t), y representado por,
€
τ px+ t (µx (t)) , siendo
€
τ = T − t . Aplicando Itô – Taylor se obtiene
€
τ px+ t (µx (t)) =∂p
∂tdt +
∂p
∂µdµ +
1
2
∂2p
∂µ2(dµ)2
(t,T)
€
=∂p
∂tdt + m
∂p
∂µ+1
2σ 2 ∂
2p
∂µ2
(t,T)dt +σ
∂p
∂µ(t,T)dW (t)
96
donde se ha incluido el coeficiente de deriva,
€
m(t) = (θ(t) − aµx(t)).
Si se identifica
€
τ px+ t (µx (t)) ⋅mp (t,T) =∂p
∂tdt + m
∂p
∂µ+1
2σ 2 ∂
2p
∂µ2
(t,T)
€
τ px+ t (µx (t)) ⋅σ p (t,T) =σ (t,µ)∂p
∂µ(t,T)
se puede escribir
€
dτpx+ t (µx (t))=τ px+ t (µx (t)) ⋅ mp (t,T) +σ p (t,T)dW (t)( )
En cuanto al cambio a la medida de probabilidad, Q , riesgo neutro, se considera
€
π (t) = −mp (t,T) −µ(t)
σ p (t,T)
como una prima asociada al factor de riesgo, e independiente del plazo [ ]Tt, . Así bajo esta nueva medida de probabilidad,
€
τ px+ t (µx (t)) , cumple
€
dτpx+ t (µx (t))=τ px+ t (µx (t)) ⋅ (µx (t) −σ p (t,T)π (t))dt +σ p (t,T)dW (t)( )
Aplicando el teorema de Girsanov se puede escribir lo anterior como
€
dτpx + t (µx (t))=τ px + t (µx (t)) ⋅ µx (t)dt +σ p (t,T)d ˜ W (t)( ) (8.1)
donde
€
d ˜ W = dW −π (t)dt
Asimismo bajo esta medida, la difusión de la probabilidad de supervivencia futura tendría lugar bajo un nuevo coeficiente de deriva, así
€
τ px + t (µx (t)) ⋅ ˜ m p (t,T) =∂p
∂tdt + (m +σπ (t))
∂p
∂µ+
1
2σ 2 ∂
2p
∂µ2
(t,T)
por lo que se tiene que
(8.2)
97
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
Combinando (8.1) y (8.2) se llega a:
así como la condición final 10 =+Txp para todo en Tt = .
Se puede comprobar que este modelo presenta características de los modelos afines de tipos de interés, al encontrar el anterior problema de valor final una solución de la forma
Diferenciando en el problema de valor final ésta expresión respecto a t y a
€
µx se tiene:
siendo y .
Dividiendo por y teniendo en cuenta que para todo
€
µx se ha de cumplir la
anterior expresión se llega a
La condición equivale a decir que 1)0( =A y. 0)0( =B . Se obtiene,
La primera ecuación se resuelve a partir de lo anterior e integrando en
€
s∈ t,T[ ],
98
7.2. Implementación numérica
Se implementá numéricamente el anterior proceso estocástico a través de un árbol trinomial recombinante. Para ello se supondrá que la difusión tiene lugar cada período de tiempo
€
Δt , para lo cual se define el tanto de mortalidad a un plazo
€
t,t + Δt[ ]
€
µx+ t
Δt = µx(s)ds
t
t+Δt
∫
de modo que la probabilidad de supervivencia del asegurado de edad tx + durante el plazo
€
t,t + Δt[ ] será .
En adelante, para simplificar la exposición se obviará la referencia al tiempo cronológico y al tiempo biométrico. Por otra parte y dado que la tabla de mortalidad se suele ajustar para tramos de un año de duración, se fijará para el tanto de mortalidad un plazo
€
x + t . De esta manera a partir de la tabla de mortalidad ajustada se obtiene:
Se supondrá que el tanto de mortalidad a un año,
€
µt, es un proceso estocástico que sigue la
dinámica expuesta para el tanto instantáneo de mortalidad,
€
µx(t), de modo que:
A continuación se considera el proceso
€
µt separado en dos componentes: una determinística
y otra estocástica con nivel de reversión a 0, como sigue
€
µt= S
t+Ω
t
donde
€
µt
= St+Ω
t es una función determinística que únicamente depende de t . Su finalidad es que el proceso
replique la tabla de mortalidad ajustada
tS es un proceso estocástico similar a
€
µt pero con nivel de reversión a 0.
El primer paso consiste en el ajuste del proceso estocástico auxiliar tS , cuya evolución será
€
dSt= −aS
tdt +σdW
t
S0
= 0
99
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
y para cuyos saltos en tiempo discreto se consideran esperanzas y varianzas condicionales:
€
E Si− S
i−1 Si−1[ ] = M ⋅ Si−1
V Si− S
i−1 Si−1[ ] =V
donde
€
M = e−a−1( ) y
€
V =σ 21− e
−2a( )2a
.
Para parámetros a y
€
σ 2 constantes, se fijan valores de tS , cuyo valor será múltiplo de un
espacio,
€
ΔS . Se identifican los valores del proceso iS , por
€
S(i, j) ≡ S(iΔt, jΔS) .
Dado que se pretende ajustar tres condiciones: media, varianza y probabilidades de transición, se han de construir árboles con ramificación trinomial. La configuraciones posibles serán las con-sideradas en el Gráfico 3, que se incluye en el apartado 2.
Gráfico 3Árbol trinomial del tanto de mortalidad.
Las probabilidades de transición entre nodos dependen de la configuración de que se trate, siendo para la configuración normal las siguientes:
100
donde
)(1 jp : probabilidad de transición del nodo a )1,( +ji ;
)(2 jp : probabilidad de transición del nodo
€
(i −1, j) a ),( ji ;
)(3 jp : probabilidad de transición del nodo
€
(i −1, j) a
€
(i, j −1).
Para la configuración ascendente, las probabilidades de transición son:
donde
)(1 jp : probabilidad de transición del nodo
€
(i −1, j) a )2,( +ji ;
)(2 jp : probabilidad de transición del nodo
€
(i −1, j) a )1,( +ji ;
)(3 jp : probabilidad de transición del nodo
€
(i −1, j) a ),( ji .
101
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
Por último en la configuración descendente las probabilidades de transición son:
donde,
)(1 jp : probabilidad de transición del nodo a ),( ji ;
)(2 jp : probabilidad de transición del nodo
€
(i −1, j)a
€
(i, j −1);
)(3 jp : probabilidad de transición del nodo
€
(i −1, j) a .
La regla para decidir la ramificación adecuada para cada nodo, será una vez definida
€
L =0,1835
M
,
de manera que,
-L ≤ j ≤ L → central
j > L → descendente
j < L → ascendente
Para ilustrar lo anterior se expone un ejemplo. Partiendo de unos parámetros a =0,203954 y
€
a = 0,45231%. Siguiendo el proceso ya descrito se obtienen los valores para las probabilidades de transición incluidos en la Tabla 2 y los valores del proceso auxiliar tS que aparecen en la Tabla 3.
102
Tabla 2Probabilidades de transición en el árbol del tanto de mortalidad (estacionarias).
J p1(j) p2(j) p3(j)
1 0,906937 0,001627 0,091437
0 0,166667 0,666667 0,166667
-1 0,091437 0,001627 0,906937
Tabla 3Valores temporales en el árbol de la variable St.
J jiS ,
1 0,70992%
0 0,00000%
-1 -0,70992%
A partir de tener identificado el árbol para el proceso, tS , el segundo paso en la implemen-tación del modelo consiste en convertir este árbol en el correspondiente al tanto de mortalidad,
€
µt, de manera que quede replicada la tabla de mortalidad del asegurado correspondiente. Para
determinar los valores,
€
µi, j ≡ µx,y (iΔt, jΔS) , lo único que resta es determinar en cada período las cantidades,
€
Ωi≡ Ω(iΔt) . Para ello nos apoyaremos en los razonamientos que sugieren los
precios Arrow – Debreu. El sentido económico que le atribuiremos a éstos seudo – precios Arrow – Debreu, jiQ , , será el valor probable de un euro prometido en el escenario correspondiente a:
supervivencia del asegurado en • i , y
que el tanto de mortalidad •
€
µi, j se halle en el nodo, j , para el intervalo i .
El proceso sería el que sigue:
Inicializamos el algoritmo con 1. 0,0Q = 1. Así cómo
€
Ω0 = µ0 = −loglx+1
lx
Los seudo - precios Arrow – Debreu, 2. 1,1Q , 0,1Q y
€
Q1,−1, se determinan cómo:
103
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
€
Q1,1
=Q0,0⋅ p
3(1) ⋅ px
Q1,0
=Q0,0⋅ p
2(0) ⋅ px
Q1,−1 =Q
0,0⋅ p
1(−1) ⋅ px
siendo x
xx l
lp 1+= , la probabilidad de supervivencia a un año.
A partir de todos los seudo - precios 3. jiQ , , para tiempo, i, se puede calcular
€
Ωi.
Transcurrido el primer año, la probabilidad, 1+xp , dependerá de cada nodo:
Aplicando Bayes se determina inmediatamente que:
€
2 px =Q1,1 exp −(Ω1 + ΔS)( ) +Q1,0 exp −Ω1( ) +Q1,−1 exp −(Ω1 −ΔS)( )
Por lo que se obtiene la expresión
Y ya es inmediato obtener los valores
104
El enfoque anterior proporciona un algoritmo recursivo, ya que en general
Los seudo – precios Arrow – Debreu para el ejemplo incluido se incluyen en la Tabla 4 y los valores correspondientes a
€
µi, j en la Tabla 5.
Tabla 4Valores temporales de los precios Arrow-Debreu para el tanto de mortalidad.
J 0 1 2 3 4
1 0,164584 0,269280 0,334385 0,373259
0 1,000000 0,658335 0,433295 0,285227 0,187917
-1 0,164584 0,271159 0,338974 0,380767
Tabla 5Valores temporales en el árbol del tanto de mortalidad.
J 0 1 2 3 4
1 2,11482% 2,28046% 2,46667% 2,68457%
0 1,25767% 1,40490% 1,57054% 1,75675% 1,97465%
-1 0,69497% 0,86062% 1,04683% 1,26473%
A.1.3. Calibración del modelo para el tanto de mortalidad
La construcción del árbol trinomial para el tanto de mortalidad se sirve de la tabla de mortalidad ajustada, de modo que las probabilidades de supervivencia obtenidas con la tabla de mortalidad son
105
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
equivalentes a las proporcionadas por el árbol trinomial. La calibración que persigue este apartado es la determinación de los parámetros de volatilidad a y
€
σ .
El objetivo es pasar de la probabilidad real, P , a una probabilidad martingala riesgo – neu-tro, Q , que considere las expectativas de los intervinientes en el mercado, en cuanto a la futura evolución de la medida de mortalidad.
Lamentablemente no existe un mercado de instrumentos financieros líquido, cuyo subyacente sea el tanto de mortalidad. Son muy pocos los antecedentes de instrumentos financieros cotizados que consideran la medida de mortalidad, como el EIB/BNP Long – term longevity bond, de no-viembre 2004, y el Swis – Re Short – term.
Aquí se expone cómo calibrar el modelo expuesto a partir de un derivado, que tomará cómo subyacente una renta vitalicia, constante a prima única, que se devenga en un tiempo posterior, T , a la fecha de valoración t . Es lo que Schrager (2006) denomina GAOs (Guaranteed Annuity Options).
Se denotará por ),( TtRx , la cuantía determinada en t , de una pensión vitalicia constante y pagadera a partir de T (diferida por tiempo
€
T − t ), por períodos vencidos de longitud,
€
Δt , a cambio de una prima única de un euro, sin gastos que se devengará asimismo en T . El valor razonable en t, de ),( TtRx resulta sin considerar riesgo de crédito
siendo
€
τ = T − t .
€
τ Ex+ t
Q=τ px+ t
Q⋅ P(t,T)
Q⇒ valor actual actuarial en t , de un euro prometido en T , para
un persona de edad tx + , en t , bajo la probabilidad martingala riesgo neutro, Q .
€
τ /ax+ t
Q= i− t px+ t
Q⋅ P(t,i)Q
i=T +1
ω−T−1
∑ ⇒ valor actual actuarial en t , de una renta vitalicia,
constante y postpagable pagadera a partir de T , para un persona de edad tx + , en t , bajo la probabilidad martingala riesgo neutro, Q .
€
ω : edad máxima que puede alcanzar la persona.
€
P(t,T)Q⇒ precio del bono cupón cero en t , con vencimiento en T , bajo la probabilidad
martingala riesgo neutro, Q .
La valoración de la pensión determinada en T , sería en cambio
106
Se considera a continuación que existe una medida de probabilidad xQ , equivalente según la cual
es martingala, siendo )(tV el proceso correspondiente a un instrumento financiero que coti-za en el mercado. Bajo esta medida de probabilidad, xQ , tenemos que ),( TtRx es martingala, viniendo reglada su evolución según la siguiente EDE
siendo
€
dZ(t) : movimiento Browniano para la evolución de la medida de mortalidad, según la nueva medida de probabilidad xQ .
€
σx(t,T) : proceso de la volatilidad de ),( TtRx , respecto de los cambios en la medida de
mortalidad.
€
dW (t) : movimiento Browniano para la evolución de los tipos de interés sin riesgo, según la nueva medida de probabilidad xQ .
€
σP(t,T): proceso de la volatilidad de ),( TtRx
, respecto de los cambios en los tipos de interés.
Si se parte de que
€
σx(t,T) y
€
σP(t,T) son determinísticos, entonces ),( TsRx para
€
t < s ≤ T es log-normal bajo xQ , siendo
€
EQx Rx (s,T)Gt[ ] = Rx (t,T)
VarQx Rx (s,T)Gt[ ] = σ x (u,T)2
+ σP (u,T)2( )du
t
s
∫
donde tG representa toda la información disponible en t .
Se considera a continuación un contrato que tiene una garantía referenciada a esta pensión vitalicia anual a partir de T . En el mercado abierto, cada euro en tiempo T , garantiza una pensión vitalicia anual de ),( TTR x (suponiendo ausencia de gastos y a valor razonable). El mencionado contrato garantiza que la pensión por cada euro de prima en T , será cómo mínimo de K , por lo que se obtendrá
{ }),(,max TTRK x
lo cual en términos de ),( TTRx , será
107
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
€
max K,Rx (T,T){ }Rx (T,T)
=1+Op(T)
donde
€
Op(T) =(K − Rx (T,T))
+
Rx (T,T) : representa el valor en T de la opción implícita.
Consideramos además que de un número inicial de asegurados, xl , de referencia cómo nomi-nal, cobrarán los que sigan vivos en T , y que denotamos por Txl + . Asimismo con la información hasta T , TG , tenemos que el número de asegurados, Txl + , sigue una distribución binomial de parámetros txl +
y , determinándose su valor esperado cómo
€
lx+ t ⋅τ px+ t
Q, lo que también
se puede escribir cómo
.
Definimos
,
lo cual será de utilidad más adelante en la expresión 8.3, debido a que el valor de Txl + es independiente de la tabla de mortalidad en uso en tiempo T .
Por otra parte, el valor total del contrato en T , teniendo en cuenta este nominal referenciado al número de supervivientes será
{ } QTxxTx aTTRKl ++ ×× ),(,max
y el de la opción implícita
Suponemos que la opción implícita se cotiza con precio en t , de manera que
€
Op(t)
τ /ax+ t
Q,
es martingala bajo la medida de probabilidad xQ . La propiedad martingala de xQ , implica que
€
Op(t)
τ /ax+ t
Q
€
= EQx
Op(T)
τ /ax+ t
QGt
€
= EQx lx+T ⋅(K − Rx (T,T))
+
Rx (T,T) ⋅ τ /ax+ t
QGt
108
€
= EQx EQx lx+T ⋅(K − Rx (T,T))
+
Rx (T,T) ⋅ τ /ax+ t
QGT
Gt
€
= EQx EQx lx+T GT[ ](K − Rx (T,T))
+
Rx (T,T) ⋅ τ /ax+ t
QGt
€
= EQx n(t)T pxQ (K − Rx (T,T))
+
Rx (T,T) ⋅ τ /ax+ t
QGt
(8.3)
€
= EQxn(t)(K − R
x(T,T))
+G
t[ ]
Llegando de éste modo a que:
€
Op(t)
€
= n(t) ⋅ τ /ax+ t
Q⋅ (KΦ(−d
2) − Rx (t,T)Φ(−d1))
donde,
€
d1,2 =logR
x(t,T) /K ± 1
2σRx
2
σRx
€
Φ(⋅) : distribución acumulada de la normal estándar.
€
σRx
2= σ
x(u,T)
2+ σ
P(u,T)
2( )dut
T
∫
.
Los parámetros, a y
€
σ , para los que el modelo quedaría calibrado, serían aquellos que mi-nimizaran esta distancia
€
argminOpi −Mi(a,σ )
Opii=1
n
∑
siendo,
€
Opi : el precio de mercado del instrumento financiero descrito, y
€
Mi(a,σ ) : el valor proporcionado por el modelo para este instrumento, considerando difusión
en los tipos de interés y el tanto de mortalidad.
109
Colaboración
Solv
enci
a II
: Cap
ital E
conó
mic
o...
8. BIBlIoGrAFíA
BIFFIS, E. Y. MILLOSSOVICH., P. (2006). “The fair value of guaranteed annuity options.” Scandinavian Actuarial Journal. Volumen 2006(1).
CAIRNS, A. J. G., BLAKE, D. y DOWD, K. (2004). “Pricing death: frameworks for the valuation and securitization of mortality risk.” Preprint, Actuarial Mathematics and Statistics, School of Mathematical and Computer Sciences, Heriot – Whatt University.
CARTER, L. Y. LEE, R. (1992). “Modelling and forecasting U. S. mortality.” Journal of then American Statistical Association. Volumen 87(419).
COMISIÓN DE LAS COMUNIDADES EUROPEAS (2007). “Propuesta de Directiva del Par-lamento Europeo y del Consejo, sobre el seguro de vida el acceso a la actividad de seguro y de reaseguro y su ejercicio, Solvencia II”.
DAHL, M. (2004). “Stochastic Mortality in Life Insurance: Market Reserves and Mortality Linked Insurance Contracts.” Insurance: Mathematics and Economics. Volumen 35
HULL, J. Y WHITE, A. (1990). “Pricing interest rate derivative securities.” Review of Financial Studies. Volumen 3.
HUNT, J., KENNEDY, J. y PELSSER, A. (2000). “Markov functional interest rate models” Finance & Stochastics. Volumen 4.
INTERNATIONAL ACCOUNTING STANDARD BOARD (IASB) (2003b). “International Ac-counting Standard 39 Financial Instruments: Recognition and Measurement.” December.
IASB (2003c). “Fair value hedge accounting for a portfolio hedge of interest rate risk.” Exposure draft of proposed Amendment to IAS 39 Financial Instruments: Recognition and Measurement, August.
IASB (2005). “The fair value option.” Amendment to IAS 39 Financial Instruments: Recognition and Measurement, June
INTERNATIONAL ACTUARIAL ASSOCIATION (IAA) (2004). “A Global Framework for Insurer Solvency Assessment.”
INTERNATIONAL ACTUARIAL ASSOCIATION (2004). “Changes in Accounting Policy while under International Financial Reporting Standards.” Preliminary ED.
NIETO, U. Y VEGAS, J. (1993). “Matemática Actuarial.” Madrid, Mapfre.
OLIVIER, P. y JEFFERY, T. (2004). “Stochastic mortality models.” Presentation to the Society of Actuaries of Ireland. Disponible en
http://www.actuaries.ie/Resources/events_papers/PastCalendarListing.htm
110
POZUELO, E. (2007). “El Fair Value de las Provisiones Técnicas de Seguros de Vida”. Instituto de Ciencias del Seguro. Fundación Mapfre.
SCHÖNBUCHER, P. J. (1999). “A Tree Implementation of a Credit Spread Model for Credit Derivatives.” Technical report. University of Bonn..
SCHRAGER, D. F. (2006). “Affine stochastic mortality.” Insurance: Mathematics & Economics. Volumen 38(1).
UNESPA (2006). “Solvencia II: más cerca de lo que parece”. Jornada internacional celebrada en Madrid, organizada por UNESPA.
VASICEK O. A. (1982). “ An equilibrium characterisation of the term structure.” Journal of Fi-nancial Economics. Volumen 5 (2).
111
Notas
NoTAS