SOLUCIONES

FASE FASE FASE FASE I:I:I:I:CATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA A Y BY BY BY B FASE IFASE IFASE IFASE IIIII: : : : CATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA A FASE IFASE IFASE IFASE IIIII: : : : CATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA A

2 9 4

7 5 3

6 1 8

PROBLEMA Nº 1: LOS OCHO OCHOSPROBLEMA Nº 1: LOS OCHO OCHOSPROBLEMA Nº 1: LOS OCHO OCHOSPROBLEMA Nº 1: LOS OCHO OCHOS

Usando ocho ochos deben obtenerse cifras, que, una vez sumadas, den por resultado el númeo 1000

Solución 888+88+8+8+8=1000Solución 888+88+8+8+8=1000Solución 888+88+8+8+8=1000Solución 888+88+8+8+8=1000

PROBLEMA Nº 2 PROBLEMA Nº 2 PROBLEMA Nº 2 PROBLEMA Nº 2 : EL CUADRADO MÁGICO: EL CUADRADO MÁGICO: EL CUADRADO MÁGICO: EL CUADRADO MÁGICO Sobre un cuadrado de nueve casillas, deben colocarse nueve números distintos: los comprendidos entre 1 y 9, ambos inclusive, por tanto, se trata de no repetir ninguno. Una vez dispuestos, la suma de las columnas horizontales, verticales y diagonales ha de dar siempre el mismo resultado. Una Solución podría ser:Una Solución podría ser:Una Solución podría ser:Una Solución podría ser:

SOLUCIONES

FASE I: FASE I: FASE I: FASE I: CATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA ACATEGORÍA A Y BY BY BY B

PROBLEMA Nº 3 : LA EDAD DE LAS HIJASPROBLEMA Nº 3 : LA EDAD DE LAS HIJASPROBLEMA Nº 3 : LA EDAD DE LAS HIJASPROBLEMA Nº 3 : LA EDAD DE LAS HIJAS Se dice que este problema le fue planteado a Einstein por un grupo de sus alumnos (no vais a ser menos que Einstein)

Dos profesores pasean, charlando de sus respectivas familias. -Por cierto pregunta uno-, ¿de que edad son tus tres hijas? - El producto de sus edades es 36- contesta su colega-, y su suma, casusalmente, es igual al número de tu casa.

Tras pensar un poco, el que ha formulado la pregunta acota: -Me falta un dato. - Es verdad- concede el otro-. Me había olvidado de aclararte que la mayor toca el piano. ¿Que edades tiene las tres hijas del profesor? Solución:Solución:Solución:Solución: En principio sabemos que el número 36 es el producto de tres factores (la edad de las tres hijas). Descomponiendo dicho producto se obtienen las siguientes fórmulas o planteamientos: 1*1*36=36 1*2*18=36 ; 1*3*12=36; 1*4*9=36 ; 1*6*6=36;1*6*6=36;1*6*6=36;1*6*6=36; 2*2*9=362*2*9=362*2*9=362*2*9=36; ; ; ; 2*3*6=36; 3*3*4=36 Si todas las sumas de estos factores fueran distintas, el problema pronto quedaría resuelto, pues la suma que coincidiera con el número de la casa donde vive el profesor automaticamente delataría la edad de cada una de las tres hijas. Observamos que todas las ternas suman distintas salvo: 1+6+6 y 2+2+9 que ambas suman 13; La aclaración “La mayor toca el piano descarta la posibilidad de la fórmula : 1+6+6 , pues no hay mayor. Luegos las edades sons 2,2 y 9

¿¿¿¿ Quéééé edad

tienen tus tres

hijas? El producto de

sus edades es 36

PROBLEMA Nº 4 : PROBLEMA Nº 4 : PROBLEMA Nº 4 : PROBLEMA Nº 4 : GARRAFAS JUNGLA DE CRISTALGARRAFAS JUNGLA DE CRISTALGARRAFAS JUNGLA DE CRISTALGARRAFAS JUNGLA DE CRISTAL En la película La Jungla de Cristal 2, el malo propone a McCane y a su amigo un problema. Para desactivar una bomba tienen que colocar sobre una maleta una garrafa que contenga exactamente 4 litros de agua, pero sólo disponen de una garrafa de 5 litros y otra de 3 litros, ¿cómo lo resuelven? Solución:Solución:Solución:Solución: Hay varias soluciones para conseguir exactamente 4 litros de agua cuando sólo dispones de una garrafa de 3 y otra de 5 litros. Algunas pueden ser:

5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll

5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll

5l5l5l5l 3333llll 5l5l5l5l 3333llll

4 l4 l4 l4 l

4 l4 l4 l4 l ObservacionesObservacionesObservacionesObservaciones: : : : Verter, vaciar se escriben con VVerter, vaciar se escriben con VVerter, vaciar se escriben con VVerter, vaciar se escriben con V Y echar sin HY echar sin HY echar sin HY echar sin H Más Más Más Más del 42% habeis escrito mal alguna de del 42% habeis escrito mal alguna de del 42% habeis escrito mal alguna de del 42% habeis escrito mal alguna de estas palabras.estas palabras.estas palabras.estas palabras.

FASE I IFASE I IFASE I IFASE I I

CATEGORÍA A CATEGORÍA A CATEGORÍA A CATEGORÍA A

PROBLEMA Nº 5 : UNIR 9 PUNTOSPROBLEMA Nº 5 : UNIR 9 PUNTOSPROBLEMA Nº 5 : UNIR 9 PUNTOSPROBLEMA Nº 5 : UNIR 9 PUNTOS Se trata de unir estos nueve puntos mediante cuatro trazos rectilíneos continuos. Es decir, sin levantar el lápiz del papel , ni recorrer dos veces el mismo trazo.

PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº 6666 : con 18...con 18...con 18...con 18...

¿cuántos números de cuatro cifras, terminados en 18, son multiplos de 18? SON DIEZ 1818, 2718, 3618, 4518, 6318, 7218, 8118, 9018,

5418,

PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº 7777 : EL PEZEL PEZEL PEZEL PEZ En una conversación entre pescadores, cada uno de ellos presume de la medida de la pieza pescada. Uno de ellos, Antonio; no queriendo pasar por mentiroso ni queriendo exagerar como es constumbre, procuró contar lo que pescara de la siguiente manera:

a) La cabeza medía 12 cm b) El cuerpo medía tanto cmo

la cola más la tercera parte de la cabeza

c) La cola medía tanto como la cabeza más la tercera parte del cuerpo.

¿ Cuánto medía la pieza que pescó Antonio? Solución:Solución:Solución:Solución: 1ª forma : Hacemos un esquema del cuerpo, dividido en tercios: Como la cola es igual a 1/3 del cuerpo más la cabeza, y el cuerpo es la cola más un tercio de la cabeza, entonces los 2/3 del cuerpo son iguales a la cabeza más 4, es decir, son iguales a 16. Entonces: 1/3 del cuerpo = 8 cm El cuerpo = 24 cm La cola = 8+12= 20 cm. La longitud total del pez ez: 24+20+12= 56cm. 2ª forma : Mediante ecuaciones: llamamos c a la cola y t al cuerpo t=c+4 c=12+t/3 Resolviendo t=24 c=20 La medida total del pez será: 24+20+12=56

PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº 8: LA FINCA8: LA FINCA8: LA FINCA8: LA FINCA Mi tio Juan tiene una finca de 400m2 en forma de hexágono regular. Divide la finca en cuatro partes como indica la figura. Vende los tres trozos exteriores y se queda con la finca interior en forma de triángulo. ¿ cual era la superficie de cada uno de los trozos que vendió?

Solución:Solución:Solución:Solución: Tenemos que darnos cuenta que al dibujar las diagonales, el hexágono queda dividido en seis triángulos iguales. Observamos que cada parte que vendió tiene la misma superficie que cada uno de los triangulos que se formaron al dividirlas en diagonales. Por tanto la superficie vendida es la sexta parte de la superficie del hexágono 400/6 = 66,666666 m2.

FASE I IFASE I IFASE I IFASE I I CATEGORÍA B CATEGORÍA B CATEGORÍA B CATEGORÍA B Nº acreditacion:______________

PROBLEMA Nº 5 : UNIR 16 PUNTOSPROBLEMA Nº 5 : UNIR 16 PUNTOSPROBLEMA Nº 5 : UNIR 16 PUNTOSPROBLEMA Nº 5 : UNIR 16 PUNTOS Se trata de unir estos 16 puntos mediante seis trazos rectilíneos continuos. O sea, que el lápiz acabará su recorrido exactamente en el punto donde comenzó, sin levantar el lápiz del papel , ni recorrer dos veces el mismo trazo....

SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN: Este problema al igual que el de unir 9 puntos es una muestra de la significación de los problemas de ingenio, Nuestro inconsciente, nuestra lógica nos impone unas condiciones que no nos han sido pedidas en el planteamiento del problema.

La mayoría intentaremos que los vértices de las líneas coincidan con alguno de los puntos que pretendemos unir.

PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº PROBLEMA Nº 6666 : EL RESULTADO ESEL RESULTADO ESEL RESULTADO ESEL RESULTADO ES 100100100100 Empleando todos los números dígitos- del 1 al 9, en su orden y sin repitir ninguno- deben obtenerse cifras que sometidas a las

diversas operaciones ( sumar, restar, muñtiplicar o dividir), den por resultado 100. SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN Las soluciones pueden ser muy diversas una de ellas es: 123-45-67+89=100 PROBLEMA Nº 7: SEND MORE MONEYPROBLEMA Nº 7: SEND MORE MONEYPROBLEMA Nº 7: SEND MORE MONEYPROBLEMA Nº 7: SEND MORE MONEY De viaje, lejos de su casa un alumno advierte que necesitará más dinero para cumplr con su proyectada excursión de fin de curso. Escribe por lo tanto a su madre un escueto mensaje que dice: SEND MORE MONEYSEND MORE MONEYSEND MORE MONEYSEND MORE MONEY ( manda más dinero). Pero como no desea que su padre se entere de la cantidad que solicita dispone su texto según un código que sólo su madre conoce:

Se trata de sustituir cada letra por una determinada cifra: ¿Qué cantidad de dinero ha solicitado?

SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN:::: Lo primero que se advierte es que M = 1, ya que en una suma de dos sumandos no se puede llevar más de 1. En la columna de los millares llevamos 1, por tanto S + M ha de ser igual o superior a 10; pero como M = 1 resulta que la suma de S = 1, nunca será superior a 11 (la máxima suma posible sería S= 9 y llevando 1 de las centenas, o sea, 9 + 1 + 1 = 11). Esto significa que la letra O sólo puede ser 1 o o (cero), pero el 1 ya pertenece a M, por tanto O = 0. En la columna de las centenas uno de los sumandos es cero (O = 0), debido a lo cual es imposible llevar 1 (a menos que E fuera 9 y lleváramos 1 de las columnas de las decenas), pero entonces el resultado seria 10 y N tendría que ser 0 (cero), no

S E N D

+ M 0 R E

M O N E Y

siendo posible porque O = 0. De ello se deduce la imposibilidad de llevar 1 desde las centenas. Por tanto si S + 1 (M) ha de sumar O (0) y llevar 1 (M), sólo es posible aplicar a la S el número 9. En la columna de las centenas deducimos que N es igual a E + 1 (llevado de las decenas) pues E + O nunca será N (E + O = E) ya que a cada letra le corresponde un número distinto. Para la columna de las decenas, en principio sabemos que su

suma ha de ser superior a 11 (precisamos llevar una para las centenas. Entonces para las decenas son posibles dos planteamiemos: N + R = 10 + E, o bien N+R+1=10+E (el segundo supuesto se establece considerando llevar uno de las unidades). Si no llevamos , es decir, N + R = 10 + E y como N = E+1 tendriamos E + 1 + R = 10 + E, deduciendo que R igual a 9, no siendo posible, pues ya sabemos que S = 9. Por tanto hemos de llevar 1 de las unidades y aceptarr el segundo planteamiento: N + R + 1 = 10 +E, o sea. R + 8. Como llevamos 1 de las unidades, D + E =10 + Y, donde Y ha

de ser superior a 1. De los números que nos quedan las únicas parejas capaces de sumar 12 o más son 7 + 6 y 7 + 5, así que D o E han de ser 7; pero si E fuera 7, N sería 8 (pues N =E+1) y como 8 ya es R, E no puede ser 7, luego D es 7. E sólo puede ser 6 o 5, pero si E fuera 6, M seria 7, que ya

sabemos que es D, por consiguiente E =5 y por tanto N = 6, Y=2. El resultado definitivo es el siguiente:

9 5 6 7

+ 1 0 8 5

1 0 6 5 2

PROBLEMA NºPROBLEMA NºPROBLEMA NºPROBLEMA Nº 8888 : : : : ¿ TRIÁNGULO RARO?¿ TRIÁNGULO RARO?¿ TRIÁNGULO RARO?¿ TRIÁNGULO RARO? El cuadrado ABCD tiene los lados de 10 cm. Si M es un punto medio del lado AD y N es un pubto medio del lado AB. ¿Cuánto mide la altura del triángulo CMN, tomando de base el lado MN?

SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN:::: 1º forma: 1º forma: 1º forma: 1º forma: La altura del triángulo es las ¾ partes de la diagonal , que se puede calcular por pitágoras

200101022=+=d

Por tanto la altura será ¾ . 200 = 10,66 cm 2º forma:2º forma:2º forma:2º forma: Área del cuadrado 100 Área de los triangulos en cm2

MDC 25 cm2 MAN 25/2 cm2 NBC 25 cm2 Área del triángulo MNC es 100-25-25-25/2= 75/2

cmh

hhbA

66,102

15

2

75

2

.55

2

.22

==

=+

==

DDDD CCCC

AAAA BBBB

M

N