soluciones a snl de una variable 2

MÉTODOS NUMÉRICOSINGENIERÍA ELÉCTRICA

Cristian Rueda M., Msc.

Solución numérica a sistemas no lineales

TEMA No.2

2: SOLUCIÓN NUMÉRICA A SISTEMAS NO LINEALES DE UNA VARIABLE

METODOS CERRADOS Métodos que aprovechan el hecho de

que una función cambia de signo en la vecindad de una raíz.

Llamados métodos cerrados, o de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz.

METODOS CERRADOS Dichos valores iniciales deben

“encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz.

Los métodos particulares descritos aquí, emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta.

Método Gráfico Método simple para obtener una

aproximación a la raíz de la ecuación f (x) = 0, consiste en graficar la función y observar dónde cruza el eje x.

Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximación inicial de la raíz.

PROBLEMAUtilice el método gráfico para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s.

Nota: La gravedad es 9.8 m/s2.

PROBLEMAv(t)) + v(o)

Método Gráfico La curva resultante cruza

el eje c entre 12 y 16.

Un vistazo a la gráfica proporciona una aproximación a la raíz de 14.75.

Método Gráfico La validez de la aproximación visual se

verifica sustituyendo su valor en la ecuación: que está

El resultados es cercano a cero.

Método GráficoTambién se verifica por sustitución en la ecuación:

que es muy cercano a la velocidad de caída deseada de 40 m/s.

Método Gráfico Tienen un valor práctico limitado, ya que

no son precisos.

Se utilizan para obtener aproximaciones de la raíz.

Las aproximaciones se pueden usar como valores iniciales en otros métodos numéricos.

Método Gráfico Uso de gráficas por computadora para

localizar raíces.

Método Gráfico

Tiene varias raíces en el rango que va de x = 0 a x = 5.

Método Gráfico La gráfica muestra la existencia de varias

raíces, incluyendo quizás una doble raíz alrededor de

x = 4.2, donde f(x) parece ser tangente al eje x.

Se obtiene una descripción más detallada del comportamiento de f(x) cambiando el rango, desde x = 3 hasta x = 5,

Método GráficoAmplificación permiteobservar dos raíces distintas entre; x = 4.2 y x = 4.3

Método Gráfico Finalmente, se

reduce la escala vertical, de

f(x) = –0.15 a f(x) = 0.15, y la escala horizontal se reduce, de x = 4.2 a x = 4.3.

Método GráficoEsta gráfica: muestra claramente que no existe una

doble raíz en esta región y que, en efecto, hay

dos raíces diferentes entre x = 4.23 y x = 4.26.

Método de Bisección Conocido también como de corte binario,

de partición de intervalos o de Bolzano Tipo de búsqueda incremental en el que el

intervalo se divide siempre a la mitad.

Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.

Método de Bisección La posición de la raíz se determina

situándola en el punto medio del sub-intervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo.

El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Método de Bisección El Método de Bisección se basa en dos

teoremas:

TEOREMA DE BOLZANO TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Método de Bisección

El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signo opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.

DEMOSTRACION Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea T el conjunto formado por todos los

valores x/x E [a; b] para los que f(x) < 0. El conjunto T está acotado superiormente por b y, además, no es vacío ya que a pertenece a T.

Por ello el conjunto T tiene un extremo superior c.

Se cumple que f(c) = 0. Veamoslo:

DEMOSTRACION Si f(c) > 0, entonces por la propiedad de

la conservación del signo de las funciones continuas existiría un intervalo (c -∂; c + ∂) en el que la función sería también positiva.

En este caso existirían valores menores que c que servirían de cota superior de T y por ello c no sería el extremo superior de T como hemos supuesto.

DEMOSTRACION Si f(c) < 0, entonces existiría un intervalo (c -∂; c + ∂) en el que la función sería negativa y por tanto existirían valores de x a la derecha de c para los que la función sería negativa y por tanto c no sería el extremo superior de T.

DEMOSTRACION Por tanto f(c) tiene que tomar el valor

cero: f(c) = 0.

Si f(a) > 0 y f(b) < 0 el razonamiento es similar.

Método de la Bisección

El Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

DEMOSTRACION Para la demostración aplicamos el

teorema de Bolzano en la función g(x) = f(x)-k, la cual es continua, por serlo f(x), g(a) < 0 y g(b) > 0.

El teorema nos permite afirmar que existirá c E (a; b) tal que g(c) = 0 y en consecuencia f(c) = k.

Ejemplo

Ejemplo Consideramos la función h(x) = f(x)-x. Dicha función es continua por ser

diferencia de funciones continuas. Por ser f acotada en IR existe un M E

(0;+∞) tal que:-M < f(x) < M para todo x E IR:

Ejemplo Por tanto, para todo x E IR tenemos que: f(x)-M < 0 y f(x)+M > 0 y en consecuencia:

h(M) = f(M) - M < 0h(-M) = f(¡M) + M > 0:

Ejemplo Por el Teorema de Bolzano existe c e [-M;M] tal que h(c) = 0:

Ejemplo

Ejemplo Realizamos

una gráfica, para identificar un intervalo.

Ejemplo Aplicamos ahora el Teorema de Bolzano

para demostrarlo. Consideramos

Se trata de una función continua en el intervalo (-1;+∞) ya que es suma y cociente de continuas y no se anula el denominador.

Ejemplo Por otro lado;

Por tanto, el Teorema de Bolzano asegura que existe c E (0; 1) tal que f(c) = 0.

Podemos observar que la solución de la ecuación se encuentra entre t=0 y t=1

PROBLEMAEmplee el método de bisección para resolver el mismo problema que se resolvió usando el método gráfico.

Determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s. Nota: La gravedad es 9.8 m/s2.

PROBLEMA En el método gráfico se

observa que la función cambia de signo entre los valores 12 y 16.

Por lo tanto, la estimación inicial de la raíz se encontrará en el punto medio del intervalo.

PROBLEMA

Dicha aproximación representa un error relativo porcentual verdadero de Et = 5.3% (el valor verdadero de la raíz es 14.7802).

Problema Se crea un nuevo intervalo redefiniendo

el límite inferior como 14 y determinando una nueva aproximación corregida de la raíz:

Problema Por lo tanto, la raíz está entre 14 y 15. El límite superior se redefine como 15 y

la raíz estimada para la tercera iteración se calcula así:

Criterios de paro y Estimaciones de errores

Se requiere estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz.

Criterios de paro y Estimaciones de errores

2(0.5*10 )%ns

PROBLEMAS A DESARROLLAR

1.1

.

.n

Falsa Posición

Reemplaza la curva por una línea recta, por lo que nos da una “falsa posición” de la raíz

Taller

Falsa Posición

Reemplaza la curva por una línea recta, por lo que nos da una “falsa posición” de la raíz

Métodos a intervalos para la búsqueda de raíces múltiples

Por lo general una gráfica ayudará a encontrar las raíces de la función. Otra opción es realizar una búsqueda incremental. Esto consiste en empezar en un extremo del intervalo de interés y realizar evaluaciones de la función con pequeños incrementos a lo largo del intervalo.

Un remedio parcial para estos casos consiste en calcular la primera derivada de la función f'(x) al inicio y al final de cada intervalo. Cuando la derivada cambia de signo, puede existir un máximo o un mínimo en ese intervalo, lo que sugiere una búsqueda más minuciosa para detectar la posibilidad de una raíz.


Trazado con incrementos de 0.50, en el intervalo de 3 a 5


x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

x f(x) f'(x) raíces revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043

3.50 -0.903719597 -6.397834771 1

4.00 1.588967119 -5.059661863 1

4.50 1.445824188 2.841866609 1

5.00 -1.022062767 7.698796764 1

Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces

Necesario revisar en 2 subintervalo de incremento más

𝑓 (𝑥 )=𝑠𝑒𝑛 (10 𝑥 )+cos (3 𝑥) 𝑓 ′ (𝑥 )=10𝑐𝑜𝑠 (10 𝑥 )−3𝑠𝑒𝑛 (3 𝑥)

Trazado con incrementos de 0.20, en el intervalo de 3 a 5


x f(x) f'(x) raíces Revisar

3.00 -1.899161886 0.306159043

3.20 -0.433261175 8.865213949

3.40 -0.185182966 -6.386078685 1 1

3.60 -1.18610876 1.663171794 1

3.80 0.689859445 12.30872202

4.00 1.588967119 -5.059661863 1 1

4.20 0.082913038 -4.100722292

4.40 0.823585883 8.222212542 1 1

4.60 1.232603226 -7.152866457 1

4.80 -1.028072018 -9.298416724

5.00 -1.022062767 7.698796764 1 1

Trazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 4 raíces

Necesario revisar en 2 subintervalos de incremento más

𝑓 (𝑥 )=𝑠𝑒𝑛 (10 𝑥 )+cos (3 𝑥)

METODOS ABIERTOS En los métodos cerrados la raíz se encuentra dentro

de un intervalo predeterminado por un límite inferior y otro superior.

Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz. Éstos, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen, en general lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados

En a) se ilustra el método de bisección, donde la raíz está contenida dentro del intervalo dado por xi, yxu. Los métodos abiertos, ilustrados enb) y c), se utiliza una fórmula para dirigirse de xi a xi+1 con un esquema iterativo.Así, el método puede b) diverger o c) converger rápidamente, dependiendo de los valores iniciales.

Métodos abiertos

Métodos del punto fijo

Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), al arreglar la ecuación f(x) = 0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación:

x = g(x)

Existen dos técnicas:

1- Despejando la variable x

Ejemplo: f(x)= 3x2 - 4x + 5 Primero se iguala a cero la

función. Luego se despeja la variable x

.

453

05432

2

xx

xx

2- Sumando x a ambos lados de la ecuación (cos(x), sen(x), etc)

Ejemplo: f(x)= cos (x) Primero se iguala a cero la

función. Luego se suma la variable x a

ambos lados.

xxxx

xxf

cos0coscos

Use una iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x – x.

Ejercicio

Ejercicio Gráfico

Funciones Convergentes

Funciones Divergentes

23

032

32

2

2

2

xx

xx

xxxf

Iteración x a %

012345

1001

1

i

iia x

xx

Función:

Ejercicio

Iteración x a %

0 0 -1 1.5 1002 2.625 42.863 4.945 46.924 13.728 63.985 95.730 85.66

xsenx

xxsen

xxsenxf

0

Por iteración de punto fijo con xi = 0.5 y Ea ≤ 0.01%

Iteración X a %

0

1

2

3

4

5

Ejercicio

Iteración X a %

0 0.5

1 0.649636939 23.0339333

2 0.721523797 9.96319987

3 0.750901166 3.91228175

4 0.762096851 1.46906324

5 0.766248143 0.54176864

Método Newton Raphson

Representación gráfica del método de Newton-Raphson. Se extrapola una tangente a la función en xi [esto es, f’(xi)] hasta el eje x para obtener una estimación de la raíz en xi+1

Utilice el método de Newton Raphson para localizar la raíz de f(x) = e-x – x.

Ejercicio

Método de la Secante

Un problema potencial en la implementación del método de Newton-Raphson es la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios ni para muchas otras funciones, existen algunas funciones cuyas derivadas en ocasiones resultan muy difíciles de calcular. En dichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás.

Utilice el método de la Secante para localizar la raíz de f(x) = e-x – x. Comience con valores iniciales x-1=0 y x0=1

Ejercicio

Raíz múltiple

Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de

)1)(1)(3()( xxxxf

375)( 23 xxxxf

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4

La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x hace que dos términos de la ecuación sean iguales a cero.

Gráficamente, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble.

)1)(1)(3()( xxxxf

Raíz múltiple

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4

Raíz Triple Una raíz triple corresponde al caso en

que un valor de x hace que tres términos en una ecuación sean iguales a cero, como en

)1)(1)(1)(3()( xxxxxf

310126)( 234 xxxxxf

Raíz Triple Advierta que la

representación gráfica, indica otra vez que la función es tangente al eje en la raíz, pero que en este caso sí cruza el eje.

)1)(1)(1)(3()( xxxxxf

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

En general;

La multiplicidad impar de raíces cruza el eje.

Mientras que la multiplicidad par no lo cruza.

-4

-2

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4

Dificultades del métodode raíces múltiples;

1. El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide confiarse de los métodos cerrados.

2. Tanto f(x) como f’(x) se aproxima a cero en la raíz: Esto afecta a los métodos de Newton-Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas en el denominador de sus fórmulas respectivas.

Dificultades del método de raíces múltiples;

Esto provocará una división entre cero cuando la solución converge muy cerca de la raíz.

Pero, f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que f’(x). Por lo tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f’(x) llegue a cero.

Dificultades del método de raíces múltiples;

3. El método de Newton-Raphson y el método de la secante convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples.

Se han propuesto algunas modificaciones para atenuar el problema;

Cambio en la formulación para que se regrese a la convergencia cuadrática

donde m es la multiplicidad de la raíz; m = 2 para una raíz doble m = 3 para una raíz triple, etcétera. Alternativa poco satisfactoria, porque

depende del conocimiento de la multiplicidad de la raíz.

)(')(

1i

iii xf

xfmxx

Atenuación del problema

Otra alternativa Consiste en definir una nueva función

u(x), que es el cociente de la función original entre su derivada:

)(')()(xfxfxu

)(')(

1i

iii xf

xfxx

)(')(

1i

iii xu

xuxx

Otra alternativa

2)(')('')()(')(')('

xfxfxfxfxfxu

)('')()(')(')(

21 xfxfxfxfxfxx

i

iiii

EJEMPLO: Método de Newton-Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples

Uitilizar los dos métodos, el estándar y el modificado de Newton-Raphson; evalúe la raíz múltiple de la ecuación, use un valor inicial de xi = 0. 375)( 23 xxxxf

Por Newton-Raphson

)(')(

1i

iii xf

xfxx )7103()375(

2

23

1

xxxxxxx ii

i xi xi+1 Et%0 0 0,4285714 100,0%

1 0,4285714 0,6857143 57,1%

2 0,6857143 0,8328654 31,4%

3 0,8328654 0,9133299 16,7%

4 0,9133299 0,9557833 8,7%

5 0,9557833 0,9776551 4,4%

6 0,9776551 0,9887662 2,2%

Por Newton-Raphson modificado

)('')()(')(')(

21 xfxfxfxfxfxx

i

iiii

)106()375()7103()7103()375(

2322

223

1

xxxxxxxxxxxxx ii

i xi f(xi) f'(Xi) f''(xi) xi+1 Et%

0 0 -3 7 -10 1,105263 100,0%

1 1,105263 -2,10E-02 -3,88E-01 -3,37E+00 1,003082 10,5%

2 1,003082 -1,90E-05 -1,23E-02 -3,98E+00 1,000002 0,31%

3 1,000002 -1,13E-11 -9,53E-06 -4,00E+00 1,000000 0,0002%

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x*

y*

i 1 i ix u * (x ,y )

i 1 i iy v * (x ,y )

-2

0

2

4

6

8

10

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2x xy 10

2y 3xy 57 (2, 3)

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consideramos la intersección de dos funciones no lineales u(x, y) y v(x,y).

MÉTODO DE PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

u(x, y)

v(x, y)

x

y

Punto fijo en S.E. no lineales

2. La intersección de las curvas u(x, y) y v(x, y) se da cuando u(x, y) - v(x, y) = 0, por lo que u(x, y) = v(x, y).

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x*

y*

3. El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

x3x2

y3

y2

4. El método consiste en considerar un valor inicial xo, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(xo), considerando éste como segunda aproximación de la raíz.


i xi yi t(%) a(%) t(%) a(%)1 1.5 3.5 25.00 16.67

2 2.17944947 2.860505988 8.97 31.18 4.65 22.36

3 1.94053388 3.049550673 2.97 12.31 1.65 6.20

4 2.02045629 2.983404747 1.02 3.96 0.55 2.22

5 1.99302813 3.005704363 0.35 1.38 0.19 0.74

6 2.00238524 2.998054303 0.12 0.47 0.06 0.26

7 1.99918491 3.000665561 0.04 0.16 0.02 0.09

8 2.00027865 2.999772546 0.01 0.05 0.01 0.03

9 1.99990475 3.000077757 0.00 0.02 0.00 0.01

10 2.00003256 2.999973421 0.00 0.01 0.00 0.00

2x xy 10 2y 3xy 57

xo = 1.5 ; yo=3.5

xt = 2 ; yt=3


Sin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solución. En las dos formulaciones siguientes el método diverge.iteración xi yi e(%) e*(%) e(%) e*(%)

1 1.5 3.5 25.00 16.67

2 1.45578231 5.166666667 27.21 3.04 72.22 32.26

3 0.64724246 5.413376566 67.64 124.92 80.45 4.56

iteración xi yi e(%) e*(%) e(%) e*(%)

1 1.5 3.5 25.00 16.67

2 2.21428571 -24.375 10.71 32.26 912.50 114.36

3 -0.20910518 429.713648 110.46 1158.93 14223.79 105.67

x = (57 - y)/3y2 y = (10 - x2)/x

x = (10 - x2)/y y = 57 - 3xy2


MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1v(x, y1)

v(x1, y)

u(x, y1)

u(x1, y)

2. Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y

localizar los cuatro puntos u(x1, y),

v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1v(x, y1)

v(x1, y)

u(x, y1)

u(x1, y)

3. Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)


u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

x2

y2


4. El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del

punto de intersección de las dos funciones5. El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos curvas.

Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales.


Pero ui+1 = vi+1 = 0 :

Que reescribiendo en el orden conveniente:

i i i ii 1 i 1 i i i

i i i ii 1 i 1 i i i

u u u ux y u x y

x y x yv v v v

x y v x yx y x y

i i i ii i 1 i i 1 i

i i i ii i 1 i i 1 i

u u u uu x x y y 0

x x y yv v v v

v x x y y 0x x y y



Por lo tanto tenemos que:

i xi yi ui vi u/x u/y v/x v/y xi+1 yi+1 tx ax ty ay

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 2.036 2.843 25 -- 16.67 --

2 2.036 2.843 -0.064 -4.756 6.915 2.036 24.262 35.741 1.998 3.002 1.8 26.33 5.2 23.07

3 1.998 3.002 -0.0045 0.0495 6.999 1.998 27.041 37.004 1.999 2.999 0.06 1.87 0.08 5.28

4 1.999 2.999 -1.28E-06 -2.21E-05 6.999 1.999 26.999 36.999 2 3 0 0.06 0 0.08

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0 x = 2 y = 3

i xi yi ui vi u/x u/y v/x v/y xi+1 yi+1 tx ax ty ay

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 2.036 2.843 25 -- 16.67 --

2 2.036 2.843 -0.064 -4.756 6.915 2.036 24.262 35.741 1.998 3.002 1.8 26.33 5.2 23.07

3 1.998 3.002 -0.0045 0.0495 6.999 1.998 27.041 37.004 1.999 2.999 0.06 1.87 0.08 5.28

4 1.999 2.999 -1.28E-06 -2.21E-05 6.999 1.999 26.999 36.999 2 3 0 0.06 0 0.08

Ejercicio

soluciones a snl de una variable 2

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