solucionario 5to secundaria (3)
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- 106 -
NIVEL I
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS(Pág. 451, 452)
CAPÍTULO 18
sol 90= °∑
Resolución 1
• De la ecuación tenemos:
1cos3x
2= → cos3x = cos60°
3x = 60° → x = 20° Rpta.: C
Resolución 5
• De la ecuación:
sec3x 2=sec3x = sec45°
→ 3x = 360°n ± 45°
x = 120°n ± 15° Rpta.: D
Resolución 6
• Reducimos tenemos:
3tg3x
3= −
33x arc tg
3
= −
33x arc tg
3
= −
3x = –30°
x = –10° Rpta.: B
Resolución 7
• Factorizando tenemos:
tgx [tgx – 1] = 0 ; 0° < x < 360°
I) tgx = 0 → x = {180°}
II) tgx – 1 = 0 → tgx = 1 → x = {45°; 225°}
∴ Existen 3 soluciones Rpta.: B
Resolución 8
• Multiplicando 12
× ambos miembros de la ecuación:
1 3 1senx · cosx · 1·
2 2 2
− =
senx · cos60° – cosx · sen60° = 12
sen(x – 60°) = sen30°
∴ x – 60° = 30° → x = 90°
Rpta.: E
Resolución 9
• Factorizando en la ecuación :
(tgx – 1)(4tgx – 3) = 0
i) tgx – 1 = 0 → tgx = 1 → x = 45°
ii) 4tgx – 3 = 0 → 3
tgx4
= → x = 37°
Nos piden la menor solución positiva, entonces:
x = 37° Rpta.: C
Resolución 3
• Despejando la F.T. tenemos:
3sen2x
2=
2x = {60°; 120°; 420°; ... }x = {30°; 60°; 210°; ... }
Pero: 0° < x < 180° → xsol = {30°; 60°}
∴ sol 30 60= ° + °∑ →
Rpta.: A
Resolución 4
• En la igualdad observamos:2senx cosx – 1 = 0sen2x = 1sen2x = sen90°→ 2x = 180°n +(–1)n · 90° x = 90°n + (–1)n · 45° Rpta.: A
Resolución 2
• De la igualdad tenemos:
tg(2x + 10°) = 3
tg(2x + 10°) = tg60°→ 2x + 10° = 60°
x = 25° Rpta.: B
Cuarto Año de Secundaria
- 107 -
• En la ecuación:tgx + ctgx = 4
2csc2x = 4csc2x = 2csc2x = csc30°
∴ 2x = 30° → x = 15° Rpta.: B
( )( )2
3tgx 1 3tgx 1tgx 0
1 tg x
+ − = −
; 1 –tg2x ≠0
( )( )tgx 3 tgx 1 3 tgx 1 0+ − =
• Resolviendo: (0° ≤ x ≤ 360°)
i) tgx = 0 → x = {0°; 180°; 360°)
ii) 3 tgx 1 0+ = 3tgx
3= −
x = {150° ; 330°}
iii) 3 tgx 1 0− = = 3tgx
3 x= {30° ; 210°}
∴ Existen 7 soluciones Rpta.: D
Resolución 5
• Expresando la ecuación en términos de “senx” y “cosx”:
1 cosxsenx
senx senx− =
2sen x 1senx
− cosxsenx
= ; senx 0x n
≠≠ π
–cos2x = cosx → cos2x + cosx = 0cosx(1 + cosx) = 0
• Resolviendo:
cosx = 0 → 2n 1
x2+ = π
1 + cosx = 0 → cosx = –1 → x = (2n + 1) π
Ambas son soluciones de la ecuación, pero al marcarla respuesta (clave) tenemos:
2n 1x
2+ = π
Rpta.: A
Resolución 6
• Recordemos que:
arc sen(x) + arc cos(y) = 2π
→ x = y
Resolución 10
• A partir de la ecuación se logra :cos4x – sen4x = 1(cos2x + sen2x)(cos2x – sen2x) = 1
1 cos2xcos2x = 1 → cos2x = cos0
∴ 2x = 2nπ ± 0
x = nπ Rpta.: C
Resolución 1
• Recordemos que:
tgθ + ctgθ = 2csc2θ
Resolución 4
• De la ecuación se tiene:
tg2x = 3tgx → 2
2tgx3tgx 0
1 tg x− =
−
22
tgx 3 01 tg x
− =
− →
2
23tg x 1
tgx 01 tg x
− = −
NIVEL II
Resolución 3
• Resolviendo la ecuación tenemos:
2(senx + cosx) = 1
cosx
2senx cosx + 2cos2x – 1 = 0
sen2x + cos2x = 0sen2x = –cos2x
sen2x1
cos2x= − → tg2x tg
4π = −
∴ 2x n4π= π − →
π π= −nx
2 8
4n 1x
8− = π
Rpta.: A
Resolución 2
• De la ecuación tenemos:
1 1senx · cosx · 1
2 2+ =
senx · cos45° + cosx · sen45° = 1sen(x + 45°) = sen90°
∴ x + 45° = 90° → x = 45°Rpta.: C
- 108 -
• En la ecuación se cumple que:
4x 12x
4+= → 8x = 4x + 1
1x
4= Rpta.: D
Resolución 7
• Recordemos que:
arc tg(x) + arc ctg(y) = 2π
→ x = y
• En la ecuación se cumple que:
2x – 1 = x + 3 → x = 4 Rpta.: D
Resolución 9
• En la ecuación tenemos:2senx cosx – senx = 0senx(2cosx – 1) = 0
• Resolviendo: [ ]x 0 ; 2∈ π
i) senx = 0 → x = {0; π; 2π}
ii) 2cosx – 1 = 0 → 1
cosx2
=
5
x ;3 3π π =
∴ xsol = 5
0; ; ; ; 23 3π π π π
sol 5= π∑ Rpta.: D
Resolución 10
• Expresando la ecuación en términos de “senx”
− =12senx 1
senx
2sen2x – senx – 1 = 0
(senx – 1)(2senx + 1) = 0
• Resolviendo: 0° < x < 360°
i) senx – 1 = 0 → senx = 1
x = {90°}
ii) 2senx + 1 = 0 → 1
senx2
= −
x = {210°; 330°}
∴ Existen 3 soluciones
Rpta.: C
Resolución 1
• Recordamos que:
ctg csc ctg2α = α + α
• En la ecuación:
csc2x + ctg2x = 1
ctgx = 1 → ctgx ctg4π=
∴ x n4π= π + →
4n 1x
4+ = π
Rpta.: D
Resolución 2
• Transformando a producto:sen(x + 30°) – sen(x – 30°) = 1
2cosx sen30° = 1
12cosx 1
2 =
→ cosx = 1
∴ x = 360°n Rpta.: A
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Resolución 3
• Ordenando convenientemente y transformando a pro-ducto:cos5x + cosx = sen5x – senx
2 cos3x cos2x 2= cos3x sen2x
Resolución 8
• Aplicando las propiedades de las F.T. tenemos:
( )( )x 2x
arc tg arc tg(3)1 x 2x
+ = −
23x
arc tg arc tg(3)1 2x
= −
→ =− 23x 3
1 2x → x = 1 – 2x2
2x2 + x – 1 = 0 → (x + 1)(2x – 1) = 0
x 1 0 x 11
2x 1 0 x2
+ = → = − − = → =
∴ La menor solución positiva es 1
x2
=
Cuarto Año de Secundaria
- 109 -
Resolución 4
• Factorizando y ordenando convenientemente:
tg5x tg4x tg5x tg4x· 1
1 tg5x · tg4x 1 tg5x · tg4x − + = + −
tg(5x – 4x) · tg(5x + 4x) = 1tgx · tg9x = 1 → tgx = ctg9x
∴ x + 9x = 90° → x = 9°Rpta.: E
Resolución 5
• De la ecuación tenemos:
1 – cos2x = sec3x
sen2x = sec3x
Pero: 0 ≤ sen2x ≤ 1 0 ≤ sec3x ≤ 1 ............................ (1)
• Además sabemos que:sec3x ≤ – 1 ∪ sec3x ≥ 1 ..................(2)
• De (1) y (2) se tiene:sec3x = 1 → 3x = 2nπ
2nx
3π= ; x ∈[0 ; 3π]
2 4 8x 0 ; ; ; 2 ;
3 3 3π π π = π
El mayor valor es: 8x
3π=
Rpta.: DResolución 6
• Expresamos la ecuación en términos de seno y cose-no
2sen2x cosx8cos x
cos2x senx+ =
sen2x senx + cos2x cosx = 8cos2x cos2x senx
cos(2x – x) = 4(2senx cosx) cosx · cos2xcosx = 4 sen2x cosx cos2xcosx = 2·(2sen2x · cos2x)cosx
cosx = 2sen4x · cosx → cosx·(2sen4x – 1) = 0
• Resolviendo:
i) cosx = 0 → x2π=
ii) 2sen4x – 1 = 0 → 1sen4x
2=
4x6π= → x
24π= Rpta.: B
Resolución 7
• En la ecuación tenemos:
arc cos ( )x 5 + arc cos(x) = 2π
arc cos ( )x 5 + arc sen 21 x2π − =
• Por propiedad: 2x 5 1 x= −
5x2 = 1 – x2 → 6
x6
= Rpta.: B
Resolución 8
• Recordemos que:
sen32cos2 1
senθ = θ +
θ
• En la ecuación:sen3x + 2cos2x + 1 = 0
sen3xsen3x 0
senx+ =
1sen3x 1 0
senx + =
sen3x [1 + cscx] = 0
• Resolviendo:i) sen3x = 0 → 3x = 180°
x = 60°ii) 1 + cosx = 0 → cscx = –1
x = 270°
∴ La menor solución positiva es:
x = 60° Rpta.: D
cos3x(cos2x – sen2x) = 0• Resolviendo:
i) cos3x = 0 → 3x = 90° x = 30°
ii) cos2x – sen2x = 0 → cos2x = sen2x
cos2x
1sen2x
= → ctg2x=1 → 2x = 45°
x = 22°30’• Nos piden la menor solución positiva, entonces:
x = 22°30’ Rpta.: B
Resolución 9
• Expresando la ecuación en términos de “senx” y “cosx”
( )senxcosx 2 1 senx
cosx = − +
cos2x = (2cosx – senx)(1 + senx)(1 + senx)(1 – senx) = (2cosx – senx)(1 + senx)(1 + senx)[(1 – senx)–(2cosx – senx)] = 0(1 + senx)(1 – 2cosx) = 0
- 110 -
( )( )( )
4 2
2 2
2tgx 2tg x 7tg x 30
1 tg x 1 3tg x
− +=
− −
∴ tgx(2tg4x – 7tg2x + 3) = 0
• Resolviendo:
i) tgx = 0 → x = 0
ii) 2tg4x – 7tg2x + 3 = 0
2 7 49 24 7 5tg x
4 4± − ±= =
2tg x 3= → tgx 3= ± → tgx 3=
x = 60°
2 1tg x
2= →
2tgx
2= ± →
2tgx
2=
2
x arc tg2
=
• Nos piden la menor solución positiva, entonces:
2x arc tg
2
=
Rpta.: E
• Resolviendo: 0° ≤ x ≤ 360°i) 1 + senx = 0 → senx = – 1
x = {270°} (no verifica la ecuación)
ii) 1 – 2cosx = 0 → 1cosx
2=
x = {60° ; 300°}
xsol = {60°; 300°}
→ sol. 360= °∑ Rpta.: C
Resolución 10
• Expresando la ecuación en términos de “tgx”3
2 22tgx 3tgx tg x
tgx 01 tg x 1 3tg x
−+ + =− −
2
2 22 3 tg x
tgx 1 01 tg x 1 3tg x
−+ + = − −
( )( )2 4
2 26 14tg x 4tg x
tgx 01 tg x 1 3tg x
− + = − −
CAPÍTULO 19RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS (Pág. 469, 470)
2 3 4 1senA senB senC K
= = =
→
senA 2KsenB 3KsenC 4K
= = =
• Reemplazando: 2k 3k
P4k 3k
+=−
P = 5 Rpta.: B
• A : menor ángulo
• 22 = 62 + 52 – 2(6)(5)cosA4 = 61 – 60cosA
cosA = 0,95 Rpta.: D
Resolución 1
• Aplicando la ley de senos:
NIVEL I Resolución 2
• Aplicando la ley de cosenos:
Resolución 3
• Aplicando la ley de tangentes
Cuarto Año de Secundaria
- 111 -
A + B + 120° = 180°A + B = 60°
A Btga b 2
A Ba b tg2
+ + =
−−
→ 5 2 tg30A B5 2 tg
2
+ °=−−
A B 3 3tg ·
2 3 7− =
→ A B 3
tg2 7− =
Rpta.: A
b 48 2 cos45 50 cos74= ° + °
2 7b 48 2 50
2 25
= +
b = 62 Rpta.: C
Resolución 4
• Aplicando la ley de proyecciones:
Resolución 5
Recordemos que:
asenA
2Ra b c b
2R senBsenA senB senC 2R
CsenC
2R
== = = = =
• Reemplazando en la condición:
aa
2Rb
b2R
+
cc
2R
=
a2 + b2 = c2 (Teorema de Pitágoras)
∴ ∆ABC : rectángulo Rpta.: C
356
1α
Resolución 7
• Aplicando la ley de senos:
a a 1 a 22R
senA senB senC+ += = =
→
aseA
2Ra 1
senB2Ra 2
senC2R
=
+ = +=
Resolución 6
• Aplicando la ley de senos:
3 35sen30 sen
=° α
→ 1 1
sen 352 3
α =
35sen
6α =
∴ tg 35α = Rpta.: E
• Reemplazando tenemos:
a2R
E =
a 12
2R++ a 2
32R
+−
a4
2R
· a
a 2a 2 3a 6E
4 a+ + − −= · a
4E
4−= → E = –1 Rpta.: B
Resolución 8
• De la ley de senos:
== = = =
a senB b senAa b c
a senC c senAsenA senB senC
b senC c senB
• Reemplazando convenientemente
b senA c senB a senCM
b senA c senB a senC= + +
M = 1 + 1 + 1 → M = 3
Rpta.: C
Resolución 9
• Tenemos: 11 24 15P 25
2+ += =
( )( )25 24 25 15A 10sen
2 24 15 360− −
= =×
∴ A 1
sen2 6
= Rpta.: E
Resolución 10
• Aplicando la fórmula respectiva:
S∆ABC = ( )( )1 22 3 3 2 sen45 3 6 ·
2 2° =
S∆ABC = 23 3 m Rpta.: A
- 112 -
Ley de senos
9 14sen sen2
=α α
9(2 sen cos ) 14 senα α = α
∴ 7
cos9
α = Rpta.: B
Resolución 3
• Sabemos que:
a b c2R
senA senB senC= = =
senA senB senC 1a b c 2R
= = =
• Reemplazando tenemos:
1 1 1E 2 3
2R 2R 2R = + −
1 2 3E
2R+ −= → E = 0 Rpta.: A
Resolución 1
• Segun los datos:
Resolución 2
• De la ley de senos:
a b csenA senB senC
= = .......................... (1)
• De la condición:
a b ctgA tgB tgC
= = .................................. (2)
• Dividiendo m.a.m. (1) : (2)
tgA tgB tgCsenA senB senC
= =
1 1 1cosA cosB cosC
= =
secA = secB = secC
∴ A = B = C = 60°
∆ABC : Equilátero Rpta.: C
NIVEL II
Resolución 5
• De acuerdo a los datos:
Resolución 4
• De la ley de cosenos se tiene:
bc cosA = 12 (b2 + c2 – a2)
ac cosB = 12 (a2 + c2 – b2)
ab cosC = 12 (a2 + b2 – c2)
bc cosA + ac cosB + ab cosC =12 (a2 + b2 + c2)
• Reemplazando en la expresión pedida:
2 2 2
2 2 2
1(a b c )2P
a b c
+ +=
+ + →
1P
2=
Rpta.: C
• Aplicamos la ley de cosenos en el ∆ABD:
d2 = 102 + 202 – 2(10)(20)cos53°
d2 = 500 – 40035
d 2 65 cm= Rpta.: D
• Por la ley de cosenos:
i) AC2 = 82 + 52 –2(8)(5) cos60°
AC2 = 89 – 40
AC = 7
ii) 52 = 82 + 72 –2(8)(7)cosc
25 = 113 – 112cosc
11cosc
14= Rpta.: E
8
B
7
5
A C
Resolución 6
• De los datos:
Cuarto Año de Secundaria
- 113 -
Resolución 7
• De la ley de proyecciones tenemos:a = b cosC + c cosBb = a cosC + c cosAc = a cosB + b cosA
a + b + c = a (cosB + cosC) + b(cosA + cosC)+c(cosA+cosB)
2p E
∴ E = 2p Rpta.: B
Resolución 9
• Aplicando la ley de tangentes
A Ctg2N
A Ctg2
+ =
−
A C· tg
2
−
A C 180 B BN tg tg tg 90
2 2 2+ ° − = = = ° −
∴ BN ctg2
= Rpta.: B
Resolución 8
• De los datos:
• 1 2 2 5
p2 2
+ += =
• ( )( )
5 5 2B 52 2cos2 1 2 8
− =
→ 2 B 5cos
2 8= → 2 B
8cos 52
=
M = 5Rpta.: E
Resolución 10
• A partir de los datos se tiene:
15 27 38p 40
2+ += =
S∆ABC = ( )( )( )40 40 15 40 27 40 38− − −
S∆ABC = 40 · 25 ·13 · 2
S∆ABC = 161, 2 cm2 Rpta.: C
Ley de Cosenos
c2 = 52 + 32 –2(5)(3)cos120°c2 = 34 + 15c = 7∴ 2p = 5 + 3 + 7 → 2p = 15 m
Rpta.: D
Resolución 3
• Segun los datos: (ley de cosenos)
(2n)2 = (4n)2 +(3n)2 – 2(4n)(3n)cosA
24n = 225 n − 224 n cos A
21cosA
24= → 7
cosA8
=
Rpta.: A
Resolución 2
• Del dato:
Resolución 1
• En la expresión a reducir:E = sen(A+B)+sen(B+C)+sen(A+C)
E = senC + senA + senB
c a bE
2R 2R 2R= + +
a b cE
2R+ += →
2pE
2R=
pE
R= →
12R
5E =R
E = 2,4 Rpta.: C
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Resolución 4
• Aplicando la propiedad de las proporciones tenemos:
- 114 -
a b c2R
senA senB senC= = =
3 3a b c(2R) 8R
senA · senB · senC= =
abc = 8R3 · senA·senB·senC
• Reemplazando en la condición:
38R = 3·senA· senB· senCR
cos A · cosB · cosC
cosA cosB cosC8 · ·
senA senB senC=
N
8 ctgA · ctgB · ctgC=
∴ N = 8 Rpta.: B
Ley de senos
60 50sen37 senB
=°
50 3senB ·
60 5=
1senB
2=
∴ B = 30°
Luego:
cos2B = cos60°
1cos2B
2= Rpta.: E
Resolución 5
• De los datos:
Resolución 6
• Nos piden:
2p = a + b + c
2p = 2RsenA + 2RsenB + 2RsenC
2p = 2R(senA + senB + senC)
A B C2p 2R 4cos cos cos
2 2 2 =
A B C2p 8R cos cos cos
2 2 2= Rpta.: C
Resolución 7
• De los datos tenemos:
10 17 9p 18
2+ += =
( )( )( )
18 10 18 9B 8 · 9tg
2 18 18 17 18− −
= =−
∴ B
tg 22
= Rpta.: A
Resolución 9
• Recordemos que:
a 2R senAb 2R senBc 2R senC
= = =
• Reemplazando en “M”
2RsenAcosA 2RsenBcosB 2RsenCcosCM
senAsenB senC+ +=
R(2senAcosA 2senBcosB 2senCcosC)M
senA senB senC+ +=
Resolución 8
• En la expresión “E” se tiene:
p bE
−=
( )( )p c
p p a
−
−( )p a
·−( ) p c−( )p p b−( )
( )( )p a p b·
p p c
− −
−( )
( )( )( )3
p a p b p cE
p
− − −=
( )( )( )4
p p a p b p cE
p
− − −=
( )( )( )− − −= =
2 2
p p a p b p c SE
p p
∴ E = Sp-2 Rpta.: E
R(sen2A sen2B sen2C)M
senA senB senC+ +=
Recuerde: A + B + C = 180° Entonces: sen2A + sen2B + sen2C = 4senA senB senC
R 4 senA senB senCM =
( )senA senB senC
M = 4R Rpta.: D
Cuarto Año de Secundaria
- 115 -
A 22sen 90 · 2 senA
2 2 ° − =
A
cos senA2
=
∴ AA 90
2+ = ° → A = 60°
• Entonces:
B + C = 120° B = 105°
B – C = 90° C = 15°
Rpta.: A
Resolución 10
• Sabemos que: (B – C = 90°)
b + c = a 2
2RsenB 2R+ senC 2R= senA · 2
senB + senC = 2 senA
Transformando a producto:
B C B C2sen cos 2 senA
2 2+ − =
180 A2sen cos45 2 senA
2° − ° =
ah 2 6 6
3= = a = 6
Luego:3 3a 6
· 2 212 12
= =
18 2= Rpta.: A
2 a 2= a = 1
Entonces:
ST = 6a2 = 6· 12
∴ ST = 6 Rpta.: C
Resolución 3
a4 3
2=
8a
3=
Luego:
ST =
2a 88 · 3 2 · 3
4 3 =
∴ ST128
33
= Rpta.: E
CAPÍTULO 20GEOMETRÍA DEL ESPACIO (SÓLIDOS GEOMÉTRICOS)
(Pág. 488, 489, 490)
Resolución 1
NIVEL I
Resolución 2
Resolución 5
Resolución 4
5 s ; 6 s ; 7 s
5 · 3 6 · 4 7 · 5A
2+ +=
∴ A = 37 Rpta.: D
- 116 -
D'ACD1 4 · 4
· · 43 2
=
∴ D'ACD323
= Rpta.: B
El ACB es isósceles.
AB d 2= ........................ (1)
En el ADC:
d2 = 22 + 42 d 2 5=
Reemplazando en (1):
∴ AB 2 10= Rpta.: D
Resolución 7
ST ( )2 r h r= π +
ST ( )2 · a a a= π +
∴ ST = 4πa2 Rpta.: B
SL= πr · g
16 5 · 4 · gπ = π g 4 5=
Pero: g2 = h2 + 42
( )2 2 24 5 h 4= +
∴ h = 8 Rpta.: D
→
Resolución 9
d 2 4 · 6=
∴ d 4 6= Rpta.: A
Resolución 6
Resolución 8
Resolución 10
ST = πr(g + r)
( ) ( )13 5 1 r g r+ π = π + ................... (1)
Del dato:
r 1h 2
= h
r2
=
Pero: g2 = r2 + h2
2
2 2hg h
2 = +
5 h
g2
=
Reemplazando 2 en (1):
( ) h 5 h13 5 1 h
2 2 2
+ = +
∴ h 2 13= Rpta.: C
h 12r
3 3= = r = 4
ST = 2πr(h + r)
ST = 2π · 4(12 + 4)
∴ ST = 128π Rpta.: D
Resolución 11
Cuarto Año de Secundaria
- 117 -
Resolución 12
8 a 2= a 4 2=
Pero: 2r = 4 2 r 2 2=
esfera = 4πr2 = 4π ( )22 2
∴ esfera = 32π Rpta.: B
Se sabe:
132 = h2 + 42 + 32 h = 12
Entonces:
= 3 · 4 · 12
= 144 Rpta.: E
Resolución 13
Resolución 14
r360 ·
g
φ = °
r120 360
3 ° = °
r = 1
Luego:
ST = πr(g + r)
ST = π · 1 (3 + 1)
∴ ST = 4π Rpta.: C
Se sabe:
DB' 2 3=
AB' 2 2=
En el B'AD usando relaciones métricas:
( )2AB' DB' · MB'=
( )22 2 2 3 · MB'=
∴ 4 3
MB'3
= Rpta.: B
= πr2 h = π · 22 · 4
∴ = 16π Rpta.: A
12 6
h 3r4 4
= =
∴ r 6= Rpta.: A
Resolución 15
Resolución 1
NIVEL II
Resolución 2
Se sabe que:
11
11
- 118 -
= B · h
a · 6
· h2
=
= 3 · a · h = 3 · 24
= 3 · 24
∴ = 72
Rpta.: C
→
Resolución 3
Resolución 4
3a2
12=
3a144 2 2
12= a = 12
a 12h 6 6
3 3= = h 4 6=
1 12r · 3
3 3= r 2 3=
cono = ( )22r · h · 2 3 · 4 63 3π π=
∴ cono 16 6= π Rpta.: B
AB2 = 122 + 82 AB 4 13=
Entonces:
( )22 2x 10 2 13= +
∴ x = 12, 32 Rpta.: E
2
Resolución 5
Resolución 6
SL5 · 6 · x
2=
315 = 15 · x
∴ x = 21
Rpta.: C
Resolución 7
3 21 4· 6 · 6 ·12
2 3 3π= π +
= 288π Rpta.: D
AB 2 4 · 9 12= =
BC 2 9 ·16 24= =
AC 2 4 ·16 16= =
Perímetro ABC = 12 + 24 + 16
∴ Perímetro ABC = 52 Rpta.: D
→
Resolución 8
Resolución 9
25π = πa2 a = 536π = πb2 b = 6R2 = (1 + m)2 + 52 = m2 + 62
∴ m = 5Luego: R2 = 62 + 52 R2 = 61
Cuarto Año de Secundaria
- 119 -
9π = πr2 r = 3
24 = h · 2r = h · 2 · 3 h = 4
Luego: = πr2h= π · 32 · 4
∴ = 36π Rpta.: B
ST32
=SL
+ SL = 32 SL
= 12 SL
2 1 8 · ap2 ·
2 2= ap = 2
h2 = 22 – 12 h 3=
13
= · h = 21· 2 · 3
3
∴ =4 3
3 Rpta.: B
ST = 2πr(h + r)
12π = 2πr(2r + r)
r 2=
Luego: = πr2h = π ( )22 · 2 2
4 2= π Rpta.: A
= · h =2a· a
4
3a16
= Rpta.: D
Resolución 10
Resolución 11
Entonces:
esfera = 4πR2 = 4π · 61
∴ esfera = 244π Rpta.: C
Resolución 12
Resolución 13
Resolución 14
3a2
12=
327 2 a2
12 12= a = 3
3b
2=
octaedro
3b2
3=
332 23
= ∴
92
8= Rpta.: D
Resolución 15
= cubo – 8 CABD
3
a a·1 a2 2a 8 ·
3 2 2
= −
= 3
3 aa
6−
35a6
= Rpta.: B
B
- 120 -
CAPÍTULO 21GEOMETRÍA ANALÍTICA (Pág. 503, 504, 505)
Resolución 1
NIVEL I
Graficando tenemos:
Dato P(3;2)
x0 = 3; y0 = 2
Además: m = tg37°
m = 34
Resolución 2
Del dato, graficamos:
En la ecuación: y – y0 = m(x – x0)reemplazamos los valores obtenidos.
y – 2 = 34 (x – 3)
3x – 4y – 1 = 0 Rpta. A
Se sabe que:
1 2 1
1 2 1
y y y yx x x x
− −=
− −
Reemplazando:
y 5 5 2x 1 1 3−
− −=− −
y 5 3x 1 4
− =− 3x – 4y + 17 = 0 Rpta. D
Resolución 3
Por dato:
Como L1 // L2
L1: 2x – 3y + K = 0
Resolución 4
De la condición:
Punto de paso: P = (1;2)
Pendiente: m = 23−
De la relación: y – y0 = m(x – x0)
Reemplazando: y – 2 = 23−
(x – 1)
∴ L1: 2x + 3y – 8 = 0 Rpta. A
Resolución 5
Se tiene:L: –2x + y + 10 = 0 –2x + y = –10
Ahora:x y 15 10
+ =−
por fórmula de ecuación simétrica tenemos:
De la figura:
5 10S2
×= ∴ S = 25µ2
Rpta. A
Resolución 6
Graficando las rectas: L1: x = 4 ; L2: x + y = 10
y = –x + 10
m = –1
pero P∈ L1, con lo cual debe cumplir la ecuación:
2(–3) – 3(5) + K = 0 K = 21
∴ L1: 2x – 3y + 21 = 0 Rpta. E
En la figura el pintadoes notable de 45°
Área pintada = 6 62×
∴ Área pintada = 18µ2
Rpta. A
2m
3−=
Cuarto Año de Secundaria
- 121 -
Resolución 7
Graficando
Evaluando el punto P dado que pertenece a L2, tenemos:
3(4) – (–3) + K = 0 K = –15
L2: 3x – y – 15 = 0
∴ L2 : y = 3x – 15 Rpta. C
Resolución 8
La ecuación de la recta es 2x – 3y – 3 = 0
Evaluamos los puntos
M1(2; 1) 2(2) – 3(1) – 3 = 0
–2 = 0 (falso)
M2(2; 3) 2(2) – 3(3) – 3 = 0
–8 = 0 (falso)
M3(8; 3) 2(8) – 3(3) – 3 = 0
4 = 0 (falso)
M4(–3; 3) 2(–3) – 3(3) – 3 = 0
–18 = 0 (falso)
M5(3; 1) 2(3) – 3(1) – 3 = 0
0 = 0 (verifica)
∴ M5 ∈ L1 Rpta. E
Resolución 9
Por dato: x + 2y – 6 = 0
x + 2y = 6, luegox y 16 3
+ =
Resolución 10
Sean: L1: ax + (2 – b)y – 23 = 0
L2: (a – 1)x + by + 15 = 0
además se cortan en (2;–3), entonces el punto en común,luego debe verificar lo siguiente:
L1 : a(2) + (2 – b)(–3) = 23 + 6
2a + 3b = 29 . . . (1)
L2 : (a – 1)2 + b(–3) + 15 = 0
2a – 3b = – 13 . . . (2)
Resolviendo (1) con (2) se obtiene
a = 4 ∧ b = 7 Rpta. D
Resolución 1
De acuerdo al dato se tiene:
Resolución 2 Del gráfico notamos:
Graficando la ecuación simétrica
Por teorema de Pitágoras:
2 2d 3 6= +
∴ d = 3 5 Rpta. B
NIVEL II
Dado los puntos A, B y C que pertenecen a la recta y = –3deben verificar la ecuación:
Para el punto A: x = 0 ; y = –3
Reemplazando:
(m + 2n –3)(0) + (2m – n + 1)(–3) + (6m + 9) = 0
n = –2
Ahora el punto B: x = 1 ; y = –3
(m + 2n – 3)(1) + (2m – n + 1)(–3) + (6m + 9) = 0
m = 7
∴ m = 7 ; n = – 2 Rpta. C
m = tg60° m = 3
Punto de paso: (x0; y0) = (2;0)
Luego: y – y0 = m(x – x0)
- 122 -
Resolución 3
La ecuación de la recta L: 4x + (3 – a)y – 7 = 0
( )4x 7ya 3 3 a
= +− −
4ma 3
=−
de la figura, también:
Resolución 4
de los datos mencionados:
Resolución 5
Ubicando los puntos en el plano cartesiano
Reemplazando: y – 0 = 3 (x – 2)
∴ y – 3 x + 2 3 = 0 Rpta. C
m = tg135° m = – 1
Ahora igualando: –1 = 4
a 3−
∴ a = – 1 Rpta. D
hallemos m1:
16 3m7 2−
−=−
11m3
=
luego por ser perpendiculares:
m1 x m2 = – 1
m2 = – 3
Además dado P(x0;y0) un punto cualquiera de AB
2 3 7 1 6 1 3 3P ;1 3 1 3
− × + × × + × = + +
1 15P ;4 4
= x0 =
14
y0 = 154
finalmente la ecuación de la recta será:
y – y0 = m2(x – x0)
Reemplazando: y – 154 = –3
1x4
−
∴ 2y + 6x – 9 = 0 Rpta. E
por dato:
M es punto medio
7 1 2 4M ;2 2
− + + =
M = (–3;3)
Ahora en el segmento MC : (2 puntos en una recta)
( )y 3 1 3x 3 5 3−
− − −=− − − 2y + x – 3 = 0 Rpta. C
Resolución 6 Dada la recta L:
2x + 3y + 4 = 0 y = 2 4x3 3− −
Graficando:
Se nota en L: 2m3
−=
como L L1 m x m1 = –1
Reemplazando:
12 m 13
− × = − 13m2
=
Luego en L1 (por punto y pendiente)
y – 1 = 32 (x – 2)
2y – 3x + 4 = 0
ó 3x – 2y – 4 =0
Rpta. B
M
Cuarto Año de Secundaria
- 123 -
Resolución 9
Supongamos que L sea:
Resolución 7
Dado la recta “L”
3x – y + 6 = 0 − + =x y 12 6
Graficando:
Resolución 8
Dato: a 2Kb 3K
=
de la figura:
2 6S2×=
∴ S = 6 µ2
Rpta. C
Resolución 10
De la figura, se nota AOD ∼ CDH
Además por Teorema de Pitágoras OD = 12
Luego: C: (17;12)
Además:
SABCD: (2K)(3K) = 96
K = 4
Luego el punto M y N
M: (6;0)
N: (0;8)
Hallando la ecuación de la recta L (2 puntos en una recta)
y 8 8 0x 0 0 6
− −=− − L: 4x + 3y – 24 = 0 Rpta. C
por pendiente: 0
0
y ymx x
−=
−
Reemplazando:
( )a 1 23
a 1+ − −
=−
a = 3
Luego de la condición:
Se sabe L L1
m x m1 = –1
Reemplazando: 3 x m1 = –1
m1 = 13−
Por punto y pendiente: y – 4 = 13−
(x – 3)
∴ x + 3y – 15 = 0 Rpta. E
En la recta L por 2 puntos en una recta.
y 5 12 5x 0 17 0
− −=− −
∴ 7x – 17y + 85 = 0 Rpta. E
m=
3
B(1;-2)
L
A(3;4)
m1
L1
- 124 -
Resolución 2
Dadas las ecuaciones de las rectas:
L1: 3y = 4x + n . . . (1)
L2: 2y = 3x + 5 . . . (2)
L3: y = 5x – 8 . . . (3)
al intersectarse en un mismo punto implica resolver lasecuaciones el cual deberá verificar en todas ellas.
Reemplazamos (3) en (2)
2(5x – 8) = 3x + 5
10x – 16 = 3x + 5 x = 3
Reemplazando en (3)
y = 5(3) – 8 y = 7
Finalmente x = 3 e y = 7 en (1)
3(7) = 4(3) + n n = 9 Rpta. B
Resolución 3
Según la condición
Resolución 4
Se tiene L1 // L2
Resolución 1
De acuerdo al gráfico obtenemos los puntos P y R.
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Se nota que P(0;2)
Ahora en el triángulo PHR( notable 45°)
Luego R = (2 + 2 ; 2 + 2 )
Entonces:
Tenemos: Al tener un ángulo formado por 2 rectas se sabe
1 2
1 2
m mtg531 m m
−° =
+ × . . . (1)
pero 24 2 2m1 4 3
−= = −−
Reemplazando en (1)
1
1
2m4 3
23 1 m3
− − = + × −
16m17
=
Ahora por punto y pendiente en L:
y – 2 = 617 (x – 4)
17y – 34 = 6x – 24
∴ 17y – 6x = 10 Rpta. B
Por ser L1 // L2 se obtiene
que m2 = 3
Supongamos que L2: y = m2 x + b
y = 3x + b
pero P∈L2, entonces:
–3 = 3(4) + b b = –15
Finalmente y = 3x – 15 Rpta. C
: y = 3x + 5
Hallando su ecuación (2 pun-tos en una recta)
( )+ −− =− + −
2 2 2y 2x 0 2 2 0
∴ L: y – 2 = x2 1+ Rpta. D
m1 = 3
P(0;2)
� �R 2 2; 2 2� �
Cuarto Año de Secundaria
- 125 -
(x + 7)2 + (y + 5)2 = (–6 + 7)2 + (–3 + 5)2
∴ x2 + y2 + 14x + 10y + 69 = 0 Rpta.: D
( )2 6 7 11; 2; 9
2 2− + + =
(x – 2)2 + (y – 9)2 = (6 – 2)2 + (11 – 9)2
x2 + y2 – 4x – 18y + 65 = 0 Rpta.: A
Resolución 4
En la alternativa B completamos cuadrados
x2–4x+4+y2+14y+49 = –53+4+49
(x–2)2+(y+7)2 = 0
∴ La ecuación 2 2x y 4x 14y 53 = 0+ − + +
representa al punto (2; –7)
Rpta.: B
( ) ( )2 2r 12 3 0 2= − + +
r 85=
(x1–3)2 + (y1+2)2 = 85
Por tanteo: (36 +49=85)
(x1–3)2 = 36 x1= 9
(y1+2)2 = 49 y1 = 5
∴ (9; 5) Rpta.. A
Resolución 2
( )7; 5− −
Resolución 1
( )2; 3− ∧ r = 4
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 42
∴ x2 + y2 – 4x + 6y –3 = 0 Rpta.: C
NIVEL I
Resolución 3
Resolución 5
Resolución 6
p = 3y2 = 4pxy2 = 4(3)x
∴ y2 = 12x Rpta.: D
x2 = 4pyx2 = 4· 2y
∴ x2 = 8y
Rpta.: A
Resolución 7
y= – 2
CIRCUNFERENCIA, PARÁBOLA, ELIPSE, HIPÉRBOLAPágs.(539, 540, 541, 542)
- 126 -
Resolución 10
Resolución 13
( )3 ; 2 , eje transverso = 16 ,
eje conjugado = 12
Resolución 8
y2 = 16x y2 = 4· 4x p
∴ F(4; 0) Rpta.: E
a2 = b2 + c2
132 = 122 + b2 b = 52 2
2 2x y
113 5
+ =
∴ 2 2x y
1169 25
+ = Rpta.: B
Resolución 11
9x2 + 25y2 = 9002 29x 25y 900
900 900 900+ =
2 2x y1
100 36+ =
2 2
2 2x y
110 6
+ = a 10b 6
= =
a2 = b2 + c2 102 = 62 + c2 c = 8
F( ± 8; 0) Rpta.: B
Resolución 12
4x2 – 9y2 = 36 2 24x 9y 36
36 36 36− =
2 2x y1
9 4− =
2 2
2 2x y
13 2
− =
2a = 16 a = 82b = 12 b = 6
( ) ( )2 2
2 2x 3 y 2
18 6
− −− =
∴ 9(x–3)2 – 16(y–2)2 = 576 Rpta.: D
6 c 6e
5 a a= = =
a = 5V(7; 2)V1(–3; 2)
Resolución 9
y2 = 8x
LR = 8 Rpta.: B
Entonces:a = 3 ∧ b = 2
Luego: c2 = a2 + b2 = 32 + 22 = 13
c 13=
∴ Focos ( )13 ; 0± Rpta.: B
Resolución 14
NIVEL II
Resolución 1
x2+y2–8x+6y = 0x2–8x+16+y2+6y+9 = 16+9(x–4)2+(y+3)2 = 52
∴ r = 5 Rpta.: D
Rpta.: C
Cuarto Año de Secundaria
- 127 -
Resolución 2
11;
2 −
L:4x + 3y–15=0 15
x4
= , y = 5 , 4
m3
= −
( )2 2
14 1 3 15
2r
4 3
+ − − =+
5r
2=
( )2
2 1 25x 1 y
2 4 − + + =
x2–2x+1+y2+y+1 254 4
=
∴ x2+y2–2x+y–5 = 0 Rpta.: D
x2+y2+Dx + Ey + F = 0
1 : (–2)2 +52+D(–2)+E·5 + F = 0
–2D+5E + F = –29 .................... (α)
2 : 42 +32 + 4D + 3E + F = 0
4D + 3E + F = –25 .................... (β)
Resolución 3
3 : (6)2+(–1)2+D(6)+E(–1)+F = 0
6D–E+F=–37 ... (φ)
Resolviendo(α), (β) y (φ) tenemos:
D = 2 , E = 4 , F = –45
Entonces:
x2+y2+2x+4y–45 = 0 Rpta.:B
Resolución 6
Ecuación de la directriz
2y
5=
∴ 5y – 2 = 0 Rpta.: C
y2 = 4px
122 = 4p·4 p= 9
F(9; 0) Rpta.: A
ce
a=
4e
5= Rpta.: C
Resolución 4
25y x
8= −
2 8x y
5= −
84p
5=
2p 0,4
5= =
Resolución 5
- 128 -
Resolución 7
25x2 + 169y2 = 42252 225x 169y 4225
4225 4225 4225+ =
2 2x y1
169 25+ =
2 2
2 2x y
113 5
+ =
⇒ a = 13 ∧ b = 52 22b 2· 5
LRa 13
= =
∴ 50
LR13
= Rpta.: D
Resolución 8
x2 + y2 –9x + 2y + 18 = 0
Si y = 0
x2 + 02 – 9x + 2· 0 + 18 = 0
x2 – 9x + 18 = 0 x1 = 6 ∧ x2 = 3
∴ Intercepto en (3; 0) y (6; 0)
Rpta.: A
Resolución 9
Resolución 11
y2 = –4p· x
( ) ( )22 3 4p· 1= − − p = 3
y2 = –4· 3x
∴ y2 = –12x Rpta.: C
3 ce
2 a= =
( )2 1 15y 3 4 · x
2 2 − = −
∴ y2 – 2x – 6y + 24 = 0 Rpta.: A
d1
Resolución 10
3 c2 2
= c 3=
a2 = b2 + c2 22 = b2 + ( )23 b = 1
2 2
2 2x y
1a b
+ = 2 2
2 2x y
12 1
+ =
∴ x2 + 4y2 = 4 Rpta.: A
Resolución 13
Resolución 12
3x2 – 4y2 + 3x + 16y – 18 = 0
3(x2 + x) –4(y2 – 4y) = 18
( )2 21 13 x x 4 y 4y 4 4 18
4 4 + + − − − + − =
( )2
21 113 x 4 y 2
2 4 + − − =
( )21
xy 22 1
11 1112 16
+ − − =
∴ 1
; 22
− Rpta.: A
Cuarto Año de Secundaria
- 129 -
d + d1 = 10
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x 3 y 2 x 5 y 2 10+ + − + − + − =
Resolviendo
∴ 9x2+25y2 – 18x–100y–116 = 0
Rpta.: C
Resolución 3
De la figura:
AB 2 7= Rpta.: B
x2 = –8y x2 = –4· 2· yp = 2
LR = |–8| LR = 8
r2 =(r – 2)2 + 42
⇒ r = 5
(x – 0)2 + (y + 5)2 = 52
∴ x2 + y2 + 10y = 0 Rpta.: D
p = 2(y – 1)2 = –4· 2 · (x – 7)y2 – 2y + 1 = –8x + 56
∴ y2 + 8x – 2y – 55 = 0 Rpta.: D
∴ F(–2; –1) Rpta.: D
Resolución 1
NIVEL PREUNIVERSITARIO
Resolución 2
4
Resolución 4
y2 + 6x + 2y + 4 = 0y2 + 2y + 1 = –6x – 4 + 1(y+1)2 = –6x – 3
(y + 1)2 = 1
6 x2
− +
4p = – 6 3
p2
= −
Resolución 5
x2 + 4x – 8y + 36 = 0
x2 + 4x + 4 = 8y – 36 + 4
(x+2)2 = 8y – 32
(x+2)2 = 8(y –4)
h k
∴ V(–2 ; 4) Rpta.: C
Resolución 6
(x–2)2 = 4p(y –2)
(–4–2)2 = 4p(4–2)
9p
2=
Entonces:
(x–2)2 = ( )94 · · y 2
2−
∴ (x–2)2 = 18(y–2) Rpta.: B
- 130 -
Resolución 8
a2 = b2 + c2
62 – 42 = b2 b2 = 20
( ) ( )2 2
2 2x h y k
1a b
− −+ =
( ) ( )2 2
2x 8 y 3
1206
− ++ =
( ) ( )2x 8 y 31
36 20− +
+ =
∴ 5x2 + 9y2 – 80x + 54y + 221 = 0
Rpta.: A
c = 15
a2 = b2 + c2
a2 = b2 + 152
a2 = b2 + 225 ................................... (1)
2 2
2 2x y
1b a
+ =
a2 x2 + y2b2 = a2· b2 ........................ (2)
(1) en (2):
( )( ) ( )222 2 2 217
b 225 4 3 b b 225 b2
+ + = + Resolviendo: b = 8
∴ Eje menor = 16 Rpta.: D
a = 15 ∧ b = 9a2 = b2 + c2
152 = 92 + c2 c = 12
∴ F( ± 12; 0) Rpta.: E
Resolución 10
y2 = 16x y2 = 4· 4x p = 4
y2 = 16· 4 y = ± 8a = 8 ; b = 4
( ) ( )2 2
2 2
x 4 y 01
4 8
− −+ =
∴ 4(x–4)2 + y2 = 64 Rpta.: C
( ) ( )2 2
2 2y 2 x 1
13 b
+ −− =
( ) ( )2 2
2
2 3 2 2 3 11
9 b
− + + −− =
Resolviendo b = 2
Resolución 7 Resolución 9
+8
Resolución 11
Cuarto Año de Secundaria
- 131 -
Resolución 122 2
2 2x y
14 3
− = a = 4 ; b = 3 ; c = 5
Ecuación de la circunferencia:
x2 + y2 = 25 Rpta.: B
c = 4a = 2
b = 12
La ecuación del lugar geometrico es una hipérbolade centro
( )2; 5
( ) ( )( )
2 2
2 2y 5 x 2
12 12
− −− =
∴ 3y2 – x2 + 4x – 30y + 59 = 0
Rpta.: D
Entonces:
( ) ( )2 2
2y 2 x 1
19 2
+ −− =
∴ 9x2 – 4y2 – 18x – 16y + 29 = 0
Rpta.: C
4
Resolución 13
CAPÍTULO 22
LÍMITES (Pág. 559, 560)
Resolución 1
• Nos piden calcular:
2 2
x 1(2x 3x 5) 2(1) 3(1) 5lím
→− + = − +
2
x 1(2x 3x 5) 4lím
→− + = Rpta.: D
Resolución 2
• Evaluando tenemos: 2 2
2 2x 0
1 x 1 0lím1 x 1 0→
+ +=− −
2
2x 0
1 xlím 11 x→
+ =− Rpta.: C
Resolución 3
• Evaluando se tiene:
( ) ( ) ( )4 24 2
x 22x x 1 2 2 2 1lím
→+ − = + −
( )4 2
x 22x x 1 9lím
→+ − =
Rpta.: B
Resolución 4
• Al evaluar obtenemos:2
x 4lím x 4
x 1→∞
+ ∞=∞+
Pero:Grado delnumerador
<
Grado deldenominador
∴ 2
x 4x 4lím 0x 1→∞
+ =+ Rpta.: A
Resolución 5
• Evaluando se tiene:2
x 26x 1lím3x 1→∞
+ ∞=∞−
Pero: Grado delnumerador
=
Grado deldenominador
∴ 2
x 26x 1 6lím 2
33x 1→∞+ = =−
Rpta.: E
NIVEL I
- 132 -
Resolución 6
• Evaluando se obtiene:
Resolución 10
• Simplificando la expresión:
x 0 x 0
2senx cosxsen2xlím límxx→ →= =
0x 0 x
1 1
senxlím lím cosx2 · ·x →→
5
2x
3x 2x 1límx 1→∞
+ − ∞=∞+
Pero:
Grado delnumerador >
Grado delnumerador
∴ 5
2x
3x 2x 1límx 1→∞
+ − = ∞+
Rpta.: E
Resolución 7
• Factorizando el numerador:
( ) ( )x 2
x 2 x 2lím→
+ −
( )x 2−( )
x 2x 2 2 2lím
→+ = +
=
∴
2
x 2
x 4lím 4
x 2→
− =− Rpta.: D
Resolución 8
• En la expresión dada tenemos:
x 0
1 1 x 1 1 xlím ·
x 1 1 x→
− − + −
+ −
x 0 x 0
x 1lím lím1 1 xx 1 1 x→ →= = + −+ −
11 1 0
=+ − →
x 0
1 1 x 1límx 2→
− − =
Rpta.: C
Resolución 9
• Se observa que:
n 5 n 5
n nn
e 1
1 1 1lím lím lím1 1 1·n n n
+
→∞ →∞→∞
+ + + =
∴ n 5
n
1lím 1 en
+
→∞
+ = Rpta.: A
= =
Resolución 4
• Evaluando tenemos:
2
4 2x
2x x 1lím
x 3x 6→∞
+ + ∞=∞+ −
Pero:
<
Grado del Grado delnumerador denominador
∴
2
4 2x
2x x 1lím 0x 3x 6→∞
+ + =+ − Rpta.: B
2 ⋅
Resolución 1
• Evaluando tenemos:
( ) ( )( ) ( )
22
2 2x 2
2 4 2 3x 4x 3 15lím
5x 2x 3 2 2 2 3→
+ ++ + = =+ − + −
∴
2
2x 2
x 4x 3lím 3
x 2x 3→
+ + =+ − Rpta.: C
Resolución 2
• Evaluando se logra:
( ) ( ) ( )2 2 2
2x 0
x 1 x 2 x 3lím
x x 1→
+ + + + +
+ +
( ) ( ) ( )2 2 2
2
0 1 0 2 0 3
0 0 1
+ + + + +=
+ +
∴ ( ) ( ) ( )2 2 2
2x 0
x 1 x 2 x 3lím 14
x x 1→
+ + + + +=
+ +
Rpta.: AResolución 3
• Observamos que:
3 2
2x
5x 3x 2x 1límx x 1→∞
+ + + ∞=∞+ −
Pero:
>
Grado del Grado delnumerador denominador
∴
3 2
2x
5x 3x 2x 1lím
x x 1→∞
+ + + = ∞+ −
Rpta.: E
∴ x 0
sen2xlím 2x→
= Rpta.: C
NIVEL II
Cuarto Año de Secundaria
- 133 -
Resolución 7
• En la expresión dada tenemos:
22
x 2
x 2x xlím x 2x x ·x 2x x→∞
+ + + − + +
2x
2xlímx 2x x→∞= + +
2x
2 2
2xxlím
x 2x xxx x
→∞=+ +
x
2 2 2lím12 21 0 11
x→∞
= == + + ++
∴ ( )xlím x x 2 x 1→∞
+ − = Rpta.: C
e
Resolución 5
• Evaluando tenemos:3 2
3x
4x x 3lím
2x x 1→∞
+ + ∞=∞+ −
Pero:
=
Grado del Grado delnumerador denominador
∴
3 2
3x
4x x 3 4lím 2
22x x 1→∞
+ + = =+ − Rpta.: E
Resolución 6
• En la expresión se tiene:
( )
2 2
22x x
x x 5 x x 5lím lím
4x 4x 12x 1→∞ →∞
+ − + −= + ++
2
2x
x x 5 1 1lím4 24x 4x 1→∞
+ − == =+ +
Pero:
=
Grado del Grado delnumerador denominador
∴
2
x
x x 5 1lím2x 1 2→∞
+ − =+ Rpta.: C
Resolución 8
• Factorizando la expresión tenemos:
( )x 1
x x 1lím→−
+ ( )( )
x 2
x 1
−
+ ( )( )( )
( )1 1 2
1 2x 2
− − −=
− ++
3 2
2x 1
x x 2x3lím
x 3x 2→−
− − == + + Rpta.: E
Resolución 9
• Dándole forma a la expresión:
2 2x x2 2
x x
2 2lím lím1 1x x→∞ →∞
+ = +
∴ x
2x
x 2lím ex→∞+ =
Rpta.: C
Resolución 10
• Reduciendo la expresión:
x 0
2 senxlím→
· cos xsenx
x
1
cos xlím2→∞
=
∴ x 0
sen2xlím 2
senx→= Rpta.: C
1
x o→
Resolución 1
• Factorizando la expresión:
( ) ( )2
2x 2
x x 1 4 x 1lím
x 4→
+ − +
−
( )( )2
2x 2
x 1 x 4lím
x 4→
+ −
−
( )x 2
x 1 2 1 3lím→
+ = + =
∴
3 2
2x 2
x x 4x 4lím 3
x 4→
+ − − =− Rpta.: D
Resolución 2
• Multiplicando y dividendo por la conjugada tenemos:
x 0
x 4 2 x 9 3 x 4 2límx 9 3 x 9 3 x 4 2→
+ − + + + +
+ − + + + +
( )x 0
x 4 4lím→
+ − ( )( )
x 9 3
x 9 9
+ +
+ − ( )x 4 2+ +
x 0
x 9 3 0 9 3 6lím
4x 4 2 0 4 2→
+ + + += =+ + + +
∴ x 0
x 4 2 3lím
2x 9 3→
+ − =+ − Rpta.: B
NIVEL PREUNIVERSITARIO
- 134 -
Resolución 6
• Expresando convenientemente:
( )
( )
( )
( )
11lím xx x 0lím
x o 1 1límx xx 0
1 x1 x
1 x 1 x
→→
→
++ =− −
21
ee
e−= =
∴ 2
x 0
1 xelím
1 x→
+ =− Rpta.: E
Resolución 9
• En la expresión dada tenemos:
x 0
1lím→
22cosx 2cos x 1− + −x
( )x 0
2cosx 1 cosx 1 cosx·lím
x 1 cosx→
− − + = +
( )( )
2
x 0
2cosx 1 cos xlím
x 1 cosx→
− −
= +
( )2
x 0
2cosx ·sen xlím
x 1 cosx→
−= +
( )2
2x 0
2x cosx sen xlím
x 1 cosx→
−= +
2
x 0
2x cosx senxlím ·
1 cosx x→
− = +
Evaluando en el límite:
( )22 · 0 ·11 0
1 1− = = +
Resolución 3
• En la expresión tenemos:
x 0
3 9 x 3 9 xlím ·x 3 9 x→
− − + −
+ −
( )( )x 0
9 9 xlím
x 3 9 x→
− − = + −
x 0
1 1 1lím
3 33 9 x 3 9 0→
= = ++ − + −
∴ x 0
3 9 x 1lím
x 6→
− − = Rpta.: D
Resolución 4
• Hacemos: x = a12
entonces : x → 1 ; a → 126
34 x 1x 1
a 1x 1 límlíma 1x 1 →→
−− =−−
( )a 1
a 1lím→
− ( )( )
a 1
a 1
+
− ( ) 22 a 1
a 1lím
a a 1a a 1 →
+= + ++ +
21 1 2
31 1 1
+= =+ +
∴ 6
4x 1
x 1 2lím3x 1→
− =− Rpta.: C
Resolución 5
• Adecuando la expresión dada:
( )1 10
5x
x 0lím 1 5x→
+
=
e
Resolución 7
• Expresando convenientemente:
x 0 x 0
sen2xsen2x 1 21 2xxlím límsen3x sen3x1 1 3
x 3x→ →
−− = + +
Evaluando en el límite:
( )( )
1 2 1 11 3 1 4
−= = −
+
∴ x 0
x sen2x 1límx sen3x 4→
− −=+ Rpta.: A
∴ ( )2x
10x 0
lím 1 5xe
→+ =
Rpta.: E
( )1105x
10x 0lím 1 5x e→
+ =
Resolución 8• Expresando en términos de “senx” y “cosx”
x x2 2
senx 1 1 senx cosxlímlím ·cosx cosx cosx cosxπ π→ →
− − − =
( ) ( )2
x x2 2
1 senx1 senx cosxlím límcos xπ π→ →
−− −−= ( )
cosx
1 senx− ( )1 senx+
x2
cosx 0lím 01 senx 1 1π→
− = − =+ +
∴ ( )x
2
lím tgx secx 0π→
− = Rpta.: A
Cuarto Año de Secundaria
- 135 -
∴ x 0
1 2cosx cos2xlím 0x→
− + =
Rpta.: B
Resolución 10
• De acuerdo a las identidades trigonométricas se tiene:
( )
x2
2 1 senxlím
π→
− ( )1 cosx
1 senx
−
−
( ) ( )x
2
lím 2 1 cosx 2 1 0 2π→
− = − =
∴ ( )2
x2
1 senx cosxlím 2
1 senxπ→
− −=
−
Rpta.: D
Resolución 4
• Hallamos la pendiente de la recta tangente: (mT)
y' = 4x + 5 → mT = 4(–3) + 5
Resolución 1
• Derivando tenemos:
( )( )
( ) ( )2' 2
32
1f x · 3 x 1 · 2x 6
2 x 1 2
= − − − +
( ) ( )( )
22'
32
3x x 1f x 6
x 1 2
−= −
− +
f’(0) = –6 Rpta.: A
Resolución 2
• Derivando se tiene:
( )( ) ( )
( )'
2
1 1· x 1 x 1 ·2 x 2 xf x
x 1
− − +=
−
( )( )
'2
1f x
x x 1= −
−
( )' 1f 4
2= − Rpta.: B
Resolución 3
• Derivamos la función:
f ' (x) = 2senx · (cosx)
f ' (x) = 2senx · cosx
f' (x) = sen2x Rpta.: C
NIVEL I
DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN (Pág. 575, 576)
mT = –7
⇒ LT : y = mT(x – x0) + y0 T
0 0 ; 2)
m 7(x ; y ) ( 3
= − = −
y = –7(x + 3) +2
7x + y + 19 = 0 Rpta.: D
Resolución 5
• Derivando tenemos:
( ) ( ) ( )' 1f x · cos2x · 2
sen2x =
f ' (x) = 2 ctg2x
( )'f 2ctg 2 18 4π π = =
'f 28π =
Rpta.: B
Resolución 6
• Hallamos la pendiente de la recta tangente:y’= cosx–senx → mT = cos0 – sen0
mT = 1
⇒ LT : y = mT(x – x0)+y0 T
0 0 )
m 1(x ; y ) (0 ;1
= =
y = 1(x – 0) +1
y = x + 1 Rpta.: A
–3;2)
Resolución 7
• Derivando la función:f ' (x) = 4x – 8 → 4x – 8 = 0
x = 2• fmín = f(2)
fmín = 2(2)2 – 8(2) + 1
fmín = –7 Rpta.: D
- 136 -
0 1
V = πr2h 2V
hr
=π
ST = 2πrh + 2πr2
ST =2πr· 2
2V
2 rr
+ ππ
ST = 2V· r-1 + 2πr2
Derivando con respecto al radio “r”:' ST = –2Vr-2 + 4πr = 0
22V
4 rr
π = 3 Vr
2=
π
∴ 3 Vr
2=
πRpta.: A
Resolución 8
• Derivando tenemos:
f ' (x) = ex · tgx + ex · sec2x
f ' (x) = ex(tgx + sec2x)
⇒ f ' (π) = eπ(tgπ + sec2π)
f ' (π) = eπ Rpta.: C
Resolución 9
• Tomando “Ln” a ambos miembros de la igualdad:
Ln y = Ln xx → Ln y = x · Lnx
derivando ambos miembros:
'1 1· y Lnx x
y x = +
y' = (Lnx + 1)y
y' = (1 + Lnx) xx Rpta.: A
Resolución 10
• Hallamos f ' (t) : (V = f ' (t))
f ' (t) = 6t – 1
V = f ' (2) = 6(2) – 1
V = 11 Rpta.: C
Resolución 1f(x) = x2 + 2x + pDerivando:
f ' (x)= 2x + 2 = 0 x = –1f(x) = (–1)2 +2(–1) + p = 10
∴ p = 11 Rpta.: C
Resolución 2
f(t) = 2t3 – 5t2 + tLa segunda derivada es la aceleración instantanea.
f ' (t) = 6t2 – 10t + 1
∴ f '' (t) = 12t – 10 Rpta.: C
Resolución 3
Sea x: el númerof(x) = x – x2
Derivando:
f ' (x) = 1 – 2x = 0
NIVEL II
∴ 1
x2
= Rpta.:D
Resolución 4
Resolución 5
(I).( )( )( )( )1 senx 1 senx1 senx
y1 senx 1 senx 1 senx
+ ++= =− − +
( ) ( )2 2
2 21 sen 1 senx 1 senx
ycosx1 sen x cos x
+ + += = =−
y = secx + tgx
∴ y' = secx(secx + tgx) ¡Falso!
(II) 2nf '(x) L (x x 1)= + +
( )2
2 2
x x 1 ' 2x 1f '(x)
x x 1 x x 1
+ + += =+ + + +
( )22· 0 1
f '(0)0 0 1
+=+ +
∴ f ' (0)= 1 Verdadero
(III) Falso
∴ Es Verdadera II Rpta.: B
Resolución 6
2x 100 xS
2∆−=
Cuarto Año de Secundaria
- 137 -
Resolución 7
Sean x , y los números:x + y = 24 ... (1)
f = x· y3 : máximof = (24 – y)·y3 = 24y3 – y4
Derivando con respecto a “y”
f ' = 72y2 – 4y3 = 0 72y2 = 4y3
⇒ y = 18
En (1): x + 18 = 24
∴ x = 6 Rpta.: E
Derivando con respecto a “x”
( ) ( )1
2 21 1S' x 100 x 2x
2 2
−∆
= − − −
2 1100 x
2 + −
Igualando a cero:
x2 = 100 – x2 x2 = 50
∴ x 5 2=
2100 x 5 2− = Rpta.: C
(I). f(x) = x f ' (x) = 1 f ' (x) ≠ 0
(II). f(x) = x2 f ' (x) = 2x
Para: x = 0 f ' (x) = 0 : mínimo
(III). f(x) = x3 f ' (x) = 3x2
Para x = 0 f ' (x) = 0 no es mínimo ni máximo.
∴ Sólo III Rpta.: C
Resolución 8
Resolución 9
Sea “x” el número.
f(x) = x – x2 : máximo
Derivando con respecto a “x”
f ' (x) = 1 – 2x = 0
∴ 1
x2
= Rpta.: C
Resolución 10
Sean x , y los números:x + y = 100 ... (1) f = x2 + 6y : mínima f = (100 – y)2 + 6yf ' = 1002 – 200y + y2 + 6y f = 1002 – 194y + y2
Derivando con respecto a “y”f ' = –194 + 2y = 0
⇒ y = 97
En (1): x + 97 = 100∴ x = 3 Rpta.: B
( ) ( )( )
2 3
2h 16 3h h 164
V' 03 h 16
− −π = = −
∴ h = 24 Rpta.: A
Resolución 12
43
3x 1
f '(x)2x 1
−= +
BCO1 ∼ AOB
2 2
8 h 8r r h
−=+
( )22 2 2
h 864
r r h
−=
+
2 64hr
h 16=
− ... (1)
En el volumen:
2V r h3π= ... (2)
Reemplazando (1) en (2):364 h
V ·3 h 16
π=−
Derivando con respecto a “h”
Resolución 11
- 138 -
Pendiente de la recta LmL = –5
Pendiente de la recta 1L
Como 1L //L
( )( ) ( )( )( )
3 3 2 3 23
3 23
2x 1 3x x 1 6xx 1f '(x) 4 ·
2x 1 2x 1
+ − − −= + +
( )33 2
3 23
x 1 9xf '(x) 4 ·
2x 1 2x 1
−= + +
( )( )
( )
( )
33 2
3 23
1 1 9 1f'( 1) 4 ·
2 1 1 2 1 1
− − − − = − + − +
∴ f ' (–1) = 288 Rpta.: A
Resolución 13
y = x2 – 7x + 3 (Parábola)
5x + y – 3 = 0 (recta)
Entonces:
L L1m m 5= = −
21 1 1y x 7x 3= − +
Derivando:
1 1 L1y ' 2x 7 m= − =
2x1 – 7 = –5
⇒ x1 = 1
Luego:
y1 = (1)2 – 7(1)+3
⇒ y1 = – 3
∴ (1 ; –3) Rpta.: C
Resolución 14
f ' = x5 + 5x4 – 10x2 + 6f ' =5x4 + 20x3 – 20x
Ecuación de la recta.y – 4 = m · (x – 3)
y – 4 = − −y(x 3)
x ... (1)
xy – 4x = –xy + 3y
3yx
2y 4=
− ...................(2)
Área = x · y
2.................. (3)
(2) en (3):
Área = 1 3y
y2 2y 4
−
Área = 23 y
·4 y 2−
Derivando con respecto a “y”
( ) ( )( )
2
2y 2 · 2y y 13
(Área)' · 04 y 2
− − = = −
x = 3 ∧ y = 4
Luego en (1): y – 4 = ( )− −4x 3
3
∴ 4x + 3y – 24 = 0 Rpta.: C
Resolución 16
Sean x e y los dos números:
x + y = 20
→
''f = 20x3 + 60x2 – 20g(x) = x5 – 4x3 + 2x – 3
g' (x) = 5x4 – 12x2 + 2
''g (x) = 20x3 – 24x
3 2
3f ''( 1) 20( 1) 60( 1) 20g''( 1) 20( 1) 24( 1)
− − + − −=− − − −
∴ f ''( 1)
5g''( 1)
− =−
Rpta.: D
Resolución 15
Cuarto Año de Secundaria
- 139 -
Resolviendo:
∴ x 8y 12
== Rpta.: E
f ' = x2· y3
f ' = (20 – y)2· y3 = (400 – 40y + y2) y3
f ' = 400y3 – 40y4 + y5
Derivando con respecto a “y”
f ' = 1200y2 – 160y3 + 5y4 = 0
y2 – 32y + 240 = 0
Resolución 17
f ' = sec25x
f ' = 2sec5x · sec5x · tg5x· 5
f ' = 10sec25x · sen5xcos5x
f ' = 10sec25x · sen5x · sec5x
∴ f ' = 10sec35x · sen5x Rpta.: C
Resolución 1
P(3 ó par) = P(3) + P(par)
= +16
36
∴ P(3 ó par) = 23
Rpta. A
Resolución 5
Resolución 2
Número de casos posibles = 36Número de casos favorables = 6
∴ P(suman 7) = 6
3616
= Rpta. D
Resolución 3
∴ P(cara) = 12
Rpta. A
Resolución 4
∴ P(ss) = 12
12
14
× = Rpta. B
P(2 caras y 1 sello) = P(ccs) + P(csc) + P(scc)
= × × + × ×12
12
12
12
12
12
+ × ×12
12
12
∴ P(2 caras y 1 sello) = 38
Rpta. D
Resolución 6
∴ P(As) = 4
521
13= Rpta. C
Resolución 7
∴ P(trébol) = 1352
14
= Rpta. A
CAPÍTULO 23
ESTADISTICA Y PROBABILIDADES(Págs: 607, 608)
NIVEL I
- 140 -
Resolución 8
∴ P(roja) = 6
6 435+
= Rpta. D
Resolución 9
∴ p(mujer) = 30
60 3013+
= Rpta. E
Resolución 10
∴ P(ganar) = 16
15
130
× = Rpta. B
Resolución 11
∴ P(NN) = 8
187
1728
153× = Rpta. E
Resolución 12
P(BBA) = 2030
1929
1028
× ×
∴ P(BBA) = 95609
Rpta. D
Resolución 13
Las dos extracciones son con reposición:
∴ P(NN) = 6
146
14949
× = Rpta. C
Resolución 14
Se sobreentiende que las dos extrac-ciones son sin reposición:
∴ P(BB) = 6
165
1518
× = Rpta. B
Resolución 15
P(VVV) = 8
177
166
15785
× × =
Rpta. A
6N8B
6B10N
8V9R
Resolución 16
P(as, as, as) = 4
52351
250
15525
× × =
Rpta. D
Resolución 17
P(3R y 2M) = C C
C36
210
516
75364
×=
Rpta. A
6R10M
Resolución 18
P(no azul) = 69
23
=
Rpta. A
4R3A2V
Resolución 19
6R16N P(RR) =
622
622
9121
× =
Rpta. C
Resolución 20
P(3B) = C C
C35
23
58
1528
×=
Rpta. C
5B3N
Resolución 1
NIVEL II
Cuarto Año de Secundaria
- 141 -
P(salga lo mismo) = P(cc) + P(ss)
= × + ×12
12
12
12
∴ P(salga lo mismo) = 12
Rpta. A
Resolución 2
P(2R y 1B) = C C
C27
13
310
2140
×=
Rpta. A
7R3B
Resolución 3Sean los eventos:
A: Hugo resulta arqueroB: Josué resulta delantero
Número de casos posibles = 6 × 5 = 30
∴ P(A y B) = 1
30 Rpta. D
Resolución 4
La posibilidad pedida es: P(BBB) + P(BRB) + P(RBB) + P(RRB)
= × × + × × +410
39
28
410
69
38
+ × × + × ×610
49
38
610
59
48
∴ =25
Rpta. C
Resolución 5
7B5R
∴ P(BR) = 7
12511
35132
× = Rpta. B
Resolución 6
P(1 fresa, 1 limón, 1 naranja) =
= × ×
=C C C
C15
14
12
311
833 Rpta. D
5 fresa4 limón2 naranja
Resolución 7
Resolución 8Total de números de dos cifras = 90Números de dos cifras múltiplos de 5= 10; 15; 20; 25, 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60;
65; 70; 75; 80; 85; 90; 95
⇒ Número de casos favorables = 18
∴ P 5b g= 1890
15
= Rpta. C
Resolución 9
P(2 fresas) = C
C28
210
2845
= Rpta. B
Resolución 10
Número de elementos = C210 45=
Rpta. D
8 fresa2 limón
Rpta. A
- 142 -
Resolución 12
* Número de formas en que se pueden sentar las 8amigas = 8!
* Número de formas en que Nataly y Vanessa quedanjuntas = 2! × 7!
* Número de formas en que Nataly y Vanessa noquedan juntas = 8! - 2! × 7!
⇒ P(Nataly no junto con Vanessa):
= 8 2 7
834
! ! !!
− × = Rpta. C
Resolución 13
P(urna II R) = P(RR) + P(BR)
P(urna II R) = 2 5 5 4 157 8 7 8 28
× + × =
Rpta. A
P (ninguna mujer) = C
C49
414
18143
=
⇒ P(al menos una mujer) = 1 – P (ninguna mujer)
P(al menos una mujer) = 1– 18
143125143
=
Rpta. B
Resolución 14
Resolución 11
Número de casos posibles = 50
P PP P+ −=6 66 88 8o yb bb bg gg g
= + −850
650
250
∴ P 6 8ob g = 625
Rpta. C