UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ANÀLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

TRABAJO N° 08

DOCENTE : Ms. RUBÉN AMÉRICO YACHAPA CONDEÑA.

ALUMNO : YUCRA RODAS, Rómulo

AYACUCHO – PERÚ

2011

“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

EJERCICIO N° 01

Determinar el coeficiente de forma β de una columna de sección constante de forma de L:

Solución

1) Sección constante:

β=A1

I21 xb2

∫ S1 xdA1+A2

I22 xb2

∫ S2 xdA2

2) Hallamos área y el momento de inercia con respecto aleje “X” para cada caso:

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“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

A1=BhdA1=Bdy

I 1 x=Bh3

3

S21 x=[B2 (h2− y2)]

2

A2=b (H−h )dA2=bdy

I 2 x=b3

(H−h)(H2+h2+Hh )

S22 x=b

2(H2− y2 )

3) Reemplazando:

β= Bh

B2( Bh33 )2∫0

h

[ B2 (h2− y2 )]2

Bdy+ b(H−h

b2( b3 (H−h)(H2+h2+Hh ))2∫h

Hb2(H2− y2)bdy

Se sabe que: H = 2h, Entonces tenemos:

β=1 .36

EJERCICIO N° 02

Encontrar el elemento de rigidez 2EIL a partir de los resultados presentados en el

ejemplo 05:

Solución

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“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

1) Sabiendo:

v (x )=θ1φ3( x )=θ1X (1− XL )2=θ1 (X−2 X

2

L+ X

3

L )Además

θ1=1 :

v (x )=X−2 X2

L+ X

3

L

La derivada de v (x )es el giro θ( x )y la derivada del giro es la curvatura φ (x )y a su

vez la curvatura es igual a MEI :

θ( x )= dv (x )dx

=1−4 XL

+ 3 X2

L2

φ (x )=d2v ( x )dx2

=− 4L+ 6 XL2

De convención de signos con la que se estamos trabajando tenemos que:

d2v ( x )dx2

=− MEI

Al reemplazar x = L, se tiene que:

M=2EIL

De tal manera que el momento que produce el giro unitario en el nudo final vale 2EIL que es el término de rigidez que estamos buscando.

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“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

EJERCICIO N° 03

Encontrar la matriz de rigidez asociada al sistema de coordenadas de la fig. 7.1 para un muro de 20 por 400cm (bxh). La altura del elemento es de 3.0 m. El módulo de elasticidad es de 2173706.5 T/m2. Calcular sin considerar el efecto de corte y considerando el efecto de corte.

Donde:b = 0.2 m, h = 4.0 m, L = 3.0 m, E = 2173706.5 T/m2, G = 0.4*E = 869482.6 T/m2

Solución

1) Hallando el momento de inercia y el área de la sección:

I=b∗h3

12=1 .067m4

A=b∗h=0.8m2

2) Calculando la matriz sin considerar efecto de corte:

K=[4 EIL

2 EIL

0

2EIL

4 EIL

0

0 0 AEL

] INGENIERÍA CIVIL-UNSCH ANÀLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444) 4

“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

Resolviendo:

4 EIL

=4∗2173706 .5∗1 .0673

=3092459.78Tm .

2EIL

=2∗2173706 .5∗1. 0673

=1546229.89Tm .

AEL

=0 . 8∗2173706 .53

=579655 .067T /m .

Reemplazamos en la matriz K:

K=[309259.78 1546229 .89 01546229.89 309259 .78 0

0 0 579655.067 ]3) Calculando la matriz considerando el efecto de corte:

K=[4 EI (1+φ )L(1+4φ )

2EI (1−2φ )L(1+4 φ)

0

2 EI (1−2φ)L(1+4φ )

4 EI (1+φ )L(1+4 φ)

0

0 0 AEL

]Para una sección rectangular: β=1 .2

Utilizamos la siguiente fórmula para el cálculo de φ=3β EI

GAL2 para los siguientes casos:1+φ1+4 φ

=0 .37 4 EIL

(0 .37 )=113807.59Tm .

1−2φ1+4φ

=−0 .26 2EIL

(−0 .26)=−406825 .49T /m .

Luego reemplazamos en la matriz K:

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“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

K=[113807.59 −406825 .49 0−406825 .49 113807.59 0

0 0 579655.067 ]EJERCICIO N° 04

Con la ayuda de las tablas de Guldan determinar la matriz de rigidez del elemento para el sistema de coordenadas de la fig. 7.5 para la viga de sección variable que se indica a continuación considerar el módulo de elasticidad igual al del ejercicio anterior.

Solución

1) Coordenadas de la figura 7.5:

2) Se tiene la matriz de flexibilidad:

f=[ f 11 − f 12− f 21 f 22 ]

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“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

3) Considerando el efecto de corte:

f 11=∫0

L

(L−xL )2 dxEI x

+∫0

L

β ( 1L )2 dxGAx

f 12=f 21=∫0

L x (L−x )L2

dxEI x

+∫0

L

β ( 1L )2 dxGAx

f 22=∫0

L

( xL )2 dxEI x

+∫0

L

β( 1L )2 dxGA x

4) Tratándose de una sección variable:

Para 0<x<1 Para 0<x<1

h( x )=0 .8−0 .4 xA( x )=0 .24−0 .12 x

I ( x )=bh3(x )

12=0.03(0 .8−0 .4 x )3

h=0 .4mA=0 .12m2

I=0 .0016

Para 3<x<4

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“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

h( x )=0 .4 x−0 .8A( x )=0 .12 x−0 .24I ( x )=0 .03(0 .4 x−0.8 )3

Sabemos que E = 2173706.5 Tn/m2 y G = 869482.6 Tn/m2 y remplazando en cada caso se obtiene:

f 11=2 .37 x 10−4

f 12=f 21=−1.58 x10−4

f 22=2.37 x10−4

Reemplazando en la matriz de flexibilidad:

f=[ 2 .37x 10−4 −1 .58 x10−4

−1 .58 x 10−4 2 .37 x10−4 ]Sabemos que: K = f-1

Considerando el efecto de corte:

K=[7625.9 5096.85096 .8 7625.9 ]

Sin considerando el efecto de corte:

K=[8042.5 5513 .25513 .2 8042 .5 ]

EJERCICIO N° 05

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“SOLUCIÒN DE EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO V”

Determinar los términos f11 y f21 utilizando las ecuaciones (7.4.1) y (7.4.2) de la viga acartelada. Se recomienda resolver las integrales empleando métodos numéricos concretamente utilizar 5 puntos de la nomenclatura de Gauss.

Solución

1) Análogamente al ejercicio anterior y considerando el efecto de corte:

f 11=∫0

L

(L−xL )2 dxEI x

+∫0

L

β ( 1L )2 dxGAx

f 21=∫0

L x (L−x )L2

dxEI x

+∫0

L

β ( 1L )2 dxGA x

2) Tratándose de una sección variable:

Para 0<x<1 Para 0<x<1

h( x )=0 .8−0 .4 xA( x )=0 .24−0 .12 x

I ( x )=bh3( x )

12=0.03(0 . 8−0 . 4 x )3

h=0 .4mA=0 .12m2

I=0 .0016

Para 3<x<4

h( x )=0 .4 x−0 .8A( x )=0 .12 x−0 .24I ( x )=0 .03(0 .4 x−0.8 )3

Sabemos E = 2173706.5 Tn/m2 y G = 869482.6 Tn/m2 y remplazando en cada caso se obtiene:

f 11=2 .37x 10−4

f 12=f 21=−1.58 x10−4

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