solución de sistemas de ecuaciones diferencialescon coeficientes desconocidos

COMITÉ EDITORIAL

COMITÉ DE EDITORIAL Raúl Sánchez Padilla Dr. Ingeniería Civil y Arquitectura Gerente General Desarrollos en Ingeniería Aplicada Presidente Comité Editorial Judith Ceja Hernández Ing. Industrial. Gerente de Gestión 3R's de México Vicepresidenta Comité Editorial Juan Manuel Negrete Naranjo Dr. en Filosofía Universidad de Freiburg i Br. Francisco J. Hidalgo Trujillo Dr. en Ingeniería Industrial Universitat Politécnica de Catalunya – FUNIBER Director Sede México Fundación Universitaria Iberoamericana David Vivas Agrafojo Mtro. en Educación Ambiental Universitat de Valencia ‐ Responsable IMEDES Andalucía Antonio Olguín Reza Mtro. Desarrollo de Negocios Jabil Circuit Oscar Alberto Galindo Ríos Mtro. en Ingeniería Mecánica Eléctrica Secretario de la Asociación Mexicana de Energía Eólica Amalia Vahí Serrano Dra. en Geografía e Historia Universidad Internacional de Andalucía Universidad "Pablo Olavide" Ricardo Bérriz Valle Dr. en Sociología Coordinador de Proyecto Regional de Ciudadanía Ambiental Global

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Auge21: Revista Científica Multidisciplinaria ISSN: 1870-8773 Año 7 / No. I / Enero - Junio / 2012

113

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

CON COEFICIENTES DESCONOCIDOS

1Verónica Adriana Galván-Sánchez (e-mail: [email protected]) 2José Alberto Gutiérrez-Robles (e-mail: [email protected])

2Miguel Ángel Olmos Gómez (e-mail: [email protected]) 1 Cinvestav-Unidad Guadalajara, México.

2 Universidad de Guadalajara, Departamento de Matemáticas, México.

I. RESUMEN Existe más de una técnica para ajustar sea un grupo de puntos que una función dentro de un intervalo; en el primer caso, el uso de la propiedades de la suma conduce al error mínimo, en el segundo caso es necesario utilizar la formulación integral para desarrollar la forma normal de la aproximación. La diferencia entre ambas técnicas es el criterio que se emplea para minimizar la función, donde uno de los más utilizados el criterio de error mínimo cuadrado. Si se tiene un problema sobre-determinado, la multiplicación por la transpuesta es equivalente a utilizar el criterio de error mínimo cuadrado. Si se tiene un grupo de datos reales sobre un intervalo, el uso de los polinomios ortogonales determina una función muy estable que ajusta este grupo de puntos; pero para el caso de números complejos, se necesita una metodología más elaborada. En este articulo, la técnica de ajuste vectorial se utiliza para ajustar un grupo sobre-determinado de datos complejos, con lo cual se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario (SEDO).

Palabras clave: SEDO, criterio de error mínimo cuadrado, ajuste en plano complejo.

II. ANTECEDENTES Hay dos tipos de problemas considerados dentro de este concepto; el primero de ellos es el problema de interpolación que involucra encontrar valores intermedios cuando se tienen valores en un número finito de puntos; el segundo problema es el de aproximar una función compleja dentro de un intervalo con una función simple, la cual es más adecuada para hacer cálculos numéricos. Claramente, el objetivo principal es que la aproximación haga el error tan pequeño como sea posible. Dependiendo de la forma como se presente el error, surgen diferentes métodos, por ejemplo [1]:

( )∑=

−=n

iiinn fxE

0

φ (1)

donde nE es el error de la aproximación ( )in xφ es la función propuesta para hacer el ajuste if es la función que se desea ajustar

Al ajustar la función en los 1+n puntos, se va a reducir el error nE a cero. El error definido por la ecuación (1) ciertamente se minimizo, pero la interrogante que queda es si los valores de los puntos donde ixx ≠ son buenas aproximaciones. Al problema de aproximación le concierne el error en todos los puntos dentro de un intervalo; por ejemplo, un grupo de puntos equidistantes , ( )nixi ,...,1,0= se eligen para aproximar la función ( )22511 x+ dentro del intervalo [ ]1,1 +− . Se encuentra que para cualquier punto ixx ≠ , cuando 726.0>x el error

( ) ( )xfxn −φ de la aproximación se incrementa sin límite cuando n se incrementa, y esto es verdad a pesar de que ( ) ( )iin xfx =φ ( )ni ,...,1,0= lo cual significa que 0=nE .

mailto:[email protected]




114

Cuando se considera el error sobre todo el intervalo, un objetivo más satisfactorio es hacer el máximo error tan pequeño como sea posible. Esta es la aproximación minimax donde el error está definido por [1],

( ) ( )xfxEbxa

−=≤≤φmaxmax (2)

y la función ( )xφ se elije de tal forma que maxE se minimiza. En este contexto es donde los polinomios de Tchebyshev han encontrado amplias aplicaciones. El tercer caso, es cual es de nuestro interés, es cuando el número de puntos dados es considerablemente mayor que el grado de la aproximación polinómica. Por ejemplo, es tal vez deseable utilizar polinomios de bajo orden, como un cúbico, como una aproximación dentro de un intervalo del cual se conocen tal vez 12 valores de la función. Cuatro puntos son suficientes para determinar una función cúbica de forma única y los errores entonces se presentarán en los puntos restantes. En esta situación, mejor que tener error cero en un punto en particular, se requiere que el error global sea tan pequeño como sea posible. Una elección adecuada es la definición de error dada por [1],

( )[ ] nmfxSm

iiinm ≥−= ∑

=

,0

2φ (3)

El ajuste de mínimos cuadrados se obtiene encontrando una función ( )xnφ dentro de un grupo de funciones que minimizan el término mS . El subíndice n implica que la función ( )xnφ depende de n parámetros, los cuales se pueden elegir de manera apropiada para tener la propiedad de mínimos cuadrados. En el caso de un polinomio estos parámetros son coeficientes de la forma ( )naaa ,...,, 10 , y por tanto una función ( )xn 1+φ va a tener ( )1+n parámetros variables. Los polinomios son muy utilizados para hacer ajustes, por lo tanto vale la pena considerarlos como las funciones más apropiadas para este propósito. Una gran ventaja de la aproximación polinómica es su evaluación directa, sea de su derivada como de su integral. Sin embargo, es importante saber que tan cercana se puede obtener una aproximación utilizando polinomios. Afortunadamente, existe el teorema de Weierstrass que muestra que, para cualquier función continua dentro de un intervalo finito, el error minimax se puede hacer tan pequeño como se quiera eligiendo un polinomio de orden suficientemente grande.

III. AJUSTE MEDIANTE EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS La propiedad fundamental de este método es que la suma de los cuadrados de los errores se hace tan pequeña como sea posible. Se tienen dos tipos de problemas bien definidos, el aproximar un grupo de datos finitos o el aproximar una función dentro de un intervalo. En el primer caso el error se define como la suma de los cuadrados de los errores individuales de cada punto; en el segundo caso se necesita una formulación integral. Esta formulación se utiliza para ilustrar la base teórica del método debido a que en gran medida se está más familiarizado con el cálculo integral que con las propiedades de las sumatorias. En forma general el método de mínimos cuadrados se basa en una aproximación que depende linealmente de un grupo de parámetros ( )naaa ,...,, 10 . La integral de la suma de los errores al cuadrado está dada por [1, 2 ,3],

( ) ( )[ ]∫ −=b

an dxxaaaxfS 2

10 ,,...,,φ (4)

Como se requiere que S se minimice, la primera derivada respecto a los coeficientes se hace cero, por tanto 0=∂∂ iaS (5)

Si se tienen las condiciones adecuadas para la diferenciación dentro de la integral, se obtienen 1+n ecuaciones para los coeficientes ia , de la forma

( ) ( )[ ] nidxxaaaxfa

b

an

i

,...,1,0 ,0,,...,,2 10 ==−∂∂

− ∫ φφ (6)

Sabiendo que φ es una función lineal, las ecuación (6) se puede escribir como,

( ) ( ) nidxxfa

dxxaaaa

b

a

b

a in

i

,...,1,0 ,,,...,, 10 =∂∂

=∂∂∫ ∫

φφφ (7)

Esta ecuación se conoce como la forma normal de una ecuación.


115

Como una ilustración de la forma en que se aplica el método, se elige una aproximación polinomial, así se tiene

( ) nnn xaxaadxxaaa +++= 1010 ,,...,,φ (8)

La forma normal de la ecuación es

[ ] ( ) nidxxfxdxxaxaaxb

a

b

a

inn

i ,...,1,0 ,10 ==+++∫ ∫ (9)

Si se hace la expansión, en forma explícita se tiene que

nnnnnn

nn

bauauau

bauauau

=+++

=+++

1100

00101000

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

entonces los coeficientes jiu del lado izquierdo de la matriz U están dados por

njidxxxub

a

jiji ,...,1,0, , =⋅= ∫

(11)

Idealmente, se quiere que la forma normal de la ecuación tenga una estructura simple, lo cual resulta en una solución eficiente del problema. La estructura más simple es la diagonal, lo cual implica tener los coeficientes ( )naaa ,...,, 10 directamente dividiendo por ( )niu ii ,...,1,0 = . Esta forma se puede producir tomando ventaja de las propiedades de las funciones ortogonales.

III.A.- Aproximación en plano discreto por el método de mínimos cuadrados La propiedad fundamental de este método expresada en forma discreta, lleva a la siguiente relación:

( )( )∑=

−=m

iinim xPyE

1

2 (12)

donde:

( ) ( )∑=

=n

j

jjn xaxP

0

(13)

Substituyendo la ecuación (13) en la ecuación (12), se obtiene

( )∑ ∑= =

−=

m

i

n

j

jijim xayE

1

2

0

(14)

Expandiendo el termino cuadrático se llega a

∑∑ ∑∑ ∑∑= = =

+

= ==

+

−=

n

j

n

k

m

i

kjikj

n

j

m

i

jiij

m

iim xaaxyayE

0 0 10 11

2 2 (15)

El error mínimo cuadrado se define como la derivada del error respecto de los coeficientes igual a cero, es decir, 0=∂∂ jm aE , por lo tanto se tiene que

02

0 0 10 11

2

=∂

+

−∂ ∑∑ ∑∑ ∑∑

= = =

+

= ==

j

n

j

n

k

m

i

kjikj

n

j

m

i

jiij

m

ii

a

xaaxyay

(16)

La solución de la ecuación (16) en forma matricial tiene la siguiente estructura,

=

∑

∑

∑

∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

=

=

=

=

=

+

=

+

=

+

=

=

+

===

=

+

===

====

m

i

nii

m

iii

m

iii

m

iii

nm

i

nni

m

i

ni

m

i

ni

m

i

ni

m

i

ni

m

ii

m

ii

m

ii

m

i

ni

m

ii

m

ii

m

ii

m

i

ni

m

ii

m

ii

m

ii

xy

xy

xy

xy

a

aaa

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

1

1

2

1

1

1

0

2

1

0

11

2

1

1

1

1

2

1

4

1

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1

11

2

1

1

1

0

(17)

donde m es el numero de muestras en plano discreto.


116

IV. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES DESCONOCIDOS Muchos de los problemas físicos comunes se modelan con un sistema de ecuaciones diferenciales como,

BuAxx += (18)

DuCxy += (19)

donde A , B , C y D son, en este caso, matrices de coeficientes desconocidos. La solución de la ecuación (18) en el dominio de Laplace es,

( ) ( ) ( ) ( )ssss FBXAxX ⋅+⋅=− 0 (20a) Resolviendo para ( )sX se obtiene,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ssss FBAIxAIX 11 ⋅−+−= −− 0 (20b) La solución de la ecuación (19) en dominio de la frecuencia es,

( ) ( ) ( )sss FDXCY ⋅+⋅= (21a) Substituyendo la ecuación (20b) en la ecuación (21a) se tiene,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )sssss FDFBAIxAICY 11 ⋅+⋅−+−⋅= −− 0 (21b) La respuesta de estado cero de (21b), ( ) 00 =x , conduce a,

( ) ( )[ ] ( )sss FDBAICY 1 ⋅+⋅−⋅= − (22) Dado que la función de transferencia de un sistema es la relación entre la entrada y la salida, se tiene que

( ) ( ) DBAICH 1 +⋅−⋅= −ss (23) Así, el objetivo de este trabajo es aproximar la función ( )sH en forma racional, suponiendo que A es una matriz diagonal y B es una matriz columna de unos. Esta aproximación se hace ajustando la función de transferencia en plano complejo como se muestra en la sección V.

V. AJUSTE EN PLANO COMPLEJO El ajuste vectorial (vector fitting) se ha constituido como una herramienta popular para identificar sistemas lineales, la técnica se basa en la aproximación de la función en dominio de la frecuencia como sigue [4, 5, 6]:

( ) ( ) ( )sfsfs fitfit σσ = (24) donde:

( )( )

( )∏

∏∑

=

+

=

= −

−=++

−= N

nn

N

nnN

n n

nfit

as

zshshd

ascsf

1

1

1

1

(25a)

( )( )

( )∏

∏∑

=

=

= −

−=+

−= N

nn

N

nnN

n n

n

as

zs

ascs

1

1

1 ~

~1~

~σ

(25b)

( )( )

( )∏

∏∑

=

+

=

= −

−=++

−= N

nn

N

nnN

n n

nfit

as

zshshd

ascsf

1

1

1

1 ~

ˆ

~ˆ

σ

(25c)

Despejando ( )sf fit de la ecuación (24) se tiene que,

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )∏

∏

∏

∏

=

=

=

+

=

−

−

−

−

==

N

nn

N

nn

N

nn

N

nn

fitfit

as

zs

as

zsh

ssf

sf

1

1

1

1

1

~

~

~

ˆ

σσ

(26a)


117

Si los polos de ( )sf fitσ y ( )sσ son los mismos, la ecuación resultante es,

( ) ( )( )

( )

( )∏

∏

=

+

=

−

−== N

nn

N

nn

fitfit

zs

zsh

ssf

sf

1

1

1

~

ˆ

σσ

(26b)

La ecuación (26b) indica que los polos de ( )sf fit son los ceros de ( )sσ .

VI.A.- Procedimiento numérico Substituyendo la ecuación (25a,b,c) en la ecuación (24) lleva a,

( ) shdas

csfas

c N

n n

nfit

N

n n

n ++−

=

+

− ∑∑== 11

~ˆ

1~~

(27a)

esto es

( ) ( ) shdas

csfsfas

c N

n n

nfitfit

N

n n

n ++−

=+− ∑∑

== 1

*

1~

ˆ~

~

(27b)

Despejando ( )sf fit* se tiene que,

( ) ( )sfas

cshdas

csf fit

N

n n

nN

n n

nfit ∑∑

== −−++

−=

11

*~

~~

ˆ

(27c)

Re escribiendo la ecuación (27c) en forma matricial se obtiene,

( ) ( )

−

−−

= ∑∑==

n

n

N

n n

fitN

n nfit

chdc

assf

sas

sf

~

ˆ

~1~1

11

*

(27d)

Si se define,

( ) ( )

−

−−

= ∑∑==

N

n n

fitN

n n assf

sas

s11

~1~1f y [ ]nn

T chdc ~ˆ=X (28a,b)

La notación en forma compacta es, ( ) ( ) Xff ⋅= ssfit

* (28c) de la ecuación (28a,b,c) se tiene que,

1. ( )sfit*f es la función discretizada a ser ajustada.

2. s es la variable de Laplace (discretizada). 3. ( )sf es la función utilizada para hacer el ajuste en plano discreto. 4. na~ contiene los polos iniciales para hacer el ajuste. 5. nc , d , h y nc~ son los valores desconocidos.

La ecuación (27d) indica que el ajuste es un problema no lineal en donde ( )sfitf depende de ( )sfitf . Por lo tanto se resuelve en forma iterativa [6]. La ecuación (27d) es la realización de un grupo de datos utilizando una función impropia. Si se quiere una realización con una función propia, se necesita cancelar el término “sh” en la ecuación (27a) y seguir el mismo procedimiento. Por otro lado, si se quiere una realización con una función estrictamente propia, se necesita cancelar “d+sh” en la ecuación (27a) y seguir el mismo procedimiento.

VI.B.- Calculo de residuos nc~ Si se tiene que ( ) ( ) Xff ⋅= ssfit

* y se sabe que ( )sf fit* y ( )sf son complejos, ambos se pueden separar en su parte

real e imaginaria como sigue, ( )( )sfreal=1A (29a) ( )( )sfimag=2A (29b) ( )( )sfreal fit

*1 =b (29c)

( )( )sfimag fit*

2 =b (29d)


118

Reacomodando estas matrices en un nuevo sistema matricial, se tiene,

=

2

1

AA

A y

=

2

1

bb

b (30a,b)

esto es XAb ⋅= . (31)

Para resolver el sistema (31), la matriz A se normaliza utilizando la norma cuadrática Euclidiana dada por,

( ) ( ) pn

i

p

ivpnorm1

1

,

= ∑

=

V (32a)

donde 2=p y n es el número de elementos del vector V . La aplicación de la norma Euclidiana, por columna, se hace con la siguiente ecuación,

( ) ( )( ) ( )Ncm

normmm

m

:1 2,

:,:, ==A

AA (32b)

Aquí mA es un vector columna. Después de la normalización, se usa el criterio de mínimos cuadrados, lo que es equivalente a la pre-multiplicación por TA , por lo tanto resolviendo para X se obtiene,:

( ) bAAAX ⋅⋅⋅= − TT 1 (33) Finalmente la norma cuadrática Euclidiana se aplica al vector X elemento a elemento como sigue

).'(AX.X norm= ; por lo tanto sabiendo que [ ]nnT chdc ~ˆ=X , se obtiene,

[ ]pn Nc :1ˆ X= (34a)

[ ]1+= pNd X (34b)

[ ]2+= pNh X (34c)

[ ]22:3~ ++= ppn NNc X (34d)

donde pN es la longitud de na~ . Es importante notar que cuando se tiene un par complejo conjugado de polos iniciales, p.e. ka~ , entonces kc~ contiene la parte real y 1

~+kc contiene la parte imaginaria del residuo de ( )sσ .

VI.C.- Calculo de los ceros nz~ de ( )sσ De la ecuación (25b), y teniendo s , nc~ y na~ , es posible obtener ( )nz~ de la siguiente ecuación,

( )

( )∏

∏∑

=

=

= −

−=+

− N

nn

N

nnN

n n

n

as

zs

asc

1

1

1 ~

~1~

~

(35)

Hay dos posibilidades; si se tiene un par de polos iniciales reales ( )21~,~ aa o si se tiene un par complejo conjugado

( )bjaa ~~~1 += y ( )bjaa

~~~2 −= . El procedimiento de ambos se describe a continuación.

1er CASO.- Procedimiento para obtener los ceros ( )nz~ cuando se tienen dos polos reales,

( ) 1~~

~~

2

2

1

1 +−

+−

=as

cas

csσ (36a)

Sacando factor común y agrupando alrededor de la variable s se tiene,

( ) ( ) ( )( )( )21

12212121212

~~~~~~~~~~~~

asasacacaasaaccss

−−−−+−−++

=σ (36b)

De la factorización del numerador en función de la variable s se obtiene que,

( ) ( )( )( )( )21

~~ asassss−−−−

=βασ

(36c)

por lo tanto α=1~z y β=2

~z .


119

En forma alternativa, estos ceros se pueden calcular utilizando la siguiente ecuación,

[ ]

−

= 21

2

1 ~~11

~00~

~ cca

aseigenvaluezn

(37a)

Desarrollando la parte dentro de las llaves se tiene que,

−−−−

=221

211

~~~~~~

~cac

ccaseigenvaluezn

(37b)

El cálculo de los valores propios se puede hacer utilizando la ecuación ( ) 0IA =−∆ λ , por lo tanto

01001

~~~~~~

221

211 =

−

−−−−

∆ λcac

cca

(38a)

Haciendo las operaciones indicadas y agrupando la ecuación se llega a, ( ) ( ) 0~~~~~~~~~~

12212121212 =−−+−−++ acacaaaacc λλ (38b)

De la solución de esta ecuación se obtiene 1λ y 2λ las cuales son los ceros ( )nz~ . Naturalmente αλ =1 y βλ =2 .

2o CASO.- Procedimiento para obtener los ceros ( )nz~ si se tiene un par de polos complejo conjugados

( ) ( ) ( ) 1~~

~~~~

~~2121 +

−−

−+

+−

+=

bjas

cjc

bjas

cjcsσ (39a)

Sacando factor común y agrupando se obtiene,

( ) ( ) ( )( )( )bjasbjas

cbcabasacss ~~~~

~~2~~2

~~~2~2 2122

12

+−−−

−−++−+=σ

(39b)

Al factorizar el numerador se llega a,

( ) ( )( )( )( )21

~~ asassss−−−−

=βα

σ (39c)

donde α=1~z y β=2

~z . En forma alternativa, estos ceros se pueden calcular utilizando la siguiente expresión,

[ ]

−

−= 21

~~02

~~~~~ ccabbaseigenvaluezn

(40a)

Por lo tanto,

−−−

=ab

cbcaseigenvaluezn ~~~2

~~2~~ 21 (40b)

El cálculo de los valores propios se puede hacer utilizando la ecuación ( ) 0IA =−∆ λ , de donde se obtiene

01001

~~~2

~~2~21 =

−

−−−

∆ λab

cbca (41a)

Haciendo las operaciones indicadas y agrupando se llega a, ( ) ( ) 0~~

2~~2~~~2~2 21

221

2 =−−++−+ cbcabaac λλ (41b) De la solución de esta ecuación se obtiene 1λ y 2λ las cuales son los ceros de ( )nz~ ; donde αλ =1 y βλ =2 .

VI.D.- Calculo de los residuos nc La función original que se quiere ajustar es,

( ) shdas

csfN

n n

nfit ++

−=∑

=1

(42a)

De la ecuación (26b), se tiene que los polos de ( )sf fit son los ceros de ( )sσ , esto significa que nn za ~= ; por lo tanto,

( )

−

= ∑=

hdc

sas

sfnN

n nfit 11

1

(42b)


120

En forma matricial, ( ) ( ) T

fit ss Xff ⋅= (42c)

donde [ ]hdcnT =X y ( )

−

= ∑=

sas

sN

n n

111

f . Debido a que ( )sfitf y ( )sf son complejas, ambas se separan en

su parte real e imaginaria como sigue, ( )( )sreal fZ =1 (43a) ( )( )simag fZ =2 (43b) ( )( )sreal fitfy =1 (43c) ( )( )simag fitfy =2 (43d)

Re acomodando en un nuevo sistema matricial se tiene que,

=

2

1

ZZ

Z y

=

2

1

yy

y (44a)

Por lo tanto TXZy ⋅= (45)

Para resolver el sistema de ecuaciones (45), la matriz Z se divide por su norma cuadrática Euclidiana, después se utiliza la aproximación de mínimos cuadrados, lo que es equivalente a pre multiplicar por TZ , así se obtiene,

( ) yZZZX ⋅⋅⋅= − TT 1 (46) Finalmente se aplica la norma Euclidiana al vector X . Sabiendo que [ ]hdcn

T =X , se obtiene,

[ ]pn Nc :1X= (47a)

[ ]1+= pNd X (47b)

[ ]2+= pNh X (47c)

donde pN es la longitud de na . Es importante notar que cuando se tiene un par de polos iniciales complejos conjugados, p.e. ka , entonces kc va a contener la parte real y 1+kc la parte imaginaria del residuo. La aproximación final es una formula analítica dada por los polos na y los residuos nc , complementada con un término constante d y un término proporcional h . Esto significa que de los valores discretos iniciales en plano complejo, el procedimiento sintetiza una función analítica que aproxima el grupo de datos. Para aplicaciones prácticas se obtiene un modelo (formulación) analítico a partir de un grupo de datos; y este es el principal objetivo de ajustar en todas sus variantes.

VI. PROCEDIMIENTO NUMÉRICO Se puede ajustar un grupo de datos con una función estrictamente propia, propia o impropia. Es claro que si se tiene un grupo de datos es imposible conocer en forma a priori el tipo y orden de la función que los ajusta. Por lo tanto, es necesario explorar alrededor de estas dos variables para obtener la ecuación que ajuste mejor el grupo de datos. Por ejemplo, si se tiene la función de transferencia ( )sH descrita por los siguientes datos,

++++

=

iiii

32.6281.037.1351.0

164.291.02832.61.0

S

−−−−

=

iiii

S

0095491.06044304.0001.6

20376.00217.678136.04095.6

H

=

1111

B

donde S es la variable de Laplace en forma discreta, SH es la función de transferencia en forma discreta y B es un vector de pesos de unos. Utilizando la técnica de ajuste vectorial, se sintetiza una función analítica como la de la ecuación (42a), la cual tiene la siguiente forma

( ) shdas

csN

n n

n ++−

= ∑=1

f

donde ( )N da el orden de la función a sintetizar y ( )shd + determinan el tipo de la aproximación.


121

La tabla 1 muestra los polos iniciales de acuerdo al orden de la aproximación y el factor de cada polo, es decir, el numero asociado para distinguir un polo real de las partes real e imaginarias de un polo complejo. El procedimiento de ajuste es sensible a los polos iniciales, pero después de muchas pruebas el espaciamiento lineal es una buena forma de distribuir los polos dentro del intervalo de ajuste. La tabla 1 se genera con polos reales entre -1 y -100 y polos complejos con parte real entre los limites [-0.01 -1] y parte imaginaria entre [1 100] utilizando la función linspace de MatLab.

TABLA 1.- Polos iniciales para cada orden de aproximación Orden Polos iniciales Factor de cada polo. 0 para un real, 1 para la parte

real y 2 para la imaginaria de uno complejo 1er [ ]5.49−=initP [ ]0=indexI 2o [ ]iiinit 10011001 +−−−=P [ ]21=indexI 3er [ ]iiinit 100110015.49 +−−−−=P [ ]210=indexI 4o [ ]iiiiinit 1001100101.001.0 +−−−+−−−=P [ ]2121=indexI

Aplicando la metodología descrita, es posible obtener una función estrictamente propia, propia o impropia para cada orden de aproximación. La tabla 2 muestra las funciones obtenidas de acuerdo al orden y tipo de aproximación.

TABLA 2.- Funciones para cada orden y tipo de aproximación Tipo de funciones

Orden Estrictamente propia Propia Impropia 1er ( ) 396.88

53.555+= ssf ( ) 0016.61221.3

2112.6++= ssf ( ) sss 6105125.10016.61232.3

212.6 −×+++=f

2o ( ) 1845.32366.6

5106416.2

610585.1++

×+×= ss

sf ( )699951.01635.2

5104.20008.399951.01635.25104.20008.3

+++−

+

−++=

isi

isisf

( )

s

isi

isis8105929.16

99996.01637.25085.20008.3

99996.01637.25085.20008.3

−×++

++−

+−++=f

3er ( )

isi

isi

ss

0374.11841.23423.29987.2

0374.11841.23423.29987.2

7104493.4

8106696.2

++−

+−++

+

×+×=f

( ) 623

223

25

2+++

++−+

−++= is

iis

issf

( ) sis

iis

iss 1810101.4623

223

25

2 −×−+++

++−+

−++=f

4o ( )

0666.623.11

054.18261.9

91.241331.11

20102319.1

20103699.7

+++−

++×+×=

ss

sssf

( )

6232

232

52

0123.910103113.3

++++

+−+−

+

+++−×

−=

isi

isi

sssf

( )

s

isi

isi

isi

isis

9104726.36

10015102064.600050299.0

10015102064.600050299.0

0345.11819.23564.29988.2

0345.11819.23564.29988.2

−×−+

++−×−

+−+−×+

+

++−

+−++=f

Es posible obtener aproximaciones de mayor o menor orden, sin embargo se deben de tomar en cuenta ciertas consideraciones, por ejemplo,

1. El grupo de datos tiene como origen una función de cierto orden y tipo (problema original). 2. Aunque no se conocen estas características del problema original, cuando se sobrepasa el orden en la

aproximación, se obtienen residuos cercanos a cero, imaginarios puros o de gran magnitud. 3. Por otro lado, cuando se tiene un bajo orden de aproximación, se obtienen polos y residuos de gran

magnitud. 4. Cuando el tipo de función no es el adecuado se tienen términos proporcionales o constantes cercanos a

cero. 5. Por estas razones, la medida del ajuste se da en términos del error mínimo cuadrado [4, 5, 6].

La evaluación del error por el método de mínimos cuadrados tiene el problema de que utilizando un error fijo, más de una función puede cumplirlo. Por ejemplo, las funciones propias de orden 3 y 4, y la función impropia de orden 3, tienen prácticamente el mismo error pero difieren en orden y tipo. Analizando los resultados en forma visual, la Figura 1 muestra el valor absoluto del grupo de datos y todas las aproximaciones, la Figura 2 muestra la parte real y la Figura 3 la parte imaginaria. Las Figuras 4, 5 y 6 muestran un acercamiento de las funciones a fin de notar cual es la mejor aproximación. Parece que las tres funciones mencionadas (propia orden 3 y 4, impropia orden 3) tienen diferencias indistinguibles pero la tabla 2 muestra las diferencias entre estas aproximaciones.


122

FIGURA 1.- Valor absoluto de los datos originales y todas las aproximaciones.

FIGURA 2.- Parte real de los datos y las aproximaciones.

FIGURA 3.- Parte imaginaria de los datos y las aproximaciones.

100

101

102

0

1

2

3

4

5

6

7

Frecuencia

Val

or a

bsol

uto

Grupo original de datosFunción estrictamente propia de primer ordenFunción propia de primer ordenFunción impropia de primer ordenFunción estrictamente propia de segundo ordenFunción propia de segundo ordenFunción impropia de segundo ordenFunción estrictamente propia de tercer ordenFunción propia de tercer ordenFunción impropia de tercer ordenFunción estrictamente propia de cuarto ordenFunción propia de cuarto ordenFunción impropia de cuarto orden

100

101

102

0

1

2

3

4

5

6

7

Frecuencia

Part

e re

al d

e la

func

ión


100

101

102

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Frecuencia

Part

e im

agin

aria

de

la fu

nció

n



123

FIGURA 4.- Acercamiento del valor absoluto de los datos y las aproximaciones.

FIGURA 5.- Acercamiento de la parte real de los datos y las aproximaciones.

FIGURA 6.- Acercamiento de la parte imaginaria de los datos y las aproximaciones.

101.3

101.31

101.32

101.33

101.34

101.35

101.36

101.37

6.0008

6.0009

6.001

6.0011

6.0012

6.0013

6.0014

6.0015

6.0016

Frecuencia

Val

or a

bsol

uto


101.29

101.31

101.33

101.35

101.37

101.39

6.0008

6.0009

6.001

6.0011

6.0012

6.0013

6.0014

6.0015

Frecuencia

Part

e re

al d

e la

func

ión


101.29

101.3

101.31

101.32

101.33

101.34

101.35

101.36

101.37

-0.06

-0.055

-0.05

-0.045

-0.04

Frecuencia

Part

e im

agin

aria

de

la fu

nció

n



124

De acuerdo a los resultados numéricos, las mejores aproximaciones son la función propia de tercer y cuarto orden y la función impropia de tercer orden. Analizando estas funciones, es notable que la función impropia de tercer orden tiene el termino proporcional casi cero y que la función propia de cuarto orden tiene un residuo casi cero, por esta razón se puede decir que son prácticamente la misma función. Es claro que si se tiene un grupo de datos medidos, se tiene el ruido de los equipos de medición y el ajuste se puede ver seriamente afectado, aun con esto se puede esperar el mismo comportamiento; si se aplica el proceso de ajuste en forma iterativa, hay una recolocación de polos para obtener una mejor aproximación [6]. Al utilizar ajustes de alto orden, si se tienen algunos polos muy grandes, imaginarios puros o residuos casi cero, se pueden omitir estos polos y utilizar el resto como un nuevo grupo de polos iniciales. Aplicando el paso anterior, se puede iniciar con una función impropia de un orden alto y reducirla hasta llegar a un grupo de polos, residuos, términos constante y proporcional que ajusten de manera adecuada el grupo de datos. El ejemplo previo se hizo en un solo ciclo iterativo, el procedimiento paso a paso para obtener la función propia de orden tres, se describe a continuación,

1. Se necesita un grupo con los siguientes datos,

++++

=

iiii

32.6281.037.1351.0

164.291.02832.61.0

S

−−−−

==

iiii

fitS

0095491.06044304.0001.6

20376.00217.678136.04095.6

fH

=

1111

B

+−−−

−=

iiinit

10011001

5.49P

=

210

indexI

2. Utilizando esta información se obtienen las matrices A y b para una función propia como sigue,

=

init

fit

init P-SBf

-BP-SBA ( )sfit

*fb =

Numéricamente se tiene,

=

××−−×−×−−×−××−−×−−−−

−−−−−−+−−−−−−

i105.8096+0.000304040.019104i+103.05820.0094902i+0.000741521i101.7747 105.06730.0031839i 105.5769 0.0015815i0.0001261i105.8994+0.00658520.089149i+107.42110.039097i+0.0141431i101.79310.00109720.014855i0.00012203 0.0064973i0.0024047

0.0082628i+0.160020.46758i+0.00649590.055296i+0.08800510.0022687i0.026496 0.077523i 0.00370190.0086783i0.0149080.68385i1.92341.1333i0.641250.031151i+0.1240310.069083i 0.30851 0.18625i+0.0773430.0024645i 0.019651

7-6-7-5-6-

5-5-5-A

=

−−−−

iiii

0095491.06044304.0001.6

20376.00217.678136.04095.6

b

3. Separando las matrices A y b en parte real e imaginaria

=

××−−−××−−−

−−−−−−

××−×−×−×××−−−×

−−−−−−

7-7-

5-5-

5-6-5-5-6-5-

5-5-

105.80960.0191040.00949020101.77470.00318390.0015815105.89940.0891490.0390970101.79310.0148550.0064973

0.00826280.467580.05529600.00226870.0775230.00867830.683851.13330.03115100.0690830.186250.0024645

1030.404103.05821074.1521105.0673105.57691012.610.0065852107.42110.01414310.00109721012.2030.00240470.160020.00649590.08800510.0264960.00370190.014908

1.92340.641250.1240310.308510.0773430.019651

A

=

−−−−

0095491.0044304.020376.078136.06001.6

0217.64095.6

b

4. Se calcula la norma Euclidiana de la matriz A , la cual por columna es, [ ]0477.23866.11702.00000.23173.02166.00272.0)( =Anorm

5. Resolver el sistema aplicando primero por columna, )(AAA norm= y después haciendo la operación

( ) bAAAX ⋅⋅⋅= − TT 1 , y entonces obtener ).'(AX.X norm= , por lo tanto numéricamente se tiene

=

−−−

−−−

9512.413480.168041.7

0000.67384.252

5909.95.818245

X

6. Como se tiene un ajuste de orden tres, los últimos tres valores corresponden a los residuos de ( )sσ :

=−−−

9512.413480.168041.7~C

7. Conociendo los polos iniciales y los factores de ponderación, se tiene

=Λ

−−−

−

1100010010005.49

init and

=

021

W

8. Con los residuos de ( )sσ , los polos iniciales y la matriz de ponderación, se obtienen los ceros de ( )sσ ,

[ ]

−

= −−−

−−−

−9512.413480.168041.7

021

1100010010005.49

eigZEROSZ


125

9. Los ceros de la función ( )sσ son los polos de la función de transferencia ( )sH , así se tiene que,

=

−−+−−

iiROOTS

2323

5R

10. Se utilizan estos polos para calcular los residuos, el termino constante y proporcional, por lo tanto

= B

R-SBA

S

( )sfit*fb =

Numéricamente se tiene,

=

××−×−−

−−×××

0109977.90.0031831-0.0015914-0109.99190.01477-0073768.0010653.98068114.0033271.00071259.025911.0095943.01100131.1101.5705101.2918100021799.000033839.000027793.010045663.00.00730790.00581831047319.015052.0077876.0

8-

6-

5-

5-5-5-A

=

0.0095491-0.044304-0.20376-0.78136-

66.001

6.02176.4095

b

11. Resolviendo el sistema siguiendo los pasos 4 y 5, se llega a

=

−61

22

X

12. Los primeros tres términos de X son los residuos de ( )sH y el cuarto es el término constante. De acuerdo con indexI el primer termino es un residuo real, el segundo es la parte real de un par de residuos complejos conjugados y el tercero es su parte imaginaria, por lo tanto se tiene,

=

+−

ii

222

C y 6=d

13. Finalmente se tiene el siguiente SEDO,

( )tuxxx

ii

+

−−+−

−=

111

23000230005

3

2

1

x [ ] [ ] ( )tuxxx

ii 6222

3

2

1

+

+−=y

14. Y utilizando la ecuación (23) la función de transferencia ( )sH del grupo de datos es la siguiente,

( ) ( ) 623

223

25

2+

+++

+−+−

++

==is

iis

is

ss Hf

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN EJEMPLO 1.- El comportamiento de un fenómeno físico se puede representar por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, sin embargo esta representación no es única, lo que significa que se pueden tener dos grupos de SEDO con la misma solución. Para este ejemplo se define un SEDO como referencia, después se desarrolla otro SEDO a partir de los puntos discretos de la función de transferencia )(sH del sistema de referencia y se comparan las soluciones. Así, si se tiene )(tuBAxx += y )(tuDCxy += , entonces,

( )tuxx

xx

+

−−−

=

0

1021525

2

1

2

1

y ( )tuxx

yyyyyyyy

+

−

−

−−

−

=

00010202

2021

01011015

0302

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

La solución analítica de este SEDO que sirve de referencia es, ( ) ( ) ( )tt eetx 21522194858273.27857805141726.24

1 10437.014075.0 −− −−−= ( ) ( ) ( )tt eetx 21522194858273.27857805141726.24

2 11996.010179.0 −− −+−−=


126

Por lo tanto, la soluciones analíticas de las salidas son ( ) ( ) ( )tueey tt 21716007780.03577344100357170.81493752 21522194858273.27857805141726.24

1 +−+−−= −− ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

2 1074011670.0536601710053581.22240628 −− −−−= ( ) ( ) ( )tueey tt 2174980260.110271281370781.99351140 21522194858273.27857805141726.24

3 +−−−−= −− ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

4 153982210.199704901638149490.04383239 −− −+−−= ( ) ( ) ( )tueey tt +−+−−= −− 21522194858273.27857805141726.24

5 1358003890.01788672100178580.40746876 ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

6 1358003890.01788672100178580.40746876 −− −−−= ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

7 14376480.41729653127808480.49513355 −− −−−= ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

8 107964420.399409811276298970.08766479 −− −+−−= Estos resultados se utilizan como referencia, pero la intención es construir un SEDO suponiendo que solo se conoce la función de transferencia ( )sH , la cual es

( )T

ssss

s

ss

s

ss

ss

ssss

ss

ss

s

ss

sss

=

++++++

+

++

++

++++

+

++

+

++

++

55272

20

55272

10

55272

2010

55272

35172

55272

10

55272

422

55272

6030

55272

703422H

La Figura 7 muestra cada término, en forma discreta, de la función de transferencia ( )sH , con 500 muestras logarítmicamente distribuidas entre [ ]83 1010− Hz y haciendo que ωjs = .

FIGURA 7a.- Valor absoluto del la función de transferencia ( )sH .

FIGURA 7b.- Parte real de la función de transferencia ( )sH .

10-2 100 102 104 106 1080

0.5

1

1.5

2

Frecuencia en Hz

Val

or a

bsol

uto

|Hs(1)||Hs(2)||Hs(3)||Hs(4)||Hs(5)||Hs(6)||Hs(7)||Hs(8)|

10-2 100 102 104 106 108-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Frecuencia en Hz

Part

e re

al d

e la

func

ión

real(Hs(1))real(Hs(2))real(Hs(3))real(Hs(4))real(Hs(5))real(Hs(6))real(Hs(7))real(Hs(8))


127

FIGURA 7c.- Parte imaginaria de la función de transferencia ( )sH .

Como conocimiento a priori, se toma como hecho que todos los datos de la función de transferencia ( )sH provienen de el mismo sistema físico, y por lo tanto, todos los términos tienen polos comunes. Así, sin importar cual grupo de datos se utilice, se llega al mismo grupo de polos. De esta forma utilizando la técnica descrita para ajustar cada curva con una función propia de segundo orden, se llega al siguiente SEDO:

( )tuxx

xx

+

−

−=

11

21522194858273.2007857805141726.24

2

1

2

1

( )tuxx

yyyyyyyy

+

−−−

−−−

−−

=

00010202

8864.08864.09837.09837.100972.00972.10

0972.00972.104432.04432.00432.00432.502918.02918.30

1945.01945.20

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

Analizando este resultado, se tiene un SEDO diferente al original, pero el objetivo es tener el mismo comportamiento en ambos SEDO. En este caso se tiene una solución analítica de la siguiente forma: ( ) ( )tetx 7857805141726.24

1 1694820403542877.0 −−= ( ) ( )tetx 21522194858273.2

2 1396094505548031.0 −−= Por lo tanto la solución analítica de las salidas es: ( ) ( ) ( )tueey tt 21921065390.08763290143608090.81493466 21522194858273.27857805141726.24

1 +−+−−= −− ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

2 115561380.131471891425561.22240401 −− −−−= ( ) ( ) ( )tueey tt 21749563110.0194639613705752.01945769 21522194858273.27857805141726.24

3 +−+−−= −− ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

4 187514750.199685881033943450.01788502 −− −+−−= ( ) ( ) ( )tueey tt +−+−−= −− 21522194858273.27857805141726.24

5 16865170.04379392144660160.40746531 ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

6 16865170.04379392144660160.40746531 −− −−−= ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

7 198484330.44321075105736620.44323939 −− −−−= ( ) ( )tt eey 21522194858273.27857805141726.24

8 175029490.39937177106788690.03577004 −− −+−−= Comparando estas soluciones con las del sistema de referencia, pareciera que son diferentes. Sin embargo, la solución en tiempo muestra que las diferencias reales con prácticamente cero. La Figura 8 muestra la solución de ambos SEDO y la Figura 9 muestra el porciento de error de la solución ajustada, donde se puede observar que el

10-2 100 102 104 106 108-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Frecuencia en Hz

Part

e im

agin

aria

de

la fu

nció

n

imag(Hs(1))imag(Hs(2))imag(Hs(3))imag(Hs(4))imag(Hs(5))imag(Hs(6))imag(Hs(7))imag(Hs(8))


128

máximo error esta alrededor de 0.01%, lo cual es aceptable debido a que es menor que el error por incertidumbre en los parámetros de un SEDO y que el error incorporado por el procedimiento numérico.

FIGURA 8.- Función original y ajuste obtenido, resueltas numericamente.

FIGURE 9.- Percent error between the original and the fitted solution.

EJEMPLO 2.- La finalidad del ejemplo anterior es explorar la técnica, sin embargo la aplicación propuesta es para el caso donde solo se tiene la función de transferencia sea analítica que numérica, por ejemplo si se tiene un SEDO descrito de la siguiente forma,

( )tu

e

ee

x

xx

aaa

aaaaaa

x

xx

nnnnnn

n

n

n

+

=

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

(48a)

( )tu

d

dd

x

xx

ccc

cccccc

y

yy

mnmnmm

n

n

m

+

=

2

1

2

1

21

22221

11111

2

1

(48b)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

tiempo en segundos

Am

plitu

d en

p.u

.

Función originalAjuste de la función

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

tiempo en segundos

Erro

r en

porc

ient

o

Error (y1)Error (y2)Error (y3)Error (y4)Error (y5)Error (y6)Error (y7)Error (y8)


129

Si se sabe que la función de transferencia ( )sH de este SEDO es,

( )

( )( )( )( )( )( )

=

=

+++

+++

+++

++−

+++

+++

+++

++−

+++

+++

+++

+++

ssssss

s

ssssss

sssss

ssssss

ssssss

ssssss

ssssss

6

5

4

3

2

1

785.2951.295.936.10953.1085.283

785.2951.295.9304010

785.2951.295.993.13855.1175.275

785.2951.295.914.8904.9824

785.2951.295.957.9902.149392

785.2951.295.95.18857.1965.367

23

23

23

2

23

23

23

23

23

23

23

23

HHHHHH

H

(49)

Como se tiene la función de transferencia analítica, el primer paso es ponerla en plano discreto. Con la finalidad de comparar el efecto del muestreo, se utilizan 4 y 10000 muestras logarítmicamente distribuidas entre [ ]53 1010− Hz, haciendo que ωjs = . El segundo paso es explorar el orden de la función que ajusta todos los términos; en este caso se llega a una función propia de tercer orden. La Tabla 3 muestra las raíces que se obtienen para cada termino de la función de transferencia con las 4 y las 10000 muestras.

TABLA 3.- Raíces utilizando 4 y 10000 muestras Raíces utilizando 4 muestras Raíces utilizando 10000 muestras

( )s1H 300000.2499999.3700000.3 321 −=−=−= rrr 299999.2500000.3699999.3 321 −=−=−= rrr ( )s2H 299999.2499999.3700000.3 321 −=−=−= rrr 300000.2500000.3699999.3 321 −=−=−= rrr ( )s3H 299999.2500000.3699999.3 321 −=−=−= rrr 300000.2499999.3700000.3 321 −=−=−= rrr ( )s4H 299999.2500000.3699999.3 321 −=−=−= rrr 300000.2499999.3700000.3 321 −=−=−= rrr ( )s5H 300000.2499999.3700000.3 321 −=−=−= rrr 299999.2499999.3700000.3 321 −=−=−= rrr ( )s6H 299999.2500000.3699999.3 321 −=−=−= rrr 299999.2499999.3700000.3 321 −=−=−= rrr

Como es necesario elegir tres raíces que ajusten todos los términos de la función de transferencia, del análisis de los resultados se escogen como raíces 3.25.37.3 321 −=−=−= rrr ; notando que los resultados utilizando 4 o 10000 muestras son prácticamente iguales con diferencias insignificantes. Utilizando las raíces elegidas, se obtienen los resultados mostrados en las Figuras 10, 11 y 12. Es estas figuras se compara cada término de la función de transferencia original con el ajuste. Mientras que la Figura 10 muestra el valor absoluto, la Figura 11 muestra la parte real y la Figura 12 la parte imaginaria.

FIGURA 10.- Valor absoluto de la función ( )sH y del ajuste.

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 1050

1

2

3

4

5

6

7

8

Frecuencia en Hz

Val

or a

bsol

uto

de la

func

ión

Función originalResultado del ajuste racional


130

FIGURA 11.- Parte real de la función ( )sH y del ajuste.

FIGURA 12.- Parte imaginaria de la función ( )sH y del ajuste.

Finalmente, utilizando la metodología descrita se llega al siguiente SEDO,

( )tuxxx

xxx

+

−−

−=

111

3.20005.30007.3

3

2

1

2

2

1

(50a)

( )tuxxx

yyyyyy

+

−−−−−−−−−−−−

=

305427

476.1533.20886.19244.6208.92764.874

762.3933.70857.68848.1103.18339.1762

6667.6333.83110726.861.14274.1370

3

2

1

6

5

4

3

2

1

(50b)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105-2

0

2

4

6

8

Frecuencia en Hz

Part

e re

al d

e la

func

ión


10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105-3

-2

-1

0

1

2

3

Frecuencia en Hz

Part

e im

agin

aria

de

la fu

nció

n



131

Este SEDO tiene como solución analítica, ( ) ( )tetx 7.3

1 1702702702702.0 −−= ( ) ( )tetx 5.3

2 1142857142857.0 −−= ( ) ( )tetx 3.2

3 1954347826086.0 −−= Por lo tanto la solución analítica de la salida es, ( ) ( ) ( ) ( )tueeey ttt 71717070393374.371947380952380.0741953667953667.703 3.25.37.3

1 +−−−+−−= −−− ( ) ( ) ( ) ( )tueeey ttt 21378985507246.21238095238095.231297297297297.29 3.25.37.3

2 +−−−−−+= −−− ( ) ( ) ( ) ( )tueeey ttt 41930331262939.481238095238095.5231764478764478.476 3.25.37.3

3 +−−−+−−= −−− ( ) ( ) ( ) ( )tueeey ttt 51882877846790.171523809523809.2021861003861003.186 3.25.37.3

4 +−−−+−−= −−− ( ) ( ) ( ) ( )tueeey ttt 01921480331262.271518809523809.2641613899613899.236 3.25.37.3

5 +−−−+−−= −−− ( ) ( ) ( ) ( )tueeey ttt 31087287784679.61095238095238.591521235521235.52 3.25.37.3

6 +−−−+−−= −−− La Figura 13 muestra la solución del SEDO descrito por la ecuación (50a,b).

FIGURA 13.- Solución del SEDO descrito por las ecuaciones (50a) y (50b).

Este ejemplo muestra el procedimiento para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario a partir de una función de transferencia analítica o en plano discreto, así con esta metodología se puede resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario con coeficientes desconocidos construyendo uno similar, es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario con el mismo comportamiento que la función de transferencia ( )sH del sistema original.

VIII. CONCLUSIONES Si se tiene la función de transferencia, de un sistema físico, descrita numéricamente, entonces es posible construir un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario que tenga el mismo comportamiento que esta función de transferencia. Como los sistemas son similares, la solución del sistema construido es similar a la solución del sistema original, siendo el propósito principal del ajuste el obtener un modelo analítico a partir de un grupo de datos. Este artículo muestra el procedimiento, paso a paso, para ajustar un grupo de datos en plano complejo mediante una función en el dominio de "s" utilizando la metodología descrita por el ajuste vectorial.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

0

2

4

6

8

tiempo en segundos

Am

plitu

d e

n p.

u.

y1y2y3y4y5y6


132

IX. BIOGRAFÍAS Verónica Adriana Galván Sánchez. Ella recibió sus grados de Licenciatura y Maestría en Ciencias de la Universidad de Guadalajara, México, en el 2008 y 2011 respectivamente. Actualmente, ella es estudiante de doctorado en Cinvestav-Unidad Guadalajara, México. Sus áreas de interés son los transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia, análisis de estabilidad transitoria y las matemáticas aplicadas. José Alberto Gutiérrez Robles. El recibió sus grados de Licenciatura y Maestría en Ciencias de la Universidad de Guadalajara en 1993 y 1998, respectivamente. El recibió su grado de Doctor en Ciencias de Cinvestav-Unidad Guadalajara, México, en 2002. El actualmente es profesor de tiempo completo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son las matemáticas aplicadas, el comportamiento de las descargas atmosféricas y los transitorios electromagnéticos en sistemas de potencia. Miguel Ángel Olmos Gómez. El recibió su grado de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México, en 1986; y su grado de Doctorado en Matemáticas de la Universidad Estatal de Washington (Pullman), EUA, en 1995. El actualmente es profesor de de tiempo completo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Guadalajara, México. Sus áreas de interés son la solución numérica de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales y las matemáticas aplicadas.

X. REFERENCIAS [1] P. W. Williams, "Numerical computation", Nelson Edition, boards: 0-17-761018-2, paper: 0-17-771018-7, 1972, 191

pages. [2] L. R. Burden, J. D. Faires, "Numerical analysis", Brooks/Cole 20 Channel Center Street, Boston MA 002210 USA.

Night edition, ISBN-13: 978-0-538-73351-9, CENGAGE Learning. [3] J. D. Hoffman, "Numerical methods for engineers and scientists", McGraw-Hill International Editions ISBN: O-07-

029213-2. [4] B. Gustavsen, A. Semlyen, "A robust approach for system identification the frequency domain", IEEE Transactions on

power delivery, vol. 19, no. 3, pp.1167-1173, July 2004. [5] B. Gustavsen, A. Semlyen, "Rational approximation of frequency domain response by vector fitting", IEEE Transactions

on power delivery, vol. 14, no. 3, pp.1052-1061, July 1999. [6] A. Semlyen, B. Gustavsen, "Vector fitting by pole relocation for the state equation approximation of nonrational transfer

matrices", Circuits Systems Signal Process, vol. 19, no. 6, pp. 549-566,2000.

solución de sistemas de ecuaciones diferencialescon coeficientes desconocidos

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