1.introducción 2.casos simples de reducción del orden 3.ecuaciones lineales homogéneas con...
TRANSCRIPT
![Page 1: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
![Page 4: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/5.jpg)
2
2
0
Resolver la ecuación
2 0
alrededor de 0
d y dyx y
dx dxx
![Page 6: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/6.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
Como los coeficientes y 2
son analíticos en todo el plano complejo,
es claro, que todos los puntos del plano
complejo son puntos ordinarios de esta
ecuación.
P x x Q x
C
![Page 7: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/7.jpg)
0
1
0
22
20
2 1
2 1 0
1
1 2 0
nn
n
nn
n
nn
n
n n nn n n
n n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
n n a x x na x a x
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
![Page 8: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/8.jpg)
2
2 1 0
20 0
20
1 2 0
2 1 2 0
2 1 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn n
n
n n a x na x a x
n n a x n a x
n n a a x
2 1
2 1 0
1 2 0n n nn n n
n n n
n n a x x na x a x
![Page 9: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/9.jpg)
2
02
20
2 0 alrededor de 0
2 1 0nn n
n
d y dyx y x
dx dx
n n a a x
2 1n
n
aa
n
![Page 10: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/10.jpg)
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x a
n
13
3 15
5 17
7 19
2
4 4 2
6 6 4 2
8 8 6 4 2
aa
a aa
a aa
a aa
02
024
046
6 08
1
3 3 1
5 5 3 1
7 7 5 3 1
aa
aaa
aaa
a aa
![Page 11: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/11.jpg)
We emphasize that it is not particularly important if we are unable to determine the general coefficient an in terms of a0 and a1. What is essential is that we can determine as many coefficients as we want. Thus we can find as many terms in the two series solutions as we want, even if we cannot determine the general term. While the task of calculating several coefficients in a power series solution is not difficult, it can be tedious. A symbolic manipulation package can be very helpful here; some are able to find a specified number of terms in a power series solution in response to a single command.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition.William E. Boyce &Richard C. DiPrima
![Page 12: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/12.jpg)
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x a
n
13
3 15
5 17
12 1
2
4 4 2
6 6 4 2
12 !!
1,2,3,...
n
n
aa
a aa
a aa
aa
n
n
02
024
046
02
1
3 3 1
5 5 3 1
12 1 !!
1,2,3,... ;
n
n
aa
aaa
aaa
aa
n
n
![Page 13: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/13.jpg)
2
02
0 12 2 1
2 0 alrededor de 0
1 ; 1,2,3,... 1 ; 1,2,32 1 !! 2 !!
n n
n n
d y dyx y x
dx dxa a
a n a nn n
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
![Page 14: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/14.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
![Page 15: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/15.jpg)
1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
![Page 16: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/16.jpg)
21
1
11
2 1 !!
n
n
n
y x xn
1
2 22
2
2
1
2 1 !! 2 1 !! lim lim lim 0
(2 1)!! 1 21
2 1 !!
el radio de convergencia es infinito.
n
n
nn n nn
xxn n
xn n
xn
![Page 17: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/17.jpg)
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
1
2 32
2
2 1
1
2 2 !! 2 !!lim lim lim 0
(2 2)!! 2 11
2 !!
el radio de convergencia es infinito.
n
n
nn n nn
xn n x
xn n
xn
![Page 18: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/18.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
2 1 2 1 22
1 0 0
2 22
20 0 0
2
1 1 1
2 !! 2 !! 2 !!
pero
2 !! 2 !
así que
1 1 1
2 !! ! 2 ! 2
exp2
n n n
n n n
n n n
n
nn n nnn
nn n n
y x x x x x xn n n
n n
x xy x x x x x
n n n
xx
![Page 19: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/19.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
22 1
21
11
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n
n
n
n
n
n
y x xn
xy x x x x
n
![Page 20: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/20.jpg)
21
1
11
2 1 !!
n
n
n
y x xn
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
![Page 21: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/21.jpg)
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
![Page 22: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/22.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2
2 exp2
xy x x
![Page 23: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/23.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
2
2 exp2
xy x x
![Page 24: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/24.jpg)
2
12 0 dada la solución d y dy
b x c x y y xdxdx
0 0
1 21
1 expx
x
y x y x b d dy
![Page 25: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/25.jpg)
2 22 2
0 0 0
22
0
22 22 2 2
12
22
1exp exp2
x xx x
x x
xx
x
e ey x xe d d xe d
exe d
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
![Page 26: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/26.jpg)
22
2 22 2
22
1122
2
1 11 12 22 2
1122
1
1
e dd e dd
e d ee d e dd
e e d
![Page 27: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/27.jpg)
22
0
2 22
22 2
2 2
12
21 2
1 112 22
2
11 12
2 2 2 21
0
1
xx
x
x xx x
ey x xe d
e ed e d
ey x xe e d xe e dx
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
![Page 28: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/28.jpg)
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
221
2 2 21
1 0
22 1
21
11 1
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n xxn
n
n
n
n
y x x xe e dn
xy x x x x
n
![Page 29: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/29.jpg)
22
22
2 2
212
0 0
22
2
0
1 2 2 22 2
2
1 2 1 2 Dawson2
xx
xx
d d d d d
e d e d
xy x xe e d x
0 0
2 22
1 21
2
02
12 2 2
1 2
0
1 exp
2 0 alrededor de 0
1 ;
x
x
xx x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe e d y x xe
![Page 30: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/30.jpg)
2
21 2 22 Dawson
2
x xy x c xe c c x
2
2
02
21 2
2 0 alrededor de 0
1 2 Dawson ; 2
x
d y dyx y xdxdx
xy x x y x xe
![Page 31: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/31.jpg)
2 2
0( ) exp exp
xF x x y dy
![Page 32: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/32.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
![Page 33: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/33.jpg)
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
2
1
11
2 1 !!
n
n
n
xn
![Page 34: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/34.jpg)
23 2
2
0
Resolver la ecuación
0
alrededor de 0
d y dyx x ydx dx
x
![Page 35: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/35.jpg)
23 2
02Resolver la ecuación 0 alrededor de 0
d y dyx x y xdx dx
0
2Dado que =1 y que
, el punto 0 es un
punto sin
1, que
no es analític
gular irregular y el
a en 0
método no sirve.
x Q xxP
xx
x
x
2
2 3
1 1 0d y dy
ydx x dx x
![Page 36: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/37.jpg)
23 2
02Resolver la ecuación 0 alrededor de 0
d y dyx x y xdx dx
22 2
2
Viendo la solución de Mathematica se le "ocurre"
a uno hacer el cambio de variable
2
que en efecto transforma la ecuación en
0
que es la ecuación de Bessel modificada de orden 0.
zx
d y dyz z z ydz dz
![Page 38: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/38.jpg)
2
2
0
Resuelve
0
alrededor de 1
d y dyx xydx dx
x
![Page 39: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/39.jpg)
2
02
10 alrededor de 1
d y dyy x
dx x dx
Es claro, que el punto 0
NO es un punto ordinario de la
ecuación. Sin embargo, todos
los demás puntos si son puntos
ordinarios, en particular, 1 es
un punto ordinario de esta ecuación.
x
x
![Page 40: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/40.jpg)
0
1
1
22
22
2 1
2 1 0
1
1
1 1
1 1 1 1 0
n
nn
n
nn
n
nn
n n n
n n nn n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
x n n a x na x x a x
2
02 0 alrededor de 1d y dyx xy xdx dx
![Page 41: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/41.jpg)
2 1
2 1 0
2 2 1
2 2 1
0 0
2 1 1
2 2 1
0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1 1
1
n n n
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n
nn
x n n a x na x x a x
n n a x x n n a x na x
a x x a x
n n a x n n a x na x
a x
1
0
1 0n
nn
a x
2 1
2 1 0
1 1 1 1 0n n n
n n nn n n
x n n a x na x x a x
![Page 42: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/42.jpg)
2 10 1
1 10 0 1
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n n a x
n a x a x a x
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
2 1
2 2
1 1
1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n n a x
na x a x a x
![Page 43: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/43.jpg)
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
![Page 44: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/44.jpg)
0 12
2 1 1 1
2
2 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
1
2 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa a
n n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
![Page 45: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/45.jpg)
1 0 2 2 0 13 2 2
2 1 0 14 3
0 15
0 16
0 17
2 2
3 6 3 3 3 63
4 12 12 69
12 6013
180 813 271
210 2520
a a a a a aa a a
a a a aa a
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 1
1
2 2 1 2n n
n n
a a n a aa a a
n n n
![Page 46: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/46.jpg)
0 12
0 13
0 14
0 15
0 16
0 17
2 2
6 6
12 69
12 6013
180 813 271
210 2520
a aa
a aa
a aa
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 1
1
2 2 1 2n n
n n
a a n a aa a a
n n n
![Page 47: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/47.jpg)
2 3 4 5 6 5
1
2 3 4 5 6 5
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1)1
2 6 12 12 180 210
( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1
2 6 6 60 8 2520
x x x x x xy x
x x x x x xy x x
2
02
0 1 12 2 1
0 alrededor de 1
1;
2 2 1 2n n
n n
d y dyx xy xdx dxa a n a a
a a an n n
![Page 48: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/48.jpg)
2 3 4 51
8 96 7
10 11 12
13
1 1 1 11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 6 12 12
13 13 137( 1 ) 4397( 1 )( 1 ) ( 1 )
180 210 2520 90720
39649( 1 ) 15881( 1 ) 1092899( 1 )
907200 399168 29937600
8749711( 1 ) 26264
259459200
y x x x x x
x xx x
x x x
x
14 15
16
237( 1 ) 5465437( 1 )
838252800 186810624
35879956703( 1 )
1307674368000
x x
x
2
020 alrededor de 1
d y dyx xy xdx dx
![Page 49: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/49.jpg)
2 3 4 52
7 8 96
10 11 12
13
1 1 1 31 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 6 6 20
1 271( 1 ) 953( 1 ) 3823( 1 )( 1 )
8 2520 10080 45360
13789( 1 ) 76709( 1 ) 60331( 1 )
181440 1108800 950400
45644243( 1 ) 530104
778377600
y x x x x x x
x x xx
x x x
x
14
15 16
1( 1 )
97297200
4157899567( 1 ) 6239114491( 1 )
81729648000 130767436800
x
x x
2
020 alrededor de 1
d y dyx xy xdx dx
![Page 50: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/50.jpg)
We emphasize that it is not particularly important if we are unable to determine the general coefficient an in terms of a0 and a1. What is essential is that we can determine as many coefficients as we want. Thus we can find as many terms in the two series solutions as we want, even if we cannot determine the general term. While the task of calculating several coefficients in a power series solution is not difficult, it can be tedious. A symbolic manipulation package can be very helpful here; some are able to find a specified number of terms in a power series solution in response to a single command.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition.William E. Boyce &Richard C. DiPrima
![Page 51: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/51.jpg)
0
1
1 1 1
' 1 1 1
y x a
y x a
2 3
0 1 2 3
2
1
2
02
2 3
0 alrededor de
1 1 1
' 2 1 3
1
1
y x a a
d y dyx xy xdx dx
x a x a x
y x a a x a x
![Page 52: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/52.jpg)
2
2
22 2
2
1 0 2 0
0
0
que es la ecuación de Bessel de orden 0
(es decir, =0), cuya solución general es
d y dyx x xy
dx dx
d y dyx x x ydx dx
y x c J x c Y x
2
20
d y dyx xydx dx
![Page 53: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/53.jpg)
0 1 0 0 1 0
1 0 2 0
(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y
y x c J x c Y x
J x
2
2
22 2
2
0 , 1 1 , ' 1 1
0 , 1 1 , ' 1 1
d y dyx xy y x y xdx dx
d y dyx x x y y x y xdx dx
![Page 54: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/54.jpg)
0 .8 1 .0 1 .2 1 .4
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 .2
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 1
2 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520
x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
![Page 55: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/55.jpg)
0 .5 1 .0 1 .5 2 .0
2 .5
2 .0
1 .5
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 1
2 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520
x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
![Page 56: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/56.jpg)
0 .5 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0
1 0
8
6
4
2
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 1
2 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520
x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
![Page 57: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/57.jpg)
2
2
2
2
1 1
1 1 0
10
1
z x x z
d f dfz z f
dz dz
d f dff
dz z dz
2
20
d y dyx xydx dx
![Page 58: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/58.jpg)
0
2 1
2 1 0
1 2 1 1
2 2 1 0 0
1 2 1 11 0 0 1 0
1 1 1 0
1 1 0
1 2 1 1 0
nn
n
n n nn n n
n n n
n n n n nn n n n n
n n n n n
n n n n nn n n n n
n n n n n
f z a z
z n n a z na z z a z
n n a z n n a z na z a z a z
n na z n n a z n a z a z a z
n
1 2 2 1 11 1 1
1 01 0
1 2 2 1 1
0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
na z a n n a z a n a z
a z a a z
2
21 1 0d f df
z z fdz dz
![Page 59: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/59.jpg)
0 1 2 1 2 1 11
2
0 1 2 2 1 11
2
2 1 1
2 1 2 1 1 0
2 2 1 1 0
2 1 1 0
nn n n n n
n
nn n n n
n
n n n n
a a a n na n n a n a a a z
a a a n n a n a a a z
n n a n a a a
2
20
1 2 2 1 1 1 01 1 1 1 0
1 1 0 ;
1 2 2 1 1 0
nn
n
n n n n nn n n n n
n n n n n
d f dfz z f f z a z
dz dz
n na z a n n a z a n a z a z a a z
0 1 1
2 2 1
1 ;
2 2 2 1n n
n n
a a a ana a a
n n n
![Page 60: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/60.jpg)
0 12
2 1 1 1
2
2 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
1
2 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa a
n n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
![Page 61: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/61.jpg)
2
22
Resuelve
1 1 2 0d y dy
x x x xydx dx
![Page 62: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/62.jpg)
2
2
Alrededor de 0, tenemos
1 1 que no es analítica en 0
1 1
2 2 que sí es analítica en 0
1 1
x
x xx x
x x x x
xx x
x x x
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 0
1 1
d y dy d y x dyx x x xy y
dx dx dx x x dx x x
singular irregul
Por lo tanto, el punto 0 es un punto
y el método NO puede
ser utiliz
ar
ado.
x
![Page 63: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/63.jpg)
2 2
2
Alrededor de 1, tenemos
1 11 que sí es analítica en 1
1
2 121 que sí es analítica en 1
1
x
x xx x
x x x
xx x
x x x
singular regul
Por lo tanto, el punto 1 es un punto
y el método SÍ puede
ser utiliz
ar
ado.
x
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 0
1 1
d y dy d y x dyx x x xy y
dx dx dx x x dx x x
![Page 64: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/64.jpg)
2
22
2
22
Hacemos 1 1
1 12 21 0
11
2 20
11
donde
1
z x x z
d y z dy zzy z
dz dz z zz z
df zd f zf z
dz dz z zz z
f z y z
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 0
1 1
d y dy d y x dyx x x xy y
dx dx dx x x dx x x
![Page 65: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/65.jpg)
2
22
2 20
11
df zd f zf z
dz dz z zz z
2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
2 2
2
2 3 4 5 6 7 82 2
1 1
2 2
1
[ ]
2 21
2 2 2 2 ( )
z zz
z z z
zzz z
z z z z z z O z
z z z z z z zz
O
![Page 66: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/66.jpg)
0y P x y Q x y
2
0 0
1 2
0 0
Si 0 es un punto singular regular, entonces
y
para .
Por lo tanto,
y
para y 0.
n nn n
n n
n nn n
n n
x
xP x P x x Q x Q x
x r
P x P x Q x Q x
x r x
![Page 67: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/67.jpg)
0 0
La ecuación indicial
1 0P Q
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
![Page 68: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/68.jpg)
2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
2
22
2 2
2
0 0
2 20
11
2 2
1 1
2 2
1 1
La ecuación indicial es
2 3 4 5 6 7 8 [ ]
2 2 2 2 2 2 ( )
1 0
z z z z z z O
df zd f zf z
dz dz z zz z
z zz
z z z z z
zz z z
zz O
z
P
zzz z
Q
2
La ecuación indicial 1 2 0
3 0
1 23 0
![Page 69: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/69.jpg)
22
2
3
0
2
0
21
20
1 2 2 1 0
3
3 2
nn
n
nn
n
nn
n
df zd fz z z z f z
dz dz
f z a z
df zn a z
dz
d fn n a z
dz
![Page 70: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/70.jpg)
2 1 2 3
0 0 0
4 3 2
0 0 0
3 2 4 3
0 0 0 0
4 4
0 0
1 3 2 2 3 2 1 0
3 2 2 3 2 3 2
3 2 3 2 2 0
3 2 2
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n n
n n n nn n n n
n n n n
n nn n
n n
z z n n a z z n a z z a z
n n a z n n a z n n a z
n a z n a z a z a z
n n a z a z
3 3
0 0
3 2 2
0 0 0
2 3 2 3
2 3 2 2 3 0
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
n n a z n a z
a z n n a z n a z
![Page 71: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/71.jpg)
4 4 3 3
0 0 0 0
3 2 2
0 0 0
4 3
0 0
2
0
2
3 2 2 2 3 2 3
2 3 2 2 3 0
3 2 2 2 3 2 3 2
3 2 2 3 0
5
n n n nn n n n
n n n n
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn
n
n n a z a z n n a z n a z
a z n n a z n a z
n n a z n n n a z
n n n a z
n n
4 2 3 2
0 0 0
2 2 2 2 22 1
2 1 0
8 2 9 11 3 0
2 2 5 4 3 0
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n n
a z n n a z n n a z
n n a z n n a z n n a z
![Page 72: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/72.jpg)
2 2 2 2 22 1
2 1 0
2 2 3 2 2 32 0 1 1
2 2
2
2
3 30 1
2 2 22 1
2
2 2 5 4 3 0
2 11 2 5 4 4
3 0
11 4
2 2 5 4 3 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn
n
nn n n
n
n n a z n n a z n n a z
n n a z a z n n a z a z
n n a z
a z a z
n n a n n a n n a z
![Page 73: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/73.jpg)
3 30 1
2 2 22 1
2
0 1 1 0
2
2 22 1
21 2(
11 4
2 2 5 4 3 0
1111 4 0
4
2 2 5 4 3
2 5 4) ( 2)
( 3)
0
nn n n
n
n n n
n nn
a z a z
n n a n n a n n a z
a a a a
n n a n n a n n a
n n a n n aa
n n
![Page 74: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/74.jpg)
2
0
21
1211
; (2 5 4) ( 2)
( 3
4 ) n n
nan n a n n
aa
an n
02
03 2
4 2 3
5 3 4
6 4 5
7 5 6
21
4771
3718 2
122 56
281
32 79401
44 106541
58 13770
aa
aa a
a a a
a a a
a a a
a a a
![Page 75: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/75.jpg)
2
0
21
1211
; (2 5 4) ( 2)
( 3
4 ) n n
nan n a n n
aa
an n
02
03
04
05
06
07
21
4623
72949
721223
64416347
1555239802577
1088640
aa
aa
aa
aa
aa
aa
![Page 76: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/76.jpg)
2 3 4
6 75
8 9
10
11 21 623 9491 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4 4 72 72
1223 416347( 1 ) 39802577( 1 )( 1 )
64 15552 1088640
195390241( 1 ) 11914544947( 1 )
3991680 184757760
1006695703597( 1 )
12009254400
y x x x x x
x xx
x x
x
![Page 77: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/77.jpg)
0 .8 1 .0 1 .2 1 .4
1
2
3
4
5
6
7
![Page 78: 1.Introducción 2.Casos simples de reducción del orden 3.Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.Ecuaciones lineales no homogéneas](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062216/56649c7c5503460f9493060d/html5/thumbnails/78.jpg)