sólido de johnson
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Sólido de Johnson 1
Sólido de Johnson
La girobicúpula cuadrada elongada (J37), unsólido de Johnson.
Este ejemplo de 24 vértices no es un sólidode Johnson porque no es estrictamente
convexo (tiene ángulos diédricos igual acero).
Este ejemplo de Estrella octángula no es unsólido de Johnson porque no es convexo.
En geometría, un sólido de Johnson es un poliedro estrictamenteconvexo, siendo cada una de sus caras un polígono regular. Por otraparte, no es un sólido platónico, ni un sólido de Arquímedes, ni unprisma ni un antiprisma. No se requiere que todas las caras sean unmismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por losvértices. Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de basecuadrada con lados equiláteros J1, que presenta una cara cuadrada ycuatro triangulares.
En un sólido convexo estricto, al menos tres caras concurren a unvértice, y el total de sus ángulos es menor a 360°. Dado que unpolígono regular tiene ángulos de al menos 60°, a lo sumo puedenconcurrir cinco caras en cada vértice. La pirámide de base pentagonal(J2) es un ejemplo de grado 5 (máximo).
Aunque no existen restricciones respecto a que un determinadopolígono forme una cara de un sólido de Johnson, los polígonosaplicables siempre tienen 3, 4, 5, 6, 8 ó 10 lados.
Historia
En 1946 el matemático norteamericano Norman Johnson publicó unalista de 92 sólidos, dándole nombres y número. Aunque no probó laimposibilidad de que existieran otros sólidos, hizo tal conjetura, y en1969 Victor Zalgaller demostró que la lista era completa.
Entre los sólidos enumerados, la girobicúpula cuadrada elongada (J37)resulta única por tener vértices uniformes: cuatro caras concurren acada vértice, y su disposición es siempre la misma; tres cuadrados y untriángulo.
Nomenclatura
Los nombres listados son más descriptivos de lo que pueda parecer asimple vista. La mayoría de los sólidos de Johnson pueden construirsea partir de una pirámide, una cúpula o una rotonda, junto a sólidosplatónicos, de Arquímedes, prismas y antiprismas.• Bi- significa que hay dos copias de un sólido dado unidas base con
base. En el caso de las cúpulas y rotondas, se pueden unir de maneraque se encuentren caras similares (orto-) o disimilares (giro-).Según esta nomenclatura, un octaedro sería una bipirámidecuadrada, un cuboctaedro sería una girobicúpula triangular y unicosidodecaedro sería una girobirrotonda pentagonal.
• Elongado significa que se ha unido un prisma a la base de un sólidodado o entre las bases que forman un sólido dado. Según estanomenclatura, un rombicuboctaedro sería una ortobicúpula cuadrada elongada.
Sólido de Johnson 2
• Giroelongado significa que se ha unido un antiprisma a la base de un sólido dado o entre las bases que forman unsólido dado. Un icosaedro sería una bipirámide pentagonal giroelongada.
• Aumentado significa que se ha unido una pirámide o cúpula a una de las caras del sólido dado.• Disminuido significa que se ha quitado una pirámide o cúpula de un sólido dado.• Giroide significa que se ha rotado una cúpula del sólido de forma que encaje de forma distinta. Un ejemplo está
en la diferencia entre las orto- y las girobicúpulas.Las tres últimas operaciones — aumento, disminución y giro — se pueden realizar más de una vez en un sólido losuficientemente grande. Si se ha realizado una de estas operaciones dos veces, se indica con el prefijo bi- (porejemplo, un bigiroide es un sólido que tiene dos de sus cúpulas rotadas); y si se ha realizado tres veces se indica conel prefijo tri- (por ejemplo, un sólido tridisminuido es aquél al que se le han quitado tres de sus pirámides o cúpulas).A veces los prefijos bi- y tri- dan lugar a ambigüedad. En el caso de que sea necesario distinguir entre un sólido alque se han alterado dos caras paralelas y uno al que se han alterado dos caras oblicuas, se indica la diferencia con losprefijos para- y meta-, respectivamente. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado es aquel al que se han aumentadodos caras paralelas, mientras que a un sólido metabiaumentado se le han aumentado dos caras oblicuas.
Enumeración
Jn
Nombre Desarrollo Imagen V E F F3
F4
F5
F6
F8
F10
Simetría
1 Pirámide cuadrada 5 8 5 4 1 C4v
2 Pirámide pentagonal 6 10 6 5 1 C5v
3 Cúpula triangular 9 15 8 4 3 1 C3v
4 Cúpula cuadrada 12 20 10 4 5 1 C4v
5 Cúpula pentagonal 15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 Rotonda pentagonal 20 35 17 10 6 1 C5v
7 Pirámide triangular elongada (o tetraedro elongado) 7 12 7 4 3 C3v
8 Pirámide cuadrada elongada (o cubo aumentado) 9 16 9 4 5 C4v
9 Pirámide pentagonal elongada 11 20 11 5 5 1 C5v
10 Pirámide cuadrada giroelongada 9 20 13 12 1 C4v
11 Pirámide pentagonal giroelongada (o icosaedro disminuido) 11 25 16 15 1 C5v
12 Bipirámide triangular 5 9 6 6 D3h
Sólido de Johnson 3
13 Bipirámide pentagonal 7 15 10 10 D5h
14 Bipirámide triangular elongada 8 15 9 6 3 D3h
15 Bipirámide cuadrada elongada(o cubo biaumentado)
10 20 12 8 4 D4h
16 Bipirámide pentagonal elongada 12 25 15 10 5 D5h
17 Bipirámide cuadrada giroelongada 10 24 16 16 D4d
18 Cúpula triangular elongada 15 27 14 4 9 1 C3v
19 Cúpula cuadrada elongada(Rombicuboctaedro disminuido)
20 36 18 4 13 1 C4v
20 Cúpula pentagonal elongada 25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 Rotonda pentagonal elongada 30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 Cúpula triangular giroelongada 15 33 20 16 3 1 C3v
23 Cúpula cuadrada giroelongada 20 44 26 20 5 1 C4v
24 Cúpula pentagonal giroelongada 25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 Rotonda pentagonal giroelongada 30 65 37 30 6 1 C5v
26 Girobifastigium 8 14 8 4 4 D2d
27 Ortobicúpula triangular(Cuboctaedro girado)
12 24 14 8 6 D3h
28 Ortobicúpula cuadrada 16 32 18 8 10 D4h
29 Girobicúpula cuadrada 16 32 18 8 10 D4d
30 Ortobicúpula pentagonal 20 40 22 10 10 2 D5h
31 Girobicúpula pentagonal 20 40 22 10 10 2 D5d
32 Ortocupularrotonda pentagonal 25 50 27 15 5 7 C5v
Sólido de Johnson 4
33 Girocupularrotonda pentagonal 25 50 27 15 5 7 C5v
34 Ortobirrotonda pentagonal(Icosidodecaedro girado)
30 60 32 20 12 D5h
35 Ortobicúpula triangular elongada 18 36 20 8 12 D3h
36 Girobicúpula triangular elongada 18 36 20 8 12 D3d
37 Girobicúpula cuadrada elongada(Rombicuboctaedro girado)
24 48 26 8 18 D4d
38 Ortobicúpula pentagonal elongada 30 60 32 10 20 2 D5h
39 Girobicúpula pentagonal elongada 30 60 32 10 20 2 D5d
40 Ortocupularrotonda pentagonal elongada 35 70 37 15 15 7 C5v
41 Girocupularrotonda pentagonal elongada 35 70 37 15 15 7 C5v
42 Ortobirrotonda pentagonal elongada 40 80 42 20 10 12 D5h
43 Girobirrotonda pentagonal elongada 40 80 42 20 10 12 D5d
44 Bicúpula triangular giroelongada(2 formas asimétricas)
18 42 26 20 6 D3
45 Bicúpula cuadrada giroelongada(2 formas asimétricas)
24 56 34 24 10 D4
46 Bicúpula pentagonal giroelongada(2 formas asimétricas)
30 70 42 30 10 2 D5
47 Cupularrotonda pentagonal giroelongada(2 formas asimétricas)
35 80 47 35 5 7 C5
48 Birrotonda pentagonal giroelongada(2 formas asimétricas)
40 90 52 40 12 D5
49 Prisma triangular aumentado 7 13 8 6 2 C2v
50 Prisma triangular biaumentado 8 17 11 10 1 C2v
51 Prisma triangular triaumentado 9 21 14 14 D3h
52 Prisma pentagonal aumentado 11 19 10 4 4 2 C2v
Sólido de Johnson 5
53 Prisma pentagonal biaumentado 12 23 13 8 3 2 C2v
54 Prisma hexagonal aumentado 13 22 11 4 5 2 C2v
55 Prisma hexagonal parabiaumentado 14 26 14 8 4 2 D2h
56 Prisma hexagonal metabiaumentado 14 26 14 8 4 2 C2v
57 Prisma hexagonal triaumentado 15 30 17 12 3 2 D3h
58 Dodecaedro aumentado 21 35 16 5 11 C5v
59 Dodecaedro parabiaumentado 22 40 20 10 10 D5d
60 Dodecaedro metabiaumentado 22 40 20 10 10 C2v
61 Dodecaedro triaumentado 23 45 24 15 9 C3v
62 Icosaedro metabidisminuido 10 20 12 10 2 C2v
63 Icosaedro tridisminuido 9 15 8 5 3 C3v
64 Icosaedro tridisminuido aumentado 10 18 10 7 3 C3v
65 Tetraedro truncado aumentado 15 27 14 8 3 3 C3v
66 Cubo truncado aumentado 28 48 22 12 5 5 C4v
67 Cubo truncado biaumentado 32 60 30 16 10 4 D4h
68 Dodecaedro truncado aumentado 65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 Dodecaedro truncado parabiaumentado 70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 Dodecaedro truncado metabiaumentado 70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 Dodecaedro truncado triaumentado 75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 Rombicosidodecaedro giroide 60 120 62 20 30 12 C5v
Sólido de Johnson 6
73 Rombicosidodecaedro parabigiroide 60 120 62 20 30 12 D5d
74 Rombicosidodecaedro metabigiroide 60 120 62 20 30 12 C2v
75 Rombicosidodecaedro trigiroide 60 120 62 20 30 12 C3v
76 Rombicosidodecaedro disminuido 55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 Rombicosidodecaedro paragiroide disminuido 55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 Rombicosidodecaedro metagiroide disminuido 55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 Rombicosidodecaedro bigiroide disminuido 55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 Rombicosidodecaedro parabidisminuido 50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 Rombicosidodecaedro metabidisminuido 50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 Rombicosidodecaedro giroide bidisminuido 50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 Rombicosidodecaedro tridisminuido 45 75 32 5 15 9 3 C3v
84 Biesfenoide romo(Dodecaedro siamés)
8 18 12 12 D2d
85 Antiprisma cuadrado romo 16 40 26 24 2 D4d
86 Esfenocorona 10 22 14 12 2 C2v
87 Esfenocorona aumentada 11 26 17 16 1 Cs
88 Esfenomegacorona 12 28 18 16 2 C2v
89 Hebesfenomegacorona 14 33 21 18 3 C2v
90 Biesfenocíngulo 16 38 24 20 4 D2d
91 Bilunabirrotonda 14 26 14 8 2 4 D2h
92 Hebesfenorrotonda triangular 18 36 20 13 3 3 1 C3v
Sólido de Johnson 7
Referencias• Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200.
Enumeración original de los 92 sólidos, y conjetura sobre que no existen otros.• Victor A. Zalgaller (1969). Consultants Bureau. ed. Convex Polyhedra with Regular Faces. No ISBN. Primera
prueba de que sólo hay 92 sólidos de Johnson.
Enlaces externos• Sylvain Gagnon, "Convex polyhedra with regular faces [1]", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95.• Paper Models of Polyhedra [2] Varios enlaces• Johnson Solids [3] por George W. Hart.• Imágenes de los 92 sólidos categorizados [4]
• Weisstein, Eric W. «Johnson Solid [5]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Modelos VRML [6]
• Juego para construir estos y otros sólidos [7] Bloques magnéticos• Modelos VRML [8] por Vladimir Bulatov
Referencias[1] http:/ / haydn. upc. es/ people/ ros/ StructuralTopology/ ST6/ st6-11-a7-ocr. pdf[2] http:/ / www. korthalsaltes. com/[3] http:/ / www. georgehart. com/ virtual-polyhedra/ johnson-info. html[4] http:/ / www. uwgb. edu/ dutchs/ symmetry/ johnsonp. htm[5] http:/ / mathworld. wolfram. com/ JohnsonSolid. html[6] http:/ / web. ukonline. co. uk/ polyhedra/ johnson/ johnson. html[7] http:/ / www. magneblocks. com[8] http:/ / bulatov. org/ polyhedra/ johnson/
Fuentes y contribuyentes del artículo 8
Fuentes y contribuyentes del artículoSólido de Johnson Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=60027384 Contribuyentes: Antur, Espilas, JaviMad, Juan Mayordomo, Junaxio, Metronomo, Ricardogpn, Sabbut, 2ediciones anónimas
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Elongated square gyrobicupola.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Elongated_square_gyrobicupola.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: AnonMoos, BLueFiSH.as, Hellisp, Jidari, Lipedia, SharkDArchivo:Partial cubic honeycomb.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Partial_cubic_honeycomb.png Licencia: Public domain Contribuyentes: Bryan, Jim2k,Kilom691Archivo:Stella octangula.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Stella_octangula.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: FropuffImage:Johnson solid 1 net.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Johnson_solid_1_net.png Licencia: desconocido Contribuyentes: Anomie, Tomruen, Wickey-nlImage:Square pyramid.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Square_pyramid.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Jidari, Man vyi,SharkD, 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Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 9
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