sobre la superestabilidad en q-clases elementales abstractas

Sobre la Superestabilidad en Q-ClasesElementales Abstractas

José Nicolás Nájar Salinas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas

Bogotá, Colombia

Agosto 2020

Sobre la Superestabilidad en Q-ClasesElementales Abstractas

José Nicolás Nájar Salinas

Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ciencias Matemáticas.

Director:

Ph.D. Pedro Hernán Zambrano Ramirez

Línea de Investigación:

Teoría de Modelos

Grupo de Investigación:

Interacciones entre teoría de modelos, categorías, conjuntos y geometría algebraica

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas

Bogotá, Colombia

Agosto 2020

Al amor, esa fuerza que nos lleva a perseverar

sin importar que parezca no existir una solu-

ción.

Agradecimientos

Quisiera comenzar agradeciendo a la vida por permitirme conocer el hermoso mundo

de las matemáticas y mostrarme lo gratificante que es entender un pequeño lugar de ese

vasto mundo.

Quiero dar gracias a mis hermanos Nano y Cutu y a mis padres Yolanda y Carlos, quie-

nes me apoyaron de manera incondicional y a quienes les debo mucho de este logro, pues

fueron sus consejos los que guiaron este camino que parecía interminable. Quiero agrade-

cer de manera especial a mi madre por darme la vida y enseñarme que con perseverancia

se logra todo.

Especialmente quiero darle las gracias a mi compañera de camino María Alejandra Rojas

Garzón, quien durante los últimos años me ha amado con la fuerza de un millón soles y

ha sido este amor reconfortante en los momentos en los que he querido abandonar este

trabajo. Ella me ha acompañado de manera incondicional en cada uno de los pasos que

me llevaron a terminar esta tesis y siempre ha estado dispuesta a ayudarme con lo que

necesite. Le doy las gracias por ser una constante inspiración en mi vida.

Quiero resaltar mi agradecimiento a Pedro Zambrano, quien me ha acompañado los últi-

mos cinco años de mi recorrido académico y ha creído en mÃ incondicionalmente. Tam-

bién ha sido un gran maestro que nunca ha tenido problemas en decirme de frente cuales

son mis falencias y mis fortalezas, que en los seminarios y cursos en los que interactuamos

VIII

siempre me corrigió fuertemente y así me ayudó a crecer como matemático. Quiero agra-

decerle pues cuando se presentaron problemas en mi vida fue un amigo que me aconsejó

y aopoyó para salir de estos.

Quiero agradecer a Andrés Villaveces por el tiempo que dedicó a discutir conmigo el re-

sultado que tiene con Shelah, el teorema de Shelah-Villaveces, y que es fundamental en

este trabajo. A John Goodrick por sus observaciones sobre el buen planteamiento de los

axiomas de las Q-AECs y sus anotaciones del ejemplo base de Q-AEC. Al Juli, un gran

amigo y colega con que me ha acompañado en los momentos buenos y malos, tanto per-

sonales como académicos, por los que pasé en estos cuatro años que duré en el programa

y quien, junto con Raúl Figueroa, me aconsejó no cancelar retículos en mi primer semestre

a pesar de haber sacado una muy mala nota. Quiero darle las gracias al Mechas, Alex, el

viejo Javi, Wilson “el pescador” Forero, Andrés Rios, Marto y David Amaya por ser siem-

pre grandes compañeros de estudio y compadres de ocio. Al profesor Reinaldo Montañéz

de quien fui monitor de matemáticas básicas dónde conocí a Alejandra.

A Laura Carvajal, amiga incondicional desde hace veinte años y quien siempre ha estado

pendiente de mi felicidad. A Laura Castellanos y Fabián Vega, grandes amigos que siem-

pre me animaron a trabajar fuerte para terminar este trabajo. A los gaticos Nairo, Rigo y

Moka, quienes me acompañaron en las largas noches de estudio.

Quiero agradecer a la Universidad Nacional de Colombia por ser un lugar fenomenal

para estudiar y por ayudarme con las monitorías que fueron una gran ayuda económica.

Por último, quiero agradecer al grupo de investigación de interacciones entre teoría de

modelos, categorías, conjuntos y geometría algebraica al que pertenezco y que me ayudó

IX

económicamente durante el segundo semestre del 2018.

XI

Resumen

En el presente trabajo estudiamos el concepto de Q-clase elemental abstracta y hacemos

una aproximación a la superestabilidad en este contexto adaptando el teorema de Shelah-

Villaveces (teorema 2.1 en [SV99]). Con ayuda de este teorema y basándonos en lo ex-

puesto por Baldwin en el capítulo 15 de [Bal09], estudiamos la saturación de la unión de

cadenas de modelos saturados como una noción débil de superestabilidad.

Palabras clave: Q-Clase Elemental Abstracta, superestabilidad, teorema de Shelah-Villaveces,

saturación.

Abstract

In the present work we study the concept of Q-abstract elementary class and we do an ap-

proximation to superestability in this context, adapting Shelah-Villaveces theorem. With

the help of this theorem and based on chapter 15 of [Bal09], we studied the saturation of

the union of chains of saturated as a weak notion of superstability.

Keywords: Q-abstract elementary class, superstability, Shelah-Villaveces theorem, saturation.

Contenido

Agradecimientos VII

Introducción XIV

1 Q-AECs: algunos resultados básicos 1

1.1 Q-clases elementales abstractas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Modelo-homogeneidad y homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3 Tipos de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4 Saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.5 Modelos de Ehrenfeucht-Mostowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2 Estabilidad y docilidad 86

2.1 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.2 Modelos universales y modelos límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.2.1 Modelos universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.2.2 Modelos límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3 Docilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Contenido XIII

3 Ruptura y carácter local de la no ruptura 123

3.1 Ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.2 Carácter local de la relación de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 Superestabilidad en Q-AECs 178

4.1 Una aproximación a la Superestabilidad en las Q-AECs . . . . . . . . . . . . 179

4.2 Uniones de cadenas de modelos saturados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.3 Superestabilidad en Q-AECs: algunas preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Índice alfabético 193

Bibliografía 195

Introducción

En el presente trabajo nosotros estudiamo por primera vez el concepto de superestabi-

lidad en el contexto de las Q-Clases Elementales Abstractas, una variante de las Clases

Elementales Abstractas. El concepto central de superestabilidad con el que trabajaremos

es el de la saturación de la unión de una sucesión creciente continua de modelos satura-

dos de una Q-Clase Elemental-Abstracta (teorema 4.2.4). Para ello, será necesario adaptar

el teorema de Shelah-Villaveces (teorema 3.2.23) al contexto de las Q-Clases Elementales

Abstractas.

La noción de Clase Elemental Abstracta (AEC por su sigla en inglés) es dada por primera

vez por S. Shelah en [She87a] y [She87b] y corresponde a una generalización de la clase de

modelos de una sentencia en la lógica infinitaria Lκ,ω con la relación de ser subestructura

sobre un fragmento adecuado de la lógica. El concepto de AEC axiomatiza varias propie-

dades que tiene la clase de modelos de una teoría de primer orden con la relación de ser

subestructura elemental, tales como cerradura bajo ≺-cadenas crecientes y continuas, el

teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski descendente, cerraduras bajo isomorfismos, entre

otras. Uno de los resultados más importantes de la lógica matemática es el teorema de

Contenido XV

transferencia de categoricidad de Morley para el cual el teorema de compacidad es una

herramienta fundamental pues nos permite tener una versión ascendente del teorema de

Löwenheim-Skolem-Tarski y con ayuda de la ω-estabilidad tener la transferencia de ca-

tegoricidad. Una pregunta natural es si en una lógica infinitaria Lκ,ω se tiene un resultado

de transferencia de categoricidad tipo Morley y por tanto puede ser adaptada al contexto

de las AECs.

Conjetura 0.0.1 (Conjetura de categoricidad eventual para AECs de Shelah). Una AEC

K categórica en algún cardinal lo suficientemente grande es categórica en todos los cardinales

suficientemente grandes.

Como sabemos que la lógica Lω1,ω no satisface compacidad, entonces adaptar el resultado

de Morley a este contexto no es posible directamente y habría que buscar otro tipo de

técnicas. M. Makkai y S. Shelah en [MS90] demuestran que en el contexto de las lógicas

Lκ,ω donde κ es un cardinal fuertemente compacto (donde Lκ,ω satisface una versión débil

de compacidad) se tiene un resultado de transferencia de categoricidad tipo Morley.

Hecho 0.0.1 (sumario 5.1 en [MS90]). Sea κ un cardinal fuertemente compacto y sea φ una

sentencia en Lκ,ω. Si φ es categórica en un cardinal suficientemente grande, entonces es categórica

en cardinales arbitrariamente grandes.

Para el contexto general de las AECs, R. Grossberg y M. VanDieren en [GV06b] responden

parcialmente la conjetura bajo supuestos de categoricidad en un cardinal sucesor y doci-

lidad, una propiedad local sobre tipos de Galois (una generalización de tipo sintáctico).

XVI Contenido

Hecho 0.0.2 (corolario 4.3 en [GV06b]). Sea K una AEC con modelos arbitrariamente gran-

des, que satisface la propiedad de amalgamación y que es χ-dócil para χ ≥ LS(K). Si λ ≥

max{χ, LS(K)+} y K es categórica en λ y λ+, entonces K es categórica en todo µ ≥ λ.

En [Bon14] W. Boney demuestra que la existencia de cardinales fuertemente compactos

arbitrariamente altos implica que toda AEC es dócil.

Hecho 0.0.3 (teorema 4.5 en [Bon14]). Si K es una AEC y κ un cardinal fuertemente compacto,

entonces K es (κ + LS(K)+)-dócil.

Al unir los hechos 0.0.2 y 3-4 tenemos entonces:

Corolario 0.0.4. Si existe una clase propia de cardinales fuermente compactos y que K es una

AEC λ y λ+-categórica, para λ un cardinal lo suficientemente grande, entonces K es categórica en

todo cardinal ≥ λ.

La ventaja de suponer categoricidad en un cardinal sucesor en el trabajo de R. Grossberg

y M. VanDieren es que sólo trabajamos con modelos de un tamaño fijo como se ve en

el argumento del teorema 4.1 en [GV06b], que es el resultado clave para la transferencia

de categoricidad. Para dar respuesta completa a la conjetura 0.0.1, debemos ver qué pasa

cuando suponemos categoricidad en un cardinal límite.

Como lo vimos en el corolario 0.0.4, una repuesta parcial de la conjetura de categoricidad

eventual de Shelah requiere de hipótesis conjuntistas fuertes como lo es la existencia de

cardinales fuertemente compactos y por tanto el resultado no se puede probar en ZFC.

Esto nos hace pensar que para dar una repuesta completa a la conjetura 0.0.1 se debe-

Contenido XVII

rían hacer supuestos conjuntistas fuertes1 como la existencia de cardinales fuertemente

compactos.

En [SV18], S. Vasey y S. Shelah demostraron la conjetura 0.0.1 bajo la Hipótesis Generali-

zada del Continuo Débil (WGCH) que resulta ser consistente con ZFC.

Definición 0.0.5 (Definición 13.5 en [SV18], hipótesis generalizada del continuo débil

(WGCH)). Sea S una clase propia de cardinales.WGCH(S) si y sólo si para todo λ ∈ S se cumple

que 2λ < 2λ+

. EscribiremosWGCH vale si la afirmación se cumple para todos los cardinales.

El concepto fundamental de la prueba realizada por Shelah y Vasey en [SV18] es el de

marco bueno, el cual puede ser entendido como una noción local de superestabilidad.

Intuitivamente hablando, diremos que una AEC K tiene un marco bueno si K tiene pro-

piedades buenas localmente, tales como amalgamación o modelos no maximales, y hay

una noción de independencia para tipos de Golois sobre modelos.

Una condición para que una AEC K tenga un marco bueno, es que los modelos satura-

dos de K de un tamaño dado formen una AEC. Para ver esto, lo que tiene más trabajo

es demostrar que la subclase de los modelos saturados de cierto tamaño, es cerrada bajo

sucesiones crecientes y continuas de dichos modelos. Esto último es una de las caracteri-

zaciones de superestabilidad en el contexto de las AECs y por tal motivo, lo que haremos

nosotros en el presente trabajo es estudiar el concepto de superestabilidad en el contexto

de las Q-AECs para así poder plantear algunas posibles soluciones a los problemas pre-

1En agosto de 2019, Christian Espíndola hace una demostración de la conjetura de categoricidad eventual

de Shelah, con ayuda de la teoría de topos, para la cual sólo requiere la Hipótesis Generalizada del

Continuo (corolario 5.2 en [Esp19]).

XVIII Contenido

sentados en la trasferencia de categoricidad surgidos en [Cop06], donde se introduce el

concepto de Q-AEC.

Como lo mencionamos en el párrafo anterior, el objeto de estudio de este trabajo serán

las Q-clases elementales abstractas (Q-AEC por su sigla en inglés) y aproximaciones del

concepto de superestabilidad en este contexto. Para hacer esto, nosotros utilizaremos la

teoría de la superestabilidad existente en el contexto de las AECs y adaptaremos los re-

sultados en esta materia a nuestro objeto de estudio. Así obtendremos las bases de los

resultados de transferencia de categoricidad de R. Grossberg y M. VanDieren en [GV06b]

y S. Shelah y S. Vasey en [SV18].

El concepto de Q-AEC es una variación al concepto de AEC que corresponde a una gene-

ralización natural para la clase de modelos de una sentencia en una lógica Lκ,ω(Q), donde

Q es el cuantificador “existen no contables tales que”. Notemos que si una estructura M

satisface la sentencia ¬Qxϕ(x), entonces en el universo de M hay a lo sumo finitos testi-

gos para la fórmula ϕ(x) y que si la estructura N satisface la sentencia Qxϕ(x), entonces

en el universo de N deben haber no contables testigos deϕ(x); esto hace que los conjuntos

pequeños o a lo sumo contables y los conjuntos grandes o no contables sean indispensables

en el estudio de sentencias de la lógica Lκ,ω(Q).

El concepto de Q-AEC es introducido por A. Coppola en [Cop06] basándose en [She75]

y la diferencia esencial con el concepto de AEC está en que en una AEC trabajamos con

una relación de orden parcial mientras que en una Q-AEC trabajamos con dos relaciones:

un orden parcial, que no deja crecer los conjuntos pequeños de una estructura a otra, y

otra que simplemente es transitiva, que hace que los conjuntos grandes crezcan de una

Contenido XIX

estructura a otra. Notemos que si trabajamos sólo con la relación de orden parcial, no

podríamos saber que es lo que sucede con los conjuntos grandes de un modeloa otro y

podría suceder que un modelo crea que un conjunto contable sea no contalbe, esto hace

la necesario definir la relación fuerte haciendo que los conjuntos grandes crezcan.

En su trabajo, A. Coppola hace un estudio de las Q-AECs motivado principalmente en

el hecho que una AEC no se pueden capturar clases de modelos de sentencias de una

lógica que tenga cuantificadores cardinales sin utilizar una relación artificial de submodelo.

Para ello, A. Coppola introduce dos nociones de submodelo (una refinando a la otra) que

resultan ser naturales en dicha clase.

El estudio realizado por A. Coppola en [Cop06], que será muy similar al que haremos en

el presente trabajo, consiste en adaptar varios de los conceptos que se estudian en el con-

texto de las AECs y así obtener las herramientas en el contexto de las Q-AECs necesarias

para demostrar un teorema de transferencia de categoricidad al estilo del resultado de R.

Grossberg y M. VanDieren (véase [GV06b] corolario 0.2) en el contexto de las Q-AECs.

La adaptación de dichos conceptos fue hecha por Coppola en su tesis doctoral y salvo

algunas imprecisiones que se aclararán en el presente trabajo, dicha adaptación no tiene

problemas. En cambio, el acondicionamiento del argumento de transferencia de categori-

cidad presentado en [GV06b] sí tiene problemas.

En [GV06b] el concepto principal para la construcción que realizan Grossberg y VanDie-

ren es el de tipo minimal (definición 2.1 en [GV06b]); este concepto nos dice que dados una

estructura M de una AEC K y un tipo de Galois p no algebraico sobre M, esto quiere

decir que no tiene realizaciones en M, entonces p tiene una única extensión no algebraica

XX Contenido

a toda superestructura M ′ tal que |M ′| = |M|. Después de definir el concepto de tipo mi-

nimal, Grossberg y VanDieren enuncian y demuestran algunas propiedades de esta clase

especial de tipos para luego demostrar un resultado de transferencia de pares de Vaught

para tipo minimales (teorema 3.3 en [GV06b]) que resulta ser indispensable al momento

de demostrar la transferencia de categoricidad. El concepto de par de Vaught (definición

3.1 en [GV06b]) nos dice que para un tipo p en sobre estructura dada M, existen dos es-

tructuras M1,M2 que extienden a M de tal manera que no hay nuevas realizaciones de

p entre M1 y M2 si M2 extiende propiamente a M1. En la demostración del resultado de

transferencia de pares de Vaught, es importante el hecho que bajo categoricidad no hay

pares de Vaught (hecho 3.2 [GV06b]) y es acá donde Coppola encuentra problemas.

Como lo veremos en la primera sección del primer capítulo, una de las principales dife-

rencias entre el concepto de AEC y el de Q-AEC es que en el primero tenemos sólo una

manera de extender estructuras mientras que en el segundo hay dos, de manera débil y

fuerte; esto último hace necesario definir los conceptos de par de Vaught débil y fuerte

(definición 3.4.1 en [Cop06]) en el contexto de las Q-AECs y es acá donde se presenta la

mayor dificultad pues para tener un resultado de transferencia de categoricidad al estilo

de Grossberg-VanDieren se necesita que no existan pares fuertes de Vaught y Coppola so-

lamente logra demostrar que no existen pares débiles de Vaught (lema 3.4.7 en [Cop06]).

Para solucionar esto, Coppola propone en las páginas 88 y 89 de [Cop06] las siguientes

tres condiciones sin demostración.

Condición 0.0.6 (condición 1 en [Cop06]). Si no existen pares fuertes de Vaught, entonces no

existen pares débiles de Vaught.

Contenido XXI

Condición 0.0.7 (condición 2 en [Cop06]). Se pueden encontrar, ad hoc, tipos minimales sin

pares fuertes de Vaught.

Condición 0.0.8 (condición 3 en [Cop06]). Para toda estructura M en una Q-AEC K, existe

una superestructura fuerte N con el mismo tamaño de M con una cierta propiedad “♭”. Además,

si α es un ordinal y 〈Mi〉i<α y 〈Ni〉i<α son dos sucesiones fuertes crecientes y continuas en K, si

Mi es una subestructura fuerte de Ni y Ni tiene la propiedad “♭”para todo i < α, entonces⋃i<α

Ni

es una extensión fuerte de⋃i<α

Mi.

Coppola propone en las páginas 88 y 89 de [Cop06] que la propiedad “♭”de la condición

0.0.8 sea la universalidad, una saturación delativa a una subestructura, y es esto lo que

nos lleva a preguntarnos si la unión de cadenas de modelos saturados es también un mo-

delo saturado. Esto último es lo que nos lleva a estudiar el concepto de superestabilidad

en Q-AECs pues en primer orden esto es equivalente a que una teoría contable de pri-

mer orden sea superestable. También en el caso de una teoría contable, tenemos que la

superestabilidad se sigue de la categoricidad en λ ≥ ℵ1.

En el contexto de las AECs no hay una definición unificada del concepto de superesta-

bilidad pero se han estudiado varias aproximaciones de superestabilidad tales como: la

unión de una cadena creciente de modelos saturados es saturada (capítulo 15 en [Bal09],

[Van16]), unicidad de modelos límite ([Van06], [GVV16]) y existencia de marcos buenos

([Vas17c]). En [GV17] S. Vasey y R. Grossberg demuestran que, bajo hipótesis fuertes de

estabilidad, estas aproximaciones de superestabilidad resultan ser equivalentes para car-

dinales muy grandes (corolario 1.3 en [GV17]). Las tres aproximaciones de superestabili-

dad que mencionamos anteriormente son implicaciones del Teorema de Shelah-Villaveces

XXII Contenido

(teorema 2.2.1 en [SV99]) en el contexto de las AECs.

El principal objetivo de este trabajo es estudiar una aproximación adecuada de superesta-

bilidad en el contexto de las Q-AECs y para ello nos guiaremos en el trabajo que S. Vasey

presenta en su tesis doctoral ([Vas17c]) donde hace un trabajo detallado de la superestabi-

lidad en AECs y estudia todas las nociones que se conocen de superestabilidad en AECs

entre las que se encuentra la saturación de la unión de cadenas crecientes de modelos

saturados.

En el primer capítulo nosotros haremos las adaptaciones de los conceptos básicos del

contexto de las AECs que son necesarios para el estudio de la superestabilidad. Hacemos

un estudio minucioso de los resultados básicos que utilizaremos a lo largo del presente

trabajo. Una de esas nociones es que es adaptada por Coppola es la de tipo orbital de

Galois; para ser más precisos en algunas demostraciones hechas por Coppola, nosotros

introducimos la noción de tipo de Galois como clases de equivalencia de triplas en la

sección 1.3. En este capítulo también introducimos el concepto de saturación, clave en la

aproximación a superestabilidad que trabajaremos en el capítulo cuatro, y los modelos

de Ehrenfeucht-Mostowski, fundamentales en la demostración del teorema de Shelah-

Villaveces (teorema 3.2.23).

El objeto de estudio del segundo capítulo es la estabilidad y la docilidad; estos conceptos

también son estudiados por Coppola en [Cop06]. En este capítulo también introducire-

mos el concepto de modelo límite en el contexto de las Q-AECs y adaptaremos el resulta-

do de Boney (hecho 3-4) a las Q-AECs tomándolas como ejemplos de categorías accesibles

( véase [LR16]).

Contenido XXIII

En el capítulo tres desarrollaremos todas las herramientas que necesitaremos para adap-

tar el resultado principal de la superestabilidad en AECs al contexto de las Q-AECs: el

teorema de Shelah-Villaveces. Este teorema nos dice, de manera intuitiva, que si tenemos

un tipo de Galois sobre la unión de una cadena creciente de modelos, entonces todos los

cambios de información (la ruptura) que pueda tener dicho tipo sobre submodelos de di-

cha unión están atestiguados por algún nivel de la cadena. Comenzamos con el concepto

de ruptura el cual, intuitivamente hablando, nos dice cuándo un tipo de Galois sobre un

modelo dado tiene cambios fuertes sobre submodelos del modelo dado. En la sección 3.2

nosotros haremos una adaptación minuciosa del teorema de Shelah-Villaveces que esta-

rá basada el capítulo 2 de [SV99], [BGVV17] y [BVV16]; es importante resaltar que este

teorema es la piedra angular de la aproximación de superestabilidad que adaptaremos

en este trabajo y por tanto cumplirá el mismo papel en este trabajo pues de este teorema

podremos deducir la noción de superestabilidad de la categoricidad.

Inspirados en los capítulos 6, 7, 10 y 23 [Vas17c] donde Vasey trabaja a fondo la noción de

marco bueno, la cual nos dice que una “AEC K tiene algunas propiedades estructurales

localmente (como amalgamación e inmersiones conjuntas) y existe una noción razonable

de independencia para tipos de conjuntos unitarios sobre modelos” (introducción capí-

tulo 6 en [SV18]); esta es una noción local de superestabilidad. En el cuarto capítulo no-

sotros adaptamos una definición de superestabilidad dada por Vasey en [Vas17b], la cual

nos dice que localmente la clase tiene propiedades buenas como amalgamación, inmersio-

nes conjuntas y que la relación de no ruptura satisface el teorema de Shelah-Villaveces,

y concluimos que esta propiedad se deduce de la λ-categoricidad para Q-AEC. Después

XXIV Contenido

de esto, continuamos nuestro trabajo viendo que la noción de superestabilidad que in-

troducimos implica que la unión de modelos saturados es saturada. Esta implicación la

revisaremos lo más detalladamente posible y nos basaremos en el capítulo 15 de [Bal09]

y en la sección 6 de [She99]. Terminamos nuestro trabajo haciéndonos algunas pregun-

tas naturales sobre otras nociones de superestabilidad en el contexto de las Q-AECs para

continuar con el estudio de la superestabilidad.

1 Q-clases elementales abstractas y

algunos resultados básicos

La noción de Clase Elemental Abstracta (AEC por su sigla en inglés) es dada por primera

vez por Shelah en [She87a] y [She87b] y corresponde a una generalización de la clase de

modelos de una sentencia en la lógica infinitaria Lω1,ω. Lo que se busca con esta noción es

demostrar un resultado tipo de transferencia de categoricidad tipo Morley. Como lo que

se busca con las Q-AECs es hacer algo similar pero con sentencias de la lógica Lω1,ω(Q),

es conveniente recordar que una estructura M satisface Qxϕ(x) (M � Qxϕ(x)) si y sólo

si |{a ∈M : M � ϕ(a)}| > ℵ0.

A continuación introduciremos la noción de Q-AEC introducida por Andrew Coppola en

su tesis doctoral [Cop06] y en la cual demuestra algunos los resultados básicos (capítulos

1 y 2 y secciones 3.1 y 3.2) que reproduciremos acá haciendo las demostraciones en de-

talle. Además de esto, haremos un desarrollo minucioso de los modelos de Ehrenfeucht-

Mostowski de los cuales Coppola hace mención al final de la sección 2.1 de [Cop06]; el

trabajo que haremos sobre estos modelos está basado en su mayoría en el trabajo de Bald-

2 1 Q-AECs: algunos resultados básicos

win en [Bal05]. Además de esto, al final del capítulo haremos una pequeña discusión del

resultado de la consistencia conjuntista de la docilidad en AECs expuesto por Boney en

[Bon14].

1.1. Q-clases elementales abstractas

Un contraejemplo natural del concepto de AEC es la clase de modelos de una senten-

cia en la lógica Lω1,ω(Q) con la relación ≺∆, que es una generalización de la relación ser

subestructura elemental que sólo involucra las fórmulas que estén en∆, donde∆ es un frag-

mento contable de la lógica Lω1,ω(Q) (es decir, ∆ ( Lω1,ω(Q) es cerrado bajo conectivos

lógicos, cuantificación y reemplazo de términos). En efecto, considere L un vocabulario

contable que contiene un símbolo relacional R de aridad 1, ϕ una sentencia completa

de la lógica Lω1,ω(Q) y ∆ un fragmento contable de Lω1,ω(Q) que contiene a ϕ tal que

¬QxR(x) ∈ ∆. Sea (Mi : i < ω1) una ≺∆-cadena creciente continua tal que para ca-

da i < ω1 tenemos que Mi � ϕ, Mi � ¬QxR(x) y para i < j < ω1 se cumple que

Mi,Mj � ¬QxR(x), entonces {a ∈ Mi : Mi � R(a)} ( {a ∈ Mj : Mj � R(a)}. Claramente

para cada i < ω1, |{a ∈Mi : Mi � R(a)}| ≤ ℵ0 pero∣∣∣∣∣⋃

i<ω1

{a ∈Mi : Mi � R(a)}

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

{

a ∈⋃

i<ω1

Mi :⋃

i<ω1

Mi � R(a)

}∣∣∣∣∣

> ℵ0,

es decir⋃i<ω1

Mi � QxR(x), esto implica que para todo i < ω1 tenemos que Mi ⊀∆

⋃i<ω1

Mi

pues ¬QxR(x) ∈ ∆ y por tanto⋃i<ω1

Mi � QxR(x), esto es (Mod(ϕ),≺∆) no es una AEC

pues por el axioma de cadenas de Tarski-Vaught se debe cumplir que Mi ≺∆

⋃i<ω1

Mi para

1.1 Q-clases elementales abstractas 3

todo i < ω1. Para solucionar esto, se propone una nueva relación ≺∗∆ sobre los modelos

de la sentencia ϕ definida de la siguiente manera (definición 5.1.2.1 en [Bal09]):

M ≺∗∆ N sii

M ≺∆ N y

Si M � ¬Qxψ(x, a), entonces ψ(M, a) = ψ(N , a), con a ∈Mlg(a),

donde ϕ (M, a) := {b ∈ M : M � ϕ (b, a). No es difícil ver que (Mod(ϕ),≺∗∆) es una

AEC con número de Löwenheim-Skolem ℵ1 (ejecicio 5.1.3 en [Bal09]). Notemos que la

relación ≺∗∆ implícitamente dice que los conjuntos pequeños no crecen de una estructura

a otra pero esta relación no nos da información sobre los conjuntos grandes.

Como el cuantificador Q nos dice “existen por lo menos no contables”, entonces saber el

comportamiento de los conjuntos grandes o no contables es importante al momento de

estudiar la clase de modelos de una sentencia en la lógica Lω1,ω. Para ello es necesario

introducir una relación que nos permita saber que es lo que sucede con los conjuntos

grandes de una estructura a otra (definición 5.1.2.2 en [Bal09]).

M ≺∗∗∆ N sii

M ≺∗∆ N y

Si M � Qxψ(x, a), entonces ψ(M, a) ( ψ(N , a), con a ∈Mlg(a).

Esta relación nos dice implícitamente que los conjuntos grandes crecen de una estructura

a otra. Si tenemos una ≺∗∗∆ -sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α de modelos deϕ tales que

Mi � Qxψ(x, a) para todo i < α, con a ∈ Ma0 , y si N � ϕ es tal que N � Qxψ(x, a),

Mi ≺∗∗∆ N para todo i < α y ψ(N , a) =

⋃i<α

ψ(Mi, a), entonces⋃i<α

Mi ≺∗∆ N , pues en


particular Mi ≺∗∆ N para todo i < α, pero

⋃i<α

Mi ⊀∗∗∆ N , pues

ψ

(⋃

i<α

Mi, a

)=

⋃

i<α

ψ(Mi, a)

= ψ(N , a),

y por tanto (K,≺∗∗∆ ) no es una AEC.

En esencia, las relaciones ≺∗∆ y ≺∗∗

∆ están inspiradas en la definición 3.3 de [She75] don-

de Shelah aborda la existencia de un modelo de tamaño ℵ2 de sentencias de la lógica

Lω1,ω(Q) e inspirado en este trabajo, Coppola busca generalizar la clase de modelos de

una sentencia en Lω1,ω(Q) con las relaciones que en esencia dicen lo mismo que ≺∗∆ y ≺∗∗

∆

pero con modelos no estándar contables (ejemplo 1.1.3).

Una Q-AEC será entonces una tripla (K,≺K,≺UK)donde K es una clase deL(K)-estructuras,

L(K) un lenguaje de primer orden, ≺K es una relación de orden parcial y ≺UK es una rela-

ción transitiva. En [Cop06] después de definir el concepto de Q-AEC, Coppola introduce

los supuestos I (densidad de ≺UK-extensiones), II (densidad II) y III (coherencia top sobre

≺UK) que son naturales en las Q-AECs y por tal motivo nosotros los incluimos en los ítems

4b, 4c, 7b y 7a de nuestra definición. Además de esto, nosotros cambiamos la forma en la

que enunciamos el axioma de Löwenheim-Skolem descendente y densidad II, ítems 5 y

7a de la siguiente definición, poniendo como restricción que las estructuras con las que

trabajemos tengan tamaño por encima del número de Löwenheim-Skolem de la clase.

Definición 1.1.1 (Q-AEC, definición 1.3.1, supuestos I, II y III en [Cop06]). Sea K una clase

de L(K)-estructuras, donde L(K) es un lenguaje de primer orden. Diremos que (K,≺K,≺UK) es

una Q-AEC si y sólo si:


1. ≺UK es una relación transitiva sobre K y ≺K es un orden parcial sobre K.

2. ≺K refina ⊆L(K) y ≺UK refina ≺K.

3. (Axioma de isomorfismos) Dado M ∈ K y f : M −→ N un isomorfismo, entonces N ∈ K.

Además, si M1 ≺UK M y M2 ≺K M entonces f[M1] ≺U

K N y f[M2] ≺K N .

4. (Axiomas de coherencia) Dados M1,M2,M ∈ K entonces

a) M1 ⊆L(K) M2 y M1,M2 ≺K M, implica M1 ≺K M2.

M2� � ≺K // M M2

� � ≺K // M

entonces

M1

?�

⊆L(K)

OO

/�

≺K

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧M1

?�

≺K

OO✤✤✤✤✤✤✤/�

≺K

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

b) M1 ≺K M2 ≺UK M entonces M1 ≺U

K M.

M2� � ≺U

K // M M2� � ≺U

K // M

entonces

M1

?�

≺K

OO

/�

≺K

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧M1

?�

≺K

OO

/�

≺UK

??⑧⑧

⑧⑧

⑧⑧

⑧⑧

⑧

c) M1 ≺UK M2 ≺K M entonces M2 ≺U

K M.

M2� � ≺K // M M2

� � ≺K // M

entonces

M1

?�

≺UK

OO

/�

≺K

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧M1

?�

≺UK

OO

/�

≺UK

??⑧⑧

⑧⑧

⑧⑧

⑧⑧

⑧

5. (Axioma de Löwenheim-Skolem descendente) Existe un cardinal LS(K), denominado el nú-

mero de Löwenheim-Skolem de la clase K, tal que para todo M ∈ K de tamaño > LS(K) y

A ⊂M, existe N ∈ K tal que A ⊆ N con |N| ≤ LS(K) + |A| y N ≺UK M.


6. (Axioma de cadenas de Tarski-Vaught) Sea 〈Mi : i < α〉 una ≺UK-cadena creciente continua,

entonces

a)⋃i<α

Mi ∈ K,

b) Mi ≺UK

⋃i<α

Mi para todo i < α,

c) si para todo i < α, Mi ≺K N , entonces⋃i<α

Mi ≺K N .

7. (Axiomas de densidad)

a) Si M ≺UK N y |N| > LS(K), entonces existe N ′ tal que M ≺U

K N ′ ≺UK N y |M| =

|N ′|.

b) Si M ≺K N y M 6= N, entonces existe N ′ ∈ K tal que M ≺UK N ′.

Observación 1.1.2. Las relaciones ≺K y ≺UK son en esencia las relaciones ≺∗

∆ y ≺∗∗∆ , donde ≺∗

∆

y ≺∗∗∆ son las definidas en el ejemplo con el que iniciamos esta sección. Por la forma en la que se

definieron las relaciones ≺∗∆ y ≺∗∗

∆ , podemos decir que las propiedades sobre las relaciones ≺K y ≺UK

en las partes 1, 2 y 4a de la definición 1.1.1 son naturales. Además, por como se definió la relación

≺∗∗∆ y como veremos más adelante, en los ejemplos interesantes esta relación no es reflexiva.

Las partes 6a, 4b y 4c de la definición 1.1.1 están inspiradas en el lema 3.3 de [She75]. 4b y 4c

nos dicen que si en algún nivel de una cadena de tres estructuras los conjuntos grandes crecen,

entonces estos conjuntos deben crecer del primer al tercer nivel de dicha cadena.

A diferencia de lo enunciado por Coppola en la definición 1.3.1.A4 de su tesis [Cop06], nosotros

ponemos la condición que las estructuras a las que les podemos aplicar el axioma de Löwenheim-

Skolem descendente (definición 1.1.1.5) estén por encima del número de Löwenheim-Skolem de la

clase. De alguna manera, la primera parte de los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a), nos


ayuda a solucionar esto encontrando una estructura intermedia de tamaño LS(K) pero de nuevo,

a diferencia de como lo enunció Coppola en el supuesto II (densidad II) de su tesis (página 16 de

[Cop06]), nosotros debemos suponer que el tamaño de la superestructura sea mayor que el número

de Löwenheim-Skolem de la clase. En el ejemplo 1.1.3 se hace muestra detalladamente la necesidad

de estos cambios en la definición que acá presentamos.

Estos cambios son necesarios pues, como veremos en el ejemplo 1.1.3, si nosotros tenemos dos

modelos no estándar de una sentencia en la lógica Lω1,ω(Q), es decir modelos contables, no hay

forma de garantizar que los conjuntos grandes crezcan de una estructura a otra pues no hay una

forma efectiva de encontrar realizaciones nuevas de las fórmulas que los definen. Esto es, encontrar

nuevas realizaciones para fórmulas que tengan el cuantificadorQ.

La segunda parte de los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7b) no dice simplemente que siempre

que tengamos una súperestrctura N de M donde los conjuntos pequeños se quedan estáticos de

una subestructura a otra, nosotros podemos siempre encontrar una súper estructura N ′ de M

donde los conjuntos grandes crecen. A priori, entre N y N ′ no existe relación alguna.

Es importante mencionar que las dificultades en el axioma de Löwenheim-Skolem fueron detectadas

por el profesor John Goodrick y gracias a sus observaciones, hicimos las modificaciones necesarias

para que la definición fuera coherente.

En el siguiente ejemplo, nosotros tomaremos modelos de una sentencia ϕ de la lógica

Lω1,ω(Q) y como comentamos antes, lo que buscamos es que LS(K) = ℵ0. Este será nues-

tro ejemplo canónico de Q-AEC. En primer lugar notemos que como el cuantificador Q

nos dice “existen no contables elementos tales que”, entonces a priori la clase K podría

no tener modelos contables. Los modelos contables de dicha clase serán aproximaciones no


estándar de modelos de la sentencia.

Ejemplo 1.1.3 (Sentencias de la lógica Lω1,ω(Q), ejemplo 1.4.3 en [Cop06], cf. ejemplo 3.12

en [SV18]). Sean L un vocabulario, ϕ una sentencia de la lógica Lω1,ω(Q) tal que cada modelo

de ψ realiza sólo realiza contables Lω1,ω(Q)-tipos. Esta condición es natural para nosotros pues

así podemos garantizar que la sentencia tiene menos de 2ℵ1 modelos de tamaño ℵ1 (lema 2.4 en

[She75]). Por el lema 2.5 de [She75], existe un fragmento contable ∆ de la lógica Lω1,ω(Q) que

contiene a ϕ tal que la sentencia ϕ0 :∧{θ ∈ ∆ : ϕ � θ} es Lω1,ω(Q)-completa, esto quiere

decir que en ϕ0 se encuentran codificados todos los Lω1,ω(Q)-tipos omitidos por modelos de ϕ. Es

inmedito de la definición de ϕ0 que si M � ϕ, entonces M � ϕ0 y si M � ϕ0, entonces M � ϕ

pues ϕ ∈ ∆.

Hecho 1.1.4. Mod(ϕ) =Mod(ϕ0).

Sea L ′ = L ∪ {Rφ(x)(x) : φ(x) ∈ ∆} una expansión de L donde para cada φ(x) ∈ ∆, Rφ(x)(x)

es un símbolo relacional de aridad lg(x) tal que ϕ � ∀x(φ(x) ↔ Rφ(x)(x)). Defina ϕ ′ : ϕ0 ∧

∧φ(x)∈∆

∀xφ(x) ↔ Rφ(x). Como ∆ es contable, entonces tenemos que ϕ ′ es una sentencia de la

lógica L ′ω1,ω

(Q). Notemos que si una L ′-estructura M ′ es modelo deϕ ′, entonces es en particular

modelo de ϕ0 y por tanto el L-reducto M de M ′ modela ϕ0. Además, como el lenguaje L ′ es una

expansión por definiciones de L, entonces toda L-estructura M tiene una única expansión a una

L ′-estructura M ′ y por tanto si M � ϕ0, M ′ � ∀x(ψ(x) ↔ Rψ(x))(x) pues todo modelo de ϕ0 es

modelo de ϕ (hecho 1.1.4). En consecuencia M ′ � ϕ ′. Por lo anterior, también tenemos que ϕ ′ es

L ′ω1,ω

-completa pues ϕ0 lo es.

Hecho 1.1.5. [Lema 3.1.(A).(2) en [She75]] El L-reducto de todo modelo de ϕ ′ es modelo de ϕ y

cada modelo de ϕ puede ser expandido de manera única a un modelo de ϕ ′.


Definimos la teoría T(ϕ ′) := {ψ ∈ L ′ω,ω : ϕ ′ � ψ} de todas las sentencias de primer orden que son

consecuencia deϕ ′. Diremos que M se aproxima a un modelo deϕ ′ o es un modelo no estándar de

ϕ ′ (definición 3.2 en [She75]), si M es un modelo atómico de primer orden de T(ϕ) y M � ¬ϕ ′.

Sea A := {M contable : M es un modelo no estándar de ϕ ′}. Claramente la clase A es cerra-

da bajo isomorfismos y sus elementos son L ′-estructuras. Notemos que si ψ(y, x) es un elemento

de ∆ y ϕ � ∀xQyψ(y, x), entonces M � ∀xRQyψ(y,x)(x) para todo M ∈ A. Esto quiere decir que

para todo M ∈ A que piense tiene conjuntos grandes no contables, estos conjuntos se interpretan

en M como RQx(x=x).

Basándonos en la motivación dada al principio del capítulo, definiremos dos relaciones ≺∗ y ≺∗∗

de manera similar a como se definieron las relaciones ≺∗∆ y ≺∗∗

∆ . Para ello sean M,N ∈ A.

Diremos que M ≺∗ N si y solo si M ≺ N como L ′-estructuras y para toda ψ(x, y) ∈ ∆, si

M � R¬Qxψ(x,y)(a) con a ∈ Mlg(y), entonces ψ(M, a) = ψ(N , a); esta relación nos dice que en

los modelos no estándar de ϕ, los conjuntos pequeños no crecen de una estructura contable a otra.

Diremos que M ≺∗∗ N si y sólo si M ≺∗ N y para toda ψ(x, y) ∈ ∆, si M � RQxψ(x,y)(a) con

a ∈ Mlg(y), entonces ψ(M, a) ( ψ(N , a); esta relación nos dice que los conjuntos grandes que

son vistos como no contables por los modelos no estándar, crecen de una estructura a otra.

Notemos que si 〈Mi〉i<ω1es una ≺∗∗-sucesión creciente continua de elementos de A, entonces

⋃i<ω1

Mi � T(ϕ′) y es atómico pues en particular 〈Mi〉i<ℵ1

es una ≺-sucesión creciente continua.

Como los conjuntos que los modelos no estándar piensan que son no contables crecen de una

estructura a otra en una ≺∗∗-cadena, entonces dichos conjuntos son no contables en⋃i<ω1

Mi.

Sea K1 la clase de uniones de ≺∗∗-sucesiones crecientes y continuas de elementos de A de longitud

ℵ1. Como A es cerrada bajo isomorfismos, entonces K1 también lo es y como los elementos de A


son modelos atómicos de T(ϕ ′), entonces todos los elementos de K1 también lo son.

Hecho 1.1.6. {M ′ ∈ K1 : |M′| = ℵ1} = {M ′ ↾L� ϕ : |M| = ℵ1}.

Demostración. Si M ′ ∈ K1 tiene tamaño ℵ1, entonces M ′ =⋃i<ω

Mi donde 〈Mi〉i<ω1es una

≺∗∗-sucesión creciente continua de modelos en A y además M ′ � T(ϕ ′). Esto implica que

si ψ(x) ∈ ∆ tiene ocurrencias del cuantificadorQ, entonces los predicados del lenguaje L ′

introducidos para cada una de esas fórmulas ψ(x), tienen nuevas realizaciones o se que-

dan fijos por la definición de la relación ≺∗∗. Por último notemos que como en particular

ϕ ′ � (ϕ ↔ Rϕ) pues ϕ ∈ ∆, entonces ϕ ′ � Rϕ y en consecuencia Rϕ ∈ T(ϕ ′). Por tanto

M ′ � (ϕ↔ Rϕ), esto es M ′ � ϕ y en consecuencia M ′ ↾L� ϕ.

Supongamos ahora que M � ϕ. Como ya vimos, esto implica que existe una única expan-

sión M ′ de M al lenguaje L ′ tal que M � ϕ ′ (hecho 1.1.5), por tanto M ′ � T(ϕ ′). Por como

se supusoϕ, tenemos queϕ0 codifica todos los Lω1,ω-tipos no realizados por los modelos

de ϕ y por tanto ϕ ′ también lo codifica. Esto es en T(ϕ ′) se encuentran codificados todos

los Lω,ω-tipos omitidos por los modelos de ϕ y por tanto M ′ debe ser atómico. Al ser M ′

un modelo atómico de T(ϕ ′), tenemos que existe una ≺∗∗K sucesión creciente continua de

modelos atómicos y contables de T(ϕ ′) cuya unión es M ′. Así, M ′ ∈ K1. 1.1.6

Notemos que el hecho 1.1.6 no dice que los modelos estándar de ψ de tamaño ℵ1 están en corres-

pondencia biunívoca con los elementos de K1.

Definamos ahora K como la clausura de K1 bajo uniones de ≺∗-sucesiones crecientes continuas

de longitud arbitraria. Como K1 es cerrada bajo isomorfismos, entonces K también lo es y todos

los elementos de K son modelos atómicos de T(ϕ ′) pues toda ≺∗-sucesión es en particular una

≺-sucesión.


Notemos que la definición de las relaciones ≺∗ y ≺∗∗ fueron dadas solo para las estructuras de

la clase A y por tanto, si queremos definir sobre K una Q-AEC, nosotros debemos extender estas

definiciones a todos los modelos de la clase K. Para ello, sean M,N ∈ K. Diremos que M ≺K N

si y solo si M ≺∗ N y que M ≺UK N si y sólo si

M ≺∗∗ N si M,N ∈ A,

M ≺∗ N si M es no contable o N es no contable.

De manera similar a como se demuestra que (Mod(ϕ),≺∗∆) es una AEC con número de Löwenheim-

Skolem ℵ1, pordemos demostrar que la clase (K′,≺U

K), donde K′

es la subclase de todos los ele-

mentos no contables de K, es una AEC con número de Löwenheim-Skolem ℵ1 y en consecuencia

tenemos que los moldeos estándar no contables de ϕ están en correspondencia biunívoca con los

elementos de la clase K′.

Veamos ahora que (K,≺K,≺UK) es una Q-AEC. Revisaremos uno por uno los axiomas de la defini-

ción 1.1.1.

1.1.1.1 Sean M0,M1,M2 ∈ K. Veamos que ≺K es una relación de orden parcial. En primer lugar

notemos que como M0 ≺ M0 como L ′-estructura y para toda ψ(y, x) ∈ ∆, si M0 �

R¬Qyψ(y,x)(a), entonces ψ(M0, a) = ψ(M0, a), es claro que M ≺K M y por tanto ≺K

es una relación transitiva. Si M0 ≺K M1 y M0 6= M1, entonces M ( N y por tanto

M1 ⊀ M0 como L ′ estructuras, en consecuencia M1 ⊀K M0. Por último, si M0 ≺K M1

y M1 ≺K M2, entonces M0 ≺ M1, M1 ≺ M2 y para todo ψ(y, x) ∈ ∆, si M0,M1 �

R¬Qyψ(y,x)(a) con a ∈ Mlg(x)0 , entonces ψ(M0, a) = ψ(M1, a) = ψ(M1, a). Como la

relación ≺ es una relación transitiva, entonces M0 ≺ M2 y en consecuencia M0 ≺K M2

pues ψ(M0, a) = ψ(M2, a), por tanto la relación ≺K transitiva. Todo esto implica que la


relación ≺K es un orden parcial.

Para ver que la relación ≺UK es transitiva, sean M0,M1,M2 ∈ K son tales que M0 ≺U

K M1

y M1 ≺UK M2. En primer lugar notemos que si M0 es no contable o M1 es no contable,

entonces por definición tenemos que M0 ≺∗ M1 y M1 ≺∗ M2 y por tanto M0 ≺∗ M2, esto

es M0 ≺UK M2 pues M2 es no contable. Si M0 y M1 son contables y M2 no lo es, entonces

tenemos que M0 ≺∗∗ M1 y M1 ≺

∗ M2 y en consecuencia tenemos que M0 ≺∗ M1 por

definición de la relación ≺∗∗, por tanto M0 ≺∗ M2 y como M2 es no contable, tenemos que

M0 ≺UK M2. Por último, si M0,M1 y M2 son contables, entonces tenemos que M0 ≺∗∗

M1 y M1 ≺∗∗ M2; por tanto M0 ≺∗ M1, M1 ≺∗ M2 y para toda ψ(y, x) ∈ ∆, si

M0,M1 � RQyψ(y,x)(a) para a ∈Mlg(x)0 , entonces ψ(M0, a) ( ψ(M1, a) y ψ(M1, a) (

ψ(M2, a). En consecuencia tenemos que M0 ≺∗ M2 y ψ(M2, a) ( ψ(M2, a), esto es

M0 ≺UK M2 y por tanto la relación ≺U

K es transitiva. Notemos que la relación ≺UK no es

transitiva pues en particular tenemos que si M,N ∈ K son contables y M ≺UK N , entonces

para todaψ(y, x) ∈ ∆, si M � RQyψ(y,x)(a), entonces se agregan realizaciones de la fórmula

ψ(y, a) en N y por tanto la relación ≺UK no puede ser reflexiva.

1.1.1.2 Como la relación de ser L ′-subestructura elemental extiene a la relación de ser L ′-subestructura,

entonces ≺K refina a ⊆L ′ . Como ≺UK refina a ≺K para modelos contables y ≺U

K es ≺K en mo-

delos no contables, entonces la relación ≺UK refina a la relación ≺K.

1.1.1.3 La clase K es cerrada bajo L ′-isomorfismos pues A lo es. Sea f : M −→ N un L ′-isomofismo

y supongamos que M ′ ≺K M. Por definición de la relación ≺K, tenemos que M ′ ≺ N

como L ′-estructuras y si para todaψ(y, x) ∈ ∆ se cumple que M ′ � R¬Qyψ(y,x)(a), entonces


ψ(M ′, a) = ψ(M, a) y por tanto |ψ(M ′, a)\ψ(M, a)| = 0. Notemos que como f es un L ′-

isomorfismo, entonces f[M ′] ≺ f[M] = N como L ′-estructuras, f[M ′] � R¬Qyψ(y,x)(f(a))

y |ψ(f[M ′], f(a)) \ψ(f[M], f(a))| = |ψ(f[M ′], f(a)) \ψ(N , f(a))| = 0, en consecuencia

ψ(f[M ′], f(a)) = ψ(N , f(a)) y por tanto f[M ′] ≺K N .

Si tenemos que M ′ ≺UK M y alguna de las dos estructuras es no contable, entonces apli-

cando el mismo argumento de antes tenemos que f[M ′] ≺UK N . Si M ′ y M son contables,

entonces tenemos que M ′ ≺∗∗ M, esto es M ′ ≺K M y para todaψ(y, x) ∈ ∆ tal que M ′ �

RQyψ(y,x)(a), entoncesψ(M ′, a) ( ψ(M, a) y en consecuencia |ψ(M ′, a)\ψ(M, a)| 6= 0.

Como f es un L ′-isomorfismo, entonces f[M ′] ≺K N , f[M ′] � RQyψ(y,x)(f(a)) y |ψ(f[M ′], f(a))\

ψ(f[M], f(a))| = |ψ(f[M ′], f(a)) \ ψ(N , f(a))| 6= 0, en consecuencia ψ(f[M ′], f(a)) (

ψ(N , f(a)) y por tanto f[M ′] ≺UK N .

Para los axiomas de coherencia, sean M,M0,M1 ∈ K.

1.1.1.4a Si M0 ⊆L ′ M1 y M0,M1 ≺K M, entonces en particular M0,M1 ≺ M como L ′-

estrtructuras y como la relación ≺ satisface coherencia, entonces M0 ≺ M1. Además, si

ψ(y, x) ∈ ∆ es tal que M0,M1 � R¬Qyψ(y,x)(a) con a ∈ Mlg(x, entonces ψ(M0, a) =

ψ(M, a) y ψ(M1, a) = ψ(M, a), en consecuenciaψ(M0, a) = ψ(M1, a) y como M0 ≺

M1, tenemos que M0 ≺K M1.

1.1.1.4b Supongamos que M0 ≺K M1 ≺UK M. Como ≺U

K refina a ≺K y esta última es un orden

parcial, entonces tenemos que M0 ≺K M. Si alguna de las tres estructuras es no conta-

ble, hemos terminado pues en ese caso tenemos que ≺K=≺UK. Si las tres estructuras son

contables, entonces tenemos que para toda ψ(y, x) ∈ ∆ si M0 � RQyψ(y,x)(a), entonces


M1 � RQyψ(y,x)(a) y como M1 ≺UK M, concluimos que ψ(M1, a) ⊆ ψ(M, a). Por úl-

timo, notemos que como ψ(M0, a) ⊆ ψ(M1, a) pues en particular M ⊆ N, entonces

ψ(M0, a) ( ψ(M, a). Por tanto M0 ≺UK M.

1.1.1.4c Si M0 ≺UK M1 ≺K M, entonces utilizando un argumento similar al de ítem anterior

tenemos que M0 ≺UK M.

Para el axioma de Löwenheim-Skolem descendente, sea N ∈ K no contable y A ⊂ N.

1.1.1.5 Lo que haremos es crear una sucesión ≺-creciente 〈Mi〉i<ω tal que para toda a ∈ Mlg(a)i ,

si ψ(y, x) ∈ ∆ es tal que Mi � R¬Qyψ(y,x)(a), entonces ψ(Mi, a) ⊂ Mi+1. Lo haremos de

manera recursiva. Para la base aplicaremos el teorema de Löwenheim-Skolem descendente

para encontrar M0 ≺ N tal que |M0| ≤ |A|+ℵ0 y A ⊂M0.

Supongamos que tenemos construido Mi ≺ N , para i < ω, tal que A ⊂ Mi, |Mi| ≤

|A|+ℵ0. DefinaAi :=Mi∪⋃

b∈M<ωi

{⋃

ψ(y,x)∈∆

{ψ(N , b) : N � R¬Qyψ(y,x)(a)

}}

. Claramente


Ai ⊆ N. Notemos que

|Ai| =

∣∣∣∣∣∣Mi ∪

⋃

b∈M<ωi

⋃

ψ(y,x)∈∆

{ψ(N , b) : N � R¬Qyψ(y,x)(a)

}

∣∣∣∣∣∣,

= |Mi| +

∣∣∣∣∣∣⋃

b∈M<ωi

⋃

ψ(y,x)∈∆

{ψ(N , b) : N � R¬Qyψ(y,x)(a)

}

∣∣∣∣∣∣,

= |Mi| + |M<ωi | · sup

b∈M<ωi

∣∣∣∣∣∣⋃

ψ(y,x)∈∆

{ψ(N , b) : N � R¬Qyψ(y,x)(a)

}∣∣∣∣∣∣

,

≤ |Mi| · supb∈M<ω

i

{

|∆| · supψ(y,x)∈∆

{|ψ(N , b)| : N � R¬Qyψ(y,x)(a)

}}

pues |M<ωi | = |Mi|,

≤ |Mi| · supb∈M<ω

i

{

ℵ0 · supψ(y,x)∈∆

{ℵ0}

}

pues |M<ωi | = |Mi|, |∆| ≤ ℵ0 y como

N � R¬Qyψ(y,x)(b), |ψ(N , b)| ≤ ℵ0,

= |Mi| ·ℵ0,

≤ (|A|+ℵ0) ·ℵ0 pues |Mi| ≤ |A| +ℵ0,

= |A|+ℵ0.

Por el teorema de Löwenheim-Skolem descendente, existe Mi+1 ≺ N tal que Ai ⊆ Mi+1

y |Mi| ≤ |Ai| + ℵ0 y como tenemos que |Ai| ≤ |A| + ℵ0, entonces |Mi+1| ≤ |A| + ℵ0.

Como Mi,Mi+1 ≺ N y Mi ⊆L ′ Mi+1, entonces es claro que Mi ≺ Mi+1. Definamos

M =⋃i<ω

Mi. Por construcción claramente tenemos que A ⊂ M y como para todo i < ω


se cumple que |Mi| ≤ |A| +ℵ0, entonces

|M| =

∣∣∣∣∣⋃

i<ω

Mi

∣∣∣∣∣ ,

= ℵ0 · supi<ω

{|Mi|} ,

≤ ℵ0 · supi<ω

{|A| +ℵ0},

= ℵ0 · (|A|+ℵ0),

= |A|+ℵ0.

Como N es no contable, entonces sólo nos resta ver que M ≺K N pues en este caso las

dos relaciones coinciden. Por construcción es inmediato que M ≺ N . Sea ψ(y, x) ∈ ∆

tal que M � R¬Qyψ(y,x)(a). Como por construcción existe i0 < ω tal que a ∈ Mlg(x)i0

y M ≺ N , entonces N � R¬Qyψ(y,x)(a) y por tanto ψ(N , a) ⊂ Mi0+1 ⊆ M, esto es

ψ(M, a) = ψ(N , a) y así M ≺K N .

Notemos que la condición que N sea no contable es necesaria pues de no ser así, no hay

manera de garantizar que los conjuntos grandes que N piense que son no contables tengan

menos elementos en M.

Para ver que (K,≺UK,≺K) satisface los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught, sea 〈Mi〉i<α una

≺UK-sucesión creciente continua de elementos de K.

1.1.1.6a La clase K es cerrada bajo ≺UK-sucesiones crecientes y continuas por definición.

1.1.1.6b En primer lugar notemos que como en particular una ≺UK-sucesión es una ≺-sucesión,

entonces es inmediato que Mi ≺⋃i<α

Mi para todo i < α. Si ψ(y, x) ∈ ∆ es tal que


para algún j < α tenemos que Mj � R¬Qyψ(y,x(a), entonces para todo k > j tene-

mos que Mk � R¬Qyψ(y,x)(a) pues Mj ≺ Mk. Como toda ≺UK-sucesión es en particular

una ≺K-sucesión, tenemos entonces que ψ(Mj, a) = ψ(Mk, a) para todo k > j y co-

mo ψ (⋃

: i < αMi, a) =⋃i<α

ψ(Mi, a), entonces ψ (Mj, a) = ψ (⋃

: i < αMi, a). Por

tanto Mi ≺K

⋃i<α

Mi para todo i < α.

Si para alguín i < α tenemos que Mi es no contable, entonces no hay algo más que de-

mostrar pues en ese caso tedríamos que⋃i<α

Mi es no contable y por en consecuencia las

relaciones ≺K y ≺UK coinciden. Lo mismo sucede si α ≥ ω1. Si α < ω1 y Mi es con-

table para todo i < α, entonces claramente⋃i<α

Mi es contable. Además si ψ(y, x) ∈ ∆

es tal que Mj � RQyψ(y,x)(a) para algún j < α, entonces ψ(Mj, a) ( ψ(Mj+1, a)

y como ψ(Mj+1, a) ⊆⋃i<α

ψ(Mi, a) = ψ

(⋃i<α

Mi, a

), concluimos que ψ (Mj, a) (

ψ (⋃

: i < αMi, a). Así Mi ≺UK

⋃i<α

Mi para todo i < α.

1.1.1.6c Supongamos que para todo i < α tenemos que Mi ≺K N . Notemos que como toda ≺UK-

sucesión es en particular una ≺- sucesión y la relación ≺K refina a ≺ por definición, en-

tonces tenemos que⋃i<α

Mi ≺ N . Sea ψ(y, x) ∈ ∆ tal que⋃i<α

Mi � R¬Qyψ(y,x)(a), esto

último implica que existe j < α tal que a ∈ Mlg(x)j . Por tanto Mj � R¬Qyψ(y,x)(a) pues en

particular tenemos que Mj ≺⋃i<α

Mi. Como por hipótesis Mj ≺K N y por lo visto en el

ítem anterior en particular también se cumple que Mj ≺K

⋃i<α

Mi, entonces ψ(Mj, a) =

ψ(N , a) y ψ(Mj, a) = ψ

(⋃i<α

Mi, a

), por tanto ψ(N , a) = ψ

(⋃i<α

Mi, a

). Por tanto

⋃i<α

Mi ≺K N .

Para verificar los axiomas de densidad, sean M,N ∈ K.


1.1.1.7b Supongamos que M ≺K N y M 6= N . Si M es no contable o N es no contable, entonces las

relaciones ≺K y ≺UK coinciden y basta tomar N ′ = N . Supongamos ahora que M y N son

contables. Aplicando el teorema de Löwenheim-Skolem ascendente a T(ϕ ′), encontramos N0

no contable tal que M ≺ N0 como L ′-estructura.

Para encontrar la estructura N ′ lo que nosotros haremos es construir una ≺UK-sucesión cre-

ciente de estructuras contables 〈Mi〉i<ω tal que M0 := M y Mi ≺UK N ′. Supongamos que

para i < ω tenemos construido Mi ≺UK N0 y sea ψ(y, x) ∈ ∆ tal que Mi � RQyψ(y,x)(a).

Como en particular Mi ≺ N0 por hipótesis, entonces N0 � RQyψ(y,x)(a) y por tanto

ψ(N0, a) es no contable pues N0 lo es. Como Mi es contable, entonces ψ(Mi, a) tiene

que ser contable y en consecuenciaψ(N0, a)\ψ(Mi, a) es no vacío. Para cadaψ(y, x) ∈ ∆

tal que Mi � RQyψ(y,x)(a) escoja bψ(y, x) ∈ ψ(N0, a) \ ψ(Mi, a) y defina Bi := Mi ∪

{bψ(y, x) ∈ N0 : ψ(y, x) ∈ ∆ y Mi � RQyψ(y,x)(a)}. Ahora bien,

|Bi| =∣∣Mi ∪ {bψ(y, x) ∈ N0 : ψ(y, x) ∈ ∆ y Mi � RQyψ(y,x)(a)}

∣∣ ,

= |Mi|+ |{bψ(y, x) ∈ N0 : ψ(y, x) ∈ ∆ y Mi � RQyψ(y,x)(a)}|,

≤ ℵ0 +ℵ0 pues ∆ y Mi son contables,

= ℵ0

y como Mi ⊆ Bi es contable, tenemos entonces que |Bi| = ℵ0. Como ya lo demostra-

mos, la clase satisface el axioma de Löwenheim-Skolem descendente y en consecuencia existe

Mi+1 ≺UK N0 tal que Bi ⊆ Mi+1 y |Mi+1| ≤ |Bi| + ℵ0, esto último implica que Mi+1 es

contable. Como la relación ≺UK refina a la relación ≺K, entonces Mi,Mi+1 ≺K N0 y como

Mi ⊆L ′ Mi+1, tenemos que Mi ≺K Mi+1 pues la clase satisface coherencia. Ahora bien,


si ψ(y, x) ∈ ∆ es tal que Mi � RQyψ(y,x)(a), entonces bψ(y,x) ∈ Bi y en consecuencia

bψ(y,x) ∈Mi+1. Esto último implica que ψ(Mi, a) ( ψ(Mi+1, a) y así Mi ≺UK Mi+1.

Defina N ′ :=⋃i<ω

Mi. Claramente N ′ es contable pues es la unión contable de estructuras

contables. Como la clase satisface los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught, entonces tenemos

que M = M0 ≺UK N ′ pues 〈Mi〉i<ω es una ≺U

K-sucesión creciente continua.

1.1.1.7a Supongamos que M ≺UK N y que |N| > ℵ0 = LS(K). Notemos que como N es no contable,

entonces las relaciones ≺K y ≺UK coinciden y por tanto basta tomar N ′ = M. Si M es

contable, se debe porceder como en el ítem anterior pero construyendo la ≺UK-sucesión dentro

de N , así habremos construido N ′ ≻UK M contable y haría falta ver que N ′ ≺U

K N . Para

demostrar esto, notemos en primer lugar que como la relación ≺UK refiana a ≺K, entonces

tenemos que Mi ≺UK N para todo i < ω y como la clase satisface los axiomas de cadenas

de Tarski-Vaught, entonces N ′ ≺K N . Como N es no contable, entonces por definición las

relaciones ≺K y ≺UK coinciden y por tanto N ′ ≺U

K N .

Notemos que la condición que N sea no contable es fundamental al momento de hacer que

los conjuntos que M piensa que son no contables crezcan.

Observación 1.1.7. Notemos que si consideramos (K,≺K) y tomamos una sucesión ≺K-creciente

continua 〈Mi〉i<ω de modelos contables no estándar de ϕ, entonces en⋃i<ω1

Mi lo único que po-

demos garantizar es que los conjuntos pequeños no crezcan y en consecuencia, podría suceder

que⋃i<ω1

Mi sea un modelo no estándar de ϕ pues no hay forma de garantizar que los conjuntos

grandes que los modelos Mi piensan que son no contables ganen nuevas realizaciones y por tanto

⋃i<ω1

Mi puede pensar que tiene conjuntos no contables que son contables. Esto contradice 1.1.5.


A continuación enunciaremos otros ejemplos de Q-AEC. Los detalles de estos ejemplos

se encuentran en la sección 1.4 de [Cop06]

Ejemplo 1.1.8. 1. Sea (K,≺K) una AEC, entonces (K,≺K,≺K) es una Q-AEC.

2. (Ejemplo 1.4.1 en [Cop06]) Sean T una teoría completa de primer orden y

K := {M � T : todo subconjunto definible de M tiene cardinalidad |M|}.

Los elementos de K son conocidos como los modelos de Gross de la teoría T .

M ≺K N si y sólo si M ≺ N .

M ≺UK N si y sólo si, M ≺K N y si para a ∈ Mlg(a) tenemos que |ψ (M, a)| ≥ ℵ0,

entonces ψ (M, a) ( ψ (N , a).

(K,≺K,≺UK) es una Q-AEC con número de Löwenheim-Skolem ℵ0.

3. (Ejemplo 1.4.6 en [Cop06]) Sea L(K) = {E} donde E es un símbolo de relación binaria.

Definimos K como la clase de L(K)-estructuras infinitas que interpretan a E como una

relación de equivalencia tal que cada elemento M de K tiene |M| clases de equivalencia cada

una de tamaño |M|.

M ≺K N si y sólo si M ⊆L (K)N .

M ≺UK N si y sólo si N tiene una nueva clase de equivalencia y cada clase de equiva-

lencia de M tiene nuevos elementos en N \M.

(K,≺K,≺UK) es una Q-AEC con número de Löwenheim-Skolem ℵ0.


Notación 1.1.9. Sea K una Q-AEC yΘ una clase de cardinales.KΘ notará la Q-AECK ↾{M∈K:|M|∈Θ}

restringinedo relacines en K. Escribiremos Kλ en vez de K{λ} y K≤λ es vez de K[LS(K),λ].

El dominio de K es:

dom(K) = {λ cardinal : Kλ 6= ∅}

Las L(K)-estructuras las notaremos con letras caligráficas como M y N . Si M ∈ K, entonces el

universo de M lo notaremos M y su cardinal lo notaremos como |M|.

En la siguiente definición incluiremos tres propiedades que serán muy útiles en el desa-

rrollo de este trabajo y que son las propiedades que se suponen normalmente en el trabajo

clásico de las AECs. Las definiciones que acá daremos serán las dadas por Coppola y en

el momento que necesitemos una equivalencia la enunciaremos en el momento que la

necesitemos.

Definición 1.1.10 (definiciones 3.1.1 y 3.1.2 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC.

1. Diremos que K satisface la propiedad de amalgamación (AP por su sigla en inglés, amal-

gamation property) si para toda tripla de modelos M1,M2M3 ∈ K tales que M1 ≺K

M2,M3, existe N ∈ K y una ≺UK-inmersión f : M2 −→ N tales que M3 ≺U

K N y f fija

puntualmente a M1.

M3f // N

M1� �

≺K

//?�

≺K

OO

M2

?�

≺UK

OO

2. Diremos que K tiene la propiedad de inmersiones conjuntas (JEP por su sigla en inglés,

joint embedding property) si para todo par de modelos M1,M2 ∈ K, existen N ∈ K y una


≺UK-inmersión f : M2 −→ N tales que M1 ≺U

K N .

M1� p

≺UK

!!❈❈❈

❈❈❈❈

❈

N

M2

f

==④④④④④④④④

3. Diremos que K tiene modelos arbitrariamente grandes (MAG) si para todo cardinal λ

existe un cardinal λ ′ > λ tal Kλ ′ 6= ∅.

Observación 1.1.11. Notemos que si K tiene MAG, entonces para todo cardinal λ ≥ LS(K)

existe λ ′ > λ tal que Kλ ′ 6= ∅. Sea M ∈ Kλ ′ y sea A ⊃ M de tamaño λ, por el axioma de

Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5) tenemos que existe N ∈ K tal que N ≺UK M,

A ⊆ N y |N| = |A|+ LS(K), estas dos últimas cosas implican que |N| = |A| y por tanto Kλ 6= ∅.

En los trabajos realizados por Shelah, Villaveces y Vasey ([SV99], [Vas17c] entre otros), en

los cuales están basados muchos de los resultados del trabajo acá expuestos, AP y JEP son

deducidas de otras condiciones. Como en el trabajo que haremos siempre las tendremos

como supuestos, la siguiente proposición nos permitirá trabajar con mayor facilidad. No

se encuentra enunciada en el trabajo de Coppola.

Proposición 1.1.12. Sea K una Q-AEC que satisface AP, JEP y tiene MAG. Sea Θ una clase de

cardinales. Entonces KΘ satisface AP, JEP y no tiene modelos maximales.

Demostración. Sean M0,M1,M2 ∈ KΘ tales que M0 ≺K M1,M2. Como K satisface AP,

entonces existe N ∈ K y una ≺UK-inmersión f : M2 −→ N tales que M1 ≺U

K N y f

fija puntualmente a M0. Por el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición


1.1.1.5), existe N0 ≺UK N tal que M1 ∪ f(M2) ⊆ N0 y |N0| ≤ LS(K) + |M1 ∪ f(M2)|, es-

to último implica que |N0| = sup{|M1|, |f(M2)|}. De la definición de subestructura es in-

mediato que M1, f[M2] ⊆ N0 y como M1, f[M2],N0 ≺UK N , en particular tenemos que

M1, f[M2],N0 ≺K N (definición 1.1.1.2) y al aplicar los axiomas de coherencia (definición

1.1.1.4a) tenemos que M1, f[M2] ≺K N0. Ahora, por los axiomas de densidad (definición

1.1.1.7a), existe N ′ ∈ K tal que N0 ≺UK N ′ ≺U

K N y |N ′| = |N0|; esto último implica que

N ′ ∈ KΘ pues |N0| = sup{|M1|, |f(M2)|} ∈ Θ; además, al aplicar los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4b) tenemos que M1, f[M2] ≺UK N ′ pues M1, f[M2] ≺K N0 ≺U

K N ′. Por

último f ′ : M2 −→ N ′ definida por f ′(a) = f(a) para todo a ∈ M2 es una ≺UK-inmersión

que fija puntualmente a M0 pues f lo hace. En conclusión, KΘ satisface AP.

Para ver que KΘ satisface JEP, sean M1,M2 ∈ KΘ. Como K satisface JEP, entonces exis-

ten N ∈ K tal que M1 ≺UK N y una ≺U

K-inmersión f : M2 −→ N . Por el axioma de

Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5) existe N0 ≺UK N tal queM1∪f(M2) ⊆

N0 y |N0| ≤ LS(K) + |M1 ∪ f(M2)|, esto último implica que |N0| = sup{|M1|, |f(M2)|} y por

la definición de subestructura tenemos que M1, f[M2] ⊆ N0. Por el argumento utilizado

en el párrafo anterior, tenemos que existe N ′ ∈ KΘ tal que M1, f[M2] ≺UK N ′; es claro que

f ′ : M2 −→ N ′ definida como f ′(a) = f(a) para todo a ∈M2 es una ≺UK-inmersión pues f

lo es. Por tanto KΘ satisface JEP.

Por último, sea M ∈ KΘ. Como K tiene MAG, existe N ∈ K tal que |N| > |M| y como K

satisface JEP, entonces existen N ′ ∈ K tal que M ≺UK N ′ y una ≺U

K-inmersión fN −→ N ′.

Claramente |N ′| ≥ |N| > |M| pues en particular f es una función inyectiva, por tanto existe

a ∈ N ′ \M y al aplicar el lema 1.1.13, existe N ′ ≺UK N tal que |M| = |N ′|, M ≺U

K N ′ y


{a} ⊂ N ′. Como |M| ∈ Θ y |N ′| = |M|, entonces N ′ ∈ KΘ y en consecuencia KΘ no tiene

modelos maximales. 1.1.12

A continuación mostramos que la relación ≺K puede ser cambiada por la relación ≺UK bajo

una condición de tamaño sobre los modelos que se encuentren relacionados. Coppola

enuncia y demuestra el lema; la demostración acá expuesta está hecha con todo detalle.

Lema 1.1.13 (lema 1.3.7 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC. Si N ≺K M son tales que |N| < |M|,

entonces N ≺UK M.

Demostración. En primer lugar notemos que si N ≺K M, entonces N ⊆ M y como |N| <

|M| existe A ⊂ M \ N tal que |A| = |N|. Por la definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-

Skolem descendente), existe N ′ ≺UK M tal queN ∪A ( N ′ y |N ′| ≤ |N ∪A|+ LS(K) = |N|

y por tanto |N ′| = |N|, esto último implica que N ( N ′ ( M. No es difícil ver que

N ⊆ N ′ y por la definición 1.1.1.2 N ,N ′ ≺K M; al aplicar la definición 1.1.1.4a (axiomas

de coherencia) tenemos que N ≺K N ′ esto es N ≺K N ′ ≺UK M y por la definición 1.1.1.4b

(axiomas de coherencia) concluimos que N ≺UK M. 1.1.13

El siguiente es otro resultado importante para nosotros pues nos permitirá definir di-

ferentes nociones, como estabilidad y universalidad, independientemente de la relación

que utilicemos para definirlas teniendo en cuenta que debemos suponer que la Q-AEC

satisfaga JEP y tenga MAG. Coppola enuncia de manera explícita el siguiente lema en su

trabajo pero no lo demustra y por tal motivo nosotros incluimos dicha demostración acá.

Lema 1.1.14 (lema 1.3.6 en [Cop06]). Sean K una Q-AEC y M ≺K N . Si K satisface JEP y

tiene MAG, existe N0 ∈ K de tal manera que M ≺UK N0, N ≺U

K N0 y |N0| = |N|.


M � � ≺K //� p

≺UK !!❈❈

❈❈ NnN

≺UK~~⑤

⑤⑤⑤

N0

Demostración. Sean M,N ∈ K tales que M ≺K N . Primero que todo note que como K

tiene MAG, existe N ′ ∈ K tal que |N ′| > |N| y como K satisface JEP, entonces existen N ′′

y una ≺UK-inmersión f : N ′ −→ N ′′ tal que N ≺U

K M; es inmediato que |N ′′| ≥ |N ′| pues f

es en particular una función inyectiva.

M � � ≺K // N � q

≺UK

""❊❊❊

❊❊❊❊

❊

N ′′

N ′f

<<③③③③③③③③

Ahora bien, por la definición 1.1.1.7a (axiomas de densidad), existe N ′0 tal que N ′ ≺U

K

N0 ≺UK N ′′ y |N ′| = |N0| y por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1. 4b) tenemos que

M ≺UK N0 pues M ≺K N ≺U

K N0. 1.1.14

El siguiente lema es una herramienta importante en las construcciones que haremos más

adelante en el dasarrollo de este trabajo. El resultado aparece con su demostración en la

tesis de Coppola pero para la completez del documento nosotros incluimos la demostra-

ción poniendo aquellos detalles que son omitidos en [Cop06].

Lema 1.1.15 (lema 1.3.5 en [Cop06]). Sean K una Q-AEC y M,N ∈ K tales que M ≺UK N

con |M| < |N|. Entonces para todo A ( N con |A| ≤ |M|, existe N ′ ≺UK N tal que |M| = |N ′|,

M ≺UK N ′ y A ⊆ N ′.


Demostración. Sea B = A ∪M. Por la definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem

descendente) existe N0 ≺UK N tal que B ⊆ N0 y |N0| ≤ LS(K) + |B|, esto último nos dice

que |N0| = |B| = |M|. Ahora bien, por la definición 1.1.1.7a (axiomas de densidad) existe

N ′ tal que N0 ≺UK N ′ ≺U

K N y |N ′| = |N0|. Ahora bien, es inmediato de la definición de ser

subestructura que M ⊆ N0 y como M,N0 ≺UK N tenemos que M,N0 ≺K N (definición

1.1.1.2) y por la definición 1.1.1.4a (axiomas de coherencia), M ≺K N0; al aplicar ahora la

definición 1.1.1.4b (axiomas de coherencia) tenemos que M ≺UK N ′ pues M ≺K N0 ≺U

K

N ′. 1.1.15

Como en el caso de primer orden, en este contexto tenemos un lema de renombramiento

que nos permitirá extender isomorfismos bajo condiciones adecuadas y es una herramien-

ta útil al momento de utilizar la técnica de back and forth en el contexto de las Q-AECs. Este

lema es simplemente enunciado por Coppola en su trabajo y acá haremos la demostración

completa.

Lema 1.1.16 (lema de renombramiento, hecho 1.3.3 en [Cop06]). Si M0 ≺K M1 y

f : M0 −→ N0 un isomorfismo, entonces existen N1 y f ⊃ f tales que f : M1 −→ N1 es un

isomorfismo y N0 ≺K N1. Similarmente se tiene para la relación ≺UK.

M0� _

≺K(≺UK)

��

f // N0� _

≺K(≺UK)

��✤✤✤

M1f

//❴❴❴ N1

Demostración. Por hipótesis tenemos que M0 ≺K (≺UK)N0 y por tanto tenemos que M0 ⊆


N0 (definición 1.1.1.2). SeanN1 := (M1 \M0) ⊔N0 y f :M1 −→ N1 definida como

f(x) =

x si x /∈M0

f(x) si x ∈M0.

Es inmediato de la definición de la forma como se definió f que es una función biyectiva

que extiende claramente a la función f. Definiendo de manera natural la interpretación

de los símbolos del lenguaje tenemos que N0 ⊆ N1 y que f es un isomorfismo entre

las LS(K)-estructuras M1 y N1. De lo anterior y de la definición 1.1.1.3 (cerradura bajo

isomorfismos) tenemos que N0 = f(M0) ≺K (≺UK)N1 pues M0 ≺K (≺U

K)M1 y f(M1) =

N1. 1.1.16

Uno de los primeros resultados en AECs es el teorema de Presentación de Shelah el cual

nos permitirá hablar del número de Hanf de la clase y es la herramienta que nos permite

hablar de modelos de Ehrenfeucht-Mostowski en Q-AECs, fundamentales en la demos-

tración del teorema de Shelah-Villaveces. En su tesis doctoral [Cop06] Coppola enuncia

y demuestra un resultado análogo (teorema 2.1.1 en [Cop06]). A continuación nosotros

demostraremos dicho resultado haciendo cuidadosamente las construcciones previas, re-

saltamos que estas construcciones no se encuentran demostradas en el trabajo de Coppola

y en la mayoría de documentos de AECs no se hacen con todos los detalles, cosa que acá

haremos. Comenzaremos con una definición técnica.

Definición 1.1.17. 1. Sea (I,≤) un orden parcial. Diremos que (I,≤) es un orden λ-dirigido,

para λ un cardinal, si para todo J ⊂ I de tamaño < λ, existe a ∈ I tal que b ≤ a para todo

b ∈ J. Diremos que (I,≤) es dirigido si es ℵ0-dirigido.


2. Diremos que 〈Mi〉i∈I es un λ-sistema dirigido si (I, <) es un orden λ-dirigido.

El siguiente hecho es una herramienta clave en la demostración del teorema de Presenta-

ción de Shelah para el contexto de las Q-AECs y como su demostración es similar que en

el caso de las AECs, nosotros la omitimos.

Hecho 1.1.18 (hecho 1.3.4 en [Cop06]). Sean K una Q-AEC, (I, <) un orden dirigido y 〈Mi ∈

K〉i∈I tal que Mi ≺UK Mj si i < j. Entonces:

1.⋃i∈I

Mi ∈ K.

2. Para cada i ∈ I, Mi ≺UK

⋃i∈I

Mi.

A continuación presentamos la versión del teorema de Presentación de Shelah en este

contexto. La demostración es hecha por Coppola en [Cop06] y es una adaptación de la

que se hace en el contexto de las AECs y por tanto acá no la incluimos.

Hecho 1.1.19 (teorema de Presentación para Q-AECs, teorema 2.1.1 en [Cop06]). Sea K una

Q-AEC con |L(K)| ≤ LS(K). Entonces existen L ′ ⊃ L(K) con |L ′| = LS(K), T ′ una L ′-teoría de

primer orden y un conjunto Γ de L ′-tipos tales que

K = {M ′ ↾L(K): M′ � T ′ y M ′ omite todos los tipos de Γ }.

Además, si M ′,N ′ � T ′ omiten todos los elementos de Γ y M ′ ⊆ N ′, entonces M ′ ↾L(K)≺K

N ′ ↾L(K).

Notación 1.1.20.

PC(L(K), T ′, Γ) := {M ′ ↾L(K): M′ � T ′ y M ′ omite todos los tipos de Γ }


Como lo comentamos en la introducción, el concepto de docilidad es clave en los resulta-

dos de transferencia de categoricidad dados en [GV06b] y [SV18]. También comentamos

en la introducción de Boney demuestra en [Bon14] que la existencia de una clase propia

de cardinales fuertemente compactos implica la docilidad de las AECs. En [LR16], Lieber-

man y Rosický generalizan este resultado al contexto de las categorías accesibles. Como el

norte de este trabajo es plantear posibles soluciones al problema en el resultado de trans-

ferencia de categoricidad en el contexto de las Q-AECs que se tiene en [Cop06] y donde

la docilidad es una hipótesis fundamental, a continuación presentaremos los análogos

de algunos resultados expuestos en [LR16], [Lie11] y [BR12] que nos dicen que las AECs

son un ejemplo de categorías accesibles y así veremos en la última sección que las Q-AECs

son ejemplos de categorías accesibles para no tener que adaptar el argumento de Boney a

nuestro contexto. Lo que haremos nosotros es adaptar dichos resultados con sus demos-

traciones al contexto de las Q-AECs. Para ello, definiremos el tipo de morfismos con los

que trabajaremos en este contexto.

Definición 1.1.21. Sean M,N ∈ K y f : M −→ N una L(K)-inmersión.

(i) Diremos que f es una ≺UK-inmersión si f[M] ≺U

K N .

(ii) Diremos que f es una ≺K-inmersión si f[M] ≺K N .

El siguiente resultado nos dice que al ver una Q-AEC K como una categoría cuyos objetos

son las estructuras de la clase y cuyos morfismos son las ≺UK-inmersiones, entonces dicha

categoría es cerrada bajo colímites dirigidos. Nosotros no utilizamos el lenguaje técnico

de la teoría de categorías en el enunciado del lema.


Lema 1.1.22 (cf. lema 4.5 en [Lie11]). Sean K una Q-AEC, (I,≤) un orden λ-dirigido con

λ > LS(K) un ordinal regular y 〈Mi〉i∈I en K tal que:

(i) si i < j entonces existe una única ≺UK-inmersión fij : Mi −→ Mj y

(ii) si i < j y j < k, entonces fjk ◦ fij = fik.

Entonces existen M ∈ K y una colección de ≺UK-inmersiones {ci : Mi −→ M}i∈I tales que:

(a) si i < j, entonces cj ◦ fij = ci,

Mi

ci !!❈❈❈

❈❈❈❈

❈

fij // Mj

cj}}④④④④④④④

M

(b) si existe otra colección de ≺UK-inmersiones {c ′i : Mi −→ M ′}i∈I, con M ′ ∈ K que cumpla

(a), entonces existe una única ≺UK-inmersión F : M −→ M ′ tal que para cada i ∈ I se

cumple que c ′i = F ◦ ci.

Mi

fij //

ci ""❉❉❉

❉❉❉❉

❉

c ′i

Mj

cj||③③③③③③③③

c ′j~~

M

F��✤✤✤

M ′

Observación 1.1.23. La estructura M ′ junto con la familia de morfismos {c ′i : Mi −→ M ′}i∈I

se denomina el colímite de {fij : Mi −→ Mj}i,j∈I.

Para demostrar el lema 1.1.22 nosotros una serie de resultados técnicos que demostramos

con todos los detalles a continuación. La demostración la haremos por etapas y comenza-

remos definiendo una L(K) estructura con ayuda de las hipótesis del hecho 1.1.22.


Proposición 1.1.24. Si (i,≤) es un orden λ-dirigido y M :=⊔i∈I

Mi/ ∼, donde⊔i∈I

Mi es la unión

disjunta de los universos de las estructuras Mi con i ∈ I y la relación ∼ está definida como:

(a, i) ∼ (b, j) si y sólo si existe k ∈ I, i, j < k y fik(a) = fjk(b)1. Entonces M es el universo de

una L(K)-estructura M.

Demostración. Veamos que los símbolos del vocabulario L(K) se pueden interpretar de

una manera adecuada.

Sea c ∈ L(K) un símbolo de constante. Como cMi ∈ Mi para todo i ∈ I, entonces

[(cMi, i)] ∈ M. Sean (cMi, i), (cMj, j) ∈⊔i∈I

Mi. Como I es un orden λ-dirigido, en

particular esω-dirigido y por tanto existe k ∈ D tal que j, i ≤ k, luego como fik y fjk

son en particular L(K)-inmersiones, entonces fik(cMi) = cMk = fjk(cMj) y por tanto

(cMi, i) ∼ (cMj, j). Entonces es natural definir cM := [(cMi, i)] para algún i ∈ I.

1La relación ∼ es de equivalencia:

Reflexividad: (a, i) ∼ (a, i) pues fii = 1Mitiene sentido pues I es un orden parcial.

Simetría: es consecuencia de la simetria de la igualdad.

Transitividad: suponga que (a, i) ∼ (b, j) y (b, j) ∼ (c, k), entonces existen l, l ′ ∈ I tales que

fil(a) = fjl(b) y fjl ′(b) = fkl ′(c); al ser I λ-dirigido, existe l0 tal que l ≤ l0 y l ′ ≤ l0 y fll0(fil(a) =

fll0(fjl(b)) = fl ′l0(fjl ′(b)) = fl ′l0(fkl(c)) y por tanto (a, i) ∼ (c, k). La última igualdad se tiene

pues el siguiente diagrama es conmutativo.

Ml0

Ml

fll0

<<③③③③③③③③Ml ′

fl ′l0

bb❊❊❊❊❊❊❊❊

Mi

fil

==④④④④④④④④Mj

fjl ′

<<②②②②②②②②

fjl

bb❉❉❉❉❉❉❉❉

Mk

fkl ′

bb❉❉❉❉❉❉❉❉


SeaG ∈ L(K) un símbolo de función n-ario y [(ai1, i1)], · · · , [(ain, in)] ∈M, note que

aij ∈Mij para todo 1 ≤ j ≤ n.

Sean [(bi ′1, i′1)], · · · , [(bi ′n, i

′n)] ∈ M tales que [(aij, ij)] = [(bi ′j , i

′j)], entonces existe

kj ∈ I tal que ij, i ′j ≤ kj y fijkj(aij) = fi ′jkj(bi ′j) por definición de ∼. Como I es un

diagrama λ-dirigido, existe k ∈ I tal que kj ≤ k para todo j y

fkjk(fijkj(aij)) = fkjk(fi ′jkj(bi ′j))

con fijk(aij) = fi ′jk(bi ′j), entonces

GMk(fi1k(ai1), · · · , fink(ain)) = GMk(fi ′

1k(bi ′

1), · · · , fi ′nk(bi ′n)),

por tanto

[(GMk(fi1k(ai1), · · · , fink(ain)), k)] = [(GMk(fi ′1k(bi ′1), · · · , fi ′nk(bi ′n)), k)].

Lo anterior nos lleva a definir la interpretación de G en M como

GM([(ai1, i1)], · · · , [(ain, in)]) := [(GMk(fi1k(ai1), · · · , fink(ain)), k)]

para algún k ∈ I.

Sean R ∈ L(K) un símbolo de relación n-ario y [(ai1, i1)], · · · , [(ain, in)] ∈M. Enton-

ces ([(ai1, i1)], · · · , [(ain, in)]) ∈ RM si y sólo sí (fi1k(ai1), · · · , fink(ain)) ∈ Mk para

algún k ∈ I. De manera análoga al ítem anterior se puede demostrar que está bien

definida.

Por tanto, M es una L(K)-estructura.

1.1.24


Construyamos ahora las ≺UK-inmersiones ci. Para ello primero veamos que existen L(K)-

inmersiones y en base a estas construyamos las ≺UK-inmersiones ci para cada i ∈ I del

lema 1.1.22.

Proposición 1.1.25. Si definimos ci : Mi −→ M como ci(m) = [(m, i)], entonces ci es una

L(K)-inmersión para todo i ∈ I.

Demostración. Es claro que para todo i ∈ I, las ci definidas anteriormente son funciones,

veremos ahora que son L(K)-inmersiones.

Sean i ∈ I, m,n ∈Mi tales que ci(m) = ci(n), entonces [(m, i)] = [(n, i)] y por tanto

existe j ∈ I tal que fij(m) = fij(n) y como fij es una L(K)-inmersión, esta es inyectiva

y por tanto m = n, en consecuencia ci es una función inyectiva para todo i ∈ d.

Si c ∈ L(K) es un símbolo de constante, entonces tenemos que ci(cMi) = [(cMi, i)] =

cM.

Sean G ∈ L(K) un símbolo de función n-ario y a1, · · · , an ∈Mi, entonces

ci(GMi(a1, · · · , an)) = [(GMi(a1, · · · , an), i)]

= [(GMi(fii(a1), · · · , fii(an)), i)] pues fii = 1Mi

= GM([(a1, i)], · · · , [(an, i)])

= GM(ci(a1), · · · , ci(an)).


Si R ∈ L(K) es un símbolo ralacional n-ario y a1, · · · , an ∈Mi, entonces

(a1, · · · , an) ∈ RMi sii (fii(a1), · · · , fii(an)) ∈ R

Mi pues fii = 1Mi

sii ([(a1, i)], · · · , [(an, i)]) ∈ RM definición de la interpretación de RM

sii (ci(a1), · · · , ci(an)) ∈ RM.

Por tanto, ci es una L(K)-inmersión para todo i ∈ I. 1.1.25

Notemos que como cada ci es una L(K)-inmersión, entonces ci(Mi) ∼= Mi y, por el axio-

ma de isomorfismos (definición 1.1.1.3), tenemos que ci(Mi) ∈ K. Además, si i ≤ j y

m ∈ Mi, entonces ci(m) ∈ ci(Mi) y cj(fij(m)) ∈ cj(Mj); por otro lado tenemos que

fij(m) = fii(fij(m)) y por tanto [(m, i)] = [(fij(m), j)]. Lo anterior implica que ci(Mi) está

contenido en cj(Mj).

Proposición 1.1.26. Para todo i, j ∈ I tales que i < j, ci(Mi) ≺UK cj(Mj).

Demostración. Como por hipótesis tenemos que fij para todos i, j ∈ I tales que i < j es una

≺UK-inmersión, entonces fij(Mi) ≺U

K Mj y por tanto al aplicar los axiomas de isomorfismo

(definición 1.1.1.3) cj(fij(Mi)) ≺UK cj(Mj), pues cj : Mj −→ cj(Mj) es un isomorfismo, en

consecuencia ci(Mi) ≺UK cj(Mj) debido que cj(fij(Mi)) = ci(Mi). Entonces 〈ci(Mi)〉i∈I es

un ≺UK-sistema λ-dirigido. 1.1.26

Demostración lema 1.1.22. Por la construcción hecha en los hechos 1.1.24, 1.1.25 y 1.1.26 es

inmediato que la condición (a) del lema 1.1.22 se satisface, esto es que para todos i, j ∈ I

tales que i < j, entonces cj ◦ fij = ci y por tanto lo único que necesitamos ver es que M =

⋃i∈I

ci(Mi) y así aplicando el lema 1.1.18 tenemos que M ∈ K. Para ello sea [(a, i)] ∈M, por


tanto existe Mi tal que a ∈ Mi y en consecuencia ci(a) = [(a, i)] ∈ ci(Mi) ⊆⋃i∈I

ci(Mi);

recíprocamente, sea [(a, j)] ∈⋃i∈I

ci(Mi), entonces [(a, j)] ∈ ci(Mj) para algún j ∈ I y por

definición de ci, [(a, j)] ∈M.

Para demostrar la condición (b), sea {c ′i : Mi −→ M ′}i∈I una colección de ≺UK-inmersiones

donde M ′ ∈ K, que cumpla la condición (a) del lema 1.1.22, esto es que c ′j ◦ fij = c ′i

para todos i, j ∈ I tales que i < j. En primer lugar notemos que si a ∈ M, entonces, por

la definición de M existe i ∈ I tal que a = [(m, i)] con m ∈ Mi y por tanto, al definir

F : M −→ M ′ como F(a) = c ′i(m) es inmediato que F es una función inyectiva y además

es la única tal que F ◦ ci = c ′i. 1.1.26

En el siguiente lema nosotros capturaremos la noción de tamaño en una Q-AEC K me-

diante morfismos de manera similar a lo hecho por Lieberman y Rosický para el contexto

de las AECs y MAECs en [Lie11] y [LR17]; el concepto en categorías es conocido como

presentabilidad.

Lema 1.1.27 (cf. lema 4.2 en [Lie11]). Sean K una Q-AEC λ > LS(K) un cardinal regular y

N ∈ K<λ. Supongamos que (I,≤) es un orden λ-dirigido y que 〈Mi〉i∈I satisfacen las hipótesis y

la conclusión del lema 1.1.22. Si f : N −→ M es una ≺UK-inmersión donde M es el colímite del

sistema λ-dirigido 〈Mi〉i∈I, entonces existen j ∈ I y una ≺UK-inmersión g : N −→ Mj tales que

el siguiente diagrama conmuta

M

N g//❴❴❴

f

==⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤Mj fjk

//

cj

OO

Mk

ck

bb❊❊❊❊❊❊❊❊❊

donde cj, ck son las ≺UK-inmersiones dadas por la conclusión del lema 1.1.22 y k ≥ j. Además, si


g ′ : N −→ Mj es una ≺UK-inmersión tal que f = cj ◦ g = cj ◦ g ′, entonces existe k ≥ j tal que

fjk ◦ g = fjk ◦ g ′.

Si una estructura N ∈ K cumple el enunciado del lema 1.1.27, diremos que N es λ-

presentable.

Demostración. Por la demostración del lema 1.1.22 tenemos queM =

⊔i∈I

Mi/ ∼ donde (a, i) ∼ (b, k) si y sólo si existe l ∈ I tal que i, k ≤ k y fil(a) = fjl(b).

Como f : N −→ M es una ≺UK-inmersión, tenemos en particular que f(N) ⊆ M y por

tanto para todo n ∈ N existe in ∈ I tal que f(n) ∈ cin[Min]; además como |N| < λ e

I es un orden λ-dirigido, entonces existe j ′ ∈ I tal que j ′ ≥ in para todo n ∈ N y por

tanto cin[Min] ≺UK cj ′ [Mj ′]. De lo anterior podemos concluir que f[N] ⊂ cj ′[Mj ′] pues

f(n) ∈ cj ′[Mj ′ ] para todo n ∈ N y por tanto f[N ] ⊆ cj ′[Mj ′].

Por la demostración del lema 1.1.22 tenemos en particular que cj ′ [Mj ′] ≺K M y como

f es una ≺UK-inmersión tenemos en particular que f[N ] ≺K M, entonces al aplicar los

axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) tenemos que f[N ] ≺K cj ′[Mj ′]. Como M =

⊔i∈I

Mi/ ∼, entonces M \Mj ′ 6= ∅; por tanto existen m ∈ M \Mj ′ y j ′′ ∈ I \ ({in}n∈N ∪

{j ′} tales que m ∈ cj ′′[Mj ′′ ]. Como I es un orden λ-dirigido, entonces existe j ≥ j ′, j ′′

y por tanto cj ′[Mj ′], cj ′′[Mj ′′] ≺UK Mj. Como f[N ] ≺K cj ′[Mj ′] ≺U

K cj[Mj], entonces al

aplicar los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) tenemos que f[N ] ≺UK cj[Mj]. Como

c−1j : cj[Mj] −→ Mj es un isomorfismo podemos aplicar los axiomas de isomorfismo

(definición 1.1.1.3) y concluir que c−1j [f[N ]] ≺UK Mj pues f[N ] ≺U

K cj[Mj]. Defina entonces

g := c−1j ◦f que claramente es una ≺UK-inmersión de N en Mj. Es inmediato de la definición

de g que f = cj ◦ g y como para K ≥ j tenemos por la conclusión del lema 1.1.22 que

1.2 Modelo-homogeneidad y homogeneidad 37

cj = ck ◦ fjk, entonces podemos concluir que f = ck ◦ fjk ◦ g y así haciendo así el siguiente

diagrama conmutativo.

M

N g//❴❴❴

f

==⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤Mj fjk

//

cj

OO

Mk

ck

bb❊❊❊❊❊❊❊❊❊

Por último, notemos que si g ′ : N −→ Ni es una ≺UK-inmersión tal que f = cj ◦ g = cj ◦ g ′

y para todo k > j tenemos que fjk ◦ g 6= fjk ◦ g ′, entonces

ck ◦ (fjk ◦ g) 6= ck ◦ (fjk ◦ g′) pues ck es en particular una función inyectiva,

(ck ◦ fjk) ◦ g 6= (ck ◦ fjk) ◦ g′ por la asociatividad de la composición

cj ◦ g 6= cj ◦ g′ pues por hipótesis cj = ck ◦ fjk

lo cual es absurdo pues f = cj ◦ g = cj ◦ g ′. 1.1.27

1.2. Modelo-homogeneidad y homogeneidad

El concepto de modelo-homogeneidad es importante al definir los tipos de Galois como ór-

bitas bajo la acción del grupo de automorfismos de un modelo lo suficientemente rico, que

conoceremos como modelo monstruo, en el sentido que tenga copias isomorfas de todos los

modelos pequeños y que todo isomorfismo entre cosas pequeñas se pueda extender a un

automorfismo de dicho modelo monstruo.

A lo largo es de esta sección K será una Q-AEC a menos que se diga lo contrario y todas

las estructuras de las que hablemos estarán dentro de una Q-AEC fija.


Definición 1.2.1 (definiciones 3.1.5 y 3.1.6 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC.

1. Diremos que M es µ-modelo-homogéneo si para todo par N ,N ′ ∈ K<µ tales que N ≺UK

M y N ≺UK N ′, existe una ≺U

K-inmersión f : N ′ −→ M tal que f ↾N= 1N . Diremos que

M es modelo-homogéneo si es |M|-homogéneo.

N ′

M

N

f

2. Diremos que M es µ-homogéneo si para todo par isomorfo N1,N2 ∈ K<µ tales que

N1,N2 ≺UK M, el isomorfismo entre N1 y N2 se puede extender a una automorfismo de

M. Diremos que M es homogéneo si es |M|-homogéneo.

f

fM M

N1 N2

Observación 1.2.2. Notemos que si M es modelo-homogéneo y N ≺K M es de tamaño

< |M|, entonces por el lema 1.1.13 tenemos que N ≺UK M y por tanto en la definición

1.2.1.1 podemos tomar cualquier tipo de subestructura (≺UK o ≺K) de M. Además, si K


satisface JEP, tiene MAG, M ∈ K es µ-modelo-homogéneo y N ≺K N ′ con N ′ ∈ K<µ,

entonces al aplicar el lema 1.1.14 existe N0 ∈ K|N ′ | tal que N ≺UK N0 y N ′ ≺U

K N ; como

M es µ-modelo-homogéneo, tenemos que existe una ≺UK-inmersión f : N0 −→ M tal que

f ↾N= 1N y al ser f : N0 −→ f[N0] un isomorfismo, entonces f[N ′] ≺UK f[N0] ≺U

K M; por

tanto f ↾N ′ : N ′ −→ M es una ≺UK-inmersión pues la relación ≺U

K es transitiva (definición

1.1.1.1). En consecuencia, en la definición 1.2.1 podemos tomar independientemente ≺K-

superestructuras o ≺UK-supertructuras de N .

Por otro lado si M es homogéneo, entonces por el lema 1.1.13, cualquier isomorfismo entre

N ,N ′ ∈ K<µ tales que N ,N ′ ≺K M puede ser extendido a un automorfismo de M pues

en este caso tendríamos que N ,N ′ ≺UK M.

A continuación veremos que si una Q-AEC K satisface JEP, entonces toda estructura

modelo-homogénea M tiene copias isomorfas de cualquier estructura N ∈ K<|M|. Este

hecho es enunciado y demostrado en [Cop06] (corolario 3.1.18) pero en términos del con-

cepto de saturación.

Lema 1.2.3 (cf. corolario 3.1.18 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC que satisface JEP. Si M es una

estructura modelo-homogénea y N ∈ K<|M|, entonces existe una ≺UK-inmersión f : N −→ M.

Demostración. Sean M ∈ K modelo-homogéneo, N ∈ K|M| y A ⊂ N tal que |A| = |N|. Al

aplicar el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), tenemos que

existe N ′ ≺UK M tal que A ⊂ N ′ y |N ′| = |N|; por JEP tenemos que existen M ′ ∈ K y una


≺UK-inmersión f : N −→ M ′ tal que N ′ ≺U

K M ′.

M M ′

N ′?�

≺UK

OO✤✤✤. � ≺U

K

<<③③

③③

N

f

OO✤✤✤

Por el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5) tenemos que exis-

te N ′′ ∈ K|N| tal que N ′′ ≺UK M ′ y f[N] ∪ N ′ ⊆ N ′′. Como en particular tenemos que

N ′, f[N] ⊆ N ′′, entonces tenemos que N ′, f[N ] ⊆ N ′′ y como N ′, f[N ],N ′′ ≺UK M ′, enton-

ces al aplicar los axiomas de coherencia (definición 1.1.14a) tenemos que N ′, f[N ] ≺K N ′′.

Como N ′′ ≺UK M ′, entonces por los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a) tenemos

que existe M ′′ ∈ K|N ′′ | tal que N ′′ ≺UK M ′′ ≺U

K M ′. Notemos además que por los axio-

mas de coherencia (definición 1.1.1.4c) tenemos que N ′, f[N ] ≺UK M ′′ pues N ′, f[N ′] ≺K

N ′′ ≺UK M ′′.

Por último como tenemos que |N ′′| = |N|, entonces |M ′′| = |N| y como N ′ ≺UK M, entonces

por la modelo-homogeneidad de M existe una ≺UK-inmersión g : M ′′ −→ M que fija

puntualmente a N ′.

M M ′′goo❴ ❴ ❴

N ′?�

≺UK

OO

- ≺UK

<<②②

②②

②f[N ]?�≺U

K

OO✤✤✤

N

f

OO

Definamos F := g ↾f[N ] ◦f. Claramente F : N −→ M. Además, como en particular

g : M ′′ −→ g[M ′′] es un isomorfismo y f[N ] ≺UK M ′′, entonces por los axiomas de

isomorfismo (definición 1.1.1.3) podemos concluir que g[f[N ]] ≺UK g[M

′′] ≺UK M y por la

transitividad de la relación ≺UK (definición 1.1.1.1), tenemos que g[f[N ]] ≺U

K M; en conclu-

sión F es una ≺UK-inmersión. 1.2.3


El siguiente hecho nos muestra que la propiedad de µ-modelo-homogeneidad implica la

propiedad de µ-homogeneidad. Este hecho es demostrado en [Cop06] sin muchos deta-

lles. Presentamos la prueba detallada aquí.

Lema 1.2.4 (lema 3.1.15 en [Cop06]). Suponga que M es modelo-homogéneo. Si

f : M1 −→ M2 es un isomorfismo con M1,M2 ≺K M y |M1|, |M2| < |M|, entonces f se

extiende a un automorfismo de M; esto es, M es homogéneo.

Demostración. En primer lugar notemos que por el lema 1.1.13, tenemos que M1,M2 ≺UK

M pues |M1|, |M2| < |M|. Para construir el automorfismo de M haremos un back and

forth tomando como base el isomorfismo f : M1 −→ M2, esto es f0 := f, M01 := M1 y

M02 := M2.

Sean 〈bi〉i<|M| una enumeración deM \M1 y 〈ai〉i<|M| una enumeración de M \M2.

Forth (para ordinales impares). Supongamos que para β < |M| tenemos construidos

Mβ1 ,M

β2 ≺U

K M y el isomorfismo fβ : Mβ1 −→ Mβ

2 con |Mβ1 |, |M

β2 | < |M|. Sea β = mın{i <

|M| : bi /∈ Mβ1 }. Por el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5),

existe M ′β+11 tal que {bβ} ∪M

β1 ⊆ M ′β+1

1 y |M ′β+11 | ≤ LS(K) + |Mβ

1 |, esto último implica

que |M ′β+11 | = |Mβ

1 | < |M1| y al aplicar los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a)

tenemos que existe Mβ+11 tal que M ′β+1

1 ≺UK Mβ+1

1 ≺UK M1 y |M ′β+1

1 | = |M ′β+11 |. Es claro que

Mβ1 ⊆ M ′β+1

1 y como por la definición 1.1.1.2 tenemos que en particular Mβ1 ,M

′β+11 ≺K

M1, entonces aplicando los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) deducimos que

Mβ1 ≺K M ′β+1

1 y como Mβ1 ≺K M ′β+1

1 ≺UK Mβ+1

1 , entonces utilizando los axiomas de

coherencia (definición 1.1.1.4b) podemos concluir que Mβ1 ≺U

K Mβ+11 .

Como tenemos que fβ : Mβ1 −→ Mβ

2 es un isomorfismo Mβ1 ≺U

K Mβ+11 , entonces pode-


mos aplicar el lema de renombramiento (lema 1.1.16) y encontrar M ′β+12 ≻U

K Mβ2 y un

isomorfismo f ′β+1 : Mβ+11 −→ M ′β+1

2 tal que f ′β+1 ⊃ fβ.

Mβ+11

f ′β+1 //❴❴❴ M ′β+12

Mβ1

?�≺U

K

OO

fβ

// Mβ2

?�≺U

K

OO✤✤✤

Ahora bien, como M es modelo-homogéneo y |M ′β+12 | = |Mβ+1

1 | < |M|, entonces existe

una ≺UK-inmersión hβ+1 : M

′β+12 −→ M tal que hβ+1 ↾Mβ

2= 1Mβ

2.

M hβ+1[M′β+12 ]_?

≺UKoo❴ ❴ ❴ ❴

Mβ+11

f ′β+1 //?�

≺UK

OO

M ′β+12

hβ+1

OO✤✤✤

Mβ1

?�≺U

K

OO

fβ

// Mβ2

?�≺U

K

OO

Definamos entonces Mβ+12 := hβ+1[M

′β+12 ] y fβ+1 : Mβ+1 −→ Mβ+1

2 como fβ+1 := hβ+1 ◦

f ′β+1. Claramente tenemos que fβ+1 ⊃ fβ pues f ′β+1 ⊃ fβ y hβ+1 ↾Mβ2= 1Mβ

2.

Back (para ordinales impares). La construcción es análoga a la hecha en el paso forth pero

comenzando con β = mın{i < |M| : ai /∈Mβ2 }.

Cuando β < |M| sea un ordinal límite y tengamos definidos Mα1 ,M

α2M e isomorfismos

fα : Mα1 −→ Mα

1 para todoα < β, definamos fβ :=⋃α<β

fα, Mβ1 :=

⋃α<β

Mα1 y Mβ

2 :=⋃α<β

Mα2 .

Por construcción resulta inmediato que M =⋃

β<|M|

Mβ1 =

⋃β<|M|

Mβ2 y por tanto F :=

⋃β < |M|fβ es el automorfismo de M buscado pues f = f0 ⊂ F. 1.2.4

La siguiente proposición nos muestra que los modelos que son modelo-homogéneos del

mismo tamaño son únicos salvo isomorfismo bajo JEP. Coppola enuncia el resultado en


su trabajo pero no lo demuestra, nosotros incluimos la demostración del resultado para

completez del documento.

Proposición 1.2.5 (hecho 3.1.13 in [Cop06]). Sea K una Q-AEC que satisface JEP. Si M0,M1

son ambos µ-modelo-homogéneos tales que |M0| = |M1| = µ y µ > LS(K), entonces M0 y M1

son isomorfos.

Demostración. Para hacer la demostración tenemos dos opciones: M1 y M2 tienen una

≺K-subestructura común pequeña.

1. Si existe N ≺K M1,M0 -notemos que por el lema 1.1.13 esto implica que N ≺UK

M1,M0-, con |N| < µ, el isomorfismo se obtiene mediante back and forth de la si-

guiente manera.

Base. Tome M00 = M0

1 = N y f0 : M00 −→ M0

1 como la identidad de N . Claramente

f0 es un isomorfismo parcial entre M00 y M0

1.

Sean {mi : i < |M0|} =M0 \N y {mi : i < |M1|} =M1 \N.

Back (para ordinales impares). Suponga construidos Mβ0 ≺U

K M0,Mβ1 ≺U

K M1 y el

isomorfismo parcial fβ : Mβ0 −→ Mβ

1 construidos. Sea β + 1 = mın{i < |M0| :

mi /∈ Mβ0 }. Por la definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem descendente),

existe M ′β+11 ≺U

K M1 tal que {mβ+1} ∪Mβ1 ⊆ M ′β+1

1 ; es fácil ver que Mβ1 ⊆ M ′β+1

1

y por los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a), existe Mβ+11 ≺U

K M1 tal que

M ′β+11 ≺U

K Mβ+11 ≺U

K M1; por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) esto

último implica que Mβ1 ≺U

K Mβ+11 . Ahora bien, por el lema 1.1.16 (lema de renom-

bramiento) existen N ′ y un isomorfismo g : N ′ −→ Mβ+11 tales que Mβ

0 ≺UK N ′ y


fβ ⊆ g y al utilizar la µ-modelo-homogeneidad de M0, existe una ≺UK-inmersión

g ′ : N ′ −→ Mβ+11 que fija puntualmente a Mβ

0 . Definamos Mβ+10 := g ′(N ′) y

fβ+1 = g ◦ g ′. Claramente tenemos que fβ ⊆ fβ+1 pues si a ∈Mβ0 entonces

fβ+1(a) = g ◦ g−1(a)

= g(g−1(a))

= g(a) pues g fija puntualmete a Mβ0

= fβ(a) pues g extiende a fβ.

Forth (para ordinales pares) Suponga construidos Mβ0 ≺U

K M0,Mβ1 ≺U

K M1 y el iso-

morfismo parcial fβ : Mβ0 −→ Mβ

1 construidos. Sea β+1 = mın{j < |M1| : mj /∈Mβ0 }.

Puede hacer la misma construcción que en el caso anterior intercambiando los pa-

peles de M0 y M1.

(Para ordinales límites) Si β < |M0| = |M1| es un ordinal límite y tenemos construidos

Mβ ′

0 ≺UK Mβ

1 , Mβ ′

1 ≺UK M1 e isomorfismos fα : Mβ ′

0 −→ Mβ ′

1 están definidos para

todo β ′ < β. Definimos Mβ0 :=

⋃⋃

β ′<β

Mβ ′

0 , Mβ1 :=

⋃β ′<β

Mβ ′

1 y fβ :=⋃β ′<β

fβ ′ .

De la anterior construcción resulta inmediato que el isomorfismo buscado es f =

⋃β<|M0 |

fβ pues M0 =⋃

β<|M0 |

Mβ0 y M1 =

⋃β<|M1 |

Mβ1 .

2. Si M0 y M1 no tienen una subestructura pequeña común, tome a ∈ M0 y b ∈ M1;

por la definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem descendente) existen N0 ≺UK


M0 y N1 ≺UK M1 tales que |N0| = |N1| = LS(K) y {a} ⊆ N0, {b} ⊆ N1.

M0 M1

N0

?�

≺UK

OO✤✤✤

N1

?�

≺UK

OO✤✤✤

Por JEP existen una ≺UK-inmersión h0 : N0 −→ N2 y N2 ∈ K tal que N1 ≺U

K N2.

M0 M1

N0

?�

≺UK

OO

h0

!!❉❉

❉❉ N1

?�

≺UK

OO

nN≺UK

}}③③③③

N2

Como h−10 : h0[N0] −→ N0 es un isomorfismo y h0[N0] ≺U

K N2, entonces por el lema

de renombramiento (el Lema 1.1.16), existen N ′2 ∈ K y un isomorfismo h : N ′

2 −→

N2 tales que N0 ≺UK N ′

2 y h−10 ⊆ h−1.

M0 M1

N0

?�

≺UK

OO

� _

≺UK

��✤✤✤✤✤✤✤

h0

##❍❍❍

❍❍❍❍

❍❍N1

?�

≺UK

OO

� _

≺UK

��

h0[N0]� q≺U

K

##●●●

●●●●

●●

N ′2 h

//❴❴❴❴❴❴❴❴❴❴ N2

Utilizando los axiomas de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), den-

sidad (definición 1.1.1.7b) y coherencia (definiciones 1.1.1.4a y 1.1.1.4c) podemos su-

poner que |N2| = |N ′2| < µ y como M0 y M1 son µ-modelo homogéneos, existen

≺UK-inmersiones g0 : N ′

2 −→ M0 y g1 : N2 −→ M1 que fijan puntualmente a N0 y a

N1 respectivamente. Notemos que como N2 y N ′2 son isomorfos, entonces g0[N ′

2 ] y


g1[N2] son isomorfos y podemos tomar este último isomorfismo como base para el

back and forth como el que hicimos en el ítem anterior.

1.2.5

El siguiente teorema es enunciado por Coppola en [Cop06] pero la conclusión a la que él

llega es la existencia de una extensión saturada. Debido que no es muy clara la forma en la

que Coppola demuestra dicha afirmación, nosotros mostramos que siempre encontramos

una extensión µ-modelo homogénea, lo cuál es equivalente a lo que demuestra Coppola

gracias al teorema 1.4.3.

Teorema 1.2.6 (cf. lema 3.1.4 en [Cop06]). Si K es una Q-AEC que satisface AP, entonces todo

M ∈ K tiene una ≺UK-extensión |M|-modelo homogénea.

Demostración. Sean λ = |M| y M ′,M ′′ ∈ K tales que M ′ ≺UK M,M ′′ y |M ′′| < λ. Por AP,

existen N ′0 y una ≺U

K-inmersión f0 : M ′′ −→ N0 de tal manera que M ≺UK N ′

0 y por la

definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem descendente), existe N0 ≺UK N ′

0 de tal

que M ∪ f[M ′′] ⊆ N0 y |N0| = |M| + |f[M ′′]| < λ. Si Suponemos que Nβ está construido

para β < λ, entonces utilizando la misma idea anterior, podemos construir Nβ+1. Para el

caso en que β < λ sea un ordinal límite, defina Mβ :=⋃α<β

Nα. Definamos N :=⋃

β<λ+1

Nβ.

Por la construcción de N es claro que M ≺K N ; veamos que es λ-modelo-homogéneo.

Sean M ′,N ′ tales que M ′ ≺UK N ,N ′ con |N ′| < λ; por la regularidad de λ + 1 y la

definición 1.1.1.4a (axioma de Coherencia), existe β < λ+ 1 de tal maneta que M ′ ≺K Nβ

y por la construcción de N existe una ≺UK-inmersión f : N ′ −→ Nβ+1 y por la transitividad

de ≺UK, podemos afirmar que f[N ′] ≺U

K N , por tanto f : N ′ −→ N . En consecuencia N es

λ-modelo-homogéneo. 1.2.6

1.3 Tipos de Galois 47

El siguiente teorema nos permitirá construir modelos lo suficientemente ricos el el senti-

do que realizarán todos los tipos sobre modelos más pequeños y nos permitirán extender

cualquier isomorfismo entre modelos pequeños a automorfismos. La demostración es ha-

cer una construcción al estilo límites de Fraïssé y es similar a la prueba en el contexto de

las AECs. En el capítulo 3 de [Cop06] Coppola hace la demostración del siguiente teorema

y por tanto nosotros la omitimos acá.

Teorema 1.2.7 (cf. teorema 3.3 en [Bal05]). Sea K una Q-AEC que satisface AP y JEP, tiene

MAG y sea µ un cardinal tal que µ<µ = µ y µ ≥ 2LS(K). Entonces existe un modelo C ∈ K

de cardinalidad µ que es homogéneo y modelo-homogéneo, esto último implica que C tiene copias

isomorfas de todo M ∈ K<µ.

Notación 1.2.8. Un modelo dado por el teorema 1.2.7 es llamado modelo monstruo y lo notare-

mos C, su universo se notará |C| y su tamaño ‖C‖.

Observación 1.2.9. Notemos que por el lema 1.2.3 podemos afirmar que para toda estructura

M ∈ K‖C‖ existe una ≺UK-inmersión fM : M −→ C es decir, para toda M ∈ K existen un

modelo monstruo C ∈ K y N ≺UK C tal que M ≈ N .

1.3. Tipos de Galois

Como ocurre en el caso de las AECs, en este contexto queremos evitar el uso de una

lógica específica y por tanto introduciremos la noción de tipo de Galois. Dicha noción es

adaptada del caso de las AECs al caso de las Q-AECs por Coppola en [Cop06] como tipos

orbitales. En esta sección nosotros introduciremos las dos formas de definir los tipos de


Galois como lo hacen, por ejemplo, Baldwin en [Bal09] y VanDieren en [Van06]. La primera

presentación que hacemos acá de los tipos de Galois, usando relaciones de equivalencia

entre ciertas triplas como en [She99], no es mencionada por Coppola en [Cop06] pero

será de gran ayuda en algunas construcciones que haremos más adelante. Comenzaremos

definiendo una relación que bajo AP resulta ser de equivalencia, esta adaptación de tipo

de Galois es mencionada por primera vez en este trabajo.

Notación 1.3.1. La tripla (M, a,N ) denota M ≺K N y a ∈ N lg(a).

Definición 1.3.2. Definimos la relación ∼ entre triplas (M, a,N1) y (M, b,N2) de la siguiente

manera:

(M, a,N1) ∼ (M, b,N2) sí y solamente si existen N ∗ y ≺UK-inmersiones f1 : N1 → N ∗,

f2 : N2 → N ∗ tales que fi ↾M= 1M y f1(a) = f2(b).

b

b

b

b

a

b

f1(a) = f2(b)

f1f2

N1

N2

N ∗

M

Observación 1.3.3. 1. Por definición, ∼ es una relación simétrica y para ver que es reflexiva

basta tomar N1 = N2 = N ∗ y las inmersiones f1 y f2 como la identidad .


2. Sea (M, a,N ). Por el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), existe

Na ≺UK N tal que M ∪ {a} ⊂ Na y |Na| = |M|. Notemos además que comoM ∪ {a} ⊂ N ′

a,

entonces M ⊆ Na y al aplicar los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) M ≺K Na

pues en particular tenemos que M,Na ≺K N y Na ≺K N . Al aplicar los axiomas de

coherencia de nuevo (definición 1.1.1.4b) tenemos que M ≺UK N pues M ≺K N ′

a ≺UK N .

Lo anterior indica que la relación tomada en la tripla puede ser cualquiera de las dos: ≺K o

≺UK.

La siguiente observación es una forma equivalente de AP y es necesaria para explicar la

razón por la cual definimos la relación ∼ en términos de ≺K, esto se hará explícito en la

proposición 1.3.5.

Observación 1.3.4. Notemos que K tiene AP si y sólo si dados cualesquiera M0,M1,M2 ∈ K

tales que M0 ≺K M1,M2, entonces existen N ∈ K y dos ≺UK-inmersiones f1 : M1 −→ N y

f2 : M2 −→ N tales que el siguiente diagrama conmuta.

M2f2 //❴❴❴ N

M0

?�

≺K

OO

� �

≺K

// M1

f1

OO✤✤✤

Demostración. Si K satisface AP, entonces para todo M0,M1,M2 tales que M0 ≺K M1,M2,

esiste N ∈ K y una ≺UK-inmersión f : M2 −→ N tales que M1 ≺U

K N y el siguiente dia-

grama conmuta.

M1� � ≺

UK //❴❴❴ N

M0

?�

≺K

OO

� �

≺K

// M2

f

OO✤✤✤


Siendo así, la inclusión in : M1 −→ N es una ≺UK-inmersión y al tomar f1 = in y f2 = f

tenemos el resultado. El recíproco se sigue del lema de renombramiento (lema 1.1.16).

1.3.4

La siguiente proposición nos muestra que bajo AP la relación ≺ resulta ser transitiva, las

ideas de la demostración las tomamos de [Van06] y la adaptación que presentamos no es

hecha en [Cop06].

Proposición 1.3.5. Sea K una Q-AEC. Si K tiene AP, entonces ∼ es una relación transitiva.

Demostración. Supongamos que (M, a,N1) ∼ (M, b,N2) y (M, a,N2) ∼ (M, c,N3), en-

tonces por definición existen N12,N23 ∈ K y ≺UK-inmersiones f1 : N1 −→ N12, f2 : N2 −→

N12, g2 : N2 −→ N23 y g3 : N3 −→ N23 con f1(a) = f2(b) y g2(b) = g3(c) tales que

fi ↾M= 1M para i = 1, 2, gj ↾M= 1M para j = 2, 3 y el siguiente diagrama conmuta.

N1f1 // N12

M � �

≺K

//?�

≺K

OO

� _

≺K

��

N2

f2

OO

g2��

N3 g3// N23

Como K satisface AP, entonces por la observación 1.3.4 existen N ∗ e ≺UK-inmersiones h1 :

N12 −→ N ∗, h2 : N23 −→ N ∗ tales que el siguiente diagrama conmuta.

N1f1 // N12

h1

!!❉❉❉

❉❉❉❉

❉

M � �

≺K

//?�

≺K

OO

� _

≺K

��

N2

f2

OO

g2��

N ∗

N3 g3// N23

h2

==③③③③③③③③


De nuevo por la obsevación 1.3.4 y utilizando el lema de renombramiento (lema 1.1.16)

podemos suponer que f2, g2, h2 son inclusiones y por tanto nosotros tenemos que para

todo m ∈M.

h1 ◦ f1(m) = h1 ◦ f2(m)

= h2 ◦ g3(m)

= h2 ◦ g2(m) = 1M(m) = m.

Entonces h1 ◦ f1 ↾M= h2 ◦ g3 ↾M= 1M y para a tenemos que

(h1 ◦ f1)(a) = h1(f1(a))

= h1(f2(b))

= h2(g2(b))

= h2(g3(c))

= (h2 ◦ g3)(c).

N1h1◦f1 // N ∗

M?�

≺K

OO

� �

≺K

// N3

h2◦g3

OO

Por tanto (M, a,N1) ∼ (M, c,N3). 1.3.5

De manera análoga a como lo hace Shelah en [She99], la proposición anterior nos per-

mite definir los tipos de Galois como relaciones de equivalencia entre triplas de la forma

(M, a,N ).


Definición 1.3.6. Sea K una Q-AEC con AP, JEP y MAG. El tipo de Galois de a sobre M en

N se define como

ga− tp (a/M,N ) := [(M, a,N )]∼.

La clase de los tipos de Galois sobre M se denotará por ga− S (M).

Observemos que si ga − tp (a/M,N1) = ga − tp(b/M,N2

), entonces existen N ′ ∈ K y

dos ≺UK-inmersiones f1 : N1 −→ N ′ y f2 : N2 −→ N ′ tales que f1(a) = f2(b) y f1 ↾M=

f2 ↾M= 1M.

N1f1 //❴❴❴ N ′

M?�

≺UK

OO

� �

≺UK

// N2

f2

OO✤✤✤

Por definición de ≺UK-inmersión tenemos que f2[N2] ≺U

K N ′ y como f−12 : f2[N2] −→ N2 es

un isomorfismo, podemos aplicar el lema de renombramiento (lema 1.1.16) y encontrar

N ∗ ∈ K y un isomorfismo f : N ′ −→ N ∗ tales que N2 ≺UK N ∗ y f−12 ⊆ f.

N ′ f //❴❴❴❴ N ∗

f2[N2]?�

≺UK

OO

f−12

// N2

?�

≺UK

OO✤✤✤

Notemos que f ◦ f1 : N1 −→ N ∗ es una ≺UK-inmersión pues como f1[N1] ≺U

K N ′ y f :

N ′ −→ N ∗ es un isomorfismo, entonces por el axioma de isomorfismos (definición 1.1.1.3)

tenemos que f ↾f1[N1] [f1[N1]] ≺UK N ∗. Por otra parte tenemos que sim ∈ N2 entonces

(f ◦ f2)(m) = f(f2(m)),

= f−12 (f2(m)),

= m = 1N2(m)


y por tanto 1N2= f ◦ f2. Además

f ◦ f1(a) = f(f1(a)),

= f(f2(b)) pues f1(a) = f2(b) por hipótesis,

= 1N2(b) pues b ∈ Nlg(b)

2 y f ◦ f2 = 1N2

= b.

En conclusión N ∗ y f◦f1 junto con la inclusión de N2 en N ∗ atestiguan que ga−tp (a/M,N1)

= ga− tp(b/M,N2

).

Recíprocamente es inmediato de la definición de tipo de Galois (definición 1.3.6) que

dados M,N1,N2 ∈ K con M ≺K N1,N2, a ∈ Nlg(a)1 y b ∈ N

lg(b)2 ; si existen N ∗ ≻U

K N1

y una ≺UK-inmersión f : N2 −→ N ∗ tal que f(b) = a, entonces ga − tp (a/M,N1) =

ga− tp(b/M,N2

).

Lo anterior motiva la siguiente definición.

Definición 1.3.7. Sea K una Q-AEC que satisface AP y M,N1,N2 ∈ K. Diremos que b ∈ Nlg(b)2

realiza ga − tp(a/M,N1), lo cual notaremos por b � ga − tp(a/M,N1), si existen N ∗ y una

≺UK-inmersión f : N2 −→ N ∗ tales que N1 ≺U

K N ∗ y f(b) = a.

N2

N1

bb

b

N ∗

a

b

f

M


Notemos que el teorema 1.2.7 nos da un modelo monstruo por cada cardinal µ que satis-

faga µ<µ = µ; el siguiente lema nos permitirá definir el concepto de tipo de Galois como

son definidos en el capítulo 3 de [Cop06] y nos muestra que las dos formas de definir

tipo de Galois coinciden. Este resultado es adaptado por vez primera al contexto de las

Q-AEC en este trabajo. Las ideas de la demostración las tomamos de [Van06].

Proposición 1.3.8. Sea K una Q-AEC que satisface AP, JEP y tiene MAG. ga− tp(a/M,C) =

ga− tp(b/M,C) si y sólo si existe f ∈ AutM(C) tal que f(a) = b.

Demostración. Sea f ∈ autM(C) tal que f(a) = b. Notemos que como f ↾M= 1M y f(a) =

b, entonces ga− tp(a/M,C) = ga− tp(b/M,C) y el siguiente diagrama es conmutativo.

Cf // C

M?�

≺K

OO

� �

≺K

// C

1C

OO

Recíprocamente, suponga que ga − tp(a/M,C) = ga − tp(b/M,C). Entonces existen

N ∈ K e ≺UK-inmersiones f1, f2 : C −→ N tales que f1 ↾M= f2 ↾M= 1M, f1(a) = f2(b).

C

C

N

M

b

b

ab

f2

f1

b

Como en construcciones anteriores, al utilizar los axiomas de Löwenheim-Skolem des-

cendente (definición 1.1.1.5), de densidad (definición 1.1.1.7b) y de coherencia (definición


1.1.1.4c) podemos construir Ma,Mb,N′ ∈ K tales que

{a} ∪M ⊆Ma,

{b} ∪M ⊆Mb,

Ma,Mb ≺UK C,

f1[Ma] ∪ f2[Mb] ⊆ N′,

N ′ ≺UK N y

|Ma|, |Mb|, |N′| < ‖C‖.

C

C

N

M

b

b

a

b

b

f2

f1Ma

Mb

Como f2 : Mb −→ f2[Mb] es un isomorfismo y f2[Mb] ≺UK N ′, entonces al aplicar el lema

de renombramiento (lema 1.1.16) existen N ′′ ≻UK Mb y un isomorfismo g : N ′′ −→ N ′ tal

que g ⊃ f2.

N ′′ g //❴❴❴❴ N ′

Mb f2

//?�

≺UK

OO✤✤✤

f2[Mb]?�≺U

K

OO


Por tanto fa : Ma −→ N ′′ definida como fa(x) := g−1(f1(x)) y fb : Mb −→ N ′ defini-

da como fb(y) := g−1(f2(y)) son ≺UK-inmersiones y como por construcción tenemos que

g ↾M= f2 ↾M= 1M, entonces tenemos que

fa ↾M = (g−1 ◦ f1) ↾M

= g−1 ↾M ◦f1 ↾M

= 1M ◦ 1M

= 1M

y que

fb ↾M = (g−1 ◦ f2) ↾M

= g−1 ↾M ◦f2 ↾M

= 1M ◦ 1M

= 1M,

además como

fa(a) = (g−1 ◦ f1)(a) por definición.

= g−1(f1(a).

= g−1(f2(b) por la escogencia de f1 y f2,

= b pues f2 ⊆ g.

En consecuencia tenemos que ga − tp(a/M,Ma) = ga − tp(b/M,Mb). Debido que

Mb ≺UK N ′′, |Mb|, |N

′′| < ‖C‖ y C es modelo-homogéneo, existe una ≺UK-inmersión f :

N ′′ −→ C tal que f(y) = y para todo y ∈Mb y el siguiente diagrama conmuta


Mafa // N ′′

f

!!❇❇❇

❇❇❇❇

❇❇

M?�

≺UK

OO

� �

≺UK

// Mb

fb

OO

� �

≺UK

// C.

Ahora como Ma∼= f[fa[Ma]] ≺U

K C y f ◦ fa fija puntualmente a M, entonces existe F ∈

AutM(C) tal que F ⊃ f ◦ fa. Por otro lado

F(a) = f(fa(a)),

= f(fb(b)) por la escogencia de fa y de fa,

= b pues f fija puntualmente a Mb.

Concluimos entonces que F ∈ autM(C) y F(a) = b. 1.3.8

Basados en la proposición anterior, podemos re-definir la noción de tipo de Galois en

términos de automorfismos.

Notación 1.3.9. Sea C un modelo monstruo y M ≺UK C. AutM(C) denotará el conjunto de

automofismos de C que fijan puntualmente a M.

Definición 1.3.10. Sean K una Q-AEC con AP, JEP y MAG, a ∈ |C|lga y M ≺K C tal que

|M| < ‖C‖. Definimos

ga− tp(a/M) := {f(a) : f ∈ AutM(C)}.

Definición 1.3.11. 1. Sea n ∈ N . Definimos

ga− Sn (M) = {ga− tp ((ai)i<n+1/M,N ) : M,N ∈ K}.

2. Diremos que p ∈ ga−Sn (M) es realizado en N si y sólo si existen M∗ y a ∈ Nn tales que

M∗ ≻UK N p = [(M, a,M∗)]∼. En términos de la definición de órbitas bajo la acción del


grupo de automorfismos de un modelo monstruo, diremos que N realiza a p si p ∩N 6= ∅.

En este caso diremos que a realiza a p y lo notaremos a � p.

3. Sean q = ga − tp (a/M∗,C) ∈ ga− Sn (M∗) y M ≺UK M∗. Definimos la restricción de

q a M como q ↾M:= ga− tp (a/M,C).

4. Similarmente, decimos que q ∈ ga− Sn (M∗) extiende a p ∈ ga− Sn (M) si q ↾M= p.

La siguiente afirmación nos muestra que dos tipos son diferentes si ya eran diferentes

en alguna subestructura. El enunciado lo hace Coppola en términos de la relación ≺K

pues la reflexividad de esta relación es de utilidad al momento de aplicarlo. Hacemos

una demostración detallada.

Proposición 1.3.12 (cf hecho 3.1.8 en [Cop06]). Sean M0,M ∈ K tales que M0 ≺K M y

p, q ∈ ga− S (M). Si p ↾M06= q ↾M0

, entonces p 6= q.

Demostración. Sean a, b ∈ |C| tales que p = ga − tp (a/M,C) y q = ga − tp(b/M,C

).

Si tenemos que p = q, entonces ga− tp (a/M,C) = ga− tp(b/M,C

)y por tanto existe

f ∈ AutM(C) tal que f(a) = b; como M0 ≺K M, entonces en particular f ∈ AutM0(C) y

por tanto tenemos que ga−tp (a/M0,C) = ga−tp(b/M0,C

). Como (p ↾M) ↾M0

= p ↾M0

y (q ↾M) ↾M0= p ↾M0

concluimos que p ↾M0= q ↾M0

pues ga − tp (a/M0,C) = p ↾M0y

ga− tp (b/M0,C) = q ↾M0obteniendo así un absurdo. 1.3.12

A continuación definiremos la noción de cadena coherente de tipos. Este concepto Cop-

pola lo define en su tesis pero es impreciso con los subíndices. Basándonos en la noción de

cadena coherente de tipos en el contexto de las AECs, nosotros corregimos la imprecisión

de Coppola.


Definición 1.3.13 (cf. definición 11.2 en [Bal09], cf. definición 3.1.9 en [Cop06]). Sean

〈Mi〉i<δ una ≺UK-cadena creciente continua de modelos en K y pi ∈ ga − S (Mi) para cada

i < δ.

1. Diremos que 〈pi〉i<δ es una cadena de tipos de Galois sobre 〈Mi〉i<δ si:

a) pi+1 ↾ Mi = pi para i < δ y

b) pj ↾ Mi = pi para todo i < j con j < δ un ordinal límite.

2. Diremos que 〈pi〉i<δ es una cadena coherente sobre 〈Mi〉i<δ si es una cadena de tipos de

Galois y además existen ai ∈ |C|, fi,j ∈ AutMi(C) para i < j < δ tales que:

a) pi = ga− tp(ai/Mi,C),

b) fi,j(aj) = ai y

c) fi,k ◦ fk,j = fi,j para todo i < k < j < δ.

Debido a la imprecisión cometida por Coppola en la definición de cadena coherente de ti-

pos, la demostración que él hace de la siguiente proposición también tiene imprecisiones.

Para solucionar esto, nosotros nos hemos basado en el trabajo de Baldwin para corregir

dichas imprecisiones.

Proposición 1.3.14 (Proposición 3.1.10 en [Cop06]). Sea 〈pi〉i<δ una cadena coherente sobre

〈Mi〉i<δ. Entonces existe pδ ∈ ga−S (Mδ), donde Mδ =⋃i<δ

Mi, tal que 〈pi〉i<δ+1 es una cadena

coherente sobre 〈Mi〉i<δ+1.

Demostración. Sean 〈ai〉i<δ y 〈fi,j〉i<j<δ quienes atestiguan que 〈pi〉i<δ es una cadena cohe-

rente sobre 〈Mi〉i<δ. Definamos ahora para todo i < δ gi := f0,i ↾Miy veamos que es una


cadena creciente continua de ≺UK-inmersiones. Notemos en primer lugar que Dom(gi) =

Mi para todo i < δ y por tanto 〈Dom(gi)〉i<δ es una ≺UK-sucesión creciente continua.

Ahora bien, sean i, j < δ tales que 0 ≤ i < j y a ∈Mi, entonces

gi(a) := f0,i ↾Mi(a),

= (f0,i ↾Mi(fi,j ↾Mi

(a)) pues fi,j ∈ AutMi(C) y a ∈Mi,

= (f0,i ◦ fi,j) ↾Mi(a) por la condición (iii) de cadena coherente,

= f0,j ↾Mi(a) pues a ∈Mi,

= f0,j ↾Mj(a),

= gj(a).

Notemos por último que lo anterior implica, aplicando la definición 1.1.1.3 (axiomas de

isomorfismo), que gi(Mi) ≺UK gj(Mj) para todos i ≤ j < δ y en consecuencia 〈gi〉i<δ es

una cadena creciente continua de isomorfismos, la continuidad la tenemos pues 〈Mi〉i<δ

es una ≺UK-cadena creciente y continua.

Ahora bien, como C es una estructura homogénea y g :=⋃i<δ gi :

⋃i<δ

Mi −→⋃i<δ

gi(Mi)

es un isomorfismo, entonces existe g ∈ Aut(C) tal que g ↾ ⋃

i<δ

Mi= g. Definamos entonces

aδ := g−1(a0), pδ := ga− tp

(aδ�

⋃i<δ

Mi,C

)y fi,δ := f−10,i ◦ g para todo i < δ y veamos que

〈pi〉i<δ+1 es una cadena coherente sobre 〈Mi〉i<δ+1, donde Mδ :=⋃i<δ

Mi, que es atestiguada


por 〈ai〉i<δ+1 y 〈fi,j〉i<j<δ+1. Además, fi,δ ∈ AutMi(C) pues para a ∈ Mi tenemos que

fi,δ(a) = f−10,i ◦ g(a),

= f−10,i ◦ gi(a) pues g ⊇⋃

i<δ

gi,

= f−10,i (f0,i(a)) pues gi = f0,i ↾Mi,

= a.

Es inmediato de la escogencia de los ai que pi = ga − tp(ai/Mi,C) para todo i < δ + 1.

Ahora sea i < δ, entonces

fi,δ(aδ) = f−10,i ◦ g(aδ),

= f−10,i (g(g−1(a0)) pues aδ = g−1(a0),

= f−10,i (a0),

= ai pues f0,i(ai) = a0,

por tanto el segundo ítem de la definición de cadenas coherentes de tipos se cumple. El

tercer ítem de la definición de cadenas coherentes de tipos se cumple pues para todos

i < j < δ tenemos que:

fi,j ◦ fj,δ = fi,j ◦ (f−10,j ◦ g),

= (fi,j ◦ f−10,j ) ◦ g,

= f−10,i ◦ g pues por hipótesis f0,j = f0,i ◦ fi,j implica f−10,i = fi,j ◦ f−10,j

= fi,δ.

En consecuencia 〈pi〉i<δ+1 es una cadena coherente sobre 〈Mi〉i<δ+1. 1.3.14


1.4. Saturación

En esta sección nosotros estudiaremos las estructuras que realizan todos los tipos sobre

subestructuras pequeñas, estas estructuras son llamadas saturadas. El concepto de satu-

ración es crucial en el resultado de transferencia de categoricidad demostrado en [SV18]

por Shelah y Vasey pues para poder hacer las construcciones que necesitan, se debe ga-

rantizar que todos los modelos saturados de Kµ, donde µ ≤ LS(K) es un cardinal, formen

una AEC. El axioma que resulta más engorroso de demostrar para este caso es el de ca-

denas de Tarski-Vaught y lo estudiaremos en el capítulo 4 de este trabajo.

Comenzaremos demostrando que un modelo que es saturado es modelo-homogéneo, he-

cho que Coppola enuncia pero no demuestra en su tesis, y haremos una adaptación al

contexto de las Q-AECs de un resultado de Boney y Grossberg dado en [BG17] de un

teorema de omisión de tipos para AECs que será de importancia al adaptar el resultado

de tranferencia de categoricidad de Shelah y Vasey ([SV18]) al contexto de las Q-AECs.

Definición 1.4.1. Sea M ∈ K. Diremos que M es µ-saturado o saturado en µ si para todo

N ≺K M de tamaño menor que µ (notemos que esto último implica que N ≺UK M por el lema

1.1.13), todo p ∈ ga− S (N ) tiene al menos una realización en M. Diremos que M es saturado

si es |M|-saturado.

Notación 1.4.2. Sea K una Q-AEC. La subclase de todos los modelos µ-saturados de K ordenado

por la restricción las relaciones ≺UK y ≺K será denotada por Kµ−sat. Si tomamos todos los modelos

saturados de K, la subclase será denotada Ksat.

A continuación demostramos que los conceptos de modelo-homogeneidad y saturación

1.4 Saturación 63

son equivalentes en Q-AECs como en el contexto de las AECs. Coppola presenta el re-

sultado como un hecho en [Cop06] y no hace la demostración para el contexto de las

Q-AECs, nosotros hacemos la demostración con todos los detalles para la completez del

documento.

Teorema 1.4.3 (hecho 3.1.12 en [Cop06]). Sean λ > LS(K) y M ∈ K≥λ. M es λ-saturado si y

sólo si es λ-modelo-homogéneo.

Demostración. Comencemos suponiendo que M es λ-saturado. Para demostrar que M

es λ-modelo-homogéneo debemos probar que dados N ,N ′ ∈ K<λ tales que N ≺UK M

y N ≺UK N ′, existe una ≺U

K-inmersión f : N ′ −→ M que fija puntualmente a N . Para

construir la inmersión f, lo que haremos es construir de manera recursiva una cadena

creciente continua de ≺UK-inmersiones 〈fβ : Nβ −→ M〉β<|N ′| que fijan puntualmente a N

de la siguiente manera.

Para la base tomemos N0 := N y f0 = 1N , como por hipótesis tenemos que N ≺UK M,

entonces claramente f0 es una ≺UK-inmersión que fija puntualmente a N .

Para continuar con la construcción, consideremos una enumeración {ai : i < |N ′|} de

N ′ \N.

Supongamos que para β < |N ′| tenemos construidos Nβ ≺UK C de tamaño < λ y una ≺U

K-

inmersión fβ : Nβ −→ M que fija puntualmente a N . Utilizando el lema 1.2.3 podemos

suponer que M,N ′ ≺UK C y como fβ : Nβ −→ fβ [Nβ] es un isomorfismo, entonces por la

homogeneidad de C existe F ∈ AutN (C) tal que F ⊃ fβ. F fija puntualmente a N pues fβ

lo fija puntualmente. Sea j = mın{i < |N ′| : ai /∈ N ′\Nβ}, notemos que como fβ es una ≺UK-

inmersión, entonces F [Nβ] = fβ [Nβ] ≺UK M y al ser Nβ ≺U

K N ′ tenemos que |fβ [Nβ] | < λ


pues Nβ ∈ K<λ, por tanto existe b ∈ M tal que b � ga − tp (F (aj) /F [Nβ] ,C) pues M es

λ-saturado; esto último implica que existe G ∈ AutF[Nβ](C) tal que G (F (aβ)) = b.

Al aplicar los axiomas de Löwenheim-Skolem descendente (definición1.1.1.5), de densi-

dad (definición 1.1.1.7b) y de coherencia (definición 1.1.1.4c) podemos encontrar M ′ ≺UK

M ≺UK C tal que F[Nβ] ∪ {b} ⊆ M ′, |M ′| = |Nβ|, y F [Nβ] ≺U

K M ′. Definamos aho-

ra H := G ◦ F, Nβ+1 := H−1[M ′] y fβ+1 := H ↾Nβ+1. Por la transitividad de la relación

≺UK tenemos que M ′ ≺U

K C y como G es en particular un automorfismo de C, entonces

G−1[M ′] = Nβ+1 ≺UK C. Además

Nβ = F−1[F[Nβ]],

= F−1[G−1[F[Nβ]]] pues G ∈ AutF[Nβ](C),

= H−1[F[Nβ]] por definición de H,

≺UK H−1[M ′] aplicando los axiomas de isomorfismo (definición 1.1.1.3) a F[Nβ] ≺

UK M ′

= Nβ+1,

en consecuencia Nβ ≺UK Nβ+1 ≺U

K C. Como por definición H[Nβ+1] = M ′ ≺UK M, entonces

fβ+1 : Nβ+1 −→ M es una ≺UK-inmersión. Notemos que como F ∈ AutN (C) (pues F ⊃ fβ)

y como G ∈ AutN (C) (pues G fija puntualmete a F[Nβ] y N ≺UK F[Nβ]), entonces H ∈

AutN (C).

Si β < |N ′| es un ordinal límite y para todo α < β tenemos definidos los Nα y las ≺UK-

inmersiones fα : Nα −→ M que fijan puntualmente a N con Nα ∈ K<λ, definimos Nβ :=

⋃α<β

Nα y fβ :=⋃β<α

fβ. Por construcción tenemos que 〈Nα〉α<β es una ≺UK-cadena creciente

1.4 Saturación 65

continua y por tanto al utilizar los axiomas de isomorfismo (definición 1.1.1.3), tenemos

que 〈fα[Nα]〉α<β tanbién es una ≺UK-cadena creciente continua tal que fα ≺U

K M y aplicando

los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c), deducimos que fβ[Nβ] =

⋃α<β

fα[Nα] ≺K M. Notemos además que para todo α < β < |N ′| < λ, tenemos que

|Nα| < λ y como |N ′| < λ, entonces |Nβ| < λ y al aplicar el lema 1.1.13, tenemos que

fβ[Nβ] ≺UK M pues fβ[Nβ] ≺K M y M ∈ K≥λ; en consecuencia fβ : Nβ −→ M es una

≺UK-inmersión que fija puntualmente a N .

Definimos N|N ′ | :=⋃

β<|N ′ |

Nβ y g :=⋃

β<|N ′ |

fβ : N|N ′ | −→ M. Como fβ fija puntualmente

a N para todo |β| < |N|, entonces g fija puntualmente a N pues es la unión de las fβ.

Además por construcción tenemos queN ′ ⊂ N|N ′ | y por tanto N ′ ⊆ N|N ′|. Como Nβ ≺UK C

para todo β < |N ′|, entonces por los axiomas de cadenas de cadenas de Tarski-Vaught

(definición 1.1.1.6c) tenemos que N|N ′| :=⋃

β<|N ′ |

Nβ ≺K C; ahora bien, como N ′,N|N ′| ≺K C

y N ′ ⊆ N|N ′ | concluimos con ayuda de los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) que

N ′ ≺K N|N ′|. Además tenemos que fβ[Nβ] ≺UK M para todo β < |N ′|, entonces

⋃β<|N ′ |

M,

esto último nos dice que g[N|N ′|] ≺K M pues g[N|N ′|] =⋃

β<|N ′ |

Nβ. Notemos que como

Nβ ∈ K≤|N ′ |, entonces N|N ′ ∈ K≤|N ′| y como |N ′| < λ = |M| podemos aplicar el lema 1.1.13

y concluir que g[N|N ′|] ≺UK M pues g[N|N ′|] ≺K M y |g[N|N ′|]| = |N|N ′||.

Sea f := g ↾N ′ . Claramente f : N ′ −→ M es una inmersión. Además


f[N ] = g ↾N ′ [N ′] por definición,

= g[N ′],

≺K g[N|N ′|] por el axioma de isomorfismos pues g : N|N ′| −→ g[N|N ′|]

es un isomorfismo,

≺UK M.

De lo anterior concluimos que f[N ] ≺K g[N|N ′|] ≺UK M y al aplicar los axiomas de cohe-

rencia (definición 1.1.1.4b) tenemos que f[N ] ≺UK M; por tanto f : N ′ −→ M es una

≺UK-inmersión que fija puntualmente a N .

Supongamos ahora que M es λ-modelo-homogéneo y sean N ≺UK M de tamaño < λ y

p ∈ ga−S (N ). Sin pérdida de generalidad podemos suponer que N ≺UK C. Por definición

de tipo de Galois, existe a ∈ |C| tal que p = ga − tp (a/N ,C) y al utilizar los axiomas

de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), de densidad (definición 1.1.1.7b)

y de coherencia (definiciones 1.1.1.4a y 1.1.1.4c), podemos encontrar N ′ ≺UK C tal que

N ∪ {a} ⊆ N ′, N ≺UK N ′ y |N ′| = |N| < λ. Como M es λ-modelo-homogéneo y |N ′| < λ,

entonces existe una ≺UK-inmersión f : N ′ −→ M que fija puntualmente a N y como

en particular f : N ′ −→ f[N ′] es un isomorfismo, entonces por la homogéneidad de C

existe F ∈ AutN (C) tal que F ⊇ f y por tanto b = F(a) = f(a) realiza p, así M es λ-

saturado. 1.4.3

El teorema que presentamos a continuación es la versión del teorema de omisión de tipos

de Morley para Q-AECs, lo que nosotros haremos es adaptar un resultado estudiado por

1.4 Saturación 67

Boney y Grossberg en [BG17] al contexto de las Q-AECs. La demostración que presenta-

remos es una amalgama entre la demostración hecha por Vasey en [Vas17a] y la hecha por

Boney y Grossberg en [BG17]. A comparación de lo hecho en [BG17], nosotros demostra-

remos con detalle que la clase auxiliar construida es una Q-AEC.

Teorema 1.4.4 (cf. hecho 9.2 en [Vas17a], teorema 5.4 en [BG17]). Sean K una Q-AEC que

satisface AP, JEP y tiene MAG y λ > LS(K). Si todo modelo M ∈ Kλ es LS(K)+-saturado,

entonces existe χ < i2(LS(K))+ tal que todo modelo en K≥χ es LS(K)+-saturado.

Demostración. Procederemos por reducción al absurdo, es decir supongamos que para

todo χ ∈ [LS(K),i2(LS(K))+) existe Mχ ∈ K≥χ que no es LS(K)+-saturado, i.e. existe M0,χ ∈

KLS(K) y pχ ∈ ga− S (M0,χ) tales que M0,χ ≺UK Mχ y no hay una realización de pχ en Mχ.

Notemos que como a lo sumo hay 2LS(K) estructuras no isomorfas de tamaño LS(K), en-

tonces como χ ∈ [LS(K),i(2LS(K))+) y cf(i(2LS(K))+) = (2LS(K))+ tenemos que existe un con-

junto no acotado S ⊂ [LS(K).i(2LS(K))+) tal que para todo χ ∈ S los M0,χ son isomorfos

y por tanto todos los pχ son iguales. De lo anterior concluimos que existen N ∈ KLS(K) y

p ∈ ga− S (N ) tal que para todo χ ∈ S, p es igual a pχ y N es isomorfo a M0,χ.

Sean L+ := L(K) ∪ {cm : m ∈ N} una expansión de L(K) y K+ la siguiente clase:

K+ := {N ′ : N ′ es una L+-estructura tal que N ↾L(K)∈ K y existe una ≺UK-inmersión h :

N −→ N ′ ↾L(K) tal que h(m) = (cm)N para todo m ∈ N y N ′ ↾L(K) no realiza h(p)}.

A diferencia de Boney-Grossberg y Vasey definimos sobre K+ un orden parcial ≺+K y una

relación transitiva ≺u+K de la siguiente manera. Dados N1,N2 ∈ K+, definimos:

N1 ≺u+K N2 si y sólo si N1 ↾L(K)≺U

K N2 ↾L(K) y N1 ⊂L+ N2.


N1 ≺+K N2 si y sólo si N1 ↾L(K)≺K N2 ↾L(K) y N1 ⊂L+ N2.

Veamos que la tripla (K+,≺u+K ,≺

+K) es una Q-AEC.

1. Como ≺u+K está definida en términos de ≺U

K, entonces ≺u+K es un relación transitiva.

Como ≺K es un orden parcial y ≺+K está definida en términos de ≺K, entonces ≺+

K es

un orden parcial.

2. Por definición, ≺+K extiende a ⊆L+ y como ≺U

K extiende a ≺K y ≺u+K está definida en

términos de ≺UK, entonces ≺u+

K extiende a ≺+K.

3. (Axiomas de isomorfismo) Sean M ′ ∈ K+ y f : M ′ −→ N ′ un L+-isomorfismo.

Por definición de K+ tenemos que M ′ ↾L(K)∈ K y que existe una ≺UK-inmersión h :

N −→ M ′L(K) tal que h(m) = (cm)

M ′ para todo m ∈ N y M ′ ↾L(K) no realiza h(p).

Veamos ahora que N ′ ∈ K+. En efecto, como f es un L+-isomorfismo, en porticular

es un isomorfismo y por tanto al aplicar los axiomas de isomorfismo (definición

1.1.1.3), tenemos que N ′ ↾L(K)∈ K; además, como h[N ] ≺UK M ′ ↾L(K), entonces de

nuevo por los axiomas de isomorfismo (definición 1.1.1.3), tenemos que f[h[N ]] ≺UK

N ′ ↾L(K) pues f[M ′] = N ′ y por tanto f ↾h[N ] ◦h : N −→ N ′ ↾L(K) es una ≺UK-

inmersión. Además como

(f ↾h[N ] ◦h

)(m) = f ↾h[N ] (h(m))

= f ↾h[N ]

((cm)

M ′)

por la escogencia de h

= (cm)N ′

pues f es un L+-isomorfismo,

tenemos que(f ↾h[N ] ◦h

)(m) = (cm)

N ′

para todom ∈ N. Por último, notemos que si

1.4 Saturación 69

N ′ ↾L(K)� f ↾h[N ] ◦h(p), entonces M ′ ↾L(K)� h(p) pues f es en particular un isomor-

fismo; esto último sería contradictorio con el hecho que M ′ ∈ K+ y en consecuencia

tenemos que N ′ ↾L(K) no realiza f ↾h[N ] ◦h(p). Así podemos concluir que N ′ ∈ K+.

Sea ahora M1 ≺+K (≺u+

K )M ′, entonces por definición de ≺+K (≺u+

K ) tenemos que

M1 ↾L(K)≺K (≺UK)M

′ ↾L(K) y M1 ⊆L+ M ′. Notemos que al ser f un isomorfismo

tenemos que f[M1] ⊆L+ N ′ y por el axioma de isomorfismos (definición 1.1.1.3)

podemos concluir que f[M1] ↾L(K)≺K (≺UK)N

′ ↾L(K). Por tanto tenemos que f[M1] ≺+K

(≺u+K )N ′.

Hemos demostrado así que K+ satisface el axioma de isomorfismos.

4. (Axiomas de coherencia) Sean M1,M2,M ′ ∈ K+.

a) Supongamos que M1 ⊆L+ M2 y que M1,M2 ≺+K M ′. Por definición de la

relación ≺+K, M1,M2 ≺+

K M ′ significa que M1 ↾L(K),M2 ↾L(K)≺K M ↾L(K)

y M1,M2 ⊆L M ′. Como M1 ⊆L+ M2, entonces en particular tenemos que

M1 ↾L(K)⊆L M2 ↾L(K) y al aplicar los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a)

tenemos que M1 ↾L(K)≺K M2 ↾L(K). En consecuencia M1 ≺+K M2.

b) Supongamos que M1 ≺+K M2 ≺u+

K M ′, entonces por definición de las rela-

ciones ≺+K y ≺u+

K tenemos que M1 ↾L(K)≺K M2 ↾L(K)≺UK M ′ ↾L(K) y M1 ⊆L+

M2 ⊆L+ M ′; al aplicar los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) lo an-

terior implica que M1 ↾L(K)≺UK M ′ ↾L(K) y puesto que M1 ⊆L+ M ′, entonces

M1 ≺u+K M ′.

c) Supongamos ahora que M1 ≺u+K M2 ≺

+K M ′ esto es, M1 ↾L(K)≺U

K M2 ↾L(K)≺K


M ′ ↾L(K) y M1 ⊆L+ M2 ⊆L+ M ′ por definición de las relaciones ≺+K y ≺u+

K .

Por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4c) tenemos que M1 ↾L(K)≺UK

M ′ ↾L(K) y como la relación ⊆L+ es en particular transitiva, tenemos que M1 ⊆L+

M ′ y en consecuencia M1 ≺u+K M ′.

Los tres ítems anterior nos muestran que K+ satisface los tres axiomas de coherencia.

5. (Axioma de Löwenheim-Skolem descendente) Sea M ′ ∈ K+ y A ⊂ M ′. En primer

lugar notemos que por definición de K+ tenemos que M ′ ↾L(K)∈ K y existe una ≺UK-

inmersión h : N −→ M ′ ↾L(K) tal que h(m) = (cm)M ′

y M ′ ↾L(K) no realiza h(p).

Sea B = A∪h(N), entonces al aplicar el axioma de Löwenheim-Skolem descendente

(definición 1.1.1.5) tenemos que existe N ′ ∈ K tal que B ⊆ N ′, |N| ≤ LS(K) + |B|

y N ′ ≺UK M ′ ↾L(K). Notemos que como h(N) ⊆ N ′, entonces h[N ] ⊆L(K) N ′ y

como h[N ],N ′ ≺UK M ′ ↾L(K), tenemos en particular que h[N ],N ′ ≺K M ′ ↾L(K)

y al aplicar los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) podemos concluir que

h[N ] ≺K N ′; además por los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a), tenemos

que existe N ′′ ∈ K|N ′ | tal que N ′ ≺UK N ′′ ≺U

K M ′ pues N ′ ≺UK M ′.

Notemos que como h[N] ⊂ N ′′, entonces en particular tenemos que (cm)M ′

=

h(m) ∈ N ′′ para todo m ∈ N y por tanto podemos definir una L+-estructura N ′′′

con el mismo universo de N ′′ interpretando (cm)N ′′′

:= (cm)M ′ , de esto último se

puede inferir inmediatamente que N ′′′ ⊆L+ M ′ y que N ′′′ ↾L(K)= N ′′; además al

definir h ′ : N −→ N ′′′ ↾L(K) como h ′(m) = h(m) para todo m ∈ N, tenemos que h ′

1.4 Saturación 71

es una ≺UK-inmersión pues h[N ] ≺U

K N ′′ = N ′′′ ↾L(K) y que

h ′(m) = h(m)

= (cm)M ′

por como se escogió h

= (cm)N ′′′

por la definición de las constantes en N ′′′.

Notemos que si N ′′′ ↾L(K)� h′(p), entonces M ′ ↾L(K)� h(p) lo cual es absurdo pues

M ′ ∈ K+. Por tanto N ′′′ ∈ K+ y N ′′′ ≺u+K M ′ pues N ′′′ ↾LL≺U

K M ′ y N ′′′ ⊆L+ M ′.

Por último notemos que

|N ′′′| = |N ′′|

= |N ′|

≤ LS(K) + |B|

= LS(K) + (|h(N)|+ |A|)

= LS(K) + (LS(K) + |A|) pues |N| = LS(K)

= LS(K) + |A|,

por tanto K+ satisface el axioma de Löwenheim-Skolem descendente y LS(K+) =

LS(K).

6. (Axiomas de densidad) Sean M ′,N ′ ∈ K+.

a) Supongamos ahora que M ′ ≺u+K N ′ esto es, M ′ ↾L(K)≺U

K N ′ ↾L(K) y M ′ ⊆L+

N ′. Por los axiomas de densidad, tenemos que existe N ′′ tal que M ′ ↾L(K)≺UK

N ′′ ≺UK N ′ ↾L(K). Notemos que como M ′ ∈ K+, entonces existe una ≺U

K-

inmersión hM ′ : N −→ M ′ ↾LL y por tanto hM ′ [N] ⊆ N ′′. Definamos una


L-estructura N ′′′ con el mismo universo de N ′′ interpretando las sonstantes cm

como (cm)N ′′′

:= (cm)M ′ , de esto último es fácil inferir que M ′ ⊆L+ N ′′′ ⊆L+

N ′ pues en particular tenemos que M ′ ⊆ N ′′′ ⊆ N ′ y además es claro que

N ′′′ ↾L(K)= N ′′.

Ahora bien al definir h ′ : N −→ N ′′′ ↾L(K) como h ′(m) = hM ′(m), entonces

tenemos que h ′ es una ≺UK-inmersión pues hM ′ [N ] ≺U

K M ′ ≺UK N ′′ = N ′′′ ↾L(K)

y como

h ′(m) = hM ′(m)

= (cm)M ′

= (cm)N ′′′

para todo m ∈ N, entonces tenemos que h ′(m) = (cm)N ′′′

. Por último notemos

que si N ′′′ ↾L(K)� h ′(p) tendríamos que N ′ � hN ′(p) donde hN ′ es la ≺UK-

inmersión que atestigua que N ′ ∈ K+, pues como en particular M ′ ⊆L+ N ′,

entonces hN ′ ↾M ′= hM ′ , esto último implica que hN ′ ↾N ′′′= h ′ y en consecuen-

cia tenemos que N ′′′ ∈ K+.

b) Suponga que M ′ ≺+K N ′ y que M ′ 6= N ′. Como K+ satisface el axioma de

Löwenheim-Skolem descendente, entonces existe M ′′ ∈ K+ tal que M ′ ⊂M ′′,

|M ′′| ≤ |M| + LS(K) y M ′′ ≺u+K N ′ y por el ítem anterior, tenemos que existe

N ′′ ∈ K+ tal que M ′′ ≺u+K N ′′ ≺u+

K N ′; además, como K+ satisface los axiomas

de coherencia, entonces M ′ ≺+K M ′′ pues M ′ ⊆L+ M ′′ ⊆L+ N ′′ y en particular

M ′,M ′′ ≺+K N ′. Por último, como K+ satisface los axiomas de coherencia y

1.4 Saturación 73

M ′ ≺+K M ′′ ≺u+

K N ′′, entonces M ′ ≺UK N ′′. Esto es K+ cumple el ítem 7b de la

definición 1.1.1.

En conclusión K+ satisface los axiomas de densidad.

7. (Axiomas de cadenas de Tarski-Vaught) Sea 〈M ′i〉i<α una ≺u+

K -cadena creciente con-

tinua en K+. Es inmediato de la definición que⋃i<α

M ′i es una L+-estructura; además

por definición de la relación ≺u+K tenemos que 〈M ′

i ↾L(K)〉i<α es una ≺UK-sucesión

creciente continua y por tanto tenemos que⋃i<α

M ′i ↾L(K)∈ K.

Notemos que por definición de K+, para cada i < α existen ≺UK-inmersiones hM ′

i:

N −→ M ′i ↾L(K) tales que hMi

(m) = (cm)Mi y como en particular tenemos que

Mi ⊆L+ Mj, entonces (cm)Mi = (cm)Mj y por tanto hMi

= hMjpara todos i < j < α.

Lo anterior nos permite definir una inmersión h ′ : N −→⋃i<α

M ′i ↾L(K) tal que

h(m) = hMi(m) para algún i < α fijo. Como para todo i < α tenemos que hMi

es una ≺UK-inmersión, entonces hMi

[N ] ≺UK Mi ↾L(K)≺

UK

⋃i<α

M ′i ↾L(K) y por la tran-

sitividad de la relación ≺UK tenemos que h[N ] = hMi

[N ] ≺UK

⋃i<α

M ′i ↾L(K). Note-

mos que si⋃i<α

M ′i ↾L(K)� h(p), entonces Mi � hMi

(p) por como está definida

h lo cual es contradictorio pues Mi ∈ K+ y hMilo atestigua. En consecuencia

⋃i<α

M ′i ↾L(K) no realiza h(p) y por tanto

⋃i<α

M ′i ∈ K+.

Es fácil ver que M ′i ⊆

u+K

⋃iα

M ′i para todo i < α y por los axiomas de cadenas de

Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6b) tenemos que Mi ↾L(K)≺UK

⋃i<α

M ′i ↾L(K), por tanto

M ′i ≺

u+K

⋃i<α

M ′i para todo i < α.

Sea N ′ ∈ K+ tal que M ′i ≺

+K N para todo i < α. Por la definición de ≺+

K tenemos


que M ′i ⊆L+ N para todo i < α y por tanto

⋃i<α

M ′i ⊆L+ N ′; además, por defi-

nición de la relación ≺+K tenemos que M ′

i ↾L(K)≺K N ′ ↾L(K) para todo i < α y al

aplicar los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c), tenemos que

⋃i<α

M ′i ↾L(K)≺K N ′ ↾L(K), esto es

⋃i<α

M ′i ≺

+K N ′.

Esto nos lleva a concluir que K+ satisface los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught.

Notemos ahora que por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19) y la versión genera-

lizada del teorema de omisión de tipos de Morley (teorema 1.5.9), tenemos que K+ tiene

MAG y por tanto existe M ′ ∈ K+λ , en consecuencia M ′ ↾L(K)∈ Kλ no es LS(K)+-saturado

pues hM ′ [N ] ≺UK M ′ ↾L(K) tiene tamaño LS(K) y M ′ ↾L(K) no realiza hM ′(p) donde hM ′ es

la ≺UK-inmersión que atestigua que M ′ ∈ K+. Esto último es absurdo pues por hipótesis

tenemos que todo modelo en Kλ es LS(K)+-saturado. 1.4.4

1.5. Modelos de Ehrenfeucht-Mostowski

En [EM56] Andrzej Ehrenfeucht y Andrzej Mostowski demuestran con ayuda de los mo-

delos de Ehrenfeucht-Mostowski que si una teoría T tiene por lo menos un modelo infi-

nito, entonces T tiene un modelo con un grupo de automorfismos muy grande. Análoga-

mente al contexto de las AECs en esta sección utilizaremos el teorema de Presentación

(teorema 1.1.19) para establecer hechos importantes sobre los modelos de Ehrenfeucht-

Mostowski y como estos pueden ser incluidos en una Q-AEC. Lo que haremos es adap-

tar ciertos resultados del caso de primer orden basándonos en resultados expuestos en

[Mar06] y [TZ12] y así adaptar resultados expuestos por Baldwin en [Bal05] para el caso

1.5 Modelos de Ehrenfeucht-Mostowski 75

de las AECs al contexto de las Q-AEC. Un trabajo mucho más formal de los modelos de

Ehrenfeucht-Mostowski en el contexto de las AECs, que puede ser fácilmente adaptado

a este contexto, puede ser consultado en [She99] donde Shelah introduce algunas herra-

mientas para abordar la conjetura eventual de categoricidad en AECs. En las secciones 2.1

y 3.2 de [Cop06], Coppola hace una pequeña introducción y presenta algunos resultados

de los modelos de Ehrenfeucht-Mostowski en el contexto de las Q-AEC. Nosotros pre-

sentaremos dichas construcciones en esta sección. Las resultados que acá expondremos

son cruciales para demostrar que la unión de una cadena creciente de modelos saturados

es también es saturada, una de las versiones de superestabilidad que abordaremos en el

capítulo 2.

Definición 1.5.1. Sean (I, <) un orden lineal, M una L-estructura e I := 〈ai〉i∈I ⊂MI. Diremos

que I := 〈ai ∈ M〉i∈I es una sucesión de indiscernibles si y sólo si dados 0 ≤ n < ω,

(i0, · · · , in), (j0, · · · , jn) ∈ Mn, con ik <I ik+1 y jk <I jk+1 para todo 0 ≤ k ≤ n − 1, entonces

M � ϕ(ai0, · · · , ain) ↔ ϕ(aj0, · · · , ajn) para toda L-fórmula de primer orden ϕ(x0, · · · , xn) y

todo n < ω.

Dada una Q-AEC K, tenemos por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19) que existen

un lenguaje de primer orden L ′ ⊃ L(K), una L ′-teoría T ′ y un conjunto Γ de L ′-tipos tales

que K = PC(L(K), T ′, Γ).

Gracias a un argumento parecido al de la skolemización, nosotros podemos suponer que

la L ′-teoría T tiene funciones de Skolem incorporadas; es decir hay suficientes símbolos

de funciones en el lenguaje de la teoría que atestiguen todas las fórmulas existenciales. El

siguiente hecho nos permitirá extraer una sucesión de indiscernibles para un orden lineal


arbitrario J, para los detalles véase [Mar06] o [TZ12].

Hecho 1.5.2 (teorema 5.2.3 en [Mar06]). Sean T una L-teoría de primer orden con modelos

infinitos e (I,≤) un orden lineal infinito. Entonces existe M � T ′ que contiene una sucesión de

indiscernibles I := 〈ai〉i∈I.

Como hemos visto en el hecho 1.5.2, para poder garantizar la existencia de una sucesión

de indiscernibles dentro de un modelo necesitamos una teoría de primer orden y por

tanto, similarmente a lo que se hace en el contexto de las AECs, es necesario utilizar el

teorema de Presentación (teorema 1.1.19) para codificar la Q-AEC con una L ′-teoría de

primer T ′ orden donde L ′ ⊇ L(K) y los planos estructurales (blueprint en inglés) propios de

los ordenes lineales.

Observación 1.5.3. De acá en adelante siempre estaremos utilizando el lenguaje L ′ y la L ′-teoría

de primer orden T ′ dados por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19).

Definición 1.5.4. Sean M una L ′-estructura, I un orden lineal e I = 〈ai〉i∈I una sucesión de

indiscernibles. El conjunto Φ := {tp(ai1, ..., ain) : aij ∈ I, 1 ≤ j ≤ n} se denomina el plano

estructural propio (blueprint en inglés) propio de I. SiΦ tiene funciones de Skolem incorporadas,

EM (I, Φ) se define como el modelo generado por el sucesión de indiscernibles I que satisface Φ y

se denomina el L ′-nucleo de I.

A lo largo de esta sección nosotros trabajaremos con el lenguaje L ′ que extiende a L(K)

dado por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19). Por tal motivo introducimos la

siguiente notación.


Notación 1.5.5. Sea L ′ el lenguaje que extiende a L(K) dado por el teorema de Presentación

(teorema 1.1.19), entonces EML(K)(I, Φ) := EM(I, Φ) ↾L(K). El universo de dicha estructura se

notará |EML(K)(I, Φ)| y su cardinal será ||EML(K)(I, Φ)||.

Observación 1.5.6. Sean K una Q-AEC, T ′ la L ′-teoría dada por el teorema de Presentación

e I un orden lineal infinito. Sin pérdida de generalidad nosotros podemos suponer que T ′ tiene

funciones de Skolem incorporadas y por el hecho 1.5.2, tenemos que existe M � T ′ tal que I =

〈ai ∈ M〉i∈I es una sucesión de indiscernibles. Por como está definido EM (I, Φ), es inmediato

que EM (I, Φ) ⊆ M y como T ′ tiene funciones de Skolem incorporadas, entonces podemos afirmar

que EM (I, Φ) ≺ M; por tanto tenemos que EM (I, Φ) � T ′. Nosotros no podemos afirmar que

EM (I, Φ) omita todos los tipos del conjunto Γ y por tanto no sabemos si EML(K) (I, Φ) ∈ K.

Los modelos de Ehrenfeucht-Mostowski tienen un comportamiento funtorial; esto es toda

inmersión f : (I, <I) −→ (I ′, <I ′) donde (I, <I) y (I ′, <I ′) son órdenes lineales puede ser

extendida a una L ′-inmersión f : EM (I, Φ) −→ EM (I ′, Φ) donde I = 〈ai〉i∈I e I ′ = 〈bi〉i∈I

son sucesiones indiscernibles. Como sin pérdida de generalidad podemos suponer que

toda teoría tiene funciones de Skolem incorporadas, entonces podemos suponer que f es

una inmersión elemental.

Hecho 1.5.7 (lema 5.2.6 en [Mar06]). Sean T ′ una L ′-teoría de primer orden con funciones de

Skolem incorporadas, (I, <I) y (J, <J) órdenes lineales infinitos, I = 〈ai ∈ M〉i∈I una sucesión

de indiscernibles en M � T y J = 〈bj ∈ N〉j∈J una sucesión de indiscernibles en N � T . Si

I e J satisfacen el mismo plano estructural propio, entonces toda inmersión de orden f : (I, <I

) −→ (J, <J) puede extenderse a una L-inmersión elemental f : EM (I, Φ) −→ EM (J, Φ) donde

f(ai) := bf(i).


Observación 1.5.8. Si (I, <I) ≤ (J, <J), entonces por el lema 1.5.2 tenemos que existe M � T ′

tal que J = 〈aj ∈ M〉j∈J es una sucesión de indiscernibles. Por definición de indiscernible, I =

〈aj〉i∈I ⊆ J también es una sucesión de indiscernibles y por definición de L ′-nucleo tenemos que

EM (I, Φ) ⊆ EM (I, Φ).

Bajo MAG, JEP y AP, de manera análoga a lo realizado en AECs, el siguiente teorema nos

permitirá trabajar con modelos de Ehrenfeucht-Mostowski en una Q-AEC análogamente

al contexto de las AECs.

Teorema 1.5.9 (generalización del teorema de omisión de tipos de Morley, teorema A.3

en [Bal09]). Sea T ′ una L ′-teoría, Γ un conjunto de tipos de primer orden L ′-tipos sobre ∅, µ =

(2|L|)+ y H1 = iµ. Suponga que 〈Mα〉α<µ es una sucesión creciente y continua de L ′-estructuras

tales que |Mα| > iα y Mα omite todos los tipos de Γ para todo α < µ.

Entonces existen un orden lineal (I, <I), una sucesión de indiscernibles I =

⟨ai ∈

⋃α<µ

Mα

⟩

i∈I

tal que el plano estructural propio Φ de I es realizado en Mα para todo α < µ y para todo orden

lineal (J, <J) tenemos que EM(J, Φ) � T ′, donde J es una sucesión de indiscernibles, y omite

todos los tipos de Γ .

En particular, para todo λ > |L|, existe N � T ′ de tamaño λ que omite todos los elementos de Γ .

A continuación mostraremos la existencia de modelos de Ehrenfeucht-Mostowski dentro

de una Q-AEC K de manera análoga al contexto de las AECs; sólo el item 4 del siguiente

teorema es enunciado en [Cop06] y no se incluye una demostración del mismo. Como lo

muestra Baldwin en [Bal05], nosotros utilizamos la generalización del teorema de omisión

de tipos de Morley (teorema 1.5.9) y el teorema de Presentación (teorema 1.1.19) para

lograrlo.


Teorema 1.5.10 (corolario 2.1.2 en [Cop06]). Sea K una Q-AECque satisface AP, JEP y MAG.

Entonces existe un L ′-plano estructural Φ, con L(K) ⊆ L ′, tal que para todo orden lineal (I, <),

EM (I, Φ) satisface:

1. I es una sucesión de indiscernibles,

2. EM (I, Φ) � T ′,

3. EML(K) (I, Φ) ∈ K,

4. Si (I ′, <) ≤ (I, <), entonces EML(K)(I′, φ) ≺K EML(K)(I, φ) donde I está dado por el item

1. y I ′ ⊆ I de acuerdo con la observación 1.5.8.

Demostración. Por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19), existen un vocabulario L ′

que extiende L(K), una L ′-teoría T ′ y un conjunto Γ de L ′-tipos tales que

K = PC(L(K), T ′, Γ).

Como K tiene MAG, entoces T ′ también tiene MAG y por tanto nos es posible aplicar el

hecho 1.5.2 y el teorema 1.5.9 (generalización del teorema de omisión de tipos de Morley)

y así tener que para cualquier orden lineal (I, <) existe una sucesión de indiscernibles

I ∈ (M ′)I tal que EM (I, Φ) � T ′ y EM (I, Φ) omite todos los tipos del conjunto Γ ; lo cual

implica, por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19) que EML(K) (I, Φ) ∈ K.

Ahora bien por el hecho 1.5.7, si (I ′, <) ≤ (I, <), entonces por la observación 1.5.8 tenemos

que EM (I, Φ) ⊆ EM (I, Φ) y por la última parte del teorema de Presentación (teorema

1.1.19), tenemos que EML(K) (I′, Φ) ≺K EML(K) (I, Φ). 1.5.10


Observación 1.5.11. Notemos que como el vocabulario L ′ dado por el teorema de Presentación

(teorema 1.1.19) es de tamaño LS(K), entoces si el orden lineal (I, <) es tal que |I| ≥ LS(K),

entonces |EM (I, Φ) | = |I|.

Los modelos de Ehrenfeucht-Mostowski serán muy importantes pues nos permiten pre-

servar funtorialmente propiedades de los órdenes lineales como la de ser “rebosante”(brimful

en inglés) al contexto de las Q-AECs. La propiedad de ser rebosante será de gran utilidad

en la demostración del hecho que la unión de una cadena creciente continua de modelos

saturados es saturada. Un estudio detallado del comportamiento funtorial de los órde-

nes lineales en el contexto de las categorías accesibles, un contexto más general al de las

Q-AEC, es hecho por Makkai y Paré en [MP89] y por Lieberman y Rosický en [LR16].

Definición 1.5.12 (definiciones 3.2.4 y 3.2.4 en [Cop06]). 1. Sean (I, <) un orden lineal y

σ un cardinal. Diremos que (I2, <) es σ-universal sobre (I1, <) en (I, <) si y sólo si (I1, <

) ≤ (I2, <) ≤ (I, <) y para todo (I ′2, <) tal que (I1, <) ≤ (I ′2, <) ≤ (I, <) con |I ′2| ≤ σ,

existe una inmersión de orden f : (I ′2, <) −→ (I2, <) tal que f ↾(I1,<)= 1(I1,<). Cuando

|I ′2| = σ, diremos que (I2, <) es universal sobre (I1, <) en (I, <).

2. Diremos que (I, <) es rebosante -brimful- si para todo cardinal σ < |I| y todo (I1, <) ≤

(I, <) de tamaño < σ, existe (I2, <) de cardinalidad σ que es σ-universal sobre (I1, <) en

(I, <).

La noción de ser rebosante puede ser adaptada al contexto de las Q-AECs tomado L(K)-

estructuras en lugar de los órdenes lineales y la relación ≺UK en lugar de la relación ser

suborden. Por otro lado cabe resaltar que en el concepto de universalidad que menciona-


mos en la definición 2.2.1 no hay alguna restricción de como tomamos M ′2, mientras que

en la noción de universalidad que nos impone la definición de ser rebosante si la hay.

Además si K tiene MAG, por el teorema 1.5.10 tenemos que EM (I, Φ) es modelo de T ′ y

omite todos los tipos del conjunto Γ y que EML(K) (I, Φ) ∈ K para (I, <) un orden lineal

cualquira infinito e I es una sucesión de indiscernibles indexado por I. Lo que haremos en

los dos siguientes resultados es ver que si (I, <) es rebosante, EM (I, Φ) lo es como modelo

de T ′ y EML(K) (I, Φ) lo es como miembro de K con el orden ≺UK, análogamente lo hecho

por Baldwin en el capítulo 9 de [Bal09] para el contexto de las AECs. Las demostraciones

que acá presentamos están basadas en las hechas por Coppola en [Cop06] pero con mayor

detalle.

Proposición 1.5.13 (hecho 3.2.7 en [Cop06]). Si (I, <) es un orden rebosante con |I| > LS(K)

e I es una sucesión de indiscernibles indexado con I, entonces EM (I, Φ) es rebosante como L ′-

estructura2.

Demostración. En primer lugar notemos que como |I| > LS(K) tenemos que |EM (I, Φ) | =

|I| > LS(K). Sea M ⊂ EM (I, Φ) de tamaño < |I|, entonces existe (I0, <) ≤ (I, <) con |I0| =

|M| tal que M ⊆ EM (I0, Φ) con I0 ⊆ I. Como (I, <) es un orden rebosante y |I0| = |M| < |I|

podemos encontrar (I ′0, <) ≤ (I, <) de cardinalidad |I0| que es |I0|-universal sobre (I0, <)

en (I, <). Definamos M0 := EM (I ′0, Φ) dende I0 ⊆ I y veamos que es |M| = |I0|-universal

sobre M en EM (I, Φ), para ello sea N de tamaño |M| tal que M ⊆ N ⊂ EM (I, Φ).

Sea ahora (I1, <) ⊂ (I, <) de tamaño |N| tal que (I0, <) ≤ (I1, <) y N ⊆ EM (I1, Φ). Como

(I ′0, <) es |I0|-universal sobre (I0, <) en (I, <), entonces existe una inmersión de orden

2Acá la relación que remplazará a ser ser suborden es la relación ser L ′-subestructura.


f : (I1, <) −→ (I ′0, <) tal que f ↾I0= 1I0 . Aplicando el hecho 1.5.7 podemos extender f a

una L ′-inmersión f : EM (I1, Φ) −→ EM (I ′0, Φ) tal que f ↾EM(I0,Φ)= 1EM(I0,Φ) pues f fija

puntualemente a I0; por tanto podemos concluir que f ↾N : N −→ EM (I ′0, Φ) es una L ′-

inmersión tal que(f ↾N

)↾M= 1M pues N ⊆ EM (I1, Φ) y M ⊆ EM (I0, Φ). En conclusión

tenemos que M0 es |M|-universal sobre M en EM (I, Φ). 1.5.13

Baldwin demuestra en el capítulo 9 de su monografía [Bal09] que el concepto de ser re-

bosante puede ser adaptado a una AEC (K,≺K) de una manera natural utilizando el

teorema de Presentación de Shelah y los axiomas de coherencia. Basado en esto, Coppola

demuestra que esta adaptación también se puede hacer en el contexto de las Q-AECs de

manera natural.

Proposición 1.5.14 (hecho 3.2.8 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC con MAG. Si (I, <) es un

orden lineal rebosante de tamaño > LS(K) e I una sucesión de indiscernibles indexado en I,

entonces EML(K) (I, Φ) es rebosante en (K,≺UK).

Demostración. Sea M ≺UK EML(K) (I, Φ) tal que |M| < |I| = |EM (I, Φ) |. Notemos que

por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19), existen un lenguaje L ′ ⊃ L(K), una L ′-

teoría T ′ y un conjunto Γ de L ′-tipos tales que M = M ′ ↾L(K) con M ′ ∈ PC(L(K), T ′, Γ);

además, como ≺UK extiende a ≺K y esta última extiende la relación de ser subestructu-

ra, entonces tenemos que M ⊂ EML(K) (I, Φ) y por tanto M ′ ⊂ EM (I, Φ). Al apli-

car el teorema 1.5.10 tenemos que existe (I ′, <) ⊂ (I, <) con |I ′| = |M ′| = |M| tal que

M ′ ⊆ EM (I ′, Φ) ⊂ EM (I, Φ) donde EM (I ′, Φ) , EM (I, Φ) � T ′ y omiten todos los tipos

del conjunto Γ y gracias a los teoremas 1.5.10 y 1.1.19 (teorema de Presentación) ade-

más tenemos que M ′ ↾L(K)≺K EML(K) (I′, Φ) ≺K EML(K) (I, Φ) y como |EML(K) (I

′, Φ) | =


|I ′| < |I| = |EML(K) (I, Φ) |, entonces por el lema 1.1.13 tenemos que EML(K) (I′, Φ) ≺U

K

EML(K) (I, Φ).

Lo que haremos es construir una extensión de M de tamaño |M| que sea universal sobre

M en EML(K) (I, Φ); para ello sea M1 ∈ K tal que M ≺UK M1 ≺U

K EML(K) (I, Φ). Por el

axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), existe N1 ≺UK EML(K) (I, Φ)

tal que M1 ∪ EML(K) (I′, Φ) ⊆ N1 y |N1| = |M|, esto implica que M1, EML(K) (I

′, Φ) ⊆ N1

y al aplicar los axiomas de coherencia (definición 4a) tenemos que M1, EML(K) (I′, Φ) ≺K

N1 pues en particular M1, EML(K) (I′, Φ) ,N1 ≺K EML(K) (I, Φ); por tanto por la demos-

tración del teorema 1.1.19 (teorema de Presentación), tenemos que existen expansiónes

M ′1 y N ′

1 a L ′ de M1 y N1 respectivamente tales que M ′1, EM (I ′, Φ) ⊆ N ′

1 ⊂ EM (I, Φ).

Por la proposición 1.5.13 tenemos que existe una L ′-estructura N ′2 ⊂ EM (I, Φ) de tamaño

|I ′| que es universal sobre EM (I ′, Φ) en EM (I, Φ), en particular existe una L ′-inmersión

f : N ′1 −→ N ′

2 .

Cabe resaltar que N ′1 � T ′ y omite todos los tipos del conjunto Γ , por tanto aplicando

el teorema de Presentación (teorema 1.1.19) tenemos que N2 := N ′2 ↾L(K)∈ K y N2 ≺K

EML(K) (I, Φ) y como |N2| = |N ′2| = |I ′| = |M| < |EML(K) (I, Φ) |, entonces al aplicar el lema

1.1.13 tenemos que N2 ≺UK EML(K) (I, Φ); por la definición 1.1.1.7a (axiomas de densidad),

lo anterior implica que existe N ∈ K tal que N2 ≺UK N ≺U

K EML(K) (I, Φ) y |N| = |N2| =

|I0| = |M|. Como tenemos que f es una L ′-inmersión, en particilar es una L(K)-inmersión

y por tanto f ′ : N1 −→ N definida como f ′(m) = f(m) también lo es pues en paricular

tenemos que N2 ⊆ N ; además como tenemos que f[N ′1 ] ⊆ N ′

2 , entonces por el teorema

de Presentación (teorema 1.1.19) podemos concluir que (f[N ′1 ]) ↾L(K)= f[N1] ≺K N2 y


en consecuencia tenemos que f ′[N1] = f[N1] ≺K N2 ≺UK N . Además de esto, notemos

que como f fija puntualmente a EM (I ′, Φ) entonces por definición f ′ fija puntualmente

a EML(K) (I′, Φ), en particular f ′M = 1M y como M1 ≺K N1 por construcción de N1,

entonces por el axioma de isomorfismos (definición 1.1.1.3) tenemos que f[M1] ≺K f[N1]

pues f ↾M1: M1 −→ f[M1] es un isomorfismo y por tanto f[M1] ≺K N1; ahora bien

f ′ ↾M1[M1] = f ↾M1

[M1],

≺K N1,

≺UK N .

La última linea la tenemos por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) pues f ↾M1

[M1] ≺K N1 ≺UK N , entonces f ′′ := f ′ ↾M1

: M1 −→ N es una ≺UK-inmersión que fija

puntualmente a M pues

f ′′(M) = f ′ ↾M1[M]

= f ′ ↾M [M] puesM ⊆M1

= 1M[M]

= M.

Por último, notemos que como M ≺UK M1 entonces M ≺U

K N pues M = f ′′[M] ≺UK

f ′′[M1] ≺UK N y por tanto podemos concluir que N que tiene tamaño |M| es universal

sobre M en EM (I, Φ) pues M1 es una ≺UK-extensión arbitraria de tamaño |M| de M.

1.5.14

El siguiente es un ejemplo de un orden rebosante que utilizaremoes con frecuencia en el

desarrollo de superestabilidad entendida como la saturación de la unión una ≺UK-cadena


de modelos saturados.

Hecho 1.5.15 (hecho 9.6 en [Bal09]). Sea λ un cardinal. I = λ<ω ordenado con el orden lexico-

gráfico es un orden lineal rebosante.

El corolario enunciado a continuación es inmediato de la proposición 1.5.14 y el hecho

1.5.15.

Corolario 1.5.16. Si K es una Q-AEC con MAG y λ un cardinal, entonces EM (I, Φ) es rebo-

sante en (K,≺UK) con I = λ<ω e I una sucesión de indiscernibles indexado en I.

2 Estabilidad y docilidad

En este capítulo estudiaremos los conceptos de estabilidad y docilidad y algunas de sus

consecuencias en el contexto de las Q-AEC. Estos son dos conceptos son claves en la

transferencia de categoricidad pues la estabilidad nos permite controlar cuantos tipos de

Galois hay sobre una estructura y este control es fundamental en los resultados previos

al teorema de Shelah-Villaveces (véase [BGVV17]); por otro lado, la docilidad es la hipó-

tesis central en los resultados parciales de transferencia de categoricidad de Grossberg y

Vandieren (véase [GV06b]).

La estabilidad junto con la AP nos permitiran construir modelos universales, i.e. mo-

delos saturados sobre estructuras pequeñas, del tamaño adecuado y modelos límite, i.e.

modelos lo suficientemente saturados, también de tamaño adecuado. En la demostración

del teorema de Shelah-Villaveces estos dos conceptos junto con el de ruptura son funda-

mentales y por tanto son fundamentales en el desarrollo de la superestabilidad en AECs.

Además de esto, el concepto de modelo límite es indispensable en los resultados parciales

de superestabilidad estudiados por Grosberg, VanDieren y Villaveces en [GVV16] en el

contexto de las AECs y por Zambrano en [Zam11] para el contexto de las MAECs don-

87

de la versión de superestabilidad que es estudiada es la unicidad de modelos límite. En el

presente trabajo nosotros no trabajaremos esta aproximación a la superestabilidad pero

tenemos la intuición que no será difícil adaptar los resultados expuestos en [GVV16] al

contexto de las Q-AEC.

Como lo mencionamos en la introducción, la existencia de una clase de cardinales fuer-

temente compactos es consiste con que las AECs sean dóciles y a su vez, la docilidad

junto con otras hipótesis nos permiten tener los resultados parciales de transferencia de ca-

tegoricidad expuestos en [GV06b]. En [SV18] Shelah y Vasey remueven esas otras hipótesis

utilizadas en [GV06b] por Grossberg y VanDieren y demuestran la conjetura eventual

de categoricidad de Shelah suponiendo solamente docilidad, utilizando fuertemente la

superestabilidad en AECs.

Los conceptos de estabilidad y docilidad son introducidos por Coppola en [Cop06] para

el contexto de las Q-AECs y además de esto adapta varios resultados que se deducen de

estos conceptos. En este capítulo nosotros haremos un recorrido por las consecuencias

más importantes de estos conceptos expuestas por Coppola en su tesis, introduciremos

los conceptos de modelos universales y límites y demostraremos algunas propiedades

básicas de este tipo de modelos que nos serán de utilidad en nuestro estudio de la super-

estabilidad. Por último, nosotros adaptaremos el demostraremos que la existencia de una

clase propia de cardinales fuertemente compactos es consistente con la docilidad apoyán-

donos en el concepto de categoría accesible.

88 2 Estabilidad y docilidad

2.1. Estabilidad

En esta sección introduciremos el concepto de estabilidad, que es central en el estudio de

categoricidad como en el caso de primer orden. Dentro de una Q-AEC K que sea estable

podremos construir modelos saturados de cardinalidad pequeño. Para esta sección nos

hemos basado en [Cop06], [Bal09] y [Les05].

Definición 2.1.1 (Definición 3.2.1 en [Cop06]). Diremos que una Q-AEC K es µ-estable o

estable en µ si para todo M ∈ Kµ se tiene que |ga− S (M) | ≤ µ.

El siguiente resultado nos dice que si tenemos categoricidad en un cardinal por encima

del número de Löwenheim-Skolem de una Q-AEC K, entonces hay estabilidad entre este

número y el cardinal de la categoricidad. La demostración de este teorema es la primera

aplicación que haremos de los modelos de Ehrenfeucht-Mostowski dentro de una Q-AEC

y la haremos basados en las ideas de la demostración del teorema 1.4 en [Les05] y el teo-

rema 4.10 en [Bal05]. Coppola demuestra este hecho pero acá nosotros aclaramos ciertas

partes de la prueba que se presenta en [Cop06].

Teorema 2.1.2 (Teorema 3.2.9 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC que satisface JEP, AP y tiene

MAG. Si K es λ-categórica para λ > LS(K), entonces es µ-estable para todo µ con LS(K) ≤ µ <

λ.

Demostración. Razonemos por reducción al absurdo. Si K no es µ-estable para algún µ

tal que LS(K) ≤ µ < λ, entonces existe M ∈ Kµ tal que |ga − S (M) | > µ. Sea A =

{a ∈ |C| : a � p, p ∈ ga− S (M)}. Claramente |A| = |ga−S (M) | y por lo tanto, utilizando

la definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem descendente), existe N ∈ K|A∪M| tal

2.1 Estabilidad 89

que M ∪ A ⊂ N y N ≺UK C. Con ayuda de la definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-

Skolem descendente) nosotros podemos encontrar N ′ ≺UK C de tal manera que cumpla

alguna de las siguientes condiciones:

Si |A ∪M| = |N| = λ, tomamos N ′ = N .

Si |A ∪M| = |N| < λ, seaN ′ ⊇ N tal que |N ′| = λ.

Si |A ∪M| = |N| > λ, seaN ′ ⊇ B ∪M tal que B ⊂ A con |B| = λ y |N ′| = λ.

Por lo tanto N ′ es un modelo de tamaño λ tal que M ≺K N ′ y realiza más que µ tipos

sobre M. Notemos que como µ < λ, entonces por el lema 1.1.13 tenemos que M ≺UK N ′.

Por el teorema 1.1.19 (teorema de Presentación) y como K tiene MAG, podemos trabajar

con modelos de Ehrenfeucht-Mostowski en K con gracias al teorema 1.5.10. Sea N ∗ :=

EML(K) (λ<ω, Φ) ∈ K, es claro que |N∗| = λ. Por el colorario 1.5.16 tenemos que N ∗ es

rebosante en (K,≺UK) pues λ<ω lo es como orden lineal por el hecho 1.5.15, esto es que

para todo N0 ≺UK N ∗ de tamaño µ esixte N1 ∈ Kµ que es µ-universal sobre N0 en N ∗ y por

tanto N ∗ realiza a lo sumo µ sobre N0 pues N1 realiza a lo sumo µ tipos.

Por la λ-categoricidad de K, tenemos que existe un isomorfismo f : N ′ −→ N ∗. Al aplicar

los axiomas de isomorfismo (definición 1.1.1.3) es claro que f[M] ≺UK N ∗ pues M ≺U

K N ′

y como |M| = µ, entonces f[M] tiene tamaño µ y por tanto N ∗ sólo satisface µ tipos sobre

f[M] lo cuál contracide la categoricidad pues N ′ satisface más de µ tipos sobre M. 2.1.2

El siguiente resultado es una aplicación de la estabilidad en una Q-AEC y nos muestra que

podemos encontrar modelos saturados de cardinal acotado bajo estabilidad. Este resulta-

do no es enunciado por Coppola en su trabajo y lo que nosotros hacemos es adaptarlo del


contexto de las AECs inspirados en [Bal09].

Lema 2.1.3 (cf. corolario 8.23 en [Bal09]). Suponga que K es una Q-AEC que satisface AP, JEP

y que tiene MAG que es µ-estable para µ ∈ [LS(K), λ).

1. Si λ es regular, existe un modelo saturado de tamaño λ.

2. En general, existe un modelo cf(λ)-saturado de tamaño λ.

Demostración. 1. Construiremos el modelo saturado pedido con ayuda de una ≺UK-

sucesión continua creciente 〈Mi〉i<λ tal que para cada i < λ, |Mi| < λ y Mi+1 realiza

todos los tipos sobre Mi. Notemos que como K tiene MAG, KLS(K) 6= ∅ y por tanto

existe M0 ∈ KLS(K). Supongamos construido Mi tal que |Mi| = µ < λ. Como K es

µ-estable para µ ∈ [LS(K), λ), entonces tenemos que |ga − S(Mi)| ≤ µ y en con-

secuencia, para cada p ∈ ga − S(Mi) podemos escoger un ap ∈ |C| de tal manera

que ap � p. Por la Definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem descendente),

existe M ′i+1 ∈ Kµ de tal manera queMi∪{ap}p∈ga−S(Mi) ⊆M

′i+1 y M ′

i+1 ≺UK C; es fácil

ver que Mi ⊆ M ′i+1 y como en particular tenemos que Mi,M

′i+1 ≺K C, entonces

por los axiomas de coherencia tenemos que Mi ≺K M ′i+1. Al aplicar los axiomas de

densidad (definición 1.1.1.7a) encontramos Mi+1 ∈ Kµ tal que M ′i+1 ≺

UK Mi+1 ≺U

K C

y por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) tenemos que Mi ≺UK Mi+1.

Si i < λ es un ordinal límite y tenemos construido Mj para todo j < i, definamos

Mi :=⋃j<i

Mj que, por la definición 1.1.1.6c (axioma de cadenas de Tarski-Vaught),

es tal que Mi ≺K C y por el lema 1.1.13 tenemos que Mi ≺UK C pues C puede ser

escogido tal que λ < ‖C‖; por la regularidad de λ tenemos que |Mi| = |i| supj<i

{|Mj|} <

2.1 Estabilidad 91

λ.

Defina N :=⋃i<λ

Mi. Por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught tenemos que

N ≺K C pues para todo i < λ tenemos que Mi ≺UK C y como ‖C‖ > λ, entonces al

aplicar el lema 1.1.13 tenemos que N ≺UK C pues

|N| =

∣∣∣∣∣⋃

i<λ

Mi

∣∣∣∣∣ ,

= λ supi<λ

|Mi|,

= λµ pues |Mi| = µ para todo < λ,

= λ pues µ < λ.

Veamos que N es λ-saturado. Para ello sea M ≺UK N tal que |M| < λ. Por la re-

gularidad de λ, existe i < λ tal que M ⊂ Mi y por tanto M ⊆ Mi, utilizan-

do los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) tenemos que M ≺K Mi pues

en particular tenemos que M,Mi ≺K C y como M ≺K Mi ≺UK Mi+1, entonces

por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4c) tenemos que M ≺UK Mi+1. Sea

p ∈ ga − S (M) y a ∈ |C| tal que a � p, es decir p = ga − tp (a/M,C) y consi-

deremos p ′ = ga − tp (a/Mi+1,C) que es realizado en Mi+2 por la construcción de

N ; esto último quiere decir que existe b ∈ Mi+2 tal que b � p ′ y por tanto existe

f ∈ AutMi+1(C) tal que f(a) = b. Como M ≺U

K Mi+1, entonces f ↾M= 1M, en con-

secuencia p ′ ↾M= ga− tp (b/Mi+1,C) ↾M= ga − tp (b/M,C) = p y al tenerse que

Mi+1 ≺UK N es inmediato que b ∈ N. Por tanto N es saturado.

2. La idea para este ítem es la misma que en el numeral anterior pero tomando la ≺UK-

cadena creciente continua de longitud cf(λ) y para todo i < cf(λ), Mi ∈ K<cf(λ).


2.1.3

Al aplicar el lema anterior y el teorema 2.1.2, es inmediato el siguiente resultado.

Corolario 2.1.4. Sea K una Q-AEC λ-categórica. Entonces existe un modelo de tamaño λ que es

cf(λ)-saturado.

Uno de los conceptos centrales en el presente trabajo es el de saturación pues es central

en una de las aproximaciones a la superestabilidad que estudiaremos. A continuación

presentamos un resultado que nos da condiciones suficientes sobre un orden lineal (I, <)

para que EML(K) (I, Φ) sea un modelo saturado. El siguiente lema no es estudiado por

Coppola en su trabajo pero es análogo al que se tiene en el contexto de las AECs, nosotros

nos basamos en [Bal09] para enunciarlo y demostrarlo.

Lema 2.1.5 (cf. lema 10.11 en [Bal09]). Sea Φ un cianotipo propio para todo orden lineal (I, <)

e I una sucesión indiscernible indexado en I. Supongamos que EML(K) (I, Φ) ∈ K y que K es

λ-categórica. Si (J, <) es un orden lineal tal que para todo θ < |J|, J tiene una sucesión creciente

de tamaño θ+ con LS(K) ≤ |J| < cf(λ), entonces EML(K) (J, Φ) es saturado donde J es un orden

indiscernible indexado por J.

Demostración. Veremos que para cada θ < |J|, EML(K) (J, Φ) es θ+-saturado. Para ello,

sea M0 ≺UK EML(K) (J, Φ) tal que |M0| = θ. Por hipótesis, J tiene una sucesión Jθ0 cre-

ciente de tamaño θ+ y sea Jθ la suma ordinal de Jθ0 y λ. Ahora bien como Φ se satisface

para todo orden lineal, en particular se satisface para Jθ y como el tamaño de Jθ es λ,

entonces |EML(K) (Jθ, Φ) | = λ donde Jθ es un orden indiscernible indexado por Jθ. Por

la λ-categoricidad de K tenemos que EML(K) (Jθ, Φ) es único salvo isomorfismo y por el

2.1 Estabilidad 93

corolario 2.1.4, tenemos que es cf(λ)-saturado. Como θ+ ≤ cf(λ) ≤ λ, este modelo resulta

ser además θ+-saturado.

Como tenemos que existe un suborden J ′θ de Jθ que es isomorfo a θ, entonces tenemos que

M0 ≺K EML(K) (J′θ, Φ) ≺K EML(K) (Jθ, Φ) y en consecuencia todo p ∈ ga − S (M0) tiene

una realización σ(aj, aj ′) en EML(K) (J′θ, Φ) con j en Jθ0 y j ′ en la copia de λ. Podemos elegir

(K,<) ≤ (J, <) con |K| = θ yM0 ∪ j ⊂ EML(K) (K, Φ). Como Jθ0 tiene tamaño θ+, podemos

encontrar una copia j ′′ de j ′ en Jθ0 tal que K ∪ {j} ∪ {j ′} tiene el mismo tipo de orden de

K ∪ {j} ∪ {j ′′} y por lo tanto j, j ′′ generan una realización de p en EML(K) (J, Φ) puesto que

J es una sucesión indiscernible. 2.1.5

Una aplicación del lema anterior, que no es estudiada en [Cop06], se presenta enseguida

y pedimos la categoricidad en un cardinal regular pues esto nos permitirá garantizar la

unicidad del modelo saturado EML(K) (I, Φ) (lema 2.1.4).

Corolario 2.1.6 (cf. corolario 10.14.1 en [Bal09]). Suponga que K es una Q-AEC λ-categórica

con λ regular. Entonces para todo cardinal µ ∈ [LS(K), λ), EML(K) (µ<ω, Φ) es saturado y por

tanto modelo-homogéneo.

Demostración. En primer lugar, notemos que como µ es un cardinal infinito, dado n ∈ ω


diferente de 0 tenemos que

µ = µn,

≤ sup{µn : n ∈ ω},

= µ<ω,

≤ µω,

= µ.

Ahora bien como λ es un cardinal regular, µ < cf(λ) y como para todo ordinal η < µ,

entonces |η| < µ y por tanto en µ existe una sucesión de tamaño |η|+ pues |η|+ ≤ µ. Por

lo anterior y el lema 2.1.5 tenemos que EMLS(K) (µ<ω, Φ) es saturado y por el lema 1.4.3

también es modelo-homogéneo. 2.1.6

Notemos que si λ y κ < cf(λ) son cardinales con κ regular, entonces para todo µ < κ se

cumple que κ contiene una sucesión creciente de cardinalidad µ+. El siguiente colorario

es inmediato de lo que acabamos de decir y del lema 2.1.5. El resultado es enunciado por

Baldwin en [Bal09] para el contexto de AECs pero él no toma en cuenta que el cardinal κ

debe ser regular para que se satisfagan las hipótesis del lema 2.1.5.

Corolario 2.1.7 (cf. corolario 10.14.3 en [Bal09]). Suponga que K es una Q-AEC λ-categórica.

Si κ < cf(λ) es un cardinal, entonces EML(K) (κ,Φ) es saturado y por tanto modelo-homegeneo.

A continuación demostraremos que si una Q-AEC es λ-categórica y µ es un cardinal

tal que µ+ < cf(λ), entonces para todo M ∈ Kµ existe una ≺UK-inmersión f : M −→

EML(K) (µ+, Φ).

2.1 Estabilidad 95

Proposición 2.1.8. Sea K una Q-AEC λ-categórica que satisface JEP. Si µ un cardinal tal que

µ+ < cf(λ), entonces para todo M ∈ Kµ existe una ≺UK-inmersión f : M −→ EML(K) (µ

+, Φ).

Demostración. Como K es λ-categórica y µ+ < cf(λ), entonces al aplicar el colorario 2.1.7

tenemos que tenemos que EML(K) (µ+, Φ) es una estructura sataturada y en particular

modelo-homogénea (teorema 1.4.3). Gracias al axioma de Löwenheim-Skolem descen-

dente (definición 1.1.1.5) podemos encontrar N ∈ Kµ tal que N ≺UK EML(K) (µ

+, Φ) y

como K satisface JEP, entonces existen N ′ ≻UK N y una ≺U

K-inmersión g : M −→ N ′.

Como g[M],N ∈ Kµ, entonces al aplicar el lema 1.1.15 tenemos que existe N ′′ ∈ Kµ tal

que N ≺UK N ′′ ≺U

K N ′ y g[M] ⊆ N ′′. Esto último implica que g[M] ⊆ N ′′ y como en

particular g[M],N ′′ ≺K N ′, entonces g[M] ≺K N ′′. Como ‖EML(K) (µ+, Φ) ‖ = µ+, N ≺U

K

EML(K) (µ+, Φ) y N ′′ ∈ Kµ, entonces por la modelo-homogeneidad de EML(K) (µ

+, Φ)

tenemos que existe una ≺UK-inmersión h : N ′′ −→ EML(K) (µ

+, Φ) tal que h ↾N= 1N .

Notemos que como h : N ′′ −→ h[N ′′] es un isomorfismo y g[M] ≺K N ′′ por cons-

trucción de N ′′, entonces por los axiomas de isomorfismo (definición 1.1.1.3) tenemos

que h[g[M]] ≺K h[N ′′]. Además como h : N ′ −→ EML(K) (µ+, Φ) es una ≺U

K-inmersión,

entonces h[g[M]] ≺K h[N ′′] ≺UK EML(K) (µ

+, Φ) y al aplicar los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4b) tenemos que h[g[M]] ≺UK EML(K) (µ

+, Φ).

Sea f := h ◦ (g ↾M). Claramente f : M −→ EML(K) (µ+, Φ) es una ≺U

K-inmersión pues

f[M] = (h ◦ (g ↾M)) [M] = h[g[M]] ≺UK EML(K) (µ

+, Φ). 2.1.8

Con ayuda de la proposición que acabamos de demostar, mostraremos que toda estructu-

ra M ∈ Kµ+ puede ser ≺K-sumergida en EML(K) (µ+, Φ). Las proposiciones 2.1.8 y la que

a continuación presentaremos se encuentran enunciadas implícitamente para el contexto


de las AECs en [SV99] y en [BGVV17], Boney, Grossberg, VanDieren y Vasey hacen una

demostración de estos resultados diferente a la que acá presentamos.

Proposición 2.1.9. Sea K una Q-AEC λ-categórica que satisface JEP. Si µ es un cardinal tal que

µ+ < cf(λ) y 〈Mi ∈ Kµ〉i<µ+ es una ≺UK-sucesión creciente continua, entonces existe una ≺K-

inmersión f :⋃i<µ+

Mi −→ EML(K) (µ+, Φ). En particular, para toda estructura M ∈ Kµ+ existe

una ≺K-inmersión f : M −→ EML(K) (µ+, Φ).

Demostración. En primer lugar notemos que por la proposición 2.1.8, tenemos que pa-

ra cada i < µ+ existe una ≺UK-inmersión fi : Mi −→ EML(K) (µ

+, Φ) y como para todo

iµ+ tenemos que fi : Mi −→ fi[Mi] es un isomofismo, entonces por los axiomas de iso-

morfismo tenemos que para todos i, j < µ+ tales que i < j se cumple que fi[Mi] ≺UK

fj[Mj]; además, si i < µ+ es un ordinal límite, entonces podemos definir la inmersión

fi :=⋃j<i

fj : Mi −→ EML(K) (µ+, Φ) que por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught

(definición 1.1.1.6c) resulta ser una ≺K-inmersión pues para todo j < i tenemos que

fj[Mj] ≺UK EML(K) (µ

+, Φ) y por tanto fi[Mi] =⋃j<i

fj[Mj] ≺K EML(K) (µ+, Φ). Como

i < µ+, entonces |fi[Mi]| =

∣∣∣∣∣⋃j<i

Mj

∣∣∣∣∣ = µ y al aplicar el lema 1.1.13 concluimos que

fi[Mi] =⋃j<i

fj[Mj] ≺UK EML(K) (µ

+, Φ) y en consecuencia fi : Mi −→ EML(K) (µ+, Φ)

es una ≺UK-inmersión.

Por lo dicho en el párrafo anterior, tenemos que 〈fi : Mi −→ EML(K) (µ+, Φ)〉i<µ+ es una

⊆-sucesión creciente continua de ≺UK-inmersiones. Es último implica que 〈fi[Mi]〉i<µ+ es

una ≺UK-sucesión creciente continua y como para todo i < µ+ se cumple que fi[Mi] ≺U

K

EML(K) (µ+, Φ), entonces al aplicar los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición

2.1 Estabilidad 97

1.1.1.6c) tenemos que⋃i<µ+

Mi ≺K EML(K) (µ+, Φ). Por tanto f :=

⋃i<µ+

fi :⋃i<µ+

Mi −→

EML(K) (µ+, Φ) es una ≺K-inmersión.

Sea ahora M ∈ Kµ+. Para demostrar que existe una≺K-inmersión f : M −→ EML(K) (µ+, Φ),

construiremos de manera recursiva sobre µ+ una ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi ∈

Kµ〉i<µ+ de ≺UK-subestructuras de M y aplicaremos la primera parte de esta demostración.

Base. Por el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.15), existe M0 ∈

Kµ tal que M0 ≺UK M.

Sea {aα}α<µ+ una enumeración deM \M0.

Paso sucesor. Supongamos que para i < µ+ tenemos construido Mi ≺UK M de tamaño µ.

Como Mi ∈ Kµ, entonces existe α < µ+ tal que aα ∈ M \Mi. Sea β = mınα<µ+{aα ∈

M \ Mi}. Al utilizar el lema 1.1.15, existe Mi+1 ∈ Kµ tal que Mi ≺UK Mi+2 ≺U

K M y

{aβ} ⊆Mi+1.

Paso límite. Sea i < µ+ un ordinal límite y supongamos que para todo j < i tenemos

construido Mj ∈ Kµ tal que Mj ≺UK M. Por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught

(definición 1.1.1.6c) tenemos que⋃j<i

Mj ≺K M y como i < µ+, entonces⋃j<i

Mj ∈ Kµ. Al

aplicar el lema 1.1.13, concluimos que⋃j<i

Mj ≺UK M. Definamos Mi :=

⋃j<i

Mj.

Por construcción tenemos que 〈Mi ∈ Kµ〉i<µ+ es una ≺UK-sucesión creciente continua

tal que⋃i<µ+

Mi = M y al aplicar la primera parte de la demostración, existe una ≺K-

inmersión f : M −→ EML(K) (µ+, Φ). 2.1.9


2.2. Modelos universales y modelos límite

En esta sección nosotros trabajaremos los conceptos de modelos universales, modelos sa-

turados sobre una estructura fija, y modelos límite, modelos lo suficientemente saturados,

conceptos fundamentales en nuestro estudio de la superestabilidad. Demostraremos que

la estabilidad nos permite construir construir modelos universales y saturados de tama-

ño pequeño y que dos modelos límite son isomorfos si tienen longitudes de la misma

cofinalidad. Es importante resaltar que en este trabajo es la primera vez que se estudia el

concepto de modelo límite en el contexto de las Q-AECs.

2.2.1. Modelos universales

El concepto de universalidad puede ser entendido como una saturación sobre una estruc-

tura fija y por tanto podemos relacionarlo con el concepto de modelo-homogeneidad. La

diferencia está en que en el concepto de universalidad nosotros sólo tenemos en cuenta

una sola subestructura que no necesariamente es pequeña mientras que en concepto de

modelo-homogeneidad tenemos en cuenta todas las subestructuras pequeñas.

Definición 2.2.1 (Definición 3.2.13 en [Cop06]). Diremos que N ∈ K es µ-universal sobre

M ≺UK N si y sólo si para todo M ′ tal que M ≺U

K M ′ y |M ′| ≤ µ, existe una ≺UK-inmersión

f : M ′ −→ N que fija puntualmente a M. Diremos que N es universal sobre M si es |N|-

universal sobre M.

2.2 Modelos universales y modelos límite 99

M ′

NN

M

f

Observación 2.2.2. Notemos que si en la definición anterior tomamos M ≺K N , entonces al ser

f : M ′ −→ N una ≺UK-inmersión tal que f ↾M= 1M, por el axioma de isomorfismos (definición

1.1.1.3) tenemos que M ≺UK f[M

′] pues en particular f : M ′ −→ f[M ′] es un isomorfismo y

como por definición de ≺UK-inmersión tenemos que f[M ′] ≺U

K N , entonces por la transitividad de

la relación ≺UK (definición 1.1.1.1) podemos concluir que M ≺U

K N . Por tanto podemos decir que

N es µ-universal sobre M si M ≺K N o M ≺UK N indistintamente.

Por otro lado, si suponemos que una Q-AEC tiene MAG y sastiface JEP, entonces podemos suponer

en la definición de universalidad (definición 2.2.1) que M ≺K M ′ pues por el lema 1.1.14 existe

M ′′ de tamaño |M ′| tal que M,M ′ ≺UK M ′′; por tanto al utilizar la definición 2.2.1, existe una

≺UK-inmersión f : M ′′ −→ N que fija puntualmente a M y por tanto f ↾M ′ : M ′ −→ N es

una ≺UK-inmersión pues por los axiomas de isomorfismo (definición 1.1.1.3), tenemos que f ↾M ′

[M ′] = f[M ′] ≺K f[M ′′] ≺UK N , lo cual implica por los axiomas de coherencia (definición

1.1.1.4c) que f[M ′] ≺UK N .

Los dos párrafos anteriores indican que en la definición 2.2.1 podemos tomar ≺K-extensiones o

≺UK-extensiones sin problema alguno.

La siguiente afirmación nos muestra como el concepto de universalidad se relaciona con

el concepto de saturación relativa a una estructura fija como lo mencionamos al principio


de la sección.

Afirmación 2.2.3. Si N es µ-universal sobre M, entonces en N hay realizaciones para todo

p ∈ ga− S (M).

Demostración. Sea p ∈ ga − S (M). Por definición existe a ∈ |C|<ω tal que p = ga −

tp (a/M,C). Por el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), exis-

te M ′ ∈ K|M| tal que M ≺UK C y M ∪ {a} ⊆ M ′; resulta sencillo ver que M ⊆ M ′ y

como en particular tenemos que M,M ′ ≺K C, entonces al aplicar los axiomas de cohe-

rencia (definición 1.1.1.4a) tenemos que M ≺K M ′. Como N es µ-universal sobre M y

|M ′| = |M| ≤ µ, entonces por la observación 2.2.2 existe una ≺UK-inmersión f : M ′ −→ N

que fija puntualmente a M. Notemos que f : M ′ −→ f[M ′] es un isomorfismo que fija

puntualmente a M y por tanto existe F ∈ AutM(C) tal que F ⊃ f pues C es homogéneo.

Como F(a) = f(a) ∈ N, entonces podemos concluir que en N existe una una realización

de p. 2.2.3

La siguiente proposición nos muestra que si N es µ-universal sobre M, entonces tene-

mos que N es µ-universal sobre cualquier ≺K-subestructura de M y como toda ≺UK-

subestructura es en particular una≺K-subestructura, podemos concluir que N es µ-univer-

sal sobre toda ≺UK-subestructura de M. Este resultado no se encuentra enunciado en el

trabajo de Coppola y nos será de utilidad más adelante en los resultados de modelos

universales y modelos límites.

Lema 2.2.4 (cf. proposición 1.3.19 en [Zam11]). Sean K una Q-AEC que satisface AP y

M,M∗,N ,N ∗ ∈ K tales que M∗ ≺K M ≺K N ≺K N ∗. Si N es µ-universal sobre M,

entonces N es µ-universal sobre M∗ y N ∗ es µ-universal sobre M.


Demostración. Sean M∗ ≺K M ≺UK N ≺K N ∗ con N µ-universal sobre M y M ′ ∈ K≤µ

una ≺UK-extensión de M∗.

Para ver que N es µ-universal sobre M∗, en primer lugar notemos que por la definición

1.1.1.4b (axiomas de coherencia) tenemos que M∗ ≺UK N , pues por hipótesis M∗ ≺K

M ≺UK N . Además como en particular M∗ ≺K M ′,M, entonces por AP existen N ′ ∈ K y

una ≺UK-inmersión f : M ′ −→ N ′ tales que M ≺U

K N ′.

M � �

≺UK

//❴❴❴ N ′

M∗?�

≺K

OO

� �

≺K

// M∗

f

OO✤✤✤

Por los axiomas de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5) tenemos que exis-

te N ′′ ∈ K≤µ tal que N ′′ ≺UK N ′ y f[M∗] ∪M ⊆ N ′′. Claramente M, f[M∗] ⊆ N ′′ y como

en particular tenemos que M, f[M∗],N ′′ ≺K N ′, entonces por los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4a) tenemos que M, f[M∗] ≺K N ′′. Como N ′′ ≺UK N ′, entonces por los

axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a) existe N ′′′ ∈ K|N ′′ | tal que N ′′ ≺UK N ′′′ ≺U

K N ′ y

por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4c) tenemos que M, f[M∗] ≺K N ′′′ pues

M, f[M∗] ≺K N ′′ ≺UK N ′′′. Por tanto podemos suponer que |N ′| ≤ µ.

Ahora bien, como N es µ-universal sobre M y N ′ es una ≺UK extensión de M de tamaño

≤ µ, entonces existe una ≺UK-inmersión g : N ′ −→ N que fija puntualmente a M.

N

M � �

≺UK

//?�

≺UK

OO

N ′

gbb❋❋❋❋

M∗?�

≺K

OO

� �

≺K

// M∗

f

OO

Es claro que g ◦ f : M∗ −→ N es una ≺UK-inmersión pues es composición de dos ≺U

K-


inmersiones y como g fija puntualmente a M, en particular fija puntualmente a M∗ pues

M∗ ⊆M y en consecuencia si m ∈M∗ tenemos que

g ◦ f(m) = g(f(m))

= g(m) pues f fija puntualmente a M∗,

= m pues g fija puntualmente a M∗.

Por tanto g ◦ f fija puntualmente a M∗. En conclusión N es µ-universal sobre M∗.

Para ver que N ∗ es µ-universal sobre M, sea M ′ ∈ K≤µ una ≺UK-extensión de M. Como

N es µ-universal sobre M, entonces existe una ≺UK-inmersión f : M ′ −→ N tal que

f ↾M= 1M. Como f[M ′] ≺UK N y N ≺K N ∗, entonces al aplicar los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4c) tenemos que f[M ′] ≺UK N ∗ y en consecuencia f ′ : M ′ −→ N ∗ definida

como f ′(a) := f(a) atestigua que N ∗ sea µ-universal sobre M. 2.2.4

El siguiente resultado nos dice que la propiedad de universalidad es invariante bajo iso-

morfismos. La demostración la incluimos para la completitud del documento.

Lema 2.2.5. Supongamos que N es µ-universal sobre M y f : N −→ N ′ es un isomorfismo.

Entonces N ′ es µ-universal sobre f[M].

Demostración. Para demostrar que N ′ es µ-universal sobre f[M] sea N0 ∈ K≤µ tal que

f[M] ≺UK N0. Como f−1

f[M]: f[M] −→ M es un isomorfismo, entonces por el lema 1.1.16

(lema de renombramiento) existen M ′ ∈ K y ^f−1 : N0 −→ M ′ un isomorfismo tales que

M ≺UK M ′ y ^f−1 extiende a f−1, esto implica que M = f−1[f[M]] = ^f−1[f[M]] ≺U

K M ′ y


como ^f−1[N ′] = M ′, entonces tenemos que |M ′| ≤ µ.

N f // N ′

MnN≺U

K

}}⑤⑤⑤⑤⑤

?�

≺UK

OO

f[M]f−1f[M]

oo?�

≺UK

OO

� q

≺UK

""❊❊❊

❊❊❊❊

❊

M ′ N0^f−1

oo❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

Por la µ-universalidad de N sobre M tenemos que existe una ≺UK-inmersión g : M ′ −→ N

que fija puntualmente a M.

N f // N ′

MnN

≺UK}}⑤⑤

⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

?�

≺UK

OO

f[M]f−1f[M]

oo?�

≺UK

OO

� q

≺UK

""❊❊❊

❊❊❊❊

❊

M ′

g

AA

✔✒✎✌✡✞☎

N0^f−1

oo

Defina h := f ◦ g ◦ ^f−1. Claramente h : N0 −→ N ′ es una ≺UK-inmersión pues es la compo-

sición de dos isomorfismo y un ≺UK-inmersión. Sea a ∈ f[M], entonces

h(a) =(f ◦ g ◦ ^f−1

)(a),

=(f ◦ g ◦ f−1

)(a) pues ^f−1 ⊇ f−1 y a ∈ f[M],

= f(g(f−1(a)

)),

= f(f−1(a)

)pues g fija puntualmente a M y f−1(a) ∈M,

= a,

luego h fija puntualmente a f[M] y por tanto N ′ es µ-universal sobre f[M]. 2.2.5

La siguiente proposición es una herramienta últil al momento de garantizar la existencia

de modelos límite y en varios resultados que presentaremos más adelante. El resultado


que presentaremos a continuación es enunciado y demostrado por Coppola en [Cop06].

La demostración que acá presentamos está basada en [Van06] y tiene una construcción

más rigurosa de la ≺UK-cadena necesaria para probar que todo modelo de la clase tiene

una ≺UK-extensión universal y de la inmersión que atestigua la universalidad. Lo que nos

muestra el siguiente resultado es que bajo AP y estabilidad podemos encontrar extensio-

nes universales de cardinalidad acotada.

Lema 2.2.6 (lema 3.2.13 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC que satisface AP y M ∈ Kµ con

LS(K) ≤ µ. Si K es µ-estable, entonces M tiene una ≺UK-extensión µ-universal de tamaño µ.

Demostración. Comenzaremos construyendo una ≺UK-cadena creciente 〈Mi〉i<µ de mane-

ra recursiva tal que M0 := M y para todo i < µ, |Mi| = µ y Mi+1 realiza todo p ∈

ga−S (Mi). Supongamos construido Mi para i < µ. Por la µ-estabilidad de K existe una

enumeración {pj}j<µ de ga − S (Mi) y sea A = {aj ∈ |C| : aj � pj, j < µ} una elección de

realizaciones de los tipos de Galois sobre Mi en el modelo monstruo; utilizando la defi-

nicón 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem descendente), podemos encontrar M ′ ≺UK C

tal que A ∪Mi ⊂ M ′ y |M ′| = µ pues |A| = µ; por la definición 1.1.1.7a (axiomas de

densidad), existe Mi+1 de tamaño µ tal que M ′ ≺UK Mi+i ≺U

K C y como Mi,M ′ ≺UK C y

Mi ⊆ M ′, entonces por la definición 1.1.1.4a (axiomas de coherencia) M ≺K M ′, por tan-

to Mi ≺K M ′ ≺UK Mi+i y al utilizar la definición 1.1.1.4b (axiomas de coherencia) tenemos

que Mi ≺UK Mi+1.

Si para todo j < i con i < µ un ordinal límite tenemos construido Mj, definimos Mi :=

⋃j<i

Mj.

Definamos N :=⋃i<µ

Mi que por los axiomas de cadenas de Tarski Vaught (definición


1.1.1.6c) es tal que N ≺K C pues Ni ≺UK C para todo i < µ por construcción. Recordemos

que por el teorema 1.2.7 podemos suponer que ‖C‖ > |N| y aplicando el lema 1.1.13,

tenemos que N ≺UK C. Notemos que por la definición 1.1.1.7a (axiomas de densidad),

existe N ′ tal que N ≺UK N ′ ≺U

K C y |N ′| = |N|. Además como M0 = M y N =⋃i<µ

Mi,

entonces por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6b) tenemos que

M ≺UK N y en consecuencia M ≺U

K N ′, esto último por la transitividad de la relación ≺UK

(definición 1.1.1.1).

Veamos ahora que N ′ es µ-universal sobre M, para ello sea M ′ una ≺UK-extensión de M y

〈ai : i < µ〉 una enumeración deM ′ \M. Lo que haremos es construir recursivamente una

⊆-cadena creciente continua fi : Mi −→ Ni de ≺UK-inmersiones que fijen puntualmente

a M. Cuando i = 0, tome N0 = M0 = M y f0 = 1M. Como M1 tiene realizaciones para

todo p ∈ ga− S (M0), en particular existe b ∈M1 tal que b � ga− tp(a0/M0,M ′) y por

el hecho 1.3.7 tanto existen N1 ∈ K, b ∈M1 y una ≺UK-inmersión f1 : M1 −→ N1 tales que

M ′ ≺UK N1, f1(b) = a0 y f1 ↾M0

= 1M0, luego f0 ⊆ f1.

Supongamos que tenemos construida la ≺UK-inmersión fi : Mi −→ Ni que fija puntual-

mente a M para 1 ≤ i < µ y sea k := mın{j < µ : aj /∈ fi[Mi]}. Como fi : Mi −→ f[Mi]

es un isomorfismo y Mi ≺UK Mi+1, entonces por el lema de renombramiento (lema 1.1.16)

existen N ∗i y un isomorfismo gi : Mi+1 −→ N ∗

i tal que N1 ≺UK N ∗

i y fi ⊆ gi; además

como Mi+1 realiza todo p ∈ ga− S (Mi), entonces N ∗i realiza todo p ∈ ga− S (fi[Mi]) en

particular realiza ga− tp (ak/fi[Mi],Ni), esto quiere decir que existen b ∈ N∗i , Ni+1 ∈ K y

una ≺UK-inmersión g∗i : N

∗i −→ Ni+1 tales que Ni ≺U

K Ni+1, g∗i (b) = ak y g∗i ↾fi(Mi)= 1fi(Mi).


M0� _

≺UK

��

1M0 // M0� � ≺U

K //� _

≺UK

��

M ′� _

≺UK

��✤✤✤

M1f1 //❴❴❴❴ f1[M1]

� � ≺UK // N1

......

...

Mi−1

fi−1//� _

≺UK

��

fi−1[Mi−1]� _

≺UK

��

� �≺UK // Ni−1� _

≺UK

��Mi

fi //� _

≺UK

��

fi[Mi]� _

≺UK

��✤✤✤

� � ≺UK // Ni� _

≺UK

��✤✤✤

Mi+1gi //❴❴❴❴❴ N ∗

i

g∗i //❴❴❴❴❴ Ni+1

......

...

Defina fi+1 := g∗i ◦gi : Mi+1 −→ Ni+1. fi+1 es una ≺UK-inmersión pues gi es un isomorfismo

y g∗i es una ≺UK-inmersión. Veamos ahora que fi+1 ⊇ fi para ello seam ∈Mi, entonces

fi+1(m) = g∗i ◦ gi(m)

= g∗i (gi(m))

= g∗i (fi(m)) pues gi ⊇ fi

= fi(m) pues g∗i ↾fi[Mi]= 1fi[Mi].

Si i < µ es un ordinal límite y suponemos que para todo j < i tenemos construidos Mj,

Nj e ≺UK-inmersiones fi : Mj −→ Nj que fijan puntualmente a M, entonces definimos

Mi :=⋃j<i

Mj, Ni :=⋃j<i

Nj y fi :=⋃j<i

fj. Ahora bien, como 〈Mi〉i<µ es una ≺UK-cadena cre-

ciente continua y para todo i < µ tenemos que fi : Mi −→ fi[Mi] es un isomorfismo,

entonces 〈fi[Mi]〉i<µ es una ≺UK-cadena creciente continua por el axioma de isomorfismos


(definición 1.1.1.3); por tanto, f :=⋃i<µ

fi :⋃i<µ

Mi −→⋃i<µ

fi[Mi] es un isomorfismo y como

por construcción tenemos que para todo i < µ se cumple que f[Mi] = fi[Mi] ≺UK

⋃i<µ

Ni,

entonces aplicando los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c) po-

demos afirmar que⋃i<µ

fi[Mi] ≺K

⋃i<µ

Ni. Por la construcción de la ⊆-cadena creciente

continua de ≺UK-inmersiones 〈fi〉i<µ tenemos que M ′ ⊆

⋃i<µ

fi[Mi] y por tanto tenemos

que M ′ ⊆⋃i<µ

fi[Mi]; además como⋃i<µ

fi[Mi] ≺K

⋃i<µ

Ni y en particular tenemos que

M ′ ≺K

⋃i<µ

Ni, esto último pues M ′ ≺UK N1, entonces al aplicar los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4a) tenemos que M ′ ≺K

⋃i<µ

fi[Mi].

Por último notemos que como f : N −→⋃i<µ

fi[Mi] es un isomorfismo, al aplicar la defini-

ción 1.1.1.3 (axiomas de isomorfismo) tenemos que f−1[M ′] ≺K N pues M ′ ≺K

⋃i<µ

fi[Mi]

y como N ≺UK N ′, entonces con ayuda de la definición 1.1.1.4b (axiomas de coheren-

cia) podemos concluir que f−1[M ′] ≺UK N ′. Por tanto f−1 ↾M ′ : M ′ −→ N ′ es una ≺U

K-

inmersión. Si demostramos que f−1 ↾M ′ fija puntualmente a M, habremos demostrado

que N ′ es µ-universal sobre M. En efecto como 1M = f0 ⊆ f por construcción de f,

entonces f−1 ⊇ f−10 = 1M. 2.2.6

Como vimos en el colorario 2.1.4, la λ-categoricidad de una Q-AEC K implica la exis-

tencia de una estructura cf(λ)-saturada en Kλ. El siguiente hecho nos muestra que dicha

estructura tendrá extensiones universales de subestructuras pequeñas.

Corolario 2.2.7. Si K es λ-categórica, M ∈ K es de tamaño λ y N ≺UK M es tal que |N| < cf(λ),

entonces existe N ′ ≺UK M que es |N|-universal sobre N del mismo tamaño de N .

Demostración. Notemos que por la λ-categoricidad deK tenemos queM es cf(λ)-saturado

(colorario 2.1.4) y por tanto cf(λ)-modelo-homogéneo (teorema 1.4.3); además podemos


afirmar que K es |N|-estable pues |N| < λ (teorema 2.1.2) y al aplicar el lema 2.2.6 esto

último implica que existe una ≺UK-extensión M ′ de N de tamaño |N| que es |N|-universal

sobre N . Por la modelo-homogeneidad de M, existe una ≺UK-inmersión f : M ′ −→ M

que fija puntualmente a N . Defina N ′ := f[M] que por el lema 2.2.5 es universal sobre

N . 2.2.7

2.2.2. Modelos límite

A continuación expondremos por primera vez el concepto de modelo límie en el contex-

to de las Q-AECs y deduciremos algunas de sus propiedades básicas que nos serán de

bastante utilidad en la demostración del teorema de Shelah-Villaveces. Algunas de estas

propiedades son la unicidad de modelos límite que tienen longitudes de la misma cofina-

lidad y la existencia de modelos límite de cardinal pequeño. La demostración de unicidad

que hacemos en esta sección no utiliza herramientas elaboradas como las utilizadas por

Grossberg, VanDieren y Villaveces en [GVV16] donde la unicidad de modelos límite sin

condicones sobre las longitudes de estos es una noción débil de superestabilidad.

A continuación definimos los modelos límites y resulta inmediato de la definición que si

M es límite sobre N , entonces M es universal sobre M. Resaltamos que esta es la primera

vez que se habla de modelos límite en el contexto de las Q-AECs.

Definición 2.2.8 (cf. definición 1.4 en [GVV16]). Sean K una Q-AEC µ ≥ LS(K), α < µ+

un ordinal límite y N ∈ Kµ. Diremos que M es (µ, α)-límite sobre N si y sólo si existe una

≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que M0 = N , M =

⋃i<α

Mi y para todo i < α

tenemos que Mi+1 es universal sobre Mi.


Observación 2.2.9. Notemos que por la observación 2.2.2, podemos tomar ≺K-cadenas en vez de

≺UK-cadenas en la definición anterior.

Corolario 2.2.10 (cf. corolario 2.13 en [GV06a]). Sea K una Q-AEC µ-estable, con MAG y que

satisface AP. Si M ∈ K es de tamaño µ y σ < µ+ es un ordinal límite, entonces existe N ∈ Kµ

que es (µ, σ)-límite sobre M.

Demostración. La demostración es iterar σ veces el lema 2.2.6 sobre M tomando uniones

en los ordinales límites < σ. 2.2.10

La demostración del siguiente lema es una aplicación inmediata del corolario 2.2.10 y de

la demostración del lema 2.2.7 y por tal motivo no la incluimos.

Corolario 2.2.11. Si K una Q-AEC λ-categórica con MAG y que satisface AP y N ∈ K es de

tamaño λ, entonces para todo M ≺UK N de tamaño µ con LS(K) ≤ µ < λ existe M ′ ≺U

K N que

es (µ, σ)-límite sobre M con σ < µ+.

El siguiente resultado nos dice que dos modelos límite son isomorfos si las cadenas que

atestiguan que sean límite tienen longitudes de la misma cofinalidad. En el contexto de

las AECs, Grossberg, VanDieren y Villaveces demuestran en [GVV16] que dos modelos

límites son isomorfos si el carácter local de la relación de ruptura se satisface. En [SV99]

Shelah y Villaveces demuestran que el carácter local de la relación de ruptura se sigue de

categoricidad y dicho resultado es la piedra angular en las aproximaciones de superes-

tabilidad en AECs (véase [Vas17c]). En el contexto de las Q-AECs, el carácter local de la

relación de ruptura es tratado por vez primera en el capítulo 2 del presente trabajo.


Lema 2.2.12 (cf. hecho 1.3.6 en [SV99]). Sean K una Q-AEC, µ ≥ LS(K), σ, σ ′ < µ ordinales

límites tales que cf(σ) = cf(σ ′), M un modelo (µ, σ)-límite sobre M0, N un modelos (µ, σ ′)-

límite sobre N0 y f : M0 −→ N0 un isomorfismo. Entonces existe un isomorfismo f : M −→ N

que extiende a f.

Demostración. Sean σ, σ ′ < µ+ ordinales límites y γ = cf(σ). Como cf(σ) = cf(σ ′), en-

tonces podemos suponer que existen sucesiones 〈σj < σ〉j<γ y 〈σ ′j < σ ′〉j<γ tales que

supj<γ

σj = σ y supj<γ

σ ′j = σ ′; esto implica que si 〈Mi〉i<σ es testigo que M sea (µ, σ)-límite

sobre M0 y 〈Ni〉i<σ ′ es testigo que N sea (µ, δ)-límite sobre N0, entonces M =⋃j<γ

Mσj

y N =⋃j<γ

Nσ ′j. Utilizaremos back and forth de longitud γ para construir el isomorfismo

entre M y N ; para ello sean {ak}k<µ y {bk}k<µ enumeraciones de M \M0 y de N \ N0

respectivamente.

Base. Tome f0 := f, M ′0 := M0 y N ′

0 := N0.

Suponga que para α < γ tenemos construidas ≺UK-cadenas crecientes continuas 〈M ′

i〉δ<2α,

〈N ′δ 〉δ<2α y ⊆-cadena creciente continua de isomorfismos 〈fδ : M ′

δ −→ N ′δ 〉δ<2α.

Fort (paso 2α + 1). Sea k ′ := mın{k < µ : ak /∈ M ′2α}. Como M =

⋃j<γ

Mσj , existe j < γ tal

que ak ′ ∈ Mσj y M ′2α ≺U

K Mσj ; sea j ′ el mínimo de tales j. Por el axioma de Löwenheim-

Skolem descendente (definición 1.1.1.5), existe M ′ ≺UK Mσj ′

tal que M ′2α ∪ {ak ′} ⊆ M ′

de donde inmediatamente deducimos que M ′2α ⊆ M ′ y por los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4a) tenemos que M ′2α ≺K M ′ pues en particular M ′

2α,M′ ≺K Mσj ′

.

Por los axiomas de densidad (definición 1.1.1.4b) tenemos que existe M ′′ ∈ K|M ′ | tal que

M ′ ≺UK M ′′ ≺U

K Mσj ′pues M ′ ≺U

K Mσj ′y como M ′

2α ≺K M ′ ≺UK M ′′, entonces al aplicar

los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) podemos concluir que M ′2α ≺U

K M ′′.


Notemos que por la escogencia de la sucesión 〈σ ′j〉j<γ, existe j < γ tal que N ′

2α ≺UK Nσ ′

j; sea

j ′′ el menor de tales j. Por la escogencia de la sucesión 〈σ ′j〉j<γ tenemos que σ ′

j ′′ < σ′j ′′+1, por

tanto Nσ ′

j ′′≺U

K Nσ ′

j ′′+1y como Ni+1 es universal sobre Ni, entonces aplicando el lema 2.2.4

tenemos que Nσ ′

j ′′+1es universal sobre Nσ ′

j ′′y al aplicar de nuevo el lema 2.2.4 tenemos

que Nσ ′

j ′′+1es universal sobre N ′

2α pues N ′2α ≺U

K Nσ ′

j ′′. Por el lema de renombramiento

(lema 1.1.16) tenemos que existen N ′′ ≻UK N ′

2α y un isomorfismo g : M ′′ −→ N ′′ que

extiende a f2α : M ′2α −→ N ′

2α; notemos que como Nσ ′

j ′′+1es universal sobre N ′

2α, entonces

existe una ≺UK-inmersión h : N ′′ −→ Nσ ′

j ′′+1que fija puntualemente a N ′

2α.

M ′2α� _

≺UK

��

f2α

≈// N ′

2α� _

≺UK

��✤✤✤

� � ≺UK // Nσ ′

j ′′

� � ≺UK // Nσ ′

j ′′+1

M ′′g

≈ //❴❴❴ N ′′

h

55❦❦❦❦❦❦❦❦❦

Definamos M ′2α+1 := M ′′, N2α+1 := h[N ′′] y f2α+1 := h ◦ g. Debido que g : M ′′ −→ N ′′

y h : N ′′ −→ h[N ′′] son isomorfismos, entonces f2α+1 también lo es; además como g

extiende a f2α y h ↾N ′2α= 1N ′

2α, entonces f2α+1 también extiende a f2α.

Back (paso 2α+2). Con un argumento similar al anterior obtenemos el siguiente diagrama

y similarmente en el paso forth, podemos construir N ′2α+2, M

′2α y el isomorfismo f2α+2 :

M ′2α+2 −→ N ′

2α+2.

Mσj ′′+1Mσj ′′_?

≺UKoo M ′

2α+1� _

≺UK

��✤✤✤

_?

≺UKoo f2α+1

≈// N ′

2α+1� _

≺UK

��M ′′

h

jj❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚ ❚N ′′

g

≈oo❴ ❴ ❴ ❴

Paso límite. Supongamos que α < γ es un ordinal límite y que para todo β < α tenemos

construidos M ′β ≺U

K M, N ′β ≺U

K N e isomorfismos fβ : Mβ −→ Nβ. Notemos que por


la escogencia de las sucesiones 〈σj〉j<γ y 〈σ ′j〉j<γ, existe j tal que para todo β < α se tiene

que M ′β ≺U

K Mσj y N ′β ≺U

K Nσ ′j. Definamos M ′

α :=⋃β<α

M ′β, N ′

β :=⋃β<α

N ′β y fα :=

⋃β<α

fβ. Al

aplicar los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c) tenemos que M ′α ≺K

Mσj y que N ′α ≺K Nσ ′

j; además como Mσj ≺

UK M y Mσ ′

j≺U

K N , entonces por los axiomas

de coherencia (definición 1.1.1.4b) tenemos que M ′α ≺U

K M y N ′α ≺U

K N . Como f2α+2 es la

unión de una sucesión creciente de isomorfismos, entonces f2α+2 es un isomorfismo.

Por la construcción de los M ′α y los N ′

α para todo α < γ, tenemos que M =⋃α<γ

M ′α

y que N =⋃α<γ

N ′α. También por lo establecido en los párrafos anteriores, tenemos que

f :=⋃α<γ

fα es un isomorfismo entre M y N que además extiende al isomorfismo f pues

f0 = f. 2.2.12

Notemos que en particular el lema 2.2.12 nos dice que dos modelos (µ, σ)-límites sobre

una ≺K-subestructura o una ≺UK-subestructura común son isomorfos. El siguiente corola-

rio nos dice que la condición del isomorfismo f del lema 2.2.12 puede ser removida bajo

JEP.

Corolario 2.2.13. Si K es una Q-AEC que satisface JEP y σ, σ ′ < µ+ son ordinales límite tales

que cf(σ) = cf(σ ′). Si M es (µ, σ)-límite y N es (µ, σ ′)-límite, entonces M es isomorfo a N .

Demostración. Sean 〈Mi〉i<σ y 〈Ni〉i<σ ′ cadenas ≺UK-creciente continuas que atestiguan que

M sea (µ, σ)-límite y que N sea (µ, σ ′)-límite respectivamente. Como K satisface JEP,

entonces existen M ′ ≻UK M0 y una ≺U

K-inmersión f : N0 −→ M ′.

M0� �

≺UK

//❴❴❴ M ′

f[N0]?�

≺UK

OO

N0f

≈oo❴ ❴ ❴


Por los axiomas de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), tenemos que

existe M ′′ ∈ K|N0 | tal que M ′′ ≺UK M ′ y f[N0] ⊆M ′′, esto último implica que f[N0] ⊆ M ′′.

Al aplicar los axioma de coherencia (definición 1.1.1.4a) tenemos que f[N0] ≺K M ′′ pues

en particular tenemos que f[N0],M ′′ ≺K M ′ y como M ′′ ≺UK M ′, entonces por los axio-

mas de densidad (definición 1.1.1.7a) existe M ′′′ ∈ K|M ′′ | tal que M ′′ ≺UK M ′′′ ≺U

K M ′. Por

tanto podemos suponer que M ′ ∈ Kµ pues |N0| = µ.

Como f : N0 −→ f[N0] es un isomorfismo, entonces podemos utilizar el lema de renom-

bramiento (lema 1.1.16) para encontrar M ′′ ≻UK N0 y un isomorfismo f ′ : M ′′ −→ M ′ que

extiende a f.

M0� �

≺UK

// M ′ M ′′f ′

≈oo❴ ❴ ❴

f[N0]?�

≺UK

OO

N0f

≈oo?�

≺UK

OO✤✤✤

Ahora como por definición de modelos límite M1 es universal sobre M0 y N1 es uni-

versal sobre N0, existen ≺UK-inmersiones g1 : M ′ −→ M1 y g2 : M ′′ −→ N1 que fijan

puntualmente a M0 y N0 respectivamente.

M1

M0

?�

≺UK

OO

� �

≺UK

// M ′

g1cc❋❋❋❋

M ′′f ′

≈oo

g2

!!❈❈

❈❈

❈

f[N0]?�

≺UK

OO

N0f

≈oo?�

≺UK

OO

� �

≺UK

// N1

Como M ′ y M ′′ son isomorfos, entonces es evidente que g1[M ′] es isomorfo a g2[M ′′].

Además, como M2 es universal sobre M1 y N2 es universal sobre N1, entonces por el lema

2.2.4 tenemos que M2 es universal sobre g1[M ′] pues g1[M ′] ≺UK M1 y N2 es universal

sobre g2[M ′′] pues g2[M ′′] ≺UK N1.


Definamos las ≺UK-cadenas crecientes continuas 〈M ′

i〉i<σ y 〈N ′i 〉i<σ ′ de la siguiente manera

M ′0 := g1[M

′] N ′0 := g2[M

′′],

M ′i := Mi+1 N ′

i := Ni+1 para todo i < ω,

M ′ω :=

⋃

i<ω

M ′i N ′

ω :=⋃

i<ω

N ′i

M ′i := Mi N ′

j := Nj para todos i ∈ (ω,σ) y j ∈ (ω,σ ′)

Es fácil ver que M ′ω = Mω y N ′

ω = Nω pues 〈M ′i〉i<ω es cofinal en 〈Mj〉j<ω y 〈N ′

i 〉i<ω es

cofinal en 〈Nj〉j<ω.

Por como están definidas las cadenas 〈M ′i〉i<σ y 〈N ′

j 〉j<σ ′ , estas atestiguan que M es (µ, σ)-

límite y que N es (µ, σ ′)-límite respectivamente pues 〈M ′i〉i<σ es cofinal en 〈Mj〉j<σ y

〈N ′i 〉i<σ es cofinal en 〈Nj〉j<σ.

Como M ′0 y N ′

0 son isomorfos, entonces podemos aplicar el lema 2.2.12 y concluir que M

y N son isomorfos. 2.2.13

El siguiente es un corolario inmediato del lema 2.2.12 y por tal manera no incluimos la

demostración. El resultado es análogo al que se tiene en el contexto de las AECs y nos

será de utilidad más adelante cuando demostremos que la unión de una cadena creciente

continua de modelos saturados es saturada.

Corolario 2.2.14 (cf. lema 10.15 en [Bal09]). Sean K una Q-AEC, µ un cardinal, δ < µ+ un

ordinal límite y M y N modelos (µ, µ×δ)-límites sobre sobre M0 y N0 respectivamente. Si M0 es

isomorfo a N0, entonces M y N son isomorfos nivel a nivel en la subsucesión de modelos indexada

por 〈µ× i〉i<δ.


Suponiendo categoricidad, el siguiente resultado nos permitirá utilizar modelos de Erhen-

feucht-Mostowski para representar modelos límite. El resultado es análogo al que se tiene

en el constexto de las AECs y nos hemos basado en la monografía [Bal09] para hacer la

traducción al contexto de las Q-AEC.

Lema 2.2.15 (cf. lemma 10.16 en [Bal09]). Sean K una Q-AEC λ-categórica, LS(K) ≤ µ <

cf(λ), δ < µ+ un ordinal límite e I = µ<ω. Entonces:

1.⟨EML(K) (I× α,Φ)

⟩α<δ

1 es una ≺UK-cadena de modelos de cardinalidad µ tal que

EML(K) (I× (α+ 1), Φ) es µ-universal sobre EML(K) (I× α,Φ) para todo α < δ y por

tanto EML(K) (I× δ,Φ) es un modelo (µ, I× δ)-límite sobre EML(K) (I, Φ).

2. Para todo ordinal α < µ+, EML(K) (I× α,Φ) es isomorfo a EML(K) (I× µ× α,Φ).

3. Todo modelo (µ, δ)-límite sobre M0, con M0 isomorfo a EML(K) (I, Φ), es isomorfo a

EML(K) (I× δ,Φ).

Demostración. 1. Sea δ < µ+ un ordinal límite y α < δ un ordinal. Notemos que como

µ+ ≤ cf(λ) ≤ λ y α es un segmento inicial de δ < µ+, entonces α es un segmento

inicial de λ y por tanto I × α es segmento inicial de I × λ. En consecuencia si X e

Y son conjuntos de tamaño µ tales que X ( I × α y X ( Y ( I × λ, tenemos que

existen Y0 ( I × α e Y1 ( (I × λ) \ (I × α) con |Y1| = µ tales que Y \ X = Y0 ∪ Y1,

esto pues Y es de cardinalidad µ < cf(λ). Ahora bien, al ser I = µ<ω ordenado

con el orden lexicográfico un orden lineal rebosante (hecho 1.5.15), es en particular

universal sobre el vacío y como |I| = |Y1| = µ, entonces podemos suponer que existe

1Acá I× α está ordenado con el orden antilexicográfico.


una inmersión de orden f : Y1 −→ (I×(α+1))\ (I×α)2 y por tanto podemos definir

la inmersión f ′ : Y −→ I× (α+ 1) como:

f ′(x) :=

x, si x ∈ I× α

f(x), si x ∈ Y \ I× α.

Como estamos trabajando bajo axioma de elección, entonces |I×α| = |I| · |α| y como

|I| = µ y α < µ+, podemos concluir que |I × α| = µ < cf(λ). Además como K es λ-

categórica, entonces al aplicar el corolario 2.1.4 tenemos que existe una estructura de

cardinalidad λ que es cf(λ)-saturada y por tanto EML(K) (I× λ,Φ) es cf(λ)-saturado

y cf(λ)-modelo-homogéneo (teorema 1.2.1) pues

‖EML(K) (I× λ,Φ) ‖ = |I× λ| pues λ > LS(K),

= |I| · λ pues estamos trabajando bajo el axioma de elección,

= µ · λ,

= λ pues µ < cf(λ) ≤ λ.

Por lo anterior tenemos que para toda ≺UK-extensión M ∈ Kµ de EML(K) (I× α,Φ)

existe una ≺UK-inmersión g : M −→ EML(K) (I× λ,Φ) que fija puntualmente a

EML(K) (I× α,Φ) pues EML(K) (I× λ,Φ) es cf(λ)-saturado (lema 2.1.4) y por tan-

to cf(λ)-modelo-homogéneo (teorema 1.4.3).

Como g[M] ≺UK EML(K) (I× λ,Φ) entonces por la definición 1.1.1.7a (axiomas de

densidad), existe M ′ ∈ K|M| tal que g[M] ≺UK M ′ ≺U

K EML(K) (I× λ,Φ) y en con-

2Notemos que acá lo que se está haciendo es sumergir una copia isomorfa de un subconjunto de I que se

encuentra en I× λ en (I× (α+ 1) \ (I× α) que también es una copia isomorfa de I.


secuencia existe un ordinal β < µ+ tal que α < β y M ′ ≺K EML(K) (I× β,Φ). Al

ser α < β < µ+, tenemos que |I × β| = |I| · |β| = µ y que I × β contiene propia-

mente a I × α; por tanto existe una inmersión de orden f ′ : I × β −→ I × (α + 1)

-recuerde lo hecho al principio de la prueba con Y = I × β- que por el hecho 1.5.7

puede ser extendida a una L ′-inmersión f ′ : EM (I× β,Φ) −→ EM (I× (α+ 1), Φ)

donde L ′ es la expansión de L(K) dada por el teorema de Presentación (teore-

ma 1.1.19). Como f ′ [EM (I× β,Φ)] ⊆L ′ EM (I× (α+ 1), Φ), entonces al aplicar

el teorema de Presentación (teorema 1.1.19) tenemos que f ′[EML(K) (I× β,Φ)

]≺K

EML(K) (I× (α+ 1), Φ). Por otro lado, como g[M] ≺UK M ′ ≺K EML(K) (I× β,Φ),

entonces por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4c) podemos deducir que

g[M] ≺UK EM (I× β,Φ) y al ser

f ′ ↾EML(K)(I×β,Φ): EML(K) (I× β,Φ) −→ f ′[EML(K) (I× β,Φ)]

un isomorfismo, podemos concluir gracias a los axiomas de isomorfismo que f ′[g[M]]

≺UK f

′[EML(K) (I× β,Φ)] pues g[M] ≺UK EM (I× β,Φ); además por los axiomas de

coherencia (definición 1.1.1.4c), tenemos que f ′[g[M]] ≺UK EML(K) (I× (α+ 1), Φ)

pues f ′[g[M]] ≺UK f

′[EML(K) (I× β,Φ)] ≺K EML(K) (I× (α+ 1), Φ).

Definamos F : M −→ EML(K) (I× (α+ 1), Φ) como F(m) = f ′(g(m)) que es una

≺UK-inmersión pues F[M] = f ′[g[M]] ≺U

K EML(K) (I× (α+ 1), Φ) y por tanto

EML(K) (I× (α+ 1), Φ) es universal sobre EML(K) (I× α,Φ).

Al definir Mα := EML(K) (I× α,Φ) para todo α < δ, resulta que Mδ :=

EML(K) (I× δ,Φ) es (µ, δ)-límite sobre M0 := EML(K) (I, Φ).


2. Notemos que si σ ∈ µ<ω = I, entonces existe n < ω tal que dom(σ) = n y por

tanto podemos definir para todo i < µ, σî := σ ∪ {(n, µ)} con dominio n + 1. Sea

Ii := {σî : σ ∈ I} para todo i < µ. Mediante la función f : I −→ Ii definida como

f(σ) := σî resulta sencillo demostrar que I e Ii son isomorfos y similarmente no

es difícil ver que Ii es isomorfo a I × {i} mediante la función que envía a (σ, i) en

σî. Lo anterior implica que I es isomorfo a I × µ, por tanto existe un isomorfismo

g : I×α −→ I×µ×α y al aplicar el hecho 1.5.7 podemos extender g a un isomorfismo

g : EM (I× α,Φ) −→ EM (I× µ× α,Φ).

3. Es inmediato del lema 2.2.14 y del primer ítem de este lema teniendo en cuenta que,

por el ítem anterior, EML(K) (I× α,Φ) y EML(K) (I× µ× α,Φ) son isomorfos.

2.2.15

2.3. Docilidad

Como lo mostramos en la proposición 1.3.12, si p, q ∈ ga − S (M) son tales que p ↾M06=

q ↾M0con M0 ≺K M, entonces p 6= q. Si p 6= q nosotros podemos preguntarnos si

existe una subestructura N de M tal que p ↾N 6= q ↾N , es decir si podemos controlar los

tipos mediante subestructuras pequeñas. Para responder esta pregunta pensemos en el

caso de primer orden: si tenemos que p, q ∈ S(A) son dos tipos sintácticos diferentes,

entonces existe una fórmula con parámetros en A que atestigua la diferencia; esto es, un

subconjunto finito de A es lo que atestigua la diferencia de los tipos. Lo anterior motiva

la definición de docilidad, concepto crucial en la respuesta parcial a la conjetura de cate-

2.3 Docilidad 119

goricidad eventual de Shelah de Grossberg y VanDieren en [GV06b] y de transferencia de

estabilidad de Baldwin, Kueker y VanDieren en [BKV+06].

Grossberg y VanDieren en [GV06b] consideran la propiedad de docilidad como una pro-

piedad natural de las AECs pues los contraejemplos son muy artificiales y por tanto es un

supuesto natural en dicho contexto. Coppola introduce el concepto de docilidad y deduce

algunas consecuencias de este concepto en el contexto de las Q-AEC en el capítulo 3 de

[Cop06]. A continuación nosotros expondremos el concepto de docilidad y algunas de las

implicaciones adaptadas por Coppola al contexto de las Q-AECs.

Definición 2.3.1 (definición 3.2.19 en [Cop06]). Sean K una Q-AEC y χ > LS(K) un cardinal.

Diremos que K es (< χ)-dócil si y sólo sí para todos p, q ∈ ga − S (M) tales que p 6= q, existe

M0 ≺UK M con |M0| < χ tal que p ↾M0

6= q ↾M0. Diremos que K es χ-dócil si es (< χ+)-dócil.

Diremos que K es dócil si es LS(K)-dócil.

Observación 2.3.2. Notemos que si M ∈ K≥χ, entonces por el lema 1.1.13 podemos poner en la

deficnición que M0 ≺K M en vez de M0 ≺UK M pues M0 ∈ K<χ.

El siguiente resultado nos dice que la propiedad de χ-docilidad se transfiere para todo

χ ′ > χ.

Proposición 2.3.3 (cf. hecho 3.2.20 en [Cop06]). Sea K una Q-AEC que satisface AP, JEP y

tiene MAG. Si K es χ-dócil, entonces es χ ′-dócil para todo χ ′ ≥ χ. Además si p, q ∈ ga− S (M)

son diferentes con M ∈ K>χ, entonces para todo N ≺UK M, tal que |N| < |M| tenemos que existe

M0 tal que N ≺K M0 ≺UK M y p ↾M0

6= q ↾M0.

Demostración. La primera parte de la proposición es inmediata de la definición.


Además si p, q ∈ ga − S (M) son diferentes para M ∈ K>χ, entonces existe M0 ≺UK M

tal que M0 ∈ K<χ+ p ↾M06= q ↾M0

. Sea N ∈ K<|M| tal que N ≺UK M. Por el axioma de

Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5) tenemos que existe M ′0 ∈ K|M0 |+|N|

tal que M0, N ⊆ M ′0 y M ′

0 ≺UK M. Como N ⊆ M ′

0, entonces N ⊆ M0 y utilizando los

axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) podemos concluir que N ≺K M0 pues en

particular tenemos que N ,M0 ≺K M. 2.3.3

En [Bon14] W. Boney prueba que la existencia de una clase de cardinales fuertemente

compactos implica que una AEC sea dócil en dichos cardinales (teorema 4.5 en [Bon14]).

Por otro lado una de las hipótesis importantes en el resultado de transferencia de catego-

ricidad de Grossberg y VanDieren (teorema 0.1 en [GV06b]) es la docilidad en un cardinal

por encima de número de Löwenheim-Skolem de la clase; al unir los dos resultados tene-

mos entonces que la conjetura de categoricidad eventual de Shelah es consecuencia con la

existencia de cardinales fuertemente compactos. La principal herramienta utilizada por

Boney es una versión del teorema de Łos para AECs (teorema 4.3 en [Bon14]) y dicho

resultado es una aplicación del teorema de Presentación de Shelah y del teorema de Łos

para la lógica Lκ,ω con κ un cardinal fuertemente compacto.

En [LR16] Lieberman y Rosický generalizan el resultado de Boney al contexto de las ca-

tegorías accesibles. En el contexto de las categorías accesibles, los tipos de Galois son

definidos como relaciones de equivalencia de triplas de manera similar a lo hecho en la

definición 1.3.2 y de manera similar se hace con el concepto de docilidad. Para un estu-

dio detallado de más resultados en el contexto de las AECs adaptados al contexto de las

categorías accesibles véase [BR12], [Lie11], [LRV18] y [LR15].

2.3 Docilidad 121

Hecho 2.3.4 (teorema 5.2 en [LR16]). Si existe una clase propia de cardinales fuertemente com-

pactos, entonces toda categoría accesible con colímites directos es dócil.

En [Cop06] no se menciona el argumento de Boney pues este último es muy posterior a la

presentación de la tesis doctoral de Coppola; por tanto en el presente trabajo se trata por

vez primera la consistencia conjuntista de la docilidad en el contexto de las Q-AECs. En

primer lugar debemos notar que gracias a los lemas 1.1.22 y 1.1.27 podemos afirmar que

una Q-AEC K es una categoría accesible con colímites directos (para familiarizarse con el

concepto de categoría accesible véase la sección 3 de [Lie11] o [BR12]).

Hecho 2.3.5 (cf. teorema 4.1). Si K es una Q-AECy λ > LS(K) es un cardinal regular, entonces

K es una categoría λ-accesible con colimites directos.

Lo anterior nos permite aplicar el hecho 2.3.4 y así poder tener la consistencia conjuntista

de docilidad en Q-AECs.

Afirmación 2.3.6. Si existe una clase propia de cardinales fuertemente compactos, entonces toda

Q-AEC K es χ-dócil con χ en la clase de cardinales fuertemente compactos.

Como lo dijimos en la introducción, la propiedad fundamental en el resultado de transfe-

rencia de categoricidad de Grossberg-Vandieren en [GV06b] que Coppola intentó adap-

tar en [Cop06] con algunas dificultades, es la docilidad. La afirmación 2.3.6 nos permite

tener cambiar esta hipótesis por la de la existencia de una clase propia de cardinales fuer-

temente compactos y así estar listos para intentar solucionar las dificultades que se le

presentaron a Coppola en su tesis y que aislamos en la introducción.


Recordemos que el problema central en el trabajo de Coppola está en poder garantizar

que no existen pares fuertes de Vaught y propone las condiciones 0.0.6, 0.0.7 y 0.0.8 para

intentar solucionar este problema.

Pregunta 2.3.7. ¿Es posible demostrar, refutar o quitar las condiciones 0.0.6, 0.0.7 o 0.0.8 pro-

puestas por Coppola?

3 Ruptura y carácter local de la no

ruptura

La relación de ruptura es una primera aproximación a una noción de independencia bien

comportada en el contexto de las AECs que se puede adaptar fácilmente al contexto de

las Q-AECs. Dicha relación es introducida por Shelah para el contexto de las AECs en

[She99] y Coppola adapta el concepto de ruptura para el contexto de las Q-AECs en la

sección 3.2 de [Cop06].

En la primera parte de este capítulo nosotros reproduciremos el trabajo hecho por Cop-

pola para la noción de ruptura haciendo ciertas observaciones y demostrando cada resul-

tado con todos los detalles; además de esto, demostraremos algunas propiedades que no

están enunciadas en [Cop06] que nos serán de utilidad en el estudio de la superestabi-

lidad en el contexto de las Q-AECs, especialmente al momento de demostrar el carácter

local de la relación de no ruptura y la existencia de marcos buenos. Luego de introducir

la noción de ruptura y sus propiedades, procederemos a enunciar y demostrar una ver-

sión del teorema de Shelah-Villaveces (teorema 2.2.1 en [SV99]) que nos habla del carácter

124 3 Ruptura y carácter local de la no ruptura

local de la relación de no-ruptura en Q-AECs.

Podríamos decir que el teorema de Shelah-Villaveces es un análogo a que κ(T) = ℵ0 para

una teoría superestable T de primer orden, es decir que hay no-bifurcación sobre algún

conjunto finito para todo tipo sintáctico. Para adaptar y demostrar el teorema de Shelah-

Villaveces al contexto de las Q-AECs, nosotros utilizaremos las ideas expuestas por Shelah

y Villaveces en [SV99] y por Boney, Grossberg, VanDieren y Vasey en [BGVV17].

En este capítulo supondremos que toda Q-AEC K satisface AP, JEP y tiene modelos ar-

bitrariamente grandes. Además de esto, estaremos trabajando siempre bajo el supuesto

que existe una clase propia de cardinales tales que κ = κ<κ y por tanto podremos aplicar

siempre el teorema 1.2.7 garantizando la existencia de modelos monstruos de tamaños

arbitrariamente grandes. Otro supuesto conjuntista que haremos en este capítulo, a no

ser que se diga lo contrario, es la hipótesis generalizada del continuo (GCH) pues es in-

dispensable en la demostración del teorema de Shelah-Villaveces.

3.1. Ruptura

El concepto de ruptura (splitting en inglés) tiene un lugar muy importante en el desarro-

llo de la noción de superestabilidad en AECs pues es una aproximación a nociones de

independencia en este contexto y es fundamental en el teorema de Shelah-Villaveces (teo-

rema 2.2.2 en [SV99]). Intuitivamente hablando, la ruptura se da cuando un tipo de Galois

p ∈ ga − S (N ) tiene cambios fuertes de información sobre alguna ≺UK-subestructura M de

N y la no ruptura cuando estos cambios fuertes de información no se presentan.

Para ser un poco más precisos con lo que significa cambios fuertes de información, recurra-

3.1 Ruptura 125

mos al concepto de ruptura en términos de tipos sintácticos. Para ello, sea A ⊆ M un

conjunto y p ∈ S(A) un tipo completo. Diremos que p ∈ G(A) rompe sobre B ⊆ A si para

algún n ∈ N existen a, b ∈ An tales que tp (a/B) = tp(b/B

)y una fórmula φ(x, y) tal

que φ(x, a) ∈ p y ¬φ(x, b) ∈ p.

Sea c � p. Como tp (a/B) = tp(b/B

), entonces existe un isomorfismo parcial f que fija

puntualmente a B tal que f(a) = b; dicho isomorfismo puede ser extendido a un auto-

morfismo f de M.

b

bb

a b

c

B

A

f

Notemos que como p es un tipo completo y φ(x;a), ¬φ(x;b) ∈ p, entonces

f (tp(c/Ba)) = tp(f (c) /f (Ba)

),

= tp(f (c) /f (Ba)

)pues f ⊆ f,

= tp(f (c) /Bf (a)

)pues f ↾B= 1B,

= tp(f (c) /Bb

)pues f(a) = b,

6= tp(c/Bb

)pues φ(x;a), ¬φ(x;b) ∈ p.

Lo anterior motiva la noción de ruptura en el contexto de las AECs y fue introducida por

Shelah en [She99]. Coppola hace la traducción de dicha noción al contexto de las Q-AEC.


Definición 3.1.1 (cf. definición 3.2.14 en [Cop06], cf. definición 2.1.4.1 en [She99]). Sean K

una Q-AEC y M,N ∈ K. Diremos que p ∈ ga − S (N ) µ-rompe sobre M ≺K N si y sólo si

existen N1,N2 ∈ K≤µ y un isomorfismo h : N1 −→ N2 tales que:

(a) M ≺K N1,N2 ≺UK N ,

(c) h ↾M= 1M,

(d) y p ↾N26= h(p ↾N1

).

La siguiente es la primera propiedad de la relación de ruptura. Esta propiedad no es

estudiada por Coppola en su tesis doctoral.

Observación 3.1.2 (transitividad de la relación de ruptura). Si p ∈ ga − S (N ) µ-rompe

sobre M ≺UK N , entonces para todo M ′ ≺K M tenemos que p µ-rompe sobre M ′. Además, si

q ∈ ga− S (N ′) es tal que q ↾N= p donde N ′ ≻K N , entonces q µ-rompe sobre M.

Demostración. Si p ∈ ga − S (N ) µ-rompe sobre M, entonces existen N1,N2 ∈ K≤µ y un

isomorfismo h : N1 −→ N2 tales que M ≺K N1,N2 ≺UK N , h ↾M= 1M y p ↾N2

6= h(p ↾N1).

Como M ′ ≺K M, tenemos que h ↾M ′= 1M ′ y que M ′ ≺K N1,N2 ≺UK N ; por tanto p

µ-rompe sobre M ′ pues p ↾N26= h (p ↾N1

).

Por otro lado, si q ∈ ga − S (N ′) con N ≺K N ′ y q ↾N= p, entonces por los axiomas de

coherencia (definición 1.1.1.4c) tenemos que N1,N2 ≺UK N ′ pues N1,N2 ≺U

K N ≺K N ′ y

como q ↾N= p, entonces q ↾N1= p ↾N1

y q ↾N2= p ↾N2

y por tanto h (q ↾N1) 6= q ↾N2

. En

conclusión, q µ-rompe sobre M. 3.1.2

Como veremos a lo largo de este capítulo, la ruptura y la no ruptura siempre coexisten. En el

siguiente resultado mostramos que la persistencia de ruptura es el caso malo pues implica

3.1 Ruptura 127

que no hay estabilidad bajo condiciones de cardinalidad adecuadas. En la demostración

que presentamos a continuación nosotros completamos detalles y aclaramos algunas im-

presiciones que tiene la demostración de Coppola con las cadenas que se construyen y

para ello hemos tenido en cuenta las ideas expuestas en [Bal09].

En el siguiente lema no necesariamente vamos a suponer GCH.

Lema 3.1.3 (lema 2.2.17 en [Cop06]). Sea κ el mínimo cardinal tal que 2κ > µ. Suponga que

〈Mi〉i<κ ⊂ Kµ es una sucesión creciente continua. Si p ∈ ga − S

(⋃i<κ

Mi

)es tal que p ↾Mi+1

µ-rompe sobre Mi para todo i < κ, entonces K no es estable en µ.

Demostración. Por hipótesis tenemos que para todo i < κ, existen M1i ,M

2i ∈ K≤µ e iso-

morfismos fi : M1i −→ M2

i tales que Mi ≺K M1i ,M

2i ≺

UK Mi+1, fi fija puntualmente a Mi

y fi(p ↾M1i) 6= p ↾M2

i.

Sea µ > κ tal que µ<µ = µ. Notemos que por el teorema 1.2.7, tenemos que existe C ∈ Kµ

de tal manera que⋃i<κ

Mi ≺UK C y como por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (defi-

nición 1.1.1.6b) podemos decir que para todo i < κ se cumple que Mi ≺UK

⋃i<κ

Mi, entonces

al aplicar la transitividad de la relación ≺UK (definición 1.1.1.1) tenemos que Mi ≺U

K C pa-

ra todo i < κ. Además como C es homogéneo (teorema 1.2.7), entonces para todo i < κ

existe fi ∈ AutMi(C) que extiende a fi : M1

i −→ M2i .

Lo que haremos es construir un árbol de nuevas estructuras Nη con η ∈ 2<κ, basán-

donos en la cadena 〈Mi〉i<κ dada en las hipótesis del lema a partir de isomorfismos

hη : Mlg(η) −→ Nη y construir una estructura de tamaño µ sobre la cuál podemos de-

finir 2κ tipos. Esto lo haremos recursivamente sobre 2<κ.


Para la base, tome N∅ = M0, h∅ = 1M0y p∅ = p ↾M0

= 1M0= (p ↾M0

).

Supongamos ahora que para lg(η) = α < κ y η ∈ 2α tenemos construidos Nη, isomor-

fismos hη : Mα −→ Nη y tipos de Galois pη = hη(p ↾Mα) ∈ ga − S(Nη), donde hη

es un automorfismo de C que extiende a hη dado por la homogeneidad de C (teore-

ma 1.2.7). Definimos hηa0 := hη ↾Mα+1, hηa1 := hη ◦ fα ↾Mα+1

, Nηai := hηai(Mα+1) y

pηai := hηai(p ↾Mα+1) ∈ ga − S(Nηai). Notemos que por construcción se cumple que

hη ⊆ hηai para i = 0, 1. Como Mα ≺UK Mα+1 y los hηai son isomorfismos pues son res-

tricciones de automorfismos de C, entonces por la definición 1.1.1 parte 3 (axiomas de

isomorfismo) tenemos que Nη ≺UK Nηai para i = 0, 1.

Si i < κ es un ordinal límite y para todo j < i y todo η ′ ∈ 2j tenemos construidos Nη ′

e isomorfismos hη ′ : Mα −→ Nη ′ , entonces para todo η ∈ 2β definimos hη :=⋃j<i

hη↾j ,

Nη := hη(Mi) y pη := hη(p ↾Mi).

Por construcción es inmediato que para todo η ∈ 2<κ se tiene que Nη ≺UK C, en particular

tenemos que para todo η ∈ 2<κ se cumple queNη ⊆ |C| y por tanto⋃

η∈2<κ

Nη ⊆ |C|. Además

como

∣∣∣∣∣⋃

η∈2<κ

|Nη|

∣∣∣∣∣ = 2<κ · supη∈2<κ

{|Nη|},

= 2<κ · µ pues para todo η ∈ 2<κ tenemos que |Mi| = |Nη| = µ,

= sup{2λ : λ < κ, λ cardinal} · µ,

≤ µ · µ pues por hipóteis κ es el mínimo cardinal tal que 2κ > µ,

= µ

3.1 Ruptura 129

y como µ = |N∅| ≤

∣∣∣∣∣⋃

η∈2<κ

|Nη|

∣∣∣∣∣, entonces tenemos que

∣∣∣∣∣⋃

η∈2<κ

|Nη|

∣∣∣∣∣ = µ.

Al aplicar la definición 1.1.1.5 (axioma de Löwenheim-Skolem descendente) podemos

encontrar M ′ ∈ Kµ tal que M ≺UK C y

⋃η∈2<κ

Nη ⊂ M ′, por tanto para todo η ∈ 2<κ

tenemos queNη ⊆M ′ y en consecuencia Nη ⊆ M ′ para todo η ∈ 2<κ. Como en particular

tenemos que para todo η ∈ 2<κ se cumple que Nη,M ′ ≺K C, entonces al aplicar los

axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) tenemos que Nη ≺K M ′ para todo η ∈ 2<κ.

Para teminar la prueba nos hace falta ver que |ga − S (M ′) | > µ. Para ello, notemos que

para todo η ∈ 2<κ existe pη ∈ ga − S (M ′) tal que pη ↾Nη= pη; por tanto para demostrar

que |ga − S (M ′) | > µ es suficiente mostrar que si η, η ′ ∈ 2<κ son diferentes, entonces

pη 6= pη ′ .

En efecto, sean γ := η ∧ η ′ el segmento inicial donde los tipos pη y pη ′ coinciden y

β = lg(γ). Por la contrucción que hicimos de los Nη, el segmento γ podría ser vacío.

Por definición de los tipos pη para η ∈ 2<κ, tenemos que pγ ⊂ pη, pη ′ y debido a que

por hipótesis tenemos que fβ : M1β −→ M2

β es tal que p ↾M2β6= fβ(p ↾M1

β), entonces

hγ(p ↾M2β) 6= hγ(fβ(p ↾M1

β)) pues hγ es un isomorfismo. Por construcción tenemos enton-

ces que pγa0 = hγa0(p ↾Mγ+1) 6= hγa1(p ↾Mγ+1

) = pγa1 y por tanto podemos concluir que

pη ↾Nγa0

6= pη ′ ↾Nγa0

, teniendo así que |ga− S(M ′)| = 2κ > κ. 3.1.3

Observación 3.1.4. Notemos que bajo la GCH para todo µ ≥ ℵ0, µ es el mínimo cardinal tal que

µ < 2µ y por tanto bastará tomar una ≺UK-cadena creciente continua de longitud µ de estructuras

en Kµ para que la clase K no sea µ-estable.

El lema 3.1.3 es una herramienta importante en las demostraciones del teorema de Shelah-

Villaveces (teorema 2.2.1 en [SV99]) dadas en [SV99] y [BGVV17] pues nos permitirá con-


tradecir la categoricidad si no se tiene el carácter local de la relación de no ruptura. De

alguna manera, como lo mostraremos la primera sección del siguiente capítulo, el concep-

to que presentamos a continuación puede ser considerado una forma débil de la noción

de carácter local de la relación de no ruptura y por tal motivo lo incluimos en la siguiente

definición para el contexto de las Q-AECs.

Definición 3.1.5 (cf. definición 6.(3) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC, µ ≥ LS(K) un car-

dinal y α un ordinal límite. Diremos que la relación de µ-ruptura tiene carácter local universal

débil en α si para toda ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es universal

sobre Mi y para todo p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

), existe ip < α tal que p ↾Mip+1

no µ-rompe sobre

Mip .

Notemos que si K es una Q-AEC que satisface JEP, AP, tiene MAG y es λ-categórica, en-

tonces por el teorema 2.1.2 tenemos que K es µ-estable para todo µ ∈ [LS(K), λ); además,

si para todo µ ∈ [LS(K), λ) tenemos que σµ el mínimo cardinal tal que 2σµ > µ, entonces

la relación de µ-ruptura tiene carácter local universal débil en σµ para todo µ ∈ [LS(K), µ)

pues de lo contrario tendríamos que K no es µ-estable por el lema 2.1.2. De este argumen-

to deducimos el siguiente corolario.

Corolario 3.1.6. Si K una Q-AEC que satisface JEP, AP, tiene MAG y es λ-categórica, entonces

para todo µ ∈ [LS(K), λ) existe σµ tal que la relación de µ-ruptura tiene carácter local universal

débil en σµ.

Observación 3.1.7. Si suponemos la GCH, tenemos que µ es el mínimo cardinal tal que 2µ > µ y

al utilizar la observación 3.1.4 junto con el corolario 3.1.6, tenemos que para todo µ ∈ [LS(K), λ)

la relación de no ruptura tiene carácter local universal débil en µ.

3.1 Ruptura 131

La siguiente afirmación es hecha por Boney, Grossberg, VanDieren y Vasey en [BGVV17]

pero sin demostración. A continuación nosotros la enunciamos y demostramos.

Lema 3.1.8 (observación 7.(2) en [BGVV17]). Sean α < β ordinales límites. Si la relación de

µ-ruptura tiene carácter local universal débil en α, entonces la relación de µ-ruptura tiene carácter

local universal débil en β.

Demostración. Para llegar a una contradicción, supongamos que la relación de no µ-ruptura

no tiene carácter local universal débil en β. Esto quiere decir que existen una ≺UK-sucesión

creciente continua 〈Mi〉i<β ⊆ Kµ y p ∈ ga − S

(⋃i<β

Mi

)tales que p ↾Mi+1

µ-rompe so-

bre Mi para todo i < β. Ahora bien como 〈Mi〉i<α es una subsucesión de 〈Mi ∈ Kµ〉i<β,

entonces es una ≺UK-sucesión creciente continua y p ↾Mα∈ ga−S (Mα) = ga−S

(⋃i<α

Mi

).

Notemos que por la escogencia de la ≺UK-sucesión 〈Mi〉i<β y del tipo de Galois p, tenemos

que p ↾Mi+1µ-rompe sobre Mi para todo i < β y como para todo i < α tenemos que

(p ↾Mα) ↾Mi+1= p ↾Mi+1

pues Mi+1 ≺UK Mα, entonces (p ↾Mα) ↾Mi+1

µ-rompe sobre Mi

para todo i < α pues α < β. Esto último es absurdo pues la relación de µ-ruptura tiene

carácter local universal débil en α. 3.1.8

El siguiente es un lema técnico que nos servirá en uno de los resultados previos (lema

3.2.22) a la demostración del carácter local de la relación de no µ-ruptura (teorema 3.2.23).

Lo que el siguiente resultado nos dice es que el carácter local débil de la ralación de

no µ-ruptura, puede ser atestiguado por un ordinal sucesor para cadenas de longitud

adecuada. En [BGVV17] para demostrarlo, los autores suponen que la relación de no µ-

ruptura tiene carácter local universal débil en µ. Como la observación 3.1.7 nos dice que

la λ-categoricidad implica que la relación de no µ-ruptutra tiene carácter local universal


débil en µ para todo µ ∈ [LS(K), λ), nosotros supondremos a lo largo de este capítulo que

K es una Q-AEC λ-categórica.

Lema 3.1.9 (cf. lema 11.(3) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC λ-categórica y µ < λ un

cardinal. Si 〈Mi〉i<µ ⊂ Kµ es una ≺UK-cadena creciente continua tal que Mi+1 es universal sobre

Mi para todo i < µ, entonces para todo p ∈ ga− S

(⋃i<µ

Mi

)existe un ordinal sucesor ip < µ

tal que p ↾Mip+1no µ-rompe sobre Mip .

Demostración. Sea 〈Mi〉i<µ ⊂ Kµ una ≺UK-sucesión creciente continua tal que Mi+1 es uni-

versal sobre Mi para todo i < µ. Por el lema 2.2.4, en particular tenemos que M2i+2 es

universal sobre M2i pues M2i+1 es universal sobre M2i y M2i+1 ≺UK M2i+2, por tanto

〈M2i〉i<µ es una ≺UK-subsucesión creciente continua tal que M2(i+1) = M2i+2 es universal

sobre M2i. Es inmediato que la ≺UK-subsucesión 〈M2i〉i<µ es cofinal en 〈Mi〉i<µ.

Gracias a que por hipótesis tenemos que K es λ-categórica, podemos aplicar la observa-

ción 3.1.7 y así concluimos que la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal

débil en µ, esto quiere decir que para todo p ∈ ga − S

(⋃i<µ

M2i

)= ga − S

(⋃i<µ

Mi

)

existe jp tal que p ↾M2(jp+1)= p ↾M2jp+2

no µ-rompe sobre M2jp .

Por otro lado, como 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ es una ≺UK-cadena creciente continua, entonces M2jp ≺U

K

M2jp+1 ≺UK M2jp+2 y por tanto al aplicar la monotonía de la relación de no µ-ruptura

(observación 3.1.13), podemos afirmar que p ↾ M2jp+2 no µ-rompe sobre M2jp+1. Defina

ip := 2jp + 1. Claramente ip es un ordinal sucesor y p ↾Mip+1= p ↾M2jp+2

no µ-rompe sobre

Mip = M2jp+1. 3.1.9

El siguiente lema es la primera aproximación que tenemos a una condición de carácter local

para la relación de no ruptura pues nos dice que, bajo el supuesto de estabilidad, existen

3.1 Ruptura 133

estructuras que atestiguan la no ruptura del cardinal de la estabilidad, dichas estructuras

las llamaremos bases de no ruptura.

Lema 3.1.10 (existencia de bases de no-ruptura (lema 3.2.18 en [Cop06])). Sean K una Q-

AEC µ-estable y |M| ≥ µ > LS(K). Para todo p ∈ ga − S (M), existe Np tal que |Np| = µ y p

no µ-rompe sobre Np.

Demostración. Para el caso en que |M| = µ, es suficiente tomar Np = M y el resultado es

inmediato.

Para el caso en que |M| > µ suponga que el enunciado es falso, lo que haremos es construir

una ≺UK-sucesión creciente continua de modelos 〈Ni〉i<κ ⊂ Kµ tal que para todo i < κ,

tengamos que p ↾Ni+1µ-rompe sobre Ni, siendo κ el mínimo cardinal tal que µ < 2κ, y así

contradecir la µ-estabilidad con ayuda del lema 3.1.3.

Para lograr nuestro objetivo, supongamos que para toda ≺UK-subestructura N ∈ Kµ de M,

p µ-rompe sobre N . Construiremos la ≺UK-sucesión 〈Ni〉κ recursivamente de la siguiente

manera:

(i) Para la base, utilice el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5)

para encontrar una ≺UK-subestructura N0 ∈ Kµ de M.

(ii) Para el paso sucesor, supongamos que para i < κ tenemos construida la ≺UK-subestruc-

tura Ni ∈ Kµ de M. Por el supuesto que hicimos al principio de la demostración,

tenemos que p µ-rompe sobre Ni y por tanto existen N 0i , N

1i ∈ Kµ y un isomorfismo

fi : N 0i −→ N 1

i tales que Ni ≺K N 0i ,N

1i ≺U

K M, fi ↾Ni= 1Ni

y fi(p ↾M0

i

)6= p ↾M1

i.

Por el lema 1.1.15, existe N ′i+1 ∈ Kµ tal que Ni ≺U

K N ′i+1 ≺

UK M y N0

i ∪N1i ⊆ N ′

i+1, de


esto último es inmediato que N 0i , N

1i ⊆ N ′

i+1 y al aplicar los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4a) podemos deducir que N 0i , N

1i ≺K N ′

i+1 pues en particular te-

nemos que N 0i , N

1i , Ni+1 ≺K M. Por los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a)

tenemos que existe Ni+1 ∈ Kµ tal que N ′i+1 ≺U

K Ni+1 ≺UK M pues N ′

i+1 ≺UK M y al

aplicar los axiomas de coherencia (1.1.1.4b), tenemos que N 0i , N

1i ≺U

K Ni+1. Notemos

que como(p ↾Ni+1

)↾N j

i= p ↾N j

ipara j = 0, 1, entonces N 0

i , N1i y fi atestiguan que

p ↾Ni+1µ-rompa sobre Ni.

(iii) Para el paso límite, suponga que para i < κ un ordinal límite tiene construidos Nj ≺UK

M que cumplen las condiciones dadas, definamos Ni :=⋃j<i

Nj. Por los axiomas de

cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c) tenemos que Ni ≺K M pues para

todo j < i tenemos que Nj ≺UK M y al aplicar el lema 1.1.13, tenemos que Ni ≺U

K M

pues por construcción tenemos que Ni ∈ Kµ.

La construcción que acabamos de hacer nos garantiza que para todo i < κ se cumple que

Ni ∈ Kµ y que la sucesión 〈Ni〉i<κ es una ≺UK-sucesión creciente continua. Es inmediato de

los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c) tenemos que⋃i<κ

Ni ≺K M

pues para todo i < κ, tenemos que Ni ≺UK M y por tanto p ↾ ⋃

i<κ

Ni∈ ga − S

(⋃i<κ

Ni

). Por

último notemos que por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6b),

tenemos que Ni ≺UK

⋃i<κ

Ni para todo i < κ y por tanto(p ↾ ⋃

i<κ

Ni

)↾Ni

= p ↾Nipara todo

i < κ, entonces podemos concluir con ayuda de la construcción hecha en el paso sucesor

que(p ↾ ⋃

i<κ

Ni

)↾Ni+1

= p ↾Ni+1µ-rompe sobre Ni para todo i < κ. Así hemos demostrado

que la ≺UK-sucesión creciente continua 〈Ni〉i<κ ⊂ Kµ y el tipo de Galois p ↾ ⋃

i<κ

Ni∈ ga −

S

(⋃i<κ

Ni

)cumplen las hipótesis del lema 3.1.3 y en consecuencia K no es µ-estable, lo

3.1 Ruptura 135

cual es absurdo. Por tanto existe Np ≺UK M tal que p no µ-rompe sobre Np y además

|Np| = µ. 3.1.10

A continuación demostraremos algunas propiedades que tiene la relación de no ruptura

que nos serán de utilidad cuando demostramos el teorema de Shelah-Villaveces.

Lema 3.1.11 (invarianza de la relación de no ruptura). Sean N ,N ′ ∈ K y p ∈ ga− S (N ).

Si p no µ-rompe sobre M y f : N −→ N ′ es un isomorfismo, entonces f(p) ∈ ga − S (N ′) no

µ-rompe sobre f[M].

Notemos que el contrarecíproco nos dice que la relación de ruptura también es respetada

por los isomorfismos.

Demostración. Por reducción al absurdo, supongamos que f(p) µ-rompe sobre f[M], es-

to quiere decir que existen N1,N2 ∈ K≤µ y un isomorfismo g : N1 −→ N2 tales que

f[M] ≺K N1,N2 ≺UK N ′, g ↾f[M]= 1f[M] y g (f(p) ↾N0

) 6= f(p) ↾N1. Como f es un isomor-

fismo, entonces por la definición 1.1.1.3 (axiomas de isomorfismo) tenemos que M ≺K

f−1[N0], f−1[N1] ≺U

K N y que h := f−1 ↾N1◦g ◦ f ↾f−1[N0]

: f−1[N0] −→ f−1[N1] es un isomor-

fismo, esto último lo tenemos pues h es composición de isomorfismos. Notemos que

h(p ↾f−1[N0]

)= f−1 ↾N1

◦g ◦ f ↾f−1[N0]

(p ↾f−1[N0]

),

= f−1 ↾N1◦g (f(p) ↾N0

) ,

= f−1 ↾N1(g(f(p)) ↾N1

) ,

= f−1(g(f(p)) ↾f−1↾N1[N1],

= f−1(g(f(p)) ↾f−1[N1]


y como además tenemos que

f−1 (f(p) ↾N1) = f−1(f(p)) ↾f−1[N1]

,

= p ↾f−1[N1].

Por nuestro supuesto tenemos que g (f(p) ↾N0) 6= f(p) ↾N1

y como f es un isomorfismo

tenemos además que f−1 (g (f(p) ↾N0)) 6= f−1 (f(p) ↾N1

) pero como

f−1 (g (f(p) ↾N0)) = f−1 (g(f(p)) ↾N1

) ,

= f−1(g(f(p)) ↾f−1[N1],

= h(p ↾f−1[N1]

),

entonces podemos concluir que h(p ↾f−1[N0]

)6= pf−1[N1]

y por tanto p µ-rompería sobre M,

lo cual es contradictorio. 3.1.11

En [Cop06], Coppola enuncia y demuestra la monotonía de la relación de ruptura en

términos de la realación fuerte ≺UK. Nosotros hemos debilitado esta condición enunciando

y demostrando el lema en términos de la relación débil ≺K.

Lema 3.1.12 (cf. hecho 3.2.15 en [Cop06], monotonía de la relación de no ruptura). Sean

M,M ′,N ∈ K tales que M ≺K M ′ ≺K N . Supongamos que p ∈ ga−S (N ) no µ-rompe sobre

M, entonces p ↾M ′ no µ-rompe sobre M y p no µ-rompe sobre M ′.

Demostración. Supongamos que p µ-rompe sobre M ′, entonces existen N0,N1 ∈ K≤µ y un

isomorfismo h : N0 −→ N1 tales que M ′ ≺K N0,N1 ≺UK N , h ↾M ′= 1M ′ y h (p ↾N0

) 6=

p ↾N1pero como M ≺K M ′, entonces h ↾M= 1M y M ≺K N0,N1, por tanto N0,N1 y h

atestiguan que p µ-rompe sobre M, lo cual es contradictorio.

3.1 Ruptura 137

Si p ↾M ′ µ-rompe sobre M, entonces existen M0,M1 ∈ K≤µ y un isomorfismo h : M0 −→

M1 tales que M ≺K M0,M1 ≺UK M ′, h ↾M0

= 1M0y h (p ↾M0

) 6= p ↾M1y como por la

definición 1.1.1.4c (axiomas de coherencia) tenemos que M0,M1 ≺UK N pues M0,M1 ≺U

K

M ′ ≺K N , entonces tendríamos que p µ-rompe sobre M, lo cual es absurdo. 3.1.12

Observación 3.1.13. Sean M,M ′,N ∈ K y supongamos que p ∈ ga − S (N ) no µ-rompe

sobre M. Notemos que como la relación ≺UK extiende a la relación ≺K (definición 1.1.1.2), el lema

3.1.12 es válido si M ≺UK M ′ ≺U

K N , M ≺K M ′ ≺UK N o M ≺U

K M ′ ≺K N .

Lema 3.1.14 (unicidad de extensiones de no-ruptura bajo universalidad (lema 3.2.21 en

[Cop06])). Suponga que M0 ≺UK M ≺U

K N con M µ-universal sobre M0 para algún µ > |M0|

y que K es χ-dócil para algún χ ≤ |M0|. Si p ∈ ga − S (M) no µ-rompe sobre M0, entonces p

tiene a lo sumo una extensión en ga− S (N ) que no µ-rompe sobre M0.

Demostración. En primer lugar notemos que por hipótesis tenemos que M es µ-universal

sobre M0 y por tanto M ∈ K≥µ; además como M ≺UK N , entoces también tenemos que

N ∈ K≥µ.

Procedamos por reducción al absurdo. Si existen tipos de Galois s, q ∈ ga − S(N ) di-

ferentes que extienden a p y no µ-rompen sobre M0, entonces por la χ-docilidad de K,

podemos encontrar N0 ∈ K≤χ tal que N0 ≺K N y s ↾N06= q ↾N0

. Como por hipótesis

tenemos que M0 ≺UK M ≺U

K N , entonces por la transitividad de la relación ≺UK (defini-

ción 1.1.1.1) podemos decir que M0 ≺UK N y como por hipótesis también tenemos que

χ ≤ |M0| < µ, entonces al aplicar el lema 1.1.15 existe N ′0 ∈ K|M0 | tal que M0 ≺U

K N ′0 ≺

UK N

y N0 ⊆ N ′0. Esto último implica que N0 ⊆ N ′

0 y al aplicar los axiomas de coherencia

(definición 1.1.1.4a), podemos concluir que N0 ≺K N ′0 pues en particular N0,N ′

0 ≺K N .


Por la µ-universalidad de M sobre M0, existe una ≺UK-inmersión f : N ′

0 −→ M que fija

puntualmente a M0. Definamos N ′1 = f[N ′

0 ]. Debido que s, q no µ-rompen sobre sobre

M0, entonces q ↾N ′1= f(q ↾N ′

0) y s ↾N ′

1= f(s ↾N ′

0); pero como q ↾N0

6= s ↾N0, entonces al apli-

car la proposición 1.3.12 tenemos que q ↾N ′16= s ↾N ′

1pues N0 ≺K N ′

0 y al utilizar de nuevo

la proposición 1.3.12 podemos concluir que s ↾ M 6= q ↾ M, lo cual es contradictorio con

el hecho que s y q extiendan a p. 3.1.14

Observación 3.1.15. Si en las hipótesis del lema tenemos que |N| = |M| = µ en vez de la docili-

dad, el resultado también es válido. En efecto si |N| = |M| = µ, entonces por la µ-universalidad de

M sobre M0 existe una ≺UK-inmersión f : N −→ M tal que fM0

= 1M0y si q, s ∈ ga − S(N )

son como en la demostración del lema, s ↾N 6= q ↾N y siguiendo en mismo argumento del lema

anterior, tenemos que s ↾f[N ] 6= q ↾f[N ]. Por lo tanto q ↾M 6= s ↾M.

El siguiente lema nos será de utilidad al momento de demostrar el carácter local de la

relación de ruptura y además nos da una definición equivalente del concepto de carácter

local universal débil.

Lema 3.1.16 (cf. lemma 11.(2) en [BGVV17]). Sea K una Q-AEC que satisface AP, JEP y

con MAG, µ ≥ LS(K) un cardinal, α, δ < µ+ ordinales límite. Si K es µ-estable, entonces las

siguientes condiciones son equivalentes:

(i) La relación de µ-ruptura tiene carácter local universal débil en α.

(ii) Para toda ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α tal que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre Mi

para todo i < α y para todo p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

), existe ip < α tal que p ↾Mip+1

no

µ-rompe sobre Mip .

3.1 Ruptura 139

Demostración. Para ver que (i) implica (ii) razonaremos por reducción al absurdo. Para

ello sean 〈Mji〉j<δ la ≺U

K-cadena creciente continua que atestigua que Mi+1 es (µ, δ)-límite

sobre Mi y p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾Mi+1

µ-rompe sobre Mi para todo i < α.

Como por definición de estructura (µ, δ)-límite tenemos que M0i := Mi, M1

i es universal

sobre M0i y⋃j<δ

Mji := Mi+1, entonces al aplicar los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught

(definición 1.1.1.6c) tenemos que M1i ≺U

K Mi+1 y por el lema 2.2.4, podemos concluir

que que Mi+1 es universal sobre Mi para todo i < α y por tanto la ≺UK-cadena creciente

continua 〈Mi〉i<α y el tipo p atestiguan que la relación de no µ-ruptura no tiene carácter

local débil en α lo cual contradice (i).

Veamos ahora que (ii) implica (i). Para ello supongamos que (ii) es verdadero y por re-

ducción al absurdo supongamos que (i) falla, esto último quiere decir que existen una

≺UK-cadena creciente continua 〈Mi〉i<α tal que Mi+1 es universal sobre Mi y p ∈ ga −

S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾Mi+1

µ-rompe sobre Mi para todo i < α. Como por hipótesis K es

µ-estable, entonces por el corolario 2.2.10 tenemos que para todo i < α existe M∗i ∈ Kµ

que es (µ, δ)-límite sobre Mi y como Mi+1 es universal sobre Mi y M∗i ∈ Kµ, podemos

garantizar la existencia de una ≺UK-inmersión fi : M∗

i −→ Mi+1 tal que fi[Mi] = 1Mi

para todo i < α. Notemos que al aplicar el lema 2.2.5 δ veces, tenemos que fi[M∗i ] es

(µ, δ)-límite sobre Mi.

Lo que haremos ahora es definir una ≺UK-sucesión creciente continua 〈M+

i 〉i<α basados en

〈Mi〉i<α de tal manera que M+i+1 es (µ, δ)-límite sobre M+

i . Lo haremos recursivamente

sobre i < α de la siguiente manera.

Para i = 0, definimos M+0 := M0 y para i = 1 definimos M+

1 := f0[M∗0]. Por


la escogencia de f0 es evidente que M0 ≺UK f0[M∗

0] ≺UK M1 y por tanto tenemos

que M+0 ≺U

K M+1 ≺U

K M1, M+1 = f0[M∗

0] es (µ, δ)-límite sobre M+0 = M0 y que

M+0 ,M

+1 ∈ Kµ.

Supongamos que para i < α tenemos construida la estructura M+i ≺K Mi. Por la

escogencia de M∗i y de la ≺U

K-inmersión fi : M∗i −→ Mi+1, tenemos que M+

i ≺K

Mi ≺UK fi[M

∗i ] ≺

UK Mi+1 y que fi[M∗

i ] ∈ Kµ es (µ, δ)-límite sobre Mi. Al aplicar el le-

ma 2.2.4 a la primera estructura de una ≺UK-cadena creciente continua que atestigue

que fi[M∗i ] sea (µ, δ)-límite sobre Mi, entonces tenemos que fi[M∗

i ] es (µ, δ)-límite

sobre M+i y por tanto M+

i ≺UK fi[M

∗i ]. Definamos entonces M+

i+1 := fi[M∗i ].

Sea i < α un ordinal límite diferente de 0 y supongamos que para todo j < i te-

nemos construidas las estucturas M+j ∈ Kµ tales que 〈M+

j 〉j<i es una ≺UK-sucesión

creciente continua y que para todo j < i, tenemos que M+j ≺K Mi. Por los axio-

mas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c) tenemos que⋃j<i

M+j ≺K Mi.

Definamos entonces M+i :=

⋃j<i

M+j . Claramente M+

i ∈ Kµ pues i < α < µ+.

Por construcción tenemos que 〈M+i 〉i<α es una ≺U

K-sucesión creciente continua tal que

para todo i < α tenemos que M+i+1 es (µ, δ)-límite sobre M+

i . Además como M+i ≺K Mi

y Mi ≺UK

⋃i<α

Mi para todo i < α, entonces en particular tenemos que M+i ⊆

⋃i<α

Mi para

todo i < α y por tanto⋃i<α

M+i ⊆

⋃i<α

Mi; por otro lado si tomamos a ∈⋃i<α

Mi, entonces

existe j < α tal que a ∈ Mj y por la segunda parte de la construcción de la sucesión

〈M+i 〉i<α, deducimos queM+

j ⊆Mj ⊆M+j+1 y así tenemos que a ∈M+

j . Por tanto podemos

afirmar que⋃i<α

Mi ⊆⋃i<α

M+i puesM+

j+1 ⊆⋃i<α

M+i y en consecuencia

⋃i<α

M+i =

⋃i<α

Mi.

3.1 Ruptura 141

Claramente la subsucesión 〈M+2i〉i<α es un ≺U

K-cadena creciente continua pues si i < j < α,

entonces 2i < 2j y por tanto M+2i ≺

UK M+

2j y si j < α es un ordinal límite diferente de cero,

entonces 2j = j y tenemos que

M+2j = M+

j ,

=⋃

k<j

M+k por la definición de la sucesión 〈M+

i 〉i<α,

=⋃

k<j

M+2k pues la sucesión de ordinales 〈2k〉k<j es cofinal en j.

Además como por la construcción de la ≺UK-sucesión creciente continua 〈M+

i 〉i<α, tenemos

que M+2i+2 es (µ, δ)-límite sobre M+

2i+1 y M+2i ≺

UK M+

2i+1, entonces al aplicar el lema 2.2.4

a la primera estructura de una ≺UK-cadena creciente continua que atestigue que M+

2i+2

es (µ, δ)-límite sobre M+2i+1, tenemos que M+

2i+2 es (µ, δ)-límite sobre M+2i y por tanto la

≺UK-sucesión creciente continua 〈M+

2i〉i<α cumple las condiciones de (ii). Además como

⋃i<α

M+2i =

⋃i<α

M+i =

⋃i<α

Mi, entonces p ∈ ga − S

(⋃i<α

M+2i

)y como hicimos el supuesto

que (ii) se satisface, podemos encontrar ip < α tal que p ↾M+

2(ip+1)no µ-rompe sobre M+

2ip.

Notemos que por la construcción de la ≺UK-sucesión creciente continua 〈M+

i 〉i<α y por la

escogencia de las ≺UK-inmersiones fi : M∗

i −→ Mi+1 para todo i < α, tenemos que

M+2ip

≺K M2ip ≺UK f2ip[M

∗2ip

] = M+2ip+1

≺UK M2ip+1 ≺K f2ip+1[M

∗2ip+1

] = M+2ip+2

= M+2(ip+1)

.

Ahora bien, al aplicar la monotonía de la relación de no ruptura (lema 3.1.12) tenemos

que p ↾M2ip+1no µ-rompe sobre M+

2ippues M2ip+1 ≺U

K M+2(ip+1)

y como M+2ip

≺K M2ip ,

entonces de nuevo por el lema 3.1.12 (monotonía de la relación de no ruptura) podemos

concluir que p ↾M2ip+1no µ-rompe sobre M2ip lo cuál contradice la escogencia de la ≺U

K-

sucesión 〈Mi〉i<α y de p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

). 3.1.16


3.2. Carácter local de la relación de ruptura

Como lo mencionamos al principio del capítulo, lo que buscamos es encontrar una análo-

go a κ(T) = ℵ0 como noción de superestabilidad, para T una teoría estable de primer

orden, pero en el contexto de las Q-AECs. En el caso de primer orden, nosotros podemos

decir que κ(T) = ℵ0 si ningún tipo sintáctico bifurca sobre algún conjunto finito; notemos

además que esto equivale a que la teoría T sea superestable (nota 5.10 en [Pil08]) y por tan-

to lo que nosotros expondremos en las siguientes páginas es una primera aproximación

al concepto de superestabilidad en el contexto de las Q-AECs.

Como el concepto de no µ-ruptura es es una noción robusta de independencia en el con-

texto de las Q-AECs, entonces la manera natural de adaptar κ(T) = ℵ0 sería decir que

todo tipo no µ-rompe sobre un conjunto finito. Esto trae ciertas dificultades técnicas pues

la relación de µ-ruptura sólo está definida para estructuras y en caso de cambiar la pa-

labra conjunto por estructura, también habría problemas pues es no podemos encontrar

estructuras finitas en una Q-AEC arbitraria. Inspirados en [SV99] y en [BGVV17], noso-

tros remplazamos la afirmación “ningún tipo sintáctico bifurca sobre algún conjunto fi-

nito”por la siguiente definición, pues es una consecuencia de superestabilidad en primer

orden.

Definición 3.2.1 (cf. definición 6.(4) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC, µ ≥ LS(K) un

cardinal y α un ordinal límite. Diremos que la relación de no µ-ruptura tiene carácter local

universal fuerte en α si para toda ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1

es universal sobre Mi para todo i < α y para todo p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

), existe ip < α tal que p

no µ-rompe sobre Mip .

3.2 Carácter local de la relación de ruptura 143

Observación 3.2.2. Supongamos que la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal

fuerte en α, esto es para toda ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es

universal sobre Mi para todo i < α y todo p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

), existe ip tal que p no µ-

rompe sobre Mip . Como Mip ≺UK Mip+1 ≺U

K

⋃i<α

Mi, entonces por la monotonía de la relación

de no ruptura (lema 3.1.12) tenemos que p ↾Mip+1no µ-rompe sobre Mip . Como la ≺U

K-sucesión

〈Mi〉ı<α y el tipo de Galois p son arbitrarios, entonces podemos concluir que la relación de no

µ-ruptura tiene carácter local universal débil en α.

La noción de carácter local universal fuerte también se conoce como carácter local de la

relación de no µ-ruptura. Dicho concepto es enunciada de manera implícita en la conclusión

del teorema de Shelah-Villaveces (teorema 2.2.1 en [SV99]) por Shelah y Villaveces; en

[BGVV17] Boney, Grossberg, VanDieren y Vasey la definen de manera explícita para quitar

los huecos (“gaps”) en la demostración hecha por Shelah y Villaveces en [SV99] del teorema

de Shelah-Villaveces.

El siguiente lema nos muestra que es suficiente demostrar que la relación de no µ-ruptura

tiene carácter local universal fuerte en un ordinal regular α para ver que tiene dicha pro-

piedad en todo ordinal con cofinalidad α. En [BGVV17] sólo es enunciada sin demos-

tración esta propiedad para contexto de las AECs y debido que es una herramienta im-

portante en la demostración del teorema de Shelah-Villaveces, nosotros adaptamos este

resultado al contexto de las Q-AEC e incluimos la demostración en este contexto.

Lema 3.2.3 (cf. observación 7.(3) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC µ ≥ LS(K) un cardinal

y α < µ+ un ordinal límite. Si la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal fuerte en

α ′ = cf(α), entonces la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal fuerte en α.


Demostración. Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que la relación de no

µ-ruptura no tiene carácter local universal fuerte en α, es decir supongamos que existen

una ≺UK-cadena creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es universal sobre Mi y

p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

)tal que p µ-rompe sobre Mi para todo i < α.

Lo que haremos es construir de manera recursiva una ≺UK-sucesión creciente continua

〈M ′i〉i<α ′ que atestigue que la relación de no µ-ruptura no tiene carácter local universal

fuerte en α ′ cantradiciendo la hipótesis del lema que estamos probando. En primer lugar

notemos que existe una sucesión creciente de ordinales αi < α con i < α ′ tal que supi<α ′

αi =

α. Definimos las estructuras M ′i de la siguiente manera:

M ′0 := Mα0

.

Supongamos que para i < α ′ tenemos construido M ′i tal que M ′

i ≺K Mαi. De-

finimos entonces M ′i+1 := Mαi+1

. Como αi < αi+1 y 〈Mi〉i<α es una ≺UK-sucesión

creciente, entonces Mαi≺U

K Mαi+1y como M ′

i ≺K Mαi, entonces al aplicar los axio-

mas de coherencia (definición 1.1.1.4b, tenemos que M ′i ≺

UK M ′

i+1.

Sea i < α ′ un ordinal límite y supongamos que para todo j < i tenemos construi-

do M ′j tal que M ′

j ≺K Mαjy que 〈M ′

j〉j<i es una ≺UK-sucesión creciente continua.

Definamos M ′i :=

⋃j<i

M ′j . Por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (defini-

ción 1.1.1.6b) tenemos que M ′j ≺U

K M ′i, además como αj < αi para todo j < i y

〈Mi〉i<α es una ≺UK-sucesión creciente, entonces Mαj

≺UK Mαi

para todo j < i. Como

M ′j ≺K Mαj

para todo j < i, entonces por los axiomas de coherencia (definición

1.1.1.4b) podemos afirmar que M ′j ≺

UK Mαi

para todo j < i. De esto concluimos que


M ′i ≺K Mαi

gracias a los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c).

Por lo tanto la ≺UK-sucesión 〈M ′

j〉j<α ′ es creciente continua. Veamos que la ≺UK-sucesión

〈M ′j〉j<α ′ es cofinal en la ≺U

K-sucesión 〈Mi〉i<α. Para ello sea i < α. Como por hipótesis la

sucesión 〈αj〉j<α ′ es cofinal en α, entonces existe j < α ′ tal que i < αj, sea k el mínimo

de tales j. Por la construcción de la ≺UK-cadena 〈M ′

j〉j<α ′ tenemos que M ′k ≺K Mαk

y que

M ′k+1 := Mαk+1

, entonces Mi ≺UK Mαk

≺UK Mαk+1

= M ′k+1 y por tanto 〈M ′

j〉j<α ′ es cofinal

en 〈Mi〉i<α, en consecuancia⋃i<α ′

M ′i =

⋃i<α

Mi.

Ahora bien, como por hipótesis tenemos que p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)= ga − S

(⋃j<α ′

M ′i

)

µ-rompe sobre Mi para todo i < α, en particular tenemos que p µ-rompe sobre Mαjpara

todo j < α ′ y como por construcción tenemos que M ′j ≺K Mαj

para todo j < α ′, entonces

al aplicar la transitividad de la relación de ruptura (hecho 3.1.2) p µ-rompe sobre M ′j para

todo j < α ′, lo cual es absurdo. 3.2.3

De manera análoga al lema 3.1.16 que caracteriza el hecho que la relación de no µ-ruptura

tenga caracter local débil en algún ordinal, daremos una forma equivalente del concepto

de carácter local universal en la cual cambiamos estructuras universales por estructuras

límite.

Lema 3.2.4 (cf. lema 11.(2) en [BGVV17]). Sea K una Q-AEC, µ ≥ LS(K) un cardinal, α, δ <

µ+ ordinales límite. Si K es µ-estable, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) La relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal fuerte en α.

(ii) Para toda ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α tal que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre Mi

para todo i < α y para todo p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

), existe ip < α tal que p no µ-rompe


sobre Mip .

Demostración. Para demostrar que (i) implica (ii), supongamos para toda ≺UK-sucesión cre-

ciente continua 〈Mi〉i<α tal que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre Mi para todo i < α, existe

p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

)tal que para todo i < α tenemos que p µ-rompe sobre Mi. Notemos

que por la primera parte de la demostración del lema 3.1.16, tenemos que Mi+1 es uni-

versal sobre Mi y como hicimos el supuesto que para todo i < α p µ-rompe sobre Mi,

entonces podemos decir que la relación de no µ-ruptura no tiene carácter local universal

fuerte en α, lo cual contradice (i).

Para el recíproco, supongamos que (ii) es verdadero y que la relación de µ-ruptura no

tiene carácter local universal fuerte en α. Sean 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ una ≺UK-sucesión creciente

continua y p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

)testigos de que la relación de µ-ruptura no tiene carácter

local universal fuerte en α. Notemos que como K es µ-estable, entonces por la construc-

ción hecha en la segunda parte del lema 3.1.16 tenemos que existe una ≺UK-cadena crecien-

te continua 〈M+2i〉i<α tal que para todo i < α tenemos que M+

2i+2 es (µ, δ)-límite sobre M+2i,

M+2i ≺K M2i y

⋃i<α

M+2i =

⋃i<α

Mi. Claramente p ∈ ga − S

(⋃i<α

M+2i

)= ga − S

(⋃i<α

Mi

)

y como (ii) se satisface, tenemos que existe ip < α tal que p no µ-rompe sobre M+2ip

.

Notemos que como

M+2ip

≺K M2ip ≺UK M+

2ip+1≺U

K

⋃

i<α

M+2i =

⋃

i<α

Mi,

entonces por la monotonía de la relación de no µ-ruptura (lema 3.1.12) tenemos que p no

µ-rompe sobre M2ip , lo cual contradice la escogencia de la ≺UK-cadena creciente continua

〈Mi〉i<α y del tipo de Galois p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

). 3.2.4


En [SV99] Shelah y Villaveces demuestran en el teorema 2.2.1 (teorema de Shelah-Villaveces)

que para una AEC K el carácter local universal fuerte de la relación de no µ-ruptura se de-

duce de la λ-categoricidad de la clase K para µ ∈ [LS(K), λ). La demostración la hacen por

reducción al absurdo, es decir, suponen que existen una ≺K-sucesión creciente continua

〈Mi〉i<α ⊂ Kµ, con α < µ+, tal que Mi+1 es universal sobre Mi y p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

)tal

que p µ-rompe sobre Mi para todo i < α y a partir de esto contradicen la λ-categoricidad

de la clase. En dicha prueba, Shelah y Villaveces deducen tres condiciones (a), (b) y (c)

mutuamente excluyentes, del hecho que p µ-rompa sobre Mi para todo i < α y al supo-

ner que alguna de ellas es verdadera, llegan a la contradicción deseada. En [BGVV17] son

estudiadas tambien estas tres condiciones que enunciamos a continuación:

a) la relación de no µ-ruptura no tiene continuidad universal (definición 3.2.5.1.),

b) la relación de no-ruptura no tiene alternaciones límites (definición 3.2.5.2.) y

c) negar que la relación de no µ-ruptura tenga carácter local universal débil (definición

3.1.5).

Definición 3.2.5 (cf. definición 9 en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC, µ ≥ LS(K) y α < µ+

un ordinal límite.

1. Diremos que la relación de no µ-ruptura tiene continuidad universal en α si para toda

≺UK-cadena creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es universal sobre Mi y todo

tipo de Galois p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾Mi

no µ-rompe sobre M0, entonces p no

µ-rompe sobre M0.


2. Sea δ < µ+. Diremos que la relación de no µ-ruptura no tiene alternaciones en δ-límites

en α si para toda ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es (µ, δ)-

límite sobre Mi y todo p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

), existe ip < α tal que p ↾M2ip+1

no µ-rompe

sobre M2ip o p ↾M2ip+2µ-rompe sobre M2ip+1.

El siguiente lema es una forma equivalente de definir el concepto de continuidad univer-

sal sobre ≺UK-cadenas crecientes continuas de modelos límite. Este resultado no es enun-

ciado en [BGVV17] ni en [SV99] pero en ambos artículos es utilizado de manera implícita

(demostración del lema 13 en [BGVV17], demostración en el caso (a) o (b) del teorema

2.2.1 en [SV99]) y por tal motivo lo incluimos en nuestro trabajo.

Lema 3.2.6. Sean K una Q-AEC, µ ≥ LS(K) un cardinal y α, δ < µ+ ordinales límite. Si K es

µ-estable, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) La relación de no µ-ruptura tiene continuidad universal en α.

(ii) Para toda ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre

Mi y todo p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾Mi

no µ-rompe sobre M0, p no µ-rompe sobre

M0.

Demostración. Para demostrar que (i) implica (ii) sean 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ una ≺UK-cadena cre-

ciente continua tal que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre Mi y p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que

para todo i < α tenemos que p ↾Mino µ-rompe sobre M0. Notemos que como Mi+1 es

(µ, δ)-límite sobre Mi, entonces al aplicar el lema 2.2.4 a la primera estructura de una ≺UK-

sucesión creciente continua que atestigue que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre Mi, tenemos en


particular que Mi+1 es universal sobre Mi y como hicimos el supuesto que la relación de

µ-ruptura tiene continuidad universal en α, entonces p no µ-rompe sobre M0.

Para ver que (ii) implica (i), sean 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es universal sobre Mi para

todo i < α y p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾Mi

no µ-rompe sobre M0 para todo i < α.

Como K es µ-estable, entonces por lo hecho en la segunda parte de la demostración del

lema 3.1.16 tenemos que existe una ≺UK-sucesión creciente continua 〈M+

i 〉i<α ⊂ Kµ tal que

M+i+1 es (µ, δ)-límite sobre M+

i , M+i ≺K Mi para todo i < α, M+

0 = M0 y⋃i<α

M+i =

⋃i<α

Mi, por tanto p ∈ ga − S

(⋃i<α

M+i

). Como M+

0 = M0 y para todo i < α hicimos el

supuesto que p ↾Mino µ-rompe sobre M0, entonces por la monotonía de la relación de no

µ-ruptura (observación 3.1.13) podemos afirmar que p ↾M+i

no µ-rompe sobre M+0 para

todo i < α pues M0 = M ′0 ≺

UK M+

i ≺K Mi para todo i < α. Como suponemos que (ii) es

válido, entonces tenemos que p no µ-rompe sobre M+0 = M0. 3.2.6

Observación 3.2.7. Notemos que los conceptos de carácter local universal débil, carácter local

universal fuerte y continuidad universal pueden ser definidos indistintamente sobre ≺UK-cadenas

creciente continuas de estructuras universales o modelos límite. Nosotros utilizaremos para la

mayoría de nuestras demostraciones las equivalencias que utilizan ≺UK-cadenas de modelos límite.

El siguiente resultado no se encuentra enunciado por Boney, Grossberg, VanDieren y Va-

sey en [BGVV17] pero se encuentra implícito en la demostración del teorema principal

del artículo (teorema 3 en [BGVV17]) y nos dice que es suficiente tener continuidad uni-

versal en ordinales regulares. Debido que es un detalle importante en la prueba, nosotros

lo incluimos para la completez del documento.


Proposición 3.2.8. Sean K una Q-AEC, µ ≥ LS(K) un cardinal y α < µ+ un ordinal límite. Si

la relación de no µ-ruptura tiene continuidad universal en α ′ = cf(α), entonces la relación de no

µ-ruptura tiene continuidad universal en α.

Demostración. Sean 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ una ≺UK-sucesión creciente continua tal que Mi+1 es

universal sobre Mi para todo i < α y p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾Mi

no µ-rompe

sobre M0.

Sea 〈αi〉i<α ′ una sucesión de ordinales tal que α0 = 0 y lımi<α ′

αi = α. Como en la demos-

tración del lema 3.2.3, nosotros podemos construir una ≺UK-sucesión creciente continua

〈M ′i〉i<α ′ tal que M ′

0 := Mα0= M0, M ′

j ≺K Mαjpara todo j < α ′ y

⋃i<α ′

M ′i =

⋃i<α

Mi, esto

último implica que p ∈ ga− S

( ⋃i<α ′

M ′i

)= ga− S

(⋃i<α

Mi

).

Por hipótesis tenemos en particular que p ↾Mαino µ-rompe sobre M0 = M ′

0 para todo

i < α ′ pues αi < α para todo i < α ′. Ahora bien, como la ≺UK-sucesión 〈M ′

i〉i<α ′ es

tal que M ′i ≺K Mαi

para todo i < α ′ y M ′0 ≺U

K M ′i para todo 0 < i < α ′, entonces

al aplicar la monotonía de la relación de no µ-ruptura (observación 3.1.13) tenemos que

p ↾M ′i

no µ-rompe sobre M ′0. Notemos que por hipótesis la relación de no µ-ruptura

satisface la continuidad universal en α ′ y por tanto tenemos que p no µ-rompe sobre

M ′0 = M0. 3.2.8

El siguiente lema es enunciado en [BGVV17] y en este trabajo nosotros lo adaptamos el

resultado al contexto de las Q-AECs. El lema nos dice que las alternaciones en (µ, δ)-

límites de la relación de no µ-ruptura se sigue del carácter local universal fuerte en µ y de

que la relación de no µ-ruptura no tenga carácter local universal débil en α para α < µ

un ordinal regular. Con ayuda de la λ-categoricidad y basándonos en la demostración


presentada en [BGVV17], nosotros utilizaremos el lema 3.1.16 para construir de manera

rigurosa la ≺UK-cadena auxiliar que se necesita para la conclusión del siguiente lema.

Lema 3.2.9 (cf. lema 11.(5) en [BGVV17]). Sean K una Q-AECλ-categórica, µ ∈ [LS(K), λ) un

cardinal, α < µ+ un ordinal regular. Si la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal

fuerte en µ y no tiene carácter local universal débil en α, entonces la relación de µ-ruptura tiene

alternaciones µ-límites en α.

Demostración. En primer lugar notemos que como K es λ-categórica y µ < λ, entonces por

el teorema 2.1.2 tenemos que K es µ-estable. Además como la relación de no µ-ruptura

no tiene carácter local universal débil en α, γ = µ · µ < µ+ y K es µ-estable, entonces

por el lema 3.1.16 tenemos que existen una ≺UK-cadena creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ

tal que Mi+1 es (µ, γ)-límite sobre Mi y un tipo de Galois p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que

p ↾Mi+1µ-rompe sobre Mi para todo i < α. Además como para todo i < α se cumple que

Mi+1 es (µ, γ)-límite sobre Mi, entonces para cada i < α existe una ≺UK-sucesión creciente

continua 〈M ′i,j ∈ µ〉j<γ tal que M ′

i,j+1 es universal sobre Mi,j para todo j < γ, M ′i,0 = Mi

y⋃j<γ

M ′i,j = Mi+1.

Notemos que como cf(µ) = cf(γ) pues γ = µ · µ y Mi+1 es (µ, γ)-límite sobre Mi, en-

tonces sin pérdida de generalidad podemos suponer que Mi+1 es (µ, µ)-límite sobre Mi.

Además de esto, como por hipótesis la relación de no µ-ruptura tiene carácter local uni-

versal fuerte en µ y p ↾Mi+1∈ ga−S (Mi+1) = ga−S

(⋃j<γ

M ′i,j

)para todo i < α, entonces


tenemos que para todo i < α existe ji < γ tal que p ↾Mi+1no µ-rompe sobre M ′

i,ji.

M0� _

≺UK

��

M1� _

≺UK

��

M2� _

≺UK

��

· · · Mi� _

≺UK

��

Mi+1� _

≺UK

��

· · ·⋃i<α

Mi

M ′0,1� _

≺UK

��

M ′1,1� _

≺UK

��

M ′2,1� _

≺UK

��

· · · M ′i,1� _

≺UK

��

Mi+1,1� _

≺UK

��

· · ·

M ′0,2� _

≺UK ��

M ′1,2� _

≺UK ��

M ′2,2� _

≺UK ��

· · · M ′i,2� _

≺UK ��

M ′i+1,2� _

≺UK ��

· · ·

... � _

≺UK

��

... � _

≺UK

��

... � _

≺UK

��

. . .... � _

≺UK

��

... � _

≺UK

��

. . .

M ′0,j0� _

≺UK ��

M ′1,j1� _

≺UK ��

M ′2,j2� _

≺UK ��

. . . M ′i,ji� _

≺UK ��

M ′i+1,ji+1� _

≺UK ��

. . .

......

... . . ....

... . . .

9�

≺UK

KK✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘ 9�

≺UK

KK✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘ :�

≺UK

LL✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙✙ 9�

≺UK

KK✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗✗ 9�

≺UK

KK✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘ 9�

≺UK

LL✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘

Definamos ahora una ≺UK-cadena creciente continua 〈Ni〉i<α ⊂ Kµ recursivamente sobre

α de la siguiente manera.

Para i = 0, definamos N0 := M0.

Supongamos que para i < α tenemos que N2i ≺K Mk para algún k < α.

Definimos N2i+1 := M ′k+1,jk+1+µ

.

Definimos N2i+2 := Mk+2.

Sea i < α un ordinal límite y supongamos que para todo j < i tenemos definido

Nj ∈ Kµ tal que Nj ≺K Mi. Definimos entonces Ni :=⋃j<i

Nj que por los axiomas de

cadenas de Tarski-Vaught es (definición 1.1.1.6c) es tal que Ni ≺K Mi pues Nj ≺K

Mi para todo j < i y tal que Nj ≺UK Ni para todo j < i (definición 1.1.1.6b).


M0� � ≺U

K // M1,µ+j1� �≺

UK // M2

� � ≺UK // · · · �

� ≺UK // Mk

� � ≺UK// M ′

k+1,jk+1+µ� �≺

UK // Mk+2

� �≺UK // · · ·

Por como está definida la ≺UK-sucesión 〈Ni〉i<α, es creciente continua.

Veamos ahora que para todo i < α tenemos que Ni+1 es (µ, µ)-límite sobre Ni. Para ello

notemos que como N2i ≺K Mk para algún k < α, N2i+1 = M ′k+1,jk+1+µ

y cf(jk+1 + µ) =

cf(µ) pues jk+1 < µ, entonces por la escogencia de las ≺UK-cadenas 〈M ′

k+1,j ∈ Kµ〉j<γ para

todo k < α podemos suponer sin pérdida de generalidad que M ′k+1,jk+1+µ

es (µ, µ)-límite

sobre Mk+1 y al aplicar el lema 2.2.4 a la primera estructura de la ≺UK-cadena que atestigua

que M ′k+1,jk+1+µ

es (µ, µ)-límites sobre Mk+1, tenemos que N2i+1 es (µ, µ)-límite sobre N2i

pues N2i ≺K Mk y N2i+1 = Mk+1,jk+1+µ; además como Mk+2 es (µ, γ)-límite sobre Mk+1

para todo k < α y cf(γ) = cf(µ) pues γ = µ ·µ y como M ′k+1,jk+1+µ

≺UK Mk+2, entonces por

los lemas 2.2.12 y 2.2.4 tenemos que Mk+2 es (µ, µ)-límite sobre M ′k+1,jk+1+µ

y por tanto

tenemos que N2i+2 es (µ, µ)-límite sobre N2i+1 pues por definición N2i+1 = Mk+1,jk+1+µ y

N2i+2 = Mk+2.

Es claro que la sucesión 〈Ni〉i<α ⊂ Kµ es cofinal en 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ y por tanto⋃i<α

Ni =

⋃i<α

Mi, en consecuencia tenemos que p ∈ ga− S

(⋃i<α

Ni

).

Por último, notemos que como al principio de la demostración hicimos el supuesto que

para todo k < α se cumple que p ↾Mk+1µ-rompe sobre Mk y como por la escogencia de las

≺UK-cadenas 〈M ′

k,j〉j<γ tenemos que Mk+1 ≺UK M ′

k+1,jk+1+µpara todo k < α, entonces por la

transitividad de la relación de µ-ruptura (observación 3.1.2) deducimos que p ↾M ′k+1,jk+1+µ

µ-rompe sobre Mk y por tanto tenemos que p ↾N2i+1µ-rompe sobre N2i si N2i ≺K Mk para

algún k < α; además por la escogencia de los jk para todo k < α, tenemos que p ↾M2i+2


no µ-rompe sobre M ′k+1,jk+1

y como M ′k+1,jk+1

≺UK M ′

k+1,jk+1+µ, entonces por la monotonía

de la relación de no µ-ruptura (lema 3.1.12) concluimos que p ↾Mk+2no µ-rompe sobre

M ′k+1,jk+1+µ

, esto quiere decir que p ↾N2i+2no µ-rompe sobre N2i+1. Por tanto podemos

afirmar que la ≺UK-cadena creciente continua 〈Ni〉i<α y el tipo de Galois p ∈ ga−S

(⋃i<α

Ni

)

atestiguan que la relación de µ-ruptura tiene alternaciones en µ-límites en α. 3.2.9

A diferencia del trabajo de Shelah y Villaveces en [SV99], en [BGVV17] Boney, Grossberg,

VanDieren y Vasey deducen directamente de la λ-categoricidad que la relación de no

µ-ruptura en una AEC tiene continuidad universal en α y no tiene alternaciones en γ-

límites en α, para todo γ < µ+, para ordinales α adecuados (teoremas 3.2.15 y 3.2.17).

Para hacer esto, ellos aislan el siguiente lema técnico que se encuentra implícito en la

demostración del teorema 2.2.1 en [SV99] para las AECs. Lo que nosotros hacemos es

adaptar el resultado al contexto de las Q-AEC y para ello serán necesarias la siguiente

definición y observación.

Definición 3.2.10. Sean µ un cardinal y α < µ+ un ordinal regular.

1. Definimos el conjunto Sµ+

α := {δ < µ+ : cf(δ) = α}.

2. Una Sµ+

α -sucesión de clubs es un conjunto C := {Cδ : δ ∈ Sµ+

α y Cδ ⊆ δ es un club}.

3. Dada una Sµ+

α -sucesión de clubs, 〈βδ,j〉j<α será una enumeración creciente de Cδ ∪ {δ}

Observación 3.2.11. Notemos que al tomar Cδ = δ para todo δ ∈ Sµ+

α , entonces C := {δ :

cf(δ) = α} es una Sµ+

α -sucesión de clubs.

Si C ⊆ µ+ es un club en µ+, entonces C tiene por lo menos un ordinal de cofinalidad α pues

α < µ+ y por tanto C ∩ Sµ+

α 6= ∅, en consecuencia Sµ+

α es un conjunto estacionario de µ+.


El siguiente lema aparece como una afirmación dentro de la demostración del lema 13 en

[BGVV17].

Lema 3.2.12. Sean K una Q-AEC que satisface AP, JEP, que tiene MAG y es λ-categórica, µ ∈

[LS(K), λ) un cardinal y α, γ < µ+ ordinales límites con α regular. Dados 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ una

≺UK-cadena creciente continua tal que Mi+1 es (µ, γ)-límite sobre Mi y un tipo de Galois p ∈

ga− S

(⋃i<α

Mi

), entonces existe una ≺U

K-cadena creciente continua 〈Ni ∈ Kµ〉i<µ+ tal que para

todo i < µ+ se cumple:

(i) Ni+1 es (µ, γ)-límite sobre Ni,

(ii) cuando i ∈ Sµ+

α , existe un isomorfimo gi :⋃j<α

Mj −→ Ni tal que gi[Mj] = Nβi,jpara todo

j < α y

(iii) si i ∈ Sµ+

α , entonces existe ai ∈ Ni+1 tal que ai � gi(p).

Demostración. La ≺UK-sucesión 〈Ni〉i<µ+ ⊂ Kµ la construiremos de manera recursiva sobre

µ+ de la siguiente manera.

En primer lugar notemos que como K tiene MAG, entonces por el axioma de Löwenheim-

Skolem descendente (1.1.1.5) tenemos que Kµ+ 6= ∅ y por tanto existe N ′0 ∈ Kµ+ . Al aplicar

JEP a M0 y N ′0 , tenemos que existen M ∈ K tal que N ′

0 ≺UK M y una ≺U

K-inmersión

f : M0 −→ M. Definamos N0 := f[M0].

Supongamos que para i < µ+ tenemos construido Ni ∈ Kµ. Como K es λ-categórica y

µ < λ, entonces por el teorema 2.1.2 tenemos que K es µ-estable y al utilizar el corolario

2.2.10 tenemos que existe Ni+1 que es (µ, γ)-límite sobre Ni. Como γ < µ+ es inmediato

que Ni+1 ∈ Kµ.


Si i < µ+ es un ordinal límite y para todo j < i tenemos construidos Nj ∈ Kµ, entonces

definimos Ni :=⋃j<i

Nj. Por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6b)

tenemos que Nj ≺UK Ni para todo j < i y como por hipótesis i < α < µ+, entonces

podemos afirmar que Ni ∈ Kµ.

De lo anterior resulta inmediato que 〈Ni〉i<µ+ ⊂ Kµ es una ≺UK-sucesión creciente continua

tal que Ni+1 es (µ, γ)-límite sobre Ni para todo i < µ+.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que βi,0 = 0 para todo i ∈ Sµ+

α , esto es

0 ∈ Ci para todo i ∈ Sµ+

α y por tanto tiene sentido definir Nβi,0:= f[M0] ≈ M0 para todo

i ∈ Sµ+

α .

Verifiquemos ahora la condición (ii) del lema. Para ello sean i ∈ Sµ+α y 〈βi,j〉j≤i una enu-

meración creciente de Ci ∪ {i} (definición 3.2.10). Por la observación hecha en el párrafo

anterior, es claro que existe un isomorfismo fi,0 := f : M0 −→ Nβi,0. Si tenemos que

para j < α existe un isomorfismo fi,j : Mj −→ Nβi,j, entonces teniendo en cuenta que

por la construcción de la ≺UK-cadena 〈Ni〉i<µ+ se cumple que Nβi,j+1

es (µ, γ)-límite sobre

Nβi,j

1 y como Mj+1 es (µ, γ)-límite sobre Mj, entonces al utilizar el lema 2.2.12 (unici-

dad de modelos límite con la misma cofinalidad) tenemos que existe un isomorfismo

fi,j+1 : Mj+1 −→ Nβi,j+1que extiende a fi,j. Si j < i es un ordinal límite y tenemos que

〈fi,k : Mk −→ Nβi,k〉k<j es una ⊆-sucesión creciente de isomorfismos, entonces claramente

fi,j :=⋃k<j

fj : Mj −→ Nβi,jes un isomorfismo pues es la unión de isomorfismos pues es

la unión de una ⊆-cadena creciente continua de isomorfismos. De lo anterior es inmedia-

1Para ver que Nβi,j+1es (µ, γ)-límite sobre Nβi,j

puede ser necesario utilizar el lema 2.2.4 pues es posible

que βi,j + 1 ≤ βi,j+1.


to que gi :=⋃j<i

fj :⋃j<i

Mj −→ Ni es un isomorfismo pues es la unión de una ⊆-cadena

creciente de isomorfismo.

Para verificar la condición (iii) notemos que si p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

), entonces gi(p) ∈

ga − S (Ni) pues gi :⋃i<α

Mi −→ Ni es un isomorfismo por (ii) y como por construcción

de la ≺UK-cadena 〈Ni〉i<µ+ tenemos que Ni+1 es (µ, γ)-límite sobre Ni, entonces Ni+1 es en

particular universal sobre Ni. Además como gi(p) ∈ ga − S (Ni), lo anterior implica que

existe ai ∈ Ni+1 tal que ai � gi(p) gracias a la afirmación 2.2.3. 3.2.12

Observación 3.2.13. Sea 〈Ni〉i<µ+ ⊂ Kµ la sucesión creciente continua dada por el lema 3.2.12.

Es fácil ver que⋃i<µ+

Ni ∈ Kµ+ pues para todo i < µ+ tenemos que |Ni| = µ, por tanto al aplicar la

proposición 2.1.8 tenemos que existe una ≺K-inmersión F :⋃i<µ+

Ni ∈ Kµ+ −→ EML(K) (µ+, Φ)

y en consecuencia sin pérdida de generalidad podemos suponer que⋃i<µ+

Ni ≺K EML(K) (µ+, Φ).

Por construcción nosotros tenemos que para todo i ∈ Sµ+

α existe ai ∈ Ni+1 tal que ai � gi(p) y por

el párrafo anterior se cumple que Ni

⋃i<µ+

Ni ≺K EML(K) (µ+, Φ) para todo i < µ+, entonces al

aplicar los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) concluimos que Ni+1 ≺UK EML(K) (µ

+, Φ)

para todo i < µ+. Por tanto existen un L ′-término τi con L ′ ⊃ L(K) el lenguaje dado por el

teorema de Presentación (teorema 1.1.19) y ξi1 < · · · < ξim(i) < i < ξim(i)+1 < · · · < ξin(i) < · · · <

µ+ donde m(i), n(i) ∈ N tales que ai = τi

(ξi1, . . . , ξ

im(i), ξ

im(i)+1, . . . , ξ

in(i)

).

Como lo exponen Boney, Grossberg, VanDieren y Vasey en [BGVV17], que la relación de

no µ-ruptura tenga continuidad universal y no tenga alternaciones límites puede dedu-

cirse de la categoricidad de una AEC K utilizando subestructuras elementales que tienen

suficiente información de cierto H(χ), donde H(κ) denota la familia de todos los conjun-

tos hereditariamente de cardinalidad < κ; esto es que x ∈ H(κ) tiene tamaño < κ; y todo


elemento de x tiene cardinalidad < κ; y todo elemento de todo elemento de x tiene tama-

ño < κ; y así sucesivamente. Lo anterior lo utilizamos para traducir las propiedades de

una Sµ+α -sucesión de clubs de manera funtorial a EML(K) (µ+, Φ) y la categoricidad es uti-

lizada para garantizar que toda estructura en K[µ,µ+] se puede sumergir en EML(K) (µ+, Φ)

(proposición 2.1.8).

En [BGVV17] para demostrar que la relación de no µ-ruptura tiene continuidad univer-

sal en ordinales regulares (lema 13.(1) en [BGVV17]), los autores toman como hipótesis

que toda estructura en K[µ,µ+] puede sumergirse en EML(K) (µ+, Φ) y utilizan el lema de

Fodor. Como nosotros demostramos en la proposición 2.1.8 que esto se sigue de la λ-

categoricidad para λ > µ, entonces la única hipótesis que nosotros utilizaremos en la

adaptación del resultado al contexto de las Q-AECs será la λ-categoricidad y como el

lema de Fodor es fundamental, lo enunciaremos a continuación.

Hecho 3.2.14 (lema de Fodor, teorema 8.7 en [Jec03]). Si f es una función regresiva sobre un

conjunto estacionario S de un cardinal κ, entonces existe un estacionario T ⊂ S y algún γ < κ

tales que f(α) = γ para todo α ∈ T .

Lema 3.2.15 (cf. lema 13.(1) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC, µ, λ ≥ LS(K) cardinales tales

que µ ∈ [LS(K), λ) y α < µ+ un ordinal regular. Si K es λ-categórica, entonces la relación de

µ-ruptura tiene continuidad universal en α.

Demostración. Por el lema 3.2.6, para demostrar el lema es suficiente tomar una ≺UK-sucesión

creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es (µ,ω)-límite sobre Mi para todo i < α

y un tipo de Galois p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾Mi

no µ-rompe sobre M0 para todo

i < α. Para llegar a una contradicción, supongamos que p µ-rompe sobre M0.


Por la observación 3.2.11 sabemos que existe una Sµ+

α -sucesión de clubs (definición 3.2.10)

no vacía C = {Cδ : δ ∈ Sµ+

α y Cδ es un club} y al aplicar el lema 3.2.12, tenemos que existe

una ≺UK-sucesión creciente continua 〈Ni〉i<µ+ ⊂ Kµ tal que:

(i) Ni+1 es (µ, γ)-límite sobre Ni,

(ii) cuando i ∈ Sµ+α , existe un isomorfimos gi :⋃j<α

Mj −→ Ni tal que gi[Mj] = Nβi,jpara

todo j < α y

(iii) si i ∈ Sµ+α , entonces existe ai ∈ Ni+1 tal que ai � gi(p).

Por la observación 3.2.13 podemos suponer sin pérdida de generalidad que⋃i<µ+

Ni ≺K

EML(K) (µ+, Φ) y que para cada i ∈ Sµ

+

α existen un L ′-término τi (dondeL ′ ⊃ L(K) es

el lenguaje dado por el teorema de Presentación (teorema 1.1.19)) y ξi1 < · · · < ξim(i) <

i < ξim(i)+1 < · · · < ξin(i) < · · · < µ+ donde m(i), n(i) ∈ N de tal manera que ai =

τi

(ξi1, . . . , ξ

im(i), ξ

im(i)+1, . . . , ξ

in(i)

).

Notemos que para todo i ∈ Sµ+

α tenemos que m(i), n(i) < i, ξi1 < · · · < ξim(i) < i, βi,0 < i

y la asignación en la enumeración de L ′ de τi puede ser tomada < i, entonces podemos

utilizar el lema de Fodor (hecho 3.2.14) y encontrar un conjunto estacionario S ⊆ Sµ+

α , un

L ′-término τ∗, números n∗,m∗ ∈ N y ordinales ξ∗1, . . . , ξ∗m∗, β∗,0 < µ

+ tales que para todo

i ∈ S tenemos que τi = τ∗,m(i) = m∗, n(i) = n∗, ξi1 = ξ∗1, . . . , ξ

im(i) = ξ

∗m∗

y βi,0 = β∗,0.

Sea

E = {δ < µ+ : δ es límite y EML(K) (δ,Φ) ∩⋃

i<µ+

Ni = Nδ}.

Veamos que E es un club. Para ello sea 〈δj〉j<γ ⊂ µ+ con γ < µ+ una sucesión de or-

dinales límites tales que EML(K) (δj, Φ) ∩⋃i<µ+

Ni = Nδj ; como EML(K)

(supj<γ

δj, Φ

)=


⋃j<γ

EML(K) (δj, Φ) pues los modelos EM se comportan de manera funtorial con los órde-

nes, entonces

EML(K)

(supj<γ

δj, Φ

)∩⋃

i<µ+

Ni =

(⋃

j<γ

EML(K) (δj, Φ)

)∩⋃

i<µ+

Ni,

=⋃

j<γ

EML(K) (δj, Φ) ∩

⋃

i<µ+

Ni

,

=⋃

j<γ

Nδj pues δj ∈ E para todo j < γ,

= Nsupj<γ

δj pues 〈Ni〉i<µ+ es creciente continua.

Por tanto EML(K)

(supj<γ

δj, Φ

)∩⋃i<µ+

Ni = Nsupj<γ

δj y en consecuencia el conjunto E es cerra-

do. Para ver que es no acotado, supongamos que existe un ordinal límite δ ′ < µ+ tal que

δ ′ ≥ δ para todo δ ∈ E y para todo ordinal límite δ ′′ > δ ′ tenemos que EML(K) (δ′′, Φ) 6=

Nδ ′′ . Como por la observación 3.2.13 se cumple⋃i<µ+

Ni ≺K EML(K) (µ+, Φ), entonces para

todo ordinal límite δ ′′ > δ ′ existe un ordinal βδ ′′ < µ+ tal que Nδ ′′ ⊂ EML(K) (βδ ′′ , Φ), si

Nδ ′′ = EML(K) (βδ ′′ , Φ) tome βδ ′′ + 1, y por tanto

Nδ ′′ = Nδ ′′ ∩⋃

i<µ+

Ni ⊂ EML(K) (βδ ′′ , Φ) ∩⋃

i<µ+

Ni; (3-1)


en consecuencia para los ordinales límites δ ′′ > δ ′ tenemos

⋃

i<µ+

Ni =⋃

δ ′<δ ′′<µ+

Nδ ′′ pues 〈δ ′′〉δ ′′<µ+ es cofinal en µ+,

⊂⋃

δ ′<δ ′′<µ+

EML(K) (βδ ′′ , Φ) ∩

⋃

i<µ+

Ni

por 3-1,

=

⋃

δ ′<δ ′′<µ+

EML(K) (βδ ′′ , Φ)

∩

⋃

i<µ+

Ni,

= EML(K) (µ+, Φ) ∩

⋃

i<µ+

Ni pues 〈δ ′′〉δ ′′<µ+ es cofinal en µ+,

=⋃

i<µ+

Ni pues⋃

i<µ+

Ni ≺K EML(K) (µ+, Φ) por 2.1.8.

Por tanto⋃i<µ+

Ni ⊂⋃i<µ+

Ni, lo cual es contradictorio. De lo anterior concluimos que E es

un club.

Ahora bien, como Sµ+α es un estacionario en µ+ (observación 3.2.11) y E es un club en µ+,

entonces podemos tomar i1, i2 ∈ S ∩ E tales que i1 < i2 y en consecuencia para k = 1, 2

tenemos que:

1. Ni1 ≺UK Ni2 pues 〈Ni〉i<µ+ es una ≺U

K-sucesión creciente,

2. aik = τ∗(χ∗1, . . . , ξ

∗m∗, ξ

ikm∗+1, . . . , ξ

ikn∗) y

3. EML(K) (ik, Φ) ∩⋃i<µ+

= Nik .

Por tanto

ga − tp

ai1

/Ni1,

⋃

i<µ+

Ni

= ga − tp

τ∗(χ

∗

1, . . . , χ∗

m∗ , χi1m∗+1

, . . . , χi1n∗

)/

EML(K) (i1, Φ) ∩

⋃

i<µ+

Ni

,

⋃

i<µ+

Ni

(3-2)

= ga − tp

τ∗(χ

∗

1, . . . , χ∗

m∗ , χi2m∗+1

, . . . , χi2n∗

)/

EML(K) (i1, Φ) ∩

⋃

i<µ+

Ni

,

⋃

i<µ+

Ni

(3-3)

= ga − tp

ai2

/Ni1,

⋃

i<µ+

Ni

. (3-4)


La segunda igualdad se tiene pues ai1 y ai2 vistos como sucesiones de elementos de

EML(K) (µ+, Φ) son generados por sucesiones de indiscernibles y por tanto τ∗(ξ∗1, . . . , ξ

∗m∗,

ξi1m∗+1, . . . , ξi1n∗) = τ∗(ξ

∗1, . . . , ξ

∗m∗, ξ

i2m∗+1, . . . , ξ

i2n∗) es verdadera una L ′-sentencia verdadera.

Para terminar, notemos que como por hipótesis tenemos que p µ-rompe sobre M0 y por

el lema 3.2.12.(ii) tenemos que gi1 :⋃i<α

Mi −→ Ni1 es un isomorfismo tal que gi1[M0] =

Nβ∗,0, entonces por la invarianza de la relación de ruptura (lema 3.1.11) tenemos que

gi1(p) = ga − tp

(ai1/Ni1,

⋃i<µ+

Ni

)µ-rompe sobre gi1[M0] = Nβ∗,0

. Por otro lado, no-

temos que como Ci2 es un club en i2 e i1 < i2, entonces existe k < α tal que βi2,k > i1

y en consecuencia Nβi2,k≻U

K Ni1 ; además como tenemos por hipótesis que p ↾Mkno µ-

rompe sobre M0 y por el lema 3.2.12.(ii) tenemos además que gi2 :⋃i<α

Mi −→ Ni2 es un

isomorfismo tal que gi2[M0] = Nβ∗,0, entonces al aplicar la invarianza de la relación de

no ruptura (lema 3.1.11) concluimos que gi2 (p ↾Mk) = ga− tp

(ai2/Nβi2,k

,⋃i<µ+

Ni

)(esta

igualdad se tiene pues gi2[Mk] = Nβi2,k) no µ-rompe sobre g[M0] = Nβ∗,0

. Como tenemos

que Nβ∗,0≺U

K Ni1 ≺UK Nβi2,k

, entonces al aplicar la monotonía de la relación de ruptura

tenemos que ga − tp

(ai2/Nβi2,j

,⋃i<µ+

Ni

)↾Ni1

= ga − tp

(ai2/Ni1,

⋃i<µ+

Ni

)no µ-rompe

sobre Nβ∗,0y por tanto ga − tp

(ai1/Ni1,

⋃i<µ+

Ni

)6= ga − tp

(ai2/Ni1 ,

⋃i<µ+

Ni

), lo cual

contradice 3-4. En consecuencia p no µ-rompe sobre M0. 3.2.15

Para deducir de la categoricidad de una AEC K que la relación de no µ-ruptura no tiene

alternaciones límites, en [SV99] y en [BGVV17] utilizan la Sµ+α -sucesión de clubs dada por

el siguiente hecho del cual se puede encontrar una demostración detallada en [AM10].

Hecho 3.2.16 (sección III. 2 en [She94] o teorema 2.17 en [AM10]). Sean θ y λ dos cardinales

tales que cf(λ) ≥ θ++ con θ regular y S ⊆ Sλθ un conjunto estacionario de λ. Entonces existe una


S-sucesión de clubs 〈Cδ〉δ∈S tal que si E es un club de λ, entonces existe δ ∈ S tal que Cδ ⊂ E.

A continuación nosotros enunciaremos y demostraremos que en una Q-AEC K categórica,

la relación de no µ-ruptura no tiene alternaciones límites para ordinales adecuados. Como

en el lema anterior, por el lema 2.1.8 es suficiente suponer que la Q-AEC sea λ categírica

para demostrar el resultado.

Lema 3.2.17 (cf. lema 13.(2) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC, µ, λ ≥ LS(K) cardinales tales

que µ ∈ [LS(K), λ) y α < µ un ordinal regular. Si K es λ-categórica, entonces para todo ordinal

límite γ < µ+ la relación de no µ-ruptura no tiene alternaciones en γ-límites en α.

Demostración. Razonaremos por reducción al absurdo. Para ello supongamos que existen

una ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es (µ, γ)-límite sobre Mi

y un tipo de Galois p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que p ↾M2i+1

µ-rompe sobre M2i y p ↾M2i+2

no µ-rompe sobre M2i+1 para todo i < α.

En primer lugar notemos que como por hipótesis tenemos que α < µ es un ordinal límite,

entonces α++ ≤ cf(µ+) = µ+ y como Sµ+

α es un estacionario en µ+ (observación 3.2.11),

entonces por el hecho 3.2.16 existe una Sµ+α -sucesión 〈Ci〉i∈Sµ+

αde clubs tal que para todo

club E ⊆ µ+, existe δ ∈ Sµ+

α tal que Cδ ⊂ E. Por el lema 3.2.12 tenemos que existe una

≺UK-sucesión creciente continua 〈Ni〉i<µ+ tal que

(i) Ni+1 es (µ, γ)-límite sobre Ni para todo i < µ+,

(ii) cuando i ∈ Sµ+α , existe un isomorfimos gi :⋃j<α

Mi −→ Ni tal que gi[Mj] = Nβi,jpara

todo j < α y

(iii) si i ∈ Sµ+

α , entonces existe ai ∈ Ni+1 tal que ai � gi(p).


Por la observación 3.2.13 podemos suponer sin pérdida de generalidad que⋃i<µ+

Ni ≺K

EML(K) (µ+, Φ).

Sea χ un cardinal lo suficientemente grande tal que H(χ) tiene como elementos al cia-

notipo Φ, el modelo EML(K) (µ+, Φ), a la ≺U

K-sucesión creciente continua 〈Ni〉i<µ+2, a µ+,

al conjunto estacionario Sµ+

α ⊆ µ+, a la sucesión 〈ai〉i∈Sµ+

αy a todo símbolo de función

de L ′ donde L ′ es el lenguaje que extiende a L(K) dado por el teorema de Presentación

(teorema 1.1.19).

Con ayuda del teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski descendente en el lenguaje de la

teoría de conjuntos, podemos construir una ≺-sucesión estrictamente creciente continua

de modelos de la teoría de conjuntos ZFC 〈Bi〉i<µ+ tal que:

Bi ≺ (H(χ),∈) para todo i < µ+,

‖Bi‖= µ para todo i < µ+,

B0 tiene como elementos aΦ, EML(K) (µ+, Φ), 〈Ni〉i<µ+ , 〈ai〉i∈Sµ+

α, µ+ y todo símbolo

de función de L ′ y

Bi ∩ µ+ es un ordinal para todo i < µ+.

Sea

E1 := {i < µ+ : Bi ∩ µ+ = i}.

Veamos que es cerrado, para ello sea 〈ij〉j<γ con γ < µ+ una sucesión creciente de elemen-

2Diremos que H(κ) tiene una sucesión como elemento si tiene como elemento la función que envía al

índice en el elemento de la sucesión.


tos de E1, entonces

Bsupi<γ

ij ∩ µ+ =

(⋃

j<γ

Bij

)∩ µ+ pues 〈Bi〉i<µ+ es creciente continua,

=⋃

j<γ

(Bij ∩ µ

+),

=⋃

j<γ

ij pues para todo j < γ tenemos Bij ∩ µ+ = ij,

= supj<γ

ij

y por tanto supj<γ

ij ∈ E1.

Veamos ahora que E1 es no acotado. Para ello sea f : µ+ −→ µ+ una función definida como

f(i) := Bi ∩ µ+. Veamos que f es estrictamente creciente y continua, es decir que es una

función normal. En fecto si k, j ∈ E1 son tales que k < j < µ+, entonces como la ≺-sucesión

〈Bi〉i<µ+ es estrictamente creciente, tenemos que Bk ⊂ Bj y por tanto Bk ∩ µ+ < Bj ∩ µ+

pues por la escogencia de la ≺-sucesión 〈Bi〉i<µ+ tenemos que Bi ∩ µ+ es un ordinal para

todo i < µ+, entonces f(k) < f(j). Sea j < µ+ un ordinal límite y 〈jk〉k<cf(j) una sucesión

cofinal en j, entonces

f(j) = Bj ∩ µ+,

=

⋃

k<cf(j)

Bjk

∩ µ+ pues 〈Bi〉i<µ+ es una ≺-sucesión continua,

=⋃

k<cf(j)

(Bjk ∩ µ+) ,

= supk<cf(j)

f(jk),

por tanto f es continua. Al utilizar el lema del punto fijo para funciones normales tenemos

que f tiene puntos fijos arbitrariamente altos y por tanto E1 es no acotado.


Lo anterior implica que E1 es un club en µ+. Sea

E2 = {i < µ+ : i es límite y EML(K) (i, Φ) ∩⋃

j<µ+

Nj = Ni}

el club dado en la demostración del lema 3.2.15. Como E1 y E2 son clubs en µ, entonces

E := E1 ∩ E2 es también un club en µ+ (lema 8.2 en [Jec03]).

Por la escogencia de la S+α-sucesión de clubs 〈Ci〉i∈Sµ+

α, tenemos que existe i1 ∈ Sµ

+

α tal

que Ci1 ⊂ E. Por la observación 3.2.13 tenemos que existen un L ′-término τi1 , natu-

rales m(i1) y n(i1) y ordinales ξi11 < · · · < ξi1m(i1)< i1 < ξi1m(i1)+1

< · · · < ξi1n(i1) <

µ+ tales que ai1 = τi1

(ξi11 , . . . , ξ

i1m(i1)

, ξi1m(i1)+1, . . . , ξi1n(i1)

). Como Ci1 es un club en i1 y

siendo 〈βi1,j〉i<α una enumeración de Ci1 ∪ {i1}, entonces existe j < α tal que ξi1m(i1)<

βi1,2j+1 < i1. Notemos que como i1 ∈ E, en particular tenemos que i1 ∈ E2 y por tanto

EML(K) (i2, Φ) ∩⋃j<µ+

Nj = Ni1 ; intersecando a ambos lados de la igualdad por Ni1 tene-

mos que

(EML(K) (i2, Φ) ∩

⋃j<µ+

Nj

)∩ Ni1 = Ni1 y como

EML(K) (i2, Φ) ∩

⋃

j<µ+

Nj

∩Ni1 = EML(K) (i2, Φ) ∩

⋃

j<µ+

Nj ∩Ni1

,

= EML(K) (i2, Φ) ∩ Ni1,

entonces se cumple que EML(K) (i2, Φ) ∩ Ni1 = Ni1 y por tanto Ni1 ⊂ EML(K) (i2, Φ), en

consecuencia H(χ,∈) satisface la siguiente sentencia ϕ

ϕ : ∃x, ym(i1)+1, . . . , yn(i1) (“x ∈ Sµ+

α ” ∧ “x > βi1,2j+1” ∧ “〈yk〉m(i1)+1≤k≤n(i1) ⊂ (x, µ+)

es una sucesión creciente de ordinales”

“ax = τi1(ξi11 , . . . , ξ

i1m(i1)

, ym(i1)+1,, . . . , yn(i1)

)”

∧“Nx ⊂ EML(K) (x,Φ) ”).


Claramente i1, χi1m(i1)+1

, . . . , χi1n(i) atestiguan que la sentencia es verdadera en Bi1 . Como

Ci1 ⊂ E, entonces Bβi1,2j+1∩ µ+ = βi1,2j+1 y por tanto todos los parámetros de la sentencia

están en Bβi1,2j+1. Además como Bβi1,2j+1

≺ Bβi1,2j+2≺ Bi1 , entonces Bβi1,2j+2

también

satisface la sentencia. De nuevo como tenemos que Ci1 ⊂ E, entonces Bβi1,2j+2∩ µ+ =

βi1,2j+2 y por tanto (βi1,2j+1, µ) ∩ Bβi1,2j+2= (βi1,2j+1, βi1,2j+2). Sean i2 ∈ (βi1,2j+1, βi1,2j+2)

y χ ′m(i1)+1

< . . . < χ ′n(i) < µ+ testigos en Bβi1,2j+2

de la sentencia, entonces tenemos que

ai2 = τi1

(ξi11 , . . . , ξ

i1m(i1)

, χ ′m(i1)+1

, . . . , χ ′n(i)

)y βi1,2j+1 < i2 < χ

′m(i1)+1

< . . . < χ ′n(i).

Como ξi1m(i1)

< βi1,2j+1 < i2 < βi1,2j+2 < i1 y 〈Bi〉i<µ+ es una ≺-sucesión creciente continua,

entonces tenemos que Ni1 ⊂ EML(K) (i1, Φ) y que Ni2 ⊂ EML(K) (i2, Φ), entonces Ni2 ∩

EML(K) (i2, Φ) = Ni2 y Ni1 ∩ EML(K) (i1, Φ) = Ni1 y como en la prueba del lema 3.2.15,

concluimos que ga− tp (ai2/Ni2,C) = ga− tp (ai1/Ni2,C) pues Ni2 ≺UK Ni1 .

Notemos que como por hipótesis p ↾M2j+2no µ-rompe sobre M2j+1, entonces por la

invarianza de la relación de no µ-ruptura (lema 3.1.11) tenemos que gi1(p ↾M2j+2

)=

ga − tp(ai1/Nβi1,2j+2

,C)

no µ-rompe sobre gi1 [M2j+1] = Nβi1,2j+1. Como Nβi1,2j+1

≺UK

Ni2 ≺UK Nβi1,2j+2

pues βi1,2j+1 < i2 < βi1,2j+2, entonces por la monotonía de la relación

de no µ-ruptura tenemos que ga − tp(ai1/Nβi1,2j+2

,C)↾Ni2

= ga − tp (ai1/Ni2,C) no µ-

rompe sobre Nβi1,2j+1.

Por último como i2 es testigo de la validez de la sentencia en Bβi1,2j+2, entonces i2 ∈ Sµ

+

α y

βi1,2j+1 < i2; además comoCi2 es un club en i2, entonces existe k < α tal queβi1,2j+1 < βi2,2k

y por tanto Nβi1,2j+1≺U

K Nβi2,2k. Como por hipótesis tenemos que p ↾ M2i+1 µ-rompe sobre

M2i para todo i < α, entonces por la invarianza de la relación de no ruptura (lema 3.1.11)

gi2(p ↾M2k+1

)= ga− tp (ai2/Nβi2,2k+1,C) µ-rompe sobre gi2[M2k] = Nβi2,2k; además como


βi1,2j+1 < βi2,2k < βi2,2k+1 < i2, entonces tenemos que Nβi1,2j+1≺U

K Nβi2,2k≺U

K Nβi2,2k+1≺U

K

Ni2 y al utilizar la transitividad de la relación de ruptura (observación 3.1.2) concluimos

que ga− tp (ai2/Ni2,C) µ-rompe sobre Nβi1,2j+1pues ga− tp (ai2/Ni2,C) ↾Nβi2,2k+1

= ga−

tp(ai2/Nβi2,2k+1

,C)

, lo cual contradice que ga − tp (ai1/Ni2,C) = ga − tp (ai2/Ni2,C).

3.2.17

Los siguientes lemas técnicos nos serán de utilidad al momento de unir todos los resulta-

dos para lograr demostrar que la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal

fuerte suponiendo que K satisfaga AP, JEP, tenga MAG y sea λ-categórica. A diferencia de

los lemas 3.2.15 y 3.2.17, para la demostración de los siguientes resultados lo único que

utilizaremos de la teoría de conjuntos será la hipótesis generalizada del continuo.

En [BGVV17], los autores demuestran que para un cardinal µ ≥ LS(K) y todo ordinal

límite γ < µ+ si la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal débil en µ,

entonces la relación de no µ-ruptura no tiene alternaciones en γ-límites. Como por la

observación 3.1.7 tenemos que la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal

débil en µ si K es λ-categórica y µ ∈ [LS(K), λ), entonces será suficiente suponer que K es

λ-categórica.

Lema 3.2.18 ((GCH) cf. lema 10 en [BGVV17]). Si K una Q-AEC que satisface AP, JEP, MAG

y que es λ-categórica, entonces para todo µ < λ y todo δ < µ+ la relación de µ-ruptura no tiene

alternaciones en δ-límites en µ.

Demostración. En primer lugar notemos que como estamos suponiendo la hipótesis gene-

ralizada del continuo, entonces por la observación 3.1.7 tenemos que para todo µ < λ la

relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal débil en µ.


Para llegar a una contradicción, supongamos que la relación de µ-ruptura tiene alterna-

ciones en δ-límites en µ. Es último quiere decir que existen una ≺UK-sucesión creciente

continua 〈Mi ∈ Kµ〉i<µ y un tipo de Galois p ∈ ga− S

(⋃i<µ

Mi

)tales que Mi+1 es (µ, δ)-

límite sobre Mi, p ↾M2i+1µ-rompe sobre M2i y p ↾M2i+2

no µ-rompe sobre M2i+1 para

todo i < µ. Notemos que como M2i+1 ≺UK M2i+2, entonces

(p ↾M2i+2

)↾M2i+1

= p ↾M2i+1

y como p ↾M2i+1µ-rompe sobre M2i, al aplicar la observación 3.1.2 (transitividad de la

relación de ruptura) podemos deducir que p ↾M2i+2µ-rompe sobre M2i para todo i < µ.

Como para todo i < µ tenemos que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre Mi, entonces al aplicar

el lema 2.2.4 podemos concluir que Mi+1 es universal sobre Mi para todo i < µ y al

aplicar de nuevo el lema 2.2.4, inferimos que M2i+2 es universal sobre M2i pues M2i+1

es universal sobre M2i y M2i+1 ≺UK M2i+2. De lo anterior tenemos que 〈M2i〉i<µ es una

≺UK-sucesión creciente continua tal que M2(i+1) = M2i+2 es universal sobre M2i y como

p ∈ ga − S

(⋃i<µ

M2i

)= ga − S

(⋃i<µ

Mi

)es tal que p ↾M2(i+1)

= p ↾M2i+2µ-rompe sobre

M2i para todo i < µ, entonces tenemos que la relación de µ-ruptura no tiene carácter local

universal débil en µ, lo cual contradice la categoricidad de K por el corolario 3.1.7. 3.2.18

La siguiente proposición está como una afirmación dentro de la demostración de 11.(1) en

[BGVV17] para el contexto de las AECs. Nosotros adaptamos la demostración al contexto

de las Q-AECs con todo detalle para la completez del documento.

Proposición 3.2.19. Supongamos que la relación de no µ-ruptura tiene continuidad universal

en α y sean 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ una ≺UK-sucesión creciente continua tal que Mi+1 es universal sobre

Mi para todo i < α. Si p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)es tal que p µ-rompe sobre Mi para todo i < α,

entonces para todo i < α existe ji ∈ (i, α) tal que p ↾Mjiµ-rompe sobre Mi.


Demostración. Razonemos por reducción al absurdo. Para ello supongamos que existe

i0 < α tal que para todo j ∈ (i0, α) tenemos que p ↾Mjno µ-rompe sobre Mi0 . En primer

lugar notemos que como la ≺UK-subsucesión creciente continua 〈Mj〉i0≤j<α es cofinal en la

sucesión dada 〈Mi〉i<α, entonces⋃

i0≤j<α

Mj =⋃i<α

Mi y por tanto p ∈ ga − S

(⋃

i0≤j<α

Mj

);

además como se tiene que Mi+1 es universal sobre Mi para todo i < α, en particular

tenemos que Mj+1 es universal sobre Mj para todo j ∈ [i0, α) y como el primer elemento

de la ≺UK-subsucesión 〈Mj〉i0≤j<α es Mi0 , entonces al aplicar la continuidad universal en α

de la relación de no µ-ruptura, tenemos que p no µ-rompe sobre Mi0 pues hicimos el su-

puesto que p ↾Mjno µ-rompe sobre Mi0 . Esto último es contradictorio pues por hipótesis

tenemos que p µ-rompe sobre Mi para todo i < α. 3.2.19

Observación 3.2.20. Supongamos que la relación de no ruptura tiene continuidad universal enα.

Con ayuda de la proposición 3.2.19 podemos construir de manera recursiva una sucesión creciente

de ordinales 〈ki < α〉i<cf(α) de la siguiente manera:

Para i = 0, definimos k0 := 0.

Supongamos que para i < cf(α) tenemos definido ki < α. Para el sucesor de i, definimos

ki+1 := jki . Por la elección de jki tenemos que jki ∈ (ki, α) y por tanto ki < ki+1 < α.

Si i < cf(α) es un ordinal límite y para todo j < i tenemos definido kj < α. Definimos

entonces ki := supj<αkj. Notemos que como i < cf(α) y para todo j < i tenemos que

kj < α, entonces ki < α.

Claramente 〈ki〉i<cf(α) es cofinal en α.


En [BGVV17] el siguiente lema está enunciado para el contexto de las AECs y dice que el

carácter local universal fuerte de la relación de no µ-ruptura se deduce del carácter local

universal débil de la relación de no µ-ruptura y de la continuidad universal de la relación

de no µ-ruptura. Por el lema 3.2.15, en nuestro desarrollo es suficiente suponer la GCH y

la λ-categoricidad de la Q-AEC.

Lema 3.2.21 ((GCH) cf. lema 11.(1) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC µ < λ un cardinal y

α < µ+ un ordinal regular. Si K es λ-categórica y la relación de no µ-ruptura tiene carácter local

univesal débil en α, entonces la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal fuerte en α.

Demostración. Supongamos que la conclusión no se tiene, es decir existen una ≺UK-cadena

creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que para todo i < α tenemos que Mi+1 es universal

sobre Mi y un tipo de Galois p ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

)tal que p µ-rompe sobre Mi para todo

i < α.

Como por hipótesis K es λ-categórica y α < µ+ es un ordinal regular, entonces al aplicar

el lema 3.2.15 tenemos que la relación de no µ-ruptura tiene continuidad universal en

α y por la proposición 3.2.19, tenemos que para todo i < α existe ji ∈ (i, α) tal que

p ↾Mjiµ-rompe sobre Mi. Construiremos de manera recursiva con ayuda de la sucesión

de ordinales 〈ki〉i<α dada en la observación 3.2.20 y de la ≺UK-sucesión 〈Mi〉i<α una ≺U

K-

sucesión creciente continua 〈M ′i ∈ Kµ〉i<α de la siguiente manera.

Para i = 0, definimos M ′0 := Mk0 = M0.

Sea i < α un ordinal y supongamos que M ′i ≺K Mki . Definamos M ′

i+1 := Mki+1=

Mjki. Notemos que como ki+1 = jki ∈ (ki, α) por la proposición 3.2.19 y la obser-


vación 3.2.20, entonces ki+1 ≥ ki + 1 y por tanto tenemos que M ′i+1 = Mki+1 o

M ′i+1 ≻

UK Mki+1 pues la ≺U

K-sucesión 〈Mi〉i<α es creciente continua. Como Mki+1 es

universal sobre Mki , entonces al aplicar el lema 2.2.4 tenemos que M ′i+1 es universal

sobre M ′i.

Si i < α es un ordinal límite y supongamos que para todo j < i tenemos que M ′j ≺K

Mki . Definimos entonces M ′i :=

⋃j<i

M ′j y al aplicar los axiomas de cadenas de Tarski-

Vaught (definición 1.1.1.6c), tenemos que M ′i ≺K Mki y de nuevo por los axiomas

de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6b), concluimos que para todo j < i se

cumple que M ′j ≺

UK M ′

i.

Como la sucesión de ordinales 〈ki〉i<α es creciente continua, entonces la ≺UK-sucesión

〈M ′i〉i<α es creciente. La continuidad se tiene del tercer ítem de la construcción de la ≺U

K-

cadena 〈M ′i〉i<α. Por tanto la ≺U

K-sucesión 〈M ′i〉i<α es creciente y continua y es tal que

M ′i+1 es universal sobre M ′

i para todo i < α (recuerde el segundo ítem de la construcción

anterior).

Por la observación 3.2.20 tenemos que la sucesión 〈ki〉i<α es cofinal en α y por tanto te-

nemos que⋃i<α

M ′i =

⋃i<α

Mi, en consecuencia p ∈ ga − S

(⋃i<α

M ′i

)= ga − S

(⋃i<α

Mi

).

Como por hipótesis tenemos que la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal

débil en α, por tanto existe ip < α tal que p ↾M ′ip+1

no µ-rompe sobre M ′ip

. Notemos que

para ip tenemos tres opciones.

Si ip = 0, entonces M ′ip+1

= M ′1 = Mk1 = Mj0 . Por construcción y por escogencia

de la sucesión 〈ki〉i<α (proposici 3.2.19 y observación 3.2.20), tenemos que p ↾Mj0µ-

rompe sobre M0, esto es p ↾M ′ip+1

µ-rompe sobre Mip lo cual es contradictorio con


la escogencia de ip.

Si ip es un ordinal sucesor, entonces existe h < α tal que ip = kh (recuerde la su-

cesión 〈ki〉i<α dada en el hecho 3.2.20) y por tanto M ′ip+1

= Mkh+1= Mjkh

. Por

la escogencia de la sucesión 〈ki〉i<α (observación 3.2.20) y por la proposición 3.2.19

tenemos que p ↾M ′ip+1

= p ↾Mkh+1= p ↾Mjkh

µ-rompe sobre M ′ip

= Mkh , lo cual

contradice la escogencia de ip.

Si ip es un ordinal límite, entonces por el ítem tres de la construcción de la ≺UK-

cadena 〈M ′i〉i<α, tenemos que existe tal que M ′

ip≺K Mip y por el segundo ítem

de la misma construcción, podemos decir que M ′ip+1

= Mjkip. Notemos además

que por la escogencia de ip se satisface que p ↾Mjkip

no µ-rompe sobre M ′ip

y como

Mip ≺K Mip ≺UK Mjip

, entonces por la monotonía de la relación de no µ-ruptura

(observación 3.1.13) tenemos que p ↾Mjipno µ-rompe sobre Mip lo cual es contra-

dictorio pues por la escogencia de jip hecha al principio de la prueba, se cumple que

p ↾Mjkh

µ-rompe sobre Mkh.

En conclusión, si la relación de µ-ruptura no tiene carácter local universal fuerte en α,

entonces se contradice el carácter local universal débil de la relación de no µ-ruptura.

3.2.21

En el siguiente lema, a diferencia de lo hecho en [BGVV17], nosotros sólo suponermos

que la clase sea λ-categórica pues con ayuda de los lemas 3.2.15, 3.2.17 y a la observación

3.1.7, nosotros podemos deducir las hipótesis hechas en el lema 11.(4) de [BGVV17] de la

λ-categoricidad.


Lema 3.2.22 ((GCH) cf. lema 11.(4) en [BGVV17]). Sean K una Q-AEC λ-categórica. Si µ < λ

es un cardinal, entonces la relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal fuerte en µ.

Demostración. Razonemos por reducción al absurdo. Para ello, supongamos que existen

una ≺UK-sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ tal que Mi+1 es universal sobre Mi y

un tipo de Galois p ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)tal que para todo i < α, p µ-rompe sobre Mi.

Gracias al lema 3.2.4, la ≺UK-cadena 〈Mi〉i<α puede ser tal que Mi+1 es (µ, δ)-límite sobre

Mi.

Como por hipótesis K es λ-categórica y cf(µ) ≤ µ < λ es regular, entonces al aplicar

el lema 3.2.15 tenemos que la relación de no µ-ruptura tiene continuidad universal en

cf(µ) y por el lema 3.2.8, concluimos que la relación de no µ-ruptura tiene continuidad

universal en µ. Como p µ-rompe sobre Mi para todo i < µ y la relación de no µ-ruptura

tiene continuidad universal en µ, entonces por el lema 3.2.19 tenemos que para todo i < µ,

existe ji ∈ (i, µ) tal que p ↾Mjiµ-rompe sobre Mi.

Notemos que para todo i < µ la sucesión 〈Mj〉j∈[ji,α] es una ≺UK-cadena creciente continua

tal que Mj+1 es universal sobre Mj para todo j ∈ [ji, α] pues la ≺UK-sucesión 〈Mi〉i<µ+

es creciente continua y por el lema 2.2.4, es tal que Mi+1 es universal sobre Mi. Por lo

anterior y la λ-categoricidad de K, para cada i < µ podemos aplicar el lema 3.1.9 a la ≺UK-

cadena 〈Mj〉j∈[ji,α] y encontrar un ordinal sucesor ki ∈ (ji, σ) tal que p ↾Mki+1no µ-rompe

sobre Mki .

Lo que haremos ahora es definir de manera recursiva una ≺UK-sucesión creciente 〈M ′

n〉n<ω

tal que M ′n+1 es (µ, δ)-límite sobre Mn. Para n = o, definimos M ′

0 := M0. Supongamos

que para n < ω tenemos definido M ′2n = Mβ para algún β < µ. Definimos entonces


M ′2n+1 := Mkβ y M ′

2n+2 := Mkβ+1.

M0� � ≺U

K // Mj0� � ≺

UK // Mk0

� � ≺UK // Mk0+1

� � ≺UK // Mjk0

� � ≺UK // Mkk0

� � ≺UK // · · · �

� ≺UK //

Mβ� � ≺U

K // Mjβ� � ≺U

K // Mkβ� � ≺U

K // Mkβ+1� �≺

UK // · · ·

Por como definimos la ≺UK-cadena 〈M ′

n〉n<ω, esta resulta ser creciente.

Como por el lema 3.1.9 kβ es un ordinal sucesor para todo β < µ, entonces para cada

β < µ existe γβ < µ tal que γβ + 1 = kβ. Ahora bien, por los lemas 3.2.19 y 3.1.9 tenemos

que β < jβ < kβ y por tanto β < jβ ≤ γβ < kβ para todo β < µ; esto implica que

Mβ ≺UK Mγβ ≺U

K Mkβ para todo β < µ y por el lema 2.2.4 tenemos que Mkβ es (µ, δ)-

límite sobre Mγβ para todo β < µ pues la ≺UK-cadena 〈Mi〉i<α es tal que Mi+1 es (µ, δ)-

límite sobre Mi + 1 y kβ = γβ + 1. Al utilizar de nuevo el lema 2.2.4, lo anterior implica

que Mkβ es (µ, δ)-límite sobre Mβ para todo β < µ. Por tanto, resulta que M2n+1 = Mkβ

es (µ, δ)-límite sobre M2n = Mβ y M2n+2 = Mkβ+1 es (µ, δ)-límite sobre M2n+1 = Mkβ

por la escogencia de la ≺UK-cadena 〈Mi〉i<µ. Por tanto la ≺U

K-cadena creciente 〈M ′n〉n<ω es

tal que Mn+1 es (µ, δ)-límite sobre Mn para todo n < ω.

Por otro lado, como para todo n < ω tenemos que Mn ≺UK

⋃i<µ

Mi, entonces por los

axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c) tenemos que⋃n<ω

M ′n ≺K

⋃i<µ

Mi

y en consecuencia p ↾ ⋃

n<ωM ′

n∈ ga− S

( ⋃n<ω

M ′n

).

Por la escogencia de los jβ para β < µ, tenemos que p ↾Mjβµ-rompe sobre Mβ y como

Mjβ ≺UK Mkβ para todo β < µ, entonces por la transitividad de la relación de ruptura

(observación 3.1.2) tenemos que p ↾Mkβµ-rompe sobre Mβ pues

(p ↾Mkβ

)↾Mjβ

= p ↾Mjβ

y por la forma como se escogió kβ para β < α, tenemos que p ↾Mkβ+1no µ-rompe sobre

Mkβ . Gracias a la manera como se definió la ≺UK-cadena creciente 〈Mn〉n<ω, lo anterior


implica que p ↾M ′2n+1

= p ↾Mkβµ-rompe sobre M ′

2n = Mβ y que p ↾M ′2n+2

= p ↾Mkβ+1no

µ-rompe sobre M ′2n+1 = Mkβ . Por último, como tenemos que p ↾ ⋃

n<ωM ′

n⊆ p y por los

axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6b), tenemos que M ′n ≺U

K

⋃n<ω

M ′n

para todo n < ω, entonces(p ↾ ⋃

n<ωM ′

n

)↾M2i+1

= p ↾M2i+1y(p ↾ ⋃

n<ωM ′

n

)↾M2i+2

= p ↾M2i+2.

En conclusión la ≺UK-cadena creciente 〈M ′

n〉n<ω y el tipo p ↾ ⋃

n<ωM ′

n∈ ga − S

( ⋃n<ω

M ′n

)

atestiguan que la relación de no µ-ruptura tiene alternaciones en δ-límites en ω lo cual

es contradictorio pues como K es λ-categórica y ω es un ordinal regular, entonces por el

lema 3.2.17 tenemos que la relación de no µ-ruptura no tiene alternaciones en δ-límites en

ω. 3.2.22

En [BGVV17] para la demostración del siguiente teorema, los autores utilizan un lema

(lema 12 en [BGVV17]) que tiene como hipótesis las propiedades que nosotros hemos

deducido de categoricidad en los lemas 3.2.15, 3.2.17, 3.1.8, 3.2.18 y la observación 3.1.7.

Basándonos en la demostración de dicho lema (lema 12 en [BGVV17]), nosotros presenta-

mos a continuación una demostración donde sólo utilizamos la categoricidad y la hipóte-

sis generalizada del continuo (WGCH) para deducir el carácter local universal fuerte de

la relación de no µ-ruptura para todo µ ∈ [LS(K), λ).

Teorema 3.2.23 ((GCH) cf. teorema 3 en [BGVV17], cf teorema 2.2.1 en [SV99], teorema de

Shelah-Villaveces en el contexto de las Q-AECs). Sea K una Q-AEC λ-categórica que satisface

AP, JEP y tiene MAG. Entonces para todo cardinal µ ∈ [LS(K), λ) la relación de no µ-ruptura

tiene carácter local universal fuerte en todos los ordinales límite α < µ+.

Demostración. En primer lugar notemos que por el lema 3.2.3 es suficiente suponer que

α es un ordinal regular para demostrar el teorema. Notemos además que como µ ∈


[LS(K), λ), entonces al aplicar la observación 3.1.7 la relación de no µ-ruptura tiene ca-

rácter local universal débil en µ.

Como por hipótesis α < µ+ es un ordinal regular, entonces al aplicar el lema 3.2.15 la

relación de no µ-ruptura tiene continuidad universal en α. Veamos ahora que la relación

de no µ-ruptura no tiene alternaciones en γ-límites para γ < µ+.

1. Si α < µ, entonces al aplicar el lema 3.2.17 tenemos que la relación de no µ-ruptura

no tiene alternaciones en γ-límites en α para todo ordinal límite γ < µ+.

2. Si α ≥ µ, entonces al aplicar el lema 3.1.8 la relación de no µ-ruptura tiene carác-

ter local universal débil en α pues la relación de no µ-ruptura tiene carácter local

universal débil en µ. Por lo anterior y como µ < λ, es posible aplicar el lema 3.2.18

y concluir que la relación de no µ-ruptura no tiene alternaciones en γ-límites en α

para todo ordinal límite γ < µ+.

Ahora bien como K es λ-categórica y µ < λ, entonces por el lema 3.2.22 tenemos que la

relación de no µ-ruptura tiene carácter local universal fuerte en µ. Gracias a esto último

y a que la relación de no µ-ruptura no tiene alternaciones en γ-límites en α para γ < µ+,

entonces al aplicar el contrarecíproco del lema 3.2.9 tenemos que la relación de no µ-

ruptura tiene carácter local universal débil en α y como ya vimos que la relación no de µ-

ruptura tiene continuidad universal en α, al aplicar el lema 3.2.21 tenemos que la relación

de no µ-ruptura tiene carácter local universal fuerte en α. 3.2.23

4 Superestabilidad en Q-AECs

En este capítulo nosotros estudiaremos el concepto de superestabilidad en Q-AECs ba-

sándonos en las diferentes aproximaciones de dicho concepto en el caso de las AECs.

En su tesis doctoral [Cop06], Coppola no habla sobre la superestabilidad en el contexto

de las Q-AECs y nosotros hemos decidido introducirlo en este trabajo como una posi-

ble solución a los tres supuestos hechos por Coppola en el estudio de la transferencia de

categoricidad que él hace en su tesis.

Como lo mencionamos en el capítulo anterior, un buen candidato a la noción de superes-

tabilidad en el contexto de las Q-AECs es el concepto de carácter local universal fuerte de

la relación de no µ-ruptura (definición 3.2.1, teorema 3.2.23). Basándonos en [Vas17c] y en

[BV15], nosotros diremos que una Q-AEC es superestable si tiene un buen comportamiento

local1 y la relación de no ruptura tiene carácter local universal fuerte. Como lo muestran

Grossberg, VanDieren y Villaveces en [GVV16], Baldwin en [Bal09] y Vasey a lo largo

de [Vas17c], la forma en la que introduciremos la superestabilidad implica unicidad de

modelos límite ([GVV16]), la saturación de la unión de una cadena creciente de modelos1El buen comportamiento local hace referencia a que existe una subclase no vacía que satisfaga AP, JEP

tenga modeos no maximales y sea estable en su dominio.

4.1 Una aproximación a la Superestabilidad en las Q-AECs 179

saturados (capítulo 15 de [Bal09]) y la existencia de marcos buenos (capítulos 6, 7, 10 y 23

en [Vas17c]). Estas tres nociones de superestabilidad son fundamentales en la solución de

la conjetura eventual de categoricidad presentada por Shelah y Vasey en [SV18].

De las tres nociones que mencionamos antes, tal vez la más importante en [SV18] es la

noción de marcos buenos la cual nos garantiza un buen comportamiento local de una AEC

y la existecia de una noción parecida a la bifurcación en teorías de primer orden super-

estables. Para garantizar dicho buen comportamiento local, es necesario que la subclase de

modelos saturados de cierto tamaño sea una AEC (hecho 6.2 en [SV18]).

Para demostrar que la subclase de los modelos saturados de cierto tamaño forman una

AEC, el axioma que resulta difícil verificar es el de cadenas de Tarski-Vaught y por tanto

nos centraremos en dicho axioma, es decir nos centraremos en demostrar que la unión de

una cadena creciente y continua de modelos saturados es saturada.

Por último, nosotros plantearemos algunas preguntas de interes en el estudio de la su-

perestabilidad en AECs adaptadas al contexto de las Q-AECs y estas preguntas serán el

norte para completar el estudio de la superestabilidad en las Q-AECs.

4.1. Una aproximación a la Superestabilidad en las

Q-AECs

En esta sección nosotros introduciremos el concepto de superestabilidad inspirados en

[Vas17b] y en [BV15]. Como lo mencionamos en la introducción de este capítulo, para

nosotros la superestabilidad será una propiedad local de una Q-AEC K y por tal motivo

180 4 Superestabilidad en Q-AECs

la definiremos en la subclase Kµ donde µ ≥ LS(K) es un cardinal.

Definición 4.1.1 (cf. definición 4.1 en [Vas17b], definición [BV15]). Diremos que una Q-AEC

K es µ-superestable o superestable en µ si:

1. µ ≥ LS(K).

2. Kµ es no vacía, tienen JEP, AP y modelos no maximales.

3. K es estable en µ.

4. La relación de no µ-ruptura tiene carácter universal fuerte en α para todo α < µ+.

Para terminar el trabajo de esta sección, veremos que nuestra noción local de superesta-

bilidad se puede deducir de la λ-categoricidad de la clase K utilizando como principal

herramienta el teorema de Shelah-Villaveces.

Corolario 4.1.2. Sea K una Q-AEC que satisface AP, JEP y tiene MAG. Si además K es λ-

categórica para λ > LS(K), entonces K es µ-superestable para todo LS(K) ≤ µ < λ.

Demostración. Sea µ un cardinal tal que µ ∈ [LS(K), λ). El primer ítem de la definición

de superestabilidad es inmediato por la forma en la que se tomó µ. El ítem dos de la

definición de superestabilidad es consecuencia de la observación 1.1.11 y del lema 1.1.12.

El ítem tres de la definición se deduce del teorema 2.1.2 y el último ítem es el teorema de

Shelah-Villaveces en el contexto de las Q-AECs (teorema 3.2.23). 4.1.2

4.2 Uniones de cadenas de modelos saturados 181

4.2. Uniones de cadenas de modelos saturados

Basándonos en el capítulo 15 de [Bal09] y en las secciones 5 y 6 de [She99], en esta sec-

ción nosotros demostraremos que, bajo λ-categoricidad, la unión de cadenas crecientes

continuas de modelos saturados de tamanño µ, con µ < λ, es también un modelos satu-

rado. Para demostrar esto, el teorema de Shelah-Villaveces (teorema 3.2.23) y los modelos

de Ehrenfeucht-Mostowski son las herramientas fundamentales. Comenzaremos con una

definición técnica.

Definición 4.2.1 (cf. definición 13.3 en [Bal09]). Sean K una Q-AEC, µ > LS(K) un cardinal

y α < µ+ un ordinal límite. Diremos que K tiene uniones µ-saturadas en α si para toda ≺UK-

sucesión creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ−satµ tenemos que

⋃i<α

Mi es saturado.

El siguiente resultado nos muestra que es suficiente trabajar con ordinales regulares el

concepto de uniones µ-saturadas y esto nos ayudará a simplificar el trabajo que realiza-

remos después.

Proposición 4.2.2. Sean K una Q-AEC µ > LS(K) un cardinal y α < µ+ un ordinal límete. Si

K tiene uniones µ-saturadas en α ′ := cf(α), entonces K tiene uniones µ-saturadas en α.

Demostración. Sean 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ−satµ una ≺U

K-sucesión creciente continua y 〈αj〉j<cf(α) una

sucesión de ordinales cofinal en α tal que αj es un ordinal límite si j < cf(α) también

lo es. Esto último implica que 〈Mαj〉j<cf(α) es una ≺U

K-subsucesión creciente continua y

creciente de 〈Mi〉i<α, por tanto⋃

j<cf(α)

Mαj=⋃i<α

Mi y como K tiene uniones µ-saturadas

en cf(α), entonces⋃

j<cf(α)

Mαjes saturado y en consecuencia

⋃i<α

Mi también lo es pues

⋃j<cf(α)

Mαj=⋃i<α

Mi. 4.2.2


El resultado que presentamos a continuación es propuesto como ejercicio por Baldwin en

el capítulo 15 de [Bal09] pero nosotros hemos encontrado un error en las hipótesis pues

el ejercicio supone que α > cf(µ) y lo que se necesita, según la demostración del hecho

6.7 de [She99] donde el resultado está dado de manera implícita, es que α sea un ordinal

regular y α = µ.

Proposición 4.2.3 (cf. ejercicio 15.7 en [Bal09]). Sean K una Q-AEC, µ ≥ LS(K) un cardinal

singular y α un ordinal regular. Si α = µ, entonces K tiene uniones µ-saturadas en α.

Demostración. Sea 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ−satµ una ≺U

K-sucesión creciente continua. Como por hipó-

tesis α es un ordinal regular y µ = α, entonces µ es un cardinal regular y como∣∣∣∣∣⋃

i<α

Mi

∣∣∣∣∣ = |α| · supi<α

{|Mi|},

= µ · µ, pues α = µ

= µ,

entonces tenemos que si N ≺UK

⋃i<α

Mi es de tamaño γ < µ, existe i0 < µ tal que N ≺UK

Mi0 . Como para todo i < α tenemos que Mi ∈ Kµ−satµ , en particular se cumple que

Mi0 es µ-saturado de tamaño µ y por tanto Mi0 realiza todo p ∈ ga − S (N ). Además

como Mi0 ≺UK

⋃i<α

Mi por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (definición 1.1.1.6c),

entonces⋃i<α

Mi realiza todo p ∈ ga− S (N ). 4.2.3

El siguiente es el teorema principal del presente trabajo y nos hemos basado en gran par-

te en el trabajo hecho por Baldwin en el capítulo 15 de [Bal09]. El teorema nos dice que

una Q-AEC K tendrá uniones µ-saturadas en α si K es λ-categórica y µ < λ. Para noso-

tros, este es el resultado fundamental que nos permitirá seguir explorando el concepto de


superestabilidad en el contexto de las Q-AECs pues nos va a permitir demostrar que la

subclase Kµ−satµ de una Q-AEC K es también una Q-AEC.

Teorema 4.2.4 (cf. teorema 15.7 en [Bal09], afirmación 6.7 en [She99]). Sean λ un cardinal

regular, K una Q-AEC λ-categórica que satisface AP, JEP, que tiene MAG y λ > LS(K) un

cardinal. Si un cardinal µ ∈ (LS(K), λ), entonces K tiene uniones µ-saturadas en α para todo

ordinal límite α < µ.

Demostración. En primer lugar notemos que por las proposiciones 4.2.2 y 4.2.3 es suficien-

tre suponer que α es un ordinal regular menor que µ.

Para llegar a una contradicción supongamos que para algún ordinal regular α < µ exis-

ten una ≺UK-cadena creciente continua 〈Mi〉i<α ⊂ Kµ−sat

µ , N ≺UK

⋃i<α

Mi de tamaño γ ∈

[LS(K), µ) y p ∈ ga− S (N ) tal que⋃i<α

Mi no realiza a p.

Observación 4.2.5. Notemos que si γ < α, entonces existe i0 < α tal que N ≺UK Mi0 pues α es

un ordinal regular. Ahora bien como Mi0 ∈ Kµ−satµ , entonces Mi0 � p y como Mi0 ≺U

K

⋃i<α

Mi,

concluimos que⋃i<α

Mi � p. Por tanto para llegar a la contradicción deseada, tenemos que suponer

que α ≤ γ.

Como p ∈ ga − S (N ) no tiene realizaciones en⋃i<α

Mi, entonces podemos extender a p a

un tipo no algebraico p ′ ∈ ga− S

(⋃i<α

Mi

).

Lo que haremos es construir de manera recursiva una ≺UK-cadena creciente continua 〈Ni〉i<α

y una sucesión 〈N +i 〉i<α, no necesariamente continua, tales que:

Ni,N+i ∈ Kγ, Ni ≺U

K Mi, N +i ≺U

K

⋃i<α

y Ni ≺UK N +

i para todo i < α.

Si p ′ γ-rompe sobre Ni, entonces p ′ ↾N+iγ-rompe sobre Ni para todo para todo i < α.


N ∩Mi ⊆ Ni y para todo j < i tenemos queN+j ∩Mi ⊆ Ni+a para todo i < α.

Ni ∈ Kγ−satγ para todo ordinal sucesor i < α y

Ni+1 es universal sobre Ni.

Observación 4.2.6. Notemos que por la proposición 4.2.3 y por la observación 4.2.5 sin pérdida

de generalidad podemos suponer que N ∩Mi 6= ∅ para todo i < α.

A continuación construiremos las sucesiones 〈Ni〉i<α y 〈N +i 〉i<α.

Sea i = 0. Notemos en primer lugar que como N ∈ Kγ, entonces |M0∩N| ≤ γ y como

M0 ∈ Kµ y γ < µ, podemos afirmar que existeA ⊂M0 tal que |A| = γ yM0∩N ⊆ A.

Por el axioma de Löwenheim-Skolem descendente (definición 1.1.1.5), existe N0 ≺UK

M0 tal queA ⊆ N0 y N0 ∈ Kγ. Si p ′ γ-rompe sobre N0, entonces existen N 10 ,N

20 ∈ Kγ

y un isomorfismo h0 : N1 −→ N2 tales que N0 ≺K N 10 ,N

20 ≺U

K

⋃i<α

Mi, h0 ↾M0= 1M0

y p ′ ↾N 206= h0

(p ↾N 1

0

). Sea A ′ := N1

0 ∪ N20. Por el axioma de Löwenheim-Skolem

descendente, existe M ′ ≺UK

⋃i<α

Mi tal que A ′ ⊆ M ′ y M ′ ∈ Kγ; es inmediato que

N 10 ,N

20 ⊆ M ′ y como en particular N 1

0 ,N20 ,M

′ ≺K

⋃i<αMi, entonces al aplicar los

axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) tenemos que N 10 ,N

20 ≺K M ′. Al aplicar

los axiomas de densidad (definición 1.1.1.7a) tenemos que existe N +0 ∈ Kµ tal que

M ′ ≺UK N +

0 ≺UK

⋃i<α

Mi pues M ′ ≺UK

⋃i<α

Mi y como N 10 ,N

20 ≺K M ′ ≺U

K N +i , entonces

por los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4b) tenemos que N 10 ,N

20 ≺U

K N +0 . Si

p ′ no µ-rompe sobre M0, sea a ∈⋃i<α

Mi \N0. Sea B := {a} ∪N0. Como |B| = γ < µ,

entonces por el lema 1.1.15 existe N +0 ≺U

K

⋃i<α

tal que B ⊆ N+0 y N0 ≺U

K N +0 ≺U

K

⋃i<α

Mi.

De las construcciones que acabamos de hacer es inmediato que N0 ≺UK N +

0 .


Sea i < α un ordinal y supongamos que tenemos construído Nj,N+j ∈ Kγ tal que

N ∩Mj ⊆ Nj, Nj ≺UK Mj,N

+j y si p ′ µ-rompe sobre Nj, entonces p ′ ↾N+

jµ-rompe

sobre Nj para todo j ≤ i. Sea A = (N ∩Mi+1) ∪Ni ∪

(⋃j<i

N+j ∩Ni

). Ahora bien

|A| =

∣∣∣∣∣(N ∩Mi+1) ∪Ni ∪

(⋃

j<i

N+j ∩Ni

)∣∣∣∣∣ ,

= |N ∩Mi+1|+ |Ni|+

∣∣∣∣∣⋃

j<i

N+j ∩Ni

∣∣∣∣∣ ,

= γ+ |i| · supj<i

|N+j ∩Ni| pues |N ∩Mi+1| ≤ γ y |Ni| = γ,

= γ pues i < α ≤ γ y para todo j < i tenemos que |N+j ∩Ni| ≤ γ,

entonces al aplacar el axima de Löwenheim-Skolem descendente, existe N ′i+1 ≺U

K

Mi+1 tal que A ⊂ N ′i y |N ′

i+1| = |A| = |Ni| = γ. Claramente Ni ⊆ N ′i+1 y como

en particular Ni,N ′i+1 ≺K Mi+1, entonces por los axiomas de coherencia (definición

1.1.1.4a) tenemos que Ni ≺K N ′i+1. Como |N ′

i+1| = γ < µ < λ y K es λ-categórica,

entonces por el teorema 2.1.2 tenemos que K es |N ′i |-estable y por tanto al aplicar

el corolario 2.2.12, existe N ′′i+1 ∈ K|N ′

i |que es (γ, γ)-límite sobre N ′

i+1 pues γ < γ+.

Como Mi es saturado, entonces por el teorema 1.4.3 tenemos que Mi+1 es modelo-

homogéneo y en consecuencia existe una ≺UK-inmersión f : N ′′

i+1 −→ Mi+1 que fija

puntualmete a N ′i+1. Defina Ni+1 := f[N ′′

i+1]. Es inmediato que Ni+1 es (γ, γ)-límite

sobre N ′i+1 pues N ′′

i+1 es isomorfo a Ni+1 y como Ni ≺K N ′i+1, entonces por el lema

2.2.4 tenemos que Ni+1 es (γ, γ)-límite sobre Ni. De nuevo por el lema 2.2.4 es inme-

diato que Ni+1 es universal sobre Ni y de la construcción que acabamos de hacer es

fácil ver que Ni+1 ∈ Kγ−satγ .


Para la construcción de N +i+1 puede utilizar el mismo argumento del ítem anterior.

Sea i < α un ordinal límite y supongamos que para todo j < i tenemos construido

Nj,N+j ∈ Kγ tal que N ∩Mj ⊆ Nj, Nj ≺U

K Mj,N+j y si p ′ µ-rompe sobre Nj, enton-

ces p ′ ↾N+jµ-rompe sobre Nj. En primer lugar notemos que como 〈Mk〉k<α es una

≺UK-sucesión creciente, entonces para todo j < i tenemos que Mj ≺U

K Mi y como

por hipótesis Nj ≺UK Mj, entonces por la transitividad de la relación ≺U

K (definición

1.1.1.1) concluimos que Nj ≺UK Mi para todo j < i. Definamos Ni :=

⋃j<i

Nj. Como

i < α < γ+, entonces Ni ∈ Kγ y por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught (defi-

niciónes 1.1.1.6b y 1.1.1.6c) tenemos que Nj ≺UK Ni para todo j < i y que Ni ≺K Mi

pues en particular Nj ≺K Mi para todo j < i. Por el lema 1.1.13, esto último implica

que Ni ≺UK Mi.

La construcción de N +i es similar a la que hicimos en el primer ítem.

De la construcción de los Ni para i < α, tenemos que la ≺UK-cadena 〈Ni〉i<α ⊂ Kγ es

creciente continua y tal que Ni+1 es universal sobre Ni. Además como en particular Ni ≺K

Mi ≺K

⋃i<α

Mi para todo i < α, entonces por los axiomas de cadenas de Tarski-Vaught

(definición 1.1.1.6c) tenemos que⋃i<α

Ni ≺K

⋃i<α

Mi; como por hipótesis α ≤ γ, tenemos

que⋃i<α

Ni ∈ Kγ pues para todo i < α se cumple que Ni ∈ Kγ y al aplicar el lema 1.1.13

concluimos que⋃i<α

Ni ≺UK

⋃i<α

Mi pues∣∣∣∣⋃i<α

Ni

∣∣∣∣ = γ < µ =

∣∣∣∣⋃i<α

Mi

∣∣∣∣. Por último notemos

que como p ′ ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)es un tipo no algebraico en

⋃i<α

Mi, entonces p ′ ↾ ⋃

i<α

Nies

un tipo no algebraico en⋃i<α

Ni. Sea q := p ′ ↾ ⋃

i<α

Ni.

Como por hipótesis K es λ-categórica y γ ∈ (LS(K), λ), entonces por el corolario 4.1.2


tenemos que K es γ-superestable. En particular tenemos que la relación de no γ-ruptura

tiene carácter local universal fuerte en α pues α ≤ γ < µ+, esto quiere decir que para

q ∈ ga − S

(⋃i<α

Ni

)existe iq tal que q no γ-rompe sobre Niq y como 〈Ni〉i<α es una ≺U

K-

sucesión creciente, entonces Niq ≺UK Niq+1 y al aplicar la monotonía de la relación de no

µ-ruptura (lema 3.1.12), tenemos que q no µ-rompe sobre Niq+1. Sea i0 = iq + 1.

Afirmación 4.2.7. p ′ no γ-rompe sobre Ni0 .

Demostración. Razonemos por reducción al absurdo, esto es supongamos que p ′ γ-rompe

sobre Ni0 . Si esto sucede, entonces por construcción de N +i0

tenemos que p ′ ↾N+i0

γ-rompe

sobre Ni0 . Además también por la construcción de N +i0

y de la ≺UK-sucesión 〈Ni〉i<α tene-

mos que N +i0

≺UK

⋃i<α

Mi y que para todo j > i0 se cumple que N+i0∩Mj ⊆ Nj+1 y por

tanto N+i0⊆⋃i<α

Ni. Claramente N +i0⊆⋃i<α

Ni y como en particular Ni0,⋃i<α

Ni, entonces por

los axiomas de coherencia (definición 1.1.1.4a) tenemos que N +i0

≺K

⋃i<α

Ni. Esto ”ultimo

implica que p ′ ↾N+i0

=

(p ′ ↾ ⋃

i<α

)↾Ni0

.

Como por construcción tenemos que Ni0 ≺UK N +

i0≺K

⋃i<α

Ni, que p ′ ↾N+i0

γ-rompe sobre

Ni0 y que p ′ ↾N+i0

=

(p ′ ↾ ⋃

i<α

)↾Ni0

, entonces al aplicar la transitividad de la relación de

ruptura (observación 3.1.2) tenemos que p ↾ ⋃

i<α

Niγ-rompe sobre Ni0 , lo cual contradice la

escogencia de i0. 4.2.7

Notemos que como i0 es un ordinal sucesor, entonces por la construcción de la ≺UK-

sucesión 〈Ni〉i<α tenemos que Ni0 ∈ Kγ−satγ . Además al aplicar el corolario 2.1.7, tene-

mos que EML(K) (γ,Φ) ∈ Kγ−satγ , EML(K) (µ,Φ) ∈ Kµ−sat

µ pues γ, µ < λ y λ es regu-

lar. Por el teorema 1.4.3 tenemos que EML(K) (γ,Φ) y EML(K) (µ,Φ) son ambos modelo-


homogeneos. Por la proposición 1.2.5 tenemos que Mi0 es isomorfo a EML(K) (µ,Φ) y

que Ni0 es isomorfo a EML(K) (γ,Φ), sin pérdida de generalidad podemos suponer que

Mi0 = EML(K) (µ,Φ) y que Ni0 = EML(K) (γ,Φ).

Sean d ∈ |C| \⋃i<α

Mi una realización del tipo no algebraico p ′ ∈ ga − S

(⋃i<α

Mi

)y

c = 〈cj〉j<γ una enumeración de⋃i<α

Ni \Ni0 .

De nuevo por el corolario 2.1.7, tenemos que para algún κ < γ+ la estructura EML(K) (µ+ κ,Φ)

es saturada pues µ+κ < λ; por tanto existen c ′ = 〈c ′j〉j<γ y d ′ en el universo EML(K) (µ+ κ,Φ)

tal que c ′ � ga−tp(c/Ni0) y d ′ � ga−tp(d/Ni0). Esto último y el teorema de Presentación

(teorema 1.1.19) implican que existen sucesiones de L ′-términos σ ′ y σ ′′, donde L ′ es el

lengiaje dado por el teorema de Presentación, tales que c ′ = σ ′(z1, z2) y d ′ = σ ′′(w1,w2)

con z1,w1 ⊆ γ, z2 = [µ, µ+ κ) y w2 ⊆ [µ, µ+ κ) tales que |z1z2| = γ y |w1|, |w2| < ℵ0.

Es fácil ver que para todo ordinal β < γ+ la función

fβ : β ∪ [µ, µ+ κ) −→ β+ κ : i 7−→

i si i < β

β+ j si i = µ+ j, j < κ

es un isomorfismo de orden.

Definimos los ordinales κ0 := γ y κδ := γ+ δ · κ para todo δ ∈ (0, γ+). También definimos

las funciones g0 := 1γ y gδ := fκδ : κδ ∪ [µ, µ+ κ) −→ κδ+1 para todo δ ∈ (0, γ+).

Definamos cδ+1 := σ ′(z1, gδ+1(z2)) y dδ+1 := σ ′′(w1, gδ+1(w2)). Notemos que como por

hipótesis c ′ ∈ |EML(K) (µ+ κ,Φ) | realiza c ′ � ga − tp(c/Ni0), entonces por la defini-

ción 1.3.7 existe una ≺UK-inmersión f :

⋃i<α

Ni −→ EML(K) (µ+ κ,Φ) que fija puntual-

mente a Ni0 = EML(K) (γ,Φ) tal que f(c) = c ′. Esto último implica que f[⋃i<α

Ni

]=

EML(K) (γ,Φ) c ′ = Ni0c ′ =⋃i<α

Ni. Además de esto, notemos que como para todo δ < α


se cumple que gδ+1 : κδ ∪ [µ, µ + κ) −→ κδ + κ es un isomorfismo de orden que ex-

tiende a g0 = 1γ, entonces por el hecho 1.5.7 gδ+1 se puede extender a un isomorfis-

mo g ′δ+1 : EML(K) (κδ ∪ [µ, µ+ κ), Φ) −→ EML(K) (κδ + κ,Φ) que extienda a 1EML(K)(γ,Φ).

Ahora bien, como por hipótesis tenemos que z1 ⊂ γ y z2 = [µ, µ + κ), entonces c ′ ∈

|EML(K) (κδ ∪ [µ, µ+ κ), Φ) | y por tanto

g ′δ+1 [Ni0c ′] = g ′

δ+1

[EML(K) (γ,Φ) c ′

],

= g ′δ+1

[EML(K) (γ,Φ)σ ′(z1, z2)

],

= EML(K) (γ,Φ)g ′δ+1(σ

′(z1, z2)),

= EML(K) (γ,Φ)σ ′(gδ+1(z1), gδ+1(z2))) por el hecho 1.5.7,

= EML(K) (γ,Φ)σ ′(z1, gδ+1(z2))) pues z1 ⊂ γ y 1γ ⊆ gδ+1,

= EML(K) (γ,Φ) cδ+1,

= Ni0cδ+1,

= EML(K) (κδ+1, Φ) .

Lo anterior implica que Ni0c es isomorfo a Ni0cδ+1 = EML(K) (κδ+1, Φ) pues Ni0c es iso-

morfo a Ni0c ′.

Como c =⋃i<δ

Ni \Ni0 , entonces para cada δ < α definimos isomorfismos gδ+1 := g ′δ+1 ◦ f :

⋃i<α

Ni −→ EML(K) (κδ+1, Φ). Sea Ni0,δ+1 := gδ+1

[⋃i<α

Ni

]= EML(K) (κδ+1, Φ) ∈ Kγ para

cada δ < α. Por lo anterior y con ayuda de los axiomas de isomorfismo (definición 1.1.1.3)

tenemos que Ni0 ≺UK EML(K) (κδ+1, Φ) pues gδ+1 fija puntualmente a Ni0 ; además como

κδ+1 < µ, entonces por el teorema 1.5.10.4 y lema 1.1.13 tenemos que EML(K) (κδ+1, Φ) ≺UK

EML(K) (µ,Φ), por tanto tenemos que Ni0cδ+1 = EML(K) (κδ+1, Φ) ≺UK EML(K) (µ,Φ). Por


como se supuso σ ′′ tenemos que dδ+1 � p ′ ↾Ni0,δ+1para todo δ < α.

Notemos que como dδ+1 = σ ′′(w1, gδ+1(w2)) y gδ+1 : κδ ∪ [µ, µ + κ) −→ κδ+1, entonces

dδ+1 ∈ |EML(K) (κδ+1, Φ) | y como κδ+1 < µ, entonces utilizando el teorema 1.5.10.4 y lema

1.1.13 concluimos que dδ+1 ∈ Mi0 . Si para algún δ < α se tiene que dδ+1 � p, entonces

obtenemos una contradicción pues Mi0 ≺UK

⋃i<α

Mi y p no tiene realizaciones en⋃i<α

Mi.

De lo contrario, recordemos que d ∈ |C| es una realización de p ′ en el modelo monstruo,

q = p ′ ↾ ⋃

i<α

Niy que q no µ-rompe sobre Ni0 . Ahora:

1. Supongamos que δ < β < α. En primer lugar notemos que como p ∈ ga − S (N ),

N ≺K

⋃i<α

Ni ≺UK

⋃i<α

Mi por construcción y por hipótesis p ′ ⊇ p, entonces p ′ ↾ ⋃

i<α

Ni=

q ∈ ga − S

(⋃i<α

Ni

)es una extensión de p; por tanto dδ+1 no realiza a q pues dδ+1

no realiza a p. Además como por escogencia d � p ′, entonces d � q y como Ni0c es

isomorfo a Ni0cβ+1, entonces ga− tp (cd/Ni0 ,C) 6= ga− tp (cβ+1dδ+1/Ni0,C).

2. Supongamos ahora que β < δ < α. Por la afirmación 4.2.7, tenemos que p ′ ∈

ga− S

(⋃i<α

Mi

)no µ-rompe sobre Ni0 y como Ni0 ≺

UK EML(K) (κβ+1, Φ) ≺U

K

⋃i<α

Mi,

entonces por la monotonía de la relación de no µ-ruptura (lema 3.1.12) se cum-

ple que p ′ ↾EML(K)(κβ+1,Φ) no µ-rompe sobre Ni0 . Lo anterior sumado al hecho que

EML(K) (κβ+1, Φ) = Ni0cβ+1 es isomorfo a⋃i<α

Ni = Ni0c y aplicando el hecho 3.1.15,

implican que ga − tp (cd/Ni0,C) = ga − tp (cβ+1d/Ni0,C) y por como se definió

dδ+1 tenemos que ga− tp (cd/Ni0 ,C) = ga− tp (cβ+1dδ+1/Ni0,C).

En primer lugar notemos que entonces gβ+1 ⊂ gδ+1 pues gβ+1 ⊂ gδ+1 y por tanto .

entonces cαdα no realizan el mismo tipo que cd sobre Ni pues ga − tp(dα/cβ) ni

4.3 Superestabilidad en Q-AECs: algunas preguntas 191

ga− tp(d/c) rompen sobre Ni.

Sean J un orden lineal tal que |J| < λ con 2|J| cortaduras y J ′ una extensión de J de tamaño

2|J| ≤ λ que realiza todas las cortaduras de J. Fijemos IJ, IJ ′ extensiones de J y J ′ respec-

tivamente que son γ+-homogéneos. Trabajemos en EML(K) (γ+ κ× IJ ′, Φ) donde κ × IJ ′

tiene el orden antilexicográfico y para i ∈ IJ ′ sea hi : [µ, µ+ κ) −→ κ× {i} : µ+ j 7−→ (j, i).

Sean c ′i := σ

′(z1, hi(z2)) y d ′i := σ

′′(w1, hi(w2)).

Para todos i < j e i ′ < j ′ en κ × IJ ′ existen automorfismos que fijan γ y envían κ × {i} en

κ × {i ′} y κ × {j} en κ × {i ′}; por tanto en EML(K) (κ× IJ ′, Φ) todas las tuplas cidj realizan

el mismo tipo de Galois sobre EML(K) (γ,Φ) siempre que i < j y en consecuencia para

todo i ∈ J ′ 1 y 2 se cumplen para cidi. En particular si cd y c ′d ′ están dados por diferentes

cortaduras en J

ga− tp(cd/EML(K) (γ+ κ× J,Φ)) 6= ga− tp(c ′d ′/EML(K) (γ+ κ× J,Φ))

lu cual contradice la |J|-estabilidad de K. 4.2.4

4.3. Superestabilidad en Q-AECs: algunas preguntas

De acuerdo al estudio de la superestabilidad realizado en el presente trabajo y teniendo

en cuenta el resultado de transferencia de categoricidad desarrollado por Shelah y Vasey

en [SV18] donde el concepto de marco bueno, una noción local de superestabilidad, es

fundamental y por tanto es natural preguntarnos.

Pregunta 4.3.1. ¿Es posible adaptar el concepto de marco bueno al contexto de las Q-AECs?


Como muestran Shelah y Vasey en [SV18], el resultado de transferencia de categoricidad

parcial demostrado por Grossberg y VanDieren en [GV06b] es indispensable para tener

transferencia de categoricidad sin restricciones y por tanto es indispensable solucionar

el problema de las condiciones 0.0.6, 0.0.7 y 0.0.8 en el argumento de Coppola. En la

pregunta 2.3.7, nosotros proponemos demostrar, refutar o remover dichas condiciones

y basándonos en las páginas 88, 89 y 90 de [Cop06] nosotros planteamos la siguiente

pregunta.

Pregunta 4.3.2. ¿Es la superestabilidad en Q-AECs una herramienta que podría ayudar a remover

o demostrar las condiciones 0.0.6, 0.0.7 o 0.0.8?

Por último, como lo que buscamos es tener un resultado de transferencia de categoricidad

sin restricciones en el contexto de las Q-AECs, la siguiente pregunta es natural.

Pregunta 4.3.3. ¿Es posible adaptar el argumento de [SV18] al contexto de las Q-AECs?

Índice alfabético

(M, a,N ), 32

(M, a,N1) ∼ (M, b,N2), 32

(µ, α)-límite, 92

Cδ ∪ {δ}, 138

Sµ+

α -sucesión de clubs, 138

Sµ+

α , 138

EML(K) (I, Φ), 60

Kµ−sat, 46

KΘ, 4

Kλ, 4

PC(L(K), T ′, Γ), 12

AutM(C), 41

χ-docilidad, 103

ga− Sn (M), 41

C, 31

µ-estable, 72

µ-homogéneo, 22

µ-modelo-homogéneo, 22

µ-ruptura, 110

µ-saturado, 46

µ-superestable, 164

µ-universal, 82

a � p, 41

≺UK-inmersión, 13

≺K-inmersión, 13

Q-AEC, 3

alternaciones δ-límites en α, 131

AP, véase propiedad de amalgamación

194 Índice alfabético

cadenas coherentes de tipos de Galois, 43

carácter local universal

débil en α, 114

fuerte en α, 126

cianotipo propio de I, 60

continuidad uniforme en α, 131

estable en µ, véase µ-estable

generalización del teorema de omisión de

tipos de Morley, 62

JEP, véase propiedad de inmersiones con-

juntas

lema de renombramiento, 10

lleno hasta el borde, 64

MAG, véase modelos arbitrariamente gran-

des

modelos arbitrariamente grandes, 5

propiedad de amalgamación, 5

propiedad de inmersiones conjuntas, 5

saturado en µ, véase µ-saturado

sistema λ-dirigido, 11

sucesión de indiscernibles, 59

superestable en µ, véase µ-superestabilidad

teorema de Presentación, 12

teorema de Shelah-Villaveces, 160

tipos de Galois

como órbitas de automorfismos, 41

como relacines de equivalencia, 35

uniones µ-saturadas en α, 165

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