Lección 1: Números reales

Los números irracionales

En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números:

• Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos que sirven para contar. Ejemplos de los números naturales son:

0, 1, 2, 3, 4, ......, 37, ......, 186, ......, 1999, ......

• Después, estudiamos los números enteros, que están formados por los naturales y por los números negativos. Con ellos podíamos indicar pérdidas, temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar o la tierra. Ejemplos de los números enteros son:

• Posteriormente, conocimos a los números racionales,que están formados por los enteros, las fracciones (que siempre se pueden presentar en forma decimal), y los decimales. Ejemplos de los números racionales son:

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......, -154, ......, -13, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ......, 18, ......, 189723, ......

......, - , ....., -2.2, ....., -1, ....., -0.5, .....0,

......, 0.5, ...... , ....., 1, ......, , .....

Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que paraconvertir fracciones a decimales se divide el numerador entre eldenominador. Por ejemplo:

= 1 ÷ 2 = 0.5 = 621 ÷ 13 = 47.769230769230...

A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemosvisto que estas cifras en algún momento empiezan a aparecerrepetidas en un mismo orden, así que, aunque sean infinitas, esposible escribir el número indicando el conjunto de cifras que serepite, y que se llama período, poniendo una curvita arriba de las cifras que lo forman. Por ejemplo:

= 0.33333… pero escribimos 0.3,y la curvita arriba del 3 indica que éste se repite;

= 0.1666… pero escribimos 0.16,y la curvita arriba del 6 indica que es el período;

= 0.285732857328573… pero escribimos 0.28573, y la curvita arriba de 28573 indica que es el período, o sea las cifras que se repiten.

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62113

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LECCIÓN 1

1875

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Con los números racionales ya podemos representar casitodas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sinembargo, hay otra clase de números, que se escriben con unainfinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir,no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los númerosde esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia delos racionales, no pueden ponerse en forma de fracción, sino sóloen forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos formanel conjunto de los números reales y son los números con los quetrabajaremos en este curso.

Hay una infinidad de números irracionales, pero en este cursotrabajaremos sólo con algunos de ellos, que son los más usados.Tal vez usted se pregunte cómo vamos a escribir la infinidad decifras que tienen los números irracionales. La respuesta es quecuando trabajamos con números irracionales, nos conformamoscon una aproximación, o bien utilizamos algunos símbolos especiales.

El primer número irracional que presentaremos es un númeroque de hecho ya conoce. Usted ha usado el número π (pi) paraexpresar las fórmulas de la longitud de la circunferencia, del áreadel círculo y del volumen de la esfera. El número π representa las veces que cabe el diámetro de un círculo en la longitud de la circunferencia. Es decir, si tuviéramos las medidas exactas de la longitud (C) de una circunferencia y de su diámetro, (d),podríamos decir que π = C ÷ d, pero si quisiéramos hacer ladivisión no terminaríamos nunca: podríamos tener tantas cifras decimales como quisiéramos, pero nunca llegaríamos a un residuoigual a cero, ni encontraríamos cifras que formen un período. Estoes, si intentáramos escribir π exactamente, nunca terminaríamosde escribir cifras decimales, por lo que decimos que π es un

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número irracional. A continuación se expresa el número π con susprimeras 54 cifras decimales:

π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820...

En la práctica, sin embargo, cuando queremos calcular longitudes de circunferencias, áreas de círculos, volúmenes deesferas o para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca π,podemos usar la aproximación π = 3.1416 o bien, como lo hemoshecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximaciónπ = 3.14.

Otro número irracional es √2. El número √2 es la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyoscatetos miden una unidad delongitud.

Si necesitamos hacer cálculos con √2, utilizamos 1.41,que es una aproximación. (Usted puede verificar que 1.412 = 1.9881, que se acerca bastante a 2.)

Otros números irracionales son √3 y el número e. Una manera de encontrar aproximaciones a estos números es utilizando la calculadora. Para encontrar el primero sacamos la raíz cuadrada de 3, y para encontrar el segundo pulsamos la tecla ex que tienen algunas calculadoras y encontramos así la aproximación e = 2.7182818.

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LECCIÓN 1

1 u√2 u

1 u

a) En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla que son aproximaciones para los números irracionales √5, √7, √2 y √3.

b) Si su calculadora tiene la tecla π, oprímala para ver con qué aproximación representa este número irracional.

c) Exprese en forma decimal, indicando en cada caso el período, los siguientes números racionales:

, , , , , , .

Aproximaciones

En la sección anterior hemos dicho que cuando se trabaja connúmeros irracionales se usan con aproximaciones, ya que esimposible escribir todas sus cifras decimales pues son unainfinidad. A veces también es conveniente usar aproximaciones

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37

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Ejercicio 1

con los números racionales. Hay dos maneras de hacer las aproximaciones: por truncamiento y por redondeo.

El método del truncamiento consiste en considerar sólo lascifras decimales que nos interesan y "eliminar" las demás. Primerodebemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar ocuántas nos están pidiendo.

Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicación dedecimales y nos piden que expresemos el resultado con tres cifras decimales,usando truncamiento. Por ejemplo, la multiplicación que se muestra a laderecha.

El resultado tiene cinco cifras decimales y sólo queremos tres, así que "eliminamos" los ochos y escribimos 0.124 x 2.37 ≈ 0.293.

Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo "≈"porque el producto 0.124 x 2.37 no es exactamente igual a 0.293,es casi igual, una aproximación. Esto se indica usando el signo "≈",que se lee "aproximadamente igual a".

De manera que "truncar" números es deshacerse de las cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos dos ejemplos más, en los que realizaremos operaciones y expresaremos los resultados con las cifras decimales que se indican.

Resolvamos la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 y expresemos el resultado con dos cifras decimales mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma

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LECCIÓN 1

0.124x 2.37

08680372

02480.29388

es 62.3297, y al truncar para quedarnos con dos cifras decimales eliminamos las dos últimas, esto es, al 9 y 7. Escribimos entonces:

12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.32

Resolvamos ahora la división 1.971 ÷ 8 y expresemos el resultado con tres cifras decimales mediante truncamiento. Al hacer la división obtenemos 1.971 ÷ 8 = 0.246375, pero como sólo queremos tres cifras decimales eliminamos el 375 que aparece al final y nos quedamos con 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246.

Otra manera de aproximar números es el redondeo. Paracomprender este método regresemos a nuestro ejemplo de lamultiplicación 0.124 x 2.37 = 0.29388. Si utilizamos la rectanumérica para representar este resultado, obtenemos un esquema como el siguiente, en el que la ubicación del númeroque nos interesa está señalada con una flecha vertical:

Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales paraexpresar el número 0.29388, vemos que este número está entre0.293 y 0.294, pero está mucho más cerca de 0.294 que de 0.293.Es decir, si decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.293 mentimos, y si

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0.293 0.2931 0.2932 0.2933 0.2934 0.2935 0.2936 0.2937 0.2938 0.2939 0.294

decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.294 también mentimos, pero mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entoncesla aproximación por redondeo de 0.29388 es 0.294, y escribimos0.29388 ≈ 0.294: hemos utilizado tres cifras decimales pero a latercera le hemos aumentado 1.

Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicación0.124 x 2.38 = 0.29512, y representemos este resultado en unesquema como el anterior:

Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar elnúmero 0.29512, vemos que este número está entre 0.295 y0.296, pero que está mucho más cerca de 0.295 que de 0.296.Ahora la aproximación por redondeo de 0.29512 es 0.295 yescribimos 0.29512 ≈ 0.295: hemos utilizado tres cifras decimalesy a la tercera no le hemos aumentado nada.

Vemos entonces que con el método de aproximación porredondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones en las cifras originales y a veces no. El método se puede resumirde acuerdo con las siguientes reglas:

• Se cuentan las cifras que interesa dejar y se observa la primera cifra que se va a eliminar.

• Si la primera cifra que se va a eliminar es menor que 5 no hay modificaciones en las cifras que se dejan.

• Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o mayor que 5, la última cifra no eliminada aumenta en 1.

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LECCIÓN 1

0.295 0.2951 0.2952 0.2953 0.2954 0.2955 0.2956 0.2957 0.2958 0.2959 0.296

Veamos unos ejemplos más de redondeo:

Al hacer la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235 encontramos como resultado 62.3297. Si queremos redondeareste resultado a dos cifras decimales, nos fijamos en la tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 2, aumenta en 1. Escribimos entonces:

12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.33

Observe que este resultado difiere del que habíamos obtenidocuando hicimos la aproximación por truncamiento.

Al hacer la división 1.971 ÷ 8 tenemos como resultado0.246375. Si queremos redondear este número a tres cifras decimales, nos fijamos en la cuarta, que es 3; como 3 es menor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 6,permanece como está. Escribimos entonces 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246.Observe que en este caso el resultado es el mismo del quehabíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por truncamiento.

Redondeemos ahora el número 15.3129635401 a seis cifrasdecimales. Nos fijamos en la séptima cifra, que es 5; como 5 esigual o mayor que 5, entonces le aumentamos 1 a la última cifrano eliminada, que es 3. Tenemos entonces que 15.3129635401 ≈15.312964.

Por último, redondeemos el número7.4296085 a tres cifras decimales. Nosfijamos en la cuarta, que es 6; como esmayor que 5 le aumentamos 1 a la última

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7.429

+ 0.001

7.430

cifra no eliminada, que es 9. Pero como 9 + 1 = 10, ahora tenemos que aumentar 1 a la penúltima cifra no eliminada, que es 2. Tenemos entonces que 7.4296085 ≈ 7.430.

Trunque los siguientes números a tres cifras decimales:

a) 0.356783258 c) 897.46789 e) 7.00006 g) 10009.9001

b) 11.1111111 d) 3.145578 f) 235.654 h) 0.189675872

En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba cada uno de los resultados observados en la pantalla (que sonaproximaciones para los números irracionales √5, √7, √2 y √3), truncando a 5 cifras decimales.

Redondee a tres cifras decimales los números de los incisos del ejercicio 2. Compare los resultados con los que obtuvo en el ejercicio 2.

Redondee a cinco cifras decimales las raíces del ejercicio 3 y compare los resultados con los obtenidos ahí.

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Ejercicio 2

Ejercicio 5

Ejercicio 3

Ejercicio 4

LECCIÓN 1