sistemas-ortogonales

8/18/2019 Sistemas-ortogonales

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UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA.

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA.

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA.

TRABAJO PRÁCTICO

CURSO:

Ingeniería Electromagnética I.

DOCENTE:

Ing. Jesús Arestegui Ramos.

AÑO Y GRUPO:

V EE - 1.

ESTUDIANTE:

Orizonda Crisante, Freddy.

ICA – PERÚSetiembre - 2010


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SISTEMAS ORTOGONALES.

Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cadapunto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. En elespacio Euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces,

combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

-

Coordenadas cartesianas. -

Coordenadas polares. -

Coordenadas esféricas. - Coordenadas cilíndricas. - Coordenadas cilíndricas elípticas. - Coordenadas cilíndricas parabólicas.- Coordenadas paraboidales.- Coordenadas esferoidales alargadas.

-

Coordenadas esferoidales achatadas.-

Coordenadas bipolares.-

Coordenadas toridales.

Por ahora solo vamos a trabajar tres sistemas: Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas.

COORDENADAS CARTESIANAS:El plano cartesiano son un sistema de referencia respecto a un eje (recta), dos ejes

(plano), o tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que secortan en un punto llamado origen de coordenadas.

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (x, y,z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediantetres números: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distanciasortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX,respectivamente.

Z

Y

X

Variables: ,,

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_el%C3%ADpticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Origen_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_el%C3%ADpticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas


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Designación de sus vectores unitarios: , , Representación vectorial: Parámetros:

∞ < < ∞

∞ < < ∞ ∞ < < ∞ Productos escalar y vectorial:. 1 . 1 . 1 Desplazamiento diferencial:

Diferencial de superficie:

Diferencial de volumen:

x

y

z


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COORDENADAS CILÍNDRICAS:Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de

un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una alturaen la dirección del eje.Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría

analítica plana. Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde: ρ: Coordenada radial, longitud de radio del cilindro.φ: Coordenada acimutal, ángulo que forma con el eje “x” la proyección del radiovector.z: Coordenada vertical o altura, con signo, desde el punto P al plano XY.

Variables: ,, Designación de sus vectores unitarios: , , Representación vectorial:

Parámetros: < < ∞ 0 < < 2 ∞ < < ∞ Productos escalar y vectorial: . 1 . 1 . 1

x

y

z

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Espaciohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ejehttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_planahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_planahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ejehttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espaciohttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas


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Desplazamiento diferencial:

̂

Z Y

ρ ϕ

X




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COORDENADAS ESFÉRICAS:El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas

polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante unadistancia y dos ángulos.En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes:

el radio R, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -/2 a /2 radianes, siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del azimut,según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0 a 2 en radianes o de - a.Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por losmatemáticos de Estados Unidos es:

R (Radio): es la distancia entre un punto y el origen.φ (azimut o longitud) de 0 a es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origeny el punto.θ (colatitud o ángulo polar) de 0 a 2

, es el ángulo entre el eje X positivo y la línea

que une el origen con la proyección del punto en el plano XY.

Variables: ,, Designación de sus vectores unitarios: , , Representación vectorial: Parámetros:

0 < < ∞

0 < < 0 < < 2 Productos escalar y vectorial: . 1 . 1 . 1

x

y

z

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Radiohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81ngulo_polar&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Colatitud&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Azimuthttp://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Azimuthttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Colatitud&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81ngulo_polar&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Radiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares


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Desplazamiento diferencial:

̂ ̂




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RELACIÓN DE VARIABLES ENTRE SISTEMAS:

1.- Cartesiano en función de Cilíndrico:

2.- Cilíndrico en función de Cartesiano:

√ ⁄ 3.- Cartesiano en función de Esférico:

4.- Esférico en función de Cartesiano:

√ (√ ⁄ )

⁄

RELACIÓN DE VECTORES ENTRE SISTEMAS:

1.- Cartesiano en función de Cilíndrico:

() () Entonces:


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En forma matricial:

0 00 0 1

2.- Cilíndrico en función de Cartesiano:

() () Entonces: En forma matricial:

0 00 0 1 3.- Cartesiano en función de Esférico:

( ) ( ) Entonces:


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En forma matricial:

0 4.- Esférico en función de Cartesiano:

Entonces:

En forma matricial:

0


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GRADIENTE DE UN ESCALAR (grad V) ( V)

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar en un punto se define como unvector cuya dirección es la de máximo crecimiento del campo en ese punto, y cuyamagnitud es la pendiente del campo en esa dirección. Su expresión matemática se obtiene

aplicando el operador nabla sobre la función que define el campo escalar.A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas decoordenadas:

1.- En Coordenadas Cartesianas:

Si: Entonces:

2.- En Coordenadas Cilíndricas:

Si: Entonces:

1 1 3.- En Coordenadas Esféricas:

Si: Entonces:

1 1 1 1

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Nablahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar


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DIVERGENCIA DE UN VECTOR (. ).La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo

saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por

tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo serádiferente de cero.

Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo

posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo

más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico,

siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

1.- En Coordenadas Cartesianas: . 2.- En Coordenadas Cilíndricas:

. 1 () 1 3.- En Coordenadas Esféricas:

. 1 1 1

http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial


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ROTACIONAL DE UN VECTOR ().En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la

tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

1.- En Coordenadas Cartesianas:

2.- En Coordenadas Cilíndricas:

1

1

( )

( )

3.- En Coordenadas Esféricas:

1

1 () ()

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial


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ELECTROSTÁTICA.

La electrostática es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos producidospor distribuciones de cargas estáticas, esto es, el campo electrostático de un cuerpocargado.

CARGAS ELÉCTRICAS:En física, la carga eléctrica es una propiedad intrínseca de algunas partículassubatómicas (pérdida o ganancia de electrones) que se manifiesta mediante atracciones yrepulsiones que determinan las interacciones electromagnéticas entre ellas.La materia cargada eléctricamente es influida por los campos electromagnéticos siendo, asu vez, generadora de ellos. La interacción entre carga y campo eléctrico origina una de lascuatro interacciones fundamentales: la interacción electromagnética. El valor de la carga del electrón fue determinado entre 1910 y 1917 por Robert AndrewsMillikan y en la actualidad su valor en el Sistema Internacional es:

_ 1.602564 10− _ 9.1 10−3 + 1.67 10− LEY DE COULOMB:

La ley de Coulomb puede expresarse como:

“ La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas

puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de

ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que lassepara”.

La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay

movimiento de las cargas, o como aproximación cuando el movimiento se realiza a

velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza

electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las dos cargaspuntuales

y

ejerce sobre la otra separadas por una distancia

se expresa como:

Donde: : é. : 1 4Ԑ⁄ 9 10 ⁄ , : . : .

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_electrost%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas_subat%C3%B3micashttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas_subat%C3%B3micashttp://es.wikipedia.org/wiki/Electroneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Materiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campos_electromagn%C3%A9ticoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_fundamentalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/1910http://es.wikipedia.org/wiki/1917http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikanhttp://es.wikipedia.org/wiki/1917http://es.wikipedia.org/wiki/1910http://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_fundamentalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campos_electromagn%C3%A9ticoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Materiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Interacci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Electroneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas_subat%C3%B3micashttp://es.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas_subat%C3%B3micashttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_electrost%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica


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Ԑ: Ԑ 8.85 10− ⁄ DENSIDAD DE CARGA:

Densidad de carga lineal ( )

Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.

→ Donde es la carga del cuerpo y es la longitud. En el Sistema Internacional deUnidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).

Densidad de carga superficial ( S)

Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metálica delgada como el papel

de aluminio.

→ donde es la carga del cuerpo y es la superficie. En el SI se mide en C/m2 (culombiospor metro cuadrado).

Densidad de carga volumétrica ( V)

Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

→ donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el SI se mide en C/m3 (culombios

por metro cúbico).

http://es.wikipedia.org/wiki/Linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Culombiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Aluminiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Aluminiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_c%C3%BAbicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_c%C3%BAbicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Aluminiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Culombiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Lineal


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CAMPO ELÉCTRICO:

El campo eléctrico, en física, es un ente físico que es representado mediante un

modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de

naturaleza eléctrica. Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual

una carga eléctrica puntual de valor sufre los efectos de una fuerza eléctrica dada porla siguiente ecuación: Entonces tenemos que:

LEY DE GAUSS:En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de

una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma

forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga:

∮ Ԑ

Ԑ

4 Ԑ 4Ԑ 14Ԑ .

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_f%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Electricidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Electricidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_f%C3%ADsicohttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica


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POTENCIAL ELÉCTRICO.

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para

mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de

carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externapara traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra

de la fuerza eléctrica.

Matemáticamente se expresa por:

Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de

un campo eléctrico. Para tal carga de prueba

localizada a una distancia

de una

carga , la energía potencial electrostática mutua es:AĒ

B origen

De manera equivalente, el potencial eléctrico es:

TRABAJO ELECTRICO Y ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA.

Considérese una carga puntual en presencia de un campo eléctrico. La cargaexperimentará una fuerza eléctrica.


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Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad

constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el

campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero sentido

contrario, es decir:

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo paratrasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño

desplazamiento se generará un trabajo . Es importante resaltar que el trabajo serápositivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la

fuerza . El trabajo queda, entonces, expresado como: . Teniendo en cuenta la expresión: . Por lo tanto, el trabajo total será:

Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se

dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo.

Expresándolo matemáticamente:

0 El potencial eléctrico suele definirse a través del campo eléctrico a partir del teorema del

trabajo de la física. Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no

está definido sino tan sólo sus variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en

condiciones de campo eléctrico nulo el potencial asociado es constante. Suele

considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado delas cargas eléctricas es cero por lo que la ecuación del potencial eléctrico es:

{

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1 |

1 1

Si → ∞, entonces: 1

POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS.

El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene

calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, ysumando las cantidades así obtenidas, o sea:

∑ La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la

ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies

equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo.

Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe

reemplazarse por una integral:

Entonces tenemos que:

→


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DIPOLO ELECTRICO.

Se forma un dipolo eléctrico cuando dos cargas puntuales de igual magnitud, pero de

signo contrario, están separadas por una distancia pequeña.

Momento dipolar eléctrico ():Se define el momento dipolar eléctrico como una magnitud vectorial con módulo igual alproducto de la carga por la distancia que las separa, cuya dirección es la recta que lasune, y cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva:

. Potencial eléctrico formado por un dipolo:

T


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CAMPOS ELÉCTRICOS EN ESPACIO MATERIAL.

Tipos de materiales:

En un sentido amplio los materiales pueden clasificarse en términos de su conductividad

(), en mho’s por metro ℧/ o en siemens por metro /, como conductores y noconductores, o técnicamente como metales y aisladores (o dieléctricos). Un material dealta conductividad ( ≫ 1) se conoce como metal, mientras que uno de bajaconductividad ( ≪ 1) se conoce como aislador . Al material cuya conductividad seencuentra entre la de los metales y la de los aisladores se le llama semiconductor.

Polarización en los dieléctricos:

Tengamos un momento dipolar: . . ⋯ . ∑ . =

El vector de polarización por unidad de volumen:

l i m→ ∑

.

=

Densidades de carga por polarización:

Superficial: Volumétrica: . Densidad Volumétrica Total:

. . .


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Proporción entre y : Luego: . ( ) . [ 1 ] 1 Donde:: é.

:

. ( ) .

PROBLEMAS CON VALORES DE FRONTERA.

Esta clase de problemas suelen trabajarse por medio de la ecuación de Poisson o de la

ecuación de Laplace.

Sabemos que: … 1 También: .

. . … 2 Entonces reemplazando: .


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. Donde . se le llama Laplaciano y:

ó Pero si 0, entonces la ecuación sería:

0 ó Ecuaciones de Laplace:

En coordenadas cartesianas: En coordenadas cilíndricas:

1

1

En coordenadas esféricas: 1 1 1


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CONDICIONES DE FRONTERA PARA CAMPOS ELECTROSTÁTICOS.

DIELÉCTRICO – DIELÉCTRICO:

El potencial de una superficie cerrada es igual a cero (0):

Entonces: 0 ℎ2 ℎ2 ℎ2 ℎ2 0 Si ℎ 0 (En la frontera):

0

También: De acuerdo al teorema de Gauss:

; : 0 Entonces:

También:

El potencial es:


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CORRIENTE DE CONVECCIÓN.

. . .

. Donde:

: Densidad de Carga.

También:

. → é

Entonces:

1 . Para secciones homogéneas:

Donde:

: Resistividad: Conductividad


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Para secciones no homogéneas:

∫ ∫ ∫

∫

CAPACITANCIA:

∫ ∫ Capacitores de placas paralelas:

Se sabe:

. 1

Entonces:

Pero como se halla para un lado, solo tomamos la mitad:

2

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