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Sistemas Digitales Algebra Booleana y Aplicaciones
1 Álgebra booleana y aplicaciones
1.1 Sistemas Numéricos
1.1.1 IntroducciónConcepto Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para
representar cantidades.
Tipos de
Sistemas
numéricos
1. Decimal
2. Binario
3. Octal
4. Hexadecimal
5. Romano
6. Etc.
Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base (número de
dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente)
mientras que el sistema romano no posee base y resulta más
complicado su manejo tanto con números, así como en las
operaciones básicas.
Notación Para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos
encerraremos entre paréntesis el número y le añadiremos un
subíndice, indicando la base que se está usando.
Sin embargo, si no se usa subíndice se deberá entender que el
número está en base diez, a menos que se diga lo contrario.
Ejemplos 35 � �35��� � 35��10���������������110100�2 � 110100��2�������������
�110100�2 � 110100��2��������������762�� � 762��8������������
�34�16 � 34� � 34��16��������� ������� Clasificación En general cualquier número entero consta de
!��������. !���#��������
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Cualquier número se puede escribir de dos maneras, mediante la
notación yuxtaposicional o simplemente posicional Ecuación 1
Notación Posicional o la notación polinomial Ecuación 2 Notación
polinomial.
Notación
posicional
Son los sistemas de numeración que poseen una base y tienen la
característica de que la posición de cada número le da un valor o
peso.
$ � �%&�%&'⋯��. &�&' ⋯ &)�*Ecuación 1 Notación Posicional
En esta notación el dígito de más a la izquierda �+1 es decir, el que
“pesa” más se denomina dígito más significativo (MSD), en
forma similar al de más a la derecha +�, es decir, el que “pesa”
menos se le llama dígito menos significativo (LSD).
Ejemplo
�218.25��� � � 10, � � 3,� � 2
Notación
polinomial
Cualquier número N puede ser escrito como un polinomio en
potencias de la base. Así, la notación polinomial para el número
expresado por Ecuación 1 Notación Posicional será
$ � - .�.%&�
./&)
$ � %&��%&� 0 %&'�%&' 0⋯0 ��� 0 ��� 0 &��&� 0⋯0 &)�&)
Ecuación 2 Notación polinomial
Ejemplo
�218.25��� � 2 ∗ 10' 0 1 ∗ 10� 0 8 ∗ 10� 0 2 ∗ 10&� 0 5∗ 10&'
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1.1.2 Sistema Binario Definiciones Sistema Binario.
Es el sistema de numeración más simple que usa la notación
posicional, este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente
dos dígitos �0,1�. Por su simplicidad y por poseer únicamente dos dígitos diferentes,
el sistema de numeración binario se usa en computación para el
manejo de datos e información.
Digito 0. Se le asocia con cero voltios, apagado, desenergizado,
inhibido (de la computadora).
Dígito 1. Se le asocia con +5, +12 volts, encendido, energizado (de
la computadora).
Bit. Es la representación de un dígito binario
Byte. Es el conjunto de 8 bits
Notación Debido a que existen diferentes sistemas numéricos es necesario
utilizar una notación para diferenciarse entre ellos y la forma de
escribir un número binario es el siguiente:
�$�' Ecuación 3 Notación de un número binario
Ejemplos 1. �101110�' 2. �101001�'
1.1.3 Sistema Octal Definición El sistema de numeración octal es también muy usado en la
computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la
numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a
binario o viceversa sea bastante simple.
El sistema octal usa 8 dígitos �0,1,2,3,4,5,6,7� y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
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Notación Debido a que existen diferentes sistemas numéricos es necesario
utilizar una notación para diferenciarse entre ellos y la forma de
escribir un número octal es el siguiente:
�$�� Ecuación 4 Notación de un número Octal
Ejemplos 1. �125�� 2. �752��
1.1.4 Sistema Hexadecimal Definición Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad, para
representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la
versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los
números se representan en forma mucho más compacta con
respecto al sistema numérico binario.
El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve
este problema (es común abreviar hexadecimal como hex aunque
hex significa base seis y no base dieciséis).
El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un
mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido
a esto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema
numérico hexadecimal.
Notación Debido a que existen diferentes sistemas numéricos es necesario
utilizar una notación para diferenciarse entre ellos y la forma de
escribir un número Hexadecimal es el siguiente:
�$��2 Ecuación 5 Notación de un número Hexadecimal
Ejemplos 1. �5623��2 2. �4853��2
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1.1.5 Comparación entre sistemas numéricosTabla
comparativa
Decimal Binario Octal Hexadecimal
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F Tabla 1 Comparación entre sistemas numéricos
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1.1.6 Conversión entre sistemas numéricos
1.1.6.1 Introducción Planteamiento
general
El problema general de convertir un número de su representación
en base r a la correspondiente en base q se puede resolver en un
sólo paso si se maneja aritmética de base r o de base q, sin embargo,
si se quiere usar en el proceso solamente aritmética de base 10
debemos plantearlo en dos etapas como se muestra en la figura 1.1
Figura 1 Conversión de 56789 a 5678: usando aritmética de 5678;<
1.1.6.2 Conversión de base r a base 10 Método de
conversión
Como lo sugiere la Figura 1 Conversión de 56789 a 5678: usando aritmética de 5678;< este caso puede ser tratado directamente usando la notación polinomial y aritmética de base 10.
Este procedimiento consiste en usar la Ecuación 2 Notación
polinomial expresando todas las cantidades involucradas en
decimal.
��+1 �+2 ⋯1� . +1+2 ⋯+��* � �%&��%&� 0 %&'�%&' 0⋯0 ��� 0 ��� 0 &��&� 0⋯
0 &)�&)��� Ecuación 6 Ecuación general para convertir de base r a base 10
Ejemplos 1. Convertir �=23��2 a base 10. �=23��2 � �11 ∗ 16' 0 2 ∗ 16� 0 10 ∗ 16����
� �11 ∗ 256 0 2 ∗ 16 0 10 ∗ 1��� � �2858���
2. Convertir �11011�', a base 10 �11011�' � �1 ∗ 2> 0 1 ∗ 2? 0 0 ∗ 2' 0 1 ∗ 2� 0 1 ∗ 2����
� �1 ∗ 16 0 1 ∗ 8 0 0 ∗ 4 0 1 ∗ 2 0 1 ∗ 1��� � �16 0 8 0 0 0 2 0 1���
� �27���
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3. Convertir �576�� a decimal �576�� � �5 ∗ 8' 0 7 ∗ 8� 0 6 ∗ 8����
� �5 ∗ 64 0 7 ∗ 8 0 6 ∗ 1��� � �382���
1.1.6.3 Conversión de base 10 a base q Método general El método para realizar esto que se presenta aquí y que se
denomina método de divisiones sucesivas por la base q está
basado en las siguientes consideraciones generales:
1. Consideremos un número entero N escrito en la base r, en
la notación posicional (Ecuación 1 Notación Posicional)
$ � ��+1 �+2 ⋯1��* 2. Consideremos el numero entero anterior N en la base r, en
notación polinomial (Ecuación 2 Notación polinomial)
$ � %&��%&� 0 %&'�%&' 0⋯0 ��� 0 ��� 3. Factorizando � de la Ecuación 2 Notación polinomial
$ � � @�%&��%&' 0 %&'�%&? 0⋯0 �� 0�� A
4. Eliminando � del lado derecho $� � �%&��%&' 0 %&'�%&? 0⋯0 �� 0
��
5. 2
Ejemplos 1. Convertir �25��� a base 2, 8 y 16. Cociente Residuo
No. de divisiones entre 2
25
1ra 12 � � 1LSB 2da 6 � � 0 3ra 3 ' � 0 4ta 1 ? � 1 5ta 0 > � 1MSB