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SISTEMAS LINEALES PARA AUTOMATIZACION: Números ComplejosSeptiembre de 2011

Materia: Sistemas Lineales para Automatización

Unidad 1: Números complejos

Tema: Aplicaciones con Números Complejos

Mtro. Jorge Adalberto Barreras Gracia.

Ejemplo 1. Por el circuito en serie mostrado en la figura adjunta circula una corriente de 𝐼 = 2 sin 500𝑡 Amp. Obtener la magnitud de la impedancia equivalente del circuito y el ángulo de desfasamiento entre la corriente y el voltaje.

Solución.1. En este caso 𝜔 = 500. El número complejo que representa a la impedancia equivalente

es:2. 𝑍𝑒𝑞 = 10Ω + (20𝑚𝐻 × 500𝐻𝑧) = 10Ω + (20 × 10−3𝐻 × 500𝐻𝑧)j= 10Ω + 10j. Ω3. De esta forma, la magnitud de la impedancia equivalente es:

Ι𝑍𝑒𝑞Ι = √102 + 102 = √100 + 100 = √200 = 14.14Ω.

4. El ángulo de desfasamiento está dado por el argumento de la impedancia equivalente: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔 ( ) = tan−1 (10 ∕10) = tan−1 (1 )= 𝜋∕4 𝑟𝑎𝑑.5. Conclusión. Este resultado indica un adelanto en la corriente de 45° con respecto a la

frecuencia de entrada.

Mtro. Jorge Adalberto Barreras García, UTSLRC, SONORA


Ejemplo 2. Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente, obtener la impedancia total 𝑍 si: 𝑅1 = 2 Ω, 𝑅2 = 6Ω, 𝑋𝐶 = 4Ω, 𝑋𝐿 = 2Ω.

Solución.1. En este caso: 𝑍1 = 𝑅1 − 𝑋𝐶 j = 2 – 4j; 𝑍2 = 𝑅2 − 𝑋𝐿 j = 6 + 2j.2. Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:

1∕𝑍=1∕𝑍1+1∕𝑍23. Esto implica que:

𝑍 =(𝑍1𝑍2)∕(𝑍1 + 𝑍2) =(2 – 4j)( 6 + 2j)∕(2 – 4j) + (6 + 2j) =(20 – 20j)∕(8 – 2j) = ((10-10j)∕(4 – j))x((4 + j)∕(4 + j)) = (50 – 30j)∕17 = 2.9 − 1.8j

4. La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:



Θ = - 31.82⁰

CONTINUACION: Impedancia Compleja.

Ahora, consideremos el circuito RL de la siguiente figura, al que se le aplica una tensión de:

V(t)= Vmejwt, esta función se descompone en términos de la tensión Seno y Coseno, Vmcoswt + jvmsenwt. Aplicando la segunda ley de kirchoff a la malla, se tiene:

Esta ecuación diferencial es de primer orden y su solución particular es de la forma, i(t)= kejwt, sustituyendo esta función de corriente, tenemos:

De donde,

La relación entre funciones de tensión y de la intensidad de corriente ponen de manifiesto que Z, es un número complejo cuya parte real es el valor de R y cuya parte imaginaria es wL:

Considerando un circuito en serie RC, con la misma aplicada V(t)= Vmejwt, tenemos que:



Haciendo, i(t)= kejwt, y sustituyendo en la ecuación anterior, nos queda que:

De donde:

Por lo tanto:

Diagramas de Impedancias

a) b)

b) d)

La resistencia R corresponde a un punto sobre el eje real positivo. Una inductancia o reactancia inductiva XL se representa por un punto del eje imaginario positivo, mientras que una capacitancia o reactancia capacitiva XC estará representada por un punto sobre el eje imaginario negativo. En general, una impedancia compleja se encontrara sobre el primero y el cuarto cuadrante, según los elementos que integran al circuito.



El argumento según lo dicho está comprendido entre ±90⁰ ó ±π ∕ 2 rad.

Ejemplo 1: A un circuito RL con R= 5Ω y L= 2mH, se le aplica una tensión v= 150sen5000t volts. Hallar su impedancia compleja.

Datos

v= 150sen1500t voltios

w= 5000rad/s

R= 5Ω

L= 2mL

Solución:

1) La reactancia inductiva es : XL= wL;XL= 5000(2 x 10-3H)= 10Ω

2) Como Z= R+jwL, entonces: Z= 5+10Ω3) En forma polar:

|Z|= √[(5)2+(10)2]= 11.18Ω → Amplitud ó modulo (r) θ= tg-1(y/x)= 10/5= 2 → θ= tg-1(2)= 63.43⁰.→ Argumento.

Z= 11.18∟63.43⁰

Ejemplo 2: A un circuito en serie RC, con R= 20Ω, C= 5μf, se le aplica una tensión v= 150cos10000t volts. Hallar su impedancia compleja.

Datos

v= 150cos10000t voltios

w= 10000 rad/s



R= 20Ω

C= 2μf

Solución:

1. Calcular la reactancia capacitiva XC= 1 ∕ wC= 1 ∕ 10000x10-6= 20Ω.2. Como Z= R-j1/wC, entonces: Z= 20Ω-j20Ω3. En forma polar:

|Z|= √[(20)2+(20)2]= 28.28Ω → Amplitud ó modulo (r) θ= tg-1(y/x)= -20/20= -1 → θ= tg-1(-1)= 45⁰.→ Argumento.

Z= 28.28∟45⁰

Ejemplo 3: En un circuito, la frecuencia angular es 10x103 rad/s, un inductor de 5mH está en serie con un capacitor de 100μf.Encuentre la impedancia equivalente, como la suma de las impedancias individuales.

Datos

w= 10x103 rad/s

L= 5mH

C= 100μf

Solución:

1. Cálculo de las impedancias individuales:ZC= 1/ jwC= 1/ j(10000) (100x10-6)= 1/j1= -jΩ Nota: 1/j= -jZL= jwL= j(10000)(5x10-3)= j50Ω

2. Obtener la impedancia equivalente total del circuito (ZeqT)ZeqT= ZL+ZC= j50 + (-j1)= j49Ω

Ejemplo 4: Del circuito anterior, ahora con cada elemento en paralelo, calcular la impedancia equivalente.



Nota: En todos los circuitos, excepto en aquellos que tienen solo elementos resistivos puros, la impedancia equivalente compleja es una sola función de la pulsación w, ya que tanto la impedancia de inductores (XL, ZL), como la impedancia de capacitores (XC, ZC), son funciones de w. Por ello cualquier impedancia compleja solo es válida para aquella frecuencia a la que fue calculada.

Ejercicio de práctica 1, para entregar el día del examen

Determinar la impedancia equivalente de la siguiente red, la cual produce una pulsación de operación de 5 rad/s; realizar los diagramas obtenidos.

FASORES



Fasor: Es el vector radical, que tiene magnitud constante (longitud) con un extremo en el origen, cuando se aplica a circuitos eléctricos.

Una corriente o una tensión senoidal a una frecuencia determinada se caracteriza por solo dos parámetros: Amplitud y ángulo de fase. La representación compleja de la tensión o la corriente se caracteriza también por ambos parámetros, por ejemplo, supóngase una respuesta de corriente y voltaje:

1). Función senoidal: Im Cos(wt+θ); VmCoswt = VmCos(wt+0⁰)

2). Función Compleja: Imej (wt+θ); Vmej (wt+θ)

Una vez que se especifican Im y θ la corriente se define de manera exacta.

Forma fasorial de la corriente y la tensión senoidal

Donde Vm, Im o V, I son valores rms (√2) y V, I son valores rms efectivos (1√2 o 0.707)

Equivalente fasorial de la ley de ohm

Llamada también Forma compleja o forma vectorial



Graficas de funciones senoidales y funciones fasoriales

Pasos mediante los cuales una tensión o una corriente senoidal se transforman en un fasor (transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia).

1. Una corriente (voltaje) senoidal reali(t)= ImCos(wt+θ)

2. Expresar como la parte real de una cantidad compleja al recurrir a la forma de Euler.i(t)= Re{Imej(wt+θ)}

3. Se representa la corriente como una cantidad compleja mediante la eliminación de la Re{}, con lo cual se suma una componente imaginaria a la corriente sin afectar la componente real; además se logra una simplificación adicional y se suprime el factor ejwt

I= Imejθ

4. Se escribe el resultado en forma polar (es la representación fasorial).I= Im∟θ



Ejemplos 1: Transformar la tensión en el dominio del tiempo v(t)= 100Cos(400t - 30⁰)volts, al dominio de la frecuencia.

Solucion:

a) v(t)= 100Cos(400t - 30⁰)b) v(t)= Re{vmej(400t-30⁰)}c) V= 100e-j30⁰

d) V= 100∟-30⁰

Ejemplo 2: Transformar la tensión del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo, si w= 500rad/s y V=115∟-45⁰.

1. V=115∟-45⁰

2. V= 115e-j45⁰

3. v(t)= Re{vmej(500t-45⁰)}4. v(t)= 115Cos(400t - 30⁰)

Ejemplo 3: Convierta lo siguiente: del dominio del tiempo al dominio del factor. Utilizar los valores efectivos rms √2, 1/√2 o 0.707 y justifique la respuesta

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

1. √2(50)Sen(wt+0⁰) R= 50∟0⁰

2. 69.6Sen(wt+72⁰) R= (0.707)(696)∟72⁰= 49.21∟72⁰

3. 45Cos (wt+90⁰). R= (0.707)(45)∟90⁰= 49.21∟90⁰

Ejemplo 4: Escriba la expresión senoidal para los fasores de I y V, cuando la frecuencia es de 60 Hz,

Dominio del fasor Dominio del tiempo



I= 10∟30⁰ i(t)= √2(10)Sen(2π60+30⁰)

o i(t)= 14.14Sen(377t+30⁰

V= 115∟-70⁰ v(t)= √2(115)Sen(2π60-70⁰)

o v(t)= 14.14Sen(377t-70⁰)

Ejercicio Practico: Representar la tensión en el dominio del tiempo v(t)= 4Sen(1000t + π/4), al dominio de la frecuencia.(R= 2.828∟45⁰; 2+j2).

Ejemplo 5: Construir los diagramas fasoriales y de impedancias, determinando las constantes del circuito para la tensión y corrientes siguientes:

v(t)= 150Sen(5000t+45⁰)volts ; i(t)= 3Sen(5000t-15⁰)amps.

Solución:

El modulo del fasor es 1/√2 (0.707)

a) Convertir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia la tensión de corriente (Puede ser también primero la corriente).

v(t)= 150Sen(5000t+45⁰)volts v(t)= Re{150ej(5000t+45⁰)} V= 150ej45⁰

V= 150∟45⁰

Como la conversión es al modo de frecuencia se utiliza el valor especifico 1/√2 (0.707), de la siguiente manera.V= (.0707)150∟45⁰= 106∟45⁰

b) Convertir del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia la intensidad de corriente (Puede ser también primero la tensión).

i(t)= 3Sen(5000t-15⁰)amps. v(t)= Re{3ej(5000t-15⁰)} I= 3e-j15⁰

I= 3∟-15⁰

Como la conversión es al modo de frecuencia se utiliza el valor especifico 1/√2 (0.707), de la siguiente manera.I= (.0707)3∟-15⁰= 2.12∟-15⁰



c) Para encontrar las constantes de los componentes del circuito aplicamos el equivalente fasorial de la ley de ohm: I= V/Z (página 8).

I= V/Z, despejamos Z, quedando Z= V/I, y sustituimos los valores de V e I;Z= 106∟45⁰/2.12∟-15⁰= 50∟45⁰-(-15⁰)= 50∟60⁰

d) Convertimos a forma rectangular: Z= 50∟60⁰; x= 50Cos 60 = 25⁰ Ω; y= 50Sen 60⁰= 43.30Ω Z= 25Ω+j43.30Ω

e) Construcción de los diagramas fasorial y de impedancias

f) Como se observa en las graficas, la corriente está retrasada respecto al voltaje con un ángulo de 60⁰, lo cual indica que se trata de circuito en serie RL, donde wL = j43.3Ω y R= 25Ω, calculando el valor de L, el valor de cada componente será:

Como ZC= wL, despajamos L; L= ZC/w, sustituyendo valores: L= 43.3/5000= 0.00866x1000= 8.66mH.

Ejercicio de Practica 2, para entregar día del examen

Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias y determinar las constantes del circuito en serie, suponiendo que tiene dos elementos, la tensión y la corriente se expresan en voltios y en amperes respectivamente:



v(t)= 50Sen(2000t-25⁰)volts ; i(t)= 8Sen(2000t+5⁰)amps.


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