F ((P/L, v, d, (, () = 0

n = 5

m = 3

(n m) = 2

El parmetro por conveniencia se escribe como:

El nmero de Reynolds Re = que es uno de los parmetros adimensionales ms importantes y su dimensin depende de la naturaleza del flujo.

Como el Reynolds es un parmetro sin dimensiones se puede expresar la funcin como:

Si tratamos de encontrar el valor del cambio de presin respecto a la longitud encontramos que:

() (

()Si [(P = (.(h = (.g.(h] entonces:

() (

() = () = ()

= Prdidas en la cabeza.

Otros parmetros como el nmero de Fraude (Fr), el nmero de Weber (We), el nmero de Match (Ma) pueden ser obtenidos en base a anlisis similares a partir del siguiente proceso.

Ejemplo:Se tiene una situacin de flujo la cual depende de la velocidad (v), densidad ((), algunas dimensiones lineales como [L], [L1], [L2], cadas de presin ((P), gravedad (g), viscosidad dinmica ((), tensin superficial (() y el mdulo de elasticidad volumtrica (k). Mediante el anlisis dimensional encontrar los parmetros (.F (v, (, L, (P, g, (, (, k, L1, L2) = 0

Cantidades:n = 10

Unidades:m = 3(n m) = 10 3 = 7 parmetros (v = L t-1

(1 = (v)x1 (()y1 (L)z1 ((P)

( = M L-3L = L

(2 = (v)x2 (()y2 (L)z2 (g)

(P = M L-1 t-2g = L t-2

(3 = (v)x3 (()y3 (L)z3 (()

( = M L-1 t-1

( = M t-2

(4 = (v)x4 (()y4 (L)z4 (()

k = M L-1 t-2L1 = L

(5 = (v)x5 (()y5 (L)z5 (k)

L2 = L

(6 = (v)x6 (()y6 (L)z6 (L1)

(7 = (v)x7 (()y7 (L)z7 (L2)Re =

We =

Ma =

Fr =

Eu =

[(1]:

x1 3y1 + z1 1 = 0

(Longitud)y1 = - 1

(- 2) 3(- 1) + z1 2 = 0

y1 + 1 = 0

(Masa)

x1 = - 2

z1 = 0- x1 2 = 0

(Tiempo)

(1 =

[(2]:

x2 3y2 + z2 1 = 0

(Longitud)y2 = 0

y2 = 0

(Masa)

x2 = - 2

- x2 2 = 0

(Tiempo)z2 = 1

(2 =

[(3]:

x3 3y3 + z3 1 = 0

(Longitud)y3 = - 1

(- 1) 3(- 1) + z3 1 = 0

y3 + 1 = 0

(Masa)

x3 = - 1

z1 = - 1

- x3 1 = 0

(Tiempo)

(3 =

[(4]:

x4 3y4 + z4 = 0

(Longitud)y4 = - 1

(- 2) 3(- 1) + z4 = 0

y4 + 1 = 0

(Masa)

x4 = - 2

z4 = - 1

- x4 2 = 0

(Tiempo)

(4 =

[(5]:

x5 3y5 + z5 1 = 0

(Longitud)y5 = - 1

(- 1) 3(- 1) + z5 1 = 0

y5 + 1 = 0

(Masa)

x5 = - 2

z5 = 0

- x5 2 = 0

(Tiempo)

(5 =

[(6]:

x6 3y6 + z6 + 1 = 0

(Longitud)y6 = 0

y6 = 0

(Masa)

x6 = 0

- x6 = 0

(Tiempo)z6 = - 1

(6 =

[(7]:

X7 3y7 + z7 + 1 = 0

(Longitud)y7 = 0

y7 = 0

(Masa)

x7 = 0

- x7 = 0

(Tiempo)z7 = - 1

(7 =

, , , , , , = 0

Segn el autor es conveniente invertir algunos parmetros y tomar algunas races cuadradas.

, , , , , , = 0

(Eu, Fr, Re, We, Ma, L/L1, L/L2) = 0El nmero de Reynols (Re) relaciona las fuerzas inerciales con las fuerzas viscosas:

Re =

El nmero de Reynolds crtico separa los diferentes regmenes laminar y turbulento en tuberas en la capa lmite o alrededor de objetos sumergidos.

El nmero de Froude (Fr) es una relacin de las fuerzas dinmicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales:

Fr =

Este nmero es til para el clculo de resalto hidrulico en el diseo de barcos y de estructuras hidrulicas.El nmero de Weber (We) es la relacin entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de tensin superficial.

We =

Este nmero es importante cuando se trata de clculos con una frontera. En problemas de capilaridad, descargas de orificios y vertederos con pequeas cabezas ((h / L), tambin es utilizado este nmero.El nmero de Match (Ma) relaciona la fuerza inercial y la fuerza de compresibilidad.

Ma =

Este nmero nos relaciona tambin la velocidad del fluido con la velocidad del sonido de un lquido.

(Ma =

donde: C = Velocidad del sonido del lquido.

k = Mdulo de elasticidad volumtrico o coeficiente de compresibilidad.

El nmero de Euler (Eu) es la relacin entre las fuerzas de presin y las fuerzas inerciales.

Eu =

El nmero de Strouhal (St) es la relacin entre la fuerza centrfuga y la fuerza inercial.

St =

Fuerzas:FP = Fuerza de Presin

FP = ((P)(A)[(P.L2]FI = Fuerzas Inerciales

FI = (m)(v) dv/ds(()(L3)(v2/L)[(.L2.v2]F( = Fuerza Viscosa

F( = (()(A) = (() du/dy (A)(()(v/L)(L2) ( [(.v.L]

Fg = Fuerza de Gravedad

Fg = (m)(g)[(.L3g]FB = Fuerza de CompresibilidadFB = (B)(A)(() dP/d( (L2) = [(.C2.L2]F( = Fuerza de Tensin SuperficialF( = [(.L]F( = Fuerza Centrfuga

F( = (m)(r)((2)(()(L3)(L)((2) = [(.L4.(2]De acuerdo a las fuerzas anteriores:

Nmero de:FrmulaFrmula Donde se utiliza:

EulerEu (

Eu =

En fluidos donde la cada de presin es significativa.

ReynoldsRe (

Re =

Donde influye la viscosidad, flujos internos (tubera), capa lmite.

FroudeFr (

Fr =

Flujos donde influye la gravedad, flujo de superficie libre en especial.

MatchMa (

Ma =

Flujos donde la compresibilidad es importante, generalmente. Si [v > 0.3C].

WeberWe(

We =

Flujos afectados por la tensin superficial, ejemplo: flujo con interfaz.

StrouhalSt (

St =

Flujo con una componente inestable que se repite peridicamente.

Similitud y Semejanza en el estudio de modelos.

La similitud es el estudio de las predicciones de las condiciones de un prototipo a partir de observaciones realizadas con modelos.

Un modelo es una estatura a escala menor o mayor de estructuras o mquinas hidrulicas propuestas llamadas prototipos.

Los modelos estudiados, como ayuda del diseo, permiten una informacin visual del flujo y hacen posible obtener cierta informacin numrica, por ejemplo: calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujo, distribuciones de velocidad, fuerzas sobre compuertas, eficiencias y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presin y prdida.

Si se desea obtener informacin cuantitativa acertada de un estudio con un modelo debe existir similitud dinmica entre el modelo y el prototipo. Esta similitud requiere:a) Que exista una similitud geomtrica exacta.b) Que la relacin de presiones dinmicas en puntos correspondientes sea una constante.

El segundo requerimiento es que exista una similitud cinemtica, es decir, que las lneas de corriente deben ser geomtricamente similares.

Para una similitud dinmica estricta, los nmeros de: Match, Reynolds, Fraude y Weber, deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo.Cumplir con esto estrictamente slo se lograra con una escala de 1 a 1, pero se establecern relaciones para cumplir con este objetivo.

Similitud (esfera).

Las dos son esferas y son de material similar.

*Similitud dinmica:

Se observa que estas relaciones son adimensionales.

Los polgonos de fuerza se consideran similares siempre y cuando:

[p = m][p = m]Con esto se asegura la igualdad entre los polgonos de fuerza.

Eu =

Re =

En estructuras abiertas tales como: vertederos, piscinas de disipacin, transmisin en canales y vertederos, donde actan fuerzas gravitatorias e inerciales que las fuerzas viscosas y cortantes. En estos casos la similitud geomtrica y el mismo valor del nmero de Froude en el modelo y el prototipo producen una buena aproximacin de la similitud dinmica.

[Fr]p = [Fr]m

Los tiempos correspondientes para estos eventos se relacionan en la forma siguiente:

vp = vm

Lp tm = Lm tp

tp = tm La relacin entre los gastos o caudales es:

Si [( = Lp / Lm] > [1]Entonces [Qp] es mayor que [Qm]

Si por una compuerta deben fluir 500 lt/s, cunto debe fluir por el modelo (compuerta pequea)?

Qp = 25000 lt/s

Qm = 1000 lt/s

La relacin de fuerzas, por ejemplo, sobre compuertas es:

h = es cabeza y se mide en unidades de longitud.

(p = (m

Ejercicios:

1.- El coeficiente para una vlvula de 600 mm de dimetro, tiene que determinarse las pruebas sobre una vlvula geomtricamente similar de 300 mm de dimetro utilizando aire atmosfrico a 80oF y la velocidad deber fluctuar entre 1 y 2.5 m/s. Determinar los rangos necesarios de flujo de aire.

*Datos:

Vmin = 1 m/s

Vmax = 2.5 m/s

Dp = 600 mm

Dm = 300 mm*Solucin:Partimos del hecho de que para que exista similitud y semejanza de acuerdo a las cantidades que entran como variables [v, (, (, (] que nos definen el nmero de Reynolds. Entonces tenemos que:

Rep = RemPara calcular el nmero de Reynolds para velocidad mxima o mnima en agua utilizamos la ecuacin:

Re min =

Re =

Re max =

El Reynolds puede ser expresado en trminos de la viscosidad cinemtica:

Re =

( Re =

Sabemos que de acuerdo con el enunciado que el modelo se prueba en aire atmosfrico a 80oF y que el prototipo se prueba en agua a 70oF.De acuerdo a los datos conocemos el dimetro y las velocidades mximas y mnimas para agua y requerimos conocer el valor de la viscosidad cinemtica. Esto lo hacemos utilizando las tablas [C1]y [C2] del apndice C del libro de Streeter.

Para agua a 70oF:( = 0.963 x 10-6 m2/s = 1.059 x 10-5 ft2/sPara aire a 80oF:( = 1.672 x 10-5 m2/s = 1.8 x 10-4 ft2/sEntonces en agua tenemos:

Re min =

Re max = Para encontrar los valores de [vmin] y [vmax] para el aire:

Re p = Re m

Re p(min) = Re m(min)

De la ecuacin tenemos:

dm = 300 mm

(aire = 1.672 x 10-5 m2/s

Para encontrar la velocidad mxima en aire:

*Prototipo:

Vlvula de 600 mmEn agua:

Vmin = 1 m/sRe min = 610376.4

Vmax = 2.5 m/s Remax = 1525941

*Modelo:Vlvula de 300 mmEn aire:

Vmin = 34.02 m/sRe min = 610376.4

Vmax = 85.04 m/sRe max = 1525941

Los gastos mximos y mnimos en el prototipo y en el modelos son:

*Prototipo (Agua):

A = ((/4) (0.6 m)2 = 0.28 m2

Qmin = A.vmin = (0.28 m2) (1 m/s) = 0.28 m3/s = 280 lt/s

Qmax = A.vmax = (0.28 m2) (2.5 m/s) = 0.7 m3/s = 700 lt/s*Modelo (Aire):

A = ((/4) (0.3 m)2 = 0.07 m2

Qmin = A.vmin = (0.07 m2) (34.02 m/s) = 2.3814 m3/s = 2381.4 lt/s

Qmax = A.vmax = (0.07 m2) (85.04 m/s) = 5.9528 m3/s = 5952.8 lt/sLa relacin entre los gastos mnimos y mximos es:

Qaire = 8.5 Qagua

1 (a).- Si por el modelo fluyera agua en las mismas condiciones del prototipo, cules seran las velocidades mximas y mnimas en el modelo?

1 (b).- Si fluye aire, cul ser el dimetro necesario en el modelo para que la velocidad mxima en el modelo sea 1.25 m/s? Encontrar tambin la velocidad mxima.

2.- El coeficiente de vlvula para una vlvula de 3.5 m de dimetro por donde fluye agua a 22C y tiene que determinarse las pruebas sobre una vlvula geomtricamente similar de 300 mm de dimetro utilizando aire atmosfrico a 80oF y la velocidad en el prototipo deber fluctuar entre 1.3 m/s y 3.5 m/s. Determinar los rangos necesarios e flujo de aire.

En la similitud dinmica:

Estas fuerzas se pueden relacionar como sigue:

De acuerdo a lo anterior, podemos decir:

[Eup = Eum][Rep = Rem][Frp = Frm]

Por otro lado las fuerzas inerciales cuyo valor es [fI = m . a], podemos escribir la relacin entre el modelo y el prototipo como sigue:

donde:

m = Masa

a = Aceleracin

Esta relacin indica que las aceleraciones entre el modelo y el prototipo es una constante.

La aceleracin [a = V2 / L] por lo tanto podemos decir que:

Esta expresin es una representacin de la similitud cinemtica.Para que exista una similitud completa es necesario:

a) Se satisfaga la similitud geomtrica.

b) Que la relacin de masa de los elementos de fluido correspondientes se constante.

c) Que los parmetros ( adimensionales [Eu, Re, Fr, M, W, St] sean iguales en el modelo y en el prototipo.Ejemplo:1.- Se realizar una prueba con un diseo propuesto de una bomba que debe suministrar 1.5 m3/s de agua con impulsor de 40 cm de dimetro, que tiene un aumento de presin de 400 KPa. Se usar un modelo con un impulsor de 8 cm de dimetro. Encontrar:

a) La razn de flujo.

b) El incremento de presin esperado.

*Solucin: Este problema es de flujo confinado, el nmero de Reynolds en el prototipo y en el modelo deben ser iguales.Rep = Rem

Re =

La viscosidad cinemtica [( = ( / (], como sta viscosidad est en funcin del fluido, entonces existe tanto para el modelo como para el prototipo (agua) [(p = (m].

1vp dp = vm dm

Si conocemos [Qp] y sabemos que:vp dp = vm dm (a)

Q = v . A

A = ((/4)(d2)

arreglando la ecuacin (a):

Podemos decir que:

(b)

De la ecuacin (b) sabemos que [vm/vp = 5] entonces:

El gasto en el modelo cuyo dimetro es 8 cm debe ser:

Existen frmulas empricas para determinar los dimetros en las tuberas, solo que el Instituto de Hidrulica recomienda para succin [v ( 2.5 m/s] y para descarga [v ( 3.5 m/s] y la frmula es:

Prototipo

Dimetros (comerciales)rea (m2)Velocidad (m/s)

30 (0.762 m)0.4563.289

32 (0.812 m)0.51782.896

34 (0.863 m)0.58492.568

36 (0.914 m)0.65612.286

38 (0.965 m)0.73132.051

40 (1.016 m)0.81071.85

El dimetro de la bomba es 30La velocidad del agua en el prototipo relacionada con el gasto de 1.5 m3/s es [v = 3.289 m/s].

La velocidad del agua a travs del modelo es:

vm = 5vp = (5)(3.289 m/s) = 16.445 m/sPara un [Qm = 300 lt/s][Qm = vm . Am]

El rea de las seccin transversal de la tubera del modelo es:

El aumento de presin adimensional se obtiene mediante la ecuacin de Euler:

Eup = Eum

El aumento de presin en el modelo es:

(Pm = (Pp

2.- Se realizar una prueba con un diseo propuesto de una bomba que debe suministrar 1.5 m3/s de agua con impulsor de 36 in de dimetro que tiene un aumento de presin de 400 KPa. Se usar un modelo con un impulsor de 4 in de dimetro. Encontrar:

c) La razn de flujo.

d) El incremento de presin esperado.Flujos en superficie libre.

Se incluyen aqu flujo en canales, vertederos, compuertas, presas, diques, etc.Son flujos donde intervienen dos fluidos separados por una interfaz, flujos alrededor de objetos flotantes, cuando hay olas, flujos alrededor de objetos sumergidos cuando hay cavitacin.

En estos flujos la gravedad controla tanto la ubicacin como el movimiento de la superficie libre. La influencia de las fuerzas de gravedad introducen el nmero de Fraude. Si no existen movimientos peridicos, la tensin superficial y los efectos de compresibilidad son insignificantes, por lo tanto se pueden omitir los nmeros de [Eu, Re, M] y slo se tienen efectos viscosos, es decir, los nmeros determinantes para estos casos son Reynolds [Re] y Froude [Fr].FRm = FRp

Rep = Rem

En el caso de Froude, la gravedad generalmente es la misma, esto es [gm = gp], entonces:

En el caso de Reynolds, si el fluido utilizado en el modelo y el prototipo es el mismo, las viscosidades cinemticas son iguales [(m = (p], entonces:

1

vm Lm = vp Lp

( vm Lm = vp Lp

donde:

vm = Velocidad del modelo.

vp = velocidad del prototipo.

Lp, Lm = Longitudes.Ejemplo:1.- Se emplea un modelo a escala 1:20 de una embarcacin de superficie para probar la influencia de un diseo propuesto sobre el arrastre de las olas. Se mide un arrastre de 24 N cuando el modelo tiene una velocidad de 2.6 m/s. A qu velocidad corresponde sta en el prototipo y qu arrastre de las olas se predice para el prototipo? Omitir los efectos viscosos y suponer el mismo fluido tanta para el modelo como para el prototipo.

Escala [1:20]Fuerza arrastre de modelo [24 N]

vm = 2.6 m/s

Despreciar efectos viscosos.

Re = NO!!!

*Igualando el nmero de Froude del modelo y el prototipo.

FRm = FRp

FR =

gm = gp

vp = 11.62 m/sPara determinar el arrastro en el prototipo efectuado por las olas igualamos la relacin de arrastres y la relacin de fuerzas inerciales.

FI = ( L2 v2

FA = 24 N(m = (p

vm = 2.6 m/s

FA(p) = 191750.62 N

vp = 11.62 m/s

2.- Se emplea un prototipo a escala 1:35 de una embarcacin de superficie para probar la influencia de un diseo propuesto sobre el arrastre de las olas. Se mide un arrastre de 220 KN cuando el prototipo tiene una velocidad de 45 Km/h y una longitud de 60 m. A qu velocidad corresponde sta en el prototipo y qu arrastre de las olas se predice para el prototipo? Omitir los efectos viscosos y suponer el mismo fluido tanta para el modelo como para el prototipo.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

*Prototipo bomba.

Qp = 1.5 m3/s

dp = 40 cm

(Pp = 400 KPa

*Modelo.

Qm = ???

dm = 8 cm

(Pm =?

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