sistemas de edos lineales (sls)derivadas de funciones matriciales. veamos como derivar las...
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Sistemas de EDOs lineales (SLs)
Preliminares
Definiciones basicas. Un sistema lineal de primer orden es un sistema de ecuaciones diferencialesordinarias lineales de primer orden de la forma
x′1 = a11(t)x1 + · · · + a1n(t)xn + b1(t),x′2 = a21(t)x1 + · · · + a2n(t)xn + b2(t),
......
......
x′n = an1(t)x1 + · · · + ann(t)xn + bn(t),
donde t es la variable independiente. Ademas, ′ = d/dt. Los datos del sistema son los coeficientesaij(t) y los terminos no homogeneos bi(t), que son funciones continuas en algun intervalo abiertoI ⊂ R. Las incognitas del sistema son las funciones x1(t), . . . , xn(t).
Usualmente, escribiremos estos sistemas lineales en forma matricial:
x′ = A(t)x+ b(t),
donde
x =
x1
...xn
, A =
a11 · · · a1n
.... . .
...an1 · · · ann
, b =
b1...bn
.
La funcion matricial A : I →Mn(R) y la funcion vectorial b : I → Rn son continuas en el intervalo I.Diremos que el sistema lineal es:
• homogeneo, cuando b(t) = 0;• a coeficientes constantes, cuando la matriz A(t) no depende del tiempo; y• a coeficientes variables, cuando la matriz A(t) depende del tiempo.
Dado un sistema no homogeneo x′ = A(t)x+ b(t), diremos que x′ = A(t)x es su sistema homogeneoasociado.
Abreviaturas. Usaremos las siguientes abreviaturas:
• EDO = Ecuacion Diferencial Ordinaria;• SL = Sistema Lineal;• SLH = Sistema Lineal Homogeneo;• SLNH = Sistema Lineal No Homogeneo;• CC/CV = Coeficientes Constantes/Coeficientes Variables;• CI/CF = Condicion Inicial/Condicio de Frontera;• PVI/PVF = Problema de Valor Inicial/Problema de Frontera;• LI/LD = Linealmente Independiente/Linealmente Dependiente;• VAPs/VEPs = Valores Propios/Vectores Propios; y• MA/MG = Multiplicidad Algebraica/Multiplicidad Geometrica.
Teorema de existencia y unicidad. Los sistemas lineales cumplen un resultado de existencia yunicidad mas potente que los sistemas no lineales, pues sus soluciones tienen un caracter global.
Teorema (Teorema de existencia y unicidad para SLs). Si A = A(t) y b = b(t) son continuas en unintervalo abierto I ⊂ R, t0 ∈ I y x0 ∈ Rn, entonces el PVI lineal
x′ = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0,
tiene exactamente una solucion global; es decir, una unica solucion definida en todo el intervalo I.
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Derivadas de funciones matriciales. Veamos como derivar las combinaciones lineales, productose inversas de funciones matriciales derivables. Una funcion matricial es derivable cuando todos suselementos son funciones derivables.
(1) Cualquer combinacion lineal de matrices derivables tambien es derivable:(αA(t) + βB(t)
)′= αA′(t) + βB′(t), ∀α, β ∈ R.
(2) El producto de matrices derivables es derivable:(A(t)B(t)
)′= A′(t)B(t) +A(t)B′(t).
(3) La inversa de una matriz invertible derivable es derivable:(A−1(t)
)′= −A−1(t)A′(t)A−1(t).
Conviene recordar al operar con matrices que el producto de matrices no es conmutativo.
SLHs
A lo largo de esta seccion supondremos que A(t) es una funcion matricial n× n continua definidasobre un intervalo abierto I ⊂ R. Las soluciones del SLH x′ = A(t)x forman un subespacio vectorialde dimension n que podemos parametrizar, una vez fijado un instante t0 ∈ I arbitrario, mediante lacondicion inicial x0 ∈ Rn. Veamoslo.
Lema. Si x(t) es una solucion de x′ = A(t)x, entonces o bien x(t) ≡ 0, o bien x(t) 6= 0 para todo t.
Proof. Si existe un instante t0 ∈ I tal que x(t0) = 0, entonces x(t) y la funcion identicamente nulason soluciones del PVI x′ = A(t)x, x(t0) = 0. Por tanto, x(t) ≡ 0 por unicidad de soluciones. �
Definicion. La solucion x(t) ≡ 0 se denomina solucion trivial.
Lema (Principio de superposicion). Si x1(t) y x2(t) son dos soluciones arbitrarias de x′ = A(t)x,entonces cualquier combinacion lineal de la forma
x(t) = c1x1(t) + c1x2(t), c1, c2 ∈ R,
tambien es solucion de x′ = A(t)x.
Proof. x′ = (c1x1 + c2x2)′ = c1x′1 + c2x
′2 = c1A(t)x1 + c2A(t)x2 = A(t)(c1x1 + c2x2) = A(t)x. �
Proposicion (Estructura de las soluciones de SLHs). Sea F el conjunto formado por todas las solu-ciones del SLH x′ = A(t)x. Sea x(t) = φ(t; t0,x0) la solucion del PVI
x′ = A(t)x, x(t0) = x0.
Entonces:
(1) La aplicacion Rn 3 x0 7→ φ(t; t0,x0) ∈ Rn es un isomorfismo lineal para todo t, t0 ∈ I.(2) F es un subespacio vectorial de C1(I;Rn) de dimension n.
Proof. Sean t, t0 ∈ I instantes fijados pero arbitrarios. Entonces la aplicacion
φ(t; t0, ·) : Rn 3 x0 7→ φ(t; t0,x0) ∈ Rn
es lineal (como consecuencia del principio de superposicion), inyectiva (como consecuencia del primerlema) y exhaustiva (pues Rn es un espacio vectorial de dimension finita).
Sabemos que cualquier solucion x(t) esta definida y es continua en I, luego x′(t) = A(t)x(t) tambienes continua en I. Esto prueba que F ⊂ C1(I;Rn). El principio de superposicion implica que F es unsubespacio vectorial. Finalmente, como las soluciones del sistema estan en correspondencia biyectivacon las condiciones iniciales, tenemos que dimF = dimRn = n. �
Observacion. Complexificar la matriz del sistema no produce ningun cambio apreciable. Por ejemplo,si A : I →Mn(C) es continua en un intervalo I ⊂ R, entonces las soluciones de x′ = A(t)x formanun C-espacio vectorial de dimension compleja n. En cambio, complexificar la variable independientet nos meterıa de lleno en la variable compleja. Lo evitaremos por falta de tiempo. Escribiremos Mn
para denotar indistintamente el conjunto de matrices n× n a coeficientes reales o complejas.
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Observacion. Sean x1(t), . . . ,xn(t) soluciones del sistema x′ = A(t)x y sea w(t) = det[x1(t), . . . ,xn(t)]su determinante, que recibe el nombre de Wronskiano. Como la aplicacion φ(t; t0, ·) es un isomorfirmode Rn para todo t, t0 ∈ I, deducimos que o bien w(t) ≡ 0 o bien w(t) 6= 0 para todo t ∈ I.
Definicion. Cualquier base {x1(t), . . . ,xn(t)} del subespacio vectorial F es un conjunto fundamental(de soluciones) del sistema x′ = A(t)x.
Definicion. Decimos que la matriz X : I ⊂ R→Mn es:
• Una solucion matricial del sistema x′ = A(t)x cuando sus columnas son soluciones del sistema;es decir, cuando X ′(t) = A(t)X(t);
• Una matriz fundamental del sistema x′ = A(t)x cuando sus columnas son soluciones LI delsistema; es decir, cuando X ′(t) = A(t)X(t) y det[X(t)] 6= 0 para todo t ∈ I;
• La matriz principal en el instante t0 del sistema x′ = A(t)x cuando sus columnas son solucionesdel sistema y X(t0) = Id.
La proposicion y las definiciones anteriores permiten hacer los siguientes comentarios.
• Si {x1(t), . . . ,xn(t)} es un conjunto fundamental de soluciones arbitrario del sistema, entoncesla solucion general es
xh(t) = c1x1(t) + · · ·+ cnxn(t), c1, · · · , cn ∈ R.
• Si X(t) es una matriz fundamental arbitraria del sistema, entonces la solucion general es
xh(t) = X(t)c, c ∈ Rn.
• En el caso complejo deberiamos escribir c1, . . . , cn ∈ C y c ∈ Cn, respectivamente.• Como φ(t; t0, ·) es un isomorfismo de Rn, sabemos que φ(t; t0,x0) = Φ(t; t0)x0 para alguna
una matriz invertible Φ(t; t0) ∈Mn. Ademas, Φ(t; t0) es la (unica) solucion del PVI matricial
DtΦ(t; t0) = A(t)Φ(t; t0), Φ(t0; t0) = Id.
Es decir, Φ(·; t0) es la matriz principal en el instante t0.• Hay infinitas matrices fundamentales, pero una unica matriz principal en cada instante t0 ∈ R.
Ejemplo 1. Las funciones
x1(t) =
(et
2/2
et2/2
), x2(t) =
(2et
et
)son soluciones del SLH
x′ = A(t)x, A(t) =
(2− t 2t− 21− t 2t− 1
), t ∈ R.
Ademas, la matriz obtenida al poner en columnas estas soluciones tiene determinante no nulo:
X(t) =
(et
2/2 2et
et2/2 et
)=⇒ det[X(t)] = −et
2/2+t 6= 0, ∀t ∈ R.
Por tanto, {x1(t),x2(t)} es un conjunto fundamental, X(t) es una matriz fundamental y
xh(t) = c1x1(t) + c2x2(t) = X(t)c =
(c1et
2/2 + 2c2et
c1et2/2 + c2et
), c =
(c1c2
)∈ R2
es la solucion general del sistema. N
Proposicion (Relacion entre matrices fundamentales). Dadas dos matrices fundamentales arbitrariasX(t) e Y (t) del sistema x′ = A(t)x, existe una unica matriz invertible S ∈Mn tal que
Y (t) = X(t)S.
En particular, Φ(t; t0) = X(t)X−1(t0) para toda matriz fundamental X(t).
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Proof. Empezamos comprobando que la derivada del producto X−1Y es identicamente nula:(X−1Y
)′=(X−1
)′Y +X−1Y ′ = −X−1X ′X−1Y +X−1Y ′ = −X−1A(t)XX−1Y +X−1A(t)Y = 0.
Por tanto, existe una matriz constante S ∈ Mn tal que Y (t) = X(t)S. La unicidad esta clara, puesS = X−1(t0)Y (t0). Ademas, det[S] = det[Y (t0)]/ det[X(t0)] 6= 0. Finalmente, si buscamos S tal queΦ(t; t0) = X(t)S y evaluamos en t = t0, obtenemos que S = X−1(t0). �
La matriz S de la proposicion anterior se puede interpretar como la matriz del cambio de base entrelas bases de F asociadas a las columnas de ambas matrices fundamentales.
El siguiente resultado no tiene una utilidad practica inmediata, pero es la clave para estudiar laevolucion de volumenes bajo la accion de sistemas de EDOs (lineales o no). Por tanto, lo presentamos,sin probarlo, por su importancia teorica.
Proposicion (Formula de Liouville). Sea X(t) una solucion matricial del sistema lineal x′ = A(t)x,w(t) = det[X(t)] y T (t) = traza[A(s)]. Entonces w′(t) = T (t)w(t) para todo t ∈ I, luego
w(t) = w(t0) exp
(∫ t
t0
T (s)ds
), ∀t, t0 ∈ I.
Resolucion de SLHs a CC
Queremos encontrar una formula explıcita de la solucion general de los SLHs a CC: x′ = Ax, conA ∈ Mn. El metodo es muy simple cuando A es diagonalizable; basta calcular sus VAPs y una basede VEPs. El caso general no lo trataremos, pues requiere usar la forma de Jordan y una base deJordan de la matriz, conceptos que no habeis visto en la asignatura de algebra lineal.
El caso diagonalizable real. En este caso, la idea basica es que las funciones vectoriales que seobtienen al multiplicar un VEP por la funcion exponencial que tiene el correspondiente VAP porexponente son soluciones.
Proposicion. Si v es un VEP de VAP λ de una matriz cuadrada A, entonces
x(t) = eλtv
es una solucion del sistema x′ = Ax. Ademas, x(0) = v.
Proof. Como v es un VEP de VAP λ de la matriz A, sabemos que Av = λv. Por tanto,
x′(t) = eλtλv = eλtAv = Aeλtv = Ax(t).
Aquı hemos usado que la posicion de los escalares en una cadena de productos es indiferente. �Cuando la matriz del sistema es diagonalizable podemos generar, a partir de una base de VEPs,
un conjunto fundamental formado por soluciones de la forma anterior.
Teorema. Supongamos que {v1, . . . ,vn} es una base de VEPs de VAPs λ1, . . . , λn de la matriz A.Entonces, la solucion general del sistema x′ = Ax es
xh(t) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cneλntvn, c1, . . . , cn ∈ R.
Proof. Como las n funciones vectoriales xj(t) = eλjtvj son soluciones del sistema, basta comprobarque son LI. Por ejemplo, viendo que su Wronskiano no se anula en el instante t = 0. Pero
w(0) = det[x1(0), . . . ,xn(0)] = det[v1, . . . ,vn] 6= 0
pues los VEPs v1, . . . ,vn forman una base. �
Ejemplo 2. Calcular la solucion general y una matriz fundamental del sistema
x′ = Ax, A =
(−3 1
1 −3
).
El polinomio caracterıstico de esta matriz es
QA(λ) = det(A− λId) = λ2 − (trazaA)λ+ detA = λ2 + 6λ+ 8 = (λ+ 2)(λ+ 4),
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luego los VAPs son λ1 = −2 y λ2 = −4, ambos simples. Por tanto, la matriz A diagonaliza y resultafacil calcular una base de VEPs. Una posible base es v1 = (1, 1) y v2 = (1,−1). Ası pues,
xh(t) = c1eλ1tv1 + c2eλ2tv2 = c1e−2t
(11
)+ c2e−4t
(1−1
)=
(c1e−2t + c2e−4t
c1e−2t − c2e−4t
), c1, c2 ∈ R
es la solucion general del sistema. Ademas,
X(t) =
(v1eλ1t
∣∣∣∣ v2eλ2t
)=
(e−2t e−4t
e−2t −e−4t
)es una matriz fundamental, probablemente la mas simple de obtener. N
Ejercicio. Sea x(t) una solucion del sistema anterior. ¿Que se puede decir sobre limt→+∞ x(t)?
El caso diagonalizable complejo. Cuando la matriz diagonaliza en los complejos; es decir, cuandodiagonaliza pero tiene algunos VAPs complejos conjugados, el metodo anterior proporciona solucionescomplejas que se pueden convertir facilmente en soluciones reales (es decir, en soluciones que tomanvalores reales para todo t ∈ R). Basta substituir cada pareja de soluciones complejas conjugadas porsus partes real e imaginaria.
Proposicion. Si v± = u±w i son VEPs de VAPs λ± = α±β i de una matriz A ∈Mn(R), entonces
y(t) = eαt(u cosβt−w sinβt
), z(t) = eαt
(u sinβt+w cosβt
),
son soluciones LI del sistema x′ = Ax. Ademas, y(0) = u y z(0) = w.
Proof. En primer lugar, recordamos que las funciones
x±(t) = eλ±tv± = eαt(cosβt± i sinβt)(u± iw) = y(t)± z(t) i
son soluciones complejas conjugadas. En la tercera igualdad hemos usado la formula de Euler. Comoel conjunto de soluciones es un subespacio vectorial, deducimos que las combinaciones lineales
y(t) =x+(t) + x−(t)
2, z(t) =
x+(t)− x−(t)
2 i
tambien son soluciones. Para ver que son LI, recordamos un resultado clasico de algebra lineal: VEPsde VAPs diferentes siempre son LI, En particular, los VEPs complejos conjugados v± = u ±w i sonLI, luego sus partes reales e imaginarias u y w tambien lo son. Las propiedades y(0) = u y z(0) = wson triviales. �
Este truco funciona siempre, pero lo explicamos siguiendo un ejemplo concreto para clarificar ideas.
Ejemplo 3. Calcular la solucion general y una matriz fundamental del sistema
x′ = Ax, A =
1 −12 −141 2 −31 1 −2
.
Se puede comprobar (¡comprobadlo!) que el polinomio caracterıstico de esta matriz es
QA(λ) = det(A− λId) = · · · = −λ3 + λ2 − 25λ+ 25 = −(λ− 1)(λ2 + 25).
Los VAPs son λ1 = 1 y λ± = ±5i, todos simples. Por tanto, la matriz diagonaliza en los complejos.Pasamos a calcular una base de VEPs. Empezamos por el caso mas facil, el VAP real λ1 = 1.
Nuc(A− Id) =
x
yz
∈ R3 :−12y − 14z = 0x+ y − 3z = 0
=
25z/6−7z/6z
: z ∈ R
=
25−7
6
.Por tanto, v1 = (25,−7, 6) es un VEP de VAP λ1 = 1, luego obtenemos la solucion
x1(t) = eλ1tv1 =
25et
−7et
6et
.
6
El caso de los VAPs complejos conjugados es mas complicado, aunque aprovecharemos que si dosVAPs son conjugados, sus VEPs tambien lo son. Es decir, basta realizar la mitad de los calculos. Portanto, para calcular la parte de la base asociada a los VAPs λ± = ±5i, basta calcular el nucleo
Nuc(A− 5iId) =
x
yz
∈ R3 :(1− 5i)x− 12y − 14z = 0
x+ (2− 5i)y − 3z = 0x+ y − (2 + 5i)z = 0
=
1 + 5i11
.Por tanto, v± = u±w i son VEPs complejos conjugados de VAPs λ± = α± β i, siendo α = 0, β = 5,u = (1, 1, 1) y w = (5, 0, 0). Usando la proposicion anterior, obtenemos dos soluciones reales LI:
y(t) =
cos 5t− 5 sin 5tcos 5tcos 5t
, z(t) =
sin 5t+ 5 cos 5tsin 5tsin 5t
.
En particular, xh(t) = c1x1(t) + c2y(t) + c3z(t) = X(t)c es la solucion general real del sistema, dondeel vector de constantes c = (c1, c2, c3) ∈ R3 queda libre y
X(t) =
(x1(t)
∣∣∣∣ y(t)
∣∣∣∣ z(t)])
=
25et cos 5t− 5 sin 5t sin 5t+ 5 cos 5t−7et cos 5t sin 5t
6et cos 5t sin 5t
es una matriz fundamental real. N
El caso general: Exponencial de una matriz. Esta parte de los apuntes cumple una funcionpuramente informativa. Se ha incluido y se explica (parcialmente) en clase para completar la teorıaprevia y dar respuesta a una pregunta natural, pero no entra en el examen.
Cuando la matriz del sistema no diagonaliza se necesitan algunos resultados mas elaborados delalgebra lineal. A saber, la forma (reducida) de Jordan y las bases de Jordan. Damos un breve resumende las notaciones clasicas y los resultados basicos.
Dado un escalar λ ∈ C y un natural r ∈ N, Jr(λ) denotara la matriz r×r cuyos elementos diagonalesson igual al escalar λ, cuyos elementos subdiagonales son igual a uno y el resto son nulos. Por ejemplo,
J1(λ) = (λ), J2(λ) =
(λ 01 λ
), J3(λ) =
λ 0 01 λ 00 1 λ
, J4(λ) =
λ 0 0 01 λ 0 00 1 λ 00 0 1 λ
.
Las matrices de la forma Jr(λ) son bloques de Jordan. Las matrices diagonales por bloques, cuyosbloques diagonales son bloques de Jordan, son matrices de Jordan.
Teorema (Forma de Jordan). Dada cualquier matriz A ∈Mn, existe una matriz de Jordan
J = diag(J1, . . . , Jl) ∈Mn,
con bloques de Jordan Jk = Jrk(λk), 1 ≤ k ≤ l, y una matriz invertible S ∈Mn tales que
J = S−1AS.
La matriz de Jordan es unica salvo permutaciones de sus bloques.
Definicion. La matriz J es la forma (reducida) de Jordan de A. Las columnas de la matriz S formanuna base de Jordan de A. El conjunto formado por todos los VAPs de A se denomina espectro y sedenota Spec(A). Un VAP es semi-simple cuando su bloque de Jordan es diagonal.
Una matriz es diagonalizable si y solo si su forma de Jordan es diagonal o, equivalentemente,cuando todos sus VAPs son semi-simples. Por tanto, es diagonalizable en los complejos si y solo sitodos sus VAPs tienen multiplicidades algebraicas y geometricas iguales: MG(λ) = MA(λ) para todoλ ∈ Spec(A). Y diagonaliza en los reales cuando, ademas, todos sus VAPs son reales. Finalmente,recordamos que 1 ≤ MG(λ) ≤ MA(λ) para todo λ ∈ Spec(A). Fin del resumen.
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Ejemplo 4. Supongamos que A ∈M2(R) tiene dos VAPs reales pero no diagonaliza. Esto implica queA tiene un VAP no semi-simple λ ∈ R; es decir, un VAP doble: MA(λ) = 2, tal que MG(λ) = 1. Ental caso, se puede probar que existen dos vectores u,v ∈ R2 tales que Au = λu + v y Av = λv. Enla seccion anterior vimos que x(t) = eλtv es una solucion del sistema y resulta que q(t) = eλt(u+ tv)tambien lo es:
q′(t) = eλtλ(u+ tv) + eλtv = eλt(λu+ tλv + v) = eλt(Au+ tAv) = Aeλt(u+ tv) = Aq(t).
Por tanto, resulta que la solucion general del sistema x′ = Ax es
xh(t) = c1q(t) + c2x(t) = eλt(c1u+ (c2 + c1t)v
), c1, c2 ∈ R.
Esto muestra como abordar todas las matrices 2× 2 no diagonalizables. Ideas similares, pero formal-mente mas complicadas, permiten abordar matrices no diagonalizables mas grandes. N
Ejercicio. Sea A la matriz 2 × 2 del ejemplo anterior. Entender que la matriz de la aplicacion linealR2 3 x 7→ Ax ∈ R2 en la base {u,v} es el bloque de Jordan J2(λ).
Sabemos que dado un escalar a ∈ R, la solucion del PVI x′ = ax, x(0) = x0, es x(t) = eatx0. Poranalogıa, conjeturamos que dada una matriz A ∈ Mn, la solucion del PVI x′ = Ax, x(0) = x0, esx(t) = eAtx0. Sin embargo, necesitamos dar un significado preciso al sımbolo eAt.
Definicion. eAt :=∑∞k=0
Aktk
k! .
Ejemplo 5. La exponencial de una matriz diagonal es diagonal. Si D = diag(λ1, . . . , λn), entonces
eDt =
∞∑k=0
Dktk
k!=
∞∑k=0
diag(λk1 , . . . , λkn)tk
k!= diag
( ∞∑k=0
(λ1t)k
k!, . . . ,
∞∑k=0
(λnt)k
k!
)= diag
(eλ1t, . . . , eλnt
).
En particular, esto prueba que la exponencial de una matriz no se obtiene calculando la exponencialelemento a elemento de la matriz inicial. N
A continuacion comprobamos que nuestras intuiciones son correctas y listamos las propiedadesmas importantes de la matriz exponencial eAt. La demostracion de las primeras propiedades requiereresultados que aun no conoceis, luego podeis pasarlas por alto.
Proposicion. Dada una matriz arbitraria A ∈ Mn, la funcion matricial eAt : R 3 t 7→ eAt ∈ Mn
cumple las siguientes propiedades:
(1) eAt es absolutamente convergente en R y uniformemente convergente sobre compactos de R;(2) eAt ∈ C∞(R;Mn) y Dt
(eAt)
= AeAt;
(3) La matriz eAt es igual a la matriz identidad n× n cuando t = 0;(4) eA(t+s) = eAteAs;(5) Si A,B ∈Mn conmutan (es decir, si AB = BA), entonces e(A+B)t = eAteBt = eBteAt;(6) det
[eAt]
= etraza[A]t;
(7) La matriz eAt es invertible para todo t ∈ R y su inversa es la matriz e−At;(8) La solucion del PVI x′ = Ax, x(t0) = x0, es x(t) = e(t−t0)Ax0; y(9) Si S es invertible y J = S−1AS, entonces eJt = S−1eAtS.
Proof. (1) Sea ‖ · ‖ una norma matricial sub-multiplicativa arbitraria. Entonces,∞∑k=0
∥∥∥∥Aktkk!
∥∥∥∥ ≤ ∞∑k=0
‖A‖ktk
k!= e‖A‖t <∞, ∀t ∈ R.
Por tanto, aplicando el criterio M de Weiertrass vemos que la serie de potencias∑k≥0A
ktk/k!es absolutamente convergente en R y uniformemente convergente sobre compactos de R.
(2) Toda serie de potencias uniformemente convergente sobre compactos es C∞ y puede serderivada termino a termino. Por tanto, eAt ∈ C∞(R;Mn) y
Dt
(eAt)
=
∞∑k=1
Aktk−1
(k − 1)!= A
∞∑k=1
Ak−1tk−1
(k − 1)!= A
∞∑k=0
Aktk
k!= AeAt.
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(3) El termino A0t0/0! = Id es el unico que no se anula al evaluar la serie de potencias en t = 0.(4) Fijado s ∈ R, consideramos las funciones X1(t) = eA(t+s) y X2(t) = eAteAs. Entonces
X ′1 = AeA(t+s) = AX1, X ′2 = AeAteAs = AX2, X1(0) = eAs = X2(0).
Por tanto, X1(t) y X2(t) son soluciones del mismo PVI matricial, luego X1(t) = X2(t) porunicidad de soluciones.
(5) Consideramos las funciones matriciales Y1(t) = e(A+B)t e Y2(t) = eAteBt. Entonces
Y ′1 = (A+B)e(A+B)t = (A+B)Y1, Y ′2 = AeAteBt + eAtBeBt = (A+B)Y2.
Las matrices eAt y B conmutan, pues A y B conmutan. Ademas, Y1(0) = Id = Y2(0). Portanto, Y1(t) e Y2(t) son soluciones del mismo PVI matricial, luego Y1(t) = Y2(t).
(6) Es una consecuencia directa de la formula de Liouville, pues eAt es una solucion matricial delsistema x′ = Ax.
(7) El punto anterior implica que la matriz eAt es invertible para todo t ∈ R, pues su determinanteno es nulo. Ademas,
eAte(−A)t = e(A+(−A))t = e0t = Id,
pues las matrices A y B = −A conmutan.(8) Hemos visto que eAt es una matriz fundamental de x′ = Ax, luego φ(t; t0,x0) = Φ(t; t0)x0
con
Φ(t; t0) = eAt(eAt0
)−1= eAte−At0 = eA(t−t0).
(9) Aplicamos la definicion de exponencial de una matriz:
eJt =
∞∑k=0
Jktk
k!=
∞∑k=0
(S−1AS)ktk
k!=
∞∑k=0
S−1AkStk
k!= S−1
( ∞∑k=0
Aktk
k!
)S = S−1eAtS,
ya que (S−1AS)k = S−1ASS−1AS · · ·S−1ASS−1AS = S−1AkS. �El calculo de la matriz exponencial eAt se realiza mediante un cambio de base a forma de Jordan.
Proposicion. Sea J = diag(J1, . . . , Jl) ∈Mn, Jk = Jrk(λk), 1 ≤ k ≤ l, la forma reducida de Jordande A ∈Mn y sea S ∈Mn una matriz invertible tal que J = S−1AS. Entonces:
• X(t) = eAtS = SeJt es una matriz fundamental del sistema x′ = Ax.• Φ(t; t0) = eA(t−t0) = SeJ(t−t0)S−1 es la matriz principal en el instante t0 del sistema x′ = Ax.• eJt = diag
(eJ1t, . . . , eJlt
).
• Dado un bloque de Jordan Jr(λ) de orden r y VAP λ, se cumple que
eJr(λ)t = exp(Jr(λ)t
)=
1t 1t2
2 t 1...
. . .. . .
. . .tr−1
(r−1)! · · · t2
2 t 1
eλt.
• Sea PA(λ) = Πmk=1(λ−λk)rk el polinomio mınimo de A. Entonces cada elemento de la matriz
eAt es una combinacion lineal de las funciones
eλ1t, teλ1t, . . . , tr1−1eλ1t, eλ2t, teλ2t, . . . , tr2−1eλ2t, . . . , eλmt, teλmt, . . . , trm−1eλmt.
Para calcular la solucion general de un sistema, basta tener una matriz fundamental arbitraria. Portanto, como espabilados perezosos que somos, nos limitaremos a calcular la matriz fundamental dadapor la formula X(t) = SeJt, evitando a toda costa invertir la matriz S.
Ejemplo 6. Calcular la solucion general del sistema
x′ = Ax, A =
(0 −11 −2
).
9
Primera forma: Usando el truco del ejemplo 4. El polinomio caracterıstico de esta matriz es
QA(λ) = det(A− λId) = λ2 − (trazaA)λ+ detA = λ2 + 2λ+ 1 = (λ+ 1)2,
luego tiene un unico VAP doble: λ = λ1 = λ2 = −1. Ademas, la matriz no diagonaliza, pues
MG(−1) = dim[Nuc(A+ Id)] = 1 < 2 = MA(−1).
Buscamos dos vectores u,v ∈ R2 tales que Au = λu + v = v − u y Av = λv = −v. Empezamosviendo que v = (1, 1) es un VEP de de VAP λ = −1. Despues, buscamos un vector u ∈ R2 tal que(
1 −11 −1
)u = (A+ Id)u = (A− λId)u = v =
(11
).
Este sistema es compatible determinado y u = (1, 0) es una solucion, luego la solucion general es
xh(t) = eλt(c1u+ (c2 + c1t)v
)=
(c1(1 + t) + c2c1t+ c2
)e−t, c1, c2 ∈ R.
Segunda forma: Calculando la exponencial de la forma de Jordan. La forma de Jordan J y unamatriz de cambio de base (de base de Jordan a base natural) S son
J = J2(−1) =
(−1 0
1 −1
), S =
(1 10 1
).
Por tanto, podemos calcular una matriz fundamental con la formula
X(t) = SeJt =
(1 10 1
)(1 0t 1
)e−t =
(1 + t 1t 1
)e−t.
Y recuperamos la solucion general obtenida por el primer metodo:
xh(t) = X(t)c =
(c1(1 + t) + c2c1t+ c2
)e−t, c1, c2 ∈ R.
Ejercicio. Sea x(t) una solucion del sistema anterior. ¿Que se puede decir sobre limt→+∞ x(t)?
SLNHs
A continuacion, estudiamos los SLNHs de la forma
x′ = A(t)x+ b(t),
donde A : I →Mn(R) y b : I → Rn son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R. Las soluciones detales sistemas forman una variedad lineal afın de dimension n dentro del espacio vectorial C1(I;Rn).
Proposicion (Estructura de las soluciones de SNHLs). Sea X(t) una matriz fundamental del SLHx′ = A(t)x. Sea xp(t) una solucion particular del SLNH x′ = A(t)x+ b(t). Entonces
xg(t) = xh(t) + xp(t) = X(t)c+ xp(t), c ∈ Rn,es la solucion general del SLNH.
Proof. El cambio de variable dependiente y = x−xp(t) transforma el SLNH en el SLH. Efectivamente,
y′ = x′ − x′p(t) =(A(t)x+ b(t)
)−(A(t)xp(t) + b(t)
)= A(t)
(x− xp(t)
)= A(t)y.
Por tanto, las soluciones de ambos sistemas estan en correspondencia mediante el cambio de variables.Es decir, y(t) es una solucion del SLH si y solo si x(t) = y(t) + xp(t) lo es del SLNH. �
Ejemplo 7. Resolver el SLNH a CC x′ = Ax+ b, donde
A =
(−3 1
1 −3
), b =
(11
).
Paso 1: Resolver el sistema homogeneo asociado. Ya probamos en el ejemplo 2 que
xh(t) =
(c1e−2t + c2e−4t
c1e−2t − c2e−4t
), c1, c2 ∈ R
10
es la solucion general del sistema homogeneo x′ = Ax.Paso 2: Buscar una solucion particular. Aun no hemos explicado metodo alguno para encontrar
una solucion particular, luego debemos improvisar. En este problema, el termino no homogeneo esconstante, lo cual sugiere buscar una solucion particular constante: x(t) ≡ v, lo cual nos lleva alsistema Av = −b, luego
v = −A−1b =
(1/21/2
).
Paso 3: Juntar las dos partes. Ası pues,
xg(t) = xh(t) + xp(t) =
(c1e−2t + c2e−4t + 1/2c1e−2t − c2e−4t + 1/2
), c1, c2 ∈ R
es la solucion general del SLNH. N
Es interesante observar que no siempre existe una solucion particular constante cuando el terminono homogeneo es constante. De hecho, usando conceptos de algebra lineal es bastante facil dar unacondicion necesaria y suficiente para que tal solucion exista.
Ejercicio. Probar que x′ = Ax + b tiene una solucion particular constante si y solo si el sistemaAx = −b es compatible; o sea, si y solo si el vector b es una combinacion lineal de las columnas de A.
A continuacion damos una formula que sirve para calcular una solucion particular de un SLNH apartir de una matriz fundamental de su SLH asociado.
Proposicion (Formula de variacion de las constantes). Si X(t) es una matriz fundamental del SLHx′ = A(t)x y la derivada de la funcion vectorial u : I → Rn es una solucion del sistema X(t)u′(t) =b(t), entonces
xp(t) = X(t)u(t)
es una solucion particular del SLNH x′ = A(t)x+ b(t).
Proof. x′p(t) = X ′(t)u(t) +X(t)u′(t) = A(t)X(t)u(t) + b(t) = A(t)xp(t) + b(t). �
Estabilidad y croquis de SLHs a CC
Ya sabemos resolver algunos sistemas lineales, pero debe quedar claro que los sistemas (lineales o no)que se saben resolver son una minorıa, luego necesitamos un metodo para describir cualitativamenteel comportamiento dinamico de sus soluciones sin resolverlos. Nos centramos en los SLHs a CC, queson los mas simples.
La primera observacion es que la velocidad del sistema x′ = Ax en el origen es igual a cero, pues
x = 0 =⇒ x′ = Ax = A0 = 0.
En particular, la funcion constante x(t) ≡ 0 siempre es una solucion (usualmente llamada soluciontrivial) del sistema x′ = Ax. Esto es un caso particular del siguiente concepto.
Definicion. Diremos que un punto x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio del sistema x′ = Ax cuandola velocidad del sistema en ese punto sea cero. Es decir, cuando x0 ∈ NucA. Diremos que el sistemax′ = Ax es degenerado cuando tenga infinitos puntos de equilibrio. Es decir, cuando det[A] = 0.
Si un sistema es degenerado, todos sus puntos de equilibrio son “iguales” y basta estudiar el origen.
Ejercicio. Probar que si x0 es un punto de equilibrio del sistema lineal x′ = Ax, entonces el cambio devariable dependiente y = x−x0 no modifica el sistema; es decir, el sistema transformado es y′ = Ay.
Dado un SLH a CC, la primera cuestion cualitativa que nos planteamos es determinar el compor-tamiento futuro (t ≥ 0 o t → +∞) y pasado (t ≤ 0 o t → −∞) de sus trayectorias. Distinguimoscuatro tipos de sistemas.
Definicion. Diremos que una solucion x(t) escapa a infinito cuando t → +∞ (respectivamente,cuando t→ −∞) si limt→+∞ ‖x(t)‖ =∞ (respectivamente, si limt→−∞ ‖x(t)‖ =∞).
11
Definicion. Diremos que el sistema x′ = Ax es:
• Inestable si alguna de sus soluciones escapa a infinito cuando t→ +∞;• Estable cuando no es inestable (es decir, cuando todas sus soluciones estan acotadas parat ≥ 0);
• Atractor (tambien llamado asintoticamente estable) si todas sus soluciones no triviales tiendenal origen cuando t→ +∞ y escapan a infinito cuando t→ −∞; y
• Repulsor si todas sus soluciones no triviales escapan a infinito cuando t → +∞ y tienden alorigen cuando t→ −∞.
Todo sistema atractor es estable y todo sistema repulsor es inestable, pero hay sistemas establesno atractores y sistemas inestables no repulsores. Cuando nos pregunten la estabilidad de un sistemalineal, debemos decir si es atractor, estable no atractor, inestable no repulsor o repulsor. Estos cuatrotipos son complementarios; es decir, todo sistema es de uno y solo uno de esos tipos.
El sistema x′ = Ax es atractor/repulsor si y solo si x′ = −Ax es repulsor/atractor, pero, en cambio,no es cierto que x′ = Ax es estable/inestable si y solo si x′ = −Ax es inestable/estable.
Ejemplo 8. La solucion general del SLH 1D x′ = λx es xh(t) = x0eλt, x0 ∈ R. Por tanto, este sistemaes: repulsor ⇔ λ > 0, atractor ⇔ λ < 0 y estable no atractor ⇔ λ = 0. N
Definicion. Sea v un VEP de VAP λ ∈ R de la matriz A. Sea r = [v] la recta que pasa por el origencon direccion v. Entonces, diremos que r es una
• Recta invariante inestable (o de salida) del sistema x′ = Ax cuando λ > 0.• Recta invariante estable (o de entrada) del sistema x′ = Ax cuando λ < 0.• Recta invariante de puntos de equilibrio del sistema x′ = Ax cuando λ = 0.
Analogamente, sean v± = u±w i VEPs complejos conjugados de VAPs λ± = α± β i de la matriz A.Sea Π = [u,w] el plano que pasa por el origen con direcciones u y w. Entonces, diremos que Π es un
• Plano invariante inestable (o de salida) del sistema x′ = Ax cuando α > 0.• Plano invariante estable (o de entrada) del sistema x′ = Ax cuando α < 0.• Plano invariante de giros cerrados del sistema x′ = Ax cuando α = 0.
La interpretacion de estas definiciones es la siguiente. Sea x(t) la solucion del PVI
x′ = Ax, x(0) = x0.
Si x0 ∈ r, entonces Ax0 = λx0, luego x(t) = eλtx0. Por tanto, cualquier trayectoria que empieza enun punto de la recta r se mantiene sobre la recta (por eso decimos que la recta es invariante) y paradecidir si escapa hacia infinito, tiende al origen o permanece quieta basta mirar el signo del VAP λ.
Si x0 ∈ Π = [u,w], entonces existen unos coeficientes a0, b0 ∈ R tales que x0 = a0u+ b0w. Usandola linealidad y el teorema de existencia y unicidad de soluciones, deducimos que
x(t) = a0y(t) + b0z(t) = a(t)u+ b(t)w,
donde (a(t)b(t)
)= eαt
(cosβt sinβt− sinβt cosβt
)(a0
b0
).
Por tanto, cualquier trayectoria que empieza en un punto del plano Π se mantiene sobre el plano (poreso decimos que el plano es invariante) girando sin parar y para decidir si escapa hacia infinito, tiendeal origen o los giros son cerrados basta mirar el signo de la parte real α. Si la parte real es igual a cero,entonces todas las trayectorias contenidas en el plano son periodicas de periodo T = 2π/β. Podemosescribir la fomula anterior en “polares”. Notando a0 + ib0 = r0e iθ0 y a(t) + ib(t) = r(t)e iθ(t), resultaque r(t) = r0eαt y θ(t) = θ0 − βt, lo cual muestra que el angulo avanza a velocidad constante.
Ejercicio. En una recta o plano de entrada, ¿cuanto tiempo tarda la trayectoria en llegar al origen?
Ya sabemos que los VAPs reales positivos y los VAPs complejos de parte real positiva dan lugar arectas y planos invariantes inestables y, por tanto, dan lugar a soluciones inestables. Pero no son losunicos VAPs con esta propiedad. Damos los siguientes teoremas sin probarlos.
12
Teorema (Estabilidad de SLHs a CC). El sistema x′ = Ax es:
• Inestable si y solo si algun VAP de A tiene parte real positiva o algun VAP no semi-simple1
de A tiene parte real nula.• Atractor/repulsor si y solo si todos sus VAPs tienen parte real negativa/positiva.
Teorema (Evolucion de un volumen bajo un SL). Sean A : I →Mn(R) y b : I → Rn unas funcionescontinuas definidas en un intervalo abierto I ⊂ R. Sea T (t) = trazaA(t). Dado un instante arbitrariot0 ∈ I y un dominio arbitrario Wt0 ⊂ Rn, sea Wt el conjunto formado en el instante t por las partıculasque en el instante t0 estaban en el dominio Wt0 . Es decir,
Wt =⋃
x0∈Wt0
{x(t) : x es la solucion del PVI x′ = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0
}.
Entonces
Vol(Wt) = Vol(Wt0)e∫ tt0T (s)ds
.
En particular, un sistema lineal expande, preserva o contrae volumen si su matriz tiene traza positiva,nula o negativa, respectivamente.
Ejemplo 9. Estudiar la estabilidad del sistema x′ = Ax, donde A =
(3 −1
14 −4
). Este sistema,
¿expande, preserva o contrae area?Las raıces del polinomio caracterıstico QA(λ) = λ2 + λ + 2 son λ1,2 = (−1 ±
√7i)/2, luego este
sistema lineal es atractor. La traza es T = −1 < 0, luego contrae area. N
Ejercicio. Probar que si la traza de A es positiva, entonces el sistema x′ = Ax es inestable.
Un resultado interesante es que todas todas las soluciones de un sistema lineal atractor/repulsor(homogeneo o no) se juntan/separan cuando t→ +∞ y se separan/juntan cuando t→ −∞.
Proposicion. Sean x1(t) y x2(t) dos soluciones diferentes de un sistema lineal (homogeneo o no).
(1) Si el sistema homogeneo asociado es atractor, entonces
limt→−∞
‖x1(t)− x2(t)‖ =∞, limt→+∞
‖x1(t)− x2(t)‖ = 0.
(2) Si el sistema homogeneo asociado es repulsor, entonces
limt→−∞
‖x1(t)− x2(t)‖ = 0, limt→+∞
‖x1(t)− x2(t)‖ =∞.
Proof. Si x1(t) y x2(t) son soluciones diferentes del SLNH a CC x′ = Ax+ b(t), la diferencia x(t) =x1(t)− x2(t) es una solucion no trivial del sistema homogeneo asociado, pues
x′(t) = x′1(t)− x′2(t) =(Ax1(t) + b(t)
)−(Ax2(t) + b(t)
)= A(x1(t)− x2(t)
)= Ax(t).
Si este SLH es atractor/repulsor, entonces, por definicion, todas sus soluciones no triviales se compor-tan de la forma que la proposicion describe. �
Ejercicio. Argumentar que un sistema lineal (homogeneo o no) a coeficientes constantes tal que susistema homogeneo asociado es atractor o repulsor no puede tener dos soluciones periodicas diferentes.
Clasificacion de SLs 2D a coeficientes constantes. En esta seccion nos limitamos a clasificar lossistemas lineales x′ = Ax cuando A es una matriz 2× 2. Es decir, es una seccion de terminologıa.
Supongamos que el sistema x′ = Ax no es degenerado, luego los dos VAPS de la matriz sondiferentes de cero. Entonces clasificaremos el sistema como:
• Una silla, si los VAPs son reales y de signos diferentes,• Un nodo, si los VAPs son reales pero del mismo signo, en cuyo caso diremos que el nodo es:
– atractor/repulsor cuando ambos VAPs sean negativos/positivos; y– propio/impropio si la matriz diagonaliza/no diagonaliza;
1Recordamos que un VAP es semi-simple cuando coinciden sus multiplicidades algebraica y geometrica.
13
• Un centro, si los VAPs son imaginarios puros; y• Un foco, si los VAPs son complejos conjugados de parte real no nula, en cuyo caso diremos
que el foco es atractor/repulsor cuando la parte real sea negativa/positiva.
Solo hay tres tipos de sistemas 2D a coeficientes constantes que preservan area: los centros, un tipoespecial de sillas y los sistemas degenerados con VAP cero doble.
Proposicion (Criterio traza-determinante para SLs 2D a coeficientes constantes). Sea A una matrizreal 2× 2. Notamos T = trazaA, D = detA y ∆ = T 2 − 4D. Entonces el sistema x′ = Ax es:
• Una silla (I) si y solo si D < 0.• Un centro (E, pero no AE) si y solo si T = 0 y D > 0.• Un foco si y solo si T 6= 0 y ∆ < 0. El foco es repulsor cuando T > 0 y atractor cuandoT < 0.
• Un nodo si y solo si D > 0 y ∆ ≥ 0. El nodo es repulsor cuando T > 0 y atractor cuandoT < 0. Ademas, el nodo es impropio si y solo si ∆ = 0 y la matriz A no es diagonal.
• Degenerado cuando D = 0. Un sistema degenerado es I cuando T > 0, E pero no AE cuandoT < 0, y puede ser E o I cuando T = 0.
Proof. Sean λ+ y λ− las raıces del polinomio caracterıstico QA(t) = t2 − Tt+D. Entonces
λ± =T ±√T 2 − 4D
2=T ±√
∆
2.
Ademas, T = λ+ + λ− y D = λ+λ−. Ahora distinguimos cinco casos:
• D = λ+λ− < 0 =⇒ ∆ = T 2 − 4D ≥ 0 =⇒ λ+, λ− ∈ R =⇒ signoλ+ 6= signoλ− =⇒ Silla (I).• T = 0 y D > 0 =⇒ λ± = ±
√−D son imaginarios puros =⇒ Centro (E, pero no AE).
• T 6= 0 y ∆ < 0 =⇒ λ± = T2 ±
√−∆2 i son complejos conjugados y Reλ± = T/2 6= 0 =⇒ Foco.
Ademas, el signo de la parte real de los VAPs coincide con el signo de la traza.• D = λ+λ− > 0 y ∆ ≥ 0 =⇒ VAPs reales del mismo signo =⇒ Nodo.
Ademas, el signo de la traza T = λ++λ− coincide con el signo de ambos VAPs. Finalmente,
el nodo es impropio, por definicion, si y solo si A no diagonaliza. En Algebra Lineal se vio quelas unicas matrices 2× 2 no diagonalizables son las matrices no diagonales con un VAP doble.
• El sistema es degenerado, por definicion, si y solo si D = 0. Las relaciones D = λ+λ− = 0 yT = λ+ + λ− implican que uno de los VAPs es igual a cero y el otro es igual a la traza.
Resulta util representar graficamente estos resultados en el plano de coordenadas (T,D). �Este criterio simplifica la clasificacion de sistemas 2D con parametros. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 10. Clasificar el sistema x′ = Ax, donde
A =
(−2µ 2µ− 1−1 0
), µ ∈ R.
La traza T = −2µ solo cambia de signo en µ = 0. El determinante D = 2µ − 1 solo cambia designo en µ = 1/2. El discriminante ∆ = T 2 − 4D = 4µ2 − 8µ + 4 = 4(µ − 1)2 es positivo si µ 6= 1y nulo si µ = 1. Ademas, la matriz A no es diagonal cuando µ = 1. Por tanto, aplicando el criteriotraza-determinante vemos que el sistema es:
• Una silla (I) cuando µ < 1/2;• Degenerado (E pero no AE) cuando µ = 1/2; y• Un nodo atractor cuando µ > 1/2, siendo propio cuando µ 6= 1 e impropio cuando µ = 1.
En particular, la unica bifurcacion2 del sistema tiene lugar al cruzar el valor µ∗ = 1/2, momento enel cual el sistema pasa de inestable a asintoticamente estable (atractor). Es usual representar toda lainformacion en un diagrama a color3 llamado diagrama de bifurcacion, ver figura 1. N
2Una bifurcacion se define como un cambio en el aspecto cualitativo de las trayectorias de sistema.3Por ejemplo, rojo para la parte inestable del espacio de parametros, azul para la parte asintoticamente estable y
verde para la parte estable pero no asintoticamente estable.
14
tµ∗
Silla (I) Degen. (E) Nodo (AE)
Figure 1. Diagrama de bifurcacion del ejemplo 10 en la recta µ ∈ R. Aquı, µ∗ = 1/2.
Trayectorias y orbitas. Podemos interpretar el SL x′ = A(t)x como una regla donde la velocidadx′ depende explıcitamente del tiempo t y la posicion x. Decimos tiempo t, posicion x, velocidad x′ ytrayectoria x(t), de cara a facilitar la comprension de conceptos. Sin embargo, serıa mas correcto decirvariable independiente t, variable dependiente x, derivada x′ y solucion x(t), pues t y x no siemprerepresentan tiempos y posiciones. Por ejemplo, x son concentraciones en problemas de depositos,temperaturas en algunos modelos simples de difusion de calor o parejas de posiciones y velocidadesen problemas de mecanica (muelles, pendulo de Wilberforce, etcetera.).
Una trayectoria es una funcion vectorial derivable x : I → Rn, x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)),definida en un intervalo abierto I ⊂ R tal que
x′(t) = A(t)x(t) + b(t), ∀t ∈ I.El conjunto O = x(I) = {x(t) : t ∈ I} ⊂ Rn es la orbita de la trayectoria x(t). La diferencia entretrayectorias y orbitas es que las primeras explicitan la velocidad a la que se recorren las segundas.Pensad en la diferencia entre ver un video (trayectoria) de un caracol moviendose y ver una foto(orbita) del rastro de babas que deja.
Figure 2. Una trayectoria en el espacio de fases extendido (3D) y su correspodienteorbita en el espacio de fases (2D) en el caso n = 2.
El espacio de fases es el conjunto de posibles “posiciones”, luego es un subconjunto n-dimensionalde Rn. En cambio, el espacio de fases ampliado es el conjunto de posibles parejas “tiempo-posicion”,luego es un subconjunto (n+ 1)-dimensional de R× Rn. Dibujamos las orbitas en el espacio de fasesy las trayectorias en el espacio de fases ampliado. Ver figura 2.
Croquis de SLHs a CC. Queremos dibujar las orbitas de SLHs a CC en el espacio de fases Rn.Estos dibujos se denominan croquis o retratos de fases. En un SLH a CC, la velocidad x′ dependede la posicion x pero no del tiempo t. Esto implica que para determinar una orbita basta fijar unaposicion, sin importar en que instante estabamos allı.
Teorema (Orbitas de un SLH a CC). Sea A ∈ Mn(R). Dos orbitas del SLH x′ = Ax son o biendisjuntas o bien iguales.
Ası pues, cuando dibujemos el croquis de un SLH 2D a CC, dos orbitas no pueden cruzarse.A continuacion, introducimos un concepto geometrico. El campo de velocidades (o campo de vec-
tores) del SLH consiste en asignar el vector velocidad x′ = Ax a cada posicion x ∈ Rn. Una funcion
15
derivable x(t) es una solucion del SLH x′ = Ax si y solo si la trayectoria de la partıcula es tangenteen todos sus puntos al campo de velocidades. Basta recordar que x′(t) es el vector tangente a latrayectoria x(t) en el instante t. Ası pues, hemos relacionado un problema analıtico (resolver SLHs aCC) con un problema geometrico (encontrar curvas tangentes a un campo de vectores).
La interpretacion geometrica de las rectas y los planos invariantes dada en la pagina 11 nos ayudaa dibujar croquis precisos de cualquier SLH a CC x′ = Ax cuando la matriz A diagonaliza. Porejemplo, sean v1, . . . ,vn los VEPs y supongamos que todos los VAPs λ1, . . . , λn son reales. Los signosde los VAPs determinan el comportamiento de las trayectorias contenidas en las rectas invariantesrj = [vj ]. Luego la pregunta es: ¿Que aspecto tienen las otras trayectorias? Para responder a estapregunta proyectamos una condicion inicial arbitraria sobre cada una de las rectas invariantes. Comolos VEPs v1, . . . ,vn forman una base de Rn, sabemos que dado un punto arbitrario x0 ∈ Rn, existenunos coeficientes c1, . . . , cn ∈ Rn tales que x0 = c1v1 + · · · + cnvn. Entonces, usando el teorema deexistencia y unicidad de soluciones deducimos que
x(t) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cneλntvn
es la solucion del PVI correspondiente a la condicion inicial x(0) = x0. Esto permite describir laforma de cualquier trayectoria del sistema. Veamos un ejemplo 2D y otro 3D.
Ejemplo 11. Sea A la matriz 2× 2 del sistema del ejemplo 2. Sabemos que tiene VEPs v1 = (1, 1) yv2 = (1,−1) de VAPs λ1 = −2 y λ2 = −4. Por tanto, hay dos rectas invariantes de entrada:
r1 = [v1] ={
(x1, x2) ∈ R2 : x1 − x2 = 0}, r2 = [v2] =
{(x1, x2) ∈ R2 : x1 + x2 = 0
}.
Ademas, r1 corresponde a la entrada lenta y r2 a la rapida, pues eλ1t = e−2t tiende a cero maslentamente que eλ2t = e−4t. Por tanto, todas las soluciones del sistema x′ = Ax tienden al origen.Concretamente, las soluciones situadas sobre una recta invariante no abandonan la recta, mientrasque las demas soluciones trazan orbitas con aspecto de parabolas que son tangentes en el origen a larecta lenta y que lejos del origen tienden a adquirir la direccion de la recta rapida. Con esos datos yapodemos dibujar el croquis del sistema. N
Ejemplo 12. Sea A la matriz 3 × 3 del ejemplo 3. Sabemos que tiene VEPs v1 = (25,−7, 6) yv2,3 = u±w i, con u = (1, 1, 1) y w = (5, 0, 0), de VAPs λ1 = 1 y λ2,3 = ±5i. Por tanto,
r = [v1] ={
(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1/25 = −x2/7 = x3/6}
es una recta invariante de salida y
Π = [u,w] ={
(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2 = x3
}es un plano invariante de giros cerrados donde todas las trayectorias tienen periodo T = 2π/5. Eltruco de proyectar una condicion inicial arbitraria sobre r y Π para ver la forma de su trayectoriafunciona igual que antes. En este caso, obtenemos que todas las orbitas del sistema x′ = Ax nocontenidas ni en r ni en Π son helices que escapan a infinito. N
En la figura 3 vemos seis croquis de SLHs 2D a CC de comportamiento cualitativamente diferentes.Hemos resaltado las rectas invariantes mediante un codigo de colores para distinguir salidas (rojas),entradas (azules) y rectas de puntos de equilibrio (amarillas). Y un codigo de flechas para distinguirdirecciones rapidas y lentas o visualizar los sentidos de giro.
Ejercicio. Conectarse al enlace http://www-math.mit.edu/daimp/ y entender los dos applets de JAVAsobre Linear Phase Portraits.
Los siguentes comentarios proporcionan algunas claves para dibujar un croquis:
• Dos orbitas diferentes no pueden tocarse;• Los VAPs reales dan lugar a rectas invariantes de entrada, salida o puntos de equilibrio;• Los VAPs complejos conjugados dan lugar a planos invariantes de entrada, salida o giros;• Una silla tiene una recta invariante de salida y otra de entrada, el resto de sus orbitas tienen
el aspecto de hiperbolas;
16
(a) Una silla (b) Un nodo propio repusor (c) Un nodo impropio atractor
(d) Un sistema degenerado inestable (e) Un centro (f) Un foco repulsor
Figure 3. Croquis de SLHs 2D a CC. Cada recta invariante estable/inestable estaformada por tres orbitas, siendo una de ellas el origen.
• Un nodo propio atractor/repulsor con VAPs simples tiene dos rectas de entrada/salida (lalenta y la rapida) y el resto de sus orbitas parecen parabolas tangentes en el origen a la rectalenta;
• Un nodo impropio atractor/repulsor tiene una unica recta invariante de entrada/salida y todassus otras orbitas son tangentes en el origen a esa recta invariante;
• Todas las orbitas de un nodo propio con un VAP doble son rectas que pasan por el origen;• En un sistema degenerado 2D el campo de vectores f(x) = Ax apunta siempre en la misma
direccion, luego sus orbitas forman un haz de rectas paralelas;• Todas las orbitas de un centro son elipses;• Todas las orbitas de un foco son espirales; y• En estos dos ultimos casos, que corresponden a VAPs complejos conjugados λ± = α ± β i, el
sentido de giro se determina calculando la velocidad en un punto del plano. La velocidad degiro depende de la parte imaginaria β y la expansion/contraccion depende de la parte real α.
Ejemplo 13. Sea A una matriz 3× 3 con VAPs λ1, λ2, λ3 ∈ R tales que
λ3 < λ2 < 0 < λ1
y sea {v1,v2,v3} una base de VEPs. Entonces existen tres rectas importantes: r1 = [v1] (salida),r2 = [v2] (entrada lenta) y r3 = [v3] (entrada rapida). En el plano generado por los VEPs de VAPsnegativos el sistema tiene el aspecto de un nodo propio atractor. En los planos generados por v1 y unVEP de VAP negativo, el sistema es una silla. El resto del croquis 3D se deduce de ese “esqueleto”.
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Ejercicio. Dibujar el croquis en los casos: 1) λ3 < λ2 < λ1 = 0, y 2) λ3 < λ2 < λ1 < 0.
Ejemplo 14. Sea A una matriz con VAPs λ1 ∈ R y λ2,3 = α± β i tales que
α < 0 < λ1.
Sea v1 un VEP de VAP λ1 y sean v2,3 = u±w i VEPs de VAP λ2,3. Entonces r1 = [v1] es una rectainvariante de salida y Π = [u,w] es un plano invariante de entrada. En el plano Π el sistema es unfoco atractor. Las trayectorias 3D trazan espirales que se escapan al infinito en la direccion v1, perocuyas amplitudes se hacen cada vez mas pequenas.
Ejercicio. Dibujar el croquis en los casos: 1) α = 0 < λ1, 2) 0 < α < λ1, y 3) 0 < λ1 < α.
Ejercicio. Dibujar los croquis de los sistemas degenerados x′ = A±x y x′ = A0x dados por
A± =
(±1 0
0 0
), A0 =
(0 01 0
).