sistemas de ecuaciones lineales · si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales coinciden en...

1 Matemática Matem

Liceo Exp. Bilingüe de Cartago Prof. K Pamela Granados V.

Nombre del estudiante: _____________________________________________________________

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definición: Un conjunto de m ecuaciones lineales y n incógnitas recibe el nombre de sistema de

ecuaciones lineales.

La solución, de dicho sistema, son los valores de las incógnitas que cumplen simultáneamente que todas

las ecuaciones, que lo forman, son verdaderas.

En nuestro caso sólo se estudiaran sistemas con dos variables y dos ecuaciones ( 2 2x ), los cuales son de

la forma 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

como por ejemplo

2 3 7

3 1,2

x y

x y

El sistema anterior determina dos rectas en el plano xy, por lo

tanto, la solución de un sistema de ecuaciones es el punto de

intersección de las rectas que lo forman.

Sea (x,y) la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales,

entonces una posible representación gráfica de ese sistema y su

solución es

Tipos de Sistemas de Ecuaciones

Sistemas Consistentes e Independientes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales se

intersecan en un punto, es decir, tienen una única solución, las ecuaciones de estas rectas forman un

sistema consistente y son independientes.

Este tipo de sistemas cumplen que 1 1

2 2

a b

a b

Ejemplo: 8

(3, 5)2 1

x yS

x y

Se tienen que 1 1

2 1

2 Matemática Matem


Sistemas Inconsistentes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales son paralelas y distintas, entonces

no hay punto de intersección, ie, no tienen solución, en este caso se dice que las ecuaciones forman un sistema

inconsistente y la solución del sistema es vacía.

Este tipo de sistemas cumplen que 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c .

Ejemplo: 4 3 5

8 6 2

x yS

x y

Se tienen que 4 3

8 6

Sistemas Consistentes y Dependientes: Si las rectas de un sistema de ecuaciones lineales coinciden en

su representación gráfica, ie, cada punto de una de las rectas pertenece también a la otra, entonces el sistema es

consistente y las ecuaciones son dependientes y tiene un infinito número de soluciones.

Este tipo de sistemas cumplen que 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c .

Ejemplo: 24 8 12

2 4 6

x yS

x y

Se tienen que 4 8 12

2 4 6

Ejemplo: Clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones.

1) 4 4 5

5 3

x y

x y 2)

2 5

4 2 7

x y

x y 3)

2 3 1

51 34 17

y x

x y 4)

1

3 2 3

y x

x y

Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se estudiaran cuatro: el gráfico,

sustitución, igualación y reducción (suma y resta)

3 Matemática Matem


Método Gráfico: Este método consiste en trazar las gráficas de las ecuaciones que forman el sistema,

en un mismo plano cartesiano, para localizar las coordenadas del punto de intersección de ellas, si existe,

ese punto será la solución del sistema.

Ejemplo: Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

2 51)

1

x y

x y

2 4 62)

2 1

x y

x y

33)

5 5

x y

x y

2 34)

2 4 5

x y

x y

4 Matemática Matem


Método de Sustitución: Este método consiste en despejar en una de las ecuaciones, una de las

variables en función de la otra, luego se sustituye la variable que se despejó en la otra ecuación,

seguidamente se resuelve la ecuación para obtener el valor de la variable y finalmente se determina el

valor de la otra variable, dichos valores nos dan la solución del sistema.


Método de Igualación: Consiste en despejar en cada una de las ecuaciones la misma variable, e igualar

las expresiones resultantes, de esta forma se obtienen una ecuación lineal con una sola incógnita, al

encontrar el valor de la ecuación resultante, sustituimos el valor en alguna de las ecuaciones que se

despejaron originalmente, para determinar el valor faltante, para así determinar la solución del sistema.


4 4 281)

9 18 45

x y

x y

19 13 312)

3 4 17

a b

a b

5 14 171)

10 7 19

t b

t b

21 7 492)

13 6 22

x a

x a

En el ejemplo #1, se pueden simplificar primero las ecuaciones, antes de resolver el sistema

5 Matemática Matem


Método de Reducción o Eliminación (Suma o Resta)

Este método consiste en eliminar una de las variables, sumando o restando las ecuaciones que forman el

sistema. En el caso de que no se puedan eliminar ninguna de las variables, podemos multiplicar las

ecuaciones por alguna cantidad necesaria para eliminarla, luego se suman o restan las ecuaciones para

formar una ecuación lineal de una incógnita y la resolvemos, por último se sustituye el valor encontrado

en una de las ecuaciones originales, para determinar el valor de la solución del sistema.


4 31. )

5 6 9

x ya

x y

4 31.b)

5 6 9

x y

x y

9 5 302. )

18 30 4

a ba

a b

9 5 302.b)

18 30 4

a b

a b

En este tipo de método, se debe, ordenar el sistema de tal manera que cada variable y número coincida en

posición en ambas ecuaciones que forman el sistema, es decir, debe estar acomodado de la forma

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

(eliminar “x”) (eliminar “y”)

(eliminar “a”) (eliminar “b”)

6 Matemática Matem


Práctica

A) Marque con equis

1) Sean rectas cuyos criterios, respectivamente, están dadas por . Si

y el sistema de ecuaciones resultantes es incompatible, entonces “ ”pertenece al conjunto

a)

b)

c)

d)

2) De acuerdo con los datos de la gráfica adjunta y sabiendo que pertenece al gráfico de .

Considere las siguientes proposiciones:

I. Las gráficas de NO se intersecan en un punto.

II. El sistema de ecuaciones resultante es independiente.

De ellas, ¿cuáles son verdaderas?

a) Ambas b) Ninguna c) Sólo la I d) Sólo la II

3) Si las rectas , forman un sistema de ecuaciones inconsistente entonces:

a)

b)

c)

d)

B) ¿Cuál debe ser el valor de “k” en el sistema , para que éste sea consistente y

dependiente?

1 2l l 4 5 3 12 3x y x y v

v v

{3}

{5}

{5}

(500,0)1l

1 2l l

4 3 2 10 5x y x ay

6

5a

a

6

5a

6

5a

8 6 10

12 9 4

x y

x y k

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C) Trace la región dada por cada uno de los siguientes conjuntos.

1)

2)

3)

D) Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones.

1) 2)

3) 4)

( , ) / 1x y x ( , ) / 2x y y 1( , ) /

2x y y

2 3 12

5 7 1

x y

x y

4 21 2

4 3

x y

x y

2 3 12

5 7 1

x y

x y

4 21 2

4 3

x y

x y

x

y

x

y

x

y

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5) 6)

7) 8)

E) Determine el punto de intersección de las siguientes rectas.

1) 2)

33

5 4

yx

x y

3 3 24 0

2 34 4

x y

x y

9 6 6

12 15 1

y x

x y

7 14,6

3 0,6 7

x y

x y

4 2 0 2 3 0x y x y 4 3 4 0 1 0x y x y

9 Matemática Matem


F) Determine el valor de “a”, en la solución del sistema

G) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.

1) 2)

3) 4)

(3 ) ( 1) 4

( 2) ( 2) 1

a b b a

b a a b

11

8 5 10

191

5 4 40

x y

x y

23

3 4

04

x y

x y

2( 3) 22

13 2

yx

x y

1 3

1 1

2 1

1 1

x y

x y

x y

x y

10 Matemática Matem


5) 6)

H) En cada uno de los siguientes sistemas, determine el valor numérico de

1) , si es la solución del sistema

2) “m”, si es la solución del sistema

( 2) ( 3)

4 20

3 1

a b b a

b a

1 3

1 17

115

1

x y

x y

x y

x y

mn (2 , 3)m n 7 4 13

5 2 19

x y

x y

( 2,2 1)m 2 1

3 4 14

x y

x y



I) De acuerdo con la figura adjunta, si , determine el valor de

J) Calcule dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.

K) Si (-1,5) es la solución del sistema , determine el valor de “k”.

L) Compruebe si , es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones

1) 2)

, 80CD AB m A E D C B

2 (1 ) 4

(4 3 ) 2 5

kx k y

k x ky

12

2x y

7 4 12

3 2 7

x y

x y

2 3

2 6 1

x y

x y



M) Si son constantes, determine el conjunto solución de los siguientes sistemas.

1) 2)

3)

N) Coloree la región del plano que es encuentre entre las siguientes ecuaciones

a b

2 2x y a b

x y a b

2 4

4

xy b

b

xy a b

a

2 2

x y a b

ax by a b

1) 2 1,4 3 5 0

2a y x x y y

) 0,2 5 1 2b x y x y x



Problemas que Involucran Sistemas de Ecuaciones Lineales

Cálculo de la superficie de un terreno

Tabilla Babilónica

Universidad de Columbia (USA)

Los sistemas de ecuaciones lineales ya fueron resueltos por los

babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales

como longitud, anchura, área o volumen, sin que tuviera relación con

problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica

plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes

términos (cidead):

1/4 anchura + longitud = 7 manos

longitud + anchura = 10 manos

En nuestra notación el sistema es:

anchura: x, longitud: y manos: t

Ejemplo: Plantee el sistema que soluciona los siguientes problemas y determine su solución.

1) Una cuerda mide , se corta en dos partes de tal manera que una de ellas mide dos metros más que

la otra ¿Cuánto mide cada pedazo?

4 28

10

3 18

6 4

x y t

x y t

y t

y t x t

12m

/ 5 7R



2) Si a los términos de una fracción se añade tres, el valor de la fracción es un medio, y si a los términos

se le resta uno, el valor de la fracción es un tercio. Hallar la fracción original.

3) La diferencia de dos números es 14 y un cuarto de su suma es 13. hallar los números.

4) En una granja hay 236 animales entre cerdos y gallinas, si el total de sus patas entre ambos animales es

600, ¿cuántos cerdos y gallinas hay en la granja?

5/

13R

/ 33 19R

/ 64 172R c g



Práctica

Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas. Debe aparecer planteo, operación y respuesta larga.

1) Dos números están en la razón 3 es a 4, si el menor se aumenta en dos y el mayor se disminuye en

nueve, la relación es de 4 a 3. Hallar los números.

2) A Sara y Emma les gusta mucho las matemáticas, por lo que usualmente juegan a adivinar números,

por lo que Sara le dice a Emma que halle dos números que cumplan que: si el mayor de esos dos

números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4, además, si cinco veces el menor se

divide por el mayor, el cociente es dos y el residuo es 17. Si Emma encontró los números

correctamente, ¿cuál es la respuesta que Emma le dio a Sara?



3) En un teatro hay 500 butacas entre vip y platea. En un día de función a sala llena, se recaudaron

. Si los precios de cada butaca en vip y platea son respectivamente

¿cuántas butacas de cada clase hay en ese teatro?

4) Berta compra dos libros para obsequiar a sus hijas, cuando llega a su casa se da cuenta que la

diferencia entre el precio de dos libros que compró es de y además, uno cuesta las tres quintas

partes de lo que cuesta el otro. ¿Cuánto pagó Berta por cada libro?

¢2 200 000 ¢5000 ¢3000

¢1250



5) La distancia entre Cartago y Pérez Zeledón es de 165 km. Una estudiante del TEC, oriunda de P.Z.,

quiere ver a su mamá, pero por su itinerario en la universidad no puede ir hasta P.Z. a visitarla, por lo

que le pide a su mamá, un domingo, que salgan las dos al mismo tiempo de sus casas y se topen de

camino, si el coche de la estudiante va a una velocidad de 60 km/h y la mamá viaja a una velocidad de

50 km/h. Suponiendo que la velocidad de ambas es constante, cuánto tiempo tardan en encontrarse, y

cuánta distancia ha recorrido cada una de ellas hasta el momento del encuentro.

6) Juan está estudiando para ser chef, por lo que le gusta estar inventando comidas y mezclando frutas

para hacer nuevos sabores de refrescos, que luego los venden entre sus familiares, para ayudarse con

sus estudios. Si Juan ha mezclado dos tipos de pulpa de fruta diferente; donde el primero cuesta

el litro, y el segundo, de el litro, obteniendo 40 litros de mezcla a el litro. ¿Cuántos litros

ha puesto Juan de cada clase, para obtener los 40 litros a ese precio?

¢625

¢565 ¢586



7) Se tienen en monedas de veinticinco y diez colones. Si las moneda de son cinco veces las

monedas de , ¿cuánta cantidad de monedas de y hay?

¢4500 ¢10

¢25 ¢10 ¢25

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