sistemas de control ti-2233 miguel rodríguez 4ª clase

Sistemas de control TI-2233

Miguel Rodríguez

4ª clase

Sistemas de control Steady –state response• Definiciones importantes– Steady state response: respuesta a la forzadora o

respuesta en estado estacionario, es la salida del sistema después que pasan los efectos debido al cambio de estados ( transición) .

– Transient response : Respuesta de un sistema al impulso ó a un cambio de estado.

– Overshoot: cuando una señal excede su valor de estado estacionario. Sobrepico.

– Settling Time: Tiempo de estabilización.– Rise time: Tiempo en que una señal alcanza un

determinado valor.

Sistemas de control Steady –state response

Sistemas de control Step input

• Entradas de pruebas– La señal escalón (Step input)

– La transformada de Laplace:

00

01)()(

t

ttstu

ssU /1)(

dttfesF st

0

)()(

Sistemas de control impulse input

• Entrada impulso

• Integremos el impulso en el tiempo

• La transformada de Laplace es:

)()( ttu

)()(

)()()()(

01)()(

00

00

tsdt

dt

tsdt

ddtt

dt

dtsdtt

tdttdttu

1)( sU

Sistemas de control Unit ramp input

• Entrada rampa

• La transformada de Laplace

0:0

0:)()(

t

tttrtu

2

1)()(s

sRsU

Sistemas de control Unit ramp input

• Entrada parabólica

• La transformada de Laplace

0:0

0:)()( 2

2

t

ttptu

t

3

1)()(s

sPsU

Sistemas de control Polynomial input

• Generalización de la entrada a través de un polinomio

;!

)(

;!!2

)(

0

2

210

p

i

i

i

p

p

i

tdtu

p

td

tdtddtu

0t

Sistemas de control Sinusoidal input

• Señal sinusoidal

Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas

• Respuesta al escalón

– Solución en el tiempo

sas

KsY

as

KsG

1)()(

00

taea

K

a

Kty 0

00

)(


• Respuesta al escalón– Solución en el tiempo (Sistema de primer orden)

taea

K

a

Kty 0

00

)(


• Respuesta al escalón– Valor en estado estacionario

0000

0

1)(lim

)(lim)(lim

a

K

sas

KsssY

tfssF

ss

ts

Sistemas de control Respuestas del sistemas a las entradas• Respuesta a la rampa

– Teorema del valor final

– Solución en el tiempo (Tarea: comprobar la solución)

20

1)(

sas

KsY

0

20

0

1)(lim

ss sas

KsssY

taea

K

at

a

Kty 0

000

1)(


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta sobre amortiguada, dado un sistema que

tiene 2 raíces reales en el denominador:

• Aplicamos un escalón a la entrada

))(()(

012

ss

K

asas

KsG

)(

1

)()(

1

)(

1

1)(

012

sss

K

sasas

KsY


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta sobre amortiguada


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta Críticamente amortiguada, las dos raíces

del denominador están en el mismo lugar

– Aplicando un escalón

2)()(

s

KsG

22

2

)()(

11

1

)()(

sss

K

ss

KsY


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta Críticamente amortiguada

]1[)(2

tt teeK

ty


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada; Asumiendo que el

sistema tiene raíces complejas

– Aplicando un escalón a la entrada

22222 )()(2))(()(

ws

K

wss

K

jwsjws

KsG

222222

22

)()(

)(1

1

)()(

wsws

s

sw

K

sws

KsY


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada: en el dominio del

tiempo

wtewtew

Kty tt sin)cos(1)(

22

)sin()(

1)(2/122

22

wte

w

w

w

Kty t


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada• El denominador de la función de transferencia se

escribe normalmente de la siguiente manera:

• Donde es la relación de amortiguamiento y n es la frecuencia natural, siguiendo con nuestra notación tenemos que:

)(22 22222 wssss nn

222/ wy nn


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Respuesta subamortiguada• Relación de amortiguamiento

)(22 22222 wssss nn

10


• Respuesta de un sistema de 2º orden– Términos usados:

• Retardo (delay time) es el tiempo que necesita la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar el 50% de su valor final.

• Tiempo de subida (rise time) el tiempo que necesita la salida desde el 10% hasta el 90% del valor en estado estacionario.

• Tiempo de establecimiento (settling time) es el tiempo que se toma la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar un valor estacionario, normalmente a un 5% del valor de estado estacionario.

• Overshoot, Máximo rebasamiento, es la máxima diferencia entre el valor de estado estacionario y la transiente.

ioestacionar estado devalor

100%overshoot máximo


• Respuesta de un sistema de 2º orden–Máximo valor de overshoot. Derivamos la función y(t) e igualamos a cero.

– La solución depende del seno, y es para los valores:

– Los mínimos y máximos son definido por:

0sin)(

wtew

K

dt

tdy t

.,2,1,0,/ etciwit

wii ew

Kiy /1

22)1()(


• Errores– El desempeño de un sistema es normalmente

evaluado en termino de el error entre lo demandado o requerido y la señal de salida.• Error en la medición

• Error en el modelado

• Interferencias del ruido

• Error de estado estacionario.

Sistemas de control Tipos de Errores

• Error del sistema

• Ejemplos

)(

)()(

011

1

011

10 asasass

bsbsbsKsG

nn

nq

mm

m


• Error de estado estacionario

– Ejemplo: Halle el error en estado estacionario, señal de entrada escalón.

)(sE

)2(

3)(0 s

sG

Sistemas de control Tipos de Errores• Error de estado estacionario (entrada rampa)

• Tarea: realice la misma operación para una señal de entrada parabólica.

2

1)(s

sV


• Error de estado estacionarioTipo de sistema Entrada escalón

unidadEntrada rampa

unidadEntrada parábola

unida

0

1 0

2 0 0

3 0 0 0

sK11

rK

1

aK1


• Error transitorio:– Es el valor del error durante la respuesta del

transitorio. Y se puede hallar restándole al error del sistema el error de estado estacionario.

Error transitorio al escalón.

)(|)()()( 0 sssEsEsE sT


• Perturbaciones (Disturbances):

)()(

1)(

)()( sN

KssV

Ks

KsY

– Perturbaciones. Ejemplo:

• Hallar K y para que la salida del sistema sea críticamente amortiguada y el rechazo a perturbaciones de 1/10. Entradas escalón.

Sistemas de control Perturbaciones

40;400

;1,2

)()()1(

)()(

2

232

K

Knn

sNKsKss

ssV

Kss

KsY

– Perturbaciones • A la salida:

Sistemas de control Perturbaciones

)()(

)()(

)()( sN

Ks

ssV

Ks

KsY

)(

1

s+ +

+

-

V(s) Y(s)

N(s)

Sistemas de control Sensibilidad– Sensibilidad: Variación de la salida en función a

las variaciones en el tiempo del sistema o el control.

• Ejemplo: Señal de entrada Invariante en un sistema a lazo abierto.

)(/)(

)(/)(

sGsG

sYsYSYG

Sistemas de control Sensibilidad– Sensibilidad a lazo cerrado

– Tarea: Hallar la sensibilidad de la salida debido a variaciones en la función de transferencia del control

)(

)(

)(

)(

sY

sG

sG

sYSYG

22 )()(1

)(

)()(1

)()()()()(1)(

)(

)(

)()()(1

)()(

sHsG

sV

sHsG

sVsHsGsHsGsV

sG

sY

sVsHsG

sGsY

)(

)(

)(

)(

sY

sH

sH

sYSYG

sistemas de control ti-2233 miguel rodríguez 4ª clase

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