sistemas de control ti-2233 miguel rodríguez 16ª clase

Sistemas de control TI-2233

Miguel Rodríguez

16ª clase

Ejemplo de sintonización

Sea un sistema de parámetros concentrados, lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la función de transferencia:

)6)(4)(2(

48)(

ssssGp

Se desea calcular los parámetros para los controladores P, PI, PD y PID, mediante los métodos:

Oscilaciones sostenidas Oscilaciones amortiguadas Curva de reacción:

o Ziegler-Nichols o Cohen-Coon o Criterios de desempeño

ISE IAE ITAE


a) Método de oscilaciones sostenidas Para el método de oscilaciones encontraremos la OSK , que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas. Es posible obtener este valor mediante el Lugar Geométrico de las Raíces, o a partir del Criterio de Estabilidad de Routh:


Lugar Geométrico de las RaícesEjemplo de sintonización

Los puntos de interés son los que se muestran en la figura:



Por el criterio de Estabilidad de Routh

El polinomio a utilizar es:

)1(484412)(

48484412)(

48)6)(4)(2()(

)()()(

23

23

KssssP

KssssP

KssssP

sKqspsP


Se obtendrá el Valor de KOS que es la ganancia para la cual el sistema presenta oscilaciones sostenidas, a partir del arreglo de Routh:

)1(48

)1(444

)1(4812

441

0

1

2

3

K

K

K

s

s

s

s

K>=-1

K<=10


Después, se elige a partir del arreglo el primer renglón donde aparece K y se genera el polinomio de los polos imaginaros, esto es:

63.612

528

52812)(

)11)(48(12)(

)1(4812)(

2

2

2

js

ssa

ssa

Kssa OS


Este valor de j6.63 es la frecuencia de oscilación, por lo tanto:

Los parámetros de sintonización son:

segT

Tf

OS

OSOSd

9472.063.6

2

2263.6

9472.0

10

OS

OS

T

K


Y los valores finales son:

Tipo de controlador

Kc Ti Td

P 5 - -

PI 3.01 0.7893 -

PID 3.9 0.4736 0.1184


Respuesta del sistema:

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Td.s+1

Td/10.s+1

Transfer Fcn3

Kc*Ti.s+Kc

Ti.s

Transfer Fcn2

48

s +12s +44s+483 2

Transfer Fcn1

48

s +12s +44s+483 2

Transfer Fcn

Step

Scope

Ejemplo de sintonizaciónb) Método de oscilaciones amortiguadasEn este método se requiere que los polos dominantes tengan un factor de amortiguamiento relativo de 0.2176. el problema se puede resolver analíticamente en forma simbólica. Primero dividimos el polinomio característico entre los dos polos imaginaros con factor de amortiguamiento 0.2176

El residuo tiene que ser cero0212)1(48

0)2(244432

22

nn

nnn

K

)212)1(48())2(2444(

)212(2)212()212(

)1(48)44()212(

)212(

2

2

)1(484412

3222

22

22

22

223

23

nnnnn

nnnnn

nn

n

nn

nn

Ks

ss

Kss

s

ss

sss

Ksss


3036.12

T

3.7922K4.819679,

661683.7922,43.K

11.262304.819679,-

OA

OA

d

d

n

b) Método de oscilaciones amortiguadas

Al resolver las dos anteriores ecuaciones tenemos :

Métodos de sintonización basados en criterios de desempeño

Y los valores finales son:

Tipo de controlador

Kc Ti Td

P 3.7922 - -

PI 3.7922 1.3036 -

PID 3.7922 0.8690 0.2172

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Respuesta del sistema:Td.s+1

Td/10.s+1

Transfer Fcn3

Kc*Ti.s+Kc

Ti.s

Transfer Fcn2

48

s +12s +44s+483 2

Transfer Fcn1

48

s +12s +44s+483 2

Transfer Fcn

Step

Scope


c) Método de la curva de reacción

En este caso es necesario obtener la respuesta al escalón de la planta a partir de:

642)(

1

)6)(4)(2(

48)(

1)()(

s

D

s

C

s

B

s

AsY

sssssY

ssGpsY

esc

esc

esc


Los valores de A,B,C, y D se calculan como sigue:

Así 1)6()(

3)4()(

3)2()(

1)(

1)()(

6

4

2

0

sesc

sesc

sesc

sesc

esc

ssYD

ssYC

ssYB

ssYAs

sGpsY

0,1331)(

6

1

4

3

2

31)(

642

teeety

sssssY

ttt

esc

Ahora determinaremos el punto de inflexión mediante el criterio de la segunda derivada:

Igualamos la 2ª derivada a cero y allí estará el punto de inflexión:


ttt

ttt

eeedt

tyd

eeedt

tdy

6422

2

642

364812)(

6126)(

0364812 642 ttt eee


Haciendo z=e-2t, entonces la ecuacion anterior se puede escribir como:

Cuyas raíces son:

El punto de inflexión está en: t=0.5493, para z3. El valor de la función y(t) =0.2963.

0)143(

03648122

32

zzz

zzz

3/1,1,0 321 zzz

El valor de R es la pendiente de y(t) evaluada en el punto de inflexión.

Y el valor del tiempo de retardo Tm se puede hallar pasando una recta con pendiente Rm por el punto de inflexión.


8889.06126)( 642

5493.0

ttt

t

eeedt

tdy

2159.0)/2963.0(5493.0 mm RT

Tipo de controlador

Kc Ti Td

P 5.2107 - -

PI 4.6896 1.0795 -

PID 6.2529 0.7196 0.1727

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Respuesta del sistema:Td.s+1

Td/10.s+1

Transfer Fcn3

Kc*Ti.s+Kc

Ti.s

Transfer Fcn2

48

s +12s +44s+483 2

Transfer Fcn1

48

s +12s +44s+483 2

Transfer Fcn

Step

Scope

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