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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

MÉTODO DE LÍNEAS DE FLUENCIA EN EL DISEÑO DE LOSAS Y SISTEMAS DE PISO DE

CONCRETO, REFORZADOS CON MALLA Y ARMEX

Guadalupe Moisés Arroyo Contreras1 Y Miguel Ángel Pérez Lara Y Hdez.2

RESUMEN Una alternativa de estructuración en las construcciones de viviendas de interés social es a base de muros de carga, confinados con dalas y castillos reforzados con armex, así como con sistemas de piso de losas de concreto reforzado con malla soportados sobre dalas o trabes reforzadas con armex. En este trabajo se propone predecir el comportamiento de este tipo de sistemas estructurales, sometidos a su capacidad última, a través de la teoría elasto-plástica (método de líneas de fluencia) y su verificación con modelos experimentales de losas y sistemas de piso, construidos con concreto, reforzados con malla y armex, sometidos a carga uniformemente distribuida.

ABSTRACT An alternative for the construction of houses for social interest are the structures based on load walls, confined with small reinforced concrete elements through the use of prefabricated welded steel, and story systems through slabs reinforced with thin steel meshes. In this work, it is presented the yielding lines method to design and analysis this kind of concrete slabs with welded mesh. To asses the reliability of this method and its accuracy, the theoretical results are contrasted against experimental results over a real scale prototype.

INTRODUCCIÓN De acuerdo a lo reportado por Park y Gamble (1994) el método para análisis al límite plástico de losas de concreto reforzado, fue iniciado en 1923 por Ingerselv y mejorado por Johansen en 1943 y no es sino hasta 1962 que es presentado el método en un congreso en Londres. Este método es una buena alternativa para el diseño de losas de cualquier forma, con o sin aberturas, así como para diferentes tipos de carga y condiciones de apoyo. En particular en México, para las construcciones de edificios y casas habitación de interés social, se están usando sistemas de piso a base de losas de concreto reforzado con malla de acero, soportadas sobre dalas y trabes armadas con armex. Dadas las particularidades de homogeneidad en la distribución del refuerzo en este procedimiento constructivo de losas, el método de líneas de fluencia parece ser el más práctico para su análisis y diseño. Las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto del Reglamento de Construcción para el Distrito Federal (NTC-RC-DF, 2004), autoriza tal procedimiento en su parte 6.3.1.1. Método de análisis de losas, con la condición de que el comportamiento bajo condiciones de servicio resulte adecuado en cuanto a deflexión, agrietamiento y vibraciones. Además, si éste es el caso, deben tomarse en cuenta en el diseño de la losa las fuerzas en su plano, que tiene que trasmitir a marcos, muros u otros elementos rigidizantes. Una desventaja del método podría ser la identificación del patrón crítico de líneas de fluencia de la losa y/o de los mecanismo de falla plástica de los sistemas de piso, sin embargo esto puede ser fácilmente resuelto, proporcionando en las ayudas de diseño o consultando la literatura técnica (Park y Gamble, 1994, Arroyo, 2000), los patrones más comunes, cubriendo una amplia variedad de formas, condiciones de frontera y diferentes condiciones de carga, como los propuestos en las publicaciones del Comité Europeo del Concreto. Uno de los objetivos de este trabajo es mostrar algunas experiencias obtenidas en pruebas experimentales de

1 Profesor investigador, Facultad de Ingeniería, UAQ, Centro Universitario, Cerro de las Campanas, C.P.

76010, Santiago de Querétaro, Qro., Telefono (442) 192.12.00, Ext. 6071, [email protected]. 2 Profesor investigador, Facultad de Ingeniería, UAQ, Centro Universitario, Cerro de las Campanas, C.P.

76010, Santiago de Querétaro, Qro., Telefono (442) 192.12.00, Ext. 6067, [email protected].

1

XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2006

validación del método de análisis y diseño al límite plástico: llamado método de líneas de fluencia y/o articulaciones plásticas. Los prototipos experimentales son modelos a escala real de concreto, reforzado con malla soldada y armex, acotados a formas rectangulares y dimensiones del tipo de las casas de interés social, en particular del tipo de: a) Losas planas perimetralmente apoyadas sobre muros de mampostería, b) Losas coladas monolíticamente con las dalas perimetrales y perimetralmente apoyadas sobre muros de mampostería, y c) Sistemas de piso formado por losas coladas monolíticamente con las dalas y apoyadas sobre columnas. Se contempla la posibilidad de huecos. Estos modelos fueron construidos y probados por estudiantes de la carrera de ingeniería civil de diferentes generaciones, con el afán de sensibilizarlos en la certidumbre de nuestros métodos y modelos analíticos con el comportamiento real de las estructuras.

MODELO ANALÍTICO

La teoría de líneas de fluencia se considera como un método del límite superior. Las hipótesis más importantes en esta modelación son las siguientes: - La Carga última o crítica se estima suponiendo un mecanismo de colapso plástico por flexión (estado límite plástico), - Los momentos en las líneas de fluencia o de articulaciones plásticas (tipo articulación lineal o bisagras plásticas) son los momentos máximos de resistencia de fluencia de las secciones, - La carga última se determina usando el principio del trabajo virtual - No se examinan las regiones entre las líneas de articulaciones plásticas(movimiento de cuerpo rígido de los bloques), -Es preciso examinar todos los posibles mecanismos de colapso para garantizar la carga crítica y -Se impide la falla por cortante. Una hipótesis adicional del método de líneas de fluencia es la homogeneidad en el refuerzo del material de concreto. Para que lo anterior se cumpla la característica del refuerzo se establece como sigue. Las losas deben ser uniformemente reforzadas. En losas reforzadas en dos direcciones ortogonales, el refuerzo puede ser diferente en las dos direcciones y diferente el refuerzo de arriba (de momento negativo) al de abajo (de momento positivo) de la losa. El área de la sección de refuerzo por ancho unitario se supone constante. Para la identificación del patrón de líneas de fluencia o estado límite que forma un mecanismo de falla plástica de la losa se requiere realizar pruebas experimentales del prototipo de interés o identificar a priori por inspección dicho mecanismo y estudiarlo analíticamente aplicando métodos energéticos. También se puede deducir dicho patrón de falla, realizando análisis elasto-plásticos paso a paso del sistema estructural plano. Afortunadamente, para las losas más comunes existen en la literatura una gama amplia de casos estudiados, donde se determina dicho patrón y/o mecanismo de falla plástica, así como la expresión de la carga última, para diversas formas, distintas condiciones de carga y condiciones de frontera (CEB, 1972). Para la identificación del estado límite plástico o patrón de líneas de fluencia que forman un mecanismo de colapso plástico se pueden aplicar los métodos: - Experimental (Historia de carga con pruebas de carga, en la literatura existe una gran variedad de patrones tipo de mecanismo de falla) y Analíticamente (análisis elasto-plásticos). Para la representación gráfica tanto de la losa y como de los posibles patrones de líneas de fluencia existe la siguiente convención:

Borde libre Borde simplemente apoyado Borde fijo (empotrado)

Columna Eje de giro (rotación)

Línea de fluencia de momento positivo Línea de fluencia de momento negativo

A partir del análisis de la geometría de las deformaciones se deducen tres reglas básicas para la determinación del patrón de líneas de fluencia: a) Las líneas de fluencia deben ser líneas rectas que constituyen ejes de rotación, b) Los apoyos de las losas actúan como ejes de rotación, un eje de rotación puede pasar sobre una columna, y c) Para que haya compatibilidad en las deformaciones una línea de fluencia debe pasar por la

2


El momento de resistencia máxima (o momento resistente plástico) en las secciones de las líneas de fluencia (bisagras plásticas) se puede obtener fácilmente si la línea de fluencia corre perpendicularmente al refuerzo, es decir:

intersección de los ejes de rotación de los segmentos adyacentes. Una vez desarrollado un mecanismo de colapso los segmentos de la losa entre líneas de fluencia se comportan como cuerpos rígidos planos. MOMENTO RESISTENTE MÁXIMO EN UNA SECCIÓN PERPENDICULAR AL REFUERZO

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

''5.0

cbf

yfsAdyfsAum (1)

donde: es el momento último de resistencia plástica por ancho unitario, esfuerzo de fluencia del

refuerzo, el área de acero a tensión (por ancho unitario), b ancho unitario (100 cm, 1m), d la distancia del

centroide del acero a tensión a la fibra extrema del concreto a comprensión (peralte efectivo) y esfuerzo a comprensión del concreto.

um yf

sA'

cf

MOMENTO RESISTENTE MÁXIMO EN UNA SECCIÓN CON UNA ORIENTACIÓN CUALESQUIERA RESPECTO AL REFUERZO Para una línea de fluencia que cruza el refuerzo con un ángulo α cualquiera (ver figura 1), se puede proceder como sigue (Johansen): a) El refuerzo se coloca en dos direcciones ortogonales que pueden ser x e y, b) La línea de fluencia tiene una inclinación α respecto a y, c) Una línea escalonada puede sustituir a la línea real de fluencia, que consiste en una serie de escalones en las direcciones x e y, d) Los momentos de torsión en las direcciones x ó y son cero y e) El acero a tensión que cruza la línea de fluencia alcanza la cedencia. Por equilibrio de fuerzas o momentos se puede obtener el momento máximo resistente por ancho unitario que actúa normalmente a una línea de fluencia que cruza al refuerzo con un ángulo α cualquiera (ver figura 1):

αα 22 sencos uyuxun mmm += (2)

FIGURA 1 Momentos resistentes en una sección cualesquiera de losa

De la misma manera se obtiene el momento de torsión por ancho unitario que actúa a lo largo de la línea de fluencia (ver figura 1):

( ) αα cossenuyuxunt mmm −= (3)

3


Sí los momentos flexionantes en las direcciones x y y son diferentes, m mux uy≠ , se tiene una losa ORTOTRÓPICA o reforzada ortotrópicamente. Si los momentos flexionantes en las dos direcciones x y y son iguales, m , se obtiene lo siguiente: mux uy=

0)(cos 22

=

==+=

unt

uyuxuxun

mmmsenmm αα (4)

A este tipo de losa se le llama ISOTRÓPICA, o que está reforzada isotrópicamente. ECUACIÓN DE EQUILIBRIO DEL TRABAJO VIRTUAL La obtención de la carga crítica que produce un mecanismo, se realiza considerando que el trabajo de las fuerzas externas que lo producen es igual al trabajo de las fuerzas internas que tratan de evitarlo, un diferencial de tiempo después de que se presenta. El trabajo realizado por una carga crítica (última o máxima) uniformemente distribuida por área unitaria w está dado por la expresión (trabajo externo): u

( ) ∆== ∑∫∫ uue Wdxdyyxww ,δ (5)

donde: es la carga última, uniformemente distribuida por área unitaria, uw ),( yxδ los desplazamientos en

todos los puntos de la losa, w la carga total sobre un segmento del patrón de líneas de fluencia y u ∆ el desplazamiento en el centroide del área de dicho segmento. El trabajo realizado por las acciones internas en las líneas de fluencia se debe solamente a los momentos flexionantes, ya que el trabajo efectuado por los momentos de torsión y las fuerzas cortantes son iguales a cero cuando se suman sobre toda la losa, o se auto equilibran internamente. El trabajo interno en cada línea de fluencia se expresa como:

0lmw nuni θ= (6) donde: es la rotación relativa (o giro) al rededor de la línea de fluencia entre dos segmentos, m el momento último de resistencia por ancho unitario y lo la longitud de la línea de fluencia.

nθ un

La igualdad de los Trabajos Virtuales del mecanismo se puede entonces expresar como:

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

=∆−=−

==∆=

00

0

ununei

nuniue

Wlmwwo

lmwWw

θ

θ (7)

LOSAS RECTANGULARES ORTOTRÓPICAS Para el caso de losas rectangulares, con refuerzo paralelo a los lados de la losa, en la dirección x e y, el problema se puede tratar como sigue. Para una línea de fluencia, con un ángulo α de inclinación respecto al eje y, donde los segmentos de la losa experimentan una rotación relativa nθ alrededor de la línea de fluencia, el trabajo interno está dado por:

∑ onun lm θ (8) Este trabajo interno también se puede expresar a través de las componentes de m , como sigue: un

4


[ ]∑∑==

+=nl

iyuyxux

nl

nnun iiiiii

xmymlm1

001

0 θθθ (9)

donde xθ y yθ son las componentes de nθ , en las direcciones de x e y, y e son las longitudes proyectadas de la línea de fluencia en las direcciones de x e y.

0x 0y

[ ] [ ]∑∑∑===

+=∆nl

iyuy

nl

ixux

nb

iiu iiiiiii

xmymW1

01

01

θθ (10)

Determinar la carga última uniformemente distribuida por área unitaria, , de losa rectangular, simplemente apoyada en su periferia, ortotrópicamente reforzada, con momentos últimos positivos por ancho unitario,

y , en las direcciones de los claros largo y corto, respectivamente. En la figura siguiente se muestra un patrón de líneas de fluencia.

uxm

uym

Losa rectangular uniformemente cargada Para obtener los trabajos interno y externo, se aplica al centro de la losa un desplazamiento pequeño δ hacia abajo, perpendicular al plano de la losa, como se muestra en la figura 2. A partir de la igualdad de los trabajos se puede deducir la carga última o máxima uniformemente por área unitaria:

22/12/12

2 3

24

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

uy

ux

x

y

x

y

uy

uxy

uyu

mm

ll

ll

mml

mw

(11)

Figura 2 Losa rectangular

MECANISMO EN SISTEMAS DE PISO Para el caso de sistemas de piso formados de losas planas, perimetralmente soportadas por vigas y éstas a su vez apoyadas sobre columnas en sus extremos (ver figura 3), existe la posibilidad que se presenten mecanismos compuestos de falla plástica o colapso de las vigas y losa, es decir mecanismo de sistema de piso, como los mostrados en las figuras 4 y 5. En este sistema de piso con un losa cargada uniformemente, los momentos últimos de resistencia de las vigas en la dirección x e y son y , así como, y , son respectivamente los momentos últimos de

resistencia por ancho unitario de losa, en las direcciones x e y, y la carga última por área unitaria.

uxM uyM uxm uym

uw

5


Figura 3 Losa soportada por trabes o dalas perimetrales y columnas

Figura 4 Mecanismo de sistema de piso

Figura 5 Mecanismo de sistema de piso y Sección transversal

Tomando en cuenta el mecanismo mostrado en la figura 5 se obtiene la ecuación de equilibrio o igualdad de trabajos de dicho modo o mecanismo como sigue:

( ) ( )

( )2

442

2,22

2222

δδδ

δθδθθ

yxux

yuxx

ux

xy

xuEyuxuxI

llwl

lml

M

ldondel

lwwlmMw

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==+= (12)

La carga crítica se obtiene despejando esta variable de la ecuación anterior:

22

816

x

ux

xy

uxu l

mll

Mw += (13)

Existe la posibilidad de que se presente el típico mecanismo de losa, donde el soporte perimetral tipo viga es lo suficientemente rígido que hace que las líneas de fluencia se presente sólo en la losa, como se muestra en la figura 2. La carga crítica asociada a este mecanismo se obtiene con la ec. 11. También es posible que las resistencias de las vigas y la losa, sean tales que los tres modos tengan la misma carga última, en este caso, se presenta el modo combinado de los mecanismos anteriores. El modo crítico es el modo con la menor carga última de los tres mecanismos analizados.

MODELO EXPERIMENTAL Los modelos y pruebas experimentales se fueron realizando a través de proyectos finales del curso Concreto II, de los alumnos del 9 semestre de la carrera de ingeniería civil de la FI-UAQ. Lo anterior con el afán de que los alumnos verificaran si los métodos de diseño aprendidos durante el curso predicen razonablemente el comportamiento real de los elementos y sistemas estructurales. LOSA PLANA PERIMETRALMENTE APOYADAS SOBRE MUROS DE MAMPOSTERÍA En este caso se probaron dos tipos de losas: el prototipo 1 que consiste en una losa plana maciza, simplemente apoyada en su periferia sobre muros de mampostería y el prototipo 2 del mismo tipo que el modelo 1, con la diferencia que este último modelo 2 tiene un hueco rectangular a un metro de distancia de uno de los lados cortos. Prototipo 1 Para la construcción de este modelo, así como en las pruebas de carga y descarga, participaron respectivamente tres generaciones de alumnos del 9º semestre de: diciembre de 2001, junio 2002 y diciembre

6


2002. Esta losa de forma rectangular, de 5 m x 4 m, con espesor de 100 mm, reforzada isotrópicamente con doble malla soldada 66 - 1010, simplemente apoyada sobre muros de mampostería, se puede observar en la figura 6 y foto 1. Las propiedades mecánicas de los materiales que se consideran son:

( )32''2'22

3'''2)2

/4.2,/136,/200,/22.1,/000,5

/24,6.13,20,/10(22.1,500

mtoncmkgfcmkgfmcmAcmkgf

mkNMPafMPafmmmAMPaf

cccsy

cccsy

=====

=====

γ

γ

La resistencia de una sección transversal de la losa se obtiene como (ec. 1):

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )mtmmN

MPammMPammmmMPamm

bffA

dfAmc

ysysu

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

535.010(35.5

6.1310005001225.0905001225.0

6

22

''

Dado el mecanismo de falla plástico potencial (figura 6), se puede obtener la igualdad de trabajos; por un lado, el trabajo externo de las cargas (fuerzas externas) que producen dicho mecanismo, por otro lado, el trabajo interno de las fuerzas resistentes que tratan de evitarlo. Se puede también trabajar en forma indirecta con el equilibrio de fuerzas o momentos, es decir con el equilibrio momentos externo e interno, producidos respectivamente por las cargas y resistencias, respecto a los ejes de giro. La carga crítica es por tanto:

( )( )

( )( )( )( )

23232 /657.0

4453535.02445

324

mtonxxlll

mllw

yyx

uyxu =

−+

=−

+=

Figura 6 Mecanismo de falla Foto 1 Alumnos del 9º semestre, junio de 2002

La carga crítica predicha por el modelo analítico, necesaria para producir el mecanismo de falla del modelo experimental, deduciendo el peso propio de la losa, es, por tanto:

( ) ( )

( ) ( )tonkNmmkNW

mtonmkNmmkNmkN

cr

cr

34.84.8320/17.4

/417.0/17.41.0/24/57.6

22

2232

==

=−=ω

El proceso de fabricación del modelo, la instrumentación a través de micrómetros, la prueba de carga y el mecanismo identificado, se pueden apreciar en las fotos 2. Los resultados de la prueba de carga se pueden observar en la tabla 2 y gráfica 1. Como se puede apreciar en esta tabla 2, la primera prueba de carga se realizó hasta alcanzar la carga de 148.2 kN (14.8 ton) o

( ), provocando una deformación permanente en la losa de 21.1mm, mostrado con la descarga total. En la segunda prueba de carga, se alcanzó la carga total de falla del modelo,

2/41.7 mkNcr =ω 2/741.0 mtoncr =ω

7


de 160 kN (16 ton) o ( ), a diferencia de la carga esperada de 83.4 kN (8.34ton) o ( ). En ambas pruebas se alcanzaron respectivamente cargas de 178 % y 192 %. De acuerdo a estos resultados, la predicción de la carga con el modelo analítico fue del 52 % de la carga alcanzada.

2/8 mkNcr =ω 2/8.0 mtoncr =ω2/17.4 mkNcr =ω 2/417.0 mtoncr =ω

9º semestre de diciembre de 2001

9º semestre de junio de 2002

9º semestre de diciembre de 2002 Foto 2 Ilustración del proceso de fabricación y prueba experimental

Tabla 1 Resultados de la prueba de carga-

descarga y carga de falla Carga

( )2/ mkN2/ m Carga ( kg )

Lecturas del Micrómetro A

(mm) 1.755 175.5 6.23 3.755 375.5 19.23 5.088 508.8 26.43 7.409 740.9 39.53 5.588 558.8 25.33 3.760 376.0 21.33

0.0 0.0 21.09 2.00 200 37.40 4.00 400 54.39 5.00 500 62.40 5.50 550 66.64 6.00 600 71.11 7.00 700 80.12 8.00 800 111.09

0

1

23

4

5

67

8

9

0 20 40 60 80 100 12

Deflexión (mm)

Car

ga (k

N/m

2)

0

Gráfica 1 Historias de carga - deformación

8


Prototipo 2 El prototipo 2 consiste en una losa plana de concreto, reforzada isotrópicamente con malla soldada 66-1/4 1/4, con un hueco sesgado a la derecha, simplemente apoyada sobre muros de mampostería. Las propiedades geométricas de este modelo se pueden observar en la figura 7 y foto 3. Algunas propiedades de los materiales se dan a continuación:

( )32''2'22

3'''2)2

/4.2,/136,/200,/08.2,/000,5

/24,6.13,20,/10(08.2,500

mtoncmkgfcmkgfmcmAcmkgf

mkNMPafMPafmmmAMPaf

cccsy

cccsy

=====

=====

γ

γ

La resistencia de una sección transversal de la losa se obtiene como (ec. 1):

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )mtmmN

MPammMPammmmMPamm

bffA

dfAmc

ysysu

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

896.010(96.8

6.1310005002085.0905002085.0

6

22

''

Figura 7 Losa plana, de concreto reforzado con malla, con un hueco y perimetralmente simplemente apoyada sobre muros de mampostería, diciembre de 2005

Foto 3 Alumnos del 9º semestre, de

diciembre de 2005

Dado el mecanismo de falla plástico potencial (figura 7, con líneas de fluencia en rojo), se puede obtener el equilibrio o igualdad de los trabajos. También se puede trabajar en forma indirecta con el equilibrio de fuerzas, es decir con el equilibrio momentos externo e interno, producidos respectivamente por las cargas y resistencias, respecto a los ejes de giro. Las cargas externas resultantes en cada uno de los bloques de concreto que forman el mecanismo, se pueden obtener a través del peso propio y de la carga uniformemente distribuida por unidad de superficie que va a soportar. En particular los bloques de este mecanismo son trapecios, por tanto el área y la distancia al centroidal se obtienen como se muestra en la figura 8. Las superficies de cada bloque y las distancias centroidales se muestran en la tabla 2. Los momentos externo e interno de las fuerzas son respectivamente:

UUe yAyAyAyAM ωω 45.11)( 44332211 =+++=

( ) ( ) ( ) uxuyuxi mmmM 2.11]15.2215.12[15.14 =++=

9


( )

)(3]2[

21

babahy

hbaA

i

i

++

=

+=

Figura 8 Superficie trapezoidal

Tabla 2 Áreas y distancias centroidales de los bloques de concreto Bloque Área ( )2m Distancia iy ( )m

1 4.083 0.486 2 4.083 0.486 3 3.335 0.499 4 6.235 0.933

Total: 17.736 Igualando los momentos y despejando la carga crítica por unidad de superficie se tiene:

22 /76.8/)96.8(978.0978.045.11

2.11

2.1145.11

mkNmkNmm

m

uxux

u

uxu

====

=

ω

ω

La carga por unidad de superficie producto del peso propio de la losa es:

( ) 23 /4.2/241.0 mkNmkNmc ==ω Por tanto, la carga crítica predicha por el modelo analítico, necesaria para producir el mecanismo en el modelo experimental es:

( ) kNmmkNW

mkNmkNmkN

cr

cr

8.112736.17/36.6

/36.6/4.2/76.8

22

222

==

=−=ω

El proceso de fabricación del prototipo, la instrumentación a través de micrómetros, la prueba de carga y el mecanismo identificado, se pueden apreciar en las fotos 4. Los resultados de la prueba de carga se pueden observar en la tabla 3 y gráficas 2. Como se puede apreciar en la tabla 3, la carga total de falla fue de 100 kN (10 ton) o ( ), a diferencia de la carga esperada de 112.8 kN (11.28 ton) o ( ). Cabe señalar que los bultos fueron pesados el día anterior a la prueba y no durante el proceso de carga, como es la recomendación. En este caso, por el error antes mencionado, no se consideró la sobre carga por humedad, dado que en la noche llovió y humedeció los bultos. Por lo anterior, la carga crítica de prueba quedo escasa, del orden de un 89 % de la predicha por el modelo analítico. Finalmente, se hace también la observación que se toma la resistencia nominal o analítica a flexión de la losa, y no la resistencia de diseño, que debe ser afectada por un factor de reducción para flexión de 0.9.

2/64.5 mkNcr =ω 2/564.0 mtoncr =ω2/36.6 mkNcr =ω 2/636.0 mtoncr =ω

Tabla 3 Resultados de la prueba de carga

Carga (kN) Lecturas del Micrómetro A

(mm)

Lecturas del Micrómetro B

(mm) 35.41 2.46 0.86 71.45 8.31 3.58 83.13 33.01 9.12

100.05 55.11 24.29

10


Foto 4 Ilustración del proceso de fabricación y prueba experimental

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60

Deflexión (mm)

Car

ga (k

N)

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

Deflexión (mm)

Car

ga (k

N)

Gráfica 2 Historias de carga deformación, en los puntos A y B

LOSA COLADA MONOLÍTICAMENTE SOBRE DALAS PERIMETRALES, APOYADAS PERIMETRALMENTE SOBRE MUROS DE MAMPOSTERÍA El prototipo de esta losa es similar al modelo anterior, prototipo 2 (figura 7), con la única diferencia es que la losa se coló monolíticamente con una dala perimetral, armada ésta última con armex (figura 9 y foto 5). Cabe señalar que no se colocó acero de refuerzo negativo en la periferia de la losa, ni un doble lecho de malla.

Figura 9 Sección transversal de la losa

Foto 5 Alumnos del 9º semestre, julio de 2006 Considerando un peso específico del concreto de ( )33 /3.2/3.2 mtonmkNc =γ y un esfuerzo de compresión para el concreto de ( )2' /1355.13 cmkgMPafc = y ( )2'' /8.911.9 cmkgMPafc = , de acuerdo al promedio de las pruebas de 3 cilindros a los 28 días, el mismo día que la prueba de carga de la losa (ver foto 6), la resistencia de una sección transversal de la losa se obtiene como:

11


( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )mtmmN

MPammMPammmmMPamm

bffA

dfAmc

ysysu

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

877.010(77.8

18.910005002085.0905002085.0

6

22

''

El proceso de fabricación de este modelo se muestra en las fotos 7, la instrumentación a través de micrómetros y la medición de la deflexión inmediata en las fotos 8, la prueba de carga y descarga, así como el patrón de grietas, se pueden apreciar en las fotos 9. Igualando los momentos provocados por las cargas y resistencias, se puede despejar la carga crítica por unidad de superficie de esta igualdad, como sigue:

( )222 /858.0/58.8/)77.8(978.0978.045.11

2.11mtonmkNmkNm

mux

uxu ====ω

Foto 6 Pruebas de resistencia del concreto

Foto 7 Construcción del modelo

Por tanto, la carga crítica predicha (restando el peso propio del modelo) por el modelo analítico, necesaria para producir el mecanismo en el modelo experimental es:

( )2222 /628.0/28.6/3.2/58.8 mtonmkNmkNmkNcr =−=ω

( ) ( )tonkNmmkNWcr 14.114.111736.17/28.6 22 ==

12


Foto 8 Medición de la flecha inmediata e instrumentación del modelo

Foto 9 Prueba de carga y descarga, así como patrón de falla

Los resultados de esta prueba de carga y descarga se pueden observar en la tabla 4. Como se puede apreciar la carga total máxima de la prueba de carga fue de 90% de la carga crítica esperada, es decir 100.7kN (10.07 ton) o ( ), de los 111.4 kN (11.14 ton) calculados o

( ). Esta prueba se realiza con el afán de poder ver el comportamiento de la losa en la descarga del modelo. El patrón de falla previsto se identificó a través de las grietas y líneas de fluencia que se estaban presentando (ver foto 9). La descarga fue total, quedando un deformación permanente de 0.3175 cm en el punto 2 de la losa y una recuperación de la deformación elástica, en ese mismo punto, de 1.091 cm.

2/68.5 mkNcr =ω 2/568.0 mtoncr =ω 2/28.6 mkNcr =ω2/628.0 mtoncr =ω

Tabla 4 Resultados de la prueba de carga y descarga

Carga (kN)

Lectura Micrómetro No 1 (mm)


Descarga (kN)



0 0 0 100.66 8.13 14.08 20.06 0.46 0.43 90.49 7.95 12.95 30.25 0.67 0.95 80.55 7.87 12.83 40.25 0.89 01.30 70.39 7.47 12.50 50.23 01.45 02.08 60.25 6.73 11.46 60.37 01.96 02.62 49.97 5.97 10.29 70.42 02.26 03.33 40.05 4.90 8.92 80.57 02.82 04.22 30.13 3.68 7.26 90.68 03.01 05.66 19.93 2.92 6.17

100.66 08.13 14.08 10.21 2.11 5.13 0 0.66 3.175

Cabe señalar, que gracias a la dala perimetral de concreto, esta losa tiene un mejor desempeño que la losa sin dala perimetral, dada la restricción al giro en la periferia de la losa, aportada por la dala, aun cuando no se puso refuerzo negativo en la losa. Por otro lado, se hace también la observación que se toma la resistencia nominal o analítica de flexión de la losa, y no la resistencia de diseño, que debe ser afectada por un factor de reducción para flexión de 0.9.

13


A diferencia del caso anterior, la aproximación es de más del 92% de la carga esperada, sin haber alcanzado, en este caso, el mecanismo plástico de falla, que en una prueba posterior de carga al límite de capacidad del modelo, se verificará. SISTEMAS DE PISO FORMADO POR UNA LOSA COLADA MONOLÍTICAMENTE CON LA DALA PERIMETRAL, APOYADAS SOBRE COLUMNAS BASE Para sistemas de piso del tipo de losas planas soportadas sobre dalas perimetrales y columnas en las esquinas, en este trabajo se presentan dos casos experimentales estudiados. Modelo Experimental 1 El prototipo de sistema de piso se muestra en la foto 10. Este sistema está formado por una losa de concreto de 80 mm de espesor, armada en la parte central con dos mallas soldadas 66-66 superpuestas, perimetralmente soportada por una viga o cadena o dala de 150 mm por 200 mm, armada con armex de 100x200, estas trabes están soportadas a su vez por columnas, tipo bases de carga (ver figura 10 y foto 10).

Figura 10 Sistema de piso formado de una losa plana, perimetralmente apoyada en una dala y columnas en las esquinas

Foto 10 Losa construida y probada por Alumnos del 9º semestre, junio de 1999

Para darle a las equinas de la losa un rigidez mayor, que sirvan no sólo de apoyo sobre las columnas sino que simule la continuidad que debería de haber entre losa, dalas y columna, las dalas de las equinas se ampliaron en 200 mm de espesor y una longitud a ambos lados de cada esquina en 500 mm (ver figura 10 y foto 10). Considerando un esfuerzo de compresión para el concreto de ( )2' /15015 cmkgMPafc = y

( )2'' /1022.10 cmkgMPafc = , la resistencia de una sección transversal de la losa se obtiene como:

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )mtmmN

MPammMPammmmMPamm

bffA

dfAmc

ysysu

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

787.010(87.7

2.1010005002465.0705002465.0

6

22

''

La resistencia de la trabe se obtiene como:

14


( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )mtmmN

MPammMPammmmMPammM u

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

708.01008.7

2.101506005.565.02206005.56

6

22

El proceso de montaje e instrumentación de este prototipo se muestra en las fotos 11, por otro lado, la prueba de carga y el patrón de falla, se pueden apreciar en las fotos 12. La carga crítica para este tipo de mecanismo se obtiene con la ecuación 13:

( )( )

( )( )

( )222222 /656.0/56.6408.0248.0

93.3/87.78

93.396.208.716816

mtonmkNm

mmkNmm

mkNlm

llM

x

ux

xy

uxu =+=

−+

−=+=ω

( )

( ) ( ) ( )tonkNmxmkNW

mtonmkNmkNmkN

cr

cr

84.44.4893.396.2/16.4

/416.0/16.4/4.2/56.6

22

2222

==

=−=ω

Foto 11 Montaje e instrumentación del modelo

Foto 12 Prueba de carga y patrón de falla del modelo

Los resultados de esta prueba de carga y descarga se pueden apreciar en la tabla 5. Como se puede observar en esta tabla, la carga por unidad de superficie total máxima de la prueba de carga fue de 151% la carga crítica calculada, es decir (6.3/4.16)100. En este caso, ésta sobre carga pudo estar siendo absorbida por las trabes de las esquinas de doble peralte y trasmitida directamente a las columnas-base, dado que la carga (sacos de arena de aproximadamente 500 N (50 kg) se distribuyó sobre toda la superficie disponible. El patrón de falla esperado (ver figura 5), que consiste en una línea de fluencia a lo largo del claro corto y articulaciones plásticas de la dalas, se dio a 500 mm del centro del claro largo. Este sesgo puedo ser causado por la interrupción de una de las mallas, dado que se tenía doble refuerzo sólo en un ancho de 1.8 m. En este sistema de piso también se observó el comportamiento de la losa en la descarga total, quedando una deformación vertical permanente, al centro de la losa, de 24.7 mm, con una recuperación elástica de 23 mm.

15


Tabla 5 Resultados de la prueba de carga y descarga Etapa Carga

(kN) Acumulada

(kN) Carga

distribuida 2/ mkN

Deformación al centro de la losa

(mm)

Deformación al centro de la trabe

(mm)

1 24.252 24.252 1.911 5.11 4.27 2 23.864 48.116 3.792 17.62 14.81 3 23.709 71.825 5.661 31.27 30.20 4 0.7619 79.944 6.300 47.77 - 5 0 0 0 24.77 -

Modelo Experimental 2 A diferencia del caso anterior (modelo experimental 1) este modelo contempla una losa con un hueco de sección cuadrada al centro del claro, de un 1 m de lado. Por facilidad constructiva, la losa se coló in situ, monolíticamente con una dala perimetral sobre puesta, como se muestra en la foto 13. Esta losa tiene un espesor de 8 cm, armada con doble malla 66-1010, soportada por la dala perimetral de 15x15cm, reforzada con armex de 10x10 y un concreto de ( ) ( )2´´2' /1366.13,/20020 cmkgMPafcmkgMPaf cc == y

( )33 /3.2/23 mtonmkNc =γ . Este sistema de piso está soportado por cuatro columnas base, como se puede observar en la figura 11 y foto 13. La resistencia de una sección transversal de la losa se obtiene como (ec. 1):

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )mtmmN

MPammcmcmkgcm

bffA

dfAmc

ysysu

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

413.010133.4

6.1310005001225.070/5001225.0

6

222

''

Figura 11 Losa plana con un hueco al centro

Foto 13 Sistema de piso sobre columnas, construido y probado por alumnos del 9º semestre, enero de 2006 y mecanismo de falla

La resistencia de la trabe se obtiene como:

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )mtmmN

MPammMPammMPammM u −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 385.010854.3

6.131506005.565.01226005.56 6

22

La carga crítica del mecanismo del sistema de piso, mostrado en la figura 11, se puede obtener como sigue:

( ) ( )( ) ( )xx

xxy

xuyuxux

EI

ldonde

lll

lllll

lwllmM

ww

δθδδθθ 2,22222

2222 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−+

=

16


( ) [ ]

[ ] ( )[ ]llmMlllll

llllll

wl

llml

M

yuxuxxyx

u

xyxx

u

xyux

xux

−++−

=

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

81621

22

442

322

322

ω

δδδ

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( )222 /311.0/11.31313.4885.316

1142341 mtonmkNu =−+

+−=ω

( ) ( )

( ) ( ) ( )tonkNmxmkNW

mtonmkNmmkNmkN

cr

cr

524.124.11543/27.1

/127.0/27.184.111.308.0/23/11.3

22

2232

==

=−=−=ω

Los resultados de esta prueba de carga se pueden apreciar en la tabla 6. Como se puede observar en esta tabla, la carga por unidad de superficie total máxima de la prueba de carga fue de 364% la carga crítica calculada, es decir (4.62/1.27)100. En este caso, el mecanismo previsto no contempla la línea de fluencia de momento negativo que se presentó en el apoyo del lado corto, que por errores constructivos quedo empotrado en una superficie mayor a la prevista, impidiendo el giro de la dala y losa, por otro lado, no se colocó refuerzo negativo en la losa, por lo tanto, la sobre carga estuvo siendo absorbida por la capacidad de la viga L (sección transversal formada por la dala y parte de la losa) a la torsión.

Tabla 6 Resultados de la prueba de carga

Carga (kN) Carga distribuida

2/ mkN Lecturas del Micrómetro A

(mm)

Lecturas del Micrómetro B

(mm) 5.40 0.450 4.2 0.6

13.04 1.087 11.65 8.55 18.99 1.583 16.3 12.55 22.29 1.858 19.3 16.45 27.49 2.291 28.40 25.2 33.32 2.777 39.1 30.7 38.49 3.208 43.1 38.1 44.94 3.745 55.41 4.618

CONCLUSIONES En zonas de bajo riesgo sísmico los sistemas constructivos hechos con materiales económicos pueden ser amplia y confiablemente utilizados para fines prácticos, si se analizan y diseñan con métodos simples y confiables, como el propuesto en este trabajo. Este método de análisis y diseño de líneas de fluencia predice razonablemente el comportamiento de las losas y sistemas de piso de concreto, losas reforzadas con malla soldada y trabes armadas con armex. Es recomendable seguir estudiando el comportamiento de este tipo de elementos estructurales, realizando pruebas experimentales formales de una gama más amplia de prototipos, para validar y mejorar lo propuesto. Cabe remarcar que se está creando un ambiente académico favorable para desarrollar líneas de trabajo e investigación sobre modelación experimental de nuevos materiales, elementos y sistemas estructurales, así como de procesos constructivos alternativos, con el cuerpo académico de estructuras-construcción-transporte de la Facultad de Ingeniería, de la UAQ. Esta área de trabajo, de la línea de investigación de modelación analítica y experimental de sistemas físicos, permitirá realizar estudios encaminados a la normatividad de las construcciones en el Estado de Querétaro y Región del Bajío. Finalmente, algunos servicios externos que se han realizado con apoyo de esta Facultad en la Región y cd. de Stgo. de Querétaro, de revisión de la seguridad estructural de algunas construcciones, a través de pruebas de carga, entre otros métodos, a propiciado también la necesidad de apoyar estas áreas de trabajo.

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REFERENCIAS Arroyo G. M. y Ríos R. (2000), “Método de líneas de fluencia en el diseño de losas de concreto reforzadas con malla soldada”, XII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, León, Gto. Arroyo G. M. (2000), “Notas de Concreto II”, FI-UAQ, Querétaro, Qro., México. CEB (1972), “Dalles et Structures Planes”, Recommandations Comité Européen du Béton, Tome 3. NTC-RC-DF (2004), “Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras de concreto”, Gaceta Oficial del Departamento del Distrito Federal, México. Park R. y Gamble N.L. (1994), “Losas de concreto Reforzado”, Limusa, Noriega Editores, México, Capitulo 7 y 8.

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