sistema electrificación ferroviaria

PROYECTO FIN DE CARRERA

SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V

AUTOR: JOSÉ IGNACIO PRADA VÁZQUEZ

MADRID, SEPTIEMBRE 2009

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

Autorizada la entrega del proyecto al alumno:

José Ignacio Prada Vázquez

EL DIRECTOR DEL PROYECTO

Pablo García González

Fdo: Fecha:

Vo Bo del Coordinador de Proyectos

Michel Rivier Abbad

Fdo: Fecha:

I.- Resumen

SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V

Autor: Prada Vázquez, José Ignacio

Director: García González, Pablo

RESUMEN DEL PROYECTO

Actualmente, Los sistemas ferroviarios de tracción eléctrica pueden sufrir

de importantes caídas de tensión, debidas principalmente a la explotación de la

línea por encima de la potencia a la que está diseñada. Cuando se trata de un

sistema de corriente continua, donde hay una catenaria, unas vías, y varias

subestaciones a lo largo del trayecto que mantienen una tensión constante,

existen dos maneras usuales de ampliar la potencia eléctrica.

La primera solución, consiste en instalar un cable adicional sobre la

catenaria ya existente, de modo que se reduce la resistencia total del conductor

de la corriente. La segunda solución es instalar una subestación de potencia

adicional en el tramo donde haya más caídas de tensión. Esta solución es más

efectiva que la primera, pero necesita una conexión a la red eléctrica. En muchas

ocasiones, esa conexión puede ser tan costosa, que la ampliación sea inviable

económicamente.

Este proyecto analiza una nueva solución denominada 2x3000V, porque el

escenario utilizado de base ha sido un sistema ferroviario de tensión nominal de

3000V. Consiste en instalar entre dos subestaciones de un tramo de vía, un cable

auxiliar que tiene una tensión de -3000V, opuesta al valor nominal de la

catenaria. En el lugar donde se emplazaría una subestación, ahora se instala un

convertidor CC/CC, cuya tensión de entrada es de 6000V, entre el cable auxiliar

y la catenaria, y la tensión de salida está situada entre la vía y la catenaria. Si el

convertidor se controla adecuadamente, se puede mantener una tensión constante

SISTEMA DE ELECTRIFICACIÓN FERROVIARIA 2X3000V RESUMEN, FIGURAS, TABLAS, BIBLIOGRAFÍA.

Página 1

sobre el sistema, del mismo modo que lo haría una subestación y sin necesidad

de incurrir en los costes de conexión a la Red Eléctrica.

El estudio está centrado en el convertidor CC/CC. El objetivo es diseñar

un control que pueda mantener la tensión principal a 3000V sin que las

intensidades internas superen el valor máximo del aparato. Para ello, se diseña

un control en cascada, es decir, un control de tensión y un control de intensidad

situados en serie. El primero, proporciona el valor de intensidad necesario para

mantener la tensión de referencia. El segundo restringe ese valor al máximo

permitido y proporciona el factor de servicio del convertidor.

Para analizar la respuesta del sistema ferroviario ante variaciones de

tensión y de corriente, se utiliza Matlab-Simulink. Con este programa

informático, se puede esquematizar el circuito eléctrico completo del sistema,

incluyendo las subestaciones, vías, catenaria, cable auxiliar y el convertidor

CC/CC. Se deben modelizar todos los elementos del sistema de forma que sea

lineal matemáticamente, sin discontinuidades para así obtener la representación

dinámica de estado y las funciones de transferencia Tensión/Intensidad e

Intensidad/Factor de servicio. Estudiando la respuesta en frecuencia se diseña un

regulador Proporcional-Integral para el control de tensión y un regulador

Proporcional-Integral-Diferencial para el control de la corriente.

Finalmente, Se aplica el regulador en cascada sobre un esquema de

simulación del sistema real, con todas las discontinuidades que crea el

convertidor. Los resultados muestran que el convertidor funciona como una

fuente de tensión cuando no se supera la intensidad máxima. En caso contrario,

el convertidor funciona como una fuente de intensidad y no se alcanza la tensión

nominal, pero ayuda a reducir las caídas de tensión. Con todos estos resultados,

se demuestra que es posible aplicar el sistema 2X3000V sobre un escenario real,

con un control sencillo y seguro y con una instalación más sencilla y barata que

las alternativas usuales.


Página 2

II.- Summary

Nowadays, electrical railway systems can suffer important voltage drops,

owing to the use of the line out of the power which is designed. Whenever is a

direct current system, where it has a catenary, a rail and several substations as

voltage sources along the route, there are two usual ways to increase the

electrical power.

The first choice consists in installing an additional wire over the already

existing catenary, thereby the total resistance of the conductor is reduced. The

second choice, is installing an additional power station in the stretch where the

voltage drops are most. This solution is more effective than the first one, but it is

necessary a new connection to the main transmission grid (in Spain, Red

Eléctrica). In many occasions, that connection is so expensive that the increasing

of the power in this way is economically unfeasible.

This project analyzes a new solution called 2x3000V System, because the

basic case used here was a railway system with 3000V of nominal voltage. It

consists in installing over the rail stretch between two substations, an auxiliary

wire with the opposite voltage of the catenary, -3000V. In the point where it

would be placed a new substation, it is installed a DC to DC converter, which

transforms the voltage between catenary and auxiliary wire (6000V) and has as a

result the voltage between catenary and rails. If the converter is controlled

properly, it can be maintain a constant potential difference, at the same way a

new substation would, with no need of falling into expenses of a new connection

to the transmission grid.

The study is focused on the DC to DC converter. The aim is to design a new

control that can maintain the main voltage to 3000V and, at the same time, the

internal currents do not exceed more than the full capacity. To that end, it is

designed a cascade control, it means a serial connection of a voltage controller

and a current controller. The first one provides the necessary current reference to


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maintain voltage to 3000V. The second one, restrict that value for not exceeding

the maximum current, and provides the duty cycle of the converter.

To analyze the railway system response, faced with variations in current

and voltage, it is useful Matlab-Simulink. This computer program can

schematize the full electrical circuit of the system, including rails, catenary,

auxiliary wire and DC to DC converter. It must be implemented all the elements

of the circuit in the way that the system is mathematically linear, with no

discontinuities, to obtain a dynamic representation of state variables an the

transfer functions Voltage/Current and Current/Duty Cycle. By studying the

frequency response of these functions, it can be designed a Proportional/ Integral

controller to control voltage, and a Proportional-Integral-Derivative controller to

control current.

Finally, the full controller is put into a scheme of a real converter in a

railway system, with all the discontinuities that creates the converter. The results

show that the converter works as a voltage source whenever the current

restriction is not activated. On the opposite side, the converter works as a current

source and the nominal voltage is not reached, but the system helps to reduce the

voltage drops. With all this, it is demonstrated that the 2x3000V can work in real

life, with a fast and simple controller, and the installation is cheaper and more

simple than the usual alternatives.


Página 4

III.- Figuras

Figura 1.- Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo

(PPP) y feeder a ambos lados.

Figura 2.- Sistema 2 x 1500, propuesto en el artículo.

Figura 3.- Esquema básico del convertidor “chopper” de

Continua/Continua.

Figura 4.- Onda cuadrada generada por la conmutación del

convertidor.

Figura 5.- Tensión de salida resultante, con forma de onda

triangular.

Figura 6.- Tramo ferroviario compuesto por catenaria, vía y 2

subestaciones (fuentes de tensión).

Figura 7.- Sistema ferroviario principal, compuesto por catenarias

principal y auxiliar (feeder), vía y grupos rectificadores.

Figura 8.- Esquema interno del modelo de tren en Simulink.

Figura 9.- Esquema general sin convertidor con varios trenes

distribuidos a lo largo de la vía.

Figura 10.- Esquema del tren para la inicialización del sistema.

Figura 11.- Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio

constante.

Figura 12.- Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores,

con respecto al tiempo.

Figura 13.- Tensión de salida del convertidor, con respecto al

tiempo.

Figura 14.- Modelo simplificado de convertidor CC/CC.

Figura 15.- Bloque subsystem del modelo simplificado, calculador de

las tensiones.

Figura 16.- Convertidor simplificado inicializador.

Figura 17.- Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino

Figura 18.- Respuesta eléctrica del convertidor simplificado.

Figura 19.- Respuesta eléctrica del convertidor real.

Figura 20.- Topología de la regulación en cascada del convertidor

CC/CC.


Página 5

Figura 21.- Definición de la entrada ΔD (In1) y la salida Io (Out1).

Figura 22.- Topología del caso base.

Figura 23.- Topología del caso base centro.

Figura 24.- Topología del caso imposible.

Figura 25.- Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de

las funciones de transferencia Io/D.

Figura 26.- Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de

las funciones de transferencia Io/D. Figura 27.- Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de

las funciones de transferencia Io/D.

Figura 28.- Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22,

con un control P-77dB (F).

Figura 29.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control

Proporcional.

Figura 30.- Respuesta ante un escalón del sistema con un control

Proporcional-Integral.

Figura 31.- Esquema del regulador PID no interactivo, utilizado para

el control de intensidad.

Figura 32.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con

control P+I+D.

Figura 33.- Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema

imposible, con control P+I+D.

Figura 34.- Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de

las funciones V+o/Io.

Figura 35.- Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las

funciones de transferencia V+o/Io.

Figura 36.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en

lazo abierto de las funciones de transferencia L.

Figura 37.- Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en

lazo abierto de las funciones de transferencia H.

Figura 38.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones

H (J en lazo abierto) exceptuando H22

Figura 39.- Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones

H con el control (J en lazo abierto) exceptuando H22.


Página 6

Figura 40.- Implementación del control en cascada sobre el

convertidor real, con bloque de saturación.

Figura 41.- Transitorio de arranque del convertidor con control.

Figura 42.- Transitorio de arranque de las cargas, cuando se

conectan instantáneamente cuatro trenes distribuidos por la

vía (caso base).

Figura 43.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y

desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación

activado y sin control de la acción integral.

Figura 44.- Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y

desacople (2 seg) de la carga con bloque de saturación

activado y sin control de la acción integral.

Figura 45.- Control en cascada definitivo del convertidor.

Figura 46.- Resultados de la simulación con el control definitivo.

Figura 47.- Señal de salida del regulador de tensión (referencia de

Io).

Figura 48.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg.

Figura 49.- Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg.

Figura 50.- Sistema 2x3000V, con modelado de los armónicos de los

grupos rectificadores.

Figura 51.- Resultados de simulación del convertidor, con armónicos

de los grupos rectificadores.

Figura 52.- Modelo del Convertidor “Chopper”.


Página 7

IV.- Tablas Tabla 1.- Datos eléctricos de las catenarias y la vía.

Tabla 2.- Datos eléctricos del convertidor.

Tabla 3.- Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor

simplificado y real con factor de servicio constante y sistema

sin convertidor.

Tabla 4.- Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve

casos descritos

Tabla 5.- Ganancia estática de las funciones de transferencia.

Tabla 6.- Parámetros del control de intensidad interactivo (PID).

Tabla 7.- Parámetros equivalentes del control de intensidad no

interactivo (P+I+D.

Tabla 8.- Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los

nueve casos

Tabla 9.- Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de

intensidad, obtenidas para los nueve casos

Tabla 10.- Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no

interactivo


Página 8

V.-Bibliografía

[LADO06] P. Ladoux, F. Alvarez, H. Caron, G. Josse, J. P. Perret

“Une Nouvelle structure d’alimentation des caténaires

1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”, Revue Générale de

Chemins de Fer, nº 151, pp. 21-31 Elsevier Science,

2006

[HART97] Hart, “Introduction to Power Electronics”, Prentice

Hall, 1997

[RLAT08] F. Luís Pagola “Regulación Automática”, Colección

Ingeniería 25, Universidad Pontificia Comillas, MadriD

VI.-Programas empleados

Matlab R2008a

Microsoft Office 2003

- Word

- Powerpoint

PDF Creator

Parte I Memoria .............................................................................................3

Capítulo 1 Introducción ..................................................................................4

1 Estudio de los trabajos existentes. .................................................................. 5

2 Motivación del proyecto................................................................................. 10

3 Objetivos ........................................................................................................... 11

4 Metodología...................................................................................................... 13

5 Recursos............................................................................................................. 16

Capítulo 2 Modelado del sistema ferroviario principal...........................18

1 Introducción...................................................................................................... 18

2 Catenarias, Vías y Subestaciones.................................................................. 18

3 Trenes................................................................................................................. 22

4 Inicialización del sistema............................................................................... 24

Capítulo 3 Modelado del convertidor CC/CC............................................27

1 Introducción...................................................................................................... 27

2 Modelo de convertidor “Chopper”............................................................... 27

3 Convertidor CC/CC simplificado ................................................................. 32

4 Inicialización del convertidor simplificado................................................ 35

5 Simulaciones con factor de servicio constante........................................... 38

Capítulo 4 Diseño del Control Automático del Convertidor ..................43

1 Topología del control automático del convertidor .................................... 43

2 Obtención de la función de transferencia Io/D.......................................... 45

3 Control de intensidad ..................................................................................... 57

4 Obtención de la función de transferencia V+o/Io ..................................... 69

5 Control de Tensión.......................................................................................... 75

Capítulo 5 Resultados ...................................................................................81

1 Implementación del control sobre el convertidor real ............................. 81

Memoria.

2

2 Simulaciones finales ....................................................................................... 89

Capítulo 6 Conclusiones................................................................................96

Capítulo 7 Futuros desarrollos ....................................................................98

Bibliografía........................................................................................................100

Parte II Estudio económico........................................................................101

Parte III Código fuente.................................................................................105

Memoria.

3

Parte I MEMORIA

Memoria.

4

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

Los sistemas ferroviarios que funcionan con tracción eléctrica,

independientemente de la tensión y la potencia nominal a las que están

diseñados, poseen un esquema general común, siempre y cuando se trate

de un sistema que funcione con corriente continua. Básicamente, todo

ferrocarril de este tipo está alimentado por una catenaria, un cable

suspendido sobre la vía, paralelo y con una distancia constante entre

ambos elementos durante todo el recorrido. La catenaria está alimentada a

su vez por subestaciones repartidas a lo largo del trayecto, que toman la

potencia de la red eléctrica y transforman a tensión continua mediante

rectificadores. Estas subestaciones son equivalentes a una fuente de

tensión conectada entre los carriles y la catenaria. El tren, para tomar la

potencia necesaria para moverse, se conecta eléctricamente entre estos dos

elementos, tomando la potencia del cable suspendido y usando la vía para

cerrar el circuito.

Los sistemas ferroviarios están diseñados teniendo en cuenta el

número y el tipo de trenes que transiten la línea. Según la cantidad de

ferrocarriles que utilicen el sistema y la distancia que se tenga que abarcar,

se determina la potencia necesaria y el número de subestaciones que se

instalarán. Además de esto, la alimentación de los sistemas ferroviarios

tienen distintos niveles de tensión, que van desde 600V (es el caso de la

electrificación de tranvías y las redes de metro más antiguas), 750V, 1500V

y hasta 3000V, siendo esta última la electrificación más común de los

tramos de cercanías y de larga distancia, y a la que está basada el estudio

de este proyecto, aunque la metodología que se desarrolla aquí se podría

aplicar a cualquier caso.

Memoria.

5

El número de subestaciones que estarán repartidas a lo largo del

trayecto, así como las distancias entre ellas, no solo vendrá determinado

por la potencia y el tráfico de trenes, sino también por el espacio

disponible donde poder hacer la instalación y la accesibilidad a la red

eléctrica del lugar por donde se vaya a trazar la vía. Así pues, las

distancias entre subestaciones son variables, siendo valores habituales

entre 8 y 25kilómetros.

Actualmente, el aumento de la demanda de este sistema de

transporte en ciertas líneas, obliga a que muchos sistemas ferroviarios

trabajen al máximo de su capacidad nominal. Esto provoca que en los

tramos discurran altas intensidades, y en consecuencia, aparezcan

importantes caídas de tensión, que repercutirán directamente en el sistema

de tracción de los trenes. En estos casos, se debe ampliar el sistema, bien

sea reduciendo la resistividad de la instalación (colocando cables en

paralelo o cables mas anchos) o bien instalando más subestaciones en el

recorrido. Los costes de conexión a red, en los casos en que el punto donde

se vaya a construir esté muy alejado de la red eléctrica, pueden llegar a ser

tan elevados, que la instalación sea inviable económicamente.

Este proyecto se dedica a analizar una solución alternativa a las ya

existentes, denominado como sistema 2x3000V.

1 Estudio de los trabajos existentes.

La ampliación de una línea ferroviaria se puede hacer de diversas

formas, dependiendo de las necesidades de potencia y de las caídas de

tensión que haya que solucionar en un trayecto determinado.

La primera opción es un Puesto de Puesta en Paralelo o PPP (Fig. 1),

que no es más que conectar la catenaria de uno y otro sentido en un punto

determinado, siempre y cuando exista doble sentido de circulación de

Memoria.

6

trenes, una contigua a la otra. Esta opción, si lo analizamos con un tren en

circulación, se puede comprobar fácilmente que la resistividad de la línea

disminuye notablemente, ya que desde la subestación a la puesta en

paralelo que haya anterior al tren al que se pretende alimentar, está

circulando la corriente por ambas catenarias y por tanto, la resistividad se

reduce a la mitad. Al llegar al PPP, la corriente del sentido contrario se

desvía a la catenaria que alimenta al tren.

Si analizamos el caso en el que hay dos trenes circulando

simétricamente, es decir, uno al lado del otro, se descubre que el PPP no

desvía apenas corriente, ya que a efectos prácticos, cada catenaria esta

proporcionando la energía necesaria para cada tren y por el PPP apenas

circula corriente. En este caso, la disminución de la resistividad se hace

prácticamente nula. Así que aunque la medida es económica y muy

sencilla de realizar, no se consigue una gran mejoría para una línea que

tenga tráfico constante por ambos sentidos.

Figura 2. Sección de doble vía con un Puesto de Puesta en Paralelo (PPP) y feeder a ambos lados.

La segunda opción para disminuir la resistividad es colocando un

conductor adicional denominado catenaria auxiliar o feeder (Fig. 1). Este

cable, no tiene por qué discurrir con la catenaria de manera totalmente

carriles

trenes

PPP

catenarias feeder

Grupos

rectificadores

Memoria.

7

paralela a la vía, si no que se instala como una línea eléctrica aérea

tradicional y se conecta a la catenaria en paralelo cada poca distancia,

como si se instalaran múltiples PPP no entre las dos catenarias, sino entre

una de ellas y un cable nuevo. Esta solución proporciona casi el mismo

resultado que el sustituir la catenaria por un cable más ancho, y suele ser

lo más recurrido cuando se quiere mejorar la resistividad y reducir las

caídas de tensión sin tener que instalar una nueva suspensión para una

catenaria más ancha. El hecho de que tenga que estar perfectamente

paralela a la vía lo hace mucho más costoso que el instalar un cable

suspendido normal, como sería el caso del feeder.

La tercera opción ya se ha mencionado anteriormente: la instalación

de una subestación más para reducir las caídas de tensión. Esta opción es

la más efectiva, pero no siempre es posible conseguir en el punto deseado

una conexión a la red de media tensión, ya que si la red no discurre cerca,

se deberán incurrir en unos gastos de conexión para unir la subestación

con la red, lo cual puede resultar de precio muy elevado.

Nuestro proyecto analiza una idea propuesta en la revista “Revue

Générale des Chemins de Fer” en un artículo denominado “une nouvelle

structure d’alimentation des caténaires: le Systeme 2x1500” [1] y escrito por

Philippe Ladoux, Frèderic Alvarez, Hervè Caron, Gerard Josse et Jean Paul

Perret. La idea que proponen es la de instalar una catenaria auxiliar, pero

esta vez no se conecta en paralelo con la catenaria, sino que se lleva a un

potencial distinto, desde unos nuevos grupos rectificadores conectados en

las subestaciones ya existentes. Por ejemplo, si es un sistema ferroviario de

3000V, se lleva a -3000V. La conexión con la catenaria de este cable a

distinto potencial, se hace a través de un convertidor electrónico de

corriente continua/continua (Fig. 2).

Memoria.

8

Figura 2. Sistema 2 x 1500, propuesto en el artículo

Con este sistema, no solo transportamos potencia adicional a través

de la catenaria auxiliar, sino que además, se consigue mantener una

tensión controlada en el punto donde se conecta el convertidor CC-CC. De

este modo, el convertidor, a efectos finales, se comporta como una fuente

de tensión, igual que una subestación nueva, sin necesidad de incurrir en

los gastos de conexión a la red eléctrica, porque la potencia se toma desde

los puntos donde la conexión ya está hecha.

El artículo publicado en esta revista se centra en el estudio de la

topología del sistema, y no en el convertidor en sí. Primero modela un

sistema para realizar el estudio, tomando un trayecto de vía entre dos

subestaciones de longitud 15Km y con el sistema 2x1500 instalado. Para

simplificar el modelado, considera los trenes como fuentes de intensidad

constantes, los grupos rectificadores como fuentes de tensión perfectas y el

convertidor como un transformador de potencia, que funcionará como

una fuente de tensión constante y perfecta, al igual que las subestaciones.

No obstante, en el momento en que el convertidor, para poder mantener

una tensión determinada, supere una intensidad máxima por alguno de

sus bornes, el aparato comenzará a funcionar como una fuente de

intensidad, a la intensidad máxima que haya alcanzado, de manera que no

se podrá mantener la tensión deseada, sino todo lo que le sea posible al

Memoria.

9

convertidor sin superar su potencia nominal. Con este tipo de estudio, se

pueden modelar los parámetros básicos del sistema, tal y como la potencia

nominal y las intensidades máximas que incurrirán por él. Si la caída de

tensión que resulta en los momentos en que el convertidor funciona como

una fuente de intensidad, es mayor a un límite admisible, significará que

el convertidor deberá ser de una potencia mayor.

Todos los elementos mencionados son ideales, dado que el objetivo

principal de este grupo de franceses es considerar únicamente el

rendimiento del sistema y el funcionamiento global de éste. Como es de

suponer, la catenaria, cable auxiliar y las vías del modelo, sí están

consideradas con su resistencia e inductancia características, ya que de lo

contrario no habría caídas de tensión a lo largo de la catenaria y el sistema

no tendría ningún objetivo.

Con todo esto comienzan el estudio de las distintas topologías

diferentes. Las podemos dividir en dos tipos. La primera, parte de un

sistema ferroviario normal, de 1500V de tensión nominal, y la catenaria

auxiliar electrificada a una tensión de -1500V. La segunda topología, es

llevar la catenaria auxiliar a una tensión de 3000V, el doble de la tensión

nominal. Después, incurren en una tercera topología, en la que se coloca

un cable auxiliar más a la catenaria, para reducir su resistividad, pero no

deja de ser una variante de la primera topología mencionada.

Para diferentes posiciones de los trenes y con los distintos

elementos formando una topología determinada, pueden calcular las

distintas corrientes que se derivan por cada cable y las caídas de tensión

que se producen mediante la resolución de las distintas ecuaciones que

rigen el circuito eléctrico. Así, consiguen la evolución de las tensiones en

los trenes, la densidad de corriente en el cable auxiliar y la evolución del

rendimiento general del sistema a medida que el tren se sitúa en un punto

distinto del trayecto. Se entiende como rendimiento general, el cociente

Memoria.

10

entre la potencia absorbida por los trenes y la potencia suministrada por

los grupos rectificadores.

Al final, los resultados obtenidos revelan diversas conclusiones. La

primera, es que todas las topologías presentan un comportamiento casi

idéntico, si observamos la tensión que proporcionan a los trenes y a la

catenaria. Respecto al rendimiento y a las densidades de corriente, se

descubre que la solución con feeder positivo es mejor que la de feeder

negativo. Sin embargo, la solución de feeder negativo reduce las corrientes

que van por los carriles, de manera que cualquiera de las dos soluciones

podrá ser la mejor, para según el caso en el que se aplique.

2 Motivación del proyecto

Este proyecto tiene como propósito continuar el estudio del sistema

2x1500V, que de ahora en adelante, denominaremos 2x3000V, ya que es la

tensión habitual en España para recorridos ferroviarios de larga distancia.

Todo el artículo resumido en el punto anterior explica que el

estudio se ha centrado sobretodo en las topologías que se pueden formar

con el sistema 2x3000V. Bajo la hipótesis de que todos los elementos son

ideales (salvo los conductores), consiguen descubrir las mejores

soluciones, teniendo en cuenta el rendimiento general del sistema, las

necesidades que se desean cubrir y el caso donde se quiera aplicar. Lo que

falta por estudiar son los demás elementos que conforman el sistema,

además de los cables, en especial el convertidor de Continua/Continua.

El convertidor es la pieza principal del sistema 2x3000V, el que hace

posible llevar potencia desde las subestaciones e inyectarla en la catenaria

manteniendo una tensión de referencia. El sistema debe ser estudiado

teniendo en cuenta sus diferentes topologías y sus parámetros

Memoria.

11

característicos, para conocer el tipo de aparato que debe ser instalado y

como debe ser configurado.

Así pues, nuestro proyecto se centrará en investigar sobre el diseño

y los parámetros necesarios para el convertidor CC/CC. Con todas las

ideas que se desarrollan en este proyecto, se pretende dar así más base

teórica para entender por completo la idea del sistema 2x3000V.

Las motivaciones de este proyecto son claras. De resultar un

sistema viable, técnica y económicamente, podremos ampliar la potencia

de las líneas ferroviarias ya existentes con la misma calidad que si

instaláramos un cable de refuerzo y una subestación, pero incurriendo en

menores gastos fijos y menor tiempo en la instalación. Esto supone una

ventaja y un impulso más para el nuevo desarrollo que se está haciendo

del tren, como sistema de transporte público de larga distancia cada vez

más necesario, para una sociedad creciente que desea desarrollarse de

manera más sostenible y ordenada.

Para que esta nueva tecnología sea posible, es por tanto esencial que

el elemento principal del que depende todo lo demás pueda funcionar con

garantías y de manera correcta. Esto es, el convertidor CC/CC, del que

nos centraremos en estudiar con detenimiento.

3 Objetivos

El objetivo principal es, como ya se ha explicado en el punto

anterior, realizar un estudio del convertidor electrónico de corriente

Continua/Continua. Para ello, es necesario crear un modelado del sistema

semejante al que han creado los autores del artículo que hemos resumido,

solo que ahora el convertidor no será ideal, sino que tendremos en cuenta

todos los componentes que forman el aparato, las corrientes que circulan a

través de estos, y las pérdidas y transitorios que puedan aparecer. En

Memoria.

12

consecuencia se deberá hacer también un modelado más detallado para el

resto del sistema, tal y como incluir las inductancias características de la

catenaria y los carriles.

Todo esto es debido a que el convertidor tendrá que adaptar su

modo de funcionamiento en función de la carga, las corrientes que se

generan y las caídas de tensión que producen. El resultado más

interesante de hacer todo esto a este nivel de detalle es poder diseñar un

control automático de regulación del convertidor, que permita adaptarse

en tiempo real a todos los escenarios que pudieran ocasionarse en un

sistema ferroviario real.

Así pues, los objetivos del proyecto se resumen en los siguientes

puntos:

• Modelar un convertidor CC/CC en detalle, eligiendo un modelo

concreto y teniendo en cuenta todos sus elementos importantes,

para poder realizar un estudio detallado de las corrientes que lo

atraviesan, las pérdidas y los transitorios que se crearán con el

sistema en carga.

• Modelar el resto del sistema consecuentemente con el convertidor,

incluyendo inductancias, resistencias y variaciones de carga, para

observar el tipo de respuesta del convertidor.

• Diseñar un control automático de regulación del factor de servicio,

que responda a las necesidades propias del sistema ferroviario.

• Analizar los resultados, proponer soluciones y conclusiones finales.

Todos estos objetivos corresponderán a uno o varios capítulos de

este proyecto.

Memoria.

13

4 Metodología.

Para entender mejor la metodología desarrollada en este proyecto,

se debe conocer las características principales de un convertidor CC/CC.

Estos convertidores pueden ser indirectos o directos, es decir, con o sin

aislamiento galvánico, respectivamente. Sin embargo, los dos tipos de

convertidores utilizan el mismo principio para transformar.

Figura 3. Esquema básico del convertidor “chopper” de Continua/Continua

Para explicar de manera general como funciona un convertidor

CC/CC nos vamos a apoyar en el modelo más sencillo, un convertidor

reductor o “Chopper” (troceador.) Este convertidor posee un esquema

como el mostrado en la figura 3. Está compuesto por dos interruptores que

realizarán una conmutación, normalmente tiristores o, en el caso que

estamos analizando ahora, transistores IGBT’s. El procedimiento mediante

el cual se trocea es sencillo. Durante un tiempo t1, el IGBT 1 estará cerrado

y el IGBT 2 estará abierto, de manera que la tensión conmutada (Ux) será

la misma que la tensión de entrada (Ue). En la siguiente conmutación los

dos interruptores cambiarán su estado, es decir, el IGBT 1 estará abierto y

el IGBT 2 estará cerrado, haciendo que la tensión conmutada sea ahora

nula. Con estas dos conmutaciones hemos creado una onda cuadrada en la

tensión conmutada Ux de periodo T y con un valor medio menor a la

IGBT2

IGBT1

R L

Ue Us Ux

Memoria.

14

tensión de entrada (Fig. 4). El tiempo que permanecerá en el 1º estado (t1)

será en función de un factor de servicio denominado D, que también

proporcionará el valor de la tensión media. Si se observan las ecuaciones

que rigen el convertidor (ecuaciones 1, 2 y 3) se entiende mejor la relación

de estas variables [2].

E. 1 TDt ⋅=1

E. 2 TDtT ⋅−+= )1(1

E. 3 ee

xmedia UDT

TDUTDU ⋅=⋅⋅−+⋅⋅= 0)1(

Figura 4. Onda cuadrada generada por la conmutación del convertidor

Así, el factor de servicio es directamente proporcional a la tensión

media de conmutación. Para cualquiera de los dos tipos de topologías que

se encuentren en el sistema, siempre habrá una tensión de entrada el doble

de la nominal de los trenes (6000V). En el caso de tener el feeder a -3000V,

la tensión de entrada será entre catenaria y feeder, y la tensión de salida,

entre vía y feeder, mientras que si tenemos el feeder a 6000V, la tensión de

entrada será también entre la catenaria y el feeder y la tensión de salida

será ahora entre catenaria y vía. En ambas soluciones, el factor de servicio

tendrá de valor teórico 0,5, aunque este valor se irá cambiando para

adaptarse a las caídas de tensión que ocasionen los trenes y mantener en la

catenaria un voltaje constante. Cualquiera de las dos soluciones son

t1 T

t

Uc

Ux media

Memoria.

15

correctas, así que nos hemos centrado durante todo el proyecto en la

solución con feeder negativo.

La tensión cuadrada pasa por un filtro RL que convertirá la tensión

de salida en una onda triangular (Fig. 5), con un rizado lo suficientemente

pequeño como para considerar la tensión como continua, con los

armónicos propios de una onda de este tipo. Para reducir estos armónicos,

se debe reducir el periodo de la función, ya que de ese modo el rizado se

presentará de menor amplitud. Los valores característicos del periodo de

la señal de un convertidor suele situarse entre los 1000 y los 1000kHz.

Figura 5. Tensión de salida resultante, con forma de onda triangular

Toda esta introducción teórica del funcionamiento de un

convertidor CC/CC nos ayuda a entender que para realizar este proyecto,

es necesario realizar un estudió dinámico de las tensiones y las corrientes

que circulan por los conductores. La tensión de salida cambiará según la

carga de trenes que exista en el sistema y por tanto, si se quiere mantener

una tensión constante a la salida, se tendrá que ir modificando el factor de

servicio al tiempo que cambie el escenario de operación. El control que

regule el convertidor debe responder lo más rápido posible a los cambios

que se puedan producir en el sistema ferroviario.

Para poder estudiar todo esto, la herramienta principal de trabajo

será el programa Matlab®, y su simulador Simulink, en su versión 7.6

Us media

t1 T

t

Us

Memoria.

16

(R2008a). En este simulador se programarán los elementos y las variables

que conforman el sistema en forma de esquema eléctrico. El propio

Simulink ofrece una librería de bloques que representan resistencias,

inductancias, fuentes de tensión y de corriente variables, tiristores,…

Todo lo necesario para simular el sistema al nivel de detalle que precisa

este proyecto.

Una vez realizado todo esto, el programa utiliza determinados

algoritmos de cálculo que consiguen simular el modelo, pudiendo

analizarse todos y cada uno de los parámetros del sistema 2x3000 en

tiempo real.

5 Recursos.

El recurso principal ha sido el Matlab y su herramienta Simulink,

que permite esquematizar simulaciones de modelos físicos y

matematizables de cualquier tipo, ya sea de regulación automática, de

mecánica, como de electricidad y electrónica.

Con estos programas se han podido realizar todas las simulaciones,

cálculos y resultados del proyecto. Este programa tiene una amplia librería

de dispositivos eléctricos ya modelados, que se conectan a modo de

esquema eléctrico, para luego realizar todas las variaciones y simulaciones

que se quieran programar en el tiempo. A medida que la simulación se

pone en marcha, Matlab calcula las corrientes, tensiones y cualquier otro

parámetro del sistema. En la simulación se pueden variar las potencias

consumidas por los trenes, el factor de servicio y otros parámetros a

tiempo real, conforme se simula el sistema, de manera que el programa irá

dando las variaciones de corriente y de tensión a medida que estos

cambios se producen. Todo ello se puede ir almacenando o ser

monitoreado en el ordenador, según nos interese realizar cálculos a

posteriori, con los resultados de la simulación.

Memoria.

17

El programa, además de simular el sistema eléctrico, también es

capaz de simular el esquema de control que se le haya programado, de

modo que podemos integrar el estudio eléctrico y del control sin ningún

problema. Es por eso que no se ha precisado de ningún programa de

apoyo o de alguna otra herramienta de trabajo para desarrollar este

proyecto.

Además de esta potente herramienta, muchos de los modelos,

conceptos y diseños que puedan aparecer en el proyecto, tienen como base

teórica diversas publicaciones y referencias bibliográficas sin las cuales no

hubiera sido posible solucionar muchos de los problemas que surgen a lo

largo del proyecto. Los libros que recogen en ellos materias como cálculo,

regulación automática, máquinas eléctricas, electrónica de potencia… son

algunos de los ejemplos de obras que han tenido que ser consultadas

durante la ejecución del proyecto y que serán debidamente referenciadas a

lo largo de esta memoria.

Memoria.

18

Capítulo 2 MODELADO DEL SISTEMA

FERROVIARIO PRINCIPAL

1 Introducción

En este capítulo vamos a explicar el modelado de los diferentes

elementos del sistema ferroviario que conformarán la solución de 2x3000V

y su introducción en los esquemas de las simulaciones de Matlab y

Simulink.

Este capítulo no se refiere al convertidor de CC/CC, ya que para

éste hemos reservado un capítulo propio. Aquí solo se comentará el resto

de elementos. En primer lugar, hablaremos de las vías, catenaria auxiliar,

principal y las subestaciones, que son los elementos que conforman el

sistema ferroviario básico, el sistema de inicio al que se pretende ampliar

su capacidad. Después, mostraremos la solución que se ha implantado

para generar los trenes del sistema, y finalmente presentaremos diferentes

ejemplos de cómo funciona este sistema sin instalar el convertidor, para

así poder entender mejor las mejoras que ofrecerá el sistema 2x3000V.

2 Catenarias, Vías y Subestaciones

Estos tres elementos que componen el título de este apartado son la

base de cualquier ferrocarril de tracción eléctrica y por tanto nuestro

punto de inicio.

El sistema 2x3000V está pensado para ser aplicado en un punto

donde haya caídas de tensión, es decir, entre dos subestaciones. Nuestro

modelo por tanto se conforma de dos subestaciones con grupos

rectificadores, que electrifican a una catenaria y una vía, siendo este

Memoria.

19

elemento el que cierra el circuito eléctrico necesario para suministrar

potencia a los trenes (Fig. 6).

V2+V1+

42+

42

41+

41

32+

32

31+

31

22+

22

21+

21

12+

12

11+

11

Figura 6. Tramo ferroviario compuesto por catenaria, vía y 2 subestaciones (fuentes de tensión)

Las subestaciones toman la energía de la red eléctrica de media

tensión, que puede variar de 1 a 30kV de corriente alterna. Esta tensión es

transformada a tensión continua de 3000V, en el caso que estamos

formulando aquí. Esa tensión es aplicada entre la catenaria y la vía del

ferrocarril. Así entonces, nuestras subestaciones, serán a efectos prácticos,

fuentes de tensión continua constantes, con una caída de tensión interna

que se modelará junto con la catenaria del tren.

Para ser más exactos con el modelo, a la fuente de tensión continua

de 3000V deberemos sumarle ciertas fuentes de tensión alterna que

modelarían los rizados y los armónicos que se crean en el proceso de

rectificación. Sin embargo, mas adelante, cuando se simule el sistema y

diseñemos el control, podrá observarse que estas fuentes no son relevantes

y por tanto podremos eliminarlas del sistema.

La catenaria principal, el feeder y la vía del ferrocarril, no son más

que conductores con una resistencia y una inductancia propia,

dependiendo de su forma y de su material. Estos dos parámetros se

modelan en serie, y tienen un valor constante por unidad de longitud, ya

que la sección de los conductores no varía a lo largo del recorrido. En la

tabla 1 se resumen los valores unitarios de la impedancia que se han

Catenaria

Vía Subestación1 Subestación2

Memoria.

20

considerado más representativos de cualquier caso real, tanto para las

catenarias como para la vía. Como ya es sabido, la inductancia será nula

para la corriente continua, pero será muy importante para los armónicos

que surgen de la rectificación de la corriente y para el establecimiento de

una tensión constante por parte del convertidor.

R (Ω/Km) L(H/Km) X a 50Hz (Ω/Km)

Catenaria 0,06662 0,001202 0,3776

Vía 0,007 4,775.10-5 0,015

Tabla 1. Datos eléctricos de las catenarias y la vía

La longitud del tramo de vía que se ha considerado es de 20 Km en

total, entre ambas subestaciones. Como se puede observar en la figura 6,

para modelar las impedancias se ha dividido el tramo total en 8 segmentos

de 2,5Km cada uno. La razón de hacer esto, es para poder colocar los

trenes a una distancia distinta para cada simulación y ver la influencia de

la posición de la carga en el sistema. El hecho de variar cada 2,5Km, es

debido a que distancias menores serían prácticamente imperceptibles.

Con el Matlab, se podría hacer una simulación en tiempo real en el

que se irían variando las inductancias y resistencias de los conductores. De

esa manera se simularía el movimiento del tren. Sin embargo, cuando

veamos la rapidez que tiene el sistema y el control del convertidor que se

ha diseñado ante variaciones de carga, se comprenderá que no ha sido

necesario recurrir a un modelo dinámico, sino cuasiestático, como el que

se está presentando en este capítulo. Cuasiestático quiere decir que los

parámetros son dinámicos, pero los trenes no se moverán de su posición

durante el tiempo. Si un tren circulara a 200Km/h (una velocidad alta para

un sistema de corriente continua) que equivalen a unos 55,5m/s significa

que durante una simulación normal de unos 5 segundos, el tren habría

recorrido 277 metros en total, un 11% de las divisiones que estamos

Memoria.

21

considerando. Este porcentaje es una variación muy poco importante para

los resultados que se desean obtener.

Por último el modelado del feeder, o catenaria auxiliar, es semejante

a lo realizado con el sistema ferroviario. La resistencia e inductancia

características son las mismas que la de la catenaria, y se ha dividido en

ocho tramos. Esto no era necesario, ya que el único dispositivo que se

conecta a este cable será el convertidor, además de las dos subestaciones

en cada extremo del cable, que darán la tensión de -3000V. En este

proyecto, no se ha entrado en detalle en la subestación, ya que todo el

esfuerzo se ha centrado en el convertidor. Damos por hecho que es

completamente posible instalar en las subestaciones una serie de grupos

rectificadores que transformen la corriente alterna en corriente continua a

tensión de -3000V, igual que se hace para obtener 3000V sin resultar de

ello un problema técnico adicional importante.

Así pues, el tramo de 20Km de vía quedará modelado como se

muestra en la figura 7, con la catenaria, el cable auxiliar y las fuentes de

tensión que se colocarán en los grupos rectificadores.

V2-

V2+

V1-

V1+

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12-

12+

12

11-

11+

11

Figura 7. Sistema ferroviario principal, compuesto por catenarias principal y auxiliar (feeder), vía

y grupos rectificadores

Catenaria

Vía Subestación1 Subestación2

Feeder

3000V

-3000V

Memoria.

22

3 Trenes

Para modelar los trenes, hemos querido hacerlo de modo que el

parámetro que se vaya a modificar sea el de la potencia. Por lo tanto, se ha

modelado a los trenes como una fuente de potencia, ya sea de potencia

constante o variable.

Para conseguirlo, se ha utilizado una fuente de intensidad variable,

disponible en la librería de dispositivos del Simulink. Se trata de una

fuente de intensidad al que el valor de la corriente le es asignado a tiempo

real. Para el caso que nos atañe, la idea es medir para cada instante de

simulación la tensión que existe entre vía y catenaria, es decir, entre las

bornes de la fuente de intensidad. Al mismo tiempo, se da una referencia

de potencia, que puede ser constante o variable en el tiempo según los

resultados que se quieran obtener. El cociente entre la referencia de

potencia y la tensión da el valor que debe tomar la corriente eléctrica en la

fuente de intensidad. En la figura 8 se muestra el esquema que toman

estos elementos en la simulación.

-

2

+

1

perdidas del tren

fuente de intensidad

s -+

Voltimetro

v+-

Referencia de potencia

P

Funcion de transferencia

1

tau .s+1

División

Figura 8. Esquema interno del modelo de tren en Simulink.

Memoria.

23

Los trenes, cuando se han modelado con una potencia constante, se

les ha considerado un consumo de 1MW, un valor medio utilizado

normalmente para el dimensionado de estos sistemas.

Como se puede observar, existen además otros dos elementos en el

esquema eléctrico del tren. El primero de ellos es una resistencia en

paralelo que hemos denominado pérdidas, porque lo que modela es

precisamente las pérdidas por efecto joule y otros fenómenos de la

maquinaria del tren. Esta resistencia tiene un valor de 900Ω, que a tensión

nominal de 3000V, supone un potencia consumida de 10kW, el 1% de la

potencia consumida por la fuente de intensidad.

El segundo elemento es la función de transferencia de 1º orden, que

viene a continuación del voltímetro. En un primer momento, la inclusión

de esta función se hizo porque la medida directa, y el posterior cálculo de

la intensidad, producen inestabilidades y errores de cálculo. Una vez que

se introduce, el sistema funcionaba correctamente. Lo que viene a

representar esta función es la rapidez con la que el tren aumenta la

intensidad en el momento en que se producen caídas de tensión, ya que si

cae la tensión, y se quiere mantener la potencia constante, la intensidad

debería aumentar instantáneamente, lo cual es imposible en la realidad.

Sin embargo, se ha modelado el tren de manera que esta función de

transferencia tenga la mínima influencia sobre el resto del sistema. Así, la

constante de tiempo τ (tau) equivale a 0,01, que significa que el tiempo de

establecimiento al 5% (es decir, el tiempo de repuesta que tarda en

alcanzas el 95% de su valor, ante un escalón unitario en la entrada) será de

0,03 segundos, un valor muy rápido en comparación con las distintas

respuestas que tendrá el sistema y el convertidor.

A la hora de introducir estos trenes en el sistema de catenarias y

vía, se ha creado un bloque con dos bornes y el cual en su interior posee

los elementos que se acaban de comentar y que se representan en la figura

Memoria.

24

8. Así en el esquema general, los trenes se verán como unos bloques, los

cuales se podrán añadir y situar en cualquier punto del sistema sin

necesidad de reconstruir de nuevo cada elemento que modela el tren (Fig.

9).

V2-

V2+

V1-

V1+Tren 4

+-

Tren 3

+-

Tren 2

+-

Tren 1

+-

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31 -

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12 -

12+

12

11-

11+

11

Figura 9. Esquema general sin convertidor con varios trenes distribuidos a lo largo de la vía.

4 Inicialización del sistema

A la hora de arrancar el sistema, durante los primeros instantes de

la simulación, las inductancias de las vías y las catenarias hacen que el

valor de tensión sobre los cables sea nulo. Un valor tensión cero implica

que la intensidad será el resultado de una división con denominador 0, lo

cual significa que hay una indeterminación matemática y, en

consecuencia, un error en Matlab. Para salvar este problema, es necesario

hacer una simulación de inicio, en la cual se arrancarán los trenes una vez

electrificado el sistema principal. En el siguiente capítulo se verá como se

incluyen en el esquema de inicialización el convertidor CC/CC.

Para el caso de los trenes, lo que se hace es incluir un interruptor

denominado switch en el esquema que calcula la corriente del tren (Fig.

10). En los primeros instantes, durante un tiempo de 0,5 segundos, el tren

Memoria.

25

toma como valor de la tensión un valor constante de 3000 V. Una vez

pasado este tiempo, el switch hace que el tren tome como valor de tensión

la que existe entre los bornes de la fuente de intensidad, de manera que

empiece a funcionar como el modelo principal de la figura 8. La Referencia

de potencia durante los primeros instantes tendrá un valor 0, para hacer

que el tren esté apagado durante ese tiempo. Después, una vez que ya se

esta tomando la tensión de la medición entre los bornes, se pondrá la

referencia de potencia a 1MW, de manera instantánea. Este caso es

imposible, ya que ningún tren puede pasar de consumir 0 a 1MW en

tiempo nulo. Sin embargo, ahora no interesa el transitorio que esto pueda

ocasionar, sino que el sistema se establezca en los valores habituales de

funcionamiento. No obstante, también se puede mantener la potencia

desde el principio con un valor constante, sin que eso pueda ocasionar

problemas a la simulación. Sería como arrancar el sistema ferroviario a la

vez que se arrancan los trenes.

-

2

+

1

perdidas del trenfuente de intensidad

s -+

Voltimetro

v+-

Timer de 0.5segundos

Switch

Referncia de tension

V

Referencia de potencia

Funcion de transferencia

1

tau .s+1

División

Figura 10. Esquema del tren para la inicialización del sistema.

Pasados todos los transitorios de arranque del sistema, se guardan

los parámetros principales de la simulación para utilizarlos como variables

iniciales de una simulación sin switches (esto sólo es necesario cuando se

Memoria.

26

utiliza el modelo simplificado de convertidor, utilizado para el diseño del

control, como se explica en capítulos posteriores). De esta manera se

consigue trabajar con un modelo sin las discontinuidades que provocan

este interruptor, y por tanto, se podrá ver sin error la respuesta en

frecuencia del sistema y hacer un estudio regulatorio del convertidor.

Memoria.

27

Capítulo 3 MODELADO DEL CONVERTIDOR

CC/CC

1 Introducción.

Este capítulo se encargará de explicar el modelo de convertidor que

se ha utilizado en este proyecto a lo largo de las simulaciones del sistema

2x3000V. Este dispositivo será el convertidor Chopper que se explicó en la

metodología del capítulo de introducción, sólo que ahora se harán dos

modelos de distinto tipo. El primero es el modelo completo del

convertidor chopper, con sus tiristores y todos los elementos que

componen el aparato. El problema de este modelo surge a raíz de que es

un sistema discontinuo, con interruptores, y es imposible determinar la

respuesta en frecuencia del sistema con este tipo de convertidor. Es por

eso que para el diseño del control, se utilizará un modelo simplificado,

continuo y sin interruptores, basándose en las ecuaciones que rigen al

convertidor.

Por último, durante este capítulo se mostrarán algunos resultados

que se obtienen de las simulaciones con un factor de servicio constante, sin

aplicar todavía ningún control, para así comprobar su funcionamiento y

poder empezar con el diseño del control de regulación automática.

2 Modelo de convertidor “Chopper”

Este modelo no es más que llevar lo explicado en el apartado de la

metodología del capítulo 1 a un esquema de Simulink.

Memoria.

28

Son dos tiristores que se conectan en serie a la tensión de entrada,

que en nuestro caso, es la tensión de 6000V que hay entre catenaria

principal y auxiliar. Entre los dos interruptores se toma la tensión de

salida, una onda cuadrada, que mediante una inductancia y unos

condensadores en paralelo con los interruptores se obtiene una tensión

continua con algunos armónicos de menor amplitud. El resultado en el

Simulink está en la figura 11.

Vx

V-3

V0

2

V+1

filtro L

v+-

v+-

PWM

D

on

off

g CE

g CE

Goto 6

[Imeas_0]

Goto 5

[Imeas_neg ]

Goto 4

[Imeas_pos]

Goto 3

[Vmeas_neg ]

Goto 2

[Vmeas _pos]

Goto 1

[SW2]

Goto

[SW1]

From1

[SW2]

From

[SW1]

Current Measurement 2

i+ -


i+

-

Current Measurement

i+

-

Constant 1

0.5

Figura 11. Esquema del convertidor Chopper, con factor de servicio constante

Se puede observar en la figura el modo de conexionado de los

distintos elementos del sistema. La tensión de entrada está entre V+ y V-,

los bornes que se conectarán posteriormente a la catenaria principal y

auxiliar respectivamente. El borne Vo es el borne que se conecta a la vía.

Así, nuestra tensión de salida será entre Vo y V-. La tensión que existe

entre Vx y Vo es la onda cuadrada producida por los tiristores. Al tener

Memoria.

29

como factor de servicio 0,5, la duración del semiperiodo con tensión de

entrada y el semiperiodo con tensión nula duran lo mismo, luego es una

señal simétrica. En la figura 12 se observa la forma de esta señal y en la

figura 13 se observa la tensión de salida que ha pasado por los distintos

filtros[2].

1.122 1.1225 1.123 1.1235 1.124 1.1245 1.125 1.1255-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

Figura 12. Tensión de onda cuadrada Vx, a la salida de los tiristores, con respecto al tiempo.

El hecho de que la señal cuadrada tenga valor exacto de 6000V es

debido a que se está probando sin carga. En el momento en que la tensión

en las catenarias caiga, también lo hará la tensión de entrada, y habrá que

modificar el factor de servicio para mantener el valor nominal. La señal

tiene de frecuencia 1000Hz, que es un valor mínimo para un componente

de electrónica de potencia. El hecho de que usemos una frecuencia baja, es

debido a que a menor frecuencia, las amplitudes de los armónicos

producidos son mayores, luego nos situamos en el peor caso. Podría llegar

hasta los 10 KHz, aunque no se suele superar este valor.

Memoria.

30

1.94 1.9405 1.941 1.9415 1.942 1.9425 1.943 1.9435

2999.9

2999.95

3000

3000.05

3000.1

Figura 13. Tensión de salida del convertidor, con respecto al tiempo.

La tensión de salida tiene la forma que se presenta en la figura 13.

La señal describe una curva debido al filtro inductivo, junto con las

inductancias de la vía y la catenaria, y a los condensadores presentes en

paralelo con los tiristores. El hecho de que la señal esté cortada en la parte

baja se debe al condensador conectado entre V0 y V+, que en el momento

en que desciende de los 3000V, comienza a descargarse para mantener la

tensión constante. Los periodos de tiempo son tan pequeños con respecto

a la capacidad de los aparatos que apenas se podría observar un descenso

gradual de la tensión.

A continuación, en la tabla 2, se resumen los valores de los

condensadores, inductancias y resistencias presentes en el convertidor

chopper.

R(Ω) L(mH) C(mF)

Filtro RL 0,0175 23,9 -

Condensadores 0,001 - 42,4

Memoria.

31

Tabla 2. Datos eléctricos del convertidor

En el esquema se observa, además de los tiristores, los

condensadores y el filtro inductivo, un bloque denominado PWM que son

las siglas de Power-Width Modulation. Es un componente electrónico

presente tanto en los convertidores de CC/CC como en los rectificadores e

inversores. Genera una señal que ordena abrir o cerrar a los tiristores para

generar la tensión de salida. Esta señal no es más que otra onda cuadrada

de una frecuencia concreta (en nuestro caso, 1000Hz) que varía el ancho

del pulso según el factor de servicio que se le esté imponiendo. El

resultado son dos ondas cuadradas que cuando una envía el pulso la otra

no, y viceversa. La señal enviada al primer tiristor, la SW1, tiene la misma

forma que la Tensión Vx aunque por supuesto de menor amplitud,

mientras que la señal SW2 es justamente lo opuesto.

Por último cabe señalar que existen distintos bloques en el modelo

denominados “from” y “goto”. Estos bloques no son más que conectores.

Las señales que llegan al bloque “goto” mandan la señal que les precede a

los bloques “from” que tengan el mismo nombre. Por ejemplo, las señales

SW1 y SW2 que se emiten desde el PWM, están realmente conectadas al

control de los tiristores, a través de su bloque “from” correspondiente.

Ademas de esto, existen también en el convertidor otros bloques que no se

han comentado, denominados “Voltage measurement” y “Current

Measurement”. Estos bloques son voltímetros y amperímetros, que toman

la medida a tiempo real de la tensión y la intensidad respectivamente,

para luego poder analizar estas variables detenidamente.

Memoria.

32

3 Convertidor CC/CC simplificado

Como ya se ha señalado anteriormente, a la hora de diseñar el

control que regule el factor de servicio, se necesita hallar la respuesta

dinámica de los distintos parámetros del sistema. Matlab, puede hallar

para cualquier sistema dinámico una representación matricial de estado

estableciendo variables de entrada y de salida, y en consecuencia hallar la

función de transferencia del sistema que que se defina. Esto permitirá

representar matemáticamente la planta que representa el sistema 2x3000V

para las variables que se precisen establecer.

Por ello, es necesario la creación de un modelo lineal, que no tenga

ni “switches” ni ningún tipo de interruptores que creen discontinuidades

en el sistema. La solución es crear un modelo equivalente del convertidor,

basado en las ecuaciones que rigen a éste y que ya se comienza a presentar

en la introducción. En la ecuación 3 ya se había aclarado que la tensión

media de salida del convertidor es el resultado de multiplicar el factor de

servicio por la tensión de entrada. Esta tensión es la que hay entre el punto

medio de los dos interruptores y el borne de la catenaria auxiliar. Si se

conoce esa tensión, también sabemos la tensión entre el borne de la

catenaria principal y el punto x, tal y como se demuestra en las siguientes

ecuaciones [2]:

E. 4 −=⋅= xexmedia UUDU

E. 5 xxentrada UUU +− +=

E. 6 entradaentradaentradaxentradax UDUDUUUU ⋅−=⋅−=−= −+ )1(

Estas ecuaciones por tanto, dan las tensiones existentes en el

convertidor en función de la tensión de entrada y del factor de servicio.

Esto significa que los tiristores del circuito se pueden sustituir por fuentes

de tensión controladas que dan en cada momento la tensión que le es

Memoria.

33

asignada mediante el factor de servicio. Así, el modelo simplificado, se

diferencia básicamente del modelo real de convertidor por esta sustitución

de tiristores por fuentes de tensión. En la figura 14 se puede observar

como queda finalmente este modelo.

Si comparamos este modelo con el expuesto en la figura 11, del

convertidor real, vemos que además de sustituir los tiristores, se han

incluido tres bloques más. El primero es el denominado Subsystem. Este

bloque, expuesto por dentro en la figura 15, es el encargado de calcular

para cada valor que toma la tensión de entrada y el factor de servicio que

se ha definido (en este caso, sigue siendo 0,5) los valores que deben tener

las fuentes controladas. Toma la medida de las tensiones V+o y Vo- y

suma ambas variables, que sería el equivalente a medir la tensión V+-, la

tensión de entrada, entre la catenaria principal y auxiliar. Después, realiza

los cálculos de la tensión V+x y Vx- para poder ordenar a las fuentes un

valor determinado.

Memoria.

34

Vx

V-3

V02

V+1

filtro

v+-

v+-

Subsystem

D

V+0

V-0

V+x

V-x

Memory 1

Memory

Goto 6

[Imeas_0]

Goto 5

[Imeas_neg ]

Goto 4

[Imeas_pos]

Goto 3

[Vmeas_neg ]

Goto 2

[Vmeas _pos]


i+ -


i+

-

Current Measurement

i+

-

Controlled Voltage Source 2

s -+

Controlled Voltage Source

s -+

Constant

.5

Figura 14. Modelo simplificado de convertidor CC/CC

V-x2

V+x1

fV-x

u(1)*u(2)

fV+x

(1-u(1))*u(2)Add

V-03

V+02

D1

Figura 15. Bloque subsystem del modelo simplificado, calculador de las tensiones

Memoria.

35

Los otros dos bloques añadidos se denominan “memory”, un

bloque utilizado para romper el bucle algebraico que existe en el sistema.

Si se observa detenidamente la figura 14, se verá que las dos fuentes de

tensión están conectadas en serie a la tensión de entrada, y que ambos

valores sumados son precisamente, la tensión de entrada. Sin los bloques

“memory”, lo que se esta haciendo es, para cada instante de simulación,

mandar a las fuentes imponer una tensión que ya existe entre esos dos

puntos, dado que es la medida que están tomando los voltímetros. Esto

provoca que sea imposible para el sistema actualizar los valores de tensión

de las fuentes, provocando que el sistema nunca cambie a pesar de las

variaciones de carga que existan. El bloque “memory” impone un retraso

en la medida, es decir, que la medida que registra el bloque subsystem es

la medida tomada en el instante de simulación justo anterior al que se está

calculando. De esa manera, rompemos el bucle algebraico y el sistema

puede evolucionar.

4 Inicialización del convertidor simplificado

Como se puede intuir en lo explicado anteriormente, los bloques

Memory necesitan ser inicializados, ya que en el instante 0, en el que

comienza a calcular la simulación Matlab, no existe ninguna medida de la

tensión anterior a ese momento. Este valor es desconocido antes de

empezar la simulación y darle un valor distinto provoca unos transitorios

que afectarán a la representación de estado y en consecuencia a errores en

el diseño del control.

Por todo esto, es necesario crear un nuevo sistema inicializador del

modelo presentado en el apartado anterior, al igual que se ha hecho con

los trenes. Éste será un sistema distinto al definidio en el apartado anterior

y por tanto se simulará por separado, primero el modelo simplificado

inicial y después el modelo simplificado sin transitorios ni

Memoria.

36

discontinuidades. Esto se debe de hacer así, ya que en la inicialización

colocaremos interruptores sobre los bornes del convertidor que harán que

el aparato se conecte en un instante determinado. La inclusión de estos

interruptores nos remite de nuevo al problema de la linealidad.

El objetivo de este modelo inicial es poder simular todos los

transitorios de arranque, que en los objetivos de este proyecto no nos

interesan, para obtener un vector con las variables de estado finales. Los

primeros instantes de simulación la carga está desacoplada, con lo que la

tensión que miden los voltímetros es de 3000V. Este es el valor con el que

se inician también los bloques memory. Después de activar la carga y de

que se extingan los transitorios, el sistema llega a unos valores estables de

las variables de estado, que son recogidos en un vector. Estos valores

finales, serán los parámetros iniciales del modelo lineal, incluyendo las

inicializaciones de los bloques memory, con lo que el modelo simplificado

lineal no tendrá ninguna variación en las corrientes ni en las tensiones.

En la figura 16 se muestra el convertidor de arranque tal y como lo

se ha diseñado. El resto del sistema, no precisa de cambios. Los trenes

tienen como referencia de potencia 0 durante 0,5 segundos y 1MW desde

ese instante hasta el final de la simulación.

Memoria.

37

Vx

V-3

V02

V+1

filtro

v+-

v+-

Timer 1

Subsystem

D

V+0

V-0

V+x

V-x

Memory 1

Memory

Goto 6

[Imeas_0]

Goto 5

[Imeas_neg ]

Goto 4

[Imeas_pos]

Goto 3

[Vmeas_neg ]

Goto 2

[Vmeas _pos]


i+ -


i+

-

Current Measurement

i+

-


s -+


s -+

Constant

.5

Breaker1

c 12

Breaker

c 12

Figura 16. Convertidor simplificado inicializador

Como se observa, el único añadido principal son dos interruptores

(breakers) controlados por un temporizador (timer). Estos interruptores

permanecen abiertos inicialmente, provocando que aunque la tensión de

entrada se pueda seguir midiendo, las fuentes no aportan corriente alguna

a la vía o a las catenarias, exceptuando el consumo poco significativo de

los condensadores.

Una vez pasado los instantes iniciales, tanto si los trenes han

arrancado como si no, ya se puede conectar el convertidor en la catenaria.

En el arranque, se ha conectado el convertidor siempre a 0,1 segundos de

tiempo de simulación. Pasado un cierto tiempo, todo el sistema se

estabilizará en unos valores determinados, los cuales almacenaremos para

Memoria.

38

incluirlos en la versión lineal del sistema 2x3000V. Todos estos transitorios

que se van formando a medida que se conecta la carga y el convertidor se

verán en el apartado siguiente.

5 Simulaciones con factor de servicio constante

En este apartado se va a demostrar los distintos resultados que

ofrecen las simulaciones de los sistemas si mantenemos el factor de

servicio constante a 0,5. Con ello se pretende demostrar que tanto el

modelo de convertidor simplificado como el modelo de convertidor

“chopper” real son prácticamente idénticos. También se dará una visión

de los transitorios que se crean durante el arranque del sistema.

Para ello, tomamos un caso común de referencia. Se colocan dos

trenes simétricos, es decir, ambos a medio camino entre una subestación y

el convertidor de continúa (Fig. 17). Es un caso simple y elegido al azar, y

bien se podía haber tomado cualquier otra opción de carga.

V2-

V2+

V1-

V1+

V+x/V-x

I+

I-

I0

V+

V-

V+

V0

V-

Tren 2

+-

Tren 1

+- Scope8

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12-

12+

12

11-

11+

11

Figura 17. Sistema 2x3000 con dos trenes a medio camino

En ambas simulaciones, tanto con el convertidor real como con el

simplificado, los trenes estarán a potencia cero hasta pasados los 0,5

segundos de simulación, que pasarán a tener 1MW cada uno. Esto

provocará un transitorio muy brusco en las tensiones y las corrientes del

Memoria.

39

convertidor, pero que sin embargo no es interesante para las conclusiones

finales, ya que nunca ocurrirá nada semejante. Esto se hace así para ver lo

que ocurre en escenarios extremos, y poder observar con mayor facilidad

los transitorios. De ese modo, se podrán comparar las semejanzas entre las

respuestas de los dos modelos. Para el caso del convertidor simplificado,

el que se debe conectar pasados unos instantes, se hace pasados 0,1

segundos de simulación, aunque si no se observan cambios, es debido a

que la única carga que existe en el sistema son las pérdidas de los trenes,

modeladas como resistencias en paralelo con las fuentes de potencia. El

consumo es del 1% de la corriente que se desarrollará con las fuentes

acopladas, de modo que apenes se observarán las variaciones. A

continuación, en las figuras 18 y 19, se muestra la evolución de las

tensiones entre catenaria principal y vía (V+o) y entre vía y catenaria

auxiliar (Vo-), además de las corrientes que se inyectan a través de cada

borne en sentido generador.

0 0.5 1 1.5

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

V+0V0-I+I0I-

Figura 18. Respuesta eléctrica del convertidor simplificado

Memoria.

40

0 0.5 1 1.5

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

V+0V0-I+I0I-

Figura 19. Respuesta eléctrica del convertidor real

El valor más interesante, es precisamente el valor mas parecido en

ambas simulaciones: la tensión catenaria principal y vía (V+o) porque esa

es la tensión que se pretende modificar mediante el control del factor de

servicio. La única diferencia es el amortiguamiento, ya que el modelo

simplificado es ligeramente menos amortiguado que el convertidor real.

Esto puede resultar incluso positivo, porque si se diseña para un modelo

que presenta mayores oscilaciones, el control final estará capacitado para

trabajar sobre el modelo real, dando algo más de amortiguamiento al

sistema del que en un principio se prevé.

En el instante en que se activan las cargas, aparece un pico de

bajada de la intensidad Io, que no se encuentra en el modelo real. El pico

se crea debido a que el modelo simplificado mantiene la suma de las

intensidades salientes a valor de 0, mientras que el convertidor real, no

puede mantener esta realidad en todo momento y la energía que no se

transforma se consume dentro de los elementos que lo conforman. Existe

Memoria.

41

también ligeras variaciones en la curva transitoria en el resto de las

variables, aunque no muy significativas. Las diferencias se deben, como es

de suponer, al hecho de que un modelo posee fuentes de tensión, que no

crean ningún armónico, mientras que el segundo posee tiristores que sí lo

hacen. No obstante solo afecta al amortiguamiento del pico de subida,

mientras que el tiempo de establecimiento es exactamente el mismo para

ambos casos, lo cual resultará útil a la hora de centrarnos en el diseño de

un control lo más rápido posible.

Hay que recalcar de nuevo la poca diferencia que crean los

armónicos en el modelo real sobre las variables eléctricas respecto al

modelo simplificado. El hecho de que no estén presentes en el convertidor

simplificado, no impide que los transitorios, y sobretodo, los valores

medios finales que alcanzan las dos simulaciones, sean muy parecidos,

como se muestra en la tabla 3. En esta tabla, se ha incluido también la

comprobación de la suma de las intensidades. Esta suma, si entendemos

que el convertidor no puede generar potencia, el valor debe ser negativo o

prácticamente nulo (el criterio utilizado, recordamos, es el de generador y

si el valor es negativo, significa que el convertidor esta consumiendo

energía, la energía disipada por las resistencias internas).

Con convertidor

real

Con convertidor

simplificado

Sin Convertidor

V+o (V)

Vo- (V)

2941,5

2953,2

2942,8

2953,9

2883,4

3012,25

I+ (A) 157,4 158,2 0

Io medio(A) -315 -316,3 0

I- (A)

ΣI

157,4

-0,2

158,1

0

0

0

Memoria.

42

Tabla 3. Valores finales alcanzados por el sistema con convertidor simplificado y real con factor de

servicio constante y sistema sin convertidor

Para finalizar es interesante comprobar ahora, aún sin haber

incluido un control en el factor de servicio, el hecho de que la introducción

de cargas sobre el sistema cree unas caídas de tensión en el punto medio

de la catenaria, y que la introducción del convertidor sobre el sistema

ferroviario ayuda a reducir estas caídas, como se puede observar en la

tabla 3. Otro dato que puede llevar a confusión es la tensión Vo- cuando

no existe convertidor. El hecho de que sea mayor de 3000 V es debido a

que la catenaria auxiliar, por donde no pasa corriente ahora, se mantiene a

la misma tensión que los grupos rectificadores, a -3000V con respecto a

tierra, mientras que a lo larga de la vía, las corrientes que regresan de las

cargas inducen tensiones sobre la vía, de manera que la tensión entre

catenaria auxiliar y vía es mayor al valor nominal.

La caída de tensión sobre el punto medio de la catenaria pasa de

116,6V a 58,5V cuando insertamos el convertidor con factor de servicio

constante, lo cual supone una mejora de un 49,8%. Mas adelante, cuando

incluyamos el control, podremos reducir esta caída hasta 0, ya que nuestro

convertidor mantendrá la tensión entre catenaria y vía a 3000V,

reduciendo aún más las caídas que observen los trenes al circular por la

vía.

Memoria.

43

Capítulo 4 DISEÑO DEL CONTROL

AUTOMÁTICO DEL CONVERTIDOR

1 Topología del control automático del convertidor

En este capítulo vamos a seguir todos los pasos que se han tomado

para dar con un control automático de regulación del factor de servicio. El

objetivo no es controlar el factor de servicio en sí, pero mediante el control

de este parámetro se puede controlar la tensión de salida, y más

concretamente, la tensión entre catenaria y vía V+o.

El objetivo principal del control es mantener la tensión entre

catenaria y vía a 3000V, dado que de esa manera se minimizarán las caídas

de tensión sobre los trenes sin superar el valor nominal de voltaje. Por

ello, la regulación tendrá como entrada un punto de consigna que será la

tensión de 3000V, lo comparará con el valor medido por los voltímetros, y

mediante un regulador, se ordenará al convertidor el factor de servicio

necesario para mantener tal tensión en la catenaria.

El problema aparece cuando existen muchas cargas en el sistema.

Al haber fuertes caídas de tensión, y el control exigiendo que se mantenga

la tensión a 3000V, el convertidor tendrá que inyectar sobre el sistema

corrientes elevadas. La idea para el sistema 2x3000V, es que según la

necesidad que haya para cada caso de salvar las caídas de tensión que

aparezcan sobre la vía, el constructor elegirá la potencia nominal del

convertidor. Cuando en el sistema aparezcan muchas cargas, el

convertidor, que estaría manteniendo la tensión de 3000V, deberá reducir

esta consigna lo suficiente para que en este caso, las corrientes que pasen

por él no superen los valores máximos para los que está diseñado. De lo

Memoria.

44

contrario, las sobreintensidades pueden calentar en exceso los circuitos

internos y dañar gravemente alguno de sus componentes, teniendo que

reponer y sustituir el sistema.

Por todo ello, la consigna de tensión, debe estar restringida por las

corrientes que atraviesan el convertidor. La corriente más elevada para la

topología del sistema 2x3000v que se está analizando, es siempre la

intensidad Io, es decir, la corriente inyectada sobre la vía (en realidad, el

valor es siempre negativo, por lo que esta corriente no es inyectada, sino

absorbida). Así pues, la consigna de tensión debe tener un control previo

de su valor, según los valores de intensidad que se estén alcanzando en el

sistema.

La regulación por tanto debe controlar una variable, el factor de

servicio, condicionado por 2 parámetros del sistema: tensión V+o e

intensidad Io. Para tener en cuenta todo lo comentado, la regulación

deberá tener dos lazos de control, uno principal que controle las

variaciones de tensión para una consigna determinada, y un lazo

secundario, dentro del principal, que restringa estas tensiones a los valores

de intensidad.

La solución, una regulación en cascada, como se muestra en la

figura 20 [1]. El control de tensión proporciona un valor de intensidad

necesaria, que a su vez, el control de intensidad restringe sobre el máximo

permitido. Al mismo tiempo, este bloque calcula el factor de servicio

necesario para las condiciones del circuito, ya sea de mantener la

intensidad, o de mantener la tensión. La restricción será por tanto la

encargada de activar uno u otro bloque.

Memoria.

45

Figura 20. Topología de la regulación en cascada del convertidor CC/CC

Para hacer el diseño de los dos controles, se debe conseguir dos

funciones de transferencia del sistema, es decir, tal y como se enseña en la

figura, obtener la planta Io/D y la planta V+o/Io. Con la función de

transferencia de la intensidad con respecto al factor de servicio,

diseñaremos un control PI o PID adecuado, que será el responsable de dar

un factor de servicio para variaciones de corriente. Con la función de

transferencia de la tensión con respecto a la intensidad, junto con el lazo

de control antes definido, obtendremos el control que proporcionará la

intensidad ante ciertas variaciones de la tensión de entrada para una

referencia, que será siempre de 3000V.

2 Obtención de la función de transferencia Io/D

Matlab permite obtener la función de transferencia de cualquier

sistema, definiendo previamente una entrada y una salida, aunque, como

ya se ha explicado anteriormente, para que pueda realizar esta operación

precisa estar definido sobre un sistema continuo y no sobre un sistema con

interruptores.

Para obtener la función de transferencia es preciso utilizar el

sistema simplificado y su inicializador correspondiente. Lógicamente, se

tendrá que definir distintos sistemas para varias posibilidades de carga del

sistema, es decir, un esquema distinto para cada caso, con uno o varios

Control

V Vref + - + -

Control

Io

Planta

Io/D

Planta

Vo+/Io

∆V ∆I D Io V+o Iref

Memoria.

46

trenes y situados a distancias diferentes. La definición de las entradas y las

salidas las hacemos en los propios esquemas ya creados, como se puede

observar en la figura 21. Vemos que para este caso, la definición de

entrada serían variaciones en el factor de servicio, mientras que la salida es

la Intensidad Io.

En la figura se puede observar que a la entrada se le suma 0,5, que

es el valor por el que rondará el factor de servicio durante las

simulaciones, de manera que la entrada serán las variaciones de este

factor, o como se suele denominar, ∆D. En el control final esta suma

también estará presente.

Memoria.

47

Out 11

V2-

V2+

V1-

V1+

V+x/V-x

In 1 I+

I-

I0

V+

V-

V+

V0

V-

Tren 2

+-

Tren 1

+- Scope 8

42-

42+

42

41-

41 +

41

32-

32 +

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12 -

12+

12

11-

11+

11

In1

1

Vx

V- 5

V+

4

I03

I-

2

I+ 1

V-3

V0

2

V+1

filtro

v+-

v+-

Subsystem

D

V+0

V-0

V+x

V-x

Memory 1

Memory

Goto 6

[Imeas_0]

Goto 5

[Imeas_neg ]

Goto 4

[Imeas_pos]

Goto 3

[Vmeas_neg ]

Goto 2

[Vmeas _pos]

From8

[Imeas_neg ]

From7

[Imeas_pos]

From4

[Imeas_0]

From3

[Vmeas _neg ]

From2

[Vmeas_pos]


i+ -


i+

-

Current Measurement

i+

-


s -+


s -+

Constant

.5

In1

1

Figura 21. Definición de la entrada ∆D (In1) y la salida Io (Out1)

El caso presentado en la figura anterior, es el caso de dos trenes

simétricos a medio camino entre convertidor y subestación. Para que el

estudio abarque gran cantidad de combinaciones de carga posible, hemos

decidido obtener la función de transferencia de 9 casos diferentes. Los tres

Memoria.

48

primeros casos son la función de transferencia con un tren en el sistema,

situado en tres posiciones distintas. El primer caso, el tren se sitúa en el

centro, es decir, en el mismo punto donde se conecta el convertidor. El

segundo caso, el tren se sitúa a medio camino, del mismo modo que se

observa en la figura 21, pero eliminando uno de los trenes. El tercer caso

sería el de situar el tren en el extremo, justo en el punto donde está una de

las subestaciones. Este último caso, es equivalente a no colocar trenes,

dado que la potencia que consume la toma directamente de la subestación,

y la catenaria, que en este caso no transporta la energía, no sufre de caídas

de tensión, igual que en el caso sin trenes .

Los tres siguientes casos, vienen a ser muy semejantes que los casos

con un solo tren, solo que esta vez, el número de trenes a colocar en el

sistema son dos. Los trenes aquí se colocarán de forma simétrica, es decir,

que si un tren se sitúa a medio camino entre una subestación y el

convertidor, habrá otro situado de la misma manera, pero entre al

subestación opuesta y el convertidor. Con esta premisa, creamos los tres

casos de dos trenes, el primero con dos trenes en el centro (donde se sitúa

el convertidor), el segundo con dos trenes a medio camino (Fig. 21), y el

tercero con dos trenes en los extremos (donde se sitúan las subestaciones).

Los tres últimos casos son los que denominamos casos base. El

primer caso base consta de cuatro trenes repartidos uniformemente por la

catenaria y de la manera en que se observa en la figura 22. El segundo caso

base lo denominamos caso base centro, porque la intención de este caso es

que la carga de cuatro trenes se sitúe lo mas cerca del convertidor.

Concretamente, habrá dos trenes en el punto donde se conecta el

convertidor y luego dos trenes más en los puntos inmediatamente

anteriores y posteriores al centro del sistema. Este caso es el que

produciría más caída de tensión sobre la catenaria que el resto de los

casos, dado que se transporta la intensidad necesaria de cuatro trenes

durante un trayecto de catenaria mucho más largo que el caso base

Memoria.

49

normal, con lo que las caídas por efecto joule son mayores. El tren central,

está definido con el doble de potencia que un tren convencional, es decir,

de 2MW, y supone la representación de que hay dos trenes cruzándose

sobre la misma línea.

Out 11

V2-

V2+

V1-

V1+

V+x/V-x1

In 1I+

I-

I0

V+

V-

V+

V0

V-

Tren 4

+-

Tren 3

+-

Tren 2+

-

Tren 1

+-

Scope3

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12-

12+

12

11-

11+

11

In11

Figura 22. Topología del caso base

Out 1

1

V2-

V2+

V1-

V1+

V+x/V-x

In 1 I+

I-

I0

V+

V-

V+

V0

V-

Tren 3

+-

Tren 2

+-

Tren 1

+-

Scope8

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12-

12+

12

11-

11+

11

In1

1

Figura 23. Topología del caso base centro

El ultimo caso, lo denominamos caso imposible. Aquí, hemos

colocado la mayor cantidad posible de trenes, situando un tren en cada

posición disponible de la catenaria y definiendo cada bloque con el doble

Memoria.

50

de potencia, como se puede observar en la figura 24. Este caso es sólo para

confirmar que la inclusión de muchas o pocas cargas no produce grandes

modificaciones en la función de trasferencia que estamos obteniendo. De

esa manera, nuestro control deberá ser en función del sistema ferroviario y

no de las cargas que exista, porque de lo contrario, nuestro control sólo

sería óptimo para una carga concreta del sistema.

Out 1

1V2-

V2+

V1-

V1+

V+x/V-x1

In 1 I+

I-

I0

V+

V-

V+

V0

V-

Tren 7

+-

Tren 6+

-Tren 5

+-

Tren 4

+-

Tren 3

+-

Tren 2

+-

Tren 1

+-

Scope3

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12 -

12+

12

11-

11+

11

In11

Figura 24. Topología del caso imposible

Para que el Matlab obtenga la función de transferencia, hay que dar

tres órdenes concretas, es decir, introducir tres comandos para cada caso.

El primer comando se denomina “linmod(“system”)” Este comando

obtiene, mediante métodos iterativos, la representación de estado del

sistema dinámico. Esta representación de estado es una forma sistemática

y normalizada de describir sistemas dinámicos utilizando el álgebra lineal,

un método muy sencillo de utilizar para Matlab. El programa se encarga

de definir las variables de estado, mientras que las variables de entrada y

de salida deben ser definidas sobre el sistema, tal y como se ha descrito en

la figura 21. Matlab, cuando utilizamos el comando linmod sobre el

sistema que se defina, nos devuelve cuatro matrices, definidas de la

siguiente manera:

Memoria.

51

Vector u: variables de entrada, de tamaño (1,1) en nuestros casos.

Vector y: variables de salida, de tamaño (1,1) en nuestros casos.

Vector x: variables de estado, de tamaño (n,1) según cada caso.

E. 7 BuAxx +=•

E. 8 DuCxy +=

Viendo estas ecuaciones, se puede entender de forma más clara que

la definición de éstas exige un sistema lineal e invariente, ya que de lo

contrario, tendrían que definirse a trozos, o simplemente, sería imposible

hacerlo. A estas ecuaciones se puede aplicar, para eliminar las derivadas,

la transformada de Laplace, quedando como se presentan a continuación:

E. 9 )()()( sUBsXAsXs ⋅+⋅=⋅

E. 10 )()()( sUDsXCsY ⋅+⋅=

Una vez que Matlab obtiene las matrices A, B, C y D, y a partir de las

ecuaciones 9 y 10, se puede hallar la función de transferencia Io/D,

resultado del cociente de Y(s)/U(s):

E. 11 DBAIsCsUsY +⋅−⋅⋅= −1)()()(

Esta operación que describe la ecuación 11, Matlab puede realizarla

utilizando un comando que escribimos así:

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

El comando nos devolverá dos vectores. El vector “num” guarda

los coeficientes del polinomio en función de s, que presenta los ceros de la

función. El vector “den” guarda los coeficientes del polinomio en función

de s, que presenta los polos.

Para rematar esta operación, se utilizan tres comandos más. El

primero se escribe “tf(num,den)”, que hará que Matlab guarde ambos

Memoria.

52

vectores como coeficientes de una función de transferencia. Después, se

usa el comando “zpk(tf)”, que guarda la función de transferencia anterior

en forma de ceros, polos y ganancias. Finalmente, se utiliza el comando

“minreal(ft)”, que elimina todos los ceros y polos que son iguales, para

simplificar la expresión. Todos los resultados que se van obteniendo a lo

largo de la ejecución de los comandos explicados, para cada caso de carga,

se expresan en la última parte de este proyecto.

A continuación, en la tabla 4, se presentan las funciones obtenidas

para cada caso descrito anteriormente. A la hora de presentarlas aquí, se

han eliminado ciertos ceros y polos que, aunque no sean iguales, sus

valores eran muy cercanos. Por ejemplo, en la 1ª función se ha eliminado

el cero -101,7 y el polo 100,7. Para que esto no afecte a la ganancia estática,

se ha multiplicado la ganancia de la funcione por el cociente del cero y el

polo eliminado.

Otra de las razones por las que esto se puede hacer, es que Matlab

halla estas funciones basándose en métodos iterativos. Esto hace que las

expresiones no sean completamente exactas, sino que poseen un ligero

error. Este error, produce variaciones entre ceros y polos que

perfectamente se podrían simplificar, ya que en la respuesta en frecuencia,

la unión de los efectos que hacen un cero y un polo semejantes son

prácticamente se anulan.

Además, Si se ejecuta el programa con alguna variación en el

tiempo de simulación, o simplemente, el programa decide tomar instantes

de simulación más cortos que en cualquier otra ocasión cualquier otra

ocasión, nos encontramos que los resultados pueden variar de manera

importante a la hora de expresar las funciones de transferencia, aunque no

varían las respuestas en frecuencia que producen (El Step Size, como así se

denomina el tiempo entre el cálculo de uno y otro punto de la simulación,

es automático).

Memoria.

53

Esta singularidad, este hecho que hace que las expresiones sean

únicas a cada ocasión que se simulan los casos, nos lleva a adjuntar en este

proyecto el código de ejecución resultante de la obtención de estas

funciones de transferencia. Este código, recoge tanto las matrices A,B,C,D,

de cada caso, como la expresión completa de las funciones de transferencia

resumidas aquí. Para ver estos resultados, se deberá ir a la parte III, sobre

el Código Fuente.

Casos y

denominación de

las funciones

Funciones de transferencia Io/D

Un tren centro

(FT1) 3661) + s48,64 + (s8,301)+(s

)102,356+s()102,672+s(1386,02

45

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Un tren medio

(FT2) 3738) + s49,28 + (s8,184)+(s)102,776+(s

)102,356+s()102,183+s(48474,891525

45

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Un tren extremo

(FT3) 3765) + s49,51 + (s8,144)+(s

)102,356+s( 38742,31042

4

⋅⋅⋅⋅

Dos trenes centro

(FT21) 3548) + s47,67 + (s8,481)+(s

)102,356+s()102,559+s(13771,02

45

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Dos trenes medio

(FT22) 3711) + s49,05 + (s8,255)+(s)102,775+s(

)102,748 + s102,126 + (s)103,403-s(26,225525

8424

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

Dos trenes

extremo(FT23) 3765) + s49,51 + (s8,144)+(s

)102,356+s( 38742,7992

4

⋅⋅⋅⋅

Caso Base (FTB1) 3627) + s48,33 + (s8,354)+(s)102,77+s()105,66+s(

)104,1+s)(104,9+s)(101,2+s)(102,356+s(102,36255

14554-10

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Caso Base Centro

(FTB2) 3406) + s46,39 + (s8,724)+(s)103,727+s(

)109,304+s)(109,663+s)(102,356+s(0,1358725

454

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Memoria.

54

Caso Imposible

(FTB3) 2961) + s41,73 + (s9,63)+(s)101,402+s)(105,487+s(

)101,12+s)(104,3+s)(103,6+s)(102,356+s(0,1127255

6454

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Tabla 4. Funciones de transferencia Io/D obtenidas para los nueve casos descritos.

A primera vista, ojeando los coeficientes de las funciones, es posible

pensar que muchas difieren entre ellas. Sin embargo, observando mas

detenidamente los valores de los ceros y los polos, se podrá ver que la

mayor parte de las diferencias se encuentran debido a que algunas poseen

polos o ceros del orden de 105, una magnitud muy superior para los

niveles de frecuencia en los que se mueve el convertidor (La frecuencia del

PWM máxima que suele existir es de 10000 Hz, unos 6,28.104 rad/seg). Si

calculamos la ganancia estática de cada una de las funciones, encontramos

que todas las funciones tienden a valores muy semejantes. Los valores que

mas se alejan de la mayoría son, como era de suponer, los casos más poco

probables, es decir, el caso imposible y el caso con 4 trenes en el centro.

FT1 FT2 FT3 FT21 FT22 FT23 FTB1 FTB2 FTB3

F(0) 28711 29358 29769 27591 28849 29769 28217 25987 20986

Tabla 5. Ganancia estática de las funciones de transferencia

Dado que lo que nos interesa para el diseño del control, es la

respuesta en frecuencia del lazo abierto del sistema, se muestra a

continuación el diagrama de Bode de las funciones de transferencia (Fig.

25). Es además una manera de mostrar las grandes semejanzas que ofrecen

las respuestas en frecuencia de todos los casos. Se puede observar en el

diagrama de magnitud que todas las líneas siguen aproximadamente el

mismo recorrido hasta llegar a las frecuencias de 20000 rad/seg. A partir

de este punto, empiezan a actuar esos ceros y polos distintivos de cada

una de las funciones.

Si nos fijamos en el diagrama de fase (Fig. 25), ocurre lo mismo que

lo mencionado para el diagrama de magnitud salvo por una función. La

Memoria.

55

función de dos trenes en el medio (FT22) está pintada 360º por encima del

resto. Esto hace que parezca distinta a las demás, pero en realidad, es el

mismo caso que en el resto, dado que las fases que recorren son

equivalentes, es decir 270º son lo mismo que -90º. La razón de que

aparezca distinta en el diagrama, son el cero y la ganancia negativa que

existen en la función. Esto no supone ningún problema de inestabilidades,

dado que el caso no difiere estructuralmente del resto. Sin embargo, para

que en las gráficas posteriores no aparezca este problema, cambiaremos el

signo, cambiaremos la expresión de este caso por la expresión más

sencilla, es decir, en los casos en los que no hay trenes. La función

utilizada para sustituir a FT22 en las representaciones vendrá a tener los

ceros y polos que aparecen en los casos extremos, sin trenes, pero con la

ganancia estática equivalente, quedando de la forma que se presenta en la

ecuación 12. Si no incluimos el resto de polos y ceros, es porque no nos

interesarán a la hora de diseñar el control. Esta función de transferencia,

será la que utilizaremos para diseñar el control

E. 12 )376551,49()144,8(

)10356,2(3754522

2

4

++⋅+⋅+⋅=

ss

sFT

Memoria.

56

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

108

-360

-180

0

180

360

Pha

se (

de

g)

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de

(dB

)

FT1

FT2

FT21

FT22FT23

FT3

FTB1

FTB2

FTB3

Figura 25. Diagrama de Bode de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia

Io/D

Aún así, ha de tenerse muy en cuenta que el método que utiliza el

Matlab para obtener las representaciones de estado de cada uno de los

sistemas dinámicos que hemos definido, lo hace mediante métodos

iterativos, y por tanto, ninguna obtención es exactamente igual a la

anterior. Muchos de los valores que se presentan en este proyecto pueden

diferir ligeramente si se simula en otro ordenador, o con la configuración

de simulación distinta. En nuestro caso, el método de simulación es el

solucionador Bogacki-Shampine (ode23-ode23t). Teniendo en cuenta todo

esto, podemos afirmar que la función de transferencia se puede reducir

para todos los casos, y a todos los efectos en la expresión de los casos con

los trenes en los extremos. Estos casos, que como ya se ha dicho, son

equivalentes a que no haya trenes en la vía demuestran que lo único que

podrá variar los parámetros de nuestro futuro control, serán las distancias

que abarque el sistema y el tipo de vías y catenarias que se utilicen, es

Memoria.

57

decir, el control dependerá únicamente del sistema ferroviario y nunca de

la carga que presente el mismo.

3 Control de intensidad

A partir de todos los datos obtenidos, vamos a diseñar un control

de intensidad para el convertidor. El método de diseño del control está

basado en técnicas de respuesta en frecuencia, un método muy sencillo y

gráfico, que permitirá obtener los parámetros de los tipos de control más

usuales. Estos son, el control proporcional P, el control proporcional más

integral, el método proporcional más diferencial y el método proporcional

más diferencial. Cada uno de estos controles aportará más rapidez,

amortiguamiento o precisión, según sea el objetivo buscado. Para los dos

controles que se diseñarán en este capítulo, los dos parámetros buscados

más importantes son la rapidez y la precisión, aunque no se perderá de

vista el amortiguamiento, ya que si este es muy bajo, la respuesta tendrá

oscilaciones muy excesivas y habrá que crear un control más amortiguado.

Antes de comenzar con el diseño, es importante estudiar la

estabilidad del sistema. Hay muchos métodos para realizar este análisis,

pero sin duda, con la correcta utilización de Matlab podemos obtener

todos los diagramas existentes para expresar la respuesta en frecuencia,

tales como el diagrama de Bode, mostrado anteriormente, el diagrama de

Black, que utilizaremos para diseñar gráficamente y el que atañe ahora, el

diagrama de Nyquist. Este diagrama muestra la respuesta en frecuencia

Sobre un eje de coordenadas de números complejos, es decir, dibuja para

cada frecuencia el valor complejo que se obtiene de las funciones de

transferencia de lazo abierto. Este diagrama esta dibujado en la figura 26.

Memoria.

58

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10

4

Figura 26. Diagrama de Nyquist de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia

Io/D

Para conocer el número de inestabilidades que tendrá el lazo

cerrado, basta con contar el número de polos positivos que existen en la

función (en nuestros casos no hay ninguno) y el número de rodeos

horarios que hace la curva sobre el punto crítico -1. Si se observa bien este

diagrama, se pueden contar dos rodeos en total, por lo que habrá que

salvar estas dos inestabilidades para obtener un control estable. Como ya

se verá mas adelante, Si incluimos en el control proporcional una ganancia

menor a 0dB, el efecto sobre la respuesta del lazo abierto es reducir la

curva. Esta reducción, se podrá hacer lo bastante pequeña como para que

los dos rodeos se dibujen fuera del punto -1. Así pues, la inestabilidad se

podrá salvar con un adecuado control proporcional. Esto nos abre las

posibilidades del control a ser de cualquier tipo, tanto proporcional (P),

proporcional-diferencial (PD), proporcional-integral (PI) y la mezcla de

todos, proporcional-integral-diferencial (PID).

Memoria.

59

La manera más gráfica de observar la respuesta en frecuencia, y por

tanto, de encontrar el mejor diseño para el control, es el gráfico de Black (o

también denominado, de Nichols). En este gráfico (Fig. 27), no se muestra

la respuesta en amplitud y fase sobre cada valor de pulsación, como es el

caso del diagrama de Bode. Aquí, la respuesta está dibujada tal que en el

eje de ordenadas se indica la fase y en el eje de abscisas se indica la

amplitud en dB. Esto permitirá medir de forma sencilla el margen de fase

y de ganancia.

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-L

oo

p G

ain

(d

B)

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45-200

-150

-100

-50

0

50

100

System: FTB3Gain (dB): 76.2Phase (deg): -135Frequency (rad/sec): 42.1

System: FTB3Gain (dB): 60.3Phase (deg): -230Frequency (rad/sec): 88.9

FT1

FT2

FT21

FT22FT23

FT3

FTB1

FTB2

FTB3

Figura 27. Diagrama de Black de las respuestas en lazo abierto de las funciones de transferencia

Io/D. El punto crítico, se dibuja en rojo.

El Margen de fase es el retraso de fase que habría que añadir al lazo

abierto para obtener un sistema oscilante. Para medir este argumento, se

debe ver el argumento que presenta la respuesta en frecuencia para una

oscilación tal que su amplitud sea 1, es decir 0dB. Esta oscilación, se

denomina pulsación de cruce (w0) y cuanto más grande sea, mas rápido

Memoria.

60

será el sistema. El propio margen de ganancia es también una medida

cualitativa del amortiguamiento, ya que a mayor margen, mayor

amortiguamiento. En el gráfico de Black, es la distancia desde el punto

crítico -1 (0dB, -180º) a la curva. Esta distancia debe ser siempre positiva

para que el lazo cerrado sea estable, lo cual en nuestro caso, no lo es (es de

casi -). Del mismo modo, el margen de ganancia, que sería la distancia

vertical desde el punto crítico a la curva, también debería ser positivo. En

resumidas cuentas, para que nuestro sistema sea estable, la respuesta en

lazo abierto del control y la planta deberá dibujar un gráfico de Black que

haga su recorrido por debajo del punto crítico.

Cada parte del control desplazará la curva de una forma u otra. La

parte proporcional, si aplica al lazo una ganancia mayor o menor a 0dB, la

curva se desplazará hacia arriba o hacia abajo respectivamente. La parte

diferencial crea un adelanto de fase y una cierta ganancia, con lo que

además de aumentar la rapidez del sistema, desplaza el margen de fase

hacia la derecha (mayor amortiguamiento).La parte integral, además de

dar precisión al control (elimina el error de seguimiento), aplica sobre la

respuesta un retraso de fase, con lo que desplaza el margen de ganancia a

la izquierda.

Lo primero que se va a realizar es el diseño con el control más

sencillo. Esto es, un control Proporcional, que es aquel que multiplica

sobre la señal de entrada un valor concreto, es decir, que la función de

transferencia equivalente a este control es C(s)=P, donde P es una

constante. Este control tendrá que aplicar una ganancia de al menos -77dB

para que el margen de fase se encuentre entre 45º y 60º, valores habituales

para el diseño de un control. El valor de P, en unidades normales, es de

0,000155.

Si se aplica este valor sobre la función FT22 (caso dos trenes en el

medio), observamos que el diagrama de Black ahora se acoge a los

Memoria.

61

requisitos de estabilidad que se describen anteriormente, con un margen

de fase de unos 53º (Fig. 28).

Nichols Chart


Ope

n-L

oo

p G

ain

(d

B)

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0 45-250

-200

-150

-100

-50

0

50System: FGain (dB): -4.49Phase (deg): -180Frequency (rad/sec): 64.5

System: FGain (dB): -0.0464Phase (deg): -127Frequency (rad/sec): 43.1

Figura 28. Diagrama de Black del lazo abierto de la función FT22, con un control P-77dB (F)

Si se observa la respuesta ante un escalón del lazo cerrado (Es decir,

la respuesta del sistema ante una variación de la corriente Io de 1

Amperio), mostrada en la figura 29, denotamos que el sistema, además de

tener poco amortiguamiento, posee un error de seguimiento de casi un

20%. Esto significa que, si queremos darle precisión al sistema, tendremos

que añadir al control una función integral.

Memoria.

62

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 29. Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional

El control que se aplicará ahora a la planta es un control

proporcional-integral. Este control posee una parte proporcional del

mismo modo que el anterior, pero al mismo tiempo se añade una

integración (1/s) de forma que éste irá reduciendo el error de seguimiento

hasta que sea nulo. Sin embargo, este control produce un retardo de la

fase, que conllevará a una respuesta más lenta. La función de transferencia

equivalente a este bloque está descrita en la ecuación 13:

E. 13 Is

IsKpSCPI

+= 1)(

A partir de esta función debe establecerse el margen de ganancia

deseado y el retardo de fase que se pretende que aplique el control. Un

retardo de fase muy bajo, corresponde a una integración muy eficaz contra

ruidos y perturbaciones, pero de una respuesta lenta. El retardo habitual

de diseño es de 10º. Una vez definido esto, hay que establecer el margen

de ganancia deseado. El caso que presenta una mejor respuesta, es decir,

rápida, y estable, es para un margen de ganancia mínimo, de 45º.

Memoria.

63

Para hallar los parámetros del control, basta con tomar el punto de

la respuesta del lazo abierto que tiene de fase -125º, porque con el retardo

de -10º que aportará la integración, será el punto cuyo valor será la

frecuencia de pulsación. Este será el punto de diseño, del que se basarán

los cálculos de los parámetros de control. Para nuestro caso, el valor de

pulsación w de diseño será de 34,6 rad/seg y la amplitud de este punto es

de 78,4dB, luego la ganancia total del control (Ac) en ese punto deberá ser

de -78,4 dB Teniendo en cuenta las ecuaciones 14 y 15 se obtienen los

valores de I y de Kp respectivamente:

E. 14 5

tan1

º10

≅−=⋅

−=

PI

PI

Iwϕ

ϕ

E. 15 )cos( PIAcKp ϕ⋅=

De estas ecuaciones, y bajo las premisas que se plantean antes, los

valores de los parámetros que mejor se adaptan al sistema son Kp de

0,0001184 (-78,53dB) e I de 0,1639. La respuesta en lazo cerrado ante un

escalón (Fig. 30), demuestra que desaparece el error de seguimiento que

había antes, y el tiempo de establecimiento es de unos 0,55 segundos.

Memoria.

64

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Figura 30. Respuesta ante un escalón del sistema con un control Proporcional-Integral

Si queremos mejorar aún más el tiempo de establecimiento,

tendremos que añadirle una acción diferencial. Así pues, el control que

trataremos de hacer ahora es el de un control PID (Proporcional-Integral-

Diferencial). Este control provoca un adelanto de fase sobre la palnta, de

modo que podemos hacer que la frecuencia de pulsación sea mayor y en

consecuencia, crear un control más rápido. La función de transferencia

equivalente a este control está definida en la ecuación siguiente:

E. 16 fDs

Ds

Is

IsKpSCPID +

+⋅+=1

11)(

Al igual que en el caso anterior, lo primero que se debe establecer es

el margen de fase deseado, el retardo que impondrá la acción integral y,

como novedad, el adelanto que impondrá la acción diferencial. Este

Memoria.

65

adelanto (φPD) esta directamente ligado con el parámetro f de la forma

siguiente:

E. 17

10

11

≤≤+−=

f

f

farcsenPDϕ

Como conclusión de la ecuación 17, se entiende que a valores bajos

de f, mayor adelanto de fase se podrá realizar, y en consecuencia, mayor

rapidez del sistema. Sin embargo, la amplitud a altas frecuencias será

proporcional a 1/f, con lo que los armónicos del PWM y de otros

transitorios que se puedan producir, se amplificaran de modo que las

oscilaciones en el sistema puedan acarrear problemas de estabilidad, pese

a diseñar para un margen de ganancia aceptable. Es por eso, que el

adelanto de fase no debe superar los 80º para evitar problemas.

De la misma manera que el caso anterior, definiendo las

condiciones tales como el retardo de la acción integral, El adelanto de la

acción diferencial y estableciendo con estos datos el punto de diseño (esto

es, hallar Ac y w), se deducen de la función de transferencia equivalente

del control, las ecuaciones mediante las cuales se obtienen los parámetros

del control. Estas ecuaciones además de las definidas anteriormente

(ecuaciones 14, 15 y 17), se deberán añadir las siguientes:

E. 18 PIPDC ϕϕϕ −=

E. 19 f

wD1=

E. 20 2

2

)(1

)(1cos

wD

fwDAcKp PI

+

+⋅= ϕ

Estas ecuaciones nos servirán para una primera obtención de los

parámetros de diseño. Sin embargo, a la hora de implementar el control

PID en el sistema, se ha optado por utilizar un regulador PID no

Memoria.

66

interactivo. Esta configuración, es muy habitual en los reguladores

comerciales, y la ventaja más positiva de éste es que podemos variar la

acción integral, diferencial o proporcional, sin afectar a la ganancia final

del control, a diferencia del control interactivo, que como demuestra la

ecuación 20, la ganancia está influenciada por los valores de D y de I . El

esquema de este tipo de control, puede ser de muchas formas, pero la

opción utilizada en este proyecto se puede observar en la figura 31:

Step Scope

PLANTA

num (s)

den (s)

INTEGRAL

1/Ti

I

1s

Ganancia

K

DIFERENCIAL

Td .s

Td /N.s+1

Figura 31. Esquema del regulador PID no interactivo, utilizado para el control de intensidad

La Función de transferencia equivalente de este esquema de lazo

cerrado de regulación (H(s)) se define mediante las siguientes ecuaciones:

E. 21 sT

sCIi ⋅

= 1)(

E. 22

sNT

sTsCD

d

d

⋅

⋅=)(

E. 23 )())(1)((1

)()1)(()(

sPsCDsCIK

sPsCIKsH

⋅++⋅+⋅+⋅=

Donde P(s) es la planta Io/D.

Así pues, La obtención inicial de los parámetros se hará según las

premisas del control interactivo, pero una vez hallados, se obtendrán los

Memoria.

67

parámetros del control no interactivo según las ecuaciones siguientes,

deducidas de la expresión anterior:

E. 24 I

Df )1(1 −+=µ

E. 25 KpK ⋅= µ

E. 26 ITi ⋅= µ

E. 27 DfTd

−=µ1

E. 28 11 −=f

Nµ

Las condiciones de diseño que se han establecido para el control

PID no interactivo serán diferentes. El adelanto de fase de la acción

diferencial será de 70º, suficiente para no amplificar demasiado las

perturbaciones. En el caso del control integral, se demostró que el margen

de fase de 45º para este control, supone un amortiguamiento elevado, ya

que en la respuesta ante un escalón de la figura 29 no se observa ninguna

oscilación. Es por eso que ahora no nos fijaremos en el margen obtenido,

sino que partiremos de la premisa de que, para un punto de diseño con

fase -210º, el margen de fase máximo será 40º. Suponiendo que la acción

integral no podrá reducir este margen lo suficiente como para que el

sistema se vuelva inestable, el diseño inicial partirá de un valor de I

elevado. Esto, hace que el retardo sea muy pequeño. Por ejemplo, El

primer valor de I utilizado es de 10, y poco a poco iremos reduciendo el

valor y observando la respuesta del sistema ante un escalón.

Finalmente, los valores de diseño con los que la respuesta ha sido

mejor, se resumen en las tabla 6 y 7, tanto los valores del regulador no

interactivo, como sus equivalentes del regulador interactivo. Mediante el

esquema de la figura 31, podemos simular la respuesta del sistema,

Memoria.

68

compuesto de planta y control, ante un escalón unitario, respuesta que se

muestra en la figura 31 para los parámetros de control finales:

Kp I D F

PID -5107,998⋅ 0,18 0.070626 0,03109

Tabla 6. Parámetros del control de intensidad interactivo (PID)

K Ti Td N

P+I+D -4101,1039⋅ 0,2484 0,048976 22,305

Tabla 7. Parámetros equivalentes del control de intensidad no interactivo (P+I+D)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 1.281Y: 0.9808

Figura 32. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema con control P+I+D.

Las razones por las que este control es el más adecuado son obvias

si comparamos las respuestas ante escalón de los tres controles distintos

propuestos. El control P+I+D no posee error de seguimiento, y el tiempo

de establecimiento es de 0,281 segundos, la mitad que con el control PI (en

la figura se muestra el punto de establecimiento, al 2% y para un escalón

Memoria.

69

que actúa pasado 1 segundo de simulación). Tiene un amortiguamiento

más que aceptable, con un sobrepaso de no más del 0,8 % de la amplitud.

Es por todo esto por lo que al final, el control de intensidad

diseñado será del tipo P+I+D y los parámetros serán los definidos en la

tabla 7.

Para comprobar que funciona para cualquier caso, se presenta la

respuesta de la misma simulación para el caso imposible, con 14 trenes, en

la figura 33. La única diferencia es que, como era de suponer, aumenta un

poco el tiempo de establecimiento hasta 0,303 segundos.

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1X: 1.573Y: 1.003

X: 1.303Y: 0.9802

X: 1.251Y: 0.9501

Figura 33. Respuesta ante escalón en lazo cerrado del sistema imposible, con control P+I+D.

4 Obtención de la función de transferencia V+o/Io

En este apartado, vamos a hacer el mismo desarrollo que el

explicado en el apartado 2 de este capítulo, con la salvedad de que ahora

se tratará de encontrar las funciones definiendo como salida la tensión

Memoria.

70

entre vía y catenaria (V+o), y la entrada como la intensidad absorbida de

la vía (Io).

Este caso tiene una complicación añadida a lo explicado en el

apartado 2. En los sistemas de Matlab, no se puede definir como entrada

un parámetro que viene determinado por otros tantos del sistema, como es

el caso de la intensidad, que está condicionada por la carga, la tensión y el

factor de servicio del convertidor El único parámetro del convertidor

donde se puede definir una entrada es el factor de servicio, como ocurría

en el caso anterior.

La solución para este problema es muy sencillo Lo que vamos a

hacer es definir, para los 9 casos, un sistema que tiene como salida la

tensión V+o y la entrada será, de nuevo, el factor de servicio D. Estos

sistemas, al obtener mediante “linmod” la representación de estado y

luego, con el resto de comandos, la función de transferencia, será la

función V+O/D. La obtención de las funciones de transferencia que

deseamos se hará mediante el cociente de estas nuevas funciones, con las

funciones del apartado 2, viéndose clara la operación en la ecuación 29:

E. 29

)()(

)()(

)()(

0

0

0

0

sDsI

sDsV

sIsV

+

+ =

Así pues, volvemos a definir las entradas y las salidas en los

sistemas ferroviarios, tal y como se indica en la figura 34 (solo se incluye el

esquema general, donde se ve la definición de la salida, ya que la entrada,

definido en el esquema del convertidor, queda igual que en la figura 23).

Del mismo modo, se muestran las diferentes funciones de transferencia

obtenidas para los 9 casos de carga distintos, ya utilizados para la

obtención de las funciones.

Memoria.

71

Out 11

V2

V2

V1-

V1+

V+x/V-x

In 1I+

I-

I0

V+

V-

V+

V0

V-

Tren 1

+-

Scope8

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12 -

12+

12

11-

11+

11

In11

Figura 34. Definición de la salida V+o (Out1) para la obtención de las funciones V+o/Io

Casos y

denominación de

las funciones

Funciones de transferencia V+o/Io

Un tren centro

(GT1) )102,672+s(

)56,74+s(0115.8855⋅

⋅−

Un tren medio

(GT2) )102,183+s(

)102,776+s()56,74+s(002562,05

5

⋅⋅⋅⋅−

Un tren extremo

(GT3) 56.74)+(s 0.0032436-

Dos trenes centro

(GT21) )102,559+s(

)56,74+s(943,8675⋅

⋅−

Dos trenes medio

(GT22) )102,748 + s102,126 + )(s103,403+(s

56,76)+(s)8,101s)(4619s)(102,775s(0.0062-8524

5

⋅⋅⋅⋅+−⋅+

Dos trenes

extremo(GT23) 56.74)+(s 0.0032436-

Memoria.

72

Caso Base (FTB1) )101,188+s(

)56,74+s()102.775+(s0,00143-5

5

⋅⋅⋅⋅

Caso Base Centro

(GTB2)

Caso Imposible

(GTB3)

)109,304+s()109.663+(s

)56,74+s()103.726+(s 844.603-45

5

⋅⋅⋅⋅⋅

)109,304+s()109.663+(s

)56,74+s()103.726+(s 844.603-45

5

⋅⋅⋅⋅⋅

Tabla 8. Funciones de transferencia V+o/Io obtenidas para los nueve casos

Estas funciones presentan características completamente diferentes

a las funciones de transferencia Io/D. La primera, es la ganancia estática

negativa. Este hecho no supone ningún problema a la hora de diseñar el

control de tensión, ya que la solución para que sea un sistema estable, será

incluir una ganancia adicional de -1, es decir, eliminar el signo negativo de

las funciones de transferencia.

El segundo hecho más importante, es que todas las funciones

poseen un numero de polos igual o menor que el número de ceros. Esto

provoca que el sistema sea inestable, tanto si lo analizamos en lazo abierto

como si lo analizamos en lazo cerrado. Aunque pueda parecer un hecho

preocupante, en realidad, hay que recordar que a la hora de diseñar el

control, no solo se debe tener en cuenta la planta V+o/Io, sino también el

lazo cerrado interno que compone el control P+I+D junto con la planta

Io/D (se recuerda ver el esquema general de regulación, figura 20).

Por ello, las funciones de transferencia que se estudiarán

directamente para obtener el control de tensión, se referirán al producto

de la función del lazo cerrado de intensidad K(s), calculada para cada

caso, con la función de transferencia V+o/Io (GT) que respecta.

E. 30 )()()( sGTsKsL ⋅=

Memoria.

73

Basándonos en el cálculo que proporcionan las ecuaciones 30 y 23 y

usando los parámetros de la tabla 7, se llegan a las siguientes

representaciones de lazo abierto de la planta V+o/Io. Debe tenerse en

cuenta, que al igual que en los casos anteriores, las expresiones han sido

simplificadas. Las expresiones completas pueden verse en el código fuente

de este proyecto, al igual que en todos los casos anteriores.

Casos Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo cerrado de

intensidad

Un tren

centro (L1) )8041+ 74,30s)(82,10(

)102,356+s)(56,74+s(01223,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

Un tren

medio (L2) )8268+ 14,31s)(76,10(

)102,356+s)(56,74+s(012307,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

Un tren

extremo (L3) )8374+ 2,31s)(74,10(

)102,356+s)(56,74+s(012385,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

Dos trenes

centro (L21) )7691+ 16,30s)(92,10(

)102,356+s)(56,74+s(012089,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

Dos trenes

medio (L22) )102,75+ 101,2s)(7691+ 30s)(92,10)(104,3(

)102,7+s)(4619-s)(3862+s)(102,4+s)(56,76+s(0231,084224

54

⋅⋅+⋅++⋅−⋅⋅⋅−

ssss

Dos trenes

extremo(L23) )8374+ 2,31s)(74,10(

)102,356+s)(56,74+s(012383,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

Caso Base

(LB1) )7876+ 71,30s)(83,10(

)102,356+s)(56,74+s(012077,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

Caso Base

Centro (LB2)

Caso

Imposible

(LB3)

)7232+ 42,29s)(04,11(

)102,356+s)(56,74+s(011848,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

)5817+ 01,26s)(49,11(

)102,356+s)(56,74+s(0099266,02

4

ss ⋅++⋅⋅−

Memoria.

74

Tabla 9. Funciones de transferencia V+o/Io con el lazo de control de intensidad, obtenidas para los

nueve casos

Si observamos las expresiones de las distintas funciones de

transferencia, simplificadas como todas las anteriores, se ven que todas

ellas comparten los mismos polos y ceros característicos. La única

excepción, es de nuevo la función FT22, donde cabe resaltar que aparece

un polo negativo que produce inestabilidades, ya en el lazo abierto.

Debemos insistir en la idea de que las simulaciones pueden cambiar los

resultados, debido al método iterativo que utiliza Matlab para obtener la

representación de estado. Ha habido veces, durante otras ejecuciones del

proyecto, que las funciones problemáticas eran otras y FT22 se asemejaba

a lo que son las expresiones de la mayoría. De hecho si observamos el

diagrama de Bode que dibujan todas las expresiones (Fig. 35), vemos que

en las frecuencias normales, todas ellas trazan prácticamente la misma

curva tanto en amplitud como en fase. En el momento en que aparecen las

frecuencias altas (entre 104 y 106), aparecen desviaciones de algunas

funciones, resultado de los polos y ceros grandes que tienen en sus

expresiones. No obstante, a frecuencias muy altas, vuelven a presentar la

misma respuesta, todo igual que para el caso de las funciones de

transferencia Io/D.

Memoria.

75

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

-45

0

45

90

135

180

Pha

se (

de

g)

-200

-150

-100

-50

0

Mag

nitu

de

(dB

)

Figura 35. Diagrama de Bode del las respuestas de frecuencia de las funciones de transferencia

V+o/Io

Para realizar el diseño de control, podemos basarnos en cualquiera

de las expresiones de la tabla 9, excepto la función de FT22. Después, una

vez terminado este control, comprobaremos que el sistema completo

funciona para todas las expresiones.

5 Control de Tensión

Este apartado, corresponde con el diseño del segundo módulo del

regulador del convertidor, el control de la tensión V+o. Nos basamos en

todo lo explicado en este capítulo, es decir, Partimos de las funciones L

que se expresan en la Tabla 9 y utilizando los mismos pasos de análisis

que los utilizados para la obtención del control de intensidad,

obtendremos los parámetros y la topología de este regulador de tensión.

Memoria.

76

Como ya se ha explicado antes, vamos a basarnos en la respuesta de

frecuencia en lazo abierto de las expresiones de lo que será ahora nuestra

planta, las funciones V+o/Io unidas al lazo de intensidad correspondiente.

Esto son las funciones L, y como también se ha hecho en el apartado 3, la

mejor manera de analizar la respuesta en lazo abierto de estas plantas, es

observando la gráfica de Black que describen (Fig. 36).

Nichols Chart


Ope

n-L

oo

p G

ain

(d

B)

-45 0 45 90 135 180 225-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

L1

L2

L21

L22L23

L3

LB1

LB2

LB3

Figura 36. Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de

transferencia L.

La primera inclusión que habrá que hacer en nuestro control de

tensión es solucionar el problema del signo negativo. Este signo, viene a

expresar que la intensidad Io es siempre un valor negativo, es decir, que si

el control que vamos a diseñar deberá aumentar, en módulo, el valor de la

intensidad Io para contrarrestar las caídas de tensión, la señal que saldrá

del regulador deberá ser un valor negativo. Por eso, indiferentemente del

tipo de controlador que vayamos a instalar, la ganancia debe incluir un

factor -1.

Memoria.

77

Para poder diseñar del mismo modo que hemos diseñado el

regulador P+I+D, multiplicamos todas las funciones de transferencia L por

-1, de modo que en el diagrama de Black resultante ya podemos observar

con mayor claridad la distancia al punto crítico, los márgenes de fase y los

márgenes de ganancia.

E. 31 )()( sLsH −=

Nichols Chart


Ope

n-L

oo

p G

ain

(d

B)

-225 -180 -135 -90 -45 0 45-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

H1

H2

H21

H22H23

H3

HB1

HB2

HB3

Figura 37. Diagrama de Black del las respuestas de frecuencia en lazo abierto de las funciones de

transferencia H.

Si exceptuamos la función H22, que presenta un polo negativo, se puede

observar en la figura 37 que todas las funciones restantes poseen

estabilidad en lazo cerrado, dado que las respuestas ante un escalón llevan

a un valor estable. El lazo cerrado, que de momento no incluye control, se

calcula como se indica en la ecuación 32. Para calcular el lazo cerrado con

el control, bastaría con H(s) por el producto de ésta y la función de

transferencia equivalente del control.

Memoria.

78

E. 32 )(1

)()(

sH

sHsJ

+=

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

J1

J2

J21

J23

J3

JB1

JB2

JB3

Figura 38. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H (J en lazo abierto)

exceptuando H22.

Con esta primera aproximación, ya podemos saber que tipo de

control de tensión se necesita diseñar. La respuesta natural del sistema

posee un enorme error de seguimiento (más de un 80% de error), que con

un simple control proporcional, no se podría reducir del todo. Esto, unido

a que precisa también de cierto amortiguamiento, deja claro que el control

ideal para este tipo de sistema será un control Proporcional-Integral (PI).

Del mismo modo que se diseñó un control PI en el apartado 3,

volvemos a hacer lo mismo, utilizando las mismas ecuaciones que lo rigen

(E. 14 y 15).

Las condiciones de diseño para este control serán semejantes a las

que se utilizaron antes. El margen de fase que se obtendrá con el control

Memoria.

79

en lazo abierto no será menor de 45º y el retardo que añadirá el control

será de unos 10º, luego el punto de diseño utilizado será la respuesta en

frecuencia de los casos tal que la fase resultante sea de 125º. El valor medio

de la frecuencia de pulsación, para todos los casos, es de 90 rad/seg, y una

amplitud de -18,8dB. De todas estas condiciones, y usando las ecuaciones

14 y 15, obtenemos un control PI con los parámetros que se resumen en la

tabla 10. No hay que olvidar, que se ha multiplicado la ganancia resultante

por -1, porque la planta real a la que hay que añadir el control, será como

las funciones de transferencia L y no las funciones H que hemos usado

para diseñar de manera más sencilla.

Kp I

PI de tensión 7,73306- 0,063

Tabla 10. Parámetros del control de tensión interactivo (PI) y no interactivo

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 39. Respuesta a un escalón en lazo cerrado de las funciones H con el control (J en lazo

abierto) exceptuando H22.

Memoria.

80

La respuesta con los parámetros obtenidos y para todos los casos de

carga está expresada en la figura 39. Se han probado diseños distintos,

como por ejemplo mejorar el margen de ganancia hasta 60º para obtener

un mayor amortiguamiento Los resultados que se obtenían no anulaban

de manera significativa las oscilaciones que aparecen, y además, resultabn

ser respuestas más lentas. Este control consigue, para cualquier caso, un

tiempo de establecimiento de 0,1 segundos, con un sobrepaso muy corto

en el tiempo (ya que se debe a las oscilaciones) de no más del 10% y con

un error de seguimiento nulo.

En el próximo capítulo, donde se mostrará la implementación del

control en cascada sobre el convertidor real, veremos que hará falta aislar

la acción integral del regulador de tensión, para poder anular el que

acumule error sobre él cuando se alcanza el máximo de intensidad

nominal. Por eso, nuestro regulador PI será no interactivo (P+I), al igual

que el control de intensidad. Mediante las ecuaciones equivalentes

utilizadas en el apartado 3 (E. 24,25 y 26), se demuestra que el parámetro

Ti es igual al parámetro I, y que el parámetro K es igual a Kp, luego los

valores de la tabla 10 valen también para el control no interactivo que se

usará en los resultados.

Memoria.

81

Capítulo 5 RESULTADOS

Este capítulo presenta los resultados obtenidos con la inclusión del

control en cascada que se ha diseñado sobre el convertidor CC/CC del

sistema 2x3000V. Antes de demostrar que funciona para cualquier tipo de

carga y restricción de intensidad, se mostrará la implementación de los

dos reguladores, el de tensión y el de intensidad. Una vez mostrado esto,

se pasará a mostrar diferentes resultados para distintas cargas,

comparando con los resultados que se obtendrían con un sistema

ferroviario tradicional, para así ver las mejoras que se obtienen.

1 Implementación del control sobre el convertidor real

Con los parámetros obtenidos en el capítulo anterior, el tipo de

control (PI para el control de tensión P+I+D para el control de intensidad),

Ahora sólo falta llevar a la práctica el conjunto de reguladores sobre el

modelo de convertidor real (Capítulo 3, apartado 2)

La implementación del control se llevó, en un principio, como se

muestra en la figura 40. Se puede observar que la referencia de intensidad

que calcula el regulador de tensión pasa, antes de calcular la variación de

Io, Por un bloque que hemos denominado “Restricción de Io”. Este bloque

pertenece a la librería de Matlab, y se llama “Saturation”, debido a que, lo

único que hace es limitar la señal entrante para que no supere un valor

determinado. En este bloque es donde hay que definir la corriente máxima

del convertidor. Si el control de tensión exige una intensidad superior al

máximo que se defina en el bloque de saturación, éste mantendrá el valor

de la intensidad máxima. Es entonces cuando la tensión de referencia deja

de funcionar, porque la referencia se encontrará en el bloque de

saturación. En el momento en que el control de tensión exija una

Memoria.

82

intensidad menor, el control de tensión volverá a llevar la referencia del

convertidor.

Vx

V-3

V02

V+1

filtro

v+-

v+-

g CE

g CE

Goto 6

[Imeas_0]

Goto 5

[Imeas_neg ]

Goto 4

[Imeas_pos]

Goto 3

[Vmeas_neg ]

Goto 2

[Vmeas _pos]

Goto 1

[SW2]

Goto

[SW1]

From5

[Imeas_0]

From1

[SW2]

From

[SW1]


i+ -


i+

-

Current Measurement

i+

-

Control

V+o

Io

SW 1

SW 2

SW22

SW11

Variacion del factor de servicio

AD

Variacion V +o

AV

Referencia de tensión

3000

RESTRICCION DE Io

ProporcionalPID

K

PWM

D

on

off

KPI

Kp2

Io 1

a

Io

a1

Integrator

1s

Integral PID

1/Ti

Integral PI

Iv.s+1

Iv.s

Factor de servicio

0.5

Diferencial PID

Td .s

Td /N.s+1

Io

2

V+o

1

Figura 40. Implementación del control en cascada sobre el convertidor real, con bloque de

saturación

Los resultados que se obtienen con este control inicial, demuestra

que el sistema funciona correctamente. El primer caso que se ha probado,

es el caso en el que no existen trenes sobre el sistema. Los resultados de las

tensiones e intensidades del convertidor, se muestran sobre la figura 41.

Memoria.

83

Lo único destacable aquí es el arranque del convertidor. Debido al control,

se crea un ligero transitorio, producto del establecimiento de las tensiones

y las intensidades del sistema. Este transitorio es sin embargo muy poco

duradero (de aproximadamente 0,5 segundos) y con sobrepasos también

poco importantes, debido a que al ser una oscilación, el tiempo con

sobretensión es muy corto y las intensidades no llegan a superar los 200 A.

No obstante, las sobretensiones alcanzan en su mayor amplitud los 40V

0 0.5 1 1.5 22900

2950

3000

3050

3100

Figura 41. Transitorio de arranque del convertidor con control

Una vez arrancado el sistema hacemos distintas pruebas de carga.

La primera prueba que se hace es la de arrancar todos los trenes de golpe,

al igual que se hizo con las pruebas del convertidor sin control. Esta

prueba pretende demostrar que el control no produce transitorios más

acentuados que cuando no existía el control (ver capítulo 3, apartado 4),

sino todo lo contrario. Si comparamos la primera de las simulaciones sin

control, con la simulación siguiente (Fig. 42), donde todo es equivalente,

salvo la inclusión del regulador en cascada, vemos que no se alcanzan los

picos tan exagerados que se alcanzaban antes, sino que esos picos se

reducen. Aunque es cierto que existen ciertas oscilaciones durante el

transitorio, el tiempo de establecimiento es mucho menor, es decir el

sistema responde muy rápidamente ante variaciones de carga. Las

oscilaciones que se obtienen son el resultado también de la entrada brusca

0 0.5 1 1.5 2-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

V+oVo-IoI+I-

Memoria.

84

de la carga, algo que no ocurrirá en un sistema de verdad. En el apartado

siguiente, donde se muestran los resultados finales, introduciremos la

carga de manera más real.

Lo más destacable, sin embargo, no es el transitorio, sino que el

control funciona correctamente, ya que la tensión V+o se mantiene sobre

el valor de 3000V, a falta de restricciones sobre la intensidad. Además, se

comprueba que el modelado sobre el sistema simplificado, sin tiristores,

de donde obtuvimos los parámetros de control, es perfectamente

equivalente al caso real.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

V+oVo-IoI+I-

Figura 42. Transitorio de arranque de las cargas, cuando se conectan instantáneamente cuatro

trenes distribuidos por la vía (caso base)

Si añadimos la restricción de intensidad sobre el control, cuando se

introducen las cargas el sistema responde también como se esperaba.

Probando sobre el mismo caso, se ve en los resultados de la simulación

que cuando se arranca la carga, a un segundo del arranque del sistema, la

Memoria.

85

tensión empieza a decaer justo cuando la intensidad alcanza el valor

máximo, ya que sin poder transfomar la potencia necesaria, el sistema

tendrá que reducir la tensión de salida. En la figura 43, se ve la aplicación

de la restricción de intensidad a 900A, cuando el sistema sin bloque de

saturación debería alcanzar los 1300A.

No obstante, el problema surge cuando se desacoplan las cargas.

Mientras el bloque de saturación impone una intensidad de referencia, el

control de tensión sigue midiendo una variación en el voltaje entre

catenaria y vía, que aumenta y se mantiene estable en un valor de

(también mostrado en la figura 43). La acción integral de este regulador,

empieza a acumular el error, ocasionado por la diferencia entre la tensión

real y la de referencia. En consecuencia, la referencia de intensidad va

aumentando a medida que se mantiene activo el bloque de saturación.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

V+oVo-IoI+I-

Figura 43. Respuesta del sistema ante un acople (0,5 seg) y desacople (2 seg) de la carga con bloque

de saturación activado y sin control de la acción integral

Memoria.

86

En el momento en que las cargas dejan de consumir energía, la

intensidad que ordena el control de tensión sigue siendo superior al

máximo, de modo que mantiene la corriente Io a 900A. Esto produce que

la tensión aumente, ya que no hay carga que consuma la intensidad que

esta inyectando el convertidor y lo que se está haciendo por tanto es

alimentar a la resistencia de los cables. En el momento en que el error se

ha reducido, volvemos a alcanzar valores estables. Sin embargo, si para

una simulación donde la carga ha estado presente sólo durante 1,5

segundos se alcanzan sobretensiones de 150V (250V de valor de pico),

entonces cuando la carga dure 10 minutos, la sobretensión será de 60kV de

continua, un valor completamente inaceptable. Si observamos la figura 44

podemos ver la señal de salida del control de tensión, donde se ve como se

acumula el error hasta alcanzar una referencia de intensidad de casi

9000A. Luego, al desconectar los trenes, el error se reduce hasta llegar de

nuevo a los 900A de intensidad máxima, después de 0,5 segundos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-12000

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

Figura 44. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io)

Memoria.

87

Para solucionar este problema, se han tenido que hacer

modificaciones sobre el esquema del control en cascada. Lo primero, ha

sido cambiar el control PI de tensión por un control P+I, no interactivo. La

razón de hacer esto es que se va a controlar la acción integral,

independientemente de la acción proporcional. La siguiente modificación

se encuentra sobre el bloque de saturación, al que se le hará una detección

del momento en que se alcanza la intensidad máxima, mediante un bloque

que compara la entrada y la salida (Fig. 45).

SW22

SW11

SaturationReferencia de Tensión

3000

Parámetro de la integral

1/Ti

Parametro deLa integral

1/Iv

PWM

D

on

off

Integrator 1

1s

xo

Integrator

1s

Ganancia Control de tensión

Kp2

Ganancia control de Intensidad

K

Factor de servicio

0.5

CompareTo Zero

~= 0

Bloque Diferencial

Td .s

Td /N.s+1

Io2

V+o1

Figura 45. Control en cascada definitivo del convertidor

Cuando estos dos valores difieren, significa que la referencia de

intensidad es superior al máximo permitido. La señal de detección es

enviada al nuevo bloque integrador, que recibe la orden de congelar el

error. Esto hace que, pese a que la variación de tensión no se soluciona, la

acción integral se mantiene en el mismo estado en el que estaba cuando

activó la saturación. Una vez finalizada la carga, el control de intensidad,

que durante todo el tiempo anterior ha sido el verdadero regidor del

factor de servicio, aumenta la tensión hasta que la diferencia entre la

referencia de 3000V y la medida real sea lo suficiente pequeña como para

que el bloque de saturación se desactive y se vuelva a retomar la acción

integral. La diferencia de tensiones en ese momento será la misma que la

que se tenía cuando se desactivó la integración, de modo que el regulador

de tensión vuelve a tomar el control en el mismo punto en que lo perdió.

Memoria.

88

El resultado de la misma simulación con este nuevo control, es

mucho más satisfactorio, ya que el convertidor reduce la intensidad en el

mismo instante en que se comienzan a desconectar los trenes. Se pueden

observar los nuevos resultados en la figura 46:

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

V+oVo-IoI+I-

Figura 46. Resultados de la simulación con el control definitivo.

Para comprobar que la restricción sobre la acción integral funciona,

del mismo modo que se ha explicado. Se ha medido de nuevo el valor de

la salida del control de tensión en la figura 47:

Memoria.

89

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

Figura 47. Señal de salida del regulador de tensión (referencia de Io)

Si se compara la figura 47 con la 44, es decir, se ven los cambios que

incurren sobre la señal de salida del control de tensión cuando se añade la

desactivación de la acción integral, lo más destacable que se puede

deducir es que el paso de un control Proporcional-Integral, a un control

Proporcional, produce importantes transitorios internos en las señales. No

obstante, los transitorios finales que se obtienen en la corriente y la

tensión, no varían en absoluto, si se comparan los resultados de esta

simulación (Fig. 44) con aquella en la que no se activa la restricción de la

intensidad (Fig. 40).

2 Simulaciones finales

Las simulaciones anteriores se observaban los transitorios

resultantes de activar y desactivar la carga de 4 trenes instantáneamente.

Como es de suponer, este tipo de transitorios no sucederán jamás, ya que

los trenes, irán haciendo caer la tensión de manera gradual, a medida que

los trenes vayan recorriendo la vía.

Memoria.

90

Para crear un caso más realista, se hace ahora la misma simulación

del caso base, con el convertidor y con el control definitivo, solo que esta

vez, la carga de los trenes no entrará instantáneamente. Ahora, a la

referencia de potencia de cada tren, se le aplica una rampa, que empieza

en el tiempo a 0,5 segundos de comenzar la simulación, y crece durante un

segundo hasta alcanzar la potencia de 1MW (Fig. 48). Todos los trenes

actúan de ese modo, y es una forma de cargar el sistema de manera

gradual, a modo en que lo haría un tren que comienza a desplazarse, con 4

MW en total. El resultado obtenido es la respuesta del convertidor que

sería la más habitual, en caso de que el sistema 2x3000V se aplicara sobre

un escenario real.

-

2

+

1

perdidas

fuentei

s -+

VT

v+-

Transfer Fcn

1

tau .s+1

Timer

Switch

SaturationRamp

Divide

Constant 1

V

Figura 48. Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg

En los resultados de la simulación (Fig. 49) se ve que el aumento

gradual hace que desaparezcan las oscilaciones anteriores, ya que la

respuesta del sistema es frente a una rampa, y no frente a un paso. La

rapidez, por el contrario, es semejante al resto de casos. Las variables del

sistema se establecen pasados 0,3 segundos (establecimiento del 98%),

Memoria.

91

aunque no alcanzan los valores estables hasta pasados 0,5 en que el error

de seguimiento se hace nulo.

También, se puede observar como el sistema mantiene la tensión a

3000V hasta que la intensidad Io alcanza el valor de la restricción (1000A).

Justo cando esto ocurre, a 1,4 segundos del inicio de la simulación, la

tensión entre catenaria y vía deja de mantenerse en el valor de referencia,

para que no sigan creciendo las corrientes del convertidor.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

V+oVo-IoI+I-

Figura 49. Tren de simulación, con rampa de 1MW/seg

Memoria.

92

El siguiente resultado que se muestra ahora, proviene de una

simulación igual a la anterior, solo que esta vez, se han añadido unas

fuentes de tensión alterna. Estas nuevas fuentes pretenden añadir sobre la

tensión de entrada de los grupos rectificadores de las subestaciones, el

valor de un armónico característico.

Dando por hecho que son rectificadores trifásicos, la frecuencia del

armónico principal será de 150Hz, la amplitud impuesta ha sido de 600V,

un 20% de amplitud de pico-pico de la tensión media continua. La

amplitud del armónico dependerá del tipo de rectificador que se instale

(como por ejemplo, si es controlado o no) luego se ha optado por darle

este valor aproximado. La intención, es comprobar como afectan estos

armónicos sobre el convertidor.

armonico3 armonico

armonico

armonico

V2-

V2+

V1-

V1+

Tren 4

+-

Tren 3

+-Tren 2

+-

Tren 1

+-

Scope 8

DC-DC

I+

I-

I0

V+

V-

V+

V0

V-

42-

42+

42

41-

41+

41

32-

32+

32

31-

31+

31

22-

22+

22

21-

21+

21

12-

12+

12

11-

11+

11

Figura 50. Sistema 2x3000V, con modelado de los armónicos de los grupos rectificadores.

Observando la figura 50, se muestra un rizado importante sobre las

corrientes I+ e I- (de casi 300A), aunque no sobre las tensiones, ya que el

control del factor de servicio hace que se mantenga la tensión de

referencia, y por tanto, la tensión de salida produce un rizado de muy

poca amplitud (de menos de 10V). Por lo tanto, las oscilaciones de las

corrientes del convertidor se producen para que la tensión sea constante.

Memoria.

93

Las corrientes donde se producen estos rizados, son aquellas que tienen de

valor medio, aproximadamente la mitad de –Io. Si se explica esto, es

porque se tiene que entender que el rizado deberá si para un 25% de

amplitud pico-pico sobre la tensión media del armónico principal, la

amplitud del armónico producido en las corrientes es de un 30% (200 pico,

pico), para que alcance el 100%, la amplitud en la tensión deberá ser de un

83%, lo cual no es habitual para este tipo de sistemas.

No obstante, lo importante aquí no es el rizado de las corrientes,

sino que la variación de carga en el sistema produce la misma respuesta,

en valores medios, que en la simulación donde no existen armónicos. El

sistema funciona correctamente tanto si trabaja como fuente de tensión,

como si trabaja como fuente de Intensidad. Esto demuestra que para

diseñar el control, no hace falta tener en cuenta los efectos de la

rectificación de la tensión continua.

Memoria.

94

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

V+oVo-IoI+I-

Figura 51. Resultados de simulación del convertidor, con armónicos de los grupos rectificadores

Sobre el resultado del resto de las variables, tales como la caída de

tensión sobre los trenes, o el rendimiento general del sistema, no varían en

absoluto con los resultados del artículo de Re, comentado en la

introducción.

Cuando el convertidor funciona como fuente de tensión, es decir,

que la restricción de corriente no se ha activado, El sistema es equivalente

Memoria.

95

a la instalación de una nueva subestación. Esto significa, que a efectos

prácticos, la distancia entre subestaciones se reduce a la mitad, y las caídas

de tensión máximas que se producen, son también la mitad de grandes.

Ahora, la tensión mínima está en el punto medio entre convertidor y los

extremos del sistema, mientras que si no se instala el convertidor, la

tensión mínima sería mayor y sobre el punto medio entre los extremos.

En este régimen de funcionamiento, la carga es alimentada por tres

fuentes de tensión. Para un escenario simétrico, como el del caso base, esto

significa que la potencia distribuída por el convertidor CC/CC es el 33%

del total de la potencia suministrada por los grupos rectificadores. Sin

embargo, Si analizamos el caso de que hay un tren en el centro, la potencia

consumida por el tren proviene en exclusiva del convertidor, ya que el

hecho de mantener la tensión a 3000V, hace que la corriente necesaria no

vaya por la catenaria principal, donde las diferencias de tensiones son

nulas. Ahora, toda la corriente que consume el tren viaja por la catenaria

auxiliar.

Para el caso en el que el convertidor actúa como una fuente de

intensidad, es decir, con la restricción activada, las caídas de tensión

dependerán de la corriente máxima del convertidor, luego los resultados

del sistema 2x3000V, están sujetos también a esta restricción. La potencia

que distribuye el convertidor en este caso es su potencia nominal, y

dependiendo del dimensionado del sistema, las caídas de tensión sobre los

trenes serán mayores o menores.

Memoria.

96

Capítulo 6 CONCLUSIONES

Este proyecto es un estudio teórico sobre un método diferente de

solucionar las caídas de tensión sobre un sistema ferroviario aplicando un

convertidor CC/CC entre catenaria, vía y un cable auxiliar adicional que

se lleva al valor de tensión opuesto a la principal. Este procedimiento era

una idea de la que se habían realizado estudios relacionados con la

topología del sistema y el rendimiento general, sin entrar en un estudio

dinámico. Este proyecto fin de carrera, por el contrario, ha hecho un

estudio dinámico para obtener las condiciones y las regulaciones en las

que deberá de funcionar el convertidor CC/CC.

La primera conclusión de este proyecto es que el sistema puede

funcionar en un entorno donde existen variaciones de carga, armónicos y

transitorios resultantes de estos cambios. El convertidor, no solo se puede

adaptar rápidamente, sino que además, mediante un control en cascada

con dos reguladores PI y PID normales, puede mantener la tensión

nominal sobre el punto en que se instale y ante cualquier carga que exista

sobre la vía. Además, si la potencia necesaria a transformar fuera superior

al máximo admitido por el convertidor, el regulador en cascada

Una de las cosas más destacables del estudio de la regulación del

convertidor es que se puede utilizar un control sencillo, rápido y robusto,

cuyos parámetros sólo dependerán del sistema ferroviario, es decir, de las

vías, catenarias y la longitud del tramo que abarque el convertidor,

indiferentemente de la posición y la cantidad de trenes que estén

consumiendo energía. El esquema de control en cascada que se aplicado

concretamente en este proyecto es la aportación más importante del

estudio de la regulación del convertidor. Añadiendo los detalles finales

Memoria.

97

sobre la restricción de las acciones integrales, es sin duda, un esquema que

de seguro se podrá aplicar en cualquier sistema 2x3000V que se desee

implementar.

El proyecto, está aplicado a una topología concreta del sistema

2x3000V, y el convertidor utilizado es el convertidor más sencillo de

estudiar, un convertidor reductor o también denominado “chopper”. No

obstante, la metodología que se ha desarrollado aquí, es perfectamente

aplicable a cualquier otra topología del sistema 2x3000V, ya sea llevar la

tensión del cable auxiliar (o también denominado feeder) a un valor

superior a la nominal (como por ejemplo, 6000V) o bien utilizar un

convertidor distinto a un reductor (como por ejemplo, un convertidor de

puente completo, o “full bridge”)

Así pues, lo más importante no son los resultados obtenidos, sino la

metodología en sí, los pasos que se han ido dando para analizar el sistema

2x3000V, ya que aplicando este procedimiento, podremos analizar

cualquier caso, con potenciales distintos en la catenaria auxiliar o con

convertidores de distintos tipos.

Memoria.

98

Capítulo 7 FUTUROS DESARROLLOS

El siguiente desarrollo que se debería hacer tras este estudio, es

aplicar la misma metodología de este proyecto a distintos convertidores

CC/CC.

El siguiente estudio lógico a éste es aplicar el sistema 2x3000V con

un convertidor de Puente completo, o Full-Bridge. Este convertidor tiene

una ventaja fundamental sobre el convertidor Chopper, y es el hecho de

que posee aislamiento galvánico, con lo que posee una mayor seguridad

para las personas. El aislamiento se debe al transformador de tensión que

se sitúa la salida del puente rectificador.

Vx

V-4

V+3

V0-

2

V0+1

filtro

v+-

v+-

Linear Transformer 1

1

2

3

IGBT 4

gm

CE

IGBT 3

gm

CE

IGBT 2

gm

CE

IGBT 1

gm

CE

Goto 6

[Imeas_0]

Goto 5

[Imeas_neg ]

Goto 4

[Imeas_pos]

Goto 3

[Vmeas_neg ]

Goto 2

[Vmeas _pos]

Goto 1

[SW2]

Goto

[SW1]

From5

[SW1]

From4

[SW2]

From1

[SW2]

From

[SW1]

Diode 3

Diode 2Current Measurement 2

i+ -


i+

-

Current Measurement

i+

-

Control

V+

V-

SW 1

SW 2

Figura 52. Modelo del Convertidor “Chopper”

Memoria.

99

Para este modelo, el control desarrollado a lo largo del proyecto,

con los mismos parámetros, no funciona para casos en los que no hay

cargas sobre el sistema. Es necesario hacer un estudio desde el principio,

comenzando por desarrollar un modelo simplificado de este convertidor.

A partir de ahí, se volverían a obtener las funciones de transferencia

necesarias para el diseño de un control concreto para este aparato.

Además de los posibles futuros desarrollos sobre la aplicación de otros

tipos de convertidores CC/CC, También es interesante desarrollar un

estudio del sistema 2x3000V, con una topología distinta, por ejemplo,

llevando el cable auxiliar a una tensión de 6000V. Esta forma de

implementar el sistema hará que la energía necesaria para el convertidor,

se transporte sobre un potencial mayor y por tanto, el rendimiento global

del sistema mejoraría [1].

Por ultimo, sería necesario un estudio económico en profundidad,

apoyado sobre un caso real y con datos concretos de precios de instalación

y componentes de los dispositivos necesarios. De esta manera, se podría

estimar mejor en cuanto será más rentable el sistema 2x3000V frente al

resto de las soluciones clásicas de ampliación de la potencia de una

catenaria.

Memoria.

100

BIBLIOGRAFÍA

[1] P. Ladoux, F. Alvarez, H. Caron, G. Josse, J. P. Perret “Une Nouvelle

structure d’alimentation des caténaires 1500 V: le Systeme 2 x 1500 V”,

Revue Générale de Chemins de Fer, nº 151, pp. 21-31 Elsevier Science,

2006.

[2] Hart, “Introduction to Power Electronics”, Prentice Hall, 1997

[3] F. Luís Pagola “Regulación Automática”, Colección Ingeniería 25,

Universidad Pontificia Comillas, Madrid

Estudio económico.

101

Parte II ESTUDIO ECONÓMICO

Estudio económico.

102

Este proyecto es un sistema completamente teórico. El sistema

ferroviario del que parte todo el estudio posee valores típicos de

resistividad y de inductancia, pero todo lo desarrollado, no se ha aplicado

sobre un caso concreto, con vistas a conocer la viabilidad de sino que se

pretende ampliar las ideas sobre una posible nueva forma de alimentar las

catenarias de los sistemas ferroviarios que funcionan a corriente continua.

Lo que se demuestra a lo largo de toda la memoria es su viabilidad

técnica, y no económica. No obstante, el resultado del estudio ha sido el

esperado, y se ha comprobado que el sistema 2x3000V puede sustituir a la

perfección a un grupo nuevo de rectificadores.

Partiendo de que se ha demostrado que el proyecto es

completamente viable tecnológicamente, la viabilidad económica va a

depender mucho de las condiciones donde se quiera instalar el sistema

2x3000V. La alternativa que pretende sustituir es la instalación de una

nueva subestación y de sus grupos rectificadores ya que ambos funcionan

a efectos prácticos de la misma manera: manteniendo una tensión

controlada en la catenaria sobre el punto donde se encuentren.

La clave de la viabilidad económica no se encuentra en los precios

de la instalación de una nueva subestación o un convertidor CC/CC, los

cuales van a ser predeciblemente favorables al sistema 2x3000V. Lo que

hace falta ver es, para cada caso donde se desee instalar una nueva fuente

de tensión de la catenaria, los costes de conexión a la red eléctrica de

media tensión en comparación con los costes de instalación del cable

auxiliar, unido a los nuevos grupos rectificadores de las subestaciones ya

instaladas.

Si la red eléctrica, está alejada lo suficiente como para que sea más

rentable la instalación de un cable auxiliar entre las subestaciones

existentes, junto con el nuevo grupo de rectificadores, el proyecto poseería

una clara ventaja económica sobre la instalación de una nueva

Estudio económico.

103

subestación. En este caso, está claro que el proyecto es una alternativa

mucho más rentable.

Para el resto de casos, cuando no hay problemas de conexión de

red, puede resultar mejor el sistema 2x3000V o no, ya sea dependiendo de

la potencia necesaria para ampliar y sobretodo, de la disponibilidad de

ésta sobre las subestaciones existentes. De lo contrario, habría que incurrir

en gastos de ampliación de las subestaciones.

Lo que está claro, es que el sistema 2x3000V puede ser claramente

competitivo en muchos de los posibles casos reales que hay ahora mismo.

Estudio económico.

104

Código fuente.

105

Parte III CÓDIGO FUENTE

Código fuente.

106

En esta parte del proyecto se adjuntan todos los resultados

numéricos obtenidos de las simulaciones sobre Matlab. Se pretende dar así

todos los comandos que se han ejecutado para obtener las funciones de

transferencia del sistema, las cuales se presentan en la memoria muchas

veces en formas simplificadas

Una de las razones de hacer esto, es que los métodos iterativos de

Matlab, pueden llevar a que la ejecución de los sistemas sobre otro

ordenador den números ligeramente distintos, o es más, que aparezcan

ciertos polos o ceros de frecuencia muy alta que son despreciables.

Para conocer los datos utilizados a lo largo de todo el proyecto, se

presentan las diversas capturas del código resultante de la ejecución de las

simulaciones.

La primera captura (11 páginas) corresponde a la ejecución de los

tres casos de carga con un tren en la catenaria, explicados en la memoria.

Estos son, “untrencentro”, “untrenmedio” y “untrenextremo” y sus

equivalentes “untrencentro2”, “untrenmedio2” y untrenextremo2”. Las

primeras tres simulaciones tienen definidos como entrada la variación del

factor de servicio D y salida la intensidad Io, obteniendo como resultados

la representación de estado (A, B, C, D) y las funciones Io/D (funciones

FT). Las tres siguientes, son las simulaciones con D como entrada y V+o

como salida, obteniendo como resultado las representaciones de estado y

las funciones de transferencia V+o/D (funciones G). En cada caso, se

aplican los siguientes comandos:

[A B C D]= linmod (“nombre del sistema”); Halla las matrices A, B

C, D de la representación de estado

[num den]= ss2tf (A B C D); halla los coeficientes de los polinomios

del numerador y del denominador de la función de transferencia

consecuente con la representación de estado.

Código fuente.

107

xxxx = tf(num, den); guarda los vectores en forma de función de

transferencia, con el nombre correspondiente al inicio de la igualdad.

xxxx = zpk(xxxx); guarda la función de forma que se observan las

raices de los polinomios, es decir, en forma de polos, ceros y ganancia.

xxxx = minreal(xxxx); elimina los polos y ceros que sean iguales,

para simplificar la función.

Obteniendo las dos expresiones FT y G de cada caso, luego se realiza la

división de ambos valores, obteniendo las funciones GT, funciones de

transferencia V+o/Io. También se aplican los comandos “zpk” y “minreal”

para simplificar los valores

La segunda captura (12 páginas) es el mismo procedimiento que el

anterior, solo que para los casos con dos trenes en la simulación Estos son,

“dostrencentro”, “dostrenmedio” y “dostrenextremo” y sus equivalentes

“dostrencentro2”, “dostrenmedio2” y dostrenextremo2”.

La tercera Captura (20 página) es el mismo procedimiento, de

nuevo, para los casos base de simulación, que son “casobase”,

“casobasecentro” y “casoimposible” y sus equivalentes casobase2”,

“casobasecentro2” y “casoimposible2”

La última captura, es el cálculo de los lazos abiertos equivalentes de

la planta junto con el lazo de control de la intensidad, es decir, las plantas

V+o Io necesarias. Son cálculos normales, apoyados en las ecuaciones de la

memoria. (E.)

Estas capturas presentan, en definitiva, los resultados numéricos en los

que se apoya todo el estudio del convertidor CC/CC.

Código fuente.

108

31/08/09 0:39 MATLAB Command Window 1 of 11

>> [A,B,C,D]=linmod('untrencentro');Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You candisable this diagnostic by setting 'Automatic solve r parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configurat ionparameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60>> A A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0136 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0136 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 >> B B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.4704 >> C C = 11.5427 1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 >> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT1=tf(num,den) Transfer function:


0.1372 s^7 + 4.317e004 s^6 + 1.815e009 s^5 + 2.08 2e013 s^4 + 5.287e015 s^3 + 4.892e017 s^2 + 1.961e019 s + 2.89e020--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.004e009 s^5 + 7.989e010 s^4 + 4.08e012 s^3 + 1.274e014 s^2 + 2.031e015 s + 1.007e016 >> FT1=zpk(FT1) Zero/pole/gain: 0.13724 (s+2.672e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.7) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.3 01) (s^2 + 48.64s + 3661) >> FT1=minreal(FT1) Zero/pole/gain: 0.13724 (s+2.672e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.7)--------------------------------------------------- ----(s+2.356e004) (s+100.7) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3 661) >> [A,B,C,D]=linmod('untrencentro2');Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60>> A A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0000 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0136 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0136 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 >> B B = 1.0e+005 *


0 0 0 0 0 0 0 2.4704 >> C C = 0.0058 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 >> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G1=tf(num,den) Transfer function: -123.5 s^7 - 5.859e006 s^6 - 7.04e010 s^5 - 2.167 e013 s^4 - 2.634e015 s^3 - 1.576e017 s^2 - 4.654e018 s - 5.433e019--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.004e009 s^5 + 7.989e010 s^4 + 4.08e012 s^3 + 1.274e014 s^2 + 2.031e015 s + 1.007e016 >> G1=zpk(G1) Zero/pole/gain: -123.522 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74 )^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.3 01) (s^2 + 48.64s + 3661) >> G1=minreal(G1) Zero/pole/gain:-123.522 (s+2.356e004) (s+100) (s+56.74)-----------------------------------------(s+100.7) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=G1/FT1


Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100.7) (s+100) (s+56.7 4) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661)--------------------------------------------------- ---------------------------------- (s+100.7) (s+101.7) (s+8.301) (s+2.356e004)^2 (s+ 2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=zpk(GT1) Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100.7) (s+100) (s+56.7 4) (s+8.301) (s^2 + 48.64s + 3661)--------------------------------------------------- ---------------------------------- (s+100.7) (s+101.7) (s+8.301) (s+2.356e004)^2 (s+ 2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) >> GT1=minreal(GT1) Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74)------------------------------------------- (s+101.7) (s+2.356e004)^2 (s+2.672e005) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenmedio');Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60>> A A = 1.0e+006 * 0.0104 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 -1.6797 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6797 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000


-0.0000 >> B B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4917 >> C C = 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0 >> D D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT2=tf(num,den) Transfer function: 4.838e004 s^7 + 1.285e010 s^6 + 5.278e014 s^5 + 5.9 98e018 s^4 + 1.526e021 s^3 + 1.414e023 s^2 + 5.674e024 s + 8.367e025--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 3.015e005 s^8 + 6.637e009 s^7 + 2.076e012 s^6 + 2.82e014 s^5 + 2.257e016 s^4 + 1.159e018 s^3 + 3.631e019 s^2 + 5.788e020 s + 2.849e021 >> FT2=zpk(FT2) Zero/pole/gain: 48380.0287 (s+2.183e005) (s+2.356e004)^2 (s +102.2) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+102) (s+56.74) (s+49 .6)^2 (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738)


>> FT2=minreal(FT2) Zero/pole/gain: 48380.0287 (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+102.2)--------------------------------------------------- --(s+2.776e005) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 373 8) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenmedio2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0104 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 -1.6797 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6797 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4917


C = 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G2=tf(num,den) Transfer function: -124.6 s^8 - 4.05e007 s^7 - 1.712e012 s^6 - 1.974e0 16 s^5 - 6.104e018 s^4 - 7.449e020 s^3 - 4.472e022 s^2 - 1.323e024 s - 1.548e025 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 3.015e005 s^8 + 6.637e009 s^7 + 2.076e012 s^6 + 2.82e014 s^5 + 2.257e016 s^4 + 1.159e018 s^3 + 3.631e019 s^2 + 5.788e020 s + 2.849e021 >> G2=zpk(G2) Zero/pole/gain: -124.5875 (s+2.776e005) (s+2.356e004)^2 (s+ 101.8) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------(s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+102) (s+56.74) (s+49 .6)^2 (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> G2=minreal(G2) Zero/pole/gain:-124.5875 (s+2.776e005) (s+2.356e004) (s+101.8) (s+ 56.74)--------------------------------------------------- ------ (s+2.776e005) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3 738) >> GT2=G2/FT2 Zero/pole/gain:-0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+2.356e004) (s+102) (s +101.8) (s+56.74) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738)--------------------------------------------------- ---------------------------------


---------------- (s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+10 2.2) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> GT2=zpk(GT2) Zero/pole/gain:-0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+2.356e004) (s+102) (s +101.8) (s+56.74) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738)--------------------------------------------------- ------------------------------------------------- (s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+2.356e004) (s+10 2.2) (s+102) (s+8.184) (s^2 + 49.28s + 3738) >> GT2=minreal(GT2) Zero/pole/gain:-0.0025752 (s+2.776e005)^2 (s+101.8) (s+56.74)---------------------------------------------- (s+2.776e005) (s+2.183e005) (s+102.2) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenextremo')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0


0 2.5133 C = 0 1 1 -1 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT3=tf(num,den) Transfer function: 3.874e004 s^6 + 1.836e009 s^5 + 2.198e013 s ^4 + 5.548e015 s^3 + 5.112e017 s^2 + 2.043e019 s + 3.003e020--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.007e009 s^5 + 8.056e010 s^4 + 4.134e012 s^3 + 1.293e014 s^2 + 2.057e015 s + 1.009e016 >> FT3=zpk(FT3) Zero/pole/gain: 38742.3104 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.7 4) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -----------------------(s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144 ) (s^2 + 49.51s + 3765) >> FT3=minreal(FT3) Zero/pole/gain: 38742.3104 (s+2.356e004)-------------------------------(s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> [A,B,C,D]=linmod('untrenextremo2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =


1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.5133 C = 0 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G3=tf(num,den) Transfer function: -125.7 s^7 - 5.961e006 s^6 - 7.162e010 s^5 - 2.20 4e013 s^4 - 2.679e015 s^3 - 1.603e017 s^2 - 4.734e018 s - 5.527e019--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.007e009 s^5 + 8.056e010 s^4 + 4.134e012 s^3 + 1.293e014 s^2 + 2.057e015 s + 1.009e016 >> G3=zpk(G3) Zero/pole/gain:


-125.6637 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74 )^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -----------------------(s+2.356e004) (s+100) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.144 ) (s^2 + 49.51s + 3765) >> G3=minreal(G3) Zero/pole/gain:-125.6637 (s+2.356e004) (s+56.74)--------------------------------- (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> GT3=G3/FT3 Zero/pole/gain:-0.0032436 (s+2.356e004) (s+56.74) (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------- --------------- (s+8.144) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3 765) >> GT3=zpk(GT3) Zero/pole/gain:-0.0032436 (s+2.356e004) (s+56.74) (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------- --------------- (s+8.144) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3 765) >> GT3=minreal(GT3) Zero/pole/gain:-0.0032436 (s+56.74) >>


>> [A,B,C,D]=linmod('dostrencentro')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You candisable this diagnostic by setting 'Automatic solve r parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configurat ionparameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0001 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0283 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0283 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 2.4263 C = 24.0283 1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT21=tf(num,den) Transfer function: 0.1348 s^7 + 4.088e004 s^6 + 1.711e009 s^5 + 1.95 9e013 s^4 + 5.013e015 s^3 + 4.662e017 s^2 + 1.876e019 s + 2.772e020--------------------------------------------------- ---------------------------------


------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.001e009 s^5 + 7.914e010 s^4 + 4.021e012 s^3 + 1.253e014 s^2 + 2.002e015 s + 1.005e016 >> FT21=zpk(FT21) Zero/pole/gain: 0.13479 (s+2.559e005) (s+2.356e004)^2 (s+103.7) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+101.5) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.4 81) (s^2 + 47.67s + 3548) >> FT21=minreal(FT21) Zero/pole/gain: 0.13479 (s+2.559e005) (s+2.356e004)^2 (s+103.7)--------------------------------------------------- ----(s+2.356e004) (s+101.5) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3 548) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrencentro2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 -0.0001 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 -0.0283 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0.0283 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0


0 0 2.4263 C = 0.0120 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G21=tf(num,den) Transfer function: -121.3 s^7 - 5.755e006 s^6 - 6.914e010 s^5 - 2.12 8e013 s^4 - 2.587e015 s^3 - 1.548e017 s^2 - 4.57e018 s - 5.336e019--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^8 + 2.388e004 s^7 + 7.432e006 s^6 + 1.001e009 s^5 + 7.914e010 s^4 + 4.021e012 s^3 + 1.253e014 s^2 + 2.002e015 s + 1.005e016 >> G21=zpk(G21) Zero/pole/gain: -121.3161 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.7 4)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+101.5) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.4 81) (s^2 + 47.67s + 3548) >> G21=minreal(G21) Zero/pole/gain:-121.3161 (s+2.356e004) (s+100) (s+56.74)-----------------------------------------(s+101.5) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548) >> GT21=G21/FT21 Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+101.5) (s+100) (s+56.7 4) (s+8.481) (s^2 + 47.67s + 3548)--------------------------------------------------- ---------------------------------- (s+101.5) (s+103.7) (s+8.481) (s+2.356e004)^2 (s+ 2.559e005) (s^2 + 47.67s + 3548) >> GT21=minreal(GT21)


Zero/pole/gain:-900.0567 (s+2.356e004)^2 (s+100) (s+56.74)------------------------------------------- (s+103.7) (s+2.356e004)^2 (s+2.559e005) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenmedio')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0105 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 -1.6967 0 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6967 0 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 -1.6967 0 0.0000 0.0000 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0001 0.0001 -0.0000 0 1.6967 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 -0.0000 -0.0003 0.0001 0.0003 0.0000


-0.0001 0.0384 0.0384 2.4700 C = 0 0 0 1 1 -1 0 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT22=tf(num,den) Transfer function: -26.1 s^10 - 7.534e006 s^9 - 6.137e010 s^8 + 5.926e 015 s^7 + 1.522e020 s^6 + 1.65e024 s^5 + 5.828e026 s^4 + 8.1e028 s^3 + 5.482e030 s^2 + 1.807e032 s + 2.329e033 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^11 + 5.79e005 s^10 + 9.034e010 s^9 + 1.852e015 s^ 8 + 7.638e017 s^7 + 1.368e020 s^6 + 1.421e022 s^5 + 9.565e023 s^4 + 4.265e025 s^3 + 1.181e027 s^2 + 1.708e028 s + 8.042e028 >> FT22=zpk(FT22) Zero/pole/gain: -26.0978 (s+2.775e005) (s-3.403e004) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) --------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------- (s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+102.2) ( s+101.8) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) >> FT22=minreal(FT22) Zero/pole/gain:-26.0978 (s-3.403e004) (s+2.775e005) (s+102.7) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008)--------------------------------------------------- -------------------------- (s+2.775e005)^2 (s+102.2) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711)


>> [A,B,C,D]=linmod('dostrenmedio2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * 0.0105 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 -1.6967 0 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 1.6967 0 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0001 -0.0001 0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 -1.6967 0 0.0000 0.0000 -0.1441 0.1440 -0.0000 -0.0001 0.0001 -0.0000 0 1.6967 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.1441 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 -0.0000 -0.0003 0.0001 0.0003 0.0000 -0.0001 0.0384 0.0384 2.4700


C = 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 0 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0.1631 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0e+032 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0003 -0.0162 -0.4131 -4.3344 den = 1.0e+028 * 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0043 0.1181 1.7081 8.0420 >> G22=tf(num,den) Transfer function: 0.1631 s^11 + 9.43e004 s^10 + 1.466e010 s^9 + 2.892 e014 s^8 - 3.671e017 s^7 - 5.462e021 s^6 - 2.23e024 s^5 - 3.757e026 s^4 - 3.315e028 s^3 - 1.616e030 s^2 - 4.131e031 s - 4.334e032 --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ s^11 + 5.79e005 s^10 + 9.034e010 s^9 + 1.852e015 s ^8 + 7.638e017 s^7 + 1.368e020 s^6 + 1.421e022 s^5 + 9.565e023 s^4 + 4.265e025 s^3 + 1.181e027 s^2 + 1.708e028 s + 8.042e028 >> G22=zpk(G22) Zero/pole/gain: 0.16307 (s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+3862) (s -4619) (s+101.8)^2 (s+56.76) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------(s+2.775e005)^2 (s+2.356e004) (s+102.2) (s+101.8) ( s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.225)


(s^2 + 49.05s + 3711) >> G22=minreal(G22) Zero/pole/gain:0.16307 (s+2.775e005)^2 (s-4619) (s+3862) (s+101.8) (s+56.76) (s+56.74)--------------------------------------------------- -------------------- (s+2.775e005)^2 (s+102.2) (s+56.74) (s+8.225) (s^ 2 + 49.05s + 3711) >> GT22=G22/FT22 Zero/pole/gain: -0.0062484 (s+2.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+ 102.2) (s+101.8) (s+56.76) (s+56.74) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711)--------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------(s+2.775e005)^3 (s-3.403e004) (s+102.7) (s+102.2) ( s+56.74) (s+8.225) (s^2 + 49.05s + 3711) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> GT22=minreal(GT22) Zero/pole/gain: -0.0062484 (s+2.775e005)^4 (s-4619) (s+3862) (s+ 101.8) (s+56.76) (s+56.74)--------------------------------------------------- -----------------------------(s+2.775e005)^3 (s-3.403e004) (s+102.7) (s+56.74) ( s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenextremo')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781


0.0012 0 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5133 C = 0 0 1 1 -1 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FT23=tf(num,den) Transfer function: 1.819e-011 s^8 + 3.874e004 s^7 + 1.839e009 s^6 + 2. 216e013 s^5 + 7.746e015 s^4 + 1.066e018 s^3 + 7.155e019 s^2 + 2.343e021 s + 3.003e022 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 2.398e004 s^8 + 9.819e006 s^7 + 1.751e009 s^6 + 1.813e011 s^5 + 1.219e013 s^4 + 5.428e014 s^3 + 1.499e016 s^2 + 2.158e017 s + 1.009e018 >> FT23=zpk(FT23) Zero/pole/gain:


1.819e-011 (s+2.13e015) (s+100.1) (s+99.86) (s+56.7 6) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460)--------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ (s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+ 49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> FT23=minreal(FT23) Zero/pole/gain:1.819e-011 (s+100.1) (s+99.86) (s+56.76) (s+2.13e01 5) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460)--------------------------------------------------- ------------------------------------------------------ (s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+ 49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765) >> [A,B,C,D]=linmod('dostrenextremo2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+004 * -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0053 -0.0004 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 -0.0004 -0.0053 0.0000 0.0000 0.0039 -0.0039 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0053 -0.0004 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0004 -0.0053 -0.0039 0.0039 -0.0000 0 0 -0.0012 -0.0012 0.0012 0.0012 -1.1781 -1.1781 0.0012 0 0 0.0012 0.0012 -0.0012 -0.0012 -1.1781 -1.1781 -0.0012 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0021 0.0021 -0.0001 B = 1.0e+005 *


0 0 0 0 0 0 0 0 2.5133 C = 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> G23=tf(num,den) Transfer function: -125.7 s^8 - 5.974e006 s^7 - 7.222e010 s^6 - 2.92e0 13 s^5 - 4.883e015 s^4 - 4.283e017 s^3 - 2.077e019 s^2 - 5.287e020 s - 5.527e021 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^9 + 2.398e004 s^8 + 9.819e006 s^7 + 1.751e009 s^6 + 1.813e011 s^5 + 1.219e013 s^4 + 5.428e014 s^3 + 1.499e016 s^2 + 2.158e017 s + 1.009e018 >> G23=zpk(G23) Zero/pole/gain: -125.6637 (s+2.356e004)^2 (s+100)^2 (s+56. 74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------(s+2.356e004) (s+100)^2 (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.1 44) (s^2 + 49.51s + 3765) >> G23=minreal(G23) Zero/pole/gain:-125.6637 (s+2.356e004) (s+56.74)--------------------------------- (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)


>> GT23=G23/FT23 Zero/pole/gain: -6908434692430.801 (s+2.356e004)^2 (s+ 100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 (s+8.144) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------(s+56.76) (s+99.86) (s+100.1) (s+8.144) (s+2.13e015 ) (s^2 + 4.712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) >> GT23=minreal(GT23) Zero/pole/gain: -6908434692430.801 (s+2.356e004)^2 (s+ 100)^2 (s+56.74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------------(s+56.76) (s+99.86) (s+100.1) (s+2.13e015) (s^2 + 4 .712e004s + 5.552e008) (s^2 + 99.2s + 2460) >>


>> [A,B,C,D]=linmod('casobase')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. You candisable this diagnostic by setting 'Automatic solve r parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of the configurat ionparameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * Columns 1 through 13 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 -3.5361 0 0 0 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 1.7680 -1.7680 0 0 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 3.5361 0 0 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -3.3948 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0002 0 0 1.6974 -1.6974 0 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 0.0000 0 0 0 3.3948 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 Columns 14 through 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000


-0.0002 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0002 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0118 0.0000 -0.0118 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4254 C = 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 -1 0 0 0 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FTB1=tf(num,den) Transfer function: 2.328e-010 s^14 + 9.561e004 s^13 + 1.433e011 s^12 + 7.628e016 s^11 + 1.722e022 s^10 + 1.572e027 s^9 + 4.968e031 s^8 + 5.123e035 s^7 + 2.797e038 s^6 + 6.581e040 s^5 + 8.498e042 s^4 + 6.476e044 s^3 + 2.907e046 s^2 + 7.11e047 s


+ 7.308e048 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^15 + 1.71e006 s^14 + 1.064e012 s^13 + 2.89e017 s^ 12 + 3.098e022 s^11 + 5.982e026 s^10 + 3.637e029 s^9 + 9.889e031 s^8 + 1.581e034 s^7 + 1.659e036 s^6 + 1.206e038 s^5 + 6.175e039 s^4 + 2.177e041 s^3 + 4.91e042 s^2 + 6.015e043 s + 2.611e044 >> FTB1=zpk(FTB1) Zero/pole/gain: 2.3283e-010 (s+4.107e014) (s+5.654e005) (s+4.899e00 5) (s+2.773e005) (s+1.188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) >> FTB1=minreal(FTB1) Zero/pole/gain: 2.3283e-010 (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s+2.356e 004) (s+2.356e004) (s+1.188e005) (s+2.773e005) (s+4.899e005) (s+5.65 4e005) (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) >> [A,B,C,D]=linmod('casobase2')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step


size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+006 * Columns 1 through 13 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0109 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0.0105 0 0 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 -3.5361 0 0 0 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 1.7680 -1.7680 0 0 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 0 3.5361 0 0 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -3.3948 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 0.0000 -0.0000 -0.0002 0 0 1.6974 -1.6974 0 0 -0.0000 -0.0000 0.1440 -0.2881 0.1440 -0.0000 0.0000 0 0 0 3.3948 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0118 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 Columns 14 through 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0002 0.0000 -0.0000 0.0000


0.0002 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0118 0.0000 -0.0118 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.4254 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 0 0 -0.0005 -0.5000 Columns 14 through 15 0.5000 -0.0005 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> GB1=tf(num,den) Transfer function: -121.3 s^14 - 2.102e008 s^13 - 1.34e014 s^12 - 3.80 9e019 s^11 - 4.583e024 s^10 - 1.611e029 s^9 - 1.753e033 s^8


- 1.049e036 s^7 - 2.767e038 s^6 - 4.131e040 s^5 - 3.804e042 s^4 - 2.21e044 s^3 - 7.908e045 s^2 - 1.593e047 s - 1.384e048 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------s^15 + 1.71e006 s^14 + 1.064e012 s^13 + 2.89e017 s^ 12 + 3.098e022 s^11 + 5.982e026 s^10 + 3.637e029 s^9 + 9.889e031 s^8 + 1.581e034 s^7 + 1.659e036 s^6 + 1.206e038 s^5 + 6.175e039 s^4 + 2.177e041 s^3 + 4.91e042 s^2 + 6.015e043 s + 2.611e044 >> GB1=zpk(GB1) Zero/pole/gain: -121.271 (s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004)^2 (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9) (s+56.74) (s+56.74) (s+49.6)^2 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) >> GB1=minreal(GB1) Zero/pole/gain: -121.271 (s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e005) (s+2.356e004) (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9) (s+56.74) (s+56.74) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.656e005) (s+5.652e005) (s+2.775e005) (s+2.771e 005) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74) (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627)


>> GTB1=GB1/FTB1 Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.654e005)^4 (s+2.775e005)^2 (s+2. 771e005)^2 (s+2.356e004)^2 (s+102.7) (s+101.8)^3 (s+100.9)^4 (s+56.74)^3 (s+49.6)^2 (s+8.354) (s^2 + 48.33s + 3627) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.654e005)^3 (s+4.899e005) (s+2.775e005) (s+2.77 3e005) (s+2.771e005) (s+1.188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56 .74) (s+56.74) (s+49.74) (s+49.47) (s+8.354) (s+4.107e014) ( s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) >> GTB1=minreal(GTB1) Zero/pole/gain: -520854901030 (s+5.654e005)^4 (s+2.775e005)^2 (s+2. 771e005)^2 (s+2.356e004)^2 (s+101.9) (s+101.8) (s+100.9) (s+100.9) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2 --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------(s+5.654e005)^3 (s+4.899e005) (s+2.775e005) (s+2.77 3e005) (s+2.771e005) (s+1.188e005) (s+2.356e004) (s+2.356e004) (s+56.74) (s+49.74) (s+ 49.47) (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) >> [A,B,C,D]=linmod('casobasecentro')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =


1.0e+006 * -0.0001 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0.0114 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0114 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0.0000 -1.2257 0 -0.0961 0.0960 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 3.6771 0 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0002 -0.0002 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 -3.6956 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 -0.0000 -0.0002 0.0002 -0.0000 -0.0000 0 1.2319 0 -0.0000 -0.0000 0.0960 -0.0961 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0003 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0.0003 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3559 C = 25.5292 0 0 0 1.0000 1.0000 -1.0000 0 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 D =


0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FTB2=tf(num,den) Transfer function: 0.1309 s^11 + 1.936e005 s^10 + 7.242e010 s^9 + 7.51 1e015 s^8 + 2.453e020 s^7 + 2.547e024 s^6 + 1.154e027 s^5 + 2.17e029 s^4 + 2.133e031 s^3 + 1.153e033 s^2 + 3.248e034 s + 3.727e035 --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- s^12 + 7.693e005 s^11 + 1.568e011 s^10 + 3.353e01 5 s^9 + 1.708e018 s^8 + 3.821e020 s^7 + 4.956e022 s^6 + 4.175e024 s^5 + 2.399e026 s^4 + 9.363e027 s^3 + 2.319e029 s^2 + 3.09e030 s + 1.432e031 >> FTB2=zpk(FTB2) Zero/pole/gain: 0.13088 (s+9.663e005) (s+3.726e005) (s+9.304e00 4) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+101.4) (s+100.8) (s+56.74) (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> FTB2=minreal(FTB2) Zero/pole/gain: 0.13088 (s+9.663e005) (s+3.726e005) (s+9.304e00 4) (s+2.356e004)^2 (s+107.2) (s+101.4) (s+100.8)--------------------------------------------------- ----------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> [A,B,C,D]=linmod('casobasecentro2')Warning: Using a default value of 0.04 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A =


1.0e+006 * -0.0001 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0.0114 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0114 0 0 0 0.0009 -0.0009 0 0 0 0 0.0000 -1.2257 0 -0.0961 0.0960 -0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 3.6771 0 0.2881 -0.2881 -0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0002 -0.0002 0.0000 -0.0000 0 0 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 -3.6956 0 0.0000 0.0000 -0.2881 0.2881 -0.0000 -0.0002 0.0002 -0.0000 -0.0000 0 1.2319 0 -0.0000 -0.0000 0.0960 -0.0961 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0003 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0118 -0.0118 0.0000 0.0003 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0118 -0.0118 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.3559 C = 0.0128 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 0 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D =


0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> GB2=tf(num,den) Transfer function: -117.8 s^11 - 9.34e007 s^10 - 2.061e013 s^9 - 8.301 e017 s^8 - 9.505e021 s^7 - 4.774e024 s^6 - 1.027e027 s^5 - 1.212e029 s^4 - 8.441e030 s^3 - 3.47e032 s^2 - 7.801e033 s - 7.404e034 --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- s^12 + 7.693e005 s^11 + 1.568e011 s^10 + 3.353e01 5 s^9 + 1.708e018 s^8 + 3.821e020 s^7 + 4.956e022 s^6 + 4.175e024 s^5 + 2.399e026 s^4 + 9.363e027 s^3 + 2.319e029 s^2 + 3.09e030 s + 1.432e031 >> GB2=zpk(GB2) Zero/pole/gain: -117.7953 (s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+ 2.356e004)^2 (s+101.4) (s+101.4) (s+100) (s+56.74)^2 (s+49.6)^2--------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+103.3) (s+101.4) (s+100.7) (s+56.74) (s+49.6)^2 (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> GB2=minreal(GB2) Zero/pole/gain:-117.7953 (s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+2.356e004) (s+101.4) (s+101.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- --------------------------------------(s+3.727e005) (s+3.726e005) (s+103.3) (s+101.4) (s+ 100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> GTB2=GB2/FTB2 Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+103.3) (s+101.4)^3 (s+100.7) (s+100) (s+56.74) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) --------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------


(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.3 56e004)^2 (s+107.2) (s+103.3) (s+101.4)^2 (s+100.8) (s+100.7) (s+8.724) (s^2 + 46.39s + 3406) >> GTB2=minreal(GTB2) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+1 01.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- ----------------------------(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.35 6e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >> [A,B,C,D]=linmod('casoimposible')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+007 * Columns 1 through 13 0.0031 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0031 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 -1.0070 0 0 0 0 0.0000 0 -0.0288 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0070 0 0 0 -0.8090 0.0000 0 0.0288 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -1.0070 0 0 0.8090 0.0000 0 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 -0.0000 0 1.0070 0 0 0 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 -0.8090 0 0 0.0000 0 0


0 0 0.0000 0.0000 -0.0288 0 0 0.8090 0 0 -0.0000 -0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0288 0 0 0 -0.9505 0 -0.0000 0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.9505 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 Columns 14 through 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 -0.0012 -0.0012 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0012 -0.0012 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.1056 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 0 32.9967 0 0 0 0 1.0000 1.0000 -1.0000 Columns 14 through 20 0 0 0 -1.0000 0.0006 -0.0006 0.0000 D = 0 >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> FTB3=tf(num,den) Transfer function: 0.117 s^19 + 4.693e005 s^18 + 7.51e011 s^17 + 6.119 e017 s^16 + 2.689e023 s^15 + 6.243e028 s^14 + 7.103e033 s^13 + 3.671e038 s^12 + 8.456e042 s^11 + 7.358e0 46 s^10 + 6.284e049 s^9 + 2.486e052 s^8 + 5.825e054 s^7 + 8.896e056 s^6 + 9.225e058 s^5 + 6. 567e060 s^4 + 3.165e062 s^3 + 9.874e063 s^2 + 1.799e065 s + 1.452e066 --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.309e006 s^19 + 4.243e012 s^18 + 2.656e018 s^17 + 8.404e023 s^16 + 1.265e029 s^15 + 8.016e033 s^14 + 1.339e038 s^13 + 1.221e041 s^12 + 5.162e043 s^11 + 1.32e04 6 s^10 + 2.276e048 s^9 + 2.799e050 s^8 + 2.535e052 s^7 + 1.72e054 s^6 + 8.769e055 s^5 + 3 .319e057 s^4 + 8.993e058 s^3 + 1.622e060 s^2 + 1.679e061 s + 6.91e061


>> FTB3=zpk(FTB3) Zero/pole/gain: 0.11697 (s+1.12e006) (s+9.551e005) (s+8.005e005) (s +5.467e005) (s+3.586e005) (s+1.403e005) (s+4.322e004) (s+2.356e004)^2 (s+129.4) (s+109.5) (s+104) (s+56.74) (s+ 49.61) (s+49.6) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) --------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e0 05) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> FTB3=minreal(FTB3) Zero/pole/gain: 0.11697 (s+104) (s+109.5) (s+129.4) (s+49.61) (s+ 49.6) (s+2.356e004)^2 (s+4.322e004) (s+1.403e005) (s+3.586e005) (s+5.467e005) (s+8.005e005) (s+9.551e 005) (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) --------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------(s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e0 05) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) ( s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> [A,B,C,D]=linmod('casoimposible2')Warning: Using a default value of 0.06 for maximum step size. The simulation step size will be equal to or less than this value. Youcan disable this diagnostic by setting 'Automatic s olver parameter selection' diagnostic to 'none' in the Diagnostics page of theconfiguration parameters dialog.> In dlinmod at 172 In linmod at 60 A = 1.0e+007 *


Columns 1 through 13 0.0031 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0.0031 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0 0.0030 0 0 0 0 0 0 -1.0070 0 0 0 0 0.0000 0 -0.0288 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0070 0 0 0 -0.8090 0.0000 0 0.0288 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 -0.0000 0 -1.0070 0 0 0.8090 0.0000 0 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 -0.0000 0 1.0070 0 0 0 -0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 -0.8090 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0288 0 0 0.8090 0 0 -0.0000 -0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0288 0 0 0 -0.9505 0 -0.0000 0.9513 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.9505 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 Columns 14 through 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0001 -0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000


0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0576 0.0288 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0288 -0.0576 0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0288 -0.0288 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0 0 0 0.0000 -0.0012 -0.0012 0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0012 -0.0012 -0.0000 0 0 0 -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 B = 1.0e+005 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.1056 C = Columns 1 through 13 0 0 0 0 0 0.0165 0 0 0 0 0.0005 0.0005 -0.0005 Columns 14 through 20 0 0 0 -0.0005 -0.5000 0.5000 -0.0005 D = 0


>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D);>> GB3=tf(num,den) Transfer function: -105.3 s^19 - 3.508e008 s^18 - 4.549e014 s^17 - 2.9 01e020 s^16 - 9.506e025 s^15 - 1.54e031 s^14 - 1.158e036 s^13 - 3.398e040 s^12 - 3.451e044 s^11 - 3.079e0 47 s^10 - 1.281e050 s^9 - 3.198e052 s^8 - 5.292e054 s^7 - 6.079e056 s^6 - 4.942e058 s^5 - 2.84e060 s^4 - 1.13e062 s^3 - 2.964e063 s^2 - 4.609e064 s - 3.219e065 --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------s^20 + 3.309e006 s^19 + 4.243e012 s^18 + 2.656e018 s^17 + 8.404e023 s^16 + 1.265e029 s^15 + 8.016e033 s^14 + 1.339e038 s^13 + 1.221e041 s^12 + 5.162e043 s^11 + 1.32e04 6 s^10 + 2.276e048 s^9 + 2.799e050 s^8 + 2.535e052 s^7 + 1.72e054 s^6 + 8.769e055 s^5 + 3 .319e057 s^4 + 8.993e058 s^3 + 1.622e060 s^2 + 1.679e061 s + 6.91e061 >> GB3=zpk(GB3) Zero/pole/gain: -105.2785 (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004)^2 (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.61) (s+49.6) (s^2 + 219s + 1.199e004) (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------- (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447 e005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+2.356e004) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.2 1s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> GB3=minreal(GB3) Zero/pole/gain: -105.2785 (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.61) ( s+49.6) (s+2.356e004) (s+1.


402e005) (s+1.404e005) (s+5.447e005) (s+5.487e005) (s+9.55e005) (s+9.552e005) (s ^2 + 219s + 1.199e004) (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) --------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+5.487e005) (s+5.447e 005) (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+114) (s+109.5) (s+99.99) (s+56.74) (s+9.629) (s^2 + 99.21s + 2461) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> GTB3=GB3/FTB3 Zero/pole/gain: -900.0567 (s+109.5)^3 (s+114) (s+99.99) (s+99.81) (s+56.75) (s+56.74) (s+49.6)^4 (s+9.629) (s+2.356e004)^2 (s+1.402e005)^2 (s+1.404e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+5.487e 005)^2 (s+9.551e005)^4 (s^2 + 205.8s + 1.059e004) (s^2 + 202.2s + 1.022e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) --------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------(s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s+8.005e005) (s+5.487 e005) (s+5.467e005) (s+5.447e005) (s+3.586e005) (s+1.404e005) (s+1.403e005) (s+1.402e005) (s+4.322e004) ( s+2.356e004)^2 (s+129.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+104) (s+99.99) (s+56.74) (s+49.6)^4 (s+9.629) (s ^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) >> GTB3=zpk(GTB2) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+1 01.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- ----------------------------(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.35 6e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >> GTB3=minreal(GTB3) Zero/pole/gain: -900.0567 (s+3.726e005)^4 (s+2.356e004)^2 (s+1 01.4) (s+100) (s+56.74)--------------------------------------------------- ----------------------------


(s+3.726e005)^3 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.35 6e004)^2 (s+107.2) (s+100.8) >>


>> Td Td = 0.0490 >> Ti Ti = 0.2484 >> N N = 22.3049 >> K K = 1.1039e-004 >> PD=tf([Td 0],[Td/N 1]) Transfer function: 0.04898 s--------------0.002196 s + 1 >> PI=tf([1],[Ti 0]) Transfer function: 1--------0.2484 s >> L1=((PI+1)*K*FT1)/(1+K*FT1*(PD+1+PI))*GT1 Zero/pole/gain: -0.013635 s (s+4.025) (s+8.301) (s+56.74) (s+100) (s+100.7) (s+101.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.672e005) (s^2 + 48.64s + 3661) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+2.672e005) (s+466.1) (s+101.7) (s+101.1) (s+100.7) (s+10.82) (s+8.301) (s+4.335) (s^2 + 48.64s + 3661)


(s^2 + 30.74s + 8041) >> L1=minreal(L1) Zero/pole/gain: -0.013635 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+455.4) (s+2.356e004)^5-----------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004)^4 (s+466.1) (s+101.1) (s+10.82) (s+4.335) (s^2 + 30.74s + 8041) >> L2=((PI+1)*K*FT2)/(1+K*FT2*(PD+1+PI))*GT2 Zero/pole/gain: -0.013753 s (s+4.025) (s+8.184) (s+56.74) (s+101.8) (s+102) (s+102.2) (s+455.4) (s+2.356e004) (s+2.183e005) (s+2.776e005)^3 (s^2 + 49.28s + 3738) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s (s+2.776e005)^3 (s+2.183e005) (s+466.5) (s+102.2) (s+102.1) (s+102) (s+10.76) (s+8.184) (s+4.378) (s^2 + 49.28s + 3738) (s^2 + 31.14s + 8268) >> L2=minreal(L2) Zero/pole/gain:-0.013753 (s+4.025) (s+56.74) (s+101.8) (s+455.4) (s+2.356e004) (s+2.776e005)^3------------------------------------------------------------------------------- (s+2.776e005)^3 (s+466.5) (s+102.1) (s+10.76) (s+4.378) (s^2 + 31.14s + 8268) >> L3=((PI+1)*K*FT3)/(1+K*FT3*(PD+1+PI))*GT3 Zero/pole/gain:-0.013872 s (s+4.025) (s+8.144) (s+56.74) (s+455.4) (s+2.356e004) (s^2 + 49.51s + 3765)--------------------------------------------------------------------------------------- s (s+466.7) (s+10.74) (s+8.144) (s+4.399) (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.2s + 8374) >> L21=((PI+1)*K*FT21)/(1+K*FT21*(PD+1+PI))*GT21 Zero/pole/gain: -0.013392 s (s+4.025) (s+8.481) (s+56.74) (s+100) (s+101.5) (s+103.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.559e005)


(s^2 + 47.67s + 3548) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+2.559e005) (s+465.4) (s+103.7) (s+102.3) (s+101.5) (s+10.92) (s+8.481) (s+4.265) (s^2 + 47.67s + 3548) (s^2 + 30.16s + 7691) >> L21=minreal(L21) Zero/pole/gain: -0.013392 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+455.4) (s+2.356e004)^5-----------------------------------------------------------------------------(s+2.356e004)^4 (s+465.4) (s+102.3) (s+10.92) (s+4.265) (s^2 + 30.16s + 7691) >> L22=((PI+1)*K*FT22)/(1+K*FT22*(PD+1+PI))*GT22 Zero/pole/gain: -0.025896 s (s+4.025) (s+8.144) (s+56.74) (s+56.76) (s+101.8) (s+455.4) (s+3862) (s-4619) (s+2.356e004) (s+2.775e005)^4 (s^2 + 49.51s + 3765) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+8.144) (s+10.69) (s+4.364) (s+56.74) (s+102.7) (s+466.4) (s-3.403e004) (s+2.775e005)^3 (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.63s + 8228) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> L22=minreal(L22) Zero/pole/gain: -0.025896 (s+4.025) (s+56.74) (s+56.76) (s+101.8) (s+455.4) (s+3862) (s-4619) (s+2.356e004) (s+2.775e005)^4------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+10.69) (s+4.364) (s+56.74) (s+102.7) (s+466.4) (s-3.403e004) (s+2.775e005)^3 (s^2 + 31.63s + 8228) (s^2 + 2.126e004s + 2.748e008) >> L23=((PI+1)*K*FT23)/(1+K*FT23*(PD+1+PI))*GT23 Zero/pole/gain: -0.013872 s (s+4.025) (s+8.144) (s+49.6)^4 (s+56.75)^4 (s+99.86) (s+100)^4 (s+100.


1) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+2.13e015) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+2.356e004)^4 (s+466.7) (s+100.1) (s+100.1) (s+100)^2 (s+99.91) (s+99.86) (s+56.75)^3 (s+49.6)^2 (s+10.74) (s+8.144) (s+4.399) (s+2.13e015) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 49.51s + 3765) (s^2 + 31.2s + 8374) >> L23=minreal(L23) Zero/pole/gain: -0.013872 (s+4.025) (s+49.6)^2 (s+56.74)^2 (s+100)^2 (s+455.4) (s+2.356e004)-----------------------------------------------------------------------------------------------------(s+466.7) (s+100.1) (s+99.91) (s+56.75) (s+10.74) (s+4.399) (s^2 + 99.2s + 2460) (s^2 + 31.2s + 8374) >> LB1=((PI+1)*K*FTB1)/(1+K*FTB1*(PD+1+PI))*GTB1 Zero/pole/gain: -0.013387 s (s+4.025) (s+8.354) (s+49.47) (s+49.6)^4 (s+49.74) (s+56.74)^4 (s+100.9)^4 (s+101.8)^3 (s+102.7) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+1.188e005) (s+2.771e005)^3 (s+2.773e005) (s+2.775e005)^3 (s+4.899e005) (s+5.654e005)^7 (s+4.107e014) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+5.654e005)^7 (s+4.899e005) (s+2.775e005)^3 (s+2.773e005) (s+2.771e005)^3 (s+1.188e005) (s+2.356e004)^4 (s+465.8) (s+102.7) (s+101.8) (s+101) (s+100.9) (s+56.74)^3 (s+49.74) (s+49.71) (s+49.6)^2 (s+49.51) (s+49.47) (s+10.83) (s+8.354) (s+4.299) (s+4.107e014) (s^2 + 206.7s + 1.069e004) (s^2 + 200.2s + 1.002e004) (s^2 + 208.1s + 1.083e004) (s^2 + 199.7s + 9971) (s^2 + 48.33s + 3627) (s^2 + 30.71s + 7876) >> LB2=((PI+1)*K*FTB2)/(1+K*FTB2*(PD+1+PI))*GTB2


Zero/pole/gain: -0.013003 s (s+4.025) (s+8.724) (s+56.74) (s+100) (s+100.7) (s+100.8) (s+101.4)^3 (s+103.3) (s+107.2) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+9.304e004) (s+3.726e005)^7 (s+9.663e005) (s^2 + 46.39s + 3406) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------s (s+3.726e005)^7 (s+9.663e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+464.5) (s+107.2) (s+104.6) (s+103.3) (s+101.4)^2 (s+100.8)^3 (s+11.04) (s+8.724) (s+4.165) (s^2 + 46.39s + 3406) (s^2 + 29.42s + 7232) >> LB2=minreal(LB2) Zero/pole/gain: -0.013003 (s+4.025) (s+56.74) (s+100) (s+101.4)^3 (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+3.726e005)^7-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(s+3.726e005)^7 (s+2.356e004)^4 (s+464.5) (s+104.6) (s+101.4)^2 (s+100.8) (s+11.04) (s+4.165) (s^2 + 29.42s + 7232) >> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.011621 s (s+4.025) (s+9.629) (s+49.6)^4 (s+56.74) (s+99.99) (s+100) (s+101.4) (s+104) (s+109.5) (s+109.5) (s+114) (s+129.4) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.402e005) (s+1.403e005) (s+1.404e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.447e005) (s+5.467e005) (s+5.487e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s (s+9.551e005)^4 (s+9.663e005) (s+5.487e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+3.726e005)^3 (s+1.404e005)^2 (s+1.402e005)^2 (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+107.2) (s+100.8) (s+100.3) (s+99.99) (s+49.6)^4 (s+11.49) (s+9.629) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004)


(s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) (s^2 + 26.01s + 5817) >> LB3=((PI+1)*K*FTB3)/(1+K*FTB3*(PD+1+PI))*GTB3 Zero/pole/gain: -0.011621 s (s+4.025) (s+9.629) (s+49.6)^4 (s+56.74) (s+99.99) (s+100) (s+101.4) (s+104) (s+109.5) (s+109.5) (s+114) (s+129.4) (s+455.4) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.402e005) (s+1.403e005) (s+1.404e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.447e005) (s+5.467e005) (s+5.487e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005)^3 (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s (s+9.551e005)^4 (s+9.663e005) (s+5.487e005)^2 (s+5.447e005)^2 (s+3.726e005)^3 (s+1.404e005)^2 (s+1.402e005)^2 (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+114) (s+109.5) (s+109.5) (s+107.2) (s+100.8) (s+100.3) (s+99.99) (s+49.6)^4 (s+11.49) (s+9.629) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 207.3s + 1.074e004) (s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 202.3s + 1.024e004) (s^2 + 41.73s + 2961) (s^2 + 26.01s + 5817) >> LB3=minreal(LB3) Zero/pole/gain: -0.011621 (s+101.4) (s+100) (s+104) (s+109.5) (s+129.4) (s+56.74) (s+455.4) (s+4.025) (s+2.356e004)^5 (s+4.322e004) (s+1.403e005) (s+3.586e005) (s+3.726e005)^4 (s+5.467e005) (s+8.005e005) (s+9.551e005) (s+1.12e006) (s^2 + 201.8s + 1.018e004) (s^2 + 204.8s + 1.049e004) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (s+9.552e005) (s+9.55e005) (s+9.663e005) (s+5.487e005) (s+5.447e005) (s+3.726e005)^3 (s+1.404e005) (s+1.402e005) (s+9.304e004) (s+2.356e004)^4 (s+461.6) (s+117.4) (s+109.5) (s+107.2)


(s+100.8) (s+100.3) (s+11.49) (s+3.798) (s^2 + 207.1s + 1.073e004) (s^2 + 202.7s + 1.027e004) (s^2 + 26.01s + 5817) >>

sistema electrificación ferroviaria

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