FÍSICA IGRADO

Ingeniería Mecánica

Prof. Norge Cruz Hernández

Tema 4. Dinámica de los sistemas de partículas. Sólido rígido.

Tema 4. Dinámica de los sistemas de partículas. Sólido rígido. (6h)

4.1 Introducción.

4.2 Concepto de Sólido Rígido.

4.3 Cinemática del Sólido Rígido.

4.4 Centro de masas. Cálculo del centro de masas.

4.5 Ecuación fundamental de la traslación de un sólido rígido.

4.6 Momento lineal de un sistema de partículas. Aplicación al Sólido Rígido.

4.7 Momento de una fuerza respecto a un punto y respecto a un eje.

Tema 4. Dinámica de los sistemas de partículas. Sólido rígido.

4.8 Momento angular de un sistema de partículas: Sólido Rígido. Momento de Inercia.

4.9 Propiedades y cálculo del Momento de inercia.

4.10 Ecuación fundamental de la rotación de un Sólido Rígido.

4.11 Reacciones en los soportes y conexiones de un Sólido Rígido.

4.12 Caso particular: Estática. Condiciones de equilibrio.

4.13 Energía cinética de un Sólido Rígido.

4.14 Teorema de conservación de la Energía mecánica de un Sólido Rígido.

BibliografíaClases de teoría:- Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedman ISBN: 970-26-0511-3, Ed. 9 y 11.- Mecánica Vectorial para Ingenieros. Vol. 1 y 2. Beer y Johnston. McGraw-Hill, Madrid, 1998.

Clases de problemas:-Problemas de Física General, I. E. Irodov- Problemas de Física, Burbano, Burbano, Gracia.- Problemas de Física General, V. Volkenshtein - Problemas de Física, S. Kósel- Problemas seleccionados de la Física Elemental, B. B. Bújovtsev, V.

D. Krívchenkov, G. Ya. Miákishev, I. M. Saráeva.

Libros de consulta:- Resolución de problemas de física, V.M. Kirílov.

4.4 Centro de masas. Cálculo del centro de masas.

Supongamos que tenemos varios puntos con masas m1, m2, m3, .. mn que se encuentran en las posiciones r1, r2, r3, … rn. El centro de masa de este sistema de partículas se define como el vector:

ni

ii

ni

iii

CM

m

rmR

1

1

La velocidad del centro de masa se calcula derivando con respecto al tiempo:

ni

ii

ni

iii

CM

m

vmV

1

1

Calcular el centro de masas del siguiente sistema de partículas.

ni

ii

ni

iii

CM

m

rmR

1

1

2

1

2

1

ˆ

k

kk

k

kkk

CM

m

ixmR

imm

xmxmRCM ˆ

21

2211

21

22

mm

xmxCM

Calcular el centro de masas de una barra homogénea de longitud a.

ni

ii

ni

iii

CM

m

rmR

1

1

im

xmR nk

kk

nk

kkk

CMˆ

1

1

nk

kk

nk

kkk

CM

m

xmx

1

1

a

m dxdm

a

a

CM

dx

dxx

x

0

0

a

axCM

2

21

axCM 2

1

Calcular el centro de masas de dos cuerpos que sus centros de masas se encuentran separados a la distancia a.

O

z

x

y

vercmR

rojcmR

ni

ii

ni

iii

CM

m

rmR

1

1

rojver

rojver

ni

iroji

ni

iveri

ni

irojiroji

ni

iveriveri

CM

mm

rmrmR

11

11

O

z

x

y

vercmR

rojcmR

rojver

rojver

ni

iroji

ni

iveri

ni

irojiroji

ni

iveriveri

CM

mm

rmrmR

11

11

rojver

ni

irojiroji

ni

iveriveri

CM mm

rmrmR

rojver

11

rojni

irojiroji

rojcmroj rmRm

1

verni

iveriveri

vercmver rmRm

1

rojver

rojcmroj

vercmver

CM mm

RmRmR

La velocidad del centro de masa se calcula derivando con respecto al tiempo:

ni

ii

ni

iii

CM

m

vmV

1

1

ni

iiCMCM ppVM

1

derivamos en ambos miembros

ni

iiiCM amaM

1

ni

iiCM FaM

1

El movimiento del centro de masas puede ser estudiado como el resultado de la resultante de todas las fuerzas externas aplicadas al sistema de partículas.

ni

iiextCM FaM

1

Fuerzas equivalentes: Dos fuerzas que producen el mismo efecto sobre un sólido rígido, se dice que son fuerzas equivalentes.

Principio de transmisibilidad: Si una fuerza F aplicada en un punto de un sólido se sustituye por otra fuerza F´ de igual módulo, dirección, sentido y línea de acción pero distinto punto de aplicación, las condiciones de equilibrio o movimiento del sólido en cuestión se mantendrán inalteradas. F y F´ serán fuerzas mecánicamente equivalentes.

Vectores deslizantes

4.7 Momento de una fuerza respecto a un punto y respecto a un eje.

Según el principio de transmisibilidad, que se deduce del estudio de la dinámica del sólido rígido, la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción.

x

y

O

r

P

F

F

||F Fr

momento de fuerza

),sin( FrFr

)sin( Fr

)sin( rF

r

lF

l

brazo de la fuerza

Reformulación del principio de transmisibilidad:

Dos fuerzas son mecánicamente equivalentes, sí y sólo si son iguales (mismo módulo, dirección y sentido) y además sus momentos con respecto a un punto O son también iguales.

FF

,equivalentes

FF

OO

Teorema de VarignonDado un sistema de fuerzas concurrentes:

nFFFR

...21

nR ...21

Momento de un par

x

z

OA

y

F

F

FF

R

R

La aplicación de estas fuerzas no produce traslación del cuerpo, solamente producirá rotación.

FRFR

FRFR

FRR

sinFRR

sinRRd

d

brazo del par

momento del par

El momento del par no depende del origen O, solamente de la posición relativa de los puntos de aplicación. Para cualquier otro punto de referencia el momento del par es el mismo.

Dos pares de fuerzas tienen el mismo momento si tienen el mismo valor Fd y están el mismo plano ó en planos paralelos. Además, también deben tener el mismo sentido de giro.

Los pares de fuerzas con el mimo momento son pares mecánicamente equivalentes.

pares mecánicamente equivalentes

Descomposición de una fuerza en una fuerza en otro punto cualquiera y un par.

Se les llama sistema fuerza-par y por convenio se considera aplicado en el punto O.

El sistema fuerza-par se puede trasladar a otro punto.

FrO

FrsO

OO Fs

Multiplicamos a ambos lados por el vector: ss

s

s

s

sOO

El campo de momentos con respecto a los distintos puntos del espacio es equiproyectivo.