Sistema de Inecuaciones.Departamento de Matemáticas

Datos Unidad

SISTEMAS DE DOS INECUACIONES Y DOSINCÓNITAS.

Un sistema de inecuaciones con una incógnitaes el conjunto formado por dos o másinecuaciones lineales de la forma:

ൢ

𝑎1𝑥 + 𝑐1 > 0

𝑎2𝑥 + 𝑐2 < 0⋯ ⋯

𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑛 ≥ 0

O cualquier otro signo de desigualdad donde𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 son coeficientes reales y𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 son términos independientes.

La solución de un sistema de este tipo es unconjunto de números reales 𝑥 que satisfagansimultáneamente todas y cada una de lasdesigualdades. La solución, en este caso de existir,suele expresarse en forma de intervalo y se debetener cuidado en expresar correctamente si esabierto o cerrado según el signo de desigualdadutilizado.

Particularmente, un sistema de dos ecuacioneslineales con incógnita 𝑥, es de la forma:

ൠ𝑎1𝑥 + 𝑐1 > 0𝑎2𝑥 + 𝑐2 < 0

O cualquier otro signo de desigualdad. Resolver unsistema de este tipo es encontrar el intervalo denúmeros reales 𝑥 que satisfacen ambas ecuaciones,si existen.

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones conuna incógnita.

ቅ5𝑥 − 4 > 12 − 3𝑥7𝑥 + 9 > 34 + 2𝑥

Solución.

De la primera inecuación:

5𝑥 + 3𝑥 > 12 + 4֜ 8𝑥 > 16֜ 𝑥 >16

8֜ 𝑥 > 2

De la segunda inecuación:

7𝑥 − 2𝑥 > 34 − 9 ֜ 5𝑥 > 25 ֜ 𝑥 >25

5֜ 𝑥 > 5

El conjunto solución es la intersección de ambosintervalos.

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones con unaincógnita.

ቅ11𝑥 − 23 < −3 + 6𝑥−5𝑥 + 4 > 8 − 𝑥

Solución.

De la primera inecuación:

11𝑥 − 6𝑥 < −3 + 23 ֜ 5𝑥 < 20 ֜ 𝑥 <20

5֜ 𝑥 < 4

De la segunda inecuación:5𝑥 − 𝑥 < −8 + 4֜ 4𝑥 < −4 ֜ 𝑥 < −1

El conjunto solución es la intersección de ambosintervalos.

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones con unaincógnita.

ቅ−9𝑥 + 4 + 8𝑥 < 7 + 2𝑥−3𝑥 − 6 < 10 − 9𝑥 + 2

Solución.

De la primera inecuación:−9𝑥 + 8𝑥 − 2𝑥 < 7 − 4 ֜ − 3𝑥 < 3 ֜ 𝑥 > −1

De la segunda inecuación:−3𝑥 + 9𝑥 < 10 + 2 + 6 ֜ 6𝑥 < 18 ֜ 𝑥 < 3

El conjunto solución es la intersección de ambosintervalos.

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones con unaincógnita.

ቅ8𝑥 + 6 > 15 + 2𝑥 + 3

−2𝑥 − 8 > −11 − 4 + 5𝑥Solución.

De la primera inecuación:8𝑥 − 2𝑥 > 15 + 3 − 6 ֜ 6𝑥 > 12 ֜ 𝑥 > 2

De la segunda inecuación:−2𝑥 − 5𝑥 > −11 − 4 + 8 ֜ − 7𝑥 > −7֜ 𝑥 < 1

En éste caso no existe intersección, luego no haysolución

Un sistema de dos inecuaciones lineales con incógnitas𝑥 e 𝑦, es de la forma:

ൠ𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 > 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 > 𝑏2

O cualquier otro signo de desigualdad, donde𝑎11, 𝑎12, 𝑎21, 𝑎22 son coeficientes reales y 𝑏1, 𝑏2 sontérminos independientes. En cada una de lasinecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes delas incógnitas es diferente de cero. Resolver un sistemade este tipo es obtener el semiplano solución de lasdos desigualdades e identificar su intersección.

Obtener la solución de un sistema de este tipo suponeobtener el hiperplano solución de cada una de lasinecuaciones que lo forman y determinar laintersección de todos ellos.

SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOSINCÓGNITAS

La solución de un sistema de 𝑛 inecuaciones con dosincógnitas es siempre un conjunto convexo. Se llamaconjunto convexo a una región del plano tal que para dospuntos cualquiera de la misma, el segmento que los uneestá íntegramente contenido en la dicha región. Comocasos particulares, un conjunto convexo puede quedarreducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, aun punto o al conjunto vacío.

Los segmentos que delimitan un conjunto convexo sellaman bordes o lados y, la intersección de ellos, vértices.Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a lasolución del sistema de inecuaciones se denominanpuntos extremos. Un conjunto convexo puede sercerrado o abierto respecto a cada lado o vértice según seincluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o noacotado según su área sea o no finita.

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de dos inecuacioneslineales con dos incógnitas.

ൠ2𝑥 + 𝑦 − 4 > 0𝑥 − 𝑦 + 1 > 0

Solución.

Convirtiendo a igualdad la primera inecuación2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

Si 𝑥 = 0 ֜ 𝑦 − 4 = 0֜ 𝑦 = 4

Si y = 0 ֜ 2𝑥 − 4 = 0֜ 𝑥 = 2

Luego la recta pasa por los puntos (0,4) y (2,0)

Para representar gráficamente la solución de laprimera inecuación se elige un punto que no estéen la recta y se comprueba si verifica o no ladesigualdad. Por ejemplo, tomando el punto (1,3)se aprecia que cumple la inecuación ya que alsustituir se obtiene 2 1 + 3 − 4 = 1 > 0. Estosignifica que la región que incluye a este punto essolución de esta desigualdad, luego sombreamosdonde no es la solución.

Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación𝑥 − 𝑦 + 1 = 0.

Si 𝑥 = 0 ֜ − 𝑦 + 1 = 0֜ 𝑦 = 1

Si y = 0 ֜ 𝑥 + 1 = 0֜ 𝑥 = −1

Luego la recta pasa por los puntos (0,1) y (−1,0).

Evaluando en el punto(3,2) nos queda al sustituiren la segunda inecuación3 − 2 + 1 = 2 > 0 . Estosignifica que la región queincluye a ese punto essolución de la desigualdad

Así el conjunto solución es la intersección de lasdos regiones, formado por el plano sin sombrear.

S

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de dos inecuacioneslineales con dos incógnitas.

ൠ−𝑥 + 𝑦 − 3 > 0𝑥 + 2𝑦 − 10 > 0

Solución.

Convirtiendo a igualdad la primera inecuación− 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

Si 𝑥 = 0 ֜ 𝑦 − 3 = 0֜ 𝑦 = 3

Si y = 0 ֜ − 𝑥 − 3 = 0 ֜ 𝑥 = −3

Luego la recta pasa por los puntos (0,3) y (−3,0)

Se elige un punto que no esté en la recta paraverificar el conjunto de solución. Por ejemplotomamos el punto (0,0) y al reemplazar en laprimera inecuación se tiene − 0 + 0 − 3 =− 3 < 0, esto es, no cumple la inecuación, por loque la región que incluye a ese punto no essolución de la desigualdad.

Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación𝑥 + 2𝑦 − 10 = 0.

Si 𝑥 = 0 ֜ 2𝑦 − 10 = 0֜ 𝑦 = 5

Si y = 0 ֜ 𝑥 − 10 = 0֜ 𝑥 =10

Luego la recta pasa por los puntos (0,5) y (10,0).

Evaluando en el punto(0,0) nos queda al sustituiren la segunda inecuación0 + 2 0 − 10 = −10 < 0.Esto significa que la regiónno incluye a ese puntocomo solución de ladesigualdad.

Así el conjunto solución es la intersección de lasdos regiones, formado por el plano sin sombrear.

S

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de inecuacioneslineales con dos incógnitas.

ൢ

𝑥 + 𝑦 ≥ 2𝑥 + 𝑦 ≤ 5𝑥 ≥ 0𝑦 ≥ 0

Solución.

Convirtiendo a igualdad la primera inecuación

𝑥 + 𝑦 = 2

Si 𝑥 = 0 ֜ 𝑦 = 2

Si y = 0֜ 𝑥 = 2

Luego la recta pasa por los puntos (0,2) y (2,0)

Se elige un punto que no esté en la recta paraverificar el conjunto de solución. Por ejemplotomamos el punto (0,0) y al reemplazar en laprimera inecuación se tiene 0 + 0 = 0 ≥2, estoes, no cumple la inecuación, por lo que la regiónque incluye a ese punto no es solución de ladesigualdad.

Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación𝑥 + 𝑦 =5.

Si 𝑥 = 0 ֜ 𝑦 = 5

Si y = 0 ֜ 𝑥 = 5

Luego la recta pasa por los puntos (0,5) y (5,0).

Evaluando en el punto(0,0) nos queda al sustituiren la segunda inecuación0 + 0 = 0 ≤ 5. Estosignifica que la regiónincluye a ese punto comosolución de la desigualdad.

En esta imagenrepresentamos todoslos puntos quesatisfacen la inecuación𝑥 ≤ 0

En esta imagenrepresentamos todoslos puntos quesatisfacen la inecuacióny ≤ 0

Así el conjunto solución es la intersección de lascuatro regiones, formado por el plano sinsombrear.

S

Ejemplo.

Un padre decide ir a un concierto con sus hijos y tiene150.000 pesos. Si compra entradas de 30.000 pesos le faltadinero, pero si compra entradas de 22.000 pesos le sobra.¿Cuántos hijos tiene?

Solución.

Sea 𝑥: número de hijos.

30.000𝑥 > 150.000

𝑥 >150.000

30.000𝑥 > 5

22.000𝑥 < 150.000

𝑥 <150.000

22.000𝑥 < 6,8

Intersectando ambas soluciones se obtiene:

Luego el padre tiene 6 hijos.