sistema de ecuaciones lineales...1. combinar 2 de las 3 ecuaciones dadas. se elimina una de las...
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Sistema de
Ecuaciones
Lineales TRES INCÓGNITAS
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ING. MIRIAM GUZMÁN GONZÁLEZ
OBJETIVO
• EL ALUMNO SERÁ CAPAZ DE ENCONTRAR LA
SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES DE TRES O MÁS INCÓGNITAS DADO.
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PASO A PASO
1. Combinar 2 de las 3 ecuaciones dadas. Se elimina una de las
incógnitas, lo más sencillo es por REDUCCIÓN (suma o
resta). Logrando así una ecuaciones con 2 incógnitas.
2. Combinar la 3ra de las ecuaciones dadas con cualquiera de
las otras 2. Eliminar entre ellas la misma incógnita que en
paso 1. Logrando así una ecuaciones con 2 incógnitas.
3. Se resuelve el sistema de ecuaciones con 2 incógnitas
formado al ejecutar el paso 1 y 2.
4. Los valores de las incógnitas obtenidos en el paso 3, se
sustituye en cualquiera de las 3 ecuaciones dadas para así
hallar la 3ra incógnita.
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EJEMPLO
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6 ---------------
2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9 --------------
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 ----------------
4
1
2
3
Paso 1. Tomamos las ecuaciones y , propongo eliminemos la incógnita
“x” . Para ello es necesario multiplicar la ecuación por ( - 2).
1 2
1
−2𝑥 − 8𝑦 + 2𝑧 = −12
2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9
−3𝑦 − 5𝑧 = −21 -------- 4
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Paso 2. Combinamos la ecuación con cualquiera de las otras dos, voy a
tomar la ecuación . Para lograr eliminar la incógnita “x” es necesario
multiplicar la ecuación por ( - 3 ) .
1
3
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
1
−3𝑥 − 12𝑦 + 3𝑧 = −18
−14𝑦 + 4𝑧 = −16 ---------- 5
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Paso 3. Combinamos las ecuaciones obtenidas, y . Propongo
eliminemos la incógnita “z”.
Para ello es necesario multiplicar por (4) la ecuación
Y por (5) la ecuación
4
4
5
5
(4) −3𝑦 − 5𝑧 = −21 = −12𝑦 − 20𝑧 = −84
5 −14𝑦 + 4𝑧 = −16 = −70𝑦 + 20𝑧 = −80
−82𝑦 = −164
𝑦 = −164
−82
𝒚 = 𝟐 ------------ 6
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Ahora puedo sustituir en o . Elijo sustituirla en 6 4 5 5
−14𝑦 + 4𝑧 = −16 es necesario despejar “z” que es la incógnita que deseo obtener.
𝑧 = − 16 + 14𝑦
4
𝑧 = − 16 + 14(𝟐)
4
𝑧 = − 16 + 28
4=
12
4
𝒛 = 𝟑 ------------ 7
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Paso 4. Sustituyo y en cualquiera de las 3 ecuaciones dadas,
Propongo sustituirla en que es la ecuación más sencilla.
Para obtener mi última incógnita ; “x” es necesario realizar el despeje de
la ecuación
6 7
1
1
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6
𝑥 = 6 − 4𝑦 + 𝑧
Sustituyo valores 𝑥 = 6 − 4 𝟐 + 𝟑
𝑥 = 6 − 8 + 𝟑
𝒙 = 𝟏 ------------ 8
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Para comprobar que efectivamente los resultados obtenidos resuelven el
Sistema de ecuaciones, se sustituyen los valores obtenidos de las 3
incógnitas, en las 3 ecuaciones dadas y deben cumplir con la identidad.
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POR DETERMINANTES
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𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3
Determinante de 3er orden.
El método más sencillo es aplicando la Regla de Sarrus: Que dice que debajo de
tercera fila horizontal se repiten las 2 primeras filas horizontales:
𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3𝑎1𝑎2
𝑏3𝑏1𝑏2
𝑐3𝑐1𝑐2
+ El producto de los números que
hay en las diagonales trazadas, se
escriben con su propio signo.
- El producto de los números que
hay en las diagonales trazadas, se
escriben con el signo cambiado.
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Resolver: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 = −5
3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 = 10
Usamos el mismo método que para resolver el de 2 incógnitas (Regla de Kramer),
pero usando la regla de Sarrus para su solución.
𝑥 =
4 1 1−5 −3 510𝟒
−𝟓
4𝟏
−𝟑
7𝟏𝟓
1 1 12 −3 53𝟏𝟐
4𝟏
−𝟑
7𝟏𝟓
= −𝟖𝟒 − 𝟐𝟎 + 𝟓𝟎 +35 − 80 + 30
−𝟐𝟏 + 𝟖 + 15 −14 − 20 + 9
= −69
−23= 3
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𝑦 =
1 4 12 −5 53𝟏𝟐
10𝟒
−𝟓
7𝟏𝟓
1 1 12 −3 53𝟏𝟐
4𝟏
−𝟑
7𝟏𝟓
= −35 + 20 + 60 − 56 − 50 + 15
−23=
−46
−23= 2
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𝑧 =
1 1 42 −3 −53𝟏𝟐
4𝟏
−𝟑
10𝟒
−𝟓1 1 12 −3 53𝟏𝟐
4𝟏
−𝟑
7𝟏𝟓
= −30 + 32 − 15 − 20 + 20 + 36
−23=
23
−23= -1
La solución del sistema es:
X = 3
Y = 2
Z = -1
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Tarea
• Ejercicios del Fuenlabrada páginas:
144 Por reducción los ejercicios 1, 5 y 7
145 Por determinantes ejercicios 15, 16 y 17.
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