Introducción CPUs y GPUs Herramientas de cómputo para las tarjetas gráficas Modelo de pozo fluido en 2.5-D Resultados para

Simulación de propagación de ondassísmicas usando GPU’s

Ursula Iturrarán-Viveros y Miguel Molero

Facultad de Ciencias, U.N.A.M.

1er-Encuentro Cuba-México de Métodos Númericos yOptimización

La Habana Cuba, Abril 2-4, 2012

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Contenido

1 IntroducciónDescripción del problema

2 CPUs y GPUs¿ Porqué GPU y no CPU?Desempeño de CPUs vs. GPUsDistintos tipos de tarjetas gráficas y sus costos

3 Herramientas de cómputo para las tarjetas gráficasTipos de memoria en OpenCL

4 Modelo de pozo fluido en 2.5-DFormulación matemáticaResultados para el pozo fluidoResultados en el medio anisótropo

5 Resultados para la muestra ortorómbica6 Aceleración de los cálculos7 Conclusiones

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Descripción del problema

Descripción del problema

En el modelado de muchos fenómenos físicos se necesitaresolver ecuaciones diferenciales parcialesnuméricamente, lo cual requieren, de un gran poder ytiempo de cómputo.Los métodos en diferencias finitas son un ejemplo. Paraaliviar estas demandas, las alternativas de cómputoparalelo son las mejores opciones.Las tarjetas gráficas de cómputo general GPUs son lasmejores alternativas para este tipo de método en relaciónal número de operaciones que pueden realizar y al costoque tienen.Ejemplo de estas implementaciones son las simulacionesde progación de ondas orignadas por una fuente en unpozo fluido y por otro lado una fuente en un fluido y unmedio ortorómbico para comparar con experimentos delaboratorio.

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Configuración de un CPU y un GPU

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¿ Porqué GPU y no CPU?

¿ Porqué GPU y no CPU?

CPU GPU

2-8 cores 16-480 cores1-2 threads 8-32 threads misma instrucción

en paralelo por núcleo en paralelo por bloqueManejo automático de Memoria cache local manejada

memoria cache por el programador0.2 TFLOPS 1.5 TFLOP30 GB/sec 180 GB/sec

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Desempeño de CPUs vs. GPUs

Desempeño de CPUs vs. GPUs

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Distintos tipos de tarjetas gráficas y sus costos

Distintos tipos de tarjetas gráficas y sus costos

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Distintos tipos de tarjetas gráficas y sus costos

NVIDIA vs. AMD

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Herramientas de programacón

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Tipos de memoria en OpenCL

Tipos de memoria en OpenCL

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Pozo fluido en 2.5-D

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Formulación matemática

Formulación matemática

En coordenadas cilíndricas (r , θ, z) con 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ < 2πy −∞ ≤ z < ∞ las ecuaciones de Navier en 2-D son:

Ecuaciones de Navier en 2-D, coordenadas cilíndricas

ρ∂vr

∂t=

1r∂ (rσrr )

∂r+

1r∂σrθ

∂θ+

∂σrz

∂z−

σθθ

r+ frr (1)

ρ∂vθ∂t

=1r2

∂(

r2σrθ)

∂r+

1r∂σθθ

∂θ+

∂σθz

∂z+ fθθ (2)

ρ∂vz

∂t=

1r∂(rσzr )

∂r+

1r∂σθz

∂θ+

∂σzz

∂z+ fzz (3)

donde vr , vz and vθ son componentes de velocidad.

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Formulación matemática

Esfuerzos en coordenadas cilíndricas

Esfuerzos en coordenadas cilíndricas

σrr = (λ+ 2µ)∂vr

∂r+ λ

(

vr

r+

1r∂vθ∂θ

+∂vz

∂z

)

, (4)

σθθ = (λ+ 2µ)(

vr

r+

1r∂uθ

∂θ

)

+ λ

(

∂vr

∂r+

∂vz

∂z

)

, (5)

σzz = (λ+ 2µ)∂vz

∂z+ λ

(

vr

r+

1r∂vθ∂θ

+∂vr

∂r

)

, (6)

σθz = µ

(

1r∂uz

∂θ+

∂uθ

∂z

)

, (7)

σrz = µ

(

∂vr

∂z+

∂vz

∂r

)

, (8)

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Formulación matemática

Malla alternada

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Formulación matemática

vq+1r = vq

r +∆tρ

[

σrr

r+

∂σrr

∂r+

nσrθ

r+

∂σrz

∂z−

σθθ

r

]

(9)

donde el subindice q denota el paso temporal. Por simplicidadomitiremos el subindice en el lado derecho de las ecuaciones,pero tenemos que recordar que en el lado derecho el índicetemporal es q. Podemos re-escribir el componente develocidad vr en su forma discreta como sigue:

vq+1r = vq

r +∆t

I+r [ρ]

[

I+r[σrr

r

]

+ ∂+

r σrr +nσrθ

r+ ∂−

z σrz − I+r[σθθ

r

]]

(10)De forma similar tenemos:

ρaθ = ρvθ = ρ∂vθ∂t

= ρ

[

vq+1θ

− vqθ

∆t

]

=2σrθ

r+∂σrθ

∂r−

nσθθr

+∂σθz

∂z,

(11)

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Resultados para el pozo fluido

Formación lenta Vs < Vf

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Resultados para el pozo fluido

Formación rápida Vs > Vf

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Resultados para el pozo fluido

Herramienta con lodo de perforación rodeandola

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Resultados para el pozo fluido

Validación de resultados numéricos

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Resultados en el medio anisótropo

Muestra orthorómbica en un tanque de agua

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Resultados en el medio anisótropo

Muestra ortorombica 2-D en un medio fluido

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Resultados en el medio anisótropo

Ecuaciones para modelar la propagación de ondas en mediosanisótropos 2-D

La ecuación de conservación de momento en 2-D:

ρui =∂σij

∂xj+ ρfi , i , j = 1, 2 (12)

donde x = (x1, x2) = (x , y) es el vector de posición,σij(x, t)=esfuerzos, ui(x, t)=desplazamientos, ρ(x)=densidad,fi(x, t)=fuerzas de cuerpo y t= variable de timpo. La relaciónconstitutiva para un sólido en 2-D transversalemente isótropoesta dada por:

σxx

σyy

σxy

=

c11 c12 0c12 c22 00 0 c44

ǫxx

ǫyy

2ǫxy

(13)

donde

ǫij =12

(

∂ui

∂xj+

∂uj

∂ux

)

, i , j = 1, 2 (14)

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Resultados en el medio anisótropo

Constantes elásticas

Consideraremos doso medios anisotropos, uno debilmenteorthorómbico y el otro transversalmente isótropo con lassiguientes constates elásticas:

c11 c12 c22 c44

Phenolic 15.9 GPa 7.0 GPa 15.9 GPa 3.9 GPac11 c13 c33 c55

Arcilla de 66.6 GPa 39.4 GPa 39.9 GPa 10.9 GPaMesaverde

c11 c12 c22 c44

Agua 2.19 GPa 0.0 GPa 0.0 GPa 0.0 GPa

Table: Constantes elásticas para modelar un medio en 2-Ddebilmente orthorómbico y uno transversalmente isótropo (TVI) querepresenta un tipo de arcilla de Mesaverde.

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Muestra ortorómbica en un medio fluido

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Muestra ortorómbica en un medio fluido

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Trazas de Reflección y Transmisión para la muestra orthoromb icarotada 101 angulos θ ∈ [−50o,50o]

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Trazas de Reflección y Transmisión para la muestratransversalemente isótropa rotada 101 angulos θ ∈ [−50o,50o]

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Tiempo de cómputo en un CPU y en un GPU

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

70

80

90

Nodos de malla

Tie

mpo

(se

c)

CPUGPU

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Conclusiones

Usando un GPU hemos logrado acelerar el tiempo decómputo para el método de diferencias finitas

El lenguaje de programación PyOpenCL=Python+OpenCLnos permite usar las tarjetas gráficas de una forma másamigable.

Es importante ver como se puede hacer la comunicaciónentre varios GPUs que permita hacer modelos en 3-D.

Estos dispositivos de cómputo abren la puerta a pensar nosolo en modelos directos, si no también inversos.

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Gracias