Propagacion de Errores2da edicion

German Blesio - Carlos M. SilvaDepartamento de Fısica

Instituto Politecnico Superior

14 de marzo de 2016

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INDICE 2

Indice

1. Ejercicios 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Metodos Estadısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Ajuste de Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.1. Metodo Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.2. Metodo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Resultados 152.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Metodos Estadısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Ajuste de Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Soluciones 173.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4. Metodos Estadısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5. Ajuste de Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A. Anexo A: Graficas de Funciones 26A.1. Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.2. Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.3. Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28A.4. Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

B. Anexo B: Uso de la Calculadora 31B.1. Modo estadıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31B.2. Sobre el Modo SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31B.3. Sobre el Modo REG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1 EJERCICIOS 3

1. Ejercicios

En los ejercicios de esta practica en que se utilice la constante π se la considerara, a noser que se exprece lo contrario, como la que nos otorga la calculadora (π = 3,141592654).Laincerteza esta en el ultimo dıgito lo que representa un porcentaje muy pequeno de error relativo,por lo que no se la va a tener en cuenta, es decir, π va a ser una constante sin incerteza.

1.1. Introduccion

1) Sea a = (22,5 ± 0,2)m, b = (10,0 ± 0,1)m y c = (8,9 ± 0,5) cm calcular las siguientesoperaciones:

a) A = a · b

b) P =a

b

c) V = a · b · c

d) R =a− bc

2) Se tiene un objeto de masa m = (150 ± 2) kg en un lugar donde la aceleracion de lagravedad es de g = (9,7956± 0,0001)m/s2.

a) ¿Cual es el peso del objeto?

b) Si se encuentra a una altura h = (20 ± 1)m de un nivel de referencia. ¿Cual es laenergıa potencial gravitatoria respecto a este nivel?

3) Se tiene una partıcula moviendose con aceleracion uniforme. Si en un instante resultavi = (8,9± 0,5)m/s y despues de un tiempo t = (7,62± 0,03) s se mide que vf = (6,35±0,09)m/s, calcule entonces cual fue la aceleracion media con su respectiva incerteza.

4) Un auto se mueve en un instante t1 = (12,5±0,1) s a una velocidad de v1 = (27±1) km/h.Si cuando t2 = (19,00 ± 0,05) s su velocidad resulta v2 = (99 ± 1) km/h, ¿Cual fue suaceleracion promedio?

1.2. Potenciacion

Si tenemos un valor A tal que sea el resultado de elevar B a una potencia C (siendo C nonula ni uno) entonces, si B posee incerteza, y C es una constante, la incerteza de A va a resultar:

∆A

A= C

∆B

B

Recordemos que esta potencia puede ser cualquier valor real (con la salvedad hecha anteriormen-te). Para numeros naturales, se ve claramente el resultado antes escrito a causa de la definicionpues A = BC es lo mismo que multiplicar C veces B. Como en la multiplicacion, las incertezasrelativas se suman, entonces ∆A

Aes sumar C veces ∆B

B, es decir, C · ∆B

B

Por otro lado, es de utilidad recordar tambien que

n√x = x

1n .

1 EJERCICIOS 4

Si tenemos que a = n√b, entonces

b = an ⇒ ∆b

b= n · ∆a

a⇒ ∆a

a=

1

n· ∆b

b

que demuestra justamente lo que estabamos explicando.El ultimo recordatorio es que las incertezas son valores siempre positivos, por lo que si en

algun momento les da negativo, se debe tomar el valor absoluto. Por este motivo es convenienteque en toda propagacion de incerteza se vaya observando que ninguna incerteza relativa seanegativa, ya que si simplemente se ingresa todo en la calculadora, a veces no se observa el errorcometido pero si da un resultado incorregto.

Ahora, en base a la informacion que les dimos, resuelvan los siguientes ejercicios:

1) Sea la medida a = (3,71± 0,09)m calcular:

a) El volumen del cubo de lado a

b) El volumen del cilindro de altura a, y base circular de radio a

c) El volumen de la esfera de radio a

2) Calcule la potencia emitida por el cuerpo humano a partir de la formula

P = A · σ · e · T 4

donde A es el area del cuerpo humano supuesta A = (2,0 ± 0,5)m2, e es la emisividadtermica de la piel e = (0,95 ± 0,05) y σ es la constante de Stefan-Boltzmann con valorσ = (5,67 ± 0,01)10−8 W

m2·K4 . T es la temperatura de la piel y su valor aceptado es T =(305± 5)K

3) Una cuerda de masa m = (1,5±0,2) kg y largo L = (0,65±0,01)m se encuentra sometidaa una tension T = (1000 ± 1)N . Se sabe que la velocidad de una onda depende solo dela tension y de la densidad lineal de masa µ = m

L, cumpliendose la relacion

v =

√T

µ

¿Cual es la velocidad de una onda en esta cuerda?

4) Se tiene un recipiente con un orificio de area A = (153±1)mm2 en el fondo. Si el nivel deagua se encuentra a una altura h = (23,2±0,4) cm del fondo, y la aceleracion gravitatoriadel lugar es g = (9,7956 ± 0,0001)m/s2, calcule la velocidad con la que sale el lıquido yel caudal.

Sugerencia: para simplificar los calculos, suponga que la velocidad con la que disminuye el nivel del

lıquido es muy baja y ası es valida la formula de Torricelli v =√2 · g · h.

5) Calcular la fuerza de atraccion gravitatoria entre dos electrones que se encuentran a unadistancia r = (53 ± 1) · 10−12m. Recordar que la masa de un electron es me = (9,11 ±

0,02) · 10−31 kg y la constante de gravitacion universal es G = (6,69± 0,05) · 10−11 m3

kg · s2.

1 EJERCICIOS 5

6) Calcular la fuerza electrica entre los dos electrones del ejercicio anterior. La carga delelectron es e = (−1,60± 0,02) · 10−19C y donde la constante de Coulomb (k), que a veces

se escribe k =1

4πε0con ε0 permitividad electrica del vacıo, es k = (8,99±0,01)·109 N ·m2

C2.

7) Calcular el cociente entre la fuerza electrica y gravitatoria a la que se ven sometidos loselectrones de los dos ejercicios anteriores.

8) Dada la formula

H =a · 2√b3

1− c− de

,

escribir la formula de propagacion de incertezas de H, y calcular H con su incerteza paralos valores de la tabla que sigue:

a b c d e5,0± 0,5 6,78± 0,02 62± 1 40± 2 9± 16,0± 0,3 11± 2 51± 2 56± 1 10,5± 0,911,3± 0,1 2,0± 0,5 0,50± 0,01 0,05± 0,01 8,0± 0,21,8± 0,2 3,2± 0,9 100± 10 25± 1 100± 1

0,190± 0,001 52± 2 62± 1 40,0± 0,5 95± 5

1.3. Otras funciones

Dado una medicion a ± ∆a a la que le aplicamos una funcion cualquiera f(x) como serf(x) = log(x), f(x) = ex, f(x) = sen(x), etc., se puede encontrar el resultado con su incertezabuscando el promedio de los valores extremos que dio la funcion. Si la funcion es creciente odecreciente (como la exponencial, el logaritmo, todas las raices, las potencias impares y lasinversas del seno, coseno y la tangente, entre otras) , se encuentra facilmente al usar los valoresextremos de a (es decir al calcularla en a + ∆a y en a −∆a ) y su error es la diferencia entreel promedio y el mayor valor, resultando que:

f(a±∆a) =f(a+ ∆a) + f(a−∆a)

2±∣∣∣∣f(a+ ∆a)− f(a−∆a)

2

∣∣∣∣Sin embargo, si presenta cambios de crecimiento (por ejemplo que oscila) o discontinuidades

(por ejemplo un salto) entonces el resultado que provee la formula anterior puede no ser elverdadero. Para entenderlo mejor, vamos a observar un ejemplo. Si tenemos que obtener cos(φ)con φ = 3,14± 0,04 observemos que resultado nos da.

f(φ±∆φ) =f(3,18) + f(3,10)

2±∣∣∣∣f(3,18)− f(3,10)

2

∣∣∣∣ = −0,99920± 0,00006

Pero si calculamos cos(φ) = cos(3,14) = −0,999998731 . . . y este valor no se encuentradentro del resultado calculado.

Para calcular el valor en funciones en donde cambia el crecimiento, es necesario estu-diar la funcion en cuestion. Por ejemplo el seno y coseno van oscilando, pero el seno cre-

ce en[−π

2,π

2

]y decrece en

[π

2,3π

2

], mientras que el coseno decrece en [0, π] y crece en

[π, 2π]. La tangente por su parte es siempre creciente en los intervalos, (−π, π), (π, 3π), . . ..

1 EJERCICIOS 6

Por lo tanto, antes de calcularla en este tipo de funciones, uno debe fijarse en que partede la funcion uno esta. Ya que si no hay cambio de crecimiento, uno puede usar la formu-la anterior, pero si lo hay, uno debera buscar el mayor y el menor valor de la funcion enese intervalo y con ellos calcular el valor promedio y el error sera la mitad de la diferenciaentre el maximo y el mınimo. En el ejemplo anterior, el coseno tiene un cambio de creci-miento en π, que resulta ser un mınimo (es decir, pasa de decrecer a crecer) en donde escos(π) = −1.El valor maximo en ese intervalor, se da en 3,18 donde es −0,99913515 . . .. Ası se

tiene, f(φ±∆φ) =−1 + (−0,99913515 . . .)

2±∣∣∣∣−1− (−0,99913515 . . .)

2

∣∣∣∣ = −0,9996± 0,0004

Para aprender mas sobre las funciones tıpicas que cambian su crecimiento, consultar el“Anexo A: Graficas de Funciones” que se encuentra adjunto a esta practica

En base al conociendo adquirido, resolver los siguientes ejercicios:

1) Si f(x) = sen(x), a = (0,30 ± 0,04) rad y c = 2,5 ± 0,1. Calcular f(a) con su error.Conociendo el resultado, calcular ahora c · f(a) con su correspondiente error.

2) Sea f(x) = ex, a = 1,97± 0,05, b = 9,0± 0,5. Calcular con errores:

a) f(a)

b) f(b)

c) f(a) · f(b)

d) a+ b

e) f(a+ b) = e(a+b)

3) En el interior de un cilindro de radio interno R1 = (20, 0 ± 0, 1) cm y radio externoR2 = (22, 2± 0,1) cm fluye vapor a una temperatura de (90± 2)oC. La longitud del tuboes L = (2, 55 ± 0, 01)m. Se puede probar que el flujo de calor por unidad de tiempo atraves de las paredes del tubo es:

H =2πLk(T1 − T2)

lnR1

R2

donde T1 y T2 son las temperaturas externa e interna respectivamente y k es el coeficientede conductividad termica, que en este caso es 60 W

m·K . En un dıa en que la temperaturaambiente es de (25±1)oC ¿Cual sera la perdida de calor por unidad de tiempo H a travesde las paredes del tubo?

Sugerencia: para simplificar los calculos, aplique alguna propiedad de los logaritmos y desarme la

expresion de H en varias partes.

4) Un haz de luz polarizada con una intensidad I0 = (150± 1)W/m2 incide sobre un polari-zador perfecto formandose un angulo θ = (1,222± 0,005) rad entre el eje del polarizadory el de la luz. Utilizando la ley de Malus I = I0 · cos2(θ), encuentre la intensidad del hazdespues del polarizador.

1 EJERCICIOS 7

1.4. Metodos Estadısticos

Hasta ahora trabajamos propagando incertezas sin importar de que tipo son, pero si loserrores son del tipo aleatorios entonces se pueden usar algunos metodos estadısticos. Para usarestos metodos se requiere que la cantidad de datos medidos o calculados sea grande, ya que enla demostracion matematica se imagina una cantidad infinitas de datos, por lo que mientrasmas cantidad de datos haya, mejor sera la aproximacion y por ende validez de las formulas.Tambien es requisito, que todas las medidas sean tomadas en iguales condiciones, es decir, queel unico factor por el que varıan las mediciones es por los errores aleatorios existentes.Comoejemplo de aplicaciones se puede mencionar los errores de reaccion al medir el perıodo de unpendulo y los errores de apreciacion de un instrumento.

Para empezar vamos a definir un concepto con el que ya estamos familiarizados y que esvalido siempre. Llamamos Media aritmetica o promedio al resultado de sumar todos los datosy dividir por el numero de sumandos. Matematicamente, si tenemos N datos xi, el promedioes

x =1

N

N∑i=1

xi

Dado N valores de alguna magnitud que llamamos x (por ejemplo el largo de una mesa, o elperıodo de oscilacion de un pendulo) el valor mas probable va a ser el promedio(x). La incerti-dumbre por su parte la podemos representar con el error cuadratico medio o desviacion estandar(σ) que es una medida del grado de dispersion de los datos con respecto al valor promedio, ypor eso puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviacion estandar deun grupo repetido de medidas nos da la precision de estas, ya que muestra la distribucion delos datos alrededor de un valor central (en nuestro caso, el promedio). Matematicamente, laformula que nos permite calcular la desviacion estandar es:

σx =

√√√√√ N∑i=1

(xi − x)2

N − 1

Esto significa que al usar σx como error, estamos diciendo que en el intervalo (x− σx;x + σx)es donde hay mas probabilidades de que este el valor, pero eso no significa que si hacemosmas mediciones todas van a estar ahı. Esto quiere decir que los metodos estadısticos no danresultados absolutos, sino que dan probabilidades de en que intervalo van a estar la mayorıade los valores, ya que al ser algo aleatorio es posible que una medicion sea cualquier numeropracticamente.

Es importante aclarar, que usando apropiadamente estos metodos, es posible disminuirmucho los errores, pero vamos a tomar como criterio que ningun error puede ser menor a laapreciacion del instrumento con el que se mide. Sin embargo, esta es una buena razon paramedir un multiplo de la magnitud que deseamos, ya que la apreciacion se mantiene constante.Por ejemplo, si medimos el espesor de una hoja con un calibre, vamos a tener un error mınimode 0,02mm (la apreciacion de nuestro calibre), pero si medimos el espesor de 100 hojas, elerror mınimo de las 100 hojas va a ser 0,02mm, por lo que el error mınimo de una hoja sera0,0002mm, lo que mejora notablemente.

Ejemplo: La mediciones del perıodo de un pendulo fueron 4,12 s, 4,13 s, 4,16 s, 4,10 s, 4,11 s,4,12 s, 4,05 s, 4,09 s, 4,22 s y 4,13 s. El promedio es T = 4,123 s y σT = 0,0447 . . . s por lo quevamos a tomar T = (4,12± 0,05) s.

1 EJERCICIOS 8

Pensemos que tenemos una serie de mediciones a la cual se la puede trabajar estadısticamen-te y usamos el promedio y el error cuadratico medio. Si se repite esa serie varias veces (siendosiempre de una misma magnitud, y en las mismas condiciones), ¿que pasara si se calcula el errormedio cuadratico sobre los promedios de cada serie(a los que llamamos Xi?. Si la cantidad deserie es lo suficientemente grande (digamos que medimos M veces cada serie), entonces resulta

que: σM =

√√√√√ M∑i=1

(X −Xi)2

M − 1≈ σ√

M, donde llamamos X al promedio de los promedios de cada

serie, σM a la desviacion estandar del promedio de los promedios y σ a la desviacion estandarde las series (que por haber sido tomadas en iguales condiciones son parecidas). Despues detantas mediciones, entender esto se torna muy confuso, por este motivo, ahora vamos a ver unejemplo para clarificar los conceptos.

Ejemplo: Se realizan 7 series de 10 mediciones de la potencia P de una lampara. Dado quelas condiciones son siempre las mismas, el error asignado a cada medicion resulta ser igual y es∆P = 0,001W . A continuacion las mediciones

Serie 1[W] Serie 2[W] Serie 3[W] Serie 4[W] Serie 5[W] Serie 6[W] Serie 7[W]4,270 4,269 4,273 4,269 4,273 4,280 4,2784,273 4,276 4,270 4,278 4,272 4,260 4,2694,269 4,266 4,276 4,273 4,269 4,270 4,2714,275 4,278 4,272 4,276 4,268 4,268 4,2764,276 4,265 4,271 4,277 4,278 4,271 4,2774,263 4,267 4,273 4,269 4,279 4,269 4,2734,273 4,278 4,275 4,273 4,275 4,272 4,2684,269 4,272 4,265 4,272 4,267 4,273 4,2704,264 4,279 4,278 4,279 4,276 4,272 4,2694,268 4,276 4,275 4,277 4,276 4,270 4,268

A partir de estos valores, vamos a calcular el promedio de cada serie, y su correspondienteerror cuadratico medio con las formulas que venimos trabajando. Ası se obtiene:

Promedio (P i)[W] Desviacion Estandar(σP i

)[W] Valor Final [W]

Serie 1 4,270 0,0043. . . 4, 270± 0, 004Serie 2 4,2726 0,0054. . . 4, 273± 0, 005Serie 3 4,2728 0,0036. . . 4, 273± 0, 004Serie 4 4,2743 0,0036. . . 4, 274± 0, 004Serie 5 4,2733 0,0042. . . 4, 273± 0, 004Serie 6 4,2705 0,0049. . . 4, 271± 0, 005Serie 7 4,2719 0,0038. . . 4, 272± 0, 004

Como se observa los promedios son bastantes parecidos y, la desviacion cuadratica media,tambien. Entonces, podemos calcular el promedio de los promedios, es decir, vamos a calcular:

P =

7∑i=1

P i

7=

(4,270 + 4,273 + 4,273 + 4,274 + 4,273 + 4,271 + 4,272)W

7= 4,2722 . . . W

Para calcular la desviacion estandar del promedio del promedio (σP ), habıamos dicho que comotodas las mediciones eran en igualdad de condiciones, los errores cuadraticos medios de cada

1 EJERCICIOS 9

serie (σP i) son iguales. Esto en la practica no ocurre (aunque si son parecidos) por esto, vamos

a tomar como criterio siempre utilizar la mayor desviacion estandar. En este caso, tanto la serie2 como la serie 6 poseen σP 2

= σP 6= 0,005W = σPmax

Entonces sabemos que σP =σPmax√

7=

0,005√7

= 0,00189 . . . W

Por lo tanto resulta que el resultado final, ese que vamos a presentar, esP = (4,272± 0,002)W

1) Con un ohmetro basado en puente de Wheastone que posee A = 0,01 Ω de apreciacion,queremos medir la resistencia de un resistor. Procedemos a hacerlo varias veces en lasmismas condiciones, pero sin embargo el resultado cambia. A continuacion se presentauna tabla con todos los valores medidos en Ohms [Ω].

2,40 2,44 2,50 2,35 2,49 2,37 2,46 2,452,49 2,41 2,42 2,45 2,43 2,52 2,37 2,382,42 2,48 2,39 2,39 2,53 2,53 2,52 2,512,43 2,41 2,42 2,41 2,40 2,50 2,48 2,392,48 2,51 2,38 2,36 2,50 2,40 2,47 2,442,39 2,53 2,44 2,38 2,46 2,43 2,50 2,512,50 2,54 2,50 2,36 2,46 2,43 2,41 2,362,51 2,47 2,52 2,41 2,40 2,36 2,41 2,422,38 2,41 2,42 2,52 2,48 2,43 2,37 2,372,48 2,51 2,51 2,37 2,52 2,49 2,37 2,40

a) Con todos estos resultados, encontrar la resistencia haciendo el promedio y la des-viacion estandar de las 72 mediciones.

b) Considerar que cada columna es una serie independiente. Con esta consideracion,calcular el promedio y la desviacion estandar de cada una de las 8 series, y luego elpromedio de los promedios con su error cuadratico medio.

c) Observar que resultado es mas preciso (es decir, posee menor incerteza relativa) yrealizar una breve conclusion al respecto.

2) Se tiene un pendulo ideal, de longitud l = (1,130 ± 0,001)m y se realizan 5 series de 10mediciones de 20 perıodos (con esto se quiere decir, que, en vez de medir el perıodo, semide 20 veces ese valor). Las mediciones se realizan con un cronometro de apreciacionA = 0,01 s La siguiente tabla mustra las mediciones:

Serie 1[s] Serie 2[s] Serie 3[s] Serie 4[s] Serie 5[s]42,70 42,69 42,73 42,69 42,7342,73 42,76 42,70 42,78 42,7242,69 42,66 42,76 42,73 42,6942,75 42,78 42,72 42,76 42,6842,76 42,65 42,71 42,77 42,7742,63 42,67 42,73 42,69 42,7742,73 42,78 42,75 42,73 42,7542,69 42,72 42,65 42,72 42,7042,64 42,79 42,78 42,79 42,7642,68 42,76 42,75 42,77 42,76

1 EJERCICIOS 10

Calcule a partir de estos datos el promedio de los promedios de cada serie con su error

cuadratico medio. Recordando que T = 2π ·

√l

g, calcular g, que es la aceleracion gravi-

tatoria en ese lugar.

3) Un laser de longitud de onda λ es emitido hacia una rendija rectangular de ancho a =(0,43 ± 0,01 )mm. Se mide el angulo del primer maximo obteniendose: θ1 = (0,0018 ±0,0001) rad, θ2 = (0,0017 ± 0,0001) rad, θ3 = (0,0018 ± 0,0001) rad, θ4 = (0,0016 ±0,0001) rad, θ5 = (0,0018 ± 0,0001) rad, θ6 = (0,0017 ± 0,0001) rad, θ7 = (0,0019 ±0,0001) rad, θ8 = (0,0017 ± 0,0001) rad, θ9 = (0,0016 ± 0,0001) rad y θ10 = (0,0018 ±0,0001 )rad. Calcular la longitud de onda λ recordando que la formula es: a·sen(θ) = m·λdonde m es el ”numero de orden” que en este caso por ser el primer maximo resulta m = 1

1.5. Ajuste de Graficas

Las mediciones en fısica, generalmente arrojan resultados que son volcados en graficas. Paraconocer propiedades del sistema, o simplemente el comportamiento frente al cambio de algunavariable, se realizan ajustes de los puntos graficados mediante alguna funcion.

La forma mas sencilla de realizar un ajuste es mediante una recta y por tal motivo es laque se va a explicar. Si se conoce de antemanos la funcion que rige el comportamiento de losdatos, se puede realizar una linealizacion de los puntos graficados para convertirlos en recta.Este proceso se explicara mas adelante.

Existen dos metodos principales para ajustar los datos a una funcion. El metodo graficoconsiste en marcar los puntos (con sus errores respectivos) en una grafica, y a partir de estetrazar la recta que mejor pase por los puntos. El metodo numerico consiste en realizar ciertascuentas a partir de metodos estadısticos que nos devuelven la pendiente y ordenada al origende la recta.

1.5.1. Metodo Grafico

Este metodo consiste en usar la percepcion humana para encontrar la recta. En base a lospuntos graficados con sus errores, el objetivo es encontrar la recta que pase lo mas cerca posiblede cada dato, que este contenida en los errores de cada punto y que ademas sea representativode la tendencia. Veamos con un ejemplo que queremos decir con esto.

En la Figura 1, se observa una serie de puntos. A pesar de que se no estan perfectamentealineados, resulta logico a nuestra vista que esos datos tienen un comportamiento de recta yusando una regla podemos trazar una lınea como la de la figura.

Entonces, al momento de realizar el ajuste de una serie de datos mediante una recta, esimportante observar que los datos al menos parezcan una recta. Esto hay que realizarlo conmucho cuidado. Si se observa la Figura 2, se puede ver como una serie de puntos puede serajustada por una recta, a pesar de que su comportamiento real sea distinto (en este caso unacuadratica).

Una vez confirmado el comportamiento lineal, se procede a trazar la recta. La mejor formade hacerlo, es posicionar la regla sobre los datos que estan en el centro de la grafica, y girarla recta girando los extremos para que ası los datos del centro de la grafica esten contenidos.La idea es que los puntos que estan en el centro de la grafica, al tener uno siempre alrededor,

1 EJERCICIOS 11

Figura 1: Ejemplo del metodo grafico

Figura 2: Ejemplo de problemas que pueden aparecer con el metodo grafico

son mejores para conocer la tendencia general, que los de un extremo que alguno pudo haberestado mal por fallas de graficacion.

Las rectas a graficar van a ser la de mayor pendiente posible y la de menor pendiente posible.¿Que quiere decir esto? Quiere decir, que vamos a trazar una recta que tambien este contenidaen los errores y que sea un posible ajuste, pero que parezca que no es el indicado. Aca es dondeaparece el factor humano que mencionabamos. Entonces la idea es que el promedio de la rectade maxima pendiente y la de mınima pendiente van a darnos un buen ajuste, mientras que ladiferencia nos va a dar una idea del error.

Pero antes de hacer esos calculos, hay que calcular las pendientes. Para realizar esto vamosa hacer uso de la hoja milimetrada (o puede asistirse con una regla de resultarle mas comodo).

La pendiente de una recta es m =

∣∣∣∣∆y∆x

∣∣∣∣, por lo que hay que elegir un intervalo ∆x = x2− x1 y

a ese intervalo le corresponde otro ∆y = y2−y1 = y(x2)−y(x1) que son con los cuales hacemosel cociente. Vamos a ver como se calcula con un ejemplo.

En la Figura 3 se muestra una recta de la temperatura de un sistema en funcion del tiempo.Tal como se explico, para calcular la pendiente de la recta se eligen dos puntos al azar, 1 y2 y calculo las diferencias entre las coordenadas x e y de esos puntos. Calculemos primerola variacion en x, ∆x = x2 − x1 = 8 s − 4 s = (8 − 4) s = 4 s. La variacion en y resulta∆y = y2 − y1 = 40 oC − 20 oC = (40− 20) oC = 20 oC. Ası resulta que la pendiente de la recta

es m =

∣∣∣∣∆y∆x

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣20 oC

4 s

∣∣∣∣ = 5 oC/s.

Es importante remarcar que las variaciones en x e y se miden con respecto a la ESCALA!

1 EJERCICIOS 12

Figura 3: Ejemplo Medicion de la pendiente

Con este decimos, que si uno mide que hay 3 cuadraditos de ∆y, y 7 cuadraditos de ∆x, paracalcular la pendiente hay que escribir los cuadraditos como lo que valen en la escala de lagrafica tal como se hizo en el ejemplo. Tomando a este, al calcular la pendiente, se observa que

∆x = 2cuadraditos y ∆y = 1cuadradito. Esto no significa quem =∆x

∆y=

1

2= 0,5. Justamente,

hay que ver que significan esos cuadraditos para calcular la pendiente correctamente.Una vez calculada la mayor pendiente (mmax) y la menor pendiente (mmin) obtenemos que

la pendiente sera:m = (m±∆m)

m =mmin +mmax

2∆m =

∣∣∣∣mmax −mmin

2

∣∣∣∣ = |mmax −m|

La ultima aclaracion a hacer, es que si se busca la ordenada al origen por algun motivo, sedebe tener cuidado que en el caso de que los datos que tenemos fueron todos para un x positivoo todos con x negativo, el 0 va a ser una extrapolacion de nuestra recta. Esto lo que genera, esque las pequenas variaciones en la medicion de la pendiente, pueden provocar grandes efectosen el calculo de la ordenada al origen, y a la vez, pueden no ser correctos si por ejemplo, larecta es solo una aproximacion de la curva real.

De este tema no vamos a realizar ejercicios por el simple motivo de que los ajustes pormetodos graficos van a ser los usados en los experimentos que hagan. Por este motivo, serecomienda que cuando sea el momento se revise esta teorıa explicada.

1.5.2. Metodo Numerico

Otra forma de realizar el ajuste a una recta es usando los metodos que tienen por basealgunas formulas provenientes de la estadısticas. A pesar de que no es el objetivo de esteapunte explicar como se obtiene, aclaramos que se rigen en el principio de hacer mınimo elcuadrado de la distancia del punto medido, a la recta de ajuste (por este motivo a este tipo de

1 EJERCICIOS 13

analisis se lo conoce como mınimos cuadrados). A partir de esto, se obtiene que dado N puntos(x1; y1), (x2; y2), ..., xN ; yN) se pueden ajustar por una recta del tipo y = A + B x a traves delas siguientes expresiones:

A =(∑x2i ) (∑yi)− (

∑xi) (

∑xiyi)

N (∑x2i )− (

∑xi)

2

B =N (∑xiyi)− (

∑xi) (

∑yi)

N (∑x2i )− (

∑xi)

2

De estos dos resultados, se puede obtener la desviacion estandar que le corresponde , queresultan,

σA = σy

√ ∑x2i

N (∑x2i )− (

∑xi)

2 σB = σy

√N

N (∑x2i )− (

∑xi)

2

donde σy =

√∑(yi − A−Bxi)2

N − 2.

Sin embargo, hasta ahora simplemente hicimos calculos sobre ciertos valores, pero no te-nemos forma de saber si lo que escribimos es realmente una recta. Una forma de cuantificar(es decir, ponerle un valor) a que tan bien los datos se ajustan por una recta, es usando el

coeficiente de regresion lineal r que se calcula mediante, r =

∑[(xi − x)(yi − y)]√

(∑

(xi − x)2) (∑

(yi − y)2).

Mientras mas cerca esta |r| de 1, significa que mas rectos son los puntos ingresados.A pesar de lo compleja que parecen estas formulas, hoy en dıa todo esto esta incluido en

la calculadora, por lo que no hay mas que aplicarlo. Para aprender a hacer mınimos cuadradoscon la calculadora, consulte el ”Anexo B: Uso de la Calculadora” donde se detallan algunasfunciones utiles de la calculadora.

1) Una barra de vidrio se posiciona sobre dos cuchillas, una en cada extremo. Se le ponediferentes masas en el centro de la barra que por su peso la curvan. Mediante un dispositivo

se mide esta curvatura con una distancia d que responde a la formula d =Y

C·m donde

C = (1,3±0,1) ·1011 Pa ·kg/m es un coeficiente que depende de la geometrıa de la barra,sus propiedades, y el montaje del dispositivo, Y es el modulo de Young y m es la masaque se cargo. Para la siguiente tabla realice una regresion lineal de los datos y use lapendiente para calcular Y .

m[g] d[cm] m[g] d[cm] m[g] d[cm]81,036 20,5 181,935 25,8 272,683 30,291,033 21 191,931 26,3 281,008 30,8101,025 21,5 201,924 26,8 300,997 31,7111,021 22 211,92 27,3 310,993 32,3121,829 22,6 216,933 27,6 321,801 32,8130,991 23,1 222,728 27,8 330,963 33,3140,987 23,7 231,89 28,3 355,964 34,5150,98 24,2 241,886 28,7 381,907 35,8160,976 24,7 251,879 29,2 431,862 38,3171,784 25,3 261,875 29,8 480,849 40,8

1 EJERCICIOS 14

Sugerencia: calcule primero la pendiente y despues cambie la unidad a Sistema Internacional

2) Usando la ecuacion de Clausius-Clayperon para un cambio de fase en un gas ideal sepuede encontrar la relacion ln(P ) = −Lvap

R·T + C con C una constante que nos relacionala temperatura a la que sucede el cambio de fase a una presion dada con el ”calor” devaporizacion. Se hace un experimento donde se mide la temperatura de ebullicion delagua a diferentes presiones obteniendo los resulados de la tabla. Calcule el ”calor” devaporizacion del agua. Recordar que R = (8, 31447± 0, 00002)J/(mol ·K).

P[Pa] ln P T[oC] T[K] 1/T [K−1]28997 10,27 67,8 341,0 0,00293232987 10,40 70,65 343,8 0,00290840303 10,60 75,3 348,5 0,00286946289 10,74 78,8 352,0 0,00284151742 10,85 81,6 354,8 0,00281857595 10,96 84,3 357,5 0,00279764378 11,07 87,3 360,5 0,00277469965 11,15 89,5 362,7 0,00275774754 11,22 91,3 364,5 0,00274378611 11,27 92,9 366,1 0,00273183400 11,33 94,5 367,7 0,00271988055 11,38 95,9 369,1 0,00270992844 11,43 97,4 370,6 0,00269897632 11,48 98,9 372,1 0,002687103219 11,54 100,4 373,6 0,002677

2 RESULTADOS 15

2. Resultados

2.1. Introduccion

1) a) A = (225± 4)m2

b) P = (2,25± 0,04)

c) V = (20± 2)m3

d) R = (140± 10)

2) a) P = (1470± 20)N

b) Epg = (29± 2) kJ

3) a = (−0,33± 0,08)m/s2

4) a = (3,1± 0,2)m/s2

2.2. Potenciacion

1) a) V = (51± 4)m3

b) V = (160± 10)m3

c) V = (210± 20)m3

2) P = (900± 300)W

3) v = (21± 2)m/s

4) v = (2,13± 0,02)m/s y Q = (326± 5) · 10−6m3/s

5) Fg = (2,0± 0,1) · 10−50N

6) Fe = (8,2± 0,5) · 10−8N

7)FeFg

= (4,1± 0,5) · 1040

8) La formula utilizada es ∆H = H ·

[∆a

a+

3

2· ∆b

b+

1ec−d − 1

·(

∆c

c− d+

∆d

c− d+

∆e

e

)]Los resultados son:

Resultado−60± 20150± 7030± 1040± 4093± 9

2 RESULTADOS 16

2.3. Otras funciones

1) f(a) = 0,30± 0,04 y c · f(a) = 0,7± 0,1

2) a) f(a) = 7,2± 0,3

b) f(b) = 9000± 4000

c) f(a) · f(b) = 70000± 30000

d) a+ b = 11,0± 0,6

e) f(a+ b) = 70000± 40000

3) H = (600± 30) kW

4) I = (17,5± 0,6)W/m2

2.4. Metodos Estadısticos

1) a) R = (2,44± 0,06) Ω

b) R = (2,44± 0,02) Ω

c) Dado que el valor numerico obtenido con ambos metodos son iguales, el resultadomas preciso (es decir el que tiene menor incerteza relativa) es el que tiene menorincerteza, que resulta ser el ultimo obtenido. Cabe aclarar, que si se observa la Serie7 el resultado obtenido por esas 9 mediciones es el mismo que se obtuvo en el primerapartado, es decir, que a pesar de haber hecho 63 mediciones mas, no se disminuyoel error cuadratico medio. Por este motivo, el metodo de hacer mediciones en series,suele mejorar notablemente los resultados.

2) t = (42,73± 0,02) s y g = (9,77± 0,02)m/s2

3) λ = (730± 60)nm

2.5. Ajuste de Graficas

1) Y = (6,6± 0,5) · 1010Pa = (66± 5)GPa

2) Lvap = (40900± 200) J/mol = (543± 2)cal/g

3 SOLUCIONES 17

3. Soluciones

3.1. Introduccion

1) a) A = a · b = 22, 5m · 10, 0m = 225m2

∆A

A=

∆a

a+

∆b

b=

0, 2m

22, 5m+

0, 1m

10, 0m⇒ ∆A = 225m2 ·

(0, 2m

22, 5m+

0, 1m

10, 0m

)=

4, 25m2

Ası resulta, A = (225± 4)m2

b) P =a

b=

22, 5m

10, 0m= 2, 25

∆P

P=

∆a

a+

∆b

b=

0, 2m

22, 5m+

0, 1m

10, 0m

Entonces, ∆P = 2, 25 ·(

0, 2m

22, 5m+

0, 1m

10, 0m

)= 0, 0425

Ası resulta, P = (2, 25± 0, 04)

c) V = a·b·c. Como c esta en cm, lo pasamos a metros. Entonces, c = (0,089±0,005)m.Ahora, V = 22,5m · 10,0m · 0,089m = 20,025m3

∆V

V=

∆a

a+

∆b

b+

∆c

c=

0,2m

22,5m+

0,1m

10,0m+

0,005m

0,089m

Entonces, ∆V = 20,025m3 ·(

0,2m

22,5m+

0,1m

10,0m+

0,005m

0,089m

)= 1,50325m3

Ası resulta, V = (20± 2)m3

d) R =a− bc

. Como c esta en cm, lo pasamos a metros. Entonces, c = (0,089±0,005)m.

Ahora, R =22,5m− 10,0m

0,089m= 140,449 . . .

∆R

R=

∆(a− b)a− b

+∆c

c=

∆a+ ∆b

a− b+

∆c

c=

0,3m

12,5m+

0,005m

0,089m

Entonces, ∆R = R ·(

0,3m

12,5m+

0,005m

0,089m

)= 11,2612 . . .

Ası resulta, R = (140± 10)

2) a) El peso es igual a P = m · g por lo que P = 1469,34N

∆P

P=

∆m

m+

∆g

g⇒ ∆P = 1469,34N

(2 kg

150 kg+

0,0001m/s2

9,7956m/s2

)= 19,6062N

Ası resulta P = (1470± 20)N

b) Sabemos que la energıa potencial gravitatoria se calcula mediante la formula Epg =m · g · h, por lo que resulta Epg = 29368,8 J

∆EpgEpg

=∆m

m+

∆g

g+

∆h

h⇒ ∆Epg = 29368,8 J ·

(2 kg

150 kg+

0,0001m/s2

9,7956m/s2+

1m

20m

)⇒

⇒ ∆Epg = 1861,464 J

Por lo que resulta Epg = (29000± 2000) J = (29± 2) kJ

3 SOLUCIONES 18

3) Sabemos que vf = vi + a · t→ a =vf − vi

t

Resulta ası, a =vf − vi

t=

6,35m/s− 8,9m/s

7,62 s= −0,33464 . . . m/s2

∆a

a=

∆vf + ∆vivf − vi

+∆t

t

Como vf − vi < 0 y a < 0, al calcular la incerteza vamos a tomar los valores absolutos .Entonces,

∆a =

∣∣∣∣vf − vit

∣∣∣∣ · (∆vf + ∆vi|vf − vi|

+∆t

t

)=(0,33464 . . . m/s2

)·(

0,09m/s+ 0,5m/s

2,55m/s+

0,03 s

7,62 s

)= 0,078 . . . m/s2

Obteniendose como resultado, a = (−0,33± 0,08)m/s2

4) Sabemos que v2 = v1 + a · (t2 − t1)→ a =v2 − v1

t2 − t1

Antes de continuar, pasamos las velocidades am/s. Para esto, vm/s = vkm/h·1000m

1km

1h

3600s⇒

vm/s =vkm/h3,6

. Entonces, v1 = (7,5± 0,3)m/s y v2 = (27,5± 0,3)m/s.

Resulta ası, a =v2 − v1

t2 − t1=

27,5m/s− 7,5m/s

19,00 s− 12,5 s= 3,0769 . . . m/s2

∆a

a=

∆v2 + ∆v1

v2 − v1

+∆t2 + ∆t1t2 − t1

⇒

∆a =27,5m/s− 7,5m/s

19,00 s− 12,5 s·(

0,3m/s+ 0,3m/s

27,5m/s− 7,5m/s+

0,05 s+ 0,1 s

19,00 s− 12,5 s

)= 0,163 . . . m/s2

Obteniendose como resultado, a = (3,1± 0,2)m/s2

3.2. Potenciacion

1) a) Dado el cubo de lado a, su volumen V sera V = a3. Por lo tanto, V = 51,064811m3

La incerteza esδV

V= 3

δa

acomo V = a3 queda ∆V = 3 · a2 · ∆a = 3 · (3,71m)2 ·

0,09m = 3,716307m3

Ası resulta, V = (51± 4)m3

b) Recordemos que vamos a usar a π = 3,141592654 y sin incerteza.

El volumen del prisma de base circular es V = a · π · a2 = π · a3. De este modoV = 160,4248 . . . m3

∆V

V=

∆π

π+ 3 · ∆a

a. Como consideramos π sin incerteza y reemplazando V = π · a3

queda ∆V = 3 · π · a2 ·∆a = 11,67 . . . m3

De este modo, V = (160± 10)m3

c) Recordemos que vamos a usar a π = 3,141592654 y sin incerteza.

El volumen de la esfera es V =4

3· π · a3. De este modo V = 213,8997 . . . m3

∆V

V=

∆π

π+ 3 · ∆a

a. Como consideramos π sin incerteza y reemplazando V =

4

3· π · a3

queda ∆V = 4 · π · a2 ·∆a = 15,56 . . . m3

3 SOLUCIONES 19

De este modo, V = (210± 20)m3

2) Con la ecuacion dada para la potencia emitida, podemos decir que P = 932,25 . . . W

La incerteza esta dada por∆P

P=

∆A

A+

∆e

e+

∆σ

σ+ 4 · ∆T

Tlo que da por resultado

∆P = 344,90 . . . W

Entonces se obtiene P = (900± 300)W

3) Por la informacion dadas obtenemos que v =

√T · Lm

por lo que resulta v = 20,8m/s.

∆v

v=

1

2·(

∆T

T+

∆L

L+

∆m

m

). Entonces se obtiene ∆v = 1,557 . . . m/s

Lo que permite decir que v = (21± 2)m/s

4) Para empezar vamos a pasar los datos a unidades del Sistema Internacional. A = (153±1)mm2 = (153± 1) · 10−6m2 y h = (23,2± 0,4) cm = (0,232± 0,004)m.

Ahora calculamos la velocidad de salida v =√

2 · g · h = 2,1319 . . . m/s

∆v

v=

1

2·(

∆g

g+

∆h

h

)⇒ ∆v = 0,018 . . . m/s

Ası resulta v = (2,13± 0,02)m/s

El caudal Q con el que sale es Q = A · v = A ·√

2 · g · h = 3,2618 · 10−4m3/s

∆Q

Q=

∆A

A+

1

2·(

∆g

g+

∆h

h

)⇒ ∆Q = 4,945 . . . 10−6m3/s

Donde se obtiene Q = (326± 5) · 10−6m3/s

5) La formula para la fuerza de atraccion gravitatoria es Fg = G · m1 ·m2

r212

. En nuestro caso

resulta Fg = G · m2e

r2= 1,976 . . . 10−50N

∆FgFg

=∆G

G+ 2 · ∆me

me

+ 2 · ∆r

r⇒ ∆Fg = 9,80 . . . 10−52N

Ası resulta Fg = (2,0± 0,1) · 10−50N

6) La ley de Coulomb es Fe = k · q1 · q2

r212

que en nuestro caso resulta ser Fe = k · e2

r2=

8,193 . . . 10−8N

∆FeFe

=∆k

k+ 2 · ∆e

e+ 2 · ∆r

r⇒ ∆Fe = 5,23 . . . 10−09N

Entonces resulta Fe = (8,2± 0,5) · 10−8N

7) Para realizar el cociente sin perder precision por los redondeos que se hicieron para pre-

sentar el resultado, se procede a calcularFeFg

=k · e2

G ·m2e

= 4,145 . . . 1042 y llamamos al

cociente C.∆C

C=

∆k

k+ 2 · ∆e

e+

∆G

G+ 2 · ∆me

me

⇒ ∆C = 4,70 . . . 1041

3 SOLUCIONES 20

Ası resulta,FeFg

= (4,1± 0,5) · 1040

Observemos que si utilizamos los valores finales de los ejercicios anteriores, tendriamos,FeFg

= 4,1 · 1041

∆C

C=

∆FeFe

+∆FgFg⇒ ∆C = 4,55 · 1040

Ası que obtenemos el mismo resultado, aunque podrıan haber diferido.

8) Para realizar este ejercicio con mayor facilidad vamos a encontrar la formula para la incer-teza usando los parametros a, b, c, d y e para despues reemplazar. Dada la complejidad dela ecuacion, vamos a calcular la incerteza relativa del numerador, asi despues sumandolaa la incerteza relativa del denominador nos da la incerteza relativa de H.

∆

(1− c− d

e

)= ∆

(c− de

)∆

(c− de

)c− de

=∆c+ ∆d

c− d+

∆e

e⇒ ∆

(c− de

)=c− de·(

∆c+ ∆d

c− d+

∆e

e

)= ∆

(1− c− d

e

)

Siendo la incerteza relativa del numerador

∆

(1− c− d

e

)1− c− d

e

=

c− de·(

∆c+ ∆d

c− d+

∆e

e

)1− c− d

e

Sabiendo que

c− de

1− c− de

=1

e

c− d− 1

y ademas que2√b3 = b3/2 podemos escribir la formu-

la final como: ∆H = H ·

∆a

a+

3

2· ∆b

b+

1e

c− d− 1·(

∆c

c− d+

∆d

c− d+

∆e

e

)Los resultados son ası:

H ∆H Resultado−61,11 . . . 19,21 . . . −60± 20148,28 . . . 72,45 . . . 150± 7033,86 . . . 13,13 . . . 30± 1041,21 . . . 41,33 . . . 40± 4092,71 . . . 9,21 . . . 93± 9

3.3. Otras funciones

1) Observese que el angulo (0,30±0,04) rad se encuentra totalmente contenido en el intervalo

de crecimiento que va de(−π

2;π

2

), por lo que no hay ningun cambio de crecimiento

3 SOLUCIONES 21

sen(a) =sen(a+ ∆a) + sen(a−∆a)

2=sen(0,34) + sen(0,26)

2= 0,295 . . . rad

∆ (sen(a)) =

∣∣∣∣sen(a+ ∆a)− sen(a−∆a)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣sen(0,34)− sen(0,26)

2

∣∣∣∣ = 0,038 . . .

Ası, c·f(a) = c·sen(a) = 0,738 . . . y ∆ (c · f(a)) = c · sen(a) ·(

∆c

c+

∆ (sen(a))

sen(a)

)= 0,12 . . .

Dando como resultado f(a) = 0,30± 0,04 y c · f(a) = 0,7± 0,1

2) Como se explico antes, la exponencial nunca cambia su crecimiento, por lo que no esnecesario preocuparse por el hecho.

a) f(a) = ea =e(a+∆a) + e(a−∆a)

2=e2,02 + e1,93

2= 7,213 . . .

∆ea =

∣∣∣∣e(a+∆a) − e(a−∆a)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣e2,02 − e1,93

2

∣∣∣∣ = 0,32 . . .

f(a) = 7,2± 0,3

b) f(b) = eb =e(b+∆b) + e(b−∆b)

2=e9,5 + e8,5

2= 9137,24 . . .

∆eb =

∣∣∣∣e(b+∆b) − e(b−∆b)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣e9,5 − e8,5

2

∣∣∣∣ = 4222,47 . . .

f(b) = 9000± 4000

c) f(a) · f(b) = ea · eb = 7,213 . . . · 9137,24 . . . = 65915,35 . . .

∆(ea · eb

)ea · eb

=∆ea

ea+

∆eb

eb⇒ ∆

(ea · eb

)= 65915,35 ·

(0,32 . . .

7,213 . . .+

4222,47 . . .

9137,24 . . .

)= 33424,8 . . .

f(a) · f(b) = 70000± 30000

d) a+ b = 10,97 y ∆(a+ b) = ∆a+ ∆b = 0,05 + 0,5 = 0,55 por lo que resulta,

a+ b = 11,0± 0,6

e) Usando el resultado del item anterior, podemos calcular f(a+ b) = ea+b

ea+b =e(a+b)+∆(a+b) + e(a+b)−∆(a+b)

2=e11,6 + e10,4

2= 70978,71 . . .

∆ea+b =

∣∣∣∣e(a+b)+∆(a+b) − e(a+b)−∆(a+b)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣e11,6 − e10,4

2

∣∣∣∣ = 38119,08 . . .

f(a+ b) = 70000± 40000

3) Para empezar, vamos a calcular por un lado la parte del logaritmo y despues a ese resulta-

do, lo usaremos para hacer la cuenta final. Recordemos ademas que ln

(R1

R2

)= ln(R1)− ln(R2)

, por lo que la ecuacion final nos queda, H =2πLk(T1 − T2)

ln(R1)− ln(R2). Recordemos que se men-

ciono que el logaritmo es una funcion que crece siempre, por lo que no hay puntos en quepreocuparse dentro del intervalo en que esta definida.

Con esto en mente vamos a calcular los dos logaritmos.

ln(R1) =ln(R1 + ∆R1) + ln(R1 −∆R1)

2=ln(20,1) + ln(19,9)

2= 2,9957 . . .

3 SOLUCIONES 22

∆ln(R1) =

∣∣∣∣ ln(R1 + ∆R1)− ln(R1 −∆R1)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ln(20,1)− ln(19,9)

2

∣∣∣∣ = 0,0050 . . .

ln(R2) =ln(R2 + ∆R2) + ln(R2 −∆R2)

2=ln(22,3) + ln(22,1)

2= 3,1000 . . .

∆ln(R2) =

∣∣∣∣ ln(R2 + ∆R2)− ln(R2 −∆R2)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ln(22,3)− ln(22,1)

2

∣∣∣∣ = 0,0045 . . .

Ahora resulta que H =2πLk(T1 − T2)

ln(R1)− ln(R2)= 598743,37W

∆H

H=

∆L

L+

∆T1 + ∆T2

T1 − T2

+∆ln(R1) + ∆ln(R2)

ln(R1)− ln(R2)⇒ ∆H = 31851,65 . . . W

H = (600000± 30000)W = (600± 30) kW

4) El angulo en el que vamos a calcular el cos se encuentra en el intervalo (0;π) que esdecreciente, por lo que no se presenta ninguna dificultad con esto.

A partir de la Ley de Malus, vamos a proceder a calcular en primer lugar cos(θ).

cos(θ) =cos(θ + ∆θ) + cos(θ −∆θ)

2=cos(1,227) + cos(1,217)

2= 0,3417 . . .

∆cos(θ) =

∣∣∣∣cos(θ + ∆θ)− cos(θ −∆θ)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣cos(1,227)− cos(1,217)

2

∣∣∣∣ = 0,00469 . . .

I = I0 · cos2(θ) = 17,520 . . . W/m2

∆I

I=

∆I0

I0

+ 2 · ∆cos(θ)

cos(θ)⇒ ∆I = 0,598 . . .W/m2

Ası resulta I = (17,5± 0,6)W/m2.

3.4. Metodos Estadısticos

1) a) Para este apartado vamos a considerar todas las medidas para el calculo. Sumandotodas las medidas y dividiendo por 72 (el numero de medidas realizadas), obtenemosR = 2,44263 Ω. Para calcular la desviacion estandar, usamos la formula aprendida,

σR =

√√√√√ 72∑i=1

Ri

71= 0,0581 . . . Ω

Ası obtenemos de resultado, R = (2,44± 0,06) Ω

b) En este caso vamos a tener que calcular para cada serie. Los datos serıan (dondetodas las medidas estan en la unidad Ohm Ω:

3 SOLUCIONES 23

Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 Serie 7 Serie 82,40 2,44 2,50 2,35 2,49 2,37 2,46 2,452,49 2,41 2,42 2,45 2,43 2,52 2,37 2,382,42 2,48 2,39 2,39 2,53 2,53 2,52 2,512,43 2,41 2,42 2,41 2,40 2,50 2,48 2,392,48 2,51 2,38 2,36 2,50 2,40 2,47 2,442,39 2,53 2,44 2,38 2,46 2,43 2,50 2,512,50 2,54 2,50 2,36 2,46 2,43 2,41 2,362,51 2,47 2,52 2,41 2,40 2,36 2,41 2,422,38 2,41 2,42 2,52 2,48 2,43 2,37 2,372,48 2,51 2,51 2,37 2,52 2,49 2,37 2,40

Con esta informacion, podemos calcular los valores para cada serie. Observese quemientras que antes trabajamos con 71 datos, ahora cada serie solo tiene 9 datos.

Promedio(Ri)[Ω] Desviacion estandar (σRi)[Ω] Final[Ω]

Serie 1 2,448 0,049. . . 2, 45± 0, 05Serie 2 2,471 0,051. . . 2, 47± 0, 05Serie 3 2,45 0,052. . . 2, 45± 0, 05Serie 4 2,4 0,051. . . 2, 4± 0, 05Serie 5 2,467 0,045. . . 2, 47± 0, 05Serie 6 2,446 0,060. . . 2, 45± 0, 06Serie 7 2,436 0,056. . . 2, 44± 0, 06Serie 8 2,423 0,054. . . 2, 42± 0, 05

A partir de estos valores podemos calcular el promedio de los promedios de cadaserie, que resulta R = 2,44263 Ω. Para la desviacion estandar de este promedio,usamos la desviacion estandar maxima que haya dado una serie, que es 0,06 Ω quedieron las series 6 y 7. Ası, dividiendo este valor por la raız cuadrada de 8 (el numerode series) se obtiene: σR = 0,021 . . . Ω

Por lo tanto obtenemos R = (2,44± 0,02) Ω

c) Dado que el valor numerico obtenido con ambos metodos son iguales, el resultadomas preciso (es decir el que tiene menor incerteza relativa) es el que tiene menorincerteza, que resulta ser el ultimo obtenido. Cabe aclarar, que si se observa la Serie7 el resultado obtenido por esas 9 mediciones es el mismo que se obtuvo en el primerapartado, es decir, que a pesar de haber hecho 63 mediciones mas no se disminuyoel error cuadratico medio. Por este motivo, el metodo de hacer mediciones en series,suele mejorar notablemente los resultados.

2) Como primer paso vamos a calcular el promedio

(∑Ni=1 tiN

)y la desviacion estandar

√

N∑i=1

(ti−t)2

N−1

de cada serie como se explico en la teorıa

3 SOLUCIONES 24

Promedio(ti)[s] Desviacion estandar (σti)[s] Final[s]Serie 1 42,7 0,043. . . 42, 7± 0, 04Serie 2 42,726 0,054. . . 42, 73± 0, 05Serie 3 42,728 0,036. . . 42, 73± 0, 04Serie 4 42,743 0,036. . . 42, 74± 0, 04Serie 5 42,733 0,034. . . 42, 73± 0, 03

Una vez realizado esto, se calcula el promedio de promedios, resultando t = 42,726 s. Paracalcular la desviacion estandar, buscamos cual es el mayor error cuadratico medio de lasseries, y resulta ser el de la serie 2, siendo σt2 = 0,05.

Ası, resulta σt =σt2√

5=

0,05√5

= 0,022 . . .

Entonces se obtiene que t = (42,73± 0,02) s

Dado que esa medida corresponde a 20 perıodos, resulta que un perıodo (T ) es

T =t

20= 2,1365 s

∆T =σt20

= 0,001 s

Entonces, t = (2,137± 0,001) s

Con este resultado, y recordando que T = 2π ·

√l

g, vamos a calcular la aceleracion

gravitatoria.

g = 4π2 · lT 2

= 4π2 · 1,13m

(2,137 s)2 = 9,7685 . . . m/s2

∆g

g=

∆l

l+ 2 · ∆T

T⇒ ∆g = 0,0177 . . . m/s2

Ası se obtuvo que g = (9,77± 0,02)m/s2

3) Para empezar procedamos a pasar al ancho de la rendija a metros, quedando a = (4,3±0,1) · 10−4m

Con los valores del angulo calculamos el promedio θ =

10∑i=1

θi

10= 0,00174 y la desviacion

estandar σθ =

√√√√√ 10∑i=1

(θ − θi

)2

9= 0,0000966 . . . Usando θ = (0,0017 ± 0,0001) rad proce-

demos a calcular su seno. Observese antes, que este angulo se encuentra entre(−π

2,π

2

),

por lo que esta en una zona sin cambio de crecimiento.

sen(θ) =sen(θ + ∆θ) + sen(θ −∆θ)

2=sen(0,0018) + sen(0,0016)

2= 0,001699 . . .

∆ (sen(θ)) =

∣∣∣∣sen(θ + ∆θ)− sen(θ −∆θ)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣sen(0,0018)− sen(0,0016)

2

∣∣∣∣ = 0,0000999 . . .

3 SOLUCIONES 25

Ası se obtiene sen(θ) = (0,0017± 0,0001)

Ahora, recordando que m = 1 y usando la formula λ =a · sen(θ)

m, se obtiene:

λ = 7, 3099 . . . 10−7m

∆λ = λ ·(

∆ (sen(θ))

sen(θ)+

∆a

a

)⇒ ∆λ = 5, 9999 . . . 10−8m

Por lo tanto el resultados es λ = (7,3± 0,6) · 10−7m = (730± 60)nm

3.5. Ajuste de Graficas

1) En primer lugar hay que hacer regresion lineal (usando a m como abscisa y a d comoordenada), con lo que se obtiene: B = 0, 050666774 cm/g y σB = 0, 000136415 cm/g

Luego, es necesario pasar a sistema internacional, por lo que resulta:

B = 0, 50666774m/kg y σB = 0, 00136415m/kg

Como x = B ∗m y sabemos del enunciado que x =Y

C·m entonces B =

Y

C⇒ Y = B ·C

Recordando ademas que si Y = B · C resulta ∆Y = Y ·(

∆B

B+

∆C

C

)Calculando se obtiene Y = (6,6± 0,5) · 1010Pa = (66± 5)GPa

2) A partir de la ecuacion dada, se hace evidente que va a ser necesario hacer una regresionlineal de ln(P) en funcion de T−1, obteniendose: B = −4921, 83K y σB = 19, 04K

Comparando ln(P ) = BT

+A con la relacion dada, se observa que B = −Lvap

R. Usando que

R = (8, 31447± 0, 00002) J/(mol ·K), entonces resulta:

Lvap = −B ·R = 40922,44 J/mol y ∆Lvap = Lvap ·(

∆B

|B|+

∆R

R

)= 158, 37 J/mol

Ası resulta Lvap = (40900± 200) J/mol

Recordando que un mol de agua pesa 18 g, y que 1 cal = 4,186 J, se puede obtener queLvap = (543± 2) cal/g, muy similar a los 540 cal/g de tabla.

A ANEXO A: GRAFICAS DE FUNCIONES 26

A. Anexo A: Graficas de Funciones

A.1. Cuadratica

La funcion cuadratica presenta un unico punto con dificultad que es el cero. En el cero, lafuncion pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo que si vamos a aplicar la funcion a unvalor que contiene al cero dentro de su incertidumbre, vamos a tener que analizarlo.

Figura 4: Esta es la grafica del x2

Resolvamos un ejemplo para entenderlo mejor: Dada la funcion f(x) = x2, calcular f(a)con a = (0,3 ± 0,7). Como se observa a partir de la imagen, la funcion vale en 0, f(0) = 0, loque lo hace un mınimo en el intervalo (a decir verdad es el mınimo de esta funcion cuadraticaya que nunca da un valor negativo). Luego tenemos que el maximo se da en f(1) = 1, por loque el resultado es:

f(a) =f(1) + f(0)

2=

1 + 0

2= 0,5

∆f(a) =

∣∣∣∣f(1)− f(0)

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1− 0

2

∣∣∣∣ = 0,5

Ası resulta, f(a) = (0,5± 0,5)Si por error no hubieramos observado que habıa un punto de cambio de crecimiento, entonces

nos habrıa dado, f(a) = (0,6± 0,4) donde no esta incluido 0 como posible resultado.

A.2. Seno

La funcion seno es una funcion periodica que oscila entre -1 y 1. Como se observa de la

grafica, los puntos donde cambia el crecimiento sonπ

2,

3π

2,

5π

2, etc. En general, se puede decir

que los puntos donde cambia el crecimiento estan representado por(2k + 1)π

2con k ∈ Z,

donde Z es el conjunto de los numeros enteros (es decir, es cualquier numero entero, positivoo negativo, e incluye al cero).

A ANEXO A: GRAFICAS DE FUNCIONES 27

Figura 5: Ejemplo de la funcion cuadratica

Figura 6: Esta es la grafica del seno

Veamos un ejemplo al respecto. Vamos a calcular sen(θ), θ = (7,8± 0,4). Como se observaen la figura de abajo, en el intervalo de θ (7,4, 8,2) hay uno de los puntos en que cambia decrecimiento, y ese punto es un poquito mas grande que 7,8. Buscando, encontramos que el

punto es5π

2. Dado que ahı el seno vale 1, ese va a ser nuestro valor maximo posible del seno

en todo el intervalo en cuestion

Figura 7: Ejemplo del seno

A ANEXO A: GRAFICAS DE FUNCIONES 28

Ahora hay que ver cual es el valor mınimo. A partir de la grafica vemos que es en uno delos dos extremos:

sen(θ −∆θ) = sen(7,4) = 0,898708095sen(θ + ∆θ) = sen(8,2) = 0,940730556Ası, el valor mınimo esta en 7.4. Ahora podemos calcular el resultado sabiendo estas dos

cosas.

sen(θ) =sen(5π

2) + sen(7,4)

2= 0,9493 . . .

∆ (sen(θ)) =

∣∣∣∣sen(5π2

)− sen(7,4)

2

∣∣∣∣ = 0,0506 . . .

Ası resulta sen(θ) = (0,95± 0,05)

A.3. Coseno

El coseno es una funcion muy similar al seno. Al igual que esta, oscila entre -1 y 1, pero ladiferencia se encuentra en que los puntos de cambio de crecimiento estan corridos. En el casodel coseno, se encuentran en 0, π, 2π, etc. y en general se puede decir que se encuentran en kπcon k ∈ Z donde Z es el conjunto de los numeros enteros (es decir, es cualquier numero entero,positivo o negativo, e incluye al cero). En la grafica se puede observar lo similar que resulta ala seno y donde se encuentran los puntos de cambio de crecimiento.

Figura 8: Esta es la grafica del coseno

Hagamos ahora un ejemplo que nos ayude a enteder. Vamos a calcular, cos(θ), θ = (31416±4). Para resolverlo, hay que usar el procedimiento que explicamos, es decir, buscar el maximoy mınimo valor de esa funcion en el intervalo a calcular.

Figura 9: Ejemplo del coseno

Como se observa en la grafica, en el intervalo en cuestion el coseno pasa por todos susvalores posibles, es decir, todos los valores entre -1 y 1. A pesar de que cos(31416) = 0,9973 . . .,debemos usar la formula que habıamos explicado.

A ANEXO A: GRAFICAS DE FUNCIONES 29

cos(θ) =(1) + (−1)

2= 0 . . .

∆ (cos(θ)) =

∣∣∣∣(1)− (−1)

2

∣∣∣∣ = 1 . . .

Ası obtenemos de resultado, cos(θ) = cos(31416± 4) = 0± 1Observese un dato importante. Algunas bibliografıas, o incluso a veces los razonamientos

propios, nos dicen que si la incerteza relativa del valor al que se aplica la funcion es pequena(generalmente se habla de un 5 %) entonces se puede utilizar el mismo metodo que si la funcionno cambiara su crecimiento. En el ejemplo realizado, observemos que la incerteza relativa de θes 0.013 %. Sin embargo si aplicaramos el metodo obtendrıamos que cos(θ) = (−0,65 ± 0,06)que no abarca ni por cerca todos los valores que realmente esta representando el calculo.

A.4. Tangente

La funcion tangente tiene la particularidad de que tiene ciertos puntos donde no se le puede

definir un valor. Estos puntos que se llaman de discontinuidad se encuentran en(2k + 1)π

2con

k ∈ Z (como ser −π2

,π

2,

3π

2entre otros).

Figura 10: Esta es la grafica de la tangente

Como se ve en la grafica, cuando uno se acerca a esos puntos, lo que sucede es que si uno

viene probando la funcion con valores menores aπ

2por ejemplo, la grafica se va a infinito

cuando mas se acerca aπ

2, pero si se acerca desde valores mayores, la grafica se va a menos

infinito, es decir, un infinito negativo. Por este motivo, se genera una gran dificultad al usar latangente.

Veamos en un ejemplo exactamente cual es la dificultad de esta funcion. Supongamos quequeremos calcular tan(φ) con φ = (4,7± 0,1).

Como se ve, un punto de discontinuidad pertenece al intervalo de φ. Si miramos la graficacon cuidado, a partir de 4,6 crece hasta infinito, por lo que el resultado puede ser cualquier valor

A ANEXO A: GRAFICAS DE FUNCIONES 30

Figura 11: Ejemplo de la tangente

mayor a tan(4,6). Desde el otro lado vemos que puede ser cualquier valor menor a tan(4,8).Como tan(4,6) = 8,8601 . . . y tan(4,8) = −11,3848 . . . lo unico que podemos decir es quetan(φ) /∈ (−11,3848 . . . , 8,8601 . . .), es decir, que tan(φ) no puede ser ningun valor entre los dosextremos calculados.

B ANEXO B: USO DE LA CALCULADORA 31

B. Anexo B: Uso de la Calculadora

Esta guıa se realiza a partir del modelo fx-82MS de la empresa Fuego, donde existe unmodelo similar de la marca Casio. En general, en todas las calculadoras (sacando de lado lasgraficadoras que pueden ser distitas) el procedimiento para usar el modo estadıstico es muysimilar. Sin embargo se recomienda que, para un mejor entendimiento, se consulte con el manualde su propia calculadora.

B.1. Modo estadıstico

Existen dos modos para calculos estadısticos, el SD y el REG. El primero se utiliza pararealizar estadısticas sobre una unica variable (por ejemplo tener un conjunto de medicionesdel perıodo de un pendulo) mientras que la segunda consiste en realizar estadıstica sobre dosvariables, donde se trabaja con graficas (aunque no grafique la calculadora, nos puede decircomo serıa la mejor curva lineal, exponencial o de otro tipo que ajusta a los puntos dados).

Para seleccionar un modo se preciona la tecla MODE y luego 2 (para SD) o un 3 (REG).

B.2. Sobre el Modo SD

Cargar datos

Antes de comenzar a cargar datos, es necesario borrar todos los que haya guardado. Paraeso, presionar SHIFT→ MODE (llendo ası a la funcion CLR que significa Clear) y seleccionarla opcion 1 (Scl= Stat Clear).Recuerde que al apagar la calculadora, los datos se mantienen enla memoria, ası que este paso es muy importante.

Para cargar un valor simplemente hay que escribirlo en la calculadora y (sin de apretar antes

la tecla =) precionar la tecla M+ (que por estar en modo SD, significa DT). Al presionarlo,le aparecera en pantalla ”n=” y luego un numero. Ese numero representa la cantidad de datosingresados.

Tenga cuidado que si apreta dos veces seguida la tecla M+, entonces se cargara dos vecesel dato. Por otro lado si posee un dato que quiere cargar mas de una vez, puede escribir elnumero luego ”;” (que se obtiene al presionar SHIFT → , ), luego la cantidad de veces que

desea ingresar el dato y presiona M+ . Otra precaucion a tener es respecto a ver los datosanteriormente ingresados. Al usar la flechas para arriba y para abajo, lo que va a aparecer”x1=7” que significa que el primer dato(por el 1 despues de la x) ingresado es un 7 y si apretapara abajo ”Freq1=2” que la frecuencia (es decir la cantidad de veces ingresadas de una vez) delprimer dato es 2. Si escribe mientras ve una leyenda de cualquiera de los dos tipos, y presionaluego igual, se va a modificar los datos ingresados. Por este motivo si desea hacer ingresar masdatos o calcular alguna operacion debe precionar AC antes de hacerlo porque sino se puedemodificar alguno de los valores ingresados. Si desea borrar un dato ingresado, busquelo con lasflechas y luego presione SHIFT→ M+ (que significa CL).

Operaciones

Una vez ingresados todos los datos, hay un numero de operaciones que nos permite hacer lacalculadora. Para esto hay dos menues, el S-VAR ( SHIFT→ 1 ) y el S-SUM ( SHIFT→ 2 ).En la siguiente tabla se ven las operaciones que nos permite, y como ingresar a ellas.

B ANEXO B: USO DE LA CALCULADORA 32

Para llamar este tipo de valor que significa realizar∑x2 La suma de los cuadrados de cada valor SHIFT→ 1→ 1→ =∑x La suma de cada valor SHIFT→ 1→ 2→ =

n El numero de datos ingresados SHIFT→ 1→ 3→ =

x La media aritmetica o promedio SHIFT→ 2→ 1→ =

σn Desviacion estandar de poblacion SHIFT→ 2→ 2→ =

σn−1 Desviacion estandar de muestra SHIFT→ 2→ 3→ =

B.3. Sobre el Modo REG

Una vez que ingresemos al Modo REG (mediante MODE → 3 ), nos aparecera para elegirmas opciones. Estas, tratan sobre la naturaliza de la funcion con la que vamos a ajustar losdatos. A continuacion una tabla para explicarlo mejor.

Nombre Funcion Expresion matematica Secuencia de Teclas

Lin Regresion lineal y = A+B · x 1

Log Regresion logarıtmica y = A+B · ln(x) 2

Exp Regresion exponencial y = A · eB·x(ln(y) = ln(A) +B · x) 3

Pwr Regresion de potencia y = A · xB(ln(y) = ln(A) +B · ln(x)) → 1

Inv Regresion inversa y = A+ Bx

→ 2

Quad Regresion cuadratica y = A+B · x+ C · x2 → 3

Cargar datos

Para todos los tipos de funciones la carga de datos se realiza de igual manera: Valor de x→ ,→ Valor de y → M+ . Deben tenerse en cuenta las mismas consideraciones para el modoSD en cuanto a carga de datos, como ser que antes de empezar a cargar, verificar que no hayadatos anteriores cargados.

Operaciones

El modo REG tiene muchas operaciones para realizar, sobre todo considerando que hay6 funciones distintas con que ajustar. Sin embargo aca nos vamos a dedicar a explicar lasoperaciones que nos van a ser util para los ejercicios de mınimos cuadrados (y la gran mayorıade ejercicios de ajuste de graficas) en que vamos a trabajar exclusivamente con regresion lineal.A continuacion vamos a ver una tabla con las operaciones y como realizarlas:

Para llamar este tipo de valor que significa realizar

A La suma de los cuadrados de cada valor SHIFT→ 1→ 1→ =∑x La suma de cada valor SHIFT→ 1→ 2→ =

n El numero de datos ingresados SHIFT→ 1→ 3→ =

x La media aritmetica o promedio SHIFT→ 2→ 1→ =

σn Desviacion estandar de poblacion SHIFT→ 2→ 2→ =

σn−1 Desviacion estandar de muestra SHIFT→ 2→ 3→ =