SIMPSONEN ARAUAK ETA BESTE BATZUK

Funbloa Jakin gabe ballo hatnik aagutzea cta horien bldez marrapeko azalesa ntuslu behar izatea rnah gwtatzen da. Hona adibide batzuk:

Bitarte bakarreko azalera. la beti puntuen krtikalarcn muturrak marra zuzen batean daudela erabakltxen dugu . Orduan azalera

81 bltarlíeko amiera Hiru berlikalcko muturrak parabola batean daudela crabaldízen dugu. Orduan azapela bI zaff tan kalkulahen dugu:

Ezagunak berükalak izaten dira. Beraz bitarteak b h o bat gthlago. Homla, bitarftak balna -un bat gehiagoko funtzio bat aukeratu behar dugu. Funtzlo hori pohomlo bat h n g o da,

Sistema honetatik

23 = ( Y O + Y ~ ) - ( Y O + Y Z ~ 8r

2D = 9/91 + Y Z ) - ( Y O + Y ~ ) a

lorhn difugu.

Arau hont Stmpiwcn Bigmm csan ohi zalo.

Hau ongi zegoenik ezin sinetslrlk, lau ddiz haslera-hasieratik be& kalkulatu eta befl krdin atera zait.

Beraz. arau hau pz da erabiltzekoa. Izan ere bertikd haundIagoak azalera txlkíagoak ernango lil&guke. Hona adibide bat:

Orah bcste mama bt :

Yo=YisY3=Y5=Y?=Ys '2 ; ~ 2 ' r 4 ~ ~ 6 = 3

4 4 Sg = -1989.4 + 5888.4 -928.6 + 10496.4 -4-i40.3)= - 5P3M = 14.19513

14 175 14175

Argí eta garbi dago azalerarik tdkitnari handienarl baino baiio hruidia#aa eman diola. Gauza zeharo a.r#&eko beste arau batzuen bidez neurtuko ditugu:

Blen artcan ktl' 2 . 8 . 2 = 32 ematen dute, baIno horretaz kanpo aIde hand1a.k atera 7aizkrgu.

RIni bltarteko upru bl nl¿Ix rtu bitarte b r h k o r ere M ddia [ u l t l L Wtpl

Homnbesteko alddtak nula sortzen dira d o zek sortzen dltu? Horl garbl ikusteko azalera- -neurketarako arau hodek nola sortu dlrtn gogosatzea aski dugu.

Bertlkal baten buniUk beste baten burura zuzen-zuzen do= krrak, eta tz y = flx) pollnomio bakkin gertatzen den bexala; alegia, puntarik ez duen marra sostuz. Hemen zazpl angelu sortu dha.

Hemen lehenengo hiru puntuetatik igarotzen den parabola bat sortzen dugu. gero 3.. 3. cta 5. puntuetatlk igarotzen dena eta horrela jarraitzen da. Horrela marra Jarral baten ordez lari parabola egiten ditugu, eta baten bukaerak eta hurrengoaren hasierak angelu bat swtzen dute: maiz angelu mrrotza. Hcrnen hlru angelu ditugu.

H m l a k o angtlu zonotzak galtrazteko, zorW bltarteko azalcraren neurkeia-arma wstel atem d g u n n gero, btstc zerbait egin dltekeela dlrudi: hu bitxtekoaren ordez luzeagoko b t MU bstekoa, seha, nahiz zazpikoa) eta erdlko bertikalean 'planto" e a : gem beste berdina eskulnetlk ezkerrera manatu eta horrekln ese erdlko bertlkal-buruan gelditu. B1 lersoak

a u m g o k o puntu batetllr, edo bllik d o b h t i k pasatzekoak dirrncz, erdiko bcrtlkd-buman (id1 angelu karnutsa sortuks luke. Baha azplko d e r a rtnbat den jaklteko integrahran mugak cz llratckc arauak eriden genltucnean aukeratu zlrenak Pango, e2a beste arau batzuk bilalu beharko genbtuakc: Simpwnen b/ 12 (5yo + Byl - ya] arauaren kldekoak. Oraingoz bega homtan.

9r Bertikal guztiak y, = 1 izanik S9 = -44800 = 9r ateratzen da. 44800

idaw behar da.

Ncwtonek hasl cta Costes-ek jarraitutako bideaz Iorlutako arauen zehtasunak neurtu Uattko. polinomio btdez nin idatz daitekcen marra batez mugalutako azalera neurtu

beharko dugu. Zirkulu-kudena egoki imdi tu 7ait; ordenatuak cta benetako w.era erraz eta

zehazki kalkula balt geneizake. Galnera zirkuiu-laurden osoaren azaIera eta zirkuIu- -zor(ziremn segmentuaren &era neurtuko ditugu.

Imdlan, OC = Ok = 2 delartk. zirkulu-iaurdenaren azalera E = m2/4 dugu.

Hon-i OABC l a u h n n azalera kentzen badiogu, AB eta BC segmentupeka bi azaleren neurria aterako migu:

la2 0 B . K E=--- 4 2

%=o A D C) E=---=-- m2 r rJZ la2 r2

4 2 4 3

Sirnpconen arauak ematen dituguna:

42 E4 = ir- = 12,56637 1

4

Ikusfen dena: matra gehlcnik okerlzen denean Sirnpsonen Iehentngo aarua erabllkea hobe d a

Hmcn Simpsantn lehenbizlko arauak bigarrenak baino % 20 inguni errore txlkiagoak sortzen ditu.

6 = 38,22742 - 34,64823 = 3,5791 1

Diimntzia 6 = - 0,25709

c~ 4- ; EL =m Shpsonen arauen bidu

7 6 5 4 3 2 1 0

ZorW bftartckaa gakkl ateratzen dmm fiero: lau biMtko m u a bl aldlz crabilika dugu:

S, + S, + s.; +S,, = l [ o + 4 f i + 2 ~ j 2 + 4 ~ 4 i + z ~ 3 6 + 4 ~ + ~ r z ] + 3

Gogora dm.agun bi bitarteko arana: y = AX2 + Bx + C

Orah bost bitarteko &era neurtzeko, Iehenengo eta mkeneko bit&& o& atera zaigun arauaren bid= neurlzen baditugu. eta erdiko hiru bitarteak Sirnpconen bigarren arauaren bidcz. h d o h u aterako zai y:

Lehenengo bitartearen azalera, bigarrenmna, tta abarrena

b yo S #-32 - ( ~ Y O + ~ Y ~ -y23

I II I I I IV Y Vi muaren bidez neurturlk

Baina hau dago; Izan ere y, = 1 egingo bagenu. azalcrak & = 6 x b x 1 a t m bthar lu- ke. baina i [b/ 12).7h atemtzen zd@. HorregaWt noski, Durandek 14 y3 ordQ 12 y 3 j e n ditu:

Sei btiateko beste a a u bat ere bada, ez daht nola sortua: Wtddle-ren m u a

lkusten dugunez, Slrnpconen bost bitarteko nahasi horrek, Slmpsonen lehenengo eta bigaren araua erabiltzeak bafno errore handiagoak cortzen ditu.

Sel bltartekwtan berriz, Duranden asauak Slmpsonen lehenengoak baino erdi ba t gehlagoko errorea sortzen du, eta Sirnpsanen bigarrcnak balno laurden bat handiagoa. Weddlerenak Slmpsonenek baino sei bider handiagoko emreak egiten ditu.

Newtonen bldee mrtutako arauek Simpsonen arauek baino errore txikiagoak sortzen dltuzte, bata ere bitarte asko direnean, baina Símpsonen arauak ongi esab& gero [ m p e k o &era o d neurtzeko erabiltzen direnean alegial eta bihrkak ugari samar erabiiiz, ehuenko bat ingunika errorea mrtzen dute. Gafnera osa erabiikomak dira, eta gehienetan aski zthatz gertatu ko dira.

Untzlghtzarako kalkulu J egitesakoan, irudi batzuen d e r a k neuriu beharra gertatzen da. H o r r e W o erabili ohi diren neurketa-amuerl b u m hona hemen Baxter-ek zer dioen:

Untzi baten urpeko imra halako marra egokl batzuen bidez itxuratzen da, (Baxter-ek "by fair curvec" dio) eta marra horien funtzioa ~aguna balitz, d e r a eta blumena kalkuhtzea sarnurra gertatuka Utiraiguke. Integral zehatzak egitea aski litzake. Omkmká funtzioa y = f h) baldln bada, azalera:

dugu. Baina gehienetan m horien funtzioa ez dugu ezagutzen, eta horien b m k o azaZerak

neurtzeko, neurhta-arau berezi batzuk erabili beheman gertatzen gara, eta untzi-inidíak mamutean ere tKit zehafz jokaberik ez dugunez, neurketa-arau hodek behar halnbat zekiatz izatea a& dugu.

Bdtainia Handian sortutako neurketa-arauak, orain ere k i t erabiIiak direnak, gehl& bi kalkuktzafIek asmatuak dítugu: Icaac Newton, 1642. urtean jaíoak eta Thomas Smpson, 17 10. urtean jaíoak. Newtonek zenbait mailako parabolapeko azalerak

I t m i h funtzioen bidez kalkuhtu zituen; +,al, . .. a, konsbnteak d h . Homla kakulatutako azaleren bidez, berlikal batzuen koefltlenteak erab& zituen. Asmoa batezbesteko bertíkai baten luzera eridetea zen, oinarriaren luzera eta bertiMeen batezbestekoa biderkatuz neurtu nahi genuen azalera akra zedin. Bi bertikal direnean. azalera A = h / 2 ] bo + y ,) (1) gertafzen da.

Bigarren rnailako paral>oIa amtatentzat

y =a,,+a,x + azxa eta A = h / 3 bo + +y21 121

(2) eta (3) neurketa-arauak Nmtmek 17 1 1, u r t m a t a r a t u zituen, eta malla handiagoko parabolentzat geroago, Roger Cotes-ek, Newtonen adlskfde batek, kallruhtu zituen.

Baba Slmwnek, 1743. urtean agertutako k r e 'Matherrratid Dtscertatfons"en, Newtonen arauak harlurík, edozein m.rmpetako azalertd kalkulatzeko, bitarte tldkiak dlrenem, parabola arruntekoak balira b a ; . ari ghtezkeela Jdatzi zuen.

B. Baxter 'Naval krchitectu~; Examples and Theory", Charles Grilfin & Company Ltd. Lwidon an Hlgh Wycombe. 1967.

Chcbyshw-ck k t e ncurketa-bidc bar asmatu zuen: bertlkalak non ncurtu behar d i ~ n mW,. Honi b u m 'Intesnaüonal DieUonary o1 applld Mathemaucs" (Van Nostrand 1960) libuniak h o h bu dio:

Chebyshwen azalera-neurkctarako araua.

Itxumh araua: har 0x1 ahaiik cta maih handltmko pbhomioa denean d e r a zehatz a t a dalteke. 5 puntuak n d h k e pdlhomio baten c r d dím, bafna nc7 cdo n=9 ez dknean nnirketa-mugetaiik kanpra gertatzen dha.

Hori Lretkurrl nuenwn, mrki 'blhteko araua gaízkí ateratzm knbakl negatibo baízuekln gertatzta] ncronek tgindaka okerra ez zela sinetsi nuen. Eta Meratzi bitarteko araua ongi atcra zaldanean, Aranh nert alahak emandaka Ralston f ntrdluccibn al Anátisls Numérico" bimusa-Wlcy Mudm 19701 Ilbunian Tbrmulas de cuadratura de Newton-Cotes* delako g a l a honako tauk hau Lkusí dut: Tabla 4.6 Pesos y coeficientes de error para formulas de Newton- -cotesm.

Weratzi bltartekorik ez dauka). Cero honako hau dio:

'Observt que algunos de los pesos para n=8 son ncgatfvos. De hecho puede drmostrarst que finkmente para M 7 y n=9 son positivos idos los pcsos, Cama b suma de los pcscw cs siempre la longitud del intmaio kpor quk?], si algunos de los p o s son negativos, se a t a m forma adversa el error de redondeo. "

Hor eglten duen galderasi erantzuteko, askl da y guztiak yl=l direla egitea. Orüuan gaEnmabk zaMmn nb du cta altuera 1.

M e r a E, nb I Koehicnte bawu k negat IM izatearen ondortna, lehenago íkusl dugu: horrelako arauek

tz dute ezertarako W o .