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Noviembre 2006 • 2006ko Azaroa 173

SIG

MA

29¿Y SI ROMPEMOS LAS CADENAS DE AHMES Y DESCARTES? (1)

Angel Ramírez Martínez (*)

Imagino que cuando se acepta una invitación para presentar una ponencia en unas JAEM, el primer pensamiento es ofrecer algo diferente no sólo en cuanto a la reflexión desarrollada sino también, a poder ser, en cuanto a la temática. Así lo hemos hecho muchas veces, en la medida de nuestras posibilidades, en comunicaciones a Jornadas o en cursos de los CEPs. Cuestiones de geometría espacial, investigaciones de alumnas y alumnos sobre temas sorprendentes (por ejemplo, buscar el polígono de 2’5 lados) etc.; no sólo porque nos gustaran sino por un deseo de aportar algo nuevo y también, por qué no confesarlo, para evitar la duda de que dirán los colegas si el tema propuesto para trabajar es tildado de trivial.

Creo, sin embargo, que ha llegado el momento de hablar claro sobre temas triviales. En las aulas, más allá de casos aislados que pueden contarse con los dedos de una mano, nadie pone a sus a estudiantes a investigar la existencia del polígono de 2’5 lados. Es probable que, si se conoce la propuesta(2), sea considerada interesante pero, más allá de la mayor o menor voluntad y capacidad de profesores y profesoras de matemáticas para renovar drásticamente su archivo de actividades para el aula, la despiadada competitividad de una sociedad que concibe la enseñanza como un peldaño más hacia unas cotas de confort para el futuro, genera una presión curricular a la que resulta muy difícil escaparse. El desarrollo personal de los y las adolescentes, por supuesto, no se contempla. Todo el mundo debe estar en el mismo punto de capacidad de abstracción y desarrollo psicológico marcado en los temarios. La Administración –la sociedad– se lava la cara hablando de la "diversidad" pero es obvio que ella misma no cree su discurso. ¿Por qué permite si no que los libros de texto marquen las pautas, o exige esas esterilizantes programaciones burocratizadas?

Repito: es difícil escaparse. Puedo pensar, en efecto, después de las observaciones oportunas, que un determinado curso de 3º ESO está verde para plantearle la resolución de ecuaciones de segundo grado y, en consecuencia, voy preparando el camino para llegar a ellas; pero si el final de curso se acerca y la fórmula de marras no hace su aparición en el aula, mis alumnas se encargan de advertirme que al paso que vamos probablemente "tendrán que vivir el día de mañana debajo de un puente". Esta afirmación puede parecer ridícula pero es real: la escuché en boca de una adolescente de 15 años hace dos cursos y fue avalada por las exclamaciones de las otras alumnas de la clase. Los chicos ... ¿temen menos por su futuro? ¿Les importa un rábano lo que pasa en las aulas? ¿Tienen menos miedo ante el suspenso o menos necesidad de sentirse afirmados por una nota? Una interesante cuestión para la reflexión coeducativa en la que no voy a entrar ahora.

Es probable que la frase en cuestión fuera producción intelectual de la propia alumna pero, en cualquier caso, el corpus ideológico en el que esa frase ha sido construida es el de la familia. Sea como fuere, no me hace ninguna gracia. No me gusta que intenten censurarme sibilina-mente. No me refiero a la alumna –ella lo pretendía a cara descubierta– sino a ese magma pastoso que si nos descuidamos nos conducirá a la autocensura permanente y al abandono de aquello que se llamó en su momento "libertad de cátedra".

(*) Profesor de Matemáticas del IES Sierra de Guara. (Huesca).

¿Qué hacer? Mi libertad de creación didáctica no puede tampoco abocar a mis alumnos y alumnas a llegar en malas condiciones a esas exigencias oficiales y no oficiales que planifican los ritmos de los centros. A la espera de una rebelión de los profesores y profesoras de mate-máticas exigiendo el respeto a su dignidad profesional y a su libertad de creación didáctica, opto –claro está– por modelos mixtos. Hay algo, sin embargo, a lo que no he renunciado: muy bien, nos ocupamos de la ecuación de 2º grado pero como un problema, no como una página más de un absurdo catecismo.

Así pues, creo que además de ocuparnos de particulares problemas especialmente atractivos, hay que ponerse el mono de trabajo y hablar con claridad y sin vergüenza de temas menos bri-llantes pero que afectan de forma directa al día a día de las aulas. Por ejemplo, creo que todos sabemos –pero a todos nos escandaliza admitirlo– que muchas de las matemáticas escolares se imparten según el modelo que podríamos llamar "recetario de cocina". Lo sorprendente es que ese modelo es una constante en la historia de las matemáticas.

LAS CADENAS DE AHMES

I

El problema 14 del conocido como Papiro de Moscú, escrito en Egipto hacia el año 1850 a. C., pide calcular el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada, de 6 unidades de altura, 4 para el lado de la base mayor y 2 para el de la pequeña. Si hago caso a J. P. Collette (3) el texto del papiro dice lo siguiente:

Si se os dice: una pirámide truncada de altura 6 y de base 4 y 2; debéis tomar el cuadrado de 4 que es 16, después doblar 4 para obtener 8, tomar el cuadrado de 2 que es 4, sumar 16, 8 y 4 para obtener 28; calcular 1/3 de 6 que es 2, multiplicar 28 por 2 que da 56; veis, es 56.

Sin duda sentiréis incomodidad ante esta serie pautada de operaciones que ciegamente os va llevando a la solución. Falta el proyecto del resolutor que nos vemos forzados a desti-lar de ese magma de operaciones aritméticas. Hay que suponer que manejaba la fórmula

donde B y b son los lados de las bases mayor y menor y h la altura del tronco. Imagino que los destinatarios de este antiguo "manual didáctico" conocían de antemano la fór-mula correcta y que, a partir de ese conocimiento, serían capaces de aplicarla adecua-damente, cada número en el lugar previamente asignado, y obtener de esta manera la nota aprobatoria que les permitiría subir un escalón más en su camino hacia el cuerpo de funcionarios del Faraón. Supongo que sería así porque en caso contrario –no me cabe duda– la APA del "centro formativo" en cuestión habría presentado la queja correspondiente. No creo que sea necesaria esta última ironía para resaltar la modernidad, la actualidad del papiro egipcio. Ese listado de operaciones no justificadas, en el que importan más los resultados parciales que se van obteniendo que las razones por las que se hacen, ¿no os recuerda las presentaciones de los problemas que hacen los alumnos y alumnas en sus primeros años en el Instituto? En el número 35 de SUMA, publiqué con Carlos Usón un artículo cuyo título –"¿Por qué seguir ancla-dos en Egipto?"– resumía nuestra opinión sobre el arcaísmo que supone hoy día la importancia y el tiempo que se sigue concediendo a la operativa con fracciones. Pues bien: las anclas de la didáctica de las matemáticas –largas, viejas, antiguas– también parecen estar sujetas en al año 2000 a. C.

[No se conoce el nombre del escriba del papiro de Moscú pero sí el del "papiro de Rhind". El escocés Rhind compró un papiro copiado por Ahmes en el año 1650 a. C. Simbolizaré en Ahmes la metodología expositiva de los antiguos egipcios.]

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Ángel Ramírez Martínez

SIGMA Nº 29 • SIGMA 29 zk.


¿Y si rompemos las cadenas de Ahmes y Descartes?

II

Vayamos ahora a un manual del matemático nazarí Al-Qalasadi (s. XV), de título realmente poético: Cae el velo de los secretos de las cifras de polvo. Las "cifras de polvo" son las cifras hindúes, llamadas así por que se escribían en tablillas de arena. El capítulo V, "Sobre la suma y resta de radicales"(4), empieza de esta manera:

Multiplicas los dos números el uno por el otro; tomas el doble de la raíz del producto que añadirás a la suma de los dos números; pondrás el signo radical sobre la suma obtenida.

Ejemplo: Para hacer la suma de y de , multiplica los dos números propuestos; obten-drás 36, el doble de cuya raíz es 12; añade este último a los dos números y obtendrás 27; coloca encima un radical; el resultado pedido es .

Y continúa explicando cómo actuar si el producto obtenido no es un cuadrado perfecto. Al-Qalasadi está describiendo cómo aplicar la igualdad

Una interesante variación del cuadrado de una suma que no suele ser utilizada –me parece– en nuestras aulas pero que puede ser útil. Describe cómo aplicarla pero en ningún momento la justifica. Su didáctica sigue los pasos de la de los escribas egipcios. Obsérvese hasta qué punto la expresión "coloca encima un radical" parece pretender que el lector o lectora actúe por imitación. La más tosca versión de la teoría empirista del reflejo: aprender es repetir.

Desde luego que no los estoy sometiendo a crítica ni a ellos ni a Al-Qalasadi. Sus escritos responden a una tradición de presentación de los conocimientos matemáticos que, por otra parte, podrá ser sin duda justificada tanto desde la historia social como desde la propia evo-lución interna de las matemáticas. Lo que me interesa resaltar es la pervivencia del modelo. Avancemos hasta el siglo XVIII, hasta un texto impreso en Madrid y firmado por el Maestro Juan García Berruguilla, el Peregrino. Se trata de un manual para arquitectos y agrimensores(5). Extraigo una muestra de la pericia didáctica del maestro Berruguilla:

Es un círculo, y se quiere medir su área, se sabe que el diámetro ab vale 8: para saber la circunferencia se dice: Si 7 dan 22, qué darán 8? Y dan 25, y un séptimo, y ello es la circunfe-rencia. Para saber el área, se saca la mitad de la circunferencia, que es 12, y 4 séptimos, y se multiplica por la mitad del diámetro, que es 4, y salen 50, y 2 séptimos; y esto es el área.

Como puede verse, Berruguilla maneja con la conocida aproximación 22/7 (= 3’142857 ...) y el círculo como equivalente a un triángulo cuya base es la longitud de la circunferencia y su altura el radio. Puede verse también que dirige a su lector como un lazarillo a un ciego. Ninguna justificación previa de las reglas que utiliza. La mayoría afirmaríamos que no es una obra didáctica, en el sentido de que su metodología no es buena. Sin embargo, los historiadores de la ciencia tildan a este tipo de obras de didácticas; para ellos, el simple hecho de que sea una obra de difusión basta para considerarlas como didáctica. No entran a valorar cómo se lleva a cabo esa difusión.

Muchos textos escolares que se publican en nuestros días están en correcta continuidad con esta tradición histórica.

Para resolver ecuaciones de segundo grado del tipo ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, se aplica la siguiente fórmula:

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Ya está. Punto. Ninguna justificación previa(6). Más adelante:

• Las funciones cuadráticas son las que se expresan de la forma f (x) = ax2 + bx + c, que es un polinomio de segundo grado.

• Se representan gráficamente mediante parábolas: un tipo de curva abierta con un eje de simetría vertical.

• Las características de la parábola y = ax2 + bx + c son las siguientes:

• Eje de simetría:

Si a>0, es cóncava. Si a<0, es convexa. Vértice: .

Etcétera, etcétera. Un folio entero de matemáticas a martillazos. La tradición de Ahmes sigue siendo respetada, con la salvedad, claro está, de que ahora estaría muy mal visto recurrir a ejemplos numéricos en lugar de letras.

III

Es cierto que hay manuales que no hacen estas cosas, pero no tengo ninguna intención de efectuar un rastreo sistemático. Más allá de lo que pongan o dejen de poner los libros de texto, lo esencial es que no recuerdo ningún grupo de ningún nivel de los que me han tocado en suerte, ya sea en el anterior bachillerato o en la ESO y el bachillerato LOGSE, en el que me dijeran que sí, que alguien, alguna vez, les había explicado por qué las ecuaciones de segundo grado se resuelven por aplicación de la fórmula de marras. Hace dos meses, en un CPR, doce colegas comprendieron mi indignación ante estos métodos catequizadores pero reconocieron que la fórmula aparece en las aulas descendida de las alturas del saber, como si de una revelación divina se tratara. Si repaso mis primeros años de docencia, creo que tuvie-ron que pasar algunos cursos antes de que, por primera vez, explicara en un 1º del bachillerato (3º ESO) la justificación de la fórmula. Cuando relaté a una compañera mi satisfacción por la sonrisa de algunos alumnos al ver cómo la fórmula iba tomando cuerpo en la pizarra, me contestó que yo intentaba prepararlos para la vida, pero que no se trataba de eso.

¿De que se trataba, entonces? ¿De qué se trata ahora? ¿Dónde había quedado la exigencia de rigor que nos inculcó nuestra educación bourbakista? ¡Increíble paradoja! El producto escalar era hasta tal punto una forma bilineal que necesité un año –esta vez fui rápido, sólo uno– para convencerme de que tenía que ser otra cosa, pero incluso ese primer año la ecuación de 2º grado fue algo revelado y no creado.

Vino la Reforma, el constructivismo –me gusta la idea, me gusta incluso la palabra–, pero casi nadie escuchó su propuesta y, en el desconcierto posterior, ¿qué ha quedado? La vieja tradi-ción de Ahmes. Nuestras esencias didácticas más firmemente arraigadas. El convencimiento de que las matemáticas son un conjunto de reglas que lo importante es conocer para aplicarlas no se sabe cuándo. Aquel personaje de Tolstoi que afirmaba algo así como "dicen los matemá-ticos que es más importante el camino que el punto al que se llega", eso es para la literatura. Las matemáticas, las viejas matemáticas, las matemáticas de siempre, son fórmulas. En el CPR al que me he referido antes, un colega de Física presente en la sesión se mostró impactado por el hecho de que la solución al problema de cuántos desarrollos tiene un cubo no surgiera de la aplicación de una fórmula.

Las matemáticas reducidas a un manual de fórmulas. La tradición egipcia. El peso de las cadenas de Ahmes.

IV

Lo esencial es, pues, el respeto del gremio a una tradición anclada en los tiempos más remo-tos. ¿Exagero? ¡Si sólo ocurriera así para la ecuación de 2º grado! Ahí va un pequeño listado



de conocimientos memorísticos que año tras año he ido observando que no tenían ninguna base conceptual en los alumnos o alumnas que me los recitaban:

• El eje de simetría de la parábola. El "menos b partido por dos a".

• 2º = 1.

• La regla de Ruffini. ¡Sí! ¡La regla de Ruffini! Es decir, he visto a alumnos aplicarla sin saber que lo que estaban haciendo era dividir un polinomio por otro de primer grado.

• El paso de decimal a fracción. Un bonito tema penosamente destrozado con unas recetas estúpidas.

• La multiplicación y la división de fracciones.

• El algoritmo de la raíz cuadrada. (¡Sí, hay irreductibles que se empeñan en perder el tiempo en esas cosas!).

• El algoritmo de la división.

• Las reglas de derivación. ¡Sí! Existe por lo menos un lugar en la geografía española donde se suelta la tabla de derivadas sin justificar en absoluto cosas tan caprichosas como la derivada de un cociente o un producto. Sin establecer ninguna conexión entre las gráficas de una función y la de su derivada. Ya sé que no tengo derecho a suponer que ese lugar no es único ... pero algo me dice que, si hay uno, habrá más ...

• Los cambios de variable para las integrales. Anécdota real, que me contó un testigo pre-sencial, ocurrida hace años en un Instituto de cuyo nombre no quiero acordarme:

Alumno: "Oiga, ¿por qué para hacer esas integrales se usa ese cambio?"

Profesor: "Mira chaval, no te plantees el porqué de las cosas que eso no puede conducir a nada bueno".

• La fórmula para el ángulo de un polígono regular.

• El determinante

para obtener un vector perpendicular a otros dos.

Sin comprobar siquiera que el producto escalar del vector resultante mediante ese esoté-rico procedimiento, tiene producto escalar 0 con (a1,b1,c1) y con (a2,b2,c2).

• Descomposiciones del tipo .

• Aunque parezca mentira, muchísimos alumnos y alumnas de bachillerato no han visto nunca los dibujos a y b de la figura siguiente:

Carentes de todo contacto con la realidad, el teorema de Pitágoras y la fórmula del cuadrado de una suma se convierten así en simples igualdades formales, cuyo sentido profundo no es

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comprendido. De manera que, por ejemplo, y de nuevo en cualquier nivel educativo, ante la necesidad de medir la diagonal de un cuadrado, todos y todas recurrirán al mantra "a2 = c2 + c2 = 12 + 12 = 2 a = √2 . No han visto nunca y no saben interpretar el dibujo c.

Etcétera, etcétera. La lista cubre todos los temas de todos los niveles y cada vez se va haciendo más amplia, supongo que al hilo de las prácticas pedagógicas realmente aplicadas en la actua-lidad ... y siempre. Las cadenas de Ahmes son universales. Recientemente mostré a dos ami-gos colombianos, alto funcionario uno de ellos, y el otro un ingeniero copropietario de una importante empresa de transportes, el sencillo dibujo anterior (b) –sencillo pero con pedigrí: ¡aparece en los Elementos de Euclides!– para justificar aquello de ...

"¿Te acuerdas, Jaime? Creo que era así: El cuadrado de una suma es igual a la suma de los cua-drados de los dos sumandos más el doble producto del primero por el segundo. Me gustaban las matemáticas pero las cosas se olvidan ... ."

¡¡"Eldobleproductodelprimeroporelsegundo"!! Cada cual guarda sus propios mantras vacíos de significado, testimonios personales del fraude permanente de la enseñanza. Los míos son más bien de geografía y religión: "cuencatarancónysanclemente", "babialasomañaselbierzola-maragateríayelpáramo", "elmundoeldemonioylacarne", ... . Pero lo del "dobleproducto", ese es universal. Cuando les advertí con el dibujo de Euclides que eso es así porque el mundo es así, su sorpresa fue grande y reían como niños ante el descubrimiento. A los cincuenta años ...

Pero, ¡por favor!, ¿cómo no resulta evidente que todo esto no produce conocimiento? ¿Cómo es posible haber caído en un empirismo tan burdo: saber es repetir? Opinaba Unamuno –al menos eso dijo alguien por mi Facultad en mis años de estudiante– que "las matemáticas producen vulgarina". ¡Claro que sí! Todo esto es vulgarina de la peor especie. Un fraude. Un atentado al derecho de alumnos y alumnas a ser educados en el espíritu crítico y en el libre pensamiento. Y luego hay quienes se escandalizan porque se den clases de Religión en los centros docentes. Alegan que lo que hay que hacer es educar en materias científicas para producir ciudadanos y ciudadanas críticos.

Pero ya advirtió Lakatos que "la enseñanza de las ciencias es un foco de dogmatismo ....". No creo que estuviera pensando en la didáctica sino en la filosofía de la ciencia subyacente a las clases de ciencias. Si además constatamos que la didáctica de las ciencias realmente aplicada es "astetiana" ....

En Salamanca –en esa inefable Castilla, ¿dónde si no?– encontré hace unos meses el catecismo del Padre Astete. En el segundo párrafo del prólogo, que supongo escrito para la "novísima edición" de año 1985, leo:

"Sí, ya sé que los pedagogos modernos han levantado su voz contra el método memorista; pero lo que en la práctica consiguieron fue hacernos caer en el extremo opuesto de un con-ceptualismo ininteligible para los niños e inútil para los adultos. Actualmente los niños no entienden mejor los nuevos Catecismos y tampoco se les urge la necesidad de aprenderlos de memoria; cuando lleguen a la mayoría de edad, caerán en el ateísmo práctico –con todas sus consecuencias– ante la imposibilidad de querer y practicar lo que desconocen.

(...) Por eso nuestros antepasados procuraron sintetizar y resumir el dogma y la moral de nues-tra religión católica en breves catecismos, para que los niños los aprendiésemos de memo-ria y los entendiésemos según la capacidad receptiva de entonces; después, conforme iban pasando los años, era posible echar mano del caudal encerrado en el archivo de la memoria para desentrañar su contenido ..."

¡Bendita ingenuidad! Pero, ¿acaso no os suena el argumento? ¿A cuántos colegas se lo habéis oído repetir con la misma convicción que a Fr. Arturo Alonso, el prologuista de la "novísima edición del Astete?"



V

Las Sociedades de Profesores de Matemáticas deberían decir algo sobre todo esto y abandonar la política del avestruz. ¿Acaso no publica el NCTM norteamericano unos estándares curricu-lares donde ejemplifica lo que, a su parecer, debe y no debe hacerse?

En lugar de ello, proliferan los concursos de matemáticas y la búsqueda de futuros talentos. ¿Qué debemos interpretar? ¿Supone esto el abandono de la reflexión sobre cómo se enseñan las matemáticas? ¿Se da por perdida la batalla y se busca refugio en las élites?

LAS CADENAS DE DESCARTES

En el Discurso del método, al comparar la matemática de los antiguos y la de su época, escribe Descartes:

"Por lo que hace al análisis de los antiguos y al álgebra de los modernos, aparte de que no se refieren sino a materias muy abstractas y que no parecen de ningún uso; el primero está tan sujeto a la consideración de las figuras que no puede ejercitar el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación; y en la segunda, los matemáticos se han sujetado tanto a ciertas reglas y a ciertas cifras que han hecho de ella un arte confuso y oscuro, que confunde el espíritu, en lugar de una ciencia que lo cultive".

¿Es justo hacer al programa de Descartes responsable último de los actuales libros que se auto-denominan de geometría y no contienen ninguna figura? Davis y Hersh advierten que "en su forma actual, la geometría cartesiana debe tanto a los propios contemporáneos y sucesores de Descartes como a Descartes mismo". Menos aún lo será colocarlo en el origen del abandono de la imaginación en las matemáticas escolares. A fin de cuentas, parece que ya desde Ahmes ha estado sometida al ostracismo más absoluto. Pero siempre me ha impactado esa crítica: "no puede ejercitar el entendimiento sin fatigar mucho la imaginación". Certera, quizás, en el caso de la geometría de los antiguos, pero muy fuerte como declaración de intenciones si la sacamos de contexto: la preferencia por el método frente al flash vibrante del ingenio.

Debería haber una solución de síntesis, pero lo cierto es que el álgebra es hoy en Secundaria un magma operativo pastoso que, en el mejor de los casos, no "confunde el espíritu" pero desde luego "no lo cultiva"; "no ejercita el entendimiento" y ciertamente no "se refiere sino a materias muy abstractas y que no parecen de ningún uso". Su más noble utilidad es servir en alguna ocasión como "máquina para decidir automáticamente la veracidad de los enunciados geométricos" o no geométricos.

I

Urge recuperar el ingenio. Ninguno de estos problemas necesita del álgebra para ser resuelto.

1. Las tres cifras de un número suman 11. Si se invierte el orden de sus cifras el número que resulta es superior en 99 unidades al anterior y la cifra de las decenas es el doble de la de las unidades. ¿Cuál es el número?

2. La suma de dos números es 69 y se diferencian en trece unidades. ¿Cuáles son esos dos números?

3. El perímetro de un rectángulo es 52, y la base mide 7 unidades más que la altura. ¿Cuál es su área?

4. El perímetro de un triángulo isósceles es 18. Cada uno de los lados iguales es 3 unidades mayor que la base. ¿Cuánto vale cada uno?

5. Si los lados de un rectángulo se alargan 2 cm cada uno, el perímetro vele 24 cm. Sabiendo que la diferencia entre ellos es de 2 cm., ¿cuánto miden los lados del rectángulo?

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6. El perímetro de un rectángulo es 20 y su área 21. Calcula sus dimensiones.

7. Un poste de la luz de 7m se rompe a una cierta altura del suelo y, al doblarse, la punta libre del trozo roto cae a 3m de la base del poste. ¿A qué altura se rompió?

8. El perímetro de un triángulo isósceles es 20 y la altura del lado distinto mide 6. ¿Cuánto miden sus lados?

9. Un segmento AB tiene 20 cm de longitud. Queremos hallar un punto Q sobre AB de tal forma que el cuadrado construido sobre AQ tenga el mismo perímetro que el triángulo equilátero construido sobre QB.

10. De todos los rectángulos de diagonal 10, ¿cuál es el que tiene área máxima?

II

No sólo es que no sea necesaria, es que si sólo recurrimos a ella nos quedaremos sin entender realmente el problema.

1. Las tres cifras de un número suman 11. Si se invierte el orden de sus cifras el número que resulta es superior en 99 unidades al anterior y la cifra de las decenas es el doble de la de las unidades. ¿Cuál es el número?

Lo encontré en un examen de la Diputación General de Aragón para acceso a ciclos forma-tivos de grado superior. Supongo que quien lo propuso esperaba este planteamiento:

Pero, sin toda esta parafernalia, un sencillo análisis de posibilidades conduce a la respuesta. La pareja de cifras decena – unidades sólo puede ser (2, 1), (4, 2), (6, 3) u (8, 4). Si la suma de las tres cifras debe ser 11, las opciones se reducen tres: (8, 2, 1), (5, 4, 2) o (2, 6, 3). Sólo esta última cumple la condición que falta: 362 – 263 = 99. Por este método llegan a la solución, sin dificultades, alumnas y alumnos de 1º y 2º de ESO.

Me tocó vigilar este examen y fue penoso observar a personas adultas sufriendo la humi-llación de no poder continuar un camino de preparación profesional por no dominar un esoterismo innecesario para su futuro y, peor aún, ver cómo se minusvaloraban a sí mismas por no dominarlo, sin atreverse a desplegar su natural ingenio. ¿Es esto lo que realmente se aprende en la Escuela y en el Instituto? ¿Forma parte del currículum oculto del sistema educativo que un porcentaje conveniente de ciudadanos y ciudadanas asuma esta pérdida de autoestima?

III

2. La suma de dos números es 69 y se diferencian en trece unidades. ¿Cuáles son esos dos números?

3. El perímetro de un rectángulo es 52, y la base mide 7 unidades más que la altura. ¿Cuál es su área?

4. El perímetro de un triángulo isósceles es 18. Cada uno de los lados iguales es 3 unidades mayor que la base. ¿Cuánto vale cada uno?

5. Si los lados de un rectángulo se alargan 2 cm cada uno, el perímetro vele 24 cm. Sabiendo que la diferencia entre ellos es de 2 cm., ¿cuánto miden los lados del rectángulo?

Enunciados tópicos y típicos en los capítulos sobre álgebra de los libros de texto. El 2 es un ejemplo sencillo de cómo la sistematización algebraica mata el significado, la carga conceptual



encerrada en la situación propuesta. Comparad el sistema

, un ejercicio formalista

de simbolización, con el sentido –incluso vital– de este simple razonamiento:

Si dos números suman 69, tienen que estar colocados de forma simétrica respecto a 69/2=34’5. Si se diferencian en 13, habrá que añadir y restar a ese valor medio la cantidad de 13/2=6’5. Por tanto, los números serán 41 y 28.

Ya sé que no descubro nada nuevo, pero he decidido resaltarlo en cursiva. Planteo mi pre-ocupación en forma de pregunta de probabilidad: Elegid al azar un centro de Secundaria en España; elegid al azar dentro de ese centro un o una estudiante; ¿apostaríais 100 euros a que resuelve este simple problema sin recurrir al álgebra? ¿Aumenta significativamente vuestra probabilidad si apostáis a que el o la estudiante en cuestión se desconcierta y se asusta si le aportáis el razonamiento anterior ? ¡Debería estar prohibido resolver estos ejercicios mediante sistemas antes de 3º ESO!

Los ejercicios 3 y 4 son casi el mismo con los datos cambiados; no hace falta advertir que 3 no es en absoluto un problema de geometría. Si restamos al perímetro las 14 unidades que miden de más las dos "bases", quedaría un cuadrado de perímetro 38, de donde resulta que la altura del rectángulo mide 9’5.

III

6. El perímetro de un rectángulo es 20 y su área 21. Calcula sus dimensiones.

Tampoco 7 es un problema de geometría. Se trata de hallar dos números que sumen 10 y cuyo producto sea 21. Está claro que la respuesta es 3 y 7. ¿Realmente merece la pena plantear los dos sistemas siguientes para resolver los problemas 3 y 7?

¿O nos interesa sobre todo y por encima de todo que operen –en el caso de 7– con una ecuación "con denominadores" y apliquen la burocratizada fórmula de la de 2º grado? ¿Hago demagogia porque al ser los datos sencillos puedo prescindir del álgebra? Bueno, si queremos que usen el álgebra pongamos problemas en los que realmente sea necesaria o útil. ¿Qué ocurriría si el área del rectángulo fuera, por ejemplo 28. ¡No, con 28 no funciona! ¿Por qué no? Todavía no hay necesidad de ir a resolver el sistema: si los dos números suman 10 serán de la forma 5+a y 5-a, pero 25-a2 no puede dar 28. Así que nos aparece un problema real-mente interesante: ¿cuánto puede valer el producto de los dos números?

a) b) c)

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Excelente ocasión para un planteamiento gráfico. En la figura a vemos que xy = 28 y x + y = 10 no se cortan. En b queda claro que el tope máximo del producto lo marca el punto de corte entre x + y = 10 y la bisectriz del primer cuadrante: dos números iguales cuya suma sea 10: 5 y 5, y el producto máximo posible será 25. Desde luego que eso se deducía de observar que 25 – a2 = M sólo tiene soluciones para M ≤ 25. ¿Para qué entonces las representaciones gráficas? ¡Para jugar! Entre los mamíferos el juego es la base de cualquier aprendizaje. Los utilitaristas y dogmáticos abominan de él, prefieren aquello del sufrimiento como base del aprendizaje, pero no podría decirse que una gata hace sufrir a sus gatitos. En el extremo con-trario, partidarios y partidarias de una visión silvestre e ingenua olvidan que, como advirtió Valdano a propósito del fútbol, los juegos son algo muy serio. En particular, un juego puede ser placentero, lúdico, y encerrar un atractivo contenido matemático.

Me apetece seguir jugando con los rectángulos de perímetro 10. ¿Qué dimensiones tendrá el de área 1? A la vista de la gráfica c, con la evidencia del tipo de valores de x y de y para este caso, ¿fallará algo en mi formación matemática para que esta pregunta me atraiga? Me atrae el juego, el aspecto que puedan tener esos dos números que suman 10 y ¡su producto es 1! ¿Sorpresa de adolescente? En parte sí, porque supone una cierta pervivencia de los enteros como los únicos números existentes, pero eso es sólo una sorpresa momentánea: tengo tam-bién y sobre todo un interés estético. Me sigue sorprendiendo que (con las aproximaciones de la calculadora).

9’898979486 x 0’101020514 =1

Y, para obtenerlos, me resisto de nuevo a resolver el sistema: resto y sumo a 5 la raíz de 24.

Pero nos hemos ido hace rato de los niveles de 3º ó 4º ESO. La última cuestión podría ser un problema de bachillerato; su enunciado adquiriría entonces este tono, que no tiene nada de lúdico: de todos lo rectángulos de perímetro 20, ¿cuál es el que tiene área máxima? Tras la lectura de esta frase, alumnas y alumnos de esos que se tildan de "buenos", arremeterían sin dudar un segundo con el protocolo oficial que obliga a derivar la función para obtener, claro, el cuadrado de lado 5. De nuevo hay que decir que las cadenas de Descartes, la obsesión por el método, drenan el contenido matemático de la situación propuesta. Hace unos días, un alumno de 2º de bachillerato planteó el problema como lo he hecho anteriormente: cortando las gráficas de xy = 20 y x + y = 10. ¿Qué nota le habrían puesto en la parafernalia del "exa-men de madurez"? Probablemente sería buena, pero siempre queda en el aire la duda: ¿Qué nota le pondrán a alguien cuando no hace lo que se espera que haga?

En la Selectividad del 2004, algún distrito universitario propuso una ligera variante de 10, propuesto también en Selectividad hace ya varios años. En este caso decía:

Determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 m.

Copio literalmente, dibujo incluido, la resolución oficial –es decir: la que sin duda se espera que hagan– de uno de esos libros que publican todos los exámenes propuestos el curso ante-rior por los distintos distritos universitarios, con todos los problemas resueltos.



Así, tal cual, sin una triste frase en castellano. Ya sé que son ediciones que deben ser resumidas y en las que se dan por supuestas muchas cosas pero, sin embargo, las obsesiones estéticas y operativas del gremio parecen brillar en ellas con todo su esplendor. ¿Son necesarias las dos últimas filas, tal como están? Decía Voltaire que la mejor manera de aburrir es contarlo todo; ¿se suponen o no se suponen cosas? ¿O la finalidad de estas publicaciones –sin duda, intentar garantizar a hijos e hijas de la clase media una nota segura en el examen de marras– requiere que la escolástica al uso sea seguida a pies juntillas?

Formalismo vacío carente de significado. Y, entre paréntesis: ¿Qué sentido tiene haberle dado a la hipotenusa el valor 1m en lugar de 1, a secas? Hago la pregunta de otra forma: Elijamos un alumno o alumna de Secundaria o bachiller-ato al azar, entre todos los IES de España; ¿apostaríais 1.000 euros a que se le ha pedido alguna vez que valorara la respuesta obtenida

en un ejercicio o problema? ¿O, más bien, yendo al caso concreto en el que estamos, es un valor esotérico casi nunca relacionado con 0’707? ¿Por qué no se enfatiza que el triángulo que responde al problema es la mitad de un cuadrado? ¿Que no es necesario porque los dos catetos salen iguales? Y los cálculos tan exhaustivos, ¿esos sí son necesarios?

Imaginad que alguien responde en la Selectividad de esta manera:

Los triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa tienen el vértice del ángulo recto en una semicircunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa. El de mayor área es el isósceles, porque es el que tiene mayor la altura correspondiente a la hipotenusa.

¿Obtendría puntuación máxima? Quizás, pero ¿qué le habríais aconsejado que respondiera? ¿Acaso no le diríais que incluyera los dos métodos, éste y el "oficial", en su examen?

V

La resolución sistemática de los problemas de optimización queda convertida habitualmente en una gimnasia carente de un objetivo interesante. Este año, trabajamos en 2º de bachillerato con este enunciado:

184



De todos los triángulos isósceles de perímetro 9, ¿cuál tiene área máxima?

Una vez hecha la derivada, igualada a 0, etc., etc., la respuesta indica que el área máxima se obtiene si el triángulo es equilátero. Un resultado bonito que en absoluto queda explicado, aunque sí justificado, por el cálculo y que, en cualquier caso, sumió en el desconcierto a varios alumnos: "Pero esto, ¿qué quiere decir?"

Así que hubo que visualizar el proceso. Una primera aproximación experimental, con el menor margen de error que el contador de CABRI me permitió, para comprender qué se estaba buscando y la aparente simetría del proceso.

Simetría que no es tal, como se encarga de mostrar la gráfica de la función que hay que opti-

mizar, tanto si elegimos como variable el lado distinto [ ; gráfica a], o

el repetido [ ; gráfica b]. Analizamos cómo es razonable, desde un punto de vista físico, que en un caso el dominio sea [0, 4’5] y en el otro [2’25, 4’5] y el hecho de que las dos gráficas carezcan de eje de simetría.

a) b)



La combinación de los dos modelos permitió, por lo menos, aclarar qué habíamos estado buscando. ¿Por qué no se representan las gráficas de las funciones que se optimizan? ¿Para qué sirven las calculadoras gráficas?

VI

7. Un poste de la luz de 7m se rompe a una cierta altura del suelo y, al doblarse, la punta libre del trozo roto cae a 3m de la base del poste. ¿A qué altura se rompió?

El enunciado de este problema resultaría mucho más poético si en lugar de un poste de la luz se hubiera tratado de un junco, como proponía el Chiu Chang, una especie de enciclopedia china de las matemáticas del s. I. (G. Gheverghese Joseph (1996)).

Hay un bambú de 10 chih de alto, cuyo extremo superior al romperse toca el suelo a 3 chih de la base del tronco. ¿A qué altura se produjo la rotura?

Seguramente es más creíble la situación con un bambú que con un poste –en este caso más bien sería una gamberrada que un accidente, como parece sugerir la expresión "se rompe"– pero en fin, enunciados eternos adaptados a las distintas épocas. Supongo que lo que esperamos hoy que hagan los estudiantes, es plantear la ecuación x2 = 9 + (7 – x)2, a partir del dibujo a.

a) b) c)

La regla y el compás (o, si se puede, CABRI), esos instrumentos demonizados implícitamente por el programa cartesiano –aquello de fatigar la imaginación– aportan una solución sencilla y elegante. Basta con dibujar un ángulo recto de catetos 3 y 7 y trazar la mediatriz de la hipo-tenusa (dibujos b); RA es la altura a la que se rompe el poste, porque RC = RB.

¿Qué esto no nos sirve, porque queremos una medida, un número y no un segmento? Vale, midamos. Mejor aún: si ponemos datos altos –imaginando un árbol de 40 m, por ejemplo– se verán en la obligación de trabajar a escala para hacer el esquema y volver después a las medidas "reales" (¡¡la realidad son los enunciados!!). Si se hace con cuidado, la aproximación puede ser muy buena. No practicamos operativa sobre el cuadrado de una suma, pero sí un procedimiento –el trabajo sobre croquis– de evidente utilidad práctica.

VII

8. El perímetro de un triángulo isósceles es 20 y la altura del lado distinto mide 6. ¿Cuánto miden sus lados?

La misma construcción permite resolver el problema 8, tal y como muestra la figura, evitando así el sistema

186



Obviamente, no estoy sugiriendo volver al "fatigoso análisis de los antiguos", que diría Descartes, sino buscar enfoques que doten de sentido, de significado conceptual y material, a las situaciones de problema propuestas. Hay que enseñar álgebra, claro que sí, pero no es necesario empezar tan pronto, no es necesario adoctrinar con métodos que arrasen con el ingenio y el punto de vista algebraico debe ser compatible con otros.

El trabajo a escala –en este caso, la regla de la falsa posición– tiene una bonita aplicación en el problema 9.

9. Un segmento AB tiene 20 cm de longitud. Queremos hallar un punto Q sobre AB de tal forma que el cuadrado construido sobre AQ tenga el mismo perímetro que el triángulo equi-látero construido sobre QB.

La ecuación es tan sencilla [4x = 3(20 - x)] que se puede dudar de si merece la pena complicar las cosas. Mi respuesta es que, si se puede, sí, merece la pena. Si la longitud del segmento hubiera sido 7, el problema sería trivial: 3 para el lado del cuadrado y 4 para el del triángulo.

Como mide 20, la longitud del lado del cuadrado será y la del triángulo

.

COSAS QUE NO DEBEN HACERSE

No estoy proponiendo volver al "fatigoso análisis de los antiguos" ni tampoco plantear un modelo sobre cómo mejorar la enseñanza del álgebra. Para esto habría que tener en cuenta los ejemplos, ya muy abundantes, de problemas que generalizan una situación aritmética o geométrica, búsqueda de regularidades(11), etc., etc. Están publicados pero me temo que siguen sin usarse. Guardo como significativo el escrito de una alumna de 3º ESO a la que su profesora propuso el siguiente problema:

Observa cómo se construye esta estructura y cuenta cuántos palos y cuántas bolas tiene.

• ¿Cuántos palos y cuántas bolas son necesarios para hacer una fila de 10 cuadrados?

• ¿Y para una fila de n cuadrados?

La alumna en cuestión lo enfocó desde varios puntos de vista que le permitieron obtener las

expresiones

para el número de bolas y (3·n) + 1 para

el número de palos. La profesora resumió su revisión del trabajo en dos frases escritas en la cabecera del ejercicio: "Muy bien" y "Varios procedimientos". Pues bien: este trabajo no fue tenido en cuenta para la nota de la evaluación. Sin duda, desde su respeto absoluto a la



viciada tradición didáctica con que universalmente se enseñan las matemáticas, este trabajo era un simple divertimento.

Es urgente sino reflexionar sobre la pérdida de sentido, de significado. Hay que recuperarlo no sólo en los problemas sino también y sobre todo en la introducción de los conceptos y métodos. Hay cosas que no deberían hacerse bajo ningún concepto. Selecciono tres cuestio-nes que me obsesionan.

I

¿Cuántas veces habéis visto, para obtener la ecuación de la recta que pasa, por ejemplo, por los puntos (6,1) y (-3,2), el penoso sistema de ecuaciones

No retiraré la palabra. He dicho "penoso" y la mantendré. He dicho también, al principio de este escrito, que hay que hablar de lo que realmente está pasando en las aulas. Y en muchas aulas pasa que se obvia cualquier sentido geométrico –y, por tanto, vital– al polinomio de pri-mer grado que da la ecuación de una recta. ¿Qué aporta, desde el punto de vista conceptual, la resolución de ese sistema? ¡De nuevo el calculote ciego, el rodillo del método anulando el sentido! Intentad en un 1º de bachillerato o en un 4º de ESO, con alumnos y alumnas viciados a manipular ecuaciones de rectas sin pensar ni entender nada de lo que están haciendo, inten-tad introducir sentido enfocando la recta como la figura geométrica que mantiene constante su inclinación. ¡Qué pelea! La comodidad, la PMI –pereza mental institucionalizada– que decía un buen amigo(12) se ha instalado ya en sus ánimos y en sus mentes. Les apoyarán en el mantenimiento de esa comodidad, academias, familias y asesores varios.

Insisto y, a pesar de su trivialidad, mostraré el dibujo. Lo hago como un grito de desesperación: hay que denunciar bien alto que alumnos y alumnas pueden terminar su Secundaria y su bachi-llerato sin haber visto figuras como éstas, sin haber tenido ocasión de comprobar –en papel cuadriculado, en tramas, con CABRI, eso me da igual; no hablo ya de metodología didáctica, me conformo con recuperar el sentido de las cosas– que los peldaños de lados a y b son constantes para una misma recta y que eso define la relación de proporcionalidad entre las dos variables.

a) b) c)

Para nosotros, profesores, todo esto es elemental pero es muy importante que quienes se ocu-pan por primera vez de esta cuestión puedan dedicarle tiempo, atención cuidadosa, conven-cerse experimentalmente de cómo esa característica definitoria de una recta se plasma en el simbolismo de una ecuación, hacer variantes, equivocarse al hacerlas, ...

188



A cambio, en libros de texto que se pretenden dar gratuitamente a las familias, se siguen diciendo tonterías sobre funciones afines.

• Una función afín tiene una expresión de la forma y = f(x) = mx + n.• Una función constante es una función afín con m=0.• Una función lineal es una función afín con n=0.• El coeficiente m recibe el nombre de pendiente de la recta.• El término independiente, n, recibe el nombre de ordenada en el origen.

m > 0 m < 0 m = 0 y = mx + n y = mx y = n

Y, a continuación, se pide a los estudiantes que representen la gráfica de dos de esas funciones afines ... mediante tablas de valores. Esta propuesta confirma el desprecio del texto hacia el concepto de pendiente. Obsérvese que m ni siquiera es la pendiente: "recibe el nombre de pendiente". De la misma forma, n no es el corte con el eje OY: "recibe el nombre de ordenada en el origen". La ecuación de una recta queda así desprovista de su significado físico y con-ceptual más profundo; convertida en un mero juego –absurdo– formal carente de contenido.

¿Por qué no eliminamos toda esta bazofia y la sustituimos por preguntas más abiertas y más cargadas de significado?

• Escribe una ecuación para cada una de estas tres rectas. Explica qué criterio sigues.

Y entramos a observar las discusiones que pueden producirse, introduciendo en ellas pregun-tas que obliguen a pensar los conceptos:

• Pilar propone como ecuación y = 2x – 1. ¿Por qué no es acertada su propuesta?

• Elisa propone y = 0’5x – 2, y Jaime y = 0’5x – 1. ¿Qué coordenadas tendría el punto A en cada uno de los dos casos?



La tangente de un ángulo y la derivada no son sino variantes sobre el concepto de pendiente. ¿Sobre qué cimientos se quieren asentar si previamente no se le ha dedicado tiempo?

II

¡La fobia a los denominadores y la obsesión por despejar la x! Supongo que sabéis de qué hablo. Chicos y chicas de 2º ESO en adelante, en cuanto ven un denominador sacan la pis-tola y disparan antes de preguntar. ¡Incluso aunque se trate de una operación con fracciones numéricas! Empiezan así una desenfrenada actividad que no termina hasta que llegan a una igualdad del tipo x = algo, venga o no a cuento. ¿Merece realmente la pena que tomen con-tacto con el álgebra si van a terminar convertidos en robots descerebrados? Tengo ante mí una hoja de trabajo que recogí hace tiempo en un Instituto: 82 ecuaciones de primer grado, todas parecidas: 82 situaciones similares, en las cuales actúan sin saber por qué ni para qué. Adoctrinamiento mecánico, adocenamiento mental.

¿Es razonable que si en un 1º de bachiller o un 4º ESO hago esta argumentación

descubra tantas caras de sorpresa? ¿Por qué no recurrir, sencillamente, al sentido común en los primeros pasos? ¿Alguna vez aparece esto en las pizarras?

III

Claro que, para que así sea, hay que haber trabajado antes la relación entre fracciones y deci-males. Hace unos años, en un 2º de bachillerato de ciencias sociales, un numeroso grupo de alumnas guardianas de la ortodoxia aprendida en academias y cursos escolares, me recrimi-naba porque escribía 20.5 en lugar de 21/2 "que es como se ha escrito siempre". Y, puesto que su principal preocupación no era la pureza estética de la escritura con fracciones –un alumno de ese mismo grupo alegó que "a mí me dijeron que son más elegante las fracciones"– sino su nota en la Selectividad, debo entender que suponían que el posible empleo de perjudicaba el futuro de su carrera estudiantil y, por tanto, profesional. Miedos y temores de clase media que tienen en este momento una fuerte incidencia en el desarrollo de las clases.

He visto a alumnos de 2º del COU antiguo –sí, del antiguo, del anterior a la LOGSE– derivar sin saber qué era . He escuchado a una persona que daba clase en 7º de Primaria, decirme que "nunca había pensado que 1/2 y 0’5 tuvieran algo que ver". ¿Que no es correcto decir en alto todas estas cosas? No será con la táctica del avestruz como resolveremos ningún problema. Hay que cambiar la enseñanza de las fracciones y los decimales. Mandar al trastero de la Historia los estúpidos "castillos" y las atontadoras e inútiles reglas memorizadas tipo "sieldeci-malespurosecogeelnúmeroformadoporlaparteenterayelperíodoyseleresta..."

¿Para qué queremos las calculadoras? Pregunto de nuevo: ¿Es razonable que alumnas y alumnos de 1º ó 2º de bachillerato muestren sorpresa ante una regularidad tan elemental como ésta?

y ahora sí, ahora sí puedo decir que los numeradores son iguales porque los denominadores de las fracciones lo son.

190



¿Acaso no clama al cielo que no entiendan por qué 1/4 = 0’25?

Pero, además, ¿para qué sirven todas esas reglas? Incluso desde un enfoque estúpidamente pragmático hay que advertir que "se puede aprobar la Selectividad sin saberlas". ¡Aquí ya no queda absolutamente ninguna justificación! A lo mejor, quién sabe, perjudica para ese exa-men escribir 20.5, pero ¿qué incidencia puede tener en él desconocer las atontadoras e inútiles reglas memorizadas para pasar de decimal a fracción?

Es sin embargo muy interesante proponer a la clase un programa de investigación dirigido a construir esas reglas u otras similares. Un programa que, gracias a su inutilidad práctica acadé-mica, ¡podemos detener donde queramos! ¿Alguna vez aparecen en las aulas razonamientos de este tipo

3´34 = 3 +

0´34 = 3 +

34

99 =

3·99 + 34

99

desarrollados después de haber observado con una calculadora esta regularidad

1

99 =

0´01 ;

2

99 =

0´02 ;

3

99 =

0´03 ;

................

37

99 =

0´37 ;

.......

98

99 =

0´98 ;

99

99 = 1 ;

100

99 =

1´01 ;

.......

y argumentando que 3 +

34

99 =

3·99 + 34

99 porque 1/99 cabe 99 veces en una unidad y, por

tanto cabe 99·3 veces en 3 unidades?

¿O de este otro

2´17 = 2 +

1

10 +

7

90=

21

10 +

7

90

21·9 + 7

90

desarrollado también a partir del sentido común matemático y no de reglas esotéricas?

TODAVÍA APRENDO

En la búsqueda de respuestas basadas en argumentaciones creíbles, con la mayor carga posible de empirismo, sigo sorprendiéndome ante soluciones sencillas que las cadenas de la tradición didáctica de las matemáticas no dejan aflorar. No puedo alargarme y, al igual que he hecho en toda esta ponencia, me centraré sólo en unos pocos de los temas habituales.

I

Las división de fracciones se ha reducido a una regla memorizada pero no comprendida. Pero, en realidad, si las dos fracciones tienen denominador común, nadie discute –me refiero, claro

está, a los alumnos y alumnas de Secundaria– consecuencias como éstas:

8

3 :

4

3 = 2 ;

3

5 :

2

5 = 1´5 , ó incluso,

7

4 :

5

4 =

7

5. De manera que, si no tienen común denominador,

saldremos del paso poniéndolo:

7

5 :

3

4 =

28

20 :

15

20 =

28

15



Este sencillo ejemplo es para mí paradigmático del fraude que ha sido y es la enseñanza de las matemáticas. El recetario impartido a martillazos, la aséptica contundencia del método ocultan incluso el hecho de que para dividir fracciones hay que poner primero común deno-minador. En serio: ningún adulto, fuera o no profesor o profesora de matemáticas, a quien he contado esta argumentación la conocía de antemano. Y la sorpresa que sienten alumnos y alumnas llega a ser muy grande. Hace unos días, unas alumnas de 2º ESO me decían con ingenuidad que tenía que "escribir algo para contar esto de la división". Su sorpresa es un testimonio de la sensación de fraude –ellas no pueden expresarlo de esta manera– ante la ocultación del conocimiento.

II

La afición de profesores y profesoras de matemáticas al papel en blanco, sin cuadrícula, es proverbial. Y así, la geometría analítica se realiza sobre este soporte, justificando este hecho con la habitual afirmación de que la geometría es el arte de obtener conclusiones correctas sobre dibujos mal hechos. ¡Toda una declaración de principios que indica hasta qué punto se desprecia a la experiencia como apoyo de la creación de conocimiento!

En realidad el papel cuadriculado o tramado es un excelente auxiliar que permite interpretar con más claridad los enunciados, dar sentido a las respuestas obtenidas y, combinado con una calculadora científica, atacar problemas para los cuales el bagaje formulístico necesario es de difícil acceso desde la teoría. Incluso, descubrir alguno de estos resultados. Veamos dos ejemplos.

El punto A(2, -5) es el vértice de un cuadrado, uno de cuyos lados está en la recta x – 2y – 7 = 0. Calcular el área de este cuadrado.

Enunciado clásico donde los haya. Obviamente, con la mecanización de la geometría que permite el álgebra es fácil llegar al valor 5 como respuesta, ni siquiera es necesario un dibujo. En el peor de los casos, habrá quien piense que, en los principios, como no se dispone de la consabida fórmula, no se puede plantear este problema. Es, sin embargo, un buen momento.

Se puede obtener el área pedida sin recurrir a procedimientos teóricos, y se puede obser-var en la trama cómo el cuadrado encierra el equivalente a cinco cuadraditos unidad. ¡Qué sorpresa con alumnos que ya conocían la fórmula "oficial" de la distancia de un punto a una recta, cuando se les pide que busquen esos cinco cuadritos! En algún caso he tenido que recordar incluso qué quiere decir la expresión "medir una superficie". El daño conceptual que origina la mecanización estéril e irreflexiva de las relaciones entre las distintas unidades del sistema métrico es enorme. No he conseguido durante todo este curso que una alumna de 2º ESO manejara como unidad de medida la distancia entre dos puntos de la trama, de manera que para calcular los perímetros de los triángulos de los cuadros 1 y 2 –yo pretendía, evidente-mente, que recurriera a Pitágoras–, empleaba su regla y los daba en cm, sin caer en la cuenta incluso de que en el primero dio como distancia entre A y B es 2’5 y en el segundo 2’6.

192



Volviendo al cuadrado, se puede también aprovechar para trabajar sobre la recta perpendicu-lar a una dada –ya he dicho que estábamos en los principios– esperando que la trama lleve a la clase a la conclusión del mm’=-1. Para ello, claro, hay que haber dedicado previamente tiempo a la idea de pendiente.

III

El ángulo que forman dos rectas se suele obtener todavía mediante una fórmula a la que se accede desde la trigonometría o desde el producto escalar. En realidad, con una calculadora científica y una clara comprensión del concepto de pendiente se pueden resolver las pregun-tas clásicas sobre esta cuestión.

Enunciado: Obtener el valor del ángulo que forman las rectas r: 3x – y = 4 y s: 2x + y = 4.

Sabemos que ê = arctg 3 = 71´50º y â = arctg (-2) = 116´56º. El ángulo î que buscamos será la diferencia entre ellos.

Enunciado: Obtener la ecuación de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas ante-riores.

El mismo dibujo permite observar con facilidad –es decir, permite obtener conclusiones correctas a partir de dibujos correctos– que la recta t forma con OX un ángulo que es la media aritmética de ê y â. La calculadora nos dará su pendiente. ¿Quién se acuerda de aquella fór-mula con dos fracciones igualadas, cada una de ellas con un módulo en el numerador y una raíz en el denominador? ¿Que es necesaria en el espacio? Bien; ya llegaremos al espacio y, si hace falta se construirá. Mientras tanto, permitamos que un enfoque realista, materialista, o como queramos llamarlo, contribuya a una sana adquisición y construcción de conceptos.

UN MOMENTO DIFÍCIL

Sí, estamos en un momento difícil. Se perdió la batalla didáctica de la Reforma y vivimos en un desconcierto en el que se imponen como único bagaje permanente las cadenas de la tra-dición: las de Ahmes, las de Descartes, las de Euclides(13)...

Ha aumentado significativamente la competencia social y, con ella, el miedo de las fami-lias de clase media que ven el Instituto como un paso necesario para que sus hijos e hijas accedan a un confort material en el futuro. La competencia trae consigo el miedo y éste las cadenas. Conozco ya tres casos de personas relacionadas con movimientos de renovación pedagógica que no mantienen la coherencia con sus vástagos. En primaria la renovación es



buena; en Secundaria... eso son palabras mayores. Ahí ya nos jugamos el adosado y el BMW del mañana. Si el profesor quiere usar tramas, muy bien, no pasa nada; ya llevaremos el hijo al profesor particular o, incluso, a la concertada.

El miedo de las familias se traslada, como es natural, a los alumnos y alumnas. Como resultado se dan varias posibilidades: desde la desconfianza hacia el profesor que ya he comentado, hasta una inseguridad personalmente muy destructiva. Las cadenas no se asumen en balde.

Es patente el desconcierto de las administraciones educativas. La última idea brillante que se les está ocurriendo es dar los destructivos libros de texto gratis a las familias (a mayor prove-cho, claro, de los sectores privados –en este caso las editoriales– que viven a expensas de la educación(14)).

Una situación pastosa que hace difícil la tarea de quien quiera trabajar con delicadeza las matemáticas en su aula. Una situación en la que:

• La sociedad teme la creatividad de alumnos y alumnas (de todas las edades).

• Por tanto, teme la creatividad de la profesora o el profesor.

• Intenta, en consecuencia, reducirlas a la nada: programaciones, libros de texto, normativas, inspecciones, "evaluaciones de calidad", selectividades,...

• En este ambiente, alumnos y alumnas temen la posible creatividad de sus colegas y de sus profesores.

• Profesores y profesoras temen la creatividad de sus colegas y de sus alumnas y alumnos.

• Hasta el punto de que todos terminan autocensurándose, consciente o inconscientemente.

Pero no será con la política del avestruz como conseguiremos salir de este atolladero. Hay que hablar con claridad sobre lo que está pasando. Las Sociedades de Profesores de Matemáticas deberían decir algo sobre todo esto.

BIBLIOGRAFÍA

Ya han ido apareciendo en notas a pie de página las obras citadas a lo largo de este escrito. Así que en lugar de un listado de libros añadiré dos fragmentos de Bertrand Russell(15) y un tercero de Erich Fromm(16):

"El sistema de exámenes y el hecho de que la instrucción sea tratada como para ganar la subsistencia hace que los jóvenes consideren los conocimientos desde un punto de vista pura-mente utilitario, como el camino a la riqueza y no como la puerta de la sabiduría. Esto (...) desgraciadamente afecta más a aquellos cuyos intereses intelectuales son más fuertes, pues sobre ellos es sobre quienes la presión de los exámenes recae con más severidad".

"Si el objeto fuera hacer que los discípulos pensaran, antes que hacer que acepten ciertas con-clusiones, la educación se llevaría de modo completamente distinto: habría menos rapidez de instrucción y más discusión, más ocasiones en que los discípulos se encontraran animados a expresarse por sí mismos".

"Prevalece la superstición patética de que sabiendo más y más hechos es posible llegar a un conocimiento de la realidad. De este modo se descargan en la cabeza de los estudiantes centenares de hechos aislados e inconexos; todo su tiempo y toda su energía se pierden en aprender cada vez más hechos, de manera que les queda muy poco lugar para ejercitar el pensamiento. Es cierto que el pensar carente de un conocimiento adecuado de los hechos sería vacío y ficticio; pero la "información" sin teoría puede representar un obstáculo para el pensamiento tanto como su carencia".

194



[Etc., etc. Se podrían aportar mil opiniones, desde el principio de los tiempos hasta nuestros días, para advertir que lo que se está haciendo en nuestras aulas no es lo adecuado. Pero parece que muy pocos colegas las hacen suyas para llevarlas a la práctica (aquella propuesta marxista de influir en el mundo y no quedarse sólo en interpretarlo)].

NOTAS

(1) Ponencia presentada en las XII JAEM. Albacete, julio 2.005.

(2) D. Fielker: Rompiendo las cadenas de Euclides. MEC. 1.987.

(3) Angel Ramírez y Carlos Usón: Variaciones sobre un mismo tema. Una cita con la creatividad en clase de matemáticas. Proyecto Sur. 1.998.

(4) Jean Paul Collette: Historia de las matemáticas. Siglo XXI. 1.985. Los manuales de divulgación de historia de las matemáticas no son fiables respecto a la literalidad de los textos originales que transcriben.

(5) Qalasadi: Kasf al-asrar ‘an `ilm huruf al gubar. Traducción de Mohamed Souissi. Maison arabe du livre. Túnez. 1.988.

(6) El título anuncia: “Verdadera práctica de las resoluciones de la geometría, sobre las tres dimensiones para un perfecto archi-tecto, con una total resolución para medir, y dividir la Planimetría para los agrimensores”. El Colegio de Aparejadores de Murcia publicó en 1.979 una edición facsímil.

(7) En contrapartida, el libro de Edelvives para el 4º curso de bachillerato elemental de 1968 (14 años; nuestro 2º ESO) se toma la molestia de demostrar con rigor la fórmula de la ecuación de 2º grado. ¡¡¡Para 14 años!!! Ciertamente, los caminos del Señor son retorcidos.

(8) Davis, P. J. y Hersh, R.: El sueño de Descartes. MEC y Labor. 1.989.

(9) Ocurre lo mismo con la aritmética en Primaria.

(10) Davis y Hersh o. c.

(11) “El o la estudiante”: si es un chico manifestará desinterés; si es una chica, agobio e inseguridad. No se pueden tocar todas las teclas en una hora, así que dejaré de lado, otra vez, el comentario desde la coeducación.

(12) Shell Center: Problemas con pautas y números. Universidad del País Vasco. Bilbao, 1.991.

(13) Emilio Gómez: Bloqueos en los umbrales de la resolución de problemas. CPR de Graus. 1.997.

(14) Criticadas, las de Euclides, hace ya tiempo: por los bourbakistas, que pusieron otras igualmente asfixiantes; por Fielker, liber-tario y romántico. Pero, por supuesto, siguen vigentes en la ordenación de los temarios y libros de texto.

(15) Siempre hay justos, naturalmente. Hay que salvar de la quema de esta afirmación a alguna editorial pequeña empeñada en mantener la dignidad.

(16) B. Russell: Principios de reconstrucción social. (cap. V: “Educación”). Colección Austral. Espasa - Calpe. 1.975.

(17) E. Fromm: El miedo a la libertad. Paidós. 1.980 (continuamente reeditado).

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