sesión 4 tema: profesor: víctor manuel reyes asignatura: matemática ii sede: osorno objetivo:...
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Sesión 4Tema:
Profesor: Víctor Manuel Reyes
Asignatura: Matemática II
Sede: Osorno
Objetivo:Resolver funciones cuadráticas, identificando elementos característicos de ellas para su aplicación en situaciones del ámbito laboral.
Función cuadrática
Carrera: TNS de Electricidad en Potencia
Ejemplo función cuadrática
Se estudia el valor instantáneo de la tensión durante un periodo de prueba que dura 5 ms y se ha establecido que la relación:
es un modelo matemático aceptable para describir el estudio.
T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25
Ejemplo función cuadrática
Aquí, T(t) representa el valor instantáneo de la tensión del sistema y t representa el tiempo por milisegundo (ms)
Ejemplo función cuadrática
T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25
t T(t)
t
T(t)
Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por:
Función cuadrática
y = f (x) = ax2 + bx + c
donde a, b, c son números reales y a ≠ 0 .
63)( 2 xxxf
1)2()2(3 22 xxy
241)( xxxg
352)( 2 xxxy
212)( mmf
El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa respectivamente.
Concavidad (+) Concavidad (−)
Se da cuando a > 0 Se da cuando a < 0
Concavidad f(x) cuadrática:
x
y
Intersección eje y Intersección eje x
f(x) = x2 − 3x − 2
(0,y1) (x1,0)(x2,0)
Intersección con los ejes:
La intersección de la parábola con el eje y es un punto (0, c) donde c es el valor dado en la expresión funcional
2 4 6 8-2-4-6-8-10
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
x
yy = 2x̂ 2+3x-5
Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a=2 >0.
Intersección con los ejes:
Ejemplo: la función f (x) = 2x2 + 3x − 5 corta al eje y en el punto (0, − 5) porque c = − 5.
y = f (x) = ax2 + bx + c
La intersección con el eje x, se determina cuando la gráfica intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos:
» Por factorización » Utilizando la fórmula» Por completación de cuadrados
Intersección con los ejes:
por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado.
0 = ax2 + bx + c,
Por factorización:2 4 6 8 10 12 14-2
246
-2-4-6-8
-10-12-14-16-18-20-22-24-26-28-30-32-34-36-38-40-42-44-46-48-50-52-54-56-58-60-62-64
x
yy = x̂ 2-12x-28
(x - 14)(x + 2) = 0
Intersección con los ejes:
Resolver la ecuación:x2 - 12x - 28 = 0
Factorizamos el trinomio buscando dos números que multiplicados den -28 y sumados den -12
Entonces se deduce que las soluciones son:
x = 14 y x = -2
Estos son -14 y 2, por lo tanto la factorización es:
Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), se utiliza la fórmula: a
acbbx
2
42
2
210
12
2414)10()10( 2
x1 2 3 4 5 6 7-1
1
2
3
4
5
-1
-2
x
yy = x̂ 2-10x+24
Ejemplo:Resolver la ecuación:
Por lo tanto x = 6 ó x = 4
Intersección con los ejes:
Utilizando la fórmula:
En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24, reemplazando en la fórmula, obtenemos:
x2 – 10x +24 = 0
Las soluciones de una ecuación ax2+bx+c=0 dependen del signo del discriminante que es la cantidad subradical de la fórmula:
a
acbbx
2
42
Así tenemos que:
acb 42 Lo que se denota
Intersección con los ejes:
1. Si Δ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x.
2. Si Δ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x.
3. Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
x
yy = (x+1)(x+3)
y = (-2x-1)(x-2)
y = x2 + 4x + 3
y = -2x2 + x + 2
Si se tienen dos soluciones reales distintas x1 , x2 , la gráfica corta al eje x en los dos puntos (x1 ,0) y (x2 , 0).
042 acb
Intersección con los ejes:
Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1 , x2 , la gráfica corta al eje x en un solo punto de coordenadas (x1 ,0)
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
x
yy = (x+2)(x+2)y = -(x-1)(x-1)y = x2 + 4x + 4
y = -x2 + 2x -1042 acb
Intersección con los ejes:
Si se tienen dos soluciones no reales x1 , x2 , la gráfica no corta al eje x.
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
x
yy = x̂ 2+2y = -x̂ 2-1
042 acb
y = x2 + 2
y = -x2 -1
Intersección con los ejes:
El vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes a,b,c es:
a
bac
a
bV
4
4,
2
2
Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función.
Coordenadas del vértice
Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función.
Esto se aprecia en la gráfica, si analizamos la función
8
25,
4
3
4
4,
2
2
a
bac
a
bV
125,3,75,0
Como tiene concavidad positiva, por ser a = 2 > 0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo.
1 2 3-1-2
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
x
yy = 2x̂ 2-3x-2
y = (2x+1)(x-2)
Coordenadas del vértice
f (x) = 2x2 - 3x – 2
Ocupando la fórmula, para a=2, b=−3 y c=−2, se tiene:
Observemos la gráfica de las siguientes funciones
Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice.
Coordenadas del vértice