UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERA ESCUELA PROFESIONA INGENIERIA AGROINDUSTRIAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA MATEMATICA III SESION 4VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES.EXTREMOS ABSOLUTOS

MINIMO ABSOLUTO La funcin f: D, tiene un mnimo absoluto en el punto si se verifica que f() ) para todo punto Ejemplo 1: La funcin f(x, y) = 1+ tiene un mnimo absoluto en el punto (0, 0) de valor f(0, 0) = 1 segn se muestra en la figura 1.

MAXIMO ABSOLUTO La funcin f: D, tiene un mximo absoluto en el punto si se verifica que f() ) para todo punto Ejemplo 2: La funcin; f(x, y) = 1 tiene un mximo absoluto en el punto (0, 0) de valor f(0, 0) = 1. Segn se puede ver en la figura 2.

EXTREMOS RELATIVOS (LOCALES)

Dada La funcin f: D y siendo un punto no aislado de D, se dice que f tiene un minimo local o relativo en si existe una bola abierta B() centrada en , tal que f() ) para todo punto B() D. El mximo relativo se dice estricto si es f() ).

De manera anloga se dice que La funcin f: D y siendo un punto no aislado de D, se dice que f tiene un mximo local o relativo en si existe una bola abierta B() centrada en , tal que f() ) para todo punto B() D. El mnimo relativo se dice estricto si es f() ).

A los valores mnimos y mximos relativos de una funcin se les llama genricamente extremos relativos o extremos locales que ser materia de estudio en esta parte del curso.

Grfico de mximos y mnimos

Grfico de un punto de silla

DEFINICIN (PUNTO CRTICO)Dada la funcin f: D y siendo un punto de D , se dice que es un punto crtico si cumple alguna de las siguientes condiciones:1) no existe2) = Como consecuencia, si f: D es diferenciable en y es un punto critico para f, entonces se verifica que:

= =. = = 0, es decir Donde = (

CONDICIONES NECESARIAS DE EXTREMO RELATIVO

CONDICIONES DE PRIMER ORDEN PARA EXTREMOS LOCALES

Teorema.- Si la f: D tiene un extremo local en el punto , entonces es un punto critico para f. El teorema nos asegura que si f es diferenciable en y tiene un extremo relativo en se verifica que: = =. = = 0,Es decirlos candidatos a extremos relativos de una funcin diferenciable son los puntos en que se anulan todas las derivadas parciales de primer orden. A estas condiciones se les llama condiciones necesarias de primer orden. Observacin,- La condicin necesaria para que una funcin tenga extremos locales o relativos en un punto , donde sus derivadas parciales existen, es que este punto sea estacionario

CONDICIONES DE SEGUNDO ORDEN PARA EXTREMOS LOCALES Sean D un conjunto abierto f: D una funcin de clase en D y un punto crtico de f.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (SOLO PARA FUNCIONES DE 2 VARIABLES) Sea f: D una funcin definida funcin definida en el conjunto abierto D de tal manera que las derivadas parciales primeras y segundas de f sean continuas en la regin abierta D que contiene un punto (a, b) tal que:

Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad:

i) Si ii) Si iii) Si , entonces [(a, b), f(a,b)] es un punto de silla. iv) Si 1: Determinar los extremos relativos de la funcin f(x, y) = Solucin1 : = 2x+y-6 = 0 (Calculo de los puntos crticos) = x+2y = 0 Se resuelve: Punto crtico: P(4,-2)

2 = 2 ; = 1; = 1 ; = 2 (4, -2) = 2; (4, -2) = 1 ; (4, -2)= 2

3 (2)(2)-= 34 f(4, -2) = f(4, -2) =16-8+4-24+2 = -10

5 (4, -2)= 2 Entonces en el punto (4, -2) hay un mnimo relativo cuyo valor mnimo es: f(4, -2) = -10

Ejemplo 2: Hallar los extremos relativos de la funcin f(x, y)=

1 Clculo de los puntos crticos = = 0 3( (x+5)(x+1)=0 x= -5, x=-1 = 3 3( (y-3)(y+1)= 0 y=-1, y=3

Puntos crticos: = (-5, -1); =(-5, 3) ; = (-1, -1) ; = (-1, 3) 2 Calculamos: = 6x+18; ; = 0; = 6y-9Trabajamos con = (-5, -1) (-5, -1) = 6(-5)+18 = -12 ; (-5, -1) = 0 ; (4, -2)= 6(-1)-9 = -15 (-12).(-15) = 180

Aplicando los criterios de la segunda derivada =-12