Simulación de Series Temporales Financieras

Evaluación y Validación de los pronósticos Por:

Esp. John Chuke Yepes Ljohnyepes6778@correo.itm.edu.co

“El problema de la humanidad es que los estúpidos están seguros de todo y

los inteligentes están llenos de dudas”

“La buena vida es una vida inspirada por el amor y guiada por el conocimiento

”

Bertrand Russell

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COMPOSICIÓN DE SERIES

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LAS FUNCIONES DE AUTOVARIANZA Y AUTOCORRELACIÓN

Funciones de autocorrelación miden la relación lineal entre

variables aleatorias de procesos separadas de una cierta distancia

en el tiempo.

Estimación de estas funciones permiten determinar la forma del

procesos estocástico.

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LAS FUNCIONES DE AUTOVARIANZA Y AUTOCORRELACIÓN

La función de Autocovarianza

,...1,0,1...,k

)]x)(x[(E)x,x(Cov tktttkttk,t

Si el proceso es estacionario, su esperanza es constante a largo del tiempo, y

La función de autocovarianza no depende del momento en tiempo, sólo la distancia temporal.

)]x)(x[(E kttk

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LAS FUNCIONES DE AUTOVARIANZA Y AUTOCORRELACIÓN

Para cada retardo hay un valor diferente para la función de autocovarianzas, autocovarianza de orden k.

Función de autocorrelación simple –FAC- (FAS)

2kt

2t

tkttt

tk,t

k,tk,t

)x(E)x(E

)]x)(x[(E

o

2t

ktt

0

kk )x(E

)]x)(x[(E

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LAS FUNCIONES DE AUTOVARIANZA Y AUTOCORRELACIÓN

Una correlograma muestra la Función de Autocorrelación Simple-FAS en función de k.

El Correlograma

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ANÁLISIS DE CORRELOGRAMA

Tendencia Una serie de datos tendrá TENDENCIA si r1 es cercana a 1 y las sucesivas r2,......rk caen lentamente a cero.

Correlograma de una serie de datos con TENDENCIA

Correlograma de una serie de datos ESTACIONARIA

Una serie de datos será ESTACIONARIA si la autocorrelaciones r1 presenta un valor próximo a 1, y a partir de la segunda caen drásticamente (rapidamente) a cero.

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Correlograma de una serie de datos ESTACIONALES

Una serie de datos será ESTACIONAL si las autocorrelaciones r1,r2,r3,r4 se repiten en periodos secuencias de igual amplitud.

Una serie de datos será ALEATORIA si las autocorrelaciones r1,r2,......rk son cercanas estadísticamente a cero.

Correlograma de una serie de datos ALEATORIA

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TIPOS DE MÉTODOS DE PRONÓSTICOS

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TIPOS DE MÉTODOS DE PRONÓSTICOS

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TIPOS DE MÉTODOS DE PRONÓSTICOS

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TIPOS DE MÉTODOS DE PRONÓSTICOS

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

ttt

tt

t

YY

:residualopronósticodelErrorYparapronósticodelvalorY

tperiodoelentiempodeserieunadevalorY

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

El error correspondiente a cualquier pronóstico es la diferencia entre el valor observado en la serie de tiempo y el pronóstico.

La mayoría de los métodos implica promediar alguna función del error.

El error de pronóstico puede ser positivo o negativo dependiendo si el pronóstico es demasiado alto o demasiado bajo.

Una medida de la precisión de los pronósticos es la suma de los errores.

El problema es que si se suman los errores al ser unos positivos y otros negativos se cancelarán.

Puede evitarse esto tomando los valores absolutos o elevando al cuadrado cada uno de los errores, antes de sumarlos y promediarlos.

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Fórmulas de medición del error en el pronóstico

n

|yy|

n

|e|DAM

n

1ttt

n

1tt

1. Desviación Absoluta Media = DAM

Desviación absoluta = |t| = |yt -ŷt|

2. Error Cuadrático Medio = ECM

n

)yy(

n

)e(ECM

n

1t

2tt

n

1t

2t

Error Cuadrático = (t)2 = (yt -ŷt)2

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Fórmulas de medición del error en el pronóstico

• En ocasiones es más útil calcular los errores en porcentajes y no en cantidades.

• El porcentaje del error medio absoluto (PEMA) se calcula encontrando el error absoluto en cada periodo, dividiendo éste entre el valor real observado para ese periodo y después promediando estos errores absolutos de porcentaje.

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nY

YY

PME

:errordemedioPorcentajenY

YY

PEMA

:absolutomedioerrordePorcentaje

n

1t t

t

n

1t t

tt

EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Fórmulas de medición del error en el pronóstico

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

• El PEMA indica qué tan grande son los errores comparados con los valores reales de la serie.

• Se puede utilizar el PEMA para comparar la precisión de la misma u otra técnica sobre dos series completamente diferentes.

• A veces resulta necesario determinar si un método de pronóstico está sesgado (pronóstico consistentemente alto o bajo).

• Para esto se utiliza el porcentaje medio de error (PME).

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

• Si el resultado es un porcentaje negativo grande el método de pronóstico está sobrestimando en forma consistente.

• Si el resultado es un porcentaje positivo grande el método de pronóstico está subestimando en forma consistente.

• Es realista esperar que una técnica produzca errores relativamente pequeños.

• Las mediciones de precisión de un pronóstico se podrían utilizar para buscar una técnica óptima.

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Intervalo de Confianza del 95%

EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Si una serie de datos en efecto corresponde a una serie de datos aleatorios, la mayoría de los coeficientes de autocorrelación debe ubicarse dentro del limite especificado por 0, o más o menos un cierto numero de errores estándar, un nivel específico de confianza,.

Se puede considerar aleatoria una muestra, sí los coeficientes de autocorrelación calculados se encuentran dentro del intervalo, se dirá que los datos son aleatorios.

𝟎±𝒁 𝜶𝟐∗ 𝟏√𝒏

−𝟏 ,𝟗𝟔∗ 𝟏√𝒏

≤𝟎≤𝟏 ,𝟗𝟔∗ 𝟏√𝒏

𝐇𝐨 :𝐋𝐨𝐬𝐫𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐧𝐀𝐥𝐞𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐨𝐬𝐇𝟏 :𝐋𝐨𝐬𝐫𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬𝐍𝐎𝐬𝐨𝐧𝐀𝐥𝐞𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐨𝐬

Si los residuales no se encuentran dentro del intervalo del 95% Se Rechaza Ho.

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

𝐇𝐨 :𝐋𝐨𝐬𝐫𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐧𝐍𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥𝐞𝐬𝐇𝟏 :𝐋𝐨𝐬𝐫𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐚𝐥𝐞𝐬𝐍𝐎𝐬𝐨𝐧𝐍𝐨𝐫𝐦𝐚𝐥𝐞𝐬

Prueba de Normalidad

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Prueba de Normalidad JARQUE BERA-JB

Prueba Jarque-Bera(1987). Utiliza un estadístico en prueba que involucra la curtosis y la asimetría.

Hipótesis nula H0: a3=0 y a4 3 =0

Hipótesis alternativa H1: a3 ≠ 0 y (a4 3 ≠ 0

Tercer momento. Simetría. Sesgo de la distribuciónCoeficiente de simetría

0/uE 33t3 a

Cuarto momento. Curtosis.Grado de apuntalamiento de la distribución

3/uE 44t4 a

Por o tanto, la hipótesis

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Prueba de Normalidad JARQUE BERA-JB

0300 43 aa ˆˆ

2/1n

1t

2t

n

1t

iti

44

433

3

un1ˆ y 4,3,2,1i momento ,u

n1ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

a

a

Combina las dos distancias:

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Prueba de Normalidad JARQUE BERA-JB

El coeficiente de asimetría (A) es el tercer momento respecto a la media.

El coeficiente de curtosis (K) es el cuarto momento respecto a la media.

≡

≡

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EVALUACIÓN DEL PRONÓSTICO

Prueba de Normalidad JARQUE BERA-JBBajo la hipótesis nula de que los errores se encuentran distribuidos normalmente, el estadístico JB se distribuye asintóticamente como una chi-cuadrada con 2 g.l., siendo igual a:

Si la estadística JB ≥ 5,99 Se Rechaza Ho.

Si la Pr(JB) ≤ 0,05 Se Rechaza Ho

= 5,99Punto Crítico

Equivalente a

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MODELOS DE SERIES DE TIEMPOEstas técnicas suponen que los periodos recientes son los

mejores para pronosticar el futuro.1. El método más sencillo es el método del último valor

Pronóstico = último valor

Tiempot

RetornosYt

PronósticosYt+1

1 4.2002 5.200 4.200

3 5.400 5.2004 6.500 5.4005 5.100 6.5006 6.400 5.100

7=T+1 6.400

=

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2. Métodos de Promedio Simple= PSSe obtiene la media de todos los valores precedentes,

la cual se emplea para pronosticar el periodo siguiente.

MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

PeriodoRetornos

YtPronósticos

Yt+1 Yt+1

1 4.200 2 5.200 (42)/1 4.200,0 3 5.400 (42+52)/2 4.700,0 4 6.500 (42+52+54)/3 4.933,3 5 5.100 (42+52+54+65)/4 5.325,0 6 6.400 (42+52+54+65+51)/5 5.280,0

7=t+1 (42+52+54+65+51+64)/6 5.466,7

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3. Métodos de Promedio Móvil = PM

Este método no considera la media de todos los datos, sino solo los más recientes.

Se puede calcular un promedio móvil de n periodos.

El promedio móvil es la media aritmética de los n periodos más recientes

La utilización de esta técnica supone que la serie de tiempo es estable, esto es, que los datos que la componen se generan sin variaciones importantes entre un dato y otro.

Esto es, que el comportamiento de los datos aunque muestren un crecimiento o un decrecimiento lo hagan con una tendencia constante.

Cuando se usa el método de promedios móviles se está suponiendo que todas las observaciones de la serie de tiempo son igualmente importantes para la estimación del parámetro a pronosticar.

De esta manera, se utiliza como pronóstico para el siguiente periodo el promedio de los n valores de los datos más recientes de la serie de tiempo.

MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

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3. Métodos de Promedio Móvil = PM

Pronóstico Promedio Móvil

��𝐓+𝟏=∑𝐭=𝟏

𝐓 𝐘 𝐭

𝐧��𝟏𝟑=

𝐘𝟏𝟎+𝐘𝟏𝟏+𝐘𝟏𝟐

𝐧 =𝟔𝟒 ,𝟖+𝟔𝟓 ,𝟐+𝟔𝟓 ,𝟕𝟑

MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

��𝟏𝟑=𝟔𝟓 ,𝟐

Periodos n = 3 Periodos n = 5

Periodo

Retornos, miles

YtPronósticos

Yt+1 Yt+1 Yt+11 42,0 - -2 52,0 - -3 54,0 - -4 65,0 (42+52+54)/3 49,3 -5 51,0 (52+54+65)/3 57,0 -6 64,0 (54+65+51)/3 56,7 52,8 7 63,0 . 60,0 57,2 8 63,9 . 59,3 59,4 9 64,5 . 63,6 61,4 10 64,8 . 63,8 61,3 11 65,2 . 64,4 64,0 12 65,7 (64,5+64,8+65,2)/3 64,8 64,3

13=t+1 (64,8+65,2+65,7)/3 65,2 64,8

Pronóstico Promedio Móvil con n=3

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4. Método de Suavizamiento Exponencial = SE

MODELOS DE SERIES DE TIEMPO

El cálculo correspondiente al método de suavización exponencial requiere de dos componentes: el primero es la demanda real del período más reciente y el segundo es el pronóstico más reciente obtenido por este mismo método, es decir el dato pronosticado.

Por esta razón el primer dato se pierde y solo pronostica del período dos en adelante. Tal como en el caso del método de media móvil, sirve para pronosticar un solo dato, no obstante esta limitación del método, lo usaremos introduciendo valores pronosticados para calcular los datos requeridos para la prueba.

A continuación se puede ver el modelo del método de pronóstico

F1 = Y1

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5. Método de suavizado lineal de Holt

El método de Holt11 tiene como base, la formulación del método de suavización exponencial, pero la ventaja significativa es que permite producir el número de datos pronosticados que se desee, no solo el siguiente dato t+1.

A continuación se puede ver el modelo del método de pronóstico

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6. Método de suavizado exponencial de Brown

El método de suavización exponencial de Brown produce una serie de datos suavizada a partir de una serie de datos históricos, ya que la nueva serie está constituida por promedios de valores de la serie original.

Como en el caso de la suavización exponencial simple, es muy importante fijar de manera de correcta el parámetro a, entre 0 y 1

“si los datos presentan fuertes fluctuaciones o gran aleatoriedad se deben usar valores de a cercanos a 0; es decir, que si el parámetro de suavización a está próximo a cero, el valor inicial de la serie influirá durante muchos períodos de tiempo. Por el contrario, con valores de a próximos a uno, desaparecerá rápidamente la influencia del valor histórico

A continuación se puede ver el modelo del método de pronóstico

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7. Método de suavizado exponencial estacional de Winters

A continuación se puede ver el modelo del método de pronóstico

El método de Winters requiere conocer el valor de tres parámetros. Alpha, beta y gamma, el primero está relacionado con el componente de aleatoriedad, el segundo con el componente de tendencia de las serie de datos históricos y el tercero con el factor de estacionalidad de la serie