sesión 14: técnicas alternativas a b c f dh. incertidumbre - t.a., l.e. sucar2 técnicas...

Sesión 14: Técnicas Alternativas

A

BC

F

D H

Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar 2

Técnicas Alternativas

• Se han desarrollado algunas técnicas numéricas para manejo de incertidumbre que no siguen los axiomas de probabilidad. Entre éstas se encuentran:

• Métodos empíricos o ad-hoc

• Teoría de Dempster-Shafer

• Lógica difusa

• Métodos aproximados


Técnicas Alternativas• Algunas técnicas se pueden ver como casos

especiales o extensiones de probabilidad• Técnicas que se reducen a casos especiales de

probabilidad– Método de factores de certeza (MYCIN)– Método de pseudo-probabilidades subjetivas

(Prospector)

• Técnicas que extienden a probabilidad:– Teoría de Dempster-Shafer

• Técnicas basada en diferentes fundamentos:– Lógica Difusa


Las primeras técnicas que surgen, cuando menos dentro del área de sistemas expertos, son técnicas empíricas o ad-hoc orientadas aresolver aplicaciones específicas y sin un fuerte fundamento teórico.

Las más conocidas son las que corresponden a dos de los primeros sistemas expertos:

Las primeras técnicas que surgen, cuando menos dentro del área de sistemas expertos, son técnicas empíricas o ad-hoc orientadas aresolver aplicaciones específicas y sin un fuerte fundamento teórico.

Las más conocidas son las que corresponden a dos de los primeros sistemas expertos:

Técnicas empíricasTécnicas empíricas


• PROSPECTOR (exploración minera) • PROSPECTOR (exploración minera)

• MYCIN (diagnóstico de enfermedades infecciosas en la sangre)

• MYCIN (diagnóstico de enfermedades infecciosas en la sangre)


Sistemas basados en reglas Sistemas basados en reglas

En sistemas basados en reglas se tiene en general una estructura similar a la siguiente:

En sistemas basados en reglas se tiene en general una estructura similar a la siguiente:


Si: se observa cierta evidencia E Entonces: se concluye cierta hipótesis H con probabilidad (certeza, ...) P

Si: se observa cierta evidencia E Entonces: se concluye cierta hipótesis H con probabilidad (certeza, ...) P

• ¿Cómo obtener estas medidas?

• ¿Cómo combinar estas medidas?

• ¿Cómo interpretar estas medias?

• ¿Cómo obtener estas medidas?

• ¿Cómo combinar estas medidas?

• ¿Cómo interpretar estas medias?

De aquí surgen varias interrogantes:De aquí surgen varias interrogantes:


Las técnicas desarrolladas en MYCIN y Prospector son similares, ambas consideran sistemas basados en reglas a los que se les adicionan Factores de Certeza o Probabilidades Subjetivas, respectivamente.

Veremos brevemente el método de MYCIN.

Las técnicas desarrolladas en MYCIN y Prospector son similares, ambas consideran sistemas basados en reglas a los que se les adicionan Factores de Certeza o Probabilidades Subjetivas, respectivamente.

Veremos brevemente el método de MYCIN.

MYCIN MYCIN


Técnica de Factores de Certeza

• Los autores de MYCIN dicidieron no aplicar probabilidad porque:– “... requiere de grandes cantidades de datos o

numerosas aproximaciones y suposiciones”

• Desarrollaron una técnica alternativa basada en factores de certeza (medidas no probabilistas) y técnicas para combinarlas


Medidas básicas

• MB[h,e] – incremento de la creencia en la hipótesis h dada la evidencia e

• MD[h,e] – incremento en la no-creencia en la hipótesis h dada la evidencia e

• Se pueden combinar en una sola medida, el factor de certeza: CF = MB – MD

0 MB, MD 1 CF : [-1, +1]


MYCIN define un Factor de Certeza que se asocia a cada regla y cada evidencia, y se definen un conjunto de reglas para combinar estos factores.

MYCIN define un Factor de Certeza que se asocia a cada regla y cada evidencia, y se definen un conjunto de reglas para combinar estos factores.


Redes de Inferencia• Un conjunto de reglas se pueden ver como una

“red de inferencia”• Por ejemplo:

– R1: si A y B entonces C– R2: si C entonces D– R3: si F entonces D– R4: si D entonces H

A

BC

F

D H


Redes de Inferencia

• Tipos de combinaciones:

– Conjunción/disjunción

– Serie

– ParaleloF

D H

A

BC

C

C


Reglas de combinaciónReglas de combinación

1. Propagación (fprop) o reglas en serie:1. Propagación (fprop) o reglas en serie:

2. AND (conjunción), OR (disjunción) de evidencias ( fand, for):2. AND (conjunción), OR (disjunción) de evidencias ( fand, for):


3. Co-Conclusión (fco) o reglas en paralelo:


R1: IF A and (B or C) Then H cf 0.8 R2: If D and F Then B cf 0.6 R3: If F or G Then H cf 0.4 R4: If A Then D cf 0.75 R5: If I Then G cf 0.3

R1: IF A and (B or C) Then H cf 0.8 R2: If D and F Then B cf 0.6 R3: If F or G Then H cf 0.4 R4: If A Then D cf 0.75 R5: If I Then G cf 0.3

EjemploEjemplo

Se conoce: CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4

Se conoce: CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4


Ejemplo CF

B

C

F

DH-1

A

GH-2

I

0.80.6

H

0.4

0.75

0.3

CF(A,Ev) = 1,

CF(C,Ev) = 0.5,

CF(F,Ev) = 0.7,

CF(I,Ev) = -0.4


Ejemplo CF

B

C

F

DH-1

A

GH-2

I

0.80.6

H

0.4

0.75

0.3x0=0

CF(A,Ev) = 1,

CF(C,Ev) = 0.5,

CF(F,Ev) = 0.7,

CF(I,Ev) = -0.4


Ejemplo CF

B

C

F

DH-1

A

GH-2

0.80.6

H

0.4

0.75

0

CF(A,Ev) = 1,

CF(C,Ev) = 0.5,

CF(F,Ev) = 0.7,

CF(I,Ev) = -0.4

0.7

Max[0.7,0]x0.4=0.28


Ejemplo CF

B

C

F

DH-1

A

H-2

0.80.6

H

0.75

CF(A,Ev) = 1,

CF(C,Ev) = 0.5,

CF(F,Ev) = 0.7,

CF(I,Ev) = -0.4

0.7

0.28

0.75x1=0.75


Ejemplo CF

B

C

F

DH-1

A

H-2

0.80.6

H

0.75

CF(A,Ev) = 1,

CF(C,Ev) = 0.5,

CF(F,Ev) = 0.7,

CF(I,Ev) = -0.4

0.7

0.28Min[0.75,0.7]x0.6=0.42


Ejemplo CF

B

C H-1A

H-2

0.8

H

CF(A,Ev) = 1,

CF(C,Ev) = 0.5,

CF(F,Ev) = 0.7,

CF(I,Ev) = -0.4

0.28

0.42

min[1,max[0.5,0.42]]x0.8=0.4


Ejemplo CF

H-1

H-2H

CF(A,Ev) = 1,

CF(C,Ev) = 0.5,

CF(F,Ev) = 0.7,

CF(I,Ev) = -0.4

0.28

0.4

0.4+0.28-(0.4)(0.28)=0.568


Aplicación - MYCIN

• Ejemplo de regla de MYCIN:

SI la clase de organismo es gram positivo & la morfología del organismo es coco & la forma de crecimiento es cadenas

ENTONCESla identidad del organismo es

estreptococo (CF=0.7)


Ventajas

• Modularidad

• Simplicidad computacional

• Resultados comparables con expertos en aplicación médica (MYCIN)

• Poco sensitivo a los valores de los CF´s (variación de +/- 0.2)


Aunque pretendía apartarse de probabilidad, se ha demostrado [Heckerman 86] que la técnica de MYCIN corresponde a un subconjunto de probabilidad con una serie de suposiciones implícitas:

Aunque pretendía apartarse de probabilidad, se ha demostrado [Heckerman 86] que la técnica de MYCIN corresponde a un subconjunto de probabilidad con una serie de suposiciones implícitas:

Desventajas: Desventajas:


• La evidencia es condicionalmente independiente de la hipótesis y su negación.

• La red de inferencia debe corresponder a un árbol para que los resultados sean coherentes.

• Las fórmulas para conjunción y disjunción (min y max ) sólo son válidas si uno de los términos es subconjunto del otro.

• La evidencia es condicionalmente independiente de la hipótesis y su negación.

• La red de inferencia debe corresponder a un árbol para que los resultados sean coherentes.

• Las fórmulas para conjunción y disjunción (min y max ) sólo son válidas si uno de los términos es subconjunto del otro.


Estas suposiciones no son válidas en muchas aplicaciones por lo que el método de MYCIN no se puede generalizar.

Estas suposiciones no son válidas en muchas aplicaciones por lo que el método de MYCIN no se puede generalizar.

Teoría de Dempster-Shafer


Antecedentes

Teoría para representar y combinar “grados de creencia”.

Esta teoría se desarrollo básicamente como una alternativa (extensión) a teoría de probabilidad ya que los autores consideraban que ciertas situaciones no eran representadas adecuadamente con dicha teoría. En especial dos aspectos:

• Representación de ''ignorancia"

• Representación de creencia NO asignada


Ejemplo

• Se tiene una moneda y dos situaciones distintas:1. La moneda es “normal” por lo que tiene la misma

probabilidad de cada lado

2. Se sabe que la moneda esta cargada con una mayor probabilidad de uno de los lados, pero no se sabe cual ni cuanto

• Con probabilidades ambas situaciones se representan igual – P=0.5, no hay forma de distinguir ignorancia de igual probabilidad


La teoría de DS difiere en dos aspectos básicos de la teoría clásica de probabilidad:

• Los grados de creencia se asignan a subconjuntos en lugar de a elementos individuales del dominio de referencia.

• El axioma de aditividad no se forza, sino se substituye por una desigualdad.

Diferencias con Probabilidad


Diferencias con Probabilidad

Estas diferencias tiene dos importantes implicaciones:

1.- La creencia en una proposición y su complemento NO necesariamente suman “1”.

2.- Se diferencia ignorancia de probabilidades iguales, dando la creencia no asignada al conjunto de todas las hipótesis.


Fundamentos Teóricos

La teoría de DS requiere de un conjunto de hipótesis exclusivas y exhaustivas:

Θ - marco de dicernimiento

2Θ - conjunto de todos los subconjuntos de Θ

En base a esto se definen dos medidas:

– asignación básica de probabilidad (bpa)

– función de creencia (Bel)


Asignación básica de probabilidad (bpa)

• Representa la porción de creencia asignada exactamente a un elemento A (subconjunto de Θ), sin incluir la creencia asignada sus subconjuntos.

bpa=m(A): 2Θ ->[0,1]

• Debe satisfacer las siguientes propiedades:

1 >= m(A) >= 0 (1)

m(ø) = 0 (2)

Σm(A)=1 (3)


Ejemplo

• Para el ejemplo de la moneda Θ = {águila, sol}

2Θ = [ {águila, sol}, {águila}, {sol}, ]

• Caso 1: igual probabilidadm({águila}) = 0.5, m({sol}) = 0.5

• Caso 2: completa ignoranicam({águila, sol}) = 1


Función de creencia (Bel)

• Es la creencia total en el conjunto A, incluyendo la creencia asignada propiamente a A, así como la de todos sus subconjuntos:

Bel(A)=Σm(B), B A

• Se puede demostrar que Bel satisface las siguientes propiedades:

Bel(ø) = 0

Bel(Θ) = 1

Bel(A1A2) >= Bel(A1) + Bel(A2) - Bel(A1A2)


Función de creencia (Bel)

• Para una hipótesis sencilla (un solo elemento) se tiene que:

Bel(A)=m(A)

• Para el ejemplo de la moneda:

– Caso 1:

• Bel({águila, sol}) = 0.5 + 0.5 = 1

• Bel({águila}) = m({águila}) = 0.5


Regla de Dempster

• Para combinar distintas evidencias se calcula su suma ortogonal, aplicando lo que se conoce como la regla de Dempster, y obteniendo un nuevo grado de creencia (m) basado en la evidencia combinada:

• Esta formula la podemos interpretar de la siguiente forma:

– La evidencia E1 asigna la creencia ml al subconjunto Al

– La evidencia E2 asigna la creencia m2 al subconjunto B1

– Entonces el producto de ambas (ml * m2) nos da la creencia en su intersección - A

ABjAi

ji BmAmAmm 2121


Regla de Dempster

• La creencia total en A es simplemente la suma de las creencia asignadas de esta forma, es decir, la suma de la creencia de todas la intersecciones entre los conjunto Ai y Bj que den como resultado A.

• Surge un problema si alguna de las intersecciones de el conjunto vacío, ya que no se puede asignar creencia a dicho conjunto (implicaría que la suma de bpa no sea l). Para resolver este caso hay que normalizar los bpa, es decir, inflar las creencias de los demás subconjuntos en forma proporcional a la creencia asignada al conjunto vacío.


Regla de Dempster

• Entonces la regla de Dempster en su forma general es:

• Los nuevos valores de Bel para cada hipótesis son calculados de la misma forma, sumando los bpa's.

BjAiji

ABjAi

ji

BmAmK

donde

Ak

BmAmAmm

21

2121

:

,1


Ejemplo

• Si hubiera dos evidencias (expertos lanza monedas) respecto a la moneda cargada:– m1(A) = 0.7, m1(Θ) = 0.3– m2(S) = 0.6, m2 (Θ) = 04

• Entonces:m2 \ m1 {A} 0.7 {Θ} 0.3

{S} 0.6 {} 0.42 {S} 0.18{Θ} 0.4 {A} 0.28 {Θ} 0.12


Ejemplo

• Normalizando:– k = 0.42 1-k = 0.58

• Entonces:– m1 m2({S}) = 0.18 / 0.58 = 0.31– m1 m2({A}) 0.28 / 0.58 = 0.483– m1 m2({Θ}) 0.12 / 0.58 = 0.207


Posibilidad• Mientras que Bel nos da la cantidad de creencia en cierta

hipótesis, otra medida denominada la posibilidad (plausibility – Pl) indica la máxima creencia que pudiera asignarse a la hipótesis. La posibilidad se define como:

P1(A) = 1-Bel(~A)

• Bel da la creencia mínima y P1 la creencia máxima. Ambas definen un intervalo de creencia:

[Bel(A), P1(A)]

• El rango dentro del cual estaría la creencia en A de acuerdo a la evidencia conocida. La diferencia entre Bel y Pl nos indica la ignorancia, es decir, la creencia que NO ha sido asignada ni a la hipótesis ni a su complemento (o demás hipótesis).


Ejemplo

• Para el caso anterior:– Pl({A}) = 1 – 0.310 = 0.690– Pl({S}) = 1 – 0.483 = 0.517

• Entonces:– A: [0.483 0.690]– S: [0.310 0.517]


Otro Ejemplo

• Consideremos una aplicación médica en la que hay cuatro posibles enfermedades (hipótesis):– Hepatitis (h/hep)– Cirrosis (c/cirr)– Cálculos en la vesícula (v/gall)– Pancreatitis (p/pan)


Ejemplo Médico

• Marco de dicernimiento (hipótesis) - jerarquía:


Ejemplo Médico - subconjuntos


Ejemplo Médico

• Evidencia 1:

intrahepática – 0.6

• Evidencia 2:

no hepatitis – 0.7


Ejemplo Médico

• A partir de las bpa se puede calcular el grado de creencia – Bel, por ejemplo:

Bel(intrahepática) = Bel({hep,cerr}) =

m(hep,cerr) + m(hep) + m(cerr) =

0.18 + 0 + 0.42 = 0.60


Ejemplo Médico

• Evidencia 3:

hepatitis – 0.8


Ejemplo Médico

• Cálculo de Bel:k = 0.336+0.224 = 0.56, 1-k = 0.44

Bel(hep) = (0.144+0.096)/0.44 = 0.545Bel(cerr) = 0.084/0.44 = 0.191Bel(hep,cerr) = 0.036/0.44 = 0.082Bel(cirr,gall,pan) = 0.056/0.44 = 0.127Bel(Θ) = 0.024/0.44 = 0.055


Aplicaciones

• En sistemas basado en reglas, cada una se considera como una fuente de evidencia, y asigna un bpa a una o un conjunto de hipótesis.

• Los grados de creencia (m) de cada regla son asignados por el experto.

• Los grados de creencia de cada regla son combinados aplicando la regla de Dempster. Luego se calcula Bel y Pl para cada hipótesis, obteniendo así su intervalo de creencia.


Ventajas

• Intervalo de creencia

• Representación de ignorancia

• Representa “la forma en que los expertos usan la evidencia”

• Modular


Desventajas

• Asume fuentes de evidencia independientes

• Interpretación de los valores finales (Bel)

• Bel no se puede interpretar como frecuencias

• Complejidad computacional (hipótesis sencillas, redes)


Referencias• Lucas & Van Der Gaag, Principles of Expert Systems,

Addison-Wesley, 1991 – Cap. 5

• Buchanan & Shortliffe, Ruled-Based Expert Systems, Addison-Weslev, 1984 - Cap 10-13.

• D. Heckerman, Probabilistic interpretations for MYCIN´s certainty factors, UAI, 1986

• Shafer, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton Univ. Press. 1976.

Lógica Difusa

“Esto es lo vago e incierto. Acercate y no verás su cabeza; siguelo y no verás

su parte posterior” [Lao Tzu]


Conjuntos

• Los conjuntos difusos se pueden ver como una extensión de los conjuntos “clásicos” para representar conceptos no bien definidos

• Conjuntos clásicos – se puede determinar sin ambigüedad si algo es miembro o no del conjunto (el conjunto es claro y preciso)


Ejemplos – Conjuntos Clásicos

• Miembros del club de tennis

• Números menores a 10

• Persona que mide más de 1:70 m de altura

• Un conjunto se puede representar gráficamente mediante un diagrama de Venn o un diagrama de verdad


Diagrama de Verdad(números menores a 10)

10

0

1


Conjuntos Difusos

• En un conjunto difuso el límite no está bien definido, los miembros pueden tener un grado de membresía en cualquier nivel – desde completamente miembro hasta no-miembro

• Elemplos:– Jugadores de tennis– Personas altas– Números pequéños


Función de Membresía(números positivos pequeños)

10

0

1

(X)

X


Conjuntos Difusos

• Formalmente un conjunto difuso es una función del conjunto A, llamado dominio, al intervalo [0,1]:

: A [0,1]• El conjunto de valores de A para las cuales > 0

es llamado el soporte de • Para cualquier elemento a A, (a) es el grado de

membresía de a en A – se representa gráficamente mediante la función de membresía


Operaciones Difusas

• Complemento:

NOT (a) = 1 – (a)

• Intersección:

(a) = min [(a), (a) ]

• Unión:

(a) = max [(a), (a) ]


Ejemplo – “alto y bajo”

1:70

0

1

(A)

A

“bajo” “alto”


Ejemplo – “alto o bajo”

1:70

0

1

(A)

A

“bajo” “alto”


Ejemplo – “no alto”

1:70

0

1

(A)

A

“alto”


Relaciones Difusas

• La relación difusa sobre dos conjuntos, A y B, es un subconjunto difuso sobre su producto cartesiano – a cada miembro del conjunto producto se le asigna un grado de membresía

• Ejemplo:

B \ A 0 1 2

0 0.1 0.7 0.9

1 0 0.6 0.5


Relaciones Difusas - Ejemplo

• La relación difusa – “a es similar a b”

B \ A 0 1 2 3

0 1 0.7 0.3 0

1 0.7 1 0.7 0.3

2 0.3 0.7 1 0.7

3 0 0.3 0.7 1


Operaciones

• Las operaciones básicas sobre conjuntos difusos se extienden directamente a relaciones difusas

• La composición de dos relaciones difusas se define como:

°(a, b) = SupB min [(a, b´), (b´, c) ]


Ejemplo de Composición• Relación a-b:

b1 b2 b3 b4 b5a1 0.1 0.2 0 1 0.7a2 0.3 0.5 0 0.2 1a3 0.8 0 1 0.4 0.3

• Relación b-c:c1 c2 c3 c4b1 0.9 0 0.3 0.4b2 0.2 1 0.8 0b3 0.8 0 0.7 1b4 0.4 0.2 0.3 0b5 0 1 0 0.8


Ejemplo de Composición

• Resultado - relación a-c:

c1 c2 c3 c4

a1 0.4 0.7 0.3 0.7

a2 0.3 1 0.5 0.8

a3 0.8 0.3 0.7 1

• Para cada término – se toma el mínimo de cada valor del renglón de la primera matriz con la columna de la segunda, y el máximo de éstos. Por ejemplo:

R(1,1) = MAX [min(0.1,0.9), min(0.2,0.2), min(0,0.8), min(1,0.4), min(0.7,0) ] = 0.4


Reglas de Producción Difusas

• Extienden las reglas de producción tradicionales con la inclusión de términos difusos.

• Ejemplos de reglas difusas:– Si el clima es caluroso entonces la alberca está llena– Si el agua está fría entonces cierra ligeramente la llave– Si el obstáculo está cerca entonces detente

• Cada término (premisa, conclusión) corresponde a un conjunto difuso.


Inferencia

• Una regla difusa se puede representar como una relación difusa – expresando los valores de membresía de la conclusión para cada uno de los valores de las premisas

• Ejemplo: Si agua fría entonces cierra llaveTemp \ Grados cierre 0 45 90

10 0 0.4 0.915 0.2 0.7 0.3


Inferencia

• Dada una entrada, mediante una función de membresía, la función conclusión se obtiene mediante la regla de composición

• Regla composicional de inferencia:

f(x) – función de membresía de la entrada

g(x,y) – relación que expresa la regla

h(y) – función de membresía de la conclusión

h(y) = f°g(y) = SupX min [ f(x), g(x,y) ]


Inferencia - ejemplo

• Regla: Si agua fría entonces cierra llaveTemp \ Grados cierre 0 45 90

10 0 0.4 0.915 0.2 0.7 0.3

• Entrada: agua fríaTemp 10 – 0.8 15 – 0.3

• Salida:Grados cierre 0 45 90

0.2 0.4 0.8


Defuzificación

• La “salida” de una regla difusa es un conjunto difuso

• En muchas aplicaciones es necesario transformar esta salida:– Aproximación lingüística – se transforma en

una descripción “verbal”– Defuzificación aritemétcia – se extrae un valor

escalar que represente al conjunto difuso


Defuzificación

• Defuzificación aritemétcia – dos formas básicas:– Valor máximo– Centro de área (o de momentos)

0

1

X


Defuzificación

• Para el ejemplo de la regla:• Salida:

Grados cierre 0 45 900.2 0.4 0.8

• Máximo: 90• Momentos: (0*0.2 + 45*0.4 + 90*0.8)/1.4

= 64.28


Ejemplo de Reglas Difusas –control de temperatura

• Reglas para el control de temperatura de una regadera (tibia):– Si agua es FRIA entonces incrementar aprox. en 2

unidades– Si agua es FRESCA entonces incrementar aprox. en

1 unidad– Si agua es TIBIA entonces incrementar aprox. en 0

unidades– Si agua es CALIENTE entonces decrementar en

aprox. en 1 unidad


Ejemplo control de regadera – temperatura

0

1

(T)

T


Ejemplo control de regadera – salida de control

0

1

(C)

C


Ejemplo control de regadera – reglas

0

1

(T,C)

T

C


Ejemplo control de regadera – inferencia (OR implicito)

0

1

(T,C)

T

C

Temp Entrada


Ejemplo control de regadera – salida

0

1

(C)

C

Centro de Momento


Aplicaciones

• Control de procesos

• Sistemas embebidos (lavadoras, cámaras, etc.)

• Sistemas expertos difusos

• Percepción

• Robótica


Ventajas

• Analogía con forma de expresión humana

• Simplicidad y eficiencia computacional

• Aplicaciones exitosas


Desventajas

• Dificultad de interpretación de valores difusos (semántica no clara)

• Mútiples difiniciones de operadores y reglas de inferencia difusas

• No hay una buena justificación de operadores difusos


Referencias

• L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”, Information and Control 8, 1965

• I. Graham, P. Jones, “Expert Systems”, Chapman and Hall, 1988 – Capítulo 5

• H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and its Applications”, Kluwer, 1985


Actividades

• Presentación preliminar de proyecto final• Hacer una presentación de aprox. 16 láminas

(máximo 5 minutos) con al menos lo siguiente:– Planteamiento del problema– Objetivos– Metodología de solución– Herramientas / programas– Resultados preliminares– Conclusiones / trabajo por hacer

• La presentación debe servir de base para el poster • En base a esto se seleccionaran los 2 proyectos para

ExpoTec (puntos extra!)

sesión 14: técnicas alternativas a b c f dh. incertidumbre - t.a., l.e. sucar2 técnicas...

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