sesiÓn 1 Álgebra en nuestras manosas y... · sesiÓn 2 taller de suma y resta algebraica...

UNIDAD

154 En marcha

7

Al terminar esta unidad lograré:

-Identificar y emplear los términos algebraicos para representas diversas situaciones. -Efectuar operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división con expresiones algebraicas. -Asociar expresiones algebraicas a las áreas de cuadrados y rectángulos. -Emplear el lenguaje algebraico para representar situaciones cotidianas. -Resolver un binomio al cuadrado por simple inspección.

SESIÓN 1

Álgebra en nuestras manos

Camino a Semuc

Paso 1Leemos:

Actividad 1

Figura 1

Paso 2 Leemos:

La expresión algebraica 2 n + 1 permite calcular la cantidad de lados. Empleamos esta expresión para determinar la cantidad de lados de la forma n = 20 de la Figura 1.

n = 1 n = 2

n = 3 n = 4

Respondemos: - ¿Cuántos segmentos son necesarios para formar 5 triángulos?

- ¿Cuántos segmentos son necesarios para formar 20 triángulos?

La Figura 1 muestra una serie de triángulos equiláteros. Observamos que, para 2 triángulos necesitamos 5 segmentos del mismo tamaño, para 3 triángulos necesitamos 7 segmentos iguales en tamaño.

UNIDAD7

155En marcha

Paso 3Leemos:

Paso 4Recortamos 12 tarjetas de 3 centímetros de lado y escribimos los dígitos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sobre una de las caras de cada tarjeta:

- Observamos el ejemplo de la Figura 2. - Colocamos las 10 tarjetas en una pila «boca abajo».

Paso 5Observamos el juego que se muestra en la Figura 3, el cual nos lleva hasta Semuc.

- Colocamos un objeto que nos identifique en la salida (x + 3) y elegimos quién inicia el juego.

- Quien inicia, extrae una tarjeta y sustituye el número que tiene la tarjeta por la variable x, suma los valores y avanza sobre el camino.

- Gana el estudiante que llegue primero a Semuc. - Si llegamos a la casilla h ganamos solo si obtenemos una tarjeta con número primo.

En matemáticas, a las cantidades que no conocemos, como: x, y, z, n, m, las llamamos variables. Una variable es una letra o un símbolo que representa una cantidad desconocida que puede variar. La rama de las matemáticas que involucra variables, así como números se llama álgebra.

Figura 2

3

2m-1 7-2p h

n-3

x+3

(2+n)-2 h-1

2n : n 2·(m-1)

x-8 m :1

n-3 a+4 2+b 3a y+1

2 · (x-2) 3p-6

2x-10 p+0

m-4 4a

2m-m n+1 m-3 4+r 12-2c 6-2t 1+3z

Caídarápida

SALIDA

accesorápido

accesorápido

Aquí es Semuc

Figura 3

UNIDAD 7

156 Mochila de herramientas Taller de suMa y resTa algebraica

- Empleamos estas formas para construir arreglos geométricos que representen cada una de las expresiones que se presentan a continuación. El ejemplo nos sirve de guía:

SESIÓN 2

taller de suma y resta algebraica

TérmInoS ALgebrAICoS

Paso 1 Escribimos una expresión algebraica que represente el perímetro y el área de la Figura 1 mostrada.

- Discutimos con nuestros compañeros los resultados obtenidos.

Paso 2 Cada uno de los integrantes del grupo, recortamos las formas que se presentan a continuación en el Cuadro 1.

Actividad 2

- Observamos que los números están representados por puntos. - Exponemos en un cartel los arreglos construidos.

8

4xx

2

4

Figura 1

Cuadro 1

a bc

hge

f

d

3 (a+5)+d

da + +

e. 2 (f + 2) + g + 2h + (4 a + 1) f. 2 b + 3c + 2 h + (3 + f)

a. 3 (a + 1) b. 2 (b + 1) + b + 5 c. e + 5 + 4 + e d. 5 + c + d + e

UNIDAD7

157Taller de suma y resTa algebraica mochila de herramientas

Paso 5Resolvemos:

Paso 6Resolvemos:

SESIÓN 2

Paso 4Escribimos en el cuaderno una expresión algebraica que represente el perímetro de la Figura 3 mostrada.

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? El álgebra permite representar información de múltiples situaciones empleado letras, números y los signos de las operaciones. El Cuadro 2 muestra un término algebraico y 4 sus partes básicas.

- Escribimos en el cuaderno las expresiones algebraicas e identificamos sus partes.

- ¿Cuál es la expresión algebraica que representa su perímetro?

- ¿Cuántos términos tiene esta expresión?

- Explicamos qué relación hay entre el ancho y alto de esta pieza de madera.

El largo del campo de fútbol de la comunidad es el doble del ancho más 10 metros tal como se muestra en la Figura 4.

Antonio es un talentoso carpintero y ha realizado el corte en madera de la Figura 5. Este corte servirá para colocar en el marco de una puerta de la iglesia.

2x + 10

x

x x

xx

2x

2x + 5

8

x

x

3xFigura 3

Figura 4

Figura 5

- 5x2y- 4x2y3

Letra(s), literales, variables o incógnitas

Exponentes

Signo

Número, coeficiente o parte constante

Cuadro 2

UNIDAD 7


Paso 2 Consideramos que la variable x, representa la edad de Diofanto al morir.

- Observamos la Tabla I y completamos, en el cuaderno, las expresiones algebraicas relacionadas con el epitafio de Diofanto.

- ¿Cuántos años vivió Diofanto? - Estimamos la edad que tenía Diofanto en el momento del matrimonio.

- Discutimos los resultados con nuestros compañeros y el facilitador.

SESIÓN 3

LenguAje Con InFormACIón PreCISA

Paso 1 Leemos: Diofanto de Alejandría fue un brillante matemático griego y según los historiadores, nació alrededor del año 214 y falleció alrededor del año 298. Se dice que en la tumba de Diofanto se escribió este curioso epitafio donde podremos encontrar diversas expresiones algebraicas:

Esta tumba contiene a Diofanto. Y la tumba dice con arte, la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Después transcurrió una doceava parte de su vida hasta que su mejilla se cubrió de vello. A partir de ahí, pasó la séptima parte de su existencia en estudios hasta contraer matrimonio y en el quinto año, después del matrimonio, Dios le concedió un hijo. Pero ¡ay! niño que trajo tristeza, en la mitad de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena cuatro años después, Diofanto llegó al término de su vida.

Epitafio de la tumba de Diofanto (en una de sus varias versiones).

Actividad 3

Leamos acerca de la Vida de Diofanto en este link: http://goo.gl/nlm3N3

Lenguaje ordinarioLenguaje

algebraicoValor

numérico

Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida.

Transcurrió una doceava parte de su vida hasta que su mejilla se cubrió de vello.

Pasó la séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio y en el quinto año después del matrimonio, Dios le concedió un hijo.

Pero ¡ay! niño que trajo tristeza, en la mitad de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena cuatro años después, Diofanto llegó al término de su vida.

UNIDAD7


Paso 5Inventamos una adivinanza de números, similar a la realizada en el Paso 4. Incluimos la clave y las expresiones algebraicas.

- Exponemos en clase el resultado en una hoja de papel bond.

Paso 6Leemos:

Obdulio Yax es piloto de transporte extraurbano y todos los días realiza 5 viajes completos de la Ciudad Capital a la Antigua Guatemala, más otro viaje adicional a la gasolinera que representa un séptimo de un viaje de la Ciudad Capital a la Antigua.

- ¿Cómo representamos esta información con una expresión algebraica?

En el cuaderno, escribimos una expresión algebraica para los siguientes enunciados:

SESIÓN 3

Paso 4Un estudiante del grupo lee el siguiente enunciando y el otro estudiante realiza en el cuaderno las operaciones que le solicitan:

Adivinando un número: «Escribe un número sin que yo lo vea, duplícalo, agrega 5 al resultado, multiplica el número que tienes ahora por 5, suma 10, multiplica por 10 y resta 350, dime el resultado que obtienes y adivinaré el número».(Clave: Para adivinar el número de mi compañero, divido el resultado por 100).

- Intercambiamos las funciones y realizamos de nuevo el ejercicio. - Comprobamos que la siguiente secuencia de expresiones algebraicas cumplen con la adivinanza: x, 2x +5, 10x + 25, 10x + 35, 100x + 350, 100x, x

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? El lenguaje algebraico es una forma de expresar información de forma clara y breve. Así por ejemplo: Si Alfredo tiene x libros y Rosa tiene el doble de libros que Juan más 5 adicionales, en el lenguaje algebraico la expresión algebraica que representa la cantidad de libros de Rosa es: 2 x + 5

enunciado verbal expresión algebraica

La edad de Roberto es m y Leticia tiene el triple de la edad de Roberto, más cinco adicionales.

La edad de Manuel es el doble de la edad de Leticia.

El precio de un lápiz es n Quetzales y el de un bolígrafo es p Quetzales. Expresamos el precio de 7 lápices y 5 bolígrafos.

En un tonel hay z litros de agua, si extraen 10 litros de agua. ¿Cuál es la expresión que establece la cantidad de agua en el tonel?

UNIDAD 7


SESIÓN 4

FAmILIA De PoLInomIoS ALgebrAICoS

Actividad 4

Paso 1 Observo que la Figura 2 muestra dos expresiones indicando que no son polinomios.

- Explico por qué estas expresiones no son consideradas polinomios y luego, expongo mis argumentos.

Paso 2 Completo la Tabla 1 en el cuaderno. Sigo el ejemplo guía.

Figura 2

¿Qué más necesitamos saber? Polinomio es una expresión algebraica en el cual los exponentes de las variables son números enteros no negativos. Recordemos que un polinomio de un término se llama monomio, el de dos términos se llama binomio y el de tres términos se denomina trinomio. Si tiene más de tres términos en general se llama: polinomio. La Figura 1 muestra ejemplos de polinomios hasta tres términos.

Polinomio en una sola variable x.

P = an xn + an-1 x

n-1 + an-2 x n-2

+ … a3 x3 + a2 x2 + a1x + a0

Coeficientes:Representados con la letra a n-1, donde n representa al exponente mayor del polinomio.

grado de un polinomio:Indica el grado del término con exponente mayor y con coeficiente diferente de cero.

4 x3 + 8 x2 + 2 x + 3 a3= 4, a2=8, a1=2, a0= 3 Su grado es 3

7x5 – 8 x2 + 3a5 = 7, a4 = 0 , a 3 = 0 ,

a2 = - 8, a1 = 0, a0 = 3Su grado es 5

5x7 – 3x6 + 5x4 +2x3 – 10

10x5 – 9x4 +7x3 +6x2 +8x + 9

3x9 – 2x8 + 2x3 + 5x2 + 10

monomios: 2x3, -5y2, 6/t, 3, 2xy/5zt, x2y

binomios: 2x + 3, 3x2 - 5/y, 6x2y - 5zt, x2y/3 - y/x

Trinomios: 5x2 + 7x - 1, 2x3 + 4x - 3, 6y2 - 5x + t, 2x2 - 3x + 7

Figura 1

3xy-2 2x + 2

no polinomios

UNIDAD7


SESIÓN 5

Paso 3

SumA PoLInomIoS ALgebrAICoS

Actividad 5

Identificamos el grado de cada uno de los polinomios y revisamos si están ordenados.

- Revisamos con ayuda del facilitador, la suma de los polinomios de variable x que se expone a continuación.

- Discutimos el procedimiento para sumar polinomios.

¿Qué necesitamos saber? Para sumar polinomio agrupamos los términos semejantes. Recordemos que son términos semejantes si tienen las mismas variables al mismo exponente. Por ejemplo: 3x3 es semejante con 5 x3.

Resolvemos:

El Cuadro 2 muestra la estrategia de Gabriel para sumar los polinomios de la Figura 1. Gabriel es un estudiante que gusta de la Matemática.

- Completamos la suma en el cuaderno.

Sumamos los términos semejantes en cada columna y obtenemos un nuevo polinomio de grado 5.

Colocamos los términos de cada polinomio en columna, de acuerdo con el grado.

Cuadro 1

Cuadro 2

Figura 1

grado 5 grado 4 grado 3 grado 2 grado 1 grado 0

x5 2x2 10

5x4 4x3 - x2 7x - 5

3x2 - 2x - 20

P1 (x) = x5 + 2x2 + 10

P2 (x) = 4x3 + 5x4 - x2 + 7x - 5P3 (x) = 3x2 - 2x - 20

P = 10x5 +20x4 -2x3 +4x2 -3x -9

P = +8x4 -5x -3P = 10x3 -5x +8

a5

10x5 +20x4 -2x3 +4x2 - 3x -9

+8x4 -5x -3

10x3 -5x +8

a4 a3 a2 a1 a0

10x5 +20x4 -2x3 +4x2 - 3x -9

+8x4 -5x -3

10x3 -5x +8

10x5 + 28x4 + 8x3 + 4x2 - 13x -4

UNIDAD 7


SESIÓN 6

SumA y reSTA Son LA mISmA eSTrATegIA.

Actividad 6

Paso 4 Empleamos la estrategia de Gabriel, en la sesión anterior (ver el Cuadro 2), para realizar las siguientes sumas algebraicas.

Paso 5 Resolvemos:

El triángulo ABC de la Figura 1, tiene en cada lado una expresión algebraica que representa sus lados. Si el perímetro del triángulo está representado por la expresión 3x – 8, realizamos lo siguiente: Sumamos los segmentos AC y BC y el resultado lo restamos al perímetro 3x - 8.

- Explicamos: ¿Qué resultado obtenemos?

Paso 6 Leemos: Las dimensiones del terreno rectangular de Gabriel son x – 4 de ancho y x2 – x de largo.

- ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro terreno de Gabriel? - Elaboramos un dibujo del terreno de acuerdo con sus dimensiones algebraicas.

a. (5x3 -2x2 +6x +2) + (2x3 -x2 -1) b. (3x5 +2x4 -3x3) + (8x5 -6x4) + 3x3 -2x +1)

¿Qué necesitamos saber? Para restar x2 – 4 de 3x2 – x – 6, encontramos el opuesto del polinomio x2 - 4 que es – x 2 + 4, observamos que cambiamos los signos a cada término. Ahora, procedemos a efectuar la suma por columnas de la operación algebraica:( 3x 2 – x – 6 ) + (– x2 + 4 ) y obtenemos como respuesta: 2x2 – x – 2

Discutimos el proceso que se sigue en el ejemplo del Cuadro 1.

- Escribimos en nuestro cuaderno la respuesta a la siguiente pregunta:

- ¿Cuál es el Paso significativo, a tomar en cuenta en la resta algebraica?

2x - 6 x + 4

3x - 6A

B

C

Figura 1

Cuadro 1

restar -8a2x +6 -5ax2 de 7a3 +8xa2 +7ax2 -4

7a3 +8a2x +7ax2 -4

7a3 +16a2x +12ax2 -10

+8a2x +5ax2 -6

UNIDAD7


SESIÓN 7

áLgebrA enTre mIS DeDoS.

Actividad 7

Paso 1 Leo:La casa está rodeada de un bosque de eucalipto (Figura 1). Las dimensiones de la casa son: x y 2x. El terreno de forma rectangular en total tiene dimensiones x + 4 y 2x + 3.

Paso 2 Escribo una expresión algebraica para cada bloque de formas geométricas representadas en la Figura 2.

- Luego, efectúo la siguiente operación: «Resto la expresión 2 de la expresión 1». - Represento en el cuaderno el resultado en forma geométrica.

Paso 3 Escribo en el cuaderno los conceptos: Término semejante, suma algebraica y resta algebraica.

Paso 4 Construyo en el cuaderno un ejemplo similar al realizado en el Paso 2, que represente una suma algebraica o resta algebraica.

Paso 5 Efectúo las siguientes operaciones:

Paso 6 Resuelvo:La Figura 3 muestra el frente de la casa de Carina, con dos ventanas al frente, el área total de la casa es de 12x2 – 2x y el área de cada ventana es de x2 cada una.

- ¿Qué expresión algebraica representa el área sombreada?

- Escribo la expresión algebraica que representa el perímetro de cada región. - Si x = 1 metro, encuentro el valor de cada perímetro.

x+4

2x

x

2x+3Figura 1

X2 X2

Figura 3

bloque 1

m2 m

1

1

bloque 2

m2 m1

1

Figura 2

a. ( 5ab + 3a – 5b ) - ( 7ab – 2a + b) =

c. (10 m3 – 9m2 + 10m) + (5m3 + 5m) =

b. ( 3x2 y + 2xy ) - ( 7x2 y - 2xy) =

d. (5x2 + 6x +7) + (9x + 7) – (3x2 – 5x)=

UNIDAD 7

164 Mochila de herramientas Taller de MulTiplicación y división algebraica

SESIÓN 8

muLTIPLICACIón De monomIoS

Paso 1 Leo y resuelvo:

El terreno donde Ignacio vive y siembra todo tipo de verduras para su consumo propio, está dividido tal como se muestra en la Figura 1. La casa de Ignacio representa tan solo 20 metros cuadrados del terreno y el resto está destinado a la siembra.

- ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro del terreno?

Paso 2 Leo y resuelvo:

La familia de Ignacio aumentó, ahora son 7 en total. Por lo tanto, ha decidido ampliar la casa donde vive. La Figura 2 muestra el área que ocupa la casa actualmente.

- ¿Cuál es la expresión algebraica que representa en área de la casa?

Paso 3

Actividad 8

taller de multiplicación y división algebraica

Figura 3

- Escribo en el cuaderno dos ejemplos similares a los mostrados en la Figura 3 y los comparto con mis compañeros.

- Establezco la expresión algebraica que representa la casa de Ignacio (Figura 2).

¿Qué necesitamos saber? Si a es un monomio y (b + c + d) es una suma de monomios, entonces aplicamos la propiedad distributiva y multiplicamos: a (b + c + d) y obtenemos como resultado ab + ac + ad. En general multiplicamos el monomio por cada término del polinomio. El ejemplo de la Figura 3 sirve de guía.

10

2x + 1

12

5x2 + 10x + 1

el área es:10 (2x +1) = 20x + 10

el área es:12 (5x2 + 10x +1)= 60x2 +120x +12

X

5

42x

Xsiembra

casa5

42x

Figura 1

Figura 2

UNIDAD7

165Taller de mulTiplicación y división algebraica mochila de herramientas

SESIÓN 9

rePreSenTACIón De áreAS

Paso 4

Paso 5Encontramos el área de cada una de las regiones mostradas en la Figura 2 y escribimos los resultados en el cuaderno.

Actividad 9

Figura 1

¿Qué necesitamos saber? Recordemos la regla de exponentes: (a xn) ( b xm) = abxn+m . Multiplicar polinomios implica aplicar la regla de los exponentes descrita anteriormente y la propiedad distributiva para simplificar el producto. Esta multiplicación puede ilustrarse con un modelo de área, tal como se muestra en la Figura 1.

Leemos:La Figura 1 representa el área de un rectángulo dividido en tres regiones con ancho 2x y largo 2x2 + 5x + 10.

- Demostramos que 4x3, 10x2 y 20x representan el área de cada región del rectángulo y luego, escribimos en el cuaderno nuestros resultados.

2x

2x2

4x3

5x

10x2

10

20x

Figura 2

5x

3x3

A1

8x2

A2

5x

A3

Paso 6Observamos y respondemos en el cuaderno:

La Figura 3 muestra el área de un terreno de rectangular dividido en 4 regiones.

- ¿Cuáles son las expresiones que representan las dimensiones del terreno?

- ¿Cuál es la expresión que representa el área de cada región?

- Sumamos las 4 expresiones que representan el área del terreno y determinamos el área total del terreno.

Figura 3

2x

x

1

1

UNIDAD 7


SESIÓN 10

muLTIPLICACIón De bInomIoS

Paso 1 Observamos y respondemos en el cuaderno:

La Figura 1 muestra las expresiones algebraicas que representan las dimensiones de cada región del rectángulo.

- Encontramos las dimensiones de cada región y escribimos las respuestas en el cuaderno.

Paso 2 Analizamos:

La Figura 2 muestra el área de una Figura geométrica dividida en varias regiones de distinto tamaño.

Determinamos y escribimos en el cuaderno:

- ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el largo y ancho de la figura?

- ¿Cuál es la expresión algebraica que representa en área total de la figura?

Actividad 10

Figura 1

Figura 2

x2 2x?

? ?

x 1 1 1 1

x x2 x x x x

x x2 x x x x

1 x 1 1 1 1

1 x 1 1 1 1

Paso 3

¿Qué necesitamos saber? Para multiplicar dos binomios como: (2a + 3b) ( a + 2b), seguimos esta estrategia:

7a + 3b

4ab + 6b2

2a2 + 3ab

1. Multiplica (2b)(2a + 3b)

2. Multiplica (a)(2a + 3b)

3. Suma los productos parciales 2a2 + 7ab + 6b2

· a + 2b

+

- Discutimos la estrategia y escribimos nuestra conclusión sobre multiplicar binomios.

UNIDAD7


Paso 4Empleamos la estrategia para multiplicar aprendida en el Paso 3: (2x +2) (x + 4).

- Escribimos en el cuaderno el resultado obtenido y comparamos el resultado obtenido en el Paso 2.

Paso 5Observamos la Figura 3 y resolvemos:

- ¿Cuál es el área de la figura mostrada? - Trazamos la figura en el cuaderno y la dividimos en 4 regiones, de tal forma que la suma de estas regiones represente el área total de la Figura 3.

- Exponemos en un cartel nuestro resultado.

Paso 6Leemos:

El frente de la casa de Leonel tiene la forma rectangular que se muestra en la Figura 4. Cada dimensión de la casa está representada por una expresión algebraica. Leonel pintará el frente de la casa. Si x = 3 metros…

- ¿Cuál es el área total que debe pintar Leonel?

Nota: Restar el área de las puertas al resultado final dado que Leonel no pintará las puertas.

SESIÓN 10

Figura 4

Figura 3

(x+3)

(x+2)

x + 1

2x + 9

X X

2

UNIDAD 7


Paso 1 Observamos:

Si unimos las 4 piezas de la Figura 1 formamos un cuadrado.

Respondemos en el cuaderno: - ¿Cuáles son las dimensiones del cuadrado formado?

- ¿Cómo expresamos el área de este cuadrado como el producto de dos binomios?

Paso 2 Elaboramos un algeplano.

- Empleamos tijeras, crayones, papeles de colores y regla, para construir los rectángulos y cuadrados que forman parte de los alge-bloques que son mostradas en el Cuadro 1. En total, el grupo debe tener 70 piezas.

SESIÓN 11

bInomIoS eVIDenTeS

Actividad 11

Figura 1

x

x

x

x x

x

x

x

nombre PiezaColor y forma

Dimensión CantidadFichas

Cuadrado grande negro

4 cm. X 4 cm. 3

Cuadrado grande magenta

4 cm. X 4 cm. 3

Rectángulo gris 1 cm. X 4 cm. 8

Rectángulo magenta

1 cm. X 4 cm. 8

Cuadrado pequeño blanco

1 cm. X 1 cm. 24

Cuadrado pequeño magenta

1 cm. X 1 cm. 24

En el siguiente link profundizamos sobre el algeplano: http://goo.gl/eagYqD

UNIDAD7


SESIÓN 11

Paso 3Seguimos las instrucciones para manipular los bloques que nos permiten construir expresiones algebraicas.

- Consultamos el Cuadro 1 para revisar los códigos. - Construimos con bloques los siguientes polinomios:

X 1

1

X

X

3x2 + 5x + 7

2x2 + 3x

- Para emplear los bloques elaborados tomaremos - en cuenta la siguiente condición: «los bloques de color rojo son el inverso de los otros bloques».

- La Figura 2, describe esta situación, donde la sumatoria es cero:

- Construimos la siguiente expresión algebraica y consideramos la siguiente condición: «los bloques de color rojo tendrán un valor negativo».

Inverso

X2

X

1

–X2

–X

–1

2x2 – x – 6

x2 - x2 = 0

x - x = 0

1 - 1 = 0

UNIDAD 7


Paso 4 Construimos el siguiente producto de binomios y determinamos la expresión que se obtiene al multiplicar los binomios, completando la operación indicada en la Figura 1.

SESIÓN 12

CuADrADo De un bInomIo

Actividad 12

Figura 2

Figura 1

- Escribimos el producto de binomios para el arreglo de la Figura 2 de bloques. - Completamos en el cuaderno la operación algebraica por columnas.

X + 2

X – 3

¿Qué necesitamos saber? El cuadrado de un binomio de la forma: (a + b)2 o (a – b)2 son llamados productos notables, dado que son productos que ocurren con mucha frecuencia y existe la necesidad de efectuar el producto por simple inspección, tal y como se describe a continuación:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, se lee: «cuadrado del primer término más dos veces el primer término por el segundo más cuadrado del segundo término».(a - b)2 = a2 - 2ab + b2, se lee: «cuadrado del primer término menos dos veces el primer término por el segundo más cuadrado del segundo término».

x + 2

x - 3

++

++

UNIDAD7


Paso 5Construimos con nuestros bloques algebraicos el binomio de la forma (a + b)2, que se muestra en la Figura 3.

- Formamos un cuadrado con dimensiones ( x + 1 ) ( x + 1) = x2 + 2x + 1

Paso 6Construimos un cuadrado con los siguientes bloques (ver Figura 4).

- Escribimos las expresiones algebraicas de sus dimensiones. - Resolvemos por simple inspección el área de la figura formada por bloques algebraicos. - Mostramos en un cartel los resultados.

Figura 4

Figura 3

SESIÓN 12

X

X

b

b

b

X

b

X

- Discutimos en clase el desarrollo, por simple inspección, de los siguientes binomios al cuadrado:

- Siguiendo la estrategia de «simple inspección», desarrollamos los siguientes productos notables:

a. ( a + 3 )2 = (a)2 + 2 ( a · 3 ) + ( 3)2 = a2 + 6a + 9

a. ( a + 5 )2 b. ( x + 4)2 c. (b – 6)2 d.(3 - 2x)2

b. (x – 7)2 = (x)2 – 2 (x · 7) + (7)2 = x2 – 14x + 49

UNIDAD 7


Paso 1 Copiamos en un cartel la operación que se muestra en la Figura 1 y completamos la operación escribiendo los términos faltantes en los cuadros vacíos.

- Exponemos nuestro resultado en clase.

Paso 2 En las siguientes situaciones (ver Figura 2), se muestra el área y una de las dimensiones de cada rectángulo.

- Encontramos la dimensión que falta de acuerdo con cada área presentada. - Explicamos nuestra estrategia para encontrar el lado que falta.

Paso 3

SESIÓN 13

DIVISIón De un PoLInomIo enTre un monomIo

Actividad 13

¿Qué necesitamos saber? Para dividir dos monomios debemos tener en cuenta cómo se dividen potencias de la misma base. En general, consideramos la regla: x n : x m = x n –m . Leemos y analizamos la siguiente situación:

Figura 1

Figura 2

16x 32 x2 + 8 x

4x 24 x2 + 6 x 3x 15 x2 + 9 x

+ 7

x a -

a2 +

a2 -

- 11a - 77

+

-

32x2 + 8x

16x= =

32x2

16x

8x

16x

1

2

2x+

+

UNIDAD7


Paso 4Resolvemos las siguientes divisiones en el cuaderno:

Paso 5Discutimos en el grupo cuáles son los términos que faltan en la operación del Cuadro 2 para completar la igualdad.

- Escribimos el resultado en el cuaderno.

Paso 6Observamos la Figura 3 que está compuesta por bloques de distinto tamaño.a. Escribimos el polinomio que representa el área total del

rectángulo.b. Escribimos la división algebraica que representa la situación

expresada en el Cuadro 2.

Leemos y discutimos el ejemplo del Cuadro 1.

El polinomio que se encuentra en el numerador se separa en términos independientes, usando el mismo denominador, que es un polinomio, y luego se simplifica cada término.

Cuadro 1

Haz clic en el siguiente enlace que ilustra ejemplos de división algebraica:https://goo.gl/qUMdbJ

SESIÓN 13

12x2 y10 + 6 xy

2xy

12x2 y10 6x y 6x y9 + 32xy 2xy

= = =+

X 1 1 1

X2 X X X

a. 12 a3 b2 c - 18 a4 b5 c2

6 a2bc

b. 20 x7 y10 z - 35 x4 y9 z5 + 55 x5 y6 z2

- 5 x3 y4 z

12 + 8 - 24 3x3 + 2x2 -6x4x

=

Cuadro 2

Cuadro 3

Figura 3

área del rectángulo ancho del retángulolargo del rectángulo

=

UNIDAD 7

174 Mesa de Trabajo proyecTo

mapeo empresarial de la comunidad.Fase i: preparación

Con mi comunidadnivel Aula: VCC

HumildadConsiste en conocer las propias limitaciones y debilidades para actual de acuerdo a tal conocimiento.

PreparativosIntroducción al conocimiento de elementos necesarios para el emprendimiento, como los siguientes:

- estrategias Conjunto de acciones que permiten alinear los recursos y potencialidades de una empresa.

- Alianzas Es un acuerdo o pacto entre dos o más personas para alcanzar objetivos comunes y asegurar intereses en común.

- Crédito Es una operación financiera donde una persona presta dinero a otra, quien se compromete a devolverlo, según los términos de confianza establecidos.

- Financiamiento Son los recursos monetarios y de crédito que se destinarán a una empresa para su funcionamiento.

- Tributo Prestaciones pecuniarias obligatorias impuestas por el Estado.

- Servicios Actividades que pretenden satisfacer necesidades.

Paso 1 90 minutos

Identificar las fuentes de información y apoyo

estudio de posibles mercados - Con el diagnóstico de la comunidad, respondemos: ¿Con qué organizaciones, empresas o instituciones se pueden celebrar convenios comerciales?

- Revisamos las normas disciplinarias necesarias para formar una empresa: Régimen tributario del país (IVA, IUSI, ISR, otros aranceles).

Paso 2 120 minutos

Identificación de personas, empresas u organizaciones A partir de nuestros análisis, identificamos qué organizaciones comerciales existen en nuestra comunidad.Elaboramos un listado de instituciones de apoyo financiero (bancos, cooperativas, ONG, entre otras)Elaboramos un inventario de todas las instituciones, empresas y organizaciones que existen en la comunidad.Determinamos la forma de ejecución que más convenga para la conformación de una microempresa.Revisamos los mapas elaborados en el Proyecto No. 3. Identificamos los servicios y beneficios que cada empresa aporta a la comunidad.

Presentación 30 minutos

¿en qué consiste este proyecto?En la elaboración de mapas geográficos y descriptivos (FT 24-25) de instituciones y organizaciones comerciales, que establecen formas de apoyo y cooperación para generar desarrollo a través de la formación de microempresas familiares.

¿Cuál es el propósito de este proyecto?Establecer relaciones empresariales con instituciones comerciales y de servicio a nivel local, para conocer estrategias que generen mayor desarrollo sostenible y calidad de vida.

¿Qué necesito para realizar este proyecto? Conocer organizaciones e instituciones comerciales de éxito y emprendimiento familiar.Análisis de la situación actual del emprendimiento en nuestra comunidad (Proyecto No. 3). Esquema integrador y cronograma de proyectos correspondiente al área de emprendimiento (Proyecto No. 4).

SESIÓN 14

proyecto 7 Actividad 14

UNIDAD7

175Proyecto Mesa de trabajo

Mi ruta de salud Hombro

músculosBíceps braquial y pectoral.

Descripción: - En parejas nos

colocamos frente a frente agarrados de los antebrazos.

- Flexionamos el tronco al frente al mismo tiempo, sin doblar las piernas.

- Contamos juntos hasta 15.

- Realizamos dos series de cinco repeticiones.

Con mi comunidadnivel Aula: VCC

Paso 5 30 minutos

Diario de claseRegistro el croquis de mi comunidad que utilizo para hacer el mapeo de las empresas existentes y de posibles mercados para el emprendimiento de otras. Explico cómo elaboré mi ensayo acerca de la situación actual del desarrollo económico (emprendimiento) en mi comunidad.Resuelvo los instrumentos de evaluación del proyecto y reflexiono acerca de mis progresos de aprendizaje.

Paso 4 120 minutos

ejecución de la actividadLa comisión a cargo de proyectos de emprendimiento, desarrollará la agenda para este día:

- Tiempo de las intervenciones para presentar los productos del proyecto (mapas, inventarios, listados, etc.)

- Moderación de las preguntas y conclusiones. - Presentación de propuestas (Informe documentado).

Presentación de resultados: La descripción y otros detalles de nuestros resultados servirán para elaborar un documental (vídeo), que compartiremos con nuestros compañeros.

Actividad 15

Sitios Web sugeridos Pasos para realizar un video https://www.youtube.com/watch?v=GOMy3f4FNFQ

Pasos para realizar un álbum de recetashttp://es.wikihow.com/hacer-un-%C3%A1lbum-de-recetas-con-recortes

Cómo realizar una entrevista http://es.wikihow.com/hacer-una-entrevista-a-una-persona

Cómo realizar una entrevista periodísticahttp://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/primer-ciclo-basico/historia-geografia-y-ciencias-sociales/convivencia-social/2009/12/44-5314-9-como-realizar-y-redactar-una-entrevista-periodistica.shtml

ruta de la saludCon la orientación del facilitador realizo mi ruta de la salud

emprendimiento empresarial Proyecto empresarial que genera bienes y servicios para mejorar la calidad de vida personal y familiar.

SESIÓN 15

Paso 3 90 minutos

elaboración de una guíaSelección de expertos empresarios o comerciantes:

- Presentamos una selección de personas, empresas u organizaciones de la comunidad.

- Con la ayuda de nuestro facilitador, haremos una invitación para que asistan a nuestro centro educativo, expertos de las empresas más exitosas para compartir experiencias de emprendimiento.

Esta actividad se realizará en la primera sesión del proyecto de la siguiente unidad.

UNIDAD 7

176 Evaluación - Unidad 7-

SESIÓN 16

evaluación de cierre de la unidad

VALoro mI APrenDIzAje.

Problema 1 Leo:

El frente la iglesia en la comunidad de Leonel tiene la forma que se muestra en la Figura 1. Cada dimensión de la iglesia está representada por una expresión algebraica. Leonel es el encargado de pintar el frente de la iglesia y él sabe que no se pintarán las puertas de la iglesia.

a. Escribir una expresión algebraica que represente todo el frente de la iglesia.b. Escribir una expresión algebraica que represente únicamente el frente que pintará Leonel.

Nota: Restar el área de las puertas al resultado final dado que no pintará las puertas.

c. Si x = 1 metro. ¿Cuál es el área total que debe pintar Leonel?

Actividad 16

Figura 1

4x

10x

4x

2x

XX

3

3x + 1

16x + 3

UNIDAD7

177Evaluación - Unidad 7-

SESIÓN 16

Problema 2Leo:

Francisco tiene un terreno que ha dividido en 9 regiones, tal como se muestran en la Figura 2. Cada región se utiliza para sembrar distintos tipos de árboles de fruta y hortalizas.

a. Escribimos la expresión algebraica que representa cada lado del terreno.

b. Escribimos el binomio al cuadrado que representa esta área.

c. Expresamos este binomio al cuadrado como un trinomio de variable x.

Problema 3La Figura 3 muestra el terreno de Francisco separado en las 9 regiones. Si x = 6 metros, encontremos el área que corresponde a cada una de las siembras y determinemos el área total del terreno.

recuerdo analizar y registrar mis progresos.

90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro

76-89: Lo logré. Color verde claro

60-75: Puedo mejorar. Color amarillo

0-59: En proceso. Color rojo

Figura 2

Figura 3

1

1

1x

x

Árboles de manzana

Siembra de arveja china

Hongo comestible

sesiÓn 1 Álgebra en nuestras manosas y... · sesiÓn 2 taller de suma y resta algebraica...

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