SERIES FINITAS

Al contrario de la serie infinita que contiene un número infinito de términos, una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y el último término.

Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n (límite superior). ai denota el término general.

Las seriesfinitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos.

Existen dos tipos posibles de series finitas:

Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 6, 8, 10 …}. Una serie aritmética es simplemente la suma de la sucesión aritmética.

Series Geométricas: En una sucesión geométrica el cociente de 2 términos consecutivos es siempre una constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 8, 16 …}. Una vez más una serie geométrica es sencillamente la suma de la sucesión geométrica.

Una serie puede converger en ciertos valores y en caso que no converja entonces se dice quela serie es divergente. Existen numerosas pruebas disponibles con el fin de encontrar el carácter convergente o divergente de la serie.

Propiedades de las series finitas:

1). La suma o resta de dos series finitas es equivalente a la suma de las series por separado.

2). Una constante si es común a todos los términos de la serie puede ser excluida de la suma de los términos de la serie.

Además de estas propiedades, existen algunos teoremas importantes que pueden resultar muy útiles al tratar con las cuestiones que involucran el concepto de serie. Uno de los teoremas más importantes de las series dice que

La suma de n términos de la serie es igual a n (n + 1) / 2.

Se puede probar como:

Sea la suma de la serie se representada como S. Escribiendo S, una vez a la inversa y una vez de forma regular, obtenemos

S = 1 + 2 + 3+ 4…+ n

S = n + (n - 1) + (n - 2)…. + 1

Ahora, sumando estas dos ecuaciones obtenemos,

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)…. + (n + 1)

Como S contiene n términos, por lo tanto, 2S también debe contener n términos.

Por tanto, 2S = n (n + 1)

Ahora, dividiendo cada lado por 2, obtenemos

S = n (n + 1) / 2, lo cual demuestra el teorema.

Un ejemplo puede ayudar a comprender el concepto de este teorema. Suponga que la serie a resolver es de la forma 2 i2 + 7i

Puede ser resuelto como: 2 i2 + 7i

= 2 i2 + 7 i

= 2 [20 (20 + 1) (2 (20) + 1) / 6] + 7 i

= 2 (17220 / 6) + 7 i

= 5740 + 7 i

= 5740 + 7 (2 (20 + 1)) / 2

= 5740 + 7 (420 / 2)

= 5740 + 1470

= 7210

Por lo tanto, el valor de la serie 2 i2 + 7i viene a ser 7210.