1Series de Potencias

Serie de potencias

1. INTRODUCCIÓN: Son aquellas funciones que sus sumas parciales convergen.En lo que sigue se considera que el cuerpo de escalares es indistintamente 𝓡o que denotaremos con K

Teorema: Sean zn=xn+i y n(n= 0, 1, 2,. . .) para xnyynnúmeros reales, y S = X + iY para X y Y números reales. Entonces,

∑n=0

∞

zn=S

Si, y solo si

∑n=0

∞

xn=X

y

∑n=0

∞

yn=Y

2. DEFINICIÓN:

Dada una sucesión

{Zn }n=1

∞

de números complejos, a la serie:

∑n=0

∞

an(z−z0)n

Se le llama serie de potencias. A los números complejos anse les llama coeficientes de la serie;z0 y zson números complejos.

3. OPERACIONES CON SERIES DE POTENCIA

3.1 SUMADos series de potencias pueden sumarse término a término.

Sean:

∑n=0

∞

an ¿¿¿

Con radio de convergencia R>0

⟶ f ( x )+g ( x )=∑n=0

∞

(an+bn)(x−x0)n; Para toda |x−x0|<R

2Series de Potencias

4.1 PRODUCTO

Dos series de potencia pueden multiplicarse término a término (cada término de la primera por cada término de la segunda). Sean:

∑n=0

∞

an ¿¿

⟶ f ( x ) g ( x )=∑n=0

∞

(a0bn+a1 bn−1+…+an b0)(x−x0)n

Para toda |x−x0|<R

4.2 DIFERENCIACIÓN

Una serie de potencias puede diferenciarse término a término.Sea:

y ( x )=∑n=0

∞

an(x−x0)n

Una serie convergente para |x−x0|<R ,donde R>0

⟶ y ´ (x )=∑n=0

∞

n an(x−x0)n−1

También converge y tiene el mismo radio de convergencia que y (x ).

4.3 INTEGRACIÓN

Una serie de potencias puede integrarse término a término.

Sea:

y ( x )=∑n=0

∞

an(x−x0)n

Una serie convergente para |x−x0|<R ,donde R>0

⟶∫0

x

y (t ) dt=∑n=0

∞ an

n+a(x−x0)

n+1

Y tiene a R como radio de convergencia.

3Series de Potencias

EJEMPLO

Usando el desarrollo de Taylor 1z

alrededor de z0=1, obtenga el desarrollo de 1

z2 alrededor del

mismo punto.

SOLUCIÓN

Veamos que f ( z )=1es una función analítica en todo el plano complejo excepto en el cero. Así el

desarrollo de Taylor de f ( z ) alrededor de z=1 es:

f ( z )=∑n=0

∞

(−1)n(z−1)n

El cual es válido en el disco ¿ z−1∨¿1. Ahora diferenciando término a término la serie anterior obtenemos:

−1z2 =∑

n=1

∞

(−1)n n(z−1)n−1

Para todo tal zque ¿ z−1∨¿1. De esta forma, el desarrollo de Taylor de 1

z2 es

1z2 =∑

n=0

∞

(−1 )n(n+1)(z−1)n

Para todo tal zque ¿ z−1∨¿1

5. RADIO DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS

Dado una serie de potencia:

a¿∑n=1

+∞

an ( x−x0 )n en ( x−x0 )

b¿∑n=1

+∞

an xn en x

Deseamos saber para qué valores de x∈ R la serie de potencia de convergente.

Para ello definimos el radio de convergencia:

4Series de Potencias

si L= limn→+∞|an+1

an|, el radio de convergencia es r= 1

L

Consideremos tres casos:

1. Si r=0 ( L=+∞ ), la serie es divergente.

2. Si 0<r<+∞ (L ϵ R ), entonces la serie converge absolutamente para los x ϵ R, tales que

|x−x0|<r para el caso a) y |x|<r para el caso b).

3. Si r=+∞ (L=0 ), implica que la serie converge absolutamente para todo x ϵ R

Para hallar el radio de convergencia de las series de potencias se aplica, según sea el caso, uno de los siguientes tres criterios:

1. CRITERIO DE CAUCHY:

R=limn →∞| an

an+1|

2. CRITERIO DE D’ALAMBERT

R= 1

limn → ∞

n√|an|

3. SI L= limn→+∞|an+1

an| entonces R=

1L

Decisiones a tomar:

1. Si R=0 ,la serie de potencias es DIVERGENTE

2. Si 0<R<+∞ , la serie de potencias CONVERGE ABSOLUTAMENTE para los

x ϵ R tales que |ϕ ( x )|<R

3. Si R=+∞,la serie de potencias CONVERGE ABSOLUTAMENTE en todo x ϵ R .

5Series de Potencias

6. CONVERGENCIA UNIFORME Y PUNTUAL DE UNA SERIE DE FUNCIONES

6.1 CONVERGENCIA UNIFORME :

Dada una sucesión de funciones f n: A−→ R , la serie de funciones:

∑n=1

∞

f n

Converge puntualmente si la sucesión (Sn) de sumas parciales definida por:Sn ( x )=f 1 ( x )+·· ·+ f n ( x ),x ϵ A , es puntualmente convergente.

En definitiva, si para cada x ϵ A la serie numérica:

∑n=1

∞

fn ( x )

es convergente.

Observación: La convergencia puntual no conserva en general las propiedades clásicasdel Análisis: continuidad, derivabilidad e integrabilidad.

6.2 CONVERGENCIA UNIFORME:

Una seriede funciones∑n=1

∞

fn converge uniformemente a f si la sucesión de sumas parciales Sn

uniformemente a f .

Observación: la convergencia uniforme implica la convergencia puntual, pero el reciproco en general no es cierto.

7. CONTINUIDAD, DERIVADA E INTEGRAL DE UNA SERIE DE POTENCIAS.

Sea f(x)= ∑n=0

∞

an xnen (−R, R), entonces:

• F(x) es continua en todo su campo de convergencia.

6Series de Potencias

• F(x) es derivable en (−R, R) y su derivada es

f ' ( x )=¿ ∑n=1

∞

(an xn)'=∑n=1

∞

nan xn−1¿ ¿

para todo x 2 (−R, R).

• f(x) es integrable en todo el intervalo [0, x] incluido en su campo de convergencia y su integral es

∫0

x

f ( t ) dt=¿∑n=0

∞

∫0

x

an xn dt=¿❑∑n=0

∞ an

n+1xn+1¿¿

Series de Taylor y de McLaurin

Como hemos podido ver, la suma de una serie de potencias de radio no nulo define en su intervalo

de convergencia una función f(x) = ∑n=0

∞

an xn . Se dice entonces que la serie representa a la función f

en el intervalo de convergencia y que es el desarrollo en series de potencias de la función f centrada en x = 0. Definición: Se dice que una función f(x) admite desarrollo en serie de Potencias en el intervalo(−R, R) si existe una serie de potencias

∑n=0

∞

an xn

tal que

F(x) =∑n=0

∞

an xn para todo x 2 (−R, R) .

Obviamente, f(x) admite derivada de todo orden en (−R, R) y an=f ' (0)

n !

Si una función f (z) está representada con una serie de potencias en una región anular R, la serie que se obtiene por diferenciación término a termino converge a f (z) dentro de R. Este procedimiento puede repetirse un número indefinido de veces. También es cierto que si se integra término a término la representación en serie de f (z) a lo largo de una trayectoria contenida en R, la serie que resulta de esta operación converge a la integral de f (z) efectuada a lo largo de la misma trayectoria.Los siguientes ejemplos utilizan las propiedades de diferenciación e integración término a término para encontrar desarrollos de Taylor

7Series de Potencias

Usando el desarrollo de Taylor de 1/z alrededor de z0 = 1, obtenga el desarrollo de 1/z2 alrededor del mismo punto vemos que f (z) = 1/z es una función analítica en todo el plano complejo excepto en el cero.

Así f (z) alrededor de z = 1 es: f (z) = ∑n=0

∞

(−1 )n(z−1)n

el cual es válido en el disco |z − 1| < 1. Ahora, diferenciando término a término la serie anterior obtenemos

-1

z2 = ∑n=1

∞

(−1 )nn (z−1)n−1

para todo z tal que |z − 1| < 1. De esta forma, el desarrollo de Taylor de 1

z2 es

1

z2 = ∑n=0

∞

(−1 )n(n+1)(z−1)n

para todo z tal que |z − 1| < 1.

Series de potencias y de Fourier

1. Si una función f tiene derivada de todos los órdenes en x = a, se llama serie de Taylor de f centrada en a, a la serie

∑n ≥0

f '(a)n !

(x−a)n

2. Si una función f tiene derivada de todos los ´ordenes en x = 0, se llama serie de McLaurin de f a la serie

∑n ≥0

f '(0)n !

(x )n

7.1 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS

Si una función está representada por una serie de potencias f (x)=∑j=0

n

a j ( x+a ) j en un intervalo

abierto (a – r, a + r), se puede demostrar que dicha función es continua en ese intervalo, y su integral en cualquier subintervalo cerrado puede calcularse integrando la serie término a término. En particular para todo x de (a – r, a + r), tenemos:

8Series de Potencias

∫a

x

f ( t ) dt=∑j=0

∞

a j∫a

x

(t−a)j dt=∑j=0

∞ a j❑

j+1(x−a)j+1

Se puede demostrar que el radio de convergencia de las series integradas es igual al de la serie original. Recíprocamente, se demuestra que para toda función Se puede demostrar que el radio de convergencia de las series integradas es igual al de la serie original.

Recíprocamente, se demuestra que para toda función f ( x )=∑j=0

∞

a j(x−a)j de intervalo de

Convergencia (a − r,a + r), entonces tenemos que:

1. La función derivada de dicha serie existe y es igual a:

df (x )dx

=∑j=1

∞

j a j(x−a)j−1

2. Su radio de convergencia, r, es idéntico al de la serie f (x).En el punto anterior vimos como la serie de números reales alternada:

-1+12−1

3+…

(−1)n

n+…

converge. Vamos ahora a determinar su valor numérico. Empecemos considerando la siguiente serie de potencias 1+ x + x2+ x3+…xn+…

Esta serie corresponde a una serie formada a partir de la progresión geométrica de razón x, que

converge para x < 1, siendo su suma igual a 1

1−x . Así, dentro del intervalo de

convergencia, podemos escribir:

1

1−x=¿ 1+ x + x2+ x3+…xn+…

Esta igualdad puede ser considerada como la expansión de la función 1

1−x en serie de potencias.

Vamos ahora a reemplazar la variable − x por z con lo que la expresión se convierte en:

1

1+ z=¿ 1-z + z2−z3+…+(−1)n zn+…

Si tomamos 0 ≤ z ≤ x < 1 la igualdad que acabamos de escribir puede ser integrada respecto a z entre 0 y x, siguiendo las expresiones dadas al principio de este punto. Con ello podemos escribir:

9Series de Potencias

∫o

x1

1+zdz=∫

0

x

1 dz−∫0

x

zdz +∫0

x

z2 dz−∫0

x

z3 dz+…+(−1)n∫0

x

❑zndz+…

Integrando y finalmente:

ln (1+ x¿)= x1− x2

2+ x3

3− x 4

4+…+(−1)n xn−1

n+1+…¿

Esta expresión es válida siempre que x < 1 y también para x = 1 puesto que hemos demostrado antes que la serie numérica asociada, converge. Así pues:

ln (2¿)¿=-1+12−1

3+…

(−1)n

n+…

Y la serie que nos ocupaba tiene por suma:

-ln (2¿)¿=- - (1+12−1

3+…

(−1)n

n+…)

10Series de Potencias

7.2 DETERMINACIÓN DE LA SUMA DE UNA SERIE NUMÉRICA MEDIANTE DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS

Para ilustrar las posibilidades que existen para sumar una serie numérica infinita a partir de una serie de potencias, demostraremos que la expresión siguiente es cierta mediante la construcción de una serie de potencias adecuada:

√21.2

+ √23 .4

+ √25 .8

+ √27 .16

+ √29 .32

+….=ln√ 1+√2−1+√2

Para demostrar esta igualdad basta con desarrollar el término de la izquierda para obtener el de la derecha. Empecemos simplificando cada uno de los términos de la expresión a la izquierda:

1

1. 21 /2+ 1

3 . 23/2+ 1

5 .25 /2+ 1

7 . 27 /2+ 1

9. 29 /2+….=¿

Esta serie numérica puede considerarse como la serie de potencias de x:

S(x) = x1+ x3

3+ x5

5+ x7

7+ x9

9+………..

evaluada en x =1

√2 . Si derivamos esta serie numérica, vamos a poder efectuar la suma de sus

infinitos términos. Derivando, obtenemos la serie de potencias:

ds (x)

dx =1 + x2+ x4+x6…+…

cuya suma, dentro del radio de convergencia de valor 1, R=1, es, al tratarse de una serie geométrica

de razón x2

ds (x)

dx =1 + x2+ x4+x6…+…=

1

1−x2

Como x =1/ √2 está dentro del radio de convergencia alrededor de x=0, esta suma sirve para solucionar la serie numérica que nos ocupa. Integrando la última ecuación diferencial, obtenemos

11Series de Potencias

Determinamos el valor de la constante C sustituyendo la variable x por 0 en esta expresión y comparando con el valor que toma s(x) antes de la derivación, suma e integración, es decir:

Por lo tanto la constante C tiene que ser igual a cero. Con esto hemos llegado a la expresión de la suma de la serie de potencias introducida

S(x) = x1+ x3

3+ x5

5+ x7

7+ x9

9+…=1

2(ln (1+x )−ln (1−x ))

Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos reescribirla como:

S ( x )=12( ln ( 1+x

1−x)=1

2ln(−(1+x )

−1+x )) Queda solamente sustituir x =1/ √2 para conocer el valor de la suma de los infinitos términos de la serie numérica de partida y Simplificando, obtenemos la igualdad a probar:

√21.2

+ √23 .4

+ √25 .8

+ √27 .16

+ √29 .32

+….=ln√ 1+√2−1+√2

12Series de Potencias

BIBLIOGRAFIA

SUCESIONES Y SERIES,MOISES LÁZARO CARRIÓN

http://www.unizar.es/analisis_matematico/analisis1/apuntes/09-seriespotencias.pdf

http://ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-i/Material%20de%20clase/AMIcap8.pdf

http://www.ugr.es/~fjperez/textos/conv_puntual_uniforme_pol_Taylor.pdf