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Serie Apuntes de Finance and Econometrics Group N°02. Octubre del 2020.
ECONOMETRIA DE DATOS DE
PANEL CON APLICACIONES
EN STATA 15
Rafael Bustamante [email protected]
La Serie Apuntes de Finance and Econometrics Group S.A.C. tiene por objetivo difundir los materiales de enseñanza generados por los docentes que tienen a su cargo el desarrollo de las asignaturas de la empresa. Estos documentos buscan proporcionar a los estudiantes una explicación de algunos temas específicos que son abordados en su formación profesional.
Serie Apuntes de Clase F&E N° 02
Octubre de 2020
Serie Apuntes de Finance and Econometrics Group N°02. Octubre del 2020.
ECONOMETRÍA DE DATOS DE
PANEL: APLICACIONES EN STATA 16
Rafael Bustamante Romaní
RESUMEN
El aumento de bases de datos, junto con el progreso en las técnicas econométricas, ha facilitado el
perfeccionamiento de estudios cada vez más sofisticados de los fenómenos económicos, permitiendo asesorar
más acertadamente a los responsables de la elaboración de las políticas públicas y a los hombres de negocios.
S in embargo, estas herramientas se han tornado cada vez más complejas, demandando un alto grado de
conocimiento teórico y práctico para poder implementarlas. La metodología de Datos de Panel es una de las
más usadas en los últimos tiempos en el ámbito de la economía, las finanzas y los negocios. Su riqueza radic a
en que permite trabajar simultáneamente varios periodos de tiempo y los efectos individuales, y a su vez, tratar
el problema de la endogeneidad. A pesar de las ventajas de esta técnica, existen diversos obstáculos para su
implementación, tanto metodológicos como operativos. Esta guía intenta ayudar a los alumnos, investigadores
y profesionales que buscan llevar a cabo estudios utilizando Datos de Panel, ofreciendo una pauta para manejar
y analizar datos, en forma conjunta con revisar sus fundamentos.
Palabras Claves: Econometría de datos de Panel, especificaciones, Efectos Fijos, Efectos aleatorio
Clasificación JEL: C2, C25
Estudios de Doctorado en Economía, Universidad Autónoma de México. Maestría en Economía con mención en
Finanzas, MBA CENTRUM Pontificia Universidad Católica del Perú. B. Sc. Economía, Universidad Nacional Mayor de San
Marcos. Profesor del Departamento de Economía de UNMSM. Investigador asociado al Instituto de Investigaciones
FCE – UNMSM. Investiga. Contacto: [email protected]
Contenido
1. Introducción ................................................................................................................... 1
2. Metodología ................................................................................................................... 5
2.1 Desventajas del uso de los datos de panel ........................................................... 11
2.2 Efectos Fijos versus efectos Aleatorios................................................................. 19
2.3 Nuestro marco de análisis y los estimadores alternativos................................... 21
2.4 Estimador Within................................................................................................... 22
2.5 Estimador Between ............................................................................................... 24
2.6 Estimador de mínimos cuadrados generalizados ................................................. 25
2.7 Mínimos cuadrados generalizados factibles ........................................................ 28
2.8 Estimador a usar .................................................................................................... 29
2.9 Efectos no observados .......................................................................................... 29
2.10 Existe correlación entre los efectos no observados y los Regresores ................. 31
3. Aplicaciones.................................................................................................................. 33
3.1. Configurando ..................................................................................................... 33
3.2. Análisis de datos panel de dos períodos ........................................................... 37
4. Controlando la heterogeneidad dentro de un panel .................................................. 41
4.1. Regresión agrupada (POOLED OLS) ...................................................................... 41
4.2 Efectos Aleatorios (Random Effects) ..................................................................... 42
4.4. Efectos Fijos (Fixed Effects) .................................................................................. 44
4.6 Autocorrelación ................................................................................................. 47
4.7. Heterocedasticidad ............................................................................................ 51
5. Efectos fijos vs. Aleatorios ........................................................................................... 51
6. Efectos temporales (two-way fixed effects)................................................................ 52
7. Bibliografía ................................................................................................................... 55
Serie Apuntes de Finance and Econometrics Group N°01. Octubre del 2020.
Econometría de Datos de Panel: Aplicaciones en Stata 16. Bustamante Romaní, Rafael.
1
1. Introducción
Si se dispone de información de corte transversal para un conjunto de N individuos las
ganancias de que se tienen de tener información sobre cada uno de los individuos para
distintos períodos de tiempo se pueden expresar en:
➢ Primero es que logramos expandir el tamaño de nuestra base de datos, y, con esto,
dispondremos de más grados de libertad.
➢ Segundo es el hecho de contar con información referida a varios individuos
contribuye a reducir la colinealidad que es usual encontrar en un modelo de series
de tiempo. Todo esto contribuye a incrementar la precisión de nuestros estimados;
es decir, a reducir su varianza (Beltran & Castro, 2010).
➢ Un conjunto de datos panel (o longitudinales) consta de una serie temporal para
cada miembro del corte transversal en el conjunto de datos. Como ejemplo,
suponga que se tienen las variables de salario, educación, nivel de crédito, acceso a
educación y experiencia de un grupo de individuos a los que se les hace
seguimiento por varios años. De igual forma es posible recopilar información en
unidades geográficas. Por ejemplos, datos de los gobiernos regionales de un país
sobre impuestos, salarios, nivel de ejecución del gasto público, niveles de
educación, entre otros.
La característica principal de los datos panel, que los diferencian de las combinaciones de
cortes transversales, es el hecho de que se da un seguimiento a las mismas unidades
transversales ya sean individuos, países, regiones, entre otros, durante cierto período de
tiempo (Software Shop, 2013).
Como los datos de panel exigen la repetición de las mismas unidades con el tiempo, los
conjuntos de estos datos, en particular de los individuos, hogares y empresas, son más
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difíciles de conseguir que en las combinaciones de corte transversales. La ventaja es que
al tener las mismas unidades es posible controlar ciertas características inobservadas de
individuos, empresas, países, bancos, etc.
Es decir, es posible capturar inferencias causales que no es posible capturar con los cortes
transversales. La segunda ventaja de los datos panel es que permite estudiar la
importancia de los rezagos en el comportamiento o el resultado de tomar una decisión.
Esta información puede ser significativa, puesto que es de esperar que muchas políticas
económicas tengan efecto sólo al paso del tiempo.
La idea del panel es poder capturar esos factores inobservables, por ejemplo, lo que
influye en el salario de un individuo en 1990 también influirá en el mismo individuo en
1991, ese factor inobservable puede ser la capacidad o habilidades.
Ahora bien, si además explotamos el hecho de que estamos observando cómo cambia el
comportamiento de cada individuo a lo largo del tiempo, estaremos en capacidad de
construir y validar hipótesis más complejas. Al respecto, recordemos que en el análisis de
regresión nuestros esfuerzos por aislar el efecto de determinada variable sobre otra
dependen de cómo estas varían a lo largo de la muestra consideradas. Si disponemos de
una muestra de corte transversal y queremos medir el impacto de determinada
característica, lo que haremos es comparar la respuesta de un individuo que tiene la
característica con la respuesta de otro que no la tiene. Si la muestra es de series de tiempo,
lo que haremos es comparar la respuesta de un mismo individuo antes y después de
exhibir la característica (Beltran & Castro,2010).
Puesta de esta manera, nuestra técnica puede ser duramente criticada: muchos otros
elementos que influyen sobre la respuesta pueden ser distintos entre un agente y otro, o
haber cambiado a lo largo del tiempo y nosotros, erróneamente, se los estamos
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atribuyendo a la variable de interés. La ausencia de experimentación controlada está
conspirando contra la posibilidad de aislar los efectos de una variable de interés. Frente
a esto, y utilizando regresiones particionadas, podríamos responder que para eso están
los controles y que por eso hay un conjunto amplio de determinantes incluidos en nuestra
regresión.
Sabemos, no obstante, que difícilmente podremos informar de todos los determinantes y
que, sobre todo cuando hablamos del comportamiento de agentes individuales, el riesgo
de que el fenómeno en estudio dependa de variables no observables es alto. Si
disponemos de una base de datos de panel, en lugar de indagar si determinado agente
está mejor que su vecino o mejor que en el pasado, lo que podemos hacer es preguntar
qué tan distinta es la mejora experimentada por el agente respecto a la mejora
experimentada por su vecino. Es decir, en lugar de evaluar: ( )i jy y− (corte transversal)
o ( )t sy y− (Serie de tiempo), los datos de panel nos posibilita comparar
( ) ( )it is jt jsy y y y− − − o, más específicamente,_ _
it i jt jy y y y
− − −
. En la expresión
anterior _
iy y _
jy se refieren a los promedios de la variable dependiente tomados sobre
las T observaciones en el tiempo para el i-ésimo y j-ésimo agente, respectivamente. Esta
suerte de "diferencia en diferencia" solo es posible si tenemos datos que varían tanto a
través del espacio como a lo largo del tiempo y nos permitiría, en principio, limpiar
aquellos efectos que influyen sobre el fenómeno bajo análisis y no tienen que ver con la
característica que se busca evaluar (Beltran & Castro, 2010).
Con respecto a esto y a la presencia de variables no observables, sabemos que la omisión
de una variable relevante conlleva la lidiar con la presencia de estimadores sesgados. Para
muestras grandes esto no debería ser un problema, excepto cuando esta omisión ocasiona
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también un problema de no consistencia en nuestro estimador. Antes de preocuparnos
por la estructura de varianzas-covarianzas del error , debemos analizar la posible
presencia un regresor estocástico. Y por "regresor estocástico" no solamente hacemos
referencia a aquellos que se determinan de manera simultánea con la variable
dependiente como es el caso de un sistema de ecuaciones simultáneas, sino que hacemos
referencia a aquellos regresores que se encuentran correlacionados contemporáneamente
con el término de error a través de la relación que tienen con las variables no observables
omitidas en el modelo.
La omisión de una variable puede conducir a la obtención de estimadores no consistentes
y esto se debe, precisamente, a que esta variable no observable omitida, está usualmente
correlacionada de manera contemporánea con los regresores incluidos en el modelo. Esto
trae como consecuencia la correlación contemporánea entre el regresor y el término de
error, lo que ocasiona que el estimador de mínimos cuadrados no converja en
probabilidad al verdadero parámetro (Beltran & Castro, 2010).
Ante la sospecha de que estamos frente a una situación como esta, el camino "clásico"
pasa por la búsqueda de variables instrumentales y la construcción del estimador
respectivo, con el consabido costo en términos de pérdida de información y precisión.
Una base de datos con estructura de panel, sin embargo, nos ofrece un camino alternativo
que implica, precisamente, trabajar con los desvíos presentados líneas arriba. Si bien esto
será discutido formalmente en las secciones siguientes, no es difícil darse cuenta de que
al trabajar con un desvío como _
.i jy y
−
se le está removiendo a cada observación del
i-ésimo agente cualquier efecto no observable que se mantenga constante en el tiempo; es
decir, cualquier característica especial que este agente tiene y que no es posible capturar
a partir del conjunto de regresores propuesto.
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Al tener observaciones que varían tanto a lo largo del tiempo como a través del espacio,
es posible evaluar diferencias entre las diferencias de comportamiento, lo que permite
"limpiar" las observaciones de efectos difíciles de capturar que, de otro modo, hubiesen
resultado en estimados inexactos incluso en muestras grandes (Beltran & Castro, 2010).
2. Metodología
El objetivo de esta sección es familiarizar al lector con la estructura de la base de datos,
así como con el álgebra matricial asociada a la construcción de los distintos estimadores.
Aquí se muestra un aspecto de la generalización del álgebra de mínimos cuadrados
ordinarios aplicada a un contexto en el que se dispone de información que varía tanto a
través del espacio como a lo largo del tiempo (Beltran & Castro, 2010).
Al respecto se sugiere, la generalización que aquí discutimos se refiere al rol del
intercepto. Si disponemos de información que varía solo en una dimensión (y en ausencia
de un problema de quiebre estructural), solo tiene sentido "desviar" o "controlar" con
respecto a un promedio: aquel tomado usando toda la información disponible, ya sea a
lo largo del tiempo o a través del espacio. Conviene recordar que estos desvíos respecto
a la media son provistos, precisamente, por el intercepto1. Así, es fácil darnos cuenta de
qué está detrás de la recomendación general de incluir siempre un intercepto en el
modelo: recomendar la inclusión de un intercepto equivale a remover la influencia de la
1 ¡El lector recordará la clásica demostración donde se verifica que las pendientes en un modelo con
intercepto son idénticas a las que se obtendrían si antes desviamos (o restamos) cada dato de su media o promedio muestra! De hecho, este es un caso particular del resultado de una regresión particionada.
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media muestral. Sobre el fenómeno bajo análisis. Dicho de otra forma, en un modelo con
intercepto la pendiente (o "beta") asociada al i-ésimo regresor nos indicará cuánto cambia
la variable dependiente respecto a su valor medio por cada unidad que el regresar se
desvíe con respecto a su valor medio. En el contexto de un panel de datos, la información
presenta variabilidad en ambas dimensiones. Por lo mismo, será necesario decidir con
respecto a qué media controlar: (i) la media de todas las observaciones; (ii) la media
tomada a lo largo del tiempo, de cada uno de los N agentes; (iii) la media tomada a través
del espacio de cada uno de T momentos del tiempo. En lo que sigue, se discute esto
formalmente sin perder de vista una interpretación intuitiva basada en el rol que tiene el
intercepto. Antes de proceder a la formalización del modelo, veamos algunas definiciones
de los datos de panel:
➢ Panel Data es mezclar información de corte transversal e información temporal.
Como en el corte transversal, se recoge información de individuos y se observa
cada individuo, como en el análisis de series de tiempo, a través del tiempo. Esto
permite estudiar los efectos dinámicos y de comportamiento individual de los
problemas.
➢ Son observaciones repetidas sobre el mismo conjunto de unidades de sección
cruzada o dicho de otra forma se tiene el mismo número de observaciones en cada
unidad de sección cruzada es decir es una mezcla de ambas en la cual se recoge
información entre individuos y se observa cada individuo como el análisis de
series de tiempo, a través del tiempo.
➢ En los paneles microeconómicos, el investigador está interesado en analizar como
varía el comportamiento de los agentes económicos individuales frente a
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cuestiones como sus hábitos de consumo, su situación laboral, su nivel de estudios,
etc. Estas son decisiones que dependerán de una lista de características
socioeconómicas que el analista debe especificar como variables explicativas del
modelo. Sin embargo, no todos los agentes toman sus decisiones de igual modo:
diferentes agentes, incluso si comparten las mismas características observables,
toman decisiones distintas. Ello obliga a contemplar la existencia de efectos no
observables, específicos de cada agente encuestado, generalmente constantes en el
tiempo, que inciden sobre el modo en que este toma sus decisiones. Si estos efectos
latentes existen y no se recogen explícitamente en el modelo, se producirá un
problema de variables omitidas: los coeficientes estimados de las variables
explicativas incluidas estarán sesgados, por recoger parcialmente los efectos
individuales no observables (Greene, William, 1999)
Para entender mejor esta metodología veamos algunos aspectos matriciales.
1
2
1
1, 2,3,...
...,
.
i
i
i
iT TX
Y
Y
Para todo t
Y
TY
=
=
(1)
1 2 1
1 1 1 1
1 2 1
2 2 2 2
1 2 1
1 1 1 1
1 2 1
. . .
. . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . .
. . .
K k
i i i i
K K
i i i i
i
K K
iT iT iT iT
K K
iT iT iT iT TxK
X X X X
X X X X
X
X X X X
X X X X
−
−
−
− − − −
−
=
(2)
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Además los errores del modelo y la variable explicativa se expresan:
1 1
2 2
1 1
1 1
. .
: . .
. .
i
i
i
iT N
iT NTX NTX
Ademas
− −
= =
1
2
1
1
.
.
.
N
N NTX
Y
Y
Y
Y
Y
−
=
(3)
1
2
1
1, 2, 3, 1, 2, 3, .....,
.
.
.
N
N NTXK
t T i
X
N
X
X
X
X
−
=
= =
(4)
El modelo totalmente apilado es:
Y = X + (5)
jitX : Es el valor Jth de una variable explicativa i. Para todo t = 0 1, 2, 3,. T.
Si existen K variables explicativas el vector de variables explicativas se puede denotar
como:
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9
1
2
1
.
.
.
K
K
−
=
(6)
En base a lo anotado podemos afirmar que metodología de datos de panel lo que hace es
utilizar procedimientos adecuados para el manejo de las observaciones con una
dimensión de sección cruzada grande, con el objeto de estimar modelos econométricos
que incluyan entre las variables explicativas los efectos individuales no observables.
El disponer de un número reducido, T, de observaciones de cada uno de los N individuos
de la muestra, podría pensarse en estimar un modelo econométrico con cada una de las
T secciones cruzadas para luego comparar la evolución de los coeficientes del modelo a
lo largo del tiempo.
Las ventajas de modelos econométricos con información en panel, son las siguientes
(Greene, William, 1999):
• Se dispone de un gran número de datos (a través de individuos y a través del tiempo).
Por esta razón aumentan los grados de libertad y, al utilizar las diferencias
individuales en los valores de las variables explicativas, se reduce la colinealidad entre
las variables explicativas, mejorando de esta forma la eficiencia de los estimadores.
• Evita los sesgos de agregación con datos macroeconómicos.
• En general, es posible obtener estimaciones consistentes para N→ y T fijo. No
obstante, dada la creciente existencia de bases de datos longitudinales con períodos
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muéstrales prolongados, existen trabajos recientes en que se consideran propiedades
asintóticas para N→ y T→ .
• La disponibilidad de datos longitudinales permite a los investigadores analizar una
variedad de importantes interrogantes económicas, que no se pueden analizar
utilizando solo información de corte transversal o sólo información de series de
tiempo.
• Permite construir y testear modelos de comportamiento más sofisticados que los
modelos econométricos estándar de series de tiempo o de corte transversal.
• Proporciona un método para resolver o reducir la magnitud de un problema
econométrico clave que siempre surge en los trabajos empíricos: siempre se señala
que la verdadera razón de porque se encuentra (o no se encuentran) ciertos efectos es
producto de la omisión de variables- debido a problemas de medición o porque ciertas
variables no son observadas – que están correlacionadas con las variables explicativas.
• Permite estudiar de una mejor manera la dinámica de los procesos de ajuste. Esto es
fundamentalmente cierto en estudios sobre el grado de duración y permanencia de
ciertos niveles de condición económica (desempleo, pobreza, riqueza).
• Permite elaborar y probar modelos relativamente complejos de comportamiento en
comparación con los análisis de series de tiempo y de corte transversal. Un ejemplo
claro de este tipo de modelos, son los que se refieren a los que tratan de medir niveles
de eficiencia técnica por parte de unidades económicas individuales (empresas,
bancos, etc.) (Beltrán, 2003).
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• Permite al investigador mucha más flexibilidad para modelizar las diferencias de
comportamientos entre los individuos. Tal y como se mencionó anteriormente, la
técnica permite capturar la heterogeneidad no observable ya sea entre unidades
individuales de estudio como en el tiempo. Con base en lo anterior, la técnica permite
aplicar una serie de pruebas de hipótesis para confirmar o rechazar dicha
heterogeneidad y cómo capturarla.
2.1 Desventajas del uso de los datos de panel
• Sesgo de heterogeneidad:
Muchos paneles de datos provienen de procesos muy complicados que exigen el
comportamiento diario. Cuando se analiza series de corte transversal el supuesto típico
es que una variable económica ty es generada por una distribución de probabilidad
paramétrica del tipo ( )f y/θ , donde θ es un vector real de dimensión k “idéntico para
todos los individuos en todo instante de tiempo”. Este supuesto puede no ser realista en
el caso de datos de panel; es más ignorar la heterogeneidad en los intercepto y/o en las
pendientes es una que puede ser errada.
• Sesgo de selección:
Otra fuente de sesgo que se encuentra con frecuencia en datos de corte transversal y de
paneles de datos es que la muestra puede no haber sido extraída de manera aleatoria de
una población lo cual es poco frecuente en series de tiempo. Como consecuencia de ello
se puede tener (de Arce & Mahía, 2007):
• Amplificación del efecto de errores de medida asociados a datos de encuestas.
• Falta de representatividad de la muestra debido a:
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✓ Desgaste muestral
✓ No aleatoriedad de las observaciones
Ejemplos de este tipo de limitaciones se encuentran en: La cobertura de la población de
interés, porcentajes de respuesta, preguntas confusas, distorsión deliberada de las
respuestas, etc.
'
1,2,... ; 1,2,...
it it it itY X U
i N t T
+
= = (7)
Donde i,tβ mide el efecto marginal de itx (es decir, el efecto marginal de las variables x
en el momento t para la i-ésima unidad). Este modelo es general y es necesario imponer
cierta estructura en los coeficientes; es decir, es necesario suponer que los agentes en
cuestión responden a un patrón de comportamiento generalizable a lo largo del tiempo
y/o a través del espacio. El supuesto estándar es que ,i t es constante para todo i y t, deja
abierta la posibilidad de que haya un intercepto distinto para cada agente ( )i . Esto
implica dejar abierta la posibilidad de que cada agente tenga un "comportamiento
promedio" distinto respecto del cual conviene controlar. Atendiendo a lo anterior si re
especifiquemos nuestro modelo de la siguiente manera (Barco & Castro, 2010):
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13
'11 1
12
1
21
( 1) ( ) ( )
2
1 0 0
1 0 0
. . . .
. . . .
. . . .
0 1 0
0 1 0
. ;D ;. . .
. . . .
. . . .
0 1 . . . 0
. . . .
. . . .
. . . .
0 0 1
T
NTx NTxN NTxK
T
NT
y x
y
y
y
y X
y
y
= = =
111
'1212
'11
'2121
( 1)
'22
'
..
..
..
;u . ;.
..
..
..
..
..
TT
NTx
TT
NTNT
u
ux
ux
ux
ux
ux
=
(8)
De la expresión anterior, es la matriz D la que nos permitirá acomodar la presencia de
hasta N interceptas distintos. Observar que esta matriz puede expresarse como:
N rD I i= ; donde NI es una matriz identidad de N x N, mientras que ir se refiere a un
vector unitario de Tx1. Con esto, podemos expresar el modelo en términos matriciales de
fa siguiente forma:
y D X u = + + (9)
Donde y son los vectores que contienen los N interceptas y k pendientes,
respectivamente.
Para hallar las expresiones asociadas al estimador mínimo cuadrático de estos intercepto
y pendientes, basta con recordar lo que sabemos sobre el rol del intercepto y el modelo
en desviaciones: desviemos cada observación respecto de la media de cada agente
tomada sobre el tiempo, construyamos el estimador mínimo cuadrático de las pendientes
y utilicemos este último para hallar los N interceptos. Para el i-ésimo agente, la media
tomada sobre el tiempo T de la variable dependiente viene dada por ( )1
1/T
it
t
T y=
. Lo
mismo aplica para el término de error y las variables explicativas. Denotemos estas
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medias como, _ _ _
..., , iii
y u X respectivamente. Así, el modelo en desviaciones y los respectivos
estimadores pueden expresarse de la siguiente manera (Barco & Castro, 2010):
'
'_ _ _
. ..
_ _ _'
. .
1_ _
'. .
'_ _
, ..
( )
( )( )
it i it it
i iii
i iit it iti
i iWithin it it
it
i Within i Withini
y x u
y x u
y y x x u u
x x x x
y x
−
= + +
= + +
− = − + −
= − −
= −
(10)
Nótese que hemos llamado Within a este estimador mínimo cuadrático de un modelo
desviado respecto a la media de cada agente. El término Within (o "intra", en castellano)
responde, precisamente, a que estamos explotando la variabilidad intraagente. Estamos
interesados en estimar cuánto cambia el comportamiento del agente respecto de su
comportamiento promedio, cuando alguno de los factores que lo explican ( )x , se desvía
en una unidad, respecto de lo que en promedio le ocurre al agente en cuestión. Al hacerlo,
estamos reconociendo que cada agente puede registrar un comportamiento promedio
distinto al del resto (Beltran &Castro,2010).
Pensemos ahora en términos de todas las observaciones y en la transformación matricial
requerida para desviar cada dato correspondiente al i-ésimo agente de su respectiva
media. Para esto, empecemos por darnos cuenta de que es necesario calcular N
promedios, y que un arreglo matricial como el siguiente es capaz de devolvernos los N
promedios que necesitamos.
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15
1.
1.
12.
2.
N.
1 . . . 1
. .
. .
.. .
.1 1 0
..
tal que y .
.
0 1 . . . 1.
. ..
. ..
. .
1 . . . 1
NTxNT NTx
y
y
P P y
y
y
−
−
−
−
−
= =
(11)
La matriz P puede ser expresada de manera más compacta, y basta con restarla de la
matriz identidad para encontrar la matriz de transformación que desvía cada dato de su
respectivamente. Denotemos esta matriz como Q.
'1N T T
NT
P I i iT
Q I P
=
= −
(12)
Este par de matrices juega un papel muy importante en el momento de construir los
estimadores alternativos que preliminarmente podemos identificarlos como proyectores
o, "hacedor de estimados" (o "hacedor de medias") y "hacedor de los residuos" (o "hacedor
de desviaciones"), respectivamente. Como ocurre con todo el proyector mínimo
cuadráticos, el lector puede verificar rápidamente que estas dos matrices son simétricas
e idempotentes.
Con esto, es posible expresar (9.) de manera más compacta como:
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16
' 1 '
1
=
= (I i )
Qy = Q(I i ) Q Q
= Q Q
=(XQ QX) XQ Qy
=(XQX) XQy
N T
N T
Within
y D X u
X u
X u
X u
−
−
+ +
+ +
+ +
+ (13)
Ahora bien, si recordamos el resultado asociado al modelo en desviaciones, notaremos
que el resultado anterior debería ser equivalente al que obtendríamos si incluimos un
intercepto distinto para cada agente. Formalmente2:
' 1 '
' '
=
=(X M X) X M y
M ( )
Within D D
D NT
y D X u
I D D D D
−
+ +
= −
(14)
Las expresiones dadas en (12.) y (13.) no implican que se tenga dos maneras distintas de
expresar
Within
sino, más bien, implican que 3 MD Q= . Equivale a nuestra generalización
del resultado del modelo en desviaciones: estimar una regresión por mínimos cuadrados
ordinarios con un intercepto distinto para cada agente (resultado dado en [9.]). Equivale
a estimar una regresión con observaciones desviadas respecto del valor medio
correspondiente al agente en cuestión (resultado dado en [11.]).
Hasta ahora, nuestra discusión se ha centrado en la segunda de las tres opciones
presentadas al inicio del acá pite cuando nos referíamos a que en un panel de datos hay
tres medias distintas que pueden servir como controles. ¿Es posible realizar un análisis
similar trabajando con la media (tomada a través del espacio) de cada uno de los T
momentos del tiempo? ¿Respecto de qué estaremos controlando en este caso?
Empezamos a responder estas preguntas planteando la posibilidad de que exista un
intercepto distinto para cada momento del tiempo. Definamos, para esto, como v.1 a la
2 Esta expresión muestra de manera explícita cómo este acápite es una aplicación del resultado de regresión
particionada. S i partimos de un modelo general y X u= + y particionamos la matriz X en dos subconjuntos de
regresares de la forma, es posible demostrar que las pendientes estimadas del segundo grupo de regresores vienen
dadas por: ' 1 '
2 1 2 2 1(X M X ) X M y
−= , donde ' 1 '
1 1 1 1 1( )M I X X X X−= −
3 Esta igualdad se puede verificar fácilmente trabajando con las propiedades del producto Kronecker)
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17
media tomada sobre el espacio de la variable dependiente del t-ésimo momento
.
1
(1/ )N
itt
i
y N y−
=
.
'
'_ _ _
.t .t.t
_ _ _'
.t .t.t
1_ _
'.t .t
' _ _
.tt, .t
( )
( )( )
it t it it
t
it it it
Within it it
it
Within Within
y x u
y x u
y y x x u u
x x x x
y x
−
= + +
= + +
− = − + −
= − −
= −
(15)
Nótese que también hemos llamado Within a este estimador. De hecho, le corresponde el
término "intra", solo que esta vez lo que buscamos es explotar la variabilidad
intratemporal.
Nuestro interés recae en conocer cuánto cambia el comportamiento del agente respecto
del comportamiento promedio del grupo, cuando alguno de los factores que lo explican
( )it
x experimenta un desvío (de una unidad) respecto del valor medio del grupo. Al
hacerlo, estamos reconociendo que en cada momento del tiempo el grupo puede registrar
un promedio distinto.
En suma, los múltiples interceptos por agente nos permiten capturar qué tan distinta es
la respuesta de un agente respecto de su respuesta promedio, y comparar esto entre
agentes para un mismo momento del tiempo. Los múltiples interceptas de tiempo, por
su parte, nos permiten capturar qué tan distinta es la respuesta de un agente respecto de
la respuesta promedio del grupo, y comparar esto entre momentos del tiempo para un
mismo agente. En ambos casos se trata de una comparación de diferencias; de ahí la
"doble diferencia" a la que se hace referencia en el acápite introductorio.
La generalización de (14.) requiere introducir matrices de intercepto y desvíos distintos,
a las que llamaremos
y D Q , respectivamente. Formalmente (Barco & Castro, 2010):
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18
'
' ' 1
1
1
=
y =
=
=(X X) X y
=(X X) X y
N T
NT N N T
Within
D i I
Q I i i IN
y D X u
Q Q D Q X Qu
Q X Qu
Q Q Q Q
Q Q
−
−
=
= −
+ +
+ +
+
(16)
Ahora solo nos queda una de las opciones pendiente: la media de todas las observaciones.
Como se verá a continuación, es necesario introducir esta media "total" si es que se desea
trabajar con interceptas distintos para agente y tiempo, simultáneamente. Partamos de
una especificación general:
'
it i t it ity x u = + + + (17)
Y démonos cuenta de que al remover (o desviar respecto de) las medias por agente y
tiempo, todavía están presentes los valores promedio de estos interceptas. Formalmente:
' _ _ _
. ..
' _ _ _
.t .t.t
' _ _ _ _ _ _ _ _
. . . .t. .t
(1 / )
(1 / N)
( )
i ii ti
i t
i t iit it iti
Ty x u
y x u
y y y x x x u u u
= + + +
= + + +
− − = − − + − − + − −
(18)
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19
Donde: = = __ __1 1
,t i
it itNT NT;. Esto último implica que es posible eliminar estos
términos constantes (para proceder con la estimación de las pendientes) si sumamos el
promedio total a la expresión dada en (17.). Este promedio total viene dado por:
_ _
y x u = = =
= + + +
'
_ _ _ _ _ _ _ _
. . . .t. .t( ) i t iit it iti
y y y y x x x x u u u u = = =
− − + = − − + − − + + − − +
Al regresionar _ _
. .tit iy y y y=
− − +
sobre_ _
. .i titx x x x=
− − +
obtenemos Whitin
y, con esto, es
posible hallar los estimadores de los efectos individuales y temporales:
_ _
, ..
_ _
.tt, .t
i Within iWithini
Within Within
y y x x
y y x x
= =
= =
= − − −
= − − −
(19)
Por último, el lector puede verificar que la transformación asociada pasa por pre
multiplicar el modelo por la matriz Q, la cual viene dada por: ' '1 1 1
NT N T T N N TQ I I i i i i I JT N NT
= − − +
(20)
Donde J es una matriz unitaria de (NT x NT).
2.2 Efectos Fijos versus efectos Aleatorios
A partir de lo expuesto el problema radica en la estimación de N o T (o si se desea de NT)
interceptos distintos. Esto envolvería suponer que i ; ( )
to son un conjunto
considerable de parámetros desconocidos. Pero que implica la estimación de un conjunto
demasiado grande de parámetros. Concentrémonos en i; y pensemos en un panel de
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20
datos con un número bastante grande de observaciones de corte transversal (N), como en
el caso de un panel construido con encuestas de hogares realizada por los institutos de
estadísticas de los países. Dada la marcada heterogeneidad a través del espacio, de hecho,
tiene más sentido suponer que los distintos valores de i; son (al igual que la información
contenida en x) la realización de un proceso estocástico subyacente.
La distinción anterior es la que ha originado que, en algunos casos, se bosqueje una
aparente dicotomía entre un "modelo de efectos fijos" y un "modelo de efectos aleatorios''.
En el primero, se sugiere que los i ; son parámetros, mientras que en el segundo se trata
a i ; como una variable aleatoria. Sin embargo, esto puede acarrear a una interpretación
errónea del rol de i , así como de los resultados de algunas de las pruebas que notaremos
más adelante. Por lo mismo, aquí no haremos esta distinción y supondremos que i ;
recoge efectos no observables, atribuibles al i-ésimo agente y que no varían en el tiempo.
Esto no implica que más adelante no experimentemos saber más sobre la naturaleza de
i , o que no hagamos referencia a los estimadores de efectos fijos y aleatorios.
Nuestro interés sobre la naturaleza de i , no obstante, se centrará en determinar si está
o no correlacionado con las variables explicativas del modelo. Nuestra distinción entre
"efectos fijos y "efectos aleatorios", por su parte, se referirá a la técnica de estimación por
emplear y no a la naturaleza de i .
No es difícil suponer que, en el momento de modelar las decisiones individuales de un
grupo amplio de agentes, las respuestas dependan de un conjunto también amplio de
factores, muchos de ellos no observables4
En un modelo de corte transversal no queda más que dejar que esta heterogeneidad no
observable sea capturada por el error, y confiar en que no esté correlacionada
4 Factores como la "habilidad" o la "motivación" son sin duda determinantes de variables como la decisión de
matricularse en la educación superior o del salario por hora, pero difícilmente observables.
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21
contemporáneamente con alguno de los regresores incluidos5. El panel, sin embargo,
ofrece una alternativa distinta, ya que hace posible controlar por esta fuente de
heterogeneidad no observable.
En lo que sigue, formalizaremos nuestros supuestos sobre la naturaleza de la data
partiendo de que i ; recoge esta heterogeneidad que no es observable pero que, sin duda,
afecta las decisiones de los agentes bajo análisis (Barco & Castro, 2010)
2.3 Nuestro marco de análisis y los estimadores alternativos
En las páginas que siguen empezaremos planteando un conjunto de supuestos sobre el
proceso generador de datos, para luego analizar las propiedades de distintos estimadores
con el objetivo de determinar cuál de ellos es el más apropiado. Como siempre, las
propiedades que privilegiaremos serán el insesgamiento y eficiencia, para muestras
pequeñas; y la consistencia para muestras grandes.
De acuerdo con nuestra discusión anterior, supongamos que la información contenida en
nuestro panel de datos puede representarse de la siguiente manera (Barco & Castro,
2010):
:
'
2
2
. . (0, )
. . (0, )
it it it
it i it
i
it u
y x v
v u
i i d
u i i d
= + +
= + (21)
Es decir, supongamos que el error asociado a la observación del i-ésimo agente en el t-
ésimo momento del tiempo está compuesto de dos partes: un término que no varía a lo
largo del tiempo y recoge la heterogeneidad no observable atribuible al i-ésimo agente
( )i , que se distribuye de manera idéntica e independiente con media igual a cero y
5 Tal como se discutió en el acápite introductorio, esta correlación contemporánea llevaría a que el estimador mínimo
cuadrático deje de exhibir la propiedad de consistencia. Una alternativa para esto es el uso del estimador de variables
instrumentales, con la subsecuente pérdida de información que su uso implica.
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22
varianza igual a 2
, y un término que registra realizaciones distintas tanto a lo largo del
tiempo como a través del espacio ( )itu que distribuye de manera idéntica e independiente
con media igual a cero y varianza igual a 2
u .
La forma compuesta que hemos supuesto para el error implica que, si bien este es
homocedástico, exhibe correlación serial cuando se trata de un mismo agente.
Formalmente:
2 2
2
( )
Cov( , ) t s
it u
it is
Var v
v v
= +
= (22)
También podemos expresar el modelo y su estructura de varianzas y covarianzas del
error en términos matriciales
' '
' 2 2 ' 2 2
; W= ,
( )
NT
u NT N T T u NT
y W v i X
W vv I I i i I TP
= + =
= = = + = +
(23)
2.4 Estimador Within
Este estimador ya fue presentado anteriormente y, como sabemos, implica transformar el
modelo premultiplicándolo por el proyector. A diferencia de lo indicado en (14.), aquí
estamos asumiendo que solo existe un intercepto común ( ) por estimar y que el término
a; corresponde al error. Nótese que, en términos prácticos, no existe ninguna diferencia
en la expresión asociada a la estimación de las pendientes. Como ya es usual, expresamos
el estimador tanto en términos matriciales (Barco & Castro, 2010):
:
−= ' 1 '( )Whitin W QW W Qy (24)
Lo que equivale a regresionar:
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23
'
'_ '
.
1_ _ _ _
' '. . . .
' =
t,
( )( ) ( )(y )
− −
−
=
= + + +
− = − + + −
= − − − −
= −
it it i it
iit it i it ii
i i iWithin it it it it i
it it
Within Within
y x u
y y x x u u
x x x x x x y
y x
(25)
En este punto cabe destacar la forma que adopta el error del modelo transformado. Al
remover de cada observación la media correspondiente al agente en cuestión (haciendo
uso del proyector Q ), el nuevo término de error, al que denominamos v resulta:
= − = −_ _
. .v v vit i iit it
(26)
El nuevo término de error está "libre" de la heterogeneidad no observable asociada al
agente.
Este resultado es clave para garantizar una propiedad importante del estimador, tal como
será discutido más adelante. Por lo pronto, démonos cuenta de que este nuevo error
tampoco exhibe una matriz de varianzas-covarianzas escalar debido a la existencia de
correlación serial entre errores correspondientes a un mismo agente. Formalmente:
− = − = − + =
= − − = − + = −
_2 2 2 2 2
.
_ _2 2 2
. .
1(v ) (u u ) (2 / T) (1 / )
(v ,v ) (u u ) (u u ) (2 / ) (1 / ) (1 / )
it it i u u u u
it is it i st i u u u
TVar E T
T
Cov E T T T
(27)
O de manera compacta:
= = + =
' ' 2 2 2( v v ) (Qvv Q) Qu NT u
E E I TP Q Q (28)
Al igual que el estimador mínimo cuadrático, el estimador Within es insesgado. El
resultado dado en (27.) (y, en particular, la existencia de correlación serial en los errores)
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24
implica que el estimador Within no es eficiente, excepto si =2 0u
o T tiende a infinito
( )→T .
2.5 Estimador Between
Así como existe un estimador Within que aprovecha la variabilidad intraagentes, es
posible construir un estimador Between que tome en cuenta la variabilidad interagentes.
Para esto basta con tomar los promedios para cada agente y utilizar esta información
como si se tratase de una base de datos .de corte transversal. Como sabemos, estos
promedios son tomados por el proyector P, por lo que:
= ' -1 '(W PW) W QyBetween (29)
Lo que equivale a regresionar '_ _ _
..
1_ _ _ _
' '. . . .
' =
( )( ) ( )( )
Between Between
it iii
i i iBetween i
i i
y x u
x x x x x x y y
y x
− = = = =
=
= + + +
= − − − −
= −
(30)
Al igual que sus predecesores (y siempre y cuando el error sea independiente en media
de los regresores: =(v / ) 0E X el estimador Between es insesgado. Asimismo, tampoco es
eficiente. De hecho, el término de error del modelo transformado = +_ _
it .v ii también
exhibe Jt I r correlación.
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25
= = + = +
2 _ _ _ __
2 2it isit
1Var(v) (v ,v ) ii u u
Cov E uT (31)
O, en términos más compactos:
= = + = +
_ _' 2 2 2 2( v v ) E(PvvP) P ( )P
u NT uE I TP P (32)
2.6 Estimador de mínimos cuadrados generalizados
Ninguno de los tres estimadores presentados anteriormente es eficiente. Para garantizar
esto, es preciso transformar el modelo de modo que el “nuevo” error exhiba una matriz
de varianzas-covarianzas escalar. Ninguna de las tres transformaciones consideradas
hasta ahora lo consigue5.
Definamos como R a la matriz que transforma al modelo de modo que el nuevo error
tenga una estructura de varianzas-covarianzas escalar. Esto implica que R debe ser tal
que:
' 1R R c −= (33)
Donde c es un escalar positivo. Es posible demostrar que la forma de esta matriz viene
dada por:
2
2 2
(1 )NT
u
u
R I P Q P
= − = +
=+
(34)
Es decir que la transformación que garantiza un estimador eficiente es aquella que
remueve de cada observación una proporción (1 )− de su media, donde es función de
las varianzas de los dos componentes del error. De hecho, no es difícil demostrar que la
estructura de varianzas-covarianzas del error transformado Rv es escalar:
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26
' ' 2 2 2 2( ) ( ) ( )u NT u uE RVV R Q I TP Q P Q P I = + + + = + =
(35)
Lo anterior garantiza que el estimador asociado sea eficiente, y, por lo mismo, pertenece
a la clase de estimadores de mínimos cuadrados generalizados (MCG).
' 1 ' 1 1 1( ) ( )MCG WR RW WR Ry W W W y
− − − −= =
(36)
Lo que equivale a regresionar _
.(1 )it i
y y− − sobre una constante y _
.(1 ) iitx x− −
(37)
1_ _ _ _
. . . .(x (1 ) x )(x (1 ) x ) (x (1 ) x )(y (1 ) )i i iMCG it it it it i
it it
x x x y y
− = = = =
= − − − − − − − − − − − −
(38)
De manera compacta podemos escribirlo:
' '
_ _ _ _ ' 2 ' 2
. . . .
'
x x xi i iMCG i
i i
MCG MCG
X QX x x X QX x y y
y x
= = = =
= =
= + − − + − −
−
La expresión anterior nos sugiere que el estimador MCG combina la información
contenida en los estimadores6 withinβ y
Betwenβ .No debe extrañarnos, por tanto, que se trate
de un estimador eficiente, en la medida en que explota la variabilidad tanto intra como
Inter agente.
6 De hecho, es posible demostrar que el estimador MCG es un promedio ponderado de los estimadores Within y
Between:
(1 )B W
= + − , donde: 1
' _ _
2 '1 i iXQX x x x x X QX
−= =
− = − − −
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27
Tan o más interesante es verificar bajo qué condiciones especiales el estimador MCG
coincide con el estimador Within o el mínimo cuadrático. Para el primer caso, recordemos
bajo qué circunstancias es el estimador Within eficiente 2 0u = o cuando T tienda a
infinito. En cualquier caso, desaparecería la correlación serial entre los errores del modelo
transformado con el proyector. Es fácil verificar que, bajo cualquiera de estas dos
situaciones, se cumple que
MCG Betwenβ =β
7 .
2
2
2 2
, 0 0
0
/ 0
R/ I
u
u
u
T
NT P Q
→ =
=
=+
=
= − =
(39)
Regresemos ahora a la estructura de varianzas-covarianzas del error del modelo original
(dada en (20.)) y notemos que esta matriz sería escalar (garantizando la· eficiencia de
MICO
en caso cr/ =O. También es fácil verificar que, en este caso, se cumple que
MCG MICOβ =β
·
2
2
2 2
0
1
/ 1
R/
u
u
NT
T
I
=
=
=+
=
=
7 Si
2 0u = , los efectos no observados son so lo específicos del individuo, no hay generales, por lo que basta con
corregir por la presencia de a; para eliminar el problema de autocorrelación que presenta el modelo original.
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28
2.7 Mínimos cuadrados generalizados factibles
¿Por qué no presentar únicamente al estimador eficiente? ¿Qué utilidad puede tener la
discusión de los estimadores
Whitin
y
Betwen
La respuesta a esta pregunta tiene dos partes.
En primer lugar, es necesario notar que para construir el proyector R es necesario conocer
las varianzas de los dos componentes del error de nuestro modelo. En la práctica, esto
difícilmente será posible, así que tendremos que utilizar un estimado de dichas varianzas.
Es para la estimación de estas varianzas que 1os estimadores
Whitin
y
Betwen
nos pueden
ser útiles.
En particular, es posible demostrar que la varianza estimada del error del modelo
transformado con el proyector ( ) itQ v es un estimador consistente de 2
u . Formalmente8
2
_ _ '
.2 2. Pr(y y ) (x )
iit it Whithini obit
v u
x
NT N K
− − −
= →− −
Tal como se muestra en la expresión anterior, nuestro estimador consistente de 2
u no es
otra cosa que la suma de cuadrados residual de la estimación Within, corregida por el
número apropiado de grados de libertad(Barco & Castro, 2010):
.
Por otro lado, la varianza estimada del error del modelo transformado con el proyector P
( )itv también nos provee información valiosa. De hecho, es posible demostrar que,
conforme N tienda a infinito, dicha varianza converge en probabilidad a una suma
ponderada de 2
u y 2
. Formalmente:
2
_ _ '
..2 2 2Pr
(y y) ( )
1 +
1
i Betweni
it ob
v u
x x
N K T
= =
− − − = →
− −
(40)
8 Si
2 0 = , directamente se elimina el problema de autocorrelación del modelo original por lo que MICO es el
estimador eficiente.
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29
Si combinamos los resultados indicados en (40.) y (41.), es posible construir estimados de 2
y 2
u , con esto, nuestro estimado de y del proyector R. Esto configura lo que se
conoce como "estimador de mínimos cuadrados generalizados factibles". En particular 2
v
, provee directamente un estimador consistente de 2
u , mientras que la resta 2 2
1v v
T
−
nos provee un estimador consistente de 2
. Formalmente: 2 2 Pr
21 ob
v v
T
− → 9
2.8 Estimador a usar
La discusión anterior revela que hay dos preguntas claves que deben ser resueltas antes
de determinar cuál es el mejor estimador por utilizar. La primera pregunta está asociada
a la idoneidad del marco de análisis propuesto. La segunda, por su parte, se refiere a la
posibilidad de que exista correlación contemporánea entre los regresares y el término de
error.
2.9 Efectos no observados
Como se dijo, esta primera pregunta está relacionada con el marco de análisis propuesto
y, en particular, con la estructura del término de error. Al respecto, nótese que la ausencia
de efectos no observados específicos del individuo equivale a suponer que el error se
comporta de la siguiente manera: it itv u= . Dado que se asume que ( ) 0iE = , lo anterior
9 Nótese que el resultado de esta resta podría ser negativo. En este caso, conviene reconsiderar el uso del estimador
de efectos aleatorios.
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30
equivale a decir que 2 0 = .Para comprobar esta hipótesis se dispone del test de Breusch-
Pagan, cuyo estadístico (LM) se construye sobre la base de los residuos mínimo
cuadráticos (e) y, bajo la hipótesis nula, se distribuye chi-cuadrado con un grado de
libertad. Formalmente:
= = =
= = = =
= =
+
− = − − −
2
0
22 2
_
.1 1 21
2 2
1 1 1 1
: v ( 0)
: v =
LM= 1 1 (1)2( 1) 2( 1)
it it
a it it i
N T N
it ii t i
N T N T
it iti t i t
H u
H u
e T eNT NT
T Te e
(41)
Si se rechaza la hipótesis nula, se concluye que la estructura supuesta para el error es la
correcta y que, por lo mismo, se aplica el análisis desarrollado en el acápite anterior. Es
decir, que es necesario construir el estimador de mínimos cuadrados generalizados si lo
que se busca es un estimador eficiente.
Si se acepta la hipótesis nula, por otro lado, bastará con estimar las pendientes a través
de mínimos cuadrados ordinarios. De hecho, cabe recordar que en caso de 2 0 = , el
proyector R es igual a la matriz identidad y el estimador eficiente es el mínimo cuadrático.
Una estimación como esta también se conoce como un pool: se dispone solo de los datos
agrupados y, en el momento de hacer la estimación, no hay nada que identifique a la
información de un agente o momento del tiempo particular. La ganancia, en este caso, se
debe al hecho de contar con un significativo número de grados de libertad. Al respecto,
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31
es posible evaluar la ganancia de ajuste asociada a la introducción de interceptas
múltiples (específicos ya sea a agentes o períodos de tiempo). Para esto, se puede utilizar
una típica prueba F10; y, de encontrarse una ganancia de ajuste significativa (si se rechaza
la prueba F), se preferiría el modelo de interceptas múltiples11
2.10 Existe correlación entre los efectos no observados y los Regresores
Como se dijo, si se acepta que el error tiene la estructura it i itv u= + la búsqueda de
eficiencia requiere la construcción del estimador de mínimos cuadrados generalizados.
No obstante, esto puede poner en riesgo la propiedad de consistencia si es que existe
correlación contemporánea entre la heterogeneidad individual no observable y el término
de error. Para verificar esto y decidir si trabajamos con el estimador de mínimos
cuadrados generalizados o el estimador Within, es posible construir una prueba de
Hausman.
10 Nos referimos al típico contraste basado en pérdida de ajuste, el cual también puede ser expresado sobre la base de
los R-cuadrado:
2 2
2
( )( 1, )
(1 R ) / (NT N K)
SR Pool
SR
R RF F N NT N k
−= − − − −
− − − , donde
2R SR se refiere al R-cuadrado
del modelo con interceptas múltiples (sin restringir) y
2
PoolR, corresponde al R-cuadrado del modelo pool (restringido
a un solo intercepto común). 11 Cabe recordar que la estimación con interceptas múltiples es, en principio, equivalente a la construcción del
estimador Within. Nótese, sin embargo, que existe una diferencia en los objetivos. Cuando el error se comporta de
acuerdo con nuestro marco de análisis y construimos el estimador Within, nos interesa remover la heterogeneidad no
observable del término de error para garantizar consistencia. Para esto, de sviamos cada observación de su media, y la
inclusión de un intercepto distinto para cada agente es una de las maneras de hacerlo. En el caso que aquí discutimos,
donde el error ya no es un error compuesto, nuestra motivación es la ganancia de ajuste: estamos interesados en estimar
un intercepto distinto para cada agente, y el hecho de que esto sea equivalente a desviar cada dato de su media podría
entenderse como un subproducto.
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De acuerdo con el planteamiento general de dicha prueba, se propone comparar dos
estimadores: uno eficiente pero solo consistente bajo la hipótesis nula, y otro no eficiente
pero consistente tanto bajo la hipótesis nula como bajo la alternativa. La hipótesis nula
por evaluar es la existencia de correlación entre el error y los regreso res. Por lo mismo, y
de acuerdo con las propiedades discutidas hasta ahora, nuestros candidatos ideales
serían el estimador de mínimos cuadrados generalizados y el estimador Within
• El primero es eficiente pero solo consistente en ausencia de correlación, mientras que
Within no es eficiente, pero retiene la propiedad de consistencia incluso bajo la presencia
de correlación entre el término a; y los regresores.
La intuición detrás la prueba es clara: una diferencia significativa entre los estimadores
de mínimos cuadrados generalizados y Within, constituye evidencia en contra de la
consistencia del primero y esto, a su vez, constituye evidencia en contra de la ausencia de
correlación entre a; y los regresores. Por lo mismo, si se rechaza la hipótesis nula de esta
prueba, convendrá utilizar el estimador Within. Si se acepta la hipótesis nula, en tanto, se
privilegiará el uso del estimador de mínimos cuadrados generalizados12.
0
1
: ( ) 0
: ( ) 0
( )
( ) ( ) Var( )
i it
a i i it
MCG Whitin
MCG Whitin
H E x
H E x
S q Var q q
q
Var q Var
−
=
=
= −
= +
(42)
Antes de concluir, conviene destacar que esta no es una prueba para determinar si los
efectos individuales son "fijos" o "aleatorios''. Lo que sí es cierto es que, dependiendo de
sus resultados, se decidirá si utilizar el estimador de mínimos cuadrados generalizados
("efectos aleatorios") o el estimador Within ("efectos fijos"). Esta decisión, no obstante, no
responde a la posibilidad de que los efectos individuales no exhiban una naturaleza
12 De hecho, cualquier combinación entre los estimadores Wíthín, Between o mínimos cuadrados generalizados
sería válida en la medida en que este último es un promedio ponderado de los dos primeros.
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aleatoria, sino a la posibilidad de que, siendo aleatorios, estén correlacionados con los
regresores (Barco & Castro, 2010):
.
3. Aplicaciones
3.1. Configurando
Es importante entonces que antes de iniciar escribas en la línea de comando (mientras
estás conectado a Internet) las siguientes indicaciones:
ssc install xtserial //Si este comando no funciona, intente: -findit xtserial-
Luego procedemos a instalar este paquete dándole clic en el mismo
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34
Los datos se encuentran alojados en la siguiente ruta:
use http://www.stata-press.com/data/r10/nlswork.dta
También se puede instalar con el uso del comando: webuse nlswork.dta
Generamos las siguientes variables:
generate age2 = age*age
generate black = (race==2)
Debemos saber que la variable race tiene las siguientes categorías
.
303 3 other
8,051 2 black
20,180 1 white
tabulation: Freq. Numeric Label
unique values: 3 missing .: 0/28,534
range: [1,3] units: 1
label: racelbl
type: numeric (byte)
race race
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La base de datos a usar es nlswork1.dta , la cual contiene información de una muestra de
datos de panel para 4,711 mujeres empleadas, que han completado su educación y con
salarios mayores a US$1 por hora pero menores a $700, para un período de 20 años (1968-
1988) en los Estados Unidos.
A través del comando describe podemos observar todas las variables que contiene la base
de datos nlswork1.dta Antes de estimar un modelo de datos de panel, se deben identificar
las variables que representan a los individuos y a las observaciones.
Antes de estimar un modelo de datos de panel, se deben identificar las variables que
representan a los individuos y a las observaciones.
iis idcode
tis year
Antes de empezar el análisis procedemos a inspeccionar la data con el comando describe.
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Asimismo, es necesario darle contexto de datos de panel, esto se logra usando el
siguiente comando: xtset
. reg ln_wage age age2
Note: Dataset has changed since last saved.
Sorted by: idcode year
black float %9.0g
age2 float %9.0g
ln_wage float %9.0g ln(wage/GNP deflator)
wks_work int %8.0g weeks worked last year
hours int %8.0g usual hours worked
tenure float %9.0g job tenure, in years
ttl_exp float %9.0g total work experience
wks_ue byte %8.0g weeks unemployed last year
union byte %8.0g 1 if union
occ_code byte %8.0g occupation
ind_code byte %8.0g industry of employment
south byte %8.0g 1 if south
c_city byte %8.0g 1 if central city
not_smsa byte %8.0g 1 if not SMSA
collgrad byte %8.0g 1 if college graduate
grade byte %8.0g current grade completed
nev_mar byte %8.0g 1 if never married
msp byte %8.0g 1 if married, spouse present
race byte %8.0g 1=white, 2=black, 3=other
age byte %8.0g age in current year
birth_yr byte %8.0g birth year
year byte %8.0g interview year
idcode int %8.0g NLS ID
variable name type format label variable label
storage display value
size: 1,169,894
vars: 23 7 Dec 2006 17:02
obs: 28,534 National Longitudinal Survey. Young Women 14-26 years of age in 1968
Contains data from http://www.stata-press.com/data/r10/nlswork.dta
. d
delta: 1 unit
time variable: year, 68 to 88, but with gaps
panel variable: idcode (unbalanced)
. xtset idcode year
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3.2. Análisis de datos panel de dos períodos
Utilizando la base de datos CRIME2.dta, se tiene t = 1 y t = 2, la base contiene los índices
de delincuencia y de desempleo de 46 ciudades para 1982 y 1987, por lo tanto, t = 1 = 1982
y t = 2 = 1987. Si se elabora una regresión t = 2. Veamos que variables son significativas
que explican el comportamiento del desempleo.
describe
reg crmrte unem if year == 87
.
Sorted by:
ccrmrte float %9.0g
lcrmrt_1 float %9.0g
clpopden float %9.0g
cunem float %9.0g
cllawexp float %9.0g
clpolpc float %9.0g
lpolpc float %9.0g
clcrmrte float %9.0g
clpop float %9.0g
clcrimes float %9.0g
lcrmrte float %9.0g
larea float %9.0g
lcrimes float %9.0g
lpopden float %9.0g
llawexpc float %9.0g
lpcinc float %9.0g
loffic float %9.0g
lpop float %9.0g
polpc float %9.0g
lawexpc float %9.0g
offarea float %9.0g
crmrte float %9.0g
popden float %9.0g
d87 float %9.0g
area float %9.0g
year float %9.0g
south float %9.0g
nrtheast float %9.0g
west float %9.0g
pcinc float %9.0g
officers float %9.0g
unem float %9.0g
crimes float %9.0g
pop float %9.0g
variable name type format label variable label
storage display value
size: 12,512
vars: 34 26 Jan 2000 12:16
obs: 92
Contains data from C:\Users\finanzas\Documents\crime2.dta
. d
_cons 128.3781 20.75663 6.18 0.000 86.54589 170.2104
unem -4.161134 3.416456 -1.22 0.230 -11.04655 2.72428
crmrte Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 54450.5521 45 1210.01227 Root MSE = 34.6
Adj R-squared = 0.0106
Residual 52674.6428 44 1197.15097 R-squared = 0.0326
Model 1775.90928 1 1775.90928 Prob > F = 0.2297
F(1, 44) = 1.48
Source SS df MS Number of obs = 46
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Si se interpreta el resultado se observa que un aumento en el índice de desempleo
disminuye la delincuencia. ¿Es significativo y coherente?
El problema puede ser causado por variables omitidas tales como edad, género,
educación. Pero por medio de datos panel es posible observar como la inclusión del año
82 puede ayudar a controlar el hecho de que distintas ciudades tienen históricamente
diferentes índices de delincuencia.
= + + + +0 0 1
2 , t=1,2.it t it i it
y d x u (43)
Por medio de análisis de datos agrupados, se hace el análisis que el efecto inobservable
es de dos tipos, el constante y el que varía en el tiempo. En la ecuación anterior la
constante es +0 0
t= 1 y 2 .
La variable i captura todos los efectos inobservables constantes en el tiempo que
influyen en it
y , i es denominada efecto inobservable, en este caso denominada efecto
fijo, dado que no se modifica en el tiempo. La ecuación anterior es un modelo de efectos
inobservables o modelo de efectos fijos. it
u , se denomina error idiosincrático o error de
variación temporal., pues representa factores inobservables que cambian en el tiempo.
De acuerdo al ejemplo anterior, el modelo a estimar es:
= + + + +0 0 1
87 ; t=1,2.it t it i it
crmrte d unem u (44)
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39
La variable d87 , será el efecto fijo en este caso urbano, que pueden ser las características
demográficas, si no hay un cambio en las políticas puede encontrarse la educación, la raza
y la edad. Ahora por los supuestos de MCO, U no debe estar correlacionado con las X ,
por lo tanto, se hace un cambio en la ecuación
Donde it i it
V = α + u , que se denomina ERROR COMPUESTO. Realizando la estimación
del ejemplo
reg crmrte unem d87
El resultado no es bueno, dados la insignificancia, lo que indica que el supuesto de no
correlación está afectado el modelo, además, MCO con variables dicotómicas no
soluciona el problema de variables omitidas, además, uno de los objetivos de panel es
capturar correlaciones entre a y X.
En la mayor parte de las aplicaciones, la razón de data panel es permitir que el efecto
inobservable se correlacione con las variables explicativas. Por ejemplo, en la
delincuencia, se desea dejar que los factores urbanos no contemplados en el modelo que
influyen en el índice de delincuencia, se correlacionen también con el índice de
desempleo.
Es sencillo realizarlo: Como ahí es constante en el tiempo, se diferencia a lo largo de los
dos años. De manera se escribe la ecuación de esta forma
_cons 93.42025 12.73947 7.33 0.000 68.10719 118.7333
d87 7.940416 7.975325 1.00 0.322 -7.906385 23.78722
unem .4265473 1.188279 0.36 0.720 -1.934538 2.787633
crmrte Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 81045.5167 91 890.610074 Root MSE = 29.992
Adj R-squared = -0.0100
Residual 80055.7995 89 899.503365 R-squared = 0.0122
Model 989.717223 2 494.858612 Prob > F = 0.5788
F(2, 89) = 0.55
Source SS df MS Number of obs = 92
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40
= + + + +
= + + +
2 0 0 1 2 2
1 0 1 1 1
( ) , t=2
, t=1i i i i
i i i i
y x u
y x u (45)
− = + − +
= + +
2 1 0 1 2 1 2 1
0 1
( ) ( - )
i i i i i i
it it it
y y x x u u
y x u (46)
El efecto i
α es eliminado al diferenciar, la ecuación anterior es denominada ecuación de
diferencia de primer orden. Lo importante es que no exista correlación entre U y X .
Para poder estimar este modelo debe haber cambio en las X , dado que si hay una variable
que no cambie, como por ejemplo el sexo de una persona la estimación es incorrecta.
Reestimando este modelo se tiene (Software Shop, 2013):
gen ccrmrte= crmrte - crmrte[_n-1]
El resultado ahora proporciona una relación positiva, entre los índices de delincuencia y
el de desempleo. La intercepción revela que cuando el cambio en el desempleo = 0, el
índice delictivo es de 15.4, esto refleja un aumento secular en los índices delictivos en
USA de 1982 a 1987.
_cons 15.4022 4.702117 3.28 0.002 5.925709 24.8787
cunem 2.217999 .8778659 2.53 0.015 .448777 3.987222
ccrmrte Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 20255.9877 45 450.13306 Root MSE = 20.051
Adj R-squared = 0.1069
Residual 17689.5504 44 402.035236 R-squared = 0.1267
Model 2566.43732 1 2566.43732 Prob > F = 0.0152
F(1, 44) = 6.38
Source SS df MS Number of obs = 46
. reg ccrmrte cunem
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41
En esta sección de las presentes notas de clase, se empleará la base nlswork.dta la misma
que contiene una muestra de 4711 mujeres con trabajo remunerado de 14 a 26 años
cumplidos al año 1968 y que fueron encuestadas a lo largo de 21 años (1968-1988) excepto
los años 1974, 1976, 1979, 1981, 1984, y 1986. La variable dependiente en todas las
estimaciones es el logaritmo del ingreso. Se recurrirán a algunos comandos que no están
cargados en Stata (Software Shop, 2013).
4. Controlando la heterogeneidad dentro de un panel
4.1. Regresión agrupada (POOLED OLS)
El enfoque más simple de analizar datos tipo panel es omitir las dimensiones del espacio
y el tiempo de los datos agrupados y sólo calcular la regresión MCO usual. Este modelo
se expresa como (INFOPUC, 2011):
1 1it it itY X = + + (47)
Donde i significa la i-ésima unidad transversal (estado) y t el tiempo t (año). Si tratamos
de explicar la variable wage con las variables independientes age y age2, basta con que
indiquemos en la ventana de comandos de Stata (INFOPUC, 2011):
reg ln_wage age age2
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42
4.2 Efectos Aleatorios (Random Effects)
La ecuación (47) supone que el intercepto de la regresión es la misma para todas las
unidades transversales. Sin embargo, es muy probable que necesitemos controlar el
carácter “individual” de cada estado. El modelo de efectos aleatorios permite suponer
que cada unidad transversal tiene un intercepto diferente. Este modelo se expresa como:
1 1it i it itY X = + + (48)
Donde i iα =α+u . Es decir, en vez de considerar a α como fija, suponemos que es una
variable aleatoria con un valor mediaα y una desviación aleatoria iu de este valor
medio. Sustituyendo i iα =α+u en la ecuación (2) obtenemos el modelo de efectos
aleatorios:
1 1it it i itY X u = + + + (49)
Stata estima el modelo de efectos aleatorios con el comando xtreg, re. En nuestro
ejemplo, indicamos en la ventana de comandos
xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* black ///
not_smsa south, re
_cons .1647917 .0521021 3.16 0.002 .062669 .2669143
age2 -.0010982 .0000596 -18.42 0.000 -.0012151 -.0009814
age .0855891 .0035923 23.83 0.000 .0785481 .0926302
ln_wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 6516.69015 28,509 .228583611 Root MSE = .45654
Adj R-squared = 0.0882
Residual 5941.72375 28,507 .208430342 R-squared = 0.0882
Model 574.966399 2 287.4832 Prob > F = 0.0000
F(2, 28507) = 1379.28
Source SS df MS Number of obs = 28,510
. reg ln_wage age age2
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43
Si analizamos la ecuación (49), observamos que si la varianza de iu es igual a cero, es
decir2
uσ =0 , entonces no existe ninguna diferencia relevante entre la ecuación (1) y la (3).
¿Cómo podemos saber si es necesario usar el modelo de efectos aleatorios o el de datos
agrupados? Breusch y Pagan formularon la prueba conocida como Prueba del
Multiplicador de Lagrange para Efectos Aleatorios. La hipótesis nula de esta prueba es
que2
uσ =0 . Si la prueba se rechaza, sí existe diferencia entre (47) y (49), y es preferible usar
el método de efectos aleatorios.13 La prueba de Breusch y Pagan se implementa en Stata
con el comando xttest0 después de la estimación de efectos aleatorios.
xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* race ///
not_smsa south, re
13 Recuerden que una Hipótesis nula se rechaza si el p-value de la prueba es menor a 0.10.
rho .44045273 (fraction of variance due to u_i)
sigma_e .29068923
sigma_u .25790526
_cons .2387207 .049469 4.83 0.000 .1417633 .3356781
south -.0868922 .0073032 -11.90 0.000 -.1012062 -.0725781
not_smsa -.1308252 .0071751 -18.23 0.000 -.1448881 -.1167622
black -.053053 .0099926 -5.31 0.000 -.0726381 -.0334679
tenure2 -.0020035 .0001193 -16.80 0.000 -.0022373 -.0017697
tenure .0392519 .0017554 22.36 0.000 .0358113 .0426925
ttl_exp2 .0003049 .0001162 2.62 0.009 .000077 .0005327
ttl_exp .0290208 .002422 11.98 0.000 .0242739 .0337678
age2 -.0007133 .00005 -14.27 0.000 -.0008113 -.0006153
age .0368059 .0031195 11.80 0.000 .0306918 .0429201
grade .0646499 .0017812 36.30 0.000 .0611589 .0681409
ln_wage Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
corr(u_i, X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
Wald chi2(10) = 9244.74
overall = 0.3708 max = 15
between = 0.4784 avg = 6.0
R-sq: within = 0.1715 Obs per group: min = 1
Group variable: idcode Number of groups = 4697
Random-effects GLS regression Number of obs = 28091
> not_smsa south, re
. xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* black ///
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44
xttest0
El p-value nos indica que podemos rechazar la hipótesis nula (Ho); por lo tanto, los
efectos aleatorios iu son significativos y es preferible usar la estimación de efectos
aleatorios en vez de usar el pool agrupado.
4.4. Efectos Fijos (Fixed Effects)
Otra manera de modelar el carácter “individual” de cada estado es a través del modelo
de efectos fijos. Este modelo no supone que las diferencias entre estados sean aleatorias,
sino constantes o “fijas”—y por ello debemos estimar cada intercepto iu . ¿Cómo
podemos permitir que el intercepto varíe con respecto a cada estado? Una manera es la
técnica de “las variables dicotómicas de intersección diferencial”, que se expresa de la
siguiente manera14:
1 1it i it itY X = + + (50)
Donde i es un vector de variables dicotómicas para cada estado. El modelo de efectos
fijos puede ejecutarse en Stata con el comando:
xtreg ln_wage age age2,fe
14 Se pueden utilizar variables dicotómicas que conducen al mismo resultado que si restamos a cada observación la
media de cada estado (demeaning the data ).
.
end of do-file
.
Prob > chibar2 = 0.0000
chibar2(01) = 14779.98
Test: Var(u) = 0
u .0665151 .2579053
e .0845002 .2906892
ln_wage .2283326 .4778416
Var sd = sqrt(Var)
Estimated results:
ln_wage[idcode,t] = Xb + u[idcode] + e[idcode,t]
Breusch and Pagan Lagrangian multiplier test for random effects
. xttest0
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45
Para observar los efectos fijos se realiza el siguiente comando
xi: xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* black not_smsa south i. year, fe
F test that all u_i=0: F(4709, 23798) = 8.74 Prob > F = 0.0000
rho .64073314 (fraction of variance due to u_i)
sigma_e .30245467
sigma_u .4039153
_cons .639913 .0408906 15.65 0.000 .5597649 .7200611
age2 -.0005973 .0000465 -12.84 0.000 -.0006885 -.0005061
age .0539076 .0028078 19.20 0.000 .0484041 .0594112
ln_wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
corr(u_i, Xb) = 0.0440 Prob > F = 0.0000
F(2,23798) = 1451.88
overall = 0.0865 max = 15
between = 0.1006 avg = 6.1
within = 0.1087 min = 1
R-sq: Obs per group:
Group variable: idcode Number of groups = 4,710
Fixed-effects (within) regression Number of obs = 28,510
. xtreg ln_wage age age2,fe
.
F test that all u_i=0: F(4696, 23372) = 6.58 Prob > F = 0.0000
rho .59656174 (fraction of variance due to u_i)
sigma_e .28984565
sigma_u .35245685
_cons .5076833 .1945967 2.61 0.009 .1262611 .8891056
_Iyear_88 -.3186943 .2011954 -1.58 0.113 -.7130506 .075662
_Iyear_87 -.3411479 .1878065 -1.82 0.069 -.7092608 .0269651
_Iyear_85 -.310788 .1679921 -1.85 0.064 -.6400636 .0184876
_Iyear_83 -.3080176 .1482841 -2.08 0.038 -.5986642 -.017371
_Iyear_82 -.2915456 .1385459 -2.10 0.035 -.5631046 -.0199866
_Iyear_80 -.2355611 .1189077 -1.98 0.048 -.468628 -.0024942
_Iyear_78 -.1763172 .0995746 -1.77 0.077 -.3714899 .0188555
_Iyear_77 -.1622962 .0893091 -1.82 0.069 -.3373479 .0127554
_Iyear_75 -.152118 .0698157 -2.18 0.029 -.2889613 -.0152748
_Iyear_73 -.096822 .0508415 -1.90 0.057 -.1964747 .0028306
_Iyear_72 -.0590495 .0412744 -1.43 0.153 -.13995 .021851
_Iyear_71 -.0305026 .0318724 -0.96 0.339 -.0929745 .0319693
_Iyear_70 -.0342683 .0229397 -1.49 0.135 -.0792316 .0106951
_Iyear_69 .0421902 .0155292 2.72 0.007 .0117519 .0726284
south -.0612464 .0109049 -5.62 0.000 -.0826208 -.0398721
not_smsa -.0872854 .0095083 -9.18 0.000 -.1059222 -.0686485
black 0 (omitted)
tenure2 -.0018203 .000126 -14.45 0.000 -.0020672 -.0015734
tenure .0338666 .001858 18.23 0.000 .0302248 .0375084
ttl_exp2 -.000116 .0001351 -0.86 0.390 -.0003808 .0001488
ttl_exp .0395614 .0030685 12.89 0.000 .0335469 .0455758
age2 -.0009346 .0000616 -15.16 0.000 -.0010554 -.0008138
age .0663695 .0105143 6.31 0.000 .0457607 .0869783
grade 0 (omitted)
ln_wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
corr(u_i, Xb) = 0.1861 Prob > F = 0.0000
F(22,23372) = 229.99
overall = 0.2696 max = 15
between = 0.3607 avg = 6.0
R-sq: within = 0.1780 Obs per group: min = 1
Group variable: idcode Number of groups = 4697
Fixed-effects (within) regression Number of obs = 28091
note: black omitted because of collinearity
note: grade omitted because of collinearity
i.year _Iyear_68-88 (naturally coded; _Iyear_68 omitted)
. xi: xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* black not_smsa south i.year,fe
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46
Al igual que con los efectos individuales, podemos realizar una prueba F para conocer la
significancia conjunta de las variables dicotómicas temporales en nuestro modelo. La
hipótesis nula es que 1 = 2 = … t = 0. En nuestro ejemplo, luego de estimar un modelo con
efectos fijos individuales y temporales, indicamos en la ventana de comando:
testparm _Iyear_69 - _Iyear_88 //
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47
El p-value de la prueba F nos indica que rechazamos la Ho, por lo que es posible afirmar
que las variables dicotómicas temporales son conjuntamente significativas y pertenecen
al modelo.
4.6 Autocorrelación
Es importante señalar que aun cuando hemos modelado la heterogeneidad temporal y
espacial en nuestro modelo, la ecuación (5) puede estar mal especificada en otros
aspectos.
Recordemos que de acuerdo con los supuestos de Gauss-Markov, los estimadores MCO
son los Mejores Estimadores Lineales Insesgados (MELI) siempre y cuando los errores
sean independientes entre sí y se distribuyan idénticamente con varianza constante.
Desafortunadamente, con frecuencia estas condiciones son violadas en datos panel: con
end of do-file
.
Prob > F = 0.0000
F( 14, 23374) = 10.44
(14) _Iyear_88 = 0
(13) _Iyear_87 = 0
(12) _Iyear_85 = 0
(11) _Iyear_83 = 0
(10) _Iyear_82 = 0
( 9) _Iyear_80 = 0
( 8) _Iyear_78 = 0
( 7) _Iyear_77 = 0
( 6) _Iyear_75 = 0
( 5) _Iyear_73 = 0
( 4) _Iyear_72 = 0
( 3) _Iyear_71 = 0
( 2) _Iyear_70 = 0
( 1) _Iyear_69 = 0
. testparm _Iyear_69 - _Iyear_88 // -testparm- es similar a –test-
.
. * Prueba para validar efectos Fijos
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48
respecto a la independencia cuando los errores de diferentes unidades están
correlacionados (correlación contemporánea), o cuando los errores dentro de cada
unidad se correlacionan temporalmente (correlación serial), o ambos. También con
respecto a la distribución “idéntica” de los errores cuando la varianza no es constante
(heteroscedasticidad).
En ese sentido abordamos al problema de la correlación serial o “autocorrelación”; es
decir, cuando los errores itε no son independientes con respecto al tiempo. En nuestro
ejemplo, es muy probable que el nivel de ingresos en t esté asociado con el nivel de
ingresos en t-1. (INFOPUC, 2011). Existen muchas maneras de diagnosticar problemas de
autocorrelación15. Sin embargo, cada una de estas pruebas funciona bajos ciertos
supuestos sobre la naturaleza de los efectos individuales. Wooldridge desarrolló una
prueba muy flexible basada en supuestos mínimos que puede ejecutarse con el comando
xtserial. La hipótesis nula de esta prueba es que no existe autocorrelación; naturalmente,
si se rechaza, podemos concluir que ésta sí existe.16 El comando xtserial requiere que se
especifiquen la variable dependiente e independientes de nuestro modelo. En nuestro
ejemplo, indicamos:
15 Muchas de las pruebas que se utilizan para diagnosticar problemas de correlación serial en series de tiempo han
sido ajustadas para aplicarse a datos tipo panel en Stata. Estas pruebas puedes bajarlas por internet del modulo
“PANELAUTO” y “PANTEST2” tecleando en la línea de comando: ssc install panelauto y ssc install pantest2.
16 El método de Wooldridge utiliza los residuales de una regresión de primeras diferencias, observando que si itu no
está serialmente correlacionado, entonces la correlación entre los errores itu diferenciados para el periodo t y t-1 es
igual a -0.5. En realidad, la prueba de Wooldridge consiste en probar esta igualdad. Para una discusión más amplia de
esta prueba, consulta Wooldridge, J. M. 2002. Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. Cambridge, MA:
MIT Press.
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49
La prueba nos indica que tenemos un problema de autocorrelación que es necesario
corregir. Una manera de hacerlo es a través de un modelo de efectos fijos con término
( )it
autorregresivo de grado 1 (AR1) que controla por la dependencia de t con respecto
a t-1. El modelo AR1 con efectos fijos se especifica de la manera:
−
= + +
= +
1 1
1
Donde:
it i it it
it it it
Y X
(51)
Los errores tienen una correlación de primer grado, . El modelo AR1 se puede
implementar con el comando xtregar:
xtregar ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* black not_smsa south, fe
end of do-file
.
F test that all u_i=0: F(4696, 23388) = 6.62 Prob > F = 0.0000
rho .59923531 (fraction of variance due to u_i)
sigma_e .29260978
sigma_u .35780204
_cons .9083485 .0410338 22.14 0.000 .8279196 .9887774
south -.0597952 .0110021 -5.43 0.000 -.08136 -.0382304
not_smsa -.089174 .0095944 -9.29 0.000 -.1079797 -.0703683
black 0 (omitted)
tenure .0105427 .0009174 11.49 0.000 .0087446 .0123408
ttl_exp .033949 .0014633 23.20 0.000 .0310809 .0368172
age2 -.0008651 .0000463 -18.67 0.000 -.000956 -.0007743
age .0462177 .0027557 16.77 0.000 .0408164 .051619
grade 0 (omitted)
ln_wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
corr(u_i, Xb) = 0.2112 Prob > F = 0.0000
F(6,23388) = 751.52
overall = 0.2585 max = 15
between = 0.3514 avg = 6.0
within = 0.1616 min = 1
R-sq: Obs per group:
Group variable: idcode Number of groups = 4,697
Fixed-effects (within) regression Number of obs = 28,091
note: black omitted because of collinearity
note: grade omitted because of collinearity
. xi: xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* black not_smsa south,fe
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50
.
end of do-file
.
F test that all u_i=0: F(4146,19241) = 1.69 Prob > F = 0.0000
rho_fov .67488431 (fraction of variance because of u_i)
sigma_e .25845863
sigma_u .37238033
rho_ar .74929079
_cons .438538 .0076196 57.55 0.000 .4236029 .4534731
south -.0379833 .0137222 -2.77 0.006 -.0648799 -.0110866
not_smsa -.0375502 .011841 -3.17 0.002 -.0607596 -.0143409
black 0 (omitted)
tenure .0103372 .0013308 7.77 0.000 .0077287 .0129456
ttl_exp .0237054 .0027819 8.52 0.000 .0182527 .0291581
age2 -.0011874 .0000552 -21.52 0.000 -.0012956 -.0010793
age .0771905 .0020002 38.59 0.000 .0732698 .0811111
grade 0 (omitted)
ln_wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
corr(u_i, Xb) = 0.1915 Prob > F = 0.0000
F(6,19241) = 823.11
overall = 0.1948 max = 14
between = 0.2936 avg = 5.6
within = 0.2042 min = 1
R-sq: Obs per group:
Group variable: idcode Number of groups = 4,147
FE (within) regression with AR(1) disturbances Number of obs = 23,394
note: black dropped because of collinearity
note: grade dropped because of collinearity
. xtregar ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* black not_smsa south, fe
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51
4.7. Heterocedasticidad
Cuando la varianza de los errores de cada unidad transversal no es constante, nos
encontramos con una violación de los supuestos Gauss-Markov. Una forma de saber si
nuestra estimación tiene problemas de heteroscedastidad es a través de la prueba del
Multiplicador de Lagrange de Breusch y Pagan. Sin embargo, de acuerdo con Greene,
ésta y otras pruebas son sensibles al supuesto sobre la normalidad de los errores;
afortunadamente, la prueba Modificada de Wald para Heterocedasticidad funciona aún
cuando dicho supuesto es violado 17 (INFOPUC, 2011)
5. Efectos fijos vs. Aleatorios
Las pruebas de Breusch y Pagan para efectos aleatorios, y la prueba F de significancia de
los efectos fijos nos indican que tanto el modelo de efectos aleatorios como el de efectos
fijos son mejores que el modelo agrupado. ¿Pero cómo decidir cuál de los dos usar? La
respuesta depende de la posible correlación entre el componente de error individual iu
y las variables X. El modelo de efectos aleatorios supone que esta correlación es igual a
cero. Hausman demostró que la diferencia entre los coeficientes de efectos fijos y
aleatorios ef eaβ -β pude ser usada para probar la hipótesis nula de que iu y las
variables X no están correlacionadas.
Así pues, la Ho de la prueba de Hausman es que los estimadores de efectos aleatorios
y de efectos fijos no difieren sustancialmente. Si se rechaza la Ho, los estimadores sí
difieren, y la conclusión es efectos fijos es más conveniente que efectos aleatorios. Si
17 Para una discusión sobre esta prueba, consulta Greene, W. 2000. Econometric Analysis. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, p. 598.
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no podemos rechazar Ho, no hay sesgo de qué preocuparnos y preferimos efectos
aleatorios que, al no estimar tantas dummies, es un modelo más eficiente. La prueba de
Hausman se implementa en Stata después de la regresión con efectos aleatorios con el
comando hausman (INFOPUC, 2011):
xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* race ///
not_smsa south, re
estimates store RANDOM
xi: xtreg ln_wage grade age* ttl_exp* tenure* race not_smsa south,fe
estimates store FIXED
hausman FIXED RANDOM
En nuestro ejemplo, la Ho se rechaza; es decir, la diferencia entre los coeficientes de
efectos aleatorios y fijos sí es sistemática. Por lo tanto, conviene usar el método de efectos
fijos.
6. Efectos temporales (two-way fixed effects)
La incorporación de variables dicotómicas de las personas permite modelar
características de las unidades transversales (mujeres) que no cambian en el tiempo pero
que sí afectan el resultado de interés. Ahora bien, también es posible agregar variab les
dicotómicas temporales a nuestro modelo, es decir, una para cada año en la muestra, que
Prob>chi2 = 0.0000
= 149.43
chi2(8) = (b-B)'[(V_b-V_B)^(-1)](b-B)
Test: Ho: difference in coefficients not systematic
B = inconsistent under Ha, efficient under Ho; obtained from xtreg
b = consistent under Ho and Ha; obtained from xtreg
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53
capturen eventos comunes a todas las personas durante un período u otro—como una
gran depresión o guerra mundial18. Agregando efectos temporales, la ecuación anterior
se transforma en:
= + + +1 1it i t it it
Y X (52)
Donde representa un vector de variables dicotómicas para cada año. Estas variable s
dicotómicas permitirán controlar por aquellos eventos a los que fueron sujetos todas las
personas en un año dado y, al igual que los efectos fijos, pueden reducir sesgos
importantes. En Stata podemos incorporar efectos temporales a nuestro modelo de
efectos fijos con el comando xi.
xi: xtreg ln_wage age age2 i.year, fe
18 Para hacer la distinción algunos autores suelen hablar de efectos idiosincráticos y efectos covariados.
.
F test that all u_i=0: F(4709, 23784) = 8.75 Prob > F = 0.0000
rho .64120306 (fraction of variance due to u_i)
sigma_e .30127563
sigma_u .40275174
_cons .3937532 .2001741 1.97 0.049 .0013992 .7861072
_Iyear_88 .1904977 .2068016 0.92 0.357 -.2148466 .595842
_Iyear_87 .1242272 .1930108 0.64 0.520 -.2540863 .5025406
_Iyear_85 .1042758 .1726431 0.60 0.546 -.2341157 .4426673
_Iyear_83 .058766 .1523743 0.39 0.700 -.2398974 .3574294
_Iyear_82 .0391687 .1423573 0.28 0.783 -.2398606 .318198
_Iyear_80 .0369475 .1221806 0.30 0.762 -.2025343 .2764293
_Iyear_78 .0537334 .1023339 0.53 0.600 -.1468475 .2543143
_Iyear_77 .0340933 .0918106 0.37 0.710 -.1458613 .2140478
_Iyear_75 .0151376 .0717194 0.21 0.833 -.1254371 .1557123
_Iyear_73 .0424104 .052118 0.81 0.416 -.0597442 .1445651
_Iyear_72 .0510671 .0422995 1.21 0.227 -.0318426 .1339769
_Iyear_71 .0579959 .0326524 1.78 0.076 -.0060048 .1219967
_Iyear_70 .0284423 .0234621 1.21 0.225 -.017545 .0744295
_Iyear_69 .0647054 .0158222 4.09 0.000 .0336928 .095718
age2 -.0010113 .000061 -16.57 0.000 -.0011309 -.0008917
age .0728746 .0107894 6.75 0.000 .0517267 .0940224
ln_wage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
corr(u_i, Xb) = 0.0613 Prob > F = 0.0000
F(16,23784) = 195.45
overall = 0.0932 max = 15
between = 0.1078 avg = 6.1
within = 0.1162 min = 1
R-sq: Obs per group:
Group variable: idcode Number of groups = 4,710
Fixed-effects (within) regression Number of obs = 28,510
i.year _Iyear_68-88 (naturally coded; _Iyear_68 omitted)
. xi: xtreg ln_wage age age2 i.year, fe
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54
O bien, generando tanto las dummies de personas como de año (computacionalmente
más costoso),
xi: xtreg ln_wage age age2 i.year i.idcode, fe
Al igual que con los efectos individuales, podemos realizar una prueba F para conocer la
significancia conjunta de las variables dicotómicas temporales en nuestro modelo. La
hipótesis nula es que:
= = =1 2
.... 0T
. En nuestro ejemplo, luego de estimar un modelo con efectos fijos
individuales y temporales, indicamos en la ventana de comando:
testparm _Iyear_69 - _Iyear_88 // -testparm- es similar a –test-
El p-value de la prueba F nos indica que rechazamos la Ho, por lo que es posible afirmar
que las variables dicotómicas temporales son conjuntamente significativas y pertenecen
al modelo.
Prob > F = 0.0000
F( 14, 23784) = 14.33
(14) _Iyear_88 = 0
(13) _Iyear_87 = 0
(12) _Iyear_85 = 0
(11) _Iyear_83 = 0
(10) _Iyear_82 = 0
( 9) _Iyear_80 = 0
( 8) _Iyear_78 = 0
( 7) _Iyear_77 = 0
( 6) _Iyear_75 = 0
( 5) _Iyear_73 = 0
( 4) _Iyear_72 = 0
( 3) _Iyear_71 = 0
( 2) _Iyear_70 = 0
( 1) _Iyear_69 = 0
. testparm _Iyear_69 - _Iyear_88 // -testparm- es similar a –test-
.
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55
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