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INTRODUCCIÓN Fenómenos de Transporte: Estudia el transporte de cantidad de movimiento (o

momentum), transporte de calor y transporte de masa. Mecánica: Es la ciencia que estudia el equilibrio y el movimiento de

cuerpos sólidos, líquidos y gaseosos, así como las causas que provocan este movimiento.

Cuando se trata solamente de líquidos y gases, que son denominados fluidos, recae en el rama de la mecánica conocida como Mecánica de los Fluidos.

Mecánica de los Fluidos:

• Es la ciencia que trata del comportamiento de los fluidos en reposo y en movimiento.

• Transporte de cantidad de movimiento en los fluidos.

Definición de fluido

Desde que la Mecánica de los Fluidos es la ciencia que estudia el comportamiento de los fluidos en reposo y en movimiento, es lógico que se comience con la definición de fluido. En general, la materia se clasifica por la forma física que se encuentra en la naturaleza. Estas formas, conocidas como fases o estados son:

• Sólido • Líquido • Gaseoso

Debido a la similitud en el comportamiento dinámico de los líquidos y gases, ellos son conocidos como fluidos. El estado sólido es generalmente característico por la resistencia que el material sólido ofrece al cambio de forma, o sea, las moléculas de un sólido presentan relativa inmovilidad. Sus posiciones medias en el espacio son fijas, pero vibran y giran en torno de esa posición. Por otro lado, los líquidos y en mayor grado los gases, no ofrecen resistencia al cambio de forma, o cuando lo hacen, es en escala mucho menor. De una manera general, el fluido se caracteriza por la relativa movilidad de sus moléculas que, además de presentar los movimientos de rotación y de vibración, poseen movimiento de translación y por lo tanto no presentan una posición media fija en el cuerpo del fluido. Una experiencia simple ilustra el comportamiento distinto de una porción de fluido y de sólido cuando es sujeta a la acción de fuerzas de la misma naturaleza. Considere un vaso lleno de agua. Si el vaso se voltea sobre una superficie plana (de modo que no derrama el agua), se observa

que el agua contenida en las paredes del recipiente imprime una fuerza en la superficie plana; la resultante de las fuerzas que actúan en el sistema es, obviamente nula. Ahora, si el vaso es levantado, el volumen del líquido que esta dentro se deformará continua e irreversiblemente y acabará por esparcirse, en una película de altura uniforme, sobre la superficie plana. Si la experiencia se repite con hielo, se observa que el material no se deformará, esto es, su forma inicial será mantenida indefinidamente, si las condiciones iniciales se mantienen. Como el hielo, todos los cuerpos sólidos se comportaran análogamente. La principal distinción entre sólido y fluido, es por lo tanto debido al comportamiento que presentan en fase a las fuerzas externas. Esa distinción por lo tanto, depende del tipo de fuerza a que ambos – sólido y fluido – están sujetos. Por ejemplo, se una fuerza de compresión (fuerza aplicada en la dirección normal de la superficie del material en cuestión) es usada para distinguir un sólido de un fluido, este último seria inicialmente comprimido, y a partir de un cierto punto él se comportaría exactamente como se fuese un sólido, o sea, seria incompresible, (Figura).

Figura 1.1: Fuerza de compresión en un fluido

En el caso de las fuerzas cisallantes (fuerzas aplicadas en la dirección perpendicular a la dirección de la normal a la superficie del material considerado, o sea, fuerzas tangenciales a la superficie), el sólido presenta una resistencia finita, pero que en los fluidos esta resistencia prácticamente no existe, o sea, se deforman para cualquier valor de la fuerza cisallante.

Sólido Suponiendo un bloque con la base unida a la superficie de apoyo, en cuanto que en la parte superior tenemos una placa en la cual se aplica una fuerza F.

Figura 1.2 (a) - Sólido

Si aplicamos una fuerza F a la placa, esta a su vez ejerce un esfuerzo cisallante sobre el bloque que se deforma y esta deformación resultante se llama deformación angular. En el ejemplo ilustrado en la Figura, el bloque de sólido tiene su forma modificada (caracterizada por el ángulo) cuando es sujeto a la acción de una fuerza cisallante. En este caso verificamos que el ángulo de deformación es proporcional a la fuerza que provocó la deformación. Esta relación es solamente válida dentro del regimen elástico para sólido.

La ley de Hooke de la deformación de sólidos se enuncia de la siguiente forma: “En el dominio de las deformaciones elásticas, las deformaciones producidas son proporcionales a las fuerzas que las producen”.

La fuerza de cisallamiento se define por , donde A es el área de la placa. Se sabe que dentro de ciertos limites la relación entre el desplazamiento ∆L y la altura H es proporcional a la τ.

(1) G = constante de proporcionalidad

(2) Substituyendo (2) en (1):

(3) donde: τ – tensión de cisallamiento

F – fuerza cisallante A – área donde la fuerza F se aplica ∆α - deformación angular G – módulo de elasticidad Cuando una sustancia obedece a la ecuación (3), es calificada de “sólido (elástico) de Hooke”. Entonces la característica de sólido de Hooke es:

la deformación angular ∆α es proporcional al esfuerzo cortante.

Fluido Supongamos ahora esta misma fuerza aplicada a un elemento de fluido. No habrá un valor fijo para el ángulo de deformación ∆α, característico del cisallamiento, pero, se observa una deformación continua e irreversible del elemento del fluido, aunque para pequeños valores da fuerza cisallante (ver Figura).

Figura 1.2 (b) - Fluido De lo expuesto, se concluye que los sólidos resisten las fuerzas de cisallamiento hasta que su limite elástico se alcanza (este valor es denominado tensión crítica de cisallamiento), a partir de la cual experimentan una deformación irreversible, mientras que los fluidos son inmediatamente deformados irreversiblemente, mismo para pequeños valores da tensión de cisallamiento.

Un fluido se define como una sustancia que cambia continuamente de forma mientras existe una tensión de cisallamiento, todavía que esta sea pequeña. Una fuerza de cisallamiento es la componente tangencial de la fuerza que actúa sobre la superficie, y dividida por el área de la superficie que dá origen a la tensión de cisallamiento media sobre el área. No todos los fluidos presentan la misma relación entre la tensión y la tasa de deformación. Los fluidos para el cual la tasa de deformación es directamente proporcional a la tensión de cisallamiento, son llamados Newtonianos en homenaje a Isaac Newton que fue el primero que observó tal fenómeno. Se tiene entonces:

τ = µ γ donde: τ = tensión de cisallamiento

γ = tasa de deformación

µ = coeficiente de proporcionalidad

El coeficiente de proporcionalidad, µ es una propiedad característica del fluido.

Hipótesis del continuo En la definición de un fluido no se mencionó la estructura molecular de los fluidos, a pesar que todos estan compuestos de moleculas en movimiento constante. Pero, en la mayoria de las aplicaciones de ingeniería, solamente interesan los efectos promedios de un conjunto de moléculas. Son entonces estos efectos macroscópicos que podemos percibir y medir. Así el fluido se trata como una sustancia infinitamente divisíble, un continuo. El concepto de CONTINUUM es la base de la mecánica de los fluidos clásica y como la mecánica de fluidos consiste fundamentalmente en la aplicación de las leyes de la mecánica al movimiento de fluidos, es evidentemente impraticáble aplicar esas leyes para cada molécula del fluido. Por ejemplo: la velocidad de un punto en el espacio es indefinida en un medio molecular, pues será cero hasta que cuando una molecula ocupe exactamente ese punto, y ahi seria la velocidad de la molecula y no la velocidad promedio de las particulas a los alrededores del punto. Ese dilema se puede evitar si se considera la velocidad de un punto como siendo el promedio de las velocidades de todas las moleculas existentes en torno del punto, o sea, dentro de una pequeña esfera con radio suficientemente grande comparado con la “distancia promedio entre las moleculas”. Se buscan entonces los valores promedios (relativos al espacio y al tiempo) de las grandezas que caracterizan el comportamiento de porciones de fluidos, de dimensiones

mínimas arbitrarias, de tal modo que sea entonces posíble la aplicación de aquellas leyes, mediante hipotesis restrictivas y extrapolaciones adecuadas. El significado atribuido a la mayoria de las propiedades dependen de la existencia del CONTINUUM en el sistema considerado. Por ejemplo: el significado de la presión en un tanque cerrado se aplica frequentemente como la fuerza total por unidad de área aplicada en la pared del tanque, debido a los impactos contínuos de las moléculas sobre las paredes del tanque. “Una cierta masa de gás contenida en un volumen constante y sujeto a una temperatura constante, presenta siempre la misma presión”. Esta conocida ley comienza a perder sentido cuando el volumen considerado pasa a contener una cantidad de masa tan pequeña que apenas algunas moleculas se encuentran presentes. Si la presión es todavia definida como antes, con el número muy pequeño de moleculas, su valor iria depender de la probabilidad de las moleculas se choquen con la pared en un determinado instante. De este modo la presión no será continua (constante) variando de tiempo en tiempo. El mismo argumento es válido para volumenes muy pequeños de diferentes sustancias donde solamente algunas moleculas están presentes.

Cabe entonces la siguiente pregunta: hasta que magnitud, un volumen conteniendo una cierta sustancia puede ser considerado un continuo? O que es lo mismo: cual es el menor número de moleculas de una sustancia que debe contener un cierto volumen para que este sea considerado un continuo? El continuo se dice que existe en un cierto volumen de una sustancia cuando el volumen contiene un número de moleculas suficiente para que los efectos promedios de las moleculas en las propiedades, dentro del volumen, sean constantes o varien continuamente con el tiempo y la dimensión del volumen. En un continuo la molecula no tiene significado; la menor división permitida de la sustancia es un volumen conteniendo un número considerable de moleculas. La teoria del CONTINUUM deja de tener valides siempre que la distancia media entre las colisiones de las moleculas – Teoria Cinética Molecular – (aproximadamente 6.3x10-6 pulgadas para el aire en la Condiciones Normales de T y P) se torna de la misma orden de grandeza que la menor dimensión relevante caracteristica del problema. De lo dicho, se concluye que para los gases rarefeitos (por ejemplo: flujo hipersónico y tecnologia de alto vacio), la hipótesis del continuo no se aplica, deviendo entonces estudiar los problemas particulares desde el punto de vista microscópico, con el auxilio de la Teoria Cinética Molecular.

Ilustración: Considere un mol de gás en las CNTP. El volumen ocupado será 22.4 litros y , el número de moléculas del gás será el própio número de Avogrado o sea, 6.023 x 1023.

Así, el volumen correspondiente a un cubo con un milésimo de milímetro de arista (valor suficientemente pequeño para que un gran número de aplicaciones en la Ingenieria sea asociado a un punto), contendrá 2.685 x 107 moléculas, que corresponde a un número suficientemente grande para que sean significativos los valores médios estatísticos de sus propiedades, o lo que en otras palabras significa la valides de la hipótesis del continuo.

La figura que siguiente representa esquematicamente lo que foi explicado anteriormente:

Figura – Influencia del volumen en las propiedades de los

fluidos

Campo de la Mecánica de los Fluidos

Este amplio campo llega a incluir muchas áreas altamente especializadas como por ejemplo:

El estudio del comportamiento de huracán El flujo del agua a través de un canal Las olas de presión producidas en la explosión de una

bomba Las características aerodinámicas de un avión

supersónico Una de las preguntas mas comunes en los cursos de Ingeniería son: Por que estudiar Mecánica de los Fluidos? El conocimiento y entendimiento de los principios y conceptos básicos de la Mecánica de los Fluidos son esenciales en el análisis y proyecto de cualquier sistema en el cual un fluido es el medio actuante. El proyecto de todos los medios de transporte requiere la aplicación de los principios de Mecánica de los Fluidos. En estos se incluye:

• las alas de aviones para vuelos subsónicos y supersónicos

• máquinas de gran efecto • pistas inclinadas y verticales para despegue • cascos de barcos y navíos • proyectos de submarinos y automóviles

Recientemente las industrias de automóvil han dado bastante importancia a los proyectos aerodinámicos. Esta importancia también ha sido para los proyectos de carros y barcos de corrida. El proyecto de sistemas de propulsión para vuelos especiales así como también para fuegos pirotécnicos es basado en los principios de la Mecánica de de los Fluidos. Estos mismos principios son utilizados en modelos para la determinación de las fuerzas aerodinámicas debidas a las corrientes de aire alrededor de edificios y estructuras.

El proyecto de todo tipo de máquinas de flujo incluyendo bombas, separadores, compresores y turbinas requieren claramente el conocimiento de Mecánica de los Fluidos. Lubricación, sistemas de calentamiento y refrigeración para residencias particulares y grandes edificios comerciales, sistemas de ventilación en túneles y el proyecto de sistemas de tuberías para el transporte de fluidos requiere también el conocimiento de la Mecánica de los Fluidos. El sistema de circulación de sangre en el cuerpo humano es esencialmente un sistema de transporte de fluido y como consecuencia el proyecto de corazones y pulmones artificiales son basados en los principios de la Mecánica de los Fluidos. Esta claro que solamente iremos estudiar en detalles apenas una pequeña porcentaje de estos problemas. Pero, estudiaremos las leyes básicas y los conceptos físicos asociados, que serán la base, o sea el punto de partida para el análisis de cualquier problema en Mecánica de los Fluidos.

Observación histórica Hasta el inicio del siglo el estudio de los fluidos se efectuó esencialmente por dos grupos – Hidráulicos y Matemáticos. Los Hidráulicos trabajaban de forma empírica, mientras que los Matemáticos se concentraban en la forma analítica. Posteriormente se tornó claro para científicos eminentes que el estudio de los fluidos debe consistir en una combinación de la teoría y de la experiencia. Importancia: En los problemas mas importantes, tales como:

• Producción de energía • Producción y conservación de alimentos • Obtención del agua potable

• Polución • Procesamiento de minerales • Desarrollo industrial • Aplicaciones de la Ingeniería a la Medicina

siempre aparecen cálculos de: • Perdida de carga • Fuerzas de arrastre • Intercambiadores de calor • Intercambiadores de sustancias entre las fases

De esta forma, se torna importante el conocimiento global de las leyes tratadas de lo que se denomina Fenómenos de Transporte.

Métodos de Análisis

Las leyes básicas empleadas en el análisis de problemas de Mecánica de los Fluidos son las mismas utilizadas anteriormente en los primeros estudios de Termodinámica y Mecánica Básica. De estos estudios se sabe que la primera etapa en la resolución de un problema es definir el sistema para el análisis. En la Termodinámica, se refiere al sistema en análisis como sistema cerrado o sistema abierto. En la Mecánica de los Fluidos se utilizarán los terminos:

• Sistema • Volumen de Control

Sistema

Un sistema se define como una cantidad fija de masa, distinta del medio y separada de él a través de sus fronteras.

Un sistema, así como un cuerpo sólido, puede sufrir cambios en la cantidad de movimiento y en su energía, pero no altera su masa. Un sistema puede estar estacionario o estar en movimiento. De esta forma, las fronteras del sistema pueden ser fijas o móviles, pero no puede haber cambio de masa a través de ella.

Frontera de un Sistema

Es una superficie cerrada que puede variar con el tiempo, desde que contenga siempre la misma masa, cualquiera que

sea su transformación

Ej: Una masa de gas puede ser confinada en un cilindro y comprimida por el movimiento de un pistón; si la frontera del sistema coincide con la cabeza del pistón, se moverá con ella misma.

De la Termodinámica se sabe que calor y trabajo pueden atravesar la frontera del sistema, pero la cantidad de masa dentro de la frontera del sistema permanece fija. Si el cilindro se calienta el pistón se mueve, debido al aumento de volumen del gas. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una gran masa finita de fluidos y sólidos arbitrariamente. En los cursos de Mecánica General se usa frecuentemente un cuerpo libre (sistema aproximado) Esto es lógico porque se trabaja con un cuerpo rígido, fácilmente identificable. Pero, en la Mecánica de los Fluidos, los estudios son normalmente conectados con el flujo de fluidos a través de compresores, turbinas, tuberías, orificios, etc. Se hace mas conveniente entonces, para fines de análisis, focalizar la atención en un volumen del espacio a través del cual el fluido fluye, o sea, el uso de un volumen de control.

Volumen de control Un volumen de control es un volumen arbitrario en el espacio,

a través del cual el fluido fluye.

Superficie de control

Es la superficie que envuelve el volumen de control La superficie de control puede ser real o imaginaria y puede estar parada o en movimiento.

La pared interna de la tubería, que es una frontera física real, contiene parte de la superficie de control. Pero se entiende que la porciones verticales de la superficie de control son imaginarias, o sea, no existe superficie física correspondiente. La forma y el tamaño del volumen de control son totalmente arbitrarios, pero, frecuentemente se hace coincidir una parte de su volumen con las paredes sólidas y otras partes son adoptadas normales al flujo para simplificar el estudio.

Tratamiento diferencial versus integral Las leyes básicas aplicadas al estudio de Mecánica de los Fluidos pueden ser formuladas en términos:

Infinitesimales Las ecuaciones resultantes son ecuacionesdiferenciales

Sistemas finitos y volúmenes de control

Resultan ecuaciones globales, o sea, ecuaciones que de cierto modo gobiernan el comportamiento del fluido

Cuando las ecuaciones diferenciales tienen solución, el tratamiento diferencial da un medio para determinar el comportamiento detallado (punto a punto) del flujo. Pero, frecuentemente los problemas en estudio no requieren un conocimiento detallado del flujo. Siempre se tiene interés en el comportamiento general y entonces se debe hacer uso de la formulación integral de las leyes básicas. La formulación integral utiliza los sistemas finitos o volúmenes de control y tienen un tratamiento analítico mas fácil.

Métodos de Descripción

Representación de Lagrange y representación de Euler

Campo El termino campo se refiere a una cantidad cualquiera definida

como una función de posición y tiempo a través de una cierta región.

Existen dos formas diferentes de representación para campos en Mecánica de los Fluidos:

• Forma o análisis de Lagrange (sigue el movimiento) • Forma o análisis de Euler (fijo en el espacio)

La diferencia entre los dos tratamientos está básicamente en la manera por la cual se identifica el campo.

En el análisis de Lagrange las variables físicas se describen para un elemento particular de fluido, a largo de toda su trayectoria a través del flujo. (x,y,z) → coordenadas del elemento de fluido → función del tiempo Entonces, las coordenadas (x,y,z) son variables dependientes en el análisis de Lagrange. El elemento de fluido se identifica por su posición en el campo en algún tiempo arbitrario, usualmente t = 0. El campo de velocidad se escribe: V = V(a,b,c,t) donde (a,b,c) se refiere a la posición inicial del elemento del fluido. El tratamiento de Lagrange es raramente utilizado en Mecánica de los Fluidos, visto que la información mas deseada es usualmente el valor de una variable particular del fluido a un punto fijo del flujo, en lugar de una variable del fluido identificada por el flujo de un elemento de fluido a largo de su trayectoria. El análisis de Euler da el valor de la variable de un fluido en un cierto punto a un cierto tiempo. La forma funcional del campo de velocidad se escribe como: V = V(x,y,z,t) donde x,y,z y t son todas variables independientes. Resumiendo:

• Análisis de Lagrange – análisis para el sistema que efectivamente sigue el movimiento de las partículas.

• Análisis de Euler – observa el flujo a partir de un sistema de referencia, fijo en relación a un volumen de control.

Derivadas Sea C la concentración de peces en un río. Los peces se están moviendo: C = C(x,y,z,t)

Derivada parcial: Estamos en un puente y observamos como la concentración de peces debajo de nosotros cambia con el tiempo. Observamos como la concentración cambia con el tiempo en una posición fija en el espacio. - derivada parcial de C en relación a t, considerando (x,y,z)

constantes.

Derivada total: Tomamos un barco y vamos alguna vez para arriba, para abajo y para el lado.

(1)

donde: - componentes da velocidad del barco. Derivada sustancial, sustantiva o derivada siguiendo el

movimiento: Tomamos una balsa y fluctuamos. A hora la velocidad del observador es igual a la velocidad de la corriente v. Cuando medimos el cambio de la concentración de peces con el tiempo, los números dependen de la velocidad local de la corriente.

(2) donde: vx, vy, vz – son las componentes de la velocidad local del fluido v.

Masa y Fuerza

Masa

Es definida como la cantidad de materia de un cuerpo. Esta cantidad es función de la estructura interna de ese cuerpo y

de sus dimensiones Considerando una cierta masa de un cuerpo, su valor permanece inalterable con relación a influencias externas tales como:

• localización geográfica

• temperatura • presión

Este concepto de indestructibilidad de la masa es muy importante en los problemas físicos asociados con la materia. En la Mecánica de los Fluidos este echo es generalmente conocido como “Principio de la Conservación de la Masa” o “Continuidad de la Masa”. Como el volumen de una sustancia es función de la temperatura y de la presión, por convención se dice que la masa de 1 gramo seria equivalente a 1cm3 de H2O a 4oC y sometida a la presión atmosférica estándar o sea lo equivalente a 760 mmHg. En 1686 Isaac Newton estableció su ley de la inercia, diciendo que:

“En la ausencia de influencias externas una cierta masa tiende a mantenerse en reposo o moverse en línea recta

con una velocidad uniforme”. Las influencias externas que pueden colocar un cuerpo en movimiento o cambiar la dirección de su movimiento son llamadas de FUERZA. "Cuando una masa m se coloca en movimiento del reposo hasta una cierta velocidad, o cuando la dirección de esta velocidad cambia, se puede verificar que la fuerza F necesaria para provocar este cambio es, en el caso particular de la masa m ser constante, directamente proporcional a la rapidez o tasa de variación de la velocidad"

La tasa de variación de la velocidad se conoce como siendo la aceleración a de la masa m y, así como la velocidad y la fuerza, es una grandeza vectorial.

entonces:

Dimensiones y Sistemas de Unidades

La medida de cualquier grandeza física se puede expresar como el producto de dos valores, siendo una la grandeza de la unidad escogida y el otro el número de esas unidades. Así, la distancia entre dos puntos se puede expresar como 1m, o como 100cm o también como 3.28 ft. El metro, el centímetro y el pie (ft) son respectivamente las grandezas de las unidades y 1, 100 y 3.28 son los correspondientes números de unidades. Cuando la magnitud de la cantidad medida depende de la naturaleza de la unidad escogida para efectuar la medida, se dice que la cantidad en cuestión posee dimensión.

Dimensiones Son conceptos básicos de medidas tales como:

longitud (L) masa (M) fuerza (F) tiempo (T) temperatura (θ)

Unidades

Son las diversas maneras a través de las cuales se pueden expresar las dimensiones Ejemplos:

longitud: centímetro (cm); pie (ft); pulgada (in); masa: gramo (g); libra masa (lbm); tonelada (ton); fuerza: dina (di); gramo fuerza (gf); libra fuerza (lbf); tiempo: hora (h); minuto (min); segundo (s).

Regla: “Tratar las unidades como se fuesen símbolos algebraicos” No se puede sumar, sustraer, multiplicar o dividir unidades diferentes entre si y después cancelarlas: 1 cm + 1 s es 1 cm + 1 s Pero, cuando se trata de operaciones cuyos términos que presentan unidades diferentes, pero con las mismas dimensiones, la operación se puede efectuar mediante una simple transformación de unidades. 1 m + 30 cm (dos términos con dimensiones de longitud) 1 m = 100 cm entonces, 1 m + 30 cm = 100 cm + 30 cm = 130 cm. Ejemplo 1: Un campo de fotebol presenta un área de 4,000 m2. Calcular su área en cm2. 1 m = 100 cm; 1 m2 = (100)2 cm2;

4.000 m2 x 2

24

m1cm10

= 4 x 107 cm2

Ejemplo 2: Agua fluye de un caño con un caudal de 200 in3/dia. Calcular el valor del caudal en cm3/min. 1 in = 2.54 cm; 1 in3 = (2.54)3 cm3;

1 dia = 24 h = 24 x 60 min;

Ejemplo 3: Si un avión viaja con una velocidad de 2 veces la velocidad del sonido (vsom = 1,100 ft/s), calcular su velocidad en millas/h. 1 milla = 5,280 ft; 1 h = 3,600 s

Sistemas de unidades Las grandezas básicas y las derivadas se pueden expresar en los diferentes sistemas de unidades.

Dimensiones básicas MLTθ (Sistema absoluto)

Sistema Internacional de Unidades (S.I.) Este sistema está siendo adoptado internacionalmente y

se basa en el anterior sistema metro-kilogramo-segundo (M.K.S.) en lo cual las unidades básicas son las siguientes:

Longitud = metro (m) L Masa = kilogramo (kg) M Tiempo = segundo (s) T Temperatura = Kelvin (K) θ Este sistema es una modificación del sistema C.G.S. en que se usan unidades mayores. La unidad de fuerza, llamada Newton, es la que dará una aceleración de 1 metro por segundo a una masa de 1 kilogramo. La unidad de energía, el Newton-metro, es 107 ergs y se llama joule.

La unidad de potencia, igual a 1 joule por segundo, es el watt. La unidad de presión es el Pascal (Pa), igual a Newton por metro cuadrado (N/m2 o kg m-1 s-2) Sistema pie-libra-segundo (F.P.S.)

En este sistema se usan las siguientes unidades básicas:

Longitud = pie (ft) L Masa = libra masa (lbm) M Tiempo = segundo (s) T Temperatura = Rankine (R) θ La unidad de fuerza, el poundal, es la fuerza que provocará una aceleración de 1 pie por segundo a una masa de 1 libra masa, o sea: 1 poundal = 1 (libra massa) (pie) (segundo)-2

Sistema métrico absoluto ou C.G.S. En este sistema las dimensiones básicas son las siguientes:

Longitud = centímetro (cm) L Masa = gramo (g) M Tiempo = segundo (s) T Temperatura = Kelvin (K) θ La unidad de fuerza es la fuerza que dará a una masa de 1 gramo la aceleración de 1 centímetro por segundo por segundo y se llama dina. Por lo tanto, 1 dina = 1 (gramo) (centímetro) (segundo)-2 La unidad de energía correspondiente es dina-cm que se llama erg.

Dimensiones básicas FLTθ (Sistema gravitacional)

British Gravitational System

Este sistema usa también el pie el segundo para

unidades de longitud y tiempo, pero emplea la libra fuerza para la tercera unidad fundamental.

La libra fuerza se define como la fuerza que imprime a la

masa de una libra una aceleración de 32.174 pie por segundo por segundo.

Por lo tanto las unidades fundamentales son:

Longitud = pie (ft) L Fuerza = libra fuerza (lbf) F Tiempo = segundo (s) T Temperatura = Rankine (R) θ La unidad de masa en este sistema se llama de slug y es la masa que recibe una aceleración de 1 pie por segundo por segundo con la aplicación de 1 libra fuerza, o sea: 1 slug = 1 (libra fuerza) (pie)-1 (segundo)2 La unidad de energía es el pie-libra fuerza, pero se designa siempre como el pie-libra.

M.K.S. técnico o gravitacional Este sistema tiene como unidad de fuerza el kilogramo

fuerza (kgf), que es la fuerza que dará una aceleración de 9.81 metros por segundo por segundo a una masa de 1 kilogramo.

Sus unidades fundamentales son:

Longitud = metro (m) L Fuerza = kilogramo fuerza (kgf) F Tiempo = segundo (s) T Temperatura = Kelvin (K) θ

La unidad de masa en este sistema es el U.T.M. (unidad técnica de masa). En el sistema absoluto, la unidad de fuerza está definida por la ley de Newton en términos de masa y aceleración, o sea:

Entonces, el kilogramo (kg) y la libra masa (lbm) son definidas independientemente de la ley de Newton, mientras tanto que el Newton (N) y el Poundal (pdl) son unidades de fuerza derivadas por la propia ley. Ya en el sistema gravitacional la unidad de masa es el que pasa a ser definida por la ley de Newton en términos de fuerza y aceleración. Entonces:

Así, resulta que el kilogramo fuerza (kgf) y la libra fuerza (lbf) son definidas independientemente de la ley de Newton mientras que el UTM y el slug son unidades derivadas. Como unidades de fuerza y masa se pueden definir independientemente de la ley de Newton, surge la necesidad de utilizar un factor de conversión para tornar la ecuación dimensionalmente consistente.

Entonces:

En el sistema internacional de unidades S.I. por ejemplo, la unidad de fuerza es el Newton, entonces:

De este modo,

( ) ( ) N1sm1kg1smkg

N1F 22 =

=

En el sistema C.G.S. la unidad de fuerza es la dina, por lo tanto:

Siendo así,

Dimensiones básicas FMLTθ (Sistema híbrido)

Sistema ingles de Ingenieria (English Engineering System)

Para este sistema la unidad de fuerza es la libra fuerza

(lbf), la unidad de masa es la libra masa (lbm), la unidad de longitud es el pie (ft), la unidad de tiempo es el segundo (s) y la unidad de temperatura el grado Rankine (R). En este sistema se exige que el valor numérico de la fuerza y de la masa sea el mismo en la superficie terrestre. Entonces:

y

El valor numérico escogido para K es de 1/32.174 que es el mismo valor de la aceleración de la gravedad en ft/s2 al nivel del mar a 45o de latitud.

Resulta que:

Sistema que utiliza unidades del sistema métrico De la misma forma se define el gC para otro sistema

híbrido que tiene como unidad de fuerza el kilogramo fuerza (kgf), de masa el kilogramo (kg), de longitud el metro (m), de tiempo el segundo (s) y de temperatura el grado Kelvin (K).

Por lo tanto,

Principio de la homogenidad dimensional Toda ecuación para ser consistente debe ser dimensionalmente homogénea, o sea, debe presentar las mismas dimensiones en ambos lados de la ecuación.

Ejercicio 1: Es la ecuación dimensionalmente homogénea? a – aceleración (L/T2) d – distancia (L) t – tiempo (T)

v0 – velocidad (L/T)

Respuesta: La ecuación es dimensionalmente consistente (o homogénea). Ejercicio 2: Cual es la dimensión del termino hf (perdidas) en la siguiente forma de la ecuación de la energía?

z1 y z2 – altura (L) v1 y v2 – velocidad (L/T) p1 y p2 – presión (fuerza/área) γ - peso específico (peso/volumen) Respuesta:

Entonces:

Luego hf (perdidas) tienen dimensión de longitud (L).

Comparación entre Newton y kgf; poundal y lbf

1 Newton = 1 kg 1m/s2 1 poundal = 1 lbm 1 ft/s2 1 kgf = 1kg 9.81 m/s2 1 lbf = 1 lbm 32.174 ft/s2

Comparación entre slug y lbm; UTM y kg

CONVERSIÓN DE UNIDADES

Longitud 1 Km = 1000 m 1 m = 100 cm = 39.37 in = 3.28 ft 1 cm = 10-2 m 1 mm = 10-3 m 1 m = 10-6 m 1 mm = 10-9 m 1 Å = 10-10 m 1 in = 2.54 cm 1 ft = 30.48 cm = 12 in

Área 1 mm2 = 10-6 m2 1 cm2 = 10-4 m2 1 m2 = 1.55 x 103 in2 1 Km2 = 106 m2 1 in2 = 6.45 cm2 1 ft2 = 92.9 x 10-3 m2

Volumen 1 ml = 10-3 L 1 L = 103 cm3 1 mm3 = 10-3 cm3 1 cm3 = 1 mL 1 dm3 = 103 cm3 1 m3 = 109 mm3 = 106 cm3 = 103 L 1 in3 = 16.39 cm3 1 ft3 = 28.32 x 103 cm3

Masa 1 g = 10-3 Kg 1 Kg = 103 cm3 = 2.2 lbm 1 ton = 103 Kg 1 lbm = 453.6 g 1 slug = 32.17 lbm = 14.59 Kg 1 onza = 28.35 g (avdp)

Velocidad 1 Km/h = 0.2778 m/s = 0.9113 ft/s = 27.78 cm/s 1 mm/s = 3.6 m/h 1 cm/s = 26 m/h 1 m/s = 3600 m/h = 100 cm/s 1 m/min = 60 m/h = 0.017 m/s = 3.28 ft/min 1 m/h = 3.28 ft/h = 0.0109 in/s

1 in/s = 91.44 m/h = 1.524 m/min = 2.54 cm/s . 1 ft/s = 1097.28 m/h = 18.288 m/min = 0.3048 cm/s = 12 in/s

Densidad 1 g/cm3 = 1000 Kg/m3 = 62.43 lbm /ft3 = 1 g/ml = 0.003613 lbm /in3 1 Kg/cm3 = 32.13 lbm/in3 1 Kg/m3 = 0.001 g/cm3 = 0.06243 lbm /ft3 = 3.61 lbm /in3 lbm/in3 = 27.68 g/cm3 lbm/ft3 = 5.79 x 10-4 lbm/in3

Caudal 1 L/s = 3600 L/h = 60 L/min = 61.02 in3/s = 2.12 ft3/min = 0.035 ft3/s 1cm3/s = 2.12 x 10-3 ft3/min 1 m3/min = 1000 L/min = 35.31 ft3/min 1 in3/s = 58.99 L/h = 0.03472 ft3/min 1 f t3/s = 101940.26 L/ h = 28.32 cm3/s = 3600 ft3/h = 1728 in3/s = 60 ft3/min

Tensión superficial 1 dina/cm = 10-3 N/m 1 gf/cm = 98.07 N/m 1 Kgf/m = 9.81 N/m 1 lbf/ft = 14.59 N/m

Presión 1 dina/cm2 = 0.01 Kgf/m2 = 0.001 cm H20 = 7.5 cm de Hg = 4 x 10-4 in de H20 = 2.09 x 10-3 lbf/ft2 = 1.45 lb /in2 = 2.95 x 10-5 in de Hg = 10-8 atm

1 N/m2 = 1 pasca1 = 0.101 Kgf/m2 = 7.5 x 10-3 m de Hg = 1.45 x 10-4 lbf/in2 = 10-7 atm

1 gf/cm2 = 981 din/cm2 = 98.07 N/m2 = 10 Kgf/m2 = 0.736 mm de Hg = 2.048 lb /ft2 = 0.029 in de Hg = 1.4 x 10-2 lbf/in2 = 9.68 x 10-4 atm

1 Kgf/cm2 = 981 x 103 din/cm2 = 105 Kgf/m2 = 103 gf/cm2 = 981 x 104 N/m2 = 104 mm de H2O = 736 mm de Hg, = 2.05 x 103 lbf/ft2 = 14.22 lbf/in2 = 0.968 atm

1 m de H2O = 9806.6 N/m2 = 103 Kgf/m2 = 73.6 mm Hg = 0.1 Kgf/cm2 = 204.8 lbf/ft2 = 3.28 ft de H20 = 2.9 in de Hg = 1.42 lbf/in2 = 0.097 atm

1 mm de Hg = 1 torr = 1333.2 din/cm2 = 13.59 Kgf/m2 = 1.36 gf/cm2 = 133.32 N/m2 = 13.59 mm de H20 = 2.78 lbf/ft2 = 0.54 in de H20 = 0.045 ft de H20 = 0.019 lbf/in2 = 1.31 x 10-3 atm

1 lbf/in2 = 6,89 x 104 din/cm2 = 6.89 N/m2 = 703,07 Kgf/m2 = 703,07 mm de H20 = 70,31 gf/cm2 = 0,7031 m de H20 = 0,0703 Kgf/cm2 = 144 lbf/ft2 = 0,1701 ft de Hg = 6.8 x 10-2 atm

1 atm = 1.013 x 106 din/cm2 = 1.013 x 105 N/m2 = 1.033 x 104 Kgf/m2 = 1.033 x 104 mm de H2O = 1.033 x 103 gf/cm2 = 10.13 N/cm2 = 1.033 Kgf/cm2 = 14.7 lbf/in2 = 14.7 psi

1 psia = 1 psi + 1 psig

Fuerza 1 N = 105 dina = 0.1020 Kgf = 0.2248 lbf 1 pound force (lbf ) = 4.448 N = 0.454 Kgf = 32.17 pounda1s 1 Kgf = 2.205 lb = 9.81 N

Energía 1 joule = 1 N.m = 107 ergs = 0.7376 lbf.ft = 0,2309 cal = 9,481 x 10-4 Btu 1 cal = 4.186 joules = 3.968 x 10-3 Btu 1 KWh = 3.6 x 106 joule = 860 Kcal 1 eV = 1.602 x 10-3 joule

Potencia 1 Watt = 1 joule/s = 107 erg/s = 0.2389 cal/s 1 hp = 745.7 Watt 1 KW = 1.341 hp = 0.9483 Btu/s

Viscosidad cinemática, difusividad y difusividad térmica 1 m2/s = 104 cm2/s = 3.875 x 104 ft2/h = 106 centistokes

Constante de los gases R = 1.987 cal g.mole-1 K-1 = 82.05 cm3 atm g.mole-1K-1 = 8.314 x 107 g cm2 s-2 g.mole-1 K-1 = 8.314 x 103 Kg m2 s-2 Kg.mole-1 K-1 = 4.968 x 104 Lbm ft2 s-2 lb.mole-1 °R-1 = 1.544 x 103 lbf lb.mole-1 K-1 °R ft

Conductividad térmica 1 g cm s-3 K-1 = 1 ergs s-1 cm-1 K-1 = 10-5 Kg m s-3 K-1 = 10-5 Watts m-1 K-1 = 4.0183 x 10-5 lbm ft s-3 °F-1 = 1.2489 x 10-6 lb s-l °F-1 = 2.3901 x 10-8 cal s-1 cm-1 K-1 = 5.7780 x 10-6 Btu h-1 ft-1 °F-1 1 Kg m s-3 K-1 = 105 ergs s-1 cm-1 K-1 = 4.0183 lb ft s-3 °F-1 = 1.2489 x 10-1 lbf s-1 °F-1 = 2.3901 x 10-3 cal s-1 cm-1 K-1 = 5.7780 x 10-1 Btu h-1 ft-1 °F-1 1 lbm ft s-3 °F-1 = 2.4886 x 104 g cm s-3 K-1 = 2.4886 x 10-1 Kg m s-3 K-1 = =3.1081 x 10-2 lbf s-1 F-1 = 5.9479 x 10-4 cal s-1 cm-1 K-1 = 1.4379 x 10-1 Btu h-1 ft-1 °F-1 1 lbf s-1 °F-1 = 8.0068 x 105 g cm s-3 K-1 = 8.0068 Kg m s-3 K-1 = 3.2174 x 10 lb ft s-3 °F-

1 = 1.9137 x 10-2 cal s-1 cm-1 K-1 = 4.6263 Btu h-1 ft-1 °F-1 1 cal s-1 cm-1 K-1 = 4,1840 x 107 g cm s-3 K-1 = 4,1840 x 102 Kg m s-3 K-1 = 1.6813 x 103 lb ft s-3 °F-1 = 5.2256 x 10 lbf s-1 °F-1 = 2.4175 x 102 Btu h-1 ft-1 °F-1 1 Btu h-1 ft-1 °F-1 = 1.7307 x 105 g cm s-3 K-1 = 1.7307 Kg m s-3 K-1 = 6.9546 lbm ft s-3

°F-1 = = 2.1616 x 10-1 lbf s-1 °F-1 = 4.1365 x 10-3 cal s-1 cm-1 °K-1

Coeficiente de transferencia de calor 1 g s-3 K-1 = 10-3 Kg s-3 K-1 = 10-3 Watts m-2 K-1 = 1.2248 x 10-3 lbm s-3 °F-1 = = 3.8068 x 10-5 lbf ft-1 s-1 °F-1 = 2.3901 x 10-8 cal cm-2 s-1 K-1 = 10-7 Watts cm-2 K-1 = 1.7611 x 10-4 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 Kg s-3 K-1 = 103 g s-3 K-1 = 1.2248 lbm s-3 °F-1 = 3.8068 x 10-2 lbf ft-1 s-1 °F-1 = 2.3901 x 10-5 cal cm-2 s-1 K-1 = 10-4 Watt cm-2 K-1 = 1.7611 x 10-1 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 lbm s-3 °F-1 = 8.1647 x 102g s-3 K-1 = 8.1647 x 10-1 Kg s-3 K-1 = 3.1081 x 10-2 lb ft-1 s-1 °F-1 = =1.9514 x 10-5 cal cm-2 s-1 K-1 = 8.1647 x 10-5 Watts cm-2 K-1 = 1.4379 x 10-1 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 lbf ft-1 s-1 °F-1 = 2.6269 x 10 ft g s-3 K-1 = 2.6269 x 10 Kg s-3 K-1 = 3.1740 lbm s-3 ° F-1 = = 6.2784 x 10-4cal cm-2 s-1 K-1 = 2.6269 x 10-3 Watts cm-2 K-1 = 4.6263 Btu ft-2 h-1°F-1

1 cal cm-2 s-1K-1 = 4.1840 x 107 g s-3 K-1 = 4.1840 x 10 Kg s-3 K-1 = 5.1245 x 104 lbm s-3 °F-1 = 1.5928 x 103 lbf ft-1 s-1°F-1 = 4.1840 Watts cm-2 K-1 = 7.3686 x 103 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 Watts cm-2 K-1 = 107 g s-3 K-1 = 104 Kg s-3 K-1 = 1.2248 x 104 lbm s-3 °F-1 = =3.8068 x 102 lbf ft-1 s-l °F-1 = 2.3901 x 10-1 cal cm-2 s-1 K-1 = 1.7611 x 103 Btu ft-2 h-1 °F-1

1 Btu ft-2 h-1 °F-1 = 5.6782 x 103 g s-3 K-1 = 5.6782 Kg s-3 K-1 = 6.9546 lbm s-3 °F-1 = =2.1616 x 10-1 lbf ft-1 s-1 °F-1 = 1.3571 x 10-4 cal cm-2 s-1 K-1 = 5.6782 x 10-4 Watts cm-2 °K-1

Temperatura TR = 1.8 TK TF = TR – 459.67 TF = 1.8TC + 32 TC = TK – 273.15

Profesor Dr. Hugo Chirinos Masa específica: ρ A masa específica ρ de un fluido se define como la masa por unidad de volumen, o sea, representa la masa del fluido contenida en un volumen unitário:

3−= LMρ Ejemplo:

Para el agua a 4oC y presión de 1 atm → 3cm/g1=ρ

Matematicamente la masa específica en un punto del fluido se da por:

Vm

limVV δ

δ=ρ

∆→∆

donde mδ es la masa del fluido en los alredeores del punto considerado Vδ es el volumen

o sea, la masa de un pequeño volumen Vδ circundando un punto Vδ es el volumen mínimo en torno del punto para el cual se aplica

la teoria del contínuo. Volumen específico: sυ El volumen específico sυ es el inverso de la masa específica ρ , o sea es el volumen ocupado por la unidad de masa del fluido.

ρ=υ1

s 31

3

LMML

s−==υ

Administrador

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Profesor Dr. Hugo Chirinos Peso específico: γ El peso específico γ de una sustancia es el peso por unidad de volumen Se obtiene multiplicando la masa específica por la aceleración de la gravedad.

gρ=γ Demostración:

( )

ggvolumenmasa

volumenpeso

volumengmasa

volumenpesovolumenV

gmpesoamF

ργ =∴=∴=

÷=

=

223

2

23−−

−

=== TLMLTLM

TL

LMγ

Observación: Porque γ y ρ poseen el mismo valor numérico?

33OH m/kgf102

=γ 33

OH m/kg102

=ρ

gmg1Fc

= 2c skgfmkg81,9g = gρ=γ

2

2

sm81,9

mkgskgf

81,91

ρ=γ kgkgf

ρ=γ

Profesor Dr. Hugo Chirinos

kgkgf

mkg10 3

3=γ 33

mkgf10=γ

Ejemplo: Un cierto liquido tiene una masa específica de 1.5 slug/ft3. Determinar el peso específico y el volumen específico del líquido sobre al tierra y sobre la luna. La aceleración de la gravedad en la luna es de 5.47 ft/s2. Datos: masa específica del líquido: ρ = 1.5 slug/ft3 aceleración de la gravedad en la luna: 5.47 ft/s2. Solución:

Definiciones básicas: ρ

υ

ρ

1==

=

sespecíficovolumen

gvolumenpeso

específicopeso

3

2

233.4812.325.1ftlbf

ftslugslbf

sft

ftslug

g tierratierra =××== ργ

3

2

23 20.7147.55.1ftlbf

ftslugslbf

sft

ftslug

g lunaluna =××== ργ


( )

( ) slugftftslug

slugftftslug

lunalunas

tierratierras

33

33

667.05.111

667.05.111

===

===

ρυ

ρυ

El resultado es el mismo por que la masa es independiente de g. Densidad Relativa: d (adimensional) Refs.

Propiedades físicas del água – Crane A-6 Relación densidad-temperatura para aceites derivados del petróleo – Crane A-7

Densidad y peso específico de vários líquidos – Crane A-7 Propiedades físicas de los gases – Crane A-8 Densidad de combustíbles gaseosos – Crane A-8 Peso específico y densidad de gases y vapores – Crane A-10 Crane, página 1-3, Conversión de d(60F/60F) para grado API y grado Baumé.

Es la relación entre la masa específica de un fluido y la masa específica del água a 4 oC y 1 atm. de presión (o 15 oC = 60 oF)

( ).142

atmyCd

oOH

ff ρ

ρ=

fρ - cualquier líquido a una temperatura especifica

La densidad relativa tambien es conocida como gravedad específica ya que tambien representa la relación entre el peso específico de la sustancia y el peso específico del agua en las condiciones mencionadas arriba

gff ρ=γ gOHOH 22ρ=γ


( ).atm1eC4ggd o

OH

f

OH

ff

22 γγ

=ρρ

=

fγ - cualquier líquido a una temperatura especifica Ejemplo:

6,13cmg1cmg6,13d 3

3

OH

HgHg

2

==ρ

ρ=

Presión de vapor: pv Los líquidos se evaporan por causa que las moléculas se escapan por la superfície libre. Las moléculas de vapor ejercen una presión parcial en el espacio, conocida como presión de vapor. Si el espacio arriba del líquido esta confinado, despues de un cierto tiempo el número de moléculas de vapor llegando a la superfície del líquido y se condensando es exactamente igual al número de moléculas que escapan en cualquier intervalo de tiempo, y existe equilíbrio. Como este fenomeno depende de la actividad molecular la cual es función de la temperatura, la presión de vapor de un líquido depende de la temperatura y aumenta con la misma. Cuando la presión arriba de la superfície de un líquido se iguala a la presión de vapor del mismo, ocurre la ebullición En muchas situaciones, en los flujos de líquidos es posible que presiones bastante bajas aparezcan en ciertas regiones del sistema. En tales circunstancias, las presiones pueden ser iguales o menores que la presión de vapor; cuando esto ocurre, el líquido se evapora muy rapidamente. Una bolsa de vapor, o “cavidad”, que se expande rápidamente, se forma y se desplasa de su punto de

Profesor Dr. Hugo Chirinos origen y llega a regiones de flujo donde la presión es mayor que la presión de vapor, ocurriendo el colapso de la bolsa. Esto es el fenomeno de la CAVITACIÓN Esta formación y extención de burbujas de vapor afecta el desempeño de las bombas y turbinas hidráulicas y puede desgastar partes metálicas en la región de cavitación Tensión superficial: σ De la experiencia se puede observar la tendencia que tienen las superfícies libres y las interfaces de los líquidos inmiscíbles de contraerse y formar una película o capa de líquido especial. Ejemplos:

1. formación de gotas esféricas de líquidos no sujetos a la acción de fuerzas externas;

2. sustentación de una pequeña aguja en la superfície del água en reposo.

El efecto de la tensión superficial se manifesta en superfícies curvas, exigiendo diferencias de presiones entre los lados cóncavo y convexo de la superfície, para manter el equilíbrio de las fuerzas, y consecuentemente dando origen a una série de fenomenos bastante interesantes. La fuerza de tensión superficial (necesária para mantener el citado equilíbrio) está asociada a las interacciones entre las moleculas del fluido. Esa interacción disminuye con la distancia entre las moléculas y se puede despreciar para los gases. En el interior de los líquidos las fuerzas intermoleculares se compensan entre si pero, para las moleculas de la superfície existem fuerzas que evitan que ellas se separen.

Profesor Dr. Hugo Chirinos Estas fuerzas son responsábles por mantener, por ejemplo, una burbuja de jabon sin que se rebiente, asi com tambien mantener la presión de la columna de liquido de un capilar Tensión superficial es entonces la fuerza de coesión necesária, obtenida por la división de la “energia de la superfície” por la unidad de longitud de la película en el equilíbrio. Energía de superfície – trabajo por unidad de área, necesário para traer las moleculas a la superfície.

LF

=σ

La tensión superficial ( )σ depende de la superfície libre del líquido y de sus alrededores Capilaridad: La atracción capilar es causada por la tensión superficial y por la relación entre la adesión líquido-sólido y la coesión del líquido. Un líquido que moja el sólido tiene una adesión mayor que la coesión La acción de la tensión superficial en este caso obliga al líquido a subir dentro de un pequeño tubo vertical que este parcialmente inmerso en este líquido.

Dr. Hugo David Chirinos Collantes Fluido Newtoniano – Viscosidad de los fluidos: Definimos fluido como una sustáncia que se deforma continuamente sobre la acción de un esfuerzo cisallante. En la auséncia de este esfuerzo, este no se deformará. Los fluidos se pueden clasificar de acuerdo a la relación entre la tensión cisallante y la rapides o tasa de deformación del fluido.

Newtonianos: son fluidos en los cuales la tensión cisallante es directamente proporcional a la tasa de deformación. Los fluidos mas comunes tales como agua, aire y gasolina son fluidos Newtonianos.

No-Newtonianos: son fluidos en los cuales la tensión cisallante no es directamente proporcional a la tasa de deformación.

Ejemplos:

sangre, algunos tipos de aceites lubricantes, ciertas suspensiones, tensoativos, pastas y polímeros de alto peso molecular. Considerando el comportamiento de un elemento del fluido entre dos placas infinitas, como se indica en la figura, asumimos, que entre la placa móvil y la fija existe un fluido. Se observa:

a) La capa que está en contacto con la placa fija no se moverá mientras tanto la que esta en contacto con la placa móvil se desplaza con ella;

b) Sea cualquiera la fuerza F

raplicada sobre la placa móvil esta

se acelera hasta alcanzar una velocidad limite Vr

;

Dr. Hugo David Chirinos Collantes

c) Cada capa recibe una cantidad de movimiento que se comunica a la capa inferior.

Así, una sustancia como el agua y el aire se deforma continuamente por aplicación de un esfuerzo cisallante, mientras que un sólido de Hooke (elástico) sufre una deformación finita.

Figura - Fluido La velocidad limite V

r que alcanza la placa móvil es directamente

proporcional a la distancia h entre las placas y a la fuerza aplicada Fr

, pero inversamente proporcional al área A de la placa.

AhFV

rr∝

Entonces: τ=∝AF

hV

rr

(1)

Suponiendo:

t0 → fluido parado t0 + ∆t → fluido con la configuración de la figura

Entonces, ∆l entre A y A′ :

∆l =Vr

∆t (2) (2) – deducida a partir de la definición de velocidad

(v = d/t ∴ d = v t)

Dr. Hugo David Chirinos Collantes Para valores muy pequeños del ángulo ∆α:

∆l ∆l = 1h sen ∆α ∆α pequeño h 1h 1h ≅ h sen ∆α ≅ ∆α ∆α ∆l = h ∆α

Entonces

∆l = h ∆α = Vr

∆t (3) De donde:

thV∆∆

=αr

(4)

De (1) y (4) resulta:

τα∝

∆∆

=th

Vr

(5)

Haciendo ∆t → 0 e introduciendo una constante de proporcionalidad:

t∂α∂

µ=τ

o como para un fluido α es función apenas del tiempo:

tddα

µ=τ (6)

La ecuación (6) establece que la velocidad de deformación angular es proporcional al esfuerzo tangencial.

Dr. Hugo David Chirinos Collantes Cualquier sustancia que satisface la ecuación (6) se denomina Fluido Newtoniano, en nombre de Sir Isaac Newton (1642-1727), que fue el primero a formular la ley de fricción de los fluidos. La constante de proporcionalidad se llama de COEFICIENTE DE VISCOSIDAD ABSOLUTA o VISCOSIDAD DINÁMICA Y ES designada por µ. Si en la figura la velocidad de las partículas comprendidas entre los puntos A, C, B y D varia linealmente, tenemos que:

hV

yv

rr

= (7)

Regimen establecido: V

ry h son constantes

yhVvr

r= y

hVv ∂=∂r

r h

Vyv

rr

=∂∂

(8)

De (5): τα∝

∆∆

=th

Vr

yv

∂∂

=r

µτ

Como vr = vr (y) ydvd r

µτ = (9)


ydvd x

yx

r

µτ −=

con

xvr

= xvr

(y) yxτ = tensión actuando sobre el plano y (xz) en la dirección x Vectorialmente:

vrr∇−= µτ

Entonces µ es una constante de proporcionalidad que dice sobre la resisténcia del fluido al desplasamiento.

Para τ constante ⇒ cuanto mayor vr∇ , menor la µ Dimensiones de µ:

fuerza por unidad de área y por unidad de gradiente de velocidad

LTL

L

TLM1

2

2

−

−

=µ TLFTLM 211 −−− ==µ

Unidades de µ: Sistema Métrico: CGS g/cm s = dina s/cm2 = 1 poise = 100 cp SI (MKS) kg/m s = N s/m2

Dr. Hugo David Chirinos Collantes Sistema Ingles: FPS lbm/ft s = pdl s/ft2 Ingenieria slug/ft s = lbf s/ft2 (British Engineering System) gravitacional Viscosidad cinemática ν: Ademas del coeficiente de viscosidad absoluta es muy utilizado en la práctica el coeficiente de viscosidad cinemática.

γµ

=ρµ

=νg

siendo ρ = masa específica γ = peso específico ( )gρ=γ

Dimensiones de ν: 12

3

11−

−

−−

=== TLLMTLM

ρµν

Unidades de ν Sistema Métrico: CGS cm2/s = stokes = 100 centistokes SI (MKS) m2/s = 10.000 stokes = 106 centistokes

Dr. Hugo David Chirinos Collantes Sistema Ingles: FPS ft2/s ingenieria ft2/s (British Engineering System) gravitacional Referências: CRANE

Viscosidad del vapor - A-2 Viscosidad del água – A-2, A-3 Viscosidad de productos petrolíferos líquidos – A-3 Viscosidad de vários líquidos – A-4 Viscosidad de gases e hidrocarbonetos (vapor) – A-5 Viscosidad de vapores refrigerantes – A-5

Problema: Si en el espacio de dos placas planas paralelas se lubrica con agua a 50oC, calcular la fuerza necesária para mantener la placa superior con una velocidad V = 3 m/s, suponiendo la placa inferior parada. Se Sabe que las placas presentan una área de 0.93 m2 y que la distáncia entre ellas es de 0.064cm. Suponiendo el perfil de velocidades lineal.

Dr. Hugo David Chirinos Collantes F d = 0.064 cm y x V = 3 m/s µ = 0.59 cp (viscosidad del agua a 50 oC)

Ref: Perry, John H., "Chemical Engineers' Handbook", Fourth Edition, Páginas 3-199 y 3-200.

OH2

µ = 0.59 cp = 5.9 x 10-3 poise = 5.9 x 10-3 dina s/cm2

ydvd

µ=τ ydvd

AF

µ==τ ydvdAF µ=

Como el perfil es lineal: v = A y + B

C.C. 1: para y = 0 → v = 0 C.C. 2: para y = d → v = V

Substituindo en la ecuación de la recta la condición de contorno 1:

B = 0 Substituindo la condición de contorno 2:


V = A d ∴ A = V/d Entonces,

dV

ydvd

ydVv =∴=

Sustituyendo,

ydvdAF µ= , donde:

A = 0.93 m2 = 9300 cm2 = 9.3 x 103 cm2 µ = 5.9 x 10-3 dina s/cm2 V = 3 x 102 cm/s d = 6.4 x 10-2 cm

dinaFcmscm

cmsdinacmF

5

2

2

2323

1057.2104.6103109.5103.9

×=

××

××××= −−

Observación: Variación de la viscosidad de los fluidos con la temperatura: La viscosidad de un gás aumenta con la temperatura: GÁS T↑ µ↑ La viscosidad en los líquidos disminuye con la temperatura: LÍQUIDO T↑ µ↓

Dr. Hugo David Chirinos Collantes La resistencia de un fluido al cisallamiento depende de la coesión y de la velocidad de transferencia de la cantidad de movimiento. LÍQUIDOS: fuerzas de coesión mucho mayores que en los gases. La coesión parece ser la causa predominante de la viscosidad en un líquido y como la coesión disminuye con la temperatura, la viscosidad sigue el mismo comportamiento. GAS: fuerzas de coesión muy pequeñas. La resistencia al cisallamiento es principalmente el resultado de la transferencia de la cantidad de movimiento. Ecuación de estado: Como ya se dijo anteriormente, el foco de la Mecánica de los Fluidos consiste en aplicar las leyes generales de la Mecánica para sustancias fluidas. Sucede que, frecuentemente, los sistemas fluidos estan sujetos al cambio termodinámico, como por ejemplo, cuando la energia sobre la forma de calor o trabajo se intercambia entre el sistema y sus alrededores. Estos cambios termodinámicos alteran el estado de la sustancia y consecuentemente su movimiento. La ecuación básica que describe la relación entre las propiedades termodinámicas en todos los estados del sistema se llama de “ecuación de estado”. Dependiendo de la sustancia esta ecuación puede ser simple o complicada. Felizmente, para la mayoria de las sustancias que presentan interes en la Ingenieria, la ecución de estado toma una

Dr. Hugo David Chirinos Collantes forma matemática muy simple, para las sustancias puras o homogeneas.

( )T,pf=ρ (1) donde: ρ = masa específica p = presión T = temperatura absoluta Un ejemplo bastante conocido es la ecuación de los gases perfectos: p V = n R T (2) donde, n es el número de moles de la sustancia y R la constante universal de los gases. Para n = 1 → V = υ que se define como el volumen específico que es el inverso de la masa específica. Se tiene entonces:

ρ = p/R T (3)

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________ Estática de los fluídos Definición: Un fluido se considera estático si todos los elementos del fluido están parados o se mueven con una velocidad constante, en relación a un sistema de referéncia. Para que esta condición sea satisfecha, es necesário que exista un equilíbrio entre las fuerzas que actúan sobre el elemento del fluido considerado. La ciéncia de la estática de los fluídos se trata en dos partes: • El estudio de la presión y su variación en el interior de un fluido; • Y el estudio de la presión en superfícies finitas. Como no hay movimiento de una capa del fluído en relación de la otra adyacente, no habrá desarrollo de tensiones de cisallamiento en el fluído. Dentro de las fuerzas de superfície las fuerzas tangenciales (responsábles por la tensión de cisallamiento) no se consideran puesto que el fluído esta estático y la acción de este tipo de fuerzas colocaría el fluído en movimiento. Quedan entonces las fuerzas normales responsábles por la tensión normal, tensión de presión o simplemente presión. De esta forma, en todos los sistemas estudiados por la estática de los fluídos, actúan solamente fuerzas normales de presión.

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________

Presión en un punto La presión média se calcula: dividiendo la fuerza normal que actúa contra una superfície plana sobre el área de esta. La presión en un punto M cualquiera se define como el limite de la relación entre la fuerza normal y el área, cuando hecemos que el área tienda a cero alrededor del punto.

AF

limP0A δ

δ=

→δ

La presión en un punto dentro de un fluído en reposo es la misma en cualquier dirección, su valor es independiente de la dirección siendo por lo tanto una magnitud escalar. De este modo, la presión en el seno de un fluído es una función de posición (función de punto), osea p = p(x,y,z).

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________ Se puede demostrar esto, asumiendo un pequeño cuerpo en forma de cuña, de dimensiones unitárias, en el punto (x,y) dentro de un fluído en reposo. Como no pueden existir tensiones de cisallamiento las únicas fuerzas son la normales: de contacto y el peso (campo).

( )xsxx SpypF∑ δ−δ=

( )2yxSpxpF

ysyyδδ

γ−∑ δ−δ=

peso = γ x volumen volumen = área de la base x altura área de la base = área del triángulo altura = 1

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________ Sδ θδ=δ cosSx yδ θ θδ=δ senSy xδ θ

Sps δ ( )ys Sp δ

( ) ypsenSpSp ssxs δ=θδ=δ

( )xs Sp δ ( ) xpcosSpSp ssys δ=θδ=δ

( ) ypypSpypF sxxsxx δ−δ=δ−δ∑ =

( )2yxxpxp

2yxSpxpF syysyy

δδγ−δ−δ=

δδγ−δ−δ∑ =

Si un fluído está en reposo la fuerza resultante que actúa sobre él es cero, Esto significa que las componentes de la fuerza resultante són nulas.

0ypypF sxx =δ−δ∑ =

02yxxpxpF syy =

δδγ−δ−δ∑ =

2yx δδ

γ es un infinitésimo de orden superior y se puede

despreciar.


( ) sxsxsxsx pp0pp0ypp0ypyp =∴=−∴=δ−∴=δ−δ

( ) sysysysy pp0pp0xpp0xpxp =∴=−∴=δ−∴=δ−δ Si sx pp = y sy pp = , tenemos:

syx ppp == Como θ es un ángulo arbitrário, esta ecuación demuestra que la presión es la misma en todas las direcciones en un punto dentro de un fluído en reposo. Si el fluído estubiera en movimiento de forma que una capa se mueve en relación a la otra adyacente, ocurrirán tensiones de cisallamiento, y las tensiones normales nó tendrán el mismo valor en cualquier dirección al rededor de un punto. La presión en este caso (no estática) será definida como siendo la média de las tres tensiones de compresión normales, mutuamente perpendiculares en un punto.

3ppp

p zyx ++=

En un fluído ideal o perfecto ( )0=µ , no ocurrirán tensiones de cisallamiento, aunque el fluído esté sujeto a cualquier movimiento, en este caso la presión será la misma en todas las direcciones.


dx

dy

dz 0

en el centro la presión es p

Ecuación básica de la estática de los fluidos Variación de la presión en un fluído en reposo. Las fuerzas que actúan en un elemento de fluído en reposo són:

1. fuerzas de campo (peso) 2. fuerzas de contato o de superfície (presión)

Objetivo: Obtener una ecuación que permita determinar el campo de presión en un fluído. Consideremos un elemento diferencial de masa dm con dimensiones dx, dy y dz:

y ( )jzdxd2yd

ypp −

∂∂

+

( )jzdxd2yd

ypp

∂∂

−

x z

Bs FdFdFd += ∀ρ=== damdaamdFd


adFd

ρ=∀

Fluído estático: a = 0 ⇒ 0dFd=

∀

Para un elemento diferencial de fluído, la fuerza de campo BFd , es:

∀ρ== dgmdgFd B donde: g - vector gravedad local ρ - masa específica ∀d - volumen del elemento

en coordenadas cartesianas: zdydxdd =∀ Así:

zdydxdgFd B ρ=

O: ∀γ= dFd B

siendo gρ=γ e zdydxdd =∀

Luego: zdydxdgFd B ρ=

Inicialmente consideremos que p = p(x,y,z). La fuerza de presión resultante se calcula sumando las fuerzas que actúan en las seis caras del elemento de fluído. Sea la presión en el centro 0 del elemento igual a p. Entonces:

( )2yd

ypp

2yd

yppyy

yppp LL ∂

∂−=

−

∂∂

+=−∂∂

+=


Teorema del valor médio: ( ) ( ) ( ) yyfyfyyf ∆′+=∆+

( )2yd

ypp

2yd

yppyy

yppp RR ∂

∂+=

∂∂

+=−∂∂

+=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )kydxd2zd

zppkydxd

2zd

zpp

jzdxd2yd

yppjzdxd

2yd

ypp

izdyd2xd

xppizdyd

2xd

xppFd S

−

∂∂

++

∂∂

−

+−

∂∂

++

∂∂

−

+−

∂∂

++

∂∂

−=

zdydxdkzpj

ypi

xpFd S

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

ou

zdydxdkzpj

ypi

xpFd S

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

ppgrad ∇−=−

( ) zdydxdpzdydxdpgradFd S ∇−=−=

zdydxdFdppgrad S−=∇=

El gradiente de presión es la fuerza de superfície por unidad de volumen debido a la presión, con signo negativo.

( ) zdydxdgpgradFdFdFd Bs

ρ+−+=

En términos de volumen unitário:


gpgradzdydxd

FddFd

ρ+−==∀

Para una partícula de fluído, la segunda ley de Newton dá: ∀ρ=== damdaamdFd Para un fluído estático, a = 0, entonces:

0adFd

=ρ=∀

Sustituyendo se tiene: 0gpgrad =ρ+−

pgrad− + gρ = 0

puntounenvolumendeunidadporpresióndefuerza

puntounenvolumendeunidadporcampodefuerza

Componente-x:

0gxp

x =ρ+∂∂

−

Componente-y:

0gyp

y =ρ+∂∂

−

Componente-x:

0gzp

z =ρ+∂∂

−

Se tiene que:

gg0g0g

y

z

x

−===


Luego:

0zp

gyp

0xp

=∂∂

ρ−=∂∂

=∂∂

Considerando solo el eje vertical (y):

γ−=ρ−= gydpd

(1)

Para el fluído estático la gravedad es la única fuerza de cuerpo. Esta ecuación diferencial simple relaciona la variación de presión con el peso específico y la variación de cota o elevación, siendo válida tanto para fluídos compresíbles e incompresíbles. Para fluídos que són considerados homogéneos e incompresíbles, γ = constante, se integra la ecuación (1):

cyp +γ−= (2) donde c – es la constante de integración La ley básica de la hidrostática solo computa valores para la presión debidos a la columna de líquido. Por lo tanto, en la superfície: Para y = 0, p = 0 ⇒ c = 0 ⇒ yp γ−= y p aumenta com h h

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________ La ley de la hidrostática de la variación de presión se escribe frequentemente de la siguiente forma:

hp γ= (3) en la cual (h) es la medida verticalmente hacia abajo. Ejemplo: Obtener la ecuación (3) si se adopta como sistema fluído una columna vertical de líquido de altura finita h, con su face superior en la superfície libre. área A h c La presión p en el punto c se debe al peso de la columna del líquido dibidido por el área:

Agmp

AFp =∴=

Multiplicando y dividiendo por h:

Vhgm

hAhgmp ==


Pero: γ=ρ= ggVm

Entonces: hp γ=

Ejemplo 2.1 – Streeter, pagina 31: Un tanque abierto contiene 0.61m de água cubierto por 0.30 m de aceite de densidad 0.83. Determinar la presión en la interface y en el fondo del tanque. p0 = 0 aceite h1 = 0.30 m p1 água h2 = 0.61 m p2

33OH mkgf102

=γ 331083.0 mkgfaceite ×=γ

232

11 24930.0103.8 mkgfmmkgfhp aceite =××== γ 2332

212 85961.0100.2492

mkgfmmkgfmkgfhpp OH =×+=+= γ

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________ Presiones instrumentales y absolutas Valores de presión deben ser dados relativos a un nível de presión de referéncia. Si el nivel de referéncia es el vacio, las presiones se llaman absolutas. En la mayoria, los manómetros de presión en la verdad leen una diferencia de presión – la diferencia entre el nivel de presión medido y el nivel ambiental (normalmente, la presión atmosférica). Níveles de presión medidos con relación a la presión atmosférica se denominan presiones instrumentales o manométricas. Nível de presión 2 Pinstrumental o manométrica 2 Pabsoluta 2 Pefectiva negativa (depresión, vacio, succión) Nível de presión 1 Pabsoluta 1 Patm en las condiciones estandar al nivel del mar

vacio patm = 101.3 kPa = 14.696 lbf/in2 abs 1 kPa = 1000 Pa → Pa = N/m2 Las presiones absolutas se usan en todos los cálculos con la ecuación del gás ideal y otras ecuaciones de estado. Así,

pabsoluta = pinstrumental + patmosférica Como hemos visto la presión se expresa en relación a cualquier referencia arbitrária. Usualmente, se adoptan como tal, el cero absoluto y la presión atmosférica local.

Presión absoluta – cuando la medida de la presión se expresa como siendo la diferencia entre su valor y el vacio absoluto.


Presión efectiva o relativa o instrumental – cuando se expresa como siendo la diferencia entre su valor y el de la presión atmosférica, (es la lectura del manómetro). Unidades típicas de presión:

1. lbf/in2 = psi 2. lbf/ft2 3. kgf/m2 4. in de Hg 5. mm de Hg 6. ft de H2O o m de H2O 7. N/m2 = Pa 8. atm, bar (1 bar = 0.9869 atm)

Presión atmosférica normal o estandar Es la presión medida al nivel del mar. Patm = 29.92 in Hg (30 in Hg) = 760 mm Hg = 14.7 psi = 2116 lbf/ft2 = 34 ft de H2O = 1 atm = 1.033 x 104 kgf/m2 = 10.33 m de H2O = 101.3 kPa 1 kPa = 1000 Pa Pa = N/m2 Observación: Si una presión se expresa en terminos de columna de un líquido, se refiere a la fuerza por unidad de área en la base de la columna.

hp γ= → expresión para la variación de la presión con la profundidad del líquido.

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________ Manómetro de Bourdon: Es uno de los dispositivos típicos para la medida de presiones efectivas. El cero será indicado en la pantalla siempre que las presiones internas y externas del tubo sean iguales, independente de su valor. Estos manómetros consisten de un tubo curvo abierto en una extremidad y cerrado en la otra. El lado abierto está en contato con el fluído que se quiere medir la presión, mientras que la extremidad cerrada se conecta a un mecanismo capaz de accionar una aguja. El fluído sobre presión entra en la parte abierta del tubo y tiende a extenderlo, haciendo con que el mecanismo sea accionado. La presión es leída directamente en la pantalla previamente calibrada.

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes ___________________________________________________________________ Presión atmosférica local Es la medida por um barómetro o un aneróide que mide la diferencia de presión entre la atmosférica y un reservatório en el cual se ha echo el vacio, de forma análoga que en el tipo Bourbon, excepto por el echo de que el tubo se vacia y se sella. Barómetro Aneróide → medidas de presiones absolutas

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes FUERZAS HIDRAULICAS EN SUPERFICIES SUMERGIDAS Trataremos aqui las superficies inmersas en liquidos. Para esto necesitamos conocer el módulo de la fuerza, su dirección y la linea de actuación de la fuerza resultante. Podemos tener superficies: • PLANAS • CURVAS

SUPERFÍCIES SUMERGIDAS PLANAS Las superficies planas pueden ser: • HORIZONTALES • INCLINADAS O VERTICALES SUPERFÍCIES HORIZONTALES Consideremos a la superfície contenida en el plano xy. Como el fluido está estático, no existen tensiones de cisallamiento, entonces las fuerzas que deben actuar son normales a la superfície.

∫=A

R AdpFrr

En las superfícies horizontales, p es constante:

ApFR =r

La dirección de la resultante es normal. Si p es positiva actuará contra la superfície.

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes Linea de Acción La linea de acción, o sea, es el punto en el área donde se anula el momento de las fuerzas distribuidas, en relación a un eje cualquiera que pasa por este punto. Adoptando el eje arbitrário xy, con C siendo el centro de gravedad o centróide del área: El momento de la resultante deberá ser igual al del sistema de fuerzas distribuídas en relación a un eje cualquiera.

En relación al eje y:

teresullaayejedelciadislaxsiendodApxxApA

tan""tan'' →= ∫

Como p es constante

∫

∫

∫

=

=

=

A

A

A

dAxA

x

dAxA

x

dAxpxAp

1

1'

'

x es la distancia del eje “y “ al centro de gravedad Así, en una superfície horizontal sujeta a la presión estática de un fluido, la resultante pasará por el centro de gravedad de la misma.

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes SUPERFÍCIES INCLINADAS O VERTICALES

AdpFdrr

−= (la fuerza de presión que actua sobre el elemento superior dA) El signo negativo significa que la fuerza Fd

r actua contra la superfície, o sea, en un

sentido opuesto al de Adr

que tiene el sentido positivo para fuera del área.

∫−=A

R AdpFrr

Sabemos que:

gdhdp ρ= (donde h cresce de la superfície libre para abajo)

∫∫ =hp

p

dhgdp00

ρ , · luego:

∫+=h

dhgpp0

0 ρ , · tenemos todavia que: θsenyh =

Las tres ecuaciones se pueden usar para solucionar problemas de fuerza resultante. Si se sustituye la presión por γh y h = y senθ

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes

AydAyAAdAydApF

AAR θγθγθγ sensensen ==== ∫∫∫

Como θsenyh =

áreadelcentróideelenpresiónlapsiendo

ApFoAhF

G

GRR == γ

Linea Resultante Para que tengamos equilíbrio es necesário que el momento generado por la fuerza resultante en relación al eje, sea igual al momento de las fuerzas distribuídas al largo de toda el área de la superfície. Considerando ´rr el vector posición, que va del origen de un sistema de coordenadas arbitrário al punto de aplicación de la fuerza resultante, tenemos:

∫∫ ×−==×A

R AdprFdrFrrrrrrr´

Observando la figura tenemos:

kdAAdyyjxiryjxir ˆˆˆ´,´ˆ´ˆ´ =+=+=rrr

como RF

r actua contra la superfície opuesta a Ad

r, entonces

kFF RRˆ−=

r

Sustituyendo en la ecuación del momento

( ) ( ) ( ) kAdpyjxiFdyjxiFyjxiA

Rˆˆˆˆˆ´ˆ´ˆ ∫∫ ×+−=×+=−×+

rrr

Por lo tanto

( )∫ −=′−′A

RR dApyipxjFyiFxj ˆˆˆˆ

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes Por ser una ecuación vectorial los componentes son iguales, entonces

∫=′A

R dApyFy ∫=′A

R dApxFx

donde x´ e y´ son las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza resultante, tambien llamada de Centro de Presión, tambien podemos usar la nomenclatura xcp e ycp. Para áreas simples podemos usar fórmulas generales:

dAxAy

xp θγθγ

sensen1

∫= AyI

dAyxAy

x xy

Ap == ∫

1

como:

AyxII xyxy +=

entonces: xAyI

x xyp +=

Cuando uno de los ejes centrales x =x o y =y es un eje de simetria de la superfície, entonces Ixy se anula y el centro de presión estará sobre x =x Como Ixy puede ser positivo o negativo, el centro de presión podrá estar en cualquier lado de la linea x =x. Para y

dAyyAy

yA

p θγθγ

sensen1

∫= AyI

dAyAy

y x

Ap == ∫ 21

como por el teorema de los momentos de inércia para ejes paralelos:

AyII Gx2+=

entonces: yAyIy G

p +=

o AyIyy G

p =−

Profesor Dr. Hugo David Chirinos Collantes

Yá que IG es siempre positivo (dA es siempre positiva) yy p − tambien lo será de forma que el centro de gravedad estará siempre encima del centro de presiones. EJERCÍCIO 1 – El portón AB tiene 3 pies de ancho y 2 pies de longitud. Está inclinado un ángulo α=60o cuando esta cerrado. Calcular el momento en torno de la bizagra “A” ejercida por el agua.

Profesor Dr. Hugo Chirinos ___________________________________________________________________ SUPERFICIES SUMERGIDAS CURVAS En el caso de superficies curvas, el vector area evidentemente continua siendo normal al area, solo que el vector fuerza de presión que tambien es normal para cada punto, cambia de dirección, lo que torna el cálculo mas difícil, ya que no podemos hacer una integración directa de las fuerzas, puesto que no son paralelas entre si como en la superficie plana.

COMPONENTE HORIZONTAL La fuerza actuando sobre el elemento de area Ad

r, es dado por:

AdpFdrr

−= La fuerza resultante es nuevamente dada por:

∫−=A

R AdpFrr

Se puede escribir

RzRyRxR FkFjFiF ˆˆˆ ++=r

donde FRx , FRy , y FRz son los componentes de F

r en el sentido positivo de los

ejes x, y, z, respectivamente. Para calcular los componentes de la fuerza en cada una de las direcciones, se toma el producto escalar de la fuerza con el vector unitário en la dirección dada.

∫ ∫ ∫ •−=•=•==A

RxRx iAdpiFdiFdFF ˆˆˆrrr

∫∫ ±=−=Ax

xA

xRx AdpAdpFrr

θcos ∫∫ ±=−=Ay

yA

yRy AdpAdpFrr

θcos

Profesor Dr. Hugo Chirinos ___________________________________________________________________

∫∫ ±=−=Az

zA

zRz AdpAdpFrr

θcos

Donde el valor ± depende de la magnitud del ángulo entre el vector Ad

r y los

vectores unitários y son:

θx es el ángulo entre Ad r y i θy es el ángulo entre Ad r y j θz es el ángulo entre Ad r y k

xx AddA θcosr

= , es la proyección del elemento del área Adr

sobre un plano perpendicular al eje de las x.

yy AddA θcosr


sobre un plano perpendicular al eje de las y.

zz AddA θcosr


sobre un plano perpendicular al eje de las z. Así “la componente horizontal de la fuerza de presión que actua en una superficie curva, es igual a la fuerza de presión ejercida contra una proyección de la superfície. El plano vertical de proyección es normal a la dirección de la componente”.

La linea de acción se calcula para la proyección de la misma manera de la superfície plana vertical. COMPONENTE VERTICAL Al considerar el componente vertical, RxF , de la fuerza resultante, se nota que la presión ejercida por el líquido es dado por:

∫=0z

zs

dzgp ρ , considerando p0 = 0 efectiva (atmosférica)

Profesor Dr. Hugo Chirinos ___________________________________________________________________ donde zs y z0 son las coordenadas verticales de la superfície y superfície libre, respectivamente

Referente a la figura:

∫0z

zs

dzgρ

corresponde al peso de un cilindro diferencial de líquido encima del elemento de área superficial, zdA , y va de la superfície curva hasta la superfície libre

∫ ∫−=z sA

z

z

zz dAdzgF

0

ρ

Así tenemos que la componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso total del líquido directamente encima de la superfície. El signo negativo indica que una proyección positiva zdA está sujeta a una fuerza en el sentido negativo de la dirección z. Trabajandose con superfícies cilíndricas, o sea, superfícies con un rayo de curvatura constante, entonces

θdRwdA = siendo R el rayo, w el ancho de la superficie y θ la variáble de integración

∫∫ −=−=2

1

coscosθ

θ

θθθ dRwpdApFA

R

θ es el ángulo entre el vector área y el vector unitário en la dirección considerada.

Profesor Dr. Hugo Chirinos ___________________________________________________________________ Mostrando de una manera mas simple:

El componente vertical será dAp θcos

∫∫∫ ====v

vA

vA

v dvFdAhFhpdApF γθγγθ ,cos,,cos

h = distancia del elemento a la superfície libre = altura del prisma cosθ δA = la proyección de δA en un plano horizontal = base del prisma δv = volumen del prisma de altura h y base cosθ δA, o el volumen del líquido contenido verticalmente encima del elemento de área.

vFv γ=

Linea de Acción Momento – eje pasando por O

xx

dvxv

x

dvxxv

dvxxF

v

v

vv

=

=

=

=

∫

∫

∫

'

1'

'

'

γγ

γ

donde x es la distancia del centro de gravedad del volumen.

Profesor Dr. Hugo Chirinos ___________________________________________________________________ IMPORTANTE Cuando el líquido está abajo de la superfície y se conoce el valor de la presión en un punto, por ejemplo O, se puede construir una superfície imaginária S-S a una altura p/γ encima del punto O

El peso del volumen imaginário del líquido contenido encima de la superfície curva, será la componente vertical de la fuerza ejercida en la misma. La presión en un lado de la superfície es la misma del otro lado, con el líquido imaginário sobre la superfície curva. La dirección será opuesta, entonces el sentido de la componente vertical se debe invertir.

La linea de acción es identica a la anterior y el x es la distancia al centro de gravedad del volumen imaginário.

EJERCÍCIO 2 - Un portón que tiene la forma de un cuarto de cilindro posee bizagras en A y tiene 2m de ancho normal al papel. El fondo del portón está a 3m abajo de la superfície del agua. Determinar: a) El módulo de la fuerza horizontal b) La linea de acción de esta c) El módulo de la fuerza vertical d) La linea de acción de esta

Profesor Dr. Hugo Chirinos ___________________________________________________________________ EJERCÍCIO 3 – El portón mostrado posee um ancho constante, w, de 5m. La ecuación de la superfície es x = y2/a, donde a = 4m. La profundidad del água a la derecha del portón es de 4m. Hallar los componentes Frx y Fry de la fuerza resultante debido al agua y la linea de acción de cada una de ellas.

Dr. Hugo Chirinos

EMPUJE, FLOTACIÓN Y ESTABILIDAD Si un objeto esta inmerso o flotando en la superficie de un liquido, la fuerza actuando sobre el, debido a la presión el liquido se denomina fuerza de flotación o empuje. Empuje sobre cuerpos sumergidos totalmente:

hgpp

teconsparagdhdp

ρ

ρρ

+=

=

0

)tan(

Fuerza vertical resultante sobre el elemento encima

( ) ( ) ( )dAhhgdAhgpdAhgpdFz 121020 −=+−+= ρρρ ( ) dVdAhh =− 12 , entonces:

gVdVgdFFV

zz ρρ∫ ∫ === , donde V es el volumen del cuerpo, luego

gVρ , es el peso del fluido retirado, ya que gρ es el peso del fluido. La línea de acción de la fuerza empuje pasa por el punto denominado “Centro de Flotación” y coincide com el centróide de volumen del fluido desalojado. El cálculo de la linea de acción usa los métodos para superfícies sumergida curvas. La linea de acción de esta fuerza es quien determina la estabilidad. Estabilidad de Cuerpos sumergidos y flotantes: La fuerza de flotación sobre um cuerpo siempre actúa a través del centróide del volumen desplazado, mientras que el peso lo hace a través del centro de gravedad. Estas características pueden hacer que um cuerpo sumergido total o parcialmente se halle estable o inestable.

Dr. Hugo Chirinos

Se dice que um cuerpo está em equilíbrio estable si un ligero desplazamiento genera fuerzas y momentos que restablecen la posición original del objeto. Se dice que un cuerpo está en equilíbrio inestable si un ligero desplazamiento genera furzas y momentos que desplazan aún más el objeto. Un cuerpo sumergido total o parcialmente está em equilíbrio estable si su centro de gravedad, G, se encuentra debajo de su centro de flotación, B. Si el cuerpo gira, se establece um momento para enderezarlo y regresarlo a su posición original com B directamente debajo de B. Si el centro de gravedad de um cuerpo totalmente sumergido, G, está arriba del centro de gravedad, B, el cuerpo está em equilíbrio inestable, ya que se establece um desbalance de momento cuando el cuerpo gira. Si el centro de gravedad de um cuerpo flotante está arriba de su centro de flotación, el cuerpo podría estar estable o inestable, dependiendo de las dimensiones y forma del cuerpo, ya que el centro de flotación cambia a medida que el cuerpo gira.

Cuerpo sumergido con centro de gravedad (G) por encima del centro de flotación (B).

Cuerpo flotante con centro de gravedad (G) debajo del centro de flotación (B).

Dr. Hugo Chirinos

Ejercício 1 – El hidrómetro es un indicador de densidad, el cual indica el nivel de la superficie libre que corta el haste cuando flota en el liqudio. La marca d = 1.0 es el nivel que marca cuando se trata de agua destilada. Para la unidad mostrada, el volumen inmerso en el agua destilada es de 15cm3. El haste tiene 6mm de diametro. Calcular la distancia (h) de la marca de 1.0 hasta la superficie, cuando el hidrómetro se coloca en una solución de acido nitrico de densidad de 1.3.

Solución: Por la condición de equilíbrio ∑ +== EmpujeMgF 0 Usando los datos dados para el água, podemos calcular M.

-Mg + empuje = 0 OHOHgempujeM 22 ∀== ρ

Cuando esta inmerso en ácido nítrico se tiene:

33 HNOHNOM ∀= ρ donde ( ) hdOHHNO2

23 4π

−∀=∀

Desde que la masa es la misma en ambos casos.

( )

−∀=∀= hdM OHHNOOHOH

22322 4

πρρ

( )

−∀=∀−∀=

322

3

22

2 114 HNO

OHOHHNO

OHOH G

hdρρπ

( ) ccmmx

mmccxx

Ghdh

HNO

OH

11000

5.111

6115411

3

223

24

2

−=

−

∀=

ππ

h = 177mm.

Ejercício 2 – Un pie cúbico de material pesando 67 lbf esta inmerso en el agua. Una barra cilíndrica de 10ft de longitud y área de sección transversal 3in2 se articula al peso y tambien a la pared (ver figura). Si el peso de la barra es de 3 lbf, cual será el angulo θ cuando el sistema llega al equilíbrio?

Dr. Hugo Chirinos

Solución: Sumando momentos en la articulación de la pared. ( ) ( ) ( )θθθθθθ senjixWsenjicLxjEmpujesenjixLjEmpujeW L

barrabarrabloquebloque ˆcosˆˆcosˆ2

)(ˆ)()ˆcosˆ(ˆ 2 ++++

−++−

0cos2

cos2

)(coscos =−+

++− θθθθ LWcLEmpujeLEmpujeLW barrabarrabloquebloque

022

)(=−

+++−

LWcLEmpujeLEmpujeLW barrabarrabloquebloque

)( cLAEmpuje sumergidobarra −=∀= γγ

022

)()( =−+

−++−LWcLcLALEmpujeLW barrabloquebloque γ

0))((22 =−+−++− LWcLcLALEmpujeLW barrabloquebloque γ

LEmpujeLWLWcLA bloqueBloquebarra 22)( 22 −+=−γ

ftLEmpujeLWLWA

Lc bloqueBloquebarra 48.2)18.6()22(12

12

1

2 ==

−+−=

γ

θsenac =

403.048.21

===ftft

casenθ

°= 8.23θ


HIDRODINÁMICA Es la ciencia que estudia la dinámica de los fluidos incompresibles. Hay varios problemas encontrados en Mecánica de Fluidos y pueden ser clasificados con base en la observación de características físicas del campo de flujo. Una posible clasificación se muestra en el esquema siguiente:

TIPOS DE DESPLAZAMIENTO

MECANICA DE FLUIDOS CONTINUO

NO-VISCOSO O INVÍSCIDO µ = 0 VISCOSO

LAMINAR TURBULENTO

COMPRESÍBLE INCOMPRESÍBLE


Tipos de flujos Se A uma propiedad del campo de flujo de un fluido , tal que: A = A (x, y, z, t). El flujo de un fluido puede clasificarse como: A) Considerando el tiempo:

1) FLujo estacionário o permanente. Cuando toda propiedad A del fluido permanece constante en un punto dado de la región de flujo; es decir:

),,( zyxAA = y 0/ =∂∂ tA

Por ejemplo cuando se bombea água por una tubería a caudal constante. 2) Flujo no estacionário o no permanente. Cuando la propiedad A varía com el

tiempo; es decir:

),,,( tzyxAA = y 0/ ≠∂∂ tA

Por ejemplo, cuando se bombea água por uma tubería de caudal creciente o decreciente o el caudal de um rio.

B) Considerando el espacio:

1) Flujo Unidimensional. Es uma simplificación que supone que toda propiedad A es expresable en términos de una sola coordenada y del tiempo, a veces.

Por ejemplo, el flujo a través de una tubería recta.

−=

2

max 1 RrVV ; )(rVV = ó ),( trVV =

2) Flujo Bidimensional. Supone que las partículas siguen trayectorias idênticas em

planos paralelos, y que toda propidad A es expresable em términos de dos coordenadas y del tiempo, a veces.

Por ejemplo, el flujo de un conducto de paredes divergentes.


),( xrVV = ó ),,( txrVV =

3) Flujo tridimensional. Cuando toda propiedad A del fluido es expresable en función de las tres coordenadas y del tiempo, a veces. Es decir:

),,( zyxAA = ó ),,,( tzyxAA =

4) Flujo Uniforme. Cuando en cualquier punto de una sección de flujo y en un instante dado, el vector velocidad es idéntico en módulo, dirección y sentido, independiente de la posición de las partículas. Es decir:

0/// =∂∂=∂∂=∂∂ ZVYVXV

El concepto de flujo uniforme tambien es aplicable a cualquier otra propiedad de los fluidos. Por ejemplo, um flujo uniforme en temperaturas indica que em cualquier punto de una sección de flujo la temperatura es constante. 5) Flujo no Uniforme o Variado. Cuando el vector velocidad varía en un instante

dado y de un punto a outro; es decir:

Por ejemplo, líquido que fluye por uma sección variable.

0/// ≠∂∂≠∂∂≠∂∂ ZVYVXV C) Considerando la Viscosidad


y

x

Fluido ideal Por definición, desplazamiento ideal o desplazamiento sin roce, es aquel en el cual no existen tensiones de cisallamiento actuando en el movimiento del fluido. De acuerdo con la ley de Newton, para un fluido en movimiento esta condición se obtiene cuando la viscosidad del fluido se anula:

0=µ o cuando los componentes de la velocidad de desplazamiento no muestran variaciones de grandeza en la dirección perpendicular al componente de la velocidad considerada:

0ydvd x =

Es claro que no existen fluidos cuya viscosidad es nula, pero, la auséncia de las fuerzas de cisallamiento en el movimiento de un fluido simplifica enormemente el tratamiento matemático. Ademas de eso, la información cualitativa obtenida es muy útil. Un fluido que en el desplazamiento satisface las condiciones de arriba, se llama de fluido ideal.

Condición de desplazamiento ideal Fluido perfecto Por definición un fluido se dice perfecto, si es incompresíble ( )tecons tan=ρ , y si su

viscosidad es nula ( )0=µ Un fluido perfecto indica la auséncia de tensiones de cisallamiento entre las capas de fluido. De este modo, dos capas adyacentes de fluido se pueden mover con velocidades diferentes (slip flow) sin afectarse mutuamente por fuerzas de fricción interna. La única influéncia que las capas ejercen entre si es debido a su geometria, que debe estar compatíble con la frontera sólida. Para el fluido perfecto existe la condición de deslizamiento entre el fluido y la frontera sólida. La única acción de la frontera sólida es la de orientar la dirección del deslizamiento del fluido, sin ninguna acción viscosa. De este modo, cualquier capa del fluido puede ser substituída por una lamina de sólido de igual geometria, pues la configuración del desplazamiento no se altera. Podemos concluir, por lo tanto, que las tensiones de cisallamiento son grandezas que comunican informaciones dinámicas de una capa de fluido para otra. En la auséncia de tensiones cisallantes no hay esta transmisión de informaciones entre las capas de fluido.

vx = constante


El estudio de fluidos perfectos da informaciones cualitativas importantes, principalmente en las regiones de desplazamiento donde las fuerzas viscosas son despreciables en relación a las fuerzas de inércia. Flujo Viscoso o Real La presencia de los efectos viscosos es inherente al desplazamiento de fluidos reales. Los fluidos reales no presentan una velocidad de deslizamiento finita en relación a una superfície sólida o sobre una capa adyacente. La viscosidad del fluido real, que determina el grado de fricción entre las capas de fluido y entre el fluido y la pared sólida, es responsáble por la variación de velocidad (gradiente de velocidad) entre las capas. Los fluidos reales se pueden subdividir en dos clases principales. Fluidos Newtonianos y no-Newtonianos. Los fluidos Newtonianos son aquellos para los cuales la viscosidad dinámica (µ) es independente de la taza de deformación (gradiente de velocidad), o sea, la viscosidad en la expresión de la ley de Newton es una constante para cada fluido Newtoniano, a una cierta presión y temperatura.

Un diagrama típico de la tensión de cisallamiento ( )yxτ en función de la taza de

deformación ( )ydvd x se muestra en la figura siguiente (a). La tensión de

cisallamiento ( )yxτ es proporcional al gradiente de velocidad ( )ydvd x , y el

coeficiente angular de la recta es la viscosidad dinámica (µ). Fluidos no-Newtonianos son aquellos para donde la “viscosidad”, para una cierta presión y temperatura, es una función del gradiente de velocidad. Fluidos como suspensiones coloidais, emulsiones y geles se incluyen en esta clasificación. El diagrama de la tensión de cisallamiento en función del gradiente de velocidad para un fluido no-Newtoniano se encuentra en la figura siguiente (b). ( )yxτ ( )yxτ (a) Fluido Newtoniano (b) Fluido no- Newtoniano - ( )ydvd x - ( )ydvd x

Tensión de cisallamiento versus gradiente de velocidad


Calculando la inclinación de la curva en cada punto la viscosidad del fluido se puede determinar. Fluidos no-Newtonianos Con la finalidad de simplificar la notación, la taza de deformación (gradiente de velocidad) será representada por D. A “viscosidad” de un fluido no-Newtoniano será representada pela letra η. De un modo general, los fluidos no-Newtonianos, se pueden dividir en tres categorias principales, como son:

1. Fluidos para los cuales la “viscosidad” depende solamente de la taza de deformación.

( )Dη=η Esos fluidos son aquellos cuyas características reológicas (*) no varian con el tiempo y por eso se llaman de “time-independent fluids”. (*) Reologia: la ciência del desplazamiento y de la deformación. Estudia las propiedades

mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, substáncias asfalticas y materiales cristalinos. Entonces, el campo de la reologia se extiende desde la mecánica de los fluidos Newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra. La región compreendida entre ellas corresponde a la deformación y desplazamiento de todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones.

2. Fluidos de naturaleza física mas compleja, para los cuales la relación (η) entre la tensión de cisallamiento y la taza de deformación depende de la própria taza de deformación, del tiempo durante el cual el fluido se mantuvo sobre la acción de la tensión cisallante y tambien de la variación con el tiempo de la taza de deformación.

En otras palabras las caracteristicas del fluido son dependientes de la “história” del

fluido, son los llamadas “time dependent fluids”.

η=η•D,t,D

3. Fluidos que presentan características de sólidos elásticos y tambien de líquidos viscosos. Son llamados fluidos visco-elásticos, (ej.: concreto).

Fluidos “time independents” Esta categoria de fluidos no-Newtonianos pueden todavia dividirse en dos tipos.


• Fluidos que apresentan una tensión crítica de cisalamiento

Este tipo de fluido constituye el desvio mas simple del comportamiento del fluido newtoniano. El principal representante de este tipo de fluido es el llamado fluido plástico de Bingham. Bingham confirmó que ciertas pinturas y suspensiones de pigmentos presentan una tensión crítica de cisallamiento, o sea, para que pueda haber desplazamiento del fluido es necesário que el valor de esa tensión crítica (representada por 0τ ) se consiga. El comportamiento reológico de este tipo de fluido se puede representar por la siguiente ecuación:

00 seD τ⟩ττ+η=τ (1) e

0se0D τ⟨τ= (2) La ecuación (2) indica que para valores de 0τ⟨τ no hay desplazamiento, o sea, no hay deformación del fluido (D = 0). Por la ecuación (1) se puede confirmar que para valores de tensión cuyo 0τ⟩τ el fluido se desplaza com si fuese fluido Newtoniano, o sea, en la fase de desplazamiento el comportamiento reológico del fluido de Bingham se puede caracterizar por la ley de Newton de la viscosidad. Para este tipo de fluido, la curva de desplazamiento o reograma seria de la forma:


Fluido de Bingham En analogia con los fluidos Newtonianos, la viscosidad aparente de un fluido de Bingham se da por:

DDD

D00

aτ

+η=η+τ

=τ

=η (3)

• Fluidos que no presentan una tensión crítica de cisallamiento.

Este tipo de fluido es el mas encontrado y uno de los modelos utilizados para representar sus características reológicas es el de Ostwald-de-Waele (Pwer-Law Fluids). La ecuación que describe el comportamiento de este tipo de fluido es:

nDK=τ (4)

donde: n – índice de comportamiento del desplazamiento (index flow behaviour) K – índice de consisténcia del fluido, (index of fluid consistency) El índice n indica el desvio en relación al comportamiento Newtoniano.

Para n = 1 → K = µ → fluido Newtoniano

Para un valor dado de n y D, cuanto mayor el valor de K, mas “viscoso” es el fluido, o sea, el fluido presenta mayor consistência. Un reograma típico de un fluido “power-law” es:

Reograma de fluidos “Power-Law”


El modelo de Ostwald-de-Waele es un modelo empírico con dos constantes a determinar. Para valores moderados de la taza de deformación (D), el representa con bastante precisión las características reológicas de la mayoria de los fluidos “time independent” sin tensión crítica de cisallamiento, pero este modelo falla completamente para valores extremos de la taza de deformación. Experimentalmente se sabe que en estas regiones

(D → 0 e D → ∞) los fluidos “time independent” presentan un comportamiento reológico que se puede escibir por la ley de la viscosidad de Newton. Este modelo, por lo tanto, no se puede usar para describir el comportamiento de estes fluidos en estas regiones. Esto se puede demostrar si consideramos la expresión de la viscosidad aparente para los fluidos “time independents” descritos por el modelo de Ostwald-de-Waele:

1na

n

a DKDDK

D−=η→=

τ=η (5)

Para n = 1 no hay problema pues

sempreKa =η

Para n ≠ 1 la viscosidad aparente es función de 1nD −

y para 0D→ o

∞→D , aη asume valores externos (0 o ∞), lo que fisicamente es absurdo pues, un fluido real presenta siempre un valor finito de viscosidad. Otra limitación del modelo de Ostwald-de-Waele es que la constante K depende de la constante n.

nDK=τ

[ ] [ ] 22 TLM

LF

==τ

[ ] [ ]T1

L1

TLD ==

[ ] nn

T1D =

[ ] [ ] [ ]LTMKT

TLM

DK

2nn

2n

−

=→=τ

=


Para n = 1 → TLMK = que es la dimensión de la viscosidad.

Apesar de las limitaciones, este modelo este ha sido extensivamente utilizado en trabajos teóricos y experimentales. Da ecuación (4), un gráfico de aη en función de D para un fluido “power law” es del tipo:

Viscosidad aparente aη Vs. D

Para determinar las características reológicas de un fluido “power law” se puede utilizar el método gráfico. En un papel log-log los valores de τ y D medidos se ajustan en una linea recta, lo que se puede confirmar calculadose el logaritmo de la ecuación (4).

DlognKloglog +=τ (6) La inclinación de la recta da el valor de n (en el caso de n = 1 la inclinación de la recta es de 45o). el valor de K se obtiene directamente por la intersección de la recta con la vertical que pasa por D = 1.

Determinación gráfica de n y K


Modelo de Ellis: Para levantar las limitaciones impuestas por el modelo de Ostwald-de-Waele, Ellis sugerio un modelo empírico de la forma:

DTBA1

1−α+=τ (7)

donde A, B y α son parámetros característicos del fluido. Este modelo inclui al mismo tiempo el modelo de Ostwald-de-Waele y el de Newton.

A = 0 → modelo de Ostwald-de-Waele B = 0 → modelo de Newton

Ademas de eso:

Si α < 1, el modelo de Ellis se aproxima del modelo de Newton para altos valores de la tensión de cisallamiento, τ .

Si α > 1, el modelo de Ellis se aproxima del modelo de Newton para bajos valores de τ .

Esas conclusiones se pueden confirmar si consideramos el modelo de Ellis en la

siguiente forma:

DBA =τ+τ α (8)

La adisión de un tercer parámetro reológico del fluido, torna la solución matemática del problema de desplazamiento mas complicada y, por lo tanto, se debe analisar con cuidado las condiciones de operación con la finalidad de decidir sobre el modelo reológico a ser utilisado. Fluidos “time dependents” Esos fluidos se caracterizan `debido que la relación entre la tensión de cisallamiento y la taza de deformación varia con el tiempo. En general se clasifican en dos grupos distintos:

1. Fluidos tixotrópicos: son aquellos que presentan un decréscimo de viscosidad aparente con el tiempo, para un valor dado de la tensión de cisallamiento y de la temperatura.

Si la curva de desplazamiento del fluido tixotrópico es determinada partindose de un

valor cero hasta un valor máximo de la tensión de cisallamiento y a partir de ese punto se


comienza a disminuir la tensión hasta el valor cero nuevamente, un tipo de histerese se observará. Un viscosímetro de cilindros concéntricos se usa para las determinaciones de esa naturaleza. En la figura a seguir, las flechas indican la orden cronológica en que se realizaron las medidas. Es importante notar que para un mismo fluido, la curva de histerese pode ser diferente para un diferente “time-history”.

2. Fluidos reopéticos: Al contrário de los tixotrópicos, son aquellos que presentan un aumento de la viscosidad aparente con el tiempo, para cierto valor valor de la tensión de cisallamiento y de la temperatura.

Reograma de fluidos “time-dependents”

Fluidos visco-elásticos: Son aquellos que recobran parcialmente la forma original al cesar el esfuerzo cisallante. D) Considerando la densidad

1) Flujo incompresible. Si la densidad de cada partícula de fluído permanece relativamente constante cuando se mueve por el campo de flujo. Esta afirmación no implica que la densidad sea constante en todos los puntos de la región de flujo. Por ejemplo, los flujos atmosféricos en los que la densidad varía con la altura y los flujos en la desenbocacura de un rio (mezcla de agua dulce y salada), flujos de aire de calefacción, flujos alrededor de efificios, autos, etc. son flujos incompresibles de densidad variable. Em general, los flujos de gases a bajas velocidades (Mach < 0,3; V<100m/s) se consideran incompresibles puesto que las variaciones de densidades son menores del 3%.

2) Flujos compresibles. Cuando la densidad cambia significativamente entre dos puntos de una línea de corriente. Por ejemplo, en el flujo de aire al rededor de aviones, el flujo de aire a través de motores de reacción y el flujo de gases en


compresores y turbinas. El fenômeno de golpe de aríete y las ondas causadas por una explosión bajo el água son ejemplos de flujos líquidos compresibles.

E) Considerando el Régimen de Flujo

1) FLujo Laminar. El flujo se desplaza en capas o laminas continuas a bajas velocidades.

2) Flujo Turbulento. El flujo se realiza em forma errática, a altas velocidades. 3) Flujo de transición. Es un flujo intermediário entre laminar y turbulento.

El régimen de fluxo puede ser medido según la formula de Osborne Reynolds:

µρ

νVLVL

==Re

Donde: V es la velocidad media del fluido, L es la longitud característica del conducto, ν es la viscosidad cinemática y µ es la viscosidad dinámica del fluido.

Si Re < 2000 es flujo laminar Si 2000<Re<4000 es fliujo de transición Si Re>4000 es flujo turbulento


ANÁLISIS DEL FLUJO DE FLUIDOS Velocidad. El análisis de flujos de fluidos tiene importancia sustancial ya que a partir de el se puede evaluar las presiones y las fuerzas que soportan algunas estructuras (codos, toberas, etc). Para el análisis del flujo de fluidos existen dos métodos de Lagrange y de Euler. Punto de vista Lagrangiano. Se refiere al análisis de la trayectoria de la partícula de un fluido.

kji zyxr ++=

kdtdzj

dtdyi

dtdxV t ++=)(

wkvjuiV t ++=)(

Punto de vista Euleriano. A través de un punto físico pasan infinidades partículas del fluido y a través de ese punto se puede averiguar su velocidad.

),(),,,(

),,,(),,,(

tatrayectorifVtzyxfVw

tzyxfVvtzyxfVu

z

y

x

===

====

TRAYECTORIA DE UNA PARTÍCULA DE FLUIDO

“Es el camino que recorre una partícula en su movimiento” Línea de Corriente. Para un fluido en régimen permanente (cuando algunas propiedades no cambian con respecto al tiempo) la trayectoria de una partícula de fluido coincide con la línea de corriente que es la línea tangente a los vectores velocidad de las partículas de fluido.


Tubo de corriente. Es aquel fluido que tiene como pared lateral línea de corriente y esta constituido por una serie de líneas de corriente. Hilo de corriente. Una pequeña sección o una sección infinitesimal de un tubo de corriente. Patrón de flujo. Es aquel que nos marca la dirección de las partículas de fluido en una dirección cualquiera. Velocidad promedio. Si y = f(x) donde,

∫=−b

a

x

xab dxxfxxy )()(

∫

∫∫=

−=

b

a

b

a

b

a

x

x

x

x

ab

x

x

dx

dxxf

xx

dxxfy

)(

)(

)(

Entonces para cualquier propiedad:

∫

∫=

dA

VdAVr

Velocidad promedio con respecto a una sección transversal característica.

∫

∫=

dA

TdAT

Temperatura promedio con respecto a una sección transversal característica

Ejercicio 01: Dada los campos de velocidades (a y b son constantes) siguientes, determinar: a) las dimensiones de cada campo de velocidades, b) decir si los flujos son estacionarios o no estacionarios. 1) iaeV bx ˆ][ −=

r, 2) jbxiaxV ˆˆ2 +=

r, 3) ieaxV bt ˆ][ 2 −=

r, 4) jbyiaxV ˆˆ −=

r, 5) jbyitaxV ˆˆ)( 2−+=

r

6) jbxziaxV ˆˆ2 −=r

, 7) ( )kzyxaV ˆ/1)( 32/122 +=r

, 8) jbyztiaxyV ˆˆ −=r

Solución:


Campo de velocidad Dimensión tipo de flujo 1) iaeV bx ˆ][ −=

r uni-dimensional ( )(xVV

rr= ) estacionario

2) jbxiaxV ˆˆ2 +=r

uni-dimensional ( )(xVVrr

= ) estacionario

3) ieaxV bt ˆ][ 2 −=r

uni-dimensional ( ),( txVVrr

= ) no estacionario 4) jbyiaxV ˆˆ −=

r bi-dimensioinal ( ),( yxVV

rr= ) estacionario

5) jbyitaxV ˆˆ)( 2−+=r

bi-dimensional ( ),,( tyxVVrr

= ) no estacionario

6) jbxziaxV ˆˆ2 −=r

bi-dimensional ( ),( zxVVrr

= ) estacionario

7) ( )kzyxaV ˆ/1)( 32/122 +=r

tri-dimensional ( ),,( zyxVVrr

= ) estacionario 8) jbyztiaxyV ˆˆ −=

r tri-dimensional ( ),,,( tzyxVV

rr= ) no estacionario

Ejercicio 02: Dada el campo de velocidades siguiente:

jbyiaxV ˆˆ −= donde (a = b = 1seg-1) Encontrar: La ecuación matemática de las líneas de flujo. Solución:

La pendiente de la línea de flujo en el plano x,y esta dado por uv

dxdy

= ,

Para el campo de velocidades jbyiaxV ˆˆ −= , entonces u = ax, v = -by, por lo tanto,

axby

uv

dxdy −

==

Para resolver la ecuación diferencial separamos las variables e integramos:

∫ ∫−=xdx

ab

ydy

Cxaby lnlnln +−=

ab

cxy−

=

FLUJO VOLUMÉTRICO Y FLUJO MÁSICO Flujo Volumétrico = Q

Flujo másico = om


∫

∫=

dA

VdAVr

VAQdAVVdA =⇒= ∫∫r

==

ltransversacionAnormalmediavelocidadV

sec

Supongamos que la superficie (s) sea como una malla de coral (imaginaria) a través del cual el fluido pasa. ¿Cuál es el volumen del fluido que atraviesa la superficie en la unidad de tiempo? En general si “v” varia con la posición, debemos integrar sobre la superficie elemental dA. Además, “v” generalmente puede atravesar dA con un ángulo θ en relación a la normal. Sea “n” el vector unitario normal a dA. Entonces, a la cantidad de fluido que se desplaza a través de dA durante el tiempo dt le corresponde el volumen del paralelepípedo inclinado:

dAdtvnvdtdAVd )(cos == θ

La integral de dtVd

es el caudal volumétrico total (Q) que atraviesa la superficie, entonces:

∫ ∫==s s

vdAdAvnQ )(

Por convención: “n” es el vector unitario normal orientado siempre para afuera, entonces, el producto (vn): Si es positivo representa al flujo de salida y si es negativo representa al flujo de entrada. Ahora, el caudal volumétrico se le puede afectar por la masa específica (ρ) para obtener el caudal másico.

∫ ∫==s s

ovdAdAvnm ρρ )(

ECUACIONES EN LA FORMA INTEGRAL PARA EL VOLUMEN DE CONTROL Métodos de análisis: Método diferencial – Ecuaciones diferenciales, comportamiento microscópico (punto a punto). Método integral – Comportamiento macroscópico, ecuaciones globales, sistemas infinitos. Sistema, Frontera, Volumen de Control y Superficie de control Sistema – Cantidad fija de masa separada del medio a través de las fronteras. Frontera – Separan el medio del sistema que pueden ser fijas o móviles. Volumen de Control (VC) – Volumen arbitrario en el espacio utilizado para el estudio. Superficie de Control (SC) – Superficie que envuelve o delimita el volumen de control. RELACIÓN ENTRE LAS DERIVADAS DEL SISTEMA Y LA FORMULACIÓN DEL VOLUMEN DE CONTROL En la deducción de la formula del volumen de control de cada ley básica haremos uso de los símbolos: N = Propiedad extensiva (propiedad que depende de la masa total del sistema, ej. masa, energía cinética, momento de inercia, etc.). η = Propiedad intensiva (son aquellas que varían de punto a punto del sistema o bien no dependen de la masa total, ej. temperatura, voltaje, etc.).

Siendo así: Propiedad Intensiva = Propiedad Extensiva / unidad de masa

O sea :

Así: Masa del sistema Volumen del sistema De esa forma podemos escribir entonces que:

En la formulación del volumen de control deseamos: “Expresar la taza de variación de la propiedad extensiva N para un sistema, en términos de las variaciones en relación al tiempo de esta propiedad, asociada con el volumen de control” O sea:

DEMOSTRACIÓN: Tomándose un volumen de control fijo en el espacio en relación a las coordenadas x, y, z.

Líneas de flujo

-------------- Volumen de Control _________ Sistema Después de un determinado tiempo, ∆t, tendremos que el sistema se desplaza con relación al VC.

Líneas de flujo

------------- Volumen de Control _________ Sistema De esto tendremos 3 regiones distintas, I, II, y III. Región I – Representa la masa que entra en el VC en ∆t. Región II – Representa la masa que deja el VC en ∆t. Región III – Representa la masa que permanece en el VC en ∆t. Luego en el instante t = t0 los limites del sistema y del VC coinciden. En el instante t = t0 + ∆t el sistema ocupa las regiones II y III. Como el objetivo es: “Relacionar la taza de variación de una propiedad extensiva cualquiera (N), arbitraria del sistema, con las variaciones relativas al tiempo, asociada con el volumen de control” O sea:

Ya que en el instante t = t0 + ∆t el sistema ocupa las regiones II y III podemos sustituir

de la siguiente forma:

Sustituyendo en la ecuación de la derivada del sistema se tiene:

En limite de la suma o la suma de los limites será:

1ª termino 2º termino 3ª termino 1ª término:

2ª término:

de la figura

Vista ampliada de la sub-región (2).

donde:

- esta en el sentido de las líneas de flujo - elemento de área de la superficie de control, sentido normal (para fuera) de la SC.

- ángulo formado entre y

Entonces para toda la región III:

Como la integral es de área y no de tiempo, entonces podemos afirmar:

Y como ∆t es constante puede salir de la integral. El 2ª término quedará de la siguiente manera:

3ª término:

Igual que en el 2ª termino

Vista ampliada de la sub-región (1).

Para toda la región I:

Evaluando el 3ª término de la ecuación general se tiene:

La última igualdad viene de:

Asi sustituyendo los 3 términos en la ecuación general:

Siendo : Y ahora sustituyendo tenemos:

Como la superficie de control consta de dos superficies, o sea:

SC = SCI + SCIII Entonces en forma general queda asi:

QUE ES LA ECUACIÓN BÁSICA PARA EL VOLUMEN DE CONTROL

Dr. Hugo Chirinos

Dr. Hugo Chirinos

Ejercicio 01: Dado un flujo incompresible y permanente a través del dispositivo mostrado en la figura: A1=0.05m2, A2=0,01m2, A3=0,06m2, iV ˆ41 =

rm/s, jV ˆ82 −=

rm/s. Encontrar el vector velocidad en

3.

Solución: Aplicando la ecuación de conservación de masa usando el VC mostrado.

Ecuación básica de continuidad: ∫ ∫+∀∂∂

=VC SC

AdVdt

rrρρ0

Asumir: 1) Flujo permanente. 2) Flujo incompresible, ρ = constante. 3) Flujo uniforme en cada sección.

Por la primera asunción: ∫ =∀∂∂

VC

dt

0ρ

Entonces: ∫ =

SC

AdVrr

ρ 0332211 =++ AVAVAVrrrrrr

O 221133 AVAVAVrrrrrr

−−= = smmismjmismi /28,0)(01.0/)ˆ(8)(05.0/ˆ4 322 =−−−− Como el resultado indica 033 >AV

rr entonces por convención el flujo es de salida del VC.

3333 AVAV =

rr

smmA

smV sm /67.406.0/28.0/28.0 2

3

3

33 ===

Finalmente por la geometría del conducto de salida en 3 se tiene:

smjijisenjVisenVV /)ˆ34.2ˆ04.4()(60cos67.4)(6067.4)ˆ(cos)ˆ( 333 −=−=−= θθr

Dr. Hugo Chirinos

Ejercicio 02: Un flujo incompresible y permanente fluye a través del siguiente dispositivo mostrado en la figura: A1=1ft2, A2=0,5ft2, A3=0,2ft2, iV ˆ101 =

rft/s, iV ˆ302 =

rft/s. Encontrar el caudal volumétrico

en la sección 3.

Solución: Aplicando la ecuación de conservación de masa usando el VC mostrado.


=VC SC

AdVdt

rrρρ0

Asumir: 1) Flujo permanente 2) Flujo incompresible, ρ = constante. 3) Flujo uniforme en cada sección.


VC

dt

0ρ

Entonces: ∫ =

SC

AdVrr

ρ 0332211 =++ AVAVAVrrrrrr

O 221133 AVAVAV

rrrrrr−−= , como el flujo en (1) es de entrada al VC entonces es negativo y el

flujo en (2) es de salida del VC entonces es positivo, luego: 221133 AVAVAV −=

rr= (10ft/s1ft2) – (30ft/s0.5ft2) = -5ft3/s.

Por lo tanto, el Q3 33AVrr

= = -5ft3/s, el signo menos indica que es de entrada al VC.

Ejercicio 03: Dado el flujo entre las placas paralelas como se muestra en la figura, encontrar la velocidad máxima de salida, umax.

Solución: Aplicando la ecuación de conservación de masa para el VC mostrado.


=VC SC

AdVdt

rrρρ0

Asumir: 1) Flujo permanente

Dr. Hugo Chirinos

2) Flujo incompresible, ρ = constante. 3) Flujo uniforme en cada sección.


VC

dt

0ρ

Entonces: 0 = 2

2211 .. AdVAV

rrrr∫+ ; iuV ˆ2 =

r, iwdyAd ˆ2 =

r, w = ancho de las placas.

wdyhyuhwU

h

h∫−

−+−= 2

max )(1)2(0

dyhyu

hU

h

h∫−

−= 2

max )(121 = ( )hydh

yu∫−

−

1

1

2max )(12

( )hydhyuU ∫

−=

1

0

2max )(1 = max

1

0

3

max 32

31 uhy

hyu =

−

Por lo tanto, u max = 3/2U = 3/2x5m/s = 7.50 m/s

Ejercicio 04: Dado el acumulador hidráulico, diseñado para reducir las pulsaciones de presión en un sistema hidráulico, esta operando bajo las condiciones mostradas, para un instante dado. Encontrar la taza en la cual el acumulador gana o pierde aceite hidráulico (G del aceite es 0.88).



=VC SC

AdVdt

rrρρ0

Asumir: 1) Flujo uniforme en la sección 2 de salida. 2) Flujo incompresible, ρ = constante.

Luego: ∫ ∫+−+∂∂

=1 2

2211)(0A A

VC dAVdAVmt

ρρ

Pero 11

11 QdAVA

ρρ =∫

Entonces: 221)(0 AVQmt VC ρρ +−∂∂

= o )( 221 AVQtmVC

−=∂∂ ρ

Dr. Hugo Chirinos

)( 42421 DVQG

tm

aguaaceiteVC

πρ −=∂∂

)( 42421 DVQG

tm

aguaaceiteVC

πρ −=∂∂

[ ]2

23

3 lg144122

460min1

45.71

min )25.1(35.475.594.188.0puft

sft

sgalftgal

ftslug

VCxpulxxxx

tm π−=∂∂

sslug

VCx

tm 21044.1 −−=∂∂ o s

lbm

VCtm 33.1−=∂∂

El signo negativo indica que la masa disminuye en el VC.

Ejercicio 05: Dado un tanque esférico mostrado en la figura, de la válvula shetch escapa aire a una velocidad de -300i m/s, el área de sección transversal de escape es de -130i mm2, la temperatura del aire es de -15°C y la presión es de 350kPa (ab.). Encontrar la taza de cambio de la densidad en el tanque.



=VC SC

AdVdt

rrρρ0

Asumir: 1) Densidad uniforme en el Tk, entones: ( )∀∂∂

=∀∂∂∫ tVC td

tρρ

2) Si existe flujo uniforme entonces: 11111 AVAVAdVSC

ρρρ ==∫rrrr

3) El aire como un gas ideal, entonces: P1 = ρ1 R T1

Por lo tanto, 32 73.4)15273(

1.287

105.3 5

1

11 m

kgmN

Kx

mNkgKxx

RTP

=−

==ρ

( ) 11AVtttd

tt

ttVC

ρρρρρ −=∂∂

∀+∂∂∀

=∀∂∂

=∀∂∂∫

3101211

5.01)(130)(30073.4 25

2

3 mxxmmixix

AVt mm

msm

mkgt −−−=

∀−

=∂∂ ρρ

smkgt

t 3369.0−=∂∂ρ

Dr. Hugo Chirinos

Ejercicio 06: Una laguna esta siendo drenada a 2000 ft3/s, el nivel de la laguna disminuye a una velocidad de 1ft a cada 8h. El caudal de entrada es de 290ft3/s. Calcular: a) el caudal de drenaje en galones por segundo, b) estimar el área superficial de la laguna en acres.



=VC SC

AdVdt

rrρρ0

Asumir: 1) Densidad constante. Conversión de unidades: sgalxxQ s

galsft /105.148.72000 43

==

( )∀∂∂

=∀∂∂∫ tVC td

tρρ

( ) ∫∫ −=∂∂

∀+∂∂∀

=∀∂∂

=∀∂∂

SC

t

VC

AVttt

dt

rrρρρρρ

entrasaleSC

QQAVdtdhA

t+−=−==

∂∂∀

∫rr

ρρρ

( )

dtdhQ

dtdhQQA entrasale ∆

−=−

−=

Para Q = 1710 ft3/s y dh/dt = -1ft/8h, ya que el nivel disminuye.

Por lo tanto, A = -1710 ft3/s x (-8h/1ft)x3600s/h = 4.92x107 ft2.

Ya que un Acre equivale a 43600 ft2, entonces A = 1130 acres.

Dr. Hugo Chirinos

Ejercicio 01: Agua fluye entre dos placas paralelas, como se muestra en la figura, la velocidad máxima en el centro es de 2U. Calcular la relación del flujo de momentos entre salida y la entrada.

Solución: El flujo de momentum en la dirección (x) esta dado por la siguiente ecuación:

Dr. Hugo Chirinos

( ) ∫=A

x AdVvmfrrrρ

Asumir: 1) Flujo incompresible, ρ = constante. 2) Flujo uniforme en (1). Entonces resolviendo para la sección 1:

( ) ∫ ==1

221

Ax RUUdAUmf πρρ

Resolviendo para la sección 2, la velocidad en la salida varia e integramos usando dA = 2π rdr,

( ) rdrRrurdruumf

RR

x

2

0

22max

02

)(122 ∫∫

−== πρπρ

( ) )()(1221

0

222max2 R

rx d

Rr

RrRumf

−= ∫πρ

( ) )(2221

0

5322

max2 Rr

x dRr

Rr

RrRumf ∫

+

−

= πρ

( )

1

0

6

61

4

21

2

2122

max22

+

−

=

Rr

Rr

RrRumf x πρ

( ) )31(22

max2Rumf x πρ=

Finalmente la relación de flujo de momentum entre la salida y la entrada es:

( )

( )

2max

223122

max

1

2

31)(

==Uu

RURu

mf

mf

x

x

πρπρ

, pero como umax = 2U,

Entonces: ( )

( ) 34)2(

31 2

1

2 ==x

x

mf

mf

Ejercicio 02: Agua fluye a través del bocal de una manguera de incendio, como se muestra en la figura. Calcular la fuerza que mantiene el bocal acoplado en la manguera. Indicar si es de tensión o compresión.

Solución: Aplicando continuidad y la ecuación de conservación de momentum en el VC mostrado. Asumir: 1) Flujo estacionario. 2) Flujo uniforme en cada sección.

Dr. Hugo Chirinos

3) Flujo incompresible, ρ = const. 4) FB = 0

Ecuaciones básicas: 0=+∀ ∫∫SCVC

AdVdt

rrρρ

δδ

∫∫∑ +∀=+∑SCVC

B AdVvdvts FF rrrr ρρ

δδ

Calculando la velocidad en (1), aplicando continuidad:

{ } { } 221122110 AVAVAVAV ρρρρ +−=+−=

sm

mmmmx

DDV

AAVV s

m 56.3752532

22

1

22

1

221 =

=

==

Calculando la fuerza, aplicando momentum, las fuerzas superficiales son: la fuerza de reacción y las fuerzas de presión en (1):

{ } { }22211111 AVVAVVAPRx ρρ +−=+

22211111 AVVAVVAPRx ρρ +−−=

( ) ( ) ( ) 222222223 025.04

321000075.04

56.31000075.04

10510 2

2

32

2

32 mxxmxxmxxRxsm

mkg

sm

mkg

mN πππ

+−−=

kNRx 81.1−= (el signo indica que la fuerza de reacción es para la izquierda) y la fuerza es de tensión. Ejercicio 03: Un agricultor compra 675k de grano. El grano se carga directamente a su camioneta mediante la tolva de alimentación como se muestra en la figura. El flujo del grano se cierra automáticamente cuando el registrador de la balanza llega al valor deseado. Encontrar el verdadero cargamento.

Asumir: 1) no hay fuerzas de presión neta. 2) despreciar la velocidad de entrada al VC. 3) flujo uniforme del grano en la sección 1. Solución: Aplicando la ecuación de conservación de momentum en el VC mostrado. Ecuación básica: ∫∫∑∑ +∀=+

SCVCBs AdVvdv

tF F

rrrr ρρδδ

( )

−=+−

•

mvgMMR ety 1 como

11 A

mVρ

•

−=−

Entonces:

Dr. Hugo Chirinos

( )1

2

AmgMMR ety ρ

•

++= (indicado mediante el cargamento del grano).

Así, el flujo del grano se cierra automáticamente cuando:

kggAmMM

gR

ety 675

1

2

=+=−

•

ρ

Por lo tanto, ( ) 22

232

1

2

3.014

81.960040675675 2

2

mxx

msx

kgmxkg

gAmkgM

skg

e πρ−=−=

•

kgMe 671=

CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA Y LA ECUACIÓN DE LA ENERGIA Nuevamente e igualmente a la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento sabemos de la ecuación integral para el VC que:

Sustituyendo ahora tenemos que:

De la 1ª ley de la termodinámica tenemos que:

O sobre la forma de tazas: El término significa la taza de trabajo total para el VC que es dado por:

Considerando separadamente cada término tenemos que:

1) taza de trabajo de eje : que es la taza de trabajo realizadas por maquinas con ejes rotativos (bombas, turbinas).

2) Taza de trabajo ejecutado por tensiones normales .

Al moverse un objeto mediante una fuerza una distancia infinitesimal, , el trabajo ejecutado será entonces.

Dividiendo por y sacando el limite:

O sea:

Si calculamos el trabajo ejecutado por un , en un de una SC tendremos lo siguiente:

Y la taza de trabajo en toda la SC será:

Como el trabajo es realizado sobre el sistema será por lo tanto negativo.

3) Trabajo debido a tensiones de cisallamiento: de la misma forma que del anterior,

Solo que:

- En las superficies sólidas no hay flujo entonces el trabajo es nulo,

- En las aberturas el tensor de cisallamiento forma 90ª con la velocidad y

Luego: Asi, regresando a la ecuación general tenemos que:

O sea:

Como :

Luego podemos multiplicar por , sin que haya ninguna alteración en la ecuación.

En la mayoría de los casos de interés en ingeniería, , luego:

QUE ES LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONSERVACIÓN DE ENERGIA O ECUACIÓN DE LA ENERGIA

Ejercicio 01: Un flujo de agua suministra a la hélice de una turbina una potencia de 1.2 kW. En 2 minutos de funcionamiento se ha estimado un flujo de calor hacia el medio ambiente de 15kJ. Calcular la variación de energía interna en el flujo. Solución: Asumiendo un VC indeformable y fijo, flujo permanente, uniforme e incompresible con fricción, o sea (ue ≠ us). Ecuación básica de conservación de la energía:

Para un flujo permanente y uniforme:

Además: ugzve ++=2

2

sss

ssseee

eeeeje AvPugzvAvPugzvdtdW

dtdQ

++++

+++−=−

ρρ

ρρ 22

21

21

( )

−+−+−+

−=−

ρρ es

eseseseje PPuuzzgvvQdtdW

dtdQ )(

21

21 22

De la ecuación de continuidad:

ssee AvAv = smxvs /301.0

2.015==

Por lo tanto el caudal es smxAvQ ss /31.030 3=== Por convención: calor que sale del sistema es negativo, trabajo que realiza el sistema es positivo. Por lo tanto, reemplazando se tiene:

( ) ( )[ ]es uux −+−+−=−− )2(81.915305.03100012001201500 22

Entonces ( ) kgJuu es /3.318−=− o ( ) kgJuu se /3.318=−

Ejercicio 02: A través de una tubería horizontal fluye agua con velocidad:

smrV /025.0

19.0 2

2

−=

Calcular la transferencia de calor durante una hora que atraviesa las paredes de la tubería en el tramo indicado en la figura.

Solución: Asumiendo un VC indeformable y fijo, flujo permanente, uniforme e incompresible sin fricción, o sea (ue = us). Ecuación básica de conservación de la energía:

Para un flujo permanente y uniforme:

Además: ugzve ++=2

2

∫∫

++++

+++−=−

sss

ssss

eee

eeee

eje AdvPugzvAdvPugzvdtdW

dtdQ rrrr

ρρ

ρρ 22

21

21

( ) ∫

−+−+−+

−=

SC

eseseses AdvPPuuzzgvv

dtdQ rr

ρρ )(

21

21 22

Como las energías cinéticas, potencial e internas se anulan entonces:

( )∫−=SC

es AdvPPdtdQ rr

De la información de los manómetros tenemos: ( ) 2/24.2000415.081.96.13 mNxxhPP Hges −=−=∆−=− γ Reemplazando en la ecuación:

∫

−−=

025.0

02

2

2025.0

19.024.20004 rdrrdtdQ π

∫

−−=

025.0

02

2

025.0163.113120 rdrr

dtdQ

sJxrr

dtdQ /35.35

025.04263.113120

025.0

02

42

−=

−−= El signo negativo indica que el calor sale.

Luego la transferencia de calor por 1 hora es de: Q = 35.35x3600 = 127260J = 30415.14 cal.

Dr. Hugo Chirinos

Balance de Energía para flujos Permanentes y uniformes

sss

ssseee

eeeeje

ooAvPugzvAvPugzvWQ

++++

+++−=−

ρρ

ρρ 22

21

21

o

ssee mAvAv == ρρ

os

sss

oe

eeeeje

oomPugzvmPugzvWQ

++++

+++−=−

ρρ22

21

21

++++

+++−=−

ρρs

ssse

eeeo

o

ejeo

oPugzvPugzv

m

W

m

Q 22

21

21

Si llamamos pérdidas a = co

o

es Hm

Quu =−−

Sin pérdidas y sin trabajo o sea para flujo ideal se tiene:

HPzgvPz

gv s

sse

ee =

++=

++

γγ

22

21

21 = Energía total (Ecuación de Bernoulli.

Con pérdidas y trabajo de eje (bombas y turbina) o sea para flujo real se tiene:

++=−+−

++

γγs

ss

turbinabombace

ee Pz

gvWWHPz

gv 22

21

21

Como QPot

QtW

VAgW

mg

WW

o

ejeo

o

ejeT γγρ

====1

Siendo Pot la potencia del equipo que esta realizando el trabajo de eje.

Dr. Hugo Chirinos

Demostración de la Ecuación de Bernoulli o Balance de Energía Mecánico. Asumir:

1) Fluido ideal: viscosidad cero, flujo laminar. 2) Flujo incompresible

Aplicando la ley de movimiento de Newton para una partícula de fluido que se mueve de un punto 1 para un punto 2 sobre la línea de corriente, como se muestra en la figura.

∑ ∗= admdF

donde “a” es la aceleración de tipo convectiva. Entonces las fuerzas que interactúan sobre la partícula de fluido durante su movimiento y substituyendo tenemos:

dSdvvdAdS

dSdzdAdSgdAdPPPdA ρρ =−+− )(

vdvdAdAdzgdAdP ρρ =−−

0=++ vdvdAdAdzgdAdP ρρ

0=++ vdvdzgdPρ

02

)( 2

=++gvddzdP

γ

HconstgvzP

gvzP

gvddzdP

==++=++=++ ∫∫∫ 222)( 2

22

221

11

2

γγγ= energía total

Dr. Hugo Chirinos

Representación esquemática de la Ecuación de Bernoulli.

Ejercicio 01: Deducir la velocidad de salida del líquido a través de un orificio realizado en un tanque de grandes dimensiones (vide figura) en función de la profundidad “h”. Solución:

gvzP

gvzP

22

22

22

21

11 ++=++

γγ; V2 >>>V1

hgvz ==2

22

1 ; ghv 22 = Torricelli

Ejercicio 02: Calcular el régimen de flujo a través de la tubería y de la boquilla, calcular la presión en los puntos 1, 2, 3, 4 del tubo.

Dr. Hugo Chirinos

Solución: Aplicamos Torricelli de (0) a (5), para calcular la velocidad en la boquilla:

smxxghv /3.24)6090(81.9225 =−== El régimen de flujo en la tubería y en la boquilla son iguales entonces:

smxAvQ /3.0)125.0(4

3.24 3255 ===

π

Calculando las velocidades en los puntos 1 y 2.

11AvQ = smAQv /24.4

)3.0(3.0

241

1 ===π

22AvQ = smAQv /34.0

)2.0(3.0

242

2 ===π

Calculando las presiones en los puntos 1, 2, 3 y 4.

gvzP

gvzP

22

21

11

20

00 ++=++

γγ

mgvzzP 1.179.060902

21

101 =−−=−−=γ

mgvzzP 58.158.487902

22

202 −=−−=−−=γ

mgvzzP 1.119.078902

23

303 =−−=−−=γ

mgvzzP 1.309.059902

24

404 =−−=−−=γ

P1 = 167.6kPa, P2 = 116mmHg, P3 = 109kPa, P4 = 295 kPa.

Ejercicio 03: Se impulsa cloroformo a 45°C del reactor al tanque mediante una bomba a 20TM/h (vide figura). El reactor se mantiene a una presión de vacío de 200mmHg y en el tanque la presión es atmosférica. La tubería es de AI-315 de 68mm de diámetro interno. La altura de presión perdida por rozamiento y por resistencias locales (debido a los accesorios) es equivalente a 10m de líquido. El cloroformo se bombea hasta 15m de altura (H). Hallar la potencia de la bomba (kW) si su rendimiento se asume 70%. Gclorobenceno = 1.11.

Solución:

Dr. Hugo Chirinos

Aplicando la Ec. de Bernoulli para flujos reales en el tramo de la superficie libre del líquido en el reactor (1) y en la salida de la tubería en el tanque (2).

++=−+−

++

γγ2

2

221

1

21

21

21 Pz

gvWWHPz

gv

turbinabombac

γ1

2

22

21 PHzgvW cbomba −++=

Calculando la velocidad en la tubería: skghsTMkgxm h

TMo

/55.5/3600/100020 ==

AvmQo

2==ρ

smmkgm

skgAmvo

/37.1/)1110()068.0(

/55.5322

42 ===

πρ

smxmsmAvQ /105)068.0(/37.1 3322

42−=== π

Cálculo de las cargas:

Carga de presión de vacío: 26.0760

/03.12002

−=−

−mmHg

cmfkgmmHgx kg-f/cm2

mmfkg

mcmxcmfkgP 45.2/1110

/10/26.03

22421 −=

−−−

=γ

mxg

v 09.081.92

37.12

222 ==

Reemplazando:

Wbomba = 0.09m + 15m + 10m + 2.45m = 27.54m

Para calcular la potencia se aplica: QPotWbomba γ

=

Potencia = 5x10-3 m3/s x 10889N/m3x27.54m/0.7 = 2144 watts = 2.14kW = 1.38 HP. Ejercicio 04: Si el caudal es de 250ft3/s. Cual será la potencia en HP que se conseguirá en el eje de la turbina?, si el rendimiento es de 80% y la perdida de carga (Hc) = v2/2g donde v es la velocidad en el tubo de abastecimiento de 6ft de diámetro. Calcular la presión en la entrada de la turbina Pelton.

Dr. Hugo Chirinos

Solución: Para calcular la potencia de la turbina se aplica la Ec. de Bernoulli para flujos reales en el tramo de la superficie libre del líquido en el tanque (1) y en la salida de la turbina (3).

++=−+−

++

γγ3

3

231

1

21

21

21 Pz

gvWWHPz

gv

turbinabombac

EL líquido sale de la turbina sin energía cinética, potencial y de presión.

1zHW cturbina +−= Calculando la velocidad media:

VAQ = sftftsft

AQV /84.8

)6(/3250

224

===π

Reemplazando en la ecuación:

ftx

zgvzHW cturbina 79.3335

2.32284.8

2

2

1

2

1 =+−=+−=+−=

Para calcular la potencia se aplica: QPotWturbina γ

=

Potencia = (33.79ftx250ft3/sx62.4lb-f/ft3)/(0.8x550) = 1198HP Calculando la presión en la entrada de la turbina: aplicando Bernoulli en el tramo (1) a (2):

γγ2

2

221

1

21

21

21 Pz

gvHPz

gv

c ++=−++

gvHzP

c

22

12

21

−−=γ

ftgvzP 58.27

2.3284.830

222

12 =−=−=γ

psixxxftP 95.11)144/1(4.6258.2758.272 === γ

Dr. Hugo Chirinos

MEDIDORES DE FLUJO

Medidores de flujo diferencial de presión: Se entiende como medidor diferencial a aquel cuyos principios de medición se infiere el resultado final. El medidor diferencial de presión se identifica, por la característica de su elemento primario, en el cual se crea una diferencia de caídas de presión que dependen de la velocidad y densidad del fluido. Esta diferencia es medida por un segundo elemento, llamado secundario. Los más comunes son:

La placa orificio El Venturimetro. El Tubo de Pitot.

Medidor Placa de orificio

Son dispositivos que consisten en una reducción en la sección de flujo de una tubería, de modo que se produzca una caída de presión, a consecuencia del aumento de velocidad.

Haciendo un balance de energía entre el orificio (punto 1) y la sección posterior al orificio (punto 2), despreciando las pérdidas por fricción tenemos:

(1)

Para un fluido incomprensible y de la ecuación de continuidad:

(2)

Sustituyendo 2 en 1:

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(3)

Despejando v1 y sabiendo que D1 = diámetro del orificio

(4)

En caso de que se consideren las pérdidas de fricción, es necesario agregar el coeficiente de orificio Co, teniendo lo siguiente:5

(5)

Siendo v1: velocidad en el orificio. Si se requiere conocer el Caudal:

(6)

Co: Coeficiente de orificio o coeficiente de descarga para el caudal. Este coeficiente varía entre 0.6 y 0.62 para orificios concéntricos de bordes afilados y si el Número de Reynolds es mayor de 20 000 y si la toma posterior está en la vena contracta.

D0: Diámetro de orificio. D2: Diámetro de la tubería.

Dr. Hugo Chirinos

Usualmente el diámetro del orificio está entre 50 y 76% del diámetro de la tubería. La toma corriente arriba debe quedar a una distancia correspondiente a un diámetro de la tubería de la cara del orificio y la de corriente abajo a una distancia de 0.5 del mismo diámetro, D2.

En los medidores instalados la manera más simple de obtener la caída de presión consiste en el empleo de un manómetro diferencial en “U”. La pérdida de carga o pérdidas permanentes por fricción se obtienen por:

(7)

Para gases la ecuación debe modificarse mediante un factor empírico que, para el caso de comportamiento ideal es:

(8)

Siendo K la relación de las capacidades caloríficas a presión y volumen constantes.

(9)

Por lo tanto:

(10)

Las ecuaciones anteriores se aplican cuando las tomas de presión están situadas en las bridas, 1 diámetro de la tubería antes de la placa y 0.5 diámetro después, si la toma posterior está situada después de la vena contracta se utiliza un factor K que es función de la relación β para Reynolds mayores de 20 000.

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Donde:

(11)

Medidor Venturi

Este medidor fue inventado por Clemens Herschel en 1881 y lleva el nombre de Venturi por el científico italiano que fue el primero en experimentar en tubos divergentes.

Este medidor es el más exacto teniendo una mínima pérdida de presión permanente y permitiendo el paso de 1.6 veces más el flujo que la placa de orificio.

El aparato está formado por tres secciones principales, una convergente con ángulo menor a 7°, una sección intermedia que constituye la garganta o estrechamiento y una divergente.

Dr. Hugo Chirinos

La ecuación para obtener la velocidad se deduce de manera similar a la de un medidor de orificio.

(12)

v1: velocidad en la garganta. D1: Diámetro de la garganta. D2: Diámetro de la tubería. Cv: Coeficiente de descarga; su valor medio es de 0.98.

Las pérdidas de presión no recuperables son del 10% de la caída de presión marcada en el manómetro diferencial.

(13)

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Existen otros medidores de flujo como:

Rotámetro:

Consiste esencialmente de un flotador indicador que se mueve libremente en un tubo vertical ligeramente cónico con el extremo de menor diámetro en la parte inferior.

El fluido entra por la parte inferior del tubo y ejerce una fuerza ascendente sobre la base del flotador; al subir el flotador permite que pase una determinada cantidad de flujo por el área anular, área formada entre el flotador y la pared del tubo y será tal que la caída de presión en ese estrechamiento baste para equilibrar la fuerza de gravedad y el peso del flotador, en ese momento el flotador permanece estacionario en algún punto del tubo.

La pérdida de presión se mantiene constante sobre el intervalo completo del flujo. Entonces para cada flujo. El flotador alcanza una altura determinada. El tubo cónico lleva grabada una escala lineal en unidades del flujo o indica el porcentaje del flujo máximo. Los rotámetros no necesitan tramos rectos de tubería antes y después del punto donde se instalan.

La ecuación correspondiente al flujo ó caudal (Ca) viene dada por:

(14)

Cada magnitud tiene el significado indicado en la figura anterior y K es el coeficiente del rotámetro.

Generalmente el rotámetro se calibra con el fluido para el cual se empleará como medidor del caudal. Sin embargo, si se calibra con un fluido A de densidad ρA y después se emplea para medir el caudal de otro fluido B de ρB, la relación de caudales viene dada por:

Dr. Hugo Chirinos

(15)

Medidor anular de flujo

Este medidor es una variable simple del medidor de placa de orificio, que tiene como particularidad permitir que el fluido pase a través de una sección anular, por lo tanto se encuentra entre ambos respecto a su caída de presión permanente.

Consiste en un cuerpo agudo localizado en el centro de un tubo de flujo y que permite al fluido pasar a través de un ánulo provocándose una contracción del área de flujo en la tubería. Esta contracción da como resultado una caída de presión, la cual puede ser medida en un manómetro diferencial. Los coeficientes obtenidos en función del número de Reynolds se grafican en la figura 7.

La ecuación fundamental es similar a la de los medidores tradicionales, es decir, basados en un balance de energía entre dos puntos situados, uno en la vena contracta (2) y otro corriente arriba (1).

La ecuación obtenida a partir del balance entre estos puntos es:

(16)

Donde: v1 : velocidad en la tubería. CA : Coeficiente de descarga del medidor anular. DP: Diferencia de presiones entre los puntos (1) y (2). r : densidad del fluido. S1 y S2: Superficie transversal del tubo y del ánulo, respectivamente. gc : factor de conversión.

Dr. Hugo Chirinos

Relación de pérdidas de carga de la placa de orificio y venturi

Aplicando la Ec. de Bernoulli para flujos reales en el medidor de orificio en el tramo diámetro de la tubería (1) y diámetro del orificio (o)

gv

zP

gvzP o

oo

22

221

11 ++=++

γγ

11

221

22hPP

gv

gv oo −=

−=−

γ

Como: Q = VA, entonces, V = Q/A

122

1

2)()( ghAQ

AQ

o

−=−

122

1

2 2)1()1( ghAA

Qo

−=−

21

2

22112 2AAAAgh

Qo

o

−−=

21

2

11 2

AA

ghAAQ

o

o

−−=

221

11 2

o

o

AA

ghAAQ

−=

21

221

12

A

AA

ghAQ

o

o

−=

21

2

1

1

2

AA

ghAQ

o

o

−

= 4

1

1

2

−

=

DD

ghAQ

o

o

Para el medidor de orificio, el coeficiente de pérdida de carga es Ko = 0.61

4

1

1

2

−

=

DD

ghAKQ

o

oo

Dr. Hugo Chirinos

Para el medido r de venturi el coeficiente de pérdida de carga es Kv = 0.98

4

1

1

2

−

=

DD

ghAKQ

o

oV

Relacionando el medidor de venturi con respecto al medidor orificio se tiene:

1

1

2

1

2

4

1

4

2

=

−

−

DD

ghAKDD

ghAK

o

oo

V

VV

Simplificando se tiene: 161.098.0

1

2 =hh o h1 = 2.6 h2

separata_hidraulica

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