PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Cálculo 3Derivadas parciales, derivada direccional y diferenciabilidad

Semestre Académico 2015-1

1. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:

a) f (x, y) =xy

x + y

b) f (x, y) = (x + y2) ln(x − y)

c) f (x, y) = ey(x−1)2ln(x + y2 − 1)

d) f (x, y) = x + lny

x2 + y2

e) f (x, y) =

{ xyx2+y2 , si (x, y) , (0,0)

0, si (x, y) = (0,0)

f) f (x, y, z) = ln√x2 + y2 + z2 + sen(x + 2y − z)

2. Dada la función f (x, y) =

2x2yx4+y2 , si (x, y) , (0,0)

0, si (x, y) = (0,0). Mostrar que f no es

continua en el punto (0,0) y tiene derivada direccional en (0,0) a lo largo decualquier dirección.

3. Sea f (x, y) =

xy(x2−y2)x2+y2 , si (x, y) , (0,0)

0, si (x, y) = (0,0). Analizar la continuidad de f y

mostrar que f es de clase C1.

4. Dada la función f (x, y) =

xy3

x4+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)

. Encontrar en qué sub-

conjunto de R2 la función f es:

a) continua,

b) admite derivadas parciales,

c) diferenciable.

5. Dada la función f (x, y) = x2 − xy, calcular la derivada direccional de f enel (0,0) a lo largo de cualquier vctor unitario v ∈ R2 y analizar si f esdiferenciable en (0,0).

6. Dada la función f (x, y) =

2xy2

x2+y4 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)

a) Calcular la derivada direccional de f en el origen de coordenadas en ladirección del vector v = (cos θ, sen θ)

b) Determinar si en el origen es válida la fórmula del gradiente,

c) Analizar si f es diferenciable en el origen de coordenadas.

7. La temperatura en un punto (x, y) de una región del plano es T (x, y) = x2e−y.¿ En qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura en el punto(2,1)? ¿ Con qué rapidez aumenta T en esa dirección?

8. Sean α > 1, v = ( 1√

2, 1√

2) y f (x, y) =

|x |α−1

x2+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)

. Analizar

si existe la derivada direccional Dvf (0,0), al variar α, en caso afirmativocalcularla.

a) Analizar la continuidad de f

b) Mostrar que ∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0,0)} las derivadas parciales de primer

orden en (x, y) existen y verifican∂f

∂x(x, y) = −

∂f

∂y(y, x)

c) ¿ Es f de clase C1?

9. Encontrar los puntos de R2 donde la función

f (x, y) =

x2(x2+y2)52

x4+(x2+y2)4 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)

es diferenciable.

10. Encontrar la dirección de máximo crecimiento de las funciones dadas en elpunto indicado:

a) f (x, y) = ln(x2 + 3y2), (2,1)

b) f (x, y, z) = xe−y2

cos z, (1,1, π)

c) f (x, y, z) = xyz, (1,1,1)

11. Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de la función f (x, y) = ex sen yen (1, π) justificando su existencia. Calcular Dvf (1, π), donde v = (3

5 ,45 ).

12. Analizar la continuidad y diferenciabilidad de la función

f (x, y) =

x3−y3

x2+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)

13. Dada la función f (x, y) = x2 + y2

a) Mostrar que f es diferenciable en el punto (1,1) usando la definición.

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b) Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto (1,1, f (1,1)).

14. Dada la función

f (x, y) =

sen x3−sen y3

x2+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)

Analizar la continuidad de f , y la existencia y continuidad de las derivadasparciales de primer orden.

15. Si f (x, y) = y4e3x , determinar para que vectores unitarios v = (a, b) la deri-vada direccional Dvf (0,−1) es máxima y para qué vectores es nula.

16. Dada la función f (x, y) =3√x2(y − 1) + 1

a) Verificar que f no es diferenciable en el punto (0,1)

b) Calcular la derivada direccional Dvf (0,1), siendo v vector unitario deR2.

17. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la super-ficie z =

√36 − 4x2 − 4y2 y el plano z = 1 en el punto P(1,−2,4).

18. La intersección del plano y = 1 con el paraboloide z = 4−x2−y2 es una curvaΓ. Si se traza la recta tangente a Γ en el punto cuya primera coordenada esx = 1

2 , encontrar el punto donde dicha tangente corta al plano YZ .

19. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie S : z = x2 − xy + y2 quees paralelo al plano 5x − y − z = 1.

20. Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente al elipsoide x2

16 +y2

9 + z2

4 =

3 en el punto (4,3,2).

21. Dada la función f (x, y) =

{(x2 − y2) ln(x2 + y2), si (x, y) , (0,0)

0, si (x, y) = (0,0) .

ABC San Miguel 22 de Mayo de 2015

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